pagina VII

Prévia do material em texto

- A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( \frac{3}{2} \) 
 - D) 2 
 **Resposta: C) \( \frac{3}{2} \)** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( F(1) = 1 + 1 
= 2 \) e \( F(0) = 0 \). Portanto, \( \int_0^1 (2x + 1) \, dx = 2 - 0 = 2 \). 
 
42. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' + 3y = 0 \) com a condição inicial \( y(0) = 5 
\)?** 
 - A) \( y(x) = 5e^{-3x} \) 
 - B) \( y(x) = e^{-3x} + 5 \) 
 - C) \( y(x) = 5 + e^{-3x} \) 
 - D) \( y(x) = e^{3x} + 5 \) 
 **Resposta: A) \( y(x) = 5e^{-3x} \)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um 
fator integrante. A solução geral é \( y = Ce^{-3x} \). Aplicando a condição inicial \( y(0) = 5 \), 
obtemos \( C = 5 \), logo \( y(x) = 5e^{-3x} \). 
 
43. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{33}{3} \) 
 - B) \( 10 \) 
 - C) \( 11 \) 
 - D) \( 12 \) 
 **Resposta: B) \( 10 \)** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = x^3 + 2x \). Avaliando de 1 a 2, temos \( F(2) = 8 + 4 
= 12 \) e \( F(1) = 1 + 2 = 3 \). Portanto, \( \int_1^2 (3x^2 + 2) \, dx = 12 - 3 = 9 \). 
 
44. **Qual é o valor do determinante da matriz \( B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 
\end{pmatrix} \)?** 
 - A) 1 
 - B) 4 
 - C) -1 
 - D) 2 
 **Resposta: B) 4** 
 **Explicação:** O determinante de \( B \) é calculado como \( \text{det}(B) = 2(7) - 3(5) = 14 
- 15 = -1 \). 
 
45. **Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (x^2 + x) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{6} \) 
 - B) \( \frac{1}{4} \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \) 
 - D) \( \frac{5}{6} \) 
 **Resposta: C) \( \frac{1}{3} \)** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( F(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{3}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 
\frac{5}{6} \). 
 
46. **Qual é o resultado de \( \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) \( \frac{1}{2} \) 
 - D) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta: A) 1** 
 **Explicação:** A antiderivada de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} 
\), temos \( -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \). 
 
47. **Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)?** 
 - A) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \) 
 - C) 1 
 - D) 0 
 **Resposta: A) \( \frac{\pi^3}{6} \)** 
 **Explicação:** Essa é outra série p que converge para \( \frac{\pi^3}{6} \) em \( p = 3 \). 
 
48. **Qual é o valor da integral \( \int_1^2 (2x - 1) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta: A) 1** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = x^2 - x \). Avaliando de 1 a 2, temos \( F(2) = 4 - 2 = 
2 \) e \( F(1) = 1 - 1 = 0 \). Portanto, \( \int_1^2 (2x - 1) \, dx = 2 - 0 = 2 \). 
 
49. **Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)?** 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta: B) 0** 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 0 \). 
 
50. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 - B) \( \frac{1}{x} \) 
 - C) \( 2\sqrt{x} \) 
 - D) \( \frac{1}{x^2} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)** 
 **Explicação:** Usando a regra da potência, a derivada é \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} 
= \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
51. **Qual é a solução da equação \( y'' + 4y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - C) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - D) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 **Resposta: A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)** 
 **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 4 = 0 \), resultando em raízes complexas 
\( r = \pm 2i \). A solução geral é \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 
52. **Qual é a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{4} \) 
 - B) \( \frac{11}{4} \) 
 - C) \( 3 \) 
 - D) \( 2 \) 
 **Resposta: C) 3** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( F(1) = 1 - \frac{2}{3} + 3 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \), e \( F(0) = 0 \). Portanto, \( 
\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \). 
 
53. **Qual é o valor da soma \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) 1 
 - C) \( \frac{1}{2} \) 
 - D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: B) 1** 
 **Explicação:** Usando a fórmula para a soma de uma série geométrica \( 
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} \), onde \( a = \frac{1}{3} \) e \( r = \frac{1}{3} \), 
temos \( S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 \). 
 
54. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 - A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - C) \( \frac{1}{x} \) 
 - D) \( \frac{1}{2x} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
55. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{5x^2 + 4} \)?**