C3 Lista 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS DO SERTÃO
Cálculo 3 - Lista 1
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questões marcadas com ? são complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questões marcadas com ∗ têm grau de dificuldade maior.
(1) Considere a curva α(t) = (t cos t, t sent, t).
(a) Mostre que o traço de α está contido em um cone.
(b) Use o item anterior para esboçar o traço da curva.
(c) Determine a equação do plano normal a α no ponto (0, 0, 0).
*(2) Considere a hélice α(t) = (a cosωt, a senωt, ωbt) , ω > 0. Mostre que toda reta tangente à curva,
forma um ângulo constante com o eixo z e que o cosseno deste ângulo é b/
√
a2 + b2.
(3) Verifique que o traço da curva α(t) =
�
t3, t6,−t3
�
está contido nas superf́ıcies x+z = 0 e y = x2.
Use este fato para esboçar a curva.
(4) Para os itens abaixo considere as curvas α(t) = (cos t, sent, t) e β(t) = (t, t2−2t+1, t3−3t2+3t−1).
(a) Mostre que as curvas se intersectam no ponto P = (1, 0, 0).
(b) Encontre o ângulo que os vetores tangentes às curvas fazem no ponto de interseção P .
(5) Determine o comprimento da curva dada.
(a) α(t) =
�
t2, sen t− t cos t, cos t+ t sen t
�
, 0 ≤ t ≤ π.
(b) α(t) =
�√
2t, et, e−t
�
, 0 ≤ t ≤ 1.
(c) α(t) = (cos t, sen t, ln cos t) , 0 ≤ t ≤ π/4.
*(6) Considere a curva α : [0,+∞)→ R2 dada por
α(t) =
�
2
t2 + 1
− 1,
2t
t2 + 1
�
, t ≥ 0.
(a) Encontre a função comprimento de arco s : [0,+∞)→ R.
(b) Mostre que a expressão da curva reparametrizada pelo comprimento de arco é
α(s) = (cos s, sen s) .
*(7) Se o traço de uma curva α : (a, b)→ R3 está contido em uma esfera centrada na origem, mostre
que vetor posição α(t) e o vetor velocidade α′(t) são ortogonais para todo t ∈ (a, b).
(8) Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
(a) α(t) =
�
t2, sen t− t cos t, cos t+ t sen t
�
, t > 0.
(b) α(t) =
�
1
3
t3, t2, 2t
�
.
(c) α(t) =
�
t2, t
�
.
?(9) Seja C a curva plana determinada pelo gráfico da função f : [a, b]→ R.
(a) Encontre uma parametrização α : [a, b]→ R2 de C.
(b) Mostre que a curvatura de C no ponto α(t) é
κ(t) =
|f ′′(t)|
[1 + (f ′(t))2]
3
2
.
(10) Use o exerćıcio anterior para encontrar as curvaturas dos gráficos das funções a seguir.
(a) f(x) = 2x− x2.
(b) g(x) = cosx.
(c) h(x) = 4x
5
2 .
?(11) Seja α : [0, L] → R3 uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva C. Sendo
{T (s), N(s), B(s)}, o triedro de Frenet de C no ponto α(s), obtenha os itens a seguir.
(a) Mostre que B′(s) é perpendicular a B(s) para todo s ∈ [0, L]. (dica: derive |B(s)|2 = 1.)
(b) Mostre que B′(s) é perpendicular a T (s) para todo s ∈ [0, L]. (dica: derive B(s)·T (s) = 0.)
(c) Deduza de (a) e (b) que B′(s) = τ(s)N(s) para algum número chamado torção da curva.
(d) Mostre que se C é uma curva plana, τ(s) = 0 para todo s ∈ [0, L].
(12) Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da part́ıcula cuja
posição no tempo t é α(t).
(a) α(t) = (
√
t, 1− t) em t = 1.
(b) α(t) = (t, t2, 2) em t = 1.
(c) α(t) = (
√
2t, et, e−t).
(d) α(t) = (t2, ln t, t).
(13) Nos itens abaixo, determine os vetores velocidade e posição de uma part́ıcula, dadas a sua
aceleração, velocidade inicial e posição inicial.
(a) a(t) = (1, 2, 0), v(0) = (0, 0, 1), s(0) = (1, 0, 0).
(b) a(t) = (2, 6t, 12t2), v(0) = (1, 0, 0), s(0) = (0, 1,−1).
(14) Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
(a) α(t) = (3t− t3, 3t2, 0).
(b) α(t) = (cos t, sen t, t).
(c) α(t) = (t, cos2 t, sen 2t).