calulo I lista 10.2

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e t(t) 	 0, então a área da superfície resultante é dada por
As fórmulas simbólicas gerais S � h2py ds e S � h2px ds (Fórmulas 8.2.7 e 8.2.8, no Volu-
me I), ainda são válidas, mas para as curvas parametrizadas usamos 
Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4pr2.
SOLUÇÃO A esfera é obtida pela rotação do semicírculo 
x � r cos tMMMy � r sen t MMM0 
 t 
 p
sobre o eixo x. Portanto, da Fórmula 6, temos
� 2pr 2 yp
0
sen t dt � 2�r 2��cos t�]0
�
� 4�r 2
� 2p yp
0
r sen t � r dt� 2p yp
0
r sen t sr 2�sen2t � cos2t� dt
S � yp
0
2pr sen t s��r sen t�2 � �r cos t�2 dt
ds � ��dxdt �2 � �dydt �2 dt
S � y�
2�y��dxdt �2 � �dydt �2 dt6
EXEMPLO 6
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 589
10.2 Exercícios
;
;
;
;
;
1–2 Encontre dy/dx.
1. x � t sen t,My � t2 � t 2. x � 1/t , M
3–6 Encontre uma equação da tangente à curva no ponto corres-
pondente ao valor do parâmetro dado.
3. x � t4 � 1,My � t3 � t; Mt � � 1
4. x � t � t�1,My � 1 � t2; Mt � 1
5. x � t cos t,My � t sen t;Mt � p
6. x � cos u� sen 2u,My � sen u� cos 2u; Mu � 0
7–8 Encontre uma equação da tangente da curva num dado ponto
por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o
parâmetro primeiro.
7. x � 1 � ln t,My � t2 � 2;M(1, 3)
8. x � 1 � �–t,My � er2;M(2, e) 
9–10 Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto
dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s).
9. x � 6 sen t,My � t2 � t;M(0, 0)
10. x � cos t � cos 2t,My � sen t � sen 2t;M(�1, 1)
11–16 Encontre dy/dx e d2y/dx2. Para quais valores de t a curva é
côncava para cima?
11. x � t2 � 1,My � t2 � t 12. x � t3 � 12t,My � t2 � 1 
13. x � et,My � te�t 14. x � t2 � l,My � et � l
15. x � 2 sen t,My � 3 cos t,M0 � t � 2p
16. x � cos 2t,My � cos t,M0 � t � p
17–20 Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou
vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.
17. x � t3 � 3t,My � t2 � 3
18. x � t3 � 3t,My � t3 � 3t2
19. x � cos u,My � cos 3u
20. x � esen u,My � ecos u
21. Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais à es-
querda na curva x � t � t 6, y � e t. Então, use o cálculo para
calcular as coordenadas exatas.
22. Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo
e do ponto mais à esquerda na curva x � t 4 � 2t, y � t � t 4.
A seguir, encontre as coordenadas exatas.
23–24 Trace a curva em uma janela retangular que mostre todos os
aspectos importantes da curva.
23. x � t4 � 2t3 � 2t2,My � t3 � t 
24. x � t4 � 4t3 � 8t2,My � 2t2 � t 
25. Mostre que a curva x � cos t, y � sen t cos t tem duas tangen-
tes em (0, 0) e encontre suas equações. Esboce a curva.
26. Trace a curva x � cos t � 2 cos 2t, y � sen t � 2 sen 2t para des-
cobrir onde ela intercepta a si mesma. A seguir, encontre equa-
ções para ambas as tangentes nesse ponto.
27. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide 
x � ru � d sen u, y � r � d cos u em termos de u. (Veja o
Exercício 40, na Seção 10.1.)
y � st e�t
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
SCA
590 CÁLCULO
;
(b) Mostre que, se d � r, então a trocoide não tem uma tangente
vertical.
28. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x � a cos3u, 
y � a sen3u em termos de u. (As astroides foram exploradas
no Projeto de Laboratório.)
(b) Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical?
(c) Em que pontos a tangente tem inclinação 1 ou �1?
29. Em quais pontos na curva x � 2t3, y � 1 � 4t � t2 a reta tan-
gente tem inclinação 1?
30. Encontre as equações das tangentes à curva x � 3t2 � 1, 
y � 2t3 � 1 que passam pelo ponto (4, 3).
31. Use as equações paramétricas de uma elipse, x � a cos u, 
y � b sen u, 0 
 u 
 2p, para calcular a área delimitada por
essas curvas.
32. Calcule a área delimitada pela curva , e
pelo eixo y.
33. Encontre a área delimitada pelo eixo x e pela curva x � 1 � et, 
y � t � t2.
34. Calcule a área da região limitada pela astroide x � a cos3u, 
y � a sen3u. (As astroides foram exploradas no Projeto de La-
boratório.)
35. Encontre a área sob um arco da trocoide do Exercício 40, na
Seção 10.1, para o caso d � r.
36. Seja T a região dentro do laço da curva no Exemplo 1.
(a) Calcule a área de T.
(b) Se T girar em torno do eixo x, encontre o volume do sólido
resultante.
(c) Encontre o centroide de T.
37–40 Escreva uma integral que represente o comprimento da
curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento
com precisão de quatro casas decimais.
37. x � t � e�t,My � t � e�t,M0 
 t 
 2
38. x � t2 � t,My � t4,M1 
 t 
 4
39. x � t � 2 sen t,My � 1 � 2 cos t,M0 
 t 
 4p
40. ,M ,M0 
 t 
 1 
41–44 Calcule o comprimento da curva.
41. x � 1 � 3t2,My � 4 � 2t3,M0 
 t 
 1 
42. x � et � e�t,My � 5 � 2t,M0 
 t 
 3 
43. x � t sen t,My � t cos t,M0 
 t 
 1
44. x � 3 cos t � cos 3t,My � 3 sen t � sen 3t,M0 
 t 
 p
45–46 Trace a curva e calcule seu comprimento.
45. x � et cos t,My � et sen t,M0 
 t 
 p
46. x � cos t � ln(tg t),My � sen t,Mp/4 
 t 
 3p/4
47. Trace a curva x � sen t � sen 1,5t, y � cos t e encontre seu
comprimento correto com 4 casas decimais. 
48. Ache o comprimento do laço da curva x � 3t � t3, y � 3t2.
49. Use a Regra de Simpson com n � 6 para estimar o comprimento
da curva x � t � et , y � t � et , �6 
 t 
 6.
50. No Exercício 43, na Seção 10.1, foi pedido que você deduzisse
as equações paramétricas x � 2a cotg u, y � 2a sen2u para a
curva chamada bruxa de Maria Agnesi. Use a Regra de Simpson
com n � 4 para estimar o comprimento do arco dessa curva dada
por p/4 
 u 
 p/2.
51–52 Encontre a distância percorrida por uma partícula com posi-
ção (x, y) quando t varia em um dado intervalo de tempo. Compare
com o comprimento da curva.
51. x � sen2t,My � cos2t,M0 
 t 
 3p
52. x � cos2t,My � cos t,M0 
 t 
 4p
53. Mostre que o comprimento total da elipse x � a sen u, 
y � b cos u, a � b � 0, é
onde e é a excentricidade da elipse , com
.
54. Calcule o comprimento total da astroide x � a cos3u, y � sen3u
com a � 0.
55. (a) Trace a epitrocoide com equações 
x � 11 cos t � 4cos(11t/2) 
y � 11 sen t � 4 sen(11t/2) 
Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?
(b) Use seu SCA para calcular o comprimento aproximado dessa
curva.
56. Uma curva chamada espiral de Cornu é definida pelas equa-
ções paramétricas 
x � C(t) � h
0
t
cos(pu2/2) du 
y � S(t) � h
0
t
sen(pu2/2) du 
onde C e S são as funções de Fresnel que foram introduzidas no
Capítulo 5.
(a) Trace essa curva. O que acontece quando t m ∞ e t m�∞?
(b) Calcule o comprimento da espiral de Cornu a partir da ori-
gem até o ponto com o valor do parâmetro t.
57–60 Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela
rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para
encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.
57. x �t sen t,My � t cos t,M0 
 t 
 p/2
58. x � sen t,My � sen 2t,M0 
 t 
 p/2
59. x �1 � tet,My � (t2 � 1)et,M0 
 t 
 1 
60. x � t2 � t3,My � t � t4,M0 
 t 
 1
61–63 Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da
curva dada em torno do eixo x.
61. x � t3,My � t2,M0 
 t 
 1 
62. x � 3t � t3,My � 3t2,M0 
 t 
 1
63. x � a cos3u,My � a sen3u,M0 
 u 
 p/2 
L � 4a yp�2
0
s1 � e 2 sen2u du
(e � c�a
c � sa 2 � b 2 )
y � t � stx � t � st
y � stx � t 2 � 2t
1
2
y
x0 a_a
_a
a
SCA
SCA
;
A62 CÁLCULO
25. 27.
29.
31. (b) x � �2 � 5t, y � 7 � 8t, 0 
 t 
 1
33. (a) x � 2 cos t, y � 1 � 2 sen t, 0 
 t 
 2p
(b) x � 2 cos t, y � 1 � 2 sen t, 0 
 t 
 6p
(c) x � 2 cos t, y � 1 � 2 sen t, p/2 
 t 
 3p/2
37. A curva y � x2/3 é gerada em (a). Em (b), somente a porção com
x 	 0 é gerada, e em (c) obtemos somente a porção com x � 0.
41. x � a cos u, y � b sen u; (x2/a2) � (y2/b2) � 1, elipse
43.
45. (a) Dois pontos de intersecção
(b) Um ponto de colisão em (�3, 0) quando t � 3p/2
(c) Ainda existem dois pontos de intersecção, mas nenhum ponto de
colisão.
47. Para c � 0, existe uma cúspide; para c � 0, existe uma voltacujo
tamanho aumenta à medida que c aumenta.
49. As curvas seguem aproximadamente a reta y � x, e elas começam
tendo voltas quando a a, está entre 1,4 e 1,6 (mais precisamente quando 
a � √
–
2). As voltas aumentam de tamanho à medida que a cresce.
51. À medida que n aumenta, o número de oscilações aumenta; a e
b determinam o peso e a altura.
EXERCÍCIOS 10.2
1. 3. y � �x 5. y � px � p2
7. y � 2x � 1 
9. y � x 
11. , , t � 0 13. e�2t(1 � t), e�3t(2t � 3), t �
15. � tg t, � sec3t, p/2 � t � 3p/2
17. Horizontal em (0, �3), vertical em (� 2, �2)
19. Horizontal em ( , �1) e (� , 1), sem vertical
21. (0,6, 2); (5 � 6�6/5, e6
�1/5
)
23. 25. y � x, y � �x 
27. (a) d sen u/(r � d cos u) 29. ( , ), (�2, �4)
31. pab 33. 3 � e 35. 2pr 2 � pd 2
37. h
0
2
√
–––––
2 � 2e�2t
–––
dt � 3,1416 
39. h
0
4p
√
–––––
5 � 4 cos
––––
t dt � 26,7298 41. 4√
–
2 � 2
43. √
–
2 � ln(1 � √
–
2)
45. √
–
2 (ep �1) 
47. 16,7102
49. 612,3053 51. 6√
–
2, √
–
2
1.4
_1.4
2.1_2.1
0
y
x
7.5
�1
�8.5 3
3
0 1.5
_3
_1
0
0 1.5
1
_1
1
1
2
1
2
x
y
t=0
t= 1
2
1
1
8
0
�25 2.5
1
2
29
9
16
27
1
2
1
2
3
4
3
2
3
2
2t � 1
		
2t
1
		
4t3
1
6
20
_2
10_10
2t � 1
								
t cos t � sen t
4
�4
�6 6
y
O x
2a
π
_π
4_4
y
x
(0, _1) t=_1
(0, 1) t=1
(_1, 0)
t=0
APÊNDICES A63
55. (a) t � [0, 4p]
(b) 294 
57. h
0
p/2
2pt cos t√
–––––
t2 � 1 dt � 4,7394
59. h1
0
2p(t2 � 1)et√
–––––
e2t(t � 1)
–––––
2(t2 �
–––––
2t � 2)
––––
dt � 103,5999
61. p(247 √
––
13 � 64) 63. pa2
65. p(949 √
––
26 � 1) 71.
EXERCÍCIOS 10.3 
1. (a) (b) 
(2, 7p/3), (�2, 4p/3) (1, 5p/4), (�1, p/4) 
(c) 
(1, 3p/2), (�1, 5p/2)
3. (a) (b) 
(�1, 0) (�1, √
–
3)
(c) 
(√
–
2, �√
–
2)
5. (a) (i) (2√
–
2, 7p/4) (ii) (�2√
–
2, 3p/4) 
(b) (i) (2, 2p/3) (ii) (�2, 5p/3)
7. 9.
11.
13. 2√
–
3 15. Círculo, centro O, raio 2
17. Círculo, centro (1, 0), raio 1
19. Hipérbole, centro O, focos no eixo x
21. r � 2 cossec u 23. r � 1/(sen u� 3 cos u)
25. r � 2c cossec u 27. (a) u� p/6 (b) x � 3
29. 31.
23. 35.
37. 39.
41. 43.
45. 47.
49. 51.
O
x=1
(2, 0) (6, 0)
O 1
1
2¨=π3¨=
2π
3
(3, 0)(3, π)
O
(3, π/6)
O
(3, π/4)
1
3 4
5
6
2
¨=π3
”4, ’π6
O
¨=π6¨=
5π
6
¨=π8
(2, 0)
O
(2π, 2π)
O
(4, 0)
O
(2, 3π/2)
O
r=2
r=3
¨=7π3
¨=5π3
¨= 3π4 ¨=
π
4
OO
r=1
r=2
O
3π
4
”_2,  ’3π4
O
_2π3
”2, _ ’2π3
π
O
(1, π)
O
π
2
”_1,  ’π2
O
_3π4”1, _ ’
3π
4
O
π
3
π
3”2,  ’
1
4
24
5
6
5
2
1215
15
�15
�15 15