Cap 00

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O	exemplo	seguinte	fornece	outra	ilustração	de	como	usar	um	número	irracional	para	gerar	outro	número	irracional.
Os	problemas	nesta	seção	podem	ser	mais	difíceis	do	que	os	problemas	típicos	encontrados	no	resto	deste	livro.
Demonstre	que	 	é	um	número	irracional.
Demonstre	que	5	–	 	é	um	número	irracional.
Demonstre	que	3 	é	um	número	irracional.
Demonstre	que	 	é	um	número	irracional.
Demonstre	que	4	+	9 	é	um	número	irracional.
Explique	por	que	a	soma	de	um	número	racional	com	um	número	irracional	é	um	número	irracional.
Explique	por	que	o	produto	de	um	número	racional	não	nulo	por	um	número	irracional	é	um	número	irracional.
Suponha	que	t	seja	um	número	irracional.	Explique	por	que	 	também	é	um	número	irracional.
Dê	um	exemplo	de	dois	números	irracionais	cuja	soma	seja	um	número	irracional.
Dê	um	exemplo	de	dois	números	irracionais	cuja	soma	seja	um	número	racional.
Dê	um	exemplo	de	três	números	irracionais	cuja	soma	seja	um	número	racional.
Dê	um	exemplo	de	dois	números	irracionais	cujo	produto	seja	um	número	irracional.
Dê	um	exemplo	de	dois	números	irracionais	cujo	produto	seja	um	número	racional.
Os	exercícios	apresentados	ao	longo	deste	livro	foram	projetados	para	aperfeiçoar	suas	habilidades	à	medida	que
cobrirmos	outros	tópicos.
As	operações	de	adição,	 subtração,	multiplicação	e	divisão	estendem-se	dos	números	 racionais	para	os	números	 reais.	Podemos
adicionar,	subtrair,	multiplicar	e	dividir	quaisquer	dois	números	reais	e	permanecer	dentro	do	sistema	de	números	reais,	novamente
com	a	exceção	de	que	não	é	permitida	a	divisão	por	0.
Nesta	seção,	revisaremos	as	propriedades	algébricas	básicas	dos	números	reais.	Como	este	material	deve	ser	realmente	uma
revisão,	não	foi	feito	nenhum	esforço	no	sentido	de	demonstrar	como	algumas	dessas	propriedades	podem	ser	obtidas	a	partir	de
outras.	Em	vez	disso,	o	enfoque	desta	seção	é	destacar	propriedades-chave	que	devem	tornar-se	 tão	familiares	que	você	consiga
usá-las	confortavelmente	e	sem	nenhum	esforço.
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x2	−	4xy	+	6xz	+	4y2	−	12yz	+	9z2.
A	opção	Show	steps	não	está	disponível	para	todos	os	resultados	do	WolframAlpha.
O	 exemplo	 a	 seguir	 é	 apresentado	 principalmente	 para	mostrar	 que,	 em	 calculadoras	 simbólicas,	 à	 vezes	 precisamos	 usar
parênteses,	mesmo	quando	estes	não	aparecem	na	notação	matemática	usual.
Como	mostramos	aqui,	não	há	nenhum	problema	se,	no	WolframAlpha,	você	inserir	espaços	extra	para	facilitar	a	leitura
da	entrada.
Quase	todos	os	exercícios	nesta	seção	podem	ser	resolvidos	usando	o	WolframAlpha	ou	o	Sage,	ou	uma	calculadora	simbólica.
Entretanto,	você	vai	precisar	adquirir	as	habilidades	básicas	de	manipulação	algébrica	e	de	compreensão	necessárias	para	resolver
os	exercícios.	Muito	pouco	se	adquire	em	termos	de	habilidade	e	compreensão	apenas	olhando	como	um	equipamento	resolve	os
exercícios.
O	melhor	caminho	para	usar	o	WolframAlpha	ou	o	Sage,	ou	outra	calculadora	simbólica,	para	resolver	os	exercícios	é	testar
suas	respostas	e	fazer	experimentos	(e	brincar!),	mudando	a	entrada	para	ver	como	a	saída	varia.
Para	os	Exercícios	1–4,	determine	quantos	valores	distintos	podem	ser	obtidos	ao	inserir-se	um	par	de	parênteses	na	expressão
dada.
19	−	12	−	8	−	2
3	−	7	−	9	−	5
6	+	3	·4	+	5	·	2
5	·3	·2	+	6	·	4
Para	os	Exercícios	5–22,	expanda	a	expressão	dada.
(x	−	y)(z	+	w	−	t)
(x	+	y	−	r)(z	+	w	−	t)
(2x	+	3)2
(3b	+	5)2
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(2c	−	7)2
(4a	−	5)2
(x	+	y	+	z)2
(x	−	5y	−	3z)2
(x	+	1)(x	−	2)(x	+	3)
(y	−	2)(y	−	3)(y	+	5)
(a	+	2)(a	−	2)(a2	+	4)
(b	−	3)(b	+	3)(b2	+	9)
(t	−	2)(	t2	+	2t	+	4)
(m	−	2)(m4	+	2m3	+	4m2	+	8m	+	16)
(n	+	3)(n2	−	3n	+	9)
(y	+	2)(	y4	−	2y3	+	4y2	−	8y	+	16)
Para	os	Exercícios	23–50,	simplifique	a	expressão	dada	o	máximo	possível.
4(2m	+	3n)	+	7m
3(2m	+	4(n	+	5p)	+	6n
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Alguns	problemas	exigem	consideravelmente	mais	atenção	do	que	os	exercícios.	Diferentemente	dos	exercícios,	os	problemas
normalmente	têm	mais	de	uma	resposta	correta.
Demonstre	que	(a	+	1)2	=	a2	+	1	se	e	somente	se	a	=	0.
Explique	por	que	(a	+	b)2	=	a2	+	b2	se	e	somente	se	a	=	0	ou	b	=	0.
Demonstre	que	(a	–	1)2	=	a2	–	1	se	e	somente	se	a	=	1.
Explique	por	que	(a	–	b)2	=	a2	–	b2	se	e	somente	se	b	=	0	ou	b	=	a.
Explique	como	você	poderia	mentalmente	demonstrar	que	51	×	49	=	2499	utilizando	a	identidade	(a	+	b)	(a	–	b)	=	a2	–	b2.
Demonstre	que
							a3	+	b3	+	c3	−	3abc
												=	(a	+	b	+	c)(a2	+	b2	+	c2	−	ab	−	bc	−	ac).
Dê	um	exemplo	para	demonstrar	que	a	divisão	não	satisfaz	a	propriedade	associativa.
Suponha	que	camisas	estejam	à	venda	por	US$	19,99	cada	uma.	Explique	como	você	poderia	usar	a	propriedade	distributiva
para	calcular	mentalmente	que	seis	camisas	custam	US$	119,94.
Em	San	Francisco,	o	imposto	sobre	vendas	é	de	8,5%.	Jantares	em	San	Francisco	frequentemente	incluem	uma	gorjeta	de	17%
sobre	sua	conta	do	restaurante	antes	de	acrescentar	o	imposto,	calculada	simplesmente	pela	duplicação	do	imposto	sobre	as
vendas.	Por	exemplo,	uma	conta	de	US$	64	dólares	em	comida	e	bebida	viria	com	um	imposto	sobre	vendas	de	US$	5,44;
duplicando	essa	quantia,	 teríamos	uma	gorjeta	de	US$	10,88	(que	poderia	ser	arredondada	para	US$	11).	Explique	por	que
essa	técnica	é	uma	aplicação	da	associatividade	da	multiplicação.
Um	caminho	rápido	para	calcular	uma	gorjeta	de	15%	sobre	uma	conta	de	restaurante	é	começar	por	calcular	10%	da	conta
(deslocando	a	vírgula	decimal)	e	depois	adicionar	metade	dessa	quantia	para	obter	a	gorjeta	total.	Por	exemplo,	15%	de	uma
conta	de	restaurante	de	US$	43	é	US$	4,30	+	US$	2,15,	que	é	igual	a	US$	6,45.	Explique	por	que	essa	técnica	é	uma	aplicação
da	propriedade	distributiva.
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(b)
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Suponha	que	b	≠	0	e	d	≠	0.	Explique	por	que
	se	e	somente	se	ad	=	bc.
As	primeiras	letras	de	cada	palavra	da	sentença	em	inglês	“Please	excuse	my	dear	Aunt	Sally”	(“Por	favor,	desculpem	minha
querida	 tia	 Sally”)	 são	 usadas	 por	 algumas	 pessoas	 para	 lembrar	 da	 ordem	 das	 operações:	 parênteses,	 expoentes	 (que
discutiremos	em	um	capítulo	posterior),	multiplicação,	divisão,	adição,	subtração.	Construa	uma	sentença	atrativa	que	possa
servir	para	o	mesmo	propósito,	mas	excluindo	os	expoentes.
(a)	Dado	que
Com	base	no	exemplo	acima,	você	pode	achar	que
desde	que	nenhum	dos	denominadores	seja	igual	a	zero.	Dê	um	exemplo	para	mostrar	que	isto	não	é	verdadeiro.
Suponha	que	b	≠	0	e	d	≠	0.	Explique	por	que
Não	leia	estas	soluções	detalhadas	antes	de	tentar	resolver	você	mesmo	os	exercícios.	Caso	contrário,	você	corre	o	risco	de	imitar
as	técnicas	demonstradas	aqui	sem,	no	entanto,	compreender	as	ideias.
	
Para	os	Exercícios	1–4,	determine	quantos	valores	distintos	podem	ser	obtidos	ao	inserir-se	um	par	de	parênteses	na	expressão
dada.
19	–	12	–	8	–	2
SOLUÇÃO 	As	possibilidades	são	apresentadas	a	seguir:
19(	−12	−	8	−	2)	=	−418 19	−	(12	−	8)	−	2	=	13
19(	−12	−	8)	−	2	=	−382 19	−	(12	−	8	−	2)	=	17
19(	−12)	−	8	−	2	=	−238 19	−	12	−	8(	−2)	=	23
(19	−	12)	−	8	−	2	=	−3 19	−	12(	−8)	−	2	=	113
19	−	12	−	(8	−	2)	=	1 19	−	12(	−8	−	2)	=	139
Outras	maneiras	de	inserir	um	par	de	parênteses	levam	a	valores	que	já	estão	incluídos	na	relação	acima.	Portanto,	existem	dez
valores	possíveis;	são	eles:	–418,	–382,	–238,	–3,	1,	13,	17,	23,	113	e	139.
6	+	3	⋅	4	+	5	⋅	2
SOLUÇÃO 	As	possibilidades	são	apresentadas	a	seguir:
(6	+	3	·	4	+	5	·	2)	=	28
6	+	(3	·	4	+	5)	·	2	=	40
(6	+	3)	·	4	+	5	·	2	=	46
6	+	3	·	(4	+	5	·	2)	=	48
6	+	3	·	(4	+	5)	·	2	=	60
Outras	maneiras	de	inserir	um	par	de	parênteses	levam	a	valores	que	já	estão	incluídos	na	relação	acima.	Portanto,	existem
cinco	valores	possíveis;	são	eles:	28,	40,	46,	48	e	60.
Para	os	Exercícios	5–22,	expanda	a	expressão	dada.
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(x	−	y)(z	+	w	−	t)
SOLUÇÃO
(x	−	y)(z+	w	−	t)
																				=	x(z	+	w	−	t)	−	y(z	+	w	−	t)
																				=	xz	+	x	w	−	xt	−	yz	−	y	w	+	yt
(2x	+	3)2
A	melhor	maneira	de	aprender:	leia	cuidadosamente	a	seção	do	livro-texto,	depois	resolva	todos	os	exercícios	ímpares	e	verifique
suas	respostas	aqui.	Se	você	tiver	alguma	dificuldade	para	resolver	algum	exercício,	olhe	a	solução	detalhada	apresentada	aqui.
SOLUÇÃO
(2x	+	3)2	=	(2x)2	+	2	·	(2x)	·	3	+	32
		=	4x2	+	12x	+	9
(2c	−	7)2
SOLUÇÃO
(2c	−	7)2	=	(2c)2	−	2	·	(2c)	·	7	+	72
				=	4c2	−	28c	+	49
(	x	+	y	+	z)2
SOLUÇÃO
					(	x	+	y	+	z)2
											=	(	x	+	y	+	z)(	x	+	y	+	z)
											=	x(	x	+	y	+	z)	+	y(	x	+	y	+	z)	+	z(	x	+	y	+	z)
											=	x2+	xy	+	xz	+	yx	+	y2+	yz
															+	zx	+	zy	+	z2
											=	x2+	y2+	z2+	2xy	+	2xz	+	2yz
(	x	+	1)(	x	−	2)(	x	+	3)
SOLUÇÃO
		(	x	+	1)(	x	−	2)(	x	+	3)
							=	(	x	+	1)(	x	−	2)	(	x	+	3)
							=	(	x2	−	2x	+	x	−	2)(	x	+	3)
							=	(	x2	−	x	−	2)(	x	+3)
							=	x3	+	3x2	−	x2	−	3x	−	2x	−	6
							=	x3	+	2x2	−	5x	−	6
(	a	+	2)(	a	−	2)(a2	+	4)
SOLUÇÃO
(	a	+	2)(	a	−	2)(a2	+	4)	=	(	a	+	2)(	a	−	2)	(a2	+	4)
												=	(a2	−	4)(a2	+	4)
												=	a4	−	16
SOLUÇÃO
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(	t	−	2)(	t2	+	2t	+	4)
SOLUÇÃO
(	t	−	2)(	t2	+	2t	+	4)	=	t(	t2	+	2t	+	4)	−	2(	t2	+	2t	+	4)
							=	t3	+	2t2	+	4t	−	2t2	−	4t	−	8
							=	t3	−	8
(	n	+	3)(n2	−	3n	+	9)
SOLUÇÃO
(	n	+	3)(	n2	−	3n	+	9)
			=	n(	n2	−	3n	+	9)	+	3(	n2	−	3n	+	9)
			=	n3	−	3n2	+	9n	+	3n2	−	9n	+	27
			=	n3	+	27
Para	os	Exercícios	23–50,	simplifique	a	expressão	dada	o	máximo	possível.
4(2m	+	3n)	+	7m
SOLUÇÃO
			4(2m	+	3n)	+	7m	=	8m	+	12n	+	7m
						=	15m	+	12n
SOLUÇÃO 	
SOLUÇÃO 	
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
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∗
Efetue	|–4|	+	|4|.
Efetue	|5|	+	|–6|.
Determine	todos	os	números	cujo	valor	absoluto	é	9.
Determine	todos	os	números	cujo	valor	absoluto	é	10.
Para	os	Exercícios	5–18,	determine	todos	os	números	x	que	satisfaçam	a	equação	dada.
|2x	−	6|	=	11
|5x	+	8|	=	19
|x	−	3|	+	|	x	−	4|	=	9
|x	+	1|	+	|x	−	2|	=	7
|x	−	3|	+	|x	−	4|	=	1
|x	+	1|	+	|x	−	2|	=	3
|x	−	3|	+	|x	−	4|	=	
|x	+	1|	+	|x	−	2|	=	2
|x	+	3|	=	x	+	3
|x	−	5|	=	5	−	x
|x|	=	x	+	1
|x	+	3|	=	x	+	5
Para	os	Exercícios	19–28,	escreva	cada	uma	das	uniões	sob	a	forma	de	um	único	intervalo.
[2,	7)	∪	[5,	20)
[−8,	−3)	∪	[−6,	−1)
[−2,	8]	∪	(	−1,	4)
(−9,	−2)	∪	[−7,	−5]
(3,	∞)	∪	[2,	8]
(−∞,	4)	∪	(−2,	6]
(−∞,	−3)	∪	[−5,	∞)
(−∞,	−6]	∪	(−8,	12)
(−3,	∞)	∪	[−5,	∞)
28
29
30
31
32
33
(a)
(b)
34
(a)
(b)
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40
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44
45
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50
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54
55
(−∞,	−10]	∪	(−∞,	−8]
Apresente	quatro	exemplos	de	pares	de	números	reais	a	e	b,	tais	que	|a	+	b|	=	2	e	|a|	+	|b|	=	8.
Apresente	quatro	exemplos	de	pares	de	números	reais	a	e	b,	tais	que	|a	+	b|	=	3	e	|a|	+	|b|	=	11.
Sabe-se	que	certo	medicamento	decompõe-se	e	 torna-se	 ineficaz	se	sua	temperatura	alcançar	ou	superar	103º	Fahrenheit	(≈
39,4º	 Celsius).	 Escreva	 um	 intervalo	 para	 representar	 as	 temperaturas	 (em	 graus	 Fahrenheit)	 nas	 quais	 o	 medicamento	 é
ineficaz.
À	pressão	atmosférica	normal,	 a	 água	 ferve	em	 todas	as	 temperaturas	 iguais	 a	100º	Celsius	ou	mais	 elevadas	do	que	esta.
Escreva	um	intervalo	para	representar	as	temperaturas	(em	graus	Celsius)	nas	quais	a	água	ferve.
Um	fabricante	de	cadarços	garante	que	seus	cadarços	de	33	polegadas	(≈	84	cm)	têm	esse	comprimento	com	um	erro	máximo
de	0,1	polegada	(≈	0,25	cm).
Escreva	uma	desigualdade,	usando	valores	absolutos	e	o	comprimento	s	de	um	cadarço,	que	dê	a	condição	sob	a	qual	o
cadarço	não	satisfaz	a	garantia.
Escreva	o	conjunto	de	números	que	verificam	a	desigualdade	que	você	obteve	no	item	(a)	sob	a	forma	de	uma	união	de
dois	intervalos.
Uma	máquina	copiadora	funciona	com	papel	de	8,5	polegadas	(≈	21,5	cm)	de	largura,	desde	que	o	erro	na	largura	do	papel
seja	menor	que	0,06	polegada	(≈	0,15	cm).
Escreva	uma	desigualdade,	usando	valores	absolutos	e	a	largura	w	do	papel,	que	dê	a	condição	sob	a	qual	a	largura	do
papel	não	satisfaz	os	requisitos	da	máquina	copiadora.
Escreva	o	conjunto	de	números	que	verificam	a	desigualdade	que	você	obteve	no	item	(a)	sob	a	forma	de	uma	união	de
dois	intervalos.
Para	os	Exercícios	35–46,	escreva	cada	conjunto	como	um	intervalo	ou	uma	união	de	dois	intervalos.
{x	:	|x	−	4|	<	 }
{x	:	|x	+	2|	<	 }
{x	:	|x	+	4|	<	 }	;	aqui	 	>	0
[Matemáticos	frequentemente	usam	a	letra	grega	ε,	chamada	épsilon,	para	representar	um	número	positivo	pequeno.]
{x	:	|x	−	2|	<	 }	;	aqui	 	>	0
{y	:	|	y	−	a|	<	 }	;	aqui	 	>	0
{y	:	|	y	+	b|	<	 }	;	aqui	 	>	0
{x	:	|3x	−	2|	<	 }
{x	:	|4x	−	3|	<	 }
{x	:	|x|	>	2}
{x	:	|x|	>	9}
{x	:	|x	−	5|	≥	3}
{x	:	|x	+	6|	≥	2}
A	interseção	de	dois	conjuntos	de	números	consiste	em	todos	os	números	de	ambos	os	conjuntos.	Se	A	e	B	forem	conjuntos,	sua
interseção	é	representada	por	A	∩	B.	Nos	Exercícios	47–56,	escreva	cada	interseção	como	um	único	intervalo.
[2,	7)	∩	[5,	20)
[−8,	−3)	∩	[−6,	−1)
[−2,	8]	∩	(−1,	4)
(−9,	−2)	∩	[−7,	−5]
(3,	∞)	∩	[2,	8]
(−∞,	4)	∩	(−2,	6]
(−∞,	−3)	∩	[−5,	∞)
(−∞,	−6]	∩	(−8,	12)
(−3,	∞)	∩	[−5,	∞)
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60
61
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63
64
65
66
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(b)
68
(b)
69
(b)
70
71
72
(−∞,	−10]	∩	(−∞,	−8]
Nos	Exercícios	57–60,	determine	todos	os	números	x	que	satisfaçam	a	desigualdade	dada.
Suponha	que	a	e	b	sejam	números.	Explique	por	que	ou	a	<	b,	ou	a	=	b,	ou	a	>	b.
Demonstre	que	se	a	<	b	e	c	≤	d,	então	a	+	c	<	b	+	d.
Demonstre	que	se	b	é	um	número	positivo	e	a	<	b,	então
Em	contraste	com	o	Problema	63	da	Seção	0.2,	demonstre	que	não	existem	números	positivos	a,	b,	c	e	d	tais	que
Explique	por	que	todo	intervalo	contendo	0	contém	um	intervalo	aberto	centrado	em	0.
Apresente	um	exemplo	de	intervalo	aberto	e	um	de	intervalo	fechado	cuja	união	seja	igual	ao	intervalo	(2,	5).
(a)	Verdadeiro	ou	falso:
Se	a	<	b	e	c	<	d,	então	c	−	b	<	d	−	a.
Explique	 sua	 resposta	 ao	 item	 (a).	 Isto	 significa	 que	 se	 você	 respondeu	 que	 a	 sentença	 apresentada	 no	 item	 (a)	 é
“verdadeira”,	você	deve	explicar	por	que	c	–	b	<	d	–	a,	 sempre	que	a	<	b	 e	c	<	d;	 se	você	 respondeu	que	a	 sentença
apresentada	no	item	(a)	é	“falsa”,	então	você	deve	apresentar	um	exemplo	de	números	a,	b,	c	e	d	tais	que	a	<	b	e	c	<	d,
mas	c	–	b	≥	d	–	a.
(a)	Verdadeiro	ou	falso:
Se	a	<	b	e	c	<	d,	então	ac	<	bd.
Explique	 sua	 resposta	 ao	 item	 (a).	 Isto	 significa	 que	 se	 você	 respondeu	 que	 a	 sentença	 apresentada	 no	 item	 (a)	 é
“verdadeira”,	 você	 deve	 explicar	 por	 que	 ac	 <	 bd,	 sempre	 que	 a	 <	 b	 e	 c	 <	 d;	 se	 você	 respondeu	 que	 a	 sentença
apresentada	no	item	(a)	é	“falsa”,	então	você	deve	apresentar	um	exemplo	de	números	a,	b,	c	e	d	tais	que	a	<	b	e	c	<	d,
mas	ac	≥	bd.
(a)	Verdadeiro	ou	falso:
Se	0	<	a	<	b	e	0	<	c	<	d,	então	 .
Explique	 sua	 resposta	 ao	 item	 (a).	 Isto	 significa	 que	 se	 você	 respondeu	 que	 a	 sentença	 apresentada	 no	 item	 (a)	 é
“verdadeira”,	você	deve	explicar	por	que	 ,	sempre	que	0	<	a	<	b	e	0	<	c	<	d;	se	você	respondeu	que	a	sentença
apresentada	no	item	(a)	é	“falsa”,	então	você	deve	apresentar	um	exemplo	de	números	a,	b,	c	e	d	tais	que	0	<	a	<	b	e	0	<
c	<	d,	mas
Apresente	um	exemplo	de	intervalo	aberto	e	um	de	intervalo	fechado	cuja	interseção	seja	igual	ao	intervalo	(2,	5).
Apresente	um	exemplo	de	intervalo	aberto	e	um	de	intervalo	fechado	cuja	união	seja	igual	ao	intervalo	[–3,	7].
Apresente	um	exemplo	de	intervalo	aberto	e	um	de	intervalo	fechado	cuja	interseção	seja	igual	ao	intervalo	[–3,	7].
73
74
75
76
77
78
79
(b)
(c)
(d)
(e)
80
81
Explique	por	que	a	equação
|8x	−	3|	=	−2
não	tem	solução.
Explique	por	que
|a2|	=	a2
para	todo	número	real	a.
Explique	por	que
|ab	|	=	|a||b|
para	todos	os	números	reais	a	e	b.
Explique	por	que
|−a|	=	|a|
para	todos	os	números	reais	a.
Explique	por	que
para	todos	os	númerosreais	a	e	b	(com	b	≠	0).
Apresente	 um	 exemplo	 de	 conjunto	 de	 números	 reais	 em	 que	 a	 média	 de	 quaisquer	 dois	 números	 do	 conjunto	 está	 no
conjunto,	mas	o	conjunto	não	é	um	intervalo.
(a)	Demonstre	que,	se	a	≥	0	e	b	≥	0,	então
|a	+	b|	=	|a|	+	|b|
Demonstre	que,	se	a	≥	0	e	b	<	0,	então
|a	+	b|	≤	|a|	+	|b|
Demonstre	que,	se	a	<	0	e	b	≥	0,	então
|a	+	b|	≤	|a|	+	|b|
Demonstre	que,	se	a	<	0	e	b	<	0,	então
|a	+	b|	=	|a|	+	|b|
Explique	por	que	os	quatro	itens	anteriores	implicam	que
|a	+	b|	≤	|a|	+	|b|
para	todos	os	números	reais	a	e	b.
Demonstre	que,	se	a	e	b	forem	números	reais	tais	que
|a	+	b|	<	|a|	+	|b|,
então	ab	<	0.
Demonstre	que
||a|	−	|b|	≤	|	a	−	b|
para	todos	os	números	reais	a	e	b.
		1
		3
		5
		7
		9
11
13
Efetue	|–4|	+	|4|.
SOLUÇÃO 	|–4|	+	|4|	=	4	+	4	=	8
Determine	todos	os	números	cujo	valor	absoluto	é	9.
SOLUÇÃO 	Os	únicos	números	cujo	valor	absoluto	é	igual	a	9	são	9	e	–9.
Para	os	Exercícios	5–18,	determine	todos	os	números	x	que	satisfazem	a	equação	dada.
|2x	−	6|	=	11
SOLUÇÃO 	A	equação	|2x	–	6|	=	11	implica	que	2x	–	6	=	11	ou	2x	–6	=	–11.	Resolvendo	essas	equações	para	x,	obtém-se	
	ou	 .
SOLUÇÃO 	A	equação	 	implica	que	 	ou	 .	Resolvendo	essas	equações	para	x,	obtém-se	x	=
3	ou	x	=	 .
|x	−	3|	+	|x	−	4|	=	9
SOLUÇÃO 	Comecemos	por	considerar,	em	uma	primeira	etapa,	números	x	tais	que	x	>	4.	Nesse	caso,	temos	x	–	3	>	0	e	x	–
4	>	0,	o	que	implica	|x	–	3|	=	x	–	3	e	|x	–	4|	=	x	–	4.	Assim,	a	equação	original	torna-se
x	−	3	+	x	−	4	=	9,
que	pode	ser	reescrita	sob	a	forma	2x	–	7	=	9,	a	qual	pode	ser	facilmente	resolvida,	fornecendo	x	=	8.	Se	substituirmos	x	por	8
na	equação	original,	observamos	que	x	=	8	é	de	fato	uma	solução	(certifique-se	de	fazer	essa	verificação).
Em	uma	segunda	etapa,	consideremos	números	x	tais	que	x	<	3.	Nesse	caso,	temos	x	–	3	<	0	e	x	–	4	<	0,	o	que	implica	|x	–	3|	=
3	–	x	e	|x	–	4|	=	4	–	x.	Assim,	a	equação	original	torna-se
3	−	x	+	4	−	x	=	9,
que	pode	ser	reescrita	sob	a	forma	7	–	2x	=	9,	a	qual	pode	ser	facilmente	resolvida,	fornecendo	x	=	–1.	Se	substituirmos	x	por
–1	na	equação	original,	observamos	que	x	=	–1	é	de	fato	uma	solução	(certifique-se	de	fazer	essa	verificação).
Em	uma	terceira	etapa,	consideremos	finalmente	a	única	possibilidade	restante,	que	é	3	≤	x	≤	4.	Nesse	caso,	temos	x	–	3	≥	0	e
x	–	4	≤	0,	o	que	implica	|x	–	3|	=	x	–	3	e	|x	–	4|	=	4	–	x.	Assim,	a	equação	original	torna-se
x	−	3	+	4	−	x	=	9,
que	pode	ser	reescrita	sob	a	forma	1	=	9,	a	qual	não	é	satisfeita	por	nenhum	valor	de	x.
Então,	podemos	concluir	que	8	e	–1	são	os	únicos	valores	de	x	que	satisfazem	a	equação	original.
|x	−3|	+	|x	−4|	=	1
SOLUÇÃO 	Se	x	>	4,	então	a	distância	de	x	a	3	é	maior	que	1,	portanto	|x	–	3|	>	1,	e,	assim,	|x	–	3|	+	|x	–	4|	>	1.	Dessa	forma,
não	existe	solução	para	a	equação	acima	com	x	>	4.
Se	x	<	3,	então	a	distância	de	x	a	4	é	maior	que	1,	portanto	|x	–	4|	>	1,	e,	assim,	|x	–	3|	+	|x	–	4|	>	1.	Dessa,	não	existe	solução
para	a	equação	acima	com	x	<	3.
A	única	possibilidade	restante	é	3	≤	x	≤	4.	Nesse	caso,	temos	x	–	3	≥	0	e	x	–	4	≤	0,	o	que	implica	|x	–	3|	=	x	–	3	e	|x	–	4|	=	4	–	x,
que,	por	sua	vez,
|x	−	3|	+	|x	−	4|	=	(x	−	3)	+	(	4	−	x)	=	1.
Assim,	o	conjunto	de	números	x	tais	que	|x	–	3|	+	|x	–	4|	=	1	é	o	intervalo	[3,	4].
|x	−	3|	+	|x	−	4|	=	
SOLUÇÃO 	Como	vimos	na	resolução	do	Exercício	11,	se	x	>	4	ou	x	<	3,	tem-se	|x	–	3|	+	|x	–	4|	>	1	e,	em	particular,	|x	–	3|	+
|x	–	4|	≠	 .
Também	vimos,	na	resolução	do	Exercício	11,	que,	se	3	≤	x	≤	4,	então	|x	–	3|	+	|x	–	4|	=	1	e,	em	particular,	|x	–	3|	+	|x	–	4|	≠	 .
15
17
19
21
23
25
Assim,	não	existe	número	x	tal	que	|x	–	3|	+	|x	–	4|	=	 .
|x	+	3|	=	x	+	3
SOLUÇÃO 	Observe	que	|x	+	3|	=	x	+	3	se,	e	somente	se,	x	+	3	≥	0,	o	que	é	equivalente	a	x	≥	–3.	Dessa	forma,	o	conjunto	de
números	x	tais	que	|x	+	3|	=	x	+	3	é	o	intervalo	[–3,	∞).
|x	|	=	x	+	1
SOLUÇÃO 	Se	x	≥	0,	então	|x|	=	x,	e	a	equação	acima	torna-se	a	equação	x	=	x	+	1,	que	não	tem	solução.
Se	x	<	0,	então	|x|	=	–x,	e	a	equação	acima	torna-se	a	equação	–x	=	x	+	1,	que	tem	a	solução	x	=	– .	Substituindo	x	por	– 	na
equação	anterior,	observa-se	que	x	=	– 	é	de	fato	uma	solução	da	equação.
Assim,	o	único	número	x	que	satisfaz	|x|	=	x	+	1	é	– .
Para	os	Exercícios	19–28,	escreva	cada	união	sob	a	forma	de	um	único	intervalo.
[2,	7)	∪	[5,	20)
SOLUÇÃO 	O	 primeiro	 intervalo	 é	 o	 conjunto	 {x	 :	 2	 ≤	 x	 <	 7},	 que	 inclui	 a	 extremidade	 esquerda	 2,	mas	 não	 inclui	 a
extremidade	direita	7.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	5	≤	x	<	20},	que	inclui	a	extremidade	esquerda	5,	mas	não	inclui	a
extremidade	direita	20.	O	conjunto	dos	números	que	estão	em	no	mínimo	um	desses	conjuntos	é	igual	a	{x	:	2	≤	x	<	20},	como
mostrado	abaixo:
Assim	[2,	7)	∪	[5,	20)	=	[2,	20).
[	−2,	8]	∪	(	−1,	4)
SOLUÇÃO 	O	primeiro	 intervalo,	 [–2,	 8],	 é	 o	 conjunto	 {x	 :	 –2	≤	x	 ≤	 8},	 que	 inclui	 ambas	 as	 extremidades.	O	 segundo
intervalo	 é	 o	 conjunto	 {x	 :	 –1	<	x	 <	 4},	 que	 não	 inclui	 nenhuma	 extremidade.	O	 conjunto	 dos	 números	 que	 estão	 em	 no
mínimo	um	desses	conjuntos	é	igual	a	{x	:	–2	≤	x	≤	8},	como	mostrado	abaixo:
Assim	[	−2,	8]	∪	(	−1,	4)	=	[	−2,	8].
(3,	∞)	∪	[2,	8]
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	3	<	x},	que	não	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade
direita.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	2	≤	x	≤	8},	que	inclui	ambas	as	extremidades.	O	conjunto	dos	números	que	estão
em	no	mínimo	um	desses	conjuntos	é	igual	a	{x	:	2	≤	x},	como	mostrado	abaixo:
Assim	(3,	∞)	∪	[2,	8]	=	[2,	∞).
(	−∞,	−3)	∪	[	−5,	∞)
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	x	<	–3},	que	não	possui	extremidade	esquerda	e	não	inclui	a	extremidade
direita.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–5	≤	x},	que	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade	direita.	O
conjunto	dos	números	que	estão	em	no	mínimo	um	desses	conjuntos	é	igual	a	toda	a	reta	real,	como	mostrado	abaixo:
27
29
31
Assim	(	−∞,	−3)	∪	[	−5,	∞)	=	(	−∞,	∞).
(	−3,	∞)	∪	[	−5,	∞)
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–3	<	x},	que	não	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade
direita.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–5	≤	x},	que	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade	direita.	O
conjunto	dos	números	que	estão	em	no	mínimo	um	desses	conjuntos	é	igual	a	{x	:	–5	≤	x},	como	mostrado	abaixo:
Assim	(	−3,	∞)	∪	[	−5,	∞)	=	[	−5,	∞).
Apresente	quatro	exemplos	de	pares	de	números	reais	a	e	b,	tais	que	|a	+	b|	=	2	e	|a|	+	|b|	=	8.
SOLUÇÃO 	Primeiro,	consideremos	o	caso	em	que	a	≥	0	e	b	≥	0.	Nesse	caso,	temos	a	+	b	≥	0.	Assim,	as	equações	acima
tornam-se
a	+	b	=	2		e		a	+	b	=	8.
Não	existem	soluções	para	ambas	as	equações	acima	simultaneamente,	porque	a	+	b	não	pode	ser	simultaneamente	igual	a	2	e
a	8.
Consideremos,	agora,	o	caso	em	que	a	<	0	e	b	<	0.	Nesse	caso,	temos	a	+	b	<	0.	Assim,	as	equações	acima	tornam-se
−	a	−	b	=	2		e		−	a	−	b	=	8.
Não	existem	soluções	para	ambas	as	equações	acima	simultaneamente,	porque	–	a	–	b	não	pode	ser	simultaneamente	igual	a	2
e	a	8.
Consideremos	agora	o	caso	em	que	a	≥	0,	b	<	0	e	a	+	b	≥	0.	Nesse	caso,	as	equações	anteriores	tornam-se
a	+	b	=	2		e		a	−	b	=	8.
Resolvendo	essas	equações	para	a	e	b,	obtemos	a	=	5	e	b	=	–3.
Consideremos	agora	o	caso	em	que	a	≥	0,	b	<	0	e	a	+	b	<	0.	Nesse	caso,	as	equações	acima	tornam-se
−	a	−	b	=	2		e		a	−	b	=	8.
Resolvendo	essas	equações	para	a	e	b,	obtemos	a	=	3	e	b	=	–5.
Consideremos	agora	o	caso	em	que	a	<	0,	b	≥	0	e	a	+	b	≥	0.	Nesse	caso,	as	equações	acima	tornam-se
a	+	b	=	2		e		−	a	+	b	=	8.
Resolvendo	essas	equações	para	a	e	b,	obtemos	a	=	–3	e	b	=	5.
Consideremos	agora	o	caso	em	que	a	<	0,	b	≥	0	e	a	+	b	<	0.	Nesse	caso,	as	equações	acima	tornam-se
−	a	−	b	=	2		e		−	a	+	b	=	8.
Resolvendo	essas	equações	para	a	e	b,	obtemos	a	=	–5	e	b	=	3.
Neste	momento	completamos	as	considerações	de	todos	os	casos	possíveis.	Assim,	as	únicas	soluções	possíveis	são	a	=	5,	b	=
–3,	ou	a	=	3,	b	=	–5,	ou	a	=	–3,	b	=	5,	ou	a	=	–5,	b	=	3.
Sabe-se	que	certo	medicamento	decompõe-see	 torna-se	ineficaz	se	sua	temperatura	alcançar	ou	superar	103o	Fahrenheit	 (≈
39,4	oC).	Escreva	um	intervalo	para	representar	as	temperaturas	(em	graus	Fahrenheit)	nas	quais	o	medicamento	é	ineficaz.
SOLUÇÃO 	O	medicamento	 é	 ineficaz	 em	 todas	 as	 temperaturas	 igual	 ou	 superiores	 a	 103o	 Fahrenheit	 (≈	 39,4	 oC),	 que
33
(a)
(b)
(a)
(b)
35
37
39
41
corresponde	ao	intervalo	[103,	∞).
Um	fabricante	de	cadarços	garante	que	seus	cadarços	de	33	polegadas	(≈	84	cm)	têm	esse	comprimento	com	um	erro	máximo
de	0,1	polegada	(≈	0,25	cm).
Escreva	uma	desigualdade,	usando	valores	absolutos	e	o	comprimento	s	de	um	cadarço,	que	dê	a	condição	sob	a	qual	o
cadarço	não	satisfaz	a	garantia.
Escreva	o	conjunto	de	números	que	verificam	a	desigualdade	que	você	obteve	no	item	(a)	sob	a	forma	de	uma	união	de
dois	intervalos.
SOLUÇÃO
O	erro	no	comprimento	do	cadarço	é	|s	–	33|.	Assim,	um	cadarço	de	comprimento	s	não	satisfaz	a	garantia	se	|s	–	33|	>
0,1.
Como	33	–	0,1	=	32,9	e	33	+	0,1	=	33,1,	o	conjunto	dos	números	s	tais	que	|s	–	33|	>	0,1	é	(–∞,	32,9)	(33,1,	∞).
Para	os	Exercícios	35–46,	escreva	cada	conjunto	como	um	intervalo	ou	uma	união	de	dois	intervalos.
{	x	:	|	x	−	4|	<	 }
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	|x	–	4|	<	 	é	equivalente	à	desigualdade
Adicionando-se	4	a	todas	as	partes	dessa	desigualdade,	obtemos
que	é	equivalente	a
Assim	
{	x	:	|x	+	4|	<	 }	;	aqui	 	>	0
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	|x	+	4|	<	 	é	equivalente	à	desigualdade
Adicionando-se	–4	a	todas	as	partes	dessa	desigualdade,	obtemos
Assim	
{	y	:	|	y	−	a|	<	 }	;	aqui	 	>	0
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	|y	–	a|	<	ε	é	equivalente	à	desigualdade
− 	<	y	−	a	 	 .
Adicionando-se	a	a	todas	as	partes	dessa	desigualdade,	obtemos
a	−	 	<	y	<	a	+	 .
Assim	{	y	:	|	y	−	a|	<	 }	=	(	a	−	 ,	a	+	 ).
{	x	:	|3x	−	2|	<	 }
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	|3x	–	2|	<	 	é	equivalente	à	desigualdade
Adicionando-se	2	a	todas	as	partes	dessa	desigualdade,	obtemos
43
45
47
49
51
53
Agora,	dividindo-se	todas	as	partes	dessa	desigualdade	por	3,	chega-se	a
Assim	
{	x	:	|	x|	>	2}
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	|x|	>	2	significa	x	>	2	ou	x	<	–	2.	Assim,	{x	:	|x|	>	2}	=	(–∞,	–2)	(2,	∞).
{	x	:	|	x	−	5|	≥	3}
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	|x	–	5|	≥	3	significa	que	x	–	5	≥	3	ou	x	–	5	≤	–	3.	Adicionando-se	5	a	ambos	os	lados	dessas
desigualdades,	vemos	que	x	≥	8	ou	x	≤	2.	Assim,	{x	:	|x	–	5|	≥	3}	=	(–∞,	2]	∪	[8,	∞).
A	interseção	de	dois	conjuntos	de	números	consiste	em	todos	os	números	de	ambos	os	conjuntos.	Se	A	e	B	forem	conjuntos,	sua
interseção	é	representada	por	A	∩	B.	Nos	Exercícios	47–56,	escreva	cada	interseção	como	um	único	intervalo.
[2,	7)	∩	[5,	20)
SOLUÇÃO 	O	 primeiro	 intervalo	 é	 o	 conjunto	 {x	 :	 2	 ≤	 x	 <	 7},	 que	 inclui	 a	 extremidade	 esquerda	 2,	mas	 não	 inclui	 a
extremidade	direita	7.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	5	≤	x	<	20},	que	inclui	a	extremidade	esquerda	5,	mas	não	inclui	a
extremidade	direita	20.	O	conjunto	dos	números	que	estão	em	ambos	os	conjuntos	é	igual	a	{x	:	5	≤	x	<	7},	como	mostrado
abaixo:
Assim	[2,	7)	∩	[5,	20)	=	[5,	7).
[	−2,	8]	∩	(	−1,	4)
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–2	≤	x	≤	8},	que	inclui	ambas	as	extremidades.	O	segundo	intervalo	é	o
conjunto	{x	:	–1	<	x	<	4},	que	não	inclui	nenhuma	extremidade.	O	conjunto	dos	números	que	estão	em	ambos	os	conjuntos	é
igual	a	{x	:	–1	<	x	<	4},	como	mostrado	abaixo:
Assim	[	−2,	8]	∩	(	−1,	4)	=	(	−1,	4).
(3,	∞)	∩	[2,	8]
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	3	<	x},	que	não	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade
direita.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	2	≤	x	≤	8},	que	inclui	ambas	as	extremidades.	O	conjunto	dos	números	que	estão
em	ambos	os	conjuntos	é	igual	a	{x	:	3	<	x	≤	8},	como	mostrado	abaixo:
Assim	(3,	∞)	∩	[2,	8]	=	(3,	8].
(	−∞,	−3)	∩	[	−5,	∞)
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	x	<	–3},	que	não	possui	extremidade	esquerda	e	não	inclui	a	extremidade
direita.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–5	≤	x},	que	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade	direita.	O
conjunto	dos	números	que	estão	em	ambos	os	conjuntos	é	igual	a	{x	:	–5	≤	x	<	–3},	como	mostrado	abaixo:
55
57
59
Assim	(	−∞,	−3)	∩	[	−5,	∞)	=	[	−5,	−3).
(	−3,	∞)	∩	[	−5,	∞)
SOLUÇÃO 	O	primeiro	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–3	<	x},	que	não	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade
direita.	O	segundo	intervalo	é	o	conjunto	{x	:	–5	≤	x},	que	inclui	a	extremidade	esquerda	e	não	possui	extremidade	direita.	O
conjunto	dos	números	que	estão	em	ambos	os	conjuntos	é	igual	a	{x	:	–3	<	x},	como	mostrado	abaixo:
Assim	(	−3,	∞)	∩	[	−5,	∞)	=	(	−3,	∞).
Nos	Exercícios	57–60,	determine	todos	os	números	x	que	satisfaçam	a	desigualdade	dada.
SOLUÇÃO 	Comecemos	 por	 considerar	 o	 caso	 em	que	 x	 –	 3	 é	 positivo;	 assim	 x	 >	 3.	Multiplicando	 ambos	 os	 lados	 da
desigualdade	acima	por	x	–	3,	obtemos	a	desigualdade	equivalente
2x	+	1	<	4x	−	12.
Subtraindo-se	2x	e	depois	adicionando-se	12	a	ambos	os	lados,	obtemos	a	desigualdade	equivalente	13	<	2x,	que	é	equivalente
à	desigualdade	x	>	 .	Se	x	>	 ,	então	x	>	3,	que	é	o	caso	em	consideração.	Portanto,	a	desigualdade	original	é	válida	se	x	>	
.
Consideremos	agora	o	caso	em	que	x	–	3	é	negativo;	assim	x	<	3.	Multiplicando-se	ambos	os	lados	da	desigualdade	original
por	x	–	3	(e	revertendo	o	sentido	da	desigualdade),	obtemos	a	desigualdade	equivalente
2x	+	1	>	4x	−	12.
Subtraindo	2x	e	depois	adicionando	12	a	ambos	os	lados,	obtemos	a	desigualdade	equivalente	13	>	2x,	que	é	equivalente	à
desigualdade	 x	 <	 .	 Estamos	 trabalhando	 agora	 sob	 a	 suposição	 de	 que	 x	 <	 3.	 Como	 3	 <	 ,	 vemos	 que	 nesse	 caso,	 a
desigualdade	original	é	válida	se	x	<	3.
Conclusão:	A	desigualdade	acima	vale	se	x	<	3	ou	x	>	 ;	em	outras	palavras,	a	desigualdade	vale	para	todos	os	números	x	em
(–∞,	3)	( ,	∞).
SOLUÇÃO 	A	desigualdade	acima	é	equivalente	a
Comecemos	por	considerar	o	caso	em	que	x	+	2	é	positivo;	assim,	x	>	–2.	Multiplicando	todas	as	três	partes	da	desigualdade
anterior	por	x	+	2,	obtemos:
−	x	−	2	<	5x	−	3	<	x	+	2.
Escrevendo	as	condições	acima	sob	a	forma	de	duas	desigualdades	separadas,	temos
−	x	−	2	<	5x	−3	e	5x	−	3	<	x	+	2.
Adicionando-se	x	e	depois	3	a	ambos	os	lados	da	primeira	desigualdade	acima,	chega-se	a	1	<	6x,	ou,	equivalentemente,	 	<	x.
Adicionando-se	–	x	e	depois	3	a	ambos	os	lados	da	segunda	desigualdade	acima,	chega-se	a	4x	<	5,	ou,	equivalentemente,	x	<	
■
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■
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■
■
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		1
		2
		3
		4
		5
		6
		7
		8
		9
10
11
12
.	Assim,	as	duas	desigualdades	acima	são	equivalentes	às	desigualdades	 	<	x	<	 ,	que	é	equivalente	à	afirmação	de	que	x
está	no	 intervalo	 .	Trabalhamos	com	a	suposição	de	que	x	>	–2,	que	de	 fato	se	verifica	para	 todos	os	x	no	 intervalo	
.
Consideremos	agora	o	caso	em	que	x	+	2	é	negativo;	assim,	x	<	–2.	Multiplicando-se	todas	as	três	partes	da	desigualdade	(∗)
por	x	+	2	(e	revertendo	o	sentido	das	desigualdades),	obtemos
−	x	−	2	>	5x	−	3	>	x	+	2.
Escrevendo	as	condições	acima	sob	a	forma	de	duas	desigualdades	separadas,	temos
−	x	−	2	>	5x	−	3		e		5x	−	3	>	x	+	2.
Adicionando-se	–	x	e	depois	3	à	segunda	desigualdade,	chega-se	a	4x	>	5,	ou,	equivalentemente,	x	>	 ,	o	que	é	inconsistente
com	nossa	suposição	de	que	x	<	–2.	Então,	sob	essa	suposição,	não	existem	valores	de	x	que	satisfaçam	a	desigualdade.
Conclusão:	A	desigualdade	original	vale	para	todos	os	números	x	no	intervalo	 .
Para	certificar-se	de	que	você	está	dominando	os	conceitos	e	as	habilidades	mais	importantes	cobertas	neste	capítulo,	assegure-se
de	que	você	consegue	executar	cada	um	dos	itens	da	seguinte	lista:
	
Explicar	a	correspondência	entre	o	sistema	de	números	reais	e	a	reta	real.
Simplificar	expressões	algébricas	usando	as	propriedades	comutativa,	associativa	e	distributiva.
Listar	a	ordem	das	operações	algébricas.
Explicar	como	usar	os	parênteses	para	alterar	a	ordem	das	operações	algébricas.
Usar	as	identidades	envolvendo	inversos	aditivos	e	inversos	multiplicativos.
Manipular	desigualdades.
Usar	a	notação	de	intervalos	paraintervalos	abertos,	intervalos	fechados	e	intervalos	semiabertos.
Usar	a	notação	de	intervalos	envolvendo	–∞	e	∞,	com	a	compreensão	de	que	–∞	e	∞	não	são	números	reais.
Escrever	desigualdades	envolvendo	valor	absoluto	sem	usar	valor	absoluto.
Calcular	a	união	de	intervalos.
	
Para	 revisar	 o	 capítulo,	 percorra	 a	 lista	 acima	 procurando	 identificar	 itens	 que	 você	 não	 sabe	 como	 executar,	 depois	 releia	 o
material	a	respeito	desses	itens.	A	seguir,	tente	responder	as	questões	de	revisão	do	capítulo,	formuladas	abaixo,	sem	olhar	o	texto.
Explique	como	os	pontos	sobre	a	reta	real	correspondem	ao	conjunto	dos	números	reais.
Mostre	que	7	–	6	 	é	um	número	irracional.
O	que	é	a	propriedade	comutativa	para	a	adição?
O	que	é	a	propriedade	comutativa	para	a	multiplicação?
O	que	é	a	propriedade	associativa	para	a	adição?
O	que	é	a	propriedade	associativa	para	a	multiplicação?
Expanda	(t	+	w)2.
Expanda	(u	–	v)2.
Expanda	(x	–	y)	(x	+	y).
Expanda	(a	+	b)	(x	–	y	–	z).
Expanda	(a	+	b	–	c)2.
Simplifique	a	expressão	 .
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Determine	todos	os	números	reais	x	tais	que	|3x	–	4|	=	5.
Apresente	um	exemplo	de	dois	números	x	e	y	tais	que	|x	+	y|	não	seja	igual	a	|x|	+	|y|.
Suponha	0	<	a	<	b	e	0	<	c	<	d.	Explique	por	que	ac	<	bd.
Escreva	o	conjunto	{t	:	|t	–	3|	<	 }	sob	a	forma	de	um	intervalo.
Escreva	o	conjunto	{w	:	|5w	+	2|	<	 }	sob	a	forma	de	um	intervalo.
Explique	por	que	os	conjuntos	{x	:	|8x	–	5|	<	2}	e	{t	:	|5	–	8t|	<	2}	são	o	mesmo	conjunto.
Escreva	[–5,	6]	∪	[–	1,	9)	sob	a	forma	de	um	intervalo.
Escreva	(–	∞,	4]	∪	(3,	8]	sob	a	forma	de	um	intervalo.
Determine	dois	intervalos	distintos	cuja	união	é	o	intervalo	(1,	4].
Explique	por	que	[7,	∞)	não	é	um	intervalo	de	números	reais.
Escreva	o	conjunto	{t	:	|2t	+	7|	≥	5}	sob	a	forma	de	uma	união	entre	dois	intervalos.
Suponha	que	no	dia	22	de	junho	você	tenha	colocado	US$	5,21	em	um	frasco.	Depois,	você	adicionou	um	penny	(um	centavo
de	dólar)	a	cada	dia,	até	que	o	frasco	contivesse	US$	5,95.	O	conjunto	{5,21,	5,22,	5,23,	 ...	 ,	5,95}	de	todas	as	quantias	de
dinheiro	(contado	em	dólares)	que	estiveram	no	frasco	durante	o	verão	(dos	EUA),	é	um	intervalo?	Explique	a	sua	resposta.
O	conjunto	de	todos	os	números	reais	x	tais	que	x2	>	3	é	um	intervalo?	Explique	sua	resposta.
Determine	todos	os	números	x	tais	que	 .