Cálculo de Derivadas e Funções

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Sistemas de Informação 
 
Lista de Exercícios 1I - DERIVADAS 
 
1. Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
a) xxy 42  R: 42  x
dx
dy
 
b)  
2
2
x
xf  R:  
3
4
x
xf  
c) 
2
3
2
3 xx
y  R:  1
2
3 2  x
dx
dy
 
d) 3 xy  R: 
3 23
1
xdx
dy  
e)    16
1
3 

  x
x
xxf R: 
 
3
1
36
2

x
x
dx
xdf
 
f) x
ba
x
ba
x
y  25
 R: 1
25 4 
ba
x
ba
x
dx
dy
 
g) 
 
2
3
31
x
x
y
 R: 
   
25
2
2
113
x
xx
dx
dy  
h)   2312  xxxy R:  192 2  xx
dx
dy
 
i) 
22
42
xb
x
y  R: 
  222
52324
xb
xbx
dx
dy

 
j) 
xa
xa
y 
 R:  22
xa
a
dx
dy

 
k) 
3





xa
xa
y R: 
  4
26
xa
xaa
dx
dy

 
l) 
x
x
y 

1
1
 R:   211
1
xxdx
dy
 
m)  331 xy  R: 
 
32
2
3 1
x
x
dx
dy  
n) 
2
2
1
12
xx
x
y 
 R:  322
2
1
41
xx
x
dx
dy

 
o)  522 axy  R:  42210 axx
dx
dy  
 
2. Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. 
a) f(r) = r² 
b) f(x) = 14 – 1/2 x –3 
c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4) 
d) f(x) = 7(ax² + bx + c) 
e) f(t) = 
1
15²3


t
tt
 
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f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s) 
g) f(t) = 
2
²2


t
t
 
h) 
64
2
2
1
)(
xx
xf  
 
3. Calcular a derivada. 
a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10 
b) f(x) = 3 )²26²3(  xx 
c) f(x) = 13
)13(2
²7
5
 x
x
x
 
d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7 
e) f(x) = xx
x
b
a
6²3
3
 
f) f(s) = (a + bs)In(a + bs) 
g) f(x) = sen³ (3x² + 6x) 
h) f(t) = 
1
1


t
t
e
e
 
i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx 
j) f(x) = sen² x + cos² x 
k) f(x) = e2x cos 3x 
l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2) 
m) f(x) = log2 (3x – cos 2x) 
n) f(t) = e2 cos 2t 
 
4. Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) y = 3x4 – 2x; n = 5 
b) y = 1/ex; n = 4 
 
5. Calcule as derivadas abaixo através da definição 
   
Δx
xfΔxxf
lim 00
0Δx

 . 
a) 23)(  xxf f)   xxf 25 
b) 241)( xxf  g)   32  xxf , no ponto x = 2 
c) 
2
1
)( 
x
xf h)   xxxf 22  , no ponto x = 3 
d) 12)( 2  xxxf i)   3xxf  
e)   34  xxf 
 
 
b) 
   
Δx
xfΔxxf
lim 00
0Δx

 
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RESOLUÇÃO 
24x1y  ..............................................................1 
 2Δxx41Δyy  
 22 Δx4Δx8x4x1Δyy  ............................2 
 2 − 1  2Δx4Δx8xΔy  
Δx48x
Δx
Δy  
8x
dx
dy
Δx
Δy
lim
dx
dy
0Δx
  
 
Respostas: 
a) 3 b) − 8x c)  22
1


x
 d) 4x – 1 e) 4 f) –2 g) 4 h) 8 i) 3x2 
 
6. Utilize a definição de derivada 
   
.lim
0
0
00 xx
xfxf
xx 

 nas atividades abaixo: 
a) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0 = 5. 
b) Determine a derivada de f(x) = −3x + 2 no ponto x0 = 2. 
 
RESOLUÇÃO 
 
   
0
0
xx xx
xfxf
lim
0 

 ......................................................α 
  23xxf  ..............................................................1   4223xf2x 00  ..................................2 
 1 – 2 em α 
    
2x
63x
lim
2x
423x
lim
xx
xfxf
lim
Δx
Δy
limy'
2x2x
0
0
xxxx 000000 


  
 
33lim
2x
2x3
lim
2x2x 00

  
 
c) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3. 
d) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0. 
e) Determine a derivada de f(x) = 
3 x no ponto x0 = 0. 
 
7. Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
4)() 0
2  xparaxxfa 
332)() 0  xparaxxfb 
13)() 0  xparaxxfc 
23)() 0
2  xparaxxxfd 
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04)() 0
2  xparaxxfe 
04965)() 0
234  xparaxxxxxff 
2
1
)() 0  xpara
x
xfg 
643)()
5
5
935
)()
0
2
02
2



xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
 
 
Respostas: 
a) 8 b) 2 c) -3 d) 1 e) 0 f) 9 g) -1/4 h) 14/45 i) 9 
 
A equação da reta tangente é dada por:  o0 xxmyy  
 
8. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de 
abscissa x0 = 0. 
RESOLUÇÃO  
   
 
  3xyx3y0x13y
33xxxfy0x
10f'13xxf'm
xxmyy
3
000
2
o0




 
 
9. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, 
f(1)). 
 
10. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja 
paralela à reta y = 8x + 3. 
 
11. Encontre a reta tangente à curva 
x
x
y 

3
6
 no ponto  2,0P 
 
12. Encontre a reta tangente à curva 
2
2
2 24 

 
x
xx
no ponto  4,1P 
 
13. Obter a derivada da função 35 23  xxy em um ponto genérico. 
 
14. Obter a derivada da função  22 32  xy no ponto  1,1P 
 
15. Obter a derivada da função 
22 axy  em um ponto genérico. 
 
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16. Obter a derivada da função     2
1
1
1
1  v
v
vf no ponto  1,2P 
 
Aplicações da Derivada (Taxas de variação ou taxas relacionadas) 
 
17. Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com uma velocidade 
inicial de 64 m/s. Se o sentido positivo da distância do ponto de partida for para cima, 
a equação do movimento será dada pela expressão: 
tts 6416 2  
a) Determine a equação da velocidade 
b) Determine o valor da aceleração 
c) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? 
d) Qual a altura máxima atingida pela bola? 
RESOLUÇÃO 
a) 6432t
dt
ds
V  
b) 2
2
2
m/s 32
dt
sd a 
c) Quando a bola atinge o seu ponto mais alto, a velocidade é igual a zero. 
s 2t06432t  
d) Em t = 2 s a bola terá atingido a altura máxima. 
   
m 64s
12816s
264216s
64t16ts
2
2




 
 
R: b) -32m/s2 c) 2 s d) 64 m 
 
18. Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado 
em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores 
indicados: 
a)   1102 2  tttS Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
b)   tttS 32  Determine a velocidade no instante t = 2 s. 
c)   1223  ttttS Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t 
= 2 s. 
 
19. O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a 
função horária: 
s = f(t) = t2 + 2t – 3 
sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a 
velocidade no instante t0 = 2 s. 
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20. Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a 
distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h. 
 
21. Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade 
obedece à função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s) 
 
22. Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável 
segundo a expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo). 
 
23. O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = −x2 
+ 14x − 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja 
máximo? R: 7 peças 
Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo 
quando a derivada y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. 
 
24. Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam 
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em 
dias a partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente, dado por: 
3
64)(
3t
ttf  
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
RESOLUÇÃO 
a) 481664(4)f't64(t)f' 2 Logo, no tempo t=4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. 
b) 06464(8)f't64(t)f' 2  
 Portanto, no tempo t=8 a epidemia está totalmente controlada. 
c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia corresponde à variação de 
t de 4 para 5. 
43
3
64
256
3
125
320
3
4
64.4
3
5
64.5f(4)f(5)
33 

 

  
 
R: 48 pessoas/dia b) a epidemia está totalmente controlada c) ≈ pessoas 
 
25. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 
8 cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve 
tiver 4 cm de diâametro. R: min
2
1
cm/ 
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3
3
4
rV  
Derivando o volume com respeito ao tempo: 
dt
dr
. rπ 
dt
dV 23
3
4 
Substituindo dv/dt = 8 cm3/min e D = 4 cm → r = 2 cm :   min
2
1
23
3
4
8 2 cm
dt
dr
dt
dr
. π  
 
26. Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior for de 6 cm, ela 
pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de ¼ cm3/min. Ache a taxa segundo a 
qual o raio estará variando, quando o raio for de 2 cm. R: min
64
1
cm/ 
 
27. Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 
6m3/min. A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m. Ache a velocidade 
com que o nível de água está baixando, quando a água tiver uma profundidade de 10 
m. R: min
25
6
m/ 
Volume de um cone 
hrVhAV base  2
  
Agora, derivando a função em relação a t: 
dx
dh
lh
dx
dV
l
dx
dh
h
dx
dV  2
2
1
 
 
28. Um cocho tem 360 cm de comprimento e seus extremos têm a forma de triângulos 
isósceles invertidos, com 90 cm de altura e 90 cm de base. A água está fluindo no 
cocho a uma taxa de 60cm3/min. Com que velocidade estará se elevando o nível da 
água quando a profundidade for de 30 cm? R: 1/180 cm/min 
Volume de um prisma triangular 
lhVlhhVlbhVlAV base 

 2
2
1
2
1
2
1
 
Agora, derivando a função em relação a x: 
dx
dh
lh
dx
dV
l
dx
dh
h
dx
dV  2
2
1
 
 Substituindo os valores: dV/dx = 60 cm3/min; h = 30 cm; l = 360 cm. 
min/
180
1
10800
60
10800603603060 cm
dx
dh
dx
dh
dx
dh
dx
dh
lh
dx
dV
  
 
29. Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma criança está empinando-a de tal 
forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver 
esticada, com que velocidade a linha estará sendo dada, quando o comprimento da 
linha desenrolada for de 50 m? R: 9/5 m/s 
A pipa sempre ficará a 40m de altura então, pelo teorema de Pitagoras podemos escrever: 
222 40 xs  
Onde: 
 s = comprimento da corda 
 x = distância horizontal da pipa à criança. 
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 Derivando ambos membros 
dt
dx
x
dt
ds
s  22 
No instante analizado s = 50 m e → 502 = 402 +x2 → x = 30 m 
sm
dt
ds
dt
ds
dt
ds
/
5
9
953302502  
 
30. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando 
o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s 
atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em 
ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um 
do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento? R: 14 m/s 
Seja x a distância do carro ao cruzamento e y a distância do caminhão ao cruzamento e t = 0 o momento 
em que o caminhaõ passa pelo cruzamento. Seja z a distância entre o carro e o caminhão. 
No tempo t=0, a distância z=120 m. No tempo t qualquer: 
222 yxz  
Mas x=120-30.t e y=40.t, portanto: 
 
z=√[( -30t)²+(40t)²] 
 
z=√( 44 -7200t+2500t²) 
 
v=dz/dt=(1/2)(-7200+5000t)/z 
 
Para t=2 seg: 
 
z=100 m 
 
v=2800/(2.100)=14 m/s 
 
Resposta:....14 m/s 
 
31. Uma corda está amarrada em um barco no nível da água e uma mulher em um cais 
puxa a corda a uma taxa de 15 m/min. Se as mãos da mulher estão a 5 m acima do 
nível da água, com que velocidade o bote estará se aproximando do cais, quando o 
comprimento da corda que resta é de 6 m? R: min
11
90
m/ 
Seja s o comprimento da corda, x a distância do barco ao cais e seja y a altura do nível da água até as 
mãos da mulher. Aplicando Pitágoras, temos: 
222 5 sx  
Derivando a expressão acima em relação ao tempo, temos: 
dt
ds
s
dt
dx
x  22 
mx
ms
mdtds
 
 
 
11253656
6
min/15
22 


 
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1562112 
dt
dx
 
 
32. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada 
for empurrado horizontalmente em direção à parede a 1,5 m/s, com que velocidade o 
topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da 
parede? R: 0,447 m/s 
Seja x a distância do pé da escada à parede e seja y a altura da parte suoerior da escada. Aplicando 
Pitágoras, temos: 
222 7 yx 
Derivando a expressão acima em relação ao tempo, temos: 
0022 
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dy
y
dt
dx
x 
Ora, dx/dt nada mais é do que a velocidade de afastamento do pé da escada da parede, assim como 
dy/dt é a velocidade de subida da parte superior da escada. Assim, temos: 
my
mx
smdydx
 
 
 
5327
2
/5,1
22 


 
Substituindo os dados 
      sm
dt
dy
dt
dy
dt
dy
dt
dy
dt
dy
y
dt
dx
x /
5
5
5
1
153530535,120 
 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
ky  → 0'y 
axy  → ay ' 
baxy  → ay ' 
n
n
xy
uy


 → 1
1 '.




n
n
nxy
unuy
 
uky . → '.' uky  
vuy  → ''' vuy  
v
u
y
vuy

 .
 → 
2
''
'
'.'.'
v
uvvu
y
vuvuy


 
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k
u
uy
ay


 → 
k k
u
uk
u
y
uaay
1
'
'
'ln'

 
 
ay
uy
uy
x
a
log
ln
log



 → 
x
a
y
u
u
y
au
u
y
ln
ln
'
'
'
ln
'
'



 
uy cos → '.' uuseny  
useny  → u. u'y cos' 
utgy  → u. u'y 2sec' 
uctgy  → u'utgu.y .sec'  
uy sec → u'utgu.y .sec'  
uecy cos → u'ugu.cy .cotcos'  
usenarcy  → 21
'
'
u
u
y  
uarcy cos → 21
'
'
u
u
y  
utgarcy  → 21
'
'
u
u
y  
ugarcy cot → 21
'
'
u
u
y  
uarcy sec → 
1
'
'
2 
uu
u
y 
uecarcy cos → 
1
'
'
2 
uu
u
y 
vuy  → vuuuvy' vv
 .ln.. 1  