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Números Reais
Filipe Andrade da Costa
RECIFE
2020
2
Sumário
1 Introdução. 9
2 Números Naturais. 11
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Fundamentos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Conjunto dos Naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Operações nos Naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Demonstrações das propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 (Tricotomia da soma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 Princípio da Indução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Números Inteiros. 41
3.1 Algoritmo da divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Números Racionais 51
4.1 Distância entre racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Ordem nos Racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3
4 SUMÁRIO
4.2 Expansão decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Números Irracionais. 69
5.1 Conjuntos mensuráveis e imensuráveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Racionalização de expressões envolvendo irracionais. . . . . . . . . . . . 73
6 Números Reais 77
6.0.1 Operações via representação decimal. . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.0.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1 Representação geométrica dos Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Equações e Inequações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.1 Expressões e equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.2 Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Cotas, supremo e ín�mo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Exercícios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Axioma do supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Conjuntos Finitos e In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5.1 Conjuntos �nitos e in�nitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.6 Enumerabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Trigonometria 121
7.1 Ângulos e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . 123
SUMÁRIO 5
7.2.1 Ângulos notáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3 Trigonometria na circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3.1 Relação entre os quadrantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4 seno, cosseno e tangente da soma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.5 Equações e inequações trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.5.1 Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5.2 Inequações trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.6 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8 Números Complexo 145
8.1 De�nição dos Complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.1.1 Unidade imaginária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3 Forma Polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3.1 Exercícios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3.2 Potenciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3.4 Radiciação: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Referências 159
6 SUMÁRIO
Apresentação
Os objetivos dessas notas de aula é servir de material para estudo dos estudantes
do curso de Números da Universidade Federal Rural de Pernambuco, tal material será
melhorado sempre que possível, trazendo novas observações sobre os temas abordados,
assim como exemplos e exercícios, além claro de modi�cações mais profundas se forem
necessárias ou em vista da melhor compreensão dos temas.
Basicamente o que teremos é uma versão mais completa dos slides vistos em aula,
contando com mais exercício e exemplos, assim como demonstrações dos resultados.
Alguns resultados serão demonstrados de forma completa ou simpli�cada no �nal de
seções, e assim faremos para alguns dos resultados que achamos interessantes serem
conhecidos, mas que estão fora do escopo principal da presente disciplina, mas que
deixaremos ao �m para aqueles que possam ter a curiosidade de vê-las.
Filipe Andrade da Costa.
7
8 SUMÁRIO
Capítulo 1
Introdução.
A disciplina de Números tem por objetivo fazermos uma grande revisão, e durante
esse processo um aprofundamento de temas que já temos familiaridade que são os con-
juntos numéricos, a saber N, Z, Q e R1. Com o aprofundamento sobre tais conjuntos
aproveitamos para fazer a introdução da matemática além das "contas", da matemá-
tica na sua versão mais completa que é através do método que faz dela uma ciência
tão diferente da demais, que é o método dedutivo. Começamos falando bem super-
�cialmente de tal método, mas é ele que faz da matemática ser o que ela é. E para
tanto apresentamos as demonstração de muitos resultados que desde cedo conhecemos,
mas que em algum momento podiamos ter nos perguntado, mas por que isso é assim
e não de outra forma? As demonstrações são o que poderiamos chamar de forma mais
informal de justi�cativas para aquelas a�rmações, ou para aquelas propriedades que
vimos e tanto usamos nas nossas contas.
Tentaremos nessas notas ser o mais claro possível em cada passo que �zermos, o
que em algum momento pode parecer meio cansativo para alguns, principalemente
aqueles que já possuem tais conhecimentos, mas o objetivo é ajudar a deixar o mais
destrinchado possível cada passagem, o que por sua vez tornará o texto mais longo do
que no geral poderiamos encontrar.
1Os conjuntos dos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais.
9
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO.
Capítulo 2
Números Naturais.
2.1 Introdução
O primeiro conjunto que iremos estudar é o mais simples de todos, o conjunto
dos naturais, 1. O mesmo acaba surgindo da necessidade simples, a de se contar ou
enumerar objetos, mas com o passar do tempo sua roupagem mudou bastante até
chegar ao que chamamos de conjunto dos naturais hoje em dia. Historicamente, o fato
de contar objetos poderia ser feita de diversas formas, através de marcas em algum
objeto, através de nós em uma corda, através de pedrinhas dentro de um saco, etc.
Mas reparem que assim o que estamos fazendo é uma comparação entre marcas e
objetos reais (onde tais "objetos"podem frutas, animais, pessoas,...). Note que nesse
primeiro momento não temos um conjunto numérico propriamente dito, mas temos
o que seriam os primórdios para chegarmos a tal conjunto, uma história que demora
muito mais do que o tempo que utilizaremos para falar do mesmo nessas notas.
Uma outra coisa que vale a pena comentarmos nesse momento é que o sistema de
numeração como os conhecemos hoje também levou muito tempo até chegar ao formato
que o conhecemos hoje, várias grandes civilizaçõespossuiram seus próprios sistemas de
númeração, e cada uma delas também tinha sua forma particular de representar cada
número, algumas posicional outros não (focaremos mais na representação posicional
1Observamos que o fato de ser o conjunto mais simples isso não implica necessariamente que é algo
fácil de se compreender a primeira vista
11
12 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
que é a que utilizamos atualmente). Apenas para citar algumas dessas civilizações
tivemos os egipcíos, babilônios, mais, indus, etc...
Uma outra observação em relação aos números é que come-
çamos a ter um certo nível de abstração quando utilizamos um
mesmo simbolo para representar quantidades de obtejos dife-
rentes, ou seja, podemos usar o simbolo 2 para representar duas
pessoas ou dois carros ou duas frutas quaisquer, o que para nós
é bastante natural hoje em dia não necessariamente era o co-
mum quando as primeiras formas de contagem surgiram.
Para mais informações escanei o codigo QR ou clique no link abaixo:
� Primeiros números e sistema de numeração.
No entanto estaremo interessados no conjunto dos Naturais não apenas como núme-
ros, mas como o conjunto e suas operações e daí pode surgir o seguinte questionamento,
como podemos fazer a soma de dois elementos? Ou talvez, por que 2 + 2 = 4 e não
outro número? Como tais relações surgem? E todas aquelas propriedades de comu-
tatividade, associatividade, etc... como podem ser justi�cadas? Será que valem em
qualquer situação? Algumas dessas perguntas podem ser respondidas de forma mais
intuitiva, ou visual, o que seria o primeiro passo, o segundo passo seria formalizar
o conjunto e essa operação de tal forma que continue valendo o que esperamos que
ocorra. O que faremos é exatamente formalizar o conjunto dos Naturais, de tal forma
que possamos justi�car todas as propriedades que já estamos bastante familiarizados.
2.2 Fundamentos matematicos
Antes de comerçarmos propriamente a tratar dos números Naturais é interessante
entendermos um pouco do que consiste a matemática e como ela é constituida. Por
muitas das experiencias que temos com a matemática, podemos achar que a mesma
simplesmente se interessa no fazer contas, porém se assim pensarmos estaremos bas-
tante enganados. O ato de fazer contas é apenas uma pequena parcela o que é a
https://www.youtube.com/watch?v=MKWlLzgw9PQ&list=PLxxuPLq9LHx5a_hliq6YPqlmop_2CWbr2&index=1
2.2. FUNDAMENTOS MATEMATICOS 13
matemática e o que faz a matemática ser o que ela é.
Se quissessemos resumir, poderiamos dizer que a matemática é um método axio-
mático, mas o que seria isso? O método axiomatico um método que é formado por
conceitos primitivos, axiomas e proposições. Inicialmente são "escolhidos"conceitos
primitivos e os axiomas (o conjunto axiomático), e através deles, usando o método
dedutivo vamos construindo toda a teoria.
Falamos sobre axiomas, conceitos primitivos e proposições, vejamos agora o que
cada signi�ca.
� Conceito primitivo: Palavra ou conjunto de palavras que não são de�nidas.
Exemplo: ponto, reta.2
� Axiomas (ou postulados): São principios ou regras que disciplinam a utiliza-
ção e estabelecem propriedades dos conceitos primitivos. Exemplo: Dados uma
reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela a primeira passando
pelo ponto.
� Proposições: São a�rmações que precisam ser justi�cadas (ou demonstradas).
Exemplo: Teorema de Pitágoras.
Poderiamos pensar em termos de um jogo, o coneito primitivo seriam as peças do
jogo, elas simplesmente estão lá mas não temos como de�ní-las, os axiomas seriam as
regras do jogo, ou seja, como podemos usar as peças, o que somos permitidos fazer com
elas, e as proposições são as ações feitas no jogo, as quais só podem ser feitas se forem
apoiadas pelas regras do mesmo.
Um outro termo que é interessante sabermos é a conjectura. De forma simples,
uma conjectura é uma proposição que parecer ser verdadeira, porém não temos ainda
uma justi�cativa para a mesma ou um exemplo que mostre que a mesma é falsa.
2Notamos que por mais que acreditemos saber o que são tais entes, não temos uma de�nição precisa
para tais elementos.
14 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Exemplo 1. Seja n um natural, de�na f(n) como segue
f(n) =

n
2
, se, n par
3n+ 1, se, n ímpar
a conjectura é que tomando um natural qualquer e reaplicando seu resultado
chegamos sempre ao valor 1. Por exemplo, tome n = 7, teriamos a sequência
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Muitos números naturais podem ser
testados, e até o momento todos chegaram ao valor 1 em algum momento, porém não
existe uma justi�cativa de que tal fato vale para todos os Naturais, por isso temos uma
conjectura.
Outra palavra que pode surgir é a hipótese ou premissa. Tais palavras são usadas
para indicar dentro de uma proposição o que precisa ser verdade para que tenhamos a
veracidade da proposição. Por exemplo, quando dizemos "Se n é par, então é divisível
por 2", nossa hipotese é que n é par, e caso isso seja verdade temos que ele será
divisível por 2. Aqui apresentamos outro termo, a tese. Temos que a tese é aquilo que
queremos conseguir mostrar, caso nossa hipotese seja verdadeira. No exemplo dado,
nossa tese é que n é divisível por 2.
Visto tais informações, podemos iniciar nossa jornada através do desbravamento
dos números.
2.3 Conjunto dos Naturais.
Uma das di�culdades que acabamos nos deparando ao estudar os naturais e os
demais conjuntos númericos é que para nós algumas das a�rmações que faremos no
decorrer do texto parecem tão óbvias que é estranho precisarmos justi�car as mesmas,
mas na matemática mesmo as mais simples e óbivas a�rmações precisam ser justi�ca-
das.
O que iremos fazer é imaginar um conjunto, e nele assumiremos algumas axiomas,
e depois disso faremos uma relação entre esse conjunto com os números indo-arábicos
que conhecemos como números naturais. Abaixo chamaremos tal conjunto de Núme-
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 15
ros naturais, pois já sabemos onde iremos chegar com tais axiomas, mas poderiamos
simplesmente chamar tal conjunto de qualquer coisas, mas mostrariamos depois que
na realidade temos uma cópia do que chamamos de números naturais, então para adi-
antar tais fatos, e para termos um conjunto concreto onde nos �rmar, já começaremos
chamando de Naturais.
Começamos assumindo o conjunto dos Naturais (N) como o objeto não de�nido
(conceito primitivo), onde seus elementos são chamados números naturais, satisfazendo
os seguintes axiomas:
A.1 Existe uma função f : N→ N que é injetiva (função sucessor). (ou seja, m,n ∈ N
e S(m) = S(n) então m = n).
A.2 Existe em N um elemento denotado 1 tal que, para todo elemento n ∈ N, 1 6=
S(n). (ou seja, 1 não é sucessor de nenhum outro natural).
A.3 Se M é um subconjunto de N tal que 1 ∈ M e tal que S(n) ∈ M sempre que
n ∈M , então M = N.
Observação 1. Notamos que a função sucessor a princípio é apenas uma função
injetiva qualquer.
Observação 2. Uma importante observação que podemos fazer aqui é em relação ao
elemento 1, o axioma A.2 assim descrito nos dá que 1 é o primeiro elemento dos natu-
rais, mas poderiamos nos perguntar sobre o zero. Estamos nessa construção tomando
os naturais como elementos utilizados para uma contagem, que é sua origem na anti-
guidade, e só faria sentido começar a contar se tivessemos pelo menos um elemento.
Porém, vale notar que sem di�culdades podemos substituir o 1 pelo zero em tal axioma,
e tal fato não irá alterar o que faremos nas próximas páginas.
Exercício 1. Faça uma adaptação do axioma A.2 para ter o elemento zero no lugar
do 1, e veri�que que cada a�rmação feita daqui para frente também pode ser feita se
o primeiro elemento for o zero.
Olhemos com mais detalhes tais axiomas, para tentarmos obter alguma informação
a mais sobre tal conjunto, ou novas formas de ver tais axiomas.
16 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Que tipo de informações tais axiomas podem nos dá? Podemos diretamente ver
pelo menos as seguintes1) Outra forma de ver o axioma A.1, e notar que uma função S é injetiva, se m 6= n
nos dá S(m) 6= S(n).
2) A.2 garante que o conjunto dos Naturais não é vazio, pois possui ao menos esse
elemento;
3) Por A.2 e A.1 temos que S(N) 6= N, pois 1 não é imagem de nenhum elemento
de N.
Uma a�rmação importante que podemos também fazer utilizando tais axiomas é a
seguinte:
Proposição 1. Todo número natural n é diferente de seu sucessor S(n).
Tal a�rmação sabemos ser verdadeira, porém precisariamos usar os axiomas vistos
anteriormente para justi�cá-la!
Exercício 2. Se mudassemos um determinado axioma tal proposição poderia ser falsa.
Qual axioma é esse? Será que teriamos o mesmo conjunto se mudassemos esse axioma?
Notamos que podemos justi�car para um determinado valor n usando a injetividade
que nos é garantida pelo axioma (A.1). Porém isso valeria para um determinado natural
apenas, porém não garantiria para todos os demais. Vejamos como podemos justi�car
tal a�rmação:
Demonstração.
Iremos para isso usar o axioma (A.3), pois nossa a�rmação precisa ser justi�cada
para todos os elementos de N. Começamos notando que 1 satisfaz a proposição, pois
pelo axioma (A.2) 1 não é sucessor de nenhum natural, em particular, ele não é sucessor
dele proprio, ou seja, 1 6= S(1). De�namos o conjunto
M = {a ∈ N; a 6= S(a)}
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 17
Temos que 1 ∈ M , ou seja, M não é um conjunto vazio. Agora vamos tomar um
elemento qualquer n ∈ N. Queremos mostrar que se n ∈ M , então S(n) ∈ M . Mas
se n 6= S(n) temos pelo axioma (A.1) que S(n) 6= S(S(n)), ou seja, S(n) ∈ M . Então
pelo axioma (A.3), temos que M = N, e portanto, todo natural é diferente de seu
sucessor.
Veremos em outro momento como poderiamos justi�car matematicamente tal fato,
por enquanto iremos usar tal informação para seguirmos em frente.
Como consequencia da proposição podemos escrever os seguinte elemento:
1, S(1), S(S(1)), S(S(S(1))), ...
e iremos relacioná-los com os números arábicos da seguinte forma S(1) = 2, S(2) = 3,...
E fazendo tal relação, chegamos no conjunto dos Naturais como o conhecemos.
Exercício 3. Imagine agora uma função que satisfaz os axiomas A.1 e A.2. Como
seria o conjunto formado? Seria igual ao acima? Se for diferente, isso quer dizer que
teriamos outro conjunto dos Naturais?
Antes de prosseguir, re�ita um pouco sobre o exercício acima.
Observação 3. Vale observar no entanto que existem outras formas de se construir o
naturais além do apresentado. Porém no �m chegamos em conjuntos que vão satisfazer
as mesmas propriedades, uma outra forma pode ser vista em [ ]. O que na matemática
são conjuntos Isomorfos.
ob1 Observação 4. Notamos que se X = {1, S(1), S(S(1)), S(S(S(1))), ...} temos clara-
mente (porquê?) que X ⊂ N. Então poderiamos nos perguntar: X = N? (pois nada
garante que o conjutno N não possua elementos que não estão em X!). A resposta
nesse caso é a�rmativa.
Exercício 4. Justi�que a
ob1ob1
4 usando os axiomas.
18 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
2.3.1 Operações nos Naturais.
Estaremos interessados agora em de�nir duas operações sobre o conjunto dos nú-
meros naturais, denotadas por adição (+) e multiplicação (·). Na realidade o que
estaremos fazendo é mostrar o que é somar e multiplicar elementos desse conjunto que
de�nimos.
De�nição 1. Sejam dois naturais m e n, de�niremos a soma m+ n por
m+ n := Sn(m),
ou seja, e tomar a função sucessor de m e repetir o processo n vezes.
A1 Observação 5. Da de�nição, se tomarmos n = 1 temos m + 1 = S1(m), ou seja,
temos a função sucessor como a conhecemos.
Usando a Observação anterior, o que podemos dizer sobre m+ S(n)?
Observação 6. Do que vimos anteriormente temos m+(n+1) = m+S(n) = 3S(m+
n) = (m+ n) + 1.
Temos portanto um primeiro caso de associatividade da soma.
Vejamos agora as principais propriedade da operação de soma:
AS Proposição 2. (Associatividade) Para todo m,n, p ∈ N,
m+ (n+ p) = (m+ n) + p.
Proposição 3. (Comutatividade) Para todo m,n ∈ N,
m+ n = n+m
Proposição 4. (Lei do corte da adição) Para m,n ∈ N,
m+ n = m+ p⇒ n = p
Proposição 5. (Tricotomia). Para m,n ∈ N, apenas uma e somente uma das alter-
nativas seguintes é válida:
3Observe que S(m+n) = S(Sn(m)) = Sn+1(m) e pela de�nição, temos Sn+1(m) = m+(n+1) =
m+ S(n).
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 19
(i) m = n
(ii) existe p ∈ N tal que m = n+ p;
(iii) existe q ∈ N tal que n = m+ q;
Notamos que cada propriedade foi enunciada como uma proposição, ou seja, elas
precisam ser justi�cadas! Mas para poder fazê-lo precisamos de mais um ingrediente,
que veremos mais a frente. Mas antes disso, vejamos como podemos de�nir a multipli-
cação.
De�nição 2. O produto de dois números naturais é de�nido por
� m · 1 = m,
� m · S(n) = m · n+m
Observamos que assim como ao de�nir soma, a de�nição de multiplicação está
intimamente ligada a função sucessor.
Vamos entender um pouco o que essa de�nição está realmente nos dizendo. Pri-
meiramente ela nos diz que a multiplicação pelo primeiro elemento nos dá o proprio
m.
Já o segundo ponto nos diz simplesmente que o que estamos fazendo é uma soma,
pois se sabemos quanto é m · 1, temos que m · 2 = m · S(1) = m · 1 + m = m + m,
m ·3 = m ·S(2) = m ·S(S(1)) = m ·S(1)+m = m+m+m, o que nos leva a conjecturar
que m · S(n) = m+m+m+m+m+ ....+m que é a soma de n parcelar de m.
Ou seja, a multiplicação nada mais é que uma sequência de somas. Logo nossa
de�nição de multiplicação depende exclusivamente da soma, a qual já conhecemos.
A seguir veremos algumas propriedades da multiplicação:
Proposição 6. (Distributividade) Para todo m,n, p ∈ N,
m · (n+ p) = m · n+m · p
.
20 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Proposição 7. (Associatividade) Para todo m,n, p ∈ N,
m · (n · p) = (m · n) · p.
Proposição 8. (Lei do corte do produto) Para m,n, p ∈ N,
m · p = n · p⇒ m = n.
De�nição 3. Sejam m,n ∈ N, dizemos que m é menor do que n, o que denotaremos
por m < n, se, e somente se, existe p ∈ N tal que n = m+ p.
A seguir veremos as principais propriedade da relação de ordem.
Proposição 9. Sejam m,n, p ∈ N. A relação < tem as seguintes propriedades.
1) Transitividade. m < n e n < p⇒ m < p.
2) Tricotomia. Dados m,n ∈ N apenas uma das seguintes alternativas é válida, ou
m = n ou m < n ou n < m.
3) Monotonicidade da adição. m < n⇒ m+ p < n+ p, para todo p ∈ N.
4) Monotonicidade da multiplicação. m < n⇒ m · p < n · p, para todo p ∈ N.
2.3.2 Demonstrações das propriedades.
Neste ponto estaremos interessados em demonstrar algumas das propriedades das
operações vistas anteriormente. Para isso usaremos os axiomas e os resultados que já
foram demonstrados.4
Antes de irmos para as demonstrações iremos comentar um pouco de como será o
processo de demonstração dos resultados. Se vocês observaram bem os enunciados das
propriedades, em todas elas vocês podem ver que o objetivo é mostrar que tal a�rmação
vale para todos os elementos dos naturais, ou seja, para todo n ∈ N. E se olharmos
bem o axioma (A.3) notamos que o mesmo nos fala exatamente o que um determinado
conjunto precisa satisfazer para que o mesmo seja o proprío conjunto dos Naturais.
4Observamos que só podemos usar realmente um resultado se o mesmo já foi justi�cado, caso
contrário não poderemos usá-los.
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 21
A.3 Se M é um subconjunto de N tal que 1 ∈ M e tal que S(n) ∈ M sempre que
n ∈M , então M = N.
O procedimento que basicamente seguiremos será resumidamente o seguinte:
1- De�niremos um conjuntoM como sendo o conjunto onde a propriedade em ques-
tão vale;
2- Mostraremos que tal conjunto é não vazio, nesse caso, mostraremos que 1 ∈M .5
3- Tomamos um elemento n ∈ N qualquer, o qual pertence a M6. E utilizando
os demais axiomas, ou propriedades já demonstradas, iremos tentar mostrar que
S(n) também pertence a M .
4- Juntando as informações de 2 e 3, podemos usar o axioma (A.3) para garantir
que o conjunto M = N, e assim, que a propriedade vale para todos os naturais.
Feita tais considerações, vamos demonstrar algunsdos resultados.
(Associatividade da soma)
Para todo m,n, p ∈ N,
m+ (n+ p) = (m+ n) + p.
Demonstração. Para mostrar tal propriedade vamos utilizar o principio da in-
dução. Para isso, primeiro precisamos de�nir um conjunto M adequado. Tomemos
então
M = {p ∈ N;m+ (n+ p) = (m+ n) + p,∀m,n ∈ N}
Pela observação
A1A1
5 temos que 1 ∈ M . Precisamos agora mostrar que se temos
p ∈ M , então p+ 1 também pertence a M . Então por hipotese de indução temos que
m+ (n+ p) = (m+ n) + p para todo m,n ∈ N.
5Por que precisamos desse paso? Ele é necessário pois, se o conjunto que estamos escolhendo for
vazio ele não tem como ser o conjunto dos naturais.
6Tomar n em M é o que chamamos hipotese de indução.
22 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Temos
(m+ n) + (p+ 1) = (m+ n) + S(p) = S((m+ n) + p) = 7S(m+ (n+ p))
= m+ S(n+ p) = m+ (n+ p+ 1)
Portanto, se a propriedade também vale para p + 1 se vale para p. Assim, pelo
princípio da indução M = N, ou seja, a associatividade vale para todos os Naturais,
como queriamos mostrar.
A seguir vejamos a comutatividade.
(Comutatividade da Soma)
Para todo m,n ∈ N,
m+ n = n+m
Para essa propriedade usaremos a indução em dois momentos. Primeiramente mos-
traremos que a propriedade vale quando n = 1, esse resultado auxiliar chamamos de
Lema.
Lema 1. Para todo m ∈ N,
m+ 1 = 1 +m
Demonstração. Para podermos utilizar a indução precisamos primeiro de�nir
nosso conjunto K. De�nimos da seguinte forma
K = {m ∈ N;m+ 1 = 1 +m}
Claramente 1 ∈ K, pois 1 + 1 = 1 + 1. Precisamos então mostrar que se m ∈ K
então m+ 1 também pertence a K.
(m+ 1) + 1 = S((m+ 1)) = S(1 +m) = (1 +m) + 1 = 81 + (m+ 1)
Portanto 1 ∈ K, e se m ∈ K temos que m + 1 ∈ K. E portanto, pelo princípio da
indução K = N , ou seja, todo natural comuta com 1.
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 23
Agora podemos seguir para nosso resultado principal. Comecemos de�nindo nosso
conjunto M .
M = {n ∈ N;m+ n = n+m,∀m ∈ N}
O lema já nos mostra que 1 ∈ M . Falta mostrarmos que se n ∈ M então n + 1 ∈ M
também.
m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1 = (n+m) + 1 = (n+ 1) +m
Logo, n + 1 ∈ M . E assim, pelo princípio da indução temos que M = N, ou seja, os
naturais comutam entre si.
Nossa próxima propriedade será a lei do corte da adição:
(Lei do corte da adição)
Para m,n, p ∈ N,
m+ n = m+ p⇒ n = p
Demonstração. De�namos o conjunto M = {m ∈ N;m + n = m + p ⇒ n = p}.
Comecemos mostrando que 1 ∈M .
1 + n = 1 + p⇒ n+ 1 = p+ 1⇒ S(n) = S(p)⇒ 9n = p
Portanto 1 ∈ M . Queremos agora mostrar que se mM , então m + 1 também
pertence a M .
(m+ n) + 1 = (m+ 1) + n = (m+ 1) + p = (m+ p) + 1⇒ S(m+ n) = S(m+ p)⇒ m+ n = m+ p⇒ n = p
Logo, m+ 1 ∈M . E assim, pelo princípio da indução M = N.
24 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
2.3.3 (Tricotomia da soma)
Proposição 10. Para m,n ∈ N, apenas uma e somente uma das alternativas seguintes
é válida:
(i) m = n
(ii) existe p ∈ N tal que m = n+ p;
(iii) existe q ∈ N tal que n = m+ q;
Demonstração.
Começaremos mostrando que não podemos ter duas alternativas ocorrendo simul-
taneamente.
Suponhamos que (ii) e (iii) ocorram simultaneamente, temos então m = n + p e
n = m + q, isso implica que m = (m + q) + p = m + (p + q) o que é absurdo (veja
exercício
ex1ex1
14).
Suponha agora que (i) e (ii) valem. Então m = n e m = n+ p, mas isso nos levaria
a m = m+ p o que é absurdo.
Logo, apenas uma das possibilidades pode ocorrer.
Mostremos agora que para todo natural m e n, uma das três deve ocorrer.
Comecemos �xando um m ∈ N qualquer. E de�nimos o conjunto T como segue
T = {n ∈ N;m = n}∪{n ∈ N;n = m+p, para algum p ∈ N}∪{n ∈ N;m = n+q, para algum q ∈ N} = A∪B∪C
Em outras palavras, o conjunto T é formado pelos elementos iguais a m, ou onde
n = m+ p ou m = n+ q.10
Queremos mostrar que T = N. Vejamos se 1 ∈ T .
Se n = 1, temos m = n. Suponha m 6= n. Como m = 1, não podemos ter 1 ∈ C.
Mas como n ∈ N, existe q tal que
n = S(q) = q + 1 = 1 + q
10Note que também podemos pensar como m = n ou n é algum sucessor de n ou que m é algum
sucessor de n.
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 25
, ou seja, n ∈ B. Logo 1 ∈ T .
Agora suponhamos que n ∈ T . Será que S(n) ∈ T?
Dividamos em duas partes, se m = n temos S(n) = S(m) = m+ 1, logo S(n) ∈ B
e assim S(n) ∈ T .
Se m 6= n, temos duas situações n ∈ B ou n ∈ C, já que n ∈ T e n 6= m. Se n ∈ B
temos S(n) = n + 1 = (m + p) + 1 = m + (p + 1) = m + S(p) , ou seja, S(n) ∈ B.
Na outra situação temos m = n + q = Sq(n), como q ∈ N, temos que existe11 q̃ tal
que q = S(q̃), e assim m = Sq(n) = SS(q̃)(n) = S q̃+1(n) = S q̃(S(n)) = S(n) + q̃, o que
implica S(n) ∈ C ou seja, S(n) ∈ T .
Logo, 1 ∈ T e se n ∈ T temos S(n) ∈ T , e pelo axioma [A3], temos que T = N.
Distributividade.
Para todo m,n, p ∈ N, temos que
m · (n+ p) = m · n+m · p
Demonstração. Notamos que mais uma vez queremos mostrar uma propriedade para
todo o conjunto dos naturais, então em geral tais tipos de a�rmações são mostradas
usando o axioma de indução. Comecemos de�nindo o subconjunto que desejamos
mostrar ser o conjunto dos Naturais.
M = {p ∈ N;m · (n+ p) = m · n+m · p,∀m,n ∈ N}12
Preciamos mostrar inicialmente que 1 ∈M . Para isso, temos
m(n+ 1) = m · S(n) = mn+m = m · n+m · 1
11Aqui também temos a possibilidade q = 1 ou q 6= 1, se q = 1 temos m = n + 1 = S(n), ou seja,
S(n) ∈ A.
12Vocês poderiam se perguntar, mas por que escolhemos p ao invés de m ou n? E a resposta a isso
vem da nossa de�nição de multiplicação, reparem o que acontece quando p = 1. temos exatamente o
formato que encontramos na nossa de�nição de multiplicação, e isso facilita nossa demonstração.
26 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
logo, 1 ∈M .
Agora precisamos mostrar que se p ∈M , então p+ 1 também pertence a M .
m(n+ (p+ 1)) = m((n+ p) + 1)13 = m · S(n+ p) = m(n+ p) +m = 14 =
= (mn+mp) +m = mn+ (mp+m) = mn+mS(p) = mn+m(p+ 1)
Logo se p ∈M , temos que (p+1) também pertecence a M , e portanto pelo axioma
A.3, temos M = N. E assim a propriedade vale para todos os naturais.
Associatividade
Para todo m,n, p ∈ N,
m · (n · p) = (m · n) · p
.
Demonstração. Nosso primeiro desa�o é determinar o conjunto M .
M = {p ∈ N; (mn)p = m(np), ∀m,n ∈ N}
Notemos que 1 ∈ M , pois m(n · 1) = mn = (mn) · 1. Basta mostrarmos que se
p ∈M então p+ 1 também está no conjunto.
(mn)(p+ 1) = (mn)S(p) = (mn)p+mn = 15m(np) +mn
= 16m(np+ n) = m(nS(p)) = m(n(p+ 1))
Postanto, p+ 1 pertence a M . E assim, pelo axioma A.3, temos que M = N.
Vejamos agora algumas demonstrações sobre relação de ordem.
Transitividade
m < n e n < p ⇒ m < p.
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 27
Demonstração. Nesse caso não utilizaremos a indução, mas a de�nição de ordem
juntamente com algumas propriedades da soma.
m < n nos diz que exsite k1 tal que n = m + k1, por sua vez, n < p nos diz que
existe k2 tal que p = n + k2, ou seja, p = (m + k1) + k2 = m + (k1 + k2) = m + k, e
mais uma vez pela de�nição de ordem, temos m < p
Use argumentos parecidos para mostrar a monotonicidade da adição e da multipli-
cação.
2.3.4 Princípio da Indução.
O axioma A.3 pode ser reescrito da seguinte forma:
Princípio de Indução Seja P (n) uma a�rmação sobre o conjunto N. Suponha
que
i) P(1) é verdadeira; e
ii) qualquer que seja n ∈ N, sempre que P (n) é verdadeira, segue que P (n + 1) é
verdadeira.
Então, P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Vamos usar essa formulação para mostrarmos que as seguintes situações valem.
1) Mostre que 1 + 3 + ...+ (2n− 1) = n2 para todo n natural.
2) Mostre que 12 + 22 + ...n2 = n(n+1)(2n+1)
6
para todo n natural.
3) Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre
divisível por 9.
Aqui vale a pena você parar para tentar resolver tais exemplos, a seguir temos a
resolução dos mesmos.
Demonstração. 1) Para mostrarmos que tal igualdade vale para todos os naturais,
iremos utilizar o princípio da Indução. Começamos veri�cando que vale para 1, o que
28 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
é verdade, pois
1 = 11
Supondo agora que tal a�mação vale para n, ou seja,
1 + 3 + ...+ (2n− 1) = n2 (2.1) eq1
Comofazemos para mostrar que tal a�mação vale para n + 1? Um forma é veri�car
como �caria o lado esquerdo da igualdade se tivessemos n+ 1, observarmo que seria
1 + 3 + ...+ (2n− 1) + (2(n+ 1)− 1)
Notamos que podemos obter tal termo somando o termo (2(n + 1) − 1) no lado
esquerdo de
eq1eq1
2.1, então somando a ambos os lado de
eq1eq1
2.1 tal termo, obtemos
1 + 3 + ...+ (2n− 1) + (2(n+ 1)− 1) = n2 + (2(n+ 1)− 1)
1 + 3 + ...+ (2n− 1) + (2(n+ 1)− 1) = n2 + 2n+ 1
1 + 3 + ...+ (2n− 1) + (2(n+ 1)− 1) = (n+ 1)2
Logo, se
eq1eq1
2.1 vale, temos que a propriedade também vale para n + 1, como foi
veri�cado acima. Então pelo principio da Indução, a igualdade vale para todo n ∈ N.
Mostremos agora o segundo caso.
Demonstração. 2) P(n): 12 + 22 + ...n2 = n(n+1)(2n+1)
6
Semelhante ao caso anterior, veri�quemos se tal igualdade vale para n = 1.
1 =
1(1 + 1)(1 + 2)
6
= 1
.
Veri�cado tal fato, assumimos que tal igualdade vale para n ∈ N. Queremos mostrar
que também vale para n+ 1. Somando em ambos os lados (n+ 1)2 obtemos:
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 29
12 + 22 + ...n2 + (n+ 1)2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+ (n+ 1)2
=
n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)2
6
=
(n+ 1)(n(2n+ 1) + 6(n+ 1))
6
=
(n+ 1)(2n2 + 7n+ 6)
6
=
(n+ 1)(n+ 2)(2(n+ 1) + 1)
6
Demonstração. 3) Mostre que a soma dos cubos de três números naturais conse-
cutivos é sempre divisível por 9.
Primeiramente vamos escrever o problema de forma algebrica. Para escrevermos
três naturais consecutivos podemos escvrevê-los como n, n + 1, n + 2. E dizemos que
um número s é divisível por 9, se existe algum k ∈ N tal que s = 9k. Então o que
queremos mostrar é que n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3 é divisível por 9.17
Para n = 1 temos que 13 + 23 + 33 = 1+ 8 + 27 = 36 = 9 · 4. Logo, divisível por 9.
Ou seja, P (1) é verdadeira.
Nossa hipótese de indução é que a a�rmação vale para n, ou seja, n3 + (n + 1)3 +
(n+ 2)3 = 9k, queremos mostrar que o mesmo vale para n+ 1. Temos,
(n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n+ 3)3 = (n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n3 + 9n2 + 27n+ 27)
= ((n+ 1)3 + (n+ 2)3 + n3) + (9n2 + 27n+ 27)
= (n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3) + 9(n2 + 3n+ 3)
Notamos que ambos os termos da igualdade são multiplos de 9, o primeiro pela
hipotese de indução, e o segundo por ser da forma 9k1, onde k1 = n2+3n+3. Portanto,
a a�rmação também vale para n+ 1.
Vimos casos em que o resultado vale para todo n ∈ N , porém o princípio da indução
também pode ser utilizado em outros casos, para isso temos o segundo princípio da
indução:
17P(n) = n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3 é multiplo de 9.
30 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Princípio de Indução- Segunda versão
Seja n0 ∈ N e seja P (n) uma a�rmação sobre o cada número natural n ≥ n0.
Supondo que
i) P (n0) é verdadeira; e
ii) Para todo k ≥ n0, a veracidade de P (k) implica a veracidade de P (k + 1).
Então, P (n) é verdadeira para todo n ≥ n0.
A segunda versão do principio da indução é equivalente ao principio da indução,
ou seja, se temos o principio da indução conseguimos demonstrar a segunda versão, e
se temos a segunda versão, conseguimos mostrar o principio da indução original, essa
segunda parte é fácil ver, basta tomarmos n0 = 1.
Observação 7. Observamos que o principio da índução é uma ferramenta poderosa,
mas também devemos ter bastante cuidado quando utilizamos ele, pois em outras pala-
vras ele nos diz que se 1 satisfaz a a�rmação, e se P (n) é verdade implica P (n + 1)
verdade então, P (n) é verdade para todo n ∈ N18, porém aqui estamos assumindo P (n)
verdadeiro, o que em algumas situações podem não ser verdade. Vejamos o seguinte
exemplo,
P (n) : n2 − n+ 41 sempre nos dá números primos 19.
Teste, para p = 1, 2, 3. P (n) é verdadeira para esses casos? Sim. Então poderiamos
�car tentados a usar indução para mostrar que tal polinômio sempre nos dára números
primos, porém tal a�rmação não é válida, pois para n = 41 temos um caso que não é
primo.
Vejamos alguns exemplos da utilização dessa segunda versão.
O que veremos agora é uma outra equivalência do principio da Indução.
18Note que temos uma proposição do tipo P → Q verdadeira, e proposição só é falsa se temos P
verdadeiro e Q falso, em todas as outras situações temos verdade.
2.3. CONJUNTO DOS NATURAIS. 31
Principio da Indução Forte.
Seja S um subconjunto de N tal que
1') 1 ∈ S.
2') Para todo k ∈ N, se {1, 2, 3, 4, ..., k} ⊂ S, então k + 1 ∈ S.
Então, S = N.
Vale observar que o principio da indução forte é equivalente aos principios da indu-
ção.
Observação 8. Observe que poderiamos também pensar a observação anterior para
o caso de indução forte, teriamos que S = {n ∈ N;P (n) é válido} temos 1 ∈ S e
{1, 2, 3...., 40} ⊂ S, isso nos levaria que S = N, o que já sabermos não ser verdade.
Aqui obervamos que o 2′) nos diz que para todo k ∈ N, mas se tomarmos k = 41 tal
item já não vale.
Vejamos agora alguns exemplo, da aplicação da indução forte.
Exemplo 2. Todo natural n ≥ 2 é primo ou multiplicação de primos.
1) A a�rmação que queremos mostrar é P (n) : n ≥ 2 é primo ou fatores de primos.
Passo i): Temos P (2) é válida pois 2 é primo.
Tome n maior que 2. Suponha que a a�rmação é válida para todos os naturais até
n, queremos mostrar que também vale para n+ 1.
Se n + 1 for primo está resolvido. Se n + 1 não for número primo20 temos que ele
pode ser escrito como multiplicação de outros dois números a, b, onde a, b ≤ n, e como
tais número são menores que n temos que são primos ou fatores de primos. Logo, n+1
é primo ou pode ser escrito como fatores e primos, mostrando a válidade de P (m+1).
Portanto, para todo n ≥ 2 temos que a a�rmação é válida.
20Lembremos que um número natural p é dito primo se os únicos divisores dele são 1 e p. Logo, se
não for primo ele possui outros divisores e portanto pode ser escrito como p = a · b.
32 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Observação 9. Poderiamos nos perguntar por que tantas equivalências do princípio
da indução? Por que não usarmos apenas a primeira forma?
A ideia é termos varias formas de tentar abordar o problema, as vezes como vimos
é mais simples resolver o problema utilizando uma das versões equivalente, ao invés da
original.
Para �nalizarmos essa parte de indução, vamos comentar um importante resultado
dentro dos naturais, que também é uma equivalência do mesmo do príncipio da indução,
a saber, o principio da boa ordenação.
Proposição 11. Princípio da Boa Ordenação. Todo subconjunto não vazio A de N
tem um menor elemento.
Demonstração. Temos aí duas possibilidade, 1 ∈ A ou 1 6∈ A.
Se 1 ∈ A, 1 é o menor elemento já que não é sucessor de nenhum outro natural.
Se 1 6∈ A. De�namos o conjunto In = {1, 2, 3, 4..., n}. Tomemos então o conjunto
X = {n ∈ N; In ⊂ N− A}
Logo, se 1 6∈ A, temos que 1 ∈ X. Se n ∈ X, não podemos ter n + 1 ∈ X, pois
caso pertencesse teriamos pelo principio da indução que X = N, mas isso por sua vez
implicaria que A = ∅, o que contradiz a hipotese de A ser não vazio, logo n + 1 é o
menor elemento de A.
Observação 10. Em muitos textos se começa assumindo o princípio da boa ordenação
e dele se demonstra o princípio da indução.
Exemplo 3. Mostre que para todo n ∈ N temos
Sn =
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ...+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
Usaremos o princípio da boa ordenação para isso. De�namos o conjunto B = {n ∈
N;Sn 6= n
n+1
}. Queremos mostrar que tal conjunto é vazio, pois nesse caso mostramos
que a a�rmação é verdadeira.
2.4. EXERCÍCIOS 33
Suponhamos que B não é vazio. Então pelo princípio da boa ordenação, existe
um menor elemento em B, chamemos de b tal elemento. Logo, Sb 6= b
b+1
e como
S1 = 1
1·2 = 1
2
= 1
1+1
, temos que 1 < b , logo existe o elemento b − 1, e temos que
Sb−1 = b−1
(b−1)+1
= b−1
b
(Sb−1 é assim, pois temos que b é o menor elemento de B, ou
seja, qualquer outro elemento menor não pertence a B e portanto satisfaz a igualdade).
Somando em ambos os termos da última igualdade o termo 1
b(b+1)
obtemos
Sb−1 +
1
b(b+ 1)
=
b− 1
b
+
1
b(b+ 1)
Mas Sb−1 + 1
b(b+1)
= Sb (veja a de�nição de Sn no começo.) e somando o outro lado
da igualdade obtemosque b−1
b
+ 1
b(b+1)
= b
b+1
, ou seja, b não pode pertencer ao conjunto
B, logo uma contradição, e portando, B não pode possir elementos, ou seja, ele é vazio.
2.4 Exercícios
Exercício 5. Considere o conjuntoN = {2, 3, 4, 5, ...} = N−{1}, com a função sucessor
S(n) = n + 1. Mostre que esse conjunto com essa função sucessor satisfaz todos os
axiomas dos Naturais, exceto um, qual?
Exercício 6. Considere o conjunto N = {1} com função sucessor s : 1 7→ 2. Mostre
que tal sistema satisfaz todos os axiomas dos Naturais, exceto um, qual?
Exercício 7. Considere o conjunto N = {1} com função sucessor, s : N → N tal que
s : 1 7→ 1. Mostre que tal sistema satisfaz todos os axiomas dos Naturais, exceto um,
qual?
Exercício 8. Considere o conjunto N = {1, 2} com função sucessor, s : N → N tal
que s : 1 7→ 2 e s : 2 7→ 1. Mostre que tal sistema satisfaz todos os axiomas dos
Naturais, exceto um, qual?
Exercício 9. * Considere o conjunto N = N ∪ (N + ω), onde ω é um simbolo e
N+ ω = {1 + ω, 2 + ω, ...}. De�na a função sucessor, s : N → N tal que s : n 7→ n+ 1
e s : n + ω 7→ (n + 1) + ω para todo n ∈ N. Mostre que tal sistema satisfaz todos os
axiomas dos Naturais, exceto um, qual?
34 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Exercício 10. Um sistema axiomático é dito independente se nenhum axioma pode
ser deduzido dos outros. Por que os exercícios anteriores mostram que os Axiomas dos
Naturais são independentes?
Exercício 11. Mostre os seguintes resultados(utilize a de�nição de soma):
a) S(S(1)) = S2(1)
b) S(S(S(S(S(S(S(...S(1))))))︸ ︷︷ ︸
m vezes
= Sm(1)
c) Sp(Sk(1)) = Sp+k(1).
Exercício 12. Utilizando o axioma A.3 responda os seguintes itens.
a) Mostre que (n + p)m = nm + pm para todo m,n, p ∈ N.21 Dica: Para esco-
lher o conjunto M tenha em mente a mesma ideia que foi usado no texto, não
necessariamente o conjunto M será o mesmo.
b) Utilizando o item a), mostre que m · 1 = 1 ·m para todo m,n Natural.
c) Mostre quem·n = n·m para todom,n ∈ N. (Comutatividade da Multiplicação.)
Exercício 13. Demonstre os itens 3 e 4 da Proposição 9.
ex1 Exercício 14. Seja m ∈ N. Mostre que m 6= m+ k para todo k ∈ N. 22
Exercício 15. Seja, m um número natural maior que 1. Use o princípio da Boa
Ordenação para provar que se n < m então n+ 1 ≤ m.
Exercício 16. * Para re�etirmos um pouco mais sobre a questão da função sucessor.
Escolha uma função R que satisfaz os axiomas A.1 e A.2.Faça os seguintes passos
21Note que não podemos simplesmente utilizar a comutatividade, pois a mesma não foi demonstrada
ainda.
22Note que isso pode parecer óbvio, como você mesmo deve ter pensado ao ler a questão, mas nem
sempre a soma (dependendo do conjunto onde ela está de�nida) nos dará elementos distintos, veja
por exemplo o conjunto formado pelos resto da divisão de um número por 3, tal conjunto Z3 = {0, 1},
note que ao fazermos 1+ 1 = 0, pois 2 tem resto zero na divisão por dois, mas então será que vale em
N?
2.4. EXERCÍCIOS 35
a) Use essa função para de�nir o conjunto {1, R(1), R(R(1)), ...}.
b) De�na uma soma +̃ usando essa função R, e veri�que qual seria o valor de m+̃n
com essa nova função. Seria igual a m+ n com a soma de�nida no texto? Teste
alguns casos para veri�car isso.
c) Veri�que agora qual valor você obtem fazendo 1+S(1) e 1+R(1) você consegue
relacionar de alguma forma esses elementos? Veja o item a) para talvez lhe
ajudar. O mesmo se repete com 2 + 3 e R(1)+̃R(R(1))?
d) Como poderiamos generalizar o item c) para para todas as demais somas?
Exercício 17. Uma operação ∗ é dita fechada em um conjunto X se dados a, b ∈ X
temos que a ∗ b ∈ X. Justi�que que as operações de soma e multiplicação nos Naturais
são fechadas.
Exercício 18. Existe alguma situação onde poderiamos de�nir a subtração nos Natu-
rais? Se sim, que tipo de propriedades poderiamos ter? (compare com as de adição,
justi�cando por que a subtração possui ou não tal propriedade). A operação de sub-
tração seria fechada?
Exercício 19. * Conhecemos que 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 4 + 4 = 8, 3 + 4 = 7, etc...
Usando a de�nição de soma e a construção dos naturais com a função sucessor, para
mostrar que realmente essas igualdades são válidas na nossa construção.
Exercício 20. * Faça o mesmo do exercídio anterior para as seguintes multiplicações
1 · 1 = 1, 2 · 3 = 6, 3 · 3 e 5 · 2 = 10.
Exercício 21. Usando indução, mostre que as seguintes igualdade valem para todo
n ∈ N.
a) (1− 1
2
)(1− 1
3
)...(1− 1
n+1
) = 1
n+1
b) 1
1·2 +
1
2·3 +
1
3·4 + ...+ 1
n·(n+1)
= n
n+1
c) 1
1·3 +
1
3·5 +
1
5·7 + ...+ 1
(2n−1)·(2n+1)
= n
2n+1
d) n < 2n
36 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
e) 2n ≥ n+ 1
f) 1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2n−1 = 2n − 1
g) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + ...+ n(n+ 1)(n+ 2) = n(n+1)(n+2)(n+3)
4
h) 23 1 · 1! + 2 · 2! + ...+ n · n! = (n+ 1)!− 1
Exercício 22. Usando indução, mostre que as seguintes desigualdades valem para todo
n ∈ N.
a) Mostre que se x, y são inteiros positivos com x < y, então para cada n ≥ 1 temos
xn < yn
b) Para que valor de n temos 4n < n2 − 7? Use a indução para mostrar que a
desilguadade vale para os demais n.
c) Mostre que se n ≥ 3, então 2n+ 1 < n2.
d) Mostre que para n ≥ 2, então 4n2 < n+ 11
e) Prove que (1 + 1
3
)n ≥ 1 + n
3
.
f) Para l ≥ 6 mostre que 6l + 6 < 2l.
g) Usando o item anterior, mostre que para k ≥ 10 temos 3k2 + 3k + 1 < 2k.
h) Mostre que para n > 3, nn ≥ n!.
i) Prove por indução que (n+ 1)! > 2n+3.
Exercício 23. Prove que para cada n ≥ 1 temos qu
1 +
1
4
+
1
9
+ . . .+
1
n2
≤ 2 +
1
n
Desse fato, o que podemos a�rmar sobre a soma in�nita 1 + 1
4
+ 1
9
+ . . .?
Exercício 24. Você teria como mostrar os itens b), c) e d) dos exercício anterior sem
usar indução? Como você justi�caria tais fatos?
23Lembremos que o termo n! = 1 · 2 · 3... · (n− 1) · n.
2.4. EXERCÍCIOS 37
Exercício 25. Mostre que n5 + 4n é divisível por 5.
Exercício 26. Mostre que n7 + 6n é divisível por 7.
Exercício 27. Mostre que n3 + 5n é divisível por 6.
Exercício 28. Mostr que 9n − 1 é divisível por 8.
Exercício 29. Prove por indução que, para quaisquer x ∈ R, n ∈ N tem-se que
1− xn+1 = (1− x)(1 + x+ x2 + ...+ xn)
Exercício 30. Mostre que
1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n
< 1.
Exercício 31. Considere uma função f : R → R, não constante, tal que para todo
x, y ∈ N, temos f(x+ y) = f(x) · f(y) e prove que f(nx) = f(x)n para todo natural n.
Exercício 32. N retas em posição geral, dividem o plano em várias regiões. Encontre
o número dessas regiões. (Notamos que retas em posição geral se referem a retas onde
qualquer par delas se interceptam, e dada 3 retas elas não podem passar pelo mesmo
ponto).
Exercício 33. Mostre que para todo 1 ≤ m < n,
n∑
i=m+1
i =
(n−m)(n+m+ 1)
2
24
Exercício 34. A Torre de Hanoi é um jogo (ou quebra-cabeça) bastante conhecido
formado por discos de tamanhos variados e uma base com 3 pinos (denotaremos por
A,B e C tais pinos). Seu objetivo é mover uma quantidade de discos de um pino para
qualquer um dos outros dois restantes seguindo as seguinte regras:
� Só podemos mover um disco por vez de um pino a outro;
� Um disco maior não pode ser colocado em cima de um menor.
24A notação
∑b
i=a ci = ca + ca+1 + ca+2 + ... + cb. Exemplo:
∑n
i=1 i = 1 + 2 + ... + n, nesse caso
nosso a = 1, b = n e ai = i
38 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Responda os seguinte itens:
1) Qual o mínimo de movimentos para movimentarmos uma pilha formada por
3, 4, 5, 6 discos?
2) Com as informações anteriores você consegue dizer quantos movimentos são ne-
cessários para movimentarmos uma pilha com n discos? Use indução para provar
tal a�rmação.
Exercício 35. Podemos também adicionar mais regras no jogo, além das anteriores,
obtendo um novo jogo:
� Os discos devem começar no pino A e �nalizar no pino C;
� Os discos só podem ser movimentados para pinos adjacentes (ou seja, só podemos
movimentar do pino A para o B, e do B para o C, sendo proibido movimentar de
A para C por exemplo.)
Responda os seguinte itens:
1) Qual o mínimo de movimentos para movimentarmosuma pilha formada por 3, 4, 5
discos?
2) Com as informações anteriores você consegue dizer quantos movimentos são ne-
cessários para movimentarmos uma pilha com n discos? Use indução para provar
tal a�rmação.
Exercício 36. Sejam os números obtidos pelo seguinte método
Determine os próximos dois números. Podemos obter uma fórmula que relacione os
números com os lados do quadrado? Em caso a�rmativo mostre por indução que tal
fórmula vale para todos os naturais.
Exercício 37. Suponha que temos um cavalo em um tabuleiro de xadrez in�nito em
todas as direções. Seja f(n) o número de quadrados que o cavalo pode chegar após
precisamente n movimentos. Da �gura abaixo, temos que f(0) = 1 e f(1) = 8. Prove
que f(2) = 33 e que para n ≥ 3, f(n) = 7n2 + 4n+ 1.
2.4. EXERCÍCIOS 39
40 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS.
Capítulo 3
Números Inteiros.
Nesse capítulo nosso interesse será os números Inteiros, os quais podem ser vistos
também como uma extensão dos números Naturais vistos no capítulo passado. Mas
pensando nele através dessa extensão é interessante pensarmos o conjunto dos Natu-
rais com o elemento zero, o que também pode ser feito, como comentado no capítulo
anterior.
Assim como os Naturais, também é possível construir os Inteiros, porém a partir dos
Naturais, e daí de�nir uma operação de soma e multiplicação e obter as propriedades
que já conhecemos, porém, para isso necessitariamos de outras ferramentas (a saber, as
relações de equivalência e classes de equivalência o que tornaria o processo um pouco
mais longo e demorado).
Portanto, para evitarmos tal situação, abordaremos de�nindo o conjunto e algumas
propriedade de forma axiomatica (e não construtiva como feito com os Naturais, nos
quais foram mostradas as propriedades das operações).
Axioma I O conjunto dos números inteiros Z tem pelo menos dois elementos.
Axioma II- Soma Em Z, está de�nido uma operação binária denominada de soma
que associa um único valor a+b para cada inteiro a e b. Temos que para todo a, b, c ∈ Z,
a soma satisfaz:
� a+ b ∈ Z (fechamento)
41
42 CAPÍTULO 3. NÚMEROS INTEIROS.
� a+ b = b+ a (comutatividade)
� (a+ b) + c = a+ (b+ c) (associatividade)
� ∃0 ∈ Z; a+ 0 = 0 + a = a (elemento neutro da soma)1.
� ∃ − a ∈ Z; a + (−a) = (−a) + a = 0 (elemento inverso da soma ou elementro
simétrico).
Observação 11. Notamos que nos Axiomas de soma, estamos assumindo que o con-
junto satisfaz todas essas propriedades, diferentemente do que foi feito para os naturais,
onde mostramos muitas delas.
Observação 12. Mais uma vez vale observar que caso optassemos em obter os Inteiros
através dos Naturais, tais propriedades precisariam todas serem demonstradas. Um
local onde pode ser visto os interios dessa forma é em
cr
[1].
Dessa de�nição axiomática podem surgir algumas perguntas naturais, por exemplo:
� Existe apenas um elemento neutro? Ou pode exister algum outro inteiro que
satisfaz a mesma propriedade?
� Pode exister mais de um elemento inverso em relação a soma?
Em ambos os casos a resposta e negativa, por isso, denotamos o inverso de a como
−a especi�camente. Mas, como toda a�rmação, elas devem ser justi�cadas nos base-
ando no que já temos (os axiomas, os quais serão apresentados a seguir).
Proposição 12. Unicidade do elemento neutro Numa operação binária2, o elemento
neutro, caso exista, é único.
Demonstração. Suponhamos por absurdo que existam dois elementos neutros
1O símbolo ∃ signi�ca existe.
2Uma operação binária nada mais é que uma função · : Z × Z → Z que a cada par (a, b) ∈ Z × Z
no dá um elemento a · b ∈ Z, o mesmo para a soma.
43
distintos. 3 Sejam c e d tais elementos, teriamos
c = 4c+ d = 5d
O que é absurdo, pois por hipotese, assumimos d 6= c. Portanto, d = c, e assim exsite
um único elemento neutro.
Observação 13. O mesmo pode ser feito para a multiplicação, que veremos adiante.
Proposição 13. Unicidade do inverso da soma Numa operação binária associativa
(uma operação onde vale a associatividade, assim como a soma) , o elemento inverso
de cada elemento, caso exista, é único.
Demonstração. Seja a um elemento. Mais uma vez por absurdo, soponhamos
que existem dois elementos inversos para a, digamos b e c. Teriamos então
a+ b = 0 = a+ c
A primeira igualdade pois b é elemento inverso de a e a segunda igualdade pro c ser
elemento inverso de a.
Temos então a+ b = a+ c, mas pela lei do corte b = c o que nos leva a um absurdo.
Logo existe um único elemento inverso.
Observação 14. Note que usamos a lei do corte, mas a mesma não é um axioma
para o conjunto dos Inteiros, e também não podemos usar o fato de que já mostramos
para os Naturais, pois era um outro conjunto e o que funciona em um conjunto não
necessariamente funciona em outro.
Exercício 38. Use os axiomas dos Inteiros para mostrar que a Lei do Corte também
vale aqui.
Uma outra pergunta que poderia surgir é a seguinte: Será que o inverso do inverso
de um Inteiro a é o proprio inteiri? Ou será que seria um elemento diferente?
3De forma resumida, a demonstração por absurdo é uma tecnica de demonstração que consiste em
tomarmos a negação do que queremos mostrar e assumir como uma de nossas hipóteses. Daí vamos
manipulando tais hipoteses para chegarmos a uma conclusão que já sabemos ser falsa. E isso nos leva
a perceber que a hipotese que adicionamos é falsa, ou seja, a que queremos mostrar é verdadeira.
4pois d é elemento neutro
5Pois c é elemento neutro.
44 CAPÍTULO 3. NÚMEROS INTEIROS.
Exemplo 4. Para todo a ∈ Z, temos −(−a) = a.
Notamos que −(−a) nada mais é do que o inverso de −a, mas também temos que
a é inverso de −a. Ou seja, teriamos dois inversos para o mesmo elemento −a, porém
a proposição anterior nos diz que o elemento inverso é único, assim obrigatoriamente
a = −(−a).
Vejamos agora os axiomas que caracterizam a segunda operação nos inteiros, a
multiplicação.
Axioma III- Multiplicação Em Z, está de�nido uma operação binária denomi-
nada de produto que associa um único valor a · b para cada inteiro a e b. Temos que
para todo a, b, c ∈ Z, o produto satisfaz:
� a · b ∈ Z (fechamento)
� a · b = b · a (comutatividade)
� (a · b) · c = a · (b · c) (associatividade).
� ∃1 ∈ Z; a · 1 = 1 · a (elemento neutro do produto)
� Para todo a 6= 0, a · x = a · y implica x = y (cancelamento do produto).
� a · (b+ c) = a · b+ a · c (distributividade).
Exercício 39. Utilize os axiomas da multipliação para mostrar que também vale (a+
b) · c = a · c+ b · c.
Vejamos mais uma importante propriedade dos inteiros.
Exemplo 5. Mostre que a · 0 = 0.
Para isso, observe que
a · 0 = 6a · (0 + 0) = 7a · 0 + a · 0
6Pois 0 é elemento neutro da soma.
7Pela distributividade.
45
Como a · 0 é inteiro, pela propriedade do fechamento, temos que existe o inverso dele,
e assim
0 = a · 0 + (−a · 0) = (a · 0 + a · 0) + (−a · 0) = a · 0
Exercício 40. Mostre que
a) Se a = 0 ou b = 0 então a · b = 0.
b) Se a · b = 0 então a = 0 ou b = 0.
Observação 15. Um conjunto com operação de multiplicação que satisfaz os item b)
do exercício anterior e as propriedade anteriormente listadas é chamado um domínio
de integridade. Porém nem todo conjunto munido com uma operação de multiplicação
satisfaz a mesma.
Exercício 41. Dê exemplo de um conjunto com uma operação de multiplicação onde
o a · b = 0, mas a, b é diferente do elemento neutro da multiplicação.
Exercício 42. Mostre que (−a) · b = −ab e a · (−b) = −ab. (sugestão: O que podemos
dizer sobre o lado esquerdo da primeira a�rmação ao somarmos a · b?)
Exercício 43. Mostre que (−a) · (−b) = a · b.
Além da existência do elemento neutro, o que diferencia o conjunto dos Naturais
do conjunto dos Inteiros e o próximo axioma.
Axioma IV Existe um conjunto P ⊂ Z fechado em relação a soma e produto8 tal
que, para todo inteiro a, vale a uma e somente uma das a�rmações:
� a ∈ P ;
� a = 0;
� −a ∈ P .
Tal conjunto será denotado conjunto dos positivos.
8Ou seja, dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a+ b e a · b pertencem também a Z.
46 CAPÍTULO 3. NÚMEROSINTEIROS.
Observação 16. Também vale observar que assim como todas as demais situações,
caso tivessemos optado por contruir os Inteiros, conseguiriamos nessa construção de�-
nir tal conjunto, sem a necessidade desse Axioma. Para isso, de�niriamos uma ordem
no conjunto e tomariamos P o conjunto formado pelos inteiros maiores que o elemento
neutro.
Seguindo a observação anterior, vamos de�nir agora a ordem nos Inteiros, utilizando
para isso o Axioma IV. Faremos isso como segue:
Com o conjunto P podemos estabelecer uma ordem em Z, dizemos que a < b ⇔
b− a ∈ P 9.
É de nosso conhecimento prévios que se um número a é positivo então 0 < a 10.
Mas como podemos justi�car isso?
Para tanto, precisamos usar o axioma IV. Seja a positivo, ou seja, a ∈ P . Temos
que 0 < a se, a− 0 ∈ P , o que de fato acontece.
Podemos também nos perguntar, e se 0 < a será que a obrigatoriamente pertence
ao conjunto P?
Para tal caso também temos a�rmação positiva, pois 0 < a implica que a− 0 ∈ P ,
mas isso é o mesmo que a ∈ P .
Exercício 44. Use ideias parecidas com a que �zemos, para mostrar que a < 0 se e
somente se, −a ∈ P .
Exercício 45. Mostre que a < 0 se e somente se 0 < −a.
Proposição 14. Compatibilidade com a multiplicação em Z Considere m e n inteiros,
com m ≤ n. Então tem-se
mt ≤ nt, se t ≥ 0
e
mt ≥ nt, se t ≤ 0
9O simbolo ⇔ lê-se, "se, e somente, se..."indicando que se a a�rmação do lado esquerdo acontece
então como consequencia temos o lado direito, e também que se o lado direito acontece então como
consequência acontece o lado esquerdo.
10Poderiamos escrever a > 0, mas preferimos manter a notação
3.1. ALGORITMO DA DIVISÃO 47
Demonstração. Primeiro caso:
queremos mostrar que se m ≤ n e t > 0 então tm ≤ nt, em outros termos, se
n−m ∈ P então nt−mt ∈ P .
Como o conjunto P é fechado11 em relação a multiplicação e t ∈ P , temos que
t · (n−m) ∈ P ou seja, tn− tm ∈ P o que por sua vez implica que mt ≤ tn.
Exercício 46. Utilize um raciocinio análogo mostre o segundo caso, ou seja, que
mt ≥ nt, se t ≤ 0
3.1 Algoritmo da divisão
Com a noção de ordem, podemos falar sobre o algoritmo da divisão nos inteiros.
Proposição 15. Algoritmo da divisão Para todo m ∈ Z e n ∈ N, existem q, r ∈ Z,
tais que m = qn+ r, com 0 ≤ r < n. Tais q, r são únicos.
Observação 17. Dizemos que a divisão é exata se r = 0, e nesse caso dizemos que n
divide m, ou simbolicamente n|m.
Observação 18. Tal resultado possui uma demonstração, mas aqui iremos apenas
assumir tal resultado.
No ensino básico somos apresentados algumas regras que um número deve satisfazer
para ser divisível por alguns números, por exemplo, ser par para ser múltiplo de 2, a
soma de seus algarismos deve ser multiplo de 3, garante que tal número é divisíevel por
3, etc.
A partir de agora estaremos interessados em determinar o que precisamos garantir
para que um número seja divisivel por outro. Mas antes, temos que um número inteiro
pode ser escrito na seguinte forma decimal.
11No geral, um conjunto é fechado em relação a uma operação, se tomarmos dois elementos do
conjunto e aplicarmos a operação, o resultado da mesma continua no conjunto.
48 CAPÍTULO 3. NÚMEROS INTEIROS.
m = a0 + a1.10
1 + a2.10
2 + ...+ an.10
n
onde a1, a2, ..., an são inteiros entre 0 e 9 (com respectivo sinal). Estaremos interessados
aqui apenas no inteiros positivos.
Observação 19. Existem outras formas de escrevermos os números além da forma
decimal, temos por exemplo a binária e a Hexadecimal que aparecem quando tratamos
de informática por exemplo.
Vejamos como podemos utilizar essa representação para determinarmos alguns cri-
térios de divisibilidade.
i) Um número é divisível por 2 se é par, ou seja, a0 é par.
ii) Um número é divisível por 3 se a soma a1 + a2 + ...+ an for divisível por 3.
Demonstração. i)Comecemos observando que 10k pode ser escrito como 2k.5k
Seja m um número inteiro, temos então que o mesmo pode ser escrito como
m = a0 + a1.10
1 + a2.10
2 + ...+ an.10
n
= a0 + 2(a1.5 + a2.50 + ...+ an2
n−15n)
E tal número é portanto divisível por 2 se a0 = 2.ã0, já que os demais termos já
são.
Demonstração. ii) Da mesma forma, podemos escrever o Inteiro como
m = a0 + a1.10
1 + a2.10
2 + ...+ an.10
n
= a0 + (a1 + a1.9) + (a2 + a2.99) + ...(an + an.9999...99)
= (a0 + a1 + a2 + ...+ an) + (a1.9 + a2.99 + ...+ an.9999...99)
= (a0 + a1 + a2 + ...+ an) + 3(a1.3 + a2.33 + ...+ an.3333...33)
Logo, tal número é multiplo de 3 apenas se (a0 + a1 + a2 + ...+ an) for multiplo de
3, ou seja, se a soma de seus algarismos é multiplo de 3.
3.2. EXERCÍCIOS 49
Exercício 47. Utilize ideias semelhantes e encontre os critérios de divisibilidade para
4, 5, 6, 7, 9, 11.
3.2 Exercícios
Exercício 48. Quais dos axiomas dos Naturais são satisfeitos nos inteiros com função
sucessor s : z 7→ z + 1?
Exercício 49. Utilizando as propriedade de adição e multiplicação de inteiros, mostre
que as seguintes a�rmações são válidas para todos os inteiros m,n.
a) (−m) · n = m · (−n) = −(m · n)
b) (−m) · (−n) = m · n
c) −(−m) = m
d) −(m− n) = n−m
Exercício 50. Mostre que x2 = y2 implica que x = y ou x = −y.
Exercício 51. Determine as soluções inteiras da equação polinomial (x−1)(x+3)(3x−
2) = 0. Justi�que sua resposta, indicando em cada etapa da resolução quais axiomas e
resultados já provados que foram utilizados.
Exercício 52. Mostre que 0 é o único Inteiro que o seu simétrico é ele mesmo.
Exercício 53. ∗SejaPoconjuntodospositivos.MostrequePsatisfazosaxiomasdoNaturais.Oqueissosignifica?
Exercício 54. Mostre que a · b ∈ P se, e somente se, a, b ∈ P ou −a,−b ∈ P .
Exercício 55. Seja, n ∈ P , mostre que n · a < n se, e somente se, a < 1.
Exercício 56. Utilizando a de�nição de ordem no inteiros e o que já sabemos sobre o
conjunto dos naturais, mostre que não existe a ∈ Z tal que 0 < a < 1.
Exercício 57. Como podemos usar o exercício anterios para mostrar que não existe
b ∈ Z tal que a < b < a+ 1?
50 CAPÍTULO 3. NÚMEROS INTEIROS.
Exercício 58. Mostre que a Proposição 9 também vale para a ordem de�nida nos
Inteiros, a saber, que vale a transitividade, a tricotomia e a monotonicidade da adição.
Exercício 59. Sejam m,n ∈ N, com n > 0. Mostre que se m|n, então m ≤ n.
Exercício 60. Seja m ∈ Z tal que a|m , b|m, com a e b primos entre si. Mostre que
a · b|m.
Exercício 61. Supondo que P = N. Mostre que o maior número negativo é −1.
E mostre que se um subconjunto de Z possúi um maior elemento então esse maior
elemento é único.
Exercício 62. Determine o critério de divisibilidade para 7 e 9.
Exercício 63. Utilizando apenas a existência do conjunto P, mostre que se a < 0 e
b < 0 então a+ b < 0.
Exercício 64. Mostre que−1 6∈ P e que não existe inteiro tal que a2 = −1. (Utilizando
os axiomas )
Capítulo 4
Números Racionais
Nesse capítulo nosso interesse será os números Racionais. Assim como para os nú-
meros inteiros, podemos abordar o mesmo de duas formas, uma contruindo os racionais
usando como base o conjunto dos inteiros, outra é de�nindo o mesmo de forma axi-
omática. Construiremos os Racionais a partir dos Inteiros, porém sem entrarmos em
grandes detalhes quando tratarmos da relação de equivalência, tal construção pode ser
vista com mais detalhes em
cr
[1]
Os racionais podem ser vistos como uma extensão dos Inteiros, no sentido que
podemos ter uma "cópia"dos inteiros dentro desse novo conjunto, nesse sentido as
própriedades dos Racionais são basicamente os mesmos que tinhamos nos Inteiros,
acrescentados de mais alguns, que são os que irão diferenciar ambos os conjuntos.
Comecemos de�nindo o conjunto dos Racionais utilizando o conjunto dos Inteiros que
já conhecemos.
De�nição 4. O conjunto dos Racionais é o conjunto de�nido da seguinte forma
Q = {a
b
; a ∈ Z, b ∈ Z∗}
onde Z∗ signi�ca o conjunto dos Inteiros sem o 0.
Observação 20. Notamos que o símbolo a
b
a princípio não tem nenhum signi�cado
especi�co, é apenas uma forma de representar o número racional em função dos inteiro
a e b. Poderiamos simplesmente escrevero número racional (a, b). Usamos o símbolo
acima pelo fato de já sermos acostumados ao mesmo.
51
52 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
Nesse contexto notamos que para de�nir um número racional precisamos de um par
ordenado de inteiros (a, b), com b 6= 0, que representa a fração a
b
. Então é importante
nesse caso salientar o que signi�caria a igualdade a
b
= c
d
.
Temos que tal igualdade a
b
= c
d
vale se, e somente se, a ·d = c ·b1. Poderiamos então
procurar todos os pares que satisfazem tal propriedade em relação a um par �xo, por
exemplo, (a, b).
Pensemos agora de uma forma um pouco mais geométrica. Para fazermos isso,
basta buscarmos elementos que satisfazem a seguinte igualdade a ·x = y · b. Que é uma
representação de uma reta que passa pela origem e pelo ponto (a, b).2
Uma outra forma de ver, é buscar uma solução para tal igualdade. Notemos que
x = n · b e y = n · a é solução para igualdade, para todo n ∈ Z. Então, o par da forma
(an, bn) é igual a (a, b) para todo nZ. Mas surgiria uma pergunta: Esse é o único
formato de solução?
Logo podemos dizer que dois números racionais são iguais se os pares ordenados que
os de�nem estão sobre a mesma reta. E assim, podemos pensar os racionais como pares
ordenados em alguma reta. Em outras palavras, isso quer nos dizer que todos os pares
formados por Inteiros que estão sobre a mesma reta, no fundo representam o mesmo
número Racional. Nesse ponto já vemos uma diferença grande entre os Inteiros e os
Racionais, pois temos uma in�nidade de racionais que representam o mesmo número,
1Notamos que nesse ponto estamos simplesmente tratanto com números inteiros
2Para aqueles que conhecem a ideia de relação de equivalência, o que temos nesse caso é uma
relação do tipo (a, b) ∼ (c, d)⇔ a · d = b · c, e a classe de equivalência [(a, b)] é formada por todos os
elementos equivalente a (a, b).
53
o que não ocorre no Inteiros.
Observação 21. Se fossemos escrever tais informações de forma mais matemática
teriamos o que chamamos de relação de equivalência, e que todos os elementos da reta
estariam na mesma classe de equivalência.
Por causa de tal fato, normalmente escrevemos os números naturais em sua forma
irredutível, o que de�nimos abaixo.
De�nição 5. Dizemos que um número racional está na forma irredutível, se não existe
natural primo que divida o numerador e denominador simultaneamente.
Observação 22. Apenas a título de lembrança, temos que se (a, b) = a
b
é um número
Racional, chamamos a de numerador e b de denominador da fração.
Exemplo 6. 2
3
é irredutível pois não existe primo natural que divida 2 e 3 simulta-
neamente. Já 4
6
não é irredutível pois podemos dividir númerador e denominador por
2.
Já de�nimos o conjunto dos Racionais, veremos agora como eles se relacionam
através das operações de soma e multiplicação.
De�nição 6. (Soma de Racionais) Sejam a
b
, c
d
números racionais, de�nimos a soma
da seguinte forma:
a
b
+
c
d
=
ad
bd
+
cb
bd
=
ad+ cb
bd
De�nição 7. (Multiplicação de Racionais) Sejam a
b
, c
d
números racionais, de�ni-
mos a multiplicação da seguinte forma:
a
b
· c
d
=
a · c
b · d
Observação 23. A título de informação, comentamos que os números Racionais são
formados por classes de equivalência ("as retas") e cada elemento nela representaria
o mesmo Racional, mas ao de�nir multiplicação e soma deveriamos mostrar que não
importa qual elemento da "reta"usemos o valor da soma e multiplicação não deve se
alterar. Mostremos isso.
54 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
Exemplo 7. Mostre que a soma como de�nida anteriormente está bem de�nida. Ou
seja, não importa quais elementos da classe de equivalência tomarmos a soma perma-
nece a mesma.
Sejam (a, b) e (c, d) os dois racionais que queremos somar, e (a′, b′) e (c′, d′) os
racionais nas mesmas classes de equivalencia respectivamente dos anteriores, ou seja,
ab′ = a′b e cd′ = dc′. Queremos mostrar que a
b
+ c
d
e a′
b′
+ c′
d′
estão na mesma classe, ou
em outrar palavras a
b
+ c
d
= a′
b′
+ c′
d′
.
Temos pela de�nição de soma
a
b
+
c
d
=
ad+ cb
bd
e
a′
b′
+
c′
d′
=
a′d′ + c′b′
b′d′
Mostrar que essas somas são iguais signi�ca veri�car se ad+cb
bd
= a′d′+c′b′
b′d′
, mas lembre-
mos que veri�car essa igualdade entre racionais é o mesmo que veri�car se a igualdade
(ad+ cb)b′c′ = (a′d′ + c′b′)bd vale nos inteiros, mas
(ad+ cb)b′d′ = adb′d′ + cbb′d′
e
(a′d′ + c′b′)bd = a′d′bd+ c′b′bd
usando agora o fato que (a, b) = (a′, b′) temos que ab′ = a′b e (c, d) = (c′, d′) temos
cd′ = c′d. Subistituindo na primeira igualdade temos
(ad+ cb)b′d′ = adb′d′ + cbb′d′ = ab′dd′ + cd′bb′ = a′bdd′ + c′dbb′
ou seja, (ad+ cb)b′c′ e (a′d′ + c′b′)bd representam a mesma fração, como queriamos
mostrar.
O mesmo vale para a multiplicação.
Exercício 65. Mostre que a multiplicação de fração também está bem de�nida. Ou
seja, se multiplicarmos pares de frações equivalentes, o resultado estará na mesma
classe, ou de outra forma, que as frações resultantes são iguais.
55
Observação 24. Por esse motivo, sempre que estivermos falando de frações nas ope-
rações, estaremos falando da representação irredutível da mesma.
O conjunto dos Racionais com tais operações herdam as propriedade dos inteiros
vista no capítulo passado, porém novas propriedades surgem.
Exercício 66. Mostre que as operações de soma e multiplicação de�nidas nos racionais
satisfazem as propriedade associativa, comutativa e distributiva. (Note que podemos
usar livremente essas propriedades quando estamos tratanto com os números inteiros.)
A seguir vemos mais uma diferença entre os inteiros e racionais.
Existência de inverso- Para todo x racional, existe o elemento x−1 tal que x·x−1 =
1.
Observação 25. Notamos que escrevemos como 1 na de�nição acima, porém para
sermos mais precisos deveriamos escrever 1
1
que é um número racional.
Observação 26. Notamos que ao sairmos dos Naturais para os Inteiros, temos que
os elementos dos inteiros possuem todos inverso em relação a soma, porém não em
relação a multiplicação, já no Racionais temos inversos para ambas as operações.
Assim como �zemos no caso do inverso da soma quando de�nimos nos inteiros, a
pergunta que surge naturalmente é se o inverso multiplicativo anteriormente de�nido
também é único.
Observação 27. Note que quando falamos do inverso ser único, estamos pensando
em função da fração irredutível (ou em função de classes de equivalência, para aqueles
que conhecem o conceito).
Exercício 67. Mostre que para cada Racional x, existe um único inverso em relação
a multiplicação.
Mostraremos agora uma das a�rmações que temos sobre o inverso multiplicativo
dos racionais. Mas antes disso vejamos como podemos de�nir os interior dentro desse
conjunto.
56 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
Observação 28. Seja n um número inteiro, como podemos representar ele dentro do
conjunto dos Racionais? Fazemos isso com a relação n = n
1
. Com isso consegui-
mos mostrar que Z ⊂ Q. Mas será que ao operarmos com a soma e multiplicação
nos racionais conseguimos os mesmos resultados para os elementos do inteiros assim
de�nidos?
Exercício 68. Mostre que se fazemos a relação n = n
1
então as operações de soma e
multiplicação desses elementos nos racionais nos levam aos mesmos resultados da soma
e multiplicação dos inteiros.
Proposição 16. Se a 6= 0 e, b 6= 0, o inverso de a
b
é b
a
Demonstração. Como sabemos que o inverso é único, é su�ciente mostrar que b
a
é inverso de a
b
, e assim, pela unicidade teremos que
(
a
b
)−1
= b
a
.
Pela de�nição de multiplicação temos
a
b
· b
a
=
ab
ab
Queremos mostrar que tal valor é igual a 1, para isso, notamos que
ab = ab⇒ ab.1 = ab.1⇒ ab
ab
=
1
1
= 1
portanto, tal multiplicação é equivalente a 1 e assim, temos nosso inverso.
Sigamos com mais alguns resultados relacionados aos racionais.
Exercício 69. Mostre que para todo x 6= 0 Racional, tem-se x−1 = 1
x
e (x−1)−1 = x
Exercício 70. Sejam a, b, c, d ∈ Z− {0}. Mostre que:
a) a
b
= c
d
⇔ d
b
= c
a
⇔ a
c
= b
d
.
b) a
b
=c
d
⇒ a+c
b+d
= a
b
.
A seguir veremos uma situação bem importante e que muitas vezes é confundida
por muitos quando se trata dos racionais.
4.1. DISTÂNCIA ENTRE RACIONAIS. 57
Exemplo 8. Mostre que a+b
c
= a
c
+ b
c
para todo racional c 6= 0.
Notemos que a
c
+ b
c
= ac
c.c
+ bc
c.c
= ac+bc
c.c
pela de�nição de soma. Logo, ac+bc
c.c
= (a+b).c
c.c
=
(a+b)
c
· c
c
(pela de�nição de multiplicação), e (a+b)
c
· c
c
= a+b
c
.
Exercício 71. Mostre que a�rmação c
a+b
= c
a
+ c
b
é FALSA.3
Outra a�rmação importante é a que trata de um elemento particular dos inteiro,
o número zero. O mesmo é o único elemento dentro dos racionais que não possúi um
inverso multiplicativo, como veremos a seguir.
Proposição 17. O elemento neutro da adição, o zero, não tem inverso multiplicativo.
Demonstração. Suponha por absurdo que 0 admite o elemento inverso 0−1. Como
0 é elemento neutro da soma, temos a + 0 = a, multiplicando ambos os lados por 0−1
obtemos (a + 0) · 0−1 = a · 0−1, reescrevendo o lado esquerdo obemos (a + 0) · 0−1 =
a.0−1 + 1, e portanto a.0−1 + 1 = a · 0−1. Somando o inverso aditivo de a · 0−1 em
ambos os lados da igualdade teriamos 1 = 0 o que é absurdo, pois como consequência
dos axiomas dos inteiros tais elementos são diferentes.
Exercício 72. (Lei do corte da multiplicação)
Se ab = ac e a 6= 0 então b = c.
Exercício 73. Por que na lei do corte da multiplicação pedimos a 6= 0?
4.1 Distância entre racionais.
Uma outra grande diferença que existe entre os Inteiros e os Racionais tem a ver com
a "distância"4 entre seus elementos. Veremos nessa seção que se temos dois racionais,
sempre existe um outro racional entre ele, o que não ocorre nos Inteiros.
Exercício 74. Dê exemplos de dois números inteiros tais que entre eles existe outro
número inteiro e dois que não possuem um inteiro entre eles.
3Para mostrarmos que uma a�rmação é falsa é su�ciente mostrarmos um contra-exemplo, ou seja,
uma situação que se enquadre no problema mas que mostre que a a�rmação não ocorre.
4A título de curiosidade, existem de�nições formais de distância entre elementos, e também existem
diversas formas de de�nirmos uma distância entre dois elementos de um conjunto.
58 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
4.1.1 Ordem nos Racionais.
Antes de irmos propriamente para existir ou não um número entre os racionais
precisamos de�nir uma noção de ordem nesse conjunto, para isso iremos utilizar a
ordem que já conhecemos, a dos inteiros.
De�nição 8. Sejam a = m
n
e b = p
q
elementos de Q, com n, q > 0. Dizemos que a é
menor ou igual a b, e escrevemos a ≤ b se mq ≤ np.
Observação 29. Notemos que a relação mq ≤ np é uma relação de ordem entre
números inteiros.
Exemplo 9. Dados os seguinte pares de racionais, determine qual elemento de cada
par é maior.
a) 1
5
, 1
6
b) 29
36
, 3
11
c) −2
7
, −5
9
Para veri�camos isso, precisamos utilizar a de�nição de ordem vista anteriormente.
a) Temos que 1 · 6 é maior que 5 · 1, logo 1
6
≤ 1
5
.
b) Precisamos veri�car qual dos inteiros 29 · 11 ou 3 · 36 é maior, temos que o
primeiro vale 319 e o segundo 108, logo 3 · 36 ≤ 29 · 11 o que nos dá 3
11
≤ 29
36
.
c) Vamos pensar de outra forma para respondermos esse item. Queremos veri�car
se −2
7
≤ −5
9
se tal desigualdade for verdade, teriamos (−2) ·9 ≤ (−5) ·9 o que nos daria
−18 ≤ −45 o que é falso, logo o que temos é −5
9
≤ −2
7
.
A seguir temos algumas propriedades da relação de ordem assim de�nida.
Exercício 75. Mostre que a relação de ordem de�nida como acima satisfaz as seguintes
propriedade:
i) Re�exividade, a ≤ a
ii) Anti-simétrica- se a ≤ b e b ≤ a então a = b.
4.1. DISTÂNCIA ENTRE RACIONAIS. 59
iii) Transitividade- Se a ≤ b e b ≤ c então a ≤ c.
Observação 30. Para mostrar as relações acima é su�ciente utilizar a de�nição de
ordem.
Exercício 76. Mostre que a ordem assim de�nida para os Racionais satisfaz as pro-
priedades da Transitividade, da Tricotomia e da monotonicidade da adição.
Exercício 77. O que podemos falar sobre a Monotonicidade da multiplicação?
Agora com a ordem de�nida nos racionais, podemos seguir em frente. Mas antes
relembremos o algoritmo da divisão em Z.
Proposição 18. (Algoritmo da divisão) Para todom ∈ Z e n ∈ N, existem q, r ∈ Z,
tais que m = qn+ r, com 0 ≤ r < n. Tais q, r são únicos.
Utilizando tal resultado, mostraremos nosso primeiro passo para garantir que entre
dois Racionais sempre existe outro.
Proposição 19. Entre dois inteiros consecutivos sempre existe um número racional.
Demonstração.
Seja m inteiro e n um natural, pelo algoritmo da divisão temos que existem q, r ∈ Z
tal que m = qn + r, onde0 ≤ r < n. Notemos que nq e r são inteiros, então termos
como compará-los.
Disso, temos por um lado m > nq, e por outro como r < n obtemos m < nq + n =
n(q+1), logo nq < m < n(q+1), ou seja q < m
n
< q+15, para vermos isso é su�ciente
utilizarmos a de�nição de ordem.
Pensemos um pouco, tal demonstração realmente garante que para quaisquer dois
inteiros consecutivos sempre existe um racional? A�nal, do jeito que está feito parece
apenas que entre q e q + 1 existe um certo inteiro.
5Note que aqui não dividimos todos os termos por n simplesmente, temos nq < m ⇒ nq < m.1 e
pela de�nição de ordem teríamos q
1 < m
n . Usando a mesma ideia na outra desigualdade obteríamos
m
n < (q + 1).
60 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
A resposta para a indagação acima é sim. Tal demonstração é su�ciente para
garantir o resultado, como veremos a seguir.
Podemos mostrar que que o mesmo vale para todo Inteiro a. Para isso, basta
somarmos a − q a desigualdade obtida no �nal da demonstração. Obtendo assim que
entre os inteiros consecutivos a e a+1 existe um racional, mas precisamente o racional
dado por m
n
+ a− q.
A seguir temos um resultado que segue diretamente (mas ainda é preciso justi-
�car por que segue diretamente) da proposição anterior, tal resultado são chamados
corolários.
Corolário 1. Dado um racional, existe sempre um natural maior que ele.
Exercício 78. Como podemos justi�car o corolário usando a proposição anterior?
Com a de�nição de ordem poderiamos nos perguntar o seguinte, se entre dois in-
teiros consecutivos não existe nenhum outro inteiro, será que o mesmo ocorre com os
Racionais? (algo que �zemos já nos diz o contrário?) E em caso negativo, quantos
Racionais existem entre outros dois racionais?
Antes de falarmos sobre o próximo resultado falemos um pouco sobre o in�nito.
A ideia de in�nito é antiga e difícil de se imaginar dentro do mundo material, porém
no mundo das ideias ele se torna possível e a matemática é uma das áreas que trata
muito bem dessas ideias, mesmo que tenha demorado bastante para tentar formalizar
a mesma. Porém, o que poderia parecer confuso acaba se tornando mais ainda quando
surge a ideias de que não existe apenas um tipo de in�nito, e alguns são "maiores"do
que outros. Temos a in�nidade do conjunto dos Naturais por exemplo, e a dos Reais
por outro lado. Ambos são bem diferentes (veremos em capítulos futuros um pouco
mais sobre isso). Já temos o in�nito dos Naturais e dos Racionais, será que eles
são parecidos? Será que o in�nito dos Racionais é maior que o dos Naturais? Ou o
contrário?
Um pouco mais sobre o in�nito pode ser visto em : https://www.youtube.com/
watch?v=Uj3_KqkI9Zo ; https://super.abril.com.br/ciencia/infinito-esse-troco-que-nao-acaba/
Proposição 20. Entre dois números racionais quaisquer existem in�nitos racionais.
https://www.youtube.com/watch?v=Uj3_KqkI9Zo
https://www.youtube.com/watch?v=Uj3_KqkI9Zo
https://super.abril.com.br/ciencia/infinito-esse-troco-que-nao-acaba/
4.2. EXPANSÃO DECIMAL 61
Demonstração. Sejam a e b racionais. Mostraremos que existe um racional entre
eles. Sem perda de generalidade assuma a < b. Temos então a+ a < a+ b⇒ a < a+b
2
.
Por outro lado se a < b temos também a + b < b + b ⇒ a+b
2
< b, logo a < a+b
2
< b e
claramente (?) a+b
2
é racional.
Exercício 79. a) Justi�que que a+b
2
é racional.
b) Por que o fato de a+b
2
ser racionalgarante que existem in�nitos racionais entre
quaisquer dois racionais a e b?
Exercício 80. Sejam a, b, c, d racionais positivos e tais que c < d. Então, tem-se que
c <
ac+ bd
a+ b
< d
4.2 Expansão decimal
Comecemos notando a relação entre os Racionais e o algoritmo da divisão. Sejam
a, b ∈ Z com b 6= 0 e a > b. Usando o algoritmo da divisão sabemos que existem q, r,
com 0 ≤ r < b, tais que
a = qb+ r ⇒ a− r = qb
Tal igual pode ser transferida para os Racionais, por a−r
b
= q
1
, mas por sua vez
usando as propriedade dos Racionais, obtemos a
b
= q
1
+ r
b
. Então fazer a divisão de a
por b é equivalente a obtermos o racional a
b
que por sua vez será dada pela soma q
1
+ r
b
,
onde q e r são obtidos pelo algoritmo da divisão.
Vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo 10. Queremos obter a representação de 15
2
. Pelo algoritmos da divisão temos
15 = 2 · 7 + 1, portanto 15
2
pode ser representado por 7
1
+ 1
2
Sabemos que se temos os elementos do conjunto dos Inteiros, os mesmos podem ser
escritos em função de uma base 10, será que podemos fazer o mesmo com os Racionais?
Notemos a seguinte situação
62 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
15
2
=
14
2
+
1
2
=
2 · 7
2 · 1
+
1
2
=
7
1
+
5 · 1
5 · 2
6 = 7 +
5
10
Pelo que já sabemos temos 5
10
= 5
1
· 1
10
= 5 · (10
1
)−1 = 5 · 10−1.
Temos uma representação na base 10, ou quase isso, pois falta de�nir o que sig-
ni�caria o termo 10−1, nesse caso adicionamos um novo termo a nossa representação
numérica, temos que a−1 ·10−1 = 0, a−1 onde a−1 é um inteiro. Com ideias semelhantes
fazemos o mesmo quando o denominador é escrito como potência de 10.
Mas e se não pudermos fazer esse processo para escrever o denominador como
potência de 10? O que podemos fazer? Vejamos o seguinte exemplo,
Exemplo 11. Como podemos representar 1
7
? Começamos observando que 1 < 7 então
não poderiamos usar o algoritmo como �zemos acima. Mas como estamos tratando
com racionais, temos que 1
7
= 10·1
10·7 = 10
7
· 1
10
= 10
7
· 10−1, vejamos agora o que acontece
com 10
7
, já que agora podemos usar o algoritmo da divisão.
10 = 7 · 1 + 3⇒ 10
7
= 1 +
3
7
Portanto 1
7
= (1 + 3
7
) · 10−1 = 1 · 10−1 + 3
7
· 10−1. Mas com isso surge um novo
problema temos 3
7
e não podemos mais uma vez usar o algoritmo da divisão. Seguindo
ideia semelhante a anterior, temos 3
7
= 10·3
10·7 = 10
7
· 3
10
= 10
7
· 3 · 10−1 E assim obteriamos
1
7
= 1 · 10−1 + 3
7
· 10−1 = 1 · 10−1 + (
10
7
· 3 · 10−1) = 1 · 10−1 + 10
7
· 3 · 10−2
= 1 · 10−1 + (1 +
3
7
) · 3 · 10−2 = 1 · 10−1 + 3 · 10−2 + 9
7
· 10−2
E seguiriamos esse procedimento por mais passos já que 9
7
não é inteiro.
Exemplo 12. Use as ideias acima para obter as representações de
a) 2
5
b) 2
7
6Usando que a fração a
b pode ser representada também por na
nb
4.2. EXPANSÃO DECIMAL 63
c) 2
3
em caso do processo não �nalizar, repita o mesmo por pelo menos o denominador mair
1 vezes. O que acontece quando fazemos isso?
Se você fez as divisões irá perceber que algumas coisas nos chamam a atenção:
� A primeira é que em alguns casos o processo de divisão se encerra (item a) e em
outros o processo continua, e mais, entra em ciclo ( itens b e c).
� Outra coisa é que os denominadores são todos primos.
Então podemos nos perguntar: Será que sempre que os númeradores são primos,
tais coisas irão acontecer? Será que essas situações acontecem sempre nos racionais?
Temos como obter a fração original conhecendo sua forma decimal?
O seguinte resultado responde alguns desses questionamentos:
dizima Teorema 1. A expansão decimal de um racional é �nita ou periódica. A expansão
decimal de a
b
, com a, b ∈ N \ {0} e a e b coprimo7 é �nita se e somente se os fatores
primos de b são 2 e/ou 5. Caso ocorram outros fatores primos, então o período possui
no máximo b− 1 termos.
Demonstração.
Dividiremos a demonstração em 3 etapas.
1) Se os fatores primos são 2 e 5. Suponha b = 2x5y, com x, y ∈ N. Multiplique
numerador e denominador pelo fator 2t−x5t−y, onde t = max{x, y}, obtendo
a
b
=
a · 2t−x5t−y
10t
8
Dessa forma, temos uma expansão com t casas decimais.
7a e b são coprimos se o único divisor comum entre eles é 1.
8Note que pela escolha do t, ou o expoente de 2 ou de 5 será nulo, e portanto não será possível
simpli�car a fração.
64 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
2) Caso os fatores possuam valores diferente de 2 e 5, não será possível transformar
em uma fração irredutível com denominador que seja potência de 10, e portanto não
ocorrerá expansão decimal �nita. Como justi�car então que tal expansão será periódica.
3) Como a divisão não termina, temos que os restos da divisão não podem ser
sempre diferentes, já que o resto r deve ser menor que b, logo temos apenas b − 1
possibilidades para o resto, então em algum momento algum deles irá se repetir, e a
partir do próximo começa a repeter os restos.
Exercício 81. Veja as seguintes frações e determine se suas expansões são �nitas ou
in�nitas. Em caso de in�nitas qual seu termo periodico?
�
10
7
�
5
3
Agora a pergunta que iremos responder é: Se temos a representação decimal da
fração, como recuperar uma9 fração original?
O procedimento basicamente consite em deixar, logo depois da vírgula, a parte
periódica, e em seguida multiplicar por uma potência de 10 para obter um número
cujo termo periodico coincida com o do nosso número na forma decimal. Vejamos tal
procedimento nos seguinte exemplos,
Exemplo 13. Qual fração tem forma decimal 0, 52525252...?
Para isso temos x = 0, 52525252...multiplicando por 100 obtemos 100x = 52, 52525252...,
notamos que se multiplicassemos apenas por 10 obteriamos 5, 2525252... e o que temos
no lado direito da vírgula não corresponde ao termo periódico.
Fazemos então 100x− x obtendo assim 99x = 52 e portanto x = 52
99
.
Exemplo 14. Qual fração tem forma decimal 2, 752525252.. ?
Temos nosso número dado por x = 2, 752525252.. , observemos que o termo perió-
dico é dado pelo número 52. Fazemos então 10x = 27, 525252....
9Falamos uma pois temos varias representações para a mesma fração como já foi comentado.
4.3. EXERCÍCIOS 65
Mas note que o número x não tem apenas parte periodica no lado direito da vírgula,
então não fazemos simplesmente 10x − x como no exemplo anterior, para esse caso,
tomaremos também 100x, que também é um número com termo periódico igual ao de
10x.
Seguimos então fazendo 100x − 10x dessa forma eliminamos o termo periódico e
obtemos 90x = 275− 27 = 248, e daí temos x = 248
90
Para �nalizarmos queremos chamar atenção ao seguinte fato.
Exemplo 15. Qual a representação decimal de 1
3
?
Exemplo 16. Utilizando o método acima descrito encontre a fração geradora da ex-
pansão decimal 0, 99999...
Nesse caso temos apenas termo periódico no lado direito da vírgula, então basta
tomarmos x = 0, 99999... com 10x = 9, 9999999. Subtraindo obtemos 10x−x = 9x = 9,
e disso obtemos que x = 1!, ou seja, 1 = 0, 99999....
Observação 31. Vale notar que se truncarmos a dízima periódica 0, 999.... em algum
termo, por exemplo, 0, 9999999999999999999999999999999 o exemplo anterior não está
nos dizendo que esse número é igual a 1. O que ele diz é que a dízima periodica pode
ser representada pelo valor 1.
Temos então que no conjunto dos racionais não temos a ideia de representação
única do número, como tinhamos anteriormente nos inteiros e naturais, essa é uma
outra grande diferença que temos quando comparamos os Inteiros com os Racionais.
4.3 Exercícios
Exercício 82. Dados x ∈ Q, x 6= 0, considere x−1. Mostre que:
a) x > 0⇒ x−1 > 0
b) x < 0⇒ x−1 < 0
c) x > 0 e y > 0 ⇒ x
y
> 0 ( que tambem pode ser lido x · y−1 > 0.
66 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
Exercício 83. Mostre que se 0 < x < y então 0 < y−1 < x−1. (Dica use o as
informações do exercício anterior.)
Exercício 84. Sejam a, b racionais positivos. Mostre que
√
a +
√
b é racional se, e
somente se,
√
a e
√
b forem ambos racionais.
Exercício 85. Encontre exemplo de dois números que não são racionais, mas que a
soma delesé racional. Isso contradiz o resultado do exercício anterior? Por que?
Exercício 86. Mostre que não existe número racional tal que o quadrado dele é 12.
Exercício 87. Mostre que
� xy > 0 se e somente se x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0.
� x2 + y2 = 0 então x = y = 0;
� x, y > 0 e x2 < y2 então x < y.
Exercício 88. Sejam a e b números inteiros, não necessariamente iguais. Tal que a
soma deles é um número de dois algarismo c e a soma dos seus inversos tem como
resultado 0, c, por exemplo, se c = 32 teríamos 0, 32. O que a e b devem satisfazer para
que isso aconteça? Quais os possíveis valores de a e b?
Exercício 89. Sejam a, b, c, d racionais positivos e tais que c < d. Então, tem-se que
c <
ac+ bd
a+ b
< d
Exercício 90. Mostre que se q ∈ Q com q < 1 então qn < 1 para todo n ∈ N. Qual a
relação entre qn e qm se m > n? E o que podemos conjecturar sobre qn quando n vai
�cando maior?
Exercício 91. Mostre que se 0 < x < y então 0 < y−1 < x−1.
Exercício 92. Sejam a
b
, c
d
números racionais satisfazendo
1
2
a
b
<
c
d
<
a
b
Mostre que existe n ∈ N tal que
c
d
<
n
n+ 1
· a
b
4.3. EXERCÍCIOS 67
Exercício 93. Sejam a, b, c, d ∈ Z− {0}. Mostre que:
a) a
b
= c
d
⇔ d
b
= c
a
b) a
b
= c
d
⇒ a+c
b+d
= a
b
.
Exercício 94. Mostre que não existe racional a tal que a2 = 6.
Exercício 95. Mostre que a relação de ordem de�nida nos racionais satisfaz a Re�e-
xividade, Anti-simetria e transitividade.
Exercício 96. Mostre que se r ∈ Q então a + r ∈ Q para todo a ∈ Z. E pensando
nisso, existe algum racional que somado a r não dos dê um racional? Justi�que.
Exercício 97. Sejam p, q, r ∈ Q. Mostre que se p+ q = r + q então p = r.
Exercício 98. Determine a fração geradora de 3, 1415926.
Exercício 99. Use o que foi visto no texto para determinar a forma decimal da fração
15
13
.
Exercício 100. * Sabemos que se um número Racional podemos escrevê-lo na base 10
como q = a−k ·10−k+ ...a−1 ·10−1+a0+a1 ·101+ ...+an10n, com ai = 0, 1, ...9. Também
podemos escrever tais números em bases diferente de 10, por exemplo b, seguindo a
mesma ideia, com os ai = 0, 1, ..., b − 1. Seguindo ideias parecidas com o texto
base, encontre a representação na base 13 para 124311. Como poderiamos representar
nessa mesma base o racional 1
3
. É possível ter a representação na base 13 e obtermos
a fração geradora? Justi�que.
Exercício 101. * Usando ideias parecidas com a vista no teorema
dizimadizima
1, mostre quando
teremos representação �nita ou in�nita periódica se veri�camos a representação na base
12. Seriam nos mesmo casos do Teorema?
Exercício 102. * Generalize a ideia do exercício anteiror. Como a base da represen-
tação interfere em quais frações possuirão ou não dízima periódica? Existe alguma
situação onde não teremos dízima?
68 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONAIS
Capítulo 5
Números Irracionais.
Nesse capítulo estaremos interessados em mais um conjunto numérico, formado por
alguns dos números mais importantes dentro da ciência como um todo, estamos falando
do conjunto dos números Irracionais (I).
Antes de tudo poderiamos nos perguntar por que deveriamos adicionar aos conjun-
tos númericos já vistos mais um conjunto? Onde surge a necessidade real do mesmo?
Estariamos apenas "inventando"um novo conjunto simplesmente por inventar?
Poderiamos pensar isso, a�nal de contas, o conjunto dos racionais parecem englobar
todas as possiveis aplicações na matemática na realidade, porém mesmo na época dos
gregos já tinhamos a aparição do primeiro exemplo de número irracional, o qual surge
basicamente no estudo dos quadriláteros, mais precisamente o quadrado.
5.1 Conjuntos mensuráveis e imensuráveis.
Os gregos acreditavam que dados dois objetos, de comprimentos a e b respectiva-
mente, sempre existia alguma unidade u, su�cientemente pequena, de tal forma que
ambos objetos pudessem ser medidos de modo "exato"com essa unidade u.
Ou seja, usando tal medida u, um objeto mediria m vezes u e o outro n vezes u.
Ou de outra forma, a = m · u e b = n · u, e nesse caso a e b são ditos comensuráveis.
E para os gregos, dois comprimentos quaisquer eram sempre comensuráveis, ou seja,
69
70 CAPÍTULO 5. NÚMEROS IRRACIONAIS.
tudo se podia comparar ou medir usando números inteiros.
Na linguagem matemática mais moderna, dizer que dois números são comensuráveis
é o mesmo que dizer que o quociente entre eles é racional. Nesse caso teriamos que
a
b
= m
n
, ou seja, a razão entre eles é um número racional.
No entanto os próprios gregos se depararam com situações concretas de objetos
matemáticos que apresentavam números incomensuráveis.
Nesse caso, se d e l = 1 forem comensuráveis, teriamos que d
1
= d seria racional.
Porém esse não é o caso, como veremos.
Demonstração. Suponhamo por absurdo que d é racional, ou seja, existem m,n
tais que d = m
n
é irredutível.
Notemos que pelo teorema de Pitágoras que d2 = 11 + 11 = 2.
Então se d é racional, temos que d2 = m2
n2 = 2. Logo m2 = 2n2, isso por sua vez nos
diz que m é par. Portanto, existe m1 natural, tal que m = 2m1, e por sua vez isso nos
daria 4m2
1 = 2n2 ⇒ n2 = 2m2
1, ou seja, n também é par. Mas se assim fosse a fração
m
n
não seria irredutível, o que é absurdo. Logo, d não pode ser racional.
5.1. CONJUNTOS MENSURÁVEIS E IMENSURÁVEIS. 71
Exercício 103. Mostre que se m2 é par então m tem que ser par.
De�nição 9. Números irracionais Um número a é dito irracional se o mesmo não
pode ser escrito como um racional, ou seja, quando não existem inteiros m,n tais que
a = m
n
.
A primeira coisa que devemos fazer ao de�nir um novo conjunto é nos perguntar,
tal conjunto possui algum elemento? Mas temos a diagonal do quadrado de lado 1
como um exemplo, para tal, logo o conjunto é não vazio.
Uma próxima pergunta que poderia surgir é, quantos números irracionais existem?
Será que eles são raros e surgem apenas de forma �nita?
Exemplo 17. r = n
√
2 é irracional para todo n ∈ N.
Se tal número fosse racional, teriamos que
√
2 = r · 1
n
∈ Q, o que sabemos não ser
verdade. Logo, r é irracional.
Dessa exemplo já podemos então a�rmar que tal conjunto é in�nito, pois os naturais
o são. Porém outros exemplos podem ser dados. Se p é um número primo, então
√
p
é irracional. Como o conjunto dos primos é in�nito, então teremos uma in�nidade de
irracionais também. De outra forma:
Exemplo 18. Mostre que
√
3 é irracional. Para isso seguimos uma ideia semelhante
a que �zemos para
√
2. Suponha que
√
3 é racional, ou seja, existem m,n ∈ N tal que
√
3 = m
n
, teriamos então 3n2 = m2, o que por usa vez nos diz que m é multiplo de 3
(por que?), e assim 3n2 = 9m1 ⇒ n2 = 3m2
1 o que nos diz que n também é multiplo de
3 o que é absurdo. Logo,
√
3 é irracional.
De forma mais geral temos
Proposição 21. Para todo primo p, não existe d ∈ Q tal que d2 = p.
Exercício 104. Demonstre a proposição.
Observemos que diferentemente dos conjuntos vistos anteriormente não temos como
de�nir multiplicação e adição tal que se a, b ∈ I então a+ b e a · b estejam obrigatoria-
mente em I.
72 CAPÍTULO 5. NÚMEROS IRRACIONAIS.
Exemplo 19. Temos
√
2 +
√
2 = 2
√
2 que como vimos é irracional também, porém
(
√
2− 1)−
√
2 = −1 que é racional.
Finalizamos essa seção com a seguinte observação:
Observação 32. Vale observar que podemos de�nir uma soma nos irracionais através
da representação decimal. Pois note que o Teorema
dizimadizima
1 temos que todo racional tem
representação decimal �nita ou in�nita periódica, isso nos indica que existem mais nú-
meros, aqueles representados por representação decimal in�nita e não periódica, e
nessas representações temos os irracionais. Veremos mais detalhes sobre isso na pró-
xima seção. Enquanto isso usaremos normalmente as operações como as conhecemos,
sabendo que mais a frente iremos justi�cá-las melhor.
5.1.1 Exercícios
Exercício 105. Mostre que
√
2− 1 é irracional.
Exercício 106. a) Mostre que 3 + 2
√
2 e 3− 2
√
2 são irracionais.
b) Mostre que se a é irracional, então
√
a também é irracional e conclua que
√3 + 2
√
2
e
√
3− 2
√
2 são irracionais.
c) Mostre que
√
3 + 2
√
2−
√
3− 2
√
2 é natural. Qual natural é esse?
Exercício 107. Mostre que
√
2 + 5
√
3 é irracional. Use essa ideia para mostrar para
quais p e q naturais temos
√
p+ k
√
q irracional para todo k ∈ Q.
Exercício 108. Poderiamos ter um resultado semelhante ao do exercício anterior pen-
sando p e q racional então p+ kq irracional para todo k ∈ Q? Justi�que sua resposta.
Exercício 109. Mostre que para todo n ∈ N com n ≥ 2 temos que n
√
p é irracional
para p primo. Qual contra-exemplo para o caso de p não ser primo?
Exercício 110. Sejam a, b, c ∈ Q ∪ I. Determine os valores a, b, c para os quais seja
possível racionalizar o seguinte elemento:
1
a+ b 3
√
2 + c
√
5
5.2. RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ENVOLVENDO IRRACIONAIS. 73
Exercício 111. Reveja o caso da Raiz cúbica e determine um passo a passo para
racionalizarmos frações do tipo
1
3
√
2 + 5
√
2
.
5.2 Racionalização de expressões envolvendo irracio-
nais.
Relembremos agora um pouco do tratamento algébrico usado quando tratamos
com números irracionais, mais precisamente quando tratamos de frações envolvendo
racionais. O que veremos são alguns métodos para resolver tais situações.
Falaremos da racionalização. Do que se trata? Nada mais é do que "tirarmos"o
termo irracional do denominador para o numerador. Vejamos como podemos fazer isso.
Exemplo 20. Racionalize a fração 1√
7
Nesse caso precisamos nos perguntar qual número devemos multiplicar
√
7 para
obtermos um racional? A resposta a tal pergunta é multiplicar pelo próprio
√
7, mas
se simplesmente �zermos isso estaremos mudando a fração, e não é esse o nosso objetivo,
portanto ao multiplicar o denominador por
√
7 faremos o mesmo no numerador, e com
isso basicamente o que estamos fazendo é multiplicar a fração pelo 1 adequado. Temos
1
√
7 =
1√
7
· 1 =
1√
7
·
√
7√
7
=
√
7
(
√
7)2
=
√
7
|7|
=
√
7
7
Exemplo 21. Racionalize 2
7√5 .
Para esse caso, notamos que para obtermos um racional no denominador não é
suci�ente multiplicarmos pelo próprio número pois obteriamos 7
√
52. Dessa vez precisa-
mos multiplicar por 7
√
56. Repetindo basicamente o processo feito no exemplo anterior,
temos
2
7
√
5
=
2
7
√
5
·
7
√
56
7
√
56
=
2
7
√
56
7
√
5 · 7
√
56
=
2
7
√
56
7
√
57
=
2
7
√
56
5
Exercício 112. Por que dessa vez temos 7
√
57 = 5 ao invés de |5|?
74 CAPÍTULO 5. NÚMEROS IRRACIONAIS.
Exemplo 22. Racionalize 3√
5−1 .
Nesse exemplo, notemos que não temos apenas a raíz no denominador, então não
será su�ciente multiplicarmos por uma potência dessa raíz. Aqui usaremos o seguinte
fato (a + b) · (a − b) = a2 − b2. No nosso caso, temos que a =
√
5 e b = 1, portanto
(
√
5 + 1) · (
√
5− 1) = 5− 1 = 4. Sigamos para a racionalização
3√
5− 1
=
3√
5− 1
·
√
5 + 1√
5 + 1
=
3(
√
5 + 1)
(
√
5− 1)(
√
5 + 1)
=
3(
√
5 + 1)
4
Exemplo 23. Racionalize 1√
5+
√
2
.
Observe que a estratégia nesse caso será a mesma utilizada no exemplo anterior,
mas nesse caso teremos a =
√
5 e b =
√
2. Obtendo (
√
5 +
√
2) · (
√
5 −
√
2) =
(
√
2)2 − (
√
5)2 = 2− 5 = −3. Seguindo para racionalização,
1√
5 +
√
2
=
1√
5 +
√
2
·
√
5−
√
2√
5−
√
2
=
√
5−
√
2
(
√
5 +
√
2)(
√
5−
√
2)
=
√
5−
√
2
−3
Para o próximo exemplo, lembremos do seguinte fato x3−y3 = (x−y)(x2+xy+y2)
e x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2).
Exemplo 24. Racionalize 1
3√3− 3√5 .
Notemos que precisamos conseguir elevar ao cubo para eliminarmos as raízes. Se-
guindo a observação anterior, temos x = 3
√
3 e y = 3
√
5, faremos então ( 3
√
3− 3
√
5)(( 3
√
3)2+
3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2) = ( 3
√
3)3 − ( 3
√
5)3 = 3 − 5 = −2. Seguindo para a racionalização,
temos
1
3
√
3− 3
√
5
=
1
3
√
3− 3
√
5
· (
3
√
3)2 + 3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2)
( 3
√
3)2 + 3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2)
=
( 3
√
3)2 + 3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2)
( 3
√
3− 3
√
5)(( 3
√
3)2 + 3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2))
=
( 3
√
3)2 + 3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2)
3− 5
=
( 3
√
3)2 + 3
√
3 · 3
√
5 + ( 3
√
5)2)
−2
Exemplo 25. Racionalize 1
3√3−
√
2
.
5.2. RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ENVOLVENDO IRRACIONAIS. 75
Chegamos nesse caso, e esse por sua vez parece bem diferente dos demais, pois
temos no denominador um termo com rais cúbica e a outra uma raíz quadrada então
como agiremos nesse caso? Nesse caso faremos por etapas, primeiro eliminaremos a
raíz quadrada, assim como feita nos exemplos iniciais.
1
3
√
3−
√
2
=
1
3
√
3−
√
2
·
3
√
3 +
√
2
3
√
3 +
√
2
=
3
√
3−
√
2
3
√
32 − 2
Antes de seguir para a próxima etapa, pare e pense como agir a partir desse ponto.
Quais as di�culdades que teriamos agora?
Com isso temos agora apenas a raíz cúbica. Porém, nossa estratégia precisaria
que tivessemos duas raízes cúbicas. Mas note que podemos escrever 2 como uma raíz
cúbica, podemos escrever 2 = 3
√
8. Seguimos então
3
√
3−
√
2
3
√
32 − 2
=
3
√
3−
√
2
3
√
32 − 3
√
8
Exercício 113. Use a estratégia do exemplo anterior para �nalizar a racionalização.
Como foi comentado anteriormente, a multiplicação e soma de irracionais nem sem-
pre é um irracional, mas o que acontece se somarmos um racional a um irracional?
Proposição 22. Seja a ∈ Q e b ∈ I, temos que a+ b ∈ I e a · b ∈ I.
Exercício 114. Demonstre a proposição.
76 CAPÍTULO 5. NÚMEROS IRRACIONAIS.
Capítulo 6
Números Reais
Seguindo nosso estudo dos conjuntos numéricos, estaremos interessados no estudo
do conjunto dos números reais (R).
Temos varias formas de chegar ao conjunto dos reais, podemos construí-lo, de�ní-lo
axiomaticamente, e menos formalmente fazer como segue:
De�nição 10. O conjunto dos números reais é o conjunto de�nido por R = Q ∪ I.
No conjunto dos números reais podemos de�nir uma operação de soma e multipli-
cação assim como �zemos nos demais conjuntos, exceto no dos irracionais, porém vale
observar que poderiamos também de�nir uma soma ou multiplicação nos Irracionais,
o que não teriamos é que a mesma seria fechada, para isso lembremos que podemos
escrever tanto racionais como irracionais na forma decimal então teriamos no fundo
uma soma de Inteiros do tipo (ai + bi) · 10i para cada i, a multiplicação poderíamos
fazer algo semelhante.
Exercício 115. Como �caria a multiplicação dos termosp = a−110
−1 + a0 + a1 · 10 +
a2 · 102 com r = b0 + b1 · 10 + b2 · 102? Com ai, bi ∈ Z. Saberia generalizar para
representações quaisquer?
77
78 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
6.0.1 Operações via representação decimal.
6.0.2 Propriedades
Mas notamos que se tomarmos a, b ∈ R, então a+ b e a · b pertencem aos Reais, ou
seja, o conjunto dos Reais é fechado em relação a soma e multiplicação.
Exercício 116. Mostre que a a�rmação acima é verdadeira, ou seja, que se somarmos
ou multiplicarmos dois reais ainda teremos um número real. (OBS: Não precisa pensar
os elementos na forma decimal, pense como elemento que está na união dos respectivos
conjuntos que de�nem os reais.)
E satisfazem as mesmas propriedade da soma e multiplicação dos racionais. Os
axiomas de ordem dos racionais também são satisfeitas pelos números reais (assim
como as propriedades que seguem deles).
Exercício 117. Demonstre as propriedades de soma e multiplicação∗paraosreais.
Não comentamos nos Irracionais, mas como poderíamos pensar a ordem nesse con-
junto? Lembremos que temos uma representação decimal para o mesmo. Sejam
r = ...a−110
−1 + a0 + a1 · 10 + a2 · 102..an · 10n A representação de um Irracional e
s = ...b−110
−1 + b0 + b1 · 10 + b2 · 102...+ bk · 10k Como comparar eles?
Inicialmente comparamos os casos se a1 > b1 temos r > s, caso sejam iguais,
comparamos a2 com b2 se a2 > b2 temos r > s e caso sejam iguais, seguimos para o
seguinte até que um deles seja maior que o outros, ou que até que k > n ou n > k.
Caso n = k e todos os termos ai = bi, com i ≥ 0. Começamos a analisar os índices
negativos. Se a−1 > b−1 temos r > s, se forem iguais, comparamos o seguinte, assim
como no caso anteior.
Observação 33. Notamos que esse processo nos gera uma ordem, mas se estamos
tratando com Irracionais o u Racionaiscom termos periódicos da sua representação
decimal, analisar termo a termo pode ser bem demorado se possuírem muitos termos
identicos.
Exercício 118. Mostre as propriedades de ordem para os Reais.
6.1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS REAIS. 79
6.1 Representação geométrica dos Reais.
Até o momento falamos dos reais apenas como um ente algébrico, e suas proprie-
dade. Porém podemos ter um modelo geométrico dos números reais, tal modelo pode
ser encontrado na reta. Falaremos um pouco de como fazer essa relação entre ambas.
Veremos a seguir como fazer isso.
Seja a reta r, nela marquemos um ponto qualquer O, que chamaremos origem.1
Faremos a correspondência dos números reais com a reta da seguinte forma:
� O ponto O representa o número 0;
� Escolhe-se um ponto A à direita do ponto que representa o número 0 para repre-
sentar o número 1;
� A unidade de medida é a distância entre os pontos que representam os número 0
e 1;
� Se a > b, o ponto que representa o número b está situado à direita do ponto que
representa o número a e dista b−a unidade do ponto que representa o número a.
Desta forma temos as seguintes observações:
� Se x > 0 temos que o ponto que representa x está a direita de zero. E está a
x− 0 = x unidade do ponto que representa o 0.
� Se x < 0 ou 0 > x temos que o ponto que representa x estará a esquerda de 0.
Desta forma é possível criar uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta
e os números reais, como normalmente estamos acostumados.
1Lembremos da geometria euclidiana que uma reta é in�nita, então a escolha do ponto O não altera
a construção.
80 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Exercício 119. Como poderíamos marcar um número irracional na reta? Por exemplo,
como faríamos para determinar um ponto com uma distância
√
3 da origem?
Observação 34. Uma outra observação importante a ser feita é em relação aos nú-
meros negativos, pois através da representação na reta podemos ter mais claramente
informações sobre qual número é menor que o outro, pois por exemplo, o número −3
nada mais seria do que um número a esquerda do 0 e a uma distância 3 da origem.
Então se por exemplo, tomarmos −1, claramente ele estará a direita de −3 pois a dis-
tância de −1 para zero é 1, ou seja, ele está mais próximo da origem do que o −3. Tal
ideia pode ser usada em todas as outras situações.
Observação 35.
Observação 36. Ainda falando sobre comparação, as vezes as coisas podem compli-
car se estamos tentando compara frações com denominadores diferentes, mas isso pode
ser contornado veri�cando por quanto devo multiplicar o denominador de uma para se
igualar o da outra? Descobrindo isso, basta multiplicar no numerador e o denominador
da fração por esse valor. Por exemplo, 1
π
e 1
2
como podemos comparar? Se na segunda
multiplicarmos denominador 2 por π
2
teremos que o denominador da segunda �ca exa-
tamente o denominador da primeira, então comparamos 1
π
com
π
2
2·π
2
=
π
2
π
e como π
2
> 1
temos que 1
2
> 1
π
. Notando que para fazer essa comparação precisariamos anterior-
mente saber que π < 2 por exemplo, e isso só podemos fazer com suas representações
decimais.
Exercício 120. Use a ideia da observação anterior para determinar qual número é
maior nos seguintes pares.
a) −1
4
e −1
8
b) −2 e −2
3
c) − 1
32
e 1
2
d) −π e −2
A notação de intervalo está fortemente ligada a ordem nos reais. Sejam a, b ∈ R,
temos 9 tipos de intervalos.:
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 81
� [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b};
� (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b};
� [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b};
� (a, b) = {x ∈ R; a < x < b};
� [a,∞) = {x ∈ R; a ≤ x};
� (a,∞) = {x ∈ R; a < x };
� (∞, b] = {x ∈ R;x ≤ b};
� (∞, b) = {x ∈ R;x < b};
� (−∞,∞) == R.
Tais conjuntos também podem ser representados na reta real.
Exercício 121. Como podemos representar na reta cada um dos intervalos acima?
6.2 Equações e Inequações.
Agora estaremos interessado em utilizar as propriedades vistas até o momento para
compreender algumas situações. Existe no geral uma grande di�culdade em diferenciar
o que é uma equação do que é uma expressão, e nesse momento estaremos interessados
em comentar um pouco sobre isso.
6.2.1 Expressões e equações
De�nição 11. Uma expressão é a conexão de elementes de um conjunto por operações
entre esses elementos.
Por exemplo,
i) 2 · (4− π);
82 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
ii) 4 + log4(3);
iii) sen(x)
log10(32)−x2
para x ∈ R.
Notemos que nos itens i), ii) somos capazes de dizer o valor da expressão, porém
em iii) não podemos já que não sabemos qual o valor de x.
Quando temos situações como em iii) a letra é chamada de variável quando podemos
escolher mais que um elemento de um determinado conjunto para substituir no lugar
da letra.
Existe no entando uma classe mais restrita de expressões, que é a que de�nimos
abaixo:
De�nição 12. Expressão algébrica Uma expressão algébrica na variável x ∈ U ,
que podemos denotar por E(x)2, é uma expressão em que aparecem uma ou mais das
operações algébricas entre valores de um conjunto e a variável x.
Por exemplo, x ∈ R− {2}
E(x) = 4x2 + 2x+
x
x− 1
x−2
Observação 37. Vale notar uma parte importante na de�nicação de expressão algé-
brica, a que fala sobre operações algébricas, é esse tipo de relação que garante ser
uma expressão algébrica, caso tenhamos algo diferente de operações algébricas entre as
variáveis teremos outro tipo de expressão.
Denominamos domínio da de�nição da expressão, ou apenas domínio da
expressão, o maior subconjunto do universo U em que a expressão está bem de�nida,
ou seja, onde faz sentido termos a expressão.
Exemplo 26. Qual o domínio das seguintes expressões algébricas?
a) 2
x2−1
b) x2
2Uma expressão que possui dependencia de uma ou mais variáveis também pode ser denotada como
uma senteça aberta.
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 83
c) 1
x
.
Observação 38. Notemos que E(x) = 2sen(x) + 4sen(2x) não é uma expressão algé-
brica, pois não envolve apenas operações algébricas entre as variáveis.
Falaremos agora sobre relações entre expressões algébricas.
De�nição 13. Uma equação em x é uma igualdade entre duas expressões distintas
E(x) e F (x) de�nidas em U , ou seja,
E(x) = F (x)
De�nição 14. Dado um valor �xo a, dizemos que x = a é uma solução da equação
E(x) = F (x) se substituirmos x por a em E(x) e em F (x) e os resultados forem iguais.
Exemplo 27. Sejam E(x) = x2−2x+1 e F (x) = x3. Alguns dos valores a = 1,−2,−1
é solução de E(x) = F (x)?
Para veri�carmos isso, basta vermos se a igualdade vale. Para a = 1 temos E(1) = 0
já F (1) = 1, portanto a = 1 não é solução para E(x) = F (x).
Para a = −2 temos E(−2) = 9 e F (−2) = −8. Assim, a = −2 também não é
solução.
Já a = −1 temos E(−1) = 0 e F (−1) = −1 que também não é solução.
De�nição 15. Duas expressões são "iguais"ou equivalente em x ∈ D quando para
todo x ∈ D, se substituirmos o valor de x nas duas expressões, os resultados obtidos
nas duas expressões são iguais.
Observação 39. Note que existe uma grande diferença entre as expressões serem iguais
e existir solução para uma determinada igualdade, pois em uma a igualdade vale para
alguns valores do domínio, já na outra vale para todo o domínio, ou seja, duas
expressões serem iguais é uma a�rmação muito mais forte do que uma expressão possuir
solução.
Veremos formas de obtermos expressões equivalentes3
3A ideia de equivalência também pode ser vista nos estudos de lógica e de forma simplista a
equivalência indica que se eu tenho qualquer uma das duas expressões ela implica a outra.
84 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Caso 1: Somando e subtraindo o mesmo valor de uma expressão.
Exemplo 28. Por exemplo, E(x) = x−2
x−1 é equivalente a F (x) = 1 − 1
x−1 , para
vermos isso basta somarmos e subtrairmos 1 do numerador.
Caso 2: Multiplicando e dividindo a expressão pelo mesmo valor.
Exemplo 29. Por exemplo, E(x) = x−1√
x+1
é equivalente a F (x) =
√
x− 1.
Mostre que as seguintes expressões são equivalentes:
� E(x) = x2+1
x2+x+1
e F (x) = 1− x
x2+x+1
�
Exercício 122.Mostre que as expressões E(x) = x−1√
x
e F (x) = (x−1)2
x
não são equiva-
lentes, ou seja, elevar a expressão ao quadrado não conduz a uma expressão equivalente.
Exercício 123. Mostre que x−a
x+a
não é equivalente a x−a+b
x+a+b
. Ou seja, somar ao somar
o mesmo valor no numerador e no denominador não obtemos expressões equivalentes.
De�nição 16. Duas equações F (x) = G(x) e K(x) = L(x) são ditas equivalente para
x ∈ D quando
x ∈ D é solução de F (x) = G(x)⇔ x ∈ D é solução de L(x) = K(x).
Exemplo 30. As equações x2 = 0 e x2 + 1 = 0 não são equivalente em R.
Algo importante deve ser notado em relação as questões de simpli�cação de expres-
sões e equações. A ideia de simpli�car uma expressão está ligada a uma sucessão de
operações algébricas aplicadas a expressão, e isso nos leva a uma expressão igual ou
equivalente a anterior. Vejamos o seguinte exemplo,
Exemplo 31. Seja a expressão F (x) = x2 − 4x + 1. Podemos aplicar as seguinte
operações.
F(x) = x2−4x+1 = x2−4x+1+(3−3) = (x2−4x+4)−3 = (x−2)2−3 = G(x)
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 85
Observamos que a única operação que �zemos foi somar e subtrair 3 da expressão,
ao �m, obtemos a expressão G(x) = (x− 2)2− 3 que por sua vez é equivalente a F (x).
Outra coisa que notamos é que podemos "desfazer"cada um dos passos feitos e sair
de G(x) e chegar em F (x) apenas por operações algébricas. Em outras palavras cada
passo é feito obtendo uma expressão equivalente a anterior.
Porém, quando estamos falando de simpli�car equações as coisas se modi�cam,
pois não necessariamente a equação após as simpli�cações serão equivalentes a equação
original.
Vejamos essa diferença na prática no seguinte exemplo:
Exemplo 32. Seja a equação
√
x = x − 6 temos por sua vez que se dois valores são
iguais, então seus quadrados também são, ou seja, x = (x−6)2 ⇔ x = x2−12x+36⇔
x2−13x+36 = 0 o que nos dá x = 4 ou x = 9. Porém, x = 4 não é solução da equação
original, logo elas não são equivalente.
Mas por que tal fato ocorre? A�nal não usamos equivalências em cada passagem?
Na realidade a resposta é não para a segunda pergunta, pois uma das passagens que
�zemos não foi uma equivalência e sim uma implicação, e nesses casos não temos como
a�rmar a operação original. A passagem em questão é quando elevamos ao quadrado
ambos os lados da igualdade, pois o que temos é que se a = b ⇒ a2 = b2, porém o
contrário não é válido (dê um contra-exemplo desse fato).
Utilizando um pouco de lógica é possível veri�car isso, o que temos é uma a�rma-
ção do tipo "Se a é solução de F (x), então a é solução de G(x)"(em simbolos seriamos
P → Q), mas isso por sua vez não garante que se temos uma solução de G(x) ela
obrigatoriamente será uma solução para F (x), o máximo que podemos usar é a con-
trapositiva (∼ Q →∼ P ) ou seja, se b não é solução de G(x) então não é solução de
F (x).
E uma solução da simpli�cação será sempre uma solução da equação original se
cada passagem for uma equivalência.
86 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
6.2.2 Módulo
Começemos falando de um importante conceito nos reais, o valor absoluto:
De�nição 17. O valor absoluto de um número real x, também chamado de módulo
de x, é denotado por |x| e dado por
|x| =
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Observação 40. Note que |x| sempre é um valor positivo, ou seja, |x| ≥ 0 para todo
x ∈ R.
Observação 41. O módulo também pode ser interpretado geometricamente, como
sendo a distância do ponto x ao ponto 0. (Nesse caso estamos utilizando a bijeção
que existe entre os números reais e a reta.)
Exemplo 33. Utilize a de�nição de módulo para resolver os seguintes problemas.
a) |x+ 1| = 3
b) |x+ 2| = 2x+ 3
a) Para facilitar nossa compreensão, chamemos x+ 1 = y. Temos então a equação
|y| = 3. Mas isso se resume a y = 3 se y > 0 e −y = 3 se y < 0. Ou seja, x+ 1 = 3 se
x+ 1 > 0⇒ x > −1, o que por sua vez nos dá x = 2 é solução. Já para −y = 3 temos
y = −3 quando y < 0⇒ x+ 1 < 0⇒ x < −1, obtendo x+ 1 = −3⇒ x = −4.
b) Esse caso já parece um pouco mais complicado já que no lado direito da igualdade
temos outra expressão algébrica. Pela de�nição de módulo teremos duas situações, a
primeira quando x < −2 o que nos dá x + 2 < 0, e a outra quando x ≥ −2 o que nos
dá x+ 2 ≥ 0. Veremos se é possível encontrar soluções para as equações.
No quando x + 2 < 0 ou seja, x < −2, temos |x + 2| = 2x + 3 ⇒ −(x + 2) =
2x+ 3⇒ −x− 2 = 2x+ 3⇒ 3x = −5⇒ x = −5
3
, e como −5
2
< −2 é uma solução .
Já para x+2 ≥ 0, ou seja, x ≥ −2, temos |x+2| = 2x+3⇒ x+2 = 2x+3⇒ x = −1.
E como −1 ≥ −2 , −1 é solução.
Logo, as soluções são S = {−5,−1}.
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 87
A seguir vejamos as principais propriedades do módulo.
Proposição 23. Propriedades do módulo Se x, y são números reais quaisquer, temos
1. |x| ≥ 0
2. |x| =
√
x2
3. |x| = 0⇔ x = 0
4. | − x| = |x|
5. −|x| ≤ x ≤ |x|
6. |xy| = |x||y|
7. |x+ y| ≤ |x|+ |y|
8. ||x| − |y|| ≤ |x− y|
9. Se c > 0 então |x| ≤ c⇔ −c ≤ x ≤ c
10. Se c > 0, então |x| ≥ c⇔ x ≤ −c ou x ≥ c.
Muitas dessas propriedade basta usarmos a própria de�nição para mostrá-las. Já
outras podem ser mostradas usando algumas propriedades anteriores. Como exercício
demonstre as seguintes propriedades.
Exercício 124. Demonstre as seguintes propriedades de módulo;
a) | − x| = |x|
b) |x− y| = |y − x|
c) Seja c ≥ 0. |x| = c⇔ x = ±c
d) |xy| = |x||y| (propriedade 6)
e) |x2| = x2
f) Se c ≥ x então |x| < c⇔ −c < x < c (propriedade 9)
88 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
g) −|x| ≤ x ≤ |x|.
h) |x+ y| ≤ |x|+ |y| (propriedade 7)
i) ||x| − |y|| ≤ |x− y| (propriedade 8)
Equações
A partir de agora iremos estudar algumas equações e inequações:
Exemplo 34. Resolva as seguinte equações:
a) 5x−2
2x2+1
= 1
b) |x−1|
x−3 = 1
c) |x− 1|+ |x− 2| = 4
Analisemos cada item.
a) Para resolver a equação iremos transformá-la em uma equação equivalente e
melhor de manipular algebricamente. Isso pode ser feito em parte multiplicando ou di-
vidindo ambos os lados da igualdade por um mesmo valor, ou somando, ou subtraindo.
Observemos também que não temos restrição alguma no valor de x, já que o deno-
minador sempre é diferente de zero.
Multiplicando ambos os lados por 2x2 + 1 temos
5x− 2
2x2 + 1
= 1⇒ 5x− 2 = 2x2 + 1⇒ 2x2 − 5x+ 3 = 0
Temos então, resolvendo a equação de segundo grau temos que x = 3
2
e x = 1 é
solução.
b) Como |x−1|
x−3 = 1 se trata de uma equação envolvendo o módulo, precisamos analisar
duas situações. Uma quando (x − 1) ≥ 0, ou seja, x ≥ 1 e outra quando (x − 1) < 0,
ou seja, x < 1.
Para x ≥ 1 temos que |x− 1| = x− 1, logo nossa equação se torna
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 89
O que é absurdo, logo para x1 não existe solução.
Para x < 1 temos
−(x− 1)
x− 3
= 1
. Dessa vez observemos por outro ponto de vista. Tal igualdade só pode ocorrer
se o númerador e o denominador forem iguais, o que não ocorre já que para todo x
−(x− 1) 6= x− 3.
Portanto o conjunto solução para tal equação é vazio, ou de outra forma S = ∅ ou
S = {}.
c) Para o caso |x − 1| + |x − 2| = 4 notamos que teremos que ter um pouco mais
de atenção, já que temos o módulo em duas expressões. Analisemos cada um deles
separadamente a principio.
Temos |x− 1| = x− 1 se x ≥ 1 e |x− 1| = −(x− 1) se x < 1.
Já |x− 2| = x− 2 se x ≥ 2 e |x− 2| = −(x− 2) se x < 2
Se observarmos a �gura notamos que precisamos dividir nossa análise em três parte.
A primeira para x < 1, outro para 1 < x < 2 e outro para x > 2.
Caso 1- Para x < 1 temos |x − 2| = −(x − 2) e |x − 1| = −(x − 1), portanto a equação
�ca |x − 1| + |x − 2| = 4 ⇒ −(x − 2) − (x − 1) = −x + 2 − x + 1 = 4 ou seja,
−2x+ 3 = 4⇒ −2x = 1⇒ x = −1
2
.
Caso 2- Para 1 < x < 2 temos que |x− 2| = −(x− 2) e |x− 1| = x− 1, e com isso nossa
equação �ca (x− 1)− (x− 2) = x− 1−x+2 = 1, que por sua vez não tem como
ser igual a 4, logo não temos solução nesse intervalo.
90 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Caso 3- Para x > 2 �camos com x − 1 + x − 2 = 2x − 3. Logo, queremos resolver
2x− 3 = 4⇒ 2x = 7⇒ x = 7
2
= 3 + 1
2
.
Dessa forma, temos que as soluções são S = {−1
2
, 7
2}.
As inequações por sua vez necessitam um pouco mais de atenção com nossas ma-
nipulações e também em relação a quantidade de soluções.
Nosso interesse com as inequações normalmente será reescrever a mesma de tal
forma que façamos um comparação com o zero, pois assim podemos fazer uma análise
de sinais.
� f(x) · g(x) > 0⇒ f(x), g(x) possuem mesmo sinal, ou seja, f(x) > 0 e g(x) > 0
, ou f(x) < 0 e g(x) < 0.
� f(x) · g(x) < 0 ⇒ f(x), g(x) possuem sinais diferentes, ou seja, f(x) > 0 e
g(x) < 0 , ou f(x) < 0 e g(x) < 0.
Observação 42. Notamos que falamos acima apenas no caso de duas funções envol-
vidas, mas podemos generalizar para demais funções, abaixo veremos alguns exemplos.
Exemplo 35. Resolva as seguinte inequações:
a) (3x+ 3)(5x− 3) > 0
b) (x2 + 2x+ 1)(x− 1) ≤ 0
c) x+1
3x2−1 ≥ 0
d) |x+ 2| ≤ 2x+ 3
a) Note que temos a multiplicação de duas expressões f(x) e g(x) a qual deve
ser maior que zero. Então precisamos analisar onde essas expressões possuem sinais
diferentes. Uma forma para isso é analisar onde a mesma é zero, pois ao analisarmos
a esqueda e a direita desses pontos veri�camos se a mesma é positiva ou negativa
(Lembrando que tal fato só vale se estivermos tratando de expressões contínuas).
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 91
Temos 3x+3 = 0⇒ x = −1, então tomando um valor a esquerda e outro a direita
de −1 temos o sinal da mesma. Escolhendo −2 e 0 e substituindo na expressão obtemos
que é negativa a esquerda (−4) e positiva a direita (3).
Outra forma de veri�car isso, é notarmos que estamos com uma expressão que
representa uma reta, crescente, logo a esquerda de −1 será negativo e a direita positivo.
Fazendo a mesma analise para 5x− 3 = 0 obtemos que é zero em x = 3
5
e negativa
a esquerda e positiva a direita desse ponto.
Então teremos três locais para analisar. Um quando estamos a esquerda de −1,
outro quando estamos entre −1 e 3
5
e outro quando estivermos a direita de 3
5
. A �gura
abaixo mostra melhor tais divisões.
Notemos que se estamos a esquerdad e −1, tanto 3x+3 como 5x− 3 são negativas,
logo como temos mesmo sinal, ao multiplicar teremos um valor positivo. Já se estamos
entre − e 3
5
temos 3x + 3 positivo enquanto que 5x − 3 continua negativa, e assim a
multiplicação será negativa. E por �m, quando estivermos a direita de 3
5
ambas são
positivas, fazendo assim com que a multiplicação entre ambas seja positiva.
Portanto, como nosso interesse são os valores x tais que (3x + 3)(5x − 3) > 0,
temos que a solução é formada pelos intervalor (−∞,−1) e (3
5
,∞), ou de outra forma
S = (−∞,−1) ∪ (3
5
,∞).
b) (x2 + 2x+ 1)(x− 1) ≤ 0
Parecido com o exemplo anterior temos a multiplicação entre duas expressões. Dessa
forma também dividiremos os casos.
Para x− 1 = 0 temos que x = 1 e como a equação representa a uma reta crescente,
temos que a esquerda de 1 os valores serão negativos e a direita de 1 positivos.
92 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Já para x2 + 2x+ 1 = 0 pelo método resolutivo obtemos x = −1 como raiz dupla.
Aqui também podemos atribuir um valor menor que −1 e um valor maior que −1
para analisar o sinal, assim como podemos veri�car atráves da análise de seu grá�co,
obtendo assim que ela será sempre positiva.4
Veri�camos portanto que (x2 + 2x+ 1)(x− 1) ≤ 0 quando x ∈ (−∞, 1).
c) x+1
3x2−1 ≥ 0.
Notamos que nesse exemplo temos um quociente entre expressões. Mas também po-
demos analisar de forma semelhante a que �zemos coma multiplicação, já que podemos
ver a expressão como a multiplicação de (x+ 1) por 1
3x2−1 .
Para x+ 1 = 0 temos que x = −1, e mais uma vez como se trata de uma reta com
inclinação positiva, a mesma é negativa a esquerda de −1 e positiva a direita de −1.
Para analisar o sinal de 1
3x2−1 é su�ciente veri�car o sinal do denominador, já que o
númerador é constante. Então 3x2−1 = 0 ocorre para x =
√
3
3
e x = −
√
3
3
. Observamos
que para analisar o sinal precisaremos estudar três casos, quando x < −
√
3
3
, outro para
−
√
3
3
< x <
√
3
3
e x >
√
3
3
. Tomando x = −1, x = 0 e x = 1 (que estão respectivamente
em cada situação) obtemos que para o primeiro a expressão é positiva, para o segundo
é negativa e para o terceiro é positiva.
Podemos também fazer essa mesma analise se conhecemos o grá�co da parábola
3x2 − 1
Antes de analisarmos o quadro geral vale observar que as raizes da equação de
segundo grau não faz parte do domínio da expressão, porém mesmo assim iremos
4Você pode fazer o desenho do grá�co e análisar o mesmo, notando que o sinal será dado pelo eixo
y.
6.2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 93
marcar os pontos, mas apenas como referência para a análise dos sinais.
Notamos que também queremos onde tal fração vale zero, e isso ocorre apenas
quando no numerador é zero, ou seja, para x = −1 como já vimos. Obtemos portanto
que a solução é formado pelos valores x tais que pertencem aos intervalos [−1,−
√
3
3
)
ou (
√
3
3
,∞). De outra forma S = [−1,−
√
3
3
) ∪ (
√
3
3
,∞)
d) |x+ 2| ≤ 2x+ 3
Para esse exemplo percebemos que primeiramente não estamos fazendo uma com-
paração com o zero, então não podemos diretamente fazer o estudo do sinal como
�zemos anteriormente, e além disso temos um módulo, o que por sua vez já nos indica
que precisamos dividir nossa análise dependendo do valor que x+ 2 assume.
Se x < −22 temos x+ 2 < 0, ou seja, |x+ 2| = −(x+ 2) e assim
|x+ 2| ≤ 2x+ 3⇒ −x− 2 ≤ 2x+ 3⇒ −3x ≤ 5⇒ x >
−5
3
94 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Nesse caso, notemos que temos dois limitadores, o primeiro que segue do módulo e
o segundo da resolução da inequação. Temos nesse caso que x < −2 e x > −5
3
, como
−2 < −5
3
não temos solução para essa parte da equação.
Já se x > −2, obtemos |x+ 2| = x+ 2 e assim
|x+ 2| ≤ 2x+ 3⇒ x+ 2 ≤ 2x+ 3⇒ −x ≤ 1⇒ x > −1
Novamente temos duas limitações x > −2 e x > −1, daí, obtemos que a solução
nesse caso é x > −1. E assim os valores de x que satisfazem tal inequação é formado
pelo conjunto S = (−1,∞).
Grá�camente podemos ver facilmente tal solução.
Exercício 125. Determine os valores de x que satisfazem a inequação x+1
3x2−1 ≥ 1.
(Observe que nesse caso não temos a comparação com o zero, mas podemos reescerver
de uma forma que possamos fazê-lo).
Ao resolvermos problemas do tipo, encontrar x que satisfação x
x−2 = x+4
x
e x
x−2 <
x+4
x
temos que ter bastante cuidado com os pasos que tomamos, pois cada uma das situações
se comportam de forma distintas em relação as operações que fazemos. Se x 6= 0 e
x− 2 6= 0 temos
x
x− 2
=
x+ 4
x
⇔
x2 = (x− 2)(x+ 4) ⇔
x2 = x2 − 2x+ 4x− 8 ⇔
0 = 2x− 8⇔ x = 4
6.3. COTAS, SUPREMO E ÍNFIMO. 95
Se �zessemos operações semelhantes para a inequação, teriamos
x
x− 2
<
x+ 4
x
⇔
x2 < (x− 2)(x+ 4) ⇔
x2 < x2 − 2x+ 4x− 8 ⇔
0 < 2x− 8⇔ x > 4
Porém, tomando x = 6, temos 6
6−2 = 6
4
6= 6+4
6
= 10
6
.
Exercício 126. Onde está o erro nos pasos que tomamos nesse caso?
6.3 Cotas, supremo e ín�mo.
Nesta seção estaremos interessado em apresenta os conceitos de cota, supremo e
ín�mo de subconjuntos reais. A príncipio tais conceitos podem parecer estranhos de
serem estudados, porém a compreensão dos mesmos será muito importantes em vários
momentos.
De�nição 18. Seja S um subconjunto não vazio de R.
a) O conjunto S é dito limitado superiormente se existe um número u ∈ R tal
que s ≤ u para todo s ∈ S. Cada número u é chamado uma cota superior de S.
b) O conjunto S é dito limitado inferiormente se existe um número w ∈ R tal
que w ≤ s para todo s ∈ S. Cada número w é chamado uma cota inferior de S.
c) Um conjunto é dito limitado se existem ambas as cotas superior e inferior. E é
dito ilimitado se não é limitado.
Em outras palavras, para o item a), por exemplo, estamos simplesmente dizendo
que um conjunto é limitado superiormente, se podemos encontrar algum número real,
de tal forma que esse valor seja maior ou igual a todos os elementos desse conjunto.
96 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Exemplo 36. a) O conjunto S = {s ∈ R; s < 2} é limitado superiormente.
b) O conjunto S = {1
s
; s ∈ N} é limitado.
c) O conjunto S= {s ∈ N; s é primo} é ilimitado.
De�nição 19. Seja S um subconjunto não vazio de R. Se S é limitado superiormente,
então um número u é dito supremo de S se satisfaz as condições;
1) u é uma cota superior de S, e
2) Se v é uma uma cota supreior qualquer de S, então u ≤ v.
Observação 43. Pelo item 2) nós observamos que o supremo é uma cota superior,
mais com uma propriedade a mais, ela é a menor dessas cotas.
Exercício 127. Um conjunto pode ter dois supremos? Ou o supremo é único? Tente
demonstrar caso ache que seja único, e tente achar um contra-exemplo caso acredite
que possam existir dois supremos.5
De�nição 20. Seja S um subconjunto não vazio de R. Se S é limitado inferiormente,
então um número w é dito ín�mo de S se satisfaz as condições;
1) w é uma cota inferior de S, e
2) Se v é uma uma cota inferior qualquer de S, então v ≤ w.
Observação 44. Pelo item 2) nós observamos que o ín�mo é uma cota inferior, mais
com um diferencial, ela é a maior dessas cotas.
Exercício 128. Um conjunto pode ter dois ín�mos? Ou o ín�mo é único?
Exemplo 37. Qual o ín�mo dos seguintes conjuntos:
a) S = {1
s
; s ∈ N}
b) S = { n
n+1
;n ∈ N∗}
5Como re�exão: Se você não chegou a se perguntar, trazemos esse questionamento: Será que
podemos encontrar algum outro conjunto, diferente dos reais, onde o supremo é único? E onde ele
não é?.
6.3. COTAS, SUPREMO E ÍNFIMO. 97
a) Para esse caso, notamos que como s é positivo, temos que 1
s
também é positivo,
assim, 0 < 1
s
, ou seja, 0 claramente é uma cota inferior. Mas para ser o ín�mo ela deve
ser a maior das cotas inferiores desse conjunto.
Supondo que existe um real a > 0 que também seja cota inferior desse conjunto.
Mas como a 6= 0 temos que existe um racional6 m
n
entre 0 e a.
Observação 45. Uma outra forma de tentar justi�car tal fato é notar que o conjunto
dos Naturais não é limitado superiormente, logo existe s0 ∈ N tal que s0 >
1
a
, mais
isso por sua vez implica que a > 1
s0
∈ S, logo a não pode ser cota inferior de S.
Exercício 129. Utilizando as propriedade dos racionais vistas no capítulo anterior
responda os seguinte itens.
1) Dado um racional n
m
sempre podemos encontrar um natural s tal que s > n
m
?
Justi�que sua a�rmação.
2) Mostre que se s > n
m
temos que 1
s
< m
n
Mas isso por sua vez, nos mostra que a não pode ser uma cota inferior para o
conjunto S, e se não é cota inferior, também não pode ser um ín�mo para o conjunto,
o que contradiz nossa hipotese. Logo, S não possui nenhuma cota inferior maior do
que 0 e assim, temos que 0 é o ín�mo do conjunto.
b) Use uma ideia semelhante para mostrar que 0 também é in�mo desse conjunto.
Comece notando que 0 é uma cota inferior para o conjunto.
O ín�mo do conjunto S é escrito de forma conscisa como inf(S) ou inf S. E o
supremo sup(S) ou supS.
Observação 46. Uma coisa muito importante que devemos notar em relação ao ín-
�mo e supremo de um conjunto é que eles não precisam necessariamente pertencer ao
conjunto.
Exemplo 38. a) Se S = { 1
n
;n ∈ N} temos que o supremo do conjunto pertence ao
conjunto, no entanto o ín�mo não pertence.
6Na realidade existem in�nitos racionais.
98 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
b) O intervalo (1, 2) possuí ín�mo e supremo, porém nenhum deles pertence ao con-
junto.
Vejamos algumas propriedade sobre o in�mo e o supremo de um conjunto. O se-
guinte resultado pode ser mostrado em situações mais gerais, mas demonstraremos o
mesmo na reta, pois aí temos uma intuição geometrica para tal fato, pense a demons-
tração abaixo desenhando para tentar ver se as passagens parecem fazer sentido.
Proposição 24. Se A ⊂ B, então inf A ≤ supB caso existam.
Demonstração. Já sabemos que inf(A) ≤ sup(A) e inf(B) ≤ sup(B) (Por que
sabemos isso? Justi�que.).
Podemos encontrar alguma relação entre sup(A) e sup(B)?
Suponha supA > supB, isso implica que existe algum elemento de A, tal que a ∈ A
e a > b para todo b ∈ B (tente justi�car tal fato, pois a principio o que temos é que
sup(A) > sup(B) > b para todo b ∈ B, mas isso é su�ciente para garantir que existe
um a ∈ A tal que a > b para todo b ∈ B??), mas se isso ocorresse existiria um a ∈ A
tal que a 6∈ B, ou seja,não teriamos AB, o que é um absurdo, logo sup(A) ≤ sup(B),
mas como sabemos que inf(A) ≤ sup(A) obtemos o desejado.
Exercício 130. Encontre exemplos de dois intervalos A e B na reta, tais que A ⊂ B,
e sup(A) = sup(B) e um onde sup(A) < sup(B).
Exercício 131. Sejam A e B subconjuntos não-vazios dos reais tais qe A ⊂ B. Mostre
que
a) supA ≤ supB.
b) inf B ≤ inf A.
Exercício 132. Responda os seguintes itens:
a) Encontre o ín�mo e supremo do conjunto S = {1− (−1)n
n
;n ∈ N}.
b) Seja S um subconjunto não vazio de R e limitado inferiormente. Mostre que
inf S = − sup{−s; s ∈ S}.
6.3. COTAS, SUPREMO E ÍNFIMO. 99
c) Mostre que se A e B são subconjuntos limitados de R, então A∪B é um conjunto
limitado. Mostre que sup(A ∪B) = sup{sup(A), sup(B)}.
Falaremos agora sobre Máximo e mínimo em um conjunto A.
De�nição 21. Seja A um conjunto de números. O maior elemento de A, se existir, é
chamado de máximo de A e, de modo análogo, o menor elemento de A, se existir, é o
mínimo de A. Simbolicamente, max(A) e min(A) respectivamente.
Começamos observando que o ín�mo e o supremos do conjunto A não necessaria-
mente são seu mínimo e máximo.
Exercício 133. Dê exemplos de conjuntos que possuem supremo e/ou ín�mo, porém
não tem máximo e/ou mínimo.
Exercício 134. Determine, se existirem, o máximo, mínimo, supremo e ín�mo de cada
conjunto de R dado. Justi�que as suas a�rmações.
A = {x ∈ R;−2 < x ≤ 7} B = {x ∈ R;x2 + 5x+ 6 ≤ 0}
C = {x ∈ R;x2 + 5x+ 6 < 0} D = { (−1)
n
n
;n ∈ N}
E = { 1
1+x2
;x ∈ R}
6.3.1 Exercícios.
Exercício 135. Considere X um subconjunto dos números reais dado por
X = { 2
n
;n ∈ N}
a) Mostre que 0 é ín�mo de X. Podemos a�rmar que 0 é mínimo? Justi�que.
b) Mostre que 2 é supremo de X. Podemos a�rmar que 2 é máximo? Justi�que.
Exercício 136. Considere o conjunto
A = {a ∈ Q; 5 < a2 e a ≤ 10}
a) A tem supremo em Q? Justi�que.
b) A tem ín�mo em Q? Justi�que.
100 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Exercício 137. Seja p =
√
2 um número irracional. De�na o conjunto
A = {a ∈ Q; a ≤ p}
a) Tal conjunto possui supremo em Q? (Dê uma ideia intuitiva de como poderia
justi�car tal fato).
b) Tal conjunto possui máximo?
Exercício 138. Sejam A e B subconjuntos não-vazios dos reais, com a1 e b1 os su-
premos de A e B, respectivamente e a2 e b2 os ín�mos de A e B, respectivamente.
De�na
A+B = {x+ y;x ∈ A e y ∈ B}
Mostre que
a) A+B é limitado.
b) sup(A+B) = a1 + b1
c) inf(A+B) = a2 + b2
Exercício 139. Determine o supremo, ín�mo, mínimo e máximo do conjunto
A = {n+ (−1)n
n
;n ∈ N}
Exercício 140. Sejam B um subconjunto de números reais limitado superiormente e
b = supB. Considere A = {−x;x ∈ B} e mostre que
a) A é limitado inferiormente.
b) a = −b é o ín�mo de A.
Exercício 141. Dizemos que uma função f : X → R é limitada superiormente quando
sua imagem f(X) = {f(x);x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente. Então pôe-
se sup f = sup{f(X);x ∈ X}. Mosre que se f, g : X → R são limitadas superiormente
o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g).
Dê um exemplo com sup(f + g) < sup(f) + sup(g). Enuncie e mostre um resultado
análogo para inf.
Exercício 142. Considere K um subconjunto dos reais dado por
K = {a− b; a, b ∈ [0, 1)}
6.4. AXIOMA DO SUPREMO. 101
a) Mostre que K é limitado superiormente.
b) Determine o supremo de K e mostre que, de fato, o elemento real que você diz ser
o supremo é a menor das cotas superiores.
c) Mostre que K é limitado inferiormente.
d) Determine o ín�mo de K e mostre que, de fato, o elemento real que você dis zer
o ín�mo é a maior das cotas inferiores.
e) K tem máximo ou mínimo? Justi�que.
6.4 Axioma do supremo.
Nessa seção estaremos �nalizando a caracterização dos Reais. Para isso, iremos ver
uma caracteristica que ele possui e que nenhum dos conjuntos anteriores possuia, que
é a completude.Assim como algumas das coisas vistas anteriormente, veremos o resultado sob um
ponto de vista axiomático.
Mas antes de seguirmos propriamente ao axioma, vejamos algumas de�nições pré-
vias.
De�nição 22. Um corpo K ordenado é dito completo se todo subconjunto não vazio
A ⊂ K, que é limitado superiormente, possui supremo em K.
Observação 47. Um conjunto K é dito corpo se ele possui duas operações (+, ·) que sa-
tisfazem as propriedades vistas no conjunto dos Racionais. Logo, normalmente quando
falarmos de corpo estaremos falando de uma tripla (K,+, ·).
Exemplo 39. O conjunto Q não é completo. Para vermos isso, basta encontrarmos
um subconjunto não vazio A ⊂ Q, que é limitado superiormente, mas que seu supremo
não pertence a Q. Em outras palavras, que o supremo seja um número irracional. Dê
um exemplo de tal conjunto.
Exercício 143. Seja M um subconjunto de um corpo ordenado. Mostre que se existe
o máximo (respectivamente, o mínimo) então ele é, necessariamente, o supremo (res-
pectivamente, o ín�mo) de M
102 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Observação 48. Notamos que juntando as informações do exercío e exemplo anterior
temos que a reciproca do exercício não é válida. 7
Exercício 144. Demonstre se for verdadeiro, ou dê um contra-exemplo se for falsa
a seguinte a�rmação "Seja M um subconjunto limitado de um corpo ordenado (R
por exemplo), mostre que se s é o supremo desse conjunto então −s é o ín�mo desse
conjunto."
Intuitivamente, poderiamos pensar que o conjunto dos Reais é completo, mas surge
a seguinte pergunta: Será que não existe algum outro número que seja supremo
de um subconjunto dos reais, e que não faça parte dos reais? Assim como
acontece com os Racionais?
Para responder tal questionamento, temos algumas formas de agir. A primeira, que
é a que adotaremos, é adicionar um novo axioma que garante exatamente a completude
do mesmo (o axioma do supremo) Axioma do Supremo:
Todo subconjunto de R que é não vazio e limitado superiormente possui supremo em
R
Tal axioma pode parecer desnecessário a primeira vista, a�nal quando pensamos
no conjunto dos reais já pensamos o mesmo intrinsecamente com essa propriedade, no
entando como já vimos existem corpos ordenados onde tal propriedade não vale. O
que poderia ser interessante pensar é: Será que podemos seguir por outro caminho
e demonstrar na realidade tal resultado? Ao invés de assumirmos como um axioma
dentro da nossa contrução?8 Outras formas de fazer isso seria construindo os reais
através dos racionais e demonstrar tal propriedade utilizando das sequências de Cauchy
ou os Cortes de Dedekind, porém tais caminhos fogem um pouco do que pretendemos
para esse curso. Para mais detalhes sobre esses outros caminhos indico
LP
[5]
7Quando temos uma proposição condicional P → Q, a reciproca é a proposição Q→ P . Lembrando
da lógica, nem sempre a reciproca de uma condicional é verdadeira.
8Apenas a título de curiosidade, o 5o postulado de Euclides, ou axioma das paralelas, passou
vários séculos sendo discutido se o mesmo seria um axioma ou se poderia ser demonstrado utilizando
outros axiomas, e muito tempo depois se veri�cou que ele não poderia ser demonstrado através dos
outros axiomas, e mais, ao mudarmos o mesmo outras geometrias surgem, por exemplo a geometria
hiperbólica.
6.4. AXIOMA DO SUPREMO. 103
De�nição 23. Um corpo ordenado K possui a propriedade arquimediana se satisfaz
para todo a, b ∈ K, com a > 0, existe n ∈ N tal que b < n · a.
Observação 49. Temos portanto que Q é arquimediano. Pois dados dois inteiros, a e
b, temos pela divisão que existem q e r inteiros, tais que b = aq+r, mas isso por sua vez
implica b = aq+ r < aq+ a = (q+1)a. Se por um acaso q < 0 temos aq < 0 < a(−q),
e obtemos o resultado.
Proposição 25. Seja (K,+, ·) um corpo ordenado in�nito. Tem-se que as a�rmações
abaixo são equivalentes:
1) N ⊂ K não é limitado superiormente.
2) Para quaisquer a, b ∈ K, com a > 0 existe n ∈ N tal que b < n · a.
3) Para qualquer a ∈ K, com a > 0 existe n ∈ N tal que 0 < 1
n
< a
Demonstração.
O que faremos é mostrar que 1)⇒ 2)⇒ 3)⇒ 1).
1)⇒ 2).
Suponha por absurdo que tal n não existe, então teríamos n ·a < b para todo n ∈ N,
mas como K é corpo, existe a−1, o qual também é maior que zero, pois a > 0 , temos
então n < b · a−1 para todo n ∈ N, o que implicaria que N é limitado superiormente o
que contraria nosa hipótese 1). Logo para todo a, b ∈ K, existe algum n ∈ N tal que
b < n · a.
2)⇒ 3)
Utilizemos 2) para os elementos 1 e a do corpo K. Temos então que existe n ∈ N
tal que 1 < n · a. Mas isso implica 0 < 1 < n · a, o que por sua vez implica 0 < 1
n
< a.
Para �nalizar, mostremos que 3)⇒ 1).
Suponha que existe a ∈ K tal que n < a para todo n ∈ N. Como a ∈ K, existe a−1,
temos então por 3) que existe n0 ∈ N tal que 1
n0
< a−1, mas isso por sua vez implica
1 < n0a
−1, como a > 0 temos a < n0.1 = n0, o que seria absurdo, pois a deveria ser
uma cota superior de N. Logo, N não é limitado superiormente.
104 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Observação 50. Notamos que para ganantir que as a�rmações do resultado anterior
são verdadeiras, precisamos mostrar que pelo menos uma delas é verdadeira, o que
�zemos foi mostrar que se uma é verdadeira então implica na seguinte. Utilizaremos
o axioma do supremo para mostrar uma delas e assim �nalizar o resultado, pois dessa
forma será garantida que todas as demais também serão.
Exercício 145. Utilizando o axioma do supremo mostre que N não é limitado superi-
ormente.
Proposição 26. Se a e b são números reais, com a > 0, então existe pelo menos um
natural n tal que na > b.
Demonstração. Suponha por absurdo que na ≤ b para todo natural n. Temos
então o conjunto A = {na : n ∈ N} é limitado superiormente. Temos que A é não
vazio, já que a.1 = a que pertence a A. Portanto, pelo axioma do Supremo, existe
s = sup(A).
Como a > 0, temos que s − a < s. Logo, s − a não é cota superior de A. Isso
por sua vez, implica que existe ma ∈ A tal que s − a < ma, ou de outra forma, que
s < (m + 1)a. Como m + 1 ∈ N, temos (m + 1)a ∈ A, o que por sua vez contradiz o
fato de s ser cota superior de A.
Exercício 146. Mostre que para todo real r existe um natural n tal que n > r.
Proposição 27. Seja r ∈ R, existe m ∈ Z tal que m− 1 < r < m
Demonstração. Pelo exercício anteior, existe n ∈ N tal que n > r. De�na
o conjunto M = {k ∈ N;n − Sk(1) > r}. Como M ⊂ N, temos pelo pricípio da
boa ordenação que existe j + 1 menor elemento9 de M , ou seja, para j temos que
n− Sj(1) < r ≤ n− Sj+(1). Reescrevendo temos n− Sj(1) < r ≤ n− Sj(1) + 1 o que
implica m < r < m+ 1.
exq Exercício 147. Se a, b ∈ R e a < b mostre que existe r ∈ Q tal que a < r < b.
9Se por um acaso j = 0 teríamos que n−Sk(1) > r para todo k, mas isso implicaria que o conjunto
dos Inteiro é limitado inferiormente. O que é um absurdo.
6.5. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 105
6.5 Conjuntos Finitos e In�nitos
Nessa seção nosso objetivo será formalizar o que são conjuntos �nitos e in�nitos e
comentar algumas propriedades gerais sobre tais conjuntos.
Antes de começarmos façamos uma breve revisão sobre funções:
Uma função pode ser visto como um trio da forma (f, A,B), ondeA,B são conjuntos
e f uma relação entre os conjuntos.
O conjunto A é chamado domínio de f , B o contra-domínio e f de relação, ou lei
de formação, tal que para todo elemento a ∈ A, temos um elemento b ∈ B tal que
b = f(a). De forma mais suscinta
f :A→ B
a→ f(a)
O conjunto Im(f) = {b ∈ B; b = f(a), a ∈ A} é chamado imagem de f .
Observação 51. Apenas a título de reforço, vale lembrar que uma função não é só o
termo f , mas a lei de formação juntamente com os conjuntos A e B, então quando
falamos função f estamos nos referindo aos três elementos.
Exemplo 40. Se termos a lei de formação f(x) = x2, podemos relacionar a ela diversos
conjuntos A e B, por exemplo f : N→ R ou f : [0, 1]→ R ou f : R+ → R, etc... E em
cada um dos casos temos uma função distinta.
Algumas funções (f, A,B) possuem propriedades especí�cas. Queiremos de�nir
abaixo:
De�nição 24. a) A função é dita injetiva se dados x, y ∈ A temos que f(a) = f(b)
implicar a = b. Ou de outra forma se a 6= b implica f(a) 6= f(b).10
b) A função é dita sobrejetiva se para todo y ∈ B, existe um x ∈ A tal que y = f(x).
c) É dita bijetiva se é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Podemos simpli�car um pouco as de�nições anteriores da seguinte forma:
10Note que aqui temos a contrapositiva: P → Q então ∼ Q→∼ P
106 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
a') Injetiva se elementos diferente do domínio nos levam em elementos diferentes da
imagem.
b') Se todo elemento de B é alcançado por um elemento de A através da relação f .
6.5.1 Conjuntos �nitos e in�nitos.
Talvez já tenhamos em mente a ideia intuitiva do que seria um conjunto �nito
e um conjunto in�nito, porém precisamos deixar todas as ideias relacionadas a tais
tipos de conjuntos de forma bem de�nida e sem deixarmos dúvidas em relação ao
que dizemos ser precisamente um conjunto �nito e um conjunto in�nito. Para vermos
um pouco dessa di�culdade você poderia parar por um tempo e pensar como você
de�niria um conjunto �nito? Como de�niria um conjunto in�nito? Diria apenas, um
conjunto in�nito é aquele que tem uma in�nidade de elementos? Mas como poderíamos
con�rmar essa in�nidade de elementos? O que nos garantiria isso?
Uma outra indagação importante e que pode gerar dúvida no começo é a questão
do conjunto ser �nito ou in�nito e a questão de ser limitado ou não. Por exemplo,
um conjunto limitado não necessariamente é �nito, um exemplo simples é o conjunto
formado por S = { 1
n
;n ∈ N}, tal conjunto é in�nito, porém, limitado.
Para elucidarmos tais fatos, precisamos de�nir o que cada termo signi�ca.
De�nição 25. a) Ao conjunto ∅ é dito ter 0 elementos.
b) Se n ∈ N, dizemos que o conjunto S possui n elementos se existe uma bijeção
entre o conjunto In := {1, 2, 3, ..., n} em S.
c) Um conjunto S é dito �nito se ele é vazio ou se possui n elementos para algum
n ∈ N.
d) Um conjunto S é dito in�nito se não é �nito.
Uma pergunta que poderia surgir em relação aos conjuntos �nitos é: Será que um
conjunto �nito pode ter mais do que um valor de n para determinar seus elementos?
Se A é um subconjunto próprio de In, não pode existir uma bijeção f : A→ In.
Demonstração.
6.5. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 107
Suponha por absurdo que tal bijeção existe. Considere n0 ∈ N, o menor natural tal
que existem subconjuntos próprios A ⊂ In0 e uma bijeção f : A→ In0 . Temos n0 > 1.
Seja a ∈ A tal que f(a) = n0. A restrição de f ao subconjunto próprio A−{a} ⊂ In0−1
será uma bijeção sobre In0 − 1, o que contraria a minimalidade de n0.
Proposição 28. Unicidade Se S é um conjunto �nito, então o número de elementos
de S é um único número N.
Exercício 148. Demonstre a proposição anterior.
Outro fato relevante é o seguinte:
Teorema 2. O conjunto dos naturais é um conjunto in�nito.
Exercício 149. Demonstre o teorema anteiror. (Tente usar o Teorema anterior para
mostrar isso).
Exemplo 41. Seja P o conjunto dos números naturais primos. Mostre que P não é
�nito.
Suponhamos que o mesmo é �nito, ou seja, que existe n tal que temos uma bijeção
de P em In. Sejam os primos an = f(n). Podemos então multiplicar todos esse
primos a1a2...an, como cada termo é natural, existe o sucessor dele x = a1a2...an + 1.
Sabemos que todo natural pode ser escrito como fatores de primos, mas se P fosse
�nito deveríamos ter que algum elemento de P divide x, mas isso não é possível, pois
para todo elemento de P, a divisão de x por ele daria resto 1. Logo chegamos em um
absurdo, portanto P não é �nito.
Sigamos agora para algumas propriedades elementares para conjuntos �nitos e in-
�nitos.
Teorema 3. i) Se A é um conjunto com m elementos e B um conjunto com n
elementos e se A ∩B = ∅, então A ∪B tem m+ n elementos.
ii) Se A é um conjunto com m ∈ N elementos e C ⊂ A é um subconjunto com 1
elementos , então A− C é um conjunto com m− 1 elementos.
iii) Se C é um conjunto in�nito e B é um conjunto �nito, então C−B é um conjunto
in�nito.
108 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Demonstração.
i) Como os conjuntos A e B são �nitos existem bijeções fA e fB entre os conjuntos
A e B com Im e In respectivamente. Mostrar que A∩B tem m+n elementos é mostrar
que existe uma bijeção entre o conjunto A ∪B com Im+n.
Seja a função f : A ∪B → Im+n de�nda por f(a) = fA se a ∈ A e f(b) = m+ f(b)
para b ∈ B. Tal função é uma sobrejeção, pois para todo k ∈ [1,m+n] existe s ∈ A∩B
tal que f(s) = k, pois se k ∈ [1,m] existe a ∈ A tal que f(a) = fA(a) = k, pela bijeção
fA, o mesmo se k ∈ [m + 1,m + n], pois existe b ∈ B tal que fB(b) = k −m ∈ [1, n]
que é garantido pela bijeção de fB.
Já a injetividade f(s) 6= f(t) temos três possibilidades, s, t ∈ A, s, t ∈ B ou s ∈ A
e t ∈ B. Dividamos os casos
Caso 1: Teriamos fA(s) = f(s) = f(t) = fA(t), e pela injetividade de fA temos a
injetividade nesse caso.
Exercício 150. Mostre a injetividade para os outros dois casos.
Mostrando assim a bijeção da função f .
ii) Para isso basta veri�carmos que existe uma bijeção entre os conjuntos {1, 2, 3, 4, ..., k−
1, k + 1, ...m} e Im−1 onde f(c) = k e c ∈ C.
Exercício 151. Encontre uma bijeção g entre esses conjuntos.
Temos que existe uma bijeção f : A → Im, então juntamente com a bijeção g
conseguimos uma bijeção h entre A−C e Im−1 tomando para cada a ∈ A−C a função
h(a) = g(f(a)).
Exercício 152. Mostre que a composição de duas bijeções é uma bijeção.
iii) Suponha que C − B seja �nito, temos então que C − B possúi m elementos.
Como B é �nito temos que B possuí n elmentos. Portanto, como (C − B) ∩ B = ∅
teriamos pelo item i) que (C−B)∪B possuiria m+n elemtos, mas (C−B)∪B = C o
que é absurdo, pois hipotese C é in�nito, portanto C −B não pode ser �nito, ou seja,
é in�nito.
6.6. ENUMERABILIDADE 109
Teorema 4. Supondo que S e T são conjuntos tais que T ⊂ S.
a) Se S é �nito, então T é �nito.
b) Se T é in�nito, então S é in�nito.
Demonstração.
a) Se S é �nito, existe uma bijeção f de S em Im para algum m ∈ N. Como
T ⊂ S temos que f |T é bijeção com algum subconjunto K ⊂ Im, portanto não pode
ser in�nito, pois caso contrário existiria uma bijeção entre K e N.
b) Temos duas possibilidades para S, ele é �nito ou in�nito. Supondo que S é
�nito, teriamos pelo item a) obrigatoriamente que T deveria ser também �nito, o que
é absurdo. Logo S é in�nito. 11
Exercício 153. Mostre que um subconjunto A ⊂ N é �nito se e somente se é limitado.
6.6 Enumerabilidade
Nessa seção iremos apresentar as ideias de enumerabilidade de conjuntos e apresen-
tar algumas propriedade dos conjuntos enumeráveis. Para a seguir focarmos em alguns
conjuntos especí�cos para veri�car se os mesmos são ou não enumeráveis.
Começemos de�nindo o que signi�ca um conjunto ser enumerável.
De�nição 26. Dizemos que um conjunto A é enumerável se ele é vazio ou se existe
uma função bijetiva entre A e algum subconjunto de N. Caso contrário dizemos que A
é não-enumerável.
Observação 52. Observamos que o subconjunto pode ser o próprio conjunto dos na-
turais.
Exercício 154. O conjunto dos naturais é enumerável? Justi�que.
Para re�etir: O conjunto A × A = A2 = {(a, b); a, b ∈ A}. Sabendo disso, o
conjunto N2 pode ser enumerável? Ele parece possuir mais ou menos elementos que N?
11Notemos que o item b) é a contrapositiva do item a).
110 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Outra de�nição importante é a de cardinalidade:
De�nição 27. Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Dizemos que A e B têm
a mesma cardinalidade ou que a cardinalidade de A é igual à de B, se existe uma
bijeção f : A → B. Caso contrário dizemos que eles não têm a mesma cardinalidade
ou que suas cardinalidades são diferentes.
Observação 53. Usualmente é usado ]A para indicar a cardinalidade de um conjunto
A.
Observação 54. Notamos que tal de�nição faz sentido tanto para conjuntos �nitos
como para conjuntos in�nitos. Porém a utilização do simbolo ]A isoladamente no geral
não tem nenhum sentido. Porém em expressõesdo tipo ]A = ]B ou ]A 6= ]B faz. Pois
está indicando se existe ou não a bijeção entre os conjunos. Já no caso em que A é
�nito, ]A é um número natural.
De�nição 28. Sejam A e B conjuntos não vazios. Se existe função injetiva f : A→ B,
então dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à de B e escrevemos ]A ≤ ]B.
Se existe uma função sobrejetiva g : A → B, então dizemos que a cardinalidade de A
é maior ou igual a de B e escrevemos ]A ≥ ]B.
Exemplo 42. Sejam A,B conjuntos tais que A ⊂ B. Existe uma função injetiva
f : A → B dada por f(x) = x. Logo, pela de�nição temos que ]A ≤ ]B. Em termos
mais simplistas existir uma função injetiva equivale a dizer que para todo elemento de
A existem um elementos distintos em B para cada um deles, então o conjunto B "teria
no mínimo a mesma quantidade de elementos de A".
Exemplo 43. Do exemplo anterior, podemos também notar que conjunto In = {1, 2, 3, ..., n}
é enumerável. Para isso basta tomarmos a função injetiva f : In → N de�nda como
acima.
Exemplo 44. Seja N e 2N12. Podemos objeter uma função injetiva f : 2N→ N dada
por f(n) = 2n. (veri�que pela de�nição, que tal função é injetiva). E assim, ]2N ≤ ]N.
Exercício 155. Mostre que o conjunto dos números ímpares também é enumerável.
12Tal notação representa os naturais multiplos de 2, ou seja, 2N = {2, 4, 6, 8, 10, ...}. O mesmo vale
para kN.
6.6. ENUMERABILIDADE 111
inj-sob Exemplo 45. Mostre que existe f : A→ B injetiva se, e somente se, existe g : B → A
sobrejetiva.
Notemos que precisamos mostrar duas situações.
(⇒) Começaremos assumindo que existe f injetiva. Observemos que podemos es-
crever B = f(A) ∪ (B − f(A)). De�namos então uma função g : B → A satisfazendo
g(b) = a se b ∈ f(A) e g(b) = ã para um ã ∈ A �xado. Temos então que tal função é
sobrejetiva.
(⇐) Seja agora g : B → A sobrejetiva. Queremos construir uma função f : A→ B
injetiva. Como g é sobrejetiva, temos que para todo a ∈ A existe um Ba ⊂ B, tal que
g(Ba) = a. Escolhemos então para cada Ba um elemento b, e de�nimos f(a) = b.
Exercício 156. Mostre que se a1 6= a2 então Ba1 ∩Ba2 é vazio.
Veri�quemos que tal função é injetiva. Se a1 6= a2 não podemos ter fa1 = f(a2,
pois isso implicaria fa1 ∈ Ba2 , o que é absurdo pelo exercício anterior, logo fa1 6= f(a2,
ou seja, f é injetiva.
Exercício 157. Use o exercício anterior para mostrar que se A e B são conjuntos não
vazios então ]A ≤ ]B se, e somente se, ]B ≥ ]A.
Observação 55. A desigualdade para a cardinalidade também possui propriedades se-
melhantes as relações de ordem que já vimos, porém não iremos focar nesse caminho.
Exercício 158. Mostre que a ordem ≤ de�nida satisfaz as propriedades re�exiva,
transitiva e de anti-simetria.
Vejamos agora algumas propriedades sobre enumerabilidade.
Proposição 29. Se A e B são enumeráveis, então A ∪B é enumerável.
Demonstração. Se A = ∅ ou B = ∅, a proposição segue imediatamente. Supondo
agora que ambos sejam não vazios. Como A e B são enumeráveis, existem funções f
e g tais que f : A → N e g : B → N são bijetivas. Queremos encontrar uma função
h : A∪B → N que seja também bijeção, pois assim mostramos que A∪B é enumerável.
112 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Como sabemos que o conjunto dos números pares e o conjuntos dos números ímpares
são enumeráveis, podemos de�nir h da seguinte forma.
h(x) =
2f(x), se x ∈ A,
2g(x) + 1, se x ∈ B\A
Exercício 159. Mostre que a função h está bem de�nida, ou seja, para todo elemento
de A∪B existe uma imagem? E todo elemento do contra-domínio possui um elemento
em A ∪B associado a ele?
Exercício 160. Mostre que a função assim de�nida é injetiva.
Exercício 161. Mostre que a função assim de�nida é sobrejetiva.
Temos portanto que h é uma bijeção e portanto, A ∪B é enumerável.
No exemplo anterior para garantir a enumerabilidade precisamos encontrar uma
função que satis�zesse duas condições, mas será que podemos garantir a enumerabili-
dade de uma forma um pouco mais simples? A resposta é dada no seguinte resultado.
Proposição 30. Um conjunto A é enumerável se, e somente se, existe L ⊂ N e existe
f : L→ A sobrejetora.
A proposição nos dá uma condição necessária e su�ciente para que um conjunto
seja enumerável.
Observação 56. Tal a�rmação necessitaria de uma demonstração, porém tal demons-
tração sai um pouco de nossos objetivos, mas a mesma pode ser vista por exemplo na
página 16 de
em
[3].
Observação 57. Uma condição necessária é aquela que obrigatoriamente deve
acontecer quando certa propriedade é satisfeita, no nosso caso se A é enumerável,
obrigatoriamente deve existir a função sobrejetora. Já ser uma condição su�ciente
quer dizer que ela acontecer basta para que a primeira seja verdade, no nosso caso, se
mostrarmos que existe a função sobrejetora isso basta para garantir a enumerabilidade
6.6. ENUMERABILIDADE 113
do conjunto A, ou seja, enfraquece a nossa de�nição de enumerabilidade, já que nela
precisariamos de uma função injetora e sobrejetora.
Vejamos o seguinte exemplo, e como essa nova caracterização facilita nossa vida na
busca da enumerabilidade.
Para re�etir: Qual dos seguintes conjuntos possuem mais elementos, N ou N2?
Exemplo 46. Voltando ao conjunto N2. Iremos mostrar que ele é enumerável. Ou
seja, que existe uma função sobrejetora de algum subconjunto dos Naturais nele.
Para montarmos a função, utilizaremos um resultado importante da álgebra, o
Teorema fundamental da aritmética13.
Seja L = {2m3n;m,n ∈ N}. Pelo Teorema Fundamental da aritimética, temos que
cada par (m,n) existe um número natural distinto da forma 2m3n. Então de�namos a
seguinte função g : L→ N2 tal que g(k = g(2m3n) = (m,n).
Tal função está bem de�nida pois todo elemento de L é da forma 2m3n e como
m,n ∈ N, o par (m,n) ∈ N2. Para veri�carmos que é sobrejetiva, basta veri�car se
dado um par qualquer (a, b) ∈ N2 existe um elemento k ∈ L tal que f(k) = (a, b), mas
isso é o mesmo que veri�car se 2a3b ∈ L, o que é verdade, já que a, b ∈ N.
Portanto existe uma função sobrejetiva de um subconjunto dos Naturais no conjunto
N2, e pela proposição isso é condição su�ciente para garantir que N2 é enumerável.
Observação 58. Note que no exemplo anterior usamos o conjunto formado por ele-
mentos da forma 2m3n, mas poderiamos substituir o 2 e 3 por quaisquer dois números
primos, pois continuariamos tendo a sobrejetividade.
Observação 59. Notamos também que pelo exemplo
inj-sobinj-sob
45 temos a seguinte relação de
cardinalidade ]N2 ≥ ]L.
Exercício 162. Note que na realidade a função de�nida é uma bijeção. Mostre que
vale a injetividade. Isso por sua vez nos mostra que ]N2 ≤ L, ou seja, ]N2 = ]L.
13Teorema fundamenta da aritmética: Todo Natural maior do que 1 pode ser representado de
maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos.
114 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Exercício 163. Podemos tomar a função g : N → N2 dada por g(n) = (n, n). O que
podemos dizer sobre a cardinalidade de N e N2?
Exercício 164. Mostre que h : L → N é injetiva e utilizando os exercícios anteriores
conclua que ]N = ]N2.
Ou seja, o que parecia contra intuitivo se mostrar verdade, ou seja, esses dois
conjuntos que a princípio pareciam ter "tamanhos diferentes", na realidade possuem
o "mesmo tamanho". Isso também nos mostra a importância da demonstração de
uma a�rmação matemática, pois nem sempre o que parece ser verdade ou mentira se
olharmos intuitivamente, realmente se mostra verdade ou mentira.
Observação 60. Existe outra forma de mostrarmos que esse dois conjuntos possuem
mesma cardinalidade, um argumento um pouco mais geométrico chamado de Diagonal
de Cantor.
Visto isso, vejamos uma generalização da proposição anterior.
Proposição 31. Se, para cada n ∈ N, An é enumerável, então ∪∞n=1An é enumerável.
Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor An 6= ∅ para todo
n ∈ N. De�namos o conjunto A = ∪∞n=1An. Por hipotese, para cada n ∈ N, temos que
An é enumerável, ou seja, existe fn : N → An sobrejetiva. De�namos a função
f :N× N→ A
(n,m) 7−→fn(m)
Tal função é sobrejetiva14, pois para cada y ∈ A, temos que y ∈ An para algum n e
por sua vez do fato que fn : N → An ser sobrejetiva, nos garante que existe um m ∈ N
tal que fn(m) = y, e portanto existe um elemento em N× N tal que fn(m) = y.
Mas, como sabemos que ]N = ]N2, existe uma função sobrejetiva g : N→ N2, então
podemos de�nir a função composta f ◦ g : N→ A, a qual será sobrejetiva.
14Para mostrar que uma função f é sobrejetiva precisamos encontrar para cada elementoy do seu
contradomínio um elemento x do domínio tal que f(x) = y.
6.6. ENUMERABILIDADE 115
Proposição 32. Se A e B são enumeráveis, então o conjunto A× B também é enu-
merável.
Demonstração. Como A e B são enumeráveis, exsitem funções sobrejetoras delas
em algum subconjunto dos Naturais, sejam R e S tais subconjuntos e sejam f : A→ R
e g : B → S tais sobrejeções. De�namos a função h : A × B → R × S dada por
h(a, b) = (f(a), g(b)).
h é sobrejetiva: Seja (m,n) ∈ R × S queremos saber se existe a ∈ A e b ∈ B
tal que (m,n) = (f(a), g(b)) ou seja, que m = f(a) e n = g(b), onde m ∈ R e n ∈ S.
Porém, pela sobrejetividade de f e g em R e L respectivamente, existe tais a e b.
Logo, temos uma sobrejeção entre A × B e R × S. Como R × S ⊂ N2 e N2 é
enumerável, temos que R× S também é enumerável. Ou seje, uma função sobrejetora
I : L → R × S, então temos que I ◦ h : L → A × B é sobrejetiva. E como L ⊂ N,
temos que A×B é enumerável.
A seguir veremos o que podemos dizer sobre a enumerabilidade dos Inteiros, Raci-
onais e Reais.
Exercício 165. Mostre que o conjuntos dos Inteiros é enumerável.Que relação existe
entre ]Z e ]N?
Proposição 33. Q é enumerável e ]N = ]Q.
Demonstração. Como N ⊂ Z ⊂ Q temos que N ≤ ]Q. Mostraremos agora que
Q ≤ ]N, para isso basta encontrarmos uma função sobrejetora de N em Q.
Começamos de�nindo a função f : Z× N→ Q dada por f(m,n) = m
n
. Tal função
por sua vez é sobrejetiva.
Pelo exercício anterior, Z é enumerável. E assim, Z×N também é enumerável, logo,
existe função g : N → Z × N sobrejetiva. Tomamos então a função f ◦ g : N → Q, a
qual é sobrejetiva, mostrando assim, que ]N = ]Q.
Exercício 166. Use o fato de Z×Z ser enumerável para mostrar que Q é enumerável.
116 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Como sabemos o conjunto dos Reais é dado pela união Q∪I. Temos que Q é enume-
rável, então se I também for enumerável, teríamos que os Reais também seria. Porém
tal fato não ocorre. Para veri�carmos isso precisamos de um importante resultado.
Teorema 5. (Intervalos encaixados) Dada uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃
I3 ⊃ .... ⊃ In ⊃ .... de intervalos limitados e fechados In = [an, bn], existe pelo menos
um número real c tal que c ∈ In para todo n ∈ N.
Demonstração. Da sequência de intervalos temos que a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an... ≤
bn ≤ bn−1 ≤ ... ≤ b1 (como poderiamos justi�car isso?). Tome agora o conjunto
A = {a1, a2, ...., an, ...}, tal conjunto por sua vez é limitado, por exemplo por b1, logo,
existe o supremo desse conjunto, seja, c = sup(A).
Por sua vez, note que para todo n, temos c ≤ bn, já que cada bn é uma cota superior
para A. Temos portanto que para todo n ∈ N, c ∈ [an, bn].
Em posse desse resultado mostraremos um dos principais resultados dessa seção.
Teorema 6. O conjunto dos reais é não enumerável.
Demonstração. O que faremos é mostrar que nenhuma função f : N → R pode
ser sobrejetiva (se isso ocorre, claramente não poderemos ter um bijeção entre tais
conjuntos).
A ideia será a seguinte: Supondo que uma dada f existe, construiremos uma sequên-
cia decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ .... ⊃ In ⊃ ... de intervalos limitados e fechados tais que
f(n) 6 inIn. Então, pelo teorema dos intervalos encaixados existiria um c que pertence
a todos os conjuntos, mas isso por sua vez nos diz que nenhum f(n) pode ser igual a
c, e assim, f não é sobrejetiva.
Agora vamos obter tais intervalos.
Começamos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1 e, supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃
.... ⊃ In tais que f(j) 6 inIj, olhamos In = [an, bn]. Se f(n + 1) ∈ In, pelo menos
6.6. ENUMERABILIDADE 117
um dos extremos, digamos an, é diferente de f(n + 1), isto é, an < f(n + 1). Neste
caso, tomamos In+1 = [an+1, bn+1] com an+1 = an e bn+1 = an+f(n+1))
2
. Dessa forma
construimos recursivamente os intervalos encaixados, e obtidos os intevalos, chegamos
na situação discutida acima.
Como consequência temos os seguintes corolários.
Corolário 2. Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração. Todo intervalo não-degenerado possui um intervalo aberto seja
tal intervalo (a, b), e como existe bijeção entre esse intervalo com (−1, 1)15 iremos
mostrar que o intervalo (−1, 1) é não-enumerável.
Para isso temos a função ϕ : R → (−1, 1) dada por ϕ(x) = x
1+|x| cuja inversa é
ψ : (−1, 1)→ R (veri�que que elas são inversas, ou seja, ϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x).
Logo temos uma bijeção entre o intervalo e os reais, como o conjunto dos Reais é não-
enumerável o intervalo também deve ser, caso contrário seria possível encontrar uma
bijeção entre os Naturais e os Reais.
Exercício 167. Responda os seguintes itens:
a) Mostre que para todo c, d ∈ R, f : (0, 1)→ (c, d) de�nida por f(t) = (1− t)a+ bt
é bijeção.
b) Conclua que existe uma bijeção entre os intervalos (a, b) e (−1, 1).
Teorema 7. Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais.
Demonstração. Suponha por absurdo que existe algum intervalo (a, b) que não
possui irracionais. Teriamos portanto que (a, b) ⊂ Q e como Q é enumerável, (a, b)
também deveria ser, mas isso é um absurdo pelo corolário anterior. Logo deve possuí
irracionais.
15Fica como exercício mostrar isso.
118 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Sabemos pelo exercício
exqexq
147 que dados quaisquer a, b ∈ R existe um racional, logo
no intervalo (a, b) existe um racional pelo menos.
Finalizamos mostrando que os reais são não enumeráveis utilizando a representação
decimal do mesmo. Para isso mostraremos que (0, 1) é não enumerável e a bijeção com
os reais.
Demonstração. Suponha por absurdo que (0, 1) é enumerável. Dessa forma pode-
ríamos listar seus elementos da seguinte forma (0, 1) = {x1, x2, x3...}. Pela representa-
ção decimal podemos escrever xi = 0, ai1ai2ai3.... O que faremos é obter um x ∈ (0, 1)
que não faz parte do conjunto {x1, x2, x3...}.
Para isso, construamos o elemento x da seguinte forma x = 0, b1b2b3..., onde bi 6= aii
ou seja, b1 6= a11, b2 6= a22 e assim por diante. Note que x ∈ (0, 1), mas se (0, 1) for
enumerável, devemos então ter x = xk para algum k ∈ N, o que é um absurdo, pois
para isso acontecer deveríamos ter bk = xkk, mas por construção bk 6= xkk. Portanto
(0, 1) não pode ser enumerável.
6.7 Exercícios
Exercício 168. Seja X ⊂ N. Mostre que X é �nito se, e somente se, é limitado.
Exercício 169. Sejam P, I ⊂ N o conjunto dos naturais pares e ímpares respectiva-
mente. Mostre que P ≤ I e I ≤ P .
Exercício 170. Seja Y = {5k; k ∈ Z}. Mostre que Y é enumerável.
Exercício 171. Mostre que o conjunto formado por todos os polinômio com coe�ci-
entes inteiros é enumerável.
Exercício 172. Se X e Y são conjuntos enumeráveis. Mostre que X∩Y é um conjunto
enumerável.
Exercício 173. Mostre que o conjunto dos Irracionais é não enumerável.
6.7. EXERCÍCIOS 119
Exercício 174. Seja ℘(N) o conjunto das partes de N. Tal conjunto é o conjunto
formado por todos os subconjuntos de N.Mostre que ℘(N) não é enumerável. (Dica:
Será que podemos utilizar ideias parecidas a que usamos para mostrar para (0, 1)?)
120 CAPÍTULO 6. NÚMEROS REAIS
Capítulo 7
Trigonometria
7.1 Ângulos e relações
Começaremos revisando um pouco sobre a de�nição de ângulos e algumas relações
que nos serão úteis mais a frente.
De�nição 29. Um ângulo é a região formada por duas semi-retas, ~OA e ~OB de
mesma origem O.
Usualmente os ângulos são denotados por AÔB ou BÔA ou simplesmente ângulo
Ô caso não haja dúvidas em relação as semi-retas utilizadas. Ou representado por uma
letra grega θ, α, γ, β....
121
122 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
Observação61. Para cada ângulo como na de�nição existe uma relação biunivoca
entre ele e os números reais entre 0 e 180. O ângulo formado por duas semi-retas
distintas que formam uma reta é chamado de ângulo raso (180o)
Sejam as semi-retas SOA, SOB e SOC1 com A,B,C pontos distintos.
De�nição 30. Dizemos que uma semi-reta SOC divide o ângulo AÔB se o segmento
de reta AB intercepta a semi-reta SOC
Na �gura vemos que a semi-reta SOC divide o ângulo AÔB, pois o segmento AB
intercepta a semi-reta SOC no ponto H. Dessa divisão obtemos dois ângulos AÔC e
CÔB esses ângulos por sua vez são chamado ângulos Adjacentes.
De�nição 31. Dois ângulos são ditos suplementares se, e somente se, a soma de suas
medidas é 180o.
De�nição 32. Dois ângulos são ditos complemetrare se, e somente se, a soma de suas
medidas é 90o.
1A notação SOA representa a semi-reta com origem em O e passando pelo ponto A.
7.2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 123
7.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Um dos tópicos mais importantes para o estudo da trigonométria é o estudo das
relações nos triângulos retângulos, é delas que iremos introduzir as relações de seno,
cosseno, tangente, que serão extendidas para o ciclo trigonométrico que veremos adi-
ante.
De�nição 33. Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo de 90o.
Observação 62. Notamos que na geometria euclidiana um triângulo pode ter no má-
ximo um ângulo reto, já que a soma dos seus 3 ângulos não pode ser maior que 180o.
Figura 7.1: Triângulo retângulo
TR
O lado oposto ao ângulo reto é chamado Hipotenusa, os outros lados são os catetos
do triângulo. Temos então o triângulo com ângulos Â, B̂ e Ĉ com lados a, b, c.
Um importante resultado para os triângulos retângulos é o teorema de pitágoras.
Proposição 34. O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Ou de outra forma
a2 = b2 + c2
Vejamos as principais relações trigonométricas dentro do triângulo retângulo.
� sen(θ) =
cateto oposto a θ
hipotenusa
124 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
� cos(θ) =
cateto adjacente a θ
hipotenusa
� tg(θ) =
cateto oposto a θ
cateto adjacente a θ
� cotg(θ) =
cateto adjacente a θ
cateto oposto a θ
Tomando o ângulo B̂ como na �gura anterior, teriamos
sen(B̂) =
b
a
cos(B̂) =
c
a
tg(B̂) =
b
c
cotg(B̂) =
c
b
O mesmo pode ser obtido para o ângulo Ĉ. Temos também outras relações, mas
deixaremos para comentar elas em outro momento.
O que mais podemos dizer sobre tais relações?
Uma das primeiras coisas que podemos a�rmar é que sen2(θ) + cos2(θ) = 1, isso
segue diretamente do teorema de pitágoras.
Exercício 175. Demonstre a a�rmação acima.
Exercício 176. Usando a de�nição do seno e cosseno, mostre a seguinte relação
sen(B̂
cosB̂
= tg(B̂).
Observação 63. Lembremos que em um triângulo o valor da soma de seus ângulos é
180o então em um triângulo retângulo temos 90 + B̂ + Ĉ = 180, ou seja, B̂ + Ĉ = 90
o que nos diz que B̂ e Ĉ são ângulos complementares.
Uma pergunta natural que poderia surgir é a seguinte: O que podemos dizer sobre
o seno, cosseno e tangente dos ângulo complementares? Será que existe algum tipo de
relação entre eles?
Exercício 177. Usando a �gura
TRTR
7.2.1 como referência, mostre as seguinte relações.
a) sen(B̂) = cos(Ĉ)
b) sen(Ĉ) = cos(B̂)
c) tg(B̂) = cotg(Ĉ)
7.2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 125
7.2.1 Ângulos notáveis.
Nessa seção iremos obter o valor do seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Um
outro objetivo dessa seção é exatamente mostrar que não precisamos decorar o valor
do seno, cosseno e tangente para cada um dos ângulos se entendemos como podemos
obtê-los.
Ângulo de 45o
Começamos notanto que se temos um triângulo retângulo onde um de seus outros
lados é 45o estamos tratando de um triângulo isóceles, ou seja, possui dois lados com
mesmo comprimento.
TR
Temos então que B̂ = Ĉ, pois o triângulo é isóceles e com isso c = b. Pelo teorema
de Pitágoras, temos que a = b
√
2. Logo, obtemos
sen(45) =
b
a
=
b
b
√
2
=
√
2
2
Exercício 178. Use a de�nição para obser cos(45), tg(45).
Ângulo de 60o
Para isso precisamos começar encontrando um triângulo que possua um ângulo de
60o. Um logo que nos vem a mente é o triângulo equilátero. O qual possui todos os
ângulos de 60o, o que também nos dá que possúi todos os lados de mesmo comprimento
126 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
também. Uma outra propriedade que o triângulo equilátero possúi é que sua altura,
mediana2 e bissetriz3 coincidem.
TR
Na �gura temos h representando a altura relativa ao lado AC, o ponto D a mediana
do lado AC e a o comprimento dos lados do triângulo. Notemos que o segmento
DC = a
2
. E como BD é bissetriz temos que o ângulo AB̂D = AB̂C
2
= 30o.
Pelo teorema de Pitágoras obtemos que h = a
√
3
2
, logo
sen(60) =
h
a
=
a
√
3
2
a
=
√
3
2
Exercício 179. Obtenha os calores de cos(60), tg(60) e cotg(60).
Observação 64. Notamos que com esse mesmo triângulo é possível obter os valore
para o ângulo de 30o. Fica como execerício a obtenção do mesmos.
Fechamos então essa seção observando que a lembrança do valores dos seno, cosseno
e tangente dos ângulos notáveis é mais simples quando lembramos o procedimento para
determiná-los, pois assim não �camos pressos apenas decorar seus valores.
7.2.2 Exercícios
Exercício 180. Considerando o triângulo ABC retângulo em A, conforme a �gura
abaixo, qual é a relação entre x e y?
Exercício 181. Um observador vê um préio, c onstruido em terreno plano, sob um
ângulo de 60o. Afastando-se do edifício mais 30m, passa a ver o edifício sob ângulo de
45o. Qual é a altura do prédio?
2Uma mediana é uma semi-reta que divide o lado oposto em duas parte iguais.
3A bissetriz é uma semi-reta que divide o ângulo em duas partes iguais.
7.3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA. 127
Exercício 182. Calcule a distância entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-
céu, conhecendo os ângulos (α e β) sob os quais são observados de um ponto O do solo, à
distância d do prédio. (OBS: A resposta desse exercício �cará em função dos elementos
conhecidos d, α e β).
Exercício 183. Para obter a altura H de uma chaminé, um engenheiro, com um
aparelho especial, estabeleceu a horizontal CD e mediu os ângulos α e β tendo a seguir
mediu BD = h. Determine a altura da chaminé.
7.3 Trigonometria na circunferência.
Iremos agora transpor os conhecimentos obtidos sobre triângulos retângulo para
um estudo na circunferência e dela obteremos muitas das propriedades conhecidas do
seno, cosseno e tangente.
A circunferência que iremos analisar será uma centrada na origem do plano car-
tesiano e com raio 1, ou seja, a circunferência unitária. Mais a frente faremos uma
observação para o caso em que o raio da circunferência não fosse 1, e veremos que
tipo de mudanças ocorreriam. Então durante o estudo, tente ir re�etindo a seguinte
pergunta: O que aconteceria nesse caso se o raio fosse 2 por exemplo, ou se preferir
128 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
fazer de forma mais geral, se fosse um raio r qualquer.
Seja A um ponto nessa circunferência (focaremos nossa análise ao primeiro qua-
drante, ou seja, a parte limitada pela circunferencia e a parte positiva dos eixos coor-
denados). Temos que o comprimento OA vale 1, já que é um raio da circunferência.
Para obtermos as coordenadas cartesianas desse ponto seguimos como segue, tra-
çando uma paralela ao eixo Y passando pelo ponto A, obtemos a interseção dessa reta
com o eixo X, obtendo assim o ponto B, e o comprimento OB que chamaremos de
coordenada x do ponto A.4
Outra coisa que devemos notar é que, como o eixo X é perpendicular ao eixo Y ,
então a reta paralela ao eixo Y também é perpendicular ao eixo X. Assim, temos um
trigângulo retângulo OAB. E se é um trigângulo retângulo, podemos utilizar o que
vimos na sessão anterior.
Temos então cos(θ) = OB
OA
= x
1
= x. Ou seja, a coordenada x do ponto A é
exatamente o cosseno de θ. Poderiamos fazer o processo semelhante para obter a
coordenaday, ou seja, traçar uma paralela ao eixo X passando por A, tal coordenada
teria comprimento congruente ao comprimento de AB. Mas temos que sen(θ) = AB
OA
=
4A título de justi�cativa, temos que o quinto postulado de Euclides, que dado uma reta e um ponto
fora da reta, existe uma única paralela a primeira reta passando pelo ponto dado. E também é possível
justi�car que se uma reta r intercepta uma reta s e temos uma paralela a reta r então essa paralela
também intercepta a reta s. (tais fatos serão vistos com mais detalhes na disciplina de geometria
euclidiana).
7.3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA. 129
tri
y
1
= y, ou seja, a coordenada y do ponto A seria dado pelo seno de θ.
Portanto, as coordenadas de A são (cos(θ), sen(θ)). Podemos então tirar desse fato
que o eixo X está associado ao cosseno e o eixo y está associado ao seno.
Ainda com essa ideia, o que poderiamos dizer sobre o seno e o cosseno se mudarmos
o ângulo? O seno aumenta ou diminui? E o cosseno? Podemos ver isso facilmente se
olharmos mais uma vez para a circunferência unitária.
Se tomarmos o ponto C como na �gura, temos um novo triângulo, e o ângulo do
mesmo é dado por α = γ+θ que é maior que θ. Lembrando que o cosseno está associado
ao eixo x, temos que o cos(α) = OD que claramente é menor que OB = cos(θ). E
sen(α = CD que por sua vez é maior que AB.
Temos dessa análise que se θ < α então cos(θ) > cos(α) e sen(θ) < sen(α)
130 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
Olhemos agora mais uma informação que podemos obter tranquilamente da �gura
tritri
7.3. Como temos um triângulo retângulo, temos que OB
2
+ AB
2
= OA
2
, ou seja,
x2 + y2 = 1, mas vimos que x = cos(θ) e y = sen(θ). Juntando essas informações,
obtemos sen2(θ) + cos2(θ) = 1 ,que é uma das principais relações trigonométricas.
Vejamos agora como podemos relacionar a tangente que vimos no triângulo retân-
gulo sob a perspectiva da circunferência. Quando falamos em geometria de tangente,
estamos nos referindo a uma reta que toca o objeto estudado em um único ponto. No
caso da circunferencia tomemos a seguinte reta tangente.
Observação 65. Uma particularidade que as retas tangentes as circunferências tem é
que elas são perpendiculares ao raio naquele ponto de tangencia.
Assim como anteriormente tomemos um ponto A na circunferência. Seja B a inter-
7.3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA. 131
seção da semireta começando em O e passando por A, com a reta tangente a circunfe-
rência.
Podemos obter então dois triângulos retângulos agora, AOC e BOD como na �gura
abaixo:
Notemos que AC e BD segmentos das retas paralelas que os contém, isso segue
do fato que ambos os segmentos são perpendiculares ao eixo X, além disso temos as
seguinte relações de ângulos Ô = Ô, Â = B̂ e Ĉ = D̂. 5 Portanto, temos que os
triângulos AOC e BOD são semelhantes, ou seja, OD
OC
= BD
AC
que por sua vez pode se
escrito como AC
OC
= BD
OD
.
Mas olhando agora apenas para o triângulo AOC, temos que tg(θ) = AC
OC
. Logo
tg(θ) = BD
OD
, mas OD é raio da circunferência, ou seja, OD = 1, e portanto tg(θ) = BD.
5Â = B̂ pois a reta passando por A e B é uma transversar a duas retas paralelas.
132 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
Vejamos que tipo de informações podemos tirar desse fato. Comecemos nos per-
guntando, o que acontece com a tangente se tivermos θ < α? Seja α = θ + γ como na
�gura abaixo.
Temos que tg(θ) = BD e tg(α) = FD, e vemos que BD < FD, ou seja, tg(θ) <
tg(α).
Utilizando novamente a semelhança dos triângulos, temos qu BD = AC
OC
mas pelo
que vimos sobre seno e cosseno, temos AC = sen(θ) e OC = cos(θ) e portanto tg(θ) =
BD = sen(θ)
cos(θ)
, como já era esperado.
Observação 66. O objetivo até o momento não foi demonstrar nenhuma dessas in-
formações, o que �zemos foi apenas uma justi�cativa mais visual de cada um desses
fatos. Vale lembrar que cada uma das a�rmações feitas possue um demonstração for-
mal. Seria por exemplo necessário demonstrar que realmente o segmento BD é menor
que o segmento FD, o que �zemos foi realmente visualizar tal fato, porém é preciso
uma demosntração formal do mesmo. O que não foi objetivo aqui.
7.3.1 Relação entre os quadrantes.
Vimos anteriormente como se comportam o seno, cosseno e tangente quando es-
tamos analisando um ângulo no primeiro quadrante. Iremos agora observar como
podemos analisar os mesmos nos demais quadrantes, para isso o que faremos é uma
redução ao primeiro quadrante e adequaremos os sinais aos respectivos quadrantes.
7.3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA. 133
Mas antes disso iremos relembrar algumas propriedades da geometria que irão nos
ajudar nessas análises.
A primeira é que se temos um triângulo ABC isocéles, com base AB, então os
ângulos formados com a base são congruentes.
Um outro resultado tem a ver com retas paralelas, se temos duas retas paralelas e
uma transversal a elas, então os ângulos correspondentes são congruentes. Na �gura
abaixo temos as retas r e s paralelas e uma transversal a elas.
Relembrando esses fatos, podemos analisar o que podemos dizer sobre o seno, cos-
seno e tangente nos demais quadrantes.
Seja A um ponto na circunferencia no segundo quadrante.
Queremos determinar qual o seno do ângulo θ. E para nos ajudar nisso construi-
remos um outro triângulo da seguinte forma, traçamos uma perpendicular ao eixo Y
passando pelo ponto A e teremos uma interseção B no primeiro quadrante dessa reta
134 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
com a circunferencia. Formando assim o triângulo OCB como na �gura abaixo.
Note que como temos B no primeiro quadrante sabemos determinar o seno do
ângulo α obtido com o ponto B. Mas como a reta que formou B é perpendicular ao
eixo Y , ela será paralela ao eixo X, usando então nossa segunda observação, temos que
o ângulo ˆOBA = α.
Reparemos agora que o triângulo ABO é isoceles com base AB, pois OA e OB
são raios da circunferência, logo tem mesmo comprimento. E com isso temos que o
7.3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA. 135
ângulo ˆOAB = α também. E mais uma vez utilizando que a reta passando por A e B
é paralea ao eixo X e que AO é uma transversal, temos que o ângulo ˆAOD = α.
Podemos formar um novo triângulo agora, o triângulo retângulo, tomando uma
perpendicular ao eixo Y passando pelo ponto A, e podemos determinar assim o seno
nesse triângulo. Temos então sen(α) = AE
AO
= AE. Mas você poderia perguntar: Mas
não queremos seno de α mas sim o de θ? Então busquemos uma relação entre α e θ.
Lembrando o que o valor do seno representa, temos que nada mais é do que a
coordenada y do ponto A, que nesse caso seria o valor do comprimento do segmento
136 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
OC. Mas tal valor é exatamente o mesmo que o do comprimento de AE6 Temos então
que sen(θ) = sen(α).
Observação 67. Também dessa análise, podemos obter uma nova igualdade, pois o
ângulo ˆAOD = 180− θ também, ou seja, α = 180− theta e usando essa igualdde como
seno obtemos sen(θ) = sen(180 − θ), ou seja, para sabermos o seno de um ângulo no
segundo quadrante, basta sabermos qual o seno de 180 menos esse ângulo.
Seguindo essa mesma construção, podemos obter o valor do cosseno de θ. Se E ′
é o ponto obtido pela perpendicular ao eixo X passando pelo ponto B, teriamos no
triângulo BOE ′ que cos(α) = ˆOE ′, por congruência, obteriamos que a coordenada
x do ponto E teria o mesmo comprimento de OE ′, porém com sinal negativo. Ou
seja, cos(θ) = −cos(α). E de forma semelhante da observação, teriamos que cos(θ) =
−cos(180− θ).
Sobre a tangente, poderiamos seguir passos semelhantes, e obteriamos que tg(θ) =
sen(θ)
cos(θ)
= − sen(α)
cos(α)
.
Fizemos essa construção para vocês perceberem como podemos justi�car as a�r-
mações que faremos a seguir para os demais quadrantes, pois em cada um deles para
determinarmos o valor do seno, cosseno ou tangente de um determinado ângulo, iremos
procurar um ângulo no primeiro quadrante correspondente a ele e fazemos a análise
dos sinais.
Exercício 184. Tente adaptar essas ideias para veri�car o que teríamosno terceiro e
quarto quadrante.
7.4 seno, cosseno e tangente da soma.
Em muito momentos surge a necessidade de determinarmos os valores do seno,
cosseno ou tangente da soma ou da diferença de dois ângulos. Mas como podemos
fazer isso. Para isso temos as seguintes relações:
(I) cos(α± β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α)sen(β)
6Para justi�car isso precisariamos utilizar resultados de congruência de triângulos retângulos.
7.4. SENO, COSSENO E TANGENTE DA SOMA. 137
II) sen(α± beta) = sen(α)cos(β)± sen(β)cos(α)
Observação 68. Tais resultados podem ser demonstrados de diversas formas, temos
por exemplo uma forma mais geométrica envolvendo as ideias de triângulos retângulos
e outra mais analítica, envolvendo as ideias da geometria analítica.
Exercício 185. Utilize a de�nição da tangente para determinar tg(α+β) e tg(α−β).
Exercício 186. Use as relações acima para escrever cos(2a) apenas em função de
cos(a). Podemos escrever cos(2a) apenas em função do seno? Como?
Exercício 187. Usando o exercício anterior o que podemos comentar sobre cos(x
2
)?
Um outro tipo de relação interessante é a que transforma a multiplicação de relações
trigonométrica em soma ou o contrário, a soma em multiplicação. Isso por sua vez pode
vir a simpli�car bastante algumas situações. Vejamos como fazer tais transformações:
Exercício 188. Use os resultados anteiores para mostrar as seguintes relações:
a) cos(a+ b) + cos(a− b) = 2cos(a)cos(b)
b) cos(a+ b)− cos(a− b) = −2sen(a)sen(b)
c) sen(a+ b) + sen(a− b) = 2sen(a)cos(b)
d) sen(a+ b)− sen(a− b) = 2sen(b)cos(a)
Exercício 189. Podemos dizer algo sobre tg(a+ b)− tg(a− b)?
Exemplo 47. Vejamos como podemos utilizar esses resultados. Queremos transformar
em produdo a seguinte equação y = sen(5x) + sen(3x). Começamos notando que 5x
e 3x não estão escritos no formato acima, ou seja, como soma ou subtração de dois
termos. Vejamos se temos como reescrever de tal forma.
Queremos a, b ∈ R tal que a+b = 5x e a−b = 3x , resolvendo o sistema de equações
formados, temos a = 4x e b = x. Portanto, temos
sen(5x) + sen(3x) = sen(4x+ x) + sen(4x− x) = 2sen(4x)cos(x)
Exercício 190. Generalize a ideia feita no exemplo anterior para o caso sen(r)+sen(s)
Exercício 191. Tente fazer o mesmo para os demais casos.
138 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
Exemplo 48. Transforme a seguinte equação em produto y = sen(x) + cos(x).
Começemos notando que estamos numa situação diferente, pois temos envolvido
seno e cosseno e não apenas um deles. Então como proceder? Utilizaremos algumas
relações que vimos no começo desse capítulo, temos algumas relações entre seno e
cosseno, uma delas que cos(x) = sen(π
2
+ x) portanto nossa equação pode ser escrita
como
sen(x) + cos(x) = sen(x) + sen(
π
2
+ x)
Utilizando as ideias anteriores temos que a = π
4
+ x e b = −π
4
. Obtemos então
sen(x) + sen(
π
2
+ x) = 2sen(
π
4
+ x)cos(
−π
4
)
Exemplo 49. Reescreva y = cos2(3x)−cos2(x) como produto. Notemos mais uma vez
que não temos tal expressão escrita em algum dos formatos mais diretos vistos anteri-
ormente, então precisaremos reescrever tal expressão. Como temos cos2(x) lembremos
a relação que existe entre ela e o cos(2x), temos cos2(x) = 1+cos(2x)
2
Então podemos
escrever a equação da seguinte forma
cos2(3x)− cos2(x) = 1 + cos(6x)
2
− 1 + cos(2x)
2
=
cos(6x)− cose(2x)
2
Determinamos então a = 4x e b = 2x. E assim, teremos
cos2(3x)− cos2(x) = −2sen(4x)sen(2x)
2
= −sen(4x)sen(2x)
Exercício 192. Use ideias semelhantes para reescrever y = sen2(5x)− sen2(x) como
multiplicação.
7.5 Equações e inequações trigonométricas.
Assim como tivemos em outras situações, também podemos ter equações e inequa-
ções envolvendo as relações trigonométricas. Vale observar que no geral elas serão mais
complicadas de se tratar se pensarmos em relação aos casos que vimos por exemplo
no capítulo dos Reais, muito disso se deve ao fato de que vários valores reais podem
nos dá a mesma imagem como resultado. Nessa seção abordaremos então alguns casos
para termos um primeiro contato com tais ideias.
7.5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 139
7.5.1 Equações trigonométricas
Quase todas as equações trigonométricas podem ser reescritas de tal forma que
chegamos a alguns dos seguinte casos
(I) sen(α) = sen(β)
(II) cos(α) = cos(β)
(III) tg(α) = tg(β)
Então compreendendo como resolver tais situações podemos compreender todas as
demais.
sen(α) = sen(β)
Se analisarmos o ciclo trigonométrico, vemos que isso pode acontecer em duas si-
tuações.
1) α = β + 2kπ, para k ∈ Z
2) α = (π − β) + 2kπ, para k ∈ Z
No primeiro caso o que temos é que os ângulos diferem de algumas voltas na cir-
cunferência. No segundo, temos um elemento simétrico em relação ao eixo dos senos
(ou eixo Y). Aqui notamos que se existe uma solução existirá uma in�nidade delas.
Exemplo 50. Determine os valores x tais que sen(x) = sen(π
5
). Pelo que vimos acima
para tal solução existir temos que
1) x = π
5
+ 2kπ
2) x = π − π
5
+ 2kπ = 4π
5
+ 2kπ
Temos então no primeiro caso elementos no primeiro quadrande, e no segundo caso
elementos no segundo quadrante (que é o elemento simétrico ao primeiro caso).
Exemplo 51. Uma outra situação que pode surgir é a seguinte 2sen2(x)−3sen(x)+1 =
0.
Notemos que não temos diretamente uma equação como em (I). Mas podemos che-
gar em algo do tipo. Repare que temos uma equação de segundo grau, tome sen(x) = y,
140 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
obtemos 2y2 − 3x + 1 = 0. Tal equação por sua vez possui soluções y = 1 e y = 1
2
.
Então temos duas situações
1) sen(x) = 1⇒ sen(x) = sen(π
2
)
2) sen(x) = 1
2
⇒ sen(x) = sen(π
3
)
Obtendo assim equações da forma (I) e daí obtemos as soluções.
Exercício 193. Seguindo ideias semelhantes a do seno determine as soluções para o
caso cos(α) = cos(β).
tg(α) = tg(β)
Notamos também nesse caso que para termos os mesmos sinais, os ângulos corres-
pondentes devem se encontrar simétricos em relação a origem, ou seja, nos primeiro e
terceiro quadrantes, ou no segundo e quarto, isso por sua vez se traduz nas seguintes
situações:
(I) α = β + 2kπ
(II) α = (β + π) + 2kπ
Exemplo 52. Determine os valores x tais que cotg(x) =
√
3.
Notemos que não temos uma relação direta para a cotangente, mas observe que
cotg(x) =
√
3⇒ cos(x)
sen(x)
=
√
3⇒ 1√
3
= sen(x)
cos(x)
= tg(x).
Logo tg(x) =
√
3
3
⇒ tg(x) = tg(π
6
isso por sua vez nos leva a x = π
6
+ 2kπ ou
x = (π + π
6
) + 2kπ = 7π
6
+ 2kπ.
Exemplo 53. Resolva a equação sen(x)−
√
3cos(x) = 0.
Aqui poderíamos tentar escrever tudo apenas em função de seno ou cosseno e buscar
soluções como nos casos anteriores, ou reescrever da seguinte forma
sen(x)−
√
3cos(x) = 0⇒ sen(x) =
√
3cos(x)⇒ tg(x) =
√
3
Note que a última passagem só vale se cos(x) 6= 0, ou seja, x 6= π
2
+2kπ ou x 6= 3π
2
+2kπ.
Tais casos por sua vez devem ser veri�cados separadapente (note que no nosso exemplo,
nenhum dos dois casos pode ser solução. Por quê? ).
Temos portanto tg(x) = tg(π
3
). E daí seguem as soluções.
7.5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 141
7.5.2 Inequações trigonométricas.
Quando falamos em inequações basicamente temos alguns casos, pois basicamente
as inequações trigonométricas podem ser reduzidas a algum dos seguinte casos:
I) sen(x) > m
II) sen(x) < m
III) cos(x) > m
IV) cos(x) < m
V) tg(x) < m
VI) tg(x) > m
assim como no caso das equações podemos sempre escrever as funções trigono-
métricas em função de seno, cosseno e tangente, por isso essas são as possibilidade
que podemos obter. Analisemos alguns casos para compreender como proceder nessas
situações.
Exemplo 54. Resolva a inequação |sen(x)| ≥
√
3
2
, em R.
Como temos o módulo envolvido temos duas inequações para resolver.
1) sen(x) ≤ −
√
3
2
2) sen(x) ≥
√
3
2
O caso 1) se sen(x) < 0, ou seja, se x pertence ao terceiro ou quarto quadrante, ou de
outra forma se π < x < 2π. Já 2) caso sen(x) ≥ 0, ou seja, x no primeiro ou segundo
quadrantes, ou de outra forma 0 ≤ x ≤ π.
Começemos analisando o caso 2). Temos
√
3
2
= sen(π
3
ousen(2π
3
(lembre que cada
um desses arcos adicionados a 2kπ também satisfazem as igualdades) então nossa
inequação é dada por sen(x) > sen(π
3
ou sen(x) > sen(2π
3
.
Aqui precisamos lembrar que o seno é crescente no primeiro quadrante e decrescente
no segundo quadrante, então sen(x) > sen(π
3
se x > π
3
(já que π
3
está no primeiro
quadrante) e de sen(x) > sen(2π
3
obtemos x < 2π
3
, já que nesse caso estamos no
segundo quadrante.
142 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
Temos então o conjunto S1 = {x ∈ R; π
3
+ 2kπ ≤ x ≤ 2π
3
+ 2kπ}
Para o caso 1), fazemos uma análise similar a feita anteriormente, e obtemos S2 =
{x ∈ R; 4π
3
+ 2kπ ≤ x ≤ 5π
3
+ 2kπ}. E assim, a solução é dada por S = S1 ∪ S2.
Exemplo 55. Resolva a inequação cos(2x) + cos(x) ≤ 1, para x ∈ R.
Do que vimos na seção de soma de arcos, podemos escrever cos(2x) = 2cos2(x)− 1.
Portanto a inequação �ca 2cos2(x) + cos(x) ≤ 0, podemos reescrever tal inequação
como 2r2 + r ≤ 0 onde r = cos(x). Tal inequação em r tem solução −1
2
≤ r ≤ 0 o que
nos dá −12 ≤ cos(x) ≤ 0⇒ cos(π
6
+ π
2
) ≤ cos(x) ≤ cos(π
2
).
O que nos dá como solução duas desilguadades para analisar. Analisemos a pri-
meira.
cos(4π
6
) ≤ cos(x): Notemos que estamos no segundo quadrante, e no mesmo o
cosseno é decrescente, portanto a solução nesse caso é S1 = {x ∈ R;x ≤ 4π
6
= 2π
3
}.
Por outro lado, temos também que cos(x) ≤ cos(π
2
) o que vale para x ≥ π
2
, portanto
obtemos S2 = {x ∈ R; π
2
+ 2kπ ≤ x ≤ 2π
3
+ 2kπ}
Notemos que temos outro conjunto solução ao analisar o terceiro quadrante, para
S3 = {x ∈ R; 7π
6
+ 2kπ ≤ x ≤ 3π
2
+ 2kπ}
Portanto o conjunto solução para tal caso é dado por S = S2 ∪ S3
Exemplo 56. Resolva a seguinte inequação tg(x) > 1.
Começamos observando que queremos x que são positivos, ou seja, que estão no
primeiro ou terceiro quadrantes e portanto 0 ≤ x ≤ π
2
ou π ≤ x ≤ 3π
2
. Analisemos o
primeiro quadrante.
Temos 1 = tg(π
4
, e no primeiro quadrante a tangente e crescente, logo devemos ter
x > π
4
. E assim, tg(x) > 1 quando π
4
+ 2kπ < x < π
2
+ 2kπ.
Olhando agora no terceiro quadrante, temos 1 = tg(5π
4
) e também a tangente é
crescente nesse quadrante, portanto x > 5π
4
. Obtemos então tg(x) > 1 para 5π
4
+2kπ <
x < 3π
2
+ 2kπ.
7.6. EXERCÍCIO 143
7.6 Exercício
Exercício 194. Se sen(x) = 24
25
e π
2
< x < π, determine cos(x), sen(x
2
) e tg(x
2
).
Exercício 195. Dados sen(θ) = 3
5
e π
2
< θ < π, calcule:
A = 25senc(θ) +
√
10sen(
θ
2
)
Exercício 196. Obtenha a fórmula para tg(x
2
).
Exercício 197. Transforme em produto as seguintes equações:
a) y = sen(a+ b+ c)− sen(a− b+ c)
b) y = cos(a+ 2b) + cos(a)
c) y = sen2(p)− sen2(q)
Exercício 198. Prove que, se (sen(2A), sen(2B), sen(2C)) é uma progressão aritmé-
tica, então o mesmo ocorre com (tg(A+B), tg(C + A), tg(B + C).
Exercício 199. Mostre que se os ângulos de um triângulo ABC veri�cam as relações
cos(A) + cos(B) = sen(C) então o triânglo é retângulo.
Exercício 200. Determine o maior inteiro n tal que n < 20 · cos2(15o).
Exercício 201. Mostre as seguinte identidades
a) cos4(x) + sen4(x) + 2(sen(x)cos(x))2 = 1
b) (tg(x) + cotg(x))(sec(x)− cos(x))(cossec(x)− sen(x)) = 1
c) 1−cos(x)
1+cos(x)
= (cossec(x)− cotg(x))2
d) sec(x)− tg(x) = 1
sec(x)+tg(x)
Exercício 202. Resolva a inequação 2sen2(x) < sen(x) para x ∈ R.
Exercício 203. Resolva a inequação −3
2
≤ cos(x) ≤ 0
Exercício 204. Resolva a inequação 4cos2(x) < 3, em R.
Exercício 205. Resolva a inequação cos(2x) > cos(x), para x ∈ R.
144 CAPÍTULO 7. TRIGONOMETRIA
Exercício 206. Resolva a inequação sen(x) + cos(x) ≥
√
2
2
, para x ∈ R.
Exercício 207. Determine x ∈ R tais que sen(x) > 1
2
e cos(x) ≥ 1
2
.
Exercício 208. Resolva a inequação |tg(x)| ≤ 1, para x ∈ R.
Exercício 209. Resolva a inequação tg(x) ≤ 0, para x ∈ R.
Capítulo 8
Números Complexo
Neste último capítulo estaremos interessado na apresentação e no estudo dos núme-
ros complexos. Tal conjunto pode ser visto como uma extensão dos reais, sob o ponto
de vista que como já sabemos, e veremos, existem situações nos reais que não podem
ser ultrapassados dentro do próprio conjunto e com isso surge a possibilidade de um
novo conjunto.
8.1 De�nição dos Complexos.
Consideremos o conjunto R2, formado pelos pares ordenados (x, y). Sejam dois
elementos desse conjunto (a, b) e (c, d).
De�nição 34. O conjunto dos números complexos C é o conjunto dos pares ordenados
que satisfazem as seguintes operações:
� (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
� (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
Observação 69. Usualmente utilizamos z para representar um número complexo. Ou
seja, z = (x, y) ∈ C.
Exemplo 57. Sejam z1 = (1, 1) e z2 = (2, 3), determine z1 + z2 e z1 · z2.
145
146 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
Pela de�nição, temos z1 + z2 = (1, 1) + (2, 3) = (1 + 2, 1 + 3) = (3, 4). Já para a
multiplicação z1 · z2 = (1, 1) · (2, 3) = (1 · 2− 1 · 3, 1 · 2 + 1 · 3) = (−1, 5).
Exercício 210. Sejam z1 = (1,−1) e z2 = (2, 3), determine z tal que z1 · z = z2.
Propriedades da adição:
A operação de adição de�nida no conjunto satisfaz as seguintes propriedades:
� (Associatividade) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) para todo z1, z2, z3 ∈ C.
� (Comutatividade) z1 + z2 = z2 + z1
� (Existência elemento neutro) Existe e ∈ C tal que z + e = e + z = z para todo
z ∈ C.
� (Existência do elemento simétrico)Para todo z ∈ C, existe um z̃ ∈ C tal que
z + z̃ = e, escrevemos então z̃ = −z.
Exercício 211. Demonstre as propriedades da adição.
Propriedades da multiplicação:
A operação de multiplicação por sua vez, satisfaz as seguintes propriedades:
� (Associatividade) (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) para todo z1, z2, z3 ∈ C.
� (Comutatividade) z1 · z2 = z2 · z1
� (Existência elemento neutro) Existe em ∈ C tal que z · em = em · z = z para todo
z ∈ C.
� (Existência do elemento inverso) Para todo z ∈ C, existe um z̃ ∈ C tal que
z · z̃ = em, escrevemos então z̃ = z−1.
Observação 70. Notemos que a representação z−1 aqui não representa 1
z
já que nosso
número complexo é um par ordenado (x, y).
Demonstremos algumas dessas propriedades:
Demonstração.
(Associatividade)
8.1. DEFINIÇÃO DOS COMPLEXOS. 147
Sejam z1 = (a, b), z2 = (c, d) e z3 = (e, f). Temos então
(z1 · z2) · z3 = [(a, b) · (c, d)] · (e, f) = (ac− db, ad+ bc) · (e, f)
= ((ac− db) · e− (ad+ bc) · f, (ac− db) · f + (ad+ bc) · e)
= (ace− dbe− adf − bcf, acf − dbf + ade+ bce) = (a(ce− df)− b(de+ cf), a(cf + de) + b(ce− df))
= (a, b) · (ce− df, cf + de) = (a, b) · [(c, d) · (d, f)]
(Existência elemento neutro)
Demonstração.
Seja z = (a, b) e em = (x, y) queremos determinar se existe x e y tal que z · em = z,
mas para isso devemos ter (a, b)·(x, y) = (a, b), pela de�nição de multiplicação obtemos
(ax− by, ay + bx) = (a, b), temos então um sistema linear formado por ax− by = a e
ay + bx = b. Resolvendo o sistemos obtemos x = 1 e y = 0 como solução. Portando
em = (1, 0).
Exercício 212. Demonstre as propriedades comutativa e da existência do elemento
inverso.
Com a de�nição de multiplicação podemos dá uma interpretação ao que seria a
divisão de números complexos.
Das propriedades anteriores temos que dados z1 6= (0, 0) e z2 6= (0, 0), existe z tal
que z1 · z = z2 (demonstre isso). Tal z será denotado o quociente entre z2 e z1, e
simbolicamente escrevemos z = z2
z1
Exercício 213. Utilizando as propriedades da multiplicação, determine z em função
de z1 = (a, b) e z2 = (c, d).
Exercício 214. Mostre que a distributividade vale nos complexos.
Notemos que até o momento não vemos como podemos pensar os Complexos como
uma extensão propriamente dita dos Reais, pois para isso deveriamos ter R ⊂ C. Para
148 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
fazermos isso de�nimos um subconjunto de C, chamado R′ de�nido por
R′ = {(a, b) ∈ C; b = 0}
Exercício 215. Veri�que que a função f : R → R′ de�nida por f(a) = (a, 0) é uma
bijeção.
Notemos que com essa bijeção podemos pensar que R′ é como uma cópia de R
nos complexos ao pensarmos a relação a = (a, 0). Mas ainda falta uma coisa a ser
observada,será que as operações em R′ se comportam da mesma forma que temos em
R?
Exercício 216. Veri�que que as seguintes relações valem.
a) f(a+ b) = f(a) + f(b)
b) f(ab) = f(a)f(b)
E use a relação a = (a, 0) juntamente com os itens a) e b) para veri�car que as
operações dos reais e de R′ se comportam semelhantemente.
8.1.1 Unidade imaginária.
Chamamos de unidade imaginária e indicamos por i o número complexo (0, 1). Uma
das propriedades que notamos logo de início é a seguinte
i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)
Mas por nossa discussão anteriormente tal complexo representa um número real, mais
precisamente (−1, 0) = −1. Então no conjunto dos complexos diferentemente dos reais,
existe um elemento que ao quadrado dê −1 e aqui temos já uma grande diferença em
relação aos Reais, e também um motivo para se pensar o conjunto dos complexos como
uma extensão dos Reais, pois nele temos os Reais como um subconjunto e além disso
temos propriedades que os Reais não possuiam.
Exercício 217. Determine i3, i4, i5. Percebe um padrão? Use a indução para justi�car
o padrão encontrado.
8.1. DEFINIÇÃO DOS COMPLEXOS. 149
Seja agora um número complexo qualquer z = (x, y) podemos escrever o mesmo
como (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y · 0− 0 · 1, y · 1+ 0 · 0) = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1) = x+ yi.
Assim podemos escrever o número complezo z = (x, y) da forma z = x + yi. O
termo x é chamado parte real e o termo y a parte imaginária do número complexo z.
Tais podem ser representados por x = Re(z) e y = Im(z). Se Im(z) = 0 dizemos que
z é um real puro e caso Re(z) = 0 dizemos que z é um imaginário puro.
Observação 71. Não confundam Im(f) com Im(z) no primeiro caso temos a imagem
da função f e no segundo a parte imaginária do complexo z. A princípio não temos
como confundir tais notações pois a primeira estamos tratando com uma função e a
segunda com um número complexo.
Exercício 218. Comparando a forma de par ordenado z = (x, y) e a forma algebrica
z = x+ yi como teriamos a multiplicação e a soma na forma algebrica?
Exercícios.
Exercício 219. Dado f(z) = z4 + iz3 − (1 + 2i)z2 + 3z + 1 + 3i, calcule o valor de f
no ponto z = 1 = i.
Exercício 220. Mostre que (1 + i)2 = 2i e coloque na forma a + bi o número z =
(1+i)80−(1+i)82
i96
.
Exercício 221. Determine x, y ∈ R para que se tenha:
a) 2 + 3yi = x+ 9i
b) (x+ yi)(3 + 4i) = 7 + 26i
c) (x+ yi)2 = 4i
Exercício 222. Qual a condição para que o produto de dois complexos a+ bi e c+ di
dê um número real?
Exercício 223. Qual condição para que (a+ bi)4 seja estritamente negativo?
Exercício 224. Pensando geometricamente, se temos o complexo (1, 2) o que signi�ca
multiplicar por (0, 1)? Teria como obter algo semelhante se pensarmos num complexo
geral (a, b) multiplicado por (0, 1)?
150 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
8.2 Conjugado
Chamamos de conjugado do número complexo z = x + iy o complexo z = x − iy,
ou de outra forma, (x,−y). Note que se z é real puro então z = z.
Exercício 225. Mostre que z = z.
Propriedades do conjungado
O conjugado satisfaz as seguintes propriedades:
I) z + z = 2Re(z)
II) z − z = 2Im(z)
III) z1 + z2 = z1 + z2
IV) z1 · z2 = z1 · z2
Exercício 226. Demonstre as propriedades I)− IV ).
Podemos usar a ideia de conjugado de forma semelhante a que fazemos nos racionais
quando buscamos racionalizar o fração. Neste caso, buscamos escrever a forma alge-
brica de uma fração envolvendo números complexos. Começemos notando o seguinte:
z · z = (a+ bi)(a− bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2.
Então se temos
z1
z2
=
c+ di
a+ bi
=
(c+ di)(a+ bi)
(a− bi)(a− bi)
=
ca+ db
a2 + b2
+
da− cb
a2 + b2
.
8.2.1 Exercícios
Exercício 227. Use essa ideia pra obter a forma algébrica dos seguintes complexos.
a) 3+2i
1+i
b) 2
i
8.3. FORMA POLAR. 151
c) i9
4−3i
Exercício 228. Determine o conjugado dos seguintes complexos.
a) 1+3i
2−i
b) 1+i
i
c) (1+i
1−i)
−1
Exercício 229. Sejam u e v dois números complexos tais que u2−v2 = 6 e u+v = 1−i.
Calculo u− v.
Exercício 230. Dê condições necessárias e su�cientes para que a+bi
c+di
com c + di 6= 0
seja um Imaginário puro. Um real.
8.3 Forma Polar.
De�nição 35. Seja z = a + bi um número complexo. De�nimos o módulo de z, e
denotamos por ρ ou |z|, ao número real
ρ =
√
a2 + b2.
Disso é fácil veri�car que |z| ≥ 0, para todo z ∈ C. Se pensarmos na representação
via par ordenado temos uma interpretação geométrica para o módulo do complexo z.
152 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
Temos o ponto (a, b) e podemos formar o triângulo retângulo. Então a hipotenusa
do mesmo terá comprimento h =
√
a2 + b2. De outra forma, podemos pensar o módulo
como a distância da origem para o ponto (a, b).
Propriedadedes do Módulo.
Se z = a+ bi é um número complexo qualquer, então:
i) |z| = |z|
ii) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|
iii) Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|
iv) |z|2 = z · z
Mostremos o item ii). Temos que Re(z) = a ≤ |a| =
√
|a|2 ≤
√
a2 = b2 = |z|.
Observação 72. Notamos que se z for um real puro então |z| conincide com o módulo
de um elemento Real.
Exercício 231. Mostre os itens i), iii) e iv).
Agora vejamos as relações entre o módulo e a soma e multiplicação.
Sejam z1 e z2 números complexos.
1) |z1 · z2| = |z1| · |z2|
2) | z1
z2
| = |z1|
|z2|
3) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
Demonstração. Para 1), lembremos que |z|2 = z · z, então
|z1 · z2|2 = (z1z2) · (z1z2 = (z1z2) · (z1z2 = (z1z1)(z2z2) = |z1|2|z2|2
Portanto |z1 · z2| = |z1||z2| já que todos os elementos envolvidos são positivos.
Para 2), notemos que podemos escrever
z1
z2
=
z1z2
z2z2
=
z1z2
|z2|2
= z1
z2
|z2|2
.
8.3. FORMA POLAR. 153
Tomando A = z1 e B = z2|z2|2. Temos
|z1
z2
| = |A ·B| = |A| · |B| = |z1| · |
z2
|z2|2
| = |z1| ·
|z2|
|z2|2
=
|z1|
|z2|
Exercício 232. Mostre que se r ∈ R então | z
r
| = |z|
|r| .
Para 3) Temos
|z1 + z2|2 = |(a+ c) + i(b+ d)|2 = (a+ c)2 + (b+ d)2
= (a2 + 2ab+ c2) + (b2 + 2bd+ d2)
= (a2 + b2) + (c2 + d2) + 2(ac+ bd)
= |z1|2 + |z2|2 + 2(ac+ bd)
= |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z2)
≤ |z1|2 + |z2|2 + 2|z1||z2|
= (|z1 + |z2|)2
Ainda seguindo na visão geométrica, temos o que chamamos de argumento de um
número complexo, para de�ní-lo, observemos a imagem seguinte
Temos o ângulo θ e o triângulo retângulo, portanto podemos obter o seno e o
cosseno desse ângulo. Temos cos(θ) = a
|z| e sen(θ) = b
|z| . Um ângulo theta assim
obtido é chamado o Argumento do complexo z.
Disso podemos obter que x = |z|cos(θ) e y = |z|sen(θ), que é a representação polar
do número complexo. O plano assim representado é chamado de Plano de Argand-
Gauss.
154 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
Observação 73. A representação é chamda polar pois basicamente o que estamos
fazendo é encontrando a circunferência de raio ρ que contém o ponto (x, y) e determi-
namos o ângulo que o segmento OZ faz com o eixo X.
Observação 74. Notemos qualquer valor α = θ + 2kπ também satisfaz o que vimos
anteriormente. Então normalmente tomamos o menor α que satisfaz tal igualdade, e
tal valor é denotado argumento principal.
Do que vimos, temos então uma nova representação para o complexo z, dada por
z = x+ iy = |z|cos(θ) + i|z|sen(θ), que é denotada forma trigonométrica, ou polar, do
complexo. Tal representação gera muitas simpli�cações em algumas situações e é uma
das princípais formas em que os complexos são apresentados.
Exemplo 58. Determine a forma polar dos complexos z1 =
√
3 + i e z2 = −1− i.
Queremos escrever ambos na forma z = |z|(cos(θ) + isen(θ)), precisamo então
determinar θ.
Para z1 temos |z| =
√
3 + 1 = 2. E cos(θ) =
√
3
2
= cos(π
6
, portanto θ = π
6
+ 2kpi ou
7π
6
+ 2kπ.
Notamos que (
√
3, 1) pertence ao primeiro quadrante, logo o menor ângulo será
π
6
, que será o argumento principal. Portanto a representação polar será dada por
z1 = 2(cos(π
6
+ isen(π
6
)).
Já para z2 temos |z2| =
√
2. Portanto cos(θ) = −1√
2
= −
√
2
2
= cos(3π
4
. Então
θ = 3π
4
+ 2kπ ou 5π
4
+ 2kπ. Como (−1,−1) está no terceiro quadrante, temos que
θ = 5π
4
será nosso argumento principal. E assim z2 =
√
2(cos(5π
4
) + isen(5π
4
))
8.3.1 Exercícios.Exercício 233. Coloque os seguintes complexos na sua forma polar.
a) 3i
b) i3
c) 2− 2i
8.3. FORMA POLAR. 155
d) 1 + i
√
3
e) 5− i · 5
√
3
Exercício 234. Calcule o módulo de a+bi
a−bi , com a, b ∈ R.
Exercício 235. Calcule o módulo do complexo 1
1+itg(x)
, onde x 6= kπ + π
2
, e k inteiro.
Exercício 236. Calcule o módulo dos números
a) (1 + i)3
b) 1+i
2−2i
Exercício 237. Escreva o número complexo 1
1−i −
1
i
na forma a + bi e na forma
trigonométrica.
Exercício 238. Se z e w são dois números complexos quaisquer tais que |z| = |w| = 1
e 1 + zw 6= 0, determine se z+w
1+zw
é real, imaginário ou imaginário puro.
Exercício 239. Dados os números complexos z1 = ρ(cos(ϕ)+isen(ϕ)) e z3 = ρ(sen(ϕ)+
icos(ϕ)), determine se z1 − iz2 é real, imaginário ou imaginário puro.
8.3.2 Potenciação.
Uma das facilidades que a representação polar nos trás é na hora de calcularmos
potências de números complexos.
Sejam z1 = ρ1(cos(θ1)+isen(θ1)) e z2 = ρ2(cos(θ2)+isen(θ2)). Queremos encontrar
a forma polar de z = z1 · z2. Temos
z1 · z2 = ρ1ρ2(cos(θ1) + isen(θ1))(cos(θ2) + isen(θ2))
= ρ1ρ2[(cos(θ1)cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2) + i(sen(θ1)cos(θ2) + sen(θ2)cos(θ1))]
Logo, se z = ρ(cos(α)+ isen(α)) temos ρ = ρ1ρ2 e α = (θ1+ θ2)+2kπ, para k ∈ Z.
156 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
O que poderíamos conjecturar para z = z1z2...zn? Use a indução para demonstrar
tal fato.
Dessas relação, podemos obter uma forma mais simples para obter potências de
números complexos. Se tivessemos o complexo z = a+bi, e buscassemos zn = (a+bi)n,
seria um processo demorado até obtermos o resultado. Mas se temos z = ρ(cos(θ) +
isen(θ)) na forma polar, temos zn = z.z.z.z...z = ρn(cos(nθ) + isen(nθ)) (Primeira
fórmula de Moivre).
Exemplo 59. Calcule (−1
2
+ i
√
3
2
)100.
Nosso primeiro passo é escrever o complexo na forma polar. Temos ρ = 1, temos
cos(θ) = −1
2
= cos(4π
6
). Logo θ = 4π
6
+ 2kπ ou 7π
6
+ 2kπ, mas o número complexo
(−1
2
,
√
3
2
) está no segundo quadrante, logo θ = 4π
6
= 2π
3
.
Logo
z100 = [1.(cos(
2π
3
) + isen(
2π
3
))]100 = 1100(cos(100
2π
3
) + isen(100
2π
3
))
= (cos(
2π
3
+ 66π) + isen(
2π
3
+ 66π)) = (cos(
2π
3
) + isen(
2π
3
))
=
−1
2
+ i
√
3
2
8.3.3 Exercícios
Exercício 241. Calcule as seguintes potências
a) (3− 3i)−12
b) (−
√
3− i)20
c) (−1 + i)6
d) i
(− 1
2
−i
√
3
2
)6
Exercício 242. Determine o menor número n natural para o qual (i−
√
3)n é imagi-
nário puro.
Exercício 243. Determine o número complexo z tal que iz + 2z + 1 − i = 0. E
determine z1004.
8.3. FORMA POLAR. 157
8.3.4 Radiciação:
Dado um número complexo z, chama-se a raíz enésima de z, e denota-se n
√
z, a um
número complexo zk tal que znk = z.
Utilizemos a fórmula de Moivre para tentar obter uma forma de determinar zk.
Sejam z = ρ(cos(θ) + isen(θ)) e zk = r(cos(t) + isen(t)). Se, zk é a raíz enésima de z,
temos
ρ(cos(θ) + isen(θ)) = [r(cos(t) + isen(t))]n = rn(cos(nt) + isen(nt))
Logo ρ = rn e cos(nt) = cos(θ) e sen(nt) = sen(θ). Temos então r = n
√
ρ e nt =
θ + 2kπ ⇒ t = θ+2kπ
n
para k = 0, 1, 2, ..., n− 1.
Repare que a restição do k, vem pelo fato que a partir de k = n obteriamos os
mesmos valores para seno e cosseno. Pois
sen(
θ + 2nπ
n
) = sen(
θ
n
+ 2π) = sen(
θ
n
) = sen(
θ + 2 · 0 · π
n
)
O mesmo acontece para cosseno.
Temos então que
n
√
z = n
√
ρ(cos(
θ + 2kπ
n
) + isen(
θ + 2kπ
n
)).
Com isso temos uma coisa curiosa em relação a radiciação nos complexos. Pois
quando estamos tratando com os Reais, a raiz da unidade 1 tem apenas ele como sua
raiz, será que o mesmo ocorre nos complexos? Vejamos:
Seja z = 1 + 0.i = 1.(cos(0) + isen(0)). Temos então que n
√
z = 1(cos(0+2kπ
n
) +
isen(0+2kπ
n
)) = cos(2kπ
n
) + isen(2kπ
n
), onde k = 0, 1, 2, ..., n− 1.
Vejamos o caso n = 3. Temos para
� k = 0. z0 = cos(0) + isen(0)
� k = 1. z1 = cos(2π
3
) + isen(2π
3
= −1
2
+ i
√
3
2
� k = 2. z2 = cos(4π
3
) + isen(4π
3
) = −1
2
− i
√
3
2
Temos portanto 3 raízes distintas para a unidade. No caso geral teremos n raízes
distintas.
158 CAPÍTULO 8. NÚMEROS COMPLEXO
8.3.5 Exercícios
Exercício 244. Calcule as seguintes raizes.
a)
√
5 + 12i
b) 3
√
−11− 2i
c) 4
√
1
d) 1√
−4i
Exercício 245. Determine 5
√
1, marque no ciclo trigonométrico tais valores e ligue cada
um ao seu próximo. O que obtemos daí? O mesmo acontece com a raíz quadrada? E
a cubíca?
Exercício 246. Uma das raízes de ordem 6 de um número complexo é −2. Determine
as outras raízes de ordem 6 desse número.
Exercício 247. Se z = r(cos(θ) + isen(θ)), qual é o número de soluções da equação
z2 + |z| = 0?
Exercício 248. Seja zk um número complexo, solução da equação (z + 1)5 + z5 = 0,
k = 0, 1, 2, 3, 4. Qual das proposições abaixo é verdadeira?
a) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma circunferência.
b) Todos os zk estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário.
REFERÊNCIAS
cr [1] Aguilar, Ivan. Dias, Mariana Sequeiros. A construção dos números reais e suas
extensões.
car [2] Cassio, Neri. Curso de Análise Real. 1 ed.- Rio de Janeiro.
em [3] Domingues, Hygino. Espaços Métricos e introdução à topologia.
AH [4] Hefez, Abramo. Indução Matemática.
LP [5] Lopes, Paula Cristina Reis, Construções dos Números Reais. Dissetração de Mes-
trado.
barbosa [6] BARBOSA, J.L.M., Geometria Euclidiana Plana.
lima [7] LIMA, E.L. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do professor de matemática,
SBM, 2006.
fme [8] Iezzy, G. Fundamentos de matemática elementar, vol. 3.
fme2 [9] Iezzy, G. Fundamentos de matemática elementar, vol. 6.
HMI [10] Gunderson, D.S. Handbook of Mathematical Induction: Theory and Applications.
	Introdução.
	Números Naturais.
	Introdução
	Fundamentos matematicos
	Conjunto dos Naturais.
	Operações nos Naturais.
	Demonstrações das propriedades.
	(Tricotomia da soma)
	Princípio da Indução.
	Exercícios
	Números Inteiros.
	Algoritmo da divisão
	Exercícios
	Números Racionais
	Distância entre racionais.
	Ordem nos Racionais.
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	Operações via representação decimal.
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	Expressões e equações
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