Matemática - Aula 4

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro estudante, 
 
A partir de agora, iniciaremos nossos estudos referentes às Matrizes. 
Serão apresentados conceitos, teoremas, definições e diversos exemplos 
resolvidos para facilitar a compreensão, bem como dicas importantes para 
ampliar o seu conhecimento e, por fim, a aplicação da notação científica. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
AULA 04 - 
INTRODUÇÃO À 
MATRIZES E 
NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você vai conferir os contextos conceituais da psicologia entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Definir as matrizes e suas propriedades; 
 Resolver operações entre matrizes; 
 Identificar os passos para a construção da matriz; 
 Escrever um número em notação científica; 
 Determinar a ordem de grandeza de um número. 
 
 
 
 
1 MATRIZES 
Quem nunca teve um boletim escolar, olhou um calendário ou jogou batalha 
naval? Esses são exemplos de matrizes. Matrizes são conjuntos cujos elementos 
estão dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais). 
Um bom exemplo de matriz é o jogo batalha naval: 
 
Nesse exemplo, o retângulo solitário se encontra na linha 1 e na coluna C. O 
software, também é um bom exemplo de matriz. 
1.1 Forma de representação de matrizes 
Elementos entre parênteses: 
Elementos entre colchetes: 
 
 
 
 
1.2 Ordem de uma matriz 
Refere-se ao número de linhas e colunas da matriz. Assim, uma matriz 𝑨𝑨𝑨𝑨 
têm m linhas e n colunas e ordem m x n. 
1.3 Elementos de uma matriz 
Cada elemento de uma matriz 𝑨𝑨𝑨𝑨 é chamado de a. Por exemplo, na matriz 
a seguir, a posição de cada elemento é: 
 
É possível encontrar qualquer matriz por meio de sua lei de formação. 
 
Por exemplo: 
 
a. Encontre a matriz 𝑲𝟑𝒙𝟏 de maneira que 𝑲𝒊𝒋 = 2i+j. 
 
Por meio da lei de formação dada, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
1.4 Tipos de matrizes 
Conforme o número de linhas e colunas ou por meio de características 
específicas, podemos classificar as matrizes em cinco tipos: 
 
Matrizes retangulares 
 
São aquelas em que o número de linhas e o de colunas difere, isto é, m ≠ n. 
Exemplo: 
 
Matrizes quadradas 
 
São aquelas em que m = n, ou seja, o número de linhas e o de colunas é igual. 
Assim, A, é de ordem 2 × 2, B, é de ordem 3 × 3. Por exemplo: 
 
 
 
Apenas nas matrizes quadradas há duas diagonais: principal e secundária. Os 
elementos da diagonal principal são aqueles em que i = j, ou seja, o número da linha 
e da coluna do elemento são iguais. A diagonal secundária é formada pelos elementos 
em que i + j = n + 1. 
Na matriz A do exemplo anterior, os elementos da diagonal principal são 1 e -
1, e os da secundária são 2 e 0. 
 
Matrizes triangulares 
 
São matrizes quadradas em que os elementos que estão acima ou abaixo da 
diagonal principal são apenas zeros. 
Exemplos: 
 
Matrizes diagonais 
 
São matrizes quadradas em que todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são nulos. 
Exemplos: 
 
 
Matriz identidade 
 
São matrizes diagonais em que os elementos da diagonal principal são sempre 
iguais a 1. O símbolo da matriz identidade será sempre I em que n é a ordem da 
matriz. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
2 OPERAÇÕES COM MATRIZES 
2.1 Igualdade de matrizes 
Duas matrizes A e B são iguais quando todo elemento a = b. De modo mais 
simplificado, dizemos que duas matrizes serão iguais quando tiverem a mesma ordem 
e quando os elementos que estão nas mesmas posições forem iguais. 
As matrizes a seguir não são iguais, pois embora tenham os mesmos 
elementos, suas ordens e posições diferem: 
 
 
 
 
2.2 Adição e subtração de matrizes 
Se 𝑨𝑨𝑨𝑨 e 𝑨𝑨𝑨𝑨, então existe 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑨𝑨𝑨𝑨 em que 𝑨𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑨 + 
𝑨𝑨𝑨. De outra maneira: se A e B apresentarem a mesma ordem, a soma ou a 
subtração serão feitas com os elementos que estiverem nas mesmas posições. 
Assim: 
2.3 Produto de matrizes por escalar 
Seja k um escalar (um número real), então 𝑲 . 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑲 . 𝒂𝑨𝑨, para todo i e 
j. Dito de outro modo: quando um número real estiver multiplicando uma matriz, ele 
multiplicará cada elemento dela. Então: 
2.4 Multiplicação de matrizes 
É a operação mais difícil de fazer com matrizes. Para facilitar o entendimento, 
vamos dividir o raciocínio em duas partes: a primeira mostrará quando a multiplicação 
é possível, e a segunda, como fazer. Quando é possível multiplicar matrizes? 
Quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas 
da segunda. O número de linhas da primeira matriz com o de colunas da segunda 
mostra a ordem da matriz produto. 
 
 
Por exemplo: 
 
• 𝑨𝑨𝑨𝑨 . 𝑩𝑨𝑨𝑨 é possível e o produto será uma matriz de ordem 3×5; 
• 𝑨𝑨𝑨𝑨 . 𝑩𝑨𝑨𝑨 não é possível; 
• 𝑨𝑨𝑨𝑨 . 𝑩𝑨𝑨𝑨 é possível e a matriz produto é uma matriz de ordem 1x7; 
• 𝑨𝑨𝑨𝑨 . 𝑩𝑨𝑨𝑨 é possível e a matriz produto também será uma matriz de ordem 3×3. 
Como multiplicar matrizes? 
Sabendo que é possível multiplicar as matrizes, a operação acontecerá de 
modo que uma linha da primeira matriz multiplicada por uma coluna da segunda matriz 
gere um único elemento da matriz produto. Serão multiplicados os elementos 
conforme a ordem em que aparecem: o primeiro da linha com o primeiro da coluna, o 
segundo da linha com o segundo da coluna e assim por diante até o último da linha 
pelo último da coluna. Somando todos os resultados, teremos o único elemento 
gerado. Por exemplo, o produto de uma matriz 2×3 por uma 3×2 é possível e gera 
uma matriz 2×2. 
A multiplicação: 
 
Que resultará em: 
 
 
3 MATRIZ INVERSA 
Se A é uma matriz quadrada, ou seja, aquela que tem o mesmo número de 
linhas e de colunas, caso exista sua inversa, será denotada por 𝑨−𝟏: 
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰𝒏 
Em que 𝑰𝒏 é a matriz identidade de ordem n. 
 
Como obter a matriz inversa? 
Logo: 
 
Resolvendo o primeiro produto, temos: 
 
Dessa igualdade, encontramos dois sistemas de equações do primeiro grau. O 
primeiro seria: 
 
 
 
Multiplicando a segunda equação por (-2), temos: 
 
 
 
 
 
Somando membro a membro, chegamos a -b = 1, ou seja, b = -1. Substituindo 
na primeira equação, 2a +5. (-1) = 1, em que 2a = 6 e assim a = 3.0 segundo sistema 
será: 
 
Como os coeficientes das letras são iguais, a maneira de resolver o sistema é 
a mesma do anterior. Procedendo assim, chegaremos em d = 2 e c = -5. 
Portanto: 
 
 
Nem sempre existirá a inversa: 
 
Apresentará o seguinte sistema: 
 
Multiplicando a segunda linha por (-2), obteremos: 
 
Somando-as, temos 0 = 1, o que não é verdade, logo, o sistema não tem 
solução, portanto, a matriz não tem inversa. 
 
 
4 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
A notação científica nada mais é do que uma propriedade de qualquer 
representação numérica: uma forma de transformar a expressão de um determinado 
valor, mas sem alterar a quantidade numérica em questão, simplesmente 
apresentando-o de outra forma. Veja os seguintes exemplos: 
100 = 1 
101 = 10 
102 = 100 
103 = 1000 
10-1 = 0,1 
10-5 = 0,00001 
Você pode ver a partir desses exemplos que com o uso de potências podemos 
expressar valores de ordens muito diferentes sem alterar o primeiro algarismo 
utilizado. 
Onde devo aplicar a notação científica? 
Sabe aqueles números gigantescos que às vezes aparecem em questões 
cheias de zeros? Ou mesmo aquelas tão pequenas, com muitos zeros depois da 
vírgula? Em ambos os casos resolvemos o problemacom notação científica. Isso 
simplifica os valores, tornando sua dimensão e uso em cálculos matemáticos mais 
fáceis de entender. 
Como fazer notação científica 
A primeira regra a aprender é que os valores finais obtidos devem ser sempre 
um número inteiro entre 1 e 10 seguidos pela exponenciação correspondente, que 
pode ser positiva ou negativa. Sabendo disso, basta deslocar a vírgula do número 
 
 
conforme o número de zeros que são "eliminados" da representação e adicionados à 
exponenciação subsequente. Portanto, esta é uma técnica que só faz sentido quando 
temos grandes ou muito pequenas quantidades com vários zeros na composição. 
Cada casa movida representa um valor exponencial adicionado ou reduzido, 
dependendo da direção do deslocamento. Se substituirmos as casas à direita do 
número, será uma exponencial positiva. Se estiverem à esquerda do número, então 
uma exponencial negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012. 
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear. 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2017. 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: volume 1. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1 MATRIZES
	1.1 Forma de representação de matrizes
	1.2 Ordem de uma matriz
	1.3 Elementos de uma matriz
	1.4 Tipos de matrizes
	2 OPERAÇÕES COM MATRIZES
	2.1 Igualdade de matrizes
	2.2 Adição e subtração de matrizes
	2.3 Produto de matrizes por escalar
	2.4 Multiplicação de matrizes
	3 MATRIZ INVERSA
	4 NOTAÇÃO CIENTÍFICA
	5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS