Apostila 0- Ondas Senoidais_22

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Apostila 0: 
 Ondas Senoidais: Geração e Caracteristicas
- Tensões e correntes alternadas
- Princípio de funcionamento do gerador senoidal
- Características das ondas senoidais: amplitude, calor-pico-a-pico, valor médio e eficaz, período, frequência angular, frequência e período, defasagem 
			Tensões e Correntes Alternadas
- Até agora, estudamos circuitos operando em corrente contínua, ou seja, as fontes que estavam presentes tinham valores constantes( que não variavam com o tempo).
- A partir de agora analisaremos circuitos alimentados por tensões senoidais. 
A figura ao lado mostra três funções que poderiam ser ditas alternadas uma vez que, ao longo do tempo, o valor instantâneo de cada uma delas se alterna, assumindo valores positivos ou negativos (entre um valor máximo e um mínimo). 
Mas, o termo tensão ou corrente CA (do inglês “Alternating Current” -AC) é usado normalmente para designar tensões ou correntes que são funções senoidais do tempo. 
Estas funções são particularmente importantes por várias razões:
- A tensão fornecida pelas empresas geradoras de energia elétrica é senoidal
- Muitos equipamentos e sistemas elétricos empregam estas formas de onda. 
 
Tensões e Correntes Alternadas Senoidais:
Princípio da Geração Senoidal
- 1831- Michael Faraday ( considerado um dos maiores cientistas experimentais da História), no Reino Unido, descobriu a Lei da Indução Eletromagnética, ou simplesmente, Lei de Faraday. 
- Mostrou que é possível transformar energia mecânica em energia elétrica, criando o protótipo experimental do gerador senoidal que só foi produzido, em escala industrial, cerca de cinquenta anos mais tarde. 
- Além disso, este mesmo princípio é o fundamento de funcionamento de inúmeros outros componentes e equipamentos como por exemplo: indutores, transformadores, motores de indução e microfones.
Lei de Faraday -Indução Eletromagnética:
Estabelece que, se houver variação de fluxo magnético que atravessa uma numa espira
condutora, será induzida nos terminais desta espira uma tensão dada por: 
(Onde Φ é o fluxo magnético)
Se o condutor for enrolado, formando N voltas, tem-se que: 
Como variar o fluxo magnético?
GERADOR SENOIDAL
PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO
Fluxo magnético
Do Eletromagnetismo, sabemos que:
 o fluxo magnético Φ é definido como o produto escalar: 
Ou seja: Φ = BScosθ
Logo, para variar Φ p0odemos:
 - Variar B
 - Variar S
 - Variar θ
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
COMO FAZER A
VARIAÇÃO DE 

Mas, o método usado para geração senoidal baseia-se na variação do ângulo θ. Para isso, gira-se uma espira de fio condutor dentro de um campo magnético que é produzido pelos polos norte e sul de um ímã permanente.
Ideias Possíveis:
 
 
 Os polos norte e sul do ímã permanente que produz o campo magnético fixo são chamados de peças polares. O eixo de rotação da espira está localizado perpendicularmente às linhas de força do campo magnético. Os terminais da espira são conectados a anéis deslizantes (chamados de anéis coletores). Dois contatos de grafite (chamados de escovas) encostam nos anéis, enquanto eles giram e, assim, estabelecem o contato entre a tensão gerada nos terminais da espira e o circuito externo. Na figura, a carga foi uma lâmpada, para efeito de exemplo. A espira que gira dentro do campo é chamada de armadura. 
GERADOR SENOIDAL – PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO
https://www.youtube.com/watch?v=goZj5c1yLQc
Princípio da Geração Senoidal
Porque a tensão gerada entre os pontos A e B é uma função senoidal do tempo?
Vimos que: Φ = Bscos θ
A espira gira, com velocidade angular constante ω. Logo, o ângulo θ será função do tempo: θ = ωt.
A tensão induzida v(t) nos terminais da espira será: 
 Geração 
 da 
 Tensão Senoidal 
À medida em que ocorre o giro, v(t) varia senoidalmente 
Fontes CA 
Figuras – Fonte- Livro Introdução à Análise de Circuitos Elétricos - Boylestad
Características das Ondas Senoidais:
- Tensões e correntes são funções do tempo. São também chamadas de sinais elétricos.
Forma de Onda: quando é traçado um gráfico de uma grandeza versus tempo, diz-se que se visualiza sua forma de onda.
- Período (T): quando uma forma de onda se repete a intervalos regulares de tempo, é chamada de periódica; Período é o intervalo de tempo de repetição. Na figura, o período da tensão senoidal exemplificada pode ser medido entre dois pontos iguais quaisquer, em dois ciclos consecutivos, por exempĺo: dois picos positivos consecutivos, ou dois negativos.
- Valor de Pico (ou Valor Máximo) VM é o máximo valor instantâneo, medido em relação ao nível de zero volt.
- Valor Pico-a-Pico (ou Excursão do Sinal)
(VPP) :É a diferença entre o valor máximo eu mínimo. 
Características das Ondas Senoidais : (Continuação)
Valor Médio: 
Sinais Discretos e Sinais Contínuos:
As grandezas elétricas são funções do tempo. As funções podem ser discretas ou contínuas. 
Funções contínuas:
Uma função é contínua quando entre cada dois pontos de seu domínio, por mais próximos que estejam, pode-se inserir outro ponto que ainda pertença a este domínio. Então, no caso de funções do tempo, elas serão contínuas quando t∈ℝ. Exemplos: tensão senoidal da rede elétrica; variação da intensidade luminosa incidindo num painel solar durante o dia.
Funções Discretas:
São aquelas cujo domínio só possui valores inteiros Exemplo: notas dos alunos de uma turma; 
Observação: para digitalizar os sinais, o processo que converte sinais contínuos em discretos é a amostragem. 
Valor Médio de Variáveis Discretas:
Valor Médio de Variáveis Contínuas:
Neste caso, para cálculo da média somamos as notas e dividimos pela soma dos alunos.
Neste caso, como entre cada dois pontos do eixo das abscissas pode ser inserido um terceiro, por mais próximos que estejam estes pontos, a soma de valores assumidos pela função no intervalo degenera para uma integral; então, o cálculo do valor médio torna-se a área sob a curva dividida pelo intervalo de tempo considerado (Δt). No exemplo consideramos uma tensão, mas poderia ser outro sinal elétrico, por exemplo corrente, potência ou energia.
Valor Médio de Funções Periódicas:
Se, além de contínua a função for periódica, costuma-se definir o valor médio em um período (T), uma vez que tudo que ocorrer nele repetir-se-á nos próximos. Nestes casos, a expressão para valor médio é: 
Valor Médio Para um Seno ou Cosseno “Puro”:
O valor médio é zero, pois a área sob a curva no semiciclo positivo é igual e de sinal contrário área sob a curva no semiciclo negativo.
Mas se somarmos uma constante à forma de onda senoidal, o valor médio será esta constante. Exemplos:
v(t) = 4 + 6senωt
v(t) = 5 senωt -10
Características das Ondas Senoidais : (Continuação)
Frequência:( f )
É o inverso do período: 
A unidade de frequência é Hz (em homenagem a Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894)
Frequência Angular (ω): ω =2πf 
A unidade de frequência angular é rad/s.
Imagine um vetor girando com velocidade angular constante ω.
O ângulo percorrido 
(a posição do vetor, em dado instante, será dada por: Φ = ωt. 
Considerando uma posição qualquer, ele sempre retornará àquela posição periodicamente. O tempo que ele leva para completar uma volta no círculo (360° ou 2π rad é chamado de Período (T). Logo:
2π = ωT.
Comparação Entre Ondas Senoidais de Mesma Frequência: 						Conceito de Defasagem:
Observe a figuras a seguir. As duas formas de onda senoidais têm mesma frequência (ou seja: mesmo período).
 Sabemos que: ω =2π f e f=1/T Logo:
 No exemplo da figura: ω =1rad/s;
e:
v1(t) = 4cost
v2(t) =2cos(t+45°) ou
v2(t) =2cos(t+π/4)
Observe que a tensão v2(t) está adiantada da tensão v1(t). Se nos basearmos no tempo, para comparar as ondas, veremos que v2(t) atinge o pico positivo, por exemplo, T/8=(1/8).6,28s antes que v1(t) atinja o pico positivo consecutivo. 
Comparação Entre Ondas Senoidais de Mesma Frequência:Conceito de Defasagem:
Observe, agora, as tensões v3(t) e v4(t). Suas expressões são:
v3(t) = 4cos1000t
v4(t) =2cos(1000t+45°) ou
v4(t) =2cos(1000t+π/4)
Verifique que, agora: 
A tensão v4(t) também está adiantada da tensão v3(t) de T/8 o que, neste caso, corresponde a (1/8).6,28ms.
			
Comparação Entre Ondas Senoidais de Mesma Frequência: 						Conceito de Defasagem:
Usualmente fica mais fácil e mais geral, compararmos a posição horizontal relativa de duas formas de onda de mesmo período, relacionando a defasagem (atraso ou adiantamento) com o período. Neste caso, em ambos os exemplos dizemos:
 v2 está adiantada de v1 de T/8 e v4 está adiantada de v3 de T/8 e, além disso, estabelecemos uma proporção:	
Sabemos que uma volta se completa no círculo trigonométrico em um período: 
1volta completa 
(360° ou 2π) __________ T
 
Defasagem
 θ ___________ d
No exemplo: 
 360° __________ T
 θ ____________T/8
Logo: 
Comparação Entre Ondas Senoidais de Mesma Frequência: 						Conceito de Defasagem:
A figura ao lado mostra outro exemplo de defasagem: 
v1(t) =6cos 2t
v2(t) =4cos (2t -90°)=4sen 2t
Observando a figura, vemos que os picos positivos da onda v2(t), por
exemplo, ocorrem depois daqueles da onda v1(t); dizemos que v2(t) está atrasada de v1(t) : a diferença de tempo é T/4; para expressarmos o atraso em fase, fazemos a proporção:
 360°_________T
 θ___________T/4
Logo: θ =90°.
Da trigonometria, sabemos que, de fato: sen 2t = cos (2t - 90°); Lembre-se de que:
cos (A-B)=cos.AcosB+senA.senB; 
Assim: cos (2t -90°) =cos2tcos90°+sen2t.sen90° = sen 2t
Revisão de Números Complexos:
Veremos, mais tarde, que há uma correspondência entre funções senoidais e números complexos. Usaremos esta correspondência para calcular a resposta de circuitos, em regime permanente senoidal. 
Inicialmente, faremos uma revisão de números complexos. 
(Veja a Apostila 1).
v=
−dΦ
dt
v=
−NdΦ
dt
Φ= 
v=
−dΦ
dt
=−SB
d
dt
(cosωt)=SBωsenwt=V
M
senωt
V
Médio
=
∑
Notas
nºalunos
V
Médio
=
∫
t
1
t
2
v
(
t
)
Δt
V
Médio
=
∫
0
T
v
(
t
)
T
=
1
T
∫
0
T
v
(
t
)
f=
1
T
T=
2π
ω
=2π=6,28s
ω=
2π
T
T=
2π
ω
=
2π
1000
=6,28ms
θ=
360° .
T
8
T
=
360°
8
=45°