Física - Ondas, Eletrcidade e Magnetismo - Trigonometria

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A trigonometria é umas das áreas do conhecimento humano mais antigas. A necessidade de determinar posições e distâncias, por exemplo, sempre foi uma questão interessante para a humanidade. Observar a posição dos astros celestes e a relação entre estes foi um importante campo de estudos de desenvolvimento para a astronomia. Já aplicações que envolvem a agricultura também fomentaram o desenvolvimento desse campo da Matemática, bem como as navegações.
Classificação de Triângulos e Teorema de Pitágoras
Um triângulo pode ser definido como uma figura plana, a qual contém três lados. Estes podem ser classificados em função dos lados, como equilátero, isósceles e escalenos, conforme vemos na representação da Figura 1.1:
Figura 1.1 - Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em função dos ângulos, os triângulos podem, ainda, ser classificados como obtusângulos (um ângulo interno maior do que 90º - ângulo obtuso), acutângulos (três ângulos internos menores do que 90º - ângulos agudos) ou retângulos (um ângulo interno igual a 90º - ângulo reto).
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem o mesmo vértice e um lado comum, conforme a Figura 1.2:
Figura 1.2 - Os ângulos α� e β� são adjacentes, pois possuem o mesmo vértice A� e dividem a mesma semirreta AC−−−��_
Fonte: Elaborada pelo autor.
Daremos uma atenção especial ao triângulo retângulo. É possível perceber que qualquer um dos triângulos – equilátero, isósceles ou escaleno – pode ser dividido em triângulos retângulos e, em muitas situações, a resolução de problemas fica bastante simplificada.
Como já dissemos, um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo igual a 90º, conforme vemos na Figura 1.3:
Figura 1.3 - Representação de um triângulo retângulo
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que, no triângulo retângulo, A, B, e C representam os vértices, enquanto que a, b�, �, e c� representam os lados do triângulo, em que o lado maior é chamado de hipotenusa, e os demais de catetos.
Pitágoras descobriu que a soma da área dos quadrados menores (azul e verde),  formados pelos lados a� e c� de um triângulo retângulo, é igual à área do quadrado maior (amarelo) de lado b�. Em outras palavras, a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é o que chamamos de Teorema de Pitágoras, conforme ilustrado na Figura 1.4:
Figura 1.4 - Teorema de Pitágoras
Fonte: Elaborada pelo autor.
Matematicamente, escrevemos que:
a2+c=b2�2+�=�2
Círculo Trigonométrico
Em trigonometria, o círculo trigonométrico é utilizado para relacionar o sistema angular com os números reais. Na Figura 1.5, uma ilustração é feita para essa relação, que também é útil para representar valores de seno e cosseno.
Figura 1.5 - Círculo trigonométrico, em que o eixo x representa o cosseno do ângulo, e o eixo y representa o seno
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que, no círculo, não apenas há a representação dos ângulos, variando de 00 até 360o360�, mas também o equivalente em radianos, que varia de 00 até 2π2�, que equivale a 180o180�.
O radiano (1 rad1 ���) é definido como a medida do ângulo central, cujo arco correspondente representa o mesmo comprimento (C�) do raio (R�) da circunferência, conforme Figura 1.6:
Figura 1.6 - Definição do conceito de radiano no círculo
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que o comprimento dado pelo arco AB�� é igual ao raio R�. Além disso, podemos determinar uma relação entre um ângulo α� e rad��� da seguinte maneira:
α=C/R�=�/�
Funções Trigonométricas
Iniciamos nossos estudos sobre trigonometria. Agora, vamos conhecer algumas características mais detalhadas das funções trigonométricas, como domínio, imagem e gráfico.
A função seno é dada por f(x)=sen(x).�(�)=���(�).
Na Figura 1.7, é possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo 2π2�, ou seja, é uma função periódica, com período 2π2�. Além disso, trata-se de uma função ímpar, uma vez que é simétrica em relação à origem, ou seja, f(−x)=f(x).�(−�)=�(�).
Figura 1.7 - Gráfico da função f(x)=sen(x)�(�)=���(�)
Fonte: Elaborada pelo autor.
A função cosseno é dada por f(x)=cos (x)�(�)=��� (�), conforme o gráfico da Figura 1.8:
Figura 1.8 - Gráfico da função f(x)=cos(x)�(�)=���(�)
Fonte: Elaborada pelo autor.
É possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo 2π2�, ou seja, é uma função periódica, com período 2π2�. Além disso, trata-se de uma função par, uma vez que é simétrica, em relação ao eixo y�, ou seja, f(−x)=−f(x).�(−�)=−�(�). Perceba, também, que esta é defasada, com relação à função seno em π/2�/2.
praticar
Vamos Praticar
Um eletricista está realizando um reparo na instalação elétrica de um prédio. Para atingir pontos altos, ele utiliza uma escada que possui 4 m4 � de comprimento. Em um dado instante, o eletricista precisou fazer um reparo em uma fiação localizada no teto do apartamento. Considerando que o menor ângulo que a escada pode ter, em relação à parede, para garantir segurança ao eletricista, é de 20o20�, qual deve ser a altura máxima do teto, para que o eletricista consiga atingir?
Parte superior do formulário
a) 1,45 m.
b) 1,36 m.
c) 3,00 m.
d) 3,75 m.
e) 4,50 m.
Parte inferior do formulário
Você, com certeza, já viu uma mola. É um objeto bem familiar, que pode ser utilizado para diversos fins, como na composição dos botões de seleção de componentes eletrônicos, nos sistemas de suspensão de automóveis ou até em colchões. Esta pode ser utilizada tanto esticada quanto comprimida.
Contudo, você sabe o que acontece quando movimentamos uma mola? Inicialmente, esta está em equilíbrio. Quando esticamos ou comprimimos-na, exercemos uma força paralela ao seu comprimento. Mas o que acontece depois? A mola fica oscilando? Será que é possível descrever essas oscilações, matematicamente? E mais: será que esse movimento é característico somente das molas? Observe ao seu redor. Existem vários movimentos que se repetem ou oscilam, como o pêndulo de um relógio antigo, as vibrações de uma corda de violão ou o som de um clarinete.
Oscilador Harmônico Simples
A oscilação é o que ocorre quando um sistema em equilíbrio estável, conforme a Figura 1.9, é perturbado, produzindo um movimento de vai e vem, até retornar à posição de equilíbrio.
Figura 1.9 - Ilustração do equilíbrio estável
Fonte: Elaborada pelo autor.
Um modelo do movimento harmônico simples é o sistema massa-mola. Considere um bloco de massa m� preso à uma mola, como ilustrado na Figura 1.10. Quando o bloco move-se para a direita, a força age para restaurar no sentido oposto (esquerda), levando o bloco para a posição de equilíbrio x=0�=0, ou seja, sempre que o bloco estiver na posição de equilíbrio, a força restauradora será nula.
Figura 1.10 - Um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 5).
Em muitos sistemas, a força restauradora surge, quando deslocamos o sistema do equilíbrio, de modo que a força é proporcional ao deslocamento, conforme descrito na equação (1).
F(x)=−kx         (1)�(�)=−��         (1)
Sendo x� o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio, e k� a constante elástica da mola que, no Sistema Internacional (SI), possui unidade de newton por metro (N/m)(�/�). Em um movimento harmônico simples, a força é proporcional ao deslocamento. Como a força é restauradora, verificamos a existência de um sinal negativo. Assim, toda vez que uma força age em um sentido, o deslocamento age no sentido oposto, de modo a restaurar a posição de equilíbrio.
Partícula em Movimento Harmônico Simples
O modelo discutido na seção anterior pode ser descrito como uma partícula em movimento harmônico simples. Podemos aplicar a segunda Lei de Newton, ao sistema massa-mola, escolhendo o eixo x� como referência, ao longo do qual ocorre a oscilação. Então:
F=ma=−kx      (2)�=��=−��      (2)
Lembrando que, por definição, a=dv/dt=d2 x/dt2 �=��/��=�2 �/��2 , podemos escrever:
m d2xdt2=−kx       (3)� �2���2=−��       (3)
Que podemos reescrever como:
d2xdt2=−kmx                   (4)�2���2=−���(4)
A qual chamamos a razão k/m�/� de ω2�2, assim, ω2=k/m�2=�/� e a equação toma a forma:
d2xdt2=−ω2 x         (5)�2���2=−�2 �         (5)
A solução deve ser do tipo periódica. A equação da posição x(t)�(�) deve satisfazer a equação diferencial de segunda ordem, bem como possuir a representação matemática da posição da partícula como uma função do tempo. As funções trigonométricas seno e cosseno exibem este comportamento. Sendo assim, podemos nos basear nessas funções, para encontrar a nossa solução.
No tempo inicial (t=0)(�=0), puxamos o corpo de massa m� e, depois, soltamos. Como o movimento inicial tem um deslocamento não nulo, a função cosseno é mais apropriada que a função seno, já que cos(00)=1.���(00)=1. Logo, a solução é dada por:
x(t)=A cos (ωt +Φ)         (6)�(�)=� ��� (�� +Φ)         (6)
A� é a amplitude máxima do movimento a partir do equilíbrio; ΦΦ é a constante de fase, apresentando o deslocamento da curva do cosseno para a direita (Φ<0)(Φ<0) ou para a esquerda (Φ>0).(Φ>0).
A função x(t)�(�) é periódica, ou seja, sua forma repete-se a cada período de oscilação T�. A função cosseno completa um ciclo a cada 2π2� (em radianos), isto é, 360o360� (em graus). O argumento da função cosseno é ωt,��, o qual pode variar de 00 até 2π2�, e o tempo pode variar de 00 até 2π.2�. Logo:
ωT=2π         (7)��=2�         (7)
ou seja,
T=2π/ω                  (8)�=2�/�                  (8)
conforme representação na Figura 1.11:
Figura 1.11 - Representação gráfica do movimento harmônico simples  a) Φ<0Φ<0 b) Φ=0Φ=0
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 6).
Definindo a frequência como o inverso do período, ou seja, o número de oscilações por unidade de tempo, podemos escrever:
f=1T=ω2π=12πkm −−−√                                          (9)�=1�=�2�=12���                                           (9)
Podemos, também, escrever a frequência angular ω� em termos de f� ou T�. Assim:
ω=2πf=2πT                                             (10)�=2��=2��                                             (10)
A diferença entre estas é igual a 2π2�. Tendo a frequência de oscilação da unidade de medida em Hz��, e a frequência angular ω� da unidade de rad/s���/� no sistema internacional.
Também podemos obter a velocidade e a aceleração da partícula no movimento harmônico simples a partir da posição, como ilustrado na Figura 1.12. Para simplificar, vamos considerar que a constante de fase ϕ=0�=0. Logo:
x(t)=Acos(ωt)                       (11)�(�)=����(��)                       (11)
v(t)=dxdt=−ωAsen(ωt)             (12)�(�)=����=−�����(��)             (12)
a(t)=d2xdt2=−ω2Acos(ωt)          (13)�(�)=�2���2=−�2����(��)          (13)
Ou seja, a velocidade e a aceleração não são constantes, mas variam entre valores máximos e mínimos, no decorrer do tempo. Como as funções seno e cosseno variam entre −1−1 e +1+1, os valores máximos da velocidade e da aceleração, em módulo, são:
vmax=ωA=Akm−−−√           (14)����=��=���           (14)
amax=ω2A=Akm          (15)����=�2�=���          (15)
O oscilador harmônico simples não é apenas um movimento vibratório, mas também um tipo muito específico de movimento, o qual é determinado pelas equações que acabamos de estudar.
Figura 1.12 - Descrição do MHS de uma partícula com relação ao (a) deslocamento x(t)�(�), com uma constante de fase ΦΦ igual a zero
Fonte: Halliday (2016, p. 91).
O período T� corresponde a uma oscilação completa; (b) a velocidade v(t)�(�)  da partícula; e (c) a aceleração a(t)�(�) da partícula.
Energia no Movimento Harmônico Simples
Assim, como um objeto cai na superfície da Terra, devido ao potencial gravitacional, uma mola também tem energia potencial, quando é comprimida ou esticada. É a energia potencial elástica .
Ao deslocar o sistema massa-mola do equilíbrio, você realiza o trabalho, que é convertido em energia potencial na mola. Quando o objeto é deslocado por uma distância x�, a partir da posição de equilíbrio x=0�=0, a mola é contraída para levar o objeto de volta à posição inicial. Quando o objeto passa pela posição de equilíbrio, este possui energia cinética máxima e nenhuma energia potencial. A partir daí, o corpo passa pelo ponto de equilíbrio, ganhando energia potencial, bem como comprimindo a mola.
Vamos considerar um objeto que desliza sobre uma superfície sem atrito. Também vamos desprezar a resistência do ar. Nesse sistema, o processo continua indefinidamente. Em um movimento oscilatório, a energia está continuamente sendo transferida nas formas de energia potencial e energia cinética.
Para um sistema massa-mola, a energia potencial é dada por:
U=12kx2           (16)�=12��2           (16)
Podemos ilustrar, na Figura 1.13, explicitamente, essa troca entre a energia potencial e a energia cinética no movimento harmônico simples, pois basta substituir a dependência da posição (amplitude) x�, em relação ao tempo na expressão da energia potencial, e a velocidade na expressão da energia cinética.
Figura 1.13 - Ilustração da variação da Energia Potencial (azul), Energia Cinética (verde) e Energia Total (linha pontilhada), com a variação da amplitude de oscilação da partícula
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fazendo isso, encontramos:
U=12kx2=12k(Acos(ωt))2=12kA2(ωt)        (17)�=12��2=12�(����(��))2=12��2(��)        (17)
K=12kv2=12m(−ωAsen(ωt))2=12mω2A2sen2(ωt)=12kA2sen2(ωt)      (18)�=12��2=12�(−�����(��))2=12��2�2���2(��)=12��2���2(��)      (18)
Consideramos que ω2=k/m�2=�/�. Ambas as energias têm o mesmo valor máximo 12kA212��2, mas a energia potencial é máxima, quando a energia cinética é zero e vice-versa.
O que podemos dizer sobre a energia total do sistema? É dada por:
E=U+K=12kA2(ωt) +12kA2sen2(ωt)=12kA2     (19)�=�+�=12��2(��) +12��2���2(��)=12��2     (19)
Como resultado, encontramos que, apesar da energia cinética K� e de a energia potencial U� variarem no tempo, sua soma – a energia total do sistema – não muda, isto é, a energia total do sistema é conservada.
Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme
Existem alguns dispositivos bastantes conhecidos, os quais apresentam uma relação entre o movimento oscilatório e o movimento circular. Os pistões de um motor de automóvel, por exemplo, movem-se para cima e para baixo, em um movimento oscilatório, que é resultado do movimento circular das rodas. Nas antigas locomotivas, o eixo de acionamento vai e volta, também, de forma oscilatória, gerando o movimento circular. Esse movimento de vai e vem aparente é apenas um componente do movimento circular real e tem uma forma senoidal.
Especificamente, o vetor posição r� de qualquer objeto em movimento circular faz um ângulo que aumenta linearmente com o tempo: θ=ωt�=��, em que medimos θ� em relação ao eixo x�. Quando o objeto está sobre o eixo x�, temos t=0�=0. Logo, as duas componentes (polares) do objeto:
x=r cosθ            y=r senθ�=� ����            �=� ����
tornam-se:
x(t)=rcoscos (ωt)              y(t)=r sen (ωt)�(�)=������� (��)              �(�)=� ��� (��)
Essas são as equações para dois osciladores harmônicos simples diferentes: um na direção x�, e outro na direção y�. Já que um oscilador é o cosseno e o outro é seno, estes estão com uma diferença de fase (defasagem) de 90o90� ou π/2�/2.
Podemos pensar, portanto, que o movimento circular uniforme é o resultado de movimentos harmônicos simples perpendiculares, com mesma amplitude e frequência, mas com 90o90� de diferença de fase. Isso ajuda-nos a entender porque usamos o termo frequência angular para o movimento harmônico simples, mesmo sabendo que não há nenhum ângulo envolvido no sistema.
O argumento ωt�� na descrição do movimento harmônico simples é o mesmo que aparece no ângulo θ� da correspondência angular. O tempo para que ocorra um ciclo no movimento harmônico simples é o mesmo tempo de revolução no movimento circular, tal que os valores de T�e ω� são exatamente os mesmos.
É possível verificar que os movimentos harmônicos simples perpendiculares, com mesma amplitude e frequência, somam-se vetorialmente para produzir o movimento circular. Se as amplitudes ou frequências não são as mesmas,os movimentos tornam-se mais complexos.
Pêndulo Simples
Um pêndulo simples consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível, com comprimento L�. Quando a partícula é afastada de sua posição de equilíbrio e liberada em seguida, o pêndulo oscilará em um plano vertical, sob a ação da gravidade, como mostra a Figura 1.14:
Figura 1.14 - Forças que atuam em um pêndulo simples
Fonte: Tipler (2009, p. 477).
As forças que atuam sobre a partícula de massa m� são tensão do fio T� e  força gravitacional mg��, que pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial ao movimento, de módulo mgsenΦ�����Φ; e outra radial, de módulo mgcosΦ�����Φ.
A componente tangencial é uma força restauradora, pois tende a trazer a partícula para sua posição de equilíbrio, a mais baixa do pêndulo. Essa força age sempre contrariamente ao movimento da partícula. Aplicando a lei de Newton, na direção tangencial, temos:
md2sdt2=ma=−mgsenΦ                (20)��2���2=��=−�����Φ                (20)
O comprimento do arco $s$ está relacionado ao ângulo θ� por:
s=LΦ�=�Φ
Derivando ambos os lados dessa relação, encontramos:
d2xdt2=Ld2Φdt2�2���2=��2Φ��2
Substituindo esse resultado na equação (1), temos:
d2θdt2=−gLsenΦ�2���2=−�����Φ
reflita
Reflita
Percebeu que a massa m não aparece nesta equação final? Isso significa que o movimento do pêndulo não depende dela. Reflita sobre este fato.
Para ângulos pequenos:
senΦ≈Φ���Φ≈Φ
e podemos escrever:
d2Φdt2=−gLΦ                 Φ≪1�2Φ��2=−��Φ                 Φ≪1
Logo, temos a mesma equação, que descreve o movimento de um objeto ligado a uma mola, isto é, uma equação de movimento harmônico simples. Para pequenos deslocamentos angulares, a representação gráfica do movimento do pêndulo simples é semelhante ao padrão sinusoidal para o movimento harmônico simples. Analogamente, sua solução é:
Φ=Φmaxcoscos (ωt+ϕ)         (21)Φ=Φ��������� (��+�)         (21)
θmax���� é a amplitude do movimento ou posição angular máxima, e a frequência angular do pêndulo é dada por:
ω=gL−−√                       (22)�=��                       (22)
Portanto, o período do movimento para pequenas oscilações é:
T=2πω=2πLg−−√                  (23)�=2��=2���                  (23)
O período e a frequência angular do pêndulo simples, oscilando em ângulos pequenos, dependem apenas do comprimento do fio e da aceleração da gravidade.
Oscilador Harmônico Amortecido
Em um movimento harmônico simples, como pode ser verificado na Figura 1.15, um objeto oscila com amplitude constante. Isso ocorre porque não há nenhum mecanismo de dissipação de energia. Na realidade, o atrito ou algum outro mecanismo de dissipação de energia (por exemplo, a resistência do ar) está sempre presente. Na presença de algum tipo de energia dissipativa, a amplitude da oscilação diminui, com o passar do tempo, e o movimento deixa de ser harmônico simples, para tornar-se um movimento harmônico amortecido. A diminuição na amplitude é chamada amortecimento.
Figura 1.15 - Oscilador amortecido devido a um líquido viscoso
Fonte: Tipler (2009, p. 483).
Esse tipo de movimento é essencial para o sistema de suspensão de um automóvel. O amortecedor, ligado a uma mola principal de suspensão, é constituído de um pistão, em um reservatório de óleo, que se move em resposta a uma vibração na estrada. Nesse pistão, há buracos que deixam passar o óleo. Assim, durante o movimento, surgem forças de viscosidade que procam um amortecimento.
Em muitos sistemas, a força de amortecimento é aproximadamente proporcional à velocidade e com direção oposta:
F⃗ d=−bv⃗                       (24)�→�=−��→                      (24)
b� é uma constante. Usamos a seta para indicar as grandezas vetoriais.
Vamos, agora, escrever a segunda lei de Newton, ∑F⃗ =ma⃗ ∑�→=��→, incluindo a força de amortecimento como a força restauradora. Para o sistema massa-mola, temos:
md2xdt2=−kx−bdxdt                       (25)��2���2=−��−�����                       (25)
A solução exata para essa equação pode ser encontrada usando métodos padrões para a resolução de equações diferenciais, que podem não ser familiares a você. Portanto, vamos, simplesmente, indicar sua solução sem provas. Para constantes de amortecimento suficientemente pequenas, a solução é dada por:
x(t)=Ae−(b2m)tcoscos (ω′t+ϕ)                    (26).�(�)=��−(�2�)������� (�′�+�)                    (26).
em que:
ω′=km−(b2m)2−−−−−−−−−−−√                                          (27)�′=��−(�2�)2                                          (27)
Essa equação descreve um movimento senoidal, cuja amplitude cai exponencialmente até zero. Esse decréscimo depende da constante de amortecimento b e da massa m. Quando o amortecimento é tão fraco, ou seja, o valor de b é pequeno, que somente uma pequena fração da energia total é perdida em cada ciclo, a frequência é, essencialmente, a mesma da oscilação sem amortecimento, isto é, chamada de frequência natural:
ω′≅ωo=k/m−−−−√                                         (28)�′≅��=�/�                                         (28)
Por outro lado, se o amortecimento é forte, a força de amortecimento diminui o movimento, e a frequência torna-se menor. Quando t=2m/b�=2�/�, a amplitude reduz-se a 1/e1/� de seu valor inicial, em que e=2,718�=2,718 é a constante de Euler. Esse tempo é chamado de meia-vida da oscilação.
As equações que você acabou de ver são válidas para b≤2k/m−−−−√�≤2�/�. Quando b� atinge um valor crítico máximo, bc=2mωo��=2���, o sistema é chamado de criticamente amortecido, pois este não oscila e volta ao equilíbrio de forma exponencial.
Muitos sistemas físicos podem ser modelados como osciladores amortecidos. Amortecedores de automóveis, por exemplo, são projetados com molas específicas para dar um amortecimento crítico, de modo que obtenha um retorno rápido ao equilíbrio, para absorver a energia transmitida pelos solavancos da estrada.
Oscilador Harmônico Forçado e Ressonância
Para manter um sistema amortecido oscilando indefinidamente, a energia mecânica deve ser injetada no sistema. Quando isso é feito, o oscilador é dito excitado ou forçado. Quem mantém uma criança oscilando, no balanço de jardim, empurrando-a pelo menos uma vez a cada ciclo, está forçando um oscilador. Se o mecanismo de excitação injeta energia no sistema a uma taxa maior do que a taxa com que esta é dissipada, a energia mecânica do sistema e a amplitude aumenta com o tempo. Se o mecanismo de excitação injeta energia a mesma taxa com que esta é dissipada, a amplitude permanece constante no tempo. Nesse caso, o movimento do oscilador é estacionário.
A Figura 1.16 mostra um sistema, o qual consiste num corpo em uma mola que está sendo excitada, movendo-se o ponto de apoio para cima e para baixo, em um movimento harmônico simples de freqüência ω�. No início, o movimento é complicado, mas este acaba por entrar em regime estacionário, quando o sistema oscila com a mesma frequência de excitação e com uma amplitude constante e, portanto, com energia constante. Em regime estacionário, a energia injetada no sistema pela força de excitação, a cada ciclo, é igual à energia dissipada pelo amortecimento em cada ciclo.
Figura 1.16 - Um corpo preso a uma mola vertical pode ser forçado movendo-se o suporte para cima e para baixo
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 487).
A amplitude e, portanto, a energia de um sistema em regime estacionário não depende apenas da amplitude da força de excitação, mas também depende de sua frequência. A frequuência natural de um oscilador , ωo��, é a sua frequência, quando não há forças de excitação e nem forças de amortecimento presentes. No caso de uma mola, por exemplo, ωo=k/m−−−−√��=�/�. Se a frequência de excitação é suficientemente próxima da frequência natural do sistema, o sistema oscilará com uma amplitude relativamente grande. Por exemplo, se o suporte da figura anterior oscila em uma frequência próxima da frequência natural do sistema massa-mola, a massa oscilará com uma amplitude muito maior do que a que teriase o suporte oscilasse com frequências significativamente maiores ou menores, conforme ilustração na Figura 1.17. Esse fenômeno é chamado ressonância. Quando a frequência de excitação é igual à frequência natural do oscilador, a energia por ciclo transferida ao oscilador é máxima. A frequência natural do sistema é, então, chamada de frequência de ressonância .
Figura 1.17 - Curva de ressonância para um oscilador forçado
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 487).
A Figura 1.17 mostra os gráficos da potência média, injetada em um oscilador, como função da frequência de excitação para dois valores diferentes de amortecimento. Essas curvas são chamadas curvas de ressonância. Quando o amortecimento é fraco (grande Q), a largura do pico de ressonância correspondente é pequena, e dizemos que a ressonância é estreita. Para amortecimento forte, a curva de ressonância é larga. A largura de cada curva de ressonância, ΔωΔ�, indicada na Figura 1.16, é a largura na metade da altura máxima. Pode-se mostrar que, para o amortecimento fraco, a razão entre a largura de ressonância e a frequência de ressonância é igual ao inverso do fator Q�:
Δωωo=1Q                                            (29)Δ���=1�                                            (29)
Assim, o fator Q� é uma medida direta da estreiteza da ressonância. Existem muitos exemplos de ressonância. Quando você senta em um balanço, intuitivamente, você inclina-se para impulsioná-lo com sua mesma frequência natural. Muitas máquinas vibram, porque possuem partes giratórias, as quais não estão perfeitamente balanceadas.
Ondas Progressivas e ondas Harmônicas
Em geral, falamos de onda quando há transmissão de um sinal entre dois pontos distantes, sem que haja transporte direto de matéria. Para uma onda na superfície da água, podemos associar esse sinal, por exemplo, a uma crista, em que a elevação da água é máxima. Para uma onda na corda, fazemos um movimento para cima e para baixo, causando uma perturbação, gerando uma sinuosidade ou um pulso, o qual se deslocará ao longo da corda.
As ondas classificam-se em dois tipos:
Ondas Transversais
ondas transversais
quando a vibração é perpendicular à direção de propagação, como mostrado na Figura 1.19. Por exemplo, as ondas do mar e ondas em uma corda.
Ondas Longitudinais
ondas longitudinais
quando a direção de propagação coincide com a direção de vibração, como mostrado na Figura 1.18. Nos líquidos e gases, a onda propaga-se dessa forma. A mola e o som são alguns exemplos.
Figura 1.18 - Na ilustração, um êmbolo move-se para trás e para frente, criando uma onda longitudinal
Fonte: Halliday (2016, p. 119).
Uma onda progressiva é uma onda que se propaga de um ponto a outro e transporta energia na direção de propagação. O oposto de onda progressiva é uma onda oscilante, denominada onda estacionária, em que não há fluxo de energia. As ondas sonoras produzidas na fala são progressivas, enquanto que as originadas no interior de uma flauta são ondas estacionárias.
Você verá, agora, a descrição matemática da propagação de um pulso em uma onda. Vamos assumir que a perturbação mantém sua forma enquanto se propaga, desprezando quaisquer perdas por atrito ou outras formas de dissipação de energia.
Para simplificar, vamos considerar uma onda mecânica transversal, que se propaga em uma longa corda esticada. O gráfico (a), na Figura 1.19, mostra um pulso ondulatório,, de forma arbitrária no instante t=0�=0, que viaja com velocidade v na direção x�. Matematicamente, no instante t=0�=0, a altura y da corda passa a ser descrita por uma função f(x)�(�), que descreve a forma do pulso. Em um instante t posterior, o pulso percorreu uma distância vt��, conforme mostra (b).
Figura 1.19 - Um pulso transversal propagando-se com velocidade v para a direita
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 502).
A coordenada y� indica o deslocamento transversal de um ponto particular da corda. Esta depende da coordenada x� e do tempo t�, ou seja, y=y(x,t)�=�(�,�). No instante inicial, temos:
y(x,t=0)=f(x)                                   (30)�(�,�=0)=�(�)                                   (30)
f� é uma função que descreve a forma da onda, ou seja, o pulso. Como estamos assumindo que o pulso não muda ao longo de sua propagação, para qualquer tempo posterior, a onda continuará sendo descrita pela função f(x)�(�). No referencial que acompanha o pulso, devemos usar a relação entre as abscissas dos dois referenciais:
x′=x−vt                                           (31)�′=�−��                                           (31)
Portanto, em um instante t�, a onda é descrita por:
y(x,t)=f(x′)=f(x−vt)                             (32)�(�,�)=�(�′)=�(�−��)                             (32)
A função f(x−vt)�(�−��) tem, no instante t�, a mesma forma em relação ao ponto x=vt�=��, que a função f(x)�(�) tem em relação ao ponto x=0�=0 no instante t=0�=0. Para descrever a onda completamente, temos de conhecer a função f.�.
Quando a onda propaga-se no sentido x� negativo, basta fazer v=−v�=−�. Nesse caso, temos:
y(x,t)=f(x+vt)                                 (33)�(�,�)=�(�+��)                                 (33)
Como antes, f(x)�(�) representa a forma da onda em t=0�=0.
A função y(x,t)�(�,�) descreve, completamente, a forma da onda e seu movimento é válido para ondas de diferentes formas, sejam transversais ou longitudinais.
Um caso particular de onda progressiva é a onda harmônica simples, na qual a função em t=0�=0 possui a forma senoidal. Uma onda harmônica simples pode ser produzida, por exemplo, movendo uma das extremidades de uma corda longa para cima e para baixo, mantendo sempre o mesmo deslocamento vertical.
Escolhendo as coordenadas de forma que, em x=0�=0, esta possua um mínimo em t=0�=0, temos:
y(x,0)=Asen(kx)                             (34)�(�,0)=����(��)                             (34)
A� é a amplitude da onda, e k� é uma constante chamada número de onda. Se a amplitude for máxima em t=0�=0, temos uma função cosseno, com constante de fase nula:
y(x,0)=Acos(kx)                          (35)�(�,0)=����(��)                          (35)
Podemos encontrar o valor de k�, lembrando que a onda repete-se e, portanto, definimos:
· comprimento de onda (λ)(�): distância entre duas cristas ou dois vales da onda;
· período (T)(�): intervalo de tempo para que a onda viaje por uma distância λ�.
A função seno repete-se quando o ângulo ou o argumento fica acrescido de 2π2�, logo, devemos ter:
kλ=2π                  (36)��=2�                  (36)
ou:
k=2πλ                (37)�=2��                (37)
O número de onda é uma grandeza angular, cuja unidade no SI é o rad/m, assim, como a frequência angular, este é medido em rad/s���/�:
ω=2πT=2πf                (38)�=2��=2��                (38)
Existe uma relação simples entre o período e o comprimento de onda, que é a velocidade de qualquer onda periódica. Por definição, a velocidade da onda é a distância de um comprimento de onda percorrida por um período T�. Assim, tem-se:
v=λT                           (39)�=��                           (39)
Como qualquer outro movimento harmônico, o período está relacionado à frequência:
f=1T                                     (40)�=1�                                     (40)
Logo, a velocidade de propagação da onda também pode ser escrita em termos da frequência:
v=λf                                     (41)�=��                                     (41)
Essa terminologia para as relações fundamentais da frequência e velocidade aplicam-se tanto para ondas transversais quanto para as ondas longitudinais.
Para descrever uma onda movendo-se com velocidade v�, devemos trocar x� na expressão y(x,0)�(�,0) por x  vt�  ��, obtendo:
y(x,t)=Acos[k(x−vt)]                       (42)�(�,�)=����[�(�−��)]                       (42)
Sabemos que k=2π/λ�=2�/� e v=λ/T�=�/�. Logo, o argumento da função cosseno torna-se:
kvt=(2πλ)(λT)t=2πTt                           (43)���=(2��)(��)�=2���                           (43)
Também sabemos que ω=2π/T�=2�/�. A frequência angularque descreve o movimento harmônico simples é a mesma na descrição do movimento ondulatório. Não é de admirar-se, pois, em um ponto fixo no espaço, a onda oscila como um oscilador harmônico simples. Dessa maneira, podemos escrever uma onda que se propaga na forma senoidal como:
y(x,t)=Acos[kx±ωt)]                        (44)�(�,�)=����[��±��)]                        (44)
Em que usamos o sinal de +/– para descrever uma onda propagando-se na direção de x positivo (sinal negativo) e na direção de x negativo (sinal positivo). O argumento do cosseno é chamado de fase da onda . Para compreender melhor o assunto, acompanhe o seguinte exemplo prático.
Vamos Praticar
Um surfista rema para além de onde se quebram as ondas de forma senoidal, com cristas de 14 m de distância. Ele oscila em uma crista com comprimento vertical de 3,6 m, um processo que leva 1,5 segundos. É possível afirmar que a equação que descreve a onda:
Parte superior do formulário
a) apresenta uma forma do tipo y(x,t)=y1 cos (0,100x−ωt)�(�,�)=�1 ��� (0,100�−��).
b) é descrita por y(x,t)=y1 cos (0,449x−1,5t)�(�,�)=�1 ��� (0,449�−1,5�).
c) é descrita por y(x,t)=10 cos (0,449x−2,09t)�(�,�)=10 ��� (0,449�−2,09�).
d) apresenta uma forma do tipo y(x,t)=1,8 cos (0,449x−2,09t)�(�,�)=1,8 ��� (0,449�−2,09�).
e) apresenta uma forma do tipo y(x,t)=3,6 cos (0,449x−2,09t)�(�,�)=3,6 ��� (0,449�−2,09�).
Parte inferior do formulário
Superposição e Interferência de Ondas
Muitas vezes, duas ou mais ondas sonoras estão presentes no mesmo lugar, ao mesmo tempo. Um exemplo são as ondas sonoras quando todo mundo está falando em uma festa ou quando a música toca nos alto-falantes do sistema de som estéreo.
A Figura 1.20 ilustra esse tipo de situação. Ela mostra dois pulsos transversais de alturas iguais, ambos “para cima”, movendo-se um em direção ao outro. Quando eles se encontram, os dois pulsos se fundem e formam outro, que é a soma individual de cada pulso. Esse é um exemplo do princípio de superposição linear .
Figura 1.20 - Exemplo de superposição linear
Fonte: Halliday (2016, p. 132).
Princípio da superposição: quando duas ou mais ondas sobrepõem-se, a onda resultante é a soma algébrica das ondas individuais. Matematicamente, quando as ondas sobrepõem-se, o deslocamento da corda é dado pela soma algébrica:
y′(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t)                       (45)�′(�,�)=�1(�,�)+�2(�,�)                       (45)
Esse princípio pode ser aplicado a todos os tipos de ondas.
No ponto de encontro das duas ondas que você viu na figura, as cristas coincidem-se, e a amplitude da onda resultante é, momentaneamente, a soma das duas. Nesse caso, interferem construtivamente.
Vamos aplicar o princípio de superposição a duas ondas senoidais propagando-se no mesmo sentido em um meio. As duas ondas podem ter a mesma frequência, mesmo comprimento de onda e amplitude, mas fases diferentes. Assim, escrevemos:
y1(x,t)=Asen(kx−ωt−ϕ1)                (46)�1(�,�)=����(��−��−�1)                (46)
y2(x,t)=Asen(kx−ωt−ϕ2)                    (47)�2(�,�)=����(��−��−�2)                    (47)
ϕ1�1 e ϕ2�2 são as constantes de fase de cada onda. Se essas ondas encontrarem-se, a função de onda resultante é, de acordo com o princípio da superposição:
y(x,t)=y1+y2=2Acos(Δϕ)sen(kx−ωt−ϕ′)              (47)�(�,�)=�1+�2=2����(Δ�)���(��−��−�′)              (47)
Em que usamos a identidade trigonométrica:
sena+senb=2coscos (a−b2) sen(a+b2)                   (48)����+����=2������ (�−�2) ���(�+�2)                   (48)
A constante de fase da onda resultante é dada por ϕ=(ϕ1+ϕ2)2�=(�1+�2)2.
A função y� também é senoidal e tem a mesma frequência e comprimento de onda das ondas individuais. A amplitude resultante é dada por:
y(x,t)=2Acos(Δϕ2)                          (49)�(�,�)=2����(Δ�2)                          (49)
Em que Δϕ=ϕ2−ϕ1Δ�=�2−�1 é a diferença de fase entre as ondas. Se for zero, a amplitude da onda resultante é 2A2�, ou seja, o dobro da amplitude das ondas individuais. Nesse caso, as duas ondas interferem construtivamente. A condição geral, para que aconteça uma interferência construtiva, é:
Δϕ=2mπ              (m=0,±1,±2,…)Δ�=2��              (�=0,±1,±2,…)
Por outro lado, se $\Delta \phi $ é qualquer múltiplo ímpar de $\pi $,
Δϕ=(2m+1)π              (m=0,±1,±2,…)                  (51)Δ�=(2�+1)�              (�=0,±1,±2,…)                  (51)
A onda resultante tem amplitude nula, ou seja, as duas ondas interferem destrutivamente. Nesse caso, o máximo de uma onda coincide com o mínimo da outra.
LIVRO
Vibrações e ondas
Editora : IST Press
Autor : João Paulo Silva
ISBN : 978-9898481146
Comentário : o livro cobre, essencialmente, todos os tópicos de um curso introdutório em vibrações e ondas. Os temas são abordados recorrendo, geralmente, a exemplos de mecânica ou eletromagnetismo, sendo, também, dados vários exemplos da física subatômica. Frequentemente, o estudo de vibrações é associado a outros temas (termodinâmica, óptica, etc.) e, nesses casos, o presente livro cobrirá o programa de vibrações.
WEB
O que significa a descoberta das ondas gravitacionais?
Ano : 2016
Comentário : as ondas gravitacionais são ondulações na curvatura do espaço-tempo, que se propagam para o exterior, a partir da fonte. São ondas transversais, as quais comprimem e esticam o que estiver em seu caminho.
ACESSAR
conclusão
Conclusão
Você estudou os elementos dos fenômenos ondulatórios e suas aplicações. Primeiro, você entendeu a dinâmica do movimento oscilatório, por meio de um exemplo típico, um corpo ou partícula de massa m, ligado a uma mola horizontal. Nesse caso, surge uma força restauradora da forma Fx=kx��=��, em que k� é uma constante, e x� é o deslocamento da partícula em relação à sua posição de equilíbrio. Depois, com base na segunda lei de Newton, você viu como resolver a equação de movimento do sistema.
Ademais, vimos que a energia está continuamente sendo transferida nas formas de energia potencial U� e energia cinética K�, sendo U� máxima quando K� é zero, e vice-versa. A energia total no sistema é constante, ou seja, E=U+K=12kA2�=�+�=12��2, já que o sistema não é dissipativo.
Como aplicação do movimento oscilatório, você estudou o pêndulo simples, que consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um fio de comprimento L�.
Na segunda parte, foram observados os elementos de uma onda progressiva, em particular, de uma onda harmônica. Você aprendeu, também, o princípio da superposição: quando duas ondas sobrepõem-se, a onda resultante é a soma algébrica das ondas individuais, podendo ocorrer uma interferência construtiva ou destrutiva.
O movimento oscilatório ocorre em todo o mundo físico. As moléculas de água oscilam para aquecer a comida em um forno micro-ondas, por exemplo. Edifícios e pontes sofrem movimentos desse tipo. Como engenheiro, você precisará realizar estudos detalhados desses fenômenos, para evitar resultados desastrosos.
referências
Referências Bibliográficas
HALLIDAY, D. Fundamentos de Física : gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
SERWAY, R. A.; JEWETT, J. W. Jr. Física para cientistas e engenheiros : oscilações, ondas e termodinâmica. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros : mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.