Relatório PERFIL DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA QUÍMICA I - 216
PERFIL DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS
Acadêmicos: João Vitor Tavares Leite RA: 126356
Louyse Nieto Rosa 123626
Pedro Antonio Galacci Reinert 125101
Pedro Henrique Viana Pichitelli 118919
Rodolfo Fante Molinari 125196
Turma: 01
Professora: Djeine Cristina Schiavon Maia
MARINGÁ, 29 DE JANEIRO DE 2024
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...............................................................................................................................3
2. OBJETIVOS...................................................................................................................................3
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..................................................................................................... 3
4. MATERIAIS E MÉTODOS............................................................................................................. 9
4.1 MATERIAIS............................................................................................................................9
4.2 MÉTODOS........................................................................................................................... 11
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES................................................................................................. 11
5.1 CONDIÇÃO DE CONTORNO DE 1° TIPO.......................................................................... 12
5.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO DE 2° TIPO........................................................................15
6. CONCLUSÃO.............................................................................................................................. 19
7. REFERÊNCIAS............................................................................................................................20
3
1. INTRODUÇÃO
O processo de transporte de calor em sólidos é de grande importância dentro da
indústria química, uma série de processos envolvem perdas ou ganhos de energia
térmicas (intencionais ou não) e entender esses processos é portanto obrigação do
engenheiro. Existem uma série de modelos para previsão do perfil de temperatura em
sólido, que envolvem a transferência de calor interna por condução e a perda ou ganho
por convecção com o meio. Neste experimento serão estudados os fatores que
influenciam no perfil durante o estado estacionário, ou seja quando todas as
transferências de energia térmica se cancelam e não há variação no perfil, para
posteriormente estudar os modelos que melhor descrevem e preveem o perfil.
2. OBJETIVOS
A prática tem o objetivo de obter experimentalmente os perfis de temperatura em
regime permanente de três barras metálicas cilíndricas de materiais e diâmetros
diferentes. Ajustar as equações propostas na literatura aos dados experimentais,
obtendo-se os coeficientes médios de transferência de calor. Determinar o calor trocado
pelas barras com o ambiente no regime permanente.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Como este trabalho está relacionado com a troca de calor entre vapor d’água e
barras metálicas, será abordado de forma didática a determinação dos perfis de
temperatura, coeficiente médio de transmissão de calor, fluxo de calor para barras de
secção transversal circular e uniforme, além de características das aletas.
As três barras são combinadas duas a duas, tendo diâmetros iguais e materiais
diferentes e vice-versa, sendo estudado as influências dessas variáveis no fenômeno
físico observado.
4
As medidas de temperatura foram tomadas no momento em que não houve mais
sua variação. Sendo assim as equações presentes na literatura para o regime
permanente serão ajustadas com os dados que foram adquiridos durante o decorrer do
experimento.
Como considerações utilizadas para fazer os cálculos será considerado o fluxo de
calor ser de forma unidimensional e será desprezado a variação das propriedades física
dos materiais, como K, e .ρ 𝐶
𝑝
Feitas estas hipóteses, a equação do balanço diferencial de energia em regime
permanente toma a seguinte forma:
(1)𝑑2𝑇
𝑑𝑥2 − 𝑚2(𝑇 − 𝑇
∞
) = 0
Em que,
(2)𝑚 = ℎ𝑝
𝐾𝐴
As condições de contorno para a solução da equação (1) são:
Condição de contorno 1: Para x = 0, toma-se T = T0.
Condição de contorno 2: serão considerados 3 formas diferentes:
1a CC2: para todo , para x → (barra semi-infinita) que será chamada𝑇 = 𝑇
∞
∞
condição de contorno do 1° tipo (neste trabalho)
2a CC2: , para x → L (barra com extremidade isolada), chamada de𝑑𝑇
𝑠𝑥 = 0
condição de contorno do 2° tipo.
3a CC2: (o calor transmitido por convecção pela− 𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥 ⎮
𝑥=𝐿
= ℎ((𝑇 − 𝑇
∞
)⎮
𝑥=𝐿
extremidade é igual ao calor transmitido por condução através da barra em x = L, ou seja,
barra com extremidade não-isolada), chamada de condição de contorno do 3° tipo.
A solução da EDO (1) toma formas diferentes conforme a condição de contorno
escolhida. Neste trabalho, o estudo estará limitado às condições de contorno do 1° e 2°
tipos, uma vez que as complicações matemáticas acrescentadas pela adoção do 3° tipo
não compensam a eventual melhora na predição do perfil de temperaturas desde que a
relação A/L seja pequena (que é o caso das barras utilizadas), caso em que calor
5
transmitido pela extremidade da barra em x = L é desprezível face ao calor transmitido por
convecção pela superfície lateral da barra.
A expressão do perfil de temperaturas para o regime permanente pode ser obtida
integrando a equação (1) analiticamente:
a) Para a condição de contorno do 1° tipo:
(3)θ = θ
0
𝑒𝑥𝑝(− 𝑚𝑥)
b) Para a condição de contorno do 2° tipo:
(4)θ = θ
0
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿−𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿)
ARPACI (1966) apresenta soluções aproximadas para o regime permanente, para
a 2° condição de contorno. Neste trabalho foram comparadas as soluções obtidas pela
aproximação do perfil de temperaturas por um perfil de RITZ de 2a ordem, o que fornece
duas equações possíveis:
(5)
θ
θ
0
= 1 − (
µ2
2
1+ 9µ2
20 + µ4
60
)(1 − ε2)[(1 + µ2
84 ) + µ2ε2
12 ]
(6)
θ
θ
0
= 1 − (
µ2
2
1+ 9µ2
20 + µ4
60
)(1 − ε2)[(1 + µ2
30 ) + µ2ε2
12 ]
O calor dissipado por convecção em regime permanente em cada aleta pode ser
calculado por duas formas distintas, conforme as equações (7) e (8).
(7)𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ (𝑇(𝑥) − 𝑇
∞
)𝑑𝑥
(8)𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= 𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑑
⎮
𝑥=𝑥0
=− 𝐾𝐴 𝑑𝑇
𝑑𝑥 ⎮
𝑥=𝑥0
Ajuste de Modelos
Uma forma simples de ajustar os dados experimentais ao modelo de aleta infinita,
eq. (3), corresponde à linearização do mesmo. Isto pode ser obtido aplicando-se “ln” nos
dois membros da expressão (3). Desta forma obtém-se a seguinte expressão:
(9)𝑙𝑛 Θ = 𝑙𝑛Θ
0
 − 𝑚𝑥
Fazendo-se um gráfico de ln θ em função da posição x pode-se estimar o valor de
6
m a partir do coeficiente angular da reta. Depois disto isola-se o h̅ da expressão (2),
utilizando o valor de m obtido graficamente para estimar o coeficiente de película. Assim
como o modelo de aleta infinita, o modelo de aleta com extremidade isolada também pode
ser utilizado para estimar o coeficiente de película. No segundo caso, a solução analítica,
equação (4), será ajustada aos dados experimentais pelo método dos mínimos
quadrados, determinando-se o valor do coeficiente médio de transmissão de calor. Desta
forma, define-se a seguinte função-objetivo:
(10)Φ =
𝑖 = 1
𝑛
∑ ( 𝑇
𝑚𝑜𝑑
 𝑖 − 𝑇
𝑒𝑥𝑝
 |||
|||𝑖)
2
Esta função indica a soma das diferenças (elevadas ao quadrado) entre a
temperatura calculada pelo modelo (4) e a temperatura medida experimentalmente em
cada ponto. As temperaturas do modelo devem ser calculadas usando a posição x em
que as medidas experimentais foram feitas. Por exemplo, se o primeiro ponto de medida
experimental foi feita em uma posição genérica x1, deve-se substituir este valor de x na
equação (4) para se calcular o primeiro termo da somatória da função- objetivo. Este
primeiro termo se tornaria então:
(11)( 𝑇𝑚𝑜𝑑
 𝑖 − 𝑇
𝑒𝑥𝑝
 |||
|||𝑥1)2 = 𝑇
∞
 + (𝑇
0
 − 𝑇
∞( ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚 𝐿 − 𝑥
1( )[ ]
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿) − 𝑇
𝑒𝑥𝑝, 𝑥1
 ⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2
 
Todos os n termos da somatória são calculados de forma similar. Note que o termo
entre parênteses na eq. (11) é tão somente a temperatura no ponto x1 abrindo a equação
(4) em termos de temperatura. Ao reescrever a função-objetivo, tem-se:
(12)Φ =
𝑖 = 1
𝑛
∑ 𝑇
∞
 + (𝑇
0
 − 𝑇
∞( ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚 𝐿 − 𝑥
1( )[ ]
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿) − 𝑇
𝑒𝑥𝑝, 𝑥1
 ⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2
 
Pode-se perceber através da eq. (11) que a temperatura do modelo (Tmod, i) tem
uma dependência matemática do parâmetro m. Consequentemente, a função-objetivo
também depende do parâmetro m, ou seja, Φ = f(m).
Assim, para realizar-se este ajuste, deve-se minimizar a função-objetivo, pois
quanto menor for a diferença entre a temperatura medida experimentalmente (Texp, i) e a
7
prevista pelo modelo (Tmod, i), melhor o modelo representa a realidade.
Este valor de mínimo (Φmin) ocorre quando a derivada de Φ em relação a m for
igual a zero, equação (13), e o valor de m obtido denomina-se mótimo. O comportamento da
curva Φ versus m está apresentada na Figura 02.
(13)Φ ⇿ 𝑑Φ 
𝑑𝑚 = 0 
Derivando a equação (12) em relação a m, e igualando a zero, obtém-se:
(14)𝑑Φ 
𝑑𝑚 = 
𝑖 = 1
7
∑ 2 (𝑇
𝑚𝑜𝑑
𝑖 − 𝑇
𝑒𝑥𝑝| |
𝑖
𝑑𝑇𝑖
𝑑𝑚 |
𝑚𝑜𝑑
 = 0 
onde,
(15)𝑑𝑇𝑖
𝑑𝑚 = (𝑇
0
 − 𝑇
∞
)(𝐴 + 𝐵)
(16)𝐴 = − 𝐿 𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑚𝐿) 𝑐𝑜𝑠ℎ [𝑚(𝐿 − 𝑋𝑖)]
[𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿)]2
(17)𝐵 = (𝐿 − 𝑋𝑖) 𝑠𝑖𝑛ℎ [𝑚(𝐿 − 𝑋𝑖)]
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿)
Figura 01- Diferenças entre as temperaturas do modelo e experimentais em cada ponto.
Fonte: Apostila de Laboratório de Engenharia Química 1.
8
Figura 02 - Gráfico da função objetivo em função do parâmetro m.
Fonte: Apostila de Laboratório de Engenharia Química 1.
Resolvendo as equações (14), (15), (16) e (17) pode-se encontrar o valor de mótimo,
do qual se pode extrair o valor de h̅, utilizando-se a eq. (2). Existem vários métodos
numéricos para resolver esta equação não-linear, como o método do meio intervalo,
Newton-Rapson e outros. Para realizar tal minimização sugere-se o uso do SOLVER do
MS-EXCEL, o STATISTICA (Nonlinear stimation), o Matlab e o Maple.
Para efeito de análise, o valor de h̅ deve ser estimado a partir de correlações
específicas para transferência de calor em cilindros horizontais por convecção natural e
comparado com os valores obtidos através do ajuste dos modelos de 1° e 2° tipos.
Simulador
Para melhorar a visualização do comportamento térmico de aletas foi desenvolvido
o simulador em regime transiente Aletas99.exe.
O simulador é iniciado abrindo uma janela que oferece duas possibilidades para o
sistema de unidades a ser utilizado (SI ou Inglês). Uma vez selecionada a opção uma
nova janela irá se abrir, onde o usuário deverá fornecer as medidas da barra e as
condições em que a mesma está operando (temperatura ambiente e da câmara de
vapor). As medidas que deverão ser fornecidas são: comprimento externo (parte da barra
que está fora da caixa de vapor); comprimento de porção isolada (parte da barra que se
encontra no isolamento da caixa de vapor); comprimento da porção interna (parte da
barra que se encontra dentro da caixa de vapor) e diâmetro. Além disto, o simulador
oferece a condutividade térmica automaticamente. Nesta janela pode-se optar pelo tipo de
material constituinte da barra (aço Inox 304, alumínio ou cobre) como também a condição
9
da extremidade da barra (isolada ou não); a forma de cálculo dos parâmetros térmicos e
de monitoramento.
Na janela dos parâmetros tem-se a opção de escolher entre fornecer valores para
os coeficientes de transferência de calor ou calculá-los por correlações de literatura.
Nesta janela também é possível fornecer o tempo da simulação dinâmica. Na janela de
monitoramento é possível formatar a apresentação da resposta do simulador, que se
apresenta em dois gráficos. O primeiro gráfico mostra a temperatura em função do tempo
em vários pontos definidos pelo usuário, já o segundo mostra a temperatura em função da
posição em vários tempos definidos pelo usuário. Uma vez definidas todas as condições
no simulador o usuário deve “clicar” em “Processar”.
Após alguns minutos o programa apresenta automaticamente o primeiro gráfico
citado acima com a opção para visualizar o segundo gráfico e como também os
parâmetros térmicos calculados. O parâmetro térmico que será estimado na prática é o h̅
(Externo- Lateral), logo este valor fornecido pelo simulador poderá ser usado como
parâmetro de comparação para o h̅ estimado experimentalmente. Para maiores
esclarecimentos consultar os artigos de SANTOS e JORGE (1999) e (2001).
4. MATERIAIS E MÉTODOS
4.1 MATERIAIS
Para a realização do experimento, o módulo utilizado é exemplificado através da
Figura 01. O funcionamento do módulo é baseado através do vapor gerado no autoclave
sendo conduzido até a caixa de vapor, a qual possui três aletas conectadas. Na câmara
de vapor, o condensado é removido de forma contínua através de um purgador
termodinâmico. Nas aletas inseridas no módulo, todas possuem 811,9 mm de
comprimento, contendo 8 termopares em cada um para que os perfis de temperatura
sejam medidos, sendo eles do tipo T e estão conectados a uma chave seletora e um
indicador de temperatura.
10
Figura 1 - Módulo experimental.
Fonte: Apostila de Laboratório de Engenharia Química I.
Para a figura, cada número indicado no módulo se refere a:
1. Autoclave;
2. Caixa de vapor;
3. Chave seletora de 24 canais;
4. Uma barra de alumínio, de diâmetro ½ “ (aleta 1);
5. Uma barra de aço inoxidável, de diâmetro ½ “ (aleta 2);
6. Uma barra de aço inoxidável, de diâmetro 1” (aleta 3);
7. Termômetro analógico;
8. Termopares cobre- constantan tipo T;
9. Purgador termodinâmico;
10. Indicador de temperatura.
11
4.2 MÉTODOS
A conclusão e boa realização do experimento consiste nos seguintes passos:
1. Vapor saturado deve ser injetado na caixa de vapor do módulo por meio da
abertura da válvula da autoclave, em que a pressão deve se encontrar em
uma pressão de 1,4 Kgf/cm2 e com uma temperatura de aproximadamente
108,7 ºC.
2. Deve-se aguardar que o sistema atinja a condição de Regime Permanente
(RP), em que tal condição pode ser verificada quando três tomadas de
temperatura apresentarem valores iguais em todos os pontos, com
medições intervaladas entre 5 minutos.
3. Após atingir o RP, os dados de temperaturas devem ser anotados na Tabela
1
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
O experimento consistiu basicamente em levantar o perfil de temperatura, calcular
o coeficiente médio de transferência de calor e determinar o calor trocado com o ambiente
por convecção de três aletas a partir da coleta dos valores de temperatura indicados por
termopares localizados a uma distância x da base de cada aleta. Para isso, foram feitas
as seguintes considerações: condução de calor unidimensional em x, regime permanente,
propriedades constantes e sem geração de calor.
A seguir uma tabela contendo informações acerca das aletas, as quais foram
aferidas durante a prática, retiradas da literatura ou calculadas:
Tabela 1 - Dados referentes às aletas
DADOS
ALETA 1 2 3
D (m) 0,0127 0,0127 0,0254
r (m) 0,00635 0,00635 0,0127
P (m) 0,03989823 0,0399 0,079796453
A (m2) 0,00012668 0,00013 0,000506707
Material Alumínio Aço Aço
K (W/mK) 237 17 17
12
L (m) 0,8119
Fonte: Autoria própria, 2024.
Em relação ao perímetro e à área, a geometria das aletas era cilíndrica, logo:
(1)𝑃 = 2π𝑟
(2)𝐴 = π𝑟2
Os valores coletados de temperatura para cada posição x nas três aletas estão
disponíveis abaixo:
Tabela 2 - Dados experimentais
x (m)
Temperatura (°C)
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3
0 107 80 105
0,0301 93 68 84
0,0802 85 52 63
0,1506 72 45 50
0,2397 60 42 42
0,3591 54 40 40
0,5292 48 40 39
0,753 44 39 39
Fonte: Autoria própria, 2024.
O levantamento do perfil requer a resolução de uma EDO obtida a partir daequação geral de condução de calor. Isso só é possível com duas condições de contorno,
para a primeira, tem-se que a temperatura é igual à temperatura da base de cada aleta
lida pelo termopar na posição x = 0, já para a segunda há duas possibilidades: barra
semi-infinita, chamada de condição de contorno do 1° tipo, nesta a temperatura para um
valor de x suficientemente grande tende a temperatura do fluido, e barra com extremidade
isolada, conhecida como condição de contorno do 2° tipo, na qual para x igual ao
comprimento da barra (L) há uma superfície adiabática.
Dessa forma, os dados experimentais foram analisados por essas duas
possibilidades para a segunda condição de contorno.
5.1 CONDIÇÃO DE CONTORNO DE 1° TIPO
Para esse caso, será feita uma linearização dos dados experimentais a partir da
equação:
13
(3)𝑙𝑛θ = 𝑙𝑛θ
0
− 𝑚𝑥
Com isso, considerando que o fluido (ar) estava a uma temperatura de 30°C, foram
construídos a Tabela 3 e o gráfico da Figura 1, os quais estão dispostos a seguir:
Tabela 3 - Dados referentes à linearização
x (m)
θ = T - T∞ (°C)
Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3
θ lnθ θ lnθ θ lnθ
0 77 4,3438 50 3,912 75 4,3175
0,0301 63 4,1431 38 3,6376 54 3,989
0,0802 55 4,0073 22 3,091 33 3,4965
0,1506 42 3,7377 15 2,7081 20 2,9957
0,2397 30 3,4012 12 2,4849 12 2,4849
0,3591 24 3,1781 10 2,3026 10 2,3026
0,5292 18 2,8904 10 2,3026 9 2,1972
0,753 14 2,6391 9 2,1972 9 2,1972
Fonte: Autoria própria, 2024.
Figura 2 - Linearização
Fonte: Autoria própria, 2024.
O valor da grandeza ‘’m’’ é determinado graficamente a partir do coeficiente angular
obtido na linearização e com ele é possível calcular o coeficiente médio de transferência
de calor ( ):ℎ
(4)𝑚 = ℎ.𝑃
𝐾𝐴
14
Para o perfil de temperatura, é necessário abrir a Eq.3 em termos de T:
(5)𝑇(𝑥) = (𝑇
0
− 𝑇
∞
)𝑒−𝑚𝑥 + 𝑇
∞
Com e o perfil de temperatura, pois esta é função da distância x, é calculado oℎ
calor trocado por convecção ao longo de toda a barra:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ (𝑇(𝑥) − 𝑇
∞
)𝑑𝑥 = ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ ((𝑇
0
− 𝑇
∞
)𝑒−𝑚𝑥 + 𝑇
∞
− 𝑇
∞
)𝑑𝑥
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ (𝑇
0
− 𝑇
∞
)𝑒−𝑚𝑥)𝑑𝑥 = ℎ𝑃(𝑇
0
− 𝑇
∞
)
𝑥0=0
𝐿
∫ (𝑒−𝑚𝑥)𝑑𝑥
(6)𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= ℎ𝑃(𝑇
0
− 𝑇
∞
). 1 − 𝑒−𝑚𝐿
𝑚
Então, foram construídos a Tabela 4, contendo os valores de m, e , e perfisℎ 𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
de temperatura presentes na Figura 2 para cada aleta:
Tabela 4 - Valores de m, h e qconv
ALETA 1 2 3
m (m-1) 2,2561 2,0402 2,7123
h (W/m2K) 3,8301 0,2247 0,7941
Qconv (W) 4,3803 0,1778 1,5585
Fonte: Autoria própria, 2024.
Figura 3 - Perfis de temperatura (CC do 1° tipo)
15
Fonte: Autoria própria, 2024.
Pelos coeficientes de determinação (R2) indicados na Figura 1, é possível afirmar
que apenas os dados da aleta 1 estão bem correlacionados, isso pode indicar que para as
aletas 2 e 3 a condição de contorno do 1° tipo não é adequada ou que houve algum
problema na coleta dos dados de temperatura pelos termopares.
Ao comparar os valores de temperatura experimentais com os esperados pelo perfil
de temperatura, a seguinte tabela é construída:
Tabela 5 - Erro percentual absoluto
x (m)
|Erro %| = (|(EXP - TEÓRICO)|/TEÓRICO).100%
Aleta 1 (R2 = 0,94) Aleta 2 (R2 = 0,68) Aleta 3 (R2 = 0,72)
0 0 0 0
0,0301 8,77 11,71 15,25
0,0802 9,82 28,23 30,26
0,1506 15,11 32,61 37,38
0,2397 19,83 30,76 39,26
0,3591 15,95 25,97 31,41
0,5292 10 14,87 18,5
0,753 0,19 4,32 1,84
MÉDIA 9,96 18,56 21,74
Fonte: Autoria própria, 2024.
Dessa forma, pode-se observar que a aleta 1 obteve o menor valor de erro
percentual médio, enfatizando a afirmação feita anteriormente sobre a correlação dos
dados de tal aleta.
5.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO DE 2° TIPO
Para essa abordagem é preciso definir a chamada função objetivo:
(7)ϕ =
𝑖 = 1
7
∑ (𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
− 𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖
)2 =
𝑖 = 1
7
∑ ((𝑇
∞
+ (𝑇
0
− 𝑇
∞
)
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿−𝑥
𝑖
)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) ) − 𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖
)
2
Como a função objetivo depende de ‘‘m’’, para realizar o ajuste com os dados
experimentais, deve-se procurar pelo valor ótimo de tal parâmetro. Este corresponde à
minimização da função objetivo, que ocorre para:
16
(8)𝑑ϕ
𝑑𝑚 =
𝑖 = 1
7
∑ 2(𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
− 𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖
)
𝑑𝑇
𝑖
𝑑𝑚 |
𝑚𝑜𝑑
= 0
Sendo:
(9)
𝑑𝑇
𝑖
𝑑𝑚 |
𝑚𝑜𝑑
= (𝑇
0
− 𝑇
∞
)(𝐴 + 𝐵)
(10)𝐴 = − 𝐿 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝐿)
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿−𝑥
𝑖
)]
[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿)]2
(11)𝐵 = (𝐿 − 𝑥
𝑖
) 
𝑠𝑒𝑛ℎ[𝑚(𝐿−𝑥
𝑖
)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿)
Logo, resolvendo simultaneamente Eq.8, Eq.9, Eq.10 e Eq.11, o valor ótimo para o
parâmetro ‘’m’’ é encontrado, possibilitando o cálculo de pela Eq.4 e . Para o calorℎ 𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
trocado por convecção a mesma análise feita na seção anterior deve ser realizada:
Para a condição de contorno de 2° tipo:
(12)θ = θ
0
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿)
(13)𝑇(𝑥) = (𝑇
0
− 𝑇
∞
) 𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) + 𝑇
∞
Logo:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ (𝑇(𝑥) − 𝑇
∞
)𝑑𝑥 = ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ ((𝑇
0
− 𝑇
∞
) 𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) + 𝑇
∞
− 𝑇
∞
)𝑑𝑥
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
= ℎ𝑃
𝑥0=0
𝐿
∫ ((𝑇
0
− 𝑇
∞
) 𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) )𝑑𝑥 =
ℎ𝑃(𝑇
0
−𝑇
∞
)
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿)
𝑥0=0
𝐿
∫ (𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿 − 𝑥)])𝑑𝑥
(14)𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
=
ℎ𝑃(𝑇
0
−𝑇
∞
)
𝑚 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝐿)
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) =
ℎ𝑃(𝑇
0
−𝑇
∞
)
𝑚 𝑡𝑔ℎ(𝑚𝐿)
A seguir estarão dispostos as tabelas contendo valores experimentais e calculados
para o valor mótimo encontrado via SOLVER (EXCEL) junto com os gráficos de diferenças
entre as temperaturas do modelo e experimentais e os que ilustram a otimização do
parâmetro ‘’m’’ para cada uma das três aletas:
Tabela 6 - Valores de mótimo, eℎ 𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
ALETA 1 2 3
mótimo (m
-1) 3,5258 7,0929 8,7632
h (W/m2K) 9,3541 2,7154 8,2899
Qconv (W) 8,0976 0,7637 5,6615
Fonte: Autoria própria, 2024.
Tabela 7 - Valores experimentais e calculados para aleta 1
17
i x (m) A (m) B (m) (°C)𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖
(°C)𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
( )2𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
− 𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖 dɸ/dm
1 0,0000 -0,6543 0,807 107 107 0 0
2 0,0301 -0,5888 0,698 93 99,3 39,6928 105,8885
3 0,0802 -0,4943 0,547 85 88,178 10,0998 25,5476
4 0,1506 -0,3871 0,384 72 75,557 12,6500 -1,7234
5 0,2397 -0,2850 0,241 60 63,547 12,5821 -24,2618
6 0,3591 -0,1914 0,122 54 52,526 2,1727 15,7492
7 0,5292 -0,1147 0,038 48 43,496 20,2837 53,4094
8 0,7530 -0,0761 0,001 44 38,958 25,4239 58,0122
ɸ 122,9049 0
Fonte: Autoria própria, 2024.
Tabela 8 - Valores experimentais e calculados para aleta 2
i x (m) A (m) B (m) (°C)𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖
(°C)𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
( )2𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
− 𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖 dɸ/dm
1 0,0000 -0,8119 0,812 80 80 0 0
2 0,0301 -0,6558 0,631 68 70,3880 5,7026 -5,8076
3 0,0802 -0,4597 0,414 52 58,3095 39,8093 -28,6607
4 0,1506 -0,2790 0,227 45 47,1828 4,7648 -11,3044
5 0,2397 -0,1483 0,104 42 39,1353 8,2062 12,5627
6 0,3591 -0,0637 0,035 40 33,9219 36,9428 17,1895
7 0,5292 -0,0194 0,007 40 31,1930 77,5640 11,3312
8 0,7530 -0,0056 0,0002 39 30,3435 74,9358 4,6893
ɸ 247,9256 0
Fonte: Autoria própria, 2024.
Tabela 9 - Valores experimentais e calculados para aleta 3
i x (m) A (m) B (m) (°C)𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖
(°C)𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
( )2𝑇
𝑚𝑜𝑑
|
𝑖
− 𝑇
𝑒𝑥𝑝
|
𝑖 dɸ/dm
1 0,0000 -0,8119 0,812 105 105 0 0
2 0,0301 -0,6237 0,601 84 87,6111 13,0403 -12,5244
3 0,0802 -0,4020 0,362 63 67,1395 17,1352 -24,6604
4 0,1506 -0,2169 0,177 50 50,0405 0,0016 -0,2447
5 0,2397 -0,0994 0,07 42 39,1797 7,9544 12,4141
6 0,3591 -0,0349 0,019 40 33,2251 45,8988 15,7067
7 0,5292 -0,0079 0,003 39 30,7313 68,3720 6,4476
18
8 0,7530 -0,0015 0,0001 39 30,1385 78,5253 1,9249
ɸ 230,9276 0
Fonte: Autoria própria, 2024.
Figura 4 - Diferenças entre as temperaturas do modelo e experimentais
Fonte: Autoria própria, 2024.
Figura 5 - Otimização ‘’m’’
19
Fonte: Autoria própria, 2024.
Pelos gráficos de diferenças de temperatura, é possível afirmar que as
temperaturas do modelo e as temperaturas experimentais foram próximas, garantindo um
bom ajuste, resultando em valores de ‘’m’’, e diferentes dos obtidos naseçãoℎ 𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣
anterior. Com os gráficos de otimização, pode-se provar a eficácia do método utilizado
para determinar o valor ótimo, sendo este responsável por gerar todos os outros dados
calculados.
6. CONCLUSÃO
O objetivo final do experimento é comparar e relacionar as medidas experimentais
do gradiente de temperatura na aleta com a previsão teórica. Para os valores teóricos
foram utilizadas duas condições de contorno, uma simples e outra complexa, enquanto a
condição de contorno mais simples produziu resultados aceitáveis para a aleta 1, ela não
foi suficiente para as aletas seguintes. No cumprimento da engenharia é necessário
portanto, sempre levar em conta quais modelos são mais adequados para as condições
de trabalho. A termodinâmica, e por consequência a transferência de calor, é parte central
na Eng. Química e escolher modelos de previsão precisos e simples é essencial no
cumprimento da profissão.
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7. REFERÊNCIAS
Apostila de Laboratório de Engenharia Química 1