PERFIS DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA QUÍMICA I
PERFIS DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS
Acadêmicos: Gabriel Girotto Zanutto RA 112431
Pedro Henrique Siscato RA 117082
Victor Hugo Lopes Benedito RA 118234
Turma: 216/03
Professora: Isabela Dancini Pontes
MARINGÁ, 12 DE DEZEMBRO DE 2022.
1. Introdução
O conhecimento do processo de transferência de calor em sólidos é muito
utilizado para analisar o custo, viabilidade e tamanho dos equipamentos industriais.
Dessa forma, nos processos industriais a dimensão de equipamentos como
trocadores de calor, caldeiras e aquecedores dependem da transferência de calor
necessária. A aleta é um suporte desses equipamentos que tem como objetivo que
possibilita aumentar a troca de calor. Essa transferência de calor pode ser
aumentada ou diminuída dependendo do seu diâmetro, comprimento e material.
O experimento em estudo tem como objetivo obter experimentalmente, os
perfis de temperatura em regime permanente de três barras metálicas cilíndricas de
materiais e diâmetros diferentes e, aos dados experimentais, ajustar as equações
comumente encontradas na literatura, possibilitando a determinação dos
coeficientes médios de transferência de calor, bem como o calor trocado entre as
barras e o ambiente.
2. Objetivos
Obter, de forma experimental, o perfil de temperatura para três aletas
cilíndricas de materiais e diâmetros diferentes em regime permanente. Além disso,
aplicar as equações propostas pela literatura aos dados experimentais, obtendo o
coeficiente médio de transferência de calor por diferentes métodos e determinar o
calor dissipado.
3. Revisão bibliográfica
Ao estudar a transferência de calor em sólidos, é necessário a aplicação de
alguns conceitos que envolvem o fenômeno. O calor pode ser transmitido por três
mecanismos diferentes: Condução, convecção e radiação. A condução ocorre
quando a energia térmica é transferida por contato, sem que haja movimento
relativo entre o objeto e a vizinhança. A condução é um mecanismo estudado,
principalmente, para a condução de calor no interior de objetos sólidos ou através
destes.
A convecção por outro lado é o mecanismo que entra em ação quando há
uma movimentação relativa entre o objeto e a vizinhança, como o ar passando por
um radiador. É um mecanismo significativamente mais complexo que a condução
pois envolve o movimento de um fluido que troca calor com diferentes superfícies.
Por fim, a radiação térmica é um mecanismo de transferência de calor que
ocorre simultaneamente com a condução e/ou a convecção. Quando um material
tem temperatura diferente de 0 K, este emitirá ondas eletromagnéticas. Este
fenômeno é mais evidente quando temos metais aquecidos a altas temperaturas, de
forma que parte da energia transferida como radiação térmica passa a ser
transmitida como luz visível. Em gradientes de temperatura menores, o efeito da
radiação na transferência de calor é muito pequeno, de forma que muitas vezes é
desprezível ou pode ser aproximado através de um ajuste do coeficiente de
convecção.
Aletas são aplicadas nas mais diversas áreas, em grandes equipamentos até
os menores e são o padrão para dissipação de calor ao redor do mundo. As aletas
tem por princípio de funcionamento o aumento da área específica de uma superfície
pela qual se deseja dissipar calor. Uma aleta bem dimensionada, produzida a partir
de um material com uma boa condutividade térmica, aumenta a taxa de
transferência de uma superfície significativamente. Porém, se as aletas forem de um
material com baixa condutividade térmica ou com um dimensionamento ruim, as
aletas podem agir como uma camada isolante sobre a superfície, piorando a
transferência de calor para o ambiente.
Além disso, o posicionamento das aletas deve ser analisado, uma vez que as
aletas geralmente são posicionadas para o lado do fluido de menor viscosidade pois
podem criar grandes perdas de carga em um escoamento. Também é necessário
analisar se o calor será transferido por meio de convecção natural ou forçada, o que
altera o dimensionamento e o posicionamento das aletas na superfície.
Para o experimento, também é importante considerar a transferência de calor
como um fenômeno unidimensional, admitindo-se que a temperatura de cada seção
da barra é uniforme e considerando que todas as propriedades do material
independem da temperatura.
Voltando para o problema contido no experimento, teremos que a equação na
forma diferencial para o balanço de energia, em regime permanente, será:
Eq. 1
Eq. 2
Para chegarmos a uma solução dessa equação, é necessário o uso de
condições de contorno (ou também chamadas de condições iniciais). Para o
experimento, teremos três possíveis condições de contorno. A condição de contorno
1 (CC1) será fixa, enquanto que para a condição de contorno 2 (CC2) teremos duas
possibilidades para a realização dos cálculos.
CC1: Para x=0, temos que T(0)=T0 ;
1ª CC2: Para x→∞, teremos que T(x)=T∞ ;
2ª CC2: Para x→L, teremos que ;𝑑𝑇𝑑𝑥 = 0
Além disso, a expressão para o cálculo do perfil de temperatura, em regime
permanente, pode ser obtida através de uma integração da Eq. 1, de forma que
teremos dois casos.
Caso 1 - Utilizando a 1ª CC2, teremos que:
Eq. 3
Caso 2 – Utilizando a 2ª CC2, teremos que:
Eq. 4
Para que seja possível a realização do método, podemos utilizar alguns
ajustes dos dados experimentais para o modelo de aleta infinita. Para isso, basta
linearizar a Eq. 2 por meio do logaritmo natural.
Eq. 5
Plotando o gráfico com os valores obtidos para Ln (θ) por x, é possível
estimar o valor de m através do coeficiente angular da reta. Com este valor de m,
podemos então isolar h na Eq. 2 e obter seu valor.
De forma similar ao ajuste para aleta infinita, podemos também fazer um
ajuste para o caso de aleta com extremidade isolada. Para este ajuste, utilizaremos
a Eq. 4, ajustada para os dados experimentais por meio do método dos mínimos
quadrados, definindo uma função-objetivo.
Eq. 6
A Eq. 6 é definida pela soma das diferenças, elevadas ao quadrado, entre a
temperatura de modelo (Eq. 4) e a temperatura experimental. Desta forma,
podemos substituir a Eq. 4 na Eq. 6, que será utilizada para o cálculo da
função-objetivo.
Eq. 7
Dito isso, para realizar o ajuste com maior precisão, é necessário minimizar a
função-objetivo, reduzindo a diferença entre a temperatura experimental e a
temperatura de modelo. O valor de mínimo (Φmin) ocorre quando a derivada de Φ
em relação a m se iguala a zero. Neste ponto, o valor de m obtido denomina-se
mótimo.
Eq. 8
Onde:
Eq. 9
Eq. 10
Eq. 11
A partir das equações acima (Eq. 8, 9, 10 e 11), é possível encontrar o valor
de m (mótimo) e novamente obter h por meio da Eq. 2. A resolução destas equações
é feita através de programas com capacidade de resolução de equações não
lineares.
Após obtido um valor de m para cada método descrito acima e para cada
aleta utilizada no experimento, podemos utilizar a Eq. 2 e calcular o h de cada aleta
para os dois métodos. Em seguida, podemos utilizar a Eq. 12 para calcular o calor
trocado (dissipado) por cada aleta e comparar os valores obtidos pelos dois
métodos.
Eq. 12
Onde,
Eq. 13Ө
0
= 𝑇
0
− 𝑇
∞
Eq. 14Ө = 𝑇 − 𝑇
∞
4. Materiais
1) Autoclave;
2)Caixa de vapor;
3)Chave seletora de 24 canais;
4)Uma barra de alumínio, de diâmetro ½’’ (aleta 1);
5)Uma barra de aço inoxidável, de diâmetro ½’’ (aleta 2);
6)Uma barra de aço inoxidável, de diâmetro 1’’ (aleta 3);
7)Termômetro Analógico;
8)Termopares cobre-constantan tipo T;
9)Purgador termodinâmico;
10)Indicador de temperatura.
Figura 1. Módulo experimental.
Fonte: [1]
5. Métodos
Primeiramente, foi injetado vapor saturado na caixa de vapor do módulo
mediante abertura da válvula da autoclave. Em seguida, aguardou-se o sistema
alcançar a condição deRegime Permanente (RP), o que foi verificado quando foram
tomadas três temperaturas iguais em todos os pontos, medidas em intervalos de 5
minutos. Após alcançar regime permanente as temperaturas foram anotadas na
Tabela 1.
6. Resultados e discussões.
No dia do experimento verificamos que : .𝑇
𝑎𝑚𝑏
= 28 °𝐶
Sabendo que o perímetro é , a área transversal dos tubos𝑃 = 2. π. 𝑟
, fizemos os cálculos da tabela. As condutividades térmicas foram obtidas𝐴
𝑐
= π. 𝑟2
da literatura (Engineering Tool Box, 2022). Com isso, construímos a seguinte tabela:
Tabela 1: Propriedades das 3 barras do experimento
Barra Material
Diâmetro
( )𝑚
L
( )𝑚
Perímetro
( )𝑚
k
( )𝑊/𝑚. °𝐶
𝐴
𝑐
( )𝑚2
1 Inox 0,0127 0,8119 0,0399 14,4 0,00013
2 Alumínio 0,0127 0,8119 0,0399 237 0,00013
3 Inox 0,0254 0,8119 0,0798 14,4 0,00051
Fonte: Elaborado pelo autor.
Seguindo o procedimento experimental, anotamos os registrados pelos
termopares, para cada barra, em cada ponto, os quais estão dispostos na tabela
abaixo:
Tabela 2: Temperaturas registradas pelos termopares em cada posição das 3 barras.
Posição Temperatura (°C)
x(m) Aleta 1 Aleta 2 Aleta 3
0 105 79 104
0,031 92 67 83
0,0802 83 51 62
0,1506 72 44 50
0,2397 59 41 42
0,3591 53 40 39
0,5292 47 39 39
0,753 43 39 38
Fonte: Elaborado pelo autor.
Condição de contorno 1 - Obtemos fazendo e entãoθ θ
𝑖
= (𝑇
𝑖
− 𝑇
∞
)
calculamos seu ln, para plotarmos um gráfico e obtemos os coeficientes angulares,
que serão utilizados mais a frente. Por fim, por meio da Equação 3, obtemos :θ
𝑚𝑜𝑑, 𝑖
Tabela 3: θ e ln(θ) calculados para cada barra, em cada ponto da barra.
θ (T - Tinf) ln (θ)
Barra 1 Barra 2 Barra 3 Barra 1 Barra 2 Barra 3
77 51 76 4,344 3,932 4,331
64 39 55 4,159 3,664 4,007
55 23 34 4,007 3,135 3,526
44 16 22 3,784 2,773 3,091
31 13 14 3,434 2,565 2,639
25 12 11 3,219 2,485 2,398
19 11 11 2,944 2,398 2,398
15 11 10 2,708 2,398 2,303
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tabela 4: θ e ln(θ) calculados para cada barra, em cada ponto da barra.
θ mod
Barra 1 Barra 2 Barra 3
105 79,000 104,000
98,16047 74,672 96,117
88,20836 68,286 84,814
75,69686 60,085 70,912
62,37348 51,103 56,536
48,12048 41,135 41,732
33,25199 30,197 27,079
20,44712 20,106 15,328
Fonte: Elaborado pelo autor.
Os 3 gráficos obtidos por ln(θ) e x(m) estão dispostos abaixo:
Gráfico 1: ln(θ) em função de x, para a barra 1.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 2: ln(θ) em função de x, para a barra 2.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 3: ln(θ) em função de x, para a barra 3.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O coeficiente angular é o valor de m. Por meio dele, do perímetro,
condutividade térmica e área transversal de cada barra calculamos o coeficiente
convectivo média de cada barra, pela Equação 2:
Tabela 5: Coeficientes convectivos de cada barra, obtidos pelo modelo 1.
ℎ (𝑊/𝑚2. °𝐶)
Barra 1 Aleta 2 Aleta 3
0,216 2,485 0,591
Fonte: Elaborado pelo autor.
Condição de contorno 2: neste momento, usamos as Equação 4, para
calcular em cada ponto, então, no excel iteramos as Equações 6, 7, 8 e 8,θ
𝑚𝑜𝑑, 𝑖
variando m, até tender a 0. O valor inicial usado para as 3 barras, foi o
𝐷𝑇
𝐼
𝐷𝑚 |𝑚𝑜𝑑 θ0
valor inicial de temperatura. As tabelas e os resultados de m obtidos, para cada
barra, estão dispostos abaixo:
Tabela 6: e obtidos para a barra 1.θ
𝑒𝑥𝑝
θ
𝑚𝑜𝑑
x (m) T (ºC) (ºC)θ𝑒𝑥𝑝 (ºC)θ𝑚𝑜𝑑
0,0000 105 77 105
0,0310 92 64 99
0,0802 83 55 89
0,1506 72 44 78
0,2397 59 31 66
0,3591 53 25 54
0,5292 47 19 42
0,7530 43 15 36
m = 2,148
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tabela 7: e obtidos para a barra 2.θ
𝑒𝑥𝑝
θ
𝑚𝑜𝑑
x (m) T (ºC) (ºC)θ𝑒𝑥𝑝 (ºC)θ𝑚𝑜𝑑
0,0000 79 51 79
0,0310 67 39 74
0,0802 51 23 67
0,1506 44 16 59
0,2397 41 13 50
0,3591 40 12 40
0,5292 39 11 32
0,7530 39 11 27
m = 2,155
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tabela 8: e obtidos para a barra 2.θ
𝑒𝑥𝑝
θ
𝑚𝑜𝑑
x (m) T (ºC) (ºC)θ
𝑒𝑥𝑝 (ºC)θ𝑚𝑜𝑑
0,0000 104 76 104
0,0310 83 55 90
0,0802 62 34 72
0,1506 50 22 52
0,2397 42 14 34
0,3591 39 11 20
0,5292 39 11 10
0,7530 38 10 5
m = 4,622
Fonte: Elaborado pelo autor.
Então, usando os valores de temperatura, da Tabela 2, e valores calculados
de , para a condição de contorno 1 da tabela 4 e valores de calculadosθ
𝑚𝑜𝑑
θ
𝑚𝑜𝑑
para a condição de contorno 2, das Tabelas 6, 7 e 8, plotamos os três gráficos dos
perfis de temperatura dos modelos e experimentais para cada barra:
Gráfico 4: Perfis de temperatura dos ajustes dos modelos e experimental, para a barra 1.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 5: Perfis de temperatura dos ajustes dos modelos e experimental, para a barra 2.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 6: Perfis de temperatura dos ajustes dos modelos e experimental, para a barra 2.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Ainda com o segundo modelo, utilizamos novamente o perímetro,
condutividade térmica e área transversal de cada barra para calcular o coeficiente
convectivo média de cada barra, pela Equação 2:
Tabela 5: Coeficientes convectivos de cada barra, obtidos pelo modelo 2.
ℎ (𝑊/𝑚2. °𝐶)
Barra 1 Aleta 2 Aleta 3
0,211 3,496 1,954
Fonte: Elaborado pelo autor.
Em regime permanente, todo o calor conduzido é dissipado por cada aleta e
pode ser calculado pela Equação 12:
● Aleta 1
- Modelo 1:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
= ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө 𝑑𝑥 = ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө
0
𝑒𝑥𝑝(𝑚𝑥)𝑑𝑥 = 1, 48 𝑊
- Modelo 2:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
= ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө 𝑑𝑥 = ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө
0
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿−𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) 𝑑𝑥 = 0, 28 𝑊
onde ; ;Ө
0
= 𝑇 − 𝑇
∞
= 77 °𝐶 ℎ
𝑚𝑜𝑑 1
= 0, 216 𝑊/𝑚2. °𝐶 ℎ
𝑚𝑜𝑑 2
= 0, 211 𝑊/𝑚2. °𝐶
; , , .𝑃 = 0, 0399 𝑚 𝐿 = 0, 8119 𝑚 𝑚
𝑚𝑜𝑑 1
= 2, 173 𝑚
𝑚𝑜𝑑 2
= 2, 148
● Aleta 2
- Modelo 1:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
= ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө 𝑑𝑥 = ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө
0
𝑒𝑥𝑝(𝑚𝑥)𝑑𝑥 = 6, 89 𝑊
- Modelo 2:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
= ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө 𝑑𝑥 = ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө
0
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿−𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) 𝑑𝑥 = 3, 1 𝑊
onde ; ; ;Ө
0
= 𝑇 − 𝑇
∞
= 51 °𝐶 ℎ
𝑚𝑜𝑑 1
= 2, 485 𝑊/𝑚2. °𝐶 ℎ
𝑚𝑜𝑑 2
= 3, 496 𝑊/𝑚2. °𝐶
; , , .𝑃 = 0, 0399 𝑚 𝐿 = 0, 8119 𝑚 𝑚
𝑚𝑜𝑑 1
= 1, 182 𝑚
𝑚𝑜𝑑 2
= 2, 155
● Aleta 3
- Modelo 1:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
= ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө 𝑑𝑥 = ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө
0
𝑒𝑥𝑝(𝑚𝑥)𝑑𝑥 = 9, 71 𝑊
- Modelo 2:
𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
= ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө 𝑑𝑥 = ℎ𝑃
0
𝐿
∫ Ө
0
𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑚(𝐿−𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) 𝑑𝑥 = 2, 56 𝑊
onde ;; ;Ө
0
= 𝑇 − 𝑇
∞
= 76 °𝐶 ℎ
𝑚𝑜𝑑 1
= 0, 591 𝑊/𝑚2. °𝐶 ℎ
𝑚𝑜𝑑 2
= 1, 954 𝑊/𝑚2. °𝐶
; , , .𝑃 = 0, 0798 𝑚 𝐿 = 0, 8119 𝑚 𝑚
𝑚𝑜𝑑 1
= 2, 543 𝑚
𝑚𝑜𝑑 2
= 4, 622
Construindo uma tabela, para efeito de comparação entre os coeficientes
convectivos e os calores obtidos, temos:
Tabela 7: Coeficientes convectivos e calores obtidos de cada aleta.
h (W/m.°C) (W)𝑞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜
Modelos Aleta 1
(Inox)
Aleta 2
(Alumínio)
Aleta 3
(Inox)
Aleta 1
(Inox)
Aleta 2
(Alumínio)
Aleta 3
(Inox)
1 0,216 2,485 0,591 1,480 6,890 9,710
2 0,211 3,496 1,954 0,280 3,100 2,560
Fonte: Elaborado pelo autor.
No Gráfico 1 obtemos um muito bom, o que significa que o regime𝑅2
permanente foi atingido, portanto obtivemos um bom ajuste. Já nos Gráficos 2 e 3,
notamos que não foram tão satisfatórios, é possível que nos dois casos o regime𝑅2
permanente não tenha sido atingido até a aferição das temperaturas.
Com o experimento observou-se que a barra de alumínio teve o maior calor
dissipado que a barra de aço inoxidável ambas de mesmo diâmetro, pois o material
de alumínio apresenta uma maior condutividade térmica, pela literatura, obtivemos a
condutividade 94% maior para o alumínio em comparação ao aço inox. Nos cálculos
do experimento, obtivemos também para a barra de alumínio, maiores coeficientes
convectivos, sendo assim a barra de alumínio leva mais tempo para atingir o regime
estacionário do que a barra de aço. Em comparação entre as duas barras de aço,
notamos que a barra com maior diâmetro possui maior coeficiente convectivo, o que
já era esperado por lógica, pois quanto maior o diâmetro,maior o perímetro em
contato com o fluido e consequentemente, maior o calor trocado por convecção.
Acreditamos que o modelo que mais se adequou à realidade, foi o modelo 2,
que tratou o tubo como isolado em seu fim, pois o primeiro foi considerado que todo
o calor era trocado até o fim do comprimento L, o que não aconteceu, pois a
temperatura no final da barra não era a mesma que a temperatura ambiente. Além
disso, no experimento, realmente tinha um material de teflon isolante ao fim da
barra. Outro motivo que sustenta a escolha do modelo 2 é que não tem como a
barra 2 ter trocado mais calor do que a barra 3, pois a T inicial da barra 2 era de
79°C, enquanto a barra 3 era de 104 °C e ambas as duas diferiram por apenas 1°C
na temperatura final. A barra 3 também possui maior perímetro de contato do que a
segunda barra. Portanto os resultados do modelo 1, fogem da realidade.
7. Conclusão
Foi um sucesso aplicar o balanço diferencial de energia em regime
permanente nas aletas, calculando os perfis de temperatura e os coeficientes
convectivos médios.
Foi possível determinar os coeficientes convectivos médios para as três
aletas, com satisfação na primeira. Todavia, possivelmente ocorreu maior
discrepância no resultado real das aletas 2 e 3, onde o regime permanente muito
provavelmente não tenha sido atingido.
É interessante notar que à primeira vista um fenômeno de transporte pode
parecer simples, mas tomando um tratamento matemático ele pode se tornar
extremamente complexo e sua descrição resultar em diversas equações para uma
única coisa.
8. Referências
THE ENGINEERING Tool Box. [S. l.], 2022. Disponível em:
https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-metals-d_858.html. Acesso
em: 13 dez. 2022.