GEX101_aula_9- logaritimica

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GEX101 – MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 
Turmas 02A, 07A, 09A, 10A 
Aulas 17 e 18 
 15 e 18 de março de 2013 
Professora Isabel Amorim 
Capítulo 4 do livro: 
Connallly, Hughes-Hallett, Gleason, et al.; Funções para modelar variações: uma preparação para o 
cálculo. 3ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
1.1 Introdução: 
Suponha que uma população cresça de acordo com a fórmula , em que P é o tamanho da colônia 
no instante t, em horas. 
Quando é que a população desta colônia será ? 
Desejamos resolver a seguinte equação para t: . 
 
Sabe-se que e , então o valor para o expoente t que estamos procurando está 
entre 2 e 4 pois Mas como determinar este expoente? 
 
1.2 Definição: logaritmo comum (base 10) 
Para responder a questão anterior, podemos utilizar a função logaritmo comum, ou simplesmente a função 
log, escrita como ou , definida como: 
 
 
 
 
 
Por exemplo: 
 pois . 
 
Para resolver a equação , devemos determinar a potência de 10 que resulte em 2.500. 
Utilizando a tecla log da calculadora obtemos um valor aproximado para este expoente: 
 
 pois 
 
Assim, o valor exato do expoente é e o valor aproximado é 3,398. 
Concluímos que a população leva aproximadamente 3,4 horas para alcançar 2.500. 
 
Exemplo 1: 
Reescreva as sentenças seguintes, utilizando expoentes em vez de logaritmos. 
a) 
b) 
c) 
Solução: Se então . 
a) significa que . 
b) significa que . 
c) significa que . 
A letra c é uma aproximação. Note que e que 
Se x é um número positivo, 
 é o expoente de 10 tal que a potência resulta em . 
Em outras palavras: 
Se então . 
2 
 
Exemplo 2: 
Reescreva as sentenças seguintes, utilizando logaritmos em vez de expoentes. 
a) 
b) 
c) . 
Solução: Se então . 
a) significa que 
b) significa que 
c) significa que 
A letra c é uma aproximação. Se você utilizar uma calculadora vai notar que 
 
Exemplo 3: 
Calcule, se possível sem calculadora, os seguintes logaritmos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
f) 
Solução: 
a) = 0 pois . 
b) pois . 
c) pois .000.000. 
d) pois . 
e) 
 
 
 pois o expoente de 10 tal que a potência resulta 
 
 
 é 1/2. 
f) é indefinido. Pois 10 elevado a uma potência qualquer será sempre um valor positivo, 
portanto não pode ser escrito como potência de 10. 
 
1.3 As funções logarítmica e exponencial são inversas uma da outra! 
 
Observe, nos exemplos anteriores que a operação de aplicar um logaritmo “desfaz” a função exponencial. 
Isso significa que as funções logaritmo e exponencial são funções inversas. 
 
Revisão de função inversa: Diz-se que 
 f x
 e 
 g x
são funções inversas (uma da outra) se 
           f g x f g x g f x g f x x   
. 
 
Por exemplo: e . 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
Sem usar a calculadora, determine: 
a) b) c) 
Solução: Usando e temos: 
a) b) c) 
 
Para qualquer N, 
Para qualquer N > 0, 
 . 
3 
 
1.4 O gráfico, o domínio e a Imagem do logaritmo comum 
A função logaritmo comum (base 10) está definida para todos os números positivos. Portanto: 
 Domínio de são todos os números positivos. 
Imagem de são todos os números reais. 
 
 Tabela 1: Valores de logx (arredondados) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1: gráfico da função 
 
Observe a figura 1: 
 o gráfico de cruza o eixo x em Visto que =0. 
 o gráfico sobre para em . Visto que =1. 
É fácil perceber que o gráfico vai alcançar quando e assim por diante, de modo que para 
alcançar a altura de , o valor de x dever ser igual a ! 
 
Veja que a função tem uma assíntota vertical em , mas está função nunca toca o eixo dos y. 
Embora não possa ser igual a zero na função log, podemos tão pequeno quanto desejarmos. 
Á medida que x decresce em direção à zero, o s valores de vão se tornando grandes, em valor 
absoluto, porém negativos. 
 
A função logarítmica: 
 cresce muito rapidamente para e 
 cresce muito lentamente para . 
 
1.5 Gráfico das funções inversas: e . 
Quando duas funções são inversas uma da outra significa que seus gráficos estão correlacionados. 
 
 Tabela 2: Valores da função logx Tabela 3: Valores da função exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Funções inversas: e . 
Observe que o gráfico de é igual ao gráfico de com os eixos x e y permutados. 
Se os eixos dos x e dos y tiverem a mesma escala, isto equivale a uma reflexão do gráfico sobre 
a reta . 
x Logx 
0 Indefinido 
0,001 -3 
0,01 -2 
0,1 -1 
1 0 
10 1 
100 2 
1000 3 
x Logx x 
0,001 -3 -3 0,001 
0,01 -2 -2 0,01 
0,1 -1 -1 0,1 
1 0 0 1 
10 1 1 10 
100 2 2 100 
1000 3 3 1000 
4 
 
Correspondência entre as propriedades das funções inversas e 
Propriedades de Propriedades de 
 =0 
 
Imagem (0,+∞) Imagem (-∞, +∞) 
Domínio: (-∞, +∞) Domínio (0,+∞) 
 
1.6 Propriedades do logaritmo comum: 
Por definição: 
 significa 
Em particular: 
 
e 
 
Se 
0b 
 e 
1b 
, 0
1
1 log 1 0
log 1
b
b
b
b b b
   

  
 
 
As funções e são inversas uma da outra, então uma “desfaz” a outra. Assim: 
 para todo x, 
 para todo 
 
Propriedades: 
Para b1 e b2 positivos e para qualquer valor de x temos: 
(1) 
     1 2 1 2log log logb b b b 
 
Prova: Sejam  
 
1
2
1 1 1
2 2 2
log
log
a
a
b e a b
b e a b
   

  
 
 
1 2 1 2a a a ae e e


 
   1 2 1 2log loga a a ae e e 
 
 
 1 2 1 2log a aa a e e  
 
 
     1 2 1 2log log logb b b b  
 
(2) 
   log logxb x b
 
 Prova: 
 log xb a
 
   log log log
a a
x a x x ab e b e b e x b a
x
 
         
 
 
 
   log log xx b b 
 
(3) 
   1 1 2
2
log log log
b
b b
b
 
  
 
 
 Prova: 
          1 11 1 2 1 2 1 2
2
log log log log log log
b
b b b b b b
b
  
     
 
 
5 
 
 
(4) 
 
 
 
log
log
logb
x
x
b

 
 Prova: 
 logb x y        log log log logy yx b x b x y b     
 
  
 
 
 
 
log log
log
log logb
x x
y x
b b
   
 
 
Resumindo as propriedades do logaritmo comum logx: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: 
a)
2
1010 100 ? 2 10 100 log 100 2
x x x        
 
b)
3
10
1 1 1
10 ? 3 10 log 3
1000 1000 1000
x x x           
 
c)
4
22 16 ? 4 2 16 log 16 4
x x x        
 
 
Exemplo 6: 
Resolva a equação 
Solução: 
 
Aplicando logaritmos em ambos os lados, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
     1 2 1 2log log logb b b b 
 
 
(2) 
   log logxbx b
 
 
(3) 
   1 1 2
2
log log log
b
b b
b
 
  
 
 
 
 (4) 
 
 
 
log
log
logb
x
x
b
