Apostila Probabilidade

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<p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>APOSTILA: Probabilidade</p><p>Aluno: Nº:</p><p>Turma: Professor: Gustavo da Silva Martins</p><p>Data: / /2024 Nº de aulas: 18 a 20</p><p>Princípio Fundamental da Contagem (PFC)</p><p>O Princípio Fundamental da Contagem é uma ferramenta poderosa para determinar o</p><p>número total de maneiras de combinar elementos de conjuntos diferentes. Ele se baseia</p><p>na multiplicação e é aplicado quando temos etapas sucessivas e independentes em um</p><p>processo.</p><p>Acompanhe a seguir algumas situações.</p><p>a) O menu executivo de um restaurante é dividido em saladas, pratos quentes e</p><p>sobremesa. Na seção de saladas, há 2 tipos: salada tropical e salada roxa. Além</p><p>disso, são oferecidos 2 tipos de pratos quentes: lasanha e risoto de cogumelos. Na</p><p>parte de sobremesa, há apenas uma opção: sorvete de chocolate. Considerando que</p><p>os clientes vão escolher uma salada, um prato quente e uma sobremesa a cada</p><p>refeição, podemos organizar todas as opções possíveis fazendo desenhos.</p><p>b) Uma pessoa está no parque e quer ir à farmácia, mas antes precisa passar no</p><p>mercado. Essa pessoa considera 5 caminhos diferentes para chegar ao mercado,</p><p>saindo do parque, e 4 caminhos diferentes para chegar à farmácia, saindo do mercado.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Outra maneira de representar essa situação é utilizando um diagrama de árvore ou árvore</p><p>de possibilidades.</p><p>Observando a árvore de possibilidades, podemos ver que há 5 possibilidades de</p><p>caminhos diferentes para ir do parque ao mercado e 4 possibilidades de caminhos</p><p>diferentes para ir do mercado à farmácia. Dessa maneira, o total de possibilidades de</p><p>caminhos diferentes é 5 ∙ 4 = 20.</p><p>c) Em um jogo de tabuleiro a ação do jogador é definida ao jogar 2 dados. Um deles tem 4</p><p>faces, de modo que cada uma delas tenha uma das letras A, B, C e D. O outro dado</p><p>possui 6 faces, numeradas de 1 a 6. Podemos montar uma tabela para indicar todas as</p><p>possibilidades de resultados a cada jogada.</p><p>O que diz o PFC?</p><p>De maneira simplificada, o PFC nos diz o seguinte:</p><p>Dadas duas ou mais situações independentes, podemos encontrar o total de combinações</p><p>possíveis multiplicando as diferentes opções fornecidas em cada uma dessas situações.</p><p>De maneira formal:</p><p>Sejam 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ..., 𝑎𝑛 , n eventos sucessivos e independentes, tal que:</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p> 𝑎1 ocorre de 𝑏1 maneiras diferentes;</p><p> 𝑎2 ocorre de 𝑏2 maneiras diferentes;</p><p> ⋮</p><p> 𝑎𝑛 ocorre de 𝑏𝑛 maneiras diferentes;</p><p>Então, o número de possibilidades de o acontecimento ocorrer é dado por:</p><p>𝑏1 ∙ 𝑏2 ∙ ⋯ ∙ 𝑏𝑛</p><p>Esse é o princípio fundamental da contagem.</p><p>Exemplos:</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Atividades:</p><p>1. Existem 2 vias de locomoção para ir de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de</p><p>locomoção de uma cidade B a uma cidade C. De quantas maneiras distintas podemos</p><p>ir de A a C passando por B?</p><p>2. Em um restaurante há 5 tipos de salada, 4 tipos de prato quente e 3 tipos de</p><p>sobremesa. De quantas maneiras distintas podemos fazer uma refeição composta de 1</p><p>salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?</p><p>3. Uma atividade é composta de 7 itens do tipo “verdadeiro ou falso”. De quantas</p><p>maneiras distintas um estudante pode responder a essa atividade aleatoriamente, ou</p><p>seja, “chutando” as respostas?</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>4. Tenho três lápis de cor nas cores azul, amarelo e verde. Desejo pintar três faixas numa</p><p>figura com essas três cores, usando uma cor para cada faixa, conforme mostra a figura</p><p>abaixo. De quantas maneiras poderei fazê-lo?</p><p>5. Carlos vai reformar a casa e precisa escolher os acabamentos da sala de jantar. O</p><p>arquiteto fez as seguintes sugestões, de acordo com a escolha entre tinta e papel de</p><p>parede:</p><p>• se Carlos escolher colocar papel de parede, então ele tem 4 opções de papel de</p><p>parede e 5 opções de piso para escolher;</p><p>• se Carlos decidir pintar as paredes, então ele tem 3 cores disponíveis e 4 opções de</p><p>piso que combinam.</p><p>Quantas são as possibilidades diferentes de escolha de Carlos?</p><p>6. (Univag-MT) Para uma atividade, serão confeccionados alguns cartões. Cada cartão</p><p>deverá conter um número e a figura de um animal, nessa ordem. Os números podem</p><p>ser de 1 a 9 e os animais podem ser elefante, cachorro, gato, pássaro ou zebra. Não</p><p>serão confeccionados cartões com números ímpares cuja imagem de animal seja uma</p><p>zebra. Não serão confeccionados cartões com os números 4 ou 5 cuja imagem de</p><p>animal seja um gato ou um pássaro. Nessas condições, o número de cartões distintos</p><p>que podem ser criados é</p><p>a) 35. b) 36. c) 37. d) 34. e) 38.</p><p>Sugestão de estudo:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=6pquf3Bl5q8</p><p>Espaço Amostral e Evento</p><p>Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados</p><p>possíveis é chamado espaço amostral (Ω). Qualquer subconjunto do espaço amostral é</p><p>chamado evento.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Os espaços amostrais podem ser discretos ou não. Os espaços amostrais discretos são</p><p>aqueles em que é possível contar os elementos utilizando números naturais. Os exemplos a e</p><p>b mostram espaços amostrais discretos.</p><p>O exemplo c mostra um espaço amostral não discreto, pois não é possível contar os elementos</p><p>do conjunto Ω = {ℎ ∈ ℝ| ℎ > 0}.</p><p> Quando um evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado evento certo.</p><p> Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível.</p><p>Atividades</p><p>1. No lançamento de um dado não viciado de 8 faces, numerado de 1 a 8,</p><p>determine o espaço amostral do experimento “lançar um dado de 8 faces” e</p><p>o evento A: “ocorrer um número múltiplo de 3”.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>2. Considerando um jogo que utiliza as 52 cartas de um baralho comum, descreva o espaço</p><p>amostral do experimento “retirar aleatoriamente uma carta do baralho” e o evento A: “retirar</p><p>um ás do baralho”.</p><p>3. Lucas está brincando com duas moedas. Ele lança as moedas e observa a face que fica</p><p>virada para cima: cara ou coroa. Ao lançar duas moedas ao mesmo tempo, que faces</p><p>poderá obter?</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Cálculo de probabilidades</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Podemos afirmar que</p><p>𝟎 ≤ 𝒑(𝑨) ≤ 𝟏</p><p>Exemplos:</p><p>1. Considere todos os números naturais de 4 algarismos distintos que é possível formar com os</p><p>algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao</p><p>acaso, qual é a probabilidade de</p><p>ocorrer um número que comece por 3 e termine em 7?</p><p>2. No lançamento de um dado não viciado, qual é a probabilidade de ocorrer um número maior</p><p>do que 4?</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>3. No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de</p><p>ocorrer:</p><p>a) pelo menos duas caras?</p><p>b) exatamente duas caras?</p><p>Atividades</p><p>1. No lançamento de um dado não viciado, qual é a probabilidade de ocorrer:</p><p>a) um número par?</p><p>b) um número primo?</p><p>c) o número 3?</p><p>d) um número menor do que 3?</p><p>e) um número menor do que 1?</p><p>f) um número menor do que 7?</p><p>2. Existem diversos jogos que utilizam baralhos comuns, de 52 cartas. Em um desses jogos</p><p>foram selecionadas essas 6 cartas: quatro de ouros (4O), quatro de espadas (4E), cinco de</p><p>espadas (5E), oito de ouros (8O), seis de copas (6C) e dez de paus (10P).</p><p>Sorteando, aleatoriamente, uma das 6 cartas, qual é a probabilidade de ocorrer:</p><p>a) a carta 6 de copas?</p><p>b) uma carta vermelha?</p><p>c) uma carta de espadas?</p><p>d) uma carta que é um 4?</p><p>e) uma carta com um número par?</p><p>3. No lançamento simultâneo de 2 dados não viciados e distinguíveis, um branco e outro</p><p>vermelho, qual é a probabilidade de que:</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>a) a soma seja 7?</p><p>b) a soma seja par?</p><p>c) a soma seja um número primo?</p><p>d) a soma seja maior do que 1 e menor do que 8?</p><p>e) ambos os números sejam pares?</p><p>f) ambos os números sejam iguais?</p><p>g) o número no dado vermelho seja múltiplo do número no dado branco</p><p>4. (Enem) Um projeto para incentivar a reciclagem de lixo de um condomínio conta com a</p><p>participação de um grupo de moradores, entre crianças, adolescentes e adultos, conforme</p><p>dados do quadro.</p><p>Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para falar do projeto. Sabe-se que a</p><p>probabilidade de a pessoa escolhida ser uma criança é igual a dois terços. Diante disso, o</p><p>número de crianças que participa desse projeto é:</p><p>a) 6. b) 9. c) 10. d) 30. e) 45.</p><p>Espaços amostrais não discretos:</p><p>Quando o espaço amostral não é discreto, como um intervalo do conjunto dos números</p><p>reais, não é possível contar os elementos dele utilizando números naturais. Nesses casos,</p><p>para calcular a probabilidade usa-se uma estratégia diferente.</p><p>5. Considere o experimento “escolher aleatoriamente um número na reta dos números reais</p><p>entre 0 e 200”. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A: “escolher um número entre 40</p><p>e 60”?</p><p>6. Um jogo de dardos tem um alvo formado por desenhos que</p><p>lembram um círculo e 2 coroas circulares concêntricas com as</p><p>medidas indicadas na figura. Considerando que a probabilidade</p><p>de acertar qualquer ponto no alvo é igual, ao lançar um dardo</p><p>no alvo, calcule a probabilidade de:</p><p>a) acertar a parte vermelha do alvo;</p><p>b) acertar a parte azul do alvo;</p><p>c) acertar a parte verde do alvo.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Propriedades de Probabilidade</p><p>Evento Complementar: Chama-se evento complementar de um evento A o conjunto formado</p><p>por todos os elementos do espaço amostral Ω que não pertence ao evento A.</p><p>União de Eventos:</p><p>𝐴 𝐴</p><p>Ω</p><p>1.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>2. Ao retirar aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de</p><p>que essa carta seja vermelha ou um ás?</p><p>Atividades:</p><p>1. Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma</p><p>probabilidade de ser retirada. Qual é a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja:</p><p>a) par?</p><p>b) primo?</p><p>c) par ou primo?</p><p>d) par e primo?</p><p>e) nem par nem primo?</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>f) par, mas não primo?</p><p>g) primo, mas não par?</p><p>h) 20?</p><p>2. No lançamento de um dado viciado, a probabilidade de ocorrer 6 é 3 11 . Qual é a</p><p>probabilidade de não ocorrer o número 6?</p><p>3. Em uma enquete foram entrevistados 100 estudantes. Desses, 70 responderam que</p><p>frequentavam um curso de Informática, 28 responderam que frequentavam um curso de</p><p>Inglês e 10 responderam que frequentavam ambos, Informática e Inglês. Qual é a</p><p>probabilidade de um desses estudantes, selecionado ao acaso:</p><p>a) estar frequentando somente o curso de Informática?</p><p>b) não estar frequentando nenhum desses cursos?</p><p>4. (Fatec-SP) Um aprendiz de feiticeiro, numa experiência investigativa, tem a sua disposição</p><p>cinco substâncias distintas entre as quais deverá escolher três distintas para fazer uma</p><p>poção. No entanto, duas dessas cinco substâncias, quando misturadas, anulam qualquer</p><p>efeito reativo. A probabilidade de o aprendiz obter uma poção sem efeito reativo é</p><p>a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%</p><p>Probabilidade Condicional</p><p>De forma equivalente:</p><p>Exemplos:</p><p>1. Em uma população de 500 pessoas, das quais 280 são mulheres, foi constatado que 60</p><p>pessoas exercem a profissão de advogado, sendo 20 do gênero feminino. Tomando ao</p><p>acaso uma dessas pessoas, qual é a probabilidade de que, sendo mulher, seja advogada?</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Atividades</p><p>1. Ao retirar aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de</p><p>retirar um ás vermelho, sabendo que a carta retirada é de copas?</p><p>2. Uma família planejou ter 3 filhos. Supondo que a probabilidade de ocorrência de cada sexo é</p><p>a mesma, qual é a probabilidade de que a família tenha 3 meninos, já que o primeiro filho</p><p>que nasceu é menino?</p><p>3. Dois dados não viciados, de 6 faces numeradas de 1 a 6, são lançados. Qual é a</p><p>probabilidade de ocorrer soma 8, se ocorreu o 3 no primeiro dado?</p><p>4. Jogam-se dois dados honestos. Qual é a probabilidade de se obter o número 4 no primeiro</p><p>dado se a soma dos resultados é 9?</p>