ANALISE COMBINATORIA E PROBABILIDADE DOWNLOAD

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Matemática com a JU 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A pergunta que vai nos acompanhar nessa matéria co-
meça sempre da mesma forma, ou com uma estrutura 
semelhante às que se seguem. 
“De quantas maneiras diferentes é possível...” 
“Quantos são os resultados distintos...” 
Em combinatória não encontramos perguntas 
do tipo: 
“Quais são os resultados possíveis?” 
Pois, na maioria dos casos, não é possível listar todos 
os resultados de um experimento. 
 
Acompanhe o exemplo a seguir: 
Quantos resultados diferentes podem ser obtidos ao 
se lançar um dado? 
Nesse caso, não teremos dificuldades para responder 
a esse questionamento. Em um dado comum, são seis 
resultados possíveis, pois o dado tem apenas seis fa-
ces: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Pensemos agora numa situação mais avançada: 
As placas de carro são formadas por uma sequência de 
três letras (repetidas ou não) seguidas de quatro nú-
meros (repetidos ou não). Sendo assim, quantas pla-
cas diferentes podem ser formadas de acordo com as 
regras brasileiras? 
Essa, já não é uma pergunta tão fácil de ser respon-
dida, pois a resposta será um número na casa dos mi-
lhões. Imagine sendo colocadas em ordem alfabética 
e crescente todas as placas de carro possíveis: 
AAA0000 
AAA0001 
AAA0002 
AAA0003 
 : 
 : 
ZZZ9998 
ZZZ9999 
 
Entretanto, usando conhecimentos matemáticos, essa 
última pergunta pode ser facilmente respondida 
A grande vantagem da Análise Combinatória é justa-
mente nos propiciar a contagem de quantos elemen-
tos há em alguns conjuntos finitos, mesmo que a 
quantidade desses elementos seja enorme. 
São dois, os princípios básicos que regem a Análise 
Combinatória: o Princípio Aditivo e o Principio Multi-
plicativo que explicaremos a seguir. 
Primeiro, considere dois conjuntos: 
Conjunto A com x elementos 
Conjunto B com y elementos 
Princípio ativo: 
 
Se for escolhido apenas um elemento de A ou B, o nú-
mero de maneiras diferentes de se fazer essa escolha 
será dado por x + y. 
 
Princípio multiplicativo: 
Se forem escolhidos 2 elementos, um de A e um de B, 
o número de maneiras diferentes de se fazer essa es-
colha será dado por x.y. 
Observação: 
Repare que no enunciado usamos apenas dois conjun-
tos, mas ambas as ideias podem ser expandidas para 
mais de dois conjuntos. 
Exemplos: 
1. Na cantina de um colégio há 4 sabores de sucos na-
turais (laranja, limão, morango e pêssego) e há 5 tipos 
diferentes de salgados (coxinha, pastel, quibe, enro-
lado e empada) 
Se um aluno só tem dinheiro para comprar um suco ou 
um salgado, de quantas maneiras diferentes posso fa-
zer o pedido de um desses itens, nessa lanchonete? 
Escolhas possíveis: 
Suco ou Salgado 
N° de escolhas = N° de sucos + N° de salgados 
N° de escolhas = 4 + 5 = 9 
 
2. Considerando a mesma cantina do exemplo ante-
rior, se o aluno dispuser de dinheiro suficiente para 
comprar um suco e um salgado, de quantas maneiras 
diferentes posso fazer um pedido de cada um desses 
itens? 
Escolhas: 1 Suco e 1 Salgado 
N° de escolhas = N° de sucos x N° de salgados 
N° de escolhas = 4 x 5 = 20. 
3. Na biblioteca de uma escola emprestam-se até 3 li-
vros para os alunos estudarem em casa. Laura terá 
provas de Matemática, História e Biologia na semana 
seguinte e na biblioteca há 5 livros diferentes 
 
 
 
2 
 
 
 
Matemática com a JU 
Matemática, 4 de História e 6 de Biologia que foram 
indicados pelos professores. 
 
a) Se Laura quiser levar apenas um desses livros para 
estudar, de quantas maneiras poderá fazer sua esco-
lha? 
 
Escolhas: Matemática ou História ou Biologia 
N° de escolhas = 5 + 4 + 6 = 15 escolhas diferentes. 
 
b) Se Laura quiser levar um livro de cada matéria, de 
quantas maneiras ela poderá fazer sua escolha? 
 
Escolhas: 1 de Matemática e 1 de História e 1 de Bio-
logia 
N° de escolhas = 5 x 4 x 6 = 120 escolhas diferentes. 
 
c) Se Laura quiser levar exatamente 2 livros de maté-
rias diferentes para estudar, de quantas maneiras po-
derá fazer sua escolha? 
 
Escolhas: (Mat e His) ou (Mat e Bio) ou (His e Bio) 
N° de escolhas = (5 x 4) + (5 x 6) + (4 x 6) = 20 + 30 
+ 24 = 74 escolhas diferentes. 
 
Resumindo: Ao escolher elementos de 2 ou mais con-
juntos: 
Usando ou → somar 
Usando e → multiplicar. 
 
Algumas dicas para a resolução de problemas de Com-
binatória 
Formação de números e senhas 
Importante: Em qualquer problema devemos SEMPRE 
começar pelas restrições. A única forma de garantir-
mos que algo aconteça num problema de combinató-
ria e forçando a sua ocorrência. 
 
Na formação de um número de n algarismos 
ou de uma senha com n dígitos, devemos observar as 
regras a seguir: 
• Para cada casa deve-se observar o número 
de elementos diferentes que podem ocupá-la. 
• Na formação de um número, a primeira casa 
da esquerda para a direita não pode ser preenchida 
pelo zero. 
• Nas senhas, o dígito inicial pode ser o zero 
(nas placas de automóveis também). 
Exemplos: 
1. Quantos números de 3 algarismos existem no nosso 
Sistema Decimal? 
(100, 101, 102, 103, ....... 998, 999) 
A casa das centenas pode ser preenchida por 9 algaris-
mos diferentes (1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
A casa das dezenas e a casa das unidades podem ser 
preenchidas por 10 algarismos diferentes: 
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
 
 
Para se formar o número de 3 algarismos, temos que 
ter centena e dezena e unidade, portanto devemos 
usar o princípio multiplicativo. 
Quantidade de Números = 9 × 10 × 10 = 900. 
2. Quantas senhas podem ser formadas com 3 dígitos, 
escolhidos entre os algarismos do Sistema Decimal? 
(000, 001, 002, 003, ... 999) 
 
Cada casa pode ser preenchida por 10 elementos dife-
rentes. 
Portanto o número de senhas possíveis são: 
 10 × 10 × 10 = 1000. 
3. Quantas placas de carro podem ser formadas com 3 
letras seguidas de 4 algarismos? 
 
As 3 primeiras casas podem ser preenchidas por 26 le-
tras diferentes. 
As 4 últimas casas podem ser preenchidas por 10 alga-
rismos diferentes 
Dessa maneira, tem-se 
 
 
Total de placas = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 
175.760.000 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte 1) 
1) Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 pe-
ças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a ape-
nas 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode 
fazer? 
2) Se no exercício anterior, Carlos tivesse dinheiro para as-
sistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os pro-
gramas que ele poderia fazer? 
C
9
D
10
U
10
°1
10
°2
10
°3
10
L
26
L
26
L
26
°N
10
°N
10
°N
10
°N
10
Normalmente, não é fácil aprender Análise Combinatória. 
Há diversos tipos de exercícios com ideias e maneiras dife-
rentes de se organizar o raciocínio. Procure sempre enten-
der o que está sendo feito e mais que isso, procure organi-
zar o evento. Imagine-se personagem da situação apresen-
tada e enumere (preferencialmente por escrito) cada etapa 
(cronologicamente) do que se pede na questão. 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Matemática com a JU 
3) Numa confeitaria há 5 sabores de sorvetes e 3 sabores de 
salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para to-
mar um sorvete ou comer um salgado. Quantos são os pos-
síveis pedidos que Maria pode fazer? 
4) Suponha que Lúcia vá à confeitaria com Maria e possa 
tomar um sorvete e comer um salgado. Quantos pedidos di-
ferentes Lúcia pode fazer? 
5) Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos 
de mesas. De quantas maneiras podemos formar um con-
junto de 1 mesa com 4 cadeiras iguais? 
6) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemática 
e 7 livros diferentes de Física e permitiu-me escolher apenas 
um livro. De quantas maneiras diferentes essa escolha pode 
ser feita? 
7) No exercício anterior, quantas escolhas diferentes existi-
riam se eu pudesse escolher um livro de cada matéria? 
8) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma 
classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam 
dados a um mesmo rapaz? 
9) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma 
classe com 10 rapazes, seé permitido que ambos sejam da-
dos a um mesmo rapaz? 
10) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemá-
tica, 7 livros diferentes de Física e 10 livros diferentes de 
Química e pediu-me para escolher 2 livros com a condição 
de que eles não fossem da mesma matéria. De quantas ma-
neiras eu posso escolhê-los? 
11) De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus 
carros numa garagem com 6 vagas? (Considere que o carro 
estacionado de ré é diferente de o carro estacionado de 
frente) 
12) Uma fábrica tem 5 modelos de telefone e utiliza 7 cores 
em todos eles. Quantas opções tem o consumidor? 
13) Um indivíduo possui 3 pares de sapato, 5 pares de 
meias, 4 calças, 5 camisas e 3 paletós. De quantas maneiras 
pode sair à rua vestindo trajes completos? 
14) De quantas maneiras poderia se vestir o indivíduo do 
exercício anterior se fosse facultativo o uso do paletó? 
15) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 
questões de múltipla escolha, com cinco alternativas por 
questão? 
16) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 ca-
deiras em fila? 
17) Em um concurso há três candidatos e cinco examinado-
res, devendo cada examinador votar em um candidato. De 
quantos modos os votos podem ser distribuídos? 
18) Numa sorveteria há 20 sabores diferentes de sorvete. 
Considerando que não se possa misturar sabores, de quan-
tas maneiras 7 amigos podem fazer seus pedidos? 
GABARITO 
1. 5 
2. 6 
3. 8 
4. 15 
5. 100 
6. 12 
7. 35 
8. 90 
9. 100 
10. 155 
11. 120 
12. 35 
13. 900 
14. 1200 
15. 510 
16. 60 
17. 315 
18. 207 
Fatorial 
É uma operação simbolizada pelo ponto de exclama-
ção (!) e que consiste em multiplicar um número natu-
ral pelos seus naturais antecessores até que se chegue 
na unidade. Se n Є Naturais, então 
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 2 × 1. 
Portanto temos: 
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 
1! = 1 
Observação: Por convenção, considera-se 0! = 1 
Propriedade Fundamental dos Fatoriais: 
n! = n × (n - 1)! 
n! = n × (n - 1) × (n - 2)! 
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
Então, 
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720 
Pode-se, então, fazer a sequência: 
0! = 1 
1! = 1 × 0! = 1 × 1 = 1 
2! = 2 × 1! = 2 × 1 = 2 
3! = 3 × 2! = 3 × 2 = 6 
4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24 
5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120 
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720 
7! = 7 × 6! = 7 × 720 = 5040 
 . 
 . 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Matemática com a JU 
AGRUPAMENTOS 
São sequências ou subconjuntos formados a partir dos 
elementos de um conjunto. 
Exemplo: 
Usando o conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}, podemos 
formar os agrupamentos: 
aei, eia, ei, ia, u, aeiou, aia, iiiaaaaaa, ... 
Observe que os agrupamentos podem ser: 
a) Simples 
Quando cada elemento só puder ser usado uma única 
vez. 
Exemplo: aei, ia, u 
b) Com Repetição 
Quando um mesmo elemento puder ser usado mais de 
uma vez. 
Exemplo: aei, iaa, u, iiiaaaa 
Observe que os agrupamentos com repetição englo-
bam os simples. 
c) Ordenados 
Quando os mesmos elementos em ordens diferentes, 
formam agrupamentos diferentes. 
Exemplo: Formação de números: 
123, 132, 231 formam números diferentes. 
d) Não-Ordenados 
Quando a ordem dos elementos não altera o agrupa-
mento. 
Exemplo: Formação de comissões. 
Ana, José e Maria ou José, Maria e Ana formam uma 
mesma comissão, pois não há diferenciação de cargos. 
TIPOS DE AGRUPAMENTOS 
ARRANJOS à Quando a ordem é importante. 
A ordem dos elementos altera o resultado. 
PERMUTAÇÕES à É um tipo de arranjo. 
Permutações simples 
Consistem em tomar todos os n elementos 
distintos de um conjunto e colocá-los em ordens dife-
rentes. 
Total de Permutações → Pn = n! 
Exemplo 1 
Com os algarismos {1,2,3,5,7} quantos números de 5 
algarismos distintos podemos formar? 
12357 
12375 
12537 
Observe que cada número formado é uma permuta-
ção 
12573 dos algarismos do conjunto acima. 
 . 
 . 
75321 Total de números = P5 = 5! = 120 
A importância do fatorial é maior ainda quando o uti-
lizamos como ferramenta. O fatorial nos indica de 
quantas maneiras diferentes elementos podem trocar 
(permutar) de lugar entre si. Por exemplo, 5 elemen-
tos trocam de lugar entre si de 5! maneiras distintas. 
De forma genérica, n elementos trocam de lugar entre 
si de n! maneiras diferentes. 
 
FORMAÇÃO DE FILAS 
Nesse caso não se engane, na formação de filas a or-
dem SEMPRE é importante, independentemente do 
objetivo da fila, sendo assim, trata-se de um problema 
de ARRANJO. 
Exemplo 2 
Uma fila deve ser formada com 7 crianças entre as 
quais estão Maria, Júlia e Paula. De quantas maneiras 
pode-se formar essa fila de modo que as 3 meninas ci-
tadas fiquem juntas? 
Chamemos Maria de M, Júlia de J, Paula de P e as ou-
tras 4 crianças de C1, C2, C3 e C4. Então podemos ter: 
M J P C1 C2 C3 C4 
M P J C1 C2 C3 C4 
C1 M J P C2 C3 C4 
. 
. 
Observe que as 3 meninas podem permutar entre si, 
mas o bloco formado pelas 3 também pode permutar 
com as outras 4. 
Número de filas possíveis = P5 x P3 = 5! x 3! = 120 x 6 = 
720. 
 
 
 
Comentário: Fique atento às questões anteriores e às 
que estão por vir. Preste atenção nas ideias utilizadas 
quando se deseja deixar determinados elementos jun-
tos e ordenados, ou juntos, mas não necessariamente 
ordenados; ou ordenados, mas não necessariamente 
juntos; ou obrigatoriamente separados, etc, etc, etc. 
Apesar de existirem diversas maneiras de se cobrar 
Análise Combinatória e Probabilidades, algumas ideias 
normalmente são de uso bem constante. Ou seja, você 
pode a princípio não identificar do que se trata, mas 
com o treino, você passará a perceber as semelhanças 
e a resolver as questões com mais facilidade. 
. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Matemática com a JU 
Anagrama 
É a permutação (troca de lugar) entre os elementos de 
uma lista ou conjunto. 
Anagramas sem repetição 
Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra MER-
CADO? 
MERCADO, MERDOCA, MARCEDO, CREMADO, OEAM-
RCD, ... 
Total de anagramas = P7 = 7! = 5040 
Podemos colocar algumas restrições, acompanhe 
Dos 5040 anagramas da palavra MERCADO, quantos 
terminam com vogal? 
Observe que, das 7 letras que podem terminar 
cada anagrama, 3 delas são vogais, portanto teremos: 
Número de anagramas que terminam com vo-
gal = 3/7 de 5040 = 2160. 
Ou podemos usar o Princípio Multiplicativo: 
 
A 7° casa pode ser preenchida com uma das 3 vogais. 
A 1° casa pode ser preenchida com uma das duas vo-
gais restantes ou com uma das quatro consoantes, 
portanto 6 letras possíveis. 
A 2° casa pode ser preenchida com uma das 5 letras 
restantes. E assim por diante, até chegar à 6° casa. 
N° de Anagramas = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 = 2160 
 
Permutações com repetição 
Considere um grupo de n elementos em que um dos 
elementos aparece x vezes, outro elemento aparece y 
vezes e outro elemento aparece z vezes. 
Nesse caso o número de Permutações desses n ele-
mentos é dado por: 
 = 
Anagramas com repetição 
Exemplo: 
Quantos anagramas podem ser formados com a pala-
vra BATATA? 
Observe que, se permutarmos apenas a segunda, a 
quarta e a sexta letra a palavra não muda, o que não 
ocorreria se essas letras fossem diferentes. 
BATATA é uma palavra formada por 6 letras, mas a le-
tra A aparece 3 vezes e a letra T aparece 2 vezes. 
N° de Anagramas = = = = 60. 
Permutações circulares 
Consistem em agrupar n elementos formando um Cír-
culo. Observe o exemplo a seguir: 
Se quisermos dispor 5 elementos, A, B, C, D e E em um 
círculo, poderemos ter: 
 
Repare que a princípio parece que são situações dife-
rentes, mas depois de uma breve análise, consegui-
mos perceber que esses 5 agrupamentos são idênti-
cos, pois no caso de uma distribuição circular, o que 
importa é a posição relativa entre os elementos. 
Por exemplo, observe que nos 5 casos o elemento A 
está entre os elementos E e B, que o elemento B está 
entre A e C e assim por diante. 
Se fosse uma permutação em linha a resposta seria 5!, 
mas, como já vimos, um mesmoagrupamento foi con-
tado 5 vezes mais do que deveria ter sido. Sendo as-
sim, para encontrarmos o resultado correto, devemos 
dividir 5! por 5, acompanhe 
5!
5
=
5.4!
5
= 4! 
Se ao invés de 5 elementos fossem 4, cada agrupa-
mento seria contado 4 vezes mais do que deveria e te-
ríamos 
4!
4
=
4.3!
4
= 3! 
De forma genérica, se dispuséssemos n elementos em 
circulo o número de maneiras distintas de esses ele-
mentos trocarem de lugar é dado por 
𝑃𝑐) = (𝑛 − 1)! 
Exemplo: 
De quantas maneiras diferentes podemos formar uma 
roda com 8 crianças? 
Basta fazer: 
𝑃𝑐/ = (8 − 1)! = 7! 
 
Arranjos simples 
São agrupamentos ordenados formados por p ele-
mentos escolhidos entre os n elementos de um con-
junto (p £ n). 
Cada mudança de ordem entre os elementos escolhi-
dos é considerada um Arranjo diferente. 
N° de Arranjos = An,p = 
 
 
xyz
nPR
!z!y!x
!n
××
2,3
6PR
!2x!3
!6
2x6
720
)!pn(
!n
-
 
 
 
6 
 
 
 
Matemática com a JU 
Exemplo: 
Com os elementos {1, 2, 3, 5, 7} quantos números de 
3 algarismos distintos podemos formar? 
Nesse caso, n = 5 e p = 3 
Observe que podem ser formados os números: 
123 125 135 ... 
132 152 153 ... 
213 215 315 ... 
231 251 351 ... 
312 512 513 ... 
321 521 531 ... 
A cada 3 números escolhidos, deve-se permutá-los de 
todas as maneiras diferentes. 
O n° de Arranjos será dado por: A5,3 = = = 
60 números. 
Arranjos com repetição 
São arranjos em que o mesmo elemento pode ser 
usado mais de uma vez. 
A partir de um conjunto de n elementos se quisermos 
formar agrupamentos com p elementos em que po-
dem haver repetições, basta usar a fórmula: 
ARn,p = np 
Exemplo: 
Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7} quantos 
números de 3 algarismos, distintos ou não, podemos 
formar? 
Nesse caso podemos formar os números: 
111, 112, 113, 114, ... , 777. 
Nesse caso a quantidade de números que poderão ser 
formados será dada por: 
AR5,3 = 53 = 125. 
 
COMBINAÇÕES 
 A ordem não é um fator importante. 
Combinações simples 
São agrupamentos não ordenados formados 
por p elementos selecionados entre os n elementos de 
um conjunto. As mudanças de ordem dos elementos 
escolhidos não formam Combinações diferentes. 
N° de Combinações = Cn,p = 
Exemplos: 
1) A partir de um grupo de 10 pessoas, deseja-se esco-
lher 3 delas para se formar uma comissão. De quantas 
maneiras diferentes essa comissão poderá ser for-
mada? 
Nesse caso n = 10 
 p = 3 
 
Como, nas comissões, a ordem dos elementos não é 
importante, deveremos calcular o número de comis-
sões através da Combinação. 
N° de Comissões = C10,3 = = = 
2) Quantos produtos diferentes de 3 fatores distintos 
podemos obter, multiplicando 3 dos elementos do 
conjunto: {1, 2, 3, 5, 7}? 
Como na multiplicação, a ordem dos fatores não altera 
o produto, ao escolher 3 elementos não adianta per-
mutá-los, pois não encontraremos produtos diferen-
tes. 
1 x 2 x 3 = 6 1 x 3 x 2 = 6 2 x 3 x 1 = 6 ..... são 
considerados um só produto 
N° de Combinações = C5,3 = = = 10 pro-
dutos. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte 2) 
 
19) Quantos são os anagramas da palavra MÉDICO OBS. 
Cada anagrama é uma permutação das letras da palavra 
MÉDICO. 
20) Quantos anagramas de duas letras diferentes podemos 
formar com um alfabeto de 23 letras? 
21) Considere os algarismos de 1 a 5. Quantos números com 
algarismos distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000, 
podemos formar se: 
a) O número é par? 
b) O número é ímpar? 
c) O número é par ou ímpar? 
22) Quantos números de 5 algarismos existem no sistema 
de numeração decimal, de modo que haja pelo menos dois 
algarismos repetidos? 
Nota: Normalmente, em situações que apresentam expres-
sões como ao menos, pelo menos, no mínimo, uma idéia útil 
é calcular primeiramente a quantidade de agrupamentos 
sem restrições e subtrair a quantidade de agrupamentos 
não desejados. Por exemplo, na questão anterior, os agru-
pamentos não desejados são aqueles números onde figu-
ram apenas algarismos distintos. 
23) Quantos inteiros entre 1000 e 9999 têm dígitos distintos 
e 
a) são números pares? 
b) consistem inteiramente de dígitos ímpares? 
24) Quantos números de 4 ou 5 algarismos distintos, e mai-
ores que 2000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 
3, 5 e 7? 
)!35(
!5
- 2
120
)!pn(x!p
!n
-
)!310(!3
!10
-× !7!3
!10
× !7123
!78910
×××
×××
)!35(!3
!5
-× !2!3
!5
×
 
 
 
7 
 
 
 
Matemática com a JU 
25) Quantos são os anagramas formados por 2 vogais e 3 
consoantes distintas dentre 18 consoantes e 5 vogais distin-
tas? 
26) Dados 15 objetos distintos quantas são as combinações 
que podem ser feitas com 4 desses objetos, se as combina-
ções: 
a) contêm um determinado objeto? 
b) não contêm o objeto considerado? 
27) Em um congresso há 15 professores de Física e 15 de 
Matemática. Quantas comissões de 8 professores podem 
ser formadas: 
a) sem restrições? 
b) havendo pelo menos um professor de Matemática? 
28) De quantas maneiras diferentes 8 crianças podem se dar 
as mão para formar uma roda? 
29) Se Pedro e Maria são duas das crianças da questão an-
terior, de quantas maneiras aquelas 8 crianças podem for-
mar uma roda de modo que Pedro e Maria fiquem sempre 
de mãos dadas? 
30) Quantos números pares com 9 algarismos podemos for-
mar usando exatamente os dígitos: 1, 1, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 7? 
GABARITO 
19. 720 
20. 506 
21) a) 24 b)36 c)60 
22. 62784 
23) a) 2296 b) 120 
24. 168 
25) C3,5xC7/,8 = 979200. 
26) a)364 b)1001 
27)a) C8<,/ b) C8<,/ 	−	C73,/ 
28. 5040 
29. 1440 
30. 6720 
Dicas Importantes 
1. Sempre que elementos tiverem que ficar JUNTOS, consi-
dere-os como um só; 
2. Sempre que você perceber que descobrir o total de casos 
que você quer, tente descobrir o que não se quer (TOTAL – 
INDESEJÁVEIS) 
3. Sempre que quiser deixar elementos SEPARADOS, deixe-
os juntos e subtraia o resultado obtido do total 
4. Quando houver dúvidas sobre o fato de o agrupamento 
ser ordenado ou não, pense num resultado pronto, troque 
elementos de lugar, se ao fazer isso, o resultado for dife-
rente, é porque a ordem importa, se o resultado não se al-
terar, é porque a ordem não importa 
5. Se está difícil de pensar com os dados do problema, rees-
creva-o com dados de menor valor. Às vezes é mais fácil ra-
ciocinar com números menores. Depois disso, adapte o ra-
ciocínio à questão original; 
6. Deixe as contas por último. Nossa esperança é sempre 
simplificar e, mesmo que isso não ocorra, podemos procu-
rar maneiras mais práticas de efetuá-las. 
7. Quando você perceber que alguma restrição deve ser 
atendida, force para que isso aconteça. Essa é a única ma-
neira de garantirmos que determinada coisa ocorra. 
 
QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 
1) Um baralho comum é composto de 52 cartas, distribuídas 
da seguinte forma: 4 naipes diferentes: copas, ouros, espa-
das e paus, sendo que há 13 cartas de cada naipe: 9 cartas 
numeradas de 2 a 9 e as figuras: A (ás), K (rei), J (valete) e Q 
(dama). De um baralho comum sacam-se sucessivamente e 
sem reposição três cartas. 
a) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas? 
b) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas e a se-
gunda seja um rei? 
c) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas, a se-
gunda seja um rei e a terceira seja uma dama? 
d) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas, a se-
gunda seja um rei e a terceira não seja uma dama? 
2) Temos 5 bolas iguais, 7 petecas iguais e 8 pipas iguais para 
distribuir entre dois meninos. Todos os objetos serão distri-
buídos, mas não há necessidade de que a distribuição seja 
equânime. Quantas são as maneiras de se fazer essa divi-
são? 
3) Qual seriaa resposta da questão anterior se considerás-
semos 5 bolas com cores diferentes, 7 petecas com cores 
diferentes e 8 pipas com cores diferentes? 
4) Temos 5 bolas iguais, 7 petecas iguais e 8 pipas iguais para 
distribuir entre dois meninos. Apenas um tipo de objeto 
será distribuído e não há necessidade de que a distribuição 
seja equânime. Quantas são as maneiras de se fazer essa di-
visão? 
5) Na questão anterior, quantas maneiras de se fazer essa 
distribuição existiriam, se as bolas, petecas e pipas fossem 
de cores diferentes? 
6) Considere todos os números obtidos com as permuta-
ções dos algarismos de 1 a 7. 
a) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 aparecem 
juntos e nessa ordem? 
b) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 aparecem 
juntos? 
c) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 não apa-
recem juntos? 
d) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 aparecem 
em ordem crescente (não necessariamente juntos)? 
e) Em quantos desses números os dígitos 1, 2 e 3 não apa-
recem em ordem crescente? 
7) São dados os pontos A, B, C, D sobre uma reta m e E, F, 
G, H, I sobre uma reta n, distinta de m. Quantos triângulos 
 
 
 
8 
 
 
 
Matemática com a JU 
podem ser formados unindo-se estes pontos em cada uma 
das situações abaixo? 
a) supondo m e n retas paralelas. 
b) supondo m Ç n = {D} 
8) Numa classe existem 8 alunas das quais uma se chama 
Maria e 7 alunos, sendo José o nome de um deles. Formam-
se comissões constituídas de 5 alunas e 4 alunos. Quantas 
são as comissões das quais: 
a) Maria participa? 
b) Maria participa sem José? 
c) José participa? 
d) José participa sem Maria? 
e) Maria e José participam simultaneamente? 
 
9) Numa classe há 7 homens e 5 mulheres. Quantas comis-
sões de 5 pessoas podem ser formadas: 
a) sem restrições? 
b) Se da comissão fazem parte 3 homens e 2 mulheres? 
c) Se da comissão fazem parte pelo menos 1 homem e pelo 
menos 1 mulher? 
10) Quantos são os paralelogramos determinados por um 
conjunto de 6 retas paralelas interceptando um outro con-
junto de 9 retas paralelas? 
11) Quantos triângulos distintos podemos formar dispondo 
de 20 pontos num plano, 8 dos quais são colineares? 
12) Considere a figura abaixo como vários cruzamentos de 
ruas paralelas. Uma pessoa quer sair do ponto A e chegar 
ao ponto B. Suponha que essa pessoa só pode andar para 
cima ou para a direita, jamais poderá descer e nem andar 
para a esquerda. 
 
a) Quantos são os percursos distintos que ela pode fazer, 
partindo de A, para chegar ao ponto desejado? 
b) De quantas maneiras diferentes ela pode sair de A e che-
gar em B, passando por C? 
c) De quantas maneiras diferentes ela pode sair de A e che-
gar em B, sem passar por C? 
 
GABARITO - QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 
1) a) 33150 b) 2550 c) 200 d) 2350 
2) 432 
3) 220 
4) 23 
5) 416 
6) a) 120 b) 720 c) 4320 d) 840 e) 4200 
7) a) 70 b) 60 
8) a) 1225 b) 525 c) 1120 d) 420 e) 700 
9) a) 792 b) 350 c) 770 
10) 540 
11) 1084 
12) a) 792 b) 210 c) 582 
 
 
 
COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO
Questões iniciais (Permutações com elementos repetidos)
 
1) QUANTIDADE DE SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS 
DE UMA EQUAÇÃO LINEAR DE COEFICIENTES UNITÁRIOS 
Exemplo 1: Considere os símbolos W W W W Ñ Ñ F F F. 
Quanta sequências distintas, de 9 símbolos, podemos for-
mar com os 9 símbolos que foram dados? 
Solução: trata-se de determinar a quantidade de permu-
tações de 9 elementos, com quatro repetições de um tipo, 
duas de outro e mais três de outro tipo. Logo, a solução re-
cai em: 
𝑃>
?,5,8 =
9!
4! .2! .3! =
9.8.7.6.5.4!
4! .2.1.3.2.1 = 9.4.7.5 = 1260 
Exemplo 2: 
Observe a equação abaixo: 
 x1 + x2 + x3 + x4 = 9. 
Quantas soluções inteiras e não-negativas essa equação 
possui? Veja que algumas das soluções podem ser exempli-
ficadas por (0, 5, 0, 4); (3, 0, 3, 5). Para saber exatamente 
quantas soluções inteiras e positivas a equação possui pode 
ser usado o seguinte método: 
Utilizaremos 9 bolinhas e 3 tracinhos 
•••••••••½½½ 
Embora não pareça, mas esse tipo de questão recai no caso 
anterior. Basta que imaginemos que são 9 doces a serem 
repartidas entre 4 crianças e desejamos saber de quantos 
modos distintos poderemos fazer tal partilha. Podemos 
transformar essa equação numa representação gráfica 
onde cada um dos doces será representado por uma boli-
nha e usaremos três barras verticais para separar as quanti-
dades correspondentes às 4 crianças, ou seja, as 4 soluções 
da equação. Vejamos algumas das possíveis soluções: 
1) ••½••••½••½• 
Nesse caso, a primeira criança ganharia 2 doces, a segunda 
4 doces, a terceira 2 doces e a última 1 doce. 
Ou seja, 
X1 = 2 
 
 
 
9 
 
 
 
Matemática com a JU 
X2 = 4 
X3 = 2 
X4 = 1 
2) •½•••••½½••• 
Nesse caso, a primeira criança ganharia 1 doce, a segunda 5 
doces, a terceira nenhum doce e a última 3 doces. 
Ou seja, 
X1 = 1 
X2 = 5 
X3 = 0 
X4 = 3 
Nesse caso temos 12 símbolos, sendo 9 bolinhas e 3 traci-
nhos 
Repare que esse tipo de problema recai em algo semelhante 
ao que vimos na primeira questão. Ou seja, isso significa que 
determinar a quantidade de soluções inteiras e não negati-
vas de uma equação desse tipo (linear) é o equivalente a 
resolver uma questão de permutações com elementos re-
petidos. Sendo assim, poderíamos dizer que a reposta do 
problema é dada por 
𝑃75
>,8 =
12!
9! .3! =
12.11.10.9!
9! .3.2.1 = 2.11.10 = 220 
Seria interessante se soubéssemos determinar a quanti-
dade de símbolos sem ter que recorrer à representação grá-
fica. É muito fácil, o numero de bolinhas é sempre igual ao 
numero de objetos a serem repartidos (o resultado da igual-
dade) e o numero de traços é sempre uma unidade a menos 
do que o número de crianças (número de incógnitas) 
2) Combinações Completas ou com repetição 
Imagine a seguinte situação: De quantos modos é possível 
comprar 4 pastéis em uma pastelaria que oferece 6 sabo-
res? 
É comum acharmos que a solução é dada por 𝐶B,? = 15, po-
rém essa resposta não está correta. 
Essa situação só ocorreria se o problema fosse outro. Como, 
por exemplo: De quantos modos podemos escolher 4 sor-
vetes diferentes, em uma loja que os oferece em 6 sabores? 
Essas 15 possibilidades representam as combinações sim-
ples de 6 elementos, tomados 3 a 3. 
Na questão apresentada, a resposta correta seria 𝐶𝑅B,?,	que 
são as combinações completas de 6 elementos, tomados 4 
a 4, ou seja, nesse caso estamos admitindo a possibilidade 
de a pessoa poder escolher sabores repetidos. 
Como calcular? 
O cálculo das combinações completas segue, exatemente, o 
mesmo raciocínio mostrado anteriormente, recaindo, mais 
uma vez, em permutações com elementos repetidos. 
Vamos tentar entender melhor a situação. Suponhamos 
que a pastelaria ofereça os sabores: carne, queijo, pizza, 
frango, presunto e palmito. Se fosse uma combinação sim-
ples alguns dos resultados possíveis seriam 
Carne, queijo, pizza e frango ou 
Carne, queijo, pizza e presunto ou 
Carne, queijo, pizza e palmito ou 
Carne, pizza, frango e presunto ou 
. . . 
Mas, nesse caso é fácil perceber que temos muito mais pos-
sibilidades dos que as 15 simples, pois pode haver repetição 
de sabores, por exemplo, se o cliente quiser, ele poderá 
comprar todos os pastéis de carne, ou todos de queijo, ou 
dois de carne e dois de queijo e por aí vai. Sendo assim, uma 
excelente estratégia é pensar da seguinte forma: 
Sejam (C), o número de pastéis de carne, (Q) o número de 
pastéis de queijo, (F) a quantidade de pastéis de frango, (Pi) 
a quantidade de pastéis de pizza, (Pa) a quantidade de pal-
mito e (Pr) a de presunto que o cliente irá comprar, temos 
que 
𝐶 + 𝑄 + 𝐹 + 𝑃𝑖 + 𝑃𝑎 + 𝑃𝑟 = 6 
Dessa maneira, descobrir o número de formas diferentes de 
fazer tal compra se resume a descobrir o número de solu-
ções inteiras não negativas dessa equação. 
Temos, portanto, 6 variáveis (5 barrinhas) que representam 
a quantidade comprada, de cada um dos sabores ofereci-
dos. Trata-se fielmente do caso mostrado anteriormente,ou seja, em permutações com elementos repetidos. Temos, 
portanto que as combinações completas de 6 elementos, 
tomados 4 a 4, correspondem a 
Lembrete 4 bolinhas e 5 barrinhas à 9 símbolos no total 
 𝐶𝑅B,? = 𝑃𝑅>
3,? = >!
3!.?!
= >./.J.B.3!
3!.?.8.5.7
= 9.2.7 = 126. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
1) Encontrar o número de soluções em inteiros positivos 
maiores do que 2 da equação 
x1 + x2 + x3 = 12. 
Veja que agora, soluções do tipo (1, 3, 8) não são mais váli-
das, pois queremos soluções maiores do que 2. O que que-
remos são soluções do tipo (4, 5, 3); (3, 8, 4), etc. Observe 
que, subtraindo duas unidades de cada uma das duas solu-
ções anteriores, obteremos (2, 3, 1) e (1, 6, 2), que são so-
luções inteiras positivas da equação x1 + x2 + x3 = 6. O que se 
faz, então é associar o número de soluções em inteiros po-
sitivos maiores do que 2 da equação x1 + x2 + x3 = 12 ao nú-
mero de soluções inteiras positivas da equação x1 + x2 + x3 = 
6. Como já vimos, basta fazer as combinações: 
C5,2 = 10 soluções. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (ADENDO) 
1) Calcule o número de soluções inteiras positivas de: 
a) x1 + x2 + x3 + x4 = 8. 
b) x1 + x2 + x3 + ... + x11 = 11. 
c) x1 + x2 + x3 = 20. 
2) De quantas maneiras poderemos distribuir 30 laranjas 
para 4 crianças de modo que cada uma receba pelo menos 
duas laranjas? 
3) Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada 
biblioteca deve receber ao menos dois livros. Calcule o 
 
 
 
10 
 
 
 
Matemática com a JU 
número de modos que esses livros podem ser repartidos 
nessa doação. 
 
4) De quantas maneiras posso distribuir 20 balas entre 3 cri-
anças, de modo que cada uma das crianças receba no mí-
nimo 5 balas? 
 
5) De quantas maneiras é possível distribuir 30 bolas iguais 
entre 4 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo 
menos, 6 bolas? 
 
6) Uma sorveteria oferece 7 sabores de sorvetes. Suponha-
mos que a ordem das bolas não importa. Nos seguintes ca-
sos, de quantos modos diferentes pode uma criança servir-
se com 3 bolas de sorvetes? 
 
a) De todas as formas possíveis. 
b) Não tendo chocolate. 
c) Tendo somente uma bola de chocolate. 
d) Tendo todas as bolas com sabores diferentes 
 
7) Seja a equação x + y + z + t = 10. Quantas são as 
soluções inteiras 
a) não negativas? 
b) positivas? 
 
8) Calcule o número de soluções inteiras não negativas de 
a) x + y + z = 5 
b) x + y + z < 5 
c) x + y + z £ 5 
 
9) Uma sorveteria vende 6 sabores de sorvete. De quantas 
formas podemos comprar uma taça de sorvete com duas 
bolas, considerando que a ordem em que as bolas são posi-
cionadas na taça não é importante? 
 
10) Uma professora tem 3 bolas de gude para distribuir para 
5 meninos (digamos, Alfredo, Bernardo, Carlos, Diogo e 
Eduardo). De quantos modos ela pode fazer essa distri-
buição: 
a) Supondo que ela dê as bolas para 3 alunos distintos? 
b) Supondo que os contemplados possam ganhar mais de 
uma bola? (Por exemplo, Carlos pode receber todas as bo-
las). 
 
11) De quantos modos podem ser pintados 9 objetos iguais 
usando 3 cores diferentes? 
 
12) Uma loja possui duas caixas, cada uma com um grande 
número de bolinhas. Uma caixa tem somente bolinhas azuis 
e a outra tem somente bolinhas verdes, sendo que as boli-
nhas de uma mesma caixa são todas idênticas. Queremos 
comprar 6 bolinhas para montar um saquinho de presentes. 
De quantas maneiras isso pode ser feito, observando-se que 
a ordem em que as bolinhas são colocadas no saquinho é 
irrelevante? 
 
13) Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e 
de coco, e pretende montar saquinhos com 13 balas cada, 
de modo que, em cada saquinho, haja no mínimo três balas 
de hortelã e duas balas de caramelo. Um saquinho diferen-
cia-se do outro pelo número de balas de cada tipo. De quan-
tas maneiras distintas a pessoa pode montar o saquinho? 
14) Uma fábrica de automóveis dispõe de 3 cores para pin-
tar 6 carros idênticos, cada um com uma única cor. De quan-
tos modos isso pode ser feito? 
 
15) Maria quer comprar 6 picolés na padaria. Os sabores dis-
poníveis são chocolate, limão, uva e morango. Maria pode 
escolher todos de um mesmo sabor ou escolher picolés de 
sabores diferentes. Alguns exemplos: 1 picolé de chocolate 
e 5 de limão; 6 picolés de limão; 2 picolés de chocolate, 1 de 
limão, 1 de uva e 2 de morango. O número de maneiras dis-
tintas para esta compra ser feita é 
 
16) Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa 
deseja comprar 3 doces. De quantas formas isso pode ser 
feito? 
 
17) Uma mercearia tem em seu estoque, pacotes de café de 
6 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes 
de café. De quantas maneiras podemos fazê-lo? 
18) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. 
De quantas formas uma pessoa pode comer 5 pastéis? 
Gabarito 
1. a) 35 
b) 1 
c) 171 
2. 2300. 
3. 120 
4. 21 
5. 84 
6.a) 84 b) 56c) 21 e) 35 
7) a) 286 b) 84 
8) a) 21 b) 35 c) 56 
9) 21 
10) a) 10 b) 35 
11) 165 
12) 7 
13) 45 
14)28 
15) 84 
16) 35 
17) 1287 
18) 21 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
Matemática com a JU 
EXERCÍCIOS 
1) (UFPA) Um restaurante oferece no cardápio duas saladas 
distintas, 3 tipos de pratos de carne, duas sobremesas dife-
rentes e 5 variedades de sucos de fruta. Uma pessoa que 
deseja uma salada, um prato de carne, uma sobremesa e 
um suco, de quantas maneiras poderá fazer seu pedido? 
(A) 12. 
(B) 24. 
(C) 30. 
(D) 45. 
(E) 60. 
 
2) (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos 
peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas 
com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um ar-
tesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, 
verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas vari-
ando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), con-
forme a figura. 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a 
casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas co-
res cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor 
nem da casa nem da palmeira, por uma questão de con-
traste, então o número de variações que podem ser obtidas 
para a paisagem é 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
3) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos 
em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 
3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma cas-
quinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode 
conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras 
distintas de se pedir uma casquinha é 
(A) 61. 
(B) 71. 
(C) 86. 
(D) 131. 
 
4) (UFMG) Observe o diagrama. O número de ligações dis-
tintas entre X e Z é: 
(A) 39. 
(B) 41. 
(C) 35. 
(E) 45. 
5) (ENEM) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito 
de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre 
pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube 
que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 
filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, esta-
beleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamen-
tos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e 
um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de 
comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, 
até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que ne-
nhum filme seja repetido. 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente po-
derá ser posta em prática? 
(A) 20 ´ 8! + (3!)2 
(B) 8! ´ 5! ´ 3! 
(C) 
(D) 
(E) 
 
6) (ENEM) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos 
de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha 
que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cô-
modos; um dos personagens esconde um dos objetos em 
um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivi-
nhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em 
qual cômodo da casa o objeto foi escondido. 
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno 
é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sem-
pre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode 
ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver 
correta, ele é declaradovencedor e a brincadeira é encer-
rada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque 
há 
(A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
 
7) Obedecendo ao código de cores da coleta seletiva, o sín-
dico de um edifício de apartamentos resolveu recolher se-
letivamente os resíduos sólidos do prédio, instalando na 
área de serviços quatro recipientes, um de cada cor, nume-
rados de 1 a 4, colocados lado a lado. 
82
!3 !5 !8 ´´
22
!3 !5 !8 ´´
82
!16
 
 
 
12 
 
 
 
Matemática com a JU 
 
O número de maneiras diferentes que o síndico dispõe para 
arrumar esses quatro recipientes, de modo que o Azul seja 
sempre o número 1, é 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 18. 
(E)24. 
 
8) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetição, pode-se 
escrever X números maiores que 2500. 
O valor de X é 
(A) 78. 
(B) 120. 
(C) 162. 
(D) 198. 
(E) 240. 
 
9) A quantidade de números de 3 algarismos que tem pelo 
menos 2 algarismos repetidos é 
(A) 38. 
(B) 252. 
(C) 300. 
(D) 414. 
(E) 454. 
 
10) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 são formados núme-
ros de 4 dígitos distintos. Dentre eles, a quantidade que são 
divisíveis por 5 é 
(A) 20. 
(B) 30. 
(C) 60. 
(D) 120. 
(E) 180. 
 
11) Quantos números de 4 algarismos distintos existem en-
tre 2000 e 5000? 
(A) 5040. 
(B) 1512. 
(C) 2998. 
(D) 1000. 
(E) 3500. 
 
12)(Ju) Um programa de rádio começou uma promoção na 
qual apenas um ouvinte participa ao vivo por dia e concorre 
a um carro 0 km. O desafio é o seguinte: O ouvinte deve 
acertar uma senha formada pelas 8 letras da palavra ES-
QUENTA. A única dica dada pelo programa é que a senha 
começa e termina com a letra E. Quando o ouvinte dá um 
palpite, o computador testa também o seu simétrico, por 
exemplo, se o palpite for ESQUNTAE o computador testa 
também a senha EATNUQSE. Ou seja, com um palpite, cada 
ouvinte tem duas chances. Considerando que a cada dia um 
ouvinte dará um palpite diferente, o tempo máximo, em 
dias, até que a senha seja desvendada é 
(A) 720. 
(B) 360. 
(C) 180. 
(D) 90. 
(E) 45. 
 
13)(ENEM) João mora na cidade A e precisa visitar cinco cli-
entes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada tra-
jeto possível pode ser representado por uma sequência de 
7 letras. 
Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da 
cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, 
voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado 
entre as letras informa o custo do deslocamento entre as 
cidades. 
A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma 
das cidades. 
 
 
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o 
trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Exami-
nando a figura, percebe que precisa considerar somente 
parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA 
têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma 
sequência e descartar sua simétrica, conforme apresen-
tado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas 
as sequências possíveis no problema é de 
(A) 60 min. 
(B) 90 min. 
(C) 120 min. 
(D) 180 min. 
(E) 360 min. 
 
14)(UFV) Quero emplacar meu carro novo atendendo a al-
gumas restrições. A placa do meu automóvel será formada 
por três letras distintas (incluindo K, Y e W), seguidas por 
um número de quatro algarismos divisível por 5, que deverá 
ser formado usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5. O 
número de placas que podem ser formadas atendendo às 
restrições descritas é igual a 
 
 
 
 
13 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) 1.124.800. 
(B) 998.864. 
(C) 998.400. 
(D) 1.124.864. 
(E) 1.054.560. 
 
15)(ENEM) Desde 1999 houve uma significativa mudança 
nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As pla-
cas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres al-
fanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser 
formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros 
caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) 
e os quatro últimos devem ser algarismos (de O a 9). Essa 
mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional uni-
ficado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou 
significativamente a quantidade de combinações possíveis 
de placas. Não são utilizadas placas em que todos os alga-
rismos sejam iguais a zero. 
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser 
utilizadas é igual a 
(A) 268 + 9? 
(B) 268	𝑥	9? 
(C) 268(10? − 1) 
(D) (268 + 10?) − 1 
(E) (268	𝑥	10?) − 1 
 
16)(Ju) As novas placas do Mercosul são inspiradas no sis-
tema integrado adotado já há vários anos pelos países da 
União Europeia. Elas serão aplicadas de maneira padroni-
zada a aproximadamente 110 milhões de veículos de cinco 
países: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai e Venezuela. 
Os números e letras poderão ser dispostos de maneira ale-
atória. Na Argentina, por exemplo, adotou-se um padrão 
"LL NNN LL" (sendo L para letras e N para números), a fim 
de se evitar formação de palavras. No caso do Brasil o pa-
drão inicial será “LLL NL NN” para carros e “LLL NN LN” para 
motos. 
Disponível em: https://carros.uol.com.br/noticias/reda-
cao/2018/03/08/placas-do-mercosul-entenda-o-que-e-item-que-estara-
no-seu-carro-ate-2023.htm 
Acesso em: 08/09/2018 
 
 
O modelo ainda em uso no Brasil usa placas no formato LLL 
NNNN. A razão entre o total de placas que poderão ser pro-
duzidas com o novo sistema para carros e total de placas 
que podem ser produzidas atualmente no Brasil é igual a 
 
(A) 2,6. 
(B) 2,8. 
(C) 3,2. 
(D) 4,8. 
(E) 5,2. 
 
17) (Ju) Placas do Mercosul começam a valer em 1o de se-
tembro no Brasil 
Na primeira etapa, elas serão adotadas em veículos zero 
quilômetro ou quando for feita transferência de município. 
Veículos que já circulam terão até 31 de dezembro de 2023 
para mudar. 
Em vez de 3 letras e 4 números, como é hoje, as novas pla-
cas terão 4 letras e 3 números, e poderão estar embaralha-
dos, assim como na Europa; 
 
Disponível em: https://g1.globo.com/carros/noticia/placas-de-veiculos-
 no-padrao-mer- 
cosul-comecam-a-valer-em-1-de-setembro-de-2018.ghtml 
Acesso em 04/11/2018 
Como as letras e números podem estar embaralhadas, cada 
país escolherá qual sequência de símbolos será utilizada. 
Por 
exemplo, o Brasil usará, para carros, a sequência LLL NLNN, 
a Argentina, escolheu LL NNN LL, mas há outras possibilida-
des. 
Usando 4 letras e 3 números, a quantidade de modelos di-
ferentes que podem ser formados é igual a 
 
(A) 5. 
(B) 35. 
(C) 210. 
(D) 350. 
(E) 2100. 
 
18) (ENEM) O código de endereçamento postal (CEP) é um 
código numérico constituído por oito algarismos. 
Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o tra-
tamento e a distribuição de objetos postados nos correios. 
Ele está estruturado segundo o sistema métrico decimal , 
sendo que cada um dos algarismos que o compõe codifica 
região, sub-região, setor, subsetor , divisor de subsetor e 
identificadores de distribuição, conforme apresenta 
a ilustração. 
 
O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para 
fins de codificação. Cada região foi dividida em dez sub-re-
giões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez se-
tores. Cada setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada 
subsetor foi dividido em dez divisores de subsetor. 
 
 
 
14 
 
 
 
Matemática com a JU 
Além disso sabe-se que os três últimos algarismos após o 
hífen são denominados de sufixos e destinam-se à identifi-
cação individual de localidade, logradouros, códigos especi-
ais e unidades dos correios. 
A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros 
brasileiros inicia em 000 e termina em 899. 
Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de lo-
gradouros no Brasil? 
 
(A) 5 x 0 + 9 x 102 
(B) 105 + 9 x 102 
(C) 2 x 9 + 107(D) 9 x 102 
(E) 9 x 107 
 
19) (ENEM) Uma empresa construirá sua página na internet 
e espera atrair um público de aproximadamente um milhão 
de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma 
senha com formato a ser definido pela empresa. Existem 
cinco opções de formato oferecidas pelo programador, des-
critas no quadro, em que “L” e “D” representam, respecti-
vamente, letra maiúscula e dígito. 
 
 
 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os 
dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer 
das opções. 
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo nú-
mero de senhas distintas possíveis seja superior ao número 
esperado de clientes, mas que esse número não seja supe-
rior ao dobro do número esperado de clientes. 
A opção que mais se adequa às condições da empresa é 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) IV. 
(E) V. 
 
20)(CEFET) A senha de um banco é constituída de 4 algaris-
mos escolhidos entre os 10 de 0 a 9, seguidos de 3 letras 
dentre as 26 do alfabeto. Um cliente, ao determinar sua se-
nha, decidiu que a parte numérica começaria por algarismo 
par e terminaria por algarismo ímpar, e que a parte literal 
teria início e término com vogal. O número de possibilida-
des que esse cliente poderia criar sua senha é de 
(A) 1 575 000. 
(B) 1 625 000. 
(C) 1 715 000. 
(D) 1 795 000. 
(E) 1 835 000. 
 
21)(UFOP) O número de gabaritos possíveis para uma prova 
com 10 questões, com quatro alternativas por questão e 
apenas uma alternativa correta é: 
(A) 40. 
(B) 410. 
(B) 44. 
(D) 10. 
 
22)(UFOP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, formam-se todos 
os números de três algarismos distintos possíveis. Dentre 
estes, o número de múltiplos de três é: 
(A) 24. 
(B) 12. 
(C) 6. 
(D) 0. 
 
23)(UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. 
Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão 
exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, 
eles decidem que três desses filmes, que são de ficção cien-
tífica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, 
o número de maneiras DIFERENTES de se fazer a programa-
ção dessa semana é 
(A) 144. 
(B) 576. 
(C) 720. 
(D) 1040. 
 
24) (UFU) A prova de um concurso é composta somente de 
10 questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B, C 
e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não 
aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, 
quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer? 
 (A) 410. 
(B) 210. 
(C) 29. 
(D) 10 × 29. 
 
25) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde 
Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últi-
mos algarismos. 
Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Teodoro 
lembrou que o número do telefone da linda garota era um 
número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos 
repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combi-
nações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma 
possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu tele-
fone celular. 
Até então, Teodoro havia feito 
(A) 23 ligações. 
 
 
 
15 
 
 
 
Matemática com a JU 
(B) 59 ligações. 
(C) 39 ligações. 
(D) 35 ligações. 
(E) 29 ligações. 
 
26)(CEFET) De um pequeno aeroporto saem 7 voos por dia, 
com diferentes destinos, sendo 3 pela manhã e 4 à tarde. 
Por motivos técnicos, dois desses sete voos só podem sair à 
tarde. O número de ordens possíveis para as decolagens é 
igual a 
(A) 240. 
(B) 480. 
(C) 720. 
(D) 1440. 
(E) 2400. 
 
27)(UFMG) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão 
ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas 
possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cin-
quenta cadeiras, para ocupá-las, é 
(A) 1225. 
(B) 2450. 
(C) 250. 
(D) 49!. 
(E) 50!. 
 
 28)(UFSM) Para efetuar suas compras, o usuário que neces-
sita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve realizar duas 
operações: digitar uma senha composta por 6 algarismos 
distintos 
e outra composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto de 
26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha, mas lembra que 
8, 6 e 4 fazem parte dos três primeiros algarismos e que as 
letras são todas vogais distintas, sendo E a primeira delas, o 
número máximo de tentativas necessárias para acessar sua 
conta será 
(A) 210 
(B) 230. 
(C) 2520. 
(D) 3360. 
(E) 15120. 
 
29)(UERJ) Numa cidade, os números telefônicos não po-
dem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os 
quatro primeiros constituem o prefixo. 
Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmá-
cias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é for-
mado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessa-
riamente nesta ordem. 
O número máximo de tentativas a serem feitas para identi-
ficar o número telefônico completo 
dessa farmácia equivale a 
(A) 6 
(B) 24 
(C) 64 
(D) 168 
 
30) (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco 
vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas 
e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila 
com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam 
camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham 
a sequência de cores dada pelas três primeiras. 
Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer 
tal fila? 
(A) 3(5!)3. 
(B) (5!)3. 
(C) (5!)3(3!). 
(D) 15!/(3!5!). 
 
31) Sete pessoas, entre elas João, Maria e Júlia, vão ao ci-
nema. Existem sete lugares vagos, alinhados e consecutivos. 
O número de maneiras distintas como as sete podem sen-
tar-se sem que João, Maria e Júlia fiquem juntos é 
(A) 5040. 
(B) 4320. 
(C) 4800. 
(D) 2400. 
(E) 1200 
 
32)(ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem for-
mar uma fila para comprar as entradas para um jogo de fu-
tebol. O número de diferentes formas que esta fila de ami-
gos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem 
sempre juntos é igual a 
(A) 2! 8! 
(B) 0! 18! 
(C) 2! 9! 
(D) 1! 9! 
(E) 1! 8! 
 
33) (Ju) A figura a seguir mostra o interior de um carro de 
luxo com seis lugares, sendo 3 blocos de 2 lugares cada, ob-
serve 
 
Esse automóvel foi alugado por uma família com seis pes-
soas para uma viagem pelo litoral cearense. Nessa família, 
três pessoas têm habilitação e uma é uma criança com oito 
anos de idade. Pelo Código Nacional de Trânsito Brasileiro, 
crianças menores de 10 anos não podem sentar-se no banco 
ao lado do motorista. Considerando essas informações, de 
 
 
 
16 
 
 
 
Matemática com a JU 
quantas maneiras diferentes essa família pode se organizar 
para iniciar a viagem? 
(A) 720. 
(B) 360. 
(C) 288. 
(D) 240. 
(E) 120. 
 
34)(FUVEST) Um lotação possui três bancos para passagei-
ros, cada um com três lugares, e deve transportar os três 
membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais 
quatro pessoas. Além disso, 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. 
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor 
os nove passageiros no lotação é igual a 
(A) 928. 
(B) 1152. 
(C) 1828. 
(D) 2412. 
(E) 3456. 
 
35) (Upe) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante ti-
picamente oriental solicita aos seus clientes que retirem 
seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa 
noite, 6 pares de 
sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dis-
postos na entrada do restaurante, em duas fileiras com qua-
tro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados 
forem organizados nessas fileiras de tal forma que as san-
dálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de 
quantas formas diferentes podem-se organizar esses calça-
dos nas duas fileiras? 
(A) 6! 
(B) 2.6! 
(C) 4.6! 
(D) 6.6! 
(E) 8! 
 
36)(ENEM) Uma família composta por sete pessoas adultas, 
após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de 
uma empresa aérea e constatou que o voo para a data es-
colhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo 
site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as úni-
cas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
Disponível em:www.gebh.net. 
Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado). 
O número de formas distintas de se acomodar a família 
nesse voo é calculado por 
 
(A) 
(B) 
(C) 7! 
(D) 
(E) 
 
37) (UECE) Seja P o conjunto cujos elementos são os núme-
ros inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as per-
mutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se dispormos os ele-
mentos de P em ordem crescente, o número de ordem de 
43928, é 
(A) 58. 
(B) 57. 
(C) 59. 
(D) 60. 
 
38) (FGV) Colocando em ordem os números resultantes das 
permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocu-
pará o número 35241? 
(A) 55ª. 
(B) 70ª. 
(C) 56ª. 
(D) 69ª. 
(E) 72ª. 
 
39)(ENEM) O setor de recursos humanos de uma empresa 
vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga 
de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada 
candidato um número, colocar a lista de números em or-
dem numérica crescente e usá-la para convocar os interes-
sados. Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum 
deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de 
chamada do candidato que tiver recebido o número 75913 
é 
(A) 24. 
(B) 31. 
(C) 32. 
(D) 88. 
(E) 89. 
 
 
 
 
!2
!9
!2 !7
!9
´
!4
!2
!5
´
!3
!4
!4
!5
´
 
 
 
17 
 
 
 
Matemática com a JU 
40) (ENEM) A bandeira de um estado é formada por cinco 
faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura. 
 
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul 
ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam 
pintadas com a mesma cor. 
O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar 
essa bandeira, com a exigência acima, é 
A) 1 X 2 X 1 X 1 X 2. 
B) 3 X 2 X 1 X 1 X 2. 
C) 3 X 2 X 1 X 1 X 3. 
D) 3 X 2 X 1 X 2 X 2. 
E) 3 X 2 X 2 X 2 X 2. 
 
41) (ENEM) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai 
fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente 
com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina 
pinte somente os círculos, de modo que aqueles que este-
jam ligados por um segmento tenham cores diferentes. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que 
o pai pediu? 
(A) 6 
(B) 12 
(C) 18 
(D) 24 
(E) 72 
 
42) (Ju) Mateus, um grafiteiro em começo de carreira, de-
seja pintar a região mostrada a seguir e, para isso, dispõe de 
apenas 3 cores diferentes. Para que o desenho fique colo-
rido e alegre, características presentes nesse tipo de arte, 
ele decidiu executar a tarefa de modo que faixas consecuti-
vas tenham cores diferentes. 
 
 
 
Intrigado com as possibilidades, Mateus fez os cálculos e 
descobriu que poderia pintar essa área de n maneiras dis-
tintas. O valor de n é 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 24. 
(D) 96. 
(E) 108. 
 
43) (ENEM) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 
criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e 
o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem for-
mando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador re-
solvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, 
amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma 
que regiões vizinhas tenham cores diferentes. 
 
Disponível em: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 
(adaptado). 
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da 
Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? 
(A) 15 
(B) 30 
(C) 108 
(D) 360 
(E) 972 
 
44)(ENEM) Um banco solicitou aos seus clientes a criação 
de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por 
algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela Inter-
net. 
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança ele-
trônica recomendou à direção do banco recadastrar seus 
usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma 
nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 
letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo 
sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de 
sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de ou-
tros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas 
é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do 
novo número de possibilidades de senhas em relação ao an-
tigo. 
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 
 
 
 
18 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 62! – 10! 
(E) 626 – 106 
 
45)(ENEM) Considere que um professor de arqueologia te-
nha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no 
Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos 
museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a 
seguir. 
 
 
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras 
diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para 
visitar? 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
46) (UEL) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grê-
mio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alu-
nos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser 
formada para a organização dos festejos. Quantas comis-
sões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno se-
jam membros? 
(A) 2600. 
(B) 9828. 
(C) 9288. 
(D) 3276. 
(E) 28. 
 
47) (UFMG) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se 
formar uma comissão constituída de quatro integrantes. 
Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, 
não se relacionam um com o outro. 
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, 
juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. 
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode 
formar essa comissão? 
(A) 70. 
(B) 35. 
(C) 45. 
(D) 55. 
 
48) (UNICAMP-SP) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada 
é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do 
grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 
moças para a organização das olimpíadas do colégio. De 
quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? 
 (A) 6720. 
(B) 100800. 
(C) 806400. 
(D) 1120. 
 
49)(ESAF) Uma turma de 20 formandos é formada por 10 
rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma co-
missão de formatura composta por 5 formandos. 
O número de diferentes comissões que podem ser forma-
das, de modo que em cada comissão deve haver 3 rapazes 
e 2 moças, é igual a 
(A) 2500. 
(B) 5400. 
(C) 5200. 
(D) 5000. 
(E) 5440. 
 
50)(CEFET) Um professor quer formar comissões de quatro 
alunos numa classe constituída de 10 rapazes e 7 moças. O 
número de comissões nas quais participará somente uma 
moça é 
(A) 70. 
(B) 140. 
(C) 560. 
(D) 840. 
(E) 1020. 
 
51)(CESGRANRIO) A senha de certo cadeado é composta 
por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os 
dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; so-
mando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que 
siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n 
tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a 
(A) 9. 
(B) 15. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 30. 
 
52)(UFOP 2001) Numa assembleia, de que participam 5 ma-
temáticos e 5 físicos, são constituídas comissões formadas 
por três membros, incluindo, no mínimo, um matemático. 
Podemos afirmar que o número de comissões que podem 
ser formadas é 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 50. 
(D) 100. 
(E) 110 
6
6
10
62
!10
!62
!56!10
!4!62
 
 
 
19 
 
 
 
Matemática com a JU 
 
53)(UFOP) Numa sala de aula com 15 alunos, 10 são rapazes 
e 5 são moças. Dentre esses alunos, existe um único casal 
de namorados. Serão formados grupos de 6 rapazes e 3 mo-
ças. O número de grupos que podem ser formados com a 
presença desse casal de namorados é: 
(A) 336. 
(B) 504. 
(C) 756. 
(D) 1596. 
 
54)(UCS-RS) Um professor apresenta 10 questões, das quais 
os seus alunos poderão escolher 8 para serem respondidas. 
De quantas maneiras diferentes um aluno pode escolher as 
8 questões? 
(A) 90. 
(B) 80. 
(C) 45. 
(D) 40. 
(E) 8. 
 
55)(UFV) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 
3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrien-
tes para obter um composto químico. O número de com-postos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 
2 tipos de sais minerais é: 
(A) 26. 
(B) 30. 
(C) 28. 
(D) 32. 
(E) 34. 
 
56)(ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática com-
posta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só 
precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de 
quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as ques-
tões? 
(A) 2800. 
(B) 3003. 
(C) 2980. 
(D) 3006. 
(E) 3005. 
 
57) (UFV) Uma equipe de futebol de salão de 5 membros é 
formada escolhendo-se os jogadores de um grupo V, com 7 
jogadores, e de um grupo W, com 6 jogadores. O número 
de equipes diferentes que é possível formar de modo que 
entre seus membros haja, no mínimo, um jogador do grupo 
W é 
(A) 1266. 
(B) 1356. 
(C) 1246. 
(D) 1376. 
 
58)(CEFET) Um técnico de futebol de salão dispõe de 7 jo-
gadores de linha e 2 goleiros, para formar um time com-
posto por um goleiro e quatro jogadores. O número de ma-
neiras diferentes que esse técnico pode escalar seu time é 
(A) 63. 
(B) 70. 
(C) 126. 
(D) 840. 
(E) 1680. 
 
59)(UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações. Para 
cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, 
uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectiva-
mente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 
80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se 
marcar a folha de respostas é 
(A) 455. 
(B) 576. 
(C) 560. 
(D) 620. 
 
60)(UFAL) Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve 
ser escolhida em uma turma com vinte estudantes, para 
participar de uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe 
pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpíada 
no ano anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudan-
tes, deve fazer parte da equipe? 
(A) 3.872. 
(B) 3.874. 
(C) 3.876. 
(D) 3.878. 
(E) 3.880. 
 
61)(UNEMAT) No campeonato de xadrez deste ano houve 
30 inscritos. Na primeira fase do campeonato, quaisquer 
dois jogadores jogam entre si uma única vez. O número de 
jogos na primeira fase é 
(A) 435. 
(B) 465. 
(C) 430. 
(D) 455. 
(E) 445. 
 
62)(ENEM) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo 
a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adver-
sário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são 
canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja rea-
lizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, 
porém, não poderão ser ambos canhotos. 
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas 
para a partida de exibição? 
 
 
 
 
20 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A)
10!
2! 𝑥8! −
4!
2! 𝑥2! 
 
(B)
10!
8! −
4!
2! 
 
(C)
10!
2! 𝑥8! − 2 
(D)
6!
4! + 4𝑥4 
 
(E)
6!
4! − 6𝑥4 
 
63) (ENEM) Torneios de tênis, em geral, são disputados em 
sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são dispu-
tadas partidas entre dois competidores, com a eliminação 
do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. 
Dessa forma, se na 1a fase o torneio conta com 2n competi-
dores, então na 2 a fase restarão n competidores, e assim 
sucessivamente até a partida final. 
 
Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, partici-
pam 128 tenistas. 
Para se definir o campeão desse torneio, o número de par-
tidas necessárias é dado por 
(A) 2 x 128 
(B) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 
(C) 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 
(D) 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 
(E) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 
 
64)(ENEM) O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento 
no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais re-
centes de veículos, mostrando, principalmente, suas inova-
ções em design e tecnologia. 
Disponível em: http://gl.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado). 
Uma montadora pretende participar desse evento com dois 
estandes, um na entrada e outro na região central do salão, 
expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma ca-
minhonete. 
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela mon-
tadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e 
seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhi-
dos aqueles que serão expostos. A posição dos carros den-
tro de cada estande é irrelevante. Uma expressão que for-
nece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes 
podem ser compostos é 
 
(A) A7<? 
(B) C7<? 
(C) C?5𝑥CB5𝑥2x2 
(D) A?5𝑥AB5𝑥2x2 
(E) C?5𝑥CB5 
 
65)(ENEM) Como não são adeptos da prática de esportes, 
um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol 
utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga 
uma única vez com cada um dos outros jogadores. O cam-
peão será aquele que conseguir o maior número de pontos. 
Observaram que o número de partidas jogadas depende do 
número de jogadores, como mostra o quadro: 
 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão 
realizadas? 
(A) 64 
(B) 56 
(C) 49 
(D) 36 
(E) 28 
 
66) (UNIFOR-CE) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 
vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo mas-
culino, 13 dos candidatos são fumantes e 7 são as mulheres 
que não fumam. De quantos modos podem ser seleciona-
dos 2 homens e 2 mulheres entre os não fumantes? 
(A) 900. 
(B) 945. 
(C) 990. 
(D) 1035. 
(E) 1080 
 
67) (MACK-SP) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais so-
mente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 
jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo 
menos um advogado é 
(A) 70. 
(B) 74. 
(C) 120. 
(D) 47. 
(E) 140. 
 
68)(PUC-RS) Uma companhia de teatro lírico é formada por 
cinco sopranos e seis tenores. Para uma das cenas de uma 
ópera, o diretor precisa de cinco cantores, sendo três sopra-
nos e dois tenores. Então, o número de possibilidades para 
a escolha dos participantes desta cena é 
(A) 150. 
(B) 462. 
(C) 1800. 
(D) 7200. 
(E) 55440. 
 
 
 
 
21 
 
 
 
Matemática com a JU 
69)(UDESC-SC) As frutas são alimentos que não podem fal-
tar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela ener-
gia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que 
lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas 
diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, 
caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga ri-
gorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três fru-
tas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela 
pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de 
frutas recomendadas, de 
(A) 57 maneiras. 
(B) 50 maneiras. 
(C) 56 maneiras. 
(D) 77 maneiras. 
(E) 98 maneiras. 
 
70)(UFOP) Dentre quatro números reais positivos distintos 
e quatro números reais negativos distintos, o número de 
modos diferentes de se escolherem dois deles de tal modo 
que seu produto seja negativo é 
(A) 24. 
(B) 16. 
(C) 12. 
(D) 6. 
 
71)(UFJF) De quantas maneiras podemos escolher três nú-
meros naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de 
modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar? 
 
(A) 100. 
(B) 360. 
(C) 570. 
(D) 720. 
(E) 1140. 
 
72)(CEFET - modificada) Num plano, existem vinte pontos 
dos quais três nunca são colineares, exceto seis que estão 
sobre uma mesma reta. O número de retas determinado pe-
los vinte pontos é 
(A) 175. 
(B) 176. 
(C) 185. 
(D) 205. 
(E) 212. 
 
73)(CEFET) Para se compor uma diretoria são necessários 6 
membros, sendo um presidente e um vice-presidente. Sa-
bendo-se que 9 pessoas se candidataram aos cargos, o nú-
mero de maneiras distintas que se pode formar essa direto-
ria é 
(A) 84. 
(B) 504. 
(C) 1008. 
(D) 2520. 
(E) 5040. 
 
74)Sete moradores se dispuseram a participar do corpo ad-
ministrativo de um condomínio. Tal grupo, de acordo com o 
regimento interno, deve ser formado por um síndico, um 
subsíndico, um tesoureiro e dois auditores. 
De quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo? 
(A) 2520. 
(B) 1260. 
(C) 630. 
(D) 315. 
(E) 21. 
 
75)(UFMG) A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se for-
mar uma comissão de oito integrantes, composta de um 
presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesou-
reiro e quatro conselheiros. 
Nessa situação,de quantas maneiras distintas se pode com-
por essa comissão? 
 
(A) 14!/(4! . 6!) 
(B) 14!/[(4!)2] 
(C) 14!/(6! . 8!) 
(D) 14!/(4! . 10!) 
 
76)(Ju) Mariana e João são professores universitários e es-
tão concorrendo a uma vaga no conselho administrativo da 
faculdade na qual lecionam que será composto por um pre-
sidente, um vice-presidente e um conselheiro. Porém eles 
sabem que esses cargos demandam muito tempo e, apesar 
de quererem participar do conselho, eles não querem par-
ticipar juntos para que as responsabilidades do cargo não 
acabem sobrecarregando o casal. Considerando que, no to-
tal, 6 professores se candidataram aos cargos do conselho, 
o número de maneiras distintas, que conselho pode ser for-
mado de forma que apenas um dos dois estejam entre os 
escolhidos é 
(A) 120. 
(B) 96. 
(C) 72. 
(D) 48. 
(E) 24. 
 
77) (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de 
futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido 
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, 
foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do 
torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade to-
tal de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total 
de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calcu-
ladas através de

 
 
 
 
 
22 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
(B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
(C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
 
(D) duas combinações.
 
(E) dois arranjos. 
 
78) (CEFET-MG) O dono de um sítio tem 6 vacas e alguns 
porcos. Ao agrupar seus animais em grupos de 3 vacas e 2 
porcos, observou que havia 720 maneiras diferentes de 
fazê-lo. O número de porcos no sítio é igual a 
 (A) 5. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
79)(UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. 
Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando 
cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se 
pode fazer tal distribuição? 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
 
80)(FGV) Cinco estudantes param para pernoitar em um ho-
tel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com 
duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles po-
dem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e ou-
tro com três, para se hospedar no hotel? 
(A) 80. 
(B) 40. 
(C) 20. 
(D) 10. 
(E) 5. 
 
81) (Ju) A comissão de formatura das 4 turmas de terceiro 
ano de um colégio fará uma festa para arrecadar fundos 
para o baile de formatura. A comissão é formada por 14 alu-
nos e que serão divididos em 4 grupos. Cada grupo deverá 
visitar uma escola para divulgar a festa e, dessa maneira, 
conseguir vender mais ingressos. Ficou decidido que 3 alu-
nos visitarão a escola Cora Coralina, 2 alunos irão até a es-
cola Anita Garibaldi, 4 alunos divulgarão a festa na escola 
Frida Kahlo e 5 alunos irão até a escola Tarsila do Amaral. 
O número de maneiras distintas de distribuir os integrantes 
da comissão nos 4 grupos para realizarem a divulgação é 
(A)
14!
3! .2! .4! .5! 
(B)
14!
4! .5! .6! 
(C)
14!
(4!)? 
(D)
14!
4! .10! 
(E)
10!
4! .5! 
 
82)(IME) Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas ir-
mãos, deverá formar três equipes, com respectivamente 
dois, três e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos 
não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes 
que podem ser organizadas é: 
(A) 288 
(B) 455 
(C) 480 
(D) 910 
(E) 960 
 
83)O designer português Miguel Neiva criou um sistema de 
símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem 
cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que 
identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho), 
além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite 
identificar cores secundárias (como o verde, que é o ama-
relo combinado com o azul). O preto e o branco são identi-
ficados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é 
cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os sím-
bolos que representam preto e branco também podem ser 
associados aos símbolos que identificam cores, significando 
se estas são claras ou escuras. 
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. 
Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado) 
De acordo com o texto, quantas cores podem ser represen-
tadas pelo sistema proposto? 
(A) 14 
(B) 18 
(C) 20 
(D) 21 
(E) 23 
 
84)(UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de se-
gunda a sexta-feira, estas cinco atividades: 
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; 
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; 
c) passeia com o cachorro da família; 
d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; 
e) rega as plantas do jardim de sua casa. 
 
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na 
mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las 
em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de 
)!4()!7(
!28
)!24()!4(
!28
4)!7(
!28
)!21()!7(
!28
 
 
 
23 
 
 
 
Matemática com a JU 
maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades, EM 
ORDEM DIFERENTE, é 
(A) 24. 
(B) 60. 
(C) 72. 
(D) 120. 
 
85) (UFSC) Quantos anagramas da palavra PALCO podemos 
formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre jun-
tas? 
(A) 48. 
(B) 24. 
(C) 96. 
(D) 120. 
(E) 36. 
 
86)(PUC-SP) O número de anagramas da palavra ALUNO 
que tem as vogais em ordem alfabética é 
(A) 20. 
(B) 30. 
(C) 60. 
(D) 80. 
(E) 100. 
 
87)(UFPB) A prefeitura de certo município solicitou ao Go-
verno Federal uma verba para a execução das seguintes 
obras: 
• saneamento básico; 
• calçamento de ruas; 
• construção de uma escola; 
• construção de uma creche; 
• construção de casas populares. 
O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, 
na condição de que fosse estabelecida uma ordem na exe-
cução das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba 
para a primeira obra, a verba para a segunda só ser 
ia liberada após a conclusão da primeira, e assim sucessiva-
mente até a execução da última obra. Nesse contexto, con-
sidere o planejamento feito pela prefeitura: 
• a primeira obra escolhida foi a construção das casas popu-
lares; 
• o calçamento das ruas só poderá ser executado com o sa-
neamento básico concluído. 
Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Fede-
ral e ao planejamento da prefeitura, é correto afirmar que 
o número de maneiras possíveis e distintas para a realização 
dessas 5 
obras é 
(A) 8. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
 
88)(ENEM) Como não são adeptos da prática de esportes, 
um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol 
utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga 
uma única vez com cada um dos outros jogadores. O cam-
peão será aquele que conseguir o maior número de pontos. 
Observaram que o número de partidas jogadas depende do 
número de jogadores, como mostra o quadro: 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão 
realizadas? 
(A) 64 
(B) 56 
(C) 49 
(D) 36 
(E) 28 
 
89) (Ju) Frederico acabou de completar 18 anos e seus pais 
o levaram ao banco para que ele pudesse abrir sua primeira 
conta corrente. Depois de apresentar toda a documenta-
ção, o 
gerente pediu que o jovem criasse uma senha composta por 
4 dígitos escolhidos entre 0 e 9 e 2 letras do nosso alfabeto, 
salientou que números e letras podem estar misturados da 
forma que ele quiser escolher e que o sistema só aceita le-
tras minúsculas. Sabendo disso, o número de maneiras dis-
tintas de Frederico escolher uma senha para a sua conta é 
 
(A)10?. 265 
(B)10?. 525 
(C)
8!
4! .2! 10
?. 525 
(D)
8!
4! .2! 10
?. 265 
(E)
6!
4! .2! 10
?. 265 
 
90) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa esco-
lher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As le-
tras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa 
pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis le-
tras e que uma letra maiúscula difereda minúscula em uma 
senha. 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento 
nesse site é dado por 
(A)	105. 265 
(B)	105. 525 
(C)	105. 525.
4!
2! 
(D)	105. 265.
4!
2! .2! 
 
 
 
24 
 
 
 
Matemática com a JU 
(E)105. 525.
4!
2! .2! 
 
91)(CEFET) Dadas seis cores diferentes, pinta-se um disco 
que é dividido em seis setores, cada um com uma cor. O nú-
mero de formas como essa pintura pode ser feita para se 
obter resultados diferentes é 
(A) 36. 
(B) 60. 
(C) 120. 
(D) 360. 
(E) 720. 
 
92) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe 
e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar 
uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes es-
sas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo 
que o pai e a mãe fiquem juntos? 
(A) 12. 
(B) 24. 
(C) 48. 
(D) 96. 
(E) 108. 
 
93) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-
se as mãos. O número de maneiras diferentes que eles po-
derão formar a roda de modo que os dois meninos não fi-
quem juntos é 
(A) 6. 
(B) 12. 
(C) 18. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
94) (Ju) A figura a seguir representa um bairro planejado 
que é formado por 30 quarteirões. André e Bernardo, são 
amigos, colegas de faculdade e moram no mesmo bairro. 
Para economizar combustível, eles alternam o uso do carro, 
um dia André oferece carona para Bernardo e, no dia se-
guinte, é Bernardo quem vai de carro e oferece a carona 
para o amigo. Hoje é a vez de André apanhar Bernardo, para 
isso, ele parte do ponto A (esquina da sua residência) e vai 
até o ponto B (em frente à casa de Bernardo). Se André se 
desloca sempre para a direita e para cima, o número de tra-
jetos distintos que ele pode fazer para chegar até o ponto B 
é 
 
 
(A) 30. 
(B) 35. 
(C) 40. 
(D) 45. 
(E) 50. 
 
95) Uma dona de casa deseja comprar 8 refrigerantes para 
uma festinha. Ela pode escolher entre Coca-Cola, Guaraná e 
Fanta. Ela pode comprar os 8 refrigerantes da maneira que 
quiser, tudo coca, tudo guaraná, tudo Fanta. Pode, por 
exemplo, comprar 3 Cocas, 4 Guaranás e 1 Fanta. O número 
de maneiras diferentes que essa dona de casa pode fazer 
essa compra é 
(A) 45. 
(B) 48. 
(C) 56. 
(D) 64. 
(E) 70. 
 
96) (ENEM) A mãe de Samuel pediu ao garoto que ele fosse 
à pastelaria do bairro para comprar 10 pastéis. A recomen-
dação da dona de casa é que Samuel compre dois, e apenas 
dois, pastéis de palmito e que os demais ele poderia esco-
lher entre as opções disponíveis no estabelecimento. Ao 
chegar, Samuel foi alertado pelo atendente que há 5 sabo-
res disponíveis: Carne, Queijo, Frango, Pizza e Palmito. 
Atendendo às recomendações de sua mãe, o número de 
maneiras distintas de Samuel escolher como fazer seu pe-
dido é calculada por 
 
(A) 𝐶7?,?. 
(B) 𝐶77,8. 
(C) 𝐶75,?. 
(D) 4/. 
(E) 5/. 
 
97) (ENEM) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é for-
mado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, 
conforme a Figura. 
 
 
No setor de produção da empresa que fabrica esse brin-
quedo, é feita a pintura de todos os carinhos para que o as-
pecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as 
cores: amarelo, branco, laranja e verde, e cada carinho é 
pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem 
uma cor fixa. 
A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha 
deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das qua-
tro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no 
 
 
 
25 
 
 
 
Matemática com a JU 
caminhão-cegonha não gera um novo modelo brinquedo. 
Com base nessas informações, quantos são os modelos dis-
tintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa 
poderá produzir? 
(A) C6,4 
(B) C9,3 
(C) C10,4 
(D) 64 
(E) 46 
 
98)(ENEM) Vilma é dona de uma loja de uma pequena loja 
de roupas no subúrbio de uma capital brasileira. Como a 
maioria dos lojistas, Vilma mensalmente vai a São Paulo 
para comprar peças para revender. Dessa vez, um de seus 
fornecedores estava com uma promoção muito atrativa de 
calças femininas de ginástica. As calças são de tamanho 
único, mesmo modelo, cada calça com uma única cor e dis-
poníveis em 6 cores diferentes: preto, verde, cinza, 
amarelo, vinho ou azul. Para aproveitar o preço promocio-
nal, Vilma decidiu comprar 20 calças, e pretende adquirir, 
pelo menos, duas calças de cada cor, o numero de maneiras 
diferentes de ela comprar as 20 peças é igual a 
 
(A)	20! 
(B)	6/ 
(C)	8B 
(D)
25!
20! .5! 
(E)
13!
8! .5! 
 
 
 
 
 
 
1. E 
2. B 
3. B 
4. B 
5. B 
6. A 
7. A 
8. D 
9. B 
10. C 
11. B 
12. B 
13. B 
14. C 
15. C 
16. A 
17. B 
18. E 
19. E 
20. B 
21. B 
22. B 
23. C 
24. D 
25. A 
26. D 
27. B 
28. E 
29. B 
30. C 
31. B 
32. C 
33. C 
34. E 
35. B 
36. A 
37. C 
38. B 
39. E 
40. B 
41. B 
42. D 
43. E 
44. A 
45. D 
46. A 
47. D 
48. D 
49. B 
50. D 
51. C 
52. E 
53. C 
54. C 
55. E 
56. B 
57. A 
58. B 
59. B 
60. C 
61. A 
62. A 
63. E 
64. C 
65. E 
66. B 
67. C 
68. A 
69. D 
70. B 
71. C 
72. B 
73. D 
74. B 
75. A 
76. C 
77. A 
78. D 
79. C 
80. D 
81. A 
82. D 
83. C 
84. B 
85. A 
86. A 
87. C 
88. E 
89. E 
90. E 
91. C 
92. C 
93. B 
94. B 
95. A 
96. B 
97. B 
98. E 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
Matemática com a JU 
COMPLEMENTO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
1. Quantos números de cinco algarismos podemos escrever 
apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições 
apresentadas? 
 
a) 12 
b) 30 
c) 6 
d) 24 
e) 18 
2) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que 
nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é 
a) 12 
b) 36 
c) 48 
d) 60 
e) 72 
3) Sobre uma mesa, são colocadas em linha 6 moedas. O nú-
mero total de modos possíveis pelos quais podemos obter 
2 caras e 4 coroas voltadas para cima é 
a) 360 
b) 48 
c) 30 
d) 120 
e) 15 
4) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S 
e terminam com O? 
a) 7! 
b) 5! 
c) 30 
d) 60 
e) 90 
5) O número de maneiras diferentes de colocar em uma li-
nha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas 
( 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei ) é 
a) 8! 
b) 504 
c) 5040 
d) 8 
e) 4 
 
6) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem 
formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é 
a primeira letra de cada nome. O número total de siglas 
possíveis é 
a) 10 
b) 24 
c) 30 
d) 60 
e) 120 
 
7) Amarilis decidiu escolher uma senha para seu e-mail tro-
cando de lugar as letras do seu nome. 
a) De quantas maneiras distintas ela pode fazer isso? 
 
b) Considerando que a senha escolhida deve ser diferente 
do próprio nome, quantas são as senhas possíveis? 
 
c) Se ela quer que a senha contenha as letras L, M, S e R 
juntas e nesta ordem, quantas senhas distintas podem 
ser formadas? 
 
8) Determine o número de anagramas da palavra ECONO-
MIA que não começam nem terminam com a letra O. 
 
9) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão 
dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as 
pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. 
De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de 
modo que o primeiro da fila seja um francês? 
 
 10) A figura a seguir representa parte do mapa de uma ci-
dade onde estão assinaladas as casas de João (A), Maria (B), 
a escola (C) e um possível caminho que João percorre para, 
passando pela casa de Maria, chegar à escola. 
 
Qual o número total de caminhos distintos que João poderá 
percorrer, caminhandosomente para o Norte ou Leste, para 
ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria? 
 
Gabarito 
1. b 
2. e 
3. e 
4. d 
5. c 
6. c 
7. a) 10080 b)10079 c)30 
8. 10800 
9. 34560 
 
 
 
27 
 
 
 
Matemática com a JU 
 
QUESTÕES ABERTAS 
1) (UFMG 1995) Considere os conjuntos 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. 
a) DETERMINE o número total de produtos distintos de seis 
fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo-se 
três fatores entre os elementos do conjunto P e três fatores 
entre os elementos do conjunto Q. 
b) DETERMINE quantos dos produtos obtidos no item a) são 
divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29. 
2) (UFMG 1999) Uma criança possui sete blocos cilíndricos, 
todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o 
mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm 
e os outros três têm altura igual a 10cm. Ao brincar, a cri-
ança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um 
cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. 
DETERMINE de quantas maneiras distintas a criança pode 
formar cilindros que tenham exatamente 70cm de altura. 
3) (UFMG 2005) Para um grupo de 12 pessoas, serão sorte-
adas viagens para três cidades distintas A, B e C. Cinco des-
sas pessoas irão para a cidade A; quatro para a cidade B; e 
três para a cidade C. Nesse grupo, estão Adriana, Luciana e 
Sílvio, que são amigos e gostariam de ir para a mesma ci-
dade. Considerando essas informações, responda: 
1. De quantas maneiras distintas se podem sortear as via-
gens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para a 
cidade A? 
2. De quantas maneiras distintas se podem sortear as via-
gens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para a 
mesma cidade? 
3. Qual a probabilidade de Adriana, Luciana e Sílvio viajarem 
para a mesma cidade? 
4) (UFMG 2003) Um baralho é composto por 52 cartas divi-
didas em quatro naipes distintos. Cada naipe é constituído 
por 13 cartas - 9 cartas numeradas de 2 a 10, mais Valete, 
Dama, Rei e Às, representadas, respectivamente pelas le-
tras J, Q, K e A. Um par e uma trinca consistem, respectiva-
mente, de duas e de três cartas de mesmo número ou letra. 
Um full hand é uma combinação de cinco cartas, formada 
por um par e uma trinca. Considerando essas informações, 
calcule 
1. De quantas maneiras distintas se pode formar um full 
hand com um par de reis e uma trinca de 2. 
2. De quantas maneiras distintas se pode formar um full 
hand com um par de reis. 
3. De quantas maneiras distintas se pode formar um full 
hand. 
GABARITO 
1. a) 1120 b) 770 
2. 1008 
3. 1) 1260 2) 1890 3) 3/44 
4. 1) 24 2) 288 3) 3744 
PROBABILIDADE 
 
1. Elementos de Estudo da Probabilidade 
Considere os seguintes experimentos 
1) Lançar um dado. 
2) Abandonar de uma altura de 1 metro, no vácuo, um de-
terminado objeto e medir o tempo que ele leva até atingir 
o solo. 
Repare que se repetirmos o primeiro experimento nada ga-
rante que o resultado será o mesmo, chamamos esses casos 
de eventos aleatórios, ou seja, o resultado é IMPREVISÍVEL. 
Já o segundo trata-se de um experimento determinístico, 
pois se o repetirmos nas mesmas condições, o resultado 
será o mesmo. 
O objeto de estudo da teoria das probabilidades é o experi-
mento aleatório. 
1.a) Experimento Aleatório 
É qualquer fenômeno cujo resultado é imprevisível. 
Exemplos: 
- Retirar uma carta do baralho. 
- Sortear um número do conjunto dos números de 1 a 50. 
 
 
 
28 
 
 
 
Matemática com a JU 
- Retirar uma bola de uma urna contendo 6 bolas brancas e 
5 pretas e observar sua cor. 
1.b) Espaço Amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um Experi-
mento Aleatório. 
Usa-se a letra A como símbolo de um Espaço Amostral. 
Exemplos: 
• No lançamento de um dado o Espaço Amostral é: 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E o número de elementos do Espaço Amostral é dado por 
n(A) = 6. 
• No sorteio simultâneo de 2 números distintos de 1 a 10, o 
Espaço Amostral são os pares ordenados: 
S = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); ... ; (9, 10)} 
Nesse caso, o numero de elementos desse Espaço Amostral 
pode ser calculado fazendo-se as Combinações dos 10 nú-
meros de 2 em 2. 
N(S) = C10,2 = = 45 pares de números possíveis. 
Observação: 
Um Espaço Amostral pode ser: 
- Equiprovável: Quando cada elemento tem a mesma 
chance de ocorrer. 
Exemplo: No sorteio de um número de 1 a 10. 
- Não Equiprovável: Quando há elementos com chances di-
ferentes de ocorrer. 
Exemplo: No sorteio de uma das 10 letras da palavra BA-
TATA. A letra A tem mais chances de ser a letra sorteada, 
pois aparece 3 vezes. 
1.c) Evento 
É qualquer subconjunto do Espaço Amostral formado por 
elementos que possuem alguma propriedade. 
Exemplos: 
• No lançamento de um dado podem-se ter os Eventos: 
E1 ® Aparecer um número par na face superior. 
E1(par) = {2, 4, 6} 
n(E1) = 3 
E2 ® Aparecer um número maior que 2 na face superior. 
E2 (> 2) = {3, 4, 5, 6} 
n(E2) = 4 
• No sorteio simultâneo de 2 números de 1 a 10, pode-se 
ter o Evento: 
E ® Sortear 2 números pares. 
E (2 números pares) = {(2, 4); (2, 6); (2, 8); (2, 10); (4, 6); (4, 
8); (4, 10); (6, 8); (6, 10); (8, 10)} 
n(E) = 10, que também pode ser obtido combinando-se os 5 
números pares de 2 em 2. 
N(E) = C5,2 = 10. 
Dois Eventos, A e B contidos num mesmo Espaço Amostral 
A, podem ser: 
a) Mutuamente Exclusivos 
Se não possuírem elementos em comum, ou seja, 
se A Ç B = Æ. 
b) Inclusivos 
Se possuírem elementos em comum, ou seja, se A Ç B ≠ Æ. 
2. Definição de Probabilidade 
Para se calcular a probabilidade de um Evento ocorrer, 
basta fazer a razão entre o número de elementos favoráveis 
a este Evento e o número total de elementos possíveis que 
podem ocorrer. 
𝑃(𝐸) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
Se o Espaço Amostral (A) for equiprovável, podemos calcu-
lar a probabilidade de um Evento (E) ocorrer fazendo: 
𝑃(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝐴) 
Observação: 
• O valor da probabilidade de um Evento (E) ocorrer estará 
sempre no intervalo: 
0 £ p(E) ≤ 1 ou 0% £ p(E) ≤ 100% 
• A soma das probabilidades de todos os elementos de um 
Espaço Amostral deve ser igual a 1 ou 100% (quando a pro-
babilidade for dada em termos percentuais). 
Exemplo 1: 
Colocando-se numa urna todas as 10 letras da palavra MA-
TEMATICA e retirando-se uma letra ao acaso, qual é a pro-
babilidade da letra retirada ser: 
a) um A? p(A) = 3/10 = 0,3 = 30% 
b) um M? p(M) = 2/10 = 0,2 = 20% 
c) um T? p(T) = 2/10 = 0,2 = 20% 
d) um E? p(E) = 1/10 = 0,1 = 10% 
!8!2
!10
×
 
 
 
29 
 
 
 
Matemática com a JU 
e) um I? p(I) = 1/10 = 0,1 = 10% 
f) um C? p(C) = 1/10 = 0,1 = 10% 
g) um X? p(X) = 0/10 = 0 = 0% 
 
Observe que o Espaço Amostral, nesse caso, é do tipo Não 
Equiprovável e é dado por: 
S = {M, A, T, E, I, C} e 
p(M) + p(A) + p(T) + p(E) + p(I) + p(C) = 0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 
0,1 + 0,1 = 1 ou = 20% + 30% + 20% + 10% + 10% + 10% = 
100%. 
Exemplo 2: 
Sorteando-se 2 números diferentes do conjunto dos núme-
ros de 1 a 10, qual é a probabilidade de que sejam sorteados 
2 números pares? 
Nesse caso, o Espaço Amostral é do tipo Equiprovável e é 
formado por todos os pares ordenados formados pelos nú-
meros de 1 a 10. 
n(A) = C10,2 = 45 
A quantidade de elementos favoráveis é o Evento (E) for-
mado pelos pares ordenados formados apenas com os 5 nú-
meros pares: 
n(E) = C5,2 = 10 
E a probabilidade desejada será dada por: 
p(2 números pares) = = = = 0,2222... » 22% 
3. Probabilidade Condicional 
Sejam A e B, 2 Eventos de um mesmo Espaço Amostral S. 
Chama-se Probabilidade Condicional, a probabilidade de o 
Evento A ocorrer sabendo que o Evento B já ocorreu e é re-
presentado por p(A/B) e lê-se probabilidade de A, dado B. 
p(A/B) = 
Observe que o Espaço Amostral se reduz aos elementos de 
B e só são considerados elementos favoráveis aqueles ele-
mentos de A que estão em B.Exemplo: 
Numa urna há 10 bolas brancas (B) numeradas de 1 a 10, e 
15 bolas pretas (P) numeradas de 1 a 15. Sorteando-se uma 
bola aleatoriamente, determine a probabilidade sair uma 
bola branca sabendo que a bola sorteada contém um nú-
mero par. 
 
Como foi dado que a bola sorteada contém um número par, 
os elementos possíveis passam a ser: 
Pares = {B2, B4, B6, B8, B10, P2, P4, P6, P8, P10, P12, P14} 
Ou seja, apenas 12 das 25 bolas podem ser a sorteada e des-
sas 12 apenas 5 são brancas. Nesse caso, 
p(branca/par) = = 
4. Teorema da Soma 
a) Se A e B são 2 Eventos Mutuamente Exclusivos, ou seja, 
se não tem elementos em comum, então 
p(A ou B) = p(A) + p(B) 
b) Se A e B possuem elementos em comum, então 
p(A ou B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B) 
Exemplo: 
No sorteio de um número de 1 a 10, determine a probabili-
dade de que o número sorteado seja: 
a) Um número maior que 8 ou menor que 4. 
< 4 = {1, 2, 3} 
> 8 = {9, 10} 
p(< 4 ou > 8) = p(< 4) + p(> 8) = + = = 0,5 = 50% 
b) Um número par ou primo. 
Pares = {2, 4, 6, 8, 10} 
Primos = {2, 3, 5, 7} 
Par Ç Primo = {2} 
p(par ou primo) = p(par) + p(primo) - p(par Ç primo) 
 = + - = = 0,8 = 80% 
5. Teorema do Produto 
5.1. Eventos independentes em ordem definida 
Sejam E1, E2, E3, ...En, n Eventos que podem ocorrer, um in-
dependente do outro. 
Nesse caso, a probabilidade de ocorrer os Eventos E1 e E2 e 
E3 e ... e En, nessa ordem, é dada por: 
p(E1 e E2 e E3 e ... En) = p(E1) × p(E2) × p(E2) × ... × p(En) 
Exemplo: 
Se lançarmos um dado 3 vezes, qual é a probabilidade de 
que apareçam nas faces superiores um número 2 no pri-
meiro lançamento, um número 3 no segundo lançamento e 
um número 4 no terceiro lançamento? 
)S(n
)E(n
45
10
9
2
)B(n
)BA(n Ç
n(pares)
pares) são uen(brancasq
12
5
10
3
10
2
10
5
10
5
10
4
10
1
10
8
 
 
 
30 
 
 
 
Matemática com a JU 
p(2, 3 e 4 ) = p(2) × p(3) × p(4) = × × = 
5.2. Eventos Independentes em ordem aleatória (ou simul-
tâneos) 
Sejam E1, E2, E3, ... En n Eventos Independentes que podem 
ocorrer em qualquer ordem. 
Nesse caso, a probabilidade de que todos ocorram, E1, E2, 
E3, ... En em ordem aleatória, é dada por: 
p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) × p(E2) × p(E3) × ... × p(En) × Pn 
Ou seja, considera-se os Eventos numa ordem definida e em 
seguida, multiplica-se pelas permutações desses n Eventos. 
Exemplos: 
a) Se lançarmos um dado 3 vezes, qual é a probabilidade de 
que apareçam nas faces superiores, os números 2, 3 e 4, em 
qualquer ordem? 
Nesse caso, são elementos favoráveis, os ternos de núme-
ros: 
(2, 3, 4); (2, 4, 3); (3, 2, 4); (3, 4, 2); (4, 2, 3) e (4, 3, 2) e a 
probabilidade de que esses 3 números ocorram pode ser 
dada por: 
p(2 e 3 e 4) = p(2) × p(3) × p(4) × P3 = × × ×3! 
p(2 e 3 e 4) = × 6 = 
b) No exemplo anterior, qual seria a probabilidade de ocor-
rer o 3 duas vezes e o 4 uma vez? 
p(3 e 3 e 4) = p(3) × p(3) × p(4) × = × × × = × 
p(3 e 3 e 4) = 
Observe que, agora só serão considerados favoráveis os ele-
mentos: 
(3, 3, 4); (3, 4, 3) e (4, 3, 3), ou seja, apenas 3 ternos de nú-
meros serão favoráveis. 
Quando há repetição de elemento, devem-se multiplicar as 
probabilidades pelas permutações com repetição. 
5.3. Eventos dependentes em ordem definida 
Sejam, E1 e E2, dois Eventos que podem ocorrer de tal modo 
que, quando E1 ocorre, ele interfere no Evento E2. Nesse 
caso, a probabilidade de ocorrerem os dois Eventos, E1 e E2, 
nessa ordem, é dada por: 
p(E1 e E2) = p(E1) × p(E2\E1), 
 
que é a probabilidade de E2 ocorrer, sabendo que E1 já ocor-
reu. 
Esse caso pode ser extrapolado para mais de 2 Eventos. 
 
Exemplo: 
Numa urna há 5 bolas vermelhas, 3 bolas amarelas e 2 bolas 
brancas, todas de tamanhos e pesos iguais. 
Qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, sucessiva-
mente e sem reposição, primeiro uma bola vermelha, em 
seguida uma bola amarela e, por último, uma bola branca? 
Observe que a probabilidade de se retirar uma bola verme-
lha é de 5 em 10. 
Agora, se uma vermelha foi retirada e não haverá reposição, 
a probabilidade de se retirar, em seguida uma bola amarela, 
será de 3 em 9, pois se deve considerar que uma vermelha 
foi retirada. 
Portanto, a probabilidade de se retirar, por último, uma bola 
branca será de 2 em 8, pois uma vermelha e uma amarela já 
foram retiradas. Então temos: 
p(vermelha e amarela e branca) = × × = 
5.4. Eventos dependentes em ordem aleatória (ou simul-
tâneos) 
Se a ordem dos Eventos não é estabelecida, ou se os Even-
tos ocorrem simultaneamente, então basta considerar os 
Eventos em uma certa ordem, multiplicar as probabilidades 
observando a redução do Espaço Amostral (Eventos Depen-
dentes, como no item anterior) e em seguida multiplicar o 
resultado pelas Permutações dos Eventos considerados. 
Exemplo: 
Se numa urna há 5 bolas vermelhas, 3 amarelas e 2 brancas, 
qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, simultanea-
mente: 
a) 3 bolas sendo uma de cada cor? 
Nesse caso, escolha uma ordem qualquer e em seguida faça 
a Permutação desses Eventos. 
p(vm e am e br) = × × × P3 = × 3! = 
b) 2 bolas vermelhas e 1 branca? 
Nesse caso, as Permutações são do tipo Com Repetição, e o 
resultado da Probabilidade fica: 
p(vm e vm e am) = × × × = × =
6
1
6
1
6
1
216
1
6
1
6
1
6
1
216
1
36
1
2
3PR
6
1
6
1
6
1
!2
!3
216
1
2
6
72
1
10
5
9
3
8
2
24
1
10
5
9
3
8
2
24
1
4
1
10
5
9
4
8
2 2
3PR
36
2
!2
!3
12
1
 
 
 
31 
 
 
 
Matemática com a JU 
EXERCÍCIOS 
1) Considere o experimento: lançar um dado e observar a 
face voltada para cima. Determine o seu espaço amostral e 
cada um dos eventos abaixo: 
a) E1 : a face observada é par 
b) E2: a face observada é maior que 4 
c) E3: a face observada é menor que 7 
d) E4: a face observada é negativa 
2) (ENEM) A queima de cana aumenta a concentração de 
dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, 
causa alteração do clima e contribui para o aumento de do-
enças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números re-
lativos a pacientes internados em um hospital no período 
da queima da cana. 
 
 
Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado 
nesse hospital por problemas respiratórios causados pelas 
queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é 
igual a 
(A) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de 
medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com 
problemas respiratórios. 
(B) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade 
dos problemas respiratórios que atingem a população nas 
regiões das queimadas. 
(C) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à sa-
úde infantil pode ser negligenciado. 
(D) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de cons-
cientização que objetivem a eliminação das queimadas. 
(E) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atin-
gidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospita-
lar no setor de pediatria seja reforçado. 
3) (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o 
Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião 
comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. 
A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade 
de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. 
 
 
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alu-
nas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido 
um(a) filho(a) único(a) é 
(A) 1/3. 
(B) 1/4. 
(C) 7/15. 
(D) 7/23. 
(E) 7/25. 
 
4) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras 
de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do 
município, conforme mostra a figura: 
 
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa 
avaliar a probabilidade que um morador tem de, circu-
lando livremente pelo município, encontrar-se na área de 
alcance de pelo menos uma das emissoras. 
Essa probabilidade é de, aproximadamente, 
(A) 20%. 
(B) 25%. 
(C) 30%. 
(D) 35%. 
(E) 40%. 
 
5) (ENEM) Uma loja acompanhou o número de comprado-
res de dois produtos,A e B, durante os meses de janeiro, 
fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico: 
 
45090210150crianças
2606015050idosos
totaldoenças
outras
causas
outras de
sresultante
iosrespiratór
problemas
queimadas
 pelas
causados
iosrespiratór
problemas
pacientes
 
 
 
32 
 
 
 
Matemática com a JU 
A loja sorteará um brinde entre os compradores do pro-
duto A e outro brinde entre os compradores do produto B. 
Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham 
feito suas compras em fevereiro de 2012? 
(A) 1/20 
(B) 3/242 
(C) 5/22 
(D) 6/25 
(E) 7/15 
 
6) (ENEM) Um protocolo tem como objetivo firmar acordos 
e discussões internacionais para conjuntamente estabele-
cer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa 
na atmosfera. O quadro mostra alguns dos países que assi-
naram o protocolo, organizados de acordo com o conti-
nente ao qual pertencem. 
 
Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos pa-
íses relacionados serão escolhidos aleatoriamente, para 
verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo 
praticadas. 
A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer à 
América do Norte e o segundo pertencer ao continente asi-
ático é 
A) 1/9 
B) 1/4 
C) 3/10 
D) 2/3 
E) 1 
 
7) (ENEM) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu 
se mudar, por recomendações médicas, para uma das regi-
ões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial 
Suburbano. A principal recomendação médica foi com as 
temperaturas das "ilhas de calor" da região, que deveriam 
ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas 
no gráfico: 
 
Fonte: EPA. 
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para 
morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja 
adequada às recomendações médicas é 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
8)(ENEM) O gráfico mostra a velocidade de conexão 
à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses da-
dos são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, 
realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI). 
 
Disponível em: http://agencia.ipea.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 
(adaptado). 
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, 
qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo me-
nos 1 Mbps neste domicílio? 
(A) 0,45. (B) 0,42. 
(C) 0,30. (D) 0,22. 
(E) 0,15. 
 
9)(ENEM) Todo o país passa pela primeira fase de campa-
nha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um 
médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São 
Paulo, a imunização "deve mudar", no país, a história da 
epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a 
chance de barrar uma tendência do crescimento da do-
ença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta 
dados específicos de um único posto de vacinação. 
Campanha de vacinação contra a gripe suína 
 
Datas da 
vacinação Público-alvo 
Quantidade de 
Pessoas vacinadas 
8 a 19 de 
março 
Trabalhadores da sa-
úde e indígenas 42 
1
5
1
4
2
5
3
5
3
4
 
 
 
33 
 
 
 
Matemática com a JU 
22 de março a 
2 de abril 
Portadores de doen-
ças crônicas 22 
5 a 23 de abril Adultos saudáveis en-
tre 20 e 29 anos 56 
24 de abril a 7 
de maio 
População com mais 
de 60 anos 30 
10 a 21 de 
maio 
Adultos saudáveis en-
tre 30 e 39 anos 50 
 
Disponível em: http://img.terra.com.br. 
Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse 
posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora 
de doença crônica é 
(A) 8%. (B) 9%. 
(C) 11%. (D) 12%. 
(E) 22%. 
 
10)(Ju) Um programa de televisão criou um perfil em uma 
rede social, e a ideia era que esse perfil fosse sorteado para 
um dos seguidores, quando esses fossem em número de 
um milhão. Agora que essa quantidade de seguidores foi 
atingida, os organizadores perceberam que apenas 80% 
deles são realmente fãs do programa. Por conta disso, re-
solveram que todos os seguidores farão um teste, com per-
guntas objetivas referentes ao programa, e só poderão 
participar do sorteio aqueles que forem aprovados. Estatís-
ticas revelam que, num teste dessa natureza, a taxa de 
aprovação é de 90% dos fãs e de 15% dos que não são fãs. 
De acordo com essas informações, a razão entre a proba-
bilidade de que um fã seja sorteado e a probabilidade de 
que o sorteado seja alguém que não é fã do programa é 
igual a 
(A) 1. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 24. 
(E) 96. 
 
11)(ENEM) Em uma central de atendimento, cem pessoas 
receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das se-
nhas é sorteada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número 
de 1 a 20? 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
 
12)(ENEM) Em uma reserva florestal existem 263 espécies 
de peixes, 122 espécies de mamíferos, 93 espécies de rép-
teis, 1 132 espécies de borboletas e 656 espécies de aves. 
Disponível em: http:www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 
2010 (adaptado). 
Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a pro-
babilidade de ser uma borboleta? 
(A) 63,31%. 
(B) 60,18%. 
(C) 56,52%. 
(D) 49,96%. 
(E) 43,27%. 
 
13)(ENEM) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas 
Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas 
rodovias federais, os atropelamentos com morte ocupa-
ram o segundo lugar no ranking de mortalidade por aci-
dente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. 
Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, 
aproximadamente. 
Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009. 
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente 
para investigação mais detalhada um dos atropelamentos 
ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido 
um atropelamento sem morte é 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
 
14)(Ju) Uma pesquisa sobre o roubo e furto de carros foi 
feita em determinada cidade brasileira e os dados, alar-
mantes, a respeito dos carros mais roubados, nessa cidade, 
podem ser vistos na tabela que se segue. 100
1
100
19
100
20
100
21
100
80
2
17
5
17
2
5
3
5
12
17
 
 
 
34 
 
 
 
Matemática com a JU 
 
Considerando os dados dispostos na tabela, uma pessoa 
que pretende comprar um carro decide pela opção de me-
nor grau de risco. Sabendo que o grau de risco é a probabi-
lidade de ocorrência de roubo ou furto, sua melhor opção 
de escolha é adquirir um veículo do modelo 
(A) Gol. 
(B) Uno. 
(C) Palio. 
(D) Siena 
(E) Celta. 
 
15)(UFMG) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de 
cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de 
pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas 
cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, é CORRETO 
afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem 
iguais é 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
 
16)(PUC) Considere a tabela que mostra as alturas dos jo-
gadores de uma equipe de basquete. 
Número de jogadores 2 3 4 1 
Altura (em metros) 1,86 1,92 1,98 2,04 
Escolhendo-se ao acaso um dos jogadores para capitão da 
equipe, a probabilidade de este ter 1,98m de altura é de 
(A) 40%. 
(B) 50%. 
(C) 60%. 
(D) 70%. 
 
17)Considere o seguinte jogo de apostas: 
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador 
escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, 
serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso 
os 6 números sorteados estejam entre os números escolhi-
dos por ele numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo 
com a quantidade de números escolhidos. 
 
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, 
fizeram as seguintes opções: 
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; 
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas 
com 6 números escolhidos; 
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas 
com 6 números escolhidos; 
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; 
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. 
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem 
premiados são 
(A) Caio e Eduardo. 
(B) Arthur e Eduardo. 
(C) Bruno e Caio. 
(D) Arthur e Bruno. 
(E) Douglase Eduardo. 
 
18)(ENEM) O diretor de um colégio leu numa revista que 
os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, 
a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 
e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação cien-
tífica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcio-
nárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: 
TAMANHO DOS CALÇADOS NÚMERO DE FUNCIONÁRIAS 
39,0 1 
38,0 10 
37,0 3 
36,0 5 
35,0 6 
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela 
tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 
38,0 é 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
 
1
100
1
99
1
50
1
49
250,0010
125,009
40,008
12,007
2,006
(R$) cartela da Preço
cartela uma em escolhidos
números de Quantidade
1
3
1
5
2
5
5
7
5
14
 
 
 
35 
 
 
 
Matemática com a JU 
19)Em um grupo, 80 pessoas pretendem seguir a carreira 
de Medicina, 60 a carreira de Engenharia e outras 60 pre-
tendem cursar Direito. Entre os que pretendem Medicina, 
25% são mulheres; entre os que pretendem Engenharia 
15% são mulheres e entre os que pretendem Direito, 35% 
são homens. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse 
grupo, qual a probabilidade de que seja: 
a) uma mulher que pretende seguir Engenharia? 
b) uma mulher, sabendo-se que quer seguir Engenharia? 
c) um pretendente a Engenharia, sabendo-se que é mu-
lher? 
20)Os alunos de uma classe pretendem cursar Matemática, 
Física ou Química. A distribuição por disciplina e por sexo é 
dada de acordo com a tabela abaixo: 
 MAT FIS QUI 
HOMEM 20 20 10 
MULHER 10 30 10 
 
Responda às seguintes questões: 
a) Sorteado um aluno ao acaso, qual a probabilidade de 
que deseje cursar Química, sabendo-se que se trata de 
uma mulher? 
b) Qual a probabilidade de que seja uma mulher, sabendo-
se que deseja cursar Química? 
21)(ENEM) Um experimento foi conduzido com o objetivo 
de avaliar o poder germinativo de duas culturas de cebola, 
conforme a tabela. 
Germinação de sementes de duas culturas de cebola 
 
Culturas 
Germinação 
Total 
Germinaram Não germinaram 
A 392 8 400 
B 381 19 400 
Total 773 27 800 
 
BUSSAB, W.O; MORETIN, L.G. Estatísticas para as ciências agrárias e bio-
lógicas (adaptado). 
 
Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de 
uma das culturas de cebola, uma amostra foi retirada ao 
acaso. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a 
probabilidade de essa amostra pertencer à Cultura A é de 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
22)(UFV) A Faculdade Santa Rita oferece somente os cur-
sos de Direito e Economia, e nenhum aluno cursa simulta-
neamente os dois cursos. Sabe-se que 6% dos alunos de Di-
reito e 3% dos alunos de Economia já atuaram em ativida-
des filantrópicas; além disso 60% dos alunos dessa facul-
dade cursam Direito. Se um aluno é selecionado ao acaso, 
então a probabilidade desse aluno ser do curso de Direito, 
dado que ele já atuou em atividades filantrópicas, é 
(A) 65%. 
(B) 70%. 
(C) 75%. 
(D) 60%. 
 
23)(ENEM) Um morador de uma região metropolitana tem 
50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho 
quando chove na região; caso não chova, sua probabili-
dade de atraso é de 25%. Para um determinado dia, o ser-
viço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da 
ocorrência de chuva nessa região. 
Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o 
serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? 
(A) 0,075 
(B) 0,150 
(C) 0,325 
(D) 0,600 
(E) 0,800 
 
24)(ENEM) No próximo final de semana, um grupo de alu-
nos participará de uma aula de campo. Em dias chuvosos, 
aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é que 
essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sá-
bado, a aula será adiada para o domingo. Segundo a mete-
orologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e 
a de chover no domingo é de 25%. 
A probabilidade de que a aula de campo ocorra no do-
mingo é de 
(A) 5,0% 
(B) 7,5% 
(C) 22,5% 
(D) 30,0% 
(E) 75,0% 
 
25)(ESAF) Todos os alunos de uma escola estão matricula-
dos no curso de Matemática e no curso de História. Do 
8
27
19
27
381
773
392
773
392
800
 
 
 
36 
 
 
 
Matemática com a JU 
total dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em 
Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. 
Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem 
sérias dificuldades em Matemática e em História. Você co-
nhece, ao acaso, um dos alunos desta escola, que lhe diz 
estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a proba-
bilidade de que este aluno esteja tendo sérias dificuldades 
também em Matemática é, em termos percentuais, igual a 
(A) 50%. 
(B) 25%. 
(C) 1%. 
(D) 33%. 
(E) 20%. 
 
26)(ENEM) Em um blog de variedades, músicas, mantras e 
informações diversas, foram postados "Contos de Hallo-
ween". Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assi-
nalando suas relações em: "Divertido", "Assustador" ou 
"Chato". Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 
visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a 
seguir apresenta o resultado da enquete. 
 
 
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visi-
tantes que opinaram na postagem "Contos de Halloween". 
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a 
probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as 
que opinaram ter assinalado que o conto "Contos de Hal-
loween" é 
"Chato" é mais aproximada por 
(A) 0,09. 
(B) 0,12. 
(C) 0,14. 
(D) 0,15. 
(E) 0,18. 
 
27)Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pes-
quisa sobre o conhecimento desses em duas línguas es-
trangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se 
que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não 
falam qualquer um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-
se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse 
aluno fale espanhol? 
(A) 1/2 
(B) 5/8 
(C) 1/4 
(D) 5/6 
(E) 5/14 
 
28)(ENEM) Um bairro residencial tem cinco mil moradores, 
dos quais mil são classificados como vegetarianos. Entre os 
vegetarianos, 40% são esportistas, enquanto que, entre os 
não vegetarianos, essa porcentagem cai para 20%. 
Uma pessoa desse bairro, escolhida ao acaso, é esportista. 
A probabilidade de ela ser vegetariana é 
(A) 2/25 
(B) 1/5 
(C) 1/4 
(D) 1/3 
(E) 5/6 
 
29)Quatro casais estão em uma sala. Sorteadas duas pes-
soas ao acaso, qual a probabilidade de que elas constituam 
um dos casais? 
30)(FEI-SP) Uma urna contém, em seu interior, 5 fichas de 
mesmo tamanho e formato, sendo 2 brancas e 3 verme-
lhas. Quatro pessoas, identificadas por A, B, c e D, nessa 
ordem, retiram uma ficha da urna ao acaso, sem reposição. 
A primeira pessoa a retirar uma bola branca receberá um 
prêmio. A probabilidade de ser a pessoa D a premiada é: 
(A) 1% 
(B) 10% 
(C) 20% 
(D) 5% 
(E) 2,5% 
 
31)(ENEM) O gerente do setor de recursos humanos de 
uma empresa está organizando uma avaliação em que uma 
das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa 
etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificul-
dade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta 
em cartões para colocação em uma urna. 
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes ní-
veis na urna, ele observou que 25% deles eram de nível fá-
cil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maio-
ria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível 
fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro 
participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de ní-
vel fácil seja de 75%. 
 
 
 
37 
 
 
 
Matemática com a JU 
Com essas informações, a quantidade de perguntas de ní-
vel fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a 
(A) 10. 
(B) 15. 
(C) 35. 
(D) 40. 
(E) 45. 
 
32)(ENEM) Maurício é um jogador de tênis e seu uniforme 
completo é formado por um calção, uma camisa, um par 
de meias e um par de tênis. A seguir temos a relação dos 
materiais que ele dispõe para as competições oficiais 
 
Ø Três calções: um na cor azul, um na cor vermelhae 
outro cinza. 
Ø Duas camisas: uma na cor azul e uma na cor verme-
lha. 
Ø Quatro pares de meias: um na cor azul, um verme-
lho, um cinza e um na cor branca. 
Ø Três pares de tênis: um na cor azul, um na cor 
branca e um vermelho. 
 
Certo dia, Maurício fez uma escolha absolutamente aleató-
ria, considerando-se essas informações, a probabilidade de 
ele estar uniformizado todo na cor azul é 
(A) 1/8. 
(B) 1/16. 
(C) 1/24. 
(D) 1/48. 
(E) 1/72 
33)(Ju) Hoje em dia o processo industrial está cada vez 
mais automatizado. Numa fábrica de peças para automó-
veis, em um determinado setor, há duas máquinas que pro-
duzem peças idênticas, mas num ritmo diferente. A má-
quina principal produz 4000 peças por dia e a máquina se-
cundária produz 1000 peças no mesmo intervalo de tempo. 
O diretor de logística, preocupado com o número de peças 
defeituosas produzidas por essas máquinas, decidiu fazer 
um levantamento e descobriu que a máquina principal pro-
duz 320 peças defeituosa, entre as 4000 produzidas diaria-
mente, enquanto a máquina secundária produz 120, entre 
as 1000 que produz. Ao final da produção, durante o pro-
cesso de coleta de dados, um funcionário escolheu ao 
acaso uma peça entre as 5000 produzidas e esta, apresen-
tava defeito. Considerando-se esses dados, a probabili-
dade de essa peça defeituosa ter sido produzida pela má-
quina principal é de 
 
(A) 3/11. 
(B) 5/11. 
(C) 6/11. 
(D) 8/11. 
(E) 9/11. 
 
34)(ENEM) Um designer de jogos planeja um jogo que faz 
uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com n ≥ 2, no qual 
cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das 
casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, 
a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou 
coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa 
peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma 
peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de di-
mensão 8 x 8. 
 
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a proba-
bilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, 
seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de com-
bate da primeira, seja inferior a 1/5 . 
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse 
tabuleiro é 
(A) 4 x 4. 
(B) 6 x 6 . 
(C) 9 x 9. 
(D) 10 X 10. 
(E) 11 X 11 
 
35)(ENEM) Em um determinado semáforo, as luzes com-
pletam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1 mi-
nuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a 
luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a 
vermelha. Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem 
uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz 
verde, amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de 
forma aleatória, pode-se admitir que a probabilidade de 
encontrá-lo com uma dessas cores é diretamente propor-
cional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. 
Suponha que um motorista passa por um semáforo duas 
vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da 
outra. Qual é a probabilidade de o motorista encontrar 
esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em 
que passar? 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
1
25
1
16
1
9
1
3
 
 
 
38 
 
 
 
Matemática com a JU 
(E) . 
36) (PUC-SP) Numa caixa há 100 bolas numeradas de 1 a 
100. Retiram-se simultaneamente 2 bolas. Qual a probabi-
lidade de se obterem números consecutivos? 
(A) ½ 
(B) 1/50 
(C) 9/100 
(D) (1/100)2 
(E) 99/1002 
 
37)(PUC-MG) Num baralho existem ouros, paus, copas e 
espadas em igual quantidade. Retirando-se consecutiva-
mente duas cartas de um baralho de 52 cartas, sem repo-
sição, a probabilidade de a primeira delas ser de ouro e a 
outra ser de espada é 
(A) 13/208 
(B) 13/204 
(C) 13/52 
(D) 3/51 
 
38)(NCE) Em um lote de 20 peças, 5 são defeituosas. Sor-
teando-se 3 peças desse lote, ao acaso, sem reposição, a 
probabilidade de que nenhuma delas seja defeituosa é, 
aproximadamente, de 
(A) 0,412. 
(B) 0,399. 
(C) 0,324. 
(D) 0,298. 
(E) 0,247. 
 
39)(CESGRANRIO) Dois dados são lançados sobre uma 
mesa. Qual a probabilidade de ambos os resultados mos-
trarem, na face superior, números pares? 
(A) 1/3. 
(B) 1/2. 
(C) 1/4. 
(D) 2/5. 
(E) 3/5. 
 
40)(UNIP) Uma carta é retirada de um baralho comum, de 
52 cartas e, sem saber qual é a carta, é misturada com as 
cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando 
em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabili-
dade de se obter uma dama é: 
(A) 3/51 
(B) 5/53 
(C) 5/676 
(D) 1/13 
(E) 5/689 
 
41)(PUC-MG) Numa disputa de robótica, estão partici-
pando os quatro estados da Região Sudeste, cada um deles 
representado por uma única equipe. No final, serão premi-
adas apenas as equipes classificadas em primeiro ou em se-
gundo lugar. Supondo-se que as equipes estejam igual-
mente preparadas, a probabilidade de Minas Gerais ser 
premiada é 
(A) 0,3. 
(B) 0,5. 
(C) 0,6. 
(D) 0,8. 
 
42)(VUNESP) Um baralho consiste em 100 cartões nume-
rados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem repo-
sição). A probabilidade de que a soma dos dois números 
dos cartões retirados seja igual a 100 é 
(A) 49/4950. 
(B) 50/4950. 
(C) 1%. 
(D) 49/5000. 
(E) 51/4851. 
 
43)(FJP) Em uma caixa, existem 6 bombons de coco e 14 
bombons de uva. É CORRETO afirmar que a probabilidade 
de se tirar dessa caixa, aleatoriamente, primeiro, um bom-
bom de coco e, em seguida, um de uva é de 
(A) 19/75 
(B) 21/95 
(C) 23/105 
(D) 25/107 
 
44)(MACK) Num conjunto de 8 pessoas, 5 usam óculos. Es-
colhidas ao acaso duas pessoas desse conjunto, a probabi-
lidade de somente uma delas usar óculos é 
(A) 15/28. 
(B) 15/56. 
(C) 8/28. 
(D) 5/56. 
(E) 3/28. 
 
45)(Ju) No freezer da casa de Bruna há 5 picolés de choco-
late, 6 de uva e 8 de coco. Todos estão embalados com a 
mesma embalagem e, por isso, estão indistinguíveis. Ela 
pretende pegar dois picolés, um deles para ela e outro para 
a sua prima, Ana Júlia. A probabilidade de ela retirar dois 
picolés, sucessivamente, sendo um de chocolate e um de 
uva é de 
(A) 5/57. 
(B) 7/57. 
1
2
 
 
 
39 
 
 
 
Matemática com a JU 
(C) 10/57. 
(D) 13/57. 
(E) 15/57. 
 
46)Um homem recebe 4 cartas retiradas de um baralho co-
mum de 52 cartas, e todas são de espadas. Caso ele receba 
mais 3 cartas, qual a probabilidade de que pelo menos uma 
das cartas adicionais seja também de espadas? 
 
47)(ENEM) Uma caixa contém uma cédula de R$ 5,00, uma 
de R$ 20,00 e duas de R$ 50,00 de modelos diferentes. Re-
tira-se aleatoriamente uma cédula dessa caixa, anota-se o 
seu valor e devolve-se a cédula à caixa. Em seguida, repete-
se o procedimento anterior. 
A probabilidade de que a soma dos valores anotados seja 
pelo menos igual a R$ 55,00 é 
(A) 1/2 
(B) 1/4 
(C) 3/4 
(D) 2/9 
(E) 5/9 
 
48)(UFJF) Num sorteio, existem três urnas, e cada urna 
possui um bilhete premiado para um show de rock. A urna 
A contém 6 bilhetes, a urna B contém 4 bilhetes e a urna C 
contém 2 bilhetes. André retira 2 bilhetes da urna A, Ber-
nardo retira 1 bilhete da urna B e Carlos retira 1 bilhete da 
urna C. A probabilidade de ao menos um dos três retirar 
um bilhete premiado é igual a 
(A) 3/5. 
(B) 3/4. 
(C) 17/24. 
(D) 1/2. 
(E) 4/5. 
 
49)(ENEM) Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá re-
tirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas 
de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores 
das bolas são como descritas a seguir: 
• Urna A — Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e 
uma bola verde; 
• Urna B— Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e 
uma bola verde; 
• Urna C— Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; 
• Urna D —Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A 
pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apre-
sentadas: 
• Opção 1 — Retirar, aleatoriamente, duas bolas da uma A; 
• Opção 2 — Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; 
• Opção 3 — Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C 
para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bo-
las da urna A; 
• Opção 4 — Passar, aleatoriamente, urnabola da urna D 
para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bo-
las da urna C; 
• Opção 5 — Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C 
para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bo-
las da urna D. 
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de 
ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
50)(ENEM) Uma aluna estuda numa turma de 40 alunos. 
Em um dia, essa turma foi dividida em três salas, A, B e C, 
de acordo com a capacidade das salas. Na sala A ficaram 10 
alunos, na B, outros 12 alunos e na C, 18 alunos. Será feito 
um sorteio no qual, primeiro, será sorteada uma sala e, 
posteriormente, será sorteado um aluno dessa sala. 
Qual é a probabilidade de aquela aluna específica ser sor-
teada, sabendo que ela está na sala C? 
(A) 1/3 
(B) 1/18 
(C) 1/40 
(D) 1/54 
(E) 7/18 
 
51)(Ju) Joice, professora da rede estadual de ensino, preo-
cupada com o futuro de seus alunos do terceiro ano, deci-
diu fazer um levantamento sobre a carreira que cada um 
deles deseja seguir. Ao todo, Joice tem 120 alunos no úl-
timo ano do Ensino médio, destes, 60% são meninas. Ape-
nas 14 alunos declararam que desejam fazer um curso de 
licenciatura e, entre esses, apenas 4 são rapazes. Sorte-
ando ao acaso um aluno e sabendo que o sorteado é um 
rapaz, a probabilidade de este pretender fazer um curso de 
licenciatura é de 
(A) 5/12. 
(B) 5/36. 
(C) 7/60. 
(D) 1/12. 
(E) 1/18. 
 
52) (Ju) Tipo de parto do segundo filho pode criar compli-
cações para a mãe 
“A mulher que escolhe ter o segundo filho de parto normal, 
depois de ter o primeiro de cesárea, apresenta maior risco 
 
 
 
40 
 
 
 
Matemática com a JU 
de sangramento e hemorragia, segundo um recente es-
tudo publicado na versão on-line da revista "Plos One". A 
probabilidade de haver complicações para a mãe conforme 
o tipo de parto escolhido na segunda gestação é de 2,3% 
para o parto normal e de 0,8% para a cesárea. 
“O estudo é assinado por pesquisadores do Centro de Pes-
quisa Australiana para a Saúde das Mulheres e dos Bebês” 
Folha de São Paulo, 14/03/2012 
 
Considere um grupo de 2000 mulheres, que estão na se-
gunda gestação e tiveram o primeiro filho de cesárea. Des-
tas, metade escolheu parto normal e a outra metade esco-
lheu cesariana. Se, durante o parto, uma dessas mulheres 
teve complicações, a probabilidade de ela ter escolhido 
parto normal é de cerca de 
(A) 3,1%. 
(B) 1,5%. 
(C) 60,0%. 
(D) 74,0%. 
(E) 67,5%. 
53)(UFMG) Seja S o conjunto dos números naturais de 1 a 
100. 
a) Determine a probabilidade de se escolherem dois núme-
ros distintos de S de forma que a soma deles seja um nú-
mero par. 
b) Determine a probabilidade de se escolherem dois núme-
ros distintos de S de forma que a soma deles seja divisível 
por 3. 
54)(CEFET) Numa cidade de 20.000 habitantes, pesquisou-
se sobre o consumo dos produtos x, y e z e observou-se o 
seguinte: 2.950 pessoas consomem o produto x, 3.900 o y, 
3.550 o z, 850 x e y, 950 y e z, 1.000 x e z e 12.000 não 
consomem nenhum deles. A probabilidade de uma pessoa, 
escolhida ao acaso, ser consumidora dos três produtos é 
de 
(A) 1/20. 
(B) 1/30. 
(C) 1/40. 
(D) 1/50. 
(E) 1/60. 
 
55)(UFV) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 
100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser um número 
maior que 40 ou número par é 
(A) 60%. 
(B) 70%. 
(C) 80%. 
(D) 90%. 
(E) 50%. 
 
56)(ENEM) Os estilos musicais preferidos pelos jovens bra-
sileiros são o samba, o rock e a MPB. O quadro a seguir re-
gistra o resultado de uma pesquisa relativa à preferência 
musical de um grupo de 1 000 alunos de uma escola. Al-
guns alunos disseram não ter preferência por nenhum des-
ses três estilos. 
 
 
Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pes-
quisado, qual é a probabilidade de ele preferir somente 
MPB? 
(A) 2%. 
(B) 5%. 
(C) 6%. 
(D) 11%. 
(E) 20%. 
 
57)(UFJF) Respondendo a um chamado de um centro de 
hemodiálise, 140 pessoas se apresentaram imediata-
mente. Um levantamento do tipo sanguíneo dessas pes-
soas indicou que 27 tinham tipo sanguíneo O, 56 o tipo A, 
29 o tipo AB, e o restante, o tipo B. A probabilidade de que 
uma pessoa deste grupo, selecionada ao acaso, tenha o 
tipo sanguíneo B é 
(A) 32%. 
(B) 28%. 
(C) 16%. 
(D) 25%. 
(E) 20%. 
 
58) (CEFET) Uma urna contém x bolas pretas e y bolas ver-
melhas. Se tirarmos uma bola aleatoriamente, a probabili-
dade de que ela seja preta é 4/7. Por outro lado, se acres-
centarmos 4 pretas e retirarmos 2 vermelhas, ao extrair-
mos novamente uma bola ao acaso, a probabilidade de que 
ela seja preta é 3/4. Nessas condições, a soma x + y é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
59)(UFMG) Leandro e Heloísa participam de um jogo em 
que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são 
brancas e as demais, pretas. 
 
 
 
41 
 
 
 
Matemática com a JU 
O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos 
e em observar as faces superiores de cada um deles 
quando param: 
• se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro 
vencerá; e 
• se as faces superiores forem de cores diferentes, Helo-
ísa vencerá. 
Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e 
uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo 
é de Então, é CORRETO afirmar que o outro cubo tem 
(A) quatro faces brancas. 
(B) uma face branca. 
(C) duas faces brancas. 
(D) três faces brancas. 
 
60)(ENEM) Um projeto para incentivar a reciclagem de lixo 
de um condomínio conta com a participação de um grupo de 
moradores, entre crianças, adolescentes e adultos, con-
forme dados do quadro. 
 
 
Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para 
falar do projetor. Sabe-se que a probabilidade de a pessoa 
escolhida ser uma criança é igual a dois terços. 
Diante disso, o número de crianças que participa desse pro-
jeto é 
(A) 6 
(B) 9 
(C) 10 
(D) 30 
(E) 45 
 
61) Duas pessoas atiram num alvo com probabilidades 40% 
e 30% respectivamente, de acertar. Nessas condições, deter-
mine a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo. 
62) (CEFET) A Coordenação de Matemática, de uma escola, 
promoveu uma gincana, na qual uma das tarefas era resolver 
o seguinte problema: 
“As faces de uma moeda são denominadas cara (K) e coroa 
(C). Se essa moeda for lançada 6 vezes, qual é a probabili-
dade de se obter 4 caras e 2 coroas?” A equipe marcaria 
ponto, nessa tarefa, se encontrasse 
(A) 15/64. 
(B) 27/64. 
(C) 7/32. 
(D) 9/32. 
(E) 5/16. 
 
63)(UFJF) Uma prova de um certo concurso contém 5 ques-
tões com 3 alternativas de resposta para cada uma, sendo 
somente uma dessas alternativas a resposta correta. Em 
cada questão, o candidato deve escolher uma das três alter-
nativas como resposta. Um certo candidato que participa 
desse concurso decidiu fazes essas escolhas aleatoriamente. 
A probabilidade desse candidato escolher todas as respostas 
corretas nessa prova é igual a 
(A) 3/5. 
(B) 1/3. 
(C) 1/15. 
(D) 1/125. 
(E) 1/243. 
 
64)(ENEM) Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa 
de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle 
durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em 
verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma inde-
pendente; a probabilidade de acusar a cor verde é de 2/3 e 
a de acusar a cor vermelha é de 1/3. Uma pessoa percorreu 
a pé toda essa avenida durante o período da pane, obser-
vando a cor da luz de cada um desses semáforos. 
Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado 
exatamente um sinal na cor verde? 
(A)
10x2
37< 
(B)
10x2>
37< 
(C)
27<
37<< 
(D)
2><
37<< 
(E)
2
37< 
 
65)(ENEM) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, 
quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a pro-
babilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica 
para fazer um tratamento específico para garantir que te-
ria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal concluiu 
que a probabilidade de ter exatamente 2 filhoshomens é 
(A) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
(B) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
(C) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
(D) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer 
um tratamento. 
11
18
 
 
 
42 
 
 
 
Matemática com a JU 
(E) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fa-
zer um tratamento 
66) (VUNESP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de fé-
rias para cidades distintas. Os pais recomendam que am-
bos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência 
em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Ca-
roline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de 
Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline tele-
fonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos 
contatar os pais é 
(A) 0,20. (B) 0,48. 
(C) 0,64. (D) 0,86. 
(E) 0,92. 
 
67)(ENEM) Em uma escola, a probabilidade de um aluno 
compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa es-
cola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, 
aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entre-
vista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador 
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que 
pode ser respondida por qualquer um dos alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua 
pergunta oralmente respondida em inglês é 
(A) 23,7%. 
(B) 30,0%. 
(C) 44,1%. 
(D) 65,7%. 
(E) 90,0%. 
 
68)(ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabri-
cante de telefones celulares aponta que a probabilidade de 
um aparelho de determinado modelo apresentar defeito 
de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 
aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabi-
lidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois apa-
relhos defeituosos? 
(A) 2 ´ (0,2%)4. 
(B) 4 ´ (0,2%)2. 
(C) 6 ´ (0,2%)2 ´ (99,8%)2. 
(D) 4 ´ (0,2%). 
(E) 6 ´ (0,2%) ´ (99,8%). 
 
69)(ENEM) O psicólogo de uma empresa aplica um teste 
para analisar a aptidão de um candidato a determinado 
cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas 
respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando 
o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato 
der a segunda resposta errada. Com base em testes ante-
riores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato 
errar uma resposta é 0,20. 
A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é 
(A) 0,02048. 
(B) 0,08192. 
(C) 0,24000. 
(D) 0,40960. 
(E)0,49152. 
 
70)(UFMG) Considere uma prova de Matemática constitu-
ída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro al-
ternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um 
candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoria-
mente, uma alternativa em cada questão. Então, é COR-
RETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acer-
tar, nessa prova, exatamente uma questão é 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
 
71) (UFJF) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. A 
probabilidade de que pelos menos uma criança seja me-
nino é de 
(A) 25%. 
(B) 42%. 
(C) 43,7%. 
(D) 87,5%. 
(E) 64,6%. 
 
72) (Ju) PREVISÃO DO TEMPO PARA UBATUBA-SP 
 
 
Retirado de: http://www.climatempo.com.br/previsao.php?CODCI-
DADE=570. 
Acesso em 29/03/2018 
 
27
64
27
256
9
64
9
256
 
 
 
43 
 
 
 
Matemática com a JU 
Um casal passou o feriado prolongado na cidade litorânea 
de Ubatuba-SP. Uma das cidades, mais belas do país. O mu-
nicípio conta com 82 praias, sendo muitas com acesso ape-
nas por trilhas. Porém, a cidade é conhecida pela grande 
incidência de chuva. O quadro mostra a previsão do tempo 
para 5 dias. Repare que o mesmo traz, como uma de suas 
informações, a probabilidade de chover. 
Supondo que esse casal tenha chegado a Ubatuba na 
quarta-feira dia (04/04) e partido da cidade no início 
da tarde de sábado (07/04), a probabilidade de eles te-
rem tido, exatamente, dois dias sem chuva durante sua es-
tadia nessa cidade e igual a 
(A) 10,24 %. 
(B) 15,36 %. 
(C) 20,48 %. 
(D) 30,72%. 
(E) 40,96 %. 
 
73)(ESAF) Ana é enfermeira de um grande hospital e 
aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela 
sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à 
probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe 
que os eventos “nascimento de menino” e “nascimento de 
menina” são eventos independentes. Deste modo, a pro-
babilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é 
igual a 
(A) 2/3. 
(B) 1/8. 
(C) 1/2. 
(D) 1/4. 
(E) 3/4. 
 
74) (ESAF) Em um hospital, 20% dos enfermos estão aco-
metidos de algum tipo de infecção hospitalar. Para dar con-
tinuidade às pesquisas que estão sendo realizadas para 
controlar o avanço deste tipo de infecção, cinco enfermos 
desse hospital são selecionados, ao acaso e com reposição. 
A probabilidade de que exatamente três dos enfermos se-
lecionados não estejam acometidos de algum tipo de infec-
ção hospitalar é igual a 
(A) (0,8)3. (0,2)2. 
(B) 10.(0,8)2.(0,2)3. 
(C) (0,8)2. (0,2)3. 
(D) 10.(0,8)3.(0,2)2. 
(E) (0,8)3. (0,2)0. 
 
75)(ENEM) A figura I abaixo mostra um esquema das prin-
cipais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada 
número indicado na figura II representa a probabilidade de 
pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. 
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar 
engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto 
B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa 
por E3. Essas probabilidades são independentes umas das 
outras. 
 
 
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B 
usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo 
um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento 
possível. 
O melhor trajeto para Paula é 
(A) E1E3. 
(B) E1E4. 
(C) E2E4. 
(D) E2E5. 
(E) E2E6. 
 
76)(MACK) Uma caixa contém 2 bolas brancas, 3 vermelhas 
e 4 pretas. Retiradas, simultaneamente, três bolas, a pro-
babilidade de pelo menos uma ser branca é 
(A) 1/3. 
(B) 7/12. 
(C) 2/9. 
(D) 2/7. 
(E) 5/12. 
 
77)(UFOP) Numa caixa, são depositadas cinco bolinhas: 
uma azul, uma verde, uma branca, uma preta e uma cinza. 
João e Pedro fazem a seguinte brincadeira: João se retira 
do local e Pedro retira duas bolinhas da caixa e as esconde. 
João, ao voltar, aposta que Pedro retirou as bolinhas cinza 
e verde. A probabilidade de que João acerte o resultado é 
de 
(A) 5%. 
(B) 10%. 
(C) 20%. 
(D) 40%. 
 
78) (UFJF) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. 
Retiram-se duas bolas da urna sucessivamente e com 
 
 
 
44 
 
 
 
Matemática com a JU 
reposição. A probabilidade de o número da segunda bola 
ser o dobro do número da primeira bola é de 
(A) 1/25. 
(B) 1/20. 
(C) 1/10. 
(D) 1/5. 
(E) 1/4. 
 
79)(CEFET) Em uma urna contendo 4 bolas verdes, 3 azuis 
e 2 pretas, 5 foram retiradas ao acaso, sucessivamente, 
sem reposição. A probabilidade de que tenham sido retira-
das 2 bolas verdes, 2 azuis e 1 preta é 
(A) 2/7 
(B) 2/5 
(C) 3/7 
(D) 4/7 
(E) 3/5 
 
80) (UFJF) Uma urna contém 9 bolas numeradas de 1 a 9. 
Deseja-se formar um número de 3 algarismos e, para tanto, 
são sorteadas três bolas sem reposição, sendo que a pri-
meira bola determinará o algarismo das unidades do nú-
mero, a segunda bola determinará o algarismo das dezenas 
do número e a terceira, o algarismo das centenas do nú-
mero. A probabilidade de o número formado ser par é de 
(A) 1/9. 
(B) 2/9. 
(C) 1/3. 
(D) 4/9. 
(E) 5/9. 
 
81)(UFJF) Uma urna contém seis bolas numeradas de 1 a 6. 
Para sortear dois números, são retiradas simultaneamente 
e ao acaso duas bolas dessa urna. Qual a probabilidade de 
que o maior dentre os números assim sorteados seja o nú-
mero 4? 
(A) 1/3. 
(B) 3/5. 
(C) 1/5. 
(D) 4/15. 
(E) 2/3. 
 
82)(ENEM) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de 
mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as 
quantidades de bolas de cada cor em cada urna. 
Cor Urna 1 Urna 2 
Amarela 4 0 
Azul 3 1 
Branca 2 2 
Verde 1 3 
Vermelha 0 4 
Uma jogada consiste em: 
1°) ojogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que 
será retirada por ele da urna 2; 
2°) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a co-
loca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 
3°) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma 
bola da urna 2; 
4°) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite 
inicial, ele ganha o jogo. 
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele te-
nha a maior probabilidade de ganhar? 
(A) Azul. 
(B) Amarela. 
(C) Branca. 
(D) Verde. 
(E) Vermelha. 
 
83)(UFLA) Uma caixa contém 5 bilhetes numerados de 1 a 
5. Se 3 destes bilhetes são tirados juntos, qual a probabili-
dade de ser ímpar a soma dos números? 
(A) 4/5. 
(B) 3/5. 
(C) 1/2. 
(D) 2/5. 
(E) 1/3. 
 
84) Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabili-
dade de ambos os dados mostrarem, na face superior, nú-
meros ímpares é 
(A) 1/3. 
(B) 1/2. 
(C) 1/4. 
(D) 2/5. 
(E) 3/5. 
 
85)(ENEM) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não 
viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um nú-
mero de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultane-
amente. José acredita que, após jogar seus dados, os nú-
meros das faces voltadas para cima lhe darão uma soma 
igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e 
Antônio acredita que sua soma será igual a 8. 
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de 
acertar sua respectiva soma é 
 
 
 
45 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhi-
das. 
(B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para 
escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há 
apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. 
(C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a 
escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há 
apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. 
(D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 
5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 
possibilidades para formar a soma de Paulo. 
(E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 
 
86)(Ju) Dois primos, Guilherme e Ana estão participando 
de um desafio que consiste em lançar dois dados e obser-
var a soma dos números obtidos. Aquele que obtiver a 
maior soma será considerado o vencedor. Se, por acaso, as 
somas obtidas forem iguais, ganha o jogo quem tiver feito 
o lançamento primeiro. Guilherme foi o primeiro a lançar 
os dados e obteve soma igual a 8. Dessa forma, a probabi-
lidade de Ana vencer o jogo é de 
 
(A)
5
18 
(B)
5
36 
(C)
4
9 
(D)
5
12 
(E)
5
6 
 
87)(CESGRANRIO) Se um dado é lançado três vezes, a pro-
babilidade de serem obtidos, em qualquer ordem, os valo-
res, 1, 2 e 3 é 
(A) 1/36. 
(B) 1/72. 
(C) 1/108. 
(D) 1/120. 
(E) 1/216. 
 
88)Os resultados de 1800 lançamentos de um dado estão 
descritos na tabela abaixo: 
N° da face 1 2 3 4 5 6 
Frequência 150 300 450 300 350 250 
Se lançarmos o mesmo dado duas vezes, podemos afirmar 
que 
(A) a probabilidade de sair pelo menos uma face 4 é 11/36. 
(B) a probabilidade de saírem duas faces 2 é 1/3. 
(C) a probabilidade de sair duas faces 3 é 1/36. 
(D) a probabilidade de saírem as faces 3 e 4 é 1/18. 
(E) a probabilidade de saírem duas faces maiores que 5 é 
35/36. 
 
89)(UFV) Na tabela abaixo estão apresentados dados refe-
rentes a um grupo de estudantes matriculados em quatro 
cursos de uma universidade, distribuídos segundo o sexo, 
sendo que cada estudante está matriculado em apenas um 
curso. 
Sexo 
Curso 
Mulher Homem 
Matemática a 60 
Ciência da Computação 45 b 
Física 27 76 
Engenharia Elétrica 40 155 
 
Uma pessoa desse grupo de estudantes é escolhida ao 
acaso. Sejam p1, p2, p3 e p4, respectivamente, as probabili-
dades de ser homem, mulher, aluno de Matemática e 
aluno de Ciências da Computação. Sabendo-se que p1 = 3p2 
e que p4 = 2p3, então a + b vale 
(A) 165. 
(B) 145. 
(C) 155. 
(D) 135. 
(E) 175. 
 
90)(UFOP) Três amigos, Henrique, João e Rogério, dispu-
tam uma partida de bolinha de gude. A probabilidade de 
ganhar o jogo é dada da seguinte maneira: João tem o do-
bro da probabilidade de Henrique que, por sua vez, tem o 
triplo da probabilidade de Rogério. As probabilidades de 
Henrique, João e Rogério ganharem, respectivamente, 
são: 
(A) 1/3, 1/2 e 1/6. 
(B) 3, 6 e 1. 
(C) 3/10, 3/5, e 1/10. 
(D) 2, 3 e 1. 
 
91)Três nadadores A, B e C participam de uma competição. 
A e B têm a mesma probabilidade de vencer e C tem a me-
tade dessa probabilidade. Visto que a competição não ad-
mite um empate, qual a probabilidade de B ou C vencer? 
92)Se a probabilidade de ocorrer A é cinco vezes a de ocor-
rer B, e esta corresponde a 50% da probabilidade de ocor-
rência de C, então a probabilidade de ocorrer 
 
 
 
46 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) A é igual a duas vezes a de ocorrer C. 
(B) C é igual à metade da de ocorrer B. 
(C) B ou C é igual a 42,5%. 
(D) A ou B é igual a 75%. 
(E) A ou C é igual a 92,5%. 
 
93)(FATEC) No lançamento de um dado, seja pk a probabi-
lidade de se obter o número k, com 
p1 = p3 = p5 = x 
p2 = p4 = p6 = y 
Se, num único lançamento, a probabilidade de se obter um 
número menor ou igual a três é 3/5, então x - y é igual a 
(A) 1/15. 
(B) 2/15. 
(C) 1/5. 
(D) 4/15. 
(E) 1/3. 
 
94)(IBES) Dos 180 funcionários de uma empresa, sabe-se 
que 60% são do sexo masculino e 40% possuem graduação. 
Sabe-se ainda que 25% das pessoas de sexo feminino são 
graduadas. Qual a probabilidade de selecionar-se, ao 
acaso, um funcionário do sexo masculino que não seja gra-
duado? 
(A) 5/12. 
(B) 3/10. 
(C) 2/9. 
(D) 1/5. 
(E) 5/36. 
 
95)(ESAF) As pesquisas médicas indicam que, 70% dos pa-
cientes portadores de uma determinada moléstia, quando 
submetidos a um novo tratamento, ficam curados. Se o Dr. 
Paulo submeter quatro pacientes portadores dessa molés-
tia a esse novo tratamento, então a probabilidade de dois 
desses pacientes ficarem curados é igual a 
(A) 26,46 %. 
(B) 50 %. 
(C) 49 %. 
(D) 32 %. 
(E) 30 %. 
 
96)(ESAF) Uma empresa possui 200 funcionários dos quais 
40% possuem plano de saúde, e 60 % são homens. Sabe-se 
que 25% das mulheres que trabalham nesta empresa pos-
suem planos de saúde. Selecionando-se, aleatoriamente, 
um funcionário desta empresa, a probabilidade de que seja 
mulher e possua plano de saúde é igual a 
(A) 1/10. 
(B) 2/5. 
(C) 3/10. 
(D) 4/5. 
(E) 4/7. 
 
97)(FGV) Em um grupo de turistas, 40% são homens. Se 
30% dos homens são fumantes e 50% das mulheres desse 
grupo são fumantes, a probabilidade de que um turista fu-
mante seja mulher é igual a 
(A) 5/7. 
(B) 3/10. 
(C) 2/7. 
(D) ½. 
(E) 7/10. 
 
98)(UFLA) Suponha que a probabilidade de um indivíduo 
contrair gripe no inverno seja de 25% e 10% caso ele tenha 
sido vacinado. Se em uma população de 10.000 pessoas, a 
campanha de vacinação obtivesse 80% de cobertura, o nú-
mero esperado de casos de gripe seria de 
(A) 1.300 casos. 
(B) 1.000 casos. 
(C) 1.100 casos. 
(D) 1.500 casos. 
(E) 2.000 casos. 
 
99)(CEFET) Uma mulher dispõe de 3 vestidos, 3 saias, 4 blu-
sas, 2 calças, 3 pares de sapatos e 3 pares de tênis para 
compor um conjunto de roupa e calçado. Seu senso esté-
tico não lhe permite combinar saias ou vestidos com tênis, 
saias ou vestidos com calças e nem vestidos com blusas. Ao 
escolher, ao acaso, uma de suas composições, a probabili-
dade de haver saia é, aproximadamente, de 
(A) 15%. 
(B) 23%. 
(C) 38%. 
(D) 41%. 
(E) 57%. 
 
100)(ENEM) Para verificar e analisar o grau de eficiência de 
um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença 
numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o em 
um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa do-
ença. Porém, o teste não é totalmente eficaz, podendo 
existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos do-
entes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ra-
tos possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resul-
tado positivoe 40 ratos são doentes com resultado nega-
tivo. 
Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu re-
sultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser sau-
dável é 
 
 
 
47 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
101)Para analisar o desempenho de um método diagnós-
tico, realizam-se estudos em populações contendo pacien-
tes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem 
acontecer nesse contexto de teste: 
1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSI-
TIVO. 
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGA-
TIVO. 
3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é 
POSITIVO. 
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é 
NEGATIVO. 
Um índice de desempenho para avaliação de um teste di-
agnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade 
de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver 
com a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico 
para a doença A, aplicado em uma amostra composta por 
duzentos indivíduos. 
 
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática.São 
Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado). 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é 
de 
(A) 47,5%. 
(B) 85,0%. 
(C) 86,3%. 
(D) 94,4%. 
(E) 95,0%. 
 
102)(ENEM) Um laboratório está desenvolvendo um teste 
rápido para detectar a presença de determinado vírus na 
saliva. Para conhecer a acurácia do teste é necessário ava-
liá-lo em indivíduos sabidamente doentes e nos sadios. A 
acurácia de um teste é dada pela capacidade de reconhecer 
os verdadeiros positivos (presença de vírus) e os 
verdadeiros negativos (ausência de vírus). A probabilidade 
de o teste reconhecer os verdadeiros negativos é denomi-
nada especificidade, definida pela probabilidade de o teste 
resultar negativo, dado que o indivíduo é sadio. O labora-
tório realizou um estudo com 150 indivíduos e os resulta-
dos estão no quadro. 
 
 
Considerando os resultados apresentados no quadro, a es-
pecificidade do teste da saliva tem valor igual a 
(A) 0,11 
(B) 0,15 
(C) 0,60 
(D) 0,89 
(E) 0,96 
 
103)(PUC-PR) Em uma turma de 16 alunos, há 10 homens 
(Fernando é um deles) e 6 mulheres (Vera é uma delas). Se 
desejarmos formar uma comissão de 4 homens e 2 mulhe-
res, e escolhermos aleatoriamente a comissão, qual a proba-
bilidade de Fernando e Vera fazerem parte da Comissão? 
(A) 1/4. 
(B) 1/3. 
(C) 1/5. 
(D) 2/15. 
(E) 5/8. 
 
104) (PUC-PR) Há em um hospital 9 enfermeiras (Karla é uma 
delas) e 5 médicos (Lucas é um deles). Diariamente, devem 
permanecer de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual a 
probabilidade de Karla e Lucas estarem de plantão no 
mesmo dia? 
(A) 1/3. 
(B) 1/4. 
(C) 8/45. 
(D) 1/5. 
(E) 2/3. 
 
105)(CEFET) Uma urna contém as letras A, A, E, E, G, H, I, N, 
N e R. Se todas as letras fossem retiradas da urna, uma após 
a outra, sem reposição, a probabilidade de ser formada a pa-
lavra ENGENHARIA, na sequência das letras retiradas, é de 
uma em 
(A) 453 600 
(B) 462 800 
(C) 468 400 
1
5
4
5
19
21
19
25
21
25
 
 
 
48 
 
 
 
Matemática com a JU 
(D) 472 200 
(E) 476 600 
 
106)(Ju) Lucas estava observando sua irmã mais velha, Ana, 
que estava anotando uma estranha sequência de zeros e 
uns. Ao indaga-la sobre a sequência, ouviu que se tratava da 
senha que ela iria utilizar para acessar sua rede social favo-
rita. Muito curioso e com vontade de acessar o perfil da irmã, 
o jovem garoto começou a reparar com muita atenção o que 
ela fazia. Ele percebeu que a sequência estava sendo ano-
tada em um papel quadriculado com quatro linhas e quatro 
colunas. Mas, desconfiada, sua irmã tomou as precauções 
devidas e Lucas só conseguiu enxergar alguns números, 
como na figura a seguir 
 
Convencida da impossibilidade de Lucas adivinhar a se-
quência, Ana forneceu-lhe uma pista, contou-lhe que sua 
senha é composta por nove 1’s e sete 0’s, a probabilidade 
de Lucas, em sua primeira tentativa acertar a senha de Ana 
é de 
	
(A)
1
1024 
(B)
1
512 
(C)
1
256 
(D)
1
252 
(E)
1
126 
 
107)(UFMG) Dois jovens partiram, do acampamento em 
que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira 
Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada 
neste esquema: 
 
Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, 
com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e se-
guiam em diante. Então, é CORRETO afirmar que a proba-
bilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é 
(A) 1/2. 
(B) 2/3. 
(C) 3/4. 
(D) 5/6. 
 
108) Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, 
prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se en-
contra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. 
O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da 
entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e 
dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O ado-
lescente não tem conhecimento do mapa do parque e de-
cide ir caminhando da entrada até chegar à área IV. I V 
 
 
 
Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções 
existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais 
probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita esco-
lhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar 
um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o ado-
lescente necessariamente passa por ela ou retorna. Nessas 
condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem pas-
sar por outras áreas e sem retornar é igual a 
(A)	
1
96 
(B)
1
64 
(C)
5
24 
(D)
1
4 
(E)
5
12 
 
 
 
 
49 
 
 
 
Matemática com a JU 
109)(UFOP) No lançamento de uma moeda três vezes con-
secutivas, Pedro aposta com seu colega Antônio que ou sa-
irá cara exatamente duas vezes ou os resultados serão to-
dos iguais. Antônio aposta que sairá coroa pelo menos uma 
vez. Determine as probabilidades de Pedro e Antônio acer-
tarem os resultados e diga quem tem mais chances de ga-
nhar a aposta. 
 
110)(UFMG) Vinte alunos de uma escola, entre os quais, 
Gabriel, Mateus e Roger, formam uma fila aleatoriamente. 
1. DETERMINE a probabilidade de essa fila ser formada de 
tal modo que Gabriel, Mateus e Roger apareçam juntos, 
em qualquer ordem. 
2. DETERMINE a probabilidade de essa fila ser formada de 
tal modo que, entre Gabriel e Mateus, haja, exatamente, 
cinco outros alunos. 
111)(UFMG) Lílian possui sete pares de meias brancas, 
quatro pares de meias cinza, três pares de meias pretas e 
cinco pares de meias azuis. Sabe-se que as meias de mesma 
cor são idênticas. Suponha que todas essas meias estão 
embaralhadas em uma gaveta e que Lílian retira dela, ale-
atoriamente, certo número de meias. Considerando essas 
informações, DETERMINE 
 
1. o número mínimo de pés de meia que Lílian deve retirar 
dessa gaveta para ter certeza de ter, pelo menos, um par 
de meias de uma mesma cor. 
2. a probabilidade de Lílian, ao retirar exatamente dois pés 
de meia dessa gaveta, obter um par de meias de uma 
mesma cor. 
3. a probabilidade de Lílian, ao retirar quatro pés de meia 
dessa gaveta, obter, pelo menos, um par de meias de uma 
mesma cor. 
112)(UFMG) Em um reality show um grupo de 15 partici-
pantes é dividido em dois grupos: um de 8 e outro de 7 
pessoas. Durante a primeira semana do jogo, as 8 pessoas 
do primeiro grupo são alojadas numa casa de luxo e as 7 do 
segundo, num pequeno e desconfortável barracão. 
Finda a primeira semana, dois novos grupos são formados 
para a semana seguinte. 
A formação desses novos grupos faz-se desta maneira: 
cada um dos 15 participantes retira uma bola de uma urna 
que contém 15 bolas: 8 brancas e 7 vermelhas. Os partici-
pantes que retirarem bolas brancas vão para a casa de luxo 
e os que retirarem bolas vermelhas, para o barracão. 
Considerando essas informações, 
1. DETERMINE a probabilidade de, após a formação dos no-
vos grupos, Zuzu, participante do programa, habitar a casa 
de luxo. 
2. DETERMINE a probabilidade de os dois novos grupos for-
mados serem constituídos pelos mesmos participantes da 
etapa anterior, isto é,os 8 que estavam na casa continua-
rem nela, e os outros mesmos 7 permanecerem no bar-
racão. 
3. DETERMINE a probabilidade de, na nova formação, to-
dos os 7 participantes que estavam no barracão irem para 
a casa. 
113) Numa brincadeira, um dado, com faces numeradas de 
1 a 6, será lançado por Cristiano e, depois, por Ronaldo. 
Será considerado vencedor aquele que obtiver o maior 
lançamento. Se, nos dois lançamentos, for obtido o mesmo 
resultado, ocorrerá empate. 
Com base nessas informações, 
1.CALCULE a probabilidade de ocorrer um empate. 
2. CALCULE a probabilidade de Cristiano ser o vencedor. 
114) (UFMG) Considere três caixas: a primeira contém 
duas moedas douradas; a segunda, duas moedas pratea-
das; e a terceira, uma moeda dourada e uma prateada. 
a) Escolhe-se, aleatoriamente, uma das três caixas e, dela, 
se retira uma moeda, também ao acaso. Determine a 
probabilidade de essa moeda ser dourada. 
b) Escolhe-se, aleatoriamente, uma das três caixas e, dela, 
se retiram as duas moedas. Determine a probabilidade 
de essas duas moedas serem douradas. 
c) Escolhe-se, aleatoriamente, uma das três caixas e, dela, 
se retira uma moeda, também ao acaso. Suponha que a 
moeda retirada seja dourada. Determine a probabili-
dade de a outra moeda da mesma caixa ser, também, 
dourada. 
115) (VUNESP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Reti-
ram-se duas cartas uma após outra. Qual a probabilidade 
de que a segunda seja um ás sabendo que a primeira é um 
ás? 
116) (VUNESP) Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 são 
ases. Retiram-se 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de 
haver pelo menos um ás entre as cartas retiradas? 
 
 
 
50 
 
 
 
Matemática com a JU 
GABARITO 
1. a) 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) E1 = {2, 4, 6} 
c) E2 = {5, 6} 
d) E3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
e) E4 = Æ 
2. E 
3. E 
4. B 
5. A 
6. C 
7. E 
8. E 
9. C 
10. D 
11. C 
12. D 
13. E 
14. C 
15. B 
16. A 
17. A 
18. D 
19. a) 9/200 
b) 9/60 
c) 9/68 
20. a) 20% 
 b) 50% 
21. D 
22. C 
23. C 
24. C 
25. B 
26. C 
27. A 
28. D 
29. 1/7 
30. B 
31. D 
32. E 
33. D 
34. D 
35.B 
36. B 
37. B 
38. B 
39. C 
40. D 
41. B 
42. A 
43. B 
44. A 
45. C 
46. 8157/17296 
47.C 
48. B 
49. E 
50. D 
51. D 
52. D 
53. a) 49/99 b) 1/3 
54. D 
55. C 
56. D 
57. E 
58. C 
59.A 
60. D 
61. 46% 
62. A 
63. E 
64. A 
65. E 
66. E 
67. D 
68. C 
69. B 
70. A 
71. D 
72. B 
73. D 
74. D 
75. D 
76. B 
77. B 
78. B 
79. A 
80. D 
81. C 
82. E 
83. D 
84. C 
85. D 
86. A 
87. A 
88. A 
89. A 
90. C 
91. 3/5 
92. D 
93. C 
94. B 
95. A 
96. A 
97. A 
98. A 
99. C 
100.C 
101. E 
102. D 
103. D 
104. C 
105. A 
106. D 
107. C 
108. C 
109. P(Pedro ga-
nhar)=5/8 
P(Antônio ganhar) 
=7/8 
 Conclui-se que An-
tônio tem mais 
chances de ganhar. 
 
110. I) 3/190 
II) 7/95 
111. I) 5 II) 179/703 
III) 639/703 
112.I)8/15 
II) (8!.7!)/15! 
III) (8!)2/15! 
113.I) 1/6 II) 5/12 
114. I) 1/2 II) 1/3 
III) 2/3 
115.3/12 
116. 41/55