ANALISE COMBINATORIA E PROBABILIDADE DOWNLOAD

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Matemática com a JU 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A pergunta que vai nos acompanhar nessa matéria co-
meça sempre da mesma forma, ou com uma estrutura 
semelhante às que se seguem. 
“De quantas maneiras diferentes é possível...” 
“Quantos são os resultados distintos...” 
Em combinatória não encontramos perguntas 
do tipo: 
“Quais são os resultados possíveis?” 
Pois, na maioria dos casos, não é possível listar todos 
os resultados de um experimento. 
 
Acompanhe o exemplo a seguir: 
Quantos resultados diferentes podem ser obtidos ao 
se lançar um dado? 
Nesse caso, não teremos dificuldades para responder 
a esse questionamento. Em um dado comum, são seis 
resultados possíveis, pois o dado tem apenas seis fa-
ces: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Pensemos agora numa situação mais avançada: 
As placas de carro são formadas por uma sequência de 
três letras (repetidas ou não) seguidas de quatro nú-
meros (repetidos ou não). Sendo assim, quantas pla-
cas diferentes podem ser formadas de acordo com as 
regras brasileiras? 
Essa, já não é uma pergunta tão fácil de ser respon-
dida, pois a resposta será um número na casa dos mi-
lhões. Imagine sendo colocadas em ordem alfabética 
e crescente todas as placas de carro possíveis: 
AAA0000 
AAA0001 
AAA0002 
AAA0003 
 : 
 : 
ZZZ9998 
ZZZ9999 
 
Entretanto, usando conhecimentos matemáticos, essa 
última pergunta pode ser facilmente respondida 
A grande vantagem da Análise Combinatória é justa-
mente nos propiciar a contagem de quantos elemen-
tos há em alguns conjuntos finitos, mesmo que a 
quantidade desses elementos seja enorme. 
São dois, os princípios básicos que regem a Análise 
Combinatória: o Princípio Aditivo e o Principio Multi-
plicativo que explicaremos a seguir. 
Primeiro, considere dois conjuntos: 
Conjunto A com x elementos 
Conjunto B com y elementos 
Princípio ativo: 
 
Se for escolhido apenas um elemento de A ou B, o nú-
mero de maneiras diferentes de se fazer essa escolha 
será dado por x + y. 
 
Princípio multiplicativo: 
Se forem escolhidos 2 elementos, um de A e um de B, 
o número de maneiras diferentes de se fazer essa es-
colha será dado por x.y. 
Observação: 
Repare que no enunciado usamos apenas dois conjun-
tos, mas ambas as ideias podem ser expandidas para 
mais de dois conjuntos. 
Exemplos: 
1. Na cantina de um colégio há 4 sabores de sucos na-
turais (laranja, limão, morango e pêssego) e há 5 tipos 
diferentes de salgados (coxinha, pastel, quibe, enro-
lado e empada) 
Se um aluno só tem dinheiro para comprar um suco ou 
um salgado, de quantas maneiras diferentes posso fa-
zer o pedido de um desses itens, nessa lanchonete? 
Escolhas possíveis: 
Suco ou Salgado 
N° de escolhas = N° de sucos + N° de salgados 
N° de escolhas = 4 + 5 = 9 
 
2. Considerando a mesma cantina do exemplo ante-
rior, se o aluno dispuser de dinheiro suficiente para 
comprar um suco e um salgado, de quantas maneiras 
diferentes posso fazer um pedido de cada um desses 
itens? 
Escolhas: 1 Suco e 1 Salgado 
N° de escolhas = N° de sucos x N° de salgados 
N° de escolhas = 4 x 5 = 20. 
3. Na biblioteca de uma escola emprestam-se até 3 li-
vros para os alunos estudarem em casa. Laura terá 
provas de Matemática, História e Biologia na semana 
seguinte e na biblioteca há 5 livros diferentes 
 
 
 
2 
 
 
 
Matemática com a JU 
Matemática, 4 de História e 6 de Biologia que foram 
indicados pelos professores. 
 
a) Se Laura quiser levar apenas um desses livros para 
estudar, de quantas maneiras poderá fazer sua esco-
lha? 
 
Escolhas: Matemática ou História ou Biologia 
N° de escolhas = 5 + 4 + 6 = 15 escolhas diferentes. 
 
b) Se Laura quiser levar um livro de cada matéria, de 
quantas maneiras ela poderá fazer sua escolha? 
 
Escolhas: 1 de Matemática e 1 de História e 1 de Bio-
logia 
N° de escolhas = 5 x 4 x 6 = 120 escolhas diferentes. 
 
c) Se Laura quiser levar exatamente 2 livros de maté-
rias diferentes para estudar, de quantas maneiras po-
derá fazer sua escolha? 
 
Escolhas: (Mat e His) ou (Mat e Bio) ou (His e Bio) 
N° de escolhas = (5 x 4) + (5 x 6) + (4 x 6) = 20 + 30 
+ 24 = 74 escolhas diferentes. 
 
Resumindo: Ao escolher elementos de 2 ou mais con-
juntos: 
Usando ou → somar 
Usando e → multiplicar. 
 
Algumas dicas para a resolução de problemas de Com-
binatória 
Formação de números e senhas 
Importante: Em qualquer problema devemos SEMPRE 
começar pelas restrições. A única forma de garantir-
mos que algo aconteça num problema de combinató-
ria e forçando a sua ocorrência. 
 
Na formação de um número de n algarismos 
ou de uma senha com n dígitos, devemos observar as 
regras a seguir: 
• Para cada casa deve-se observar o número 
de elementos diferentes que podem ocupá-la. 
• Na formação de um número, a primeira casa 
da esquerda para a direita não pode ser preenchida 
pelo zero. 
• Nas senhas, o dígito inicial pode ser o zero 
(nas placas de automóveis também). 
Exemplos: 
1. Quantos números de 3 algarismos existem no nosso 
Sistema Decimal? 
(100, 101, 102, 103, ....... 998, 999) 
A casa das centenas pode ser preenchida por 9 algaris-
mos diferentes (1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
A casa das dezenas e a casa das unidades podem ser 
preenchidas por 10 algarismos diferentes: 
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
 
 
Para se formar o número de 3 algarismos, temos que 
ter centena e dezena e unidade, portanto devemos 
usar o princípio multiplicativo. 
Quantidade de Números = 9 × 10 × 10 = 900. 
2. Quantas senhas podem ser formadas com 3 dígitos, 
escolhidos entre os algarismos do Sistema Decimal? 
(000, 001, 002, 003, ... 999) 
 
Cada casa pode ser preenchida por 10 elementos dife-
rentes. 
Portanto o número de senhas possíveis são: 
 10 × 10 × 10 = 1000. 
3. Quantas placas de carro podem ser formadas com 3 
letras seguidas de 4 algarismos? 
 
As 3 primeiras casas podem ser preenchidas por 26 le-
tras diferentes. 
As 4 últimas casas podem ser preenchidas por 10 alga-
rismos diferentes 
Dessa maneira, tem-se 
 
 
Total de placas = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 
175.760.000 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte 1) 
1) Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 pe-
ças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a ape-
nas 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode 
fazer? 
2) Se no exercício anterior, Carlos tivesse dinheiro para as-
sistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os pro-
gramas que ele poderia fazer? 
C
9
D
10
U
10
°1
10
°2
10
°3
10
L
26
L
26
L
26
°N
10
°N
10
°N
10
°N
10
Normalmente, não é fácil aprender Análise Combinatória. 
Há diversos tipos de exercícios com ideias e maneiras dife-
rentes de se organizar o raciocínio. Procure sempre enten-
der o que está sendo feito e mais que isso, procure organi-
zar o evento. Imagine-se personagem da situação apresen-
tada e enumere (preferencialmente por escrito) cada etapa 
(cronologicamente) do que se pede na questão. 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Matemática com a JU 
3) Numa confeitaria há 5 sabores de sorvetes e 3 sabores de 
salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para to-
mar um sorvete ou comer um salgado. Quantos são os pos-
síveis pedidos que Maria pode fazer? 
4) Suponha que Lúcia vá à confeitaria com Maria e possa 
tomar um sorvete e comer um salgado. Quantos pedidos di-
ferentes Lúcia pode fazer? 
5) Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos 
de mesas. De quantas maneiras podemos formar um con-
junto de 1 mesa com 4 cadeiras iguais? 
6) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemática 
e 7 livros diferentes de Física e permitiu-me escolher apenas 
um livro. De quantas maneiras diferentes essa escolha pode 
ser feita? 
7) No exercício anterior, quantas escolhas diferentes existi-
riam se eu pudesse escolher um livro de cada matéria? 
8) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma 
classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam 
dados a um mesmo rapaz? 
9) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma 
classe com 10 rapazes, seé permitido que ambos sejam da-
dos a um mesmo rapaz? 
10) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemá-
tica, 7 livros diferentes de Física e 10 livros diferentes de 
Química e pediu-me para escolher 2 livros com a condição 
de que eles não fossem da mesma matéria. De quantas ma-
neiras eu posso escolhê-los? 
11) De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus 
carros numa garagem com 6 vagas? (Considere que o carro 
estacionado de ré é diferente de o carro estacionado de 
frente) 
12) Uma fábrica tem 5 modelos de telefone e utiliza 7 cores 
em todos eles. Quantas opções tem o consumidor? 
13) Um indivíduo possui 3 pares de sapato, 5 pares de 
meias, 4 calças, 5 camisas e 3 paletós. De quantas maneiras 
pode sair à rua vestindo trajes completos? 
14) De quantas maneiras poderia se vestir o indivíduo do 
exercício anterior se fosse facultativo o uso do paletó? 
15) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 
questões de múltipla escolha, com cinco alternativas por 
questão? 
16) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 ca-
deiras em fila? 
17) Em um concurso há três candidatos e cinco examinado-
res, devendo cada examinador votar em um candidato. De 
quantos modos os votos podem ser distribuídos? 
18) Numa sorveteria há 20 sabores diferentes de sorvete. 
Considerando que não se possa misturar sabores, de quan-
tas maneiras 7 amigos podem fazer seus pedidos? 
GABARITO 
1. 5 
2. 6 
3. 8 
4. 15 
5. 100 
6. 12 
7. 35 
8. 90 
9. 100 
10. 155 
11. 120 
12. 35 
13. 900 
14. 1200 
15. 510 
16. 60 
17. 315 
18. 207 
Fatorial 
É uma operação simbolizada pelo ponto de exclama-
ção (!) e que consiste em multiplicar um número natu-
ral pelos seus naturais antecessores até que se chegue 
na unidade. Se n Є Naturais, então 
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 2 × 1. 
Portanto temos: 
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 
1! = 1 
Observação: Por convenção, considera-se 0! = 1 
Propriedade Fundamental dos Fatoriais: 
n! = n × (n - 1)! 
n! = n × (n - 1) × (n - 2)! 
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
Então, 
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720 
Pode-se, então, fazer a sequência: 
0! = 1 
1! = 1 × 0! = 1 × 1 = 1 
2! = 2 × 1! = 2 × 1 = 2 
3! = 3 × 2! = 3 × 2 = 6 
4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24 
5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120 
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720 
7! = 7 × 6! = 7 × 720 = 5040 
 . 
 . 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Matemática com a JU 
AGRUPAMENTOS 
São sequências ou subconjuntos formados a partir dos 
elementos de um conjunto. 
Exemplo: 
Usando o conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}, podemos 
formar os agrupamentos: 
aei, eia, ei, ia, u, aeiou, aia, iiiaaaaaa, ... 
Observe que os agrupamentos podem ser: 
a) Simples 
Quando cada elemento só puder ser usado uma única 
vez. 
Exemplo: aei, ia, u 
b) Com Repetição 
Quando um mesmo elemento puder ser usado mais de 
uma vez. 
Exemplo: aei, iaa, u, iiiaaaa 
Observe que os agrupamentos com repetição englo-
bam os simples. 
c) Ordenados 
Quando os mesmos elementos em ordens diferentes, 
formam agrupamentos diferentes. 
Exemplo: Formação de números: 
123, 132, 231 formam números diferentes. 
d) Não-Ordenados 
Quando a ordem dos elementos não altera o agrupa-
mento. 
Exemplo: Formação de comissões. 
Ana, José e Maria ou José, Maria e Ana formam uma 
mesma comissão, pois não há diferenciação de cargos. 
TIPOS DE AGRUPAMENTOS 
ARRANJOS à Quando a ordem é importante. 
A ordem dos elementos altera o resultado. 
PERMUTAÇÕES à É um tipo de arranjo. 
Permutações simples 
Consistem em tomar todos os n elementos 
distintos de um conjunto e colocá-los em ordens dife-
rentes. 
Total de Permutações → Pn = n! 
Exemplo 1 
Com os algarismos {1,2,3,5,7} quantos números de 5 
algarismos distintos podemos formar? 
12357 
12375 
12537 
Observe que cada número formado é uma permuta-
ção 
12573 dos algarismos do conjunto acima. 
 . 
 . 
75321 Total de números = P5 = 5! = 120 
A importância do fatorial é maior ainda quando o uti-
lizamos como ferramenta. O fatorial nos indica de 
quantas maneiras diferentes elementos podem trocar 
(permutar) de lugar entre si. Por exemplo, 5 elemen-
tos trocam de lugar entre si de 5! maneiras distintas. 
De forma genérica, n elementos trocam de lugar entre 
si de n! maneiras diferentes. 
 
FORMAÇÃO DE FILAS 
Nesse caso não se engane, na formação de filas a or-
dem SEMPRE é importante, independentemente do 
objetivo da fila, sendo assim, trata-se de um problema 
de ARRANJO. 
Exemplo 2 
Uma fila deve ser formada com 7 crianças entre as 
quais estão Maria, Júlia e Paula. De quantas maneiras 
pode-se formar essa fila de modo que as 3 meninas ci-
tadas fiquem juntas? 
Chamemos Maria de M, Júlia de J, Paula de P e as ou-
tras 4 crianças de C1, C2, C3 e C4. Então podemos ter: 
M J P C1 C2 C3 C4 
M P J C1 C2 C3 C4 
C1 M J P C2 C3 C4 
. 
. 
Observe que as 3 meninas podem permutar entre si, 
mas o bloco formado pelas 3 também pode permutar 
com as outras 4. 
Número de filas possíveis = P5 x P3 = 5! x 3! = 120 x 6 = 
720. 
 
 
 
Comentário: Fique atento às questões anteriores e às 
que estão por vir. Preste atenção nas ideias utilizadas 
quando se deseja deixar determinados elementos jun-
tos e ordenados, ou juntos, mas não necessariamente 
ordenados; ou ordenados, mas não necessariamente 
juntos; ou obrigatoriamente separados, etc, etc, etc. 
Apesar de existirem diversas maneiras de se cobrar 
Análise Combinatória e Probabilidades, algumas ideias 
normalmente são de uso bem constante. Ou seja, você 
pode a princípio não identificar do que se trata, mas 
com o treino, você passará a perceber as semelhanças 
e a resolver as questões com mais facilidade. 
. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Matemática com a JU 
Anagrama 
É a permutação (troca de lugar) entre os elementos de 
uma lista ou conjunto. 
Anagramas sem repetição 
Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra MER-
CADO? 
MERCADO, MERDOCA, MARCEDO, CREMADO, OEAM-
RCD, ... 
Total de anagramas = P7 = 7! = 5040 
Podemos colocar algumas restrições, acompanhe 
Dos 5040 anagramas da palavra MERCADO, quantos 
terminam com vogal? 
Observe que, das 7 letras que podem terminar 
cada anagrama, 3 delas são vogais, portanto teremos: 
Número de anagramas que terminam com vo-
gal = 3/7 de 5040 = 2160. 
Ou podemos usar o Princípio Multiplicativo: 
 
A 7° casa pode ser preenchida com uma das 3 vogais. 
A 1° casa pode ser preenchida com uma das duas vo-
gais restantes ou com uma das quatro consoantes, 
portanto 6 letras possíveis. 
A 2° casa pode ser preenchida com uma das 5 letras 
restantes. E assim por diante, até chegar à 6° casa. 
N° de Anagramas = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 = 2160 
 
Permutações com repetição 
Considere um grupo de n elementos em que um dos 
elementos aparece x vezes, outro elemento aparece y 
vezes e outro elemento aparece z vezes. 
Nesse caso o número de Permutações desses n ele-
mentos é dado por: 
 = 
Anagramas com repetição 
Exemplo: 
Quantos anagramas podem ser formados com a pala-
vra BATATA? 
Observe que, se permutarmos apenas a segunda, a 
quarta e a sexta letra a palavra não muda, o que não 
ocorreria se essas letras fossem diferentes. 
BATATA é uma palavra formada por 6 letras, mas a le-
tra A aparece 3 vezes e a letra T aparece 2 vezes. 
N° de Anagramas = = = = 60. 
Permutações circulares 
Consistem em agrupar n elementos formando um Cír-
culo. Observe o exemplo a seguir: 
Se quisermos dispor 5 elementos, A, B, C, D e E em um 
círculo, poderemos ter: 
 
Repare que a princípio parece que são situações dife-
rentes, mas depois de uma breve análise, consegui-
mos perceber que esses 5 agrupamentos são idênti-
cos, pois no caso de uma distribuição circular, o que 
importa é a posição relativa entre os elementos. 
Por exemplo, observe que nos 5 casos o elemento A 
está entre os elementos E e B, que o elemento B está 
entre A e C e assim por diante. 
Se fosse uma permutação em linha a resposta seria 5!, 
mas, como já vimos, um mesmoagrupamento foi con-
tado 5 vezes mais do que deveria ter sido. Sendo as-
sim, para encontrarmos o resultado correto, devemos 
dividir 5! por 5, acompanhe 
5!
5
=
5.4!
5
= 4! 
Se ao invés de 5 elementos fossem 4, cada agrupa-
mento seria contado 4 vezes mais do que deveria e te-
ríamos 
4!
4
=
4.3!
4
= 3! 
De forma genérica, se dispuséssemos n elementos em 
circulo o número de maneiras distintas de esses ele-
mentos trocarem de lugar é dado por 
𝑃𝑐) = (𝑛 − 1)! 
Exemplo: 
De quantas maneiras diferentes podemos formar uma 
roda com 8 crianças? 
Basta fazer: 
𝑃𝑐/ = (8 − 1)! = 7! 
 
Arranjos simples 
São agrupamentos ordenados formados por p ele-
mentos escolhidos entre os n elementos de um con-
junto (p £ n). 
Cada mudança de ordem entre os elementos escolhi-
dos é considerada um Arranjo diferente. 
N° de Arranjos = An,p = 
 
 
xyz
nPR
!z!y!x
!n
××
2,3
6PR
!2x!3
!6
2x6
720
)!pn(
!n
-
 
 
 
6 
 
 
 
Matemática com a JU 
Exemplo: 
Com os elementos {1, 2, 3, 5, 7} quantos números de 
3 algarismos distintos podemos formar? 
Nesse caso, n = 5 e p = 3 
Observe que podem ser formados os números: 
123 125 135 ... 
132 152 153 ... 
213 215 315 ... 
231 251 351 ... 
312 512 513 ... 
321 521 531 ... 
A cada 3 números escolhidos, deve-se permutá-los de 
todas as maneiras diferentes. 
O n° de Arranjos será dado por: A5,3 = = = 
60 números. 
Arranjos com repetição 
São arranjos em que o mesmo elemento pode ser 
usado mais de uma vez. 
A partir de um conjunto de n elementos se quisermos 
formar agrupamentos com p elementos em que po-
dem haver repetições, basta usar a fórmula: 
ARn,p = np 
Exemplo: 
Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7} quantos 
números de 3 algarismos, distintos ou não, podemos 
formar? 
Nesse caso podemos formar os números: 
111, 112, 113, 114, ... , 777. 
Nesse caso a quantidade de números que poderão ser 
formados será dada por: 
AR5,3 = 53 = 125. 
 
COMBINAÇÕES 
 A ordem não é um fator importante. 
Combinações simples 
São agrupamentos não ordenados formados 
por p elementos selecionados entre os n elementos de 
um conjunto. As mudanças de ordem dos elementos 
escolhidos não formam Combinações diferentes. 
N° de Combinações = Cn,p = 
Exemplos: 
1) A partir de um grupo de 10 pessoas, deseja-se esco-
lher 3 delas para se formar uma comissão. De quantas 
maneiras diferentes essa comissão poderá ser for-
mada? 
Nesse caso n = 10 
 p = 3 
 
Como, nas comissões, a ordem dos elementos não é 
importante, deveremos calcular o número de comis-
sões através da Combinação. 
N° de Comissões = C10,3 = = = 
2) Quantos produtos diferentes de 3 fatores distintos 
podemos obter, multiplicando 3 dos elementos do 
conjunto: {1, 2, 3, 5, 7}? 
Como na multiplicação, a ordem dos fatores não altera 
o produto, ao escolher 3 elementos não adianta per-
mutá-los, pois não encontraremos produtos diferen-
tes. 
1 x 2 x 3 = 6 1 x 3 x 2 = 6 2 x 3 x 1 = 6 ..... são 
considerados um só produto 
N° de Combinações = C5,3 = = = 10 pro-
dutos. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte 2) 
 
19) Quantos são os anagramas da palavra MÉDICO OBS. 
Cada anagrama é uma permutação das letras da palavra 
MÉDICO. 
20) Quantos anagramas de duas letras diferentes podemos 
formar com um alfabeto de 23 letras? 
21) Considere os algarismos de 1 a 5. Quantos números com 
algarismos distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000, 
podemos formar se: 
a) O número é par? 
b) O número é ímpar? 
c) O número é par ou ímpar? 
22) Quantos números de 5 algarismos existem no sistema 
de numeração decimal, de modo que haja pelo menos dois 
algarismos repetidos? 
Nota: Normalmente, em situações que apresentam expres-
sões como ao menos, pelo menos, no mínimo, uma idéia útil 
é calcular primeiramente a quantidade de agrupamentos 
sem restrições e subtrair a quantidade de agrupamentos 
não desejados. Por exemplo, na questão anterior, os agru-
pamentos não desejados são aqueles números onde figu-
ram apenas algarismos distintos. 
23) Quantos inteiros entre 1000 e 9999 têm dígitos distintos 
e 
a) são números pares? 
b) consistem inteiramente de dígitos ímpares? 
24) Quantos números de 4 ou 5 algarismos distintos, e mai-
ores que 2000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 
3, 5 e 7? 
)!35(
!5
- 2
120
)!pn(x!p
!n
-
)!310(!3
!10
-× !7!3
!10
× !7123
!78910
×××
×××
)!35(!3
!5
-× !2!3
!5
×
 
 
 
7 
 
 
 
Matemática com a JU 
25) Quantos são os anagramas formados por 2 vogais e 3 
consoantes distintas dentre 18 consoantes e 5 vogais distin-
tas? 
26) Dados 15 objetos distintos quantas são as combinações 
que podem ser feitas com 4 desses objetos, se as combina-
ções: 
a) contêm um determinado objeto? 
b) não contêm o objeto considerado? 
27) Em um congresso há 15 professores de Física e 15 de 
Matemática. Quantas comissões de 8 professores podem 
ser formadas: 
a) sem restrições? 
b) havendo pelo menos um professor de Matemática? 
28) De quantas maneiras diferentes 8 crianças podem se dar 
as mão para formar uma roda? 
29) Se Pedro e Maria são duas das crianças da questão an-
terior, de quantas maneiras aquelas 8 crianças podem for-
mar uma roda de modo que Pedro e Maria fiquem sempre 
de mãos dadas? 
30) Quantos números pares com 9 algarismos podemos for-
mar usando exatamente os dígitos: 1, 1, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 7? 
GABARITO 
19. 720 
20. 506 
21) a) 24 b)36 c)60 
22. 62784 
23) a) 2296 b) 120 
24. 168 
25) C3,5xC7/,8 = 979200. 
26) a)364 b)1001 
27)a) C8<,/ b) C8<,/ 	−	C73,/ 
28. 5040 
29. 1440 
30. 6720 
Dicas Importantes 
1. Sempre que elementos tiverem que ficar JUNTOS, consi-
dere-os como um só; 
2. Sempre que você perceber que descobrir o total de casos 
que você quer, tente descobrir o que não se quer (TOTAL – 
INDESEJÁVEIS) 
3. Sempre que quiser deixar elementos SEPARADOS, deixe-
os juntos e subtraia o resultado obtido do total 
4. Quando houver dúvidas sobre o fato de o agrupamento 
ser ordenado ou não, pense num resultado pronto, troque 
elementos de lugar, se ao fazer isso, o resultado for dife-
rente, é porque a ordem importa, se o resultado não se al-
terar, é porque a ordem não importa 
5. Se está difícil de pensar com os dados do problema, rees-
creva-o com dados de menor valor. Às vezes é mais fácil ra-
ciocinar com números menores. Depois disso, adapte o ra-
ciocínio à questão original; 
6. Deixe as contas por último. Nossa esperança é sempre 
simplificar e, mesmo que isso não ocorra, podemos procu-
rar maneiras mais práticas de efetuá-las. 
7. Quando você perceber que alguma restrição deve ser 
atendida, force para que isso aconteça. Essa é a única ma-
neira de garantirmos que determinada coisa ocorra. 
 
QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 
1) Um baralho comum é composto de 52 cartas, distribuídas 
da seguinte forma: 4 naipes diferentes: copas, ouros, espa-
das e paus, sendo que há 13 cartas de cada naipe: 9 cartas 
numeradas de 2 a 9 e as figuras: A (ás), K (rei), J (valete) e Q 
(dama). De um baralho comum sacam-se sucessivamente e 
sem reposição três cartas. 
a) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas? 
b) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas e a se-
gunda seja um rei? 
c) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas, a se-
gunda seja um rei e a terceira seja uma dama? 
d) De quantas maneiras distintas essas extrações podem ser 
feitas de modo que a primeira carta seja de copas, a se-
gunda seja um rei e a terceira não seja uma dama? 
2) Temos 5 bolas iguais, 7 petecas iguais e 8 pipas iguais para 
distribuir entre dois meninos. Todos os objetos serão distri-
buídos, mas não há necessidade de que a distribuição seja 
equânime. Quantas são as maneiras de se fazer essa divi-
são? 
3) Qual seriaa resposta da questão anterior se considerás-
semos 5 bolas com cores diferentes, 7 petecas com cores 
diferentes e 8 pipas com cores diferentes? 
4) Temos 5 bolas iguais, 7 petecas iguais e 8 pipas iguais para 
distribuir entre dois meninos. Apenas um tipo de objeto 
será distribuído e não há necessidade de que a distribuição 
seja equânime. Quantas são as maneiras de se fazer essa di-
visão? 
5) Na questão anterior, quantas maneiras de se fazer essa 
distribuição existiriam, se as bolas, petecas e pipas fossem 
de cores diferentes? 
6) Considere todos os números obtidos com as permuta-
ções dos algarismos de 1 a 7. 
a) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 aparecem 
juntos e nessa ordem? 
b) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 aparecem 
juntos? 
c) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 não apa-
recem juntos? 
d) Em quantos desses números, os dígitos 1, 2 e 3 aparecem 
em ordem crescente (não necessariamente juntos)? 
e) Em quantos desses números os dígitos 1, 2 e 3 não apa-
recem em ordem crescente? 
7) São dados os pontos A, B, C, D sobre uma reta m e E, F, 
G, H, I sobre uma reta n, distinta de m. Quantos triângulos 
 
 
 
8 
 
 
 
Matemática com a JU 
podem ser formados unindo-se estes pontos em cada uma 
das situações abaixo? 
a) supondo m e n retas paralelas. 
b) supondo m Ç n = {D} 
8) Numa classe existem 8 alunas das quais uma se chama 
Maria e 7 alunos, sendo José o nome de um deles. Formam-
se comissões constituídas de 5 alunas e 4 alunos. Quantas 
são as comissões das quais: 
a) Maria participa? 
b) Maria participa sem José? 
c) José participa? 
d) José participa sem Maria? 
e) Maria e José participam simultaneamente? 
 
9) Numa classe há 7 homens e 5 mulheres. Quantas comis-
sões de 5 pessoas podem ser formadas: 
a) sem restrições? 
b) Se da comissão fazem parte 3 homens e 2 mulheres? 
c) Se da comissão fazem parte pelo menos 1 homem e pelo 
menos 1 mulher? 
10) Quantos são os paralelogramos determinados por um 
conjunto de 6 retas paralelas interceptando um outro con-
junto de 9 retas paralelas? 
11) Quantos triângulos distintos podemos formar dispondo 
de 20 pontos num plano, 8 dos quais são colineares? 
12) Considere a figura abaixo como vários cruzamentos de 
ruas paralelas. Uma pessoa quer sair do ponto A e chegar 
ao ponto B. Suponha que essa pessoa só pode andar para 
cima ou para a direita, jamais poderá descer e nem andar 
para a esquerda. 
 
a) Quantos são os percursos distintos que ela pode fazer, 
partindo de A, para chegar ao ponto desejado? 
b) De quantas maneiras diferentes ela pode sair de A e che-
gar em B, passando por C? 
c) De quantas maneiras diferentes ela pode sair de A e che-
gar em B, sem passar por C? 
 
GABARITO - QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 
1) a) 33150 b) 2550 c) 200 d) 2350 
2) 432 
3) 220 
4) 23 
5) 416 
6) a) 120 b) 720 c) 4320 d) 840 e) 4200 
7) a) 70 b) 60 
8) a) 1225 b) 525 c) 1120 d) 420 e) 700 
9) a) 792 b) 350 c) 770 
10) 540 
11) 1084 
12) a) 792 b) 210 c) 582 
 
 
 
COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO
Questões iniciais (Permutações com elementos repetidos)
 
1) QUANTIDADE DE SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS 
DE UMA EQUAÇÃO LINEAR DE COEFICIENTES UNITÁRIOS 
Exemplo 1: Considere os símbolos W W W W Ñ Ñ F F F. 
Quanta sequências distintas, de 9 símbolos, podemos for-
mar com os 9 símbolos que foram dados? 
Solução: trata-se de determinar a quantidade de permu-
tações de 9 elementos, com quatro repetições de um tipo, 
duas de outro e mais três de outro tipo. Logo, a solução re-
cai em: 
𝑃>
?,5,8 =
9!
4! .2! .3! =
9.8.7.6.5.4!
4! .2.1.3.2.1 = 9.4.7.5 = 1260 
Exemplo 2: 
Observe a equação abaixo: 
 x1 + x2 + x3 + x4 = 9. 
Quantas soluções inteiras e não-negativas essa equação 
possui? Veja que algumas das soluções podem ser exempli-
ficadas por (0, 5, 0, 4); (3, 0, 3, 5). Para saber exatamente 
quantas soluções inteiras e positivas a equação possui pode 
ser usado o seguinte método: 
Utilizaremos 9 bolinhas e 3 tracinhos 
•••••••••½½½ 
Embora não pareça, mas esse tipo de questão recai no caso 
anterior. Basta que imaginemos que são 9 doces a serem 
repartidas entre 4 crianças e desejamos saber de quantos 
modos distintos poderemos fazer tal partilha. Podemos 
transformar essa equação numa representação gráfica 
onde cada um dos doces será representado por uma boli-
nha e usaremos três barras verticais para separar as quanti-
dades correspondentes às 4 crianças, ou seja, as 4 soluções 
da equação. Vejamos algumas das possíveis soluções: 
1) ••½••••½••½• 
Nesse caso, a primeira criança ganharia 2 doces, a segunda 
4 doces, a terceira 2 doces e a última 1 doce. 
Ou seja, 
X1 = 2 
 
 
 
9 
 
 
 
Matemática com a JU 
X2 = 4 
X3 = 2 
X4 = 1 
2) •½•••••½½••• 
Nesse caso, a primeira criança ganharia 1 doce, a segunda 5 
doces, a terceira nenhum doce e a última 3 doces. 
Ou seja, 
X1 = 1 
X2 = 5 
X3 = 0 
X4 = 3 
Nesse caso temos 12 símbolos, sendo 9 bolinhas e 3 traci-
nhos 
Repare que esse tipo de problema recai em algo semelhante 
ao que vimos na primeira questão. Ou seja, isso significa que 
determinar a quantidade de soluções inteiras e não negati-
vas de uma equação desse tipo (linear) é o equivalente a 
resolver uma questão de permutações com elementos re-
petidos. Sendo assim, poderíamos dizer que a reposta do 
problema é dada por 
𝑃75
>,8 =
12!
9! .3! =
12.11.10.9!
9! .3.2.1 = 2.11.10 = 220 
Seria interessante se soubéssemos determinar a quanti-
dade de símbolos sem ter que recorrer à representação grá-
fica. É muito fácil, o numero de bolinhas é sempre igual ao 
numero de objetos a serem repartidos (o resultado da igual-
dade) e o numero de traços é sempre uma unidade a menos 
do que o número de crianças (número de incógnitas) 
2) Combinações Completas ou com repetição 
Imagine a seguinte situação: De quantos modos é possível 
comprar 4 pastéis em uma pastelaria que oferece 6 sabo-
res? 
É comum acharmos que a solução é dada por 𝐶B,? = 15, po-
rém essa resposta não está correta. 
Essa situação só ocorreria se o problema fosse outro. Como, 
por exemplo: De quantos modos podemos escolher 4 sor-
vetes diferentes, em uma loja que os oferece em 6 sabores? 
Essas 15 possibilidades representam as combinações sim-
ples de 6 elementos, tomados 3 a 3. 
Na questão apresentada, a resposta correta seria 𝐶𝑅B,?,	que 
são as combinações completas de 6 elementos, tomados 4 
a 4, ou seja, nesse caso estamos admitindo a possibilidade 
de a pessoa poder escolher sabores repetidos. 
Como calcular? 
O cálculo das combinações completas segue, exatemente, o 
mesmo raciocínio mostrado anteriormente, recaindo, mais 
uma vez, em permutações com elementos repetidos. 
Vamos tentar entender melhor a situação. Suponhamos 
que a pastelaria ofereça os sabores: carne, queijo, pizza, 
frango, presunto e palmito. Se fosse uma combinação sim-
ples alguns dos resultados possíveis seriam 
Carne, queijo, pizza e frango ou 
Carne, queijo, pizza e presunto ou 
Carne, queijo, pizza e palmito ou 
Carne, pizza, frango e presunto ou 
. . . 
Mas, nesse caso é fácil perceber que temos muito mais pos-
sibilidades dos que as 15 simples, pois pode haver repetição 
de sabores, por exemplo, se o cliente quiser, ele poderá 
comprar todos os pastéis de carne, ou todos de queijo, ou 
dois de carne e dois de queijo e por aí vai. Sendo assim, uma 
excelente estratégia é pensar da seguinte forma: 
Sejam (C), o número de pastéis de carne, (Q) o número de 
pastéis de queijo, (F) a quantidade de pastéis de frango, (Pi) 
a quantidade de pastéis de pizza, (Pa) a quantidade de pal-
mito e (Pr) a de presunto que o cliente irá comprar, temos 
que 
𝐶 + 𝑄 + 𝐹 + 𝑃𝑖 + 𝑃𝑎 + 𝑃𝑟 = 6 
Dessa maneira, descobrir o número de formas diferentes de 
fazer tal compra se resume a descobrir o número de solu-
ções inteiras não negativas dessa equação. 
Temos, portanto, 6 variáveis (5 barrinhas) que representam 
a quantidade comprada, de cada um dos sabores ofereci-
dos. Trata-se fielmente do caso mostrado anteriormente,ou seja, em permutações com elementos repetidos. Temos, 
portanto que as combinações completas de 6 elementos, 
tomados 4 a 4, correspondem a 
Lembrete 4 bolinhas e 5 barrinhas à 9 símbolos no total 
 𝐶𝑅B,? = 𝑃𝑅>
3,? = >!
3!.?!
= >./.J.B.3!
3!.?.8.5.7
= 9.2.7 = 126. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
1) Encontrar o número de soluções em inteiros positivos 
maiores do que 2 da equação 
x1 + x2 + x3 = 12. 
Veja que agora, soluções do tipo (1, 3, 8) não são mais váli-
das, pois queremos soluções maiores do que 2. O que que-
remos são soluções do tipo (4, 5, 3); (3, 8, 4), etc. Observe 
que, subtraindo duas unidades de cada uma das duas solu-
ções anteriores, obteremos (2, 3, 1) e (1, 6, 2), que são so-
luções inteiras positivas da equação x1 + x2 + x3 = 6. O que se 
faz, então é associar o número de soluções em inteiros po-
sitivos maiores do que 2 da equação x1 + x2 + x3 = 12 ao nú-
mero de soluções inteiras positivas da equação x1 + x2 + x3 = 
6. Como já vimos, basta fazer as combinações: 
C5,2 = 10 soluções. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (ADENDO) 
1) Calcule o número de soluções inteiras positivas de: 
a) x1 + x2 + x3 + x4 = 8. 
b) x1 + x2 + x3 + ... + x11 = 11. 
c) x1 + x2 + x3 = 20. 
2) De quantas maneiras poderemos distribuir 30 laranjas 
para 4 crianças de modo que cada uma receba pelo menos 
duas laranjas? 
3) Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada 
biblioteca deve receber ao menos dois livros. Calcule o 
 
 
 
10 
 
 
 
Matemática com a JU 
número de modos que esses livros podem ser repartidos 
nessa doação. 
 
4) De quantas maneiras posso distribuir 20 balas entre 3 cri-
anças, de modo que cada uma das crianças receba no mí-
nimo 5 balas? 
 
5) De quantas maneiras é possível distribuir 30 bolas iguais 
entre 4 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo 
menos, 6 bolas? 
 
6) Uma sorveteria oferece 7 sabores de sorvetes. Suponha-
mos que a ordem das bolas não importa. Nos seguintes ca-
sos, de quantos modos diferentes pode uma criança servir-
se com 3 bolas de sorvetes? 
 
a) De todas as formas possíveis. 
b) Não tendo chocolate. 
c) Tendo somente uma bola de chocolate. 
d) Tendo todas as bolas com sabores diferentes 
 
7) Seja a equação x + y + z + t = 10. Quantas são as 
soluções inteiras 
a) não negativas? 
b) positivas? 
 
8) Calcule o número de soluções inteiras não negativas de 
a) x + y + z = 5 
b) x + y + z < 5 
c) x + y + z £ 5 
 
9) Uma sorveteria vende 6 sabores de sorvete. De quantas 
formas podemos comprar uma taça de sorvete com duas 
bolas, considerando que a ordem em que as bolas são posi-
cionadas na taça não é importante? 
 
10) Uma professora tem 3 bolas de gude para distribuir para 
5 meninos (digamos, Alfredo, Bernardo, Carlos, Diogo e 
Eduardo). De quantos modos ela pode fazer essa distri-
buição: 
a) Supondo que ela dê as bolas para 3 alunos distintos? 
b) Supondo que os contemplados possam ganhar mais de 
uma bola? (Por exemplo, Carlos pode receber todas as bo-
las). 
 
11) De quantos modos podem ser pintados 9 objetos iguais 
usando 3 cores diferentes? 
 
12) Uma loja possui duas caixas, cada uma com um grande 
número de bolinhas. Uma caixa tem somente bolinhas azuis 
e a outra tem somente bolinhas verdes, sendo que as boli-
nhas de uma mesma caixa são todas idênticas. Queremos 
comprar 6 bolinhas para montar um saquinho de presentes. 
De quantas maneiras isso pode ser feito, observando-se que 
a ordem em que as bolinhas são colocadas no saquinho é 
irrelevante? 
 
13) Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e 
de coco, e pretende montar saquinhos com 13 balas cada, 
de modo que, em cada saquinho, haja no mínimo três balas 
de hortelã e duas balas de caramelo. Um saquinho diferen-
cia-se do outro pelo número de balas de cada tipo. De quan-
tas maneiras distintas a pessoa pode montar o saquinho? 
14) Uma fábrica de automóveis dispõe de 3 cores para pin-
tar 6 carros idênticos, cada um com uma única cor. De quan-
tos modos isso pode ser feito? 
 
15) Maria quer comprar 6 picolés na padaria. Os sabores dis-
poníveis são chocolate, limão, uva e morango. Maria pode 
escolher todos de um mesmo sabor ou escolher picolés de 
sabores diferentes. Alguns exemplos: 1 picolé de chocolate 
e 5 de limão; 6 picolés de limão; 2 picolés de chocolate, 1 de 
limão, 1 de uva e 2 de morango. O número de maneiras dis-
tintas para esta compra ser feita é 
 
16) Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa 
deseja comprar 3 doces. De quantas formas isso pode ser 
feito? 
 
17) Uma mercearia tem em seu estoque, pacotes de café de 
6 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes 
de café. De quantas maneiras podemos fazê-lo? 
18) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. 
De quantas formas uma pessoa pode comer 5 pastéis? 
Gabarito 
1. a) 35 
b) 1 
c) 171 
2. 2300. 
3. 120 
4. 21 
5. 84 
6.a) 84 b) 56c) 21 e) 35 
7) a) 286 b) 84 
8) a) 21 b) 35 c) 56 
9) 21 
10) a) 10 b) 35 
11) 165 
12) 7 
13) 45 
14)28 
15) 84 
16) 35 
17) 1287 
18) 21 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
Matemática com a JU 
EXERCÍCIOS 
1) (UFPA) Um restaurante oferece no cardápio duas saladas 
distintas, 3 tipos de pratos de carne, duas sobremesas dife-
rentes e 5 variedades de sucos de fruta. Uma pessoa que 
deseja uma salada, um prato de carne, uma sobremesa e 
um suco, de quantas maneiras poderá fazer seu pedido? 
(A) 12. 
(B) 24. 
(C) 30. 
(D) 45. 
(E) 60. 
 
2) (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos 
peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas 
com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um ar-
tesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, 
verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas vari-
ando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), con-
forme a figura. 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a 
casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas co-
res cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor 
nem da casa nem da palmeira, por uma questão de con-
traste, então o número de variações que podem ser obtidas 
para a paisagem é 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
3) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos 
em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 
3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma cas-
quinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode 
conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras 
distintas de se pedir uma casquinha é 
(A) 61. 
(B) 71. 
(C) 86. 
(D) 131. 
 
4) (UFMG) Observe o diagrama. O número de ligações dis-
tintas entre X e Z é: 
(A) 39. 
(B) 41. 
(C) 35. 
(E) 45. 
5) (ENEM) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito 
de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre 
pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube 
que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 
filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, esta-
beleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamen-
tos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e 
um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de 
comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, 
até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que ne-
nhum filme seja repetido. 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente po-
derá ser posta em prática? 
(A) 20 ´ 8! + (3!)2 
(B) 8! ´ 5! ´ 3! 
(C) 
(D) 
(E) 
 
6) (ENEM) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos 
de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha 
que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cô-
modos; um dos personagens esconde um dos objetos em 
um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivi-
nhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em 
qual cômodo da casa o objeto foi escondido. 
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno 
é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sem-
pre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode 
ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver 
correta, ele é declaradovencedor e a brincadeira é encer-
rada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque 
há 
(A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
(E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
 
7) Obedecendo ao código de cores da coleta seletiva, o sín-
dico de um edifício de apartamentos resolveu recolher se-
letivamente os resíduos sólidos do prédio, instalando na 
área de serviços quatro recipientes, um de cada cor, nume-
rados de 1 a 4, colocados lado a lado. 
82
!3 !5 !8 ´´
22
!3 !5 !8 ´´
82
!16
 
 
 
12 
 
 
 
Matemática com a JU 
 
O número de maneiras diferentes que o síndico dispõe para 
arrumar esses quatro recipientes, de modo que o Azul seja 
sempre o número 1, é 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 18. 
(E)24. 
 
8) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetição, pode-se 
escrever X números maiores que 2500. 
O valor de X é 
(A) 78. 
(B) 120. 
(C) 162. 
(D) 198. 
(E) 240. 
 
9) A quantidade de números de 3 algarismos que tem pelo 
menos 2 algarismos repetidos é 
(A) 38. 
(B) 252. 
(C) 300. 
(D) 414. 
(E) 454. 
 
10) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 são formados núme-
ros de 4 dígitos distintos. Dentre eles, a quantidade que são 
divisíveis por 5 é 
(A) 20. 
(B) 30. 
(C) 60. 
(D) 120. 
(E) 180. 
 
11) Quantos números de 4 algarismos distintos existem en-
tre 2000 e 5000? 
(A) 5040. 
(B) 1512. 
(C) 2998. 
(D) 1000. 
(E) 3500. 
 
12)(Ju) Um programa de rádio começou uma promoção na 
qual apenas um ouvinte participa ao vivo por dia e concorre 
a um carro 0 km. O desafio é o seguinte: O ouvinte deve 
acertar uma senha formada pelas 8 letras da palavra ES-
QUENTA. A única dica dada pelo programa é que a senha 
começa e termina com a letra E. Quando o ouvinte dá um 
palpite, o computador testa também o seu simétrico, por 
exemplo, se o palpite for ESQUNTAE o computador testa 
também a senha EATNUQSE. Ou seja, com um palpite, cada 
ouvinte tem duas chances. Considerando que a cada dia um 
ouvinte dará um palpite diferente, o tempo máximo, em 
dias, até que a senha seja desvendada é 
(A) 720. 
(B) 360. 
(C) 180. 
(D) 90. 
(E) 45. 
 
13)(ENEM) João mora na cidade A e precisa visitar cinco cli-
entes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada tra-
jeto possível pode ser representado por uma sequência de 
7 letras. 
Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da 
cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, 
voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado 
entre as letras informa o custo do deslocamento entre as 
cidades. 
A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma 
das cidades. 
 
 
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o 
trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Exami-
nando a figura, percebe que precisa considerar somente 
parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA 
têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma 
sequência e descartar sua simétrica, conforme apresen-
tado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas 
as sequências possíveis no problema é de 
(A) 60 min. 
(B) 90 min. 
(C) 120 min. 
(D) 180 min. 
(E) 360 min. 
 
14)(UFV) Quero emplacar meu carro novo atendendo a al-
gumas restrições. A placa do meu automóvel será formada 
por três letras distintas (incluindo K, Y e W), seguidas por 
um número de quatro algarismos divisível por 5, que deverá 
ser formado usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5. O 
número de placas que podem ser formadas atendendo às 
restrições descritas é igual a 
 
 
 
 
13 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) 1.124.800. 
(B) 998.864. 
(C) 998.400. 
(D) 1.124.864. 
(E) 1.054.560. 
 
15)(ENEM) Desde 1999 houve uma significativa mudança 
nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As pla-
cas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres al-
fanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser 
formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros 
caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) 
e os quatro últimos devem ser algarismos (de O a 9). Essa 
mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional uni-
ficado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou 
significativamente a quantidade de combinações possíveis 
de placas. Não são utilizadas placas em que todos os alga-
rismos sejam iguais a zero. 
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser 
utilizadas é igual a 
(A) 268 + 9? 
(B) 268	𝑥	9? 
(C) 268(10? − 1) 
(D) (268 + 10?) − 1 
(E) (268	𝑥	10?) − 1 
 
16)(Ju) As novas placas do Mercosul são inspiradas no sis-
tema integrado adotado já há vários anos pelos países da 
União Europeia. Elas serão aplicadas de maneira padroni-
zada a aproximadamente 110 milhões de veículos de cinco 
países: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai e Venezuela. 
Os números e letras poderão ser dispostos de maneira ale-
atória. Na Argentina, por exemplo, adotou-se um padrão 
"LL NNN LL" (sendo L para letras e N para números), a fim 
de se evitar formação de palavras. No caso do Brasil o pa-
drão inicial será “LLL NL NN” para carros e “LLL NN LN” para 
motos. 
Disponível em: https://carros.uol.com.br/noticias/reda-
cao/2018/03/08/placas-do-mercosul-entenda-o-que-e-item-que-estara-
no-seu-carro-ate-2023.htm 
Acesso em: 08/09/2018 
 
 
O modelo ainda em uso no Brasil usa placas no formato LLL 
NNNN. A razão entre o total de placas que poderão ser pro-
duzidas com o novo sistema para carros e total de placas 
que podem ser produzidas atualmente no Brasil é igual a 
 
(A) 2,6. 
(B) 2,8. 
(C) 3,2. 
(D) 4,8. 
(E) 5,2. 
 
17) (Ju) Placas do Mercosul começam a valer em 1o de se-
tembro no Brasil 
Na primeira etapa, elas serão adotadas em veículos zero 
quilômetro ou quando for feita transferência de município. 
Veículos que já circulam terão até 31 de dezembro de 2023 
para mudar. 
Em vez de 3 letras e 4 números, como é hoje, as novas pla-
cas terão 4 letras e 3 números, e poderão estar embaralha-
dos, assim como na Europa; 
 
Disponível em: https://g1.globo.com/carros/noticia/placas-de-veiculos-
 no-padrao-mer- 
cosul-comecam-a-valer-em-1-de-setembro-de-2018.ghtml 
Acesso em 04/11/2018 
Como as letras e números podem estar embaralhadas, cada 
país escolherá qual sequência de símbolos será utilizada. 
Por 
exemplo, o Brasil usará, para carros, a sequência LLL NLNN, 
a Argentina, escolheu LL NNN LL, mas há outras possibilida-
des. 
Usando 4 letras e 3 números, a quantidade de modelos di-
ferentes que podem ser formados é igual a 
 
(A) 5. 
(B) 35. 
(C) 210. 
(D) 350. 
(E) 2100. 
 
18) (ENEM) O código de endereçamento postal (CEP) é um 
código numérico constituído por oito algarismos. 
Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o tra-
tamento e a distribuição de objetos postados nos correios. 
Ele está estruturado segundo o sistema métrico decimal , 
sendo que cada um dos algarismos que o compõe codifica 
região, sub-região, setor, subsetor , divisor de subsetor e 
identificadores de distribuição, conforme apresenta 
a ilustração. 
 
O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para 
fins de codificação. Cada região foi dividida em dez sub-re-
giões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez se-
tores. Cada setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada 
subsetor foi dividido em dez divisores de subsetor. 
 
 
 
14 
 
 
 
Matemática com a JU 
Além disso sabe-se que os três últimos algarismos após o 
hífen são denominados de sufixos e destinam-se à identifi-
cação individual de localidade, logradouros, códigos especi-
ais e unidades dos correios. 
A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros 
brasileiros inicia em 000 e termina em 899. 
Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de lo-
gradouros no Brasil? 
 
(A) 5 x 0 + 9 x 102 
(B) 105 + 9 x 102 
(C) 2 x 9 + 107(D) 9 x 102 
(E) 9 x 107 
 
19) (ENEM) Uma empresa construirá sua página na internet 
e espera atrair um público de aproximadamente um milhão 
de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma 
senha com formato a ser definido pela empresa. Existem 
cinco opções de formato oferecidas pelo programador, des-
critas no quadro, em que “L” e “D” representam, respecti-
vamente, letra maiúscula e dígito. 
 
 
 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os 
dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer 
das opções. 
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo nú-
mero de senhas distintas possíveis seja superior ao número 
esperado de clientes, mas que esse número não seja supe-
rior ao dobro do número esperado de clientes. 
A opção que mais se adequa às condições da empresa é 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) IV. 
(E) V. 
 
20)(CEFET) A senha de um banco é constituída de 4 algaris-
mos escolhidos entre os 10 de 0 a 9, seguidos de 3 letras 
dentre as 26 do alfabeto. Um cliente, ao determinar sua se-
nha, decidiu que a parte numérica começaria por algarismo 
par e terminaria por algarismo ímpar, e que a parte literal 
teria início e término com vogal. O número de possibilida-
des que esse cliente poderia criar sua senha é de 
(A) 1 575 000. 
(B) 1 625 000. 
(C) 1 715 000. 
(D) 1 795 000. 
(E) 1 835 000. 
 
21)(UFOP) O número de gabaritos possíveis para uma prova 
com 10 questões, com quatro alternativas por questão e 
apenas uma alternativa correta é: 
(A) 40. 
(B) 410. 
(B) 44. 
(D) 10. 
 
22)(UFOP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, formam-se todos 
os números de três algarismos distintos possíveis. Dentre 
estes, o número de múltiplos de três é: 
(A) 24. 
(B) 12. 
(C) 6. 
(D) 0. 
 
23)(UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. 
Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão 
exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, 
eles decidem que três desses filmes, que são de ficção cien-
tífica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, 
o número de maneiras DIFERENTES de se fazer a programa-
ção dessa semana é 
(A) 144. 
(B) 576. 
(C) 720. 
(D) 1040. 
 
24) (UFU) A prova de um concurso é composta somente de 
10 questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B, C 
e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não 
aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, 
quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer? 
 (A) 410. 
(B) 210. 
(C) 29. 
(D) 10 × 29. 
 
25) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde 
Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últi-
mos algarismos. 
Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Teodoro 
lembrou que o número do telefone da linda garota era um 
número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos 
repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combi-
nações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma 
possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu tele-
fone celular. 
Até então, Teodoro havia feito 
(A) 23 ligações. 
 
 
 
15 
 
 
 
Matemática com a JU 
(B) 59 ligações. 
(C) 39 ligações. 
(D) 35 ligações. 
(E) 29 ligações. 
 
26)(CEFET) De um pequeno aeroporto saem 7 voos por dia, 
com diferentes destinos, sendo 3 pela manhã e 4 à tarde. 
Por motivos técnicos, dois desses sete voos só podem sair à 
tarde. O número de ordens possíveis para as decolagens é 
igual a 
(A) 240. 
(B) 480. 
(C) 720. 
(D) 1440. 
(E) 2400. 
 
27)(UFMG) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão 
ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas 
possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cin-
quenta cadeiras, para ocupá-las, é 
(A) 1225. 
(B) 2450. 
(C) 250. 
(D) 49!. 
(E) 50!. 
 
 28)(UFSM) Para efetuar suas compras, o usuário que neces-
sita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve realizar duas 
operações: digitar uma senha composta por 6 algarismos 
distintos 
e outra composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto de 
26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha, mas lembra que 
8, 6 e 4 fazem parte dos três primeiros algarismos e que as 
letras são todas vogais distintas, sendo E a primeira delas, o 
número máximo de tentativas necessárias para acessar sua 
conta será 
(A) 210 
(B) 230. 
(C) 2520. 
(D) 3360. 
(E) 15120. 
 
29)(UERJ) Numa cidade, os números telefônicos não po-
dem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os 
quatro primeiros constituem o prefixo. 
Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmá-
cias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é for-
mado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessa-
riamente nesta ordem. 
O número máximo de tentativas a serem feitas para identi-
ficar o número telefônico completo 
dessa farmácia equivale a 
(A) 6 
(B) 24 
(C) 64 
(D) 168 
 
30) (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco 
vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas 
e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila 
com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam 
camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham 
a sequência de cores dada pelas três primeiras. 
Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer 
tal fila? 
(A) 3(5!)3. 
(B) (5!)3. 
(C) (5!)3(3!). 
(D) 15!/(3!5!). 
 
31) Sete pessoas, entre elas João, Maria e Júlia, vão ao ci-
nema. Existem sete lugares vagos, alinhados e consecutivos. 
O número de maneiras distintas como as sete podem sen-
tar-se sem que João, Maria e Júlia fiquem juntos é 
(A) 5040. 
(B) 4320. 
(C) 4800. 
(D) 2400. 
(E) 1200 
 
32)(ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem for-
mar uma fila para comprar as entradas para um jogo de fu-
tebol. O número de diferentes formas que esta fila de ami-
gos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem 
sempre juntos é igual a 
(A) 2! 8! 
(B) 0! 18! 
(C) 2! 9! 
(D) 1! 9! 
(E) 1! 8! 
 
33) (Ju) A figura a seguir mostra o interior de um carro de 
luxo com seis lugares, sendo 3 blocos de 2 lugares cada, ob-
serve 
 
Esse automóvel foi alugado por uma família com seis pes-
soas para uma viagem pelo litoral cearense. Nessa família, 
três pessoas têm habilitação e uma é uma criança com oito 
anos de idade. Pelo Código Nacional de Trânsito Brasileiro, 
crianças menores de 10 anos não podem sentar-se no banco 
ao lado do motorista. Considerando essas informações, de 
 
 
 
16 
 
 
 
Matemática com a JU 
quantas maneiras diferentes essa família pode se organizar 
para iniciar a viagem? 
(A) 720. 
(B) 360. 
(C) 288. 
(D) 240. 
(E) 120. 
 
34)(FUVEST) Um lotação possui três bancos para passagei-
ros, cada um com três lugares, e deve transportar os três 
membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais 
quatro pessoas. Além disso, 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. 
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor 
os nove passageiros no lotação é igual a 
(A) 928. 
(B) 1152. 
(C) 1828. 
(D) 2412. 
(E) 3456. 
 
35) (Upe) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante ti-
picamente oriental solicita aos seus clientes que retirem 
seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa 
noite, 6 pares de 
sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dis-
postos na entrada do restaurante, em duas fileiras com qua-
tro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados 
forem organizados nessas fileiras de tal forma que as san-
dálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de 
quantas formas diferentes podem-se organizar esses calça-
dos nas duas fileiras? 
(A) 6! 
(B) 2.6! 
(C) 4.6! 
(D) 6.6! 
(E) 8! 
 
36)(ENEM) Uma família composta por sete pessoas adultas, 
após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de 
uma empresa aérea e constatou que o voo para a data es-
colhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo 
site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as úni-
cas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
Disponível em:www.gebh.net. 
Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado). 
O número de formas distintas de se acomodar a família 
nesse voo é calculado por 
 
(A) 
(B) 
(C) 7! 
(D) 
(E) 
 
37) (UECE) Seja P o conjunto cujos elementos são os núme-
ros inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as per-
mutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se dispormos os ele-
mentos de P em ordem crescente, o número de ordem de 
43928, é 
(A) 58. 
(B) 57. 
(C) 59. 
(D) 60. 
 
38) (FGV) Colocando em ordem os números resultantes das 
permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocu-
pará o número 35241? 
(A) 55ª. 
(B) 70ª. 
(C) 56ª. 
(D) 69ª. 
(E) 72ª. 
 
39)(ENEM) O setor de recursos humanos de uma empresa 
vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga 
de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada 
candidato um número, colocar a lista de números em or-
dem numérica crescente e usá-la para convocar os interes-
sados. Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum 
deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de 
chamada do candidato que tiver recebido o número 75913 
é 
(A) 24. 
(B) 31. 
(C) 32. 
(D) 88. 
(E) 89. 
 
 
 
 
!2
!9
!2 !7
!9
´
!4
!2
!5
´
!3
!4
!4
!5
´
 
 
 
17 
 
 
 
Matemática com a JU 
40) (ENEM) A bandeira de um estado é formada por cinco 
faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura. 
 
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul 
ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam 
pintadas com a mesma cor. 
O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar 
essa bandeira, com a exigência acima, é 
A) 1 X 2 X 1 X 1 X 2. 
B) 3 X 2 X 1 X 1 X 2. 
C) 3 X 2 X 1 X 1 X 3. 
D) 3 X 2 X 1 X 2 X 2. 
E) 3 X 2 X 2 X 2 X 2. 
 
41) (ENEM) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai 
fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente 
com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina 
pinte somente os círculos, de modo que aqueles que este-
jam ligados por um segmento tenham cores diferentes. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que 
o pai pediu? 
(A) 6 
(B) 12 
(C) 18 
(D) 24 
(E) 72 
 
42) (Ju) Mateus, um grafiteiro em começo de carreira, de-
seja pintar a região mostrada a seguir e, para isso, dispõe de 
apenas 3 cores diferentes. Para que o desenho fique colo-
rido e alegre, características presentes nesse tipo de arte, 
ele decidiu executar a tarefa de modo que faixas consecuti-
vas tenham cores diferentes. 
 
 
 
Intrigado com as possibilidades, Mateus fez os cálculos e 
descobriu que poderia pintar essa área de n maneiras dis-
tintas. O valor de n é 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 24. 
(D) 96. 
(E) 108. 
 
43) (ENEM) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 
criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e 
o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem for-
mando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador re-
solvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, 
amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma 
que regiões vizinhas tenham cores diferentes. 
 
Disponível em: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 
(adaptado). 
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da 
Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? 
(A) 15 
(B) 30 
(C) 108 
(D) 360 
(E) 972 
 
44)(ENEM) Um banco solicitou aos seus clientes a criação 
de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por 
algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela Inter-
net. 
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança ele-
trônica recomendou à direção do banco recadastrar seus 
usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma 
nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 
letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo 
sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de 
sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de ou-
tros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas 
é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do 
novo número de possibilidades de senhas em relação ao an-
tigo. 
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 
 
 
 
18 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 62! – 10! 
(E) 626 – 106 
 
45)(ENEM) Considere que um professor de arqueologia te-
nha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no 
Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos 
museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a 
seguir. 
 
 
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras 
diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para 
visitar? 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
46) (UEL) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grê-
mio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alu-
nos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser 
formada para a organização dos festejos. Quantas comis-
sões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno se-
jam membros? 
(A) 2600. 
(B) 9828. 
(C) 9288. 
(D) 3276. 
(E) 28. 
 
47) (UFMG) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se 
formar uma comissão constituída de quatro integrantes. 
Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, 
não se relacionam um com o outro. 
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, 
juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. 
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode 
formar essa comissão? 
(A) 70. 
(B) 35. 
(C) 45. 
(D) 55. 
 
48) (UNICAMP-SP) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada 
é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do 
grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 
moças para a organização das olimpíadas do colégio. De 
quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? 
 (A) 6720. 
(B) 100800. 
(C) 806400. 
(D) 1120. 
 
49)(ESAF) Uma turma de 20 formandos é formada por 10 
rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma co-
missão de formatura composta por 5 formandos. 
O número de diferentes comissões que podem ser forma-
das, de modo que em cada comissão deve haver 3 rapazes 
e 2 moças, é igual a 
(A) 2500. 
(B) 5400. 
(C) 5200. 
(D) 5000. 
(E) 5440. 
 
50)(CEFET) Um professor quer formar comissões de quatro 
alunos numa classe constituída de 10 rapazes e 7 moças. O 
número de comissões nas quais participará somente uma 
moça é 
(A) 70. 
(B) 140. 
(C) 560. 
(D) 840. 
(E) 1020. 
 
51)(CESGRANRIO) A senha de certo cadeado é composta 
por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os 
dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; so-
mando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que 
siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n 
tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a 
(A) 9. 
(B) 15. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 30. 
 
52)(UFOP 2001) Numa assembleia, de que participam 5 ma-
temáticos e 5 físicos, são constituídas comissões formadas 
por três membros, incluindo, no mínimo, um matemático. 
Podemos afirmar que o número de comissões que podem 
ser formadas é 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 50. 
(D) 100. 
(E) 110 
6
6
10
62
!10
!62
!56!10
!4!62
 
 
 
19 
 
 
 
Matemática com a JU 
 
53)(UFOP) Numa sala de aula com 15 alunos, 10 são rapazes 
e 5 são moças. Dentre esses alunos, existe um único casal 
de namorados. Serão formados grupos de 6 rapazes e 3 mo-
ças. O número de grupos que podem ser formados com a 
presença desse casal de namorados é: 
(A) 336. 
(B) 504. 
(C) 756. 
(D) 1596. 
 
54)(UCS-RS) Um professor apresenta 10 questões, das quais 
os seus alunos poderão escolher 8 para serem respondidas. 
De quantas maneiras diferentes um aluno pode escolher as 
8 questões? 
(A) 90. 
(B) 80. 
(C) 45. 
(D) 40. 
(E) 8. 
 
55)(UFV) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 
3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrien-
tes para obter um composto químico. O número de com-postos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 
2 tipos de sais minerais é: 
(A) 26. 
(B) 30. 
(C) 28. 
(D) 32. 
(E) 34. 
 
56)(ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática com-
posta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só 
precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de 
quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as ques-
tões? 
(A) 2800. 
(B) 3003. 
(C) 2980. 
(D) 3006. 
(E) 3005. 
 
57) (UFV) Uma equipe de futebol de salão de 5 membros é 
formada escolhendo-se os jogadores de um grupo V, com 7 
jogadores, e de um grupo W, com 6 jogadores. O número 
de equipes diferentes que é possível formar de modo que 
entre seus membros haja, no mínimo, um jogador do grupo 
W é 
(A) 1266. 
(B) 1356. 
(C) 1246. 
(D) 1376. 
 
58)(CEFET) Um técnico de futebol de salão dispõe de 7 jo-
gadores de linha e 2 goleiros, para formar um time com-
posto por um goleiro e quatro jogadores. O número de ma-
neiras diferentes que esse técnico pode escalar seu time é 
(A) 63. 
(B) 70. 
(C) 126. 
(D) 840. 
(E) 1680. 
 
59)(UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações. Para 
cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, 
uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectiva-
mente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 
80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se 
marcar a folha de respostas é 
(A) 455. 
(B) 576. 
(C) 560. 
(D) 620. 
 
60)(UFAL) Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve 
ser escolhida em uma turma com vinte estudantes, para 
participar de uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe 
pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpíada 
no ano anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudan-
tes, deve fazer parte da equipe? 
(A) 3.872. 
(B) 3.874. 
(C) 3.876. 
(D) 3.878. 
(E) 3.880. 
 
61)(UNEMAT) No campeonato de xadrez deste ano houve 
30 inscritos. Na primeira fase do campeonato, quaisquer 
dois jogadores jogam entre si uma única vez. O número de 
jogos na primeira fase é 
(A) 435. 
(B) 465. 
(C) 430. 
(D) 455. 
(E) 445. 
 
62)(ENEM) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo 
a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adver-
sário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são 
canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja rea-
lizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, 
porém, não poderão ser ambos canhotos. 
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas 
para a partida de exibição? 
 
 
 
 
20 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A)
10!
2! 𝑥8! −
4!
2! 𝑥2! 
 
(B)
10!
8! −
4!
2! 
 
(C)
10!
2! 𝑥8! − 2 
(D)
6!
4! + 4𝑥4 
 
(E)
6!
4! − 6𝑥4 
 
63) (ENEM) Torneios de tênis, em geral, são disputados em 
sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são dispu-
tadas partidas entre dois competidores, com a eliminação 
do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. 
Dessa forma, se na 1a fase o torneio conta com 2n competi-
dores, então na 2 a fase restarão n competidores, e assim 
sucessivamente até a partida final. 
 
Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, partici-
pam 128 tenistas. 
Para se definir o campeão desse torneio, o número de par-
tidas necessárias é dado por 
(A) 2 x 128 
(B) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 
(C) 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 
(D) 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 
(E) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 
 
64)(ENEM) O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento 
no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais re-
centes de veículos, mostrando, principalmente, suas inova-
ções em design e tecnologia. 
Disponível em: http://gl.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado). 
Uma montadora pretende participar desse evento com dois 
estandes, um na entrada e outro na região central do salão, 
expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma ca-
minhonete. 
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela mon-
tadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e 
seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhi-
dos aqueles que serão expostos. A posição dos carros den-
tro de cada estande é irrelevante. Uma expressão que for-
nece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes 
podem ser compostos é 
 
(A) A7<? 
(B) C7<? 
(C) C?5𝑥CB5𝑥2x2 
(D) A?5𝑥AB5𝑥2x2 
(E) C?5𝑥CB5 
 
65)(ENEM) Como não são adeptos da prática de esportes, 
um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol 
utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga 
uma única vez com cada um dos outros jogadores. O cam-
peão será aquele que conseguir o maior número de pontos. 
Observaram que o número de partidas jogadas depende do 
número de jogadores, como mostra o quadro: 
 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão 
realizadas? 
(A) 64 
(B) 56 
(C) 49 
(D) 36 
(E) 28 
 
66) (UNIFOR-CE) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 
vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo mas-
culino, 13 dos candidatos são fumantes e 7 são as mulheres 
que não fumam. De quantos modos podem ser seleciona-
dos 2 homens e 2 mulheres entre os não fumantes? 
(A) 900. 
(B) 945. 
(C) 990. 
(D) 1035. 
(E) 1080 
 
67) (MACK-SP) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais so-
mente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 
jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo 
menos um advogado é 
(A) 70. 
(B) 74. 
(C) 120. 
(D) 47. 
(E) 140. 
 
68)(PUC-RS) Uma companhia de teatro lírico é formada por 
cinco sopranos e seis tenores. Para uma das cenas de uma 
ópera, o diretor precisa de cinco cantores, sendo três sopra-
nos e dois tenores. Então, o número de possibilidades para 
a escolha dos participantes desta cena é 
(A) 150. 
(B) 462. 
(C) 1800. 
(D) 7200. 
(E) 55440. 
 
 
 
 
21 
 
 
 
Matemática com a JU 
69)(UDESC-SC) As frutas são alimentos que não podem fal-
tar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela ener-
gia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que 
lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas 
diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, 
caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga ri-
gorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três fru-
tas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela 
pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de 
frutas recomendadas, de 
(A) 57 maneiras. 
(B) 50 maneiras. 
(C) 56 maneiras. 
(D) 77 maneiras. 
(E) 98 maneiras. 
 
70)(UFOP) Dentre quatro números reais positivos distintos 
e quatro números reais negativos distintos, o número de 
modos diferentes de se escolherem dois deles de tal modo 
que seu produto seja negativo é 
(A) 24. 
(B) 16. 
(C) 12. 
(D) 6. 
 
71)(UFJF) De quantas maneiras podemos escolher três nú-
meros naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de 
modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar? 
 
(A) 100. 
(B) 360. 
(C) 570. 
(D) 720. 
(E) 1140. 
 
72)(CEFET - modificada) Num plano, existem vinte pontos 
dos quais três nunca são colineares, exceto seis que estão 
sobre uma mesma reta. O número de retas determinado pe-
los vinte pontos é 
(A) 175. 
(B) 176. 
(C) 185. 
(D) 205. 
(E) 212. 
 
73)(CEFET) Para se compor uma diretoria são necessários 6 
membros, sendo um presidente e um vice-presidente. Sa-
bendo-se que 9 pessoas se candidataram aos cargos, o nú-
mero de maneiras distintas que se pode formar essa direto-
ria é 
(A) 84. 
(B) 504. 
(C) 1008. 
(D) 2520. 
(E) 5040. 
 
74)Sete moradores se dispuseram a participar do corpo ad-
ministrativo de um condomínio. Tal grupo, de acordo com o 
regimento interno, deve ser formado por um síndico, um 
subsíndico, um tesoureiro e dois auditores. 
De quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo? 
(A) 2520. 
(B) 1260. 
(C) 630. 
(D) 315. 
(E) 21. 
 
75)(UFMG) A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se for-
mar uma comissão de oito integrantes, composta de um 
presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesou-
reiro e quatro conselheiros. 
Nessa situação,de quantas maneiras distintas se pode com-
por essa comissão? 
 
(A) 14!/(4! . 6!) 
(B) 14!/[(4!)2] 
(C) 14!/(6! . 8!) 
(D) 14!/(4! . 10!) 
 
76)(Ju) Mariana e João são professores universitários e es-
tão concorrendo a uma vaga no conselho administrativo da 
faculdade na qual lecionam que será composto por um pre-
sidente, um vice-presidente e um conselheiro. Porém eles 
sabem que esses cargos demandam muito tempo e, apesar 
de quererem participar do conselho, eles não querem par-
ticipar juntos para que as responsabilidades do cargo não 
acabem sobrecarregando o casal. Considerando que, no to-
tal, 6 professores se candidataram aos cargos do conselho, 
o número de maneiras distintas, que conselho pode ser for-
mado de forma que apenas um dos dois estejam entre os 
escolhidos é 
(A) 120. 
(B) 96. 
(C) 72. 
(D) 48. 
(E) 24. 
 
77) (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de 
futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido 
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, 
foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do 
torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade to-
tal de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total 
de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calcu-
ladas através de

 
 
 
 
 
22 
 
 
 
Matemática com a JU 
(A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
(B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
(C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
 
(D) duas combinações.
 
(E) dois arranjos. 
 
78) (CEFET-MG) O dono de um sítio tem 6 vacas e alguns 
porcos. Ao agrupar seus animais em grupos de 3 vacas e 2 
porcos, observou que havia 720 maneiras diferentes de 
fazê-lo. O número de porcos no sítio é igual a 
 (A) 5. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
79)(UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. 
Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando 
cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se 
pode fazer tal distribuição? 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
 
80)(FGV) Cinco estudantes param para pernoitar em um ho-
tel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com 
duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles po-
dem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e ou-
tro com três, para se hospedar no hotel? 
(A) 80. 
(B) 40. 
(C) 20. 
(D) 10. 
(E) 5. 
 
81) (Ju) A comissão de formatura das 4 turmas de terceiro 
ano de um colégio fará uma festa para arrecadar fundos 
para o baile de formatura. A comissão é formada por 14 alu-
nos e que serão divididos em 4 grupos. Cada grupo deverá 
visitar uma escola para divulgar a festa e, dessa maneira, 
conseguir vender mais ingressos. Ficou decidido que 3 alu-
nos visitarão a escola Cora Coralina, 2 alunos irão até a es-
cola Anita Garibaldi, 4 alunos divulgarão a festa na escola 
Frida Kahlo e 5 alunos irão até a escola Tarsila do Amaral. 
O número de maneiras distintas de distribuir os integrantes 
da comissão nos 4 grupos para realizarem a divulgação é 
(A)
14!
3! .2! .4! .5! 
(B)
14!
4! .5! .6! 
(C)
14!
(4!)? 
(D)
14!
4! .10! 
(E)
10!
4! .5! 
 
82)(IME) Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas ir-
mãos, deverá formar três equipes, com respectivamente 
dois, três e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos 
não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes 
que podem ser organizadas é: 
(A) 288 
(B) 455 
(C) 480 
(D) 910 
(E) 960 
 
83)O designer português Miguel Neiva criou um sistema de 
símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem 
cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que 
identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho), 
além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite 
identificar cores secundárias (como o verde, que é o ama-
relo combinado com o azul). O preto e o branco são identi-
ficados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é 
cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os sím-
bolos que representam preto e branco também podem ser 
associados aos símbolos que identificam cores, significando 
se estas são claras ou escuras. 
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. 
Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado) 
De acordo com o texto, quantas cores podem ser represen-
tadas pelo sistema proposto? 
(A) 14 
(B) 18 
(C) 20 
(D) 21 
(E) 23 
 
84)(UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de se-
gunda a sexta-feira, estas cinco atividades: 
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; 
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; 
c) passeia com o cachorro da família; 
d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; 
e) rega as plantas do jardim de sua casa. 
 
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na 
mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las 
em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de 
)!4()!7(
!28
)!24()!4(
!28
4)!7(
!28
)!21()!7(
!28
 
 
 
23 
 
 
 
Matemática com a JU 
maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades, EM 
ORDEM DIFERENTE, é 
(A) 24. 
(B) 60. 
(C) 72. 
(D) 120. 
 
85) (UFSC) Quantos anagramas da palavra PALCO podemos 
formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre jun-
tas? 
(A) 48. 
(B) 24. 
(C) 96. 
(D) 120. 
(E) 36. 
 
86)(PUC-SP) O número de anagramas da palavra ALUNO 
que tem as vogais em ordem alfabética é 
(A) 20. 
(B) 30. 
(C) 60. 
(D) 80. 
(E) 100. 
 
87)(UFPB) A prefeitura de certo município solicitou ao Go-
verno Federal uma verba para a execução das seguintes 
obras: 
• saneamento básico; 
• calçamento de ruas; 
• construção de uma escola; 
• construção de uma creche; 
• construção de casas populares. 
O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, 
na condição de que fosse estabelecida uma ordem na exe-
cução das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba 
para a primeira obra, a verba para a segunda só ser 
ia liberada após a conclusão da primeira, e assim sucessiva-
mente até a execução da última obra. Nesse contexto, con-
sidere o planejamento feito pela prefeitura: 
• a primeira obra escolhida foi a construção das casas popu-
lares; 
• o calçamento das ruas só poderá ser executado com o sa-
neamento básico concluído. 
Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Fede-
ral e ao planejamento da prefeitura, é correto afirmar que 
o número de maneiras possíveis e distintas para a realização 
dessas 5 
obras é 
(A) 8. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
 
88)(ENEM) Como não são adeptos da prática de esportes, 
um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol 
utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga 
uma única vez com cada um dos outros jogadores. O cam-
peão será aquele que conseguir o maior número de pontos. 
Observaram que o número de partidas jogadas depende do 
número de jogadores, como mostra o quadro: 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão 
realizadas? 
(A) 64 
(B) 56 
(C) 49 
(D) 36 
(E) 28 
 
89) (Ju) Frederico acabou de completar 18 anos e seus pais 
o levaram ao banco para que ele pudesse abrir sua primeira 
conta corrente. Depois de apresentar toda a documenta-
ção, o 
gerente pediu que o jovem criasse uma senha composta por 
4 dígitos escolhidos entre 0 e 9 e 2 letras do nosso alfabeto, 
salientou que números e letras podem estar misturados da 
forma que ele quiser escolher e que o sistema só aceita le-
tras minúsculas. Sabendo disso, o número de maneiras dis-
tintas de Frederico escolher uma senha para a sua conta é 
 
(A)10?. 265 
(B)10?. 525 
(C)
8!
4! .2! 10
?. 525 
(D)
8!
4! .2! 10
?. 265 
(E)
6!
4! .2! 10
?. 265 
 
90) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa esco-
lher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As le-
tras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa 
pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis le-
tras e que uma letra maiúscula difere