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<p>Fazendo contas com as lentes</p><p>Física</p><p>3o bimestre – Aula 03</p><p>Ensino Médio</p><p>● Óptica (lentes; refração). ● Analisar o referencial de Gauss</p><p>para as lentes;</p><p>● Compreender e utilizar modelos</p><p>matemáticos para estimar e</p><p>caracterizar as imagens produzidas</p><p>por lentes.</p><p>Vamos explorar o simulador de construção de imagens em lentes.</p><p>• Acesse o simulador pelo link abaixo;</p><p>• O simulador está disponível apenas no idioma inglês; ative o tradutor automático, caso</p><p>seja necessário;</p><p>• Analise a simulação inicial apresentada e, juntamente com seus colegas de classe,</p><p>responda às perguntas:</p><p>1. Que tipo de lente está sendo usado?</p><p>2. O que os termos: “do”, “ho”, “di” e “hi” representam?</p><p>3. O que acontece se movermos o objeto para a posição - 8?</p><p>4. Mova o cursor “Focus” para a posição 2; descreva o que ocorreu com a lente e as</p><p>características da imagem.</p><p>Simulador de construção de imagens em lentes</p><p>https://www.geogebra.org/m/X8RuneVy</p><p>VIREM E</p><p>CONVERSEM</p><p>https://www.geogebra.org/m/X8RuneVy</p><p>Nas últimas aulas, discutimos as propriedades geométricas das lentes, observando o</p><p>comportamento dos raios de luz ao incidirem sobre elas. Também vimos que a imagem</p><p>formada depende de onde o objeto está posicionado. Nesta aula, vamos analisar um método</p><p>matemático para obtenção das imagens.</p><p>Fazendo contas com as lentes</p><p>Ilustração do simulador Geogebra</p><p>O método analítico (matemático) para a construção de imagens nas lentes é uma forma de</p><p>quantificar as posições do objeto e da imagem, o tamanho do objeto e da imagem</p><p>formada, bem como suas respectivas orientações. Logo, relações de ampliação ou redução</p><p>podem ser estabelecidas entre objeto e imagem. Para que os processos geométricos que</p><p>estudamos na última aula façam sentido por meio da Matemática, precisamos definir uma</p><p>maneira precisa de obtenção de posições e tamanhos. Precisamos de um referencial de</p><p>medidas, chamado referencial de Gauss.</p><p>Referencial de Gauss</p><p>p’p O</p><p>centro óptico</p><p>eixo</p><p>principal</p><p>Luz incidente</p><p>y</p><p>Representação do referencial de Gauss</p><p>O referencial de Gauss consiste em um par de eixos perpendiculares cuja origem é o centro</p><p>óptico (O). Sua finalidade é convencionar sinais para realizar o estudo analítico em uma</p><p>lente. O eixo das abscissas é o próprio eixo principal. Nele, teremos as posições dos</p><p>objetos p, e das imagens p’. Perpendicular a ele, o eixo das ordenadas, que cuida do</p><p>tamanho e da orientação do objeto e da imagem.</p><p>Referencial de Gauss</p><p>Representação do referencial de Gauss</p><p>P’p O</p><p>centro óptico</p><p>eixo</p><p>principal</p><p>Luz incidente</p><p>y</p><p>As imagens reais (à direita da lente) e objetos reais (à esquerda da lente) têm abscissas</p><p>positivas. As imagens virtuais (à esquerda da lente) têm abscissas negativas. Como o eixo</p><p>das ordenadas é orientado para cima, o tamanho da imagem (i) terá o mesmo sinal se ela</p><p>for direita em relação ao objeto, e sinal oposto se a imagem for invertida em relação ao</p><p>objeto.</p><p>Referencial de Gauss</p><p>Imagens reaisImagens virtuais p’p O</p><p>Centro óptico</p><p>Objetos reais</p><p>Luz incidente</p><p>y</p><p>Objetos virtuais</p><p>+ + + + + + +</p><p>+ + + + + + +</p><p>- - - - -</p><p>- - - - - - - - - -</p><p>Representação do referencial de Gauss</p><p>No referencial de Gauss, o objeto é colocado sobre o eixo principal, em uma posição 𝑝 da</p><p>lente. A imagem é formada também sobre o eixo principal, em uma posição 𝑝′ da lente.</p><p>Essas posições são medidas a partir da origem (centro óptico).</p><p>A distância focal (f) é convencionada com sinal positivo para lentes convergentes e sinal</p><p>negativo para lentes divergentes. Podemos organizar as convenções do referencial de</p><p>Gauss por meio da tabela abaixo:</p><p>Referencial de Gauss</p><p>Relação Convenção</p><p>Objeto real p > 0</p><p>Imagem real p´ > 0</p><p>Imagem virtual p´ < 0</p><p>Imagem direita i > 0</p><p>Imagem invertida i < 0</p><p>Lente convergente f > 0</p><p>Lente divergente f < 0</p><p>A equação de Gauss estabelece a relação entre a distância focal (f) e as posições, entre o</p><p>centro óptico da lente e o objeto (p), e entre o vértice e a imagem formada (p’).</p><p>Equação de Gauss</p><p>𝟏</p><p>𝒇</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝒑</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝒑′</p><p>A equação de Gauss relaciona o inverso</p><p>das propriedades apresentadas. Podemos</p><p>reescrever essa relação da seguinte</p><p>maneira:</p><p>f =</p><p>𝒑 ∙ 𝒑´</p><p>𝒑 + 𝒑´</p><p>O aumento linear transversal (A) é dado como a razão entre a altura da imagem e a altura</p><p>do objeto. O aumento linear transversal é um número sem unidade e, em módulo, ele</p><p>representa quantas vezes a imagem foi aumentada ou diminuída em relação ao objeto.</p><p>Aumento linear transversal (A)</p><p>A =</p><p>𝒊</p><p>𝒐 Define se uma imagem foi ampliada, reduzida ou</p><p>permanece do mesmo tamanho:</p><p>|A| > 1: A imagem foi ampliada;</p><p>|A| < 1: A imagem foi reduzida;</p><p>|A| = 1: A imagem possui o mesmo tamanho do objeto.</p><p>Podemos também escrever o aumento linear transversal usando a posição da imagem e a</p><p>posição do objeto, da seguinte forma:</p><p>𝑨 =</p><p>𝒊</p><p>𝒐</p><p>=</p><p>−𝒑´</p><p>𝒑</p><p>É uma grandeza adimensional que estabelece a relação entre a ordenada da imagem (i) e a</p><p>ordenada do objeto (o). Ela indicará, além da comparação entre os tamanhos do objeto e da</p><p>imagem, também a orientação relativa entre ambos. O mesmo aumento pode ser relacionado</p><p>à posição da imagem p’ e à posição do objeto p. Estabelecemos:</p><p>Aumento linear transversal (A)</p><p>𝑨 =</p><p>𝒊</p><p>𝒐</p><p>=</p><p>−𝒑´</p><p>𝒑</p><p>A > 0: Imagem é direita (i e o têm o mesmo sinal); p e p’ têm sinais opostos, portanto, se</p><p>objeto é real, imagem é virtual.</p><p>A < 0: Imagem é invertida (i e o têm sinais opostos); p e p’ têm o mesmo sinal, então, objeto e</p><p>imagem têm a mesma natureza, por exemplo, se o objeto é real, a imagem também será.</p><p>Um objeto de tamanho de 10 cm situa-se a 60 cm de uma lente convergente cuja distância</p><p>focal é de 20 cm. Determine:</p><p>A. A posição em que a imagem é formada;</p><p>B. O tamanho da imagem;</p><p>C. O aumento linear transversal;</p><p>D. As características da imagem.</p><p>Exercício proposto</p><p>CONTINUA</p><p>A. Para determinar a posição da imagem (p’), podemos usar a equação de Gauss:</p><p>Correção</p><p>𝟏</p><p>𝒇</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝒑</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>Substituindo os valores, isolando p’ e tirando o MMC:</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝟐𝟎</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟔𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>=</p><p>𝟐</p><p>𝟔𝟎</p><p>Logo, p’ = 30 cm.</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝟑𝟎⇒ ⇒</p><p>B. Para determinar o tamanho da imagem, utilizaremos a relação:</p><p>Correção</p><p>𝒊</p><p>𝒐</p><p>=</p><p>−𝒑´</p><p>𝒑</p><p>Substituindo os valores:</p><p>𝒊</p><p>𝟏𝟎</p><p>=</p><p>−𝟑𝟎</p><p>𝟔𝟎</p><p>𝟔𝟎 𝒊 = −𝟑𝟎𝟎</p><p>Logo, i = - 5 cm.</p><p>C. Para determinar o aumento linear transversal, usaremos:</p><p>Correção</p><p>𝑨 =</p><p>𝒊</p><p>𝒐</p><p>Substituindo os valores:</p><p>𝑨 =</p><p>−𝟓</p><p>𝟏𝟎</p><p>Logo, 𝑨 = −𝟏/𝟐.</p><p>D. Com base nos valores obtidos anteriormente, podemos caracterizar a imagem</p><p>como:</p><p>Correção</p><p>p’> 0 → Imagem real.</p><p>i e A < 0 → Imagem invertida. Como |A| < 1, temos que é menor do que o objeto.</p><p>Vamos refazer o exercício anterior, considerando uma lente divergente, ao invés da</p><p>convergente. Junte-se com seus colegas e discutam as possíveis mudanças nos valores,</p><p>bem como nas características da imagem formada pela lente divergente.</p><p>Fazendo contas com as lentes</p><p>VIREM E</p><p>CONVERSEM</p><p>A. Em uma lente divergente, o sinal da distância focal deve ser negativo. Ao usarmos</p><p>a equação de Gauss, devemos considerar esse fator:</p><p>Correção</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐𝟎</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝟔𝟎</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>Substituindo os valores, isolando p’ e tirando o MMC:</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>= −</p><p>𝟏</p><p>𝟔𝟎</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>=</p><p>−𝟒</p><p>𝟔𝟎</p><p>Logo, 𝒑′ = −𝟏𝟓 𝒄𝒎.</p><p>𝟏</p><p>𝒑´</p><p>=</p><p>−𝟐</p><p>𝟑𝟎</p><p>⇒ ⇒</p><p>B. Para determinar o tamanho da imagem, utilizaremos a mesma relação do exercício</p><p>anterior; atenção ao sinal de p’:</p><p>Correção</p><p>𝒊</p><p>𝒐</p><p>=</p><p>−𝒑´</p><p>𝒑</p><p>Substituindo os valores:</p><p>𝒊</p><p>𝟏𝟎</p><p>=</p><p>𝟏𝟓</p><p>𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝒊 = 𝟏𝟓𝟎</p><p>Logo, 𝒊 = 𝟐, 𝟓 𝒄𝒎.</p><p>⇒</p><p>C. Para determinar o aumento linear transversal, usaremos:</p><p>Correção</p><p>𝑨 =</p><p>𝒊</p><p>𝒐</p><p>Substituindo os valores:</p><p>𝑨 =</p><p>𝟐, 𝟓</p><p>𝟏𝟎</p><p>Logo, 𝑨 = 𝟎, 𝟐𝟓.</p><p>D. Vamos caracterizar a imagem:</p><p>Correção</p><p>p’< 0 → Imagem virtual. Ela é formada no eixo principal onde está o objeto.</p><p>i e A > 0 → Imagem direita. Como |A|<1, então ela é menor que o objeto.</p><p>● Analisamos o referencial de Gauss para</p><p>as lentes;</p><p>● Compreendemos e utilizamos modelos</p><p>matemáticos para estimar e caracterizar</p><p>as imagens produzidas por</p><p>lentes.</p><p>Fonte: http://www.educacao.sp.gov.br/.</p><p>BISCUOLA, G. J.; BÔAS, N. V.; DOCA, R. H. Tópicos de Física 2. São Paulo: Saraiva, 2012.</p><p>HELOU, G. N. Tópicos de Física. São Paulo: Saraiva, 2001. v. 2.</p><p>PIETROCOLA, M. et al. Física em contextos. São Paulo: Editora do Brasil, 2016. v. 2.</p><p>MARTINI, G. et al. Conexões com a Física. São Paulo: Moderna, 2016. v. 2.</p><p>Lemov, D. Aula nota 10: 49 técnicas para ser um professor campeão de audiência. Tradução</p><p>de Leda Beck; consultoria e revisão técnica de Guiomar N. de Mello e Paula Louzano. São</p><p>Paulo: Da Prosa: Fundação Lemann, 2011.</p><p>Lista de imagens e vídeos</p><p>Imagens elaboradas para o material.</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: Simulador de construção de imagens em lentes</p><p>Slide 4: Fazendo contas com as lentes</p><p>Slide 5: Referencial de Gauss</p><p>Slide 6: Referencial de Gauss</p><p>Slide 7: Referencial de Gauss</p><p>Slide 8: Referencial de Gauss</p><p>Slide 9: Equação de Gauss</p><p>Slide 10: Aumento linear transversal (A)</p><p>Slide 11: Aumento linear transversal (A)</p><p>Slide 12: Exercício proposto</p><p>Slide 13: Correção</p><p>Slide 14: Correção</p><p>Slide 15: Correção</p><p>Slide 16: Correção</p><p>Slide 17: Fazendo contas com as lentes</p><p>Slide 18: Correção</p><p>Slide 19: Correção</p><p>Slide 20: Correção</p><p>Slide 21: Correção</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p>