Física Experimental - Relatório 2

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<p>DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS</p><p>ADEILDO F. S [1]; ARTUR F. S [2]; JEFERSSON R. A [3]; RUAN L. S. V [4].</p><p>(1) UFAL Campus Sertão – adeildo.santos@delmiro.ufal.br; (2) UFAL</p><p>Campus Sertão – artur.santos@delmiro.ufal.br; (3) UFAL Campus</p><p>Sertão – jefersson.almeida@delmiro.ufal.br; (4) UFAL Campus Sertão</p><p>– ruan.vieira@delmiro.ufal.br</p><p>RESUMO</p><p>As dimensões inteiras e fracionárias são conceitos matemáticos trabalhados na</p><p>geometria. Quando os objetos trabalhados possuem superfícies irregulares, as</p><p>dimensões deles acabam tendo um valor fracionado, sendo chamadas de dimensões</p><p>fractais, enquanto que objetos com tal natureza acabam recebendo a titulação de</p><p>fractais. O presente relatório descreve como o tema foi abordado fazendo o uso de</p><p>bolinhas de papel de diferentes diâmetros medidos com o auxílio do paquímetro e da</p><p>régua, sendo calculados, posteriormente, a média aritmética e o desvio padrão, entre</p><p>outros aspectos.</p><p>Palavras-chave: geometria, dimensões, fractais, papel, paquímetro.</p><p>ABSTRACT</p><p>Whole and fractional dimensions are mathematical concepts worked on in</p><p>geometry. When the worked objects have irregular surfaces, their dimensions end up</p><p>having a fractional value, being called fractal dimensions, while objects with such nature</p><p>end up receiving the title of fractals. The present report describes how the theme was</p><p>approached making use of paper balls of different diameters measured with the aid of</p><p>the caliper and ruler, being calculated, later, the arithmetic mean and the standard</p><p>deviation, among other aspects.</p><p>Keywords: geometry, fractional dimensions, fractals, paper balls, caliper.</p><p>1. INTRODUÇÃO</p><p>O experimento realizado, cujo foco foi as dimensões inteiras e fracionárias,</p><p>sendo os objetos bolas de papel de tamanhos distintos, envolveu transformar um corpo</p><p>de duas dimensões para um corpo de três dimensões.</p><p>Os corpos supracitados, ou seja, as bolinhas de papel, foram denominadas como</p><p>M1, M2, M4, M8, M16, M32 e M64, sendo a M64 a de maior diâmetro, uma folha A4,</p><p>enquanto que as demais foram recortes dessa folha, sendo a M1 a de menor diâmetro.</p><p>As folhas foram amassadas ao máximo, até que simulasse o formato esférico, realçando</p><p>as imperfeições e irregularidades da bola.</p><p>Neste procedimento, foi necessário o manuseio de equipamentos como</p><p>paquímetro e régua para medição dos diâmetros das bolinhas. Quanto ao primeiro, o</p><p>paquímetro consegue medir, de forma eficiente, as dimensões lineares internas,</p><p>externas e de profundidade do corpo em análise.</p><p>Somado a isso, os cálculos também se fazem presentes, uma vez que, com a</p><p>obtenção dos dados em estudo, torna-se possível aplicar métodos estatísticos, como, a</p><p>título de menção, o desvio padrão e a média, a título de menção.</p><p>2. OBJETIVO</p><p>O presente trabalho possui como objetivo medir a dimensão dos corpos com</p><p>formas geométricas irregulares. Neste caso, os objetos utilizados foram bolinhas de</p><p>papel de diferentes tamanhos, tendo como auxílio para medição um paquímetro e uma</p><p>régua.</p><p>3. METODOLOGIA</p><p>Embora as medições de uma dada grandeza física sejam feitas com instrumentos</p><p>de elevada precisão, em geral, o resultado obtido não deve ser encarado como</p><p>absolutamente exato, posto que os mais variados fatores, como, a título de menção, o</p><p>erro de paralaxe e a falta de habilidade do operador, podem vir a interferir no resultado</p><p>da medição outras análises em laboratório, além das limitações ou a precisão do</p><p>instrumento. Sendo assim, as medições são efetuadas por um considerável número de</p><p>vezes a fim de obter um percentual de dados e, dessa forma, exibir o resultado final.</p><p>3.1. Cálculo do desvio padrão e da média aritmética</p><p>“O desvio padrão é o protótipo das medidas de dispersão em virtude de suas</p><p>propriedades matemáticas e de seu uso na teoria da amostragem.” (OLIVEIRA, 2017, p.</p><p>8). Ele é dado pela fórmula (A), disposta a seguir:</p><p>𝜎 = √</p><p>∑(𝑥𝑖−𝑥)2</p><p>𝑛</p><p>(A)</p><p>Em que 𝜎 representa o desvio padrão, ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 o somatório da diferença</p><p>de cada uma das medidas obtidas (𝑥𝑖) e da média aritmética (𝑥) ao quadrado e 𝑛 o</p><p>número de medidas obtidas.</p><p>A média aritmética (𝑥), a equação (B) a seguir, é dada pela soma das medidas</p><p>obtidas (∑ 𝑥𝑖) dividida pelo número de medidas (𝑛):</p><p>𝑥 =</p><p>∑ 𝑥𝑖</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯+𝑥𝑛</p><p>𝑛</p><p>(B)</p><p>3.2. Fundamentação teórica</p><p>No experimento em discussão, trabalhamos com a constante d, que pode</p><p>assumir valores inteiros ou fracionários.</p><p>Para as formas geométricas elementares, d tem um valor inteiro e é interpretado</p><p>como a dimensão do objeto. Desse modo, caso trabalhemos com esferas de aço maciças</p><p>de densidade uniforme, teremos:</p><p>𝑀 = 𝜌. 𝑉 = 𝜌.</p><p>4</p><p>3</p><p>𝜋 (</p><p>𝐷</p><p>2</p><p>)</p><p>3</p><p>= 𝜌.</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>. 𝐷3 (1)</p><p>Onde M é a massa, 𝜌 a densidade volumétrica da massa, V o volume e D o</p><p>diâmetro. A equação (1) pode ser escrita da seguinte forma, onde 𝐾 = (</p><p>6</p><p>𝜋𝜌</p><p>)</p><p>1/𝑑</p><p>e d = 3:</p><p>𝐷 = 𝐾𝑀1/𝑑 (2-a)</p><p>A versão bidimensional das equações (1) e (2) será:</p><p>𝑀 = 𝜎𝐴 = 𝜎𝜋 (</p><p>𝐷</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>(2-b)</p><p>𝐷 = 𝐾𝑀1/𝑑</p><p>𝐾 = (</p><p>4</p><p>𝜋𝜎</p><p>)</p><p>1/𝑑</p><p>e d = 2</p><p>Já na forma unidimensional, temos:</p><p>𝑀 = 𝜆. 𝐿 = 2𝜋𝜋 (</p><p>𝐷</p><p>2</p><p>) (2-d)</p><p>𝐾 = (</p><p>1</p><p>𝜋𝜆</p><p>)</p><p>1/𝑑</p><p>e d = 1.</p><p>3.3. Materiais</p><p>a. Régua milimetrada.</p><p>b. Paquímetro manual de metal.</p><p>c. 2 folhas de papel formato A4.</p><p>3.4. Métodos</p><p>O procedimento do experimento é realizado da seguinte forma:</p><p>a. Fazer sete bolas de papel amassado, dividindo uma folha como o indicado na figura</p><p>1. Vale atribuir a menor fração da folha à massa 1 (M1) e as seguintes massas 2, 4, 8, ...</p><p>Assim, a enésima fração, em ordem crescente de tamanho, terá massa relativa 2n.</p><p>b. Para cada uma das sete bolas de papel, faça sete ou mais medidas do diâmetro em</p><p>pontos distintos, determinando o diâmetro médio para cada uma delas. A tabela 1</p><p>contém as medidas dos diâmetros obtidos (D), além da média aritmética do diâmetro</p><p>(<D>) e o desvio padrão (ΔD).</p><p>Figura 1 – Divisão das folhas.</p><p>d. Com os dados da tabela 1 determinados, podemos construir um gráfico log-log do</p><p>diâmetro (D) versus a massa (M), assumindo que D = K.M1/d, encontrando as</p><p>constantes K e d e estimando a incerteza ΔD.</p><p>Vale mencionar que as tabelas e os gráficos expressos foram obtidos a partir do</p><p>uso de programas de computador.</p><p>4. RESULTADOS E DISCUSSÕES</p><p>Os diâmetros obtidos no experimento para cada massa (ou pedaço de folha)</p><p>correspondente, com o manuseio do paquímetro e da régua, estão dispostos na tabela</p><p>1, que segue:</p><p>Tabela 1 - Dimensões obtidas, média aritmética e desvio padrão.</p><p>M1 M2 M4 M8 M16 M32 M64</p><p>D</p><p>1</p><p>0.57 1 1,07 1,38 2,13 2,07 3,07</p><p>D</p><p>2</p><p>0,74 0,67 1,24 1,25 2,21 2,05 2,64</p><p>D</p><p>3</p><p>0,53 0,97 1,45 1,47 2,33 2,25 3,2</p><p>D</p><p>4</p><p>0,51 0,53 1,34 1,42 2,14 2,61 3</p><p>D</p><p>5</p><p>0,66 0,88 1,26 1,40 2,05 2,21 3,51</p><p>D</p><p>6</p><p>0,53 0,97 1,18 1,29 2,20 2,22 3,0</p><p>D</p><p>7</p><p>0,73 0,70 1,21 1,50 2,15 3,07 3,20</p><p><D> 0,71 0,8171 1,25 1,387 2,172 2,354 3,174</p><p>ΔD 0,09118 0,17 0,1116 0,08378 0,0805 0,338 0,1126</p><p>Em que Dn se refere ao diâmetro mensurado; M à massa equivalente, já explicada</p><p>anteriormente; <D>, a média aritmética dos diâmetros, e ΔD o desvio padrão.</p><p>A partir dos dados obtidos em laboratório na tabela acima, foi possível construir</p><p>o gráfico do</p><p>diâmetro pela massa:</p><p>Gráfico 1 – Diâmetro (D) versus massa (M).</p><p>Com os resultados obtidos nesse experimento somos tentados a tratar de um d</p><p>não inteiro como um tipo de dimensão fracionária. Podemos observar que no gráfico 1,</p><p>log-log de D versus M, os pontos “caem” sobre uma mesma reta.</p><p>Em certas estruturas de geometria complexa em que aparece uma quantidade d</p><p>fracionária, como uma espécie de extensão natural do conceito de dimensão, devemos</p><p>ter: dT < d ≤ dE, onde dT se refere à dimensão topológica do objeto em análise e dE à</p><p>dimensão do espaço euclidiano no qual o sistema está imerso: dT e dE são,</p><p>evidentemente inteiros. Esses d fracionários podem ser chamados de “dimensão</p><p>fractal”, enquanto que os objetos com d fracionário podem ser denominados de</p><p>“fractais”.</p><p>4.1. Respostas às questões propostas.</p><p>a) Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade</p><p>uniforme? E para uma “esfera” bidimensional– um objeto circular como uma moeda,</p><p>de densidade uniforme? E para uma esfera unidimensional?</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>2</p><p>2,5</p><p>3</p><p>3,5</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>Diâmetro (D) x Massa (M)</p><p>O valor esperado de d para uma esfera tridimensional de densidade uniforme é 3, para</p><p>uma esfera bidimensional é 2 e para uma esfera unidimensional é 1, ou seja, d equivale</p><p>ou deve tender ao número de dimensões trabalhado.</p><p>b) Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à pergunta (a)?</p><p>Para cada tipo de esfera, temos:</p><p>Esfera tridimensional: 𝐾 = (6 + (𝜋𝜌))</p><p>1</p><p>𝑑, onde ρ = massa/volume;</p><p>Esfera bidimensional: 𝐾 = (4 + (𝜋𝜎))</p><p>1</p><p>𝑑, onde 𝜎 = massa/área;</p><p>Esfera bidimensional: 𝐾 = (1 + (𝜋𝜆))</p><p>1</p><p>𝑑, onde 𝜆 = massa/comprimento.</p><p>c) Baseando-se nos valores de d e ΔD encontrados e na resposta do item(a), como você</p><p>interpreta o valor de d obtido?</p><p>O valor de d calculado satisfaz o intervalo 2< d ≤3. Podemos extrair a partir disso que na</p><p>transformação de um objeto bidimensional, este tende a se tornar tridimensional.</p><p>Todavia, é evidente que a superfície das bolas de papel amassadas é irregular e,</p><p>portanto, o experimento está sujeito à imprecisão na medição. Por essa razão, os</p><p>objetos estudados possuem o d na dimensão fractal, com pontos em duas e três</p><p>dimensões.</p><p>5. CONCLUSÃO</p><p>Em síntese, em virtude do que foi exposto, conclui-se a reafirmação da existência</p><p>dos fractais e dos d fracionários, ou seja, as dimensões fractais, uma vez que os objetos</p><p>trabalhados são bolas de papel amassado, o que os leva a possuírem superfícies</p><p>irregulares. O presente trabalho descreveu o experimento em questão, o que envolveu</p><p>o cálculo das médias aritméticas das medidas obtidas em laboratório com o manuseio</p><p>de paquímetro e régua pelos integrantes da equipe, e do desvio padrão, além da</p><p>constante K.</p><p>6. REFERÊNCIAS</p><p>1. SILVA, Vicente de Tarso Lobo de Macêdo. SOARES, Fred Carlo Moreira. Desvio padrão</p><p>e imprecisão de leitura: paquímetro. 2019.</p><p>2. ANDRADE, José Alisandro de. Caderno de práticas de engenharia, Física Mecânica.</p><p>Universidade Tiradentes.</p><p>3. OLIVEIRA, Francisco Estevam de. Estatística e probabilidade - exercícios resolvidos e</p><p>propostos. 3.ed. LTC, 05/2017. [Minha Biblioteca].</p><p>4. ANDRADE, Gabriel. Dimensões inteiras e fracionárias. Instituto de Física da</p><p>Universidade Federal de Alagoas. (2019)</p><p>5. FERRAZ, Marcus Cezar Moreira. Dimensões inteiras e fracionárias. Instituto de Física</p><p>da Universidade Federal de Alagoas. (2019)</p>