Atividade-Computacional-Modelo-presa-predador

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<p>Universidade Federal do Esṕırito Santo - UFES</p><p>Centro Universitário Norte do Esṕırito Santo - CEUNES</p><p>Departamento de Matemática Aplicada - DMA</p><p>Prof. Isaac P. Santos</p><p>Atividade Computacional 3 - Modelo Presa-Predador de Lotka-Volterra</p><p>Métodos Numéricos II - 2024/1</p><p>Considere o sistema presa-predador de Lotka-Volterra,</p><p>dx(t)</p><p>dt</p><p>= ax(t)− bx(t)y(t), (1)</p><p>dy(t)</p><p>dt</p><p>= −cy(t) + dx(t)y(t), (2)</p><p>com x(0) = x0, y(0) = y0, onde x(t) e y(t) representam as populações de presas e predadores,</p><p>respectivamente. Para mais informações sobre esse modelo, veja o Apêndice. O comportamento</p><p>dinâmico deste sistema depende da relação entre os coeficientes, a, b, c, d, todos positivos. Pede-se:</p><p>1. Implemente um método de Runge-Kutta de 4a ordem para resolver o sistema (1)-(2). Use a</p><p>linguagem de programação do seu gosto.</p><p>2. Resolva o problema considerando</p><p>a = 1.2, b = 0.08, c = 0.5, d = 0.2,</p><p>para dois conjuntos de condições iniciais:</p><p>(i) x0 = 10, y0 = 15, (ii) x0 = 15, y0 = 10.</p><p>Use o passo h = 25/200 = 0.125.</p><p>3. Mostre os gráficos das soluções no intervalo temporal [0, 25]. Determine x(25) e y(25).</p><p>4. Discuta o comportamento das soluções obtidas.</p><p>1 Apêndice: Modelo Presa-Predador de Lokta-Volterra</p><p>O modelo Presa-Predador de Lokta-Volterra, fundamental na ecologia matemática, é um exemplo de</p><p>competição entre duas espécies. A interação entre duas espécies A e B se processa de forma que cada</p><p>espécie afeta negativamente a outra na luta pela sobrevivência (espaço, alimentação, etc.). Como</p><p>os recursos são limitados, o modelo de crescimento loǵıstico é o mais indicado para cada espécie, na</p><p>ausência da outra.</p><p>No modelo Presa-Predador, uma das espécies, presa, dispõe de alimentos em abundância e a outra</p><p>espécie, predador, alimenta-se da primeira. Denotaremos a população de presas por x = x(t) e a</p><p>população de predadores por y = y(t). Estas funções dependem somente do tempo (não dependem</p><p>do espaço) e seus respectivos crescimentos dependem das suas respectivas taxas de natalidade e</p><p>mortalidade.</p><p>As hipóteses do modelo mais simples são:</p><p>• na ausência de predadores, as presas crescerão sem limite (não sofrerão nenhum tipo de inibição)</p><p>a uma taxa proporcional à população presente: Então dx/dt = ax, a > 0, quando y = 0;</p><p>• na ausência de presas os predadores morrerão (por falta de alimento). Então dy/dt = −cy,</p><p>c > 0, quando x = 0;</p><p>• o encontro entre as duas espécies acontece ao acaso, a uma taxa proporcional ao tamanho das</p><p>duas populações. O encontro é proporcional ao produto das duas populações, x(t)y(t);</p><p>• a causa principal de mortalidade de cada presa é atribúıda ao ataque do predador. Neste caso, a</p><p>taxa de mortalidade será proporcional ao produto x(t)y(t). Dessa forma, a taxa de crescimento</p><p>da presa é diminúıda por uma parcela, −bx(t)y(t), com b > 0;</p><p>• a taxa de natalidade da espécie predadora é proporcional ao tamanho y(t) da população.</p><p>A quantidade de sobreviventes da população de predadores é proporcional à quantidade de</p><p>alimentos (presa) dispońıvel, x(t). Então a taxa de natalidade efetiva para os predadores é</p><p>proporcional a x(t)y(t). Dessa forma, a taxa de crescimento do predador é acrescida por uma</p><p>parcela, dx(t)y(t), com d > 0.</p><p>Com essas hipóteses, a equação para as presas resulta em</p><p>dx(t)</p><p>dt</p><p>= ax(t)− bx(t)y(t),</p><p>onde a > 0 é a taxa de natalidade das presas e b > 0 é um coeficiente de interação entre as presas e</p><p>os predadores, enquanto que a equação para os predadores é</p><p>dy(t)</p><p>dt</p><p>= −cy(t) + dx(t)y(t),</p><p>onde c > 0 é a taxa de mortalidade dos predadores e d > 0 é um coeficiente de interação entre os</p><p>predadores e as presas. Uma vez que qualquer encontro entre presa e predador tende a ser bom para</p><p>o predador, e ruim para a presa, o sinal no termo x(t)y(t) é negativo na equação da presa e positivo</p><p>na equação do predador. Inserindo as condições iniciais, obtemos um sistema com duas equações</p><p>diferenciais ordinárias de primeira ordem, acopladas pelo termo de fonte/sorvedouro,</p><p>dx(t)</p><p>dt</p><p>= ax(t)− bx(t)y(t),</p><p>dy(t)</p><p>dt</p><p>= −cy(t) + dx(t)y(t), (3)</p><p>x(0) = x0,</p><p>y(0) = y0,</p><p>O modelo (3) foi estabelecido e analisado de forma independente por Lotka e Volterra, por volta de</p><p>1925. O objetivo é determinar o que acontecerá no futuro com as populações de presas e predadores,</p><p>quando seus tamanhos iniciais são conhecidos.</p><p>Referências</p><p>1. Isaac P. Santos. Introdução à modelagem matemática e computacional. Notas de aulas, 2023.</p>