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23/08/2012
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UNESP SOROCABA
ENGENHARIA DE CONTROLE E 
AUTOMAÇÃO
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
AULA 22/08/2012
PROBABILIDADE
• É a tentativa humana de entender a incerteza 
do universo, de definir o indefinível.
• É uma medida quantitativa da possibilidade 
de determinado acontecimento ou evento.
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Experimentos aleatórios
• Experimentos que ao serem repetidos nas
mesmas condições não produzem o mesmo
resultado, são denominados experimentos
aleatórios.
• Exemplos
– Medir o peso de produtos
– Verificar se uma peça tem defeito
– Contar a frequência dos automóveis em um pedágio
Experimentos determinísticos
• Os experimentos que ao serem repetidos nas
mesmas condições conduzem ao mesmo
resultado são denominados determinísticos.
• Exemplos
– Queda livre
– Ebulição da água
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…
• Construção de modelos matemáticos.
• Espaço amostral associado a um experimento: é o
conjunto dos possíveis resultados do
experimento aleatório.
• Exemplos:
– Uma peça é retirada de uma linha de produção para
verificar a qualidade. O espaço amostral associado é
S= { boa, defeituosa}.
– Três veículos que trafegam em uma pista têm como
opções uma saída à esquerda e outra à direita no final
da pista. O espaço amostral associado é S = { EEE, DEE,
EDE, EED, EDD, DED, DDE, DDD}.
…
• Evento: todo resultado ou subconjunto de
resultados de um experimento aleatório.
• Exemplo
– Evento em que exatamente um dos veículos vira à
direta:
• A= { EED, EDE, DEE}.
– Evento em que os três veículos viram na mesma
direção:
• B={EEE,DDD}
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Operações com eventos
• A reunião de dois eventos A e B, denotada por
A U B, é o evento que ocorre se pelo menos
um deles ocorre.
A B
A U B
…
• Interseção de dois eventos A e B, denotada
por A ∩ B, é o evento que ocorre se ambos os
eventos ocorrerem.
A ∩ B
A
B
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…
• Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, 
se eles não podem ocorrer simultaneamente, 
ou seja, A ∩ B = { }.
A
AC
Definição clássica de probabilidade
• Considere um espaço amostral S com N
eventos simples e igualmente possíveis.
• Seja A um evento de S composto de m
eventos simples.
• A probabilidade de A, denotada por P(A), é
definida como:
N
mAP )(
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Lema
• A probabilidade P(A) satisfaz:
• i) P(A) ≥ 0, para todo A Є S;
• ii) Se A e B são eventos mutuamente 
exclusivos, então, P(A U B) = P(A) + P(B);
• iii) P(S) = 1.
Definição frequentista de probabilidade
• Uma maneira de determinar a probabilidade
de um evento consiste em repetir o
experimento aleatório n vezes, e anotar
quantas vezes o evento A associado a esse
experimento ocorre.
• Seja n(A) o número de vezes em que o evento
A ocorreu nas n repetições do experimento.
• A razão:
n
Anf An
)(
, 
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…
• é denominada frequência relativa de A nas n
repetições do experimento.
• Repetindo-se o experimento um grande
número de vezes, nas mesmas condições, e de
modo que as repetições sucessivas não
dependam dos resultados anteriores, observa-
se que a frequência relativa de ocorrências do
evento A tende para uma constante p.
Probabilidade Condicional
• Considere o experimento “lançar um dado duas
vezes em uma superfície plana e observar o
número de pontos na face superior do dado em
cada um dos lançamentos”.
• Suponha que os lançamentos não são
observados, mas a seguinte informação é obtida:
"em cada um dos lançamentos, o número de
pontos é menor ou igual a dois".
• Qual é a probabilidade de que a soma dos pontos
nos dois lançamentos seja igual a quatro?
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…
• Ou seja, designando por B o evento "soma dos
pontos nos dois lançamentos igual a quatro“.
• Qual a probabilidade condicional de ocorrer o
evento B, sabendo-se que o evento A ocorreu?
• Os eventos A e B são:
• A = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
• B = { (1, 3), (2, 2), (3, 1)}.
Definição de probabilidade condicional
• Sejam A e B dois eventos de um espaço 
amostral e supondo que P(A) > 0, a 
probabilidade condicional de B dado A é 
definida por:
   
 AP
ABPABP |
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…
     ABPAPABP |
Independência de eventos 
• Sejam A e B dois eventos e suponha P(A) > 0. 
O evento B é dito independente do evento A 
se: 
P(B|A) = P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
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Exercício
• Dispõem-se de um grupo de 100 pessoas, das
quais 30 lêem o jornal FSP e 48 lêem o jornal
OESP. Entre os leitores dos jornais FSP e OESP,
12 lêem ambos jornais. Qual a probabilidade
de uma pessoa dessa comunidade, escolhida
ao acaso, não leia nenhum jornal?
Exercício
• Os engenheiros usam o termo “confiabilidade”
para a probabilidade de um componente não
falhar. Um sistema mecânico possui dois
componentes. Após testes, os engenheiros
verificam que a confiabilidade do componente 1
é de 98% e a do componente 2 de 95%. Se um
sistema pode funcionar somente se ambos os
componentes funcionam, qual é a confiabilidade
do sistema? Se o sistema pode funcionar se
qualquer um dos dois componentes funcionem,
qual a confiabilidade desse novo sistema?
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Exercício
• O primeiro cabo submarino de fibra óptica foi
lançado em 1988, com 109 repetidores. Existem
agora mais de 600.000 km de cabos submarinos
para suprir o fluxo da Internet. Suponha que cada
repetidor tenha uma probabilidade de 0,999 de
funcionar sem problemas por 25 anos. Os
repetidores falham independentemente uns dos
outros. Qual a probabilidade de 2 repetidores
durarem 25 anos? Para um cabo com 100
repetidores, qual a probabilidade de não
apresentar problemas em 25 anos?
Partições
E1 E3
E2
E4
E5
B



k
i
ii
k
i
i EBPEPBEPBP
11
)/()()()(
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Exercício
• No controle de qualidade de uma indústria é
usado um equipamento eletrônico que detecta se
existe alguma falha na estrutura de um
componente. Os engenheiros sabem que a
probabilidade do teste resultar positivo dado que
o componente tem um defeito é de 80%. A
probabilidade do teste ser positivo dado que o
componente não tem defeito é de 15%. A
probabilidade de um componente ter uma falha é
de 25%. Qual a probabilidade do teste ser
aplicado a um componente escolhido de maneira
aleatória resultar em um teste positivo?
Teorema de Bayes
• Uma indústria utiliza duas máquinas em sua
linha de produção: máquina 1 produz 60% e a
máquina 2 produz 40%. A porcentagem de
unidades produzidas com defeito pela
máquina 1 é de 2% e a 2 de 4%.
• Uma unidade produzida é escolhida
aleatoriamente. Sabendo que essa unidade é
defeituosa, qual a probabilidade dele ter sido
produzida pela máquina 1?
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…
M1
M2
D
Diagrama de árvore
M1
M2
D
B
B
D
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Teorema de Bayes
)2/()2()1/()1(
)1/()1(
)2()1(
)1()/1(
MDPMPMDPMP
MDPMP
DMPDMP
DMPDMP





Generalização





k
j
jj
ii
i
i
EBPEP
EBPEP
BP
BEP
BEP
1
)/()(
)/()(
)(
)(
)/(
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Exercício
• Um fabricante de baterias tem 3 filiais (A,B,C).
A fábrica A produz 300 baterias/dia, sendo
200 regulares e 100 especiais. A fábrica B
produz 200 baterias/dias, sendo 50 regulares
e 150 especiais e a fábrica C produz 100
baterias/dias, sendo 50 de cada tipo. Qual a
probabilidade de que uma bateria especial
selecionada aleatoriamente tenha sido
fabricada pela filial B?
2
1
100
50)/(
4
3
200
150)/(
3
1
300
100)/(
6
1
600
100)(
3
1
600
200)(
2
1
600
300)(






CEP
BEP
AEP
CP
BP
AP
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)/()()/()()/()(
)/()(
)(
)(
CEPCPBEPBPAEPAP
BEPBP
EP
EBP



2
1*
6
1
4
3*
3
1
3
1*
2
1
4
3*
3
1
)(
)(



EP
EBP
Exercício
• A probabilidade de um teste médico
identificar corretamente alguém doente é de
99%. A probabilidade de identificar
corretamente alguém não doente é de 95%.
Suponha que a incidência da doença na
população é de 1/10000. Você fez o teste e o
resultado foi positivo. Qual é a probabilidade
de que você tenha a doença?
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Exercício
• Um programa computacional para detectar
fraudes em celulares rastreia, todo dia, o número
de áreas metropolitanas