Aula1_se769ries

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SÉRIES 
 
Definição: Se {an} é uma sequência, então: 
A soma infinita a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = é chamada 
série. 
Cada número ai é um termo da série; 
an é o termo genérico de ordem n. 
Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as 
SOMAS PARCIAIS. 
S1 = a1 
S2 = a1 + a2 
S3 = a1 + a2 + a3 
------------------------ 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an 
 
E a SEQUÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS 
S1, S2, S3, ..., Sn, ... 
Se essa sequência tem limite S, então a série CONVERGE e sua 
soma é S. 
Ou seja: Se , então a série converge e sua soma 
é a1+a2+a3+...+an... = S 
 
Se a sequência {Sn} não tem limite, então a série DIVERGE. 
 
TEOREMA 
Se a série converge, então 
 
OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries 
cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes. 
 
• Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série 
não converge", que constitui o: 
 
 TESTE DA DIVERGÊNCIA ou DO N-ÉSIMO TERMO 
Dada a série 
€ 
an
n=1
∞
∑ , 
Se 
€ 
lim
x→∞
an não existir ou 
€ 
lim
x→∞
an ≠ 0 , então a série 
€ 
an
n=1
∞
∑ 
diverge. 
Portanto, se 
€ 
lim
x→∞
an = 0 é necessário uma investigação para 
saber se a série 
€ 
an
n=1
∞
∑ converge ou diverge. 
 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
TIPO: com a 0 
r é a razão. 
 
 
Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... 
a = 1 
r = 
 
 SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA 
 A série geométrica 
 Converge e tem soma se | r | < 1. 
 Diverge se | r | 1. 
 
 
Ex1: Estude a convergência da série : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A série acima é chamada de série TELESCÓPICA. 
 
Ex2: 
 
 
 
R: 
 
 
 
 
 
 
Ex3: 
 
R: 
 
 
TESTES DE CONVERGÊNCIA 
 
TESTE 1: 
 
 
 
Ex1: 
 
 
A série acima é chamada de Série HARMÔNICA. 
 
 
Ex2: 
 
 
 
 
TEOREMAS: 
- Se 
€ 
an∑ e 
€ 
bn∑ forem séries convergentes, então também serão 
convergentes as séries 
€ 
can∑ , onde c=constante, 
€ 
(an∑ + bn ) e 
€ 
(an∑ − bn ) , e 
I) 
€ 
can
n=1
∞
∑ = c an
n=1
∞
∑ 
 
II) 
€ 
(an − bn )
n=1
∞
∑ = an
n=1
∞
∑ − bn
n=1
∞
∑ 
 
III) 
€ 
(an + bn )
n=1
∞
∑ = an
n=1
∞
∑ + bn
n=1
∞
∑ 
 
- Se 
€ 
an∑ é convergente e 
€ 
bn∑ é divergente, então 
€ 
(an∑ + bn ) é 
divergente. 
TESTE ( TESTE DA RAZÃO) 
 
- Se 
€ 
an
n=1
∞
∑ e 
€ 
bn
n=1
∞
∑ são duas séries de termos positivos. Então: 
 * Se , sendo "c" um número real, então as séries 
são ambas convergentes ou ambas divergentes. 
 
 * Se e se converge, então também 
converge. 
 * Se e se diverge, então também 
diverge. 
 
OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no 
numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior 
importância. 
 
Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge: 
 
 
 
 é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o 
teste da comparação, temos: 
 
Logo, conclui-se que a série CONVERGE.