Estatística - Material Complementar aula 03

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<p>Estatística – Aula 03</p><p>Prof. Daniel Rocha de Almeida</p><p>● Medidas de Dispersão</p><p>Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados para determinar o</p><p>grau de variabilidade dos dados de um conjunto de valores.</p><p>A utilização desses parâmetros tornam a análise de uma amostra mais confiável,</p><p>visto que as variáveis de tendência central (média, mediana, moda) muitas vezes</p><p>escondem a homogeneidade ou não dos dados.</p><p>Por exemplo, vamos considerar que um animador de festas infantis selecione as</p><p>atividades de acordo com a média das idades das crianças convidadas para uma</p><p>festa. Vamos considerar as idades de dois grupos de crianças que irão participar</p><p>de duas festas diferentes:</p><p>Em ambos os casos, a média é igual a 7 anos de idade. Entretanto, ao observar</p><p>as idades dos participantes podemos admitir que as atividades escolhidas sejam</p><p>iguais?</p><p>Portanto, neste exemplo, a média não é uma medida eficiente, pois não indica</p><p>o grau de dispersão dos dados.</p><p>As medidas de dispersão mais usadas são: amplitude, variância, desvio padrão</p><p>e coeficiente de variação.</p><p>● Amplitude</p><p>Essa medida de dispersão é definida como a diferença entre a maior e a menor</p><p>observação de um conjunto de dados, isto é:</p><p>Por ser uma medida que não leva em consideração como os dados estão</p><p>efetivamente distribuídos, não é muito utilizada.</p><p>Exemplo</p><p>O setor de controle de qualidade de uma empresa seleciona ao acaso peças de</p><p>um lote. Quando a amplitude das medidas dos diâmetros das peças ultrapassa</p><p>0,8 cm o lote é rejeitado.</p><p>Considerando que em um lote foram encontrados os seguintes valores 2,1 cm;</p><p>2,0 cm; 2,2 cm; 2,9 cm; 2,4 cm, esse lote foi aprovado ou rejeitado?</p><p>Solução</p><p>Para calcular a amplitude, basta identificar o menor e o maior valores, que neste</p><p>caso, são 2,0 cm e 2,9 cm. Calculando a amplitude, temos:</p><p>A = 2,9 - 2 = 0,9 cm</p><p>Nesta situação o lote foi rejeitado, pois a amplitude ultrapassou o valor limite.</p><p>● Variância</p><p>A variância é determinada pela média dos quadrados das diferenças entre cada</p><p>uma das observações e a média aritmética da amostra. O cálculo é feito com</p><p>base na seguinte fórmula:</p><p>Sendo,</p><p>V: variância</p><p>xi: valor observado</p><p>MA: média aritmética da amostra</p><p>n: número de dados observados</p><p>Exemplo</p><p>Considerando as idades das crianças das duas festas indicadas anteriormente,</p><p>vamos calcular a variância desses conjuntos de dados.</p><p>Festa A</p><p>Dados: 1 ano, 2 anos, 2 anos, 12 anos, 12 anos e 13 anos.</p><p>Média:</p><p>Variância:</p><p>Festa B</p><p>Dados: 5 anos, 6 anos, 7 anos, 7 anos, 8 anos e 9 anos.</p><p>Média:</p><p>Variância:</p><p>Observe que apesar da média ser igual, o valor da variância é bem diferente,</p><p>ou seja, os dados do primeiro conjunto são bem mais heterogêneos.</p><p>● Desvio Padrão</p><p>O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Desta forma,</p><p>a unidade de medida do desvio padrão será a mesma da unidade de medida dos</p><p>dados, o que não acontece com a variância.</p><p>Assim, o desvio padrão é encontrado fazendo-se:</p><p>Quando todos os valores de uma amostra são iguais, o desvio padrão é igual a</p><p>0. Sendo que, quanto mais próximo de 0, menor é a dispersão dos dados.</p><p>Exemplo</p><p>Considerando ainda o exemplo anterior, vamos calcular o desvio padrão para as</p><p>duas situações:</p><p>Agora, sabemos que a variação das idades do primeiro grupo em relação a</p><p>média é de aproximadamente 5 anos, enquanto que a do segundo grupo é de</p><p>apenas 1 ano.</p><p>● Coeficiente de Variação</p><p>Para encontrar o coeficiente de variação, devemos multiplicar o desvio padrão</p><p>por 100 e dividir o resultado pela média. Essa medida é expressa em</p><p>porcentagem.</p><p>O coeficiente de variação é utilizado quando precisamos comparar</p><p>variáveis que apresentam médias diferentes.</p><p>Como o desvio padrão representa o quanto os dados estão dispersos em</p><p>relação a uma média, ao comparar amostras com médias diferentes, a sua</p><p>utilização pode gerar erros de interpretação.</p><p>Desta forma, ao confrontar dois conjuntos de dados, o mais homogêneo será</p><p>aquele que apresentar menor coeficiente de variação.</p><p>Exemplo</p><p>Um professor aplicou uma prova para duas turmas e calculou a média e o desvio</p><p>padrão das notas obtidas. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.</p><p>Com base nesses valores, determine o coeficiente de variação de cada turma e</p><p>indique a turma mais homogênea.</p><p>Solução</p><p>Calculando o coeficiente de variação de cada turma, temos:</p><p>Desta forma, a turma mais homogênea é a turma 2, apesar de apresentar maior</p><p>desvio padrão.</p><p>Exercícios Resolvidos</p><p>1. Em um dia de verão as temperaturas registradas em uma cidade ao longo de</p><p>um dia estão apresentadas na tabela abaixo:</p><p>Com base na tabela, indique o valor da amplitude térmica registrada neste dia.</p><p>Solução</p><p>Para encontrar o valor da amplitude térmica, devemos subtrair o valor mínimo da</p><p>temperatura do valor máximo. Pela tabela, identificamos que a menor</p><p>temperatura foi 16 ºC e a maior 27 ºC.</p><p>Desta forma, a amplitude será igual a:</p><p>A = 27 - 16 = 11 ºC</p><p>2. O treinador de uma equipe de voleibol resolveu medir a altura dos jogadores</p><p>da sua equipe e encontrou os seguintes valores: 1,86 m; 1,97 m; 1,78 m; 2,05</p><p>m; 1,91 m; 1,80 m. Em seguida, calculou a variância e o coeficiente de variação</p><p>das alturas. Os valores aproximados foram respectivamente:</p><p>a) 0,08 m2 e 50%</p><p>b) 0,3 m e 0,5%</p><p>c) 0,0089 m2 e 4,97%</p><p>d) 0,1 m e 40%</p><p>Solução</p>