Livro Métodos Quantitativos Matemáticos

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<p>Código Logístico</p><p>57419</p><p>Fundação Biblioteca Nacional</p><p>ISBN 978-85-387-6446-5</p><p>9 788538 764465</p><p>M</p><p>ÉTO</p><p>D</p><p>O</p><p>S Q</p><p>U</p><p>A</p><p>N</p><p>TITATIV</p><p>O</p><p>S M</p><p>ATEM</p><p>ÁTICO</p><p>S</p><p>P</p><p>au</p><p>lo</p><p>A</p><p>fo</p><p>n</p><p>so</p><p>B</p><p>racaren</p><p>se/</p><p>M</p><p>aria Em</p><p>ilia M</p><p>artin</p><p>s Ferreira</p><p>Métodos quantitativos</p><p>matemáticos</p><p>IESDE BRASIL S/A</p><p>2018</p><p>Paulo Afonso Bracarense</p><p>Maria Emilia Martins Ferreira</p><p>Todos os direitos reservados.</p><p>IESDE BRASIL S/A.</p><p>Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200</p><p>Batel – Curitiba – PR</p><p>0800 708 88 88 – www.iesde.com.br</p><p>CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO</p><p>SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ</p><p>C875m</p><p>4. ed.</p><p>Bracarense, Paulo Afonso</p><p>Métodos quantitativos matemáticos / Paulo Afonso Bracarense,</p><p>Maria Emilia Martins Ferreira. - [4. ed.]. - Curitiba [PR] : IESDE</p><p>Brasil, 2018.</p><p>144 p. : il. ; 21 cm.</p><p>Inclui bibliografia</p><p>ISBN 978-85-387-6446-5</p><p>1. Matemática - Estudo e ensino (Superior). I. Ferreira,</p><p>Maria Emilia Martins. II. Título.</p><p>18-52040</p><p>CDD: 510.711</p><p>CDU: 51(07)</p><p>© 2007-2018 – IESDE BRASIL S/A.</p><p>É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor</p><p>dos direitos autorais.</p><p>Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: pixel_dreams/ktsimage/iStockphoto</p><p>Paulo Afonso Bracarense</p><p>Doutor em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), com</p><p>estágio de doutoramento na University of South Florida, nos Estados Unidos. Mestre em Agronomia</p><p>(Estatística e Experimentação Agronômica) pela Universidade de São Paulo (USP) e em Políticas</p><p>Públicas pela Humboldt University of Berlin (HUB) e European Viadrina University of Frankfurt em</p><p>Oder, na Alemanha. Especialista em Gestão Municipal de Recursos Hídricos pelo Instituto Federal</p><p>de Educação do Ceará (IFCE) e pela Agência Nacional de Águas (ANA). Bacharel em Estatística pela</p><p>Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da UFPR.</p><p>Maria Emilia Martins Ferreira</p><p>Doutora em Engenharia Florestal pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Mestre</p><p>em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). MBA em</p><p>Gestão Ambiental pela UFPR. Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Estadual do</p><p>Maranhão (UEMA).</p><p>Sumário</p><p>Apresentação 7</p><p>1 Sistemas numéricos 9</p><p>1.1 O problema 9</p><p>1.2 Explorando o problema 9</p><p>1.3 Equacionando o problema 10</p><p>1.4 Conceitos e regras 11</p><p>2 Operações com números reais 21</p><p>2.1 O problema 21</p><p>2.2 Explorando o problema 21</p><p>2.3 Equacionando o problema 21</p><p>2.4 Conceitos e regras 22</p><p>3 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 41</p><p>3.1 O problema 41</p><p>3.2 Explorando o problema 41</p><p>3.3 Equacionando o problema 42</p><p>3.4 Conceitos e regras 43</p><p>4 Intervalos 63</p><p>4.1 O problema 63</p><p>4.2 Explorando o problema 63</p><p>4.3 Equacionando o problema 63</p><p>4.4 Conceitos e regras 64</p><p>5 Estudo de funções 71</p><p>5.1 O problema 71</p><p>5.2 Explorando o problema 71</p><p>5.3 Equacionando o problema 72</p><p>5.4 Conceitos e regras 72</p><p>6 Limites 91</p><p>6.1 O problema 91</p><p>6.2 Explorando o problema 91</p><p>6.3 Equacionando o problema 92</p><p>6.4 Conceitos e regras 92</p><p>7 Derivada de função 103</p><p>7.1 O problema 103</p><p>7.2 Explorando o problema 103</p><p>7.3 Equacionando o problema 104</p><p>7.4 Conceitos e regras 105</p><p>Referências 119</p><p>Gabarito 121</p><p>Apresentação</p><p>O aprendizado da matemática estimula nossa capacidade de compreensão do mundo, de</p><p>desenvolvimento lógico e de ampliação da comunicação, que, por sua vez, abrem novas opções de</p><p>aprendizado. Esse círculo virtuoso exige que estejamos sempre abertos a buscar maior aprimora-</p><p>mento no domínio dos conteúdos e da linguagem da matemática.</p><p>O matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912) – que usufruiu em seu tempo de</p><p>enorme popularidade, pois foi precursor do estilo Carl Sagan e era um cientista que soube se co-</p><p>municar com o público e dar à ciência um sabor popular – defendia, há mais de um século, que</p><p>a matemática deveria crescer não só por sua beleza intrínseca, mas também pela promoção do</p><p>conhecimento como um todo.</p><p>Hoje, a abundância de informações propiciadas pela enorme capacidade dos computadores em</p><p>adquirir, armazenar e processar dados exige cada vez mais o domínio da linguagem e técnicas matemá-</p><p>ticas na gestão de negócios. Desse modo, devemos ter a matemática como uma aliada em quem pode-</p><p>mos nos apoiar, e não como uma tirana com quem só convivemos devido à sua absoluta inevitabilidade.</p><p>A modelagem matemática nas empresas trabalha tipicamente com a representação dos pro-</p><p>cessos decisórios estratégicos nas mais diferentes áreas, como administração de recursos humanos,</p><p>contas a receber, contas a pagar, suprimentos, logística, estoque, transporte, produção, receita, in-</p><p>vestimentos, vendas etc. O uso da matemática pelos profissionais da área é um acessório funda-</p><p>mental a ser incorporado à experiência, à inteligência e à intuição na tomada de decisão.</p><p>Neste livro, propomos um método de estudo que visa estimular o indivíduo a respon-</p><p>der questões que o levem a compreender as temáticas necessárias à sua formação profissional.</p><p>Apresentamos aqui os conteúdos matemáticos com base na busca de soluções a problemas concre-</p><p>tos. Em cada capítulo, trataremos do conteúdo elencando os seguintes tópicos:</p><p>• o problema;</p><p>• explorando o problema;</p><p>• equacionando o problema;</p><p>• conceitos e regras;</p><p>• atividades.</p><p>Quando se opta pela utilização de métodos que envolvem a matemática para a compreensão</p><p>de um fenômeno, o que se busca é a construção de modelos matemáticos para explicar o problema</p><p>em questão. As equações e as variáveis são os elementos essenciais desses modelos, mas, como os</p><p>valores que uma variável administrativa ou econômica assume são numéricos, é importante o estu-</p><p>do sobre o sistema de números. Partindo dessa visão, buscamos, nos primeiros capítulos, fazer uma</p><p>revisão sobre sistemas numéricos (Capítulo 1) e sobre operações com números reais (Capítulo 2).</p><p>Eles são complementados por um estudo de intervalos no Capítulo 4, após o estudo da Teoria dos</p><p>Conjuntos, que abre o Capítulo 3.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos8</p><p>Nos Capítulos 5 e 6, expomos os conceitos de função e limite, fundamentais para o enten-</p><p>dimento do cálculo diferencial, da maneira mais simples e clara possível. Esses conceitos já eram</p><p>conhecidos na matemática dos povos antigos, mas foi somente a matemática moderna que expôs</p><p>completamente o seu significado e o seu caráter essencial. O Capítulo 5 é dedicado ao estudo das</p><p>funções (introduzido pelo estudo das relações no Capítulo 3), compreendendo que aqui elas são</p><p>casos particulares de relações que podem ser estabelecidas de forma analítica. Já o Capítulo 6 enfo-</p><p>ca o estudo de limites de funções, conceito necessário para a definição de derivada.</p><p>O jogo de variabilidade no estudo das funções é também tratado nesta obra, por meio da</p><p>abordagem de derivadas das funções de interesse. É relevante, dessa forma, termos o conhecimento</p><p>do papel do cálculo diferencial no estudo de fenômenos administrativos e econômicos, assunto</p><p>esse que será discutido no Capítulo 7, o último de nosso livro.</p><p>Boa leitura!</p><p>1</p><p>Sistemas numéricos</p><p>1.1 O problema</p><p>Modelos matemáticos são comumente constituídos de equações destinadas a</p><p>descrever a estrutura do modelo. Essas equações são construídas com base na observa‑</p><p>ção de relações entre variáveis que dão forma matemática ao conjunto de pressupostos</p><p>analíticos adotados. Assim, por meio da aplicação de operações matemáticas relevan‑</p><p>tes a essas equações, procura‑se derivar um conjunto de conclusões que se seguem lo‑</p><p>gicamente desses pressupostos. Uma variável é algo cuja magnitude pode mudar, isto é, algo que pode</p><p>assumir diferentes valores. As variáveis, frequentemente utilizadas em Administração e Economia,</p><p>incluem preço, lucro, receita, custo, produção, renda nacional, consumo, investimento, dentre outras.</p><p>Cada variável pode assumir diferentes valores e é representada por um símbolo. O preço pode ser</p><p>representado por P, o lucro por L, a receita por R, o custo por C, e assim por diante.</p><p>Um modelo matemático, quando construído adequadamente, pode</p><p>(2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)}</p><p>A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}</p><p>Esse conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n conjuntos. Se A, B e C</p><p>forem conjuntos, várias construções podem ser feitas. O produto cartesiano A x B pode ser usado</p><p>para formar um novo conjunto, o qual pode ser combinado com C para formar (A x B) x C. Ou</p><p>B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda combinação (B x C) x A pode ser</p><p>feita, e assim por diante.</p><p>3.4.2.1 Relações</p><p>A relação entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, é qualquer subconjunto do</p><p>produto cartesiano A x B. O número de relações em qualquer produto cartesiano depende do nú-</p><p>mero de pares ordenados naquele conjunto em particular. Se o número de pares ordenados for p,</p><p>o número de relações será 2p.</p><p>Exemplo 2</p><p>Se A = {a1, a2} e B = {b1, b2}, o conjunto produto cartesiano A x B = Y contém 2 . 2 = 4 pares</p><p>ordenados, como segue:</p><p>Métodos quantitativos matemáticos48</p><p>Y = A x B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}</p><p>Todo subconjunto de pares ordenados desse produto cartesiano é uma relação. Aqui temos</p><p>24 = 16 relações, como segue:</p><p>R1 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}</p><p>R2 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1)}</p><p>R3 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b2)}</p><p>R4 = {(a1, b1), (a2, b1), (a2, b2)}</p><p>R5 = {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}</p><p>R6 = {(a1, b1), (a1, b2)}</p><p>R7 = {(a1, b1), (a2, b1)}</p><p>R8 = {(a1, b1), (a2, b2)}</p><p>R9 = {(a1, b2), (a2, b1)}</p><p>R10 = {(a1, b2), (a2, b2)}</p><p>R11 = {(a2, b1), (a2, b2)}</p><p>R12 = {(a1, b1)}</p><p>R13 = {(a1, b2)}</p><p>R14 = {(a2, b1)}</p><p>R15 = {(a2, b2)}</p><p>R16 = ∅</p><p>Exemplo 3</p><p>Um dado branco e um dado preto são lançados. B representa os possíveis resultados do dado</p><p>branco, e P os possíveis resultados do dado preto. Então, B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto pro-</p><p>duto cartesiano B x P existirão 6 . 6 = 36 elementos que são pares ordenados. O produto pode ser</p><p>denotado simbolicamente como:</p><p>X = B x P = {(b, p)| b ∈ B e p ∈ P}</p><p>Existem 236 possíveis relações. Exemplos específicos para essas relações que podem ser de</p><p>especial interesse são:</p><p>R1 = {(b, p)| b = p e (b, p) ∈ B x P}</p><p>Os pares ordenados dessa relação são:</p><p>R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}</p><p>Ou nós podemos estar especialmente interessados na relação:</p><p>R2 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}</p><p>O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do dado branco são</p><p>sempre maiores que os valores do dado preto.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 49</p><p>3.4.2.2 Domínio e contradomínio de uma relação</p><p>O domínio da relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados</p><p>em R. O contradomínio da relação R é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares or-</p><p>denados em R.</p><p>3.4.2.3 Funções</p><p>Uma função é um caso especial de uma relação. Qualquer subconjunto de A x B é uma rela-</p><p>ção. A relação é uma função de A para B onde para cada elemento do conjunto A existe um único</p><p>elemento do conjunto B.</p><p>Em outras palavras, se cada elemento do domínio estiver associado a um elemento no con-</p><p>tradomínio, a associação é chamada de função. Observe, então, que o número de pares ordenados</p><p>em uma função é igual ao número de elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro</p><p>componente dos pares ordenados.</p><p>Exemplo 4</p><p>Nós vimos no Exemplo 2 que se A = {a1, a2} e B = {b1, b2}, temos 16 relações (ou subconjun-</p><p>tos) possíveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas relações, somente quatro estão em</p><p>conformidade com a definição de uma função. Essas quatro funções são:</p><p>R7 = {(a1, b1), (a2, b1)}</p><p>R8 = {(a1, b1), (a2, b2)}</p><p>R9 = {(a1, b2), (a2, b1)}</p><p>R10 = {(a1, b2), (a2, b2)}</p><p>Cada uma dessas funções consiste em dois pares ordenados, ou n (A) pares ordenados. a1</p><p>aparece como o primeiro elemento uma vez, e a2 aparece como primeiro elemento uma vez, em cada</p><p>função. Não há distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira coordenada.</p><p>3.4.3 Operações com conjuntos</p><p>Como os números podem ser combinados pelas operações básicas da matemática – adição,</p><p>subtração, multiplicação e divisão – para formar um novo número, os conjuntos também podem</p><p>ser combinados para formar um novo conjunto.</p><p>Todos os conjuntos envolvidos na combinação são subconjuntos do mesmo conjunto uni-</p><p>verso. O novo conjunto formado será também subconjunto do mesmo conjunto universo.</p><p>As operações básicas usadas com conjuntos são: complemento, interseção e união entre conjuntos.</p><p>3.4.3.1 Complemento de conjuntos</p><p>O complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo U é o</p><p>conjunto que contém todos os elementos de U que não estão em A.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos50</p><p>Exemplo 1</p><p>Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do alfa-</p><p>beto. Se A é o subconjunto de U, que contém todas as vogais, então todas as consoantes formam</p><p>outro subconjunto, também um subconjunto de U, que é conhecido como o complemento de A</p><p>com relação a U. O símbolo Ac, que se lê “não A” ou “o complemento de A”, é usado para representar</p><p>o complemento de A (ver Figura 4). A relação pode ser simbolizada como:</p><p>Ac = {x|x ∈ U e x ∉ A}</p><p>Figura 4 – Complemento de conjuntos</p><p>A</p><p>Ac</p><p>U</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 2</p><p>O complemento do conjunto de todos os números racionais com relação ao conjunto uni-</p><p>verso de todos os números reais é o conjunto de todos os números irracionais.</p><p>Exemplo 3</p><p>O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que têm 45 anos de idade</p><p>ou mais com relação ao conjunto universo de todos os empregados da Companhia XYZ é o conjunto</p><p>cujos elementos são aqueles empregados da Companhia XYZ que têm menos de 45 anos de idade.</p><p>Exemplo 4</p><p>O complemento do conjunto universo com relação a ele mesmo é o conjunto vazio ∅, e o com-</p><p>plemento do conjunto vazio ∅ com relação ao conjunto universo é o próprio conjunto universo U.</p><p>3.4.3.2 Interseção</p><p>A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B – lê-se “A</p><p>interseção com B” ou “A inter B” –, é o conjunto dos elementos que per-</p><p>tencem a ambos os conjuntos A e B. Simbolicamente,</p><p>A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}</p><p>A interseção de dois conjuntos é mostrada na Figura 5. A ∩ B (a interseção de A e B é mos-</p><p>trada pela área mais escura).</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 51</p><p>Figura 5 – Interseção de conjuntos</p><p>U</p><p>B</p><p>A</p><p>A ∩ B</p><p>U</p><p>B</p><p>A</p><p>A ∩ B</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 5</p><p>Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , então A ∩ B = {4}.</p><p>Exemplo 6</p><p>Se o conjunto A é um conjunto cujos elementos são todos os carros amarelos estacionados</p><p>em um estacionamento particular, e os elementos do conjunto B são todos os da marca M estacio-</p><p>nados no mesmo estacionamento, a interseção de A e B, A ∩ B, é o conjunto de todos os carros da</p><p>marca M e amarelos estacionados no estacionamento particular.</p><p>Exemplo 7</p><p>Se o conjunto A contém todos os carros amarelos estacionados em um determinado estaciona-</p><p>mento, e o conjunto B contém todos os carros da marca M estacionados no mesmo estacionamento,</p><p>então, Bc contém todos os carros que não são da marca M, e A ∩ Bc contém todos os carros amarelos,</p><p>exceto os da marca M e amarelos (ver Figura 6).</p><p>Figura 6 – Intersecção dos conjuntos A e B</p><p>B</p><p>A</p><p>U</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>A notação da interseção pode facilmente ser generalizada a situações que envolvem mais</p><p>de dois conjuntos. Assim, a interseção dos conjuntos A1, A2, ..., An, escrito A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An, é o</p><p>conjunto dos elementos comuns a todos os conjuntos A1, A2, ..., An.</p><p>Exemplo 8</p><p>Definimos um conjunto universo U, cujos elementos são todos os membros da força de tra-</p><p>balho. No conjunto A estão os elementos que são empregados da Companhia XYZ, no conjunto B</p><p>estão todos os membros femininos da força de trabalho, e no conjunto C estão todos os membros</p><p>da força de trabalho que possuem menos de 25 anos. A interseção desses conjuntos A ∩ B ∩ C será</p><p>o conjunto de mulheres</p><p>empregadas na companhia XYZ que têm menos de 25 anos.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos52</p><p>3.4.3.3 Conjuntos disjuntos</p><p>Se dois conjuntos A e B não tiverem elementos em comum, A ∩ B = ∅, os conjuntos são</p><p>ditos conjuntos disjuntos. Em um Diagrama de Venn, como é mostrado na Figura 7, os conjuntos</p><p>disjuntos são mostrados como não tendo nenhuma área sobreposta.</p><p>Figura 7 – Conjuntos disjuntos</p><p>U</p><p>A</p><p>B</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 9</p><p>Se o conjunto universo U contém 52 cartas de um baralho e se dois subconjuntos forem</p><p>definidos como</p><p>R = {cartas vermelhas} e B ={cartas pretas},</p><p>então, R ∩ B = ∅. Os conjuntos R e B são conjuntos disjuntos.</p><p>3.4.3.4 União</p><p>A união de A e B (denotada por A ∪ B), quando A e B são dois conjuntos</p><p>definidos em um conjunto universo U, contém aqueles elementos que</p><p>pertencem a A ou a B ou a ambos.</p><p>A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}</p><p>A ∪ B (a união de A e B) é mostrada na Figura 8:</p><p>Figura 8 – União de conjuntos</p><p>U</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>U</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 53</p><p>Exemplo 10</p><p>Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}</p><p>Exemplo 11</p><p>Se o conjunto A contém todos os carros amarelos de um estacionamento, e o conjunto B</p><p>contém todos os carros da marca M desse estacionamento, a união de A e B, A ∪ B, contém todos</p><p>os carros amarelos mais os carros da marca M de outras cores do estacionamento.</p><p>A notação de união pode ser estendida para os casos que envolvem mais do que dois con-</p><p>juntos. A união dos conjuntos A1, A2, ..., An, denotada como A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An, é o conjunto de</p><p>elementos que estão pelo menos em um dos conjuntos A1, A2, ..., An.</p><p>Exemplo 12</p><p>Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto universo U, cujos elementos</p><p>são todos os moradores de Curitiba.</p><p>A = {x|x é um professor universitário}</p><p>B = {x|x é uma pessoa casada}</p><p>C = {x|x tem menos de 35 anos}</p><p>Então, o conjunto A ∪ B ∪ C representa todos os moradores de Curitiba que são ou profes-</p><p>sores ou casados ou têm menos de 35 anos (ver Figura 8A).</p><p>O conjunto de moradores que são casados, professores e abaixo de 35 anos é denotado da</p><p>seguinte forma: A ∩ B ∩ C (ver Figura 8B).</p><p>O conjunto de moradores que são ou professores ou casados, mas têm menos de 35 anos</p><p>pode ser descrito pela seguinte notação: (A ∪ B) ∩ C (ver Figura 8C).</p><p>Ou o conjunto de moradores que são professores, não são casados, mas têm mais de 35 anos</p><p>de idade pode ser simbolizado por: A ∩ (Bc ∩ Cc) (ver Figura 8D).</p><p>Figura 8A – A ∪ B ∪ C</p><p>U</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Figura 8B – A ∩ B ∩ C</p><p>U</p><p>A B</p><p>C</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos54</p><p>Figura 8C – (A ∪ B) ∩ C</p><p>U</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Figura 8D – A ∩ (Bc ∩ Cc)</p><p>U</p><p>A B</p><p>C</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>3.4.3.5 Partição</p><p>Uma coleção de subconjuntos é dita exaustiva se sua união contiver cada</p><p>um dos elementos no conjunto universo em que eles estão definidos.</p><p>Um grupo de conjuntos que são mutuamente excludentes e exaustivos é</p><p>chamado de uma partição. Tal partição está mostrada na Figura 9.</p><p>Figura 9 – Partição de conjuntos</p><p>U</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>D</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 13</p><p>Dado um conjunto universo U = [1, 2, 3, 4, 5], a coleção de subconjuntos A = [1, 2], B = [3]</p><p>e C = [4, 5] forma uma partição de U.</p><p>Um conjunto universo U pode ser particionado de diferentes modos, é claro. Por exemplo:</p><p>a coleção de subconjuntos D = [1], E = [3, 5] e F = [2, 4] também forma uma partição do conjunto</p><p>universo dado acima.</p><p>Dados dois conjuntos A e B, que não são disjuntos, o conjunto A pode ser particionado em</p><p>dois subconjuntos disjuntos (A ∩ B) e (A ∩ Bc). Além disso, a união dos dois conjuntos, A ∪ B,</p><p>pode ser particionada em três subconjuntos disjuntos (A ∩ Bc), (A ∩ B), (Ac ∩ B), conforme ilus-</p><p>trado na Figura 10.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 55</p><p>A = (A ∩ B) U (A ∩ Bc) e (A U B) = (A ∩ Bc) U (A ∩ B) U (Ac ∩ B)</p><p>Figura 10 – União particionada dos conjuntos A e B</p><p>U</p><p>BA</p><p>A ∩ B Ac ∩ BA ∩ Bc</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>3.4.4 Número de elementos em grupos de conjuntos finitos</p><p>O número de elementos em qualquer conjunto A pode ser denotado por n(A). Por exemplo,</p><p>se A = {1, 2 , 3 , 4}, então, n(A) = 4.</p><p>Nós estamos frequentemente interessados em saber o número de elementos em várias com-</p><p>binações dos conjuntos finitos. As observações que seguem serão úteis em tais situações.</p><p>1) O conjunto nulo não contém elementos, isto é:</p><p>n(∅) = 0</p><p>2) Um conjunto não vazio não pode ter um número negativo de ele mentos, isto é:</p><p>n(A) > 0, se A não for vazio.</p><p>3) Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, eles não têm elementos em comum, e o conjunto</p><p>A ∩ B é um conjunto vazio, isto é:</p><p>n(A ∩ B) = 0, se A e B forem conjuntos disjuntos.</p><p>4) Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, o número de elementos em A ∪ B é igual ao</p><p>número de elementos em A mais o número de elementos em B, isto é:</p><p>n(A ∪ B) = n(A) + n(B), se A ∩ B = ∅</p><p>5) Para qualquer um dos dois conjuntos A e B, o número de elementos em A ∪ B é igual</p><p>ao número de elementos em A mais o número de elementos em B menos o número de</p><p>elementos que são comuns aos dois conjuntos, isto é:</p><p>n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)</p><p>6) Para qualquer um dos dois conjuntos A e B que não sejam disjuntos, o conjunto A pode</p><p>ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∩ B e A ∩ Bc (ver Figura 11). Assim:</p><p>n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc)</p><p>A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc); assim, n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc)</p><p>Métodos quantitativos matemáticos56</p><p>Figura 11 – Conjunto A particionado</p><p>U</p><p>BA</p><p>A ∩ BA ∩ Bc</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>7) Para qualquer conjunto universo U em que os conjuntos A e B são definidos, o conjun-</p><p>to universo pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∪ B e (A ∪ B)c (ver</p><p>Figura 12). Assim:</p><p>n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c</p><p>U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c; assim, n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c</p><p>Figura 12 – Conjunto U particionado</p><p>U</p><p>(A ∪ B)c</p><p>BA</p><p>A ∪ B</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>8) O conjunto (A ∪ B)c e o conjunto (Ac ∩ Bc) são iguais, porque eles contêm precisamente</p><p>os mesmos elementos (ver Figura 13). Assim:</p><p>n(Ac ∩ Bc) = n(A ∪ B)c</p><p>E, como n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c,</p><p>n(Ac ∩ Bc) = n(U) – n(A ∪ B)</p><p>Figura 13 – Conjuntos iguais</p><p>A B</p><p>UAc</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 57</p><p>BA</p><p>UBc</p><p>A B</p><p>U(Ac ∩ Bc) = (A ∪ B)c</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 1</p><p>Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}, então n(A) = 5 e n(B) = 3. Podemos perceber que A e B</p><p>não possuem elementos em comum. Assim, A ∩ B = ∅ e n(A ∩ B) = 0. Também, A ∪ B = {1, 2, 3,</p><p>4, 5, 6, 7, 8} e n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 5 + 3 = 8.</p><p>Exemplo 2</p><p>Dado A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6}, então n(A) = 4 e n(B) = 3.</p><p>Nesse caso, A ∩ B = {2, 4} e n(A ∩ B) = 2.</p><p>O conjunto A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} e n(A ∪ B) = 5. Quando A e B não forem disjuntos, o número</p><p>de elementos de A ∪ B não será a soma de n(A) e n(B), mas sim n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).</p><p>Daí, 5 = 4 + 3 – 2.</p><p>Os Diagramas de Venn são muito úteis para se determinar o número de elementos nas com-</p><p>binações de conjuntos finitos, como mostra o exemplo seguinte.</p><p>Exemplo 3</p><p>Em um dia, 325 pessoas pararam em bancas de jornal. Dessas, 185 compraram o Jornal A,</p><p>150 compraram o Jornal B, e 95 compraram ambos. Quantas pessoas não compraram nenhum</p><p>jornal? Quantas pessoas compraram o Jornal A, mas não compraram o Jornal B? Quantas pessoas</p><p>compraram o Jornal B, mas não o A? Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais?</p><p>O Diagrama de Venn, na Figura 14, nos ajudará a responder a essas questões. Primeiro</p><p>vamos definir o conjunto A, que contém todos os compradores do Jornal A, e o conjunto B, que</p><p>contém todos os compradores do Jornal B.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos58</p><p>Então, cuidadosamente, rotulamos as regiões no Diagrama de Venn. Usando a informação</p><p>de que 95 pessoas compraram ambos os jornais – isto é, n(A ∩ B) = 95 –, colocaremos esse número</p><p>na região que corresponde a A ∩ B.</p><p>Depois, como n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc), daí n(A ∩ Bc) = 185</p><p>– 95 = 90; então colocare-</p><p>mos esse número na região apropriada.</p><p>Também, n(B) = n(A ∩ B) + n(Ac ∩ B), daí temos que n(Ac ∩ B) = 150 – 95 = 55. Novamente,</p><p>colocaremos esse número na região apropriada.</p><p>Para se determinar o número de pessoas que não comprou jornal, nós particionaremos o</p><p>conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos, isto é:</p><p>U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c</p><p>Assim, temos:</p><p>n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c</p><p>Além disso, temos que:</p><p>(A ∪ B) = (A ∩ Bc) ∪ (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B)</p><p>Então, nesse caso:</p><p>n(A ∪ B) = 90 + 95 + 55 = 240</p><p>Com esse resultado, obtemos:</p><p>n(A ∪ B)c = 325 – 240 = 85</p><p>Em resumo, nós determinamos que 85 pessoas não compraram nenhum dos dois jornais, 90</p><p>compraram somente o Jornal A e 55 compraram somente o Jornal B. Além disso, 90 + 55 = 145 com-</p><p>praram apenas um dos dois jornais e 325 – 85 = 240 compraram pelo menos um dos dois jornais.</p><p>Figura 14 – Diagrama jornais A e B</p><p>U</p><p>A ∩ B</p><p>95</p><p>Ac ∩ B</p><p>55</p><p>A ∩ Bc</p><p>90</p><p>A B</p><p>(A ∪ B)c</p><p>85</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>A tabela a seguir representa a situação discutida.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 59</p><p>Tabela 1 – Conjuntos A e B</p><p>Conjunto A Ac Total</p><p>B 95 55 150</p><p>Bc 90 85 175</p><p>Total 185 140 325</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Atividades</p><p>1. Escreva em símbolos:</p><p>a) O Brasil (b) está na América do Sul (A).</p><p>b) Angola (a) não está na América do Sul (A).</p><p>c) A Venezuela (v) não pertence às regiões brasileiras (R).</p><p>d) O Nordeste (n) pertence às regiões brasileiras (R).</p><p>2. Classifique como falso ou verdadeiro:</p><p>a) Equador ∈ América do Sul.</p><p>b) Sudeste ∉ regiões brasileiras.</p><p>c) França ∈ regiões brasileiras.</p><p>d) Centro-Oeste ∈ América do Sul.</p><p>3. Escreva que o conjunto x é um número ímpar descrevendo os seus elementos e de acordo</p><p>com a regra.</p><p>4. Escreva a regra que descreve o conjunto M = {3, 4, 5, 6, 7, ...}.</p><p>5. Diga se o conjunto A = {d, c, a, e, b} é igual ou diferente do conjunto B = {a, b, c, d, e}.</p><p>6. Sejam os conjuntos A= {5, 6}, B = {5, 6, 7, 8} e C= {5, 7, 8}, a afirmação A ⊂ B, mas A ⊄ C é</p><p>falsa ou verdadeira?</p><p>7. Conjunto unitário é o conjunto que só tem um elemento. Classifique os seguintes conjuntos</p><p>como conjunto vazio ou conjunto unitário:</p><p>a) A = {polígonos que possuem três lados}.</p><p>b) B = {x | x é um número natural maior que 5 e menor que 6}.</p><p>c) C = {x | x é um número par maior ou igual a 3 e menor que 5}.</p><p>8. Diga se a afirmação é falsa ou verdadeira: “O conjunto B pertence ao conjunto A”.</p><p>A</p><p>B</p><p>Métodos quantitativos matemáticos60</p><p>9. Seja o conjunto A = {letras da palavra conjunto}. Quantos possíveis subconjuntos possuem</p><p>o conjunto A?</p><p>10. A afirmação “O conjunto vazio não é subconjunto do conjunto universo porque não tem</p><p>nenhum elemento” é falsa ou verdadeira?</p><p>11. Se A e B são dois conjuntos, então o produto cartesiano A x B nunca será igual ao produto</p><p>cartesiano B x A. Falso ou verdadeiro?</p><p>12. Se B é o conjunto que representa o lançamento de um dado branco e P o conjunto que repre-</p><p>senta um dado preto, quantos elementos terá o produto cartesiano B x P?</p><p>13. Com base no problema anterior, diga se o conjunto P x B é igual ao conjunto B x P.</p><p>14. Ainda com base no problema do exercício número 12, quantas relações podem ser construí-</p><p>das do produto cartesiano B x P?</p><p>15. Cada relação tem como elemento um par ordenado. Quais são as relações unitárias do pro-</p><p>duto cartesiano B x P?</p><p>16. Descreva como caracterizar quais das relações do produto cartesiano B x P podem ser defi-</p><p>nidas como função.</p><p>17. As funções definidas acima são casos especiais de relações. Verdadeiro ou falso?</p><p>18. Na relação B x P definida no problema acima, quem é o domínio da relação?</p><p>19. O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto. O conjunto vazio é subconjunto dele mesmo?</p><p>20. Qual é o menor produto cartesiano possível?</p><p>21. Seja I o conjunto das pessoas idosas, isto é, pessoas com 60 anos de idade ou mais, defina o</p><p>seu complemento Ic.</p><p>22. Represente o conjunto I e o conjunto Ic em um Diagrama de Venn.</p><p>23. Sejam A = {5, 7, 9} e B o conjunto dos números menores do que 9 e maiores ou iguais a 5,</p><p>determine a interseção de A com B.</p><p>24. Represente o resultado anterior em um Diagrama de Venn.</p><p>25. Se O são as cartas de ouros de um baralho de 52 cartas, e V as cartas vermelhas, determine</p><p>O ∩ V.</p><p>26. Represente o conjunto O ∩ V em um Diagrama de Venn.</p><p>27. Dois conjuntos disjuntos têm como complemento de sua união o conjunto vazio. Falso ou</p><p>verdadeiro?</p><p>28. Determine a união dos conjuntos do exercício 23.</p><p>29. Determine a união dos conjuntos do exercício 25.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 61</p><p>30. Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3}, quantas partições desse conjunto podem ser cons-</p><p>truídas?</p><p>Dado A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}:</p><p>31. Determine n(A) e n(B).</p><p>32. Determine n(A ∩ B).</p><p>33. Determine n(A ∪ B).</p><p>Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 5, 7}:</p><p>34. Determine n(A ∩ B).</p><p>35. Determine n(A ∪ B).</p><p>36. Determine o número de elementos de cada um dos conjuntos do problema exposto no início</p><p>do capítulo, referente ao número de homens e mulheres que visitaram a loja durante um dia.</p><p>Represente o resultado por meio de um Diagrama de Venn.</p><p>37. Sejam A, B conjuntos tais que n(A) = 15, n(B) = 25 e n(A ∩ B) = 5, qual é o número de</p><p>elementos da união entre os conjuntos A e B?</p><p>a) 45</p><p>b) 15</p><p>c) 40</p><p>d) 35</p><p>38. Seja o conjunto A o conjunto formado pelas letras da palavra matemática, quantos subcon-</p><p>juntos podem ser formados?</p><p>a) 10</p><p>b) 6</p><p>c) 1024</p><p>d) 64</p><p>4</p><p>Intervalos</p><p>4.1 O problema</p><p>Um produtor rural deseja aumentar a sua produção de milho aplicando mais</p><p>adubo na terra. Quanto de adubo ele deve colocar para que a produção atinja o má-</p><p>ximo possível?</p><p>Vídeo</p><p>4.2 Explorando o problema</p><p>Esse problema, no geral, é tratado por meio de experimentação em campo seguida de um</p><p>tipo de análise de previsão muito comum em estatística, chamada de análise de regressão.</p><p>A ideia é, em um campo experimental, aplicar quantidades diferentes de adubo, desde ne-</p><p>nhum adubo até uma certa quantidade que teoricamente possa potencializar a produção.</p><p>Realizados esses experimentos, o analista constrói uma curva que represente o crescimento</p><p>da produção em razão da quantidade de adubo colocada no solo. Essa curva pode ser representada</p><p>por uma função matemática. No geral, procura-se inicialmente traçar, com os dados experimen-</p><p>tais, uma reta e verificar, por meio de técnicas específicas, o quanto aquela reta representa bem o</p><p>fenômeno estudado. Há parâmetros estatísticos para essa determinação.</p><p>O que se pode observar, no entanto, é que haverá um limite de colocação de adubo a partir</p><p>do qual não se verificará mais aumentos na produção.</p><p>Assim, um intervalo de colocação de adubo deverá ser estabelecido. Esse intervalo, para o</p><p>problema colocado, irá de zero quilo de adubo até um certo valor máximo. E é nesse intervalo que</p><p>as inferências deverão ser realizadas.</p><p>4.3 Equacionando o problema</p><p>O problema, então, consiste basicamente em se construir uma equação de uma curva dentro</p><p>de um certo intervalo de interesse. Situações mais complexas podem surgir quando se tiver a ne-</p><p>cessidade de operar com diferentes intervalos.</p><p>Tais situações ocorrem quando mais de uma variável está sendo estudada para a construção</p><p>desses intervalos. Suponhamos, por exemplo, que a quantidade de cálcio no terreno também possa</p><p>ser determinante na produção. Nesse contexto, a técnica estatística utilizada, chamada de análise</p><p>de regressão múltipla, poderá exigir que se opere com intervalos.</p><p>Outras técnicas matemáticas podem ser empregadas em estudos parecidos com esse, em</p><p>que se deseje maximizar uma certa função; técnicas de pesquisa operacional, como programação</p><p>linear, também exigem que se faça estudos sobre intervalos.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos64</p><p>No contexto de nossos estudos, o domínio do conteúdo de intervalos e de operações com</p><p>intervalos ajudará imensamente no estudo de funções, limites e derivadas.</p><p>4.4 Conceitos e regras</p><p>4.4.1 Intervalos</p><p>Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos</p><p>de R,</p><p>chamados intervalos.</p><p>4.4.1.1 Intervalos finitos</p><p>(a, b) = {x em R: a < x < b}, [a, b) = {x em R: a ≤ x < b}</p><p>(a, b] = {x em R: a < x ≤ b}, [a, b] = {x em R: a ≤ x ≤ b}</p><p>Intervalo fechado nos extremos a e b:</p><p>[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}</p><p>Exemplo 1</p><p>[ 7, 9 ] = {x ∈ R | 7 ≤ x ≤ 9}</p><p>7 9</p><p>R</p><p>Intervalo fechado em a e aberto em b:</p><p>[a, b [ = {x ∈ R | a ≤ x < b}</p><p>[a, b [ também pode ser representado por [a, b)</p><p>Exemplo 2</p><p>[ 7, 9 [ = {x ∈ R | 7 ≤ x < 9}</p><p>7 9</p><p>R</p><p>Intervalo aberto em a e fechado em b:</p><p>] a, b ] = {x ∈ R | a < x ≤ b}</p><p>Exemplo 3</p><p>] 7, 9 ] = {x ∈ R | 7 < x ≤ 9}</p><p>7 9</p><p>R</p><p>Intervalo aberto em a e b:</p><p>]a , b [ = {x ∈ R | a < x < b}</p><p>Vídeo</p><p>Intervalos 65</p><p>Exemplo 4</p><p>] 7, 9 [ = {x ∈ R | 7 < x < 9}</p><p>7 9</p><p>R</p><p>Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades</p><p>finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale</p><p>a igualdade.</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>4.4.1.2 Intervalos infinitos</p><p>Definiremos o intervalo (a, ∞) ou ]a, ∞[ como o conjunto de todos os números reais maiores</p><p>do que a, isto é:</p><p>(a, +∞) = {x em R: x > a}</p><p>] n, +∞ [ = {x ∈ R | x > n}</p><p>Exemplo 5</p><p>] 9, +∞ [ = {x ∈ R | x > 9}</p><p>9</p><p>R</p><p>Definiremos o intervalo [a, ∞) como o conjunto de todos os números reais maiores ou</p><p>iguais a a, isto é:</p><p>[a, +∞) = {x em R: x ≥ a}</p><p>[ n, +∞ [ = {x ∈ R | x ≥ n}</p><p>Exemplo 6</p><p>[ 9, + ∞ [ = {x ∈ R | x ≥ 9}</p><p>9</p><p>R</p><p>Definiremos o intervalo (–∞, a) como o conjunto de todos os números reais menores do</p><p>que a, isto é:</p><p>(–∞, a) = {x em R : x < a}</p><p>] – ∞, n [ = {x ∈ R | x < n}</p><p>Exemplo 7</p><p>] –∞, 9 [ = {x ∈ R | x < 9}</p><p>Métodos quantitativos matemáticos66</p><p>9</p><p>R</p><p>Definiremos o intervalo (–∞, a] como o conjunto de todos os números reais menores ou</p><p>iguais a a, isto é:</p><p>(– ∞, a ] = {x em R : x ≤ a}</p><p>] – ∞, n ] = {x ∈ R | x ≤ n}</p><p>Exemplo 8</p><p>] – ∞, 9 ] = {x ∈ R | x ≤ 9}</p><p>9</p><p>R</p><p>Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades infinitas.</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>Uma notação comum é R = (–∞,+∞). Temos também:</p><p>[ a, + ∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a}</p><p>] – ∞, b ] = {x ∈ R | x ≤ b}</p><p>Observação:</p><p>• –∞ e +∞ não são números reais; apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados.</p><p>• Qualquer intervalo de extremos a e b, com a ≠ b, contém números racionais e irracionais.</p><p>4.4.2 Operações com intervalos</p><p>Como intervalos são subconjutos de R, é possível fazer operações com eles.</p><p>As operações de interseção, união, diferença e complementar são as operações bá-</p><p>sicas que podem ser realizadas.</p><p>4.4.2.1 Interseção</p><p>Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos, a interseção entre os</p><p>conjuntos será o intervalo em que A está definido e B também, devendo-se levar em consideração,</p><p>nas operações com intervalos, onde eles são abertos e onde eles são fechados.</p><p>Exemplo 1</p><p>Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos:</p><p>A = { x ∈ R | –1 < x < 1} e B = [0,5), determine A ∩ B.</p><p>Vídeo</p><p>Intervalos 67</p><p>A</p><p>B</p><p>A ∩ B</p><p>50</p><p>0 +1</p><p>+1–1</p><p>A = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}</p><p>4.4.2.2 União</p><p>Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos, a união entre os conjuntos será o</p><p>intervalo em que A está definido mais o intervalo em que B está definido.</p><p>Exemplo 2</p><p>Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos:</p><p>A = { x ∈ R | –1 < x < 1} e B = [0,5), determine A ∪ B.</p><p>A</p><p>B</p><p>A ∪ B</p><p>50</p><p>0 +1</p><p>+1–1</p><p>A ∪ B = { x ∈ R | 0 < x < 5}</p><p>4.4.2.3 Diferença</p><p>Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos, a diferença entre os conjuntos será o</p><p>intervalo em que A está definido e B não.</p><p>Exemplo 3</p><p>Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos:</p><p>A = { x ∈ R | –1 < x < 1} e B = [0,5), determine A – B.</p><p>A</p><p>B</p><p>A – B</p><p>50</p><p>0 +1</p><p>+1–1</p><p>A – B = { x ∈ R | –1 < x < 0}</p><p>4.4.2.4 Complementar</p><p>Seja o conjunto A definido como intervalo, o complemento de A será o intervalo em que A</p><p>não está definido.</p><p>Exemplo 4</p><p>Seja o conjunto A definido no seguinte intervalo:</p><p>A = { x ∈ R | – 1 < x < 1}, determine A complementar.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos68</p><p>A</p><p>Ac</p><p>+1–1</p><p>Ac = { x ∈ R | x ≤ 1, –1 < x < 1 e x ≥ 1}.</p><p>4.4.3 Desigualdade e seus conjuntos de solução</p><p>Uma desigualdade ou inequação é uma expressão matemática rela cionando</p><p>duas quantidades. Essas quantidades se relacionam por meio de desigualdades (> ou</p><p><) ou semidesigualdades (≥ ou ≤).</p><p>A primeira desigualdade é chamada de desigualdade estrita e envolve a con-</p><p>dição “maior que” ou “menor que”. A outra desigualdade envolve as condições</p><p>“igual a ou maior que” ou “igual a ou menor que”. Exemplos de desigualdades são:</p><p>3x + y ≥ 15 x ≤ y + 5 x2 + 3 > 12 x + y < x – 5</p><p>4.4.3.1 Propriedades das desigualdades ou inequações</p><p>Para quaisquer números reais a, b e c, valem as seguintes propriedades para as desigualdades:</p><p>• se a > b, então, a + c > b + c (a direção da desigualdade permanece se a mesma constante</p><p>é adicionada em ambos os lados da desigualdade);</p><p>• se a > b e c é positivo, então, ac > bc (a direção da desigualdade permanece se ambos os</p><p>lados da desigualdade forem multiplicadas pela mesma constante positiva);</p><p>• se a > b e c é negativo, então, ac < bc (a direção da desigualdade é revertida se ambos os</p><p>lados forem multiplicados pela mesma constante negativa).</p><p>4.4.3.2 Resolvendo desigualdades ou inequações</p><p>Resolver uma desigualdade significa encontrar todos os valores para as variáveis que tor-</p><p>narão a declaração verdadeira. Esses valores constituem o conjunto solução para a desigualdade.</p><p>Desigualdades, como equações, são resolvidas pela obtenção de uma série de desigualdades equi-</p><p>valentes até obtermos uma desigualdade com um conjunto solução óbvio.</p><p>Exemplo 1</p><p>Encontre o conjunto solução para a desigualdade: 4 + 3x ≤ 6 + x.</p><p>Procedemos da seguinte forma:</p><p>4 + 3x ≤ 6 + x</p><p>4 + 3x – x ≤ 6 + x – x (adicionando –x de ambos os lados)</p><p>4 + 2x ≤ 6 (realizando as somas dos termos semelhantes)</p><p>4 + 2x – 4 ≤ 6 – 4 (adicionando –4 de ambos os lados)</p><p>2x ≤ 2 (realizando as somas)</p><p>Vídeo</p><p>Intervalos 69</p><p>2x (1/2) ≤ 2(1/2) (multiplicando cada lado por 1/2)</p><p>x ≤ 1 (realizando o produto)</p><p>1</p><p>O conjunto solução para a desigualdade consiste em todos os valores de x na reta real, tal</p><p>que x ≤ 1.</p><p>Exemplo 2</p><p>Encontre o conjunto solução para:</p><p>3</p><p>4</p><p>2x</p><p>x +</p><p>></p><p>Para resolver a desigualdade, devemos multiplicar ambos os lados por x + 4. Agora, a quantidade</p><p>(x + 4) pode ser positiva, ou pode ser negativa. Os dois casos devem ser considerados separadamente.</p><p>a) Se (x + 4) > 0 (ou x > –4)</p><p>3</p><p>4</p><p>4 2 4x</p><p>x</p><p>x x</p><p>+</p><p>+ > +( ) ( )</p><p>3x > 2x + 8</p><p>3x – 2x > 8</p><p>x > 8</p><p>O resultado x > 8 é compatível com x > –4. Essa solução é, portanto, x > 8.</p><p>b) Se (x + 4) < 0 (ou se x < –4)</p><p>3</p><p>4</p><p>4 2 4x</p><p>x</p><p>x x</p><p>+</p><p>+ < +( ) ( )</p><p>3x < 2x + 8</p><p>3x – 2x < 8</p><p>x < 8</p><p>O resultado x < 8 é compatível com a condição x < –4 somente se o intervalo –4 ≤ x < 8</p><p>é excluído. Essa solução é, portanto, x < –4.</p><p>O gráfico do conjunto solução se encontra a seguir. Ele consiste em dois segmentos de reta</p><p>que não se interceptam, consistindo de todos os pontos na reta real exteriores ao intervalo fechado</p><p>–4 ≤ x ≤ 8.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>+4–4 +8</p><p>Métodos quantitativos matemáticos70</p><p>Atividades</p><p>Em relação aos intervalos de números reais A = ]–5, 5[ e B = [3, +6[, julgue como verdadeiro</p><p>ou falso cada um dos exercícios de 1 a 5.</p><p>1. A ∩ B = [3, 5[.</p><p>2. {3, 6} ∈ A.</p><p>3. –5 ∈ A.</p><p>4. 3 ∉ B.</p><p>5. A ∪ B = ]–5, 3].</p><p>Dados os conjuntos A = [2,5] e B = (3,6], calcule:</p><p>6. Complemento de A.</p><p>7. Complemento de B.</p><p>8. A ∪ B.</p><p>9. A ∩ B.</p><p>10. Complemento de A ∪ B.</p><p>11. Complemento de A ∩ B.</p><p>Resolva as seguintes inequações:</p><p>12. 4 – 2x ≥ x – 10.</p><p>13. 4x – 2(–2x + 1) < 3 – (6 – x).</p><p>14. 3</p><p>5</p><p>3x x+ > .</p><p>15. 2 3</p><p>2</p><p>3 2</p><p>6</p><p>0x x−</p><p>−</p><p>−( )</p><p>≤ .</p><p>16. Para quais valores é verdadeira a desigualdade 2x – 1 > 3?</p><p>a) x > 2.</p><p>b) x = 2.</p><p>c) x < 2.</p><p>d) x ≥ 2.</p><p>17. Do estudo de sinal da função f(x) = x2 – 4</p><p>–x + 1</p><p>, pode-se concluir que:</p><p>a) f(x) < 0 para todo x.</p><p>b) f(x) > 0 para –2 ≤ x ≤ 1 e x ≥ 2.</p><p>c) f(x) < 0 para –2 ≤ x < 1 e x ≥ 2.</p><p>d) f(x) < 0 para x ≥ –2.</p><p>5</p><p>Estudo de funções</p><p>5.1 O problema</p><p>Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como</p><p>cada maçã será vendida por R$ 2,00,</p><p>ele deseja saber quantas maçãs devem ser ven-</p><p>didas para que haja lucro no final da venda.</p><p>Vídeo</p><p>5.2 Explorando o problema</p><p>O lucro que o comerciante pode obter como resultado final será a diferença entre quanto</p><p>receberá pela venda das maçãs (receita) e o que gastou na compra das frutas (despesa). Aqui está</p><p>se considerando somente o resultado da compra e venda das maçãs, sem levar em conta o rateio</p><p>de seu custo fixo, que envolve toda a manutenção de seu estabelecimento, eventuais empregados,</p><p>conservação das frutas etc.</p><p>Essa situação mais simples pode, então, ser expressa por:</p><p>Lucro = Receita – Despesa</p><p>Da forma como o problema foi colocado, a despesa realizada na compra do lote de maçãs é</p><p>fixa e igual a um valor estipulado “a = 300”. Assim, de uma forma mais geral, pode-se estabelecer</p><p>a relação:</p><p>Lucro = Receita – a</p><p>Cada maçã será vendida por R$  2,00; digamos que esse valor pode ser expresso de uma</p><p>maneira geral pela letra “b”, caso ele mude o valor de venda de cada maçã. Então, se ele vender três</p><p>maçãs, sua receita será igual 3 x R$ 2,00 = R$ 6,00. De forma genérica, o valor da receita para a</p><p>venda de três maçãs será 3.b. Se vender x maçãs, sua receita será b.x reais.</p><p>A receita pode ser expressa de forma genérica para esse problema como:</p><p>Receita = b . x</p><p>Dessa forma, como o lucro é igual à receita menos a despesa, ele será:</p><p>Lucro = b . x – a</p><p>O que varia na equação do lucro é a quantidade “x” de maçãs vendidas.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos72</p><p>5.3 Equacionando o problema</p><p>O problema que está sendo discutido relaciona por meio de uma equação o lucro como uma</p><p>função que depende do número de maçãs vendidas. O lucro é função da variável “x” e dos parâme-</p><p>tros fixos “a” e “b”. Podemos definir o lucro com a letra L e como função de x, expressa comumente</p><p>como f(x), e sua expressão será:</p><p>L = f(x) = bx – a</p><p>Essa expressão que relaciona o lucro com a quantidade de maçãs vendidas é a equação de</p><p>uma reta, que será estudada em detalhes neste capítulo.</p><p>O estudo do comportamento dessa reta fornecerá a chave para a compreensão do fenôme-</p><p>no analisado, além de responder à questão da quantidade de maçãs a serem vendidas para que se</p><p>obtenha o lucro esperado, que será tanto maior quanto maior for a diferença entre a receita obtida</p><p>com a venda das frutas e a despesa realizada para comprá-las.</p><p>Como nesse problema, muitos outros problemas envolvem duas ou mais variáveis. Uma</p><p>variável que tem seu comportamento determinado por uma outra variável ou por mais de uma</p><p>variável é denominada de variável dependente, ou de resposta, e no geral é colocada no eixo y de</p><p>coordenadas. A outra variável, chamada de independente, é colocada no eixo x.</p><p>A demanda depende do preço, o salário pode depender das horas trabalhadas, a produção de</p><p>um vegetal pode depender da quantidade de adubo colocado no solo, as vendas podem depender da</p><p>quantidade investida em propaganda, e assim por diante. Para todas essas relações de dependência é</p><p>possível a construção de um modelo matemático que as explique. Naturalmente, os modelos matemáti-</p><p>cos propostos serão sempre uma aproximação da realidade, mas essa aproximação pode ser tão boa que</p><p>possibilite ao pesquisador entender o fenômeno em estudo e inclusive fazer algumas previsões.</p><p>A relação entre essas quantidades é normalmente expressa por esse modelo matemático que</p><p>terá como expressão analítica uma função.</p><p>5.4 Conceitos e regras</p><p>As variáveis podem existir independentemente umas das outras, porém, elas</p><p>não se tornam relevantes até que sejam relacionadas entre si por meio de equações.</p><p>Uma equação especifica a maneira pela qual uma variável se comporta em resposta</p><p>a mudanças em outras variáveis. No entanto, antes da determinação de uma equa-</p><p>ção, é necessário que sejam adotados pressupostos bem definidos com relação ao</p><p>padrão de comportamento da variável em questão. Esse comportamento é definido</p><p>por meio de funções. Uma função é, portanto, uma equação que descreve a relação</p><p>entre duas ou mais variáveis.</p><p>Dessa forma, o estudo das funções é fundamental para a compreensão de fe-</p><p>nômenos que são expressos por meio de relações matemáticas. Essas relações po-</p><p>dem ser expressas de muitas formas; no geral, o estudo é realizado de forma analítica</p><p>(expressões matemáticas acompanhadas de seu estudo no plano cartesiano). Muitas</p><p>vezes, no entanto, esse estudo é realizado via conjuntos.</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Estudo de funções 73</p><p>5.4.1 A ideia de função por meio de conjuntos</p><p>Sejam dois conjuntos A e B relacionados de alguma forma, uma função é de-</p><p>finida se:</p><p>• todos os elementos de A têm correspondente em B;</p><p>• a cada elemento de A corresponde um único elemento em B.</p><p>Observe, no entanto, que se dois elementos de A levarem a um único elemento de B, essas</p><p>duas regras não foram violadas e, portanto, podemos ainda assim ter uma função.</p><p>Exemplo 1</p><p>a) São funções:</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>A B</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>A B</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>A B</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos74</p><p>b) Não são funções:</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>A B</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>A B</p><p>5.4.1.1 Domínio, contradomínio e imagem</p><p>Dados dois conjuntos não vazios X e Y, uma função de X em Y, denotada f:X→Y, é uma regra</p><p>que diz como associar cada elemento x ∈ X a um único elemento y ∈ Y.</p><p>Figura 1 – Domínio, contradomínio e imagem</p><p>–3</p><p>–2</p><p>–1</p><p>0</p><p>D</p><p>CD</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>7</p><p>0</p><p>9</p><p>3</p><p>6</p><p>8</p><p>Imagem</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>O conjunto X é chamado domínio da função, D(f), e o conjunto Y é chamado de contradomí-</p><p>nio da função, CD(f). Para x ∈ X, o elemento y ∈ Y é chamado de imagem Im(f) de x pela função f,</p><p>ou valor assumido pela função f no ponto x ∈ X, e o representamos por f(x). Dessa forma, y = f(x).</p><p>A função f transforma x de X em y de Y.</p><p>Exemplo 2</p><p>Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos estudar a função f:A→B que</p><p>transforma x ∈ A em 3x ∈ B.</p><p>Estudo de funções 75</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>A</p><p>B</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>Então f:A→B é definida por f(x) = 3x ou por y = 3x. Observe que para caracterizar uma</p><p>função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma</p><p>regra que associa todo elemento de A a um único elemento de B.</p><p>Nesse exemplo, o domínio é A = {0, 1, 2}, o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a regra</p><p>é y = 3x.</p><p>O subconjunto de B formado por todas as imagens f(x) é chamado de conjunto imagem de A</p><p>pela função f e é indicado por Im(f). No exemplo dado, Im(f) = {0, 3, 6}.</p><p>Exemplo 3</p><p>Seja a função f: R → R definida por y = x2. Nesse caso, a função f transforma todo núme-</p><p>ro real x em um outro número real y, que é o quadrado de x. Como o quadrado de um número</p><p>real é sempre um número real não negativo, isto é, é positivo ou nulo, então o conjunto imagem</p><p>é Im(f) = R+ = {y ∈ R | y ≥ 0}, o domínio é R, o contradomínio também é R, e a regra que associa</p><p>todo x ∈ R a um único y ∈ R é dada por y = x2.</p><p>X Y</p><p>0</p><p>1</p><p>4</p><p>–2</p><p>–1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>No exemplo acima, se a função fosse definida com domínio em X = (–2, –1, 0, 1, 2) e com</p><p>contradomínio em R tendo a mesma regra y = x2, teríamos como Im(f) o conjunto {0, 1, 4}, man-</p><p>tido o mesmo contradomínio.</p><p>5.4.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora</p><p>5.4.2.1 Função injetora</p><p>Uma função f:X→Y é injetora se quaisquer dois elementos distintos de X sempre possuem</p><p>imagens distintas em Y, isto é:</p><p>x1 ≠ x2 implica que f(x1) ≠ f(x2)</p><p>Métodos quantitativos matemáticos76</p><p>ou, de forma equivalente:</p><p>f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2</p><p>Y</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>X</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Exemplo 4</p><p>c) A função f:R→R definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois</p><p>valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).</p><p>d) A função f:R→R definida por f(x) = x² + 3 não é injetora, pois para x = 1 temos f(1) = 4</p><p>e para x = –1 temos f(–1) = 4.</p><p>5.4.2.2 Função sobrejetora</p><p>Uma função f:X→Y é sobrejetora se todo elemento de Y é a imagem de pelo menos um</p><p>elemento de X.</p><p>Isso equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a Y, que é o con-</p><p>tradomínio da função, ou seja, para todo y ∈ Y, existe</p><p>x ∈ X, tal que y = f(x).</p><p>X</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>Y</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>Exemplo 5</p><p>a) A função f:R→R definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é ima-</p><p>gem de um elemento de R pela função.</p><p>b) A função f:R→ (0, ∞) definida por f(x) = x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencen-</p><p>te a (0, ∞) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.</p><p>c) A função f:R→R definida por f(x) = 2x não é sobrejetora, pois o número –1 é elemento</p><p>do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.</p><p>5.4.2.3 Função bijetora</p><p>Uma função f:X→Y é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.</p><p>Estudo de funções 77</p><p>X Y</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>Exemplo 6</p><p>A função f:R→R dada por f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.</p><p>5.4.3 Funções no plano cartesiano</p><p>Uma função f de X em Y é uma relação em X x Y que associa a cada variável x em X um</p><p>único y em Y. Mantida a notação f:X→Y.</p><p>A função f:X→Y transforma x ∈ X em y ∈ Y. Essa função pode ser compreendida no plano</p><p>cartesiano, conforme figura a seguir:</p><p>Figura 2 – Plano cartesiano</p><p>10</p><p>5</p><p>–5</p><p>–10</p><p>–10 –5 5 10</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Aqui também vale:</p><p>• Todo elemento de X deve ter correspondente em Y.</p><p>• Cada elemento de X só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio Y.</p><p>Essas características nos informam que uma função pode ser vista geo metricamente como</p><p>uma linha no plano, contida em X x Y, que só pode ser “cortada” uma única vez por uma reta ver-</p><p>tical, qualquer que seja essa reta.</p><p>Exemplo 1</p><p>a) São funções:</p><p>0,4</p><p>0,8</p><p>0</p><p>y</p><p>x–1–2–3</p><p>0,6</p><p>0,2</p><p>–0,6</p><p>–0,2</p><p>–0,4</p><p>–0,8</p><p>3211</p><p>–5</p><p>–10</p><p>5</p><p>10</p><p>0</p><p>y</p><p>x0,5–0,5–1–1,5</p><p>Métodos quantitativos matemáticos78</p><p>b) Não são funções:</p><p>y</p><p>x</p><p>y1</p><p>y2</p><p>0</p><p>–a a</p><p>x</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>–a</p><p>5.4.3.1 Domínio e imagem de uma função</p><p>O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores da variável independente para</p><p>o qual o valor da função pode ser calculado. Quando o domínio não for explicitado por restrição,</p><p>entenderemos que ele será constituído por todos os números reais para os quais a função for defi-</p><p>nida. Portanto, o domínio é verificado no eixo das ordenadas.</p><p>Exemplo 2</p><p>Determinar o domínio da função y x= −5 .</p><p>A função acima só é definida para valores de x ≤ 5. Então, o domínio da função é defi-</p><p>nido no intervalo que vem de –∞ até o valor 5, inclusive. Assim, D(f) = (–∞, 5]. O gráfico da</p><p>função é apresentado a seguir.</p><p>0</p><p>y</p><p>x–5–10 105</p><p>A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores da variável dependente. Portanto,</p><p>a imagem é verificada no eixo y das abscissas.</p><p>Exemplo 3</p><p>Determinar a imagem da função y x= −5 .</p><p>Pode-se observar que a imagem da função é constituída de todos os números reais não ne-</p><p>gativos. Esses são os valores que y pode assumir, assim, Im(f) = [0, ∞).</p><p>5.4.3.2 Função de 1º grau</p><p>Estudo de funções 79</p><p>Chama-se função de 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada por uma lei</p><p>da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.</p><p>Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado</p><p>termo constante.</p><p>Exemplo 4</p><p>a) f(x) = 7x – 4, onde a = 7 e b = –4</p><p>b) f(x) = – 2x – 5, onde a = –2 e b = –5</p><p>c) f(x) = 3x, onde a = 3 e b = 0</p><p>O gráfico de uma função polinomial de 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua</p><p>aos eixos X e Y.</p><p>Exemplo 5</p><p>Seja a função y = 3x –1, como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los.</p><p>Para x = 0, temos y = 3 . 0 – 1 = –1; portanto, um ponto é (0, –1).</p><p>Para y = 0, temos 0 = 3x – 1; portanto, x =1/3 e outro ponto é (1/3, 0).</p><p>Marcamos os pontos (0, –1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.</p><p>X Y</p><p>0 –1</p><p>1</p><p>3</p><p>0</p><p>–1</p><p>1</p><p>3</p><p>y</p><p>x</p><p>O gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente</p><p>angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo X.</p><p>O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a . 0 + b = b.</p><p>Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Y.</p><p>5.4.3.3 Equação da reta que passa por dois pontos</p><p>Na apresentação da função de 1º grau, a forma analítica da função foi dada e, com base nessa</p><p>expressão, desenhamos a reta no plano cartesiano. Um problema muito comum em aplicações de cál-</p><p>culo consiste em determinar a forma analítica da reta a partir do conhecimento de dois de seus pontos.</p><p>Uma reta, y = ax + b, fica completamente definida pelos seus dois parâmetros. O parâ-</p><p>metro a, chamado de coeficiente angular da reta, é igual à tangente do ângulo θ que a reta forma</p><p>com o eixo X, das coordenadas. O parâmetro b, chamado de coeficiente linear da reta ou intercepto,</p><p>é o ponto em que a reta corta o eixo Y, das abcissas. Esse ponto é o valor de y quando x = 0. Veja que</p><p>para x = 0, y = 0x + b, ou y = b.</p><p>O gráfico a seguir representa essa situação:</p><p>Métodos quantitativos matemáticos80</p><p>y</p><p>x</p><p>b</p><p>θ</p><p>y = ax + b</p><p>O problema consiste em determinar a equação da reta que passa por dois pontos, (x1, y1) e</p><p>(x2, y2), conforme gráfico a seguir:</p><p>x2</p><p>y1</p><p>y2</p><p>y</p><p>xx1</p><p>(x1, y1)</p><p>(x2, y2)</p><p>Se tomarmos um terceiro ponto genérico (x, y), podemos verificar que formamos dois triân-</p><p>gulos retângulos com o mesmo ângulo q. Um triângulo com cateto oposto (y2 – y1) e cateto adjacen-</p><p>te (x2 – x1) e um triângulo semelhante a esse com cateto oposto (y – y1) e cateto adjacente (x – x1).</p><p>x2</p><p>y1</p><p>y</p><p>y</p><p>xx1</p><p>(x1, y1)</p><p>(x2, y2)</p><p>y2</p><p>x</p><p>(x, y)</p><p>q</p><p>q</p><p>Como sabemos, a tangente do ângulo θ para cada um dos triângulos é dada pela razão entre</p><p>o cateto oposto e o cateto adjacente, ou seja:</p><p>tgθ =</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>y y</p><p>x x</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>, da mesma forma que tgθ =</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>y y</p><p>x x</p><p>1</p><p>1</p><p>Temos, assim, por semelhança de triângulos, que:</p><p>y y</p><p>x x</p><p>y y</p><p>x x</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>1</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>Operando essa igualdade, obtemos:</p><p>y y</p><p>y y</p><p>x x</p><p>x x</p><p>y</p><p>y y</p><p>x x</p><p>x x y</p><p>y</p><p>y y</p><p>−( ) = −( )</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>−( ) −</p><p>=</p><p>−</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>2 11</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>( )</p><p>−( )</p><p>−</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x x</p><p>x</p><p>y y</p><p>x x</p><p>x y</p><p>Estudo de funções 81</p><p>E, dessa forma, obtivemos a equação da reta, y = ax + b, que desejávamos, onde o coeficiente</p><p>angular é dado por:</p><p>a</p><p>y y</p><p>x x</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>e o coeficiente linear por:</p><p>b y y</p><p>x x</p><p>x y= −</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>Exemplo 6</p><p>Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1, 5) e (4, 14). Essa reta tem, portanto,</p><p>as seguintes coordenadas: x1 = 1, y1 = 5, x2 = 4 e y2 = 14.</p><p>Determinaremos inicialmente o coeficiente angular a.</p><p>a y y</p><p>x x</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>= =</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>14 5</p><p>4 1</p><p>9</p><p>3</p><p>3</p><p>E agora o coeficiente linear b, o ponto em que a reta corta o eixo y, ou o valor de y para x = 0.</p><p>b y y</p><p>x x</p><p>x y= −</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= − −2 1</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>14 5</p><p>4 1</p><p>1 5 3 55 2 2( ) = − −( ) =</p><p>Logo, a equação da reta obtida é y = 3x + 2.</p><p>Vamos verificar se o resultado obtido está correto substituindo x por 1 e por 4, e verificando</p><p>se os resultados serão 5 e 14.</p><p>Se x = 1, então y = 3(1) + 2 = 5. (Confere)</p><p>Se x = 4, então y = 3(4) + 2 = 14. (Também confere)</p><p>Assim, a equação da reta obtida está correta. É interessante verificarmos ainda que se x = 0,</p><p>o valor de y obtido será y = 3(0) + 2 = 2, que é exatamente o valor do coeficiente angular, ou seja, o</p><p>valor de y quando x = 0 é o ponto onde a reta corta o eixo Y.</p><p>0 2 4 6</p><p>20,0</p><p>15,0</p><p>10,0</p><p>5,0</p><p>0,0 x</p><p>y</p><p>y = 3x + 2</p><p>5.4.3.4 Função quadrática</p><p>Chama-se função quadrática, ou função de 2º grau, qualquer função f de R em R dada por</p><p>uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos82</p><p>Exemplo 7</p><p>a) f(x) = 2x2 – 5x + 1, onde a = 2, b = –5 e c = 1</p><p>b) f(x) = x2 –2, onde a = 1, b = 0 e c = –2</p><p>c) f(x) = – x2 + 4x, onde a = –1, b = 4 e c = 0</p><p>d) f(x) = –3x2, onde a = –3, b = 0 e c = 0</p><p>O gráfico de uma função polinomial de 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva</p><p>chamada parábola.</p><p>Exemplo 8</p><p>Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x.</p><p>Primeiro atribuímos</p><p>a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em</p><p>seguida, ligamos os pontos assim obtidos.</p><p>X Y</p><p>–3 6</p><p>–2 2</p><p>–1 0</p><p>–</p><p>1</p><p>2</p><p>–</p><p>1</p><p>4</p><p>0 0</p><p>1 2</p><p>2 6</p><p>− −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>,</p><p>(–3, 6)</p><p>y</p><p>x</p><p>(2, 6)</p><p>8</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>(–2, 2)</p><p>(1, 2)</p><p>(1, 0) (0, 0)</p><p>Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:</p><p>• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;</p><p>• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.</p><p>5.4.3.5 Equação de 2º grau</p><p>Chamam-se zeros ou raízes de uma função de 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, os números</p><p>reais x, tais que f(x) = 0.</p><p>Então, as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação de 2º grau ax2 + bx + c = 0,</p><p>as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:</p><p>x b b a c</p><p>a</p><p>=</p><p>− ± − ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>2 4</p><p>2</p><p>Temos:</p><p>Estudo de funções 83</p><p>f( )</p><p>. .</p><p>.</p><p>x ax bx c x</p><p>b b a c</p><p>a</p><p>= ∴ + + = ∴ =</p><p>− ± −</p><p>0 0</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radi-</p><p>cando Δ = b2 – 4 . a . c, chamado discriminante, a saber:</p><p>• quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas;</p><p>• quando Δ é zero, há só uma raiz real;</p><p>• quando Δ é negativo, não há raiz real.</p><p>5.4.3.6 Funções cúbicas</p><p>Chama-se função cúbica, ou função de 3º grau, qualquer função f de R em R dada por uma</p><p>lei da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, onde a , b, c e d são números reais e a ≠ 0.</p><p>Exemplo 9</p><p>a) f(x) = x3, onde a = 3, b = c = d = 0</p><p>b) f(x) = –5x3, onde a = –5, b = c = d = 0</p><p>c) f(x) = 2x3 + x2 –5x + 4, onde a = 2, b = 1, c = –5 e d = 4</p><p>4</p><p>0</p><p>y</p><p>x–1–2</p><p>6</p><p>2</p><p>–6</p><p>–2</p><p>–4</p><p>21</p><p>O gráfico da função cúbica do exemplo (a) se assemelha a uma parábola tanto no primeiro</p><p>como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos, e no terceiro os va-</p><p>lores de f(x) são negativos.</p><p>5.4.3.7 Função modular</p><p>A função modular é definida por f:R→R, tal que f(x) = |x|, com domínio, D(f) = R, contra-</p><p>domínio, CD(f) = R, e imagem, Im(f) = [0, ∞), e seu gráfico é dado por:</p><p>Figura 3 – Função modular</p><p>y</p><p>x2 40–2–4–6</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos84</p><p>5.4.3.8 Função par e função ímpar</p><p>Função par: uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x) = f(–x).</p><p>Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical Y.</p><p>Exemplo 10</p><p>A função f(x) = x² é par, pois f(–x) = x² = f(x). Observe o gráfico de f:</p><p>y</p><p>x1 20–1–2</p><p>2</p><p>4</p><p>Outra função par é g(x) = cos(x), pois g(–x) = cos(–x) = cos(x) = g(x).</p><p>Função ímpar: uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(–x) = –f(x).</p><p>Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.</p><p>Exemplo 11</p><p>As funções reais f(x) = 5x e g(x) = sen(x) são ímpares, pois: f(–x) = 5(–x) = –5x = –f(x) e</p><p>g(–x) = sen(–x) = –sen(x) = –g(x). Observe os gráficos a seguir para verificar a simetria em relação</p><p>à origem:</p><p>0,4</p><p>0,8</p><p>0</p><p>y</p><p>x–1–2–3</p><p>0,6</p><p>0,2</p><p>–0,6</p><p>–0,2</p><p>–0,4</p><p>–0,8</p><p>3211</p><p>–5</p><p>–10</p><p>5</p><p>10</p><p>0</p><p>y</p><p>x0,5–0,5–1</p><p>5.4.3.9 Função crescente e função decrescente</p><p>Função crescente: uma função f é crescente se quaisquer que sejam x e y no domínio de f,</p><p>com x < y, tivermos f(x) < f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela</p><p>função também aumenta.</p><p>Exemplo 12</p><p>Seja a função f:R→R definida por f(x) = 8x + 2. Para os valores: a = 1 e b = 2, obtemos f(a) = 10</p><p>e f(b) = 18. Como o gráfico de f é uma reta, a < b e f(a) < f(b), a função é crescente.</p><p>Estudo de funções 85</p><p>–5</p><p>5</p><p>10</p><p>y</p><p>x</p><p>y aumenta</p><p>–1–2 21</p><p>x aumenta</p><p>Função decrescente: uma função f é decrescente se para quaisquer x e y do domínio de f,</p><p>com x < y, tivermos f(x) > f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem</p><p>de x pela função f diminuem.</p><p>–5</p><p>5</p><p>10</p><p>y</p><p>x–1–2 2</p><p>y diminui</p><p>1</p><p>x aumenta</p><p>Exemplo 13</p><p>Seja a função f:R→R definida por f(x) = –8x + 2. Para a = 1 e b = 2, obtemos f(a) = –6 e f(b) = –14.</p><p>Como o gráfico de f é uma reta, a < b e f(a) > f(b), a função é decrescente.</p><p>5.4.3.10 Função composta</p><p>Dadas as funções f:A→B e g:B→C, a função composta de f com g, denotada gof, é a função</p><p>definida por (gof)(x) = g(f(x)). Gof pode ser lida como “g bola f ”. Para que a composição ocorra,</p><p>o CD(f) = D(g).</p><p>Figura 4 – Função composta</p><p>A B C</p><p>x f(x) g(f(x))</p><p>f g</p><p>gof</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos86</p><p>Exemplo 14</p><p>Sejam as funções reais definidas por f(u) = 4u + 2 e g(x) = 7x – 4. As composições fog e gof</p><p>são possíveis e, neste caso, serão definidas por:</p><p>(fog)(x) = f(g(x)) = f(7x – 4) = 4(7x – 4) + 2 = 28x – 14</p><p>(gof)(u) = g(f(u)) = g(4u + 2) = 7(4u + 2) – 4 = 28u + 10</p><p>Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x, e teremos:</p><p>(gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 10</p><p>Em geral, fog é diferente de gof.</p><p>Exemplo 15</p><p>Consideremos as funções reais definidas por f(x) = x² + 1 e g(x) = 2x – 4. Então:</p><p>(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x – 4) = (2x – 4)² + 1 = 4x² – 16x + 17</p><p>(gof)(x) = g(f(x)) = g(x²+1) = 2(x² + 1) – 4 = 2x² – 2</p><p>5.4.3.11 Função inversa</p><p>Dada uma função bijetora f:A→B, denomina-se função inversa de f a função g:B→A, tal</p><p>que se f(a) = b, então g(b) = a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa</p><p>de f por f–1.</p><p>Observação importante: se g é a inversa de f, e f é a inversa de g, valem as relações:</p><p>gof = IA e fog = IB</p><p>onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Essa caracte-</p><p>rística algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação</p><p>à função identidade (y = x).</p><p>Exemplo 16</p><p>Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, a função f:A→B definida por f(x) = 2x e g:B→A de-</p><p>finida por g(x) = x/2, observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>g(x) = x/2</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>A B</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>f(x) = 2x</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>A B</p><p>Estudo de funções 87</p><p>Obtenção da inversa: seja f:R→R, f(x) = x + 3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y = x + 3.</p><p>Trocando x por y e y por x, teremos x = y + 3, e isolando y, obteremos y = x –3. Assim, g(x) = x</p><p>–3 é a função inversa de f(x) = x + 3. Assim, fog = gof = Identidade. Com o gráfico, observamos a</p><p>simetria em relação à reta identidade:</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>Id</p><p>f</p><p>f–1</p><p>5.4.3.12 Operações com funções</p><p>Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:</p><p>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</p><p>(f – g)(x) = f(x) – g(x)</p><p>(f . g)(x) = f(x) . g(x)</p><p>(f / g)(x) = f(x) / g(x), se g(x) ≠ 0.</p><p>Atividades</p><p>Analise os diagramas a seguir e indique se representam funções ou não:</p><p>1.</p><p>X</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Y</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>2.</p><p>X</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Y</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>3.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos88</p><p>X</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Y</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>4.</p><p>X</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>Y</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>5. Na função y = x2, definida no diagrama a seguir, determine o domínio, o contradomínio e a</p><p>imagem da função.</p><p>–3</p><p>–2</p><p>–1</p><p>0</p><p>D</p><p>CD1</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>7</p><p>0</p><p>9</p><p>3</p><p>6</p><p>8</p><p>6. Verifique se as seguintes funções são injetoras:</p><p>a) y = x + 2</p><p>b) y = x4</p><p>7. Verifique se as seguintes funções são sobrejetoras:</p><p>a) y = 2x –1</p><p>b) y = x2 + 3</p><p>8. Verifique se as funções dos exercícios 6 e 7 são bijetoras.</p><p>9. Verifique quais dos gráficos abaixo representam uma função de x em y:</p><p>Estudo de funções 89</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>10. Determine o domínio e a imagem da função y x= −9 3 .</p><p>11. Faça o gráfico da função y = 3x –10.</p><p>12. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (2, 4) e (3, 7).</p><p>13. Faça o gráfico da função y = 3 – 2x2. Essa é uma função quadrática?</p><p>14. A função y = x2 é uma função decrescente. Verdadeiro ou falso?</p><p>15. A função y = x2 é uma função par. Verdadeiro ou falso?</p><p>16. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (0, 2) e (2, –2).</p><p>a) y = – 2x – 2.</p><p>b) y = 2x + 2.</p><p>c) y = – 2x + 2.</p><p>d) y = – 2x.</p><p>17. Calcule os zeros da função f(x) = 2x2 + 5x – 3.</p><p>a) – 1</p><p>2</p><p>e 3</p><p>b) 0 e 1</p><p>2</p><p>c) 1</p><p>2</p><p>e – 3</p><p>d) 1</p><p>2</p><p>e 3</p><p>18. Descreva o domínio da função f( )x x</p><p>x</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>a) { x ∈ R | x = –1 e x ≠ –3 }.</p><p>b) { x ∈ R | x < –1 e x ≠ –3 }.</p><p>c) { x ∈ R | x ≥ –1 e x ≠ –3 }.</p><p>d) { x ∈ R | x ≥ –1 e x = –3 }.</p><p>6</p><p>Limites</p><p>6.1 O problema</p><p>Uma empresa deseja fazer aplicações em propaganda para aumentar a venda</p><p>de um de seus novos produtos. Por experiências anteriores, seus diretores sabem que</p><p>o retorno de vendagem aumenta pouco nos primeiros dias, mas logo em seguida</p><p>tem um crescimento muito rápido, e depois tende a estabilizar em um certo patamar.</p><p>Eles desejam fazer uma previsão de que valor é esse para poderem estudar quanto</p><p>tempo devem investir em propaganda.</p><p>6.2 Explorando o problema</p><p>O problema do tempo de investimento em propaganda do novo produto pode ser descrito</p><p>conforme uma função com o comportamento de uma curva, como a do gráfico:</p><p>Figura 1 – Tempo de investimento</p><p>1,1</p><p>0,9</p><p>0,7</p><p>0,5</p><p>0,3</p><p>0,1</p><p>–0,1</p><p>40 60 80 100 120 140 160</p><p>y = exp (–10 + 0,1*x)/(1 + exp (–10 + 0,1*x))y</p><p>x</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>No eixo X das abscissas está o tempo de apresentação do produto por meio de propaganda,</p><p>e no eixo Y das ordenadas está a quantidade de produtos vendidos. O que se observa no gráfico é</p><p>que, por mais tempo que se invista em propaganda, há um limite de retorno.</p><p>Essa função é conhecida como função logística e é muito útil em estudos nas áreas de adminis-</p><p>tração e economia. Por meio dela, pode-se estimar, por exemplo, o crescimento de uma nova cidade,</p><p>como as que foram criadas em torno da represa de Itaipu. Estudos de demanda de novos produtos</p><p>também costumam acompanhar esse tipo de crescimento.</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos92</p><p>6.3 Equacionando o problema</p><p>A forma mais comum da expressão matemática da função logística que expressa o cresci-</p><p>mento cumulativo é dada pela função:</p><p>x t M( ) =</p><p>+ − +1 ε δ bt</p><p>Nessa equação, x(t) representa o crescimento cumulativo da grandeza x em função do tem-</p><p>po, b é uma constante para ajustar o processo no tempo, M é o limite máximo de x(t), e δ é a taxa</p><p>que traduz a capacidade de crescimento do sistema. Devido à universalidade de aplicações dessa</p><p>equação, as quantidades x e M, assim como a taxa de crescimento δ, podem ser vistas de várias</p><p>formas. M também é referido normalmente como a capacidade do nicho, ou seja, a capacidade</p><p>limite do sistema, o valor de x(t) no fim do crescimento. A equação expressa então o fato de que a</p><p>taxa de crescimento da população, dx/dt, em um instante t arbitrário, é proporcional ao tamanho</p><p>da população e ao tamanho do nicho que falta preencher naquele instante.</p><p>A função logística expressa pela equação costuma também ser designada como lei universal do</p><p>crescimento. Sua aplicabilidade como ferramenta matemática para a descrição do crescimento de po-</p><p>pulações em geral foi demonstrada nos anos 1920 pelo estatístico e zoólogo americano Raymond Pearl</p><p>(1925), razão pela qual a equação logística é também às vezes referida como equação de Pearl.</p><p>O problema colocado sugere que se calcule o valor de M. Esse valor será dado aplicando-se</p><p>o limite na função logística quando o valor de t tender para o infinito.</p><p>lim</p><p>t bt→∞ − ++</p><p>M</p><p>1 ε δ</p><p>6.4 Conceitos e regras</p><p>Um limite é um conceito matemático rigorosamente definido, fundamental</p><p>para modelos quantitativos usados em vários campos de estudo.</p><p>Basicamente, estamos preocupados aqui com o que acontece com o valor da</p><p>variável dependente f(x) quando os valores da variável independente x se aproxi-</p><p>mam de uma certa constante a.</p><p>Vamos considerar, por exemplo, a função f(x) = x + 2 e verificar o que aconte-</p><p>ce com os valores de f(x) quando os valores de x se aproximam de 2. A tabela a seguir</p><p>descreve essa situação:</p><p>x 1,9 → 1,99 → 1,9999 → 1,9999 2,0001 ← 2,001 ← 2,01 ← 2,1</p><p>f(x) = x + 2 3,9 → 3,99 → 3,9999 → 3,9999 4,0001 ← 4,001 ← 4,01 ← 4,1</p><p>Claramente, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) se aproxima cada</p><p>vez mais de 4. Nós chamamos o número real L aproximado por f(x), quando x se</p><p>aproxima de uma constante específica a, de limite de f(x) quando x tende para a, e o</p><p>simbolizamos como:</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Limites 93</p><p>lim ( )</p><p>x a</p><p>x L</p><p>→</p><p>=f</p><p>Alguns pontos importantes a respeito do limite de uma função precisam ser enfatizados:</p><p>• o conceito de limite de uma função quando x tende para a não pode ser confundido</p><p>com o conceito do valor da função quando x = a;</p><p>• o limite quando x tende para a pode existir, e a função pode ser definida em a ou não;</p><p>• a função pode ser definida para a, e o limite pode ou não existir;</p><p>• o limite quando x tende para a pode existir, a função pode ser definida para a, e seus va-</p><p>lores podem ser os mesmos ou não;</p><p>• geralmente, x pode tender para a pelos dois sentidos, por meio de valores menores que a</p><p>ou de valores que são maiores que a;</p><p>• o limite L deve ser um número finito.</p><p>6.4.1 Limite pela direita e limite pela esquerda</p><p>Quando a variável x tende para x = a, mas sempre permanece menor que a, dizemos que x</p><p>tende para a pela esquerda. Se o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de um número real L– quan-</p><p>do x tende para a pela esquerda, dizemos que L– é o limite pela esquerda e empregamos o símbolo:</p><p>lim ( )</p><p>x a</p><p>x L</p><p>→ −</p><p>=f</p><p>Exemplo 1</p><p>Seja f(x) = x – 1, calcule o limite pela esquerda de f(x) quando x tende para 3. Somente aqueles</p><p>valores de x à esquerda de a são usados para determinar o limite.</p><p>f(2,9) = 1,9</p><p>f(2,99) = 1,99</p><p>[...]</p><p>f(2,999...) = 1,999...</p><p>Os valores de f(x) se aproximam cada vez mais do número 2, e pode mos escrever:</p><p>L x</p><p>x</p><p>−</p><p>→ −</p><p>− =lim ( )</p><p>3</p><p>1 2</p><p>Da mesma forma, o limite à direita de uma função f(x) quando x tende para a é o valor L+,</p><p>para o qual f(x) converge quando x tende para o ponto x = a pela direita, mas sempre permanece</p><p>maior que a. Simbolizamos esse limite como:</p><p>lim ( )</p><p>x a</p><p>x L</p><p>→</p><p>+</p><p>+</p><p>=f</p><p>No exemplo anterior, podemos verificar que também L x</p><p>x</p><p>+</p><p>→ +</p><p>− =lim ( )</p><p>3</p><p>1 2 .</p><p>Métodos quantitativos matemáticos94</p><p>y</p><p>x0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>1 2 3 4</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→ +</p><p>− =</p><p>3</p><p>1 2</p><p>6.4.1.1 Limite inexistente</p><p>Surge, então, a questão: os valores de f(x) sempre tenderão ao número real L quando x tende</p><p>para a, seja pela esquerda ou pela direita? A resposta é não. Veja o exemplo a seguir:</p><p>Exemplo 2</p><p>Seja a função f( )x</p><p>x</p><p>x</p><p>= , determine o limite de f(x) quando x tende para 0.</p><p>Módulo de x:</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>=</p><p>≥</p><p>− ≤</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>,</p><p>se</p><p>se</p><p>0</p><p>0</p><p>x –0,1 → –0,01 → –0,001 0,001 ← 0,01 ← 0,1</p><p>f x =</p><p>x</p><p>x</p><p>( ) –1 → –1 → –1 1 ← 1 ← 1</p><p>Na medida em que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, os valores de f(x) não</p><p>convergem para um único número real, porque (L– = –1) ≠ (L+ = 1), e escrevemos:</p><p>lim</p><p>x</p><p>x</p><p>x→0</p><p>não existe</p><p>y</p><p>x</p><p>1</p><p>–1</p><p>6.4.1.2 f(a) não definida</p><p>A existência de um limite quando x tende para a não requer que a realmente esteja no domí-</p><p>nio da função. O conceito de limite requer somente que a função seja definida quando x se aproxi-</p><p>ma de a. É possível que f possa não ser definida no próprio ponto x = a.</p><p>Exemplo 3</p><p>Considere a função definida por</p><p>f</p><p>para</p><p>para</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>=</p><p>− <</p><p>− ></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4 4</p><p>4 4</p><p>Limites 95</p><p>x 3,9 → 3,99 → 3,999 x 4,1 → 4,01 → 4,001</p><p>f(x) = 4 – x 0,10 → 0,01 → 0,001 f(x) = x – 4 0,10 → 0,01 → 0,001</p><p>O ponto x = 4 não está no domínio da função. Ainda assim os limites à direita e à esquerda existem:</p><p>L f e L f</p><p>x x</p><p>−</p><p>→</p><p>+</p><p>→</p><p>= = = =</p><p>− +</p><p>lim ( ) lim ( )</p><p>4 4</p><p>0 0x x</p><p>E assim,</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>f</p><p>→</p><p>=</p><p>4</p><p>0x</p><p>6.4.2 Propriedades úteis para a avaliação de limites</p><p>Vimos nos exemplos anteriores que muitos dos limites puderam ser determinados simples-</p><p>mente pela avaliação de f(a). No entanto, muitas vezes f(a) não é definida ou existe um “salto” na</p><p>função no ponto x = a. Nesses casos, teremos que usar métodos um pouco mais elaborados para</p><p>determinar o limite.</p><p>As seguintes propriedades serão úteis na avaliação de limites.</p><p>Para um número real a, assumindo que lim ( ) lim ( )</p><p>x a x a</p><p>f e g</p><p>→ →</p><p>x x existem, então:</p><p>• Para qualquer constante real k, lim .</p><p>x a</p><p>k k</p><p>→</p><p>=</p><p>• Para qualquer número real n, lim .</p><p>x a</p><p>n nx a</p><p>→</p><p>=</p><p>• lim ( ) lim ( )</p><p>x a</p><p>n</p><p>x a</p><p>nx x</p><p>→ →</p><p>=f f se a raiz for definida.</p><p>• lim ( ) lim ( ).</p><p>x a x a</p><p>x x</p><p>→ →</p><p>=kf k f</p><p>• lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).</p><p>x a x a x a</p><p>x g x</p><p>x g x</p><p>→ → →</p><p>+ = +f f</p><p>• lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).</p><p>x a x a x a</p><p>x g x x g x</p><p>→ → →</p><p>⋅ = ⋅f f</p><p>• lim ( ) / ( ) lim ( )/ lim ( ) lim ( ) .</p><p>x a x a x a x a</p><p>x g x x g x g x</p><p>→ → → →</p><p> = ≠f f se 0</p><p>Exemplo 1</p><p>a) lim ( ) lim lim lim ( )</p><p>x x x x</p><p>x x x x</p><p>→ → → →</p><p>− + = − + = − + = − +</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>23 8 3 8 3 2 2 8 12 2 8 ==18</p><p>b) lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) lim li</p><p>x x x x</p><p>x x x x x</p><p>→ → → →</p><p>+ − = + − = +</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>23 1 4 3 3 1 4 3 3 mm lim lim</p><p>( ) ( ) ( )( )</p><p>x x x</p><p>x</p><p>→ → →( ) −( ) =</p><p>+( ) −( ) = + − =</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>1 4 3</p><p>3 2 1 4 2 3 12 1 8 3 133 5 65⋅ =</p><p>c)</p><p>lim ( )</p><p>lim ( )</p><p>lim ( )</p><p>lim ( )</p><p>lim (</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>= =2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 4</p><p>1</p><p>3 4</p><p>1</p><p>3 )) lim ( )</p><p>lim ( ) lim ( )</p><p>( )−</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>+</p><p>=→</p><p>→ →</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>2</p><p>2 2</p><p>4</p><p>1</p><p>3 2 4</p><p>2 1</p><p>2</p><p>3</p><p>d) lim lim( ) lim( ) lim ( )</p><p>x x x x</p><p>x x x</p><p>→ → → →</p><p>+ = + = + = + = =</p><p>3 3 3 3</p><p>2 3 2 3 2 3 2 3 3 9 3</p><p>Métodos quantitativos matemáticos96</p><p>6.4.2.1 Quando o limite do denominador é igual a zero</p><p>Devemos observar que quando calculamos o limite, nós o calculamos para quando x tende</p><p>para a, e não para x = a. Assim, muito embora a função possa não existir no ponto a, seu limite</p><p>pode existir.</p><p>Essas situações nos levam a encontrar o limite do denominador igual a zero, ou uma in-</p><p>determinação (numerador e denominador igual a zero (0/0)). Não podemos ser apressados nas</p><p>conclusões. Devemos inicialmente tentar contornar o problema por meio de simples operações</p><p>algébricas. Uma delas é tentar fatorar o numerador de tal forma que possamos dividir por uma</p><p>nova expressão do tipo (x – a).</p><p>Exemplo 2</p><p>a) lim lim ( )( )</p><p>( )</p><p>lim ( )</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>→ → →</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>+ −</p><p>−</p><p>= + = + =</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>4</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2 2 4</p><p>Lembre-se das regras de fatoração para ax2 + bx + c, como, por exemplo, x 2 – 3x + 2 = (x – 1)</p><p>(x – 2).</p><p>b) lim lim</p><p>( )</p><p>( ) lim ( )</p><p>( )x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x→ → →</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>− +</p><p>+ =</p><p>− +</p><p>+</p><p></p><p>0 0 0</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>3 3</p><p>3 3 3 3</p><p>3 3</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>−</p><p>+ </p><p>=</p><p>−</p><p>+</p><p>= −</p><p>→ →</p><p>lim</p><p>( )</p><p>lim</p><p>( )x x</p><p>x</p><p>x x x0 03 3</p><p>1</p><p>3 9</p><p>1</p><p>9</p><p>6.4.3 Limites envolvendo infinito</p><p>Até aqui, trabalhamos com limites de funções que tinham a variável independente x tenden-</p><p>do para uma certa constante a. O que acontece se é permitido que a variável x cresça (ou decresça)</p><p>sem limite? A expressão “x tende para o infinito” é usada para indicar que x não está se aproximan-</p><p>do de nenhum número real, mas crescendo indefinidamente. Os seguintes símbolos são usados:</p><p>• x → ∞ indica que x cresce ilimitadamente mediante valores positivos;</p><p>• x → –∞ indica que x decresce ilimitadamente mediante valores negativos.</p><p>É importante lembrarmos que infinito não é um número real. Infinito representa um concei-</p><p>to, não um ponto na reta real.</p><p>Por outro lado, há funções em que quando x tende para um certo valor, particularmente para zero,</p><p>f(x) tende para infinito. As funções do tipo apresentado a seguir têm essas duas características acima:</p><p>Funções f(x) = 1</p><p>xn</p><p>Exemplo 1</p><p>f(x) = 1</p><p>xn , para n = 1</p><p>Quando x tende para zero, f( ) limx</p><p>xx</p><p>=</p><p>→0</p><p>1 , a função definida por f(x) = 1</p><p>x . Analisaremos o</p><p>comportamento numérico dessa função por meio das tabelas a seguir.</p><p>Limites 97</p><p>Comportamento de f à esquerda de x = 0–</p><p>x –1 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001</p><p>f(x) –1 –10 –100 –1 000 –10 000</p><p>Quando x → 0, por valores menores que zero (x → 0–), os valores da função decrescem sem limite.</p><p>Comportamento de f à direita de x = 0*</p><p>x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001</p><p>f(x) 1 10 100 1 000 10 000</p><p>Quando x → 0, por valores maiores que zero (x → 0+), os valores da função crescem sem limite.</p><p>Baseados nesse exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0, essa função não tem</p><p>valores que se aproximam de um limite bem definido.</p><p>lim lim</p><p>x xx x→ →+ −</p><p>= +∞ = −∞</p><p>0 0</p><p>1 1e</p><p>1</p><p>0</p><p>y</p><p>x0,5–0,5–1</p><p>40</p><p>60</p><p>20</p><p>–60</p><p>–20</p><p>–40</p><p>0</p><p>Quando x tende para mais ou menos infinito, f( ) limx</p><p>xx</p><p>=</p><p>→±∞</p><p>1</p><p>.</p><p>Analisaremos, agora, o comportamento de f( )x</p><p>x</p><p>=</p><p>1</p><p>1 , quando x cresce arbi trariamente (x → ∞)</p><p>ou quando x decresce arbitrariamente (x → – ∞).</p><p>Comportamento de f para x muito pequenos</p><p>x –1 –10 –100 –1 000 –10 000 –100 000</p><p>f(x) –1 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001 –0,00001</p><p>Comportamento de f para x muito grandes</p><p>x 1 10 100 1 000 10 000 100 000</p><p>f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001</p><p>Métodos quantitativos matemáticos98</p><p>Pelas tabelas, observamos que:</p><p>lim lim</p><p>x n x nx x→+∞ →−∞</p><p>= =</p><p>1 0 1 0e</p><p>E, quando construímos o gráfico de f, observamos que quando x tende para infinito, a curva</p><p>aproxima-se do eixo x sem nunca tocá-lo. Nesse caso, dizemos que a curva é assíntota ao eixo x, ou</p><p>assíntota horizontal.</p><p>Exemplo 2</p><p>f( )x</p><p>xn=</p><p>1</p><p>Para n = 2</p><p>Quando x tende para zero, f( ) lim .x</p><p>xx</p><p>=</p><p>→0 2</p><p>1</p><p>Ao analisar o comportamento numérico de f( )x</p><p>x</p><p>=</p><p>1</p><p>2 , nas proximidades de x = 0, obser-</p><p>vamos que:</p><p>Comportamento de f à esquerda de x = 0</p><p>x 1 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001</p><p>f(x) 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000</p><p>Comportamento de f à direita de x = 0</p><p>x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001</p><p>f(x) 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000</p><p>Resultando no seguinte gráfico:</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>Observamos que se x → 0, por valores maiores ou menores do que 0, os valores da função</p><p>crescem sem limite. Assim, podemos afirmar que quando x → 0, essa função tem os valores se</p><p>aproximando de um limiar (infinito = ∞). Nesse caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x ²</p><p>no ponto x = 0, mas denotamos tal fato por:</p><p>lim</p><p>x x→</p><p>= ∞</p><p>0 2</p><p>1</p><p>Limites 99</p><p>Costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e, por causa desse limite, dize-</p><p>mos também que o gráfico dessa função tem uma assín tota vertical.</p><p>Quando x tende para mais ou menos infinito, f e f( ) lim ( ) limx</p><p>x</p><p>x</p><p>xx x</p><p>= =</p><p>→+∞ →−∞</p><p>1 1</p><p>2 2 .</p><p>Observa-se nesses dois casos que:</p><p>lim lim</p><p>x xx x→+∞ →−∞</p><p>= =</p><p>1 1 02 2</p><p>Exemplo 3</p><p>De modo similar, f(x) = –1/x ² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no</p><p>intervalo (–∞, 0). O comportamento de f próximo de x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os</p><p>valores são negativos. Nesse caso, dizemos que não existe limite no ponto x = 0; portanto, repre-</p><p>sentamos tal resultado por:</p><p>lim</p><p>x x→</p><p>− = −∞</p><p>0 2</p><p>1</p><p>O gráfico abaixo representa essa função:</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>–80</p><p>–60</p><p>–40</p><p>–20</p><p>0,5 1–1 –0,5</p><p>Alguns limites úteis em cálculo</p><p>lim</p><p>x</p><p>xn</p><p>→+∞</p><p>= ∞</p><p>lim</p><p>x</p><p>ex</p><p>→∞</p><p>= ∞</p><p>lim</p><p>x</p><p>e x</p><p>→∞</p><p>− = 0</p><p>lim</p><p>x x</p><p>e</p><p>x</p><p>→∞</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =1 1</p><p>lim</p><p>x</p><p>a</p><p>x</p><p>na</p><p>x</p><p>→∞</p><p>−</p><p>=</p><p>1</p><p></p><p>lim</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>x</p><p>→∞</p><p>−</p><p>=</p><p>1 1</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>sen x</p><p>x→∞</p><p>=1</p><p>Observação importante</p><p>Quando no cálculo do limite de uma função aparecer uma destas sete formas, denominadas</p><p>expressões indeterminadas;</p><p>Métodos quantitativos matemáticos100</p><p>0</p><p>0</p><p>0 0 10 0, , , , , ,∞</p><p>∞</p><p>∞−∞ ⋅∞ ∞ ∞</p><p>nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.</p><p>6.4.4 Continuidade</p><p>Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes con-</p><p>dições são satisfeitas:</p><p>• f(a) é definida (isto é, o domínio de f inclui x = a);</p><p>• lim ( )</p><p>x a</p><p>x</p><p>→</p><p>f existe;</p><p>• lim ( ) ( )</p><p>x a</p><p>x a</p><p>→</p><p>=f f (quando x tende para a pela esquerda e pela direita).</p><p>6.4.4.1 Propriedade das funções contínuas</p><p>Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a, então:</p><p>• f(x) ± g(x) é contínua em a;</p><p>• f(x) . g(x) é contínua em a;</p><p>• f(x)/g(x) é contínua em a se g(a) ≠ 0.</p><p>Exemplo 1</p><p>a) A função f(x) = (x2 –4)/(x –2) não é definida no ponto x = 2, portanto a função não é contínua.</p><p>b) f</p><p>se</p><p>se</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x x=</p><p>≤</p><p>+ ></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 5</p><p>3 5 5</p><p>é descontínua porque o limite, quando x tende para a, não existe.</p><p>c) f</p><p>se</p><p>se</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x=</p><p>≠</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>1 3</p><p>é descontínua porque o limite de f, quando x tende para a, não é o valor de f em x = a.</p><p>d) f(x) = 1/x é descontínua porque o limite, quando x tende para 0, não existe e também</p><p>porque a função não é definida quando x = 0.</p><p>Atividades</p><p>Encontre o limite das funções a seguir:</p><p>1. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>+</p><p>3</p><p>3 1</p><p>2. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→0</p><p>3. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>−</p><p>2</p><p>2 1</p><p>4. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>−</p><p>2</p><p>32</p><p>5. lim</p><p>x x→2</p><p>2</p><p>Limites 101</p><p>Encontre os limites pela esquerda e pela direita das seguintes funções e esboce o gráfico da função:</p><p>6. f</p><p>para</p><p>para</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>3 2</p><p>2</p><p>10 2</p><p>+ ≤</p><p>− ></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→ −2</p><p>f</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→ +2</p><p>f</p><p>7. f</p><p>para</p><p>para</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>− <</p><p>+ ≥</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 5</p><p>1 5</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→ −5</p><p>f</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→ +5</p><p>f</p><p>8. O custo C(x) de produção de x unidades de um produto é dado por:</p><p>C</p><p>para</p><p>para</p><p>( )</p><p>,</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>3 2500 0 5000</p><p>19000 3 5 5000</p><p>+ ≤ ≤</p><p>+ ></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Encontre lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→5000</p><p>C</p><p>Usando as regras de limites, encontre os limites a seguir:</p><p>9. lim</p><p>x→3</p><p>1</p><p>10. lim</p><p>x→0</p><p>2</p><p>3</p><p>11. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→−4</p><p>2</p><p>12. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→−1</p><p>2</p><p>2</p><p>13. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>−</p><p>2</p><p>4 1</p><p>14. lim ( )( )</p><p>x</p><p>x x</p><p>→</p><p>− +</p><p>2</p><p>22 3 2 5</p><p>15. lim</p><p>( )x</p><p>x</p><p>x→ −2</p><p>2</p><p>3 1</p><p>16. lim ( )</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x→−</p><p>+ −</p><p>−1</p><p>2 3 4</p><p>2 3</p><p>17. lim ( )</p><p>( )x</p><p>x</p><p>x→</p><p>+</p><p>−2</p><p>2 5</p><p>1</p><p>18. lim</p><p>( )x</p><p>x</p><p>x→ +1 3</p><p>Determine os limites a seguir:</p><p>19. lim</p><p>x→∞</p><p>17</p><p>Métodos quantitativos matemáticos102</p><p>20. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→∞</p><p>5</p><p>21. lim</p><p>x</p><p>xe</p><p>→∞</p><p>22. lim( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→∞</p><p>−1</p><p>23. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>x→∞ −1</p><p>24. lim</p><p>( )</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x→∞</p><p>− +</p><p>−</p><p>2 5 6</p><p>3</p><p>25. lim</p><p>x x→∞</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 1</p><p>26. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>x→∞</p><p>−</p><p>−</p><p>2 1</p><p>1</p><p>Determine se as seguintes funções são contínuas ou não:</p><p>27. f(x) = x + 3 –10 ≤ x ≤ 10</p><p>28. f( )</p><p>( )</p><p>x x</p><p>x</p><p>=</p><p>− 4</p><p>para todo x</p><p>29. f( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>+</p><p>1</p><p>32 para todo x</p><p>30. f</p><p>para</p><p>para</p><p>( ) ( )x x</p><p>x</p><p>x</p><p>= −</p><p>≠</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>8 2</p><p>31. Calcule lim .</p><p>x</p><p>x</p><p>x→</p><p>−</p><p>−3</p><p>2 9</p><p>3</p><p>a) 3</p><p>b) 0</p><p>c) 6</p><p>d) 2</p><p>32. Calcule lim .</p><p>x</p><p>x</p><p>x→∞ −3 8</p><p>a) 1</p><p>3</p><p>b) 0</p><p>c) ∞</p><p>d) –∞</p><p>33. Calcule lim</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.</p><p>x</p><p>sen x</p><p>sen x→0</p><p>2</p><p>4</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 1</p><p>2</p><p>7</p><p>Derivada de função</p><p>7.1 O problema</p><p>O produtor de uma mercadoria tem como padrão de produção x elementos dessa</p><p>mercadoria em um mês. Ele pretende aumentar a sua produção porque a aceitação de</p><p>seu produto no mercado tem sido muito boa. Mas para efeito de planejamento, ele deseja</p><p>saber qual será a variação no custo total devido à produção de uma unidade adicional.</p><p>Complementarmente, ele deseja verificar qual será a variação da receita total</p><p>devido à venda de uma unidade a mais desse produto.</p><p>7.2 Explorando o problema</p><p>Em Economia, a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita por qual-</p><p>quer de dois conceitos: o de média ou o de marginal.</p><p>O conceito de média expressa a variação de uma quantidade (custo, por exemplo) sobre um con-</p><p>junto específico de valores de uma segunda quantidade (número de itens produzidos, por exemplo).</p><p>O conceito de marginal é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma</p><p>mudança em unidades muito pequena na segunda quantidade.</p><p>Assim, se pensarmos em custo, no contexto do problema acima poderemos raciocinar em</p><p>termos de custo médio e custo marginal. Se pensarmos em receita, podemos pensar em receita</p><p>média e receita marginal.</p><p>O que é custo médio? Suponha que possamos construir uma função que expresse o custo total</p><p>da fabricação de x pares de sapatos e que essa função seja denotada por C(x). Uma função que repre-</p><p>sente o custo médio será, portanto, a razão entre o custo de x pares de sapatos e o número de sapatos</p><p>produzidos (x) – ou seja, C(x)/x, geralmente denotada por Q(x) e chamada de função de custo médio.</p><p>Q x C x</p><p>x</p><p>( ) ( )</p><p>=</p><p>Ela informa quanto custou em média cada um dos x primeiros pares de sapatos fabricados.</p><p>Já a função de custo marginal nos dirá quanto custará cada unidade adicional de par de sa-</p><p>patos fabricado. Ela equivale, aproximadamente, a calcular C(x + 1) – C(x).</p><p>Ocorre, no entanto, que quando calcularmos o quanto custará a fabricação do segundo par</p><p>de sapatos adicional, o valor C(x + 2) – C(x + 1) no geral não será o mesmo da diferença anterior.</p><p>O que nos interessa é saber quanto será o aumento pela produção de cada unidade adicio-</p><p>nal de novos pares de sapatos. Esse custo adicional será fornecido pelo cálculo da função custo</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos104</p><p>marginal, chamada de C’(x), que é exatamente o valor da derivada da função custo total no ponto</p><p>x, conforme estudaremos em detalhes no desenvolvimento do capítulo.</p><p>Exatamente o mesmo raciocínio vale para as funções de receitas.</p><p>7.3 Equacionando o problema</p><p>Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de certo produto. A função</p><p>C é chamada de função custo total. Como x representa o número de unidades de um produto, x</p><p>tem que ser um inteiro não negativo. Podemos fazer, sem qualquer prejuízo, a suposição de que x</p><p>seja um número real não negativo. Essa suposição nos garantirá as condições de continuidade de</p><p>C, necessárias para que possamos mais tarde aplicar conceitos de derivação.</p><p>O custo médio de produção de cada unidade do produto pode ser obtido pela razão entre o</p><p>custo total e o número de unidades produzidas, como foi visto anteriormente, onde Q é chamado</p><p>de função custo médio.</p><p>Q x C x</p><p>x</p><p>( ) ( )</p><p>=</p><p>Suponhamos agora que o número de unidades de uma determinada produção seja x1, e que</p><p>ela tenha sido alterada por Δx. Então a variação no custo total é dada por C(x1 + ∆x) – C(x1), e a</p><p>variação média no custo total em relação à variação no número de unidades produzidas é dada por:</p><p>C x x C x</p><p>x</p><p>( ) ( )1 1+ −∆</p><p>∆</p><p>O limite desse quociente quando ∆x tende a zero é chamado de custo marginal. Esse limite é</p><p>definido como a derivada da função de custo total C(x), denotada por C’(x).</p><p>C x</p><p>C x x C x</p><p>xx</p><p>’( ) lim</p><p>( ) ( )</p><p>=</p><p>+ −</p><p>→∆</p><p>∆</p><p>∆0</p><p>1 1</p><p>Assim, C’(x) pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea do custo total</p><p>quando x1 unidades são produzidas.</p><p>Supondo que C(x) seja o custo total da fabricação de x pares de sapatos e que seja dada</p><p>pela expressão:</p><p>C(x) = 2 500 + 2x + 0,04x2</p><p>Então, a Tabela 1 a seguir mostra quanto custaria fabricar x pares de sapatos:</p><p>Tabela 1 – Taxa de variação instantânea do custo total quando x1 unidades são produzidas e custo mé-</p><p>dio de produção de cada unidade do produto</p><p>x (unidades) Produção 50 51 52 53 54 55</p><p>C(x) (em R$) 2 2 2 2 2 2</p><p>Custo total 700,00 706,04 712,16 718,36 724,64 731,00</p><p>Q(x) (em R$) Custo médio 54,00 53,06 52,16 51,29 50,46 49,65</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Derivada de função 105</p><p>7.4 Conceitos e regras</p><p>7.4.1 Diferenciação ou derivação</p><p>A operação para encontrar a derivada de uma função tem o nome diferencia-</p><p>ção. Dizemos que derivamos y = f(x) em relação à variável x.</p><p>O estudo da derivada foi motivado fundamentalmente para a construção da</p><p>reta tangente a uma curva dada em um ponto A conhecido. A interpretação geomé-</p><p>trica do conceito de derivadas vem a seguir:</p><p>Figura 1 – Reta secante interceptando os pontos A e B</p><p>y</p><p>x</p><p>f(x0 + ∆x)</p><p>f(x0)</p><p>x0 x0 + ∆x</p><p>B</p><p>A</p><p>S</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Definiremos a derivada no ponto A com a utilização do processo-limite des-</p><p>crito a seguir. Considerando A um ponto fixo sobre a curva dada e um ponto B, o</p><p>processo inicia traçando-se uma reta secante (S) que intercepta os pontos A e B.</p><p>Considerando-se, ainda, que o ponto B não é fixo e move-se ao encontro do</p><p>ponto A, sobre a mesma curva, a secante tenderá para uma posição limite, determi-</p><p>nando a tangente.</p><p>Importante frisar que a aproximação vale para toda vizinhança, ou seja, vindo</p><p>no sentido direito-esquerdo ou no sentido esquerdo-direito, implicando necessariamen-</p><p>te a existência da tangente.</p><p>Figura 2 – Interpretação geométrica da derivada</p><p>y</p><p>x</p><p>Tangente</p><p>B1</p><p>B2</p><p>B3</p><p>A</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos106</p><p>Tendo em mente o conceito geométrico da derivada, é necessário, neste momento, represen-</p><p>tar de forma analítica o processo limite proposto.</p><p>Suponhamos que em um intervalo aberto (a, b) existe uma função contínua y = f(x). Seu</p><p>gráfico leva o nome de curva contínua p. Tomemos na curva p um ponto A = (x0, f (x0)) com o</p><p>objetivo de determinar a tangente à curva p no ponto definido. Com esse fim, vamos tomar outro</p><p>ponto B = (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)), onde ∆x ≠ 0 (na primeira figura está expresso o caso de ∆x > 0).</p><p>Denominamos de secante S a reta que passa pelos pontos A e B e está orientada na direção de</p><p>crescimento de x. O  ângulo que S forma com a direção positiva do eixo x se designará como β.</p><p>Consideramos que –p/2 < β < p/2. β será positivo quando o sentido dado</p><p>ser resolvido gerando‑se</p><p>os valores das soluções de certo conjunto de variáveis, tais como o nível de preço que iguala oferta</p><p>e demanda de mercado, ou o nível de produção que maximiza o lucro.</p><p>A questão a se responder é se todas essas variáveis podem ser represen tadas por números de</p><p>uma mesma natureza.</p><p>1.2 Explorando o problema</p><p>Desejamos estimar o valor do preço do feijão no Paraná, em um determinado mês do ano de</p><p>2018. Sabemos que o preço do feijão no mesmo mês de 2017 pode influenciar o preço atual; o preço</p><p>da lentilha, a quantidade de feijão produzida e se o feijão foi importado ou produzido em outro estado</p><p>também são determinantes desse preço.</p><p>Uma possível equação de previsão do preço do feijão poderia ser:</p><p>Pi = a + bP’i + cPLi + dQi + eI</p><p>onde:</p><p>• Pi é o preço do feijão em 2018 no mês i, com i = 1 a 12. Ou seja, o preço do feijão em abril</p><p>de 2018 será representado por P4;</p><p>• P’i é o preço do feijão em 2017 no mês i, com i = 1 a 12. P’4 é o preço do feijão em abril de</p><p>2017. P’i é a chamada variável defasada;</p><p>• PLi é o preço da lentilha em 2018 no mês i;</p><p>• Qi é a quantidade de feijão produzida em 2018 no mês i;</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos10</p><p>• I é uma variável que representa se o feijão foi importado (I = 1) ou produzido no Paraná</p><p>(I = 0). Veja que se o feijão foi produzido fora do Paraná, seu preço será acrescido de “e”</p><p>unidades monetárias.</p><p>Esse modelo matemático arbitrário contém variáveis de diferentes tipos. O preço é uma</p><p>variável contínua que pode assumir valores fracionários. A quantidade em sacas é uma variável</p><p>discreta que só pode assumir valores inteiros. E a variável I, chamada de variável dummy (fantas‑</p><p>ma), representa a existência ou não de uma certa condição. São variáveis de naturezas diferentes, e</p><p>os valores que elas assumem são de naturezas distintas.</p><p>1.3 Equacionando o problema</p><p>Uma variável é uma característica constituinte de um evento, fenômeno, pessoa ou processo</p><p>que varia em graus. Não necessariamente precisa ser expressa por meio de números. A forma de</p><p>expressá‑la varia de acordo com o nível de mensuração utilizado. Por exemplo:</p><p>• Variável “idade”: 1, 5, 20, 50 (nível de mensuração de razão).</p><p>• Variável “coeficiente de inteligência – QI”: 50, 80, 100, 120 (nível de mensuração intervalar).</p><p>• Variável “avaliação da palestra”: excelente, boa, regular, ruim, péssima (nível de men‑</p><p>suração ordinal).</p><p>• Variável “cor da parede”: verde, amarela, azul etc. (nível de mensuração nominal).</p><p>O que difere o nível de mensuração de razão para o intervalar é que no primeiro o valor 20</p><p>de fato representa o dobro de 10, enquanto no nível de mensuração intervalar não. 20 °C não indica</p><p>que a temperatura seja o dobro de 10 °C. Pense que se essas temperaturas forem convertidas para</p><p>graus Farenheit, por exemplo, essa relação (o dobro) não permanecerá a mesma: 10 °C são 50 °F,</p><p>enquanto 20 °C são 68 °F.</p><p>Dependendo do nível de mensuração, pode‑se fazer diferentes classificações de variáveis.</p><p>As variáveis com níveis de mensuração de razão e intervalar são chamadas de variáveis</p><p>quantitativas.</p><p>Variáveis quantitativas – são aquelas que são mensuráveis. Exemplo: ida‑</p><p>de, altura, peso etc.</p><p>Elas ainda se subdividem em:</p><p>• Variáveis quantitativas contínuas – são aquelas que possuem números fracionados e</p><p>podem ser medidas. Exemplo: peso, altura etc.</p><p>• Variáveis quantitativas discretas – são aquelas que são expressas por números inteiros e</p><p>no geral são resultado de contagem. Exemplo: idade, semestre na universidade etc.</p><p>Já as variáveis com níveis de mensuração ordinal e nominal são chamadas de variáveis qualitativas.</p><p>Sistemas numéricos 11</p><p>Variáveis qualitativas – são aquelas que se baseiam em qualidades e não</p><p>podem ser mensuráveis numericamente. Exemplo: cor dos olhos, classe</p><p>social (A, B, C, D ou E) etc.</p><p>Elas ainda se subdividem em:</p><p>• Variáveis qualitativas ordinais – são aquelas que podem ser colocadas em ordem. Exemplo:</p><p>conceito (excelente, bom, regular, ruim, péssimo), classe social (A, B, C, D ou E) etc.</p><p>• Variáveis qualitativas nominais – são aquelas que não podem ser hierarquizadas ou or‑</p><p>denadas. Exemplo: cor dos olhos, estados do Brasil etc.</p><p>A natureza da variável determinará a que tipo de sistema de representação ela estará</p><p>submetida. Nosso trabalho neste capítulo será o de apresentar os diferentes tipos de números</p><p>conforme sua natureza. A questão referente a uma discussão mais aprofundada da natureza real</p><p>dos números interessa mais à filosofia do que à matemática. A natureza essencial do conceito de</p><p>número, do ponto de vista da Teoria do Conhecimento, não fará parte, portanto, do conteúdo</p><p>deste texto.</p><p>Interessa‑nos distinguir os diferentes tipos de números para podermos melhor operá‑los</p><p>nas questões práticas que surgirão em outras fases de um curso de Administração ou Economia.</p><p>Caracterizaremos do particular para o geral os conjuntos de números afeitos ao nosso curso, a</p><p>saber: números naturais, números inteiros, números racionais e irracionais e números reais. Neste ca‑</p><p>pítulo, esses conjuntos serão apresentados e algumas de suas características serão estudadas.</p><p>1.4 Conceitos e regras</p><p>1.4.1 Números naturais (N)</p><p>Consideramos que os números naturais têm início com o número zero e es‑</p><p>crevemos esse conjunto como:</p><p>N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}</p><p>Representamos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências</p><p>indicam que esse conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.</p><p>Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será repre‑</p><p>sentado por:</p><p>N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}</p><p>Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do</p><p>número dado).</p><p>Exemplo 1</p><p>Se m é um número natural finito, diferente de zero, então:</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos12</p><p>a) O antecessor do número m é m–1.</p><p>b) O antecessor de 2 é 1.</p><p>c) O antecessor de 34 é 33.</p><p>d) O antecessor de 10 é 9.</p><p>1.4.2 Números inteiros (Z)</p><p>Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números</p><p>naturais e o conjunto dos opostos dos números naturais. Esse conjunto é denotado pela letra Z</p><p>(Zahlen = números em alemão).</p><p>Esse conjunto pode ser escrito por:</p><p>Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>Alguns subconjuntos do conjunto Z podem ser assim definidos:</p><p>• Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:</p><p>Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>• Conjunto dos números inteiros não negativos:</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>• Conjunto dos números inteiros não positivos:</p><p>Z– = {..., –4, –3, –2, –1, 0}</p><p>1.4.2.1 Reta numerada</p><p>Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada –</p><p>considerando o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar escrito à direita da ori‑</p><p>gem –, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e dispor os números inteiros da</p><p>seguinte maneira:</p><p>–4... –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 ...</p><p>Ao observar a reta numerada, notamos que a ordem que os números intei ros obedecem</p><p>é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita.</p><p>Essa consideração é adotada por convenção.</p><p>Baseando‑se ainda na reta numerada, podemos afirmar que todos os números inteiros pos‑</p><p>suem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.</p><p>1.4.2.2 Ordem e simetria no conjunto Z</p><p>O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta</p><p>(em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na</p><p>reta (em Z).</p><p>Sistemas numéricos 13</p><p>Exemplo 1</p><p>a) 3 é sucessor de 2.</p><p>b) 2 é antecessor de 3.</p><p>c) –5 é antecessor de –4.</p><p>d) –4 é sucessor de –5.</p><p>e) 0 é antecessor de 1.</p><p>f) 1 é sucessor de 0.</p><p>g) –1 é sucessor de –2.</p><p>h) –2 é antecessor de –1.</p><p>Todo número inteiro (z), exceto o zero, possui um elemento denominado oposto (–z); isso é</p><p>caracterizado pelo fato geométrico de que tanto z como –z estão à mesma distância da origem do</p><p>conjunto Z que é 0.</p><p>Exemplo 2</p><p>a) O oposto de ganhar é</p><p>for anti-horário.</p><p>Na figura mencionada, β > 0. Se ∆x for igual ao segmento de reta AC (∆x = AC) e ∆y = CB,</p><p>temos que ∆y/ ∆x = tg β.</p><p>Se ∆x → 0, então ∆y → 0 e o ponto B tenderá ao ponto A. Se nesse caso o ângulo β tender a</p><p>um valor α, distinto de –p/2 e de p/2, então, existe um limite:</p><p>lim lim</p><p>( ) ( )</p><p>lim</p><p>∆ ∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆x x</p><p>y</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>tg tg</p><p>→ → →</p><p>=</p><p>+ −</p><p>= =</p><p>0 0</p><p>0 0f f</p><p>β α</p><p>β α</p><p>que é igual à derivada (finita) f no ponto x:</p><p>f ’(x) = tgα.</p><p>Portanto,</p><p>f</p><p>f f</p><p>’( ) lim</p><p>( ) ( )</p><p>x</p><p>x x x</p><p>xx</p><p>=</p><p>+ −</p><p>→∆</p><p>∆</p><p>∆0</p><p>0 0</p><p>Quando β tende a α, a secante S ocupa a posição da reta T que passa pelo ponto A e forma o</p><p>ângulo α com a direção positiva do eixo x. A reta orientada T recebe o nome de tangente à curva p</p><p>no ponto A.</p><p>Denomina-se tangente à curva p (y = f(x)) no ponto A = (x, f(x)) uma reta orientada T, a qual</p><p>tende à secante S (uma reta orientada na direção de crescimento do eixo x) que passa por A e pelo</p><p>ponto B = (x + ∆x, f (x + ∆x)) ∈ p, quando ∆x → 0.</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcular a derivada da função f(x) = x3, no ponto x = 1.</p><p>Pela definição, temos:</p><p>f</p><p>f f</p><p>’( ) lim</p><p>( ) ( )</p><p>lim ( ) limx x x x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>→ → →∆ ∆ ∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>3 3</p><p>0</p><p>33 2 2 3 3</p><p>0</p><p>2 2</p><p>3 3</p><p>3 3</p><p>+ + + −</p><p>=</p><p>+ +</p><p>→</p><p>x x x x x x</p><p>x</p><p>x x x x x</p><p>xx</p><p>x</p><p>∆ ∆ ∆</p><p>∆</p><p>∆ ∆ ∆</p><p>∆∆</p><p>( )</p><p>)’( ) lim ( ( )f == + + =</p><p>→</p><p>lim( )</p><p>∆</p><p>∆ ∆</p><p>x</p><p>x x x x x</p><p>0</p><p>2 2 23 3 3</p><p>Portanto, a derivada da função f(x) = x3, no ponto x = 1, é f ’(1) = 3, pois f ’(x) = 3x2.</p><p>Dizemos que a função f é diferenciável (ou derivável) em seu domínio se a função for dife-</p><p>renciável em cada ponto do domínio.</p><p>Se a função f é diferenciável em x1, então f é contínua em x1.</p><p>Se a função f é diferenciável, significa dizer que as derivadas laterais existem e são iguais, assim:</p><p>Derivada de função 107</p><p>f</p><p>f f f f</p><p>’ ( ) lim</p><p>( ) ( )</p><p>lim</p><p>( ) ( )</p><p>+</p><p>→ →</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>+ −</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>xx x</p><p>0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>∆ ∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>ff ’ ( )− x0</p><p>onde f ’+ (x0) é a derivada à direita de f, e f ’–(x0) é a derivada à esquerda de f, em x0.</p><p>Se a função f é diferenciável no ponto x0, então a função f é contínua em x0.</p><p>Exemplo 2</p><p>Seja a função f definida por f(x) = | x |</p><p>a) Esboce o gráfico da função f.</p><p>b) Mostre que a função f é contínua em x0 = 0.</p><p>c) f é diferenciável em x0 = 0?</p><p>Lembre-se de que, por definição, f</p><p>se</p><p>se</p><p>( )</p><p>,</p><p>,</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x= =</p><p>≥</p><p>− <</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>.</p><p>Figura 3 – Gráfico da função Valor Absoluto</p><p>y</p><p>x2 40–2–4–6</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>a) Sabe-se que uma função é contínua quando se verifica que</p><p>lim ( ) ( ),</p><p>x a</p><p>x a</p><p>→</p><p>=f f</p><p>se o limite existir. Façamos, primeiramente, a verificação de que existe o limite da função,</p><p>ou seja, mostremos que os limites laterais existem e são iguais:</p><p>lim ( ) lim ( ),</p><p>x x</p><p>x x</p><p>→ →+ −</p><p>= =</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>00f f</p><p>Por outro lado, a função aplicada no ponto x0 = 0 nos dá f(0) = 0.</p><p>Finalmente, como se tem que lim ( ) ( ),</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>=</p><p>0 0 0f f conclui-se que a função f é contínua no</p><p>ponto x0 = 0.</p><p>b) Para que a função seja diferenciável no ponto x0 = 0, é necessário que as derivadas late-</p><p>rais aplicadas no ponto existam e sejam iguais.</p><p>f ’ ( ) lim lim lim+</p><p>→ → →</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>+ + +</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx x x</p><p>0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>0∆ ∆ ∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>==</p><p>=</p><p>+ −</p><p>=</p><p>− + −</p><p>=−</p><p>→ → →−</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>f ’ ( ) lim lim</p><p>( )</p><p>limx x x x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>xx x x∆ ∆ ∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆ ++</p><p>−</p><p>= −</p><p>∆</p><p>∆</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>Logo, f ’( ) limx x x x</p><p>xx0 0</p><p>0 0=</p><p>+ −</p><p>→∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>não existe, ou seja, f não é diferenciável em zero. Como</p><p>f ’(0) não existe, o gráfico de f(x) = | x | não admite reta tangente em (0, f (0)).</p><p>Métodos quantitativos matemáticos108</p><p>7.4.2 Derivadas de funções elementares</p><p>Se y = f(x), várias são as formas de denotar simbolicamente uma função derivada, das quais po-</p><p>demos citar:</p><p>y f f</p><p>f f f</p><p>’ ’( ) ( ) lim</p><p>( ) ( )</p><p>lim= = = = =</p><p>+ −</p><p>=</p><p>→ →</p><p>x y y</p><p>x x</p><p>x x x x</p><p>xx x x x</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆∆ 0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>(( ) ( )x x</p><p>x x</p><p>−</p><p>−</p><p>f 0</p><p>0</p><p>Trabalhar com a definição de derivada, muitas vezes, torna-se muito trabalhoso, e, para isso,</p><p>existem fórmulas que são tabeladas, facilitando sua aplicação. Vejamos as derivadas das funções</p><p>mais usuais.</p><p>Tabela 2 – Derivadas das funções mais usuais</p><p>f(x) = c, c é uma constante. f’(x) = 0</p><p>f(x) = x f’(x) = 1</p><p>f(x) = ax + b, a ≠ 0 f’(x) = a</p><p>f(x) = x n f’(x) = nxn – 1</p><p>f(x) = ex f’(x) = ex</p><p>f(x) = ax f’(x) = ax ln a</p><p>f(x) = ln x f’(x) = 1x</p><p>f(x) = sen x f’(x) = cos x</p><p>f(x) = cos x f’(x) = –sen x</p><p>f(x) = tg x f’(x) = sec2 x</p><p>f(x) = cotg x f’(x) = –cosec2 x</p><p>f(x) = sec x f’(x) = sec x tg x</p><p>f(x) = cosec x f’(x) = –cosec x cotg x</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Outro estudo relevante diz respeito à identificação de algumas regras gerais para cálculo das</p><p>derivadas de funções:</p><p>Tabela 3 – Regras gerais para derivadas de funções</p><p>a) Multiplicação por escalar (kf)’ (x) = k f’(x)</p><p>b) Soma de funções (f + g)’ (x) = f’(x) + g’(x)</p><p>c) Diferença de funções (f – g)’ (x) = f’(x) – g’(x)</p><p>d) Produto de funções (f . g)’ (x) = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)</p><p>e) Divisão de funções</p><p>(f g)'(x) =</p><p>f'(x) g(x) f(x) g'(x)</p><p>g (x)2</p><p>/</p><p>⋅ ⋅−</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 1</p><p>Dados f(x) = 12x2 e g(x) = x –10, calcule as derivadas:</p><p>a) (f + g)(x)</p><p>b) (f – g)(x)</p><p>c) (f . g)(x)</p><p>d) (f / g)(x)</p><p>Sabendo-se que f ’(x) = 24x e g’(x) = 1, então:</p><p>Derivada de função 109</p><p>a) (f + g)’ (x) = f ’(x) + g’(x) = 24x + 1</p><p>b) (f – g)’ (x) = f ’(x) – g’(x) = 24x – 1</p><p>c) (f . g)’ (x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x) = 24x . (x – 10) + 12x2 . 1 = 36x2 – 240x</p><p>d) ( )’( )</p><p>’( ) ( ) ( ) ’( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>f/g x</p><p>x g x x g x</p><p>g x</p><p>x x x</p><p>=</p><p>⋅ − ⋅</p><p>=</p><p>⋅ − − ⋅f f</p><p>2</p><p>224 10 12 1</p><p>(( ) ( )x</p><p>x x</p><p>x−</p><p>=</p><p>−</p><p>−10</p><p>12 240</p><p>102</p><p>2</p><p>2</p><p>7.4.3 Derivada de função composta</p><p>Outro passo importante para o estudo de derivação diz respeito a derivar uma função for-</p><p>mada pela composição de funções com derivadas conhecidas. Assim, seja y uma função de u, onde</p><p>u é uma função de x, teremos:</p><p>y = f(u), onde u = g(x)</p><p>A corresponde função composta é y = f(g(x)).</p><p>A derivação de funções compostas é baseada na Regra da Cadeia: se g é diferenciável em x,</p><p>f diferenciável em g(x) e fog está definida, então vale a regra:</p><p>(fog)’ (x) = f ’(g(x)) . (g’(x))</p><p>Ou ainda,</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>du</p><p>du</p><p>dx</p><p>= ⋅</p><p>Exemplo 1</p><p>Derivar y = (4x3 – 2x)15.</p><p>Façamos u = 4x3 – 2x. Assim, y = u15; ao calcular as derivadas das funções y(u) e u(x),</p><p>encontramos:</p><p>dy</p><p>du</p><p>u du</p><p>dx</p><p>x= = −15 12 214 2e .</p><p>Aplicando a fórmula, encontraremos a derivada solicitada:</p><p>dy</p><p>dx</p><p>x x x= − ⋅ −15 4 2 12 23 14 2( ) ( ).</p><p>Ampliando nosso estudo de fórmulas tabeladas envolvendo o conhecimento de Regra da</p><p>Cadeia, vejamos a tabela a seguir:</p><p>Tabela 4 – Derivadas das funções utilizando a Regra da Cadeia</p><p>y = cu, c > 0, onde c é constante. y’ = cu lnc . u’</p><p>y = un y’ = nun–1 . u’</p><p>y = eu y’ = eu . u’</p><p>y = lnu y u</p><p>u</p><p>=’ ’</p><p>y = loga u y u</p><p>u</p><p>a' ' ln=</p><p>y = sen u y’ = cos u . u’</p><p>Métodos quantitativos matemáticos110</p><p>y = cos u y’ = –sen u . u’</p><p>y = tg u y’ = sec2 u . u’</p><p>y = cotg u y’ = –cosec2 u . u’</p><p>y = sec u y’ = sec u . tg u . u’</p><p>y = cosec u y’ = –cosec u . cotg u . u’</p><p>y = arctg u y u</p><p>u</p><p>' '</p><p>=</p><p>+1 2</p><p>y = arc cotg u y u</p><p>u</p><p>' '</p><p>=</p><p>−</p><p>+1 2</p><p>y = arc sen u y u</p><p>u</p><p>' '</p><p>=</p><p>−1 2</p><p>y = arc cos u y u</p><p>u</p><p>' '</p><p>=</p><p>−</p><p>−1 2</p><p>y u</p><p>v</p><p>= y v u u v</p><p>v</p><p>' ' '</p><p>=</p><p>⋅ − ⋅</p><p>2</p><p>y um= y u</p><p>m umm</p><p>' '</p><p>=</p><p>⋅ −1</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>7.4.4 Diferencial de uma função</p><p>No cálculo diferencial, o símbolo</p><p>dy</p><p>dx</p><p>pode ser interpretado em dois contextos distintos.</p><p>Até aqui, representamos com a função derivada de uma função f(x). Nesta seção, interpretaremos</p><p>como uma razão de duas quantidades, dy e dx.</p><p>Em uma função f(x), um acréscimo em x, denotado por ∆x, produzirá um acréscimo corres-</p><p>pondente ∆y. Sendo assim, podemos utilizar o quociente diferencial ∆y/∆x para representar a taxa</p><p>de variação de y em relação a x. Portanto,</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆y y</p><p>x</p><p>x= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅</p><p>A grandeza de ∆y pode ser encontrada uma vez que conheçamos o quociente diferencial ∆y/∆x</p><p>e a variação em x.</p><p>Quando ∆x é infinitesimal, ∆y também será, e o quociente diferencial torna-se a derivada</p><p>∆y/∆x. Então, se denotarmos as variações infinitesimais em x e y por dx e dy, respectivamente,</p><p>a</p><p>identidade acima ficará:</p><p>dy dy</p><p>dx</p><p>dx dy x dx= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅ = ⋅ou f ’( )</p><p>Os símbolos dx e dy são denominados as diferenciais de x e y, respectivamente. A interpre-</p><p>tação geométrica da diferencial é apresentada com o auxílio da Figura 4.</p><p>Derivada de função 111</p><p>Figura 4 – Interpretação geométrica do diferencial</p><p>y</p><p>x</p><p>dy</p><p>f(x0 + dx) – f(x0)</p><p>x0 x0 + dx</p><p>dx</p><p>(x0 . f(x0))</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Exemplo 1</p><p>Dada a função f(x) = 5x3 + 4x2 – 2x – 7, encontre a diferencial.</p><p>De posse da fórmula anterior e sabendo que f ’(x) = 15x2 + 8x – 2, temos:</p><p>dy = (15x2 + 8x – 2)dx.</p><p>Observação importante: sempre que trabalharmos com diferencial, em ambos os termos há</p><p>necessidade da exposição de um diferencial.</p><p>7.4.5 Derivada de ordem superior</p><p>Suponhamos que no intervalo aberto (a, b) esteja definida uma função f. Sua derivada, se</p><p>existe no mesmo intervalo, é a função f ’(x) e se chama função de primeira derivada. Pode acontecer</p><p>que a primeira derivada tenha, por sua vez, a derivada no intervalo (a, b). Esta última se denomina</p><p>segunda derivada de f, ou, ainda, derivada de f de segunda ordem, que tem por notação:</p><p>f ’’(x) = f (2) (x) = (f ’(x))’ ou y’’ = (y’)’</p><p>Em geral, tem-se a derivada da função f de n-ésima ordem:</p><p>f (n)(x) = (f (n–1) (x))’ ou y(n) = (y(n–1))’</p><p>Caso trate-se de um valor fixo da variável x, o símbolo f (n)(x) designa a derivada de ordem</p><p>n aplicada ao ponto x. E para que essa derivada exista, é necessário que a derivada exista no ponto</p><p>e em sua vizinhança.</p><p>Exemplo 1</p><p>Seja a função f(x) = xm, calcule as derivadas de ordem superior até a n-ésima ordem:</p><p>f ’(x) = mxm–1</p><p>f ’’(x) = m(m – 1)xm–2</p><p>f ’’’(x) = m(m – 1) (m – 2) xm–3</p><p>[...]</p><p>f (n)(x) = m(m – 1) (m – 2) ... (m – n + 1)xm–n</p><p>Métodos quantitativos matemáticos112</p><p>7.4.6 Aplicações de derivada</p><p>Seja uma função f definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em um ponto c de (a, b).</p><p>Se f ’(c) ≠ 0, então, f(c) não é um ponto extremo local de f. Ou, equivalentemente, se f é derivável em</p><p>(a, b) e c é um ponto de máximo ou mínimo local de f, então f ’(c) = 0.</p><p>Um ponto c é dito um ponto crítico de f se f ”(c) = 0 ou se f ’(c) não existe. Ou seja, pontos</p><p>onde a derivada da função é igual a zero são chamados de pontos críticos. A derivada ser nula é</p><p>condição apenas necessária para a existência de extremos, mas não é condição suficiente. Existem</p><p>três tipos de pontos onde pode acontecer a situação descrita. São os pontos de máximo, pontos de</p><p>mínimo e pontos de inflexão.</p><p>O valor da derivada de uma função em um ponto é a declividade da reta tangente à curva</p><p>nesse ponto. Se a derivada é igual a zero, é porque a declividade nesse ponto também é zero,</p><p>pois o ângulo nesse caso é igual a zero, isto é, a reta tangente é paralela ao eixo x. Esses pontos</p><p>acontecem onde a função atinge um valor máximo, um valor mínimo ou também podem ocor-</p><p>rer em pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão são aqueles pontos na curva em que ela</p><p>muda de concavidade.</p><p>Os passos para identificar um ponto crítico consistem em se calcular a primeira e a segunda</p><p>derivadas da função.</p><p>Calculamos a primeira derivada e verificamos para que valores de x ela é igual a zero.</p><p>Esses pontos, se existirem, serão pontos críticos. Em seguida, calculamos a segunda derivada da</p><p>função. Se o valor da segunda derivada for positivo no ponto onde a derivada primeira é nula,</p><p>esse ponto será um ponto de mínimo local. Se o valor da derivada segunda for negativo, o ponto</p><p>em questão é um máximo local. E se a derivada segunda também for nula, o ponto é um ponto</p><p>de inflexão.</p><p>Podem ocorrer extremos onde a função não é derivável, e nessas situações o teste da se-</p><p>gunda derivada não se aplica. Então, não existindo a primeira derivada, a segunda também não</p><p>existirá. Nesse caso, é necessário, então, verificar os pontos críticos mediante a avaliação da</p><p>mudança de sinal da primeira derivada, quando a função muda de crescente para decrescente,</p><p>ou vice-versa.</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine os valores máximos e mínimos de f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3.</p><p>Primeiro, definimos a função f e calculamos a sua derivada:</p><p>f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3</p><p>f ’(x) = 3x2 – 6x – 9</p><p>7.4.6.1 Pontos críticos</p><p>Continuando o exemplo, observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos</p><p>da reta. Assim, os candidatos a extremos dessa função são os extremos do intervalo e os pontos</p><p>onde a derivada se anula. Para determinar esses últimos pontos, basta resolver a equação:</p><p>Derivada de função 113</p><p>f ’(x) = 0</p><p>As raízes serão:</p><p>x1 = –1 e x2 = 3</p><p>3 6 9 0</p><p>6 6 4 3 9</p><p>2 3</p><p>6 36 108</p><p>6</p><p>6 12</p><p>6</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>− − =</p><p>=</p><p>− − ± − − ⋅ ⋅ −</p><p>⋅</p><p>=</p><p>± +</p><p>=</p><p>±</p><p>=</p><p>−</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>112</p><p>6</p><p>1 6 12</p><p>6</p><p>32= − =</p><p>+</p><p>= x</p><p>Então, os pontos –1 e 3 são pontos críticos.</p><p>Nesses pontos críticos, os valores de f são, respectivamente:</p><p>f(–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 3</p><p>f(–1) = –1 – 3 + 9 + 3</p><p>f(–1) = –4 + 12</p><p>f(–1) = 8</p><p>f(3) = (3)3 – 3(3)2 – 9(3) + 3</p><p>f(3) = 27 – 27 – 27 + 3</p><p>f(3) = –24</p><p>f(–1) = 8 e f(3) = –24</p><p>7.4.6.2 Máximo e mínimo</p><p>Para avaliar se são pontos de máximo ou de mínimo, é necessário calcular a segunda derivada</p><p>da função, que será igual a:</p><p>f ’’(x) = 6x – 6</p><p>No ponto x = –1, o valor da segunda derivada será igual a f ’’(x) = 6 . (–1) – 6 = –12, um valor</p><p>negativo; logo, o ponto na função para x = –1 é um ponto de máximo.</p><p>No ponto x = 3, o valor da segunda derivada será igual a f ’’(x) = 6 . (3) – 6 = 12, um valor</p><p>positivo; logo, o ponto na função para x = –1 é um ponto de máximo:</p><p>• se f ’’(x) < 0, f tem um valor de máximo relativo em x;</p><p>• se f ’’(x) > 0, f tem um valor de mínimo relativo em x.</p><p>7.4.6.3 Ponto de inflexão</p><p>Igualando a segunda derivada a zero, obtemos o ponto de inflexão. Então, f ’’(x) = 6x – 6 = 0; assim,</p><p>no ponto x = 1, temos o ponto de inflexão da função. Nesse ponto, a função f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3 assume</p><p>o valor –8.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos114</p><p>f(x) = 13 – 3(1)2 – 9(1) + 3 = 1 – 3 – 9 + 3 = –8</p><p>Observe o gráfico de f traçado abaixo:</p><p>Figura 5 – Ponto de inflexão</p><p>–4 –2 2 4 6</p><p>20</p><p>40</p><p>0</p><p>–20</p><p>–40</p><p>–60</p><p>x</p><p>y</p><p>60</p><p>–6</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Atividades</p><p>Sabendo-se que y = f(x), encontre as derivadas da função por meio da definição:</p><p>1. f(x) = x2</p><p>2. f(x) = (x + 1)3</p><p>3. f(x) = c, sendo c uma constante real.</p><p>4. f( )x</p><p>x</p><p>=</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>5. f( ) .x x= 23 Lembre-se de que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)</p><p>Encontre f ’(x0) para o valor x0 conhecido, pela definição:</p><p>6. f(x) = x2 –1; x0 = 3</p><p>7. f( ) ;x</p><p>x</p><p>=</p><p>2</p><p>3 x0 = 5</p><p>8. f(x) = 12x2 + x – 10; x0 = –2</p><p>Verifique se a função f é diferenciável no valor x0 dado:</p><p>9. f(x) = (x – 3)2; x0 = 3</p><p>10. f</p><p>se</p><p>se</p><p>( )</p><p>,</p><p>( )</p><p>;x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x=</p><p>− <</p><p>− ≥</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2 0</p><p>Derivada de função 115</p><p>11. Encontre as derivadas das seguintes funções potência:</p><p>a) y = 7</p><p>b) y = x–2</p><p>c) y x= 5</p><p>d) y</p><p>x</p><p>=</p><p>1</p><p>12. Sendo dadas as constantes a, b e c, calcule as derivadas das funções:</p><p>a) f( )x ax b</p><p>x</p><p>c= + +</p><p>b) f( )x ax b x c</p><p>x</p><p>= + +2</p><p>13. Calcule f ’(p), sendo dados:</p><p>a) f(x) = x3 + x; p = 3 b) f( ) ;x x p= =3 2</p><p>14. Calcule f ’(x):</p><p>a) f(x) = 2x</p><p>b) f( )x</p><p>x</p><p>=</p><p>10</p><p>3</p><p>15. Qual é a derivada de f(x) = px?</p><p>16. Seja f(x) = sen x, calcule f ’ .π</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>17. Seja f</p><p>se</p><p>se</p><p>( )</p><p>;</p><p>;</p><p>,x</p><p>x x</p><p>x</p><p>=</p><p>+ <</p><p>≥</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 0</p><p>2 0</p><p>pergunta-se:</p><p>a) f é diferenciável em zero?</p><p>b) Se possível, calcule f ’(0).</p><p>18. Seja f</p><p>se</p><p>se</p><p>( )</p><p>;</p><p>;</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>=</p><p>≤</p><p>></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>, pergunta-se:</p><p>a) f é contínua em 1?</p><p>b) f é diferenciável em 1?</p><p>19. Seja f(x) = 5x3 + x2, calcule f ’(x) e f ’(1).</p><p>20. Se f(x) = –cos x e g(x) = sen x, prove que (f ’(x) + g’(x))2 = 1 – 2f(x) g(x).</p><p>Diferencie as funções dos exercícios 21 e 22 usando a regra da adição:</p><p>21. f(x) = x3 – 2x2 + 5 e g(x) = x2 – 10</p><p>22. f(x) = tg x e g(x) = sec x</p><p>23. Sejam dados f(x) = 5x2 + 4x – 3 e g(x) = 3x2 – 10x, diferencie f(x) – g(x).</p><p>Diferencie as funções dos exercícios 24 a 27 usando a regra do produto:</p><p>24. f(x) = x ln x</p><p>Métodos quantitativos matemáticos116</p><p>25. f(x) = 7x3 + 3 e g(x) = 2x – 1</p><p>26. (5 – 7x)(1 – x)(1 + x)</p><p>27. x–3(x2 + 4)</p><p>Diferencie</p><p>as funções dos exercícios 28 e 29 usando a regra da divisão:</p><p>28. ( )x</p><p>x</p><p>3 3+</p><p>29. ( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>−</p><p>5</p><p>7</p><p>30. Se f(x) = a x + b, ache a derivada de f(x)/x.</p><p>Determine a derivada das funções nos exercícios a seguir:</p><p>31. f(x) = cos 2x + 2sen x</p><p>32. f( ) cotx x g x</p><p>= −tg</p><p>2 2</p><p>33. f( )x x= +1 3</p><p>34. f( )x</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>sen</p><p>sen</p><p>2</p><p>2</p><p>35. f(x) = cosec x3</p><p>36. f(x) = sec2x + cosec2x</p><p>37. f(x) = ln e3x2</p><p>38. f(x) = log2x</p><p>3</p><p>39. f(x) = arctg 2x</p><p>40. f( )x x</p><p>x</p><p>=</p><p>−16 2</p><p>Nos exercícios 41 e 42, encontre a diferencial:</p><p>41. f(x) = –x2 + 5x – 4</p><p>42. f( )x</p><p>x</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>Nos exercícios a seguir, dada a função f(x) = 4x2 – 5x – 4, encontre ∆y, dy e ∆y – dy. Faça uma</p><p>análise crítica quanto à diferença entre a variação e a diferencial em relação à variável y, para:</p><p>43. x = 2 e ∆x = 0,1</p><p>44. x = 2 e ∆x = 0,01</p><p>45. x = 2 e ∆x = 0,001</p><p>Derivada de função 117</p><p>46. Qualquer valor de x e de ∆x.</p><p>Calcule as derivadas solicitadas:</p><p>47. Seja f(x) = sen x, calcule f(4)(x).</p><p>48. Seja f(x) = ex, calcule f(n)(x).</p><p>49. Seja f(x) = ln x, calcule f(3)(x).</p><p>50. Seja f(x) = (3x + 1)2, calcule f(2)(x).</p><p>51. Determine a derivada de f( )x x= +2 1, para x = 0.</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 4</p><p>52. Determine a derivada da função f( ) .x x</p><p>x</p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>a) 1</p><p>b)</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>c) −</p><p>−</p><p>2</p><p>1 2( )x</p><p>d)</p><p>2</p><p>1 2</p><p>x</p><p>x( )−</p><p>53. Determine os máximos e mínimos relativos da função f(x) = x3 – 3x2 + 100.</p><p>a) 0 e 2</p><p>b) 100 e 96</p><p>c) –100 e 96</p><p>d) ∞ e –∞</p><p>Referências</p><p>ASIMOV, I. No mundo dos números. Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves, 1983.</p><p>BARKER, S. F. Filosofia da matemática: curso moderno de filosofia. Rio de Janeiro: Zahar, 1969.</p><p>BERGAMINI, D. As matemáticas. Rio de Janeiro: J. Olympio, 1969. (Biblioteca Científica de LIFE).</p><p>BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.</p><p>DANTZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar, 1970. (Biblioteca de Cultura Científica).</p><p>DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985.</p><p>FIGUEIREDO, D. G. Números irracionais e transcedentes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.</p><p>FREUDENTHAL, H. Perspectivas da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1975.</p><p>HOGBEN, L. Maravilhas da matemática: influência e função da matemática nos conhecimentos humanos.</p><p>Rio de Janeiro: Globo, 1956.</p><p>IEZZI, G. et al. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 1977. v. 10.</p><p>IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. 3. ed. São Paulo: Globo, 1989.</p><p>KARLSON. P. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. (Coleção Tapete Mágico).</p><p>RUSSEL, B. Introdução à filosofia de matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1966.</p><p>SILVA, C. P. A matemática no Brasil: história de seu desenvolvimento. São Paulo: Edgard Blücher, 2003.</p><p>STRUIK, D. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1987.</p><p>TAHAN, M. O homem que calculava: aventuras de um singular calculista persa. 25. ed. Rio de Janeiro:</p><p>Conquista, 1975.</p><p>______. As maravilhas da matemática. 4. ed. Rio de Janeiro: Bloch, 1976.</p><p>Gabarito</p><p>1 Sistemas numéricos</p><p>1. Números naturais.</p><p>2. N</p><p>3. Infinito.</p><p>4. Infinito.</p><p>5. Não. Contraexemplo: número 7.</p><p>6. Não, pois sempre é possível encontrar um número maior, bastando somar mais uma unidade.</p><p>7. 0</p><p>8. 1; 9</p><p>9. Não existe.</p><p>10. Sim.</p><p>11. Conjunto dos números naturais.</p><p>12. 0</p><p>13. 12, 0, –1, 1, 49 e –4.</p><p>14. Sim, pois os divisores dos números primos são Dp = {1, –1, p, –p}.</p><p>15. Sim.</p><p>16. 14</p><p>17. 1</p><p>18. Para responder a essa questão, é importante que saibamos quais são as regras de divisibilidade:</p><p>• todos os números inteiros são divisíveis por 1;</p><p>• um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par;</p><p>• um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3;</p><p>• são divisíveis por 4 todos os números cujo os dois últimos algarismos formam um núme-</p><p>ro divisível por 4;</p><p>• um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5;</p><p>• são múltiplos de 6 todos os números pares divisíveis por 3;</p><p>Métodos quantitativos matemáticos122</p><p>• um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o</p><p>número formado pelos demais algarismos forma um número divisível por 7;</p><p>• são divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois</p><p>últimos formem um múltiplo de 8; também são divisíveis por 8 os números com ante-</p><p>penúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja</p><p>divisível por 8;</p><p>• um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for</p><p>divisível por 9;</p><p>• um número é divisível por 10 quando termina em zero.</p><p>Conhecendo as regras de divisibilidade, é possível encontrar um número de três algarismos</p><p>que seja divisível ao mesmo tempo por todos os números pedidos.</p><p>Resposta: 180</p><p>19. Para responder a essa questão, você deve saber quais são os números primos. Utilizando os</p><p>números primos, temos as seguintes divisões:</p><p>• número primo 2: 210</p><p>2</p><p>= 105</p><p>• número primo 3: 210</p><p>3</p><p>= 70</p><p>• número primo 5: 210</p><p>5</p><p>= 42</p><p>• número primo 7: 210</p><p>7</p><p>= 30</p><p>• número primo 11: 210</p><p>11</p><p>= 19,09</p><p>Após realizar as divisões, percebemos que o menor número primo que não divide o número</p><p>210 é 11, pois o resultado não é exato.</p><p>20. Não.</p><p>21. 1</p><p>14</p><p>2</p><p>9</p><p>4</p><p>22</p><p>; ; .</p><p>22. Não.</p><p>23. 2,5125</p><p>24. 0,9825</p><p>25. 1,53</p><p>26. 24</p><p>99</p><p>ou 8</p><p>33</p><p>Gabarito 123</p><p>27. 2 121</p><p>999</p><p>ou 2 41</p><p>333</p><p>28. 525</p><p>9 000</p><p>ou 7</p><p>120</p><p>29. I = R – Q</p><p>30. R = Q ∪ I</p><p>31. 1</p><p>4</p><p>11</p><p>14</p><p>15</p><p>16</p><p>1; ; ; ; ;e ≠</p><p>32. − − − − −e e; ; ; ; ; ; ; ; ;2 3</p><p>2</p><p>1 1</p><p>4</p><p>0 3</p><p>4</p><p>1 6</p><p>2</p><p>.</p><p>33. p precisa ser positivo.</p><p>34. 2 3 5; e .</p><p>35. π + 5, 5e</p><p>36. 7</p><p>7</p><p>7 5e .</p><p>37. Sim.</p><p>38. Não.</p><p>39. Sim.</p><p>40. Não.</p><p>41. Sim.</p><p>42. Sim.</p><p>43. Sim.</p><p>44. Sim.</p><p>45. Sim.</p><p>46. B</p><p>Resolução:</p><p>No conjunto dos Naturais, define-se como número primo aquele com módulo maior que 1</p><p>e que possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.</p><p>Dessa definição, concluímos:</p><p>a) 44 não é primo, pois é divisível por 1, 2, 4, 11, 22 e 44.</p><p>b) 17 é primo, pois é divisível apenas por 1 e 17.</p><p>c) 0 não é primo, pois seu módulo é menor que 1.</p><p>d) 1 não é primo, pois seu módulo não é maior que 1.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos124</p><p>47. B</p><p>Resolução:</p><p>Tomemos: x = 0,4444...</p><p>Multiplicando ambos os membros por 10: 10x = 4,4444...</p><p>Subtraindo as duas equações: 10x – x = 4,4444... –0,4444... ⇒ 9x = 4</p><p>x = 4</p><p>9</p><p>.</p><p>2 Operações com números reais</p><p>1. 4</p><p>9</p><p>2</p><p>9</p><p>1 1</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>9</p><p>9</p><p>2</p><p>4 1</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>36</p><p>18</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>2 4</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>+ ⇒</p><p>⋅</p><p>−</p><p>+ ⇒ + ⇒ +</p><p>⋅ + ⇒</p><p>:</p><p>++ ⇒ =</p><p>1</p><p>3</p><p>9</p><p>3</p><p>3</p><p>2. 4</p><p>5</p><p>0 8ou ,</p><p>3. 38</p><p>4. 4</p><p>5</p><p>5. 10</p><p>6. 399</p><p>7. 1</p><p>8. 39</p><p>9. 2ab</p><p>10. 880</p><p>11. a b) )8</p><p>9</p><p>16</p><p>5</p><p>12. a b) )21</p><p>4</p><p>8</p><p>13. a b) )7</p><p>5</p><p>113</p><p>9</p><p>14. a b) )11</p><p>20</p><p>4</p><p>15</p><p>15. a b) )1</p><p>4</p><p>7</p><p>5</p><p>16. a b) )−</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>Gabarito 125</p><p>17. a b) )1</p><p>4</p><p>11</p><p>6</p><p>18. a b) )1 27</p><p>25</p><p>19. R$ 280.000,00</p><p>20. R$ 320.000,00; R$ 480.000,00; e R$ 600.000,00.</p><p>21.</p><p>4 2 3 2</p><p>2</p><p>8 6</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>⋅ − ⋅</p><p>⇒</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>22. a b c) ) )20 10 2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>23. − −</p><p>−</p><p>⇒</p><p>−</p><p>−</p><p>⇒</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>4 3</p><p>2 2</p><p>7</p><p>1 2</p><p>7</p><p>1</p><p>70( )</p><p>24. a b c) ) )10 100 5 2 823 3 34 4= =</p><p>25. a) 8 b) –1 c) 2</p><p>26. a) 2 b) 5 c) –2</p><p>27. − − + −</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ ⇒ + −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>( )2 1</p><p>16</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>2 1</p><p>16</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>2 4</p><p>3</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ ⇒</p><p>+ − ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> + ⇒ + − + ⇒</p><p>+</p><p>1</p><p>8</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1 4</p><p>1</p><p>1</p><p>4096</p><p>2 1</p><p>2</p><p>4 1</p><p>16</p><p>32 8</p><p>43</p><p>3</p><p>−− +</p><p>= −</p><p>64 1</p><p>16</p><p>23</p><p>16</p><p>28. 1</p><p>29. 2 2 2 2 2 2918</p><p>4</p><p>918</p><p>4 9</p><p>18</p><p>4 9</p><p>18</p><p>4 41</p><p>2</p><p>1</p><p>2( ) ⋅( ) ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒ ⇒ ⇒ ⇒</p><p>4 4</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2 22 2 2 2 4 4 16. . .</p><p>30. 4 5</p><p>31. (–4)2 –3(–4) + 1 ⇒ 16 + 12 + 1 ⇒ 29</p><p>32. –3</p><p>33.</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> − −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>100</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>100</p><p>1</p><p>1000</p><p>1</p><p>100</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>− −</p><p>⇒ − ⋅ ⇒ − = −</p><p>1</p><p>10</p><p>1 10</p><p>1000</p><p>1</p><p>10</p><p>11</p><p>1000</p><p>10</p><p>1</p><p>110</p><p>1000</p><p>11</p><p>100</p><p>34.</p><p>2 3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>4 9</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>16 9</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>25</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>25</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>50</p><p>16</p><p>25 2</p><p>16</p><p>2</p><p>2</p><p>+ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>⇒</p><p>+</p><p>⇒</p><p>+</p><p>⇒ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>55 2</p><p>4</p><p>Métodos quantitativos matemáticos126</p><p>35. a b c a b c a a b c b a b b c+ + + +</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ +</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ +</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 2 2</p><p>5 4 3</p><p>2</p><p>5 4 3</p><p>2</p><p>5 5 4 3</p><p>2</p><p>4 5 4 3</p><p>2</p><p>3+ + + +</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ +</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ +</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>5 12</p><p>2</p><p>4 12</p><p>2</p><p>3 6 12 10</p><p>2</p><p>12 8</p><p>2</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12 6</p><p>2</p><p>6 2</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>288</p><p>8</p><p>36</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ =</p><p>36. –2x + 7</p><p>37. 3 . (a2 + a + 1) + 2 . (a2 + 2a – 2) – (a2 + 3a – 3)</p><p>3a2 + 3a + 3 + 2a2 + 4a – 4 – a2 – 3a + 3 ⇒ 5a2 – a2 + 7a – 3a + 6 – 4</p><p>4a2 + 4a + 2</p><p>38. x . (x2 – xy + y2) + y . (x2 – xy + y2)</p><p>x3 – x2y + y3 + x2y – xy2 + y3</p><p>x3 + y3</p><p>39. a . (a + b – c) + b . (b + c – a) + c . (a – b + c)</p><p>a2 + ab – ac + b2 + bc – ab + ac – bc + c2</p><p>a2 + b2 + c2</p><p>40. 2 1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>12 2</p><p>1 1</p><p>2 3 1 2− −</p><p>− −</p><p>− − −</p><p>+ −( )</p><p>+ −( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ −( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>+</p><p>−( ))</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1 4</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>+</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>+</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>2 1</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>10</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>8</p><p>10</p><p>4</p><p>⋅ −( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− ⋅</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ 8</p><p>3</p><p>80</p><p>12</p><p>Dividindo-se 80 e 12 por 4, temos 20</p><p>3</p><p>.</p><p>Gabarito 127</p><p>41. a) 2(4x + 3y + z) b) (x + 3)(x – 2)</p><p>42. a) (2x + 3)(4x + 1) b) (x + 3)(x – 3)</p><p>43. a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) b) (x – 1)(x2 + x + 1)</p><p>44. a) (x2 + 7x + 10) b) 9 – a2</p><p>45. a) x2 – 4 b) x3m + 6x2my3 + 12xmy6 + 8y9</p><p>46. a) x6 + 6x3 + 9 b) 1</p><p>8</p><p>3</p><p>2</p><p>6 86 3 5 4 3 3 6x y x x y x y− − + −</p><p>47. –15a2 – 15a – 35</p><p>48. x = a + b</p><p>49. 2</p><p>3</p><p>4 4</p><p>3 9</p><p>2</p><p>2</p><p>4 2</p><p>2</p><p>a b a a b b</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = + +</p><p>50. 2ac</p><p>51. 2 3 3 2 3 3 4 9 6 3 6 3 9 4 3 9 12 9 3−( ) ⋅ +( )⇒ ( )+ ( ) − ( ) − ( )⇒ ⋅( ) − ⇒ − =</p><p>52. 1</p><p>8</p><p>53. 9 6 6 4 3 2 3 2</p><p>9 6 6 4 9 6 6 4</p><p>( ) − ( ) + ( ) − ( ) + −( )⋅ −( )</p><p>( ) − ( ) + ( ) − ( ) + ( ) − ( ) − ( ) + ( )</p><p>33 3 2 6</p><p>6 2 6</p><p>+ −</p><p>−</p><p>54.</p><p>2 1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>+( )</p><p>−</p><p>55. 2 . (x2 + y2)</p><p>56. zero</p><p>57. a</p><p>b</p><p>58. y x y</p><p>x</p><p>2 2</p><p>2</p><p>+</p><p>59.</p><p>x y x y x y</p><p>x y x y x y</p><p>x xy xy y x y</p><p>x xy</p><p>−( )⋅ −( ) − −</p><p>+( )⋅ +( ) − −</p><p>⇒</p><p>− − + − −</p><p>+ +</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 xxy y x y</p><p>xy xy</p><p>xy xy</p><p>xy</p><p>xy+ − −</p><p>⇒</p><p>− −</p><p>+</p><p>⇒</p><p>−</p><p>= −2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>60. a ab b ab b</p><p>a ab b a b</p><p>a</p><p>ab</p><p>a a</p><p>ab</p><p>a</p><p>b</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>22 2</p><p>2 2 2 2</p><p>+ + − −</p><p>+ + − −</p><p>⇒ ⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>61. –1</p><p>Métodos quantitativos matemáticos128</p><p>62. {0, 1}</p><p>63. 31 955 ,</p><p>64. R – {0, 1}</p><p>65. {2}</p><p>66. {–1}</p><p>67. {6}</p><p>68. 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>, −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>69. (k – 3)3 + (2k – 5) . 4 + 4k = 0 ⇒ 3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0</p><p>15k – 29 = 0</p><p>15k = 29</p><p>O valor de k quando x = 3 é: k =</p><p>29</p><p>15</p><p>.</p><p>70. A</p><p>Resolução:</p><p>O mínimo múltiplo comum dos denominadores é dado por:</p><p>m.m.c (2, 3, 5, 8) = 120</p><p>Assim: 1</p><p>2</p><p>+ 2</p><p>3</p><p>+ 3</p><p>5</p><p>+ 5</p><p>8</p><p>= 1</p><p>2</p><p>. 120</p><p>120</p><p>+ 2</p><p>3</p><p>. 120</p><p>120</p><p>+ 3</p><p>5</p><p>. 120</p><p>120</p><p>+ 5</p><p>8</p><p>. 120</p><p>120</p><p>= 60</p><p>120</p><p>+ 2 . 40</p><p>120</p><p>+ 3 . 24</p><p>120</p><p>+ 5 . 15</p><p>120</p><p>= 60 + 80 + 72 + 75</p><p>120</p><p>= 287</p><p>120</p><p>71. D</p><p>Resolução:</p><p>Temos: 4</p><p>3 10</p><p>3</p><p>4 1</p><p>3 10</p><p>4</p><p>4 1</p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>1</p><p>4x x</p><p>x x x x</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>⇔</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>≠ − ≠</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e</p><p>Assim: 3 . (3x + 10) = 4 . (4x –1) ⇒ 9x + 30 = 16x – 4 ⇒ 16x – 9x = 30 + 4 ⇒ 7x = 34.</p><p>Daí: x = 34</p><p>7</p><p>.</p><p>72. D</p><p>Resolução:</p><p>Substituindo:</p><p>( )</p><p>,</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>4 1</p><p>2</p><p>4 4</p><p>4 2 1</p><p>2</p><p>8</p><p>8 1</p><p>16</p><p>9</p><p>16</p><p>3</p><p>4</p><p>0 75</p><p>2 +</p><p>+ ⋅</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>⋅ +</p><p>=</p><p>+</p><p>= = =</p><p>Gabarito 129</p><p>3 Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas</p><p>1. Definimos o conjunto A como o conjunto dos países da América do Sul e R como o conjunto</p><p>das regiões brasileiras. Definimos os seguintes elementos: b representa o Brasil, v representa</p><p>a Venezuela, a representa Angola e n representa o Nordeste; então, concluímos que:</p><p>a) b ∈ A</p><p>b) a ∉ A</p><p>c) v ∉ R</p><p>d) n ∈ R</p><p>2. Sendo A o conjunto dos países da América do Sul e R o conjunto das regiões brasileiras, então:</p><p>a) Equador ∈ A (Verdadeiro)</p><p>b) Sudeste ∉ R (Falso)</p><p>c) França ∈ R (Falso)</p><p>d) Centro-Oeste ∈ R (Verdadeiro)</p><p>3. I = {x|x é um número ímpar}</p><p>I = {3, 5, 7, ...}</p><p>4. M = {x|x é um número inteiro maior ou igual a 3}</p><p>5. A = B</p><p>6. Verdadeira, pois A está contido em B, mas não está contido em C (os valores 5 e 6 do con-</p><p>junto A estão presentes no conjunto B, mas não estão presentes no conjunto C).</p><p>7. Unitário, vazio, unitário.</p><p>8. Falsa. O conjunto B “está contido” no conjunto A.</p><p>9. A = {C, O, N, J, U, T} ⇒ 26 ⇒ 64 subconjuntos.</p><p>10. Falsa.</p><p>11. Falso, pois a ordem dos fatores não altera o produto. A x B = B x A.</p><p>12. 36 pares ordenados.</p><p>13. Numericamente, sim.</p><p>14. 236</p><p>15. {(b1, p1)}, {(b1, p2)}, {(b1, p3)}, {(b1, p4)}, {(b1, p5)}, {(b1, p6)},</p><p>{(b1, p1)}, {(b2, p1)}, {(b3, p1)}, {(b4, p1)}, {(b5, p1)}, {(b6, p1)}</p><p>16. Todas as funções consistirão de dois pares ordenados. Não haverá distintos pares ordena-</p><p>dos de uma função que têm a mesma primeira ordenada. Cada ai aparecerá como primeiro</p><p>elemento uma vez, e cada ai+1 aparecerá como primeiro elemento uma vez em cada função.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos130</p><p>17. Correto. As funções são casos especiais de relações.</p><p>18. O domínio da relação é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados</p><p>da relação.</p><p>19. Sim.</p><p>20. O produto cartesiano formado por dois conjuntos unitários.</p><p>21. Ic = {x|x ∈ [0,60)}</p><p>22.</p><p>U</p><p>I</p><p>Ic</p><p>23. (A ∩ B) = {5, 7}</p><p>24.</p><p>A B</p><p>9 5</p><p>7</p><p>6</p><p>8</p><p>U</p><p>25. (O ∩ V) = O</p><p>26.</p><p>U</p><p>V</p><p>O</p><p>27. Verdadeiro.</p><p>28. A ∪ B = {5, 6, 7, 8, 9}</p><p>29. O ∪ V = V</p><p>30. 5 partições.</p><p>{1,2,3}, ∅</p><p>{1}, {2,3}</p><p>Gabarito 131</p><p>{1,2}, {3}</p><p>{1,3}, {2}</p><p>{1}, {2}, {3}</p><p>31. n(A) = 5 e n(B) = 4</p><p>32. n(A ∩ B) = 0</p><p>33. n(A ∪ B) = 9</p><p>34. n(A ∩ B) = 2</p><p>35. n(A ∪ B) = 6</p><p>36.</p><p>U = 1 000</p><p>A C</p><p>40 50</p><p>100</p><p>30</p><p>145335</p><p>300</p><p>M = 420</p><p>H = 580</p><p>37. D</p><p>Resolução:</p><p>Temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)</p><p>Assim, n(A ∪ B) = 15 + 25 – 5 = 35</p><p>38. D</p><p>Resolução:</p><p>O conjunto A é dado por: A = {M , A , T , E , I , C}.</p><p>Sabemos que, para um conjunto B de p elementos, o número de subconjuntos n(SB ) é dado</p><p>por: n (SB ) = 2p.</p><p>Como A possui 6 elementos, n(SA ) = 26 = 64.</p><p>4 Intervalos</p><p>1. Verdadeiro.</p><p>2. Falso.</p><p>3. Falso.</p><p>4. Falso.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos132</p><p>5. Falso.</p><p>6. Ac = (–∞,2) ∪ (5,∞)</p><p>7. Bc = (–∞,3] ∪ (6,∞)</p><p>8. A ∪ B = [2,6]</p><p>9. A ∩ B = (3,5]</p><p>10. A ∪ B = (–∞,2) ∪ [6,∞)</p><p>11. (A ∩ B)c = (–∞,3] ∪ (5,∞)</p><p>12. x ≤ 14/3</p><p>13. x < –1/7</p><p>14. x < 15/2</p><p>15. x ≤ 1</p><p>16. A</p><p>Resolução:</p><p>Temos que: 2x – 1 > 3 ⇔ 2x > 4 ⇔ x > 2</p><p>17. C</p><p>Resolução:</p><p>Temos que: x2 – 4</p><p>–x + 1</p><p>= (x – 2)(x + 2)</p><p>–x + 1</p><p>,</p><p>Estudando os sinais de cada uma das partes:</p><p>(x + 2)</p><p>– 2</p><p>Ou seja:</p><p>(x + 2) < 0 para x < –2</p><p>(x + 2) > 0 para x > –2</p><p>(x + 2) = 0 para x = –2</p><p>(x – 2)</p><p>2</p><p>Ou seja:</p><p>(x – 2) < 0 para x < 2</p><p>(x – 2) > 0 para x > 2</p><p>(x – 2) = 0 para x = 2</p><p>(–x + 1)</p><p>1</p><p>Ou seja: (–x + 1) < 0 para x > 1</p><p>(–x + 1) > 0 para x < 1</p><p>Gabarito 133</p><p>Note que f(x) não está definida em 1, sendo aberta nesse ponto.</p><p>Efetuando o produto intervalo a intervalo, resulta:</p><p>ƒ(x)</p><p>–2 1 2</p><p>Assim: f(x) < 0 para –2 ≤ x < 1 e x ≥ 2</p><p>f(x) > 0 para x ≤ – 2 e 1 < x ≤ 2</p><p>5 Estudo de funções</p><p>1. Não.</p><p>2. Não.</p><p>3. Sim.</p><p>4. Sim.</p><p>5. Domínio = {–3, –2, –1, 0}. Contradomínio = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Imagem = {0, 1, 4, 9}.</p><p>6.</p><p>a) Sim. b) Não.</p><p>7.</p><p>a) Sim. b) Sim.</p><p>8.</p><p>a) Sim.</p><p>b) Não.</p><p>c) Sim.</p><p>d) Não.</p><p>9. Somente b e d representam uma função de x em y.</p><p>10. D(f) = (–∞, 3]. Porque qualquer número maior do que 3 faria com que a equação resultasse</p><p>na raiz de um número negativo. Im (f) = (–∞, 0].</p><p>11. y = 3x – 10</p><p>–10 –5 5 10</p><p>10</p><p>5</p><p>0</p><p>–5</p><p>–10</p><p>–15</p><p>–20</p><p>–25</p><p>–30</p><p>y</p><p>x0</p><p>Métodos quantitativos matemáticos134</p><p>12. 1º: Usamos a fórmula do coeficiente angular e calculamos o valor de a:</p><p>a</p><p>y y</p><p>x x</p><p>a a a=</p><p>−</p><p>+</p><p>⇒ =</p><p>−</p><p>−</p><p>⇒ = ⇒ =</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>7 4</p><p>3 2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2º: Com o valor de a, calculamos o valor de b, escolhendo valores de y e x (que foram dados):</p><p>y = ax + b ⇒ 4 = 3 . 2 + b ⇒ 4 = 6 + b ⇒ b = 4 – 6 ⇒ b = –2</p><p>3º: Substituindo a e b na equação da reta, teremos: y = 3x – 2.</p><p>13. Sim. A função y = 3 – 2x2 é uma função quadrática.</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>–1</p><p>–2</p><p>–3</p><p>–4</p><p>–5</p><p>–6</p><p>–3</p><p>–2 –1 1 2 3</p><p>0</p><p>14. Falso.</p><p>15. Verdadeiro.</p><p>16. C</p><p>Resolução:</p><p>A equação de toda reta é dada por: y = ax + b.</p><p>Substituindo:</p><p>2 0</p><p>2 2</p><p>0 2</p><p>2 2</p><p>= ⋅ +</p><p>− = ⋅ +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇔</p><p>+ =</p><p>+ = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>Da primeira linha do sistema, conclui-se: b = 2.</p><p>Substituindo esse resultado na segunda linha: 2a + 2 = – 2 ⇒ 2a = – 4 ∴ a = –2.</p><p>Assim, a equação da reta pedida é: y = –2x + 2.</p><p>17. C</p><p>Resolução:</p><p>Fórmula de Bhaskara: x b</p><p>a</p><p>=</p><p>− ± ∆</p><p>2</p><p>, onde: Δ = b2 – 4ac.</p><p>Cálculo de Δ : Δ = 52 – 4 . 2 (–3) = 25 + 24 = 49</p><p>Assim: x = − ±</p><p>⋅</p><p>=</p><p>− ±</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5 49</p><p>2 2</p><p>5 7</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Gabarito 135</p><p>18. C</p><p>Resolução:</p><p>Tomemos f onde( ) ( )</p><p>( )</p><p>,</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.x g x</p><p>h x</p><p>g x x</p><p>h x x</p><p>=</p><p>= +</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>3</p><p>O domínio de f(x) é o intervalo em que as funções g(x) e h(x) estão definidas simultanea-</p><p>mente (i.e., a interseção dos domínios de g(x) e h(x), ou, ainda, D(f) = D(g) ∩ D(h)).</p><p>O domínio de g(x) é tal que x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ –1.</p><p>O domínio de h(x) é tal que x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ –3.</p><p>O domínio de f(x) será então: D(f) = { x ∈ R | x ≥ –1 e x ≠ –3 }.</p><p>6 Limites</p><p>1. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>+</p><p>3</p><p>3 1</p><p>(3 . 3 + 1) ⇒ (9 + 1) ⇒ 10</p><p>2. 0</p><p>3. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>−</p><p>2</p><p>2 1</p><p>(22 – 1) ⇒ (4 – 1) ⇒ 3</p><p>4. lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>−</p><p>2</p><p>32</p><p>(–2 . 23) ⇒ (–2 . 8) ⇒ –16</p><p>5. 1</p><p>6.</p><p>x f(x)</p><p>0 2</p><p>1 5</p><p>2 8</p><p>3 7</p><p>4 6</p><p>9</p><p>8</p><p>7</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5</p><p>x</p><p>y</p><p>0</p><p>lim</p><p>x→ −</p><p>=</p><p>2</p><p>8 lim</p><p>x→ +</p><p>=</p><p>2</p><p>8</p><p>Métodos quantitativos matemáticos136</p><p>7. lim</p><p>x→ −</p><p>=</p><p>5</p><p>4 lim</p><p>x→ +</p><p>=</p><p>5</p><p>6 não existe</p><p>x y x y</p><p>3 2 5 6</p><p>4 3 6 7</p><p>5 4 7 8</p><p>9</p><p>8</p><p>7</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>y</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>x</p><p>0</p><p>8. lim lim</p><p>x x→ →− +</p><p>= =</p><p>5 000 5 000</p><p>17500 36500 não existe</p><p>9. lim</p><p>x→3</p><p>1</p><p>(1) ⇒ 1</p><p>10. lim</p><p>x→0</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>11. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→−4</p><p>2</p><p>(–42) ⇒ 16</p><p>12. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→−1</p><p>2</p><p>2</p><p>( )−</p><p>⇒</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>13. 15</p><p>14. lim ( )( )</p><p>x</p><p>x x</p><p>→</p><p>− +</p><p>2</p><p>22 3 2 5</p><p>(2 . 22 – 3) (2 . 2 + 5) ⇒ (2 . 4 – 3) (2 . 2 + 5) ⇒ (8 – 3) (4 + 5)</p><p>(5) (9) ⇒ 45</p><p>15. lim</p><p>( )x</p><p>x</p><p>x→ −2</p><p>2</p><p>3 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>4</p><p>8 1</p><p>4</p><p>7</p><p>2</p><p>3( ) ( )−</p><p>⇒</p><p>−</p><p>⇒</p><p>Gabarito 137</p><p>16. lim ( )</p><p>( )x</p><p>x x</p><p>x→−</p><p>+ −</p><p>−1</p><p>2 3 4</p><p>2 3</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>− + − −</p><p>− −</p><p>⇒</p><p>− −</p><p>− −</p><p>⇒</p><p>−</p><p>−</p><p>⇒</p><p>1 3 1 4</p><p>2 1 3</p><p>1 3 4</p><p>2 3</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>2 x</p><p>x</p><p>17. lim</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>x</p><p>x→</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>⇒</p><p>+</p><p>−</p><p>⇒ ⇒</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>2 5</p><p>2 1</p><p>4 5</p><p>2 1</p><p>9</p><p>1</p><p>3</p><p>18. lim</p><p>( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>→ +</p><p>+</p><p>⇒ ⇒</p><p>1 3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>19. 17</p><p>20. ∞</p><p>21. ∞</p><p>22. –∞</p><p>23. lim</p><p>x</p><p>x</p><p>x→∞ −</p><p>∞</p><p>∞</p><p>⇒</p><p>1</p><p>indeterminado</p><p>24. lim ( )</p><p>( )</p><p>lim ( )( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>→∞</p><p>→∞</p><p>− +</p><p>−</p><p>− −</p><p>−</p><p>⇒ − ⇒∞</p><p>2 5 6</p><p>3</p><p>3 2</p><p>3</p><p>2</p><p>25. lim</p><p>x x→</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>∅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒∞</p><p>0</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>26. lim ( )</p><p>( )</p><p>lim ( )( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>→∞</p><p>→∞</p><p>−</p><p>−</p><p>− +</p><p>−</p><p>⇒ + ⇒∞</p><p>2 1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>27. Para que uma função seja contínua, as seguintes condições devem ser satisfeitas:</p><p>• f(a) é definida, isto é, o domínio de f inclui x = a;</p><p>• lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→∞</p><p>f existe lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→−</p><p>= − + = −</p><p>10</p><p>10 3 7f lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→−</p><p>= + =</p><p>10</p><p>10 3 13f ;</p><p>Métodos quantitativos matemáticos138</p><p>• lim ( ) ( )</p><p>x a</p><p>x a</p><p>→</p><p>=f f (quando x tende a a pela esquerda e pela direita).</p><p>Resposta: contínua.</p><p>28. Não contínua, para x x</p><p>x</p><p>= → =</p><p>→</p><p>4 4</p><p>04</p><p>lim ( )f .</p><p>29. Contínua.</p><p>30. Não contínua.</p><p>31. C</p><p>Resolução:</p><p>Como: x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)</p><p>Temos:</p><p>lim lim ( )( ) lim ( )</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>→ → →</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>− +</p><p>−</p><p>= +</p><p>3</p><p>2</p><p>3 3</p><p>9</p><p>3</p><p>3 3</p><p>3</p><p>3</p><p>Assim,</p><p>lim lim lim</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>→ → →</p><p>−</p><p>−</p><p>= + = + =</p><p>3</p><p>2</p><p>3 3</p><p>9</p><p>3</p><p>3 3 3 6</p><p>32. A</p><p>Resolução:</p><p>Como:</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx3 8</p><p>1</p><p>3 8</p><p>8 0</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>→∞</p><p>e lim</p><p>Temos:</p><p>lim lim</p><p>lim</p><p>lim lim</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>→∞ →∞</p><p>→∞</p><p>→∞ →∞</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−3 8</p><p>1</p><p>3 8</p><p>1</p><p>3 8</p><p>Assim,</p><p>lim</p><p>x</p><p>x</p><p>x→∞ −</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>3 8</p><p>1</p><p>3 0</p><p>1</p><p>33</p><p>33. D</p><p>Resolução:</p><p>Como:</p><p>lim</p><p>x</p><p>sen x</p><p>x→</p><p>=</p><p>0</p><p>1</p><p>Temos:</p><p>lim</p><p>( )</p><p>( )</p><p>lim</p><p>( )</p><p>( )x x</p><p>sen x</p><p>sen x</p><p>sen x</p><p>sen x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x→ →</p><p>= ⋅ ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0 0</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>4 </p><p>= ⋅ ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>→</p><p>sen x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen x</p><p>sen x</p><p>x</p><p>sen x</p><p>x</p><p>x</p><p>( )</p><p>( )</p><p>lim</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>0</p><p>⋅⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>4</p><p>Gabarito 139</p><p>Assim,</p><p>lim</p><p>( )</p><p>( )</p><p>lim</p><p>( )</p><p>lim</p><p>( )</p><p>lim</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen x</p><p>sen x</p><p>sen x</p><p>x</p><p>sen x</p><p>x</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>= ⋅</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>22</p><p>4</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>= ⋅ =</p><p>7 Derivada de função</p><p>1. f ’(x) = 2x</p><p>2. f ’(x) = 3(x + 1)2</p><p>3. f ’(x) = 0</p><p>4. f’( )</p><p>( )</p><p>,x</p><p>x</p><p>x= −</p><p>−</p><p>≠</p><p>1</p><p>1</p><p>12</p><p>5. f’( ) ,x</p><p>x</p><p>x= ≠</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>6. f(x) = x2 – 1; x0 = 3 ⇒ f’(x) = 2x ⇒ f’(3) = 2 . 3 ⇒ f’(3) = 6</p><p>7. f f f( ) ; ( ) ’( )x</p><p>x</p><p>x x x x x= = ⇒ = ⇒ = − ⋅− −2 5 2 3 23 0</p><p>3 4</p><p>f ’(x) = –6x–4 ⇒ f’(x) = −6</p><p>4x</p><p>⇒ f’(5) = −6</p><p>54 ⇒ f’(5) = −</p><p>6</p><p>625</p><p>8. f’(x) = 2 . 12x + 1 ⇒ f’(x) = 24x + 1</p><p>f’(–2) = 24 . (–2) + 1 ⇒ f ’(–2) = –48 + 1 ⇒ f ’(–2) = – 47</p><p>9. f(x) = (x – 3) . (x – 3) ⇒ f(x) = x2 – 6x + 9 ⇒ f ’(x) = 2x – 6</p><p>f’(3) = 2 . 3 – 6 ⇒ f’(3) = 6 – 6 ⇒ f’(3) = 0</p><p>10. f não é diferenciável no ponto x0 = 1.</p><p>11.</p><p>a) f’(x) = 0</p><p>b) f’(x) = − = − ≠−2 2 03</p><p>3x</p><p>x</p><p>x,</p><p>c) f’(x) = 1</p><p>5</p><p>0</p><p>4</p><p>5x x</p><p>−</p><p>≠,</p><p>d) f’(x) = − ≠</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>3x</p><p>x,</p><p>12.</p><p>a) f’(x) = a b</p><p>x</p><p>x− ≠2 0, b) f’(x) = 2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2ax bx cx x+ − ≠</p><p>− −</p><p>,</p><p>13.</p><p>a) f’(3) = 28 b) f’(2) =</p><p>1</p><p>3 43</p><p>Métodos quantitativos matemáticos140</p><p>14.</p><p>a) f’(x) = 2x ln2</p><p>b) f’(x) = −</p><p>30</p><p>4x</p><p>15. f’(x) = πx lnπ</p><p>16. f’(x) = cos π</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>17.</p><p>a) Para que a função seja diferenciável no ponto x = 0, é necessário que as derivadas laterais</p><p>existam e sejam iguais:</p><p>f+(x) = 2 ⇒ f ’+(x) = 0 ⇒ f ’+(0) = 0</p><p>f–(x) = x2 + 2 ⇒ f ’–(x) = 2x ⇒ f ’–(0) = 2 . 0 = 0</p><p>f ’+(0) = 0 = f ’+ (0) = 0</p><p>Portanto, f é diferenciável em 1.</p><p>b) f ’(x) = 0 ⇒ f ’(0) = 0</p><p>18.</p><p>a) Sim, pois uma função é contínua quando: lim ( ) ( )</p><p>x a</p><p>x a</p><p>→</p><p>=f f</p><p>lim</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>= =</p><p>1</p><p>2 21 1</p><p>f(x) = x2, pois x = 1 ⇒ f(1) = 12 = 1</p><p>lim ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>→</p><p>=</p><p>1</p><p>21 1f</p><p>b) Para que a função seja diferenciável no ponto x = 1, é necessário que as derivadas laterais</p><p>existam e sejam iguais:</p><p>f+(x) = 1 ⇒ f ’+(x) = 0 ⇒ f ’+(1) = 0</p><p>f–(x) = x2 ⇒ f–’(x) = 2x ⇒ f ’+(1) = 2 . 1 = 2</p><p>f ’+(1) = 0 ≠ f ’+(1) = 2</p><p>Portanto, f não é diferenciável em 1.</p><p>19. f ’(x) = 3 . 5x2 + 2x ⇒ f ’(x) = 15x2 + 2x</p><p>f ’(1) = 15 . (1)2 + 2 . (1) ⇒ f ’(1) = 15 + 2 = 17</p><p>20. f(x) = –cos(x) f ’(x) = + sen(x)</p><p>g(x) = sen(x) g’(x) = cos(x)</p><p>(f ’(x) + g’(x))2 = 1 – 2f(x) . g(x)</p><p>(sen(x) + cos(x))2 = sen2(x) + cos2(x) + 2sen(x)cos(x)</p><p>lembrando que: sen2(x) + cos2(x) = 1</p><p>(sen(x) + cos(x))2 = 1 + 2sen(x)cos(x)</p><p>*g(x) = sen(x) e – f(x) = cos(x)</p><p>1 – f(x)g(x)</p><p>Gabarito 141</p><p>21. f ’(x) = 3x2 – (2) . 2x ⇒ 3x2 – 4x</p><p>g’(x) = 2x</p><p>(f + g)‘(x) = 3x2 – 4x + 2x ⇒ (f + g)’(x) = 3x2 – 2x</p><p>22. f ’(x) = sec2 x</p><p>g’(x) = sec x . tg x</p><p>(f + g)‘(x) = sec2 x + sec x . tg x ⇒ (f+ g)’ (x) = sec x . (sec x + tg x)</p><p>23. f ’(x) = (2) . 5x + 4 ⇒ f ’(x) = 10x + 4</p><p>g’(x) = (2) . 3x – 10 ⇒ g’(x) = 6x – 10</p><p>(f – g)‘(x) = (10x +4) – (6x – 10) ⇒ (f – g)’(x) = 10x + 4 – 6x + 10</p><p>(f – g)’(x) = 4x + 14</p><p>24. f(x) = x ⇒ f ’(x) = 1</p><p>g(x) = ln x ⇒ g’(x) = 1</p><p>x</p><p>Regra do produto:</p><p>(f . g)’(x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)</p><p>(f . g)’ (x) = 1 . ln x + x . 1</p><p>x</p><p>⇒ (f . g)’ (x) = 1 . ln x + x</p><p>x</p><p>. 1</p><p>(f . g)’(x) = (ln x) + 1</p><p>25. f ’(x) = (3) . 7x2 ⇒ f ’(x) = 21x2</p><p>g’(x) = 2</p><p>Regra do produto:</p><p>(f . g)’(x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)</p><p>(f . g)’(x) = 21x2 . (2x – 1) + (7x3 + 3) . 2 ⇒ (f . g)’(x) = 42x3 – 21x2 + 14x3 + 6</p><p>(f . g)’(x) = 56x3 – 21x2 + 6</p><p>26. f(x) = 5 – 7x ⇒ f ’(x) = –7</p><p>g(x) = (1 – x) . (1 + x) ⇒ g(x) = 1 + x – x – x2 ⇒ g(x) = 1 + x – x – x2</p><p>g(x) = 1 – x2 ⇒ g’(x) = –2x</p><p>Regra do produto:</p><p>(f . g)’(x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)</p><p>(f . g)’(x) = –7 (1 – x2) + (5 – 7x) . (–2x) ⇒ (f . g)’(x) = –7 + 7x2 – 10x + 14x2</p><p>(f . g)’(x) = 21x2 – 10x – 7</p><p>27. f(x) = x–3 ⇒ f ’(x) = –3x–4</p><p>g(x) = x2 + 4 ⇒ g’(x) = 2x</p><p>Regra do produto:</p><p>(f . g)’(x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)</p><p>(f . g)’(x) = (–3x–4) . (x2 + 4) + (x–3) . (2x)</p><p>(f . g)’(x) = –3x–2 –12x–4 + 2x–2 ⇒ (f . g)’(x) = –x–2 – 12x–4</p><p>Métodos quantitativos matemáticos142</p><p>28. f(x) = x3 + 3 ⇒ f ’(x) = 3x2</p><p>g(x) = x ⇒ g’(x) = 1</p><p>Regra da divisão:</p><p>f f f</p><p>g</p><p>x</p><p>x g x x g x</p><p>g x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>−’</p><p>( )</p><p>’( ) . ( ) ’( ) . ’( )</p><p>( )2</p><p>f f</p><p>g</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x g</p><p>x x x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>− +</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>− =’</p><p>( )</p><p>. ( ) . ’</p><p>( )</p><p>3 3 1 3 32 3</p><p>2</p><p>3 3</p><p>2</p><p>f</p><p>g</p><p>x x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>+’</p><p>( ) 2 33</p><p>2</p><p>29. f(x) = x + 5 ⇒ f ’(x) = 1</p><p>g(x) = x – 7 ⇒ g’(x) = 1</p><p>Regra da divisão:</p><p>f f</p><p>g</p><p>x</p><p>x g x f x g x</p><p>g x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>−’</p><p>( )</p><p>’( ) . ( ) ( ) . ’( )</p><p>( )2</p><p>f</p><p>g</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>− − +</p><p>−</p><p>’</p><p>( )</p><p>. ( ) ( ) .</p><p>( )</p><p>1 7 5 1</p><p>7 2</p><p>f</p><p>g</p><p>x x x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>− − −</p><p>−</p><p>’</p><p>( )</p><p>( )</p><p>7 5</p><p>7 2</p><p>f</p><p>g</p><p>x x x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>− − −</p><p>−</p><p>’</p><p>( )</p><p>( )</p><p>7 5</p><p>7 2</p><p>f</p><p>g</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>−</p><p>−</p><p>’</p><p>( )</p><p>( )</p><p>12</p><p>7 2</p><p>30. f</p><p>g</p><p>x b</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = − ≠</p><p>’</p><p>( ) ,2 0</p><p>31. f ’(x) = 2(–sen 2x + cos x)</p><p>32. f ’( )x x ec x</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2 2 2</p><p>2 2sec cos</p><p>33. f ’( )</p><p>( )</p><p>,x x</p><p>x</p><p>x=</p><p>+</p><p>≠</p><p>3</p><p>2 1</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>34. f ’( )</p><p>( . . cos . .cos )</p><p>x</p><p>senx sen x x x sen x x</p><p>sen x</p><p>=</p><p>−2 2 2 2</p><p>2 2 , sen x ≠ 0</p><p>35. f’(x) = –3x2 cos ex3 cotg x3</p><p>36. f’(x) = 2(sec2 x tg x – cosec2 x cotg x)</p><p>Gabarito 143</p><p>37. f’(x) = 6x</p><p>38. f ’( ) log ,x</p><p>x</p><p>x= ≠</p><p>3 2 0</p><p>39. f ’( )x</p><p>x</p><p>=</p><p>+</p><p>2</p><p>1 4 2</p><p>40. f ’( )</p><p>( )</p><p>,x</p><p>x x</p><p>x=</p><p>− −</p><p><</p><p>16</p><p>16 16</p><p>4</p><p>2 2</p><p>41. dy = (–2x + 5)dx</p><p>42. dy</p><p>x x</p><p>dx= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>3 3</p><p>43.</p><p>• Δy = 1,14</p><p>• dy = 1,10</p><p>• Δy – dy = 0,04</p><p>44.</p><p>• Δy = 0,1104</p><p>• dy = 0,11</p><p>• Δy – dy = 0,0004</p><p>45.</p><p>• Δy = 0,011004</p><p>• dy = 0,011</p><p>• Δy – dy = 0,000004</p><p>46.</p><p>• Δy = (8x –5) Δx + 4Δx2</p><p>• dy = (8x – 5)dx ou dy = (8x – 5) Δx</p><p>• Δy – dy = 4Δx2</p><p>47. f (4)(x) = senx</p><p>48. f (n)(x) = ex</p><p>49. f ( )( )3</p><p>3</p><p>2x</p><p>x</p><p>= −</p><p>50. f (2)(x) = 18</p><p>Métodos quantitativos matemáticos144</p><p>51. C</p><p>Resolução:</p><p>Pela regra da cadeia: dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>du</p><p>du</p><p>dx</p><p>= ⋅</p><p>Tomando u = x +1, temos: dy</p><p>du</p><p>d</p><p>du</p><p>u d</p><p>du</p><p>u u u= = = =</p><p>−</p><p>( ) ( )</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>3</p><p>21</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>E como: du</p><p>dx</p><p>d</p><p>dx</p><p>x= + =( )2 1 2</p><p>Substituindo: dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>du</p><p>du</p><p>dx</p><p>u u= ⋅ = ⋅ =</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>Assim, f’( ) ( )x dy</p><p>dx</p><p>x= = ⋅ +2 1</p><p>3</p><p>2</p><p>Para x = 0: f’( ) ( ) ( )0 0 2 0 1 2</p><p>3</p><p>2= = ⋅ + =</p><p>dy</p><p>dx</p><p>52. C</p><p>Resolução:</p><p>Temos que se f( ) ( )</p><p>( )</p><p>x g x</p><p>h x</p><p>= , então f ’( )</p><p>’( ) . ( ) ( ) . ’( )</p><p>( )</p><p>x</p><p>g x h x g x h x</p><p>h x</p><p>=</p><p>−</p><p> </p><p>2</p><p>Substituindo:</p><p>f ’( )</p><p>( )’ . ( ) ( ) . ( )’</p><p>( )</p><p>. ( ) ( ) .</p><p>( )</p><p>x</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>=</p><p>+ − − + −</p><p>−</p><p>⋅</p><p>− − +</p><p>−</p><p>1 1 1 1</p><p>1</p><p>1 1 1 1</p><p>12 22 2 2</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>− − −</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>x x</p><p>x x( ) ( )</p><p>53. B</p><p>Resolução:</p><p>Sabe-se que os pontos máximos de uma função ocorrem nos pontos tais que f ’(x) = 0.</p><p>Como: f ’(x) = 3x2 – 6x</p><p>Temos: f ’(x) = 0 ⇒ 3x2 – 6x = 0 ⇒ x (3x – 6) = 0</p><p>Assim, x = 0 ou 3x – 6 = 0</p><p>Daí</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>2</p><p>são os pontos de máximo e de mínimo.</p><p>Substituindo na função:</p><p>f(0) = 03 – 3 . 02 + 100 = 100</p><p>f(2) = 23 – 3 . 22 + 100 = 100 = 8 – 3 . 4 + 100 = 96</p><p>Código Logístico</p><p>57419</p><p>Fundação Biblioteca Nacional</p><p>ISBN 978-85-387-6446-5</p><p>9 788538 764465</p><p>M</p><p>ÉTO</p><p>D</p><p>O</p><p>S Q</p><p>U</p><p>A</p><p>N</p><p>TITATIV</p><p>O</p><p>S M</p><p>ATEM</p><p>ÁTICO</p><p>S</p><p>P</p><p>au</p><p>lo</p><p>A</p><p>fo</p><p>n</p><p>so</p><p>B</p><p>racaren</p><p>se/</p><p>M</p><p>aria Em</p><p>ilia M</p><p>artin</p><p>s Ferreira</p><p>perder, logo, o oposto de +3 é –3.</p><p>b) O oposto de perder é ganhar, logo, o oposto de –5 é +5.</p><p>Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um sub‑</p><p>conjunto de Z ou que N está contido em Z:</p><p>N ⊂ Z</p><p>Números primos</p><p>Define‑se como número primo aquele número maior que 1 que é divisí‑</p><p>vel somente por 1 e por ele mesmo.</p><p>Os sete primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17.</p><p>Observe que nenhum deles é divisível por outro número menor que ele</p><p>mesmo, a não ser pelo número 1.</p><p>Não são primos todos os números pares diferentes de 2 porque são divi‑</p><p>síveis pelo menos pelo número 2.</p><p>Também não são primos os números 9 e 15, por exemplo, que são divisí‑</p><p>veis, respectivamente, por 3 no caso do 9 e por 3 e 5 no caso do 15.</p><p>1.4.3 Números racionais (Q)</p><p>Quando dividimos um número inteiro a por outro número inteiro b (≠0) obtemos um nú‑</p><p>mero racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária.</p><p>A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é</p><p>um quociente de dois números inteiros.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos14</p><p>Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o</p><p>número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de</p><p>racionais de decimal exata.</p><p>Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que</p><p>ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.</p><p>Q = { a /b | a ∈ Z e b ∈ Z*}</p><p>Lembre‑se de que não existe divisão por zero!</p><p>O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais não nulos:</p><p>Q* = {x ∈ Q | x ≠ 0}</p><p>O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não negativos:</p><p>Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0}</p><p>O símbolo Q– é usado para indicar o conjunto de números racionais não positivos:</p><p>Q– = {x ∈ Q | x ≤ 0}</p><p>O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos:</p><p>Q*+ = {x ∈ Q | x > 0}</p><p>O símbolo Q*– é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos:</p><p>Q*– = {x ∈ Q | x < 0}</p><p>Como todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional, temos:</p><p>N ⊂ Z ⊂ Q</p><p>Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3</p><p>nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica.</p><p>1.4.3.1 Dízima periódica</p><p>Uma dízima periódica é um número real da forma: m,npppp...</p><p>m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela</p><p>qual usamos os três pontos ao final. A parte que se repete é denominada período.</p><p>Em alguns materiais, é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra abaixo do</p><p>período, ou ainda o período dentro de parênteses.</p><p>Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período.</p><p>Exemplo 1</p><p>a) 0,333333... = 0,(3).</p><p>b) 3,636363... = 3,(63).</p><p>Sistemas numéricos 15</p><p>Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira</p><p>e o período. Por exemplo:</p><p>a) 0,83333333... = 0,8(3).</p><p>b) 0,72535353... = 0,72(53).</p><p>Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais.</p><p>Exemplo 2</p><p>a) 0,3333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...</p><p>b) 0,8333... = 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...</p><p>c) 4,7855... = 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...</p><p>Curiosidade</p><p>Um fato importante que relaciona os números racionais com os números</p><p>reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima pe‑</p><p>riódica é um número racional. Isso significa que podemos transformar</p><p>uma dízima periódica em uma fração.</p><p>O processo para realizar essa tarefa será mostrado na sequência com</p><p>alguns exemplos numéricos. As pessoas interessadas num estudo mais</p><p>aprofundado sobre a justificativa para o que faremos na sequência</p><p>devem se aprofundar no estudo de séries geométricas no âmbito do</p><p>Ensino Médio, ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista</p><p>do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do</p><p>Ensino Superior.</p><p>• A geratriz de uma dízima periódica</p><p>É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a</p><p>uma dízima periódica. Denominamos essa fração de geratriz da dízi-</p><p>ma periódica.</p><p>Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:</p><p>• Dízima simples</p><p>A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para nu‑</p><p>merador o período e para denominador tantos noves quantos fo‑</p><p>rem os algarismos do período.</p><p>Exemplos:</p><p>0 2323 23</p><p>99</p><p>, ... =</p><p>Métodos quantitativos matemáticos16</p><p>• Dízima composta</p><p>A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma n/d,</p><p>onde:</p><p>• n – parte não periódica seguida do período, menos a parte não</p><p>periódica.</p><p>• d – tantos noves quantos forem os algarismos do período segui‑</p><p>dos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não</p><p>periódica.</p><p>Exemplos:</p><p>0 1252525 125 1</p><p>990</p><p>124</p><p>990</p><p>, ... = −</p><p>=</p><p>0 047777 047 04</p><p>900</p><p>43</p><p>900</p><p>, ... = −</p><p>=</p><p>1.4.4 Números irracionais (I)</p><p>Um número é dito número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou</p><p>nem mesmo na forma de uma dízima periódica.</p><p>Exemplo 1</p><p>O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:</p><p>x = 0,10100100010000100000...</p><p>Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo.</p><p>Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas</p><p>depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional.</p><p>Existem infinitos números que não são dízimas periódicas.</p><p>Dois números irracionais muito importantes são:</p><p>e = 2,718281828459045... (a base do logaritmo neperiano)</p><p>π = 3,141592653589793238462643... (o número pi)</p><p>Esses números são utilizados nas mais diversas aplicações práticas, como: cálculos de áreas,</p><p>volumes, centros de gravidade, previsão populacional etc.</p><p>O π (pi – representado habitualmente pela letra grega π, que equivale ao p) é o número ir‑</p><p>racional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de</p><p>qualquer circunferência e o seu diâmetro. Se pensarmos que, ao dar a volta à Lua seguindo um dos</p><p>seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10.920 km, e se dividirmos esse valor pelo</p><p>diâmetro da Lua, que é 3.476 km, iremos verificar que essa razão é de 3,14154200... – esse número</p><p>já nos é familiar, seu valor é aproximadamente 3,14.</p><p>Sistemas numéricos 17</p><p>Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dízima infinita não periódica,</p><p>que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinarmos com centenas de</p><p>milhões de casas decimais.</p><p>Aqui aparece o valor de π obtido com a calculadora do Windows:</p><p>3,141592653589793238462643383279...</p><p>1.4.5 Números reais (R)</p><p>O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números</p><p>reais, indicado por R.</p><p>Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número racional</p><p>é real, temos:</p><p>N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R</p><p>Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,</p><p>R* = R – {0}</p><p>O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não negativos:</p><p>R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}</p><p>O símbolo R– é usado para indicar o conjunto de números reais não positivos:</p><p>R– = {x ∈ R | x ≤ 0}</p><p>O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos:</p><p>R*+ = {x ∈ R | x > 0}</p><p>O símbolo R*– é usado para indicar o conjunto de números reais negativos:</p><p>R*– = {x ∈ R | x < 0}</p><p>Atividades</p><p>1. Qual é o nome que se dá aos cardinais 0, 1, 2, .... 10, 11, ..., distintos dois a dois?</p><p>2. Qual é a representação do conjunto dos números naturais?</p><p>3. Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais?</p><p>4. Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais sem o número zero?</p><p>5. É correto pensar que só são números aqueles que possuem mais de um algarismo?</p><p>6. Existe um número maior do que todos os outros?</p><p>7. Qual o menor número natural?</p><p>8. Identifique os antecessores dos números m dados:</p><p>Métodos quantitativos matemáticos18</p><p>• m = 2</p><p>• m = 10</p><p>9. Qual é o número natural x que torna a sentença aberta</p><p>x + 5 = 0 verdadeira?</p><p>10. É correto afirmar que –3 < –1 e 1 < 3?</p><p>11. Sabendo‑se que N ⊂ Z, que outro nome poderia se dar ao conjunto dos números inteiros</p><p>positivos?</p><p>12. Qual é o valor oposto de 0 (zero)?</p><p>Dizemos que um número inteiro p é primo quando p ≠ 0, 1, –1 e os divisores p, Dp = {1, –1, p, –p}.</p><p>13. Quais dos seguintes números inteiros não são primos: 12, –13, 0, 5, 31, –1, 2, –4, 1, 49?</p><p>14. É correto afirmar que todo número maior que 1 tem pelo menos quatro divisores?</p><p>15. Está correta a informação que diz que fatorar um número composto é transformá‑lo num</p><p>produto de fatores primos?</p><p>16. Calcule x de modo que o número 3x tenha 15 divisores.</p><p>17. Qual é o valor do número 2x . 32. 5 sabendo‑se que ele possui 12 divisores?</p><p>18. Qual é o menor número de três algarismos divisível, ao mesmo tempo, por 2, 3, 5, 9 e 10.</p><p>19. Qual o menor número primo que não divide o número 210?</p><p>20. Uma fração irredutível, de denominador 25, pode ser a geratriz de uma dízima periódica?</p><p>21. Quais das seguintes frações correspondem a uma dízima periódica:</p><p>3</p><p>20</p><p>1</p><p>14</p><p>5</p><p>8</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>9</p><p>4</p><p>22</p><p>; ; ; ; ; ?</p><p>22. A dízima 0,99... corresponde a um número inteiro?</p><p>Enunciado para os exercícios 22 a 24:</p><p>O dobro da soma do minuendo, do subtraendo e do resto de uma subtração é 10,05. O mi‑</p><p>nuendo excede o resto de 0,9825. Determinar:</p><p>23. O minuendo.</p><p>24. O subtraendo.</p><p>25. O resto.</p><p>Para os exercícios 25, 26 e 27 desta seção, calcular as geratrizes das dízimas:</p><p>26. 0,2424...</p><p>Sistemas numéricos 19</p><p>27. 2,123123...</p><p>28. 0,058333...</p><p>29. Como representar, utilizando os conjuntos vistos neste capítulo, o conjunto dos números</p><p>irracionais?</p><p>30. Como representar, utilizando os conjuntos vistos neste capítulo, o conjunto dos números reais?</p><p>31. Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números:</p><p>15</p><p>16</p><p>1</p><p>14</p><p>1</p><p>4</p><p>1; ; ; ; ;≠ e .</p><p>32. Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números:</p><p>− − − − −e; ; ; ; ; ; ; ; ; .2 3</p><p>2</p><p>1 1</p><p>4</p><p>0 3</p><p>4</p><p>1 6</p><p>2</p><p>e</p><p>33. Para que um número seja irracional na forma p , que condições deverão ter o valor p?</p><p>34. Utilizando a informação do exercício anterior, dê três exemplos de números irracionais.</p><p>Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é irracional e r é racio‑</p><p>nal não nulo, então: a + r, a . r, a/ r e r/a são todos irracionais.</p><p>35. Utilizando a informação acima, dê dois exemplos que contemplem:</p><p>a + r e a . r.</p><p>36. Utilizando a mesma informação, dê dois exemplos que contemplem:</p><p>a/r e r/a .</p><p>Responda às questões a seguir (36 a 45), classificando‑as como verdadeiras (V) ou falsas (F).</p><p>37. É verdade que 3 ∈ R?</p><p>38. É verdade que 1</p><p>2</p><p>∈ − R Q?</p><p>39. É verdade que ( ) ?2 5 3− ∈ −R Q</p><p>40. É verdade que 4∈ −R Q?</p><p>41. É verdade que 3 2</p><p>5</p><p>∈ −R Q?</p><p>42. É verdade que 43 ∈ −R Q?</p><p>43. É verdade que 3 2</p><p>5 2</p><p>∈Q?</p><p>44. É verdade que R – Q ⊂ R?</p><p>45. É verdade que (R – Q) U Q ⊂ R?</p><p>Métodos quantitativos matemáticos20</p><p>46. É exemplo de número primo:</p><p>a) 44</p><p>b) 17</p><p>c) 0</p><p>d) 1</p><p>47. A geratriz da dízima periódica 0,44444444... é:</p><p>a) 44</p><p>99</p><p>b) 4</p><p>9</p><p>c) 44</p><p>100</p><p>d) 0,45</p><p>2</p><p>Operações com números reais</p><p>2.1 O problema</p><p>Um investidor possui R$ 10.000,00 para serem aplicados durante 5 meses. O</p><p>banco ofereceu uma taxa de 6% ao mês, no regime de capitalização composta. Qual</p><p>será o montante a receber após esse período?</p><p>Vídeo</p><p>2.2 Explorando o problema</p><p>Na capitalização composta, ou juros compostos, o juro produzido no fim de cada período</p><p>financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais juro, a renderem</p><p>juros no período seguinte.</p><p>O juro no primeiro mês será calculado como o produto do capital pela taxa. E o montante</p><p>será, então, a soma do capital inicial mais o juro do primeiro mês. No segundo período, o juro será</p><p>o montante do primeiro mês mais o juro do segundo mês. E o montante do segundo mês será a</p><p>soma do montante do primeiro mês e o juro do segundo mês.</p><p>Na próxima seção, abordaremos esse estudo visando, principalmente, identificar as opera-</p><p>ções utilizadas.</p><p>2.3 Equacionando o problema</p><p>Suponhamos um capital C que será aplicado a juros compostos à taxa de i. No fim do pri-</p><p>meiro período, o juro produzido será:</p><p>(1) J1 = C . i</p><p>e o montante:</p><p>(2) M1 = C + J1</p><p>Substituindo J1 na expressão (2), temos:</p><p>M1 = C + C . i = C (1 + i)</p><p>No fim do segundo período, o juro será:</p><p>J2 = M1 . i</p><p>E o montante, ao final do segundo período, será determinado por:</p><p>M2 = M1 + J2</p><p>Então, M2 = M1 + M1 . i = M1(1 + i)</p><p>Mas M1 = C(1 + i)</p><p>Então, M2 = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)2</p><p>Métodos quantitativos matemáticos22</p><p>Seguindo esse raciocínio, podemos concluir que para n períodos, o montante pode ser cal-</p><p>culado por:</p><p>(3) Mn = C(1 + i)n</p><p>que é a fórmula fundamental dos juros compostos para um número inteiro de períodos,</p><p>onde (1 + i) é denominado fator de capitalização da taxa i.</p><p>Antigamente, o cálculo do montante Mn era feito exclusivamente por logaritmo, pois, sendo</p><p>(1 + i)n uma função exponencial e as variáveis i e n podendo ser quaisquer, não havia outra opção.</p><p>Mais tarde, com o aparecimento dos computadores, foram criadas tabelas de (1 + i)n, com deter-</p><p>minados valores mais usados para i e n, exatamente para facilitar os cálculos para usuários que não</p><p>tinham fácil acesso aos computadores.</p><p>Mas nada disso era definitivo, pois os valores da taxa i, em juros compostos principalmente,</p><p>variavam muitíssimo. Somente depois do advento das minicalculadoras eletrônicas e dos micro-</p><p>computadores, que fazem cálculo de potência, é que o cálculo pode ser feito com total facilidade</p><p>para quaisquer prazos e taxas.</p><p>Para o problema colocado, o montante após cinco meses será dado por:</p><p>M 5 = 10.000 . (1,06)5 = R$ 13.382,26</p><p>Essa série de cálculos, com C = R$ 10.000,00, i = 6% e n = 5 meses, para a solução de um</p><p>problema relativamente simples, envolveu as operações de adição, multiplicação e potenciação.</p><p>Acrescentadas das operações de diferença, divisão e radiciação, envolvem as operações básicas com</p><p>números reais que serão abordadas neste capítulo.</p><p>2.4 Conceitos e regras</p><p>2.4.1 Operações algébricas com números reais</p><p>As operações algébricas básicas, com números reais, são: a adição e a multi-</p><p>plicação. De posse dessas duas operações, pode-se estender algumas características</p><p>e conceituar as operações básicas de subtração e divisão. Posteriormente, serão tra-</p><p>tadas as operações de potenciação e radiciação.</p><p>2.4.1.1 Adição e multiplicação de números reais</p><p>Valem as seguintes propriedades dos números reais, com relação às operações</p><p>de adição e de multiplicação:</p><p>• Fechamento: se a e b são números reais, então sua soma a + b e seu produto a . b</p><p>são, também, números reais.</p><p>• Comutativa: quando adicionamos ou multiplicamos dois números reais, a e b, a</p><p>ordem na qual eles são adicionados ou multiplicados é irrelevante, isto é:</p><p>a + b = b + a</p><p>e</p><p>a . b = b . a</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Operações com números reais 23</p><p>• Associativa: na adição ou multiplicação de números reais, os números a, b e c</p><p>podem ser agrupados em qualquer ordem:</p><p>(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c</p><p>(a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c</p><p>• Identidade: o número zero é chamado de elemento neutro da adição, assim, soma-</p><p>do o zero a qualquer outro número, este não se altera. O número 1 é chamado de elemento</p><p>neutro da multiplicação. Multiplicado o 1 a qualquer outro número, este não se altera.</p><p>Simbolicamente:</p><p>a + 0 = 0 + a = a</p><p>a . 1 = 1 . a = a</p><p>• Inversa: para cada número real a existe um único número real, denotado de –a e chama-</p><p>do de inverso aditivo de a, ou negativo de a, com a propriedade de:</p><p>a + (–a) = (–a) + a = 0</p><p>• Se a é qualquer número real diferente de zero, existe um único número real, denotado</p><p>1/a e chamado de inverso multiplicativo de a, ou de recíproco de a, com a propriedade de:</p><p>a . 1</p><p>a</p><p>= 1</p><p>a</p><p>. a = 1, a ≠ 0</p><p>O inverso multiplicativo é também frequentemente representado por a–1. O zero não tem</p><p>inverso multiplicativo, isto é, não existe a possibilidade da divisão por zero.</p><p>• Distributiva em relação à adição: se a, b e c são números reais, então:</p><p>a . (b + c) = a . b + a . c</p><p>Exemplo 1</p><p>6 . (3 + 4) = 6 . 3 + 6 . 4</p><p>6 . (7) = 18 + 24</p><p>42 = 42</p><p>A propriedade distributiva vale para qualquer número de termos.</p><p>Evidência</p><p>Colocar um número em evidência significa utilizar a propriedade distributi-</p><p>va da soma em relação à multiplicação, utilizando o máximo divisor comum.</p><p>Por exemplo, seja a igualdade:</p><p>2x + 2y = 4</p><p>Podemos aplicar diretamente a propriedade distributiva, colocando o nú-</p><p>mero 2 em evidência, uma vez que o máximo divisor comum (m.d.c) entre</p><p>dois números iguais é o próprio número. Então, podemos reescrever a iden-</p><p>tidade como:</p><p>2(x + y) = 4 e, finalmente, x + y = 2</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos24</p><p>Outro exemplo se dá colocando o máximo divisor comum entre dois</p><p>números diferentes em evidência, como na igualdade:</p><p>2x + 4y = 4</p><p>Observe que o máximo divisor comum entre 2 e 4 é o número 2. O maior</p><p>número que é divisor de 2 e 4. O máximo divisor comum entre 10 e 20</p><p>por exemplo é o número 10, porque ele é ao mesmo tempo divisor de 10</p><p>e de 20. Outros divisores de 10 e 20 são os números 1, 2 e 5. Mas o maior</p><p>divisor entre 10 e 20 é o número 10.</p><p>Na igualdade acima, o m.d.c. é o 2, que pode ser colocado em evidência,</p><p>e teremos:</p><p>2(x + 2y) = 4 e então x + 2y = 2</p><p>2.4.1.2 Divisão de números reais</p><p>Existem duas classificações para definir a operação de divisão:</p><p>(1) Divisão exata: Dividendo : Divisor = Quociente</p><p>(2) Divisão inexata: Dividendo : Divisor = Quociente + Resto</p><p>A divisão pode ser definida em termos do inverso da multiplicação ou recíproca. Se a e b são</p><p>dois números reais, onde b ≠ 0, o quociente a : b é dado por:</p><p>a : b = a . 1</p><p>b</p><p>= a</p><p>b</p><p>, b ≠ 0</p><p>Então, as propriedades básicas da multiplicação dentro do sistema de números reais podem</p><p>ser estendidas para as operações de divisão.</p><p>O zero pode ser dividido e produz o quociente zero, mas a divisão por zero não é definida.</p><p>Isto é, se a é um número real diferente de zero:</p><p>0</p><p>a</p><p>, mas a</p><p>0</p><p>não é definido.</p><p>Vale lembrar que o zero não tem um inverso multiplicativo, então, multiplicação pelo inver-</p><p>so multiplicativo do zero não é definida.</p><p>2.4.1.3 Sequência de operações</p><p>Determine o valor da expressão numérica:</p><p>5 + 3 . 2 – 12 : 4</p><p>Fica fácil identificar a necessidade de dar uma sequência de prioridades para fazer tal cálculo,</p><p>senão jamais teríamos certeza do resultado a ser encontrado. Na matemática, são definidas as se-</p><p>guintes prioridades no momento de resolver uma expressão numérica:</p><p>1º) resolve-se a operação de multiplicação e/ou de divisão, o que vier antes;</p><p>2º) resolve-se a operação de adição e/ou de subtração, o que vier antes.</p><p>Operações com números reais 25</p><p>Dessa forma, o valor da expressão numérica anterior é:</p><p>5 + 3 . 2 – 12 : 4 =</p><p>= 5 + 6 – 3 =</p><p>= 11 – 3 =</p><p>= 8</p><p>Essas ordens de operações podem mudar com a inclusão de parênteses ( ), colchetes [ ] ou</p><p>chaves { }. Operações com esses símbolos de agrupamento são resolvidas prioritariamente, nessa</p><p>ordem: parênteses, colchetes, chaves e, finalmente, as operações sem esses elementos. Mais recen-</p><p>temente, o uso de sequência de parênteses tem sido usado em substituição a colchetes e chaves.</p><p>Exemplo 2</p><p>2 . 5 + 3 . 4 – 6 : 3 =</p><p>= (2 . 5) + (3 . 4) – (6 : 3) =</p><p>= 10 + 12 – 2 =</p><p>= 22 – 2 =</p><p>= 20</p><p>ou, de outra forma,</p><p>2 . {[(5 + 3) . 4 – 6] : 2} + 1 =</p><p>= 2 . {[8 . 4 – 6] : 2} + 1 =</p><p>= 2 . {[32 – 6] : 2} + 1 =</p><p>= 2 . {[26 : 2} + 1 =</p><p>= 2 . 13 + 1 =</p><p>= 26 + 1 =</p><p>= 27</p><p>Fica, assim, bastante clara a importância dos símbolos de agrupamento na solução de qual-</p><p>quer expressão matemática.</p><p>2.4.2 Trabalhando com frações</p><p>Se a e b são inteiros, com b ≠ 0, então a / b é chamada de fração (ou número racional).</p><p>Usamos a terminologia</p><p>Numerador</p><p>Denominador</p><p>para nos referirmos às partes da fração.</p><p>As frações cujos denominadores são potências de 10 são denominadas frações decimais.</p><p>As demais frações são conhecidas como frações ordinárias.</p><p>Exemplo 1</p><p>(i) frações decimais: 1</p><p>10</p><p>7</p><p>100</p><p>3</p><p>1000</p><p>4</p><p>0 001</p><p>; ; ;</p><p>,</p><p>−</p><p>Métodos quantitativos matemáticos26</p><p>(ii) frações ordinárias: 2</p><p>7</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>6</p><p>3</p><p>; ; ; ;−</p><p>Toda fração de numerador menor do que o denominador, ou seja, toda fração menor do</p><p>que a unidade, chama-se fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador</p><p>chama-se fração imprópria. Finalmente, toda fração cujo numerador é um múltiplo inteiro do de-</p><p>nominador é uma fração aparente.</p><p>Exemplo 2</p><p>(i) frações próprias: 1</p><p>2</p><p>7</p><p>100</p><p>3</p><p>4</p><p>; ; −</p><p>(ii) frações impróprias:</p><p>12</p><p>7</p><p>3</p><p>2</p><p>21</p><p>8</p><p>5</p><p>4</p><p>; ; ;−</p><p>(iii) frações aparentes: 21</p><p>7</p><p>12</p><p>4</p><p>12</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>; ; ;−</p><p>Diz-se que simplificar uma fração é obter uma fração equivalente e de termos menores.</p><p>Quando uma fração não pode ser simplificada, seus termos são primos entre si (ou seja, o máximo</p><p>divisor comum m.d.c. é igual a 1) e a fração tem o nome de irredutível.</p><p>Assim, tornar uma fração irredutível significa reduzi-la à expressão mais simples, por meio</p><p>de simplificações.</p><p>Em seguida, veremos as quatro operações básicas no estudo de frações.</p><p>2.4.2.1 Adição e subtração de frações</p><p>Para somar (ou subtrair) duas frações que têm o mesmo denominador, somamos (ou sub-</p><p>traímos) os numeradores, mantendo-se o denominador comum para ambos, isto é:</p><p>a</p><p>b</p><p>+ c</p><p>b</p><p>= a + c</p><p>b</p><p>Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações que têm denominadores diferentes, achamos</p><p>o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os valores dos denominadores. Esse será o novo denomi-</p><p>nador da fração solução. Em seguida, processamos a divisão do denominador m.m.c pelo denomi-</p><p>nador da primeira fração e, com o quociente, multiplicamos o numerador da fração em referência.</p><p>Processa-se dessa maneira para todas as frações. Finalmente, o procedimento recai na adição ou</p><p>subtração com denominadores iguais e, portanto, somam-se os numeradores.</p><p>Exemplo 1</p><p>Efetue J = a</p><p>b</p><p>+ c</p><p>d</p><p>+ e</p><p>f</p><p>D = mmc (b, d, f)</p><p>J =</p><p>D : b a</p><p>D</p><p>+</p><p>D : d c</p><p>D</p><p>+</p><p>D : f e</p><p>D</p><p>J =</p><p>D : b a+ D : d c +</p><p>( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅</p><p>( ) ⋅ ( ) ⋅ DD : f e</p><p>D</p><p>( )⋅</p><p>Operações com números reais 27</p><p>Aplicações numéricas:</p><p>( )i 2</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>2 4</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>+ =</p><p>+</p><p>=</p><p>( )ii 2</p><p>7</p><p>3</p><p>4</p><p>4 2 7 3</p><p>28</p><p>8 21</p><p>28</p><p>29</p><p>28</p><p>+ =</p><p>⋅ + ⋅</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>2.4.2.2 Multiplicação e divisão de frações</p><p>O produto de duas frações é encontrado pela razão entre a multiplicação dos valores dos</p><p>numeradores pela multiplicação dos valores dos denomi nadores, isto é:</p><p>a</p><p>b</p><p>. c</p><p>d</p><p>= ac</p><p>bd</p><p>O quociente entre duas frações é encontrado multiplicando-se a primeira fração (dividen-</p><p>do) pela inversa da segunda (divisor). Em seguida, opera-se a multiplicação das duas frações, isto é:</p><p>a</p><p>b</p><p>: c</p><p>d</p><p>= a</p><p>b</p><p>. d</p><p>c</p><p>= ad</p><p>bc</p><p>Exemplo 1</p><p>( )i 4</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>12</p><p>10</p><p>6</p><p>5</p><p>⋅ = =</p><p>( ) :ii 3</p><p>5</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>2</p><p>18</p><p>10</p><p>9</p><p>5</p><p>= ⋅ = =</p><p>2.4.3 Potência e raízes de números reais</p><p>Se n é um inteiro positivo, então an representa a potência:</p><p>a . a . a . ... . a = an</p><p>nvezes</p><p>n é chamado de expoente de a e é o número de vezes que a foi multiplicado por</p><p>ele mesmo, e an é chamada a n-ésima potência de a.</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcule:</p><p>a) 42 = 4 . 4 = 16</p><p>b) 1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>27</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = ⋅ ⋅ =</p><p>c) 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16</p><p>d) (–4)3 = (–4) . (–4) . (–4) = –64</p><p>Se n é um inteiro positivo maior do que 1, e se an = b, então a é chamada a raiz n-ésima de b.</p><p>Em particular, se a2 = b, então a é a raiz quadrada de b, e se a3 = b, então a é a raiz cúbica de b.</p><p>A n-ésima raiz de b é simbolizada por: b = an</p><p>O símbolo é chamado de radical, b é o radicando, e n é o índice do radical.</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos28</p><p>Se n é igual a 2, ele pode ser omitido do radical, isto é: b2 = b . Tanto as raízes pares</p><p>como as raízes ímpares são definidas com índices como números inteiros. As raízes ímpares de</p><p>um número negativo são definidas, mas as raízes pares de números negativos não são definidas no</p><p>contexto do sistema de números reais, elas fazem parte do sistema de números complexos que não</p><p>serão tratados no âmbito deste livro.</p><p>Exemplo 2</p><p>Calcule:</p><p>a) − = −8 23</p><p>b) −9 não é definida no contexto de números reais. Não existem dois números reais que</p><p>multiplicados sejam iguais a (–9).</p><p>Todo número real b</p><p>tem duas raízes quadradas: uma raiz positiva e outra raiz negativa. Exceto</p><p>o zero, que tem como raiz o próprio zero. Por exemplo, +3 e (–3) são raízes quadradas de 9, uma vez</p><p>que (+3)2 = 9 e também (–3)2 = 9. No entanto, todo número real tem exatamente uma raiz cúbica.</p><p>2.4.3.1 Leis dos expoentes</p><p>• 0n = 0, se n > 0</p><p>• a0 = 1, se a ≠ 0</p><p>• a</p><p>a</p><p>− =n</p><p>n</p><p>1 , se a ≠ 0</p><p>• a</p><p>m</p><p>n mn n</p><p>m</p><p>a a= = ( ) , se a raiz for definida</p><p>• am . an = am + n</p><p>• (am)n = amn</p><p>• (am) . (bm) = (ab)m</p><p>• a</p><p>a</p><p>a</p><p>m</p><p>n</p><p>m n= −</p><p>• a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> , se b ≠ 0</p><p>Cálculos envolvendo raízes são enormemente facilitados pelas seguintes propriedades</p><p>dos radicais:</p><p>• Regra do produto para radicais: Se a e b são números reais positivos, então:</p><p>ab a bn n n= ( )( )</p><p>• Regra do quociente para radicais: Se a e b são números reais positivos, então:</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>=</p><p>Operações com números reais 29</p><p>• Raiz de raiz: Se a e b são números reais positivos, então:</p><p>x xnm m n</p><p>=</p><p>⋅</p><p>Cuida do!</p><p>− ≠ −</p><p>≠ ≠</p><p>+ ≠ + ≠</p><p>+ ≠ +</p><p>x x</p><p>x x n</p><p>x y x y n</p><p>x y x y</p><p>n n</p><p>n n n</p><p>n n n</p><p>2 2</p><p>4 4 1</p><p>1</p><p>( )</p><p>( ) ,</p><p>( ) ( ) ( ) ,</p><p>2.4.4 Expressões algébricas</p><p>Uma expressão algébrica é uma declaração matemática indicando que quantidades numéri-</p><p>cas são combinadas por operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radi-</p><p>ciação. As quantidades podem ser constantes ou variáveis. Uma constante é uma quantidade que</p><p>permanece inalterável em um dado problema. Uma variável é uma quantidade que pode assumir</p><p>diferentes valores em um dado problema.</p><p>Variáveis são geralmente representadas em uma expressão algébrica por letras como x, y ou z.</p><p>Constantes são geralmente escritas como números, mas elas podem também, algumas vezes, ser</p><p>representadas por uma característica alfabética.</p><p>Cada uma das seguintes expressões é uma expressão algébrica:</p><p>4x3, 3x + 5y, 12 – x + y – z, ax2 + bx + c e 4x2y – 7xy5</p><p>Expressões algébricas são compostas por termos, e cada termo é o produto de uma constante</p><p>diferente de zero e variáveis com potência formada por números inteiros positivos como 4x2, 9xy</p><p>ou – 6xy2z. Então, os termos podem ser compostos por dois ou mais fatores.</p><p>Um fator constante como 6 no termo 6x é chamado de coeficiente da variável, mas o ter-</p><p>mo constante quando isolado, como o 7 em 7 + x – y, é chamado de constante. A parte variável</p><p>do termo pode ser constituída de uma variável ou do produto de duas ou mais variáveis como</p><p>x2, xy ou xy2z.</p><p>2.4.4.1 Adição e subtração de expressões algébricas</p><p>Podemos somar ou subtrair termos pela combinação de termos semelhantes, que são termos</p><p>que têm exatamente a mesma parte variável, diferindo somente em seus coeficientes numéricos.</p><p>Os termos – 4x e 7x são semelhantes, uma vez que ambos têm a mesma parte variável, o x;</p><p>eles diferem somente no valor dos coeficientes, – 4 e 7. Os termos 4x2 e 6x não são termos seme-</p><p>lhantes, uma vez que uma parte variável é x e a outra parte variável é x2.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos30</p><p>Termos semelhantes são combinados pela soma de seus coeficientes (usando as regras para</p><p>a soma de números reais) e mantendo a parte variável do termo. É a lei distributiva que nos possi-</p><p>bilita combinar termos dessa maneira.</p><p>Exemplo 1</p><p>a) 2x + 4x = (2 + 4)x = 6x</p><p>b) 8xy2 + 9xy2 = (8 + 9)xy2 = 17xy2</p><p>Quando expressões algébricas são adicionadas ou subtraídas, somente os termos semelhan-</p><p>tes podem ser combinados.</p><p>2.4.4.2 Multiplicação de expressões algébricas</p><p>A multiplicação de expressões algébricas é realizada pela multiplicação dos termos. Então, o</p><p>produto deve ser simplificado o máximo possível pela combinação dos termos.</p><p>Para multiplicar dois termos, multiplicamos seus coeficientes usando as leis dos números</p><p>reais. Então, multiplicamos suas partes variáveis usando as regras dos expoentes.</p><p>Exemplo 2</p><p>a) (3x) . (5x) = (3 . 5)(x . x) = 15x2</p><p>b) (4x2y) . (5xy) = (4 . 5)(x2 . x)(y . y) = 20x3y2</p><p>Para multiplicarmos duas expressões, multiplicamos cada termo de uma expressão por cada</p><p>termo da outra expressão.</p><p>Exemplo 3</p><p>(x + 5) . (x3 + 4x2 – 3x) = x . (x3 + 4x2 – 3x) + 5 . (x3 + 4x2 – 3x) =</p><p>= x4 + 4x3 – 3x2 + 5x3 + 20x2 – 15x = x4 + 9x3 + 17x2 – 15x</p><p>2.4.4.3 Fatorando expressões algébricas</p><p>Quando duas ou mais expressões são multiplicadas, as expressões são chamadas de fatores</p><p>da multiplicação. Quando escrevemos x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1), nós estamos fatorando a expres-</p><p>são original. Esse procedimento é baseado no uso das seguintes leis distributivas:</p><p>• ax + ay + az = a(x + y + z)</p><p>• ax + by + bx + ay = (a + b)(x + y)</p><p>• x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)</p><p>• acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)</p><p>• x2 + 2ax + a2 = (x + a)2</p><p>• x2 – 2ax + a2 = (x – a)2</p><p>• x2 – a2 = (x – a) (x + a)</p><p>• x3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2)</p><p>• x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2)</p><p>Operações com números reais 31</p><p>Exemplo 4</p><p>Fatorar:</p><p>a) x2 – x – 56 = (x – 8) (x + 7)</p><p>b) 9y2 – 42y + 49 = (3y – 7)2</p><p>2.4.5 Expressões algébricas na forma fracionária</p><p>Uma expressão racional é uma razão entre duas expressões algébricas, sempre lembrando</p><p>que o denominador jamais poderá assumir o valor zero. Exemplos de tais expressões são:</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>2 3</p><p>4</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xyz</p><p>x x</p><p>x+</p><p>+</p><p>−</p><p>+ + +</p><p>−</p><p>, , ,</p><p>As regras que governam as operações matemáticas de números reais escritos como fração se</p><p>estendem para essas operações com expressões algébricas que estão na forma fracionária.</p><p>2.4.5.1 Soma e subtração de expressões algébricas racionais</p><p>Para somar (ou subtrair) duas expressões, cada uma delas na forma fracionária e que têm</p><p>o mesmo denominador, somamos (ou subtraímos) os termos nos numeradores, mantendo-se o</p><p>mesmo denominador.</p><p>Se as duas frações tiverem diferentes denominadores, usamos o princípio fundamental de</p><p>frações, calcado no estudo do mínimo múltiplo comum, tornando todas as frações com mesmo</p><p>denominador e finalizando a operação da forma escrita no parágrafo anterior.</p><p>Exemplo 1</p><p>a) x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x+</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>+1</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>b) J =</p><p>−</p><p>−</p><p>+2</p><p>1</p><p>4 1</p><p>2</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x( )</p><p>mmc</p><p>J</p><p>x x x x x</p><p>x x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>, ,−( )  = −( )</p><p>=</p><p>− −( ) +( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>− −</p><p>1 1</p><p>2 1 4 1</p><p>1</p><p>2 4</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 33 1</p><p>1</p><p>2 3 1</p><p>12</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>+( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>− + −</p><p>−( )</p><p>2.4.5.2 Multiplicação de expressões algébricas racionais</p><p>Para multiplicarmos duas expressões que estão na forma racional, multiplicamos os nume-</p><p>radores e então multiplicamos os denominadores.</p><p>Exemplo 2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>+( )</p><p>+( ) +( )</p><p>=</p><p>+</p><p>+ +2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2 3 5 6</p><p>2 2 3</p><p>2</p><p>Eventualmente, pode ser desejável deixar tanto o numerador como o denominador na</p><p>forma fatorada.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos32</p><p>2.4.5.3 Divisão de expressões algébricas racionais</p><p>Para dividir duas expressões que são escritas como frações, repetimos a primeira fração</p><p>(numerador) e multiplicamos a segunda fração (denominador) invertida.</p><p>Exemplo 3</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>+( )</p><p>−( ) =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>+( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>4</p><p>5</p><p>3</p><p>4 3</p><p>5</p><p>3 4</p><p>5</p><p>3 12</p><p>52</p><p>Para dividir um termo por outro termo, dividimos os coeficientes usando as leis dos núme-</p><p>ros reais. Então, dividimos as variáveis usando as regras do expoente.</p><p>Exemplo 4</p><p>a) 18</p><p>6</p><p>18</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>4x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>b) 8</p><p>4</p><p>8</p><p>4</p><p>2</p><p>3 4</p><p>2</p><p>3 4</p><p>2</p><p>2 2x y z</p><p>xy z</p><p>x y</p><p>y</p><p>z</p><p>z</p><p>x y= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =x</p><p>Para dividir uma expressão algébrica por um único termo, dividimos cada termo da expres-</p><p>são algébrica pelo termo comum e somamos algebricamente os quocientes.</p><p>Exemplo 5</p><p>6 15 5 6 15 5 6 15 5 6 5 15</p><p>2 2 2 2x y xy xy</p><p>xy</p><p>x y</p><p>xy</p><p>xy</p><p>xy</p><p>xy</p><p>xy</p><p>x y x y− +</p><p>= − + = − + = + −</p><p>Com intuito de facilitar o estudo, sugere-se que se proceda a fatoração dos membros e, em</p><p>seguida, simplifique-se os termos comuns, como já foi visto anteriormente.</p><p>Exemplo 6</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>2 7 12</p><p>4</p><p>4 3</p><p>4</p><p>3+ +</p><p>+</p><p>=</p><p>+( ) +( )</p><p>+( )</p><p>= +</p><p>Lembrete importante: o último estudo só tem sentido se x ≠ – 4.</p><p>Cuidado!</p><p>a b</p><p>c b</p><p>a</p><p>c</p><p>+</p><p>+</p><p>≠ (Os valores b não podem ser cancelados porque não são fatores).</p><p>2.4.6 Equações</p><p>Uma equação</p><p>é uma declaração matemática de igualdade entre duas expressões. Equações</p><p>podem envolver uma ou mais variáveis. Exemplos de equações com uma variável são 2x – 1 = 0 e</p><p>x2 = 4, enquanto x + y = 6 e x + 1 = y – 6 são equações com duas variáveis.</p><p>Operações com números reais 33</p><p>Existem dois tipos de equações: identidades e equações condicionais. Uma identidade é uma</p><p>equação que é verdadeira para todos valores permitidos das variáveis envolvidas, como:</p><p>3 1 6 2</p><p>2</p><p>3 3 3x x x y x y+ =</p><p>+</p><p>+ = +e ( )</p><p>Qualquer valor que x assuma valerá para os dois lados da equação.</p><p>Uma equação condicional é verdadeira somente para um número limitado de valores da</p><p>variável. A equação</p><p>x + 2 = 5</p><p>torna-se uma declaração verdadeira somente para o valor de x = 3.</p><p>Se uma equação contém somente uma variável, qualquer valor dessa variável que torne a</p><p>equação verdadeira é chamado de solução ou raiz da equação. A solução da equação x + 2 = 8 é x = 6.</p><p>Uma solução para uma equação com duas variáveis, tais como x e y, é qualquer par ordenado</p><p>de valores (x, y) que produza uma declaração correta quando substituído por x e y, respectivamente,</p><p>na equação.</p><p>Por exemplo, (x = 2, y = 5), ou, compactamente, (2,5), é uma solução para a equação</p><p>3x + y = 11, uma vez que a substituição de 2 para x e 5 para y produzirá 3 . 2 + 5 = 11, uma</p><p>declaração correta.</p><p>Note que (1,8) também representa uma solução para a mesma equação; uma vez que 3 . 1 + 8 = 11.</p><p>Existem, de fato, infinitos pares ordenados de valores para as variáveis que representam soluções.</p><p>Todos esses pares ordenados são chamados de membros do conjunto solução para a equação dada.</p><p>2.4.6.1 Encontrando a solução de uma equação</p><p>O procedimento seguido para se encontrar a solução, ou as soluções, de uma equação depende</p><p>da natureza da equação. De fundamental importância para resolver uma equação é transformá-la por</p><p>meio de operações matemáticas em equações equivalentes mais simples.</p><p>Duas equações são equivalentes se, e somente se, elas tiverem o mesmo conjunto de solu-</p><p>ções. Por exemplo:</p><p>3x + 1 = 10 e 3x = 9</p><p>são equivalentes, uma vez que ambas têm a mesma solução, x = 3. Da mesma forma,</p><p>2x + y = 5 e 4x + 2y = 10</p><p>são equações equivalentes, porque qualquer par (x, y) de soluções para uma equação tam-</p><p>bém serviria para a outra.</p><p>As seguintes operações de equivalência podem ser aplicadas em uma equação para se obter</p><p>uma equação equivalente:</p><p>• uma mesma constante pode ser adicionada ou subtraída dos dois membros de uma equação;</p><p>• ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados, ou divididos, por uma mesma</p><p>constante, diferente de zero;</p><p>Métodos quantitativos matemáticos34</p><p>• um termo que aparece em ambos os lados de uma equação pode ser adicionado ou subtraído</p><p>de ambos os lados da equação.</p><p>Para ilustrar essas operações, vejamos que da equação 3x + 1 = 10 podemos subtrair o valor 1</p><p>de ambos os lados e teremos 3x = 9. Multiplicando cada membro da equação 2x + y = 5 pela cons-</p><p>tante 2, obtemos a equação equivalente 4x + 2y = 10.</p><p>Devemos construir equações equivalentes até isolar a variável desejada para obtermos uma</p><p>solução para a equação.</p><p>Exemplo 1</p><p>Encontre o valor do número real x para que 3x – 2 = 13 seja verdadeira.</p><p>3 2 13 3 2 2 13 2 3 15 3 1</p><p>3</p><p>15 1</p><p>3</p><p>5x x x x x− = ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =</p><p>Então o valor de x que satisfaz a equação 3x – 2 = 13 é x = 5.</p><p>2.4.6.2 Procedimentos adicionais de solução</p><p>Existem algumas operações adicionais, além das três apresentadas anteriormente, que po-</p><p>dem ajudar a resolver equações:</p><p>• Ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados, ou divididos, por uma expres-</p><p>são não nula envolvendo uma variável.</p><p>• Ambos os membros de uma equação podem ser colocados em uma mesma potência.</p><p>Exemplo 2</p><p>Para resolver a equação fracionária 4</p><p>3</p><p>3</p><p>2x x−</p><p>=</p><p>+</p><p>, primeiro a transformaremos em uma igual-</p><p>dade sem a presença de frações. Acha-se o m.m.c. D entre os denominadores (x – 3) e (x + 2) e, em</p><p>seguida, aplicamos o procedimento visto anteriormente, sem utilizar o denominador comum. Assim:</p><p>D = (x – 3)(x + 2)</p><p>4(x + 2) = 3(x – 3)</p><p>4x – 3x = – 8 – 9</p><p>x = – 17</p><p>Como multiplicamos ambos os membros da equação por uma expressão envolvendo uma</p><p>variável, devemos verificar se a solução da equação realmente satisfaz a equação original. Então:</p><p>4</p><p>17 3</p><p>3</p><p>17 2</p><p>4</p><p>20</p><p>3</p><p>15</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>− −</p><p>=</p><p>− +</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>Como ambos os lados da equação são iguais, podemos ter a garantia de que (x = –17) é a</p><p>solução para a equação original.</p><p>Operações com números reais 35</p><p>2.4.6.3 Encontrando solução por meio da fatoração</p><p>Quando o produto de duas ou mais quantidades é zero, pelo menos uma dessas quantidades</p><p>deve ser nula. Em razão desse princípio, a fatoração pode ser muito eficientemente usada para en-</p><p>contrar solução para muitas equações.</p><p>Exemplo 3</p><p>Para encontrar as soluções da equação x2 + 3x + 2 = 0, podemos fatorar o membro esquerdo,</p><p>encontrando o produto (x + 1)(x + 2) = 0 e, finalmente, achar as raízes x = –1 e x = –2. E, assim,</p><p>obtemos as soluções para a equação original, x = –1 e x = –2 .</p><p>Atividades</p><p>1. Calcule o valor da expressão:</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>9</p><p>1 1</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>+</p><p>:</p><p>.</p><p>2. Qual é o valor da expressão: 1 – 4,8 : 24?</p><p>3. Calcule a soma dos quadrados, mais o quadrado da soma dos números 2 e 3.</p><p>4. Efetue 8</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>: . .</p><p>5. Efetue 5 + {4 . [32 – (28 : 7 . 4)] : 8} – 3.</p><p>6. Calcule o valor numérico da expressão: (a + b + c) . (a + b – c) . (a – b – c) para a = b = 10 e</p><p>c = –1.</p><p>7. Calcule o valor da expressão: 7 3</p><p>14</p><p>1</p><p>3</p><p>1− +: .</p><p>8. Eu sou 26 anos mais velho do que minha filha. Qual é a minha idade, se é o triplo da de</p><p>minha filha?</p><p>9. Quanto se deve somar a a2 + b2 para se obter o quadrado de a + b?</p><p>10. Se 3</p><p>4</p><p>do meu ordenado é R$ 660,00, qual é o meu ordenado?</p><p>Efetue:</p><p>11. a) 1</p><p>9</p><p>2</p><p>9</p><p>5</p><p>9</p><p>+ + b) 3 1</p><p>5</p><p>+</p><p>12. a) 2 3 1</p><p>4</p><p>+ b) 2 3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>5+ +</p><p>13. a) 2 3</p><p>5</p><p>− b) 25 5</p><p>9</p><p>13−</p><p>14. a) 1</p><p>5</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>+ − b) 2 3</p><p>5</p><p>1</p><p>3</p><p>2− −</p><p>Métodos quantitativos matemáticos36</p><p>15. a)</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>⋅ ⋅ b)</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2+ ⋅</p><p>16. a)</p><p>3</p><p>5</p><p>2 7</p><p>5</p><p>⋅ − b) 2 3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>. :</p><p>17. a)</p><p>1</p><p>100</p><p>1</p><p>25</p><p>: b) 2 3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>:</p><p>18. a) 2 3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>. : b) 2 3</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>4</p><p>15</p><p>1+ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −:</p><p>19. Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 2</p><p>3</p><p>de entrada, e o resto em 10 meses.</p><p>Quanto dei de entrada?</p><p>20. O lucro de uma sociedade em 2017 foi igual a R$ 1.400.000,00. Esse lucro foi dividido entre</p><p>os três sócios de modo que o primeiro recebeu 2</p><p>3</p><p>da parte do segundo, e este, 4</p><p>5</p><p>da parte do</p><p>terceiro. Qual é a parte de cada um?</p><p>21. Calcule 4 8 3 32</p><p>2</p><p>3 5−</p><p>22. Escreva em forma de potência:</p><p>a b c) ) )20 10 23 23</p><p>23. Calcule o valor da expressão − − −</p><p>− + −</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2 27</p><p>3 5 2</p><p>2 3</p><p>0</p><p>.</p><p>24. Escreva na forma de radical:</p><p>a b c) ) )10 5 2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>25. Calcule o valor:</p><p>a b c) ) )64 1 643 6−</p><p>26. Calcule o valor:</p><p>a b c) ) ) ( )8 25 32</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>5−</p><p>27. Calcule o valor da expressão:</p><p>− − + − −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>8 16 1</p><p>2</p><p>83</p><p>1</p><p>4</p><p>2 4</p><p>3</p><p>28. Calcule o valor da expressão:</p><p>4 0 5 0 25 84</p><p>2</p><p>3⋅ + +</p><p>−</p><p>( , ) ,</p><p>Operações com números reais 37</p><p>29. Simplifique a expressão:</p><p>2 2963</p><p>4</p><p>936</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>30. Calcule a soma: 3 5 45 2 20+ −</p><p>Calcule os valores numéricos:</p><p>31. x2 – 3x + 1 quando x = –4</p><p>32. a b</p><p>a b</p><p>2 2+</p><p>−</p><p>quando a = –3, b = 3</p><p>33.</p><p>xy x</p><p>y</p><p>x y−</p><p>= − =</p><p>2 1</p><p>10</p><p>1</p><p>100</p><p>quando ,</p><p>34.</p><p>x y</p><p>x</p><p>y</p><p>x y</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2 3</p><p>2</p><p>+</p><p>+</p><p>= =quando ,</p><p>35. Sabendo-se que a = 5, b = 4, c = 3 e p a b c</p><p>=</p><p>+ +</p><p>2</p><p>, calcule o valor numérico de p(p – a)(p – b)</p><p>(p – c).</p><p>Reduza à expressão mais simples:</p><p>36. 2x + 3(3 – 2x) – 2(1 – x)</p><p>37. 3(a2 + a + 1) + 2(a2 + 2a – 2) – (a2 + 3a – 3)</p><p>38. x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)</p><p>39. a(a + b – c) + b(b + c – a) + c(a – b + c)</p><p>40. Se x a b</p><p>a b</p><p>y a b</p><p>a</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− −</p><p>− −</p><p>− − −2 2</p><p>1 1</p><p>2 3 1</p><p>e , calcule o valor de x . y quando a = 2 e b = – 1.</p><p>Fatore:</p><p>41. a) 8x + 6y + 2z b) x2 + x – 6</p><p>42. a) 8x2 + 14x + 3 b) x2 – 9</p><p>43. a) x3 + 8 b) x3 – 1</p><p>44. a) (x + 5)(x + 2) b) (a + 3)(3 – a)</p><p>45. a) (–x – 2)(–x + 2) b) (xm + 2y3)3</p><p>46. a) (x3 + 3)2 b) (0,5x2y–1 – 2xy2)3</p><p>Métodos quantitativos matemáticos38</p><p>47. Quanto se deve subtrair de (a + 3)3 para obter (a – 2)3 ?</p><p>48. Elevando x ao quadrado, obtemos a2 + 2ab + b2. Qual é o valor de x?</p><p>49. Qual é o produto de 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2 2a b a b</p><p>+ +por ?</p><p>50. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 é verificada para qual valor de b2 ?</p><p>51. Se x y= − = +( ) ( )2 3 3 2 3 3e , calcule x . y.</p><p>52. Se A = + −4 2 8 32 , calcule o valor de A–1.</p><p>53. Simplifique a expressão: ( )( ) ( )3 2 3 2 3 2 2+ − + − .</p><p>Efetue as operações indicadas:</p><p>54. x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>55.</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>3 3 3 3−</p><p>−</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>56. a b</p><p>x a</p><p>a b</p><p>x a</p><p>bx a</p><p>x a</p><p>+</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>2 2 4 2 2</p><p>2 2</p><p>57. 1 1+</p><p>−</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>−</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>:</p><p>58.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>+</p><p>Reduza a expressões mais simples:</p><p>59. ( )</p><p>( )</p><p>x y x y</p><p>x y x y</p><p>− − −</p><p>+ − −</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>60. ( )</p><p>( )</p><p>a b ab b</p><p>a b a b</p><p>+ −</p><p>+ − −</p><p>2 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>Resolva, no conjunto dos números reais, as seguintes equações:</p><p>61. (x + 1)2 = 0</p><p>62. x2 – x = 0</p><p>63. 4x2 – 1 = 0</p><p>64. Resolva a equação: x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>= + +</p><p>Operações com números reais 39</p><p>Dê o conjunto solução das equações a seguir:</p><p>65. x +</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>66. x x−</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>67. x x−</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>2 8</p><p>5</p><p>5</p><p>68. x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>2 5</p><p>3</p><p>3</p><p>69. Quando o número x na equação (k – 3)x + (2k – 5) . 4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de k?</p><p>70. A expressão 1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>5</p><p>8</p><p>+ + + é igual a:</p><p>a)</p><p>287</p><p>120</p><p>b)</p><p>287</p><p>12</p><p>c)</p><p>280</p><p>120</p><p>d)</p><p>287</p><p>100</p><p>71. O resultado da equação 4</p><p>3 10</p><p>3</p><p>4 1x x+</p><p>=</p><p>−</p><p>é:</p><p>a)</p><p>1</p><p>4</p><p>b) −</p><p>10</p><p>3</p><p>c) 1</p><p>d)</p><p>34</p><p>7</p><p>72. Determine o valor da expressão x y</p><p>y</p><p>x</p><p>2</p><p>2 2</p><p>+</p><p>+</p><p>para x = 2 e y = 1</p><p>2</p><p>.</p><p>a) 0</p><p>b) 0,25</p><p>c) 0,5</p><p>d) 0,75</p><p>3</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e</p><p>relações matemáticas</p><p>3.1 O problema</p><p>Um grupo de exatamente 1.000 consumidores entrou em uma loja durante um</p><p>dia. Foi reportado que 420 consumidores eram mulheres, 525 abriram crediário na loja,</p><p>325 fizeram alguma compra, 40 mulheres abriram crediário, mas não fizeram compras,</p><p>150 consumidores compra ram e abriram crediário, 30 mulheres fizeram compras, mas</p><p>não abriram crediário, e 50 mulheres abriram crediário e compraram algum produto.</p><p>Pode-se concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem intenção de comprar? Ou, de outra</p><p>forma, as mulheres vão às lojas e compram menos, ou não abrem tanto crediário quanto os homens?</p><p>3.2 Explorando o problema</p><p>A resposta a esse tipo de problema está diretamente relacionada à construção de conjuntos e</p><p>operações de conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos. Uma forma de resolver o problema</p><p>é por meio da construção de Diagramas de Venn.</p><p>A Teoria dos Conjuntos serve como um dos pilares da matemática moderna. Não somente for-</p><p>nece o veículo para o desenvolvimento de definições precisas para importantes conceitos de relações</p><p>e funções, como também serve como uma aritmética poderosa para manipular conjunto de objetos.</p><p>Assim, a Teoria dos Conjuntos ajuda na análise de um número significativo de problemas</p><p>nas áreas ambientadas em negócios que não são adaptáveis a técnicas algébricas convencionais.</p><p>Além disso, um conhecimento dos concei tos fundamentais da Teoria de Conjuntos pode pavimen-</p><p>tar o caminho para a compreensão de probabilidade e de métodos de inferência estatística.</p><p>Os conjuntos podem ser apresentados de forma analítica, como o conjunto N dos números</p><p>naturais, que pode ser apresentado, como já vimos, da seguinte forma:</p><p>N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}</p><p>Ou, alternativamente, por meio do chamado Diagrama de Venn:</p><p>1 2</p><p>3 6 ...</p><p>4 5</p><p>Essa representação por meio do Diagrama de Venn será muito utilizada na discussão acerca</p><p>das relações e das funções. Aquelas discutidas ainda neste capítulo, e estas em capítulo subsequente.</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos42</p><p>A solução do problema pode facilmente se dar com noções básicas da Teoria dos Conjuntos</p><p>e com a utilização de Diagramas de Venn.</p><p>Nas discussões sobre relações e funções, além desses instrumentos já citados, será fun-</p><p>damental a construção de gráficos com o plano cartesiano, que também será objeto de estudo</p><p>neste capítulo.</p><p>3.3 Equacionando o problema</p><p>Um conjunto é uma coleção bem definida de distintos objetos. No problema colocado, te-</p><p>mos um primeiro importante conjunto, chamado de conjunto dos consumidores. Dele fazem parte</p><p>todas as pessoas, mulheres e homens, que frequentaram uma determinada loja em certo dia. No</p><p>problema, esse conjunto foi relatado como tendo 1.000 elementos.</p><p>Um conjunto é, portanto, formado por elementos que tenham uma característica de interes-</p><p>se em comum. No caso, são pessoas que entraram na loja naquele dia.</p><p>Se esses elementos podem ser divididos por características comuns entre eles, em dis-</p><p>tintos novos conjuntos, esses novos conjuntos são parte do conjunto original e são chamados</p><p>de subconjuntos.</p><p>Os consumidores podem ser divididos em vários novos subconjuntos, como: o subconjunto</p><p>dos homens e o subconjunto das mulheres; o subconjunto dos que compraram alguma mercadoria</p><p>e o dos que não compraram nada; e ainda o subconjunto dos que abriram um crediário e o dos que</p><p>não o abriram.</p><p>Cada um desses três grupos de subconjuntos apresentados divide o conjunto original, também</p><p>chamado de conjunto universo (U), em duas partes excludentes: homens e mulheres; compradores e</p><p>não compradores; e aqueles que abriram crediário e os que não o abriram. Cada um desses subcon-</p><p>juntos, dois a dois, não têm elementos em comum. O subconjunto das mulheres só tem mulheres e</p><p>o subconjunto dos homens só tem homens. Esses subconjuntos são também chamados de conjuntos</p><p>disjuntos. Sua representação gráfica por meio do Diagrama de Venn pode ser apresentada como a</p><p>seguir:</p><p>Figura 1 – Diagrama de Venn: mulheres e homens</p><p>Mulheres Homens</p><p>U</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>No entanto, como as características desses três grupos de subconjuntos são diferentes, pode</p><p>haver interseção entre eles. Mulheres podem comprar ou não, assim como podem abrir crediário</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 43</p><p>ou não. Assim, uma representação completa do problema pode ser feita por meio do seguinte</p><p>Diagrama de Venn:</p><p>Figura 2 – Diagrama de Venn: representação completa</p><p>A C</p><p>M</p><p>H</p><p>U = 1 000</p><p>40</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>Cada um dos espaços dentro do diagrama tem um significado. Por exemplo, as mulheres</p><p>que não compraram, mas abriram crediário (40), estão representadas no diagrama pela cor cinza.</p><p>3.4 Conceitos e regras</p><p>3.4.1 Teoria dos Conjuntos</p><p>3.4.1.1 O conceito de conjunto, subconjunto e seus elementos</p><p>Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos. Nós estamos to-</p><p>dos familiarizados com tais noções de um “conjunto” de pratos ou um “conjunto” de</p><p>clubes de futebol. Mas os objetos contidos em um conjunto não precisam ser tão con-</p><p>cretos como os dos exemplos mencionados. Conceitos abstratos – como todos os intei-</p><p>ros positivos, todos os pontos em um intervalo [a, b] de uma reta e todos os números</p><p>racionais não negativos – também podem ser encontrados em um conjunto.</p><p>Os itens que pertencem a um conjunto, então, podem ser de qualquer tipo:</p><p>pessoas, coisas, localizações geográficas, figuras geométricas, resultados de pesqui-</p><p>sas. Cada objeto de um conjunto é chamado de elemento ou membro do conjunto.</p><p>Para se formar um conjunto, a coleção de objetos deve encontrar dois</p><p>requerimentos.</p><p>Primeiro, o agregador deve estar bem definido. Os itens individuais devem ter</p><p>uma característica ou características que os façam pertencer a um conjunto particu-</p><p>lar. Uma regra ou um método deve existir para que seja possível determinar se um</p><p>objeto, seja ele qual for, é ou não membro do conjunto em questão.</p><p>Segundo, os elementos de um conjunto são distintos. Nenhum conjunto pode ter o mesmo</p><p>elemento duas vezes. Quando um objeto já estiver listado como elemento de um conjunto, não</p><p>poderá mais ser repetido. O conjunto de letras da palavra CURITIBA, por exemplo, não é um</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Vídeo</p><p>Métodos quantitativos matemáticos44</p><p>conjunto que contém oito letras, mas sim um conjunto com sete letras distintas: C, U, R, I, T, B, A.</p><p>A sequência na qual os elementos são listados quando são enumerados é insignificante.</p><p>3.4.1.2 Notação dos conjuntos</p><p>Normalmente, as letras maiúsculas, tais como A, B, X e Y, são usadas para denotar os con-</p><p>juntos, enquanto as letras minúsculas, tais como a, b, x e y, são usadas para representar os elemen-</p><p>tos individuais de um conjunto.</p><p>Os conjuntos podem ser descritos de duas formas:</p><p>• Listagem dos elementos: todos os elementos do conjunto são listados, separados por</p><p>vírgulas e fechados por chaves.</p><p>• Regra: a regra que pode ser usada para determinar se um objeto pertence ou não a um</p><p>conjunto é iniciada e encerrada por chaves.</p><p>Assim, o conjunto A, que contém os inteiros entre 5 e 10, pode ser escrito como:</p><p>A = {6, 7, 8, 9}</p><p>Essa notação é lida “O conjunto A cujos elementos são 6, 7, 8 e 9”.</p><p>O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como:</p><p>A = {x|x é um inteiro e está entre 5 e 10}</p><p>A = {x|5 < x < 10}</p><p>Essa notação pode ser lida “A é um conjunto de todos os as, tal que a seja um inteiro entre</p><p>5 e 10”.</p><p>3.4.1.3 Elementos de um conjunto</p><p>Na notação de conjunto, o símbolo ∈ significa “é um elemento de”, ou “pertence a”, ou “é um</p><p>membro de” um conjunto. Já o símbolo ∉ significa “não é um elemento de” ou “não pertence a”</p><p>um conjunto.</p><p>Exemplo 1</p><p>O conjunto X = {x|x é um inteiro positivo menor que 10 e x é exatamente divisível por 4}.</p><p>Então, 8 ∈ X, mas 7 ∉ X.</p><p>Exemplo 2</p><p>A letra a representa o Sr. Costa, e a letra B representa o conjunto de diretores do Banco do</p><p>Brasil. Então a ∈ B indica que o Sr. Costa é um membro da diretoria do banco; a ∉ B indica que o</p><p>Sr. Costa não é um membro da diretoria do banco.</p><p>3.4.1.4 Conjuntos finitos e infinitos</p><p>Se um conjunto tem um número definido de elementos, ele é chamado de conjunto finito.</p><p>É perfeitamente possível que um conjunto tenha um número exageradamente grande de elementos</p><p>e ainda seja um conjunto finito.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 45</p><p>Se o número de elementos de um conjunto não tem limite, o conjunto é chamado de conjunto</p><p>infinito. Um exemplo simples de um conjunto infinito é o conjunto de números inteiros positivos.</p><p>Conjuntos finitos e infinitos enumeráveis são chamados de conjuntos discretos. Um conjunto</p><p>contínuo é um conjunto infinito não enumerável.</p><p>3.4.1.5 Conjuntos iguais</p><p>Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, cada um deles contiver exatamente os</p><p>mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos é simbolizada da seguinte forma: A = B ou B = A.</p><p>Se um dos conjuntos tiver pelo menos um elemento que não pertença ao outro conjunto, então, os</p><p>dois conjuntos não são iguais. Essa desigualdade é simbolizada da seguinte forma: A ≠ B ou B ≠ A.</p><p>3.4.1.6 Conjunto universo</p><p>Em qualquer análise, quando a Teoria dos Conjuntos é empregada, um conjunto básico que</p><p>contém todos os elementos a serem considerados naquela investigação está tacitamente assumido</p><p>de existir. Esse conjunto é chamado de conjunto universo e é denotado pelo símbolo U. Todos os</p><p>outros conjuntos considerados na investigação são definidos nesse conjunto básico.</p><p>Observe que um conjunto universo diferente é definido para cada problema ou investi-</p><p>gação diferente.</p><p>3.4.1.7 O conjunto vazio</p><p>O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo sím-</p><p>bolo ∅ ou por { }.</p><p>Exemplo 3</p><p>O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros em menos de 5 se-</p><p>gundos é um exemplo de conjunto vazio.</p><p>3.4.1.8 Subconjuntos</p><p>Se todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B, A é chamado</p><p>de subconjunto de B. A relação é simbolizada por A ⊂ B, e se lê “A é subconjunto de B” ou “A está</p><p>contido em B”. Também A ⊂ B indica que todo elemento pertencente ao conjunto A é também um</p><p>elemento de B. Todos os elementos de B podem ou não estar incluídos em A para que a sentença</p><p>“A é um subconjunto de B” seja verdadeira.</p><p>Exemplo 4</p><p>Dado A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4}, o conjunto A é um subconjunto do conjunto B,</p><p>mas A não é subconjunto de C. Isto é, A ⊂ B mas A ⊄ C.</p><p>3.4.1.9 Representação gráfica de conjunto</p><p>Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, é útil fazer uma represen-</p><p>tação geométrica desses conjuntos e as relações entre eles. Diagramas de Venn são usados para</p><p>ilustrar de forma descritiva os conjuntos.</p><p>Métodos quantitativos matemáticos46</p><p>Um grande retângulo é comumente empregado para simbolizar o conjunto universo U, en-</p><p>quanto os círculos ou as elipses, ou outras formas simples, são desenhadas dentro do retângulo</p><p>para descrever subconjuntos de U.</p><p>A única condição é que os símbolos usados para representar os subconjuntos devem estar</p><p>dentro da caixa que representa o conjunto universo. O tamanho e a forma das configurações não</p><p>têm nenhuma influência direta com o número de elementos do conjunto e dos subconjuntos.</p><p>A Figura 3 mostra os subconjuntos A, B e C definidos em um conjunto universo U e ilustra</p><p>que B ⊂ A, A ⊄ B e B ⊄ C.</p><p>Figura 3 – Diagrama de Venn</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>3.4.1.10 Número de subconjuntos de um conjunto</p><p>Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma análise particular, todos os</p><p>conjuntos que podem ser formados de elementos de U são conhecidos como subconjuntos de U.</p><p>O número total de possíveis subconjuntos depende do número de elementos de U.</p><p>Um conjunto com n elementos tem 2n possíveis subconjuntos.</p><p>Assim, um conjunto com 3 elementos tem 23 = 8 possíveis subconjuntos. Por exemplo, o</p><p>conjunto A = {1,2,3} tem os subconjuntos {1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3} e o conjunto vazio</p><p>{ }. Um conjunto de 10 elementos tem 210 = 1.024 subconjuntos.</p><p>3.4.2 Produto cartesiano de conjuntos</p><p>Um par ordenado é um par de objetos no qual a sequência em que os objetos aparecem deve</p><p>ser considerada. A notação (a, b) é usada para representar um par ordenado em que a é o primeiro</p><p>componente e b é o segundo componente.</p><p>O par ordenado (a, b) é muito diferente do conjunto {a, b}, que contém dois elementos a e b.</p><p>No conjunto {a, b} não existe o “primeiro componente”, porque a ordem na qual os elementos do</p><p>conjunto são listados é irrelevante. Assim, apesar de o conjunto {a, b} ser igual ao conjunto {b, a},</p><p>o par ordenado (a, b) não é igual ao par ordenado (b, a). Dois pares ordenados são iguais se, e so-</p><p>mente se, seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos.</p><p>Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 47</p><p>Sempre que tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados pegando o pri-</p><p>meiro componente dos elementos de um conjunto e o segundo componente dos elementos do</p><p>segundo conjunto.</p><p>Se A e B são dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro</p><p>componente é pego do conjunto A e o segundo componente é pego do conjunto B é chamado de</p><p>produto cartesiano de A por B (referência ao matemático René Descartes) e é denotado A x B, nor-</p><p>malmente lido como “A por B”. Em notação simbólica: A x B = {(a, b)| a ∈ A e b ∈ B}.</p><p>Se A e B são conjuntos finitos tal que A contém m elementos a1, a2, ... , am e B contém n ele-</p><p>mentos b1, b2, ... , bn, A x B é um conjunto que contém os seguintes m x n elementos:</p><p>(a1, b1) (a1, b2) ... (a1, bn)</p><p>(a2, b1) (a2, b2) ... (a2, bn)</p><p>(am, b1) (am, b2) ... (am, bn)</p><p>Se o primeiro elemento do par ordenado é pego do conjunto B e o segundo elemento do</p><p>conjunto A, o conjunto produto cartesiano será B por A, denotado B x A.</p><p>Exemplo 1</p><p>Seja o conjunto A que representa os resultados dos lançamentos de uma moeda, A = {C, K},</p><p>onde C é cara e K é coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, os possíveis resultados do lançamen-</p><p>to de um dado. Os conjuntos que seguem são alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que</p><p>podem ser formados:</p><p>A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)}</p><p>B x A = {(1, C),</p>