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<p>Resoluções de Problemas</p><p>Matemáticos</p><p>Professor</p><p>Caderno de Atividades</p><p>Pedagógicas de</p><p>Aprendizagem</p><p>Autorregulada - 02</p><p>2ª Série | 2° Bimestre</p><p>Disciplina Curso Bimestre Ano</p><p>Resolução de Problemas</p><p>Matemáticos</p><p>Ensino Médio 2° 2°</p><p>Habilidades Associadas</p><p>1. Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.</p><p>2. Utilizar o conceito de razão para calcular porcentagens.</p><p>3. Utilizar as razões trigonométricas para resolver problemas significativos.</p><p>2</p><p>A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o</p><p>envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem</p><p>colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes</p><p>preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.</p><p>A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma</p><p>estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas</p><p>competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma,</p><p>por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da</p><p>contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.</p><p>Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das</p><p>habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas.</p><p>Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na</p><p>medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.</p><p>Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também,</p><p>equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar</p><p>consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.</p><p>Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio</p><p>daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o</p><p>desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da</p><p>autorregulação.</p><p>Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para</p><p>o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-</p><p>conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.</p><p>A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da</p><p>Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual.</p><p>Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os</p><p>professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.</p><p>Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer</p><p>esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Apresentação</p><p>http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/</p><p>mailto:curriculominimo@educacao.rj.gov.br</p><p>3</p><p>Caro Tutor,</p><p>Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas</p><p>habilidades e competências do 2° Bimestre do Currículo Mínimo de Resoluções de</p><p>Problemas Matemáticos da 2ª Série do Ensino Médio. Estas atividades correspondem aos</p><p>estudos durante o período de um mês.</p><p>A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades com a</p><p>turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as trocas de</p><p>conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso.</p><p>Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da disciplina e</p><p>independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de nossos alunos no</p><p>mundo do conhecimento do século XXI.</p><p>Neste Caderno de Atividades, os alunos vão aprender o que é uma razão e uma</p><p>proporção, além de analisar as grandezas proporcionais a partir de situações problemas. E</p><p>ainda, trabalharão a trigonometria no triângulo retângulo. No primeiro momento deste</p><p>caderno, eles vão retomar os conceitos de razão e proporção. Depois, serão trabalhadas as</p><p>grandezas proporcionais, avaliando se são diretas ou inversas. Por fim, serão retomados</p><p>conceitos da trigonometria referentes ao triângulo retângulo.</p><p>Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas relações</p><p>diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal eletrônico</p><p>Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o Professor</p><p>Tutor.</p><p>Este documento apresenta 03 (três) Aulas. As aulas podem ser compostas por uma</p><p>explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas</p><p>às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas.</p><p>Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as Atividades propostas. As</p><p>Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõe-se,</p><p>ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.</p><p>Um abraço e bom trabalho!</p><p>Equipe de Elaboração</p><p>4</p><p>Introdução .............................................................................................. 03</p><p>Objetivos Gerais .......................................................................................</p><p>Materiais de Apoio Pedagógico ...............................................................</p><p>Orientação Didático-Pedagógica .............................................................</p><p>Aula 1: Entendendo as proporções............................................................</p><p>Aula 2: Resolvendo Problemas utilizando regra de três............................</p><p>Aula 3: Razões trigonométricas..................................................................</p><p>Avaliação....................................................................................................</p><p>Avaliação Comentada ................................................................................</p><p>Pesquisa ......................................................................................................</p><p>05</p><p>05</p><p>08</p><p>09</p><p>15</p><p>25</p><p>34</p><p>35</p><p>40</p><p>Referências.................................................................................................. 41</p><p>Sumário</p><p>5</p><p>Na 2ª série do Ensino Médio, o conteúdo de Resoluções de Problemas Matemáticos</p><p>tem por objetivo estimular habilidades e competências para o conteúdo denominado</p><p>Resoluções de Problemas Matemáticos traçados a partir do Currículo Mínimo. Vale</p><p>ressaltar que, este Caderno de Atividades se propõe a gerar situações que propiciem o</p><p>confronto de concepções, cabendo ao aluno o papel de construtor de seu próprio</p><p>conhecimento matemático.</p><p>Portanto, almejamos que os alunos sejam capazes de estabelecer correspondência</p><p>entre duas grandezas, resolver problemas utilizando o método da regra de três, e ainda</p><p>trabalhar com razões trigonométricas e porcentagens através de problemas do cotidiano.</p><p>No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns</p><p>materiais que podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir:</p><p>Teleaulas</p><p>Teleaula N° 46 – Habilidade principal: Compreender</p><p>e aplicar o conceito de razão entre duas grandezas.</p><p>Reconhecer grandezas proporcionais e estabelecer</p><p>sua forma de variação (direta ou inversamente</p><p>proporcional). Compreender a ideia de escalas e</p><p>suas aplicações.</p><p>Descrição: A razão é uma comparação entre dois</p><p>números. Você verá que ela - também chamada</p><p>de</p><p>escala - é usada para fazer mapas, plantas,</p><p>maquetes e moldes.</p><p>Endereço eletrônico:</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=PaBwWsA3Rdw</p><p>Materiais de Apoio Pedagógico</p><p>Objetivos Gerais</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=PaBwWsA3Rdw</p><p>6</p><p>Teleaula Nº 41 – Habilidade Principal: Resolver</p><p>problemas do cotidiano envolvendo as razões</p><p>trigonométricas. Utilizar as razões trigonométricas</p><p>para calcular o valor do seno, cosseno e tangente,</p><p>dos ângulos de 30°, 45° e 60°. Calcular o valor do</p><p>seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos de</p><p>um triângulo retângulo.</p><p>Descrição: Os ângulos de 30°, 45° e 60° graus são</p><p>considerados casos especiais por serem os mais</p><p>encontrados no nosso dia-a-dia. Você aprenderá a</p><p>usar a trigonometria neles e verá novas relações</p><p>geométricas, que serão muito úteis na resolução de</p><p>problemas.</p><p>Endereço eletrônico:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=12CGaOzuUEc</p><p>Teleaula Nº49 – Habilidade Principal: Reconhecer</p><p>grandezas proporcionais e estabelecer sua forma de</p><p>variação (direta ou inversamente proporcional).</p><p>Compreender e aplicar o conceito de razão entre</p><p>duas grandezas. Resolver problemas que envolvam</p><p>variação proporcional, direta ou inversa, entre</p><p>grandezas (Proporção inversa)</p><p>Descrição: Esta vídeo aula irá abordar os números</p><p>inversamente proporcionais.</p><p>Endereço eletrônico:</p><p>http://www.telecurso.org.br/matematica-ens-</p><p>f/?Ypage=2</p><p>Orientações Pedagógicas</p><p>do CM</p><p>Recursos Digitais:</p><p>- O vídeo Semelhança (Matemática na vida – Série:</p><p>Razão e Proporção – TV Escola.</p><p>Descrição: Apresenta diversas situações do</p><p>cotidiano que envolvem os conceitos a serem</p><p>trabalhados ao longo dessas aulas.</p><p>Endereço Eletrônico:</p><p>http://www.dominiopublico.gov.br/download/vide</p><p>o/me001056.mp4.</p><p>e</p><p>http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/downloa</p><p>d_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/Setem</p><p>bro2011/lote20-</p><p>09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20prop</p><p>orao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=12CGaOzuUEc</p><p>http://www.telecurso.org.br/matematica-ens-f/?Ypage=2</p><p>http://www.telecurso.org.br/matematica-ens-f/?Ypage=2</p><p>http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001056.mp4</p><p>http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001056.mp4</p><p>http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/Setembro2011/lote20-09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20proporao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf</p><p>http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/Setembro2011/lote20-09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20proporao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf</p><p>http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/Setembro2011/lote20-09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20proporao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf</p><p>http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/Setembro2011/lote20-09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20proporao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf</p><p>http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/Setembro2011/lote20-09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20proporao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf</p><p>7</p><p>– Utilizar as razões trigonométrias para calcular o</p><p>valor do seno, co-seno e tangente, dos ângulos de</p><p>30°, 45° e 60°: Calculando o seno, cosseno e</p><p>tangente dos ângulos mais comuns (conhecidos</p><p>como ângulos notáveis).</p><p>Endereço Eletrônico:</p><p>www.youtube.com/watch?v=AllG-nig6qQ</p><p>– Resolver problemas do cotidiano envolvendo as</p><p>razões trigonométricas: Experimentalmente, os</p><p>alunos serão expostos ao significado da tangente de</p><p>um ângulo interno do triângulo retângulo. Esse</p><p>novo conceito será usado para, depois de construir</p><p>uma ferramenta capaz de medir ângulos verticais,</p><p>encontrar a altura de objetos como antenas,</p><p>árvores, prédios ou postes.</p><p>Endereço Eletrônico:</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/me</p><p>c/15595</p><p>– Compreender e aplicar o conceito de razão entre</p><p>duas grandezas: Animação/simulação que trabalha</p><p>com os conceitos de razão e proporção aplicados</p><p>em uma foto, que será ampliada ou reduzida,</p><p>mostrando através desse processo razões de</p><p>proporcionalidade.</p><p>Endereço Eletrônico:</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/me</p><p>c/19070</p><p>– Reconhecer grandezas proporcionais e</p><p>estabelecer sua forma de variação (direta ou</p><p>inversamente</p><p>proporcional): Textos eletrônicos sobre</p><p>proporcionalidade. Textos eletrônicos sobre regra</p><p>de três.</p><p>Endereços Eletrônicos:</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/funda</p><p>m/razoes/divprop.htm</p><p>e</p><p>http://www.matematicamuitofacil.com/regradetres</p><p>simples.html</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=AllG-nig6qQ</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15595</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15595</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19070</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19070</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/divprop.htm</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/divprop.htm</p><p>http://www.matematicamuitofacil.com/regradetressimples.html</p><p>http://www.matematicamuitofacil.com/regradetressimples.html</p><p>8</p><p>– Resolver problemas que envolvam variação</p><p>proporcional, direta ou inversa, entre grandezas:</p><p>Apresenta dois desafios matemáticos. No primeiro</p><p>desafio o aluno tem que calcular a altura real do</p><p>Colosso de Rodes, comparando a medida da estátua</p><p>com as medidas reais de outros objetos usando o</p><p>conceito de proporcionalidade. No segundo desafio</p><p>o aluno tem que observar os dados oferecidos e</p><p>tentar descobrir a altura da pirâmide de Quéops.</p><p>Endereço Eletrônico:</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/me</p><p>c/841</p><p>– Utilizar o conceito de razão para calcular</p><p>porcentagem: Textos eletrônicos sobre razões.</p><p>Textos eletrônicos sobre porcentagens.</p><p>Endereço Eletrônico:</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/funda</p><p>m/razoes/razoes-aplic.htm</p><p>e</p><p>http://www.matematicamuitofacil.com/porcentage</p><p>m.html</p><p>Para que os alunos realizem as atividades referentes a cada dia de aula, sugerimos</p><p>os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no Caderno do Aluno:</p><p>1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado que o aluno possa</p><p>compreendê-lo sem o auxílio de um professor.</p><p>2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3.</p><p>3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma</p><p>individual ou em dupla.</p><p>4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na</p><p>seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o.</p><p>5° - Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos</p><p>abordados no texto base.</p><p>Orientação Didático-Pedagógica</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/841</p><p>http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/841</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes-aplic.htm</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes-aplic.htm</p><p>http://www.matematicamuitofacil.com/porcentagem.html</p><p>http://www.matematicamuitofacil.com/porcentagem.html</p><p>9</p><p>6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas nas</p><p>ATIVIDADES.</p><p>7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas</p><p>com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da sala para</p><p>que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na Atividade.</p><p>Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementação.</p><p>Caro aluno, nesta aula iremos abordar problemas que envolvem razão e proporção.</p><p>Todos os dias de nossas vidas medimos coisas e comparamos medidas entre si. Por</p><p>exemplo, suponha que você possua doze professores neste ano letivo. Sendo que, cinco</p><p>deles são homens e sete são mulheres. Ao compararmos a primeira medida com a</p><p>segunda, podemos escrevê-la na seguinte forma de fração</p><p>. A esta fração podemos</p><p>chamá-la de razão.</p><p>1 ─ CONCEITO DE RAZÃO:</p><p>Portanto, razão é</p><p>uma relação entre duas grandezas do mesmo tipo que podemos</p><p>representá-la das seguintes formas:</p><p> "a está para b"</p><p> a : b</p><p></p><p>, com .</p><p>Onde o primeiro termo relacionado recebe o nome de antecedente e o segundo,</p><p>consequente.</p><p>Aula 1: Entendendo as proporções</p><p>10</p><p>EXEMPLO 01: Imagine uma foto 3 x 4, em que a largura mede 3cm e o comprimento</p><p>mede 4cm. Logo, a razão entre essas medidas é</p><p>. Assim, 3 é o antecedente e 4 é o</p><p>consequente.</p><p>Existem vários outros exemplos de razão. Um exemplo bem conhecido é a escala.</p><p>Pois com ela relacionamos a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade.</p><p>EXEMPLO 02: Ao medirmos um determinado mapa, verificamos uma distância de 15</p><p>metros de comprimento entre dois objetos. Porém, esta distância foi representada no</p><p>papel com a medida de 50cm. Qual foi a escala utilizada para fazer este desenho?</p><p>Acompanhe a solução!</p><p>Resolução:</p><p>Dados do problema:</p><p> Medida da distância no desenho: 50cm</p><p> Medida da distância real: 15m = 1500cm</p><p>Assim,</p><p>Isto significa, que cada 1cm representado no desenho corresponde a 30cm reais.</p><p>Observe que quando duas razões são iguais, dizemos que elas são proporcionais.</p><p>Assim, uma proporção é a igualdade entre duas razões.</p><p>EXEMPLO 03:</p><p>Vamos ampliar a figura abaixo, de tal forma que ela passe a ter 10cm de largura.</p><p>Observe que não queremos modificar a figura, mas torná-la maior, ou seja, que elas sejam</p><p>proporcionais. Se aumentarmos as medidas dadas, aleatoriamente, ou ainda,</p><p>aumentarmos apenas em uma única dimensão, a figura ficará distorcida. Portanto, é</p><p>necessário que os lados da figura ampliada sejam, respectivamente, proporcionais aos</p><p>lados da figura original. Para que isto ocorra com sucesso, devemos igualar as duas razões.</p><p>Lembre-se que ambas medidas</p><p>devem ser tomadas sempre na</p><p>mesma unidade!</p><p>11</p><p>Observe, que para manter a proporção neste caso, as medidas da figura ampliada</p><p>representam cinco vezes as medidas da figura original. Logo, o comprimento da figura</p><p>ampliada será de 15cm.</p><p>Contudo, seria muito trabalhoso ficarmos pensando quantas vezes a figura</p><p>ampliada representa a figura original. Para isto, usaremos a propriedade fundamental das</p><p>proporções.</p><p>Em uma proporção</p><p>, temos que:</p><p> e são chamados extremos.</p><p> e são chamados meios.</p><p>Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Então,</p><p>12</p><p>Logo,</p><p>Vamos ao exemplo!</p><p>EXEMPLO 04:</p><p>No exemplo anterior tínhamos que</p><p>. Usando a propriedade acima, temos que:</p><p>. Resolvendo, teremos:</p><p>Portanto, chegamos ao mesmo resultado de uma maneira mais prática, certo?</p><p>Agora é a sua vez de praticar!</p><p>01. Em uma sala de aula existem 15 meninas e 20 meninos. Nessas condições, responda:</p><p>a) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos desta sala?</p><p>b) Qual é a razão do número de meninos para o número total de alunos desta sala?</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>. Ou seja, existe 4 meninos para cada 3 meninas.</p><p>b)</p><p>. Ou seja, para cada 7 alunos, 4 são meninos.</p><p>02. A altura de Ana é de 160cm e a altura de Beatriz 1,80m. Qual é a razão entre as alturas</p><p>de Ana e Beatriz?</p><p>Atividades Comentadas 1</p><p>13</p><p>Resolução:</p><p>A principio vamos fazer as devidas conversões:</p><p>Ana = 160cm</p><p>Beatriz = 1,80m = 180cm.</p><p>Logo,</p><p>.</p><p>03. Em uma prova de 10 questões, João acertou 6. Dê a razão entre:</p><p>a) O número questões que ele acertou e o número de questões que errou:</p><p>b) O número de questões que ele acertou e o número total de questões:</p><p>Resolução:</p><p>a) Se a prova tinha 10 questões e ele acertou 6, podemos concluir que ele errou 4 então a</p><p>razão entre o numero de questões certas e questões erradas é :</p><p>.</p><p>b)</p><p>04. Um terreno de 10m de comprimento foi representado por um segmento de 5cm. Qual</p><p>foi a escala utilizada para elaboração deste desenho?</p><p>Resolução:</p><p>Mais uma vez, fique atento quanto às unidades de medida!</p><p>Medida no papel = 5 cm</p><p>Medida real = 10 m = 1.000 cm</p><p>Escala =</p><p>Isto significa, que 1cm no papel representa 200cm reais.</p><p>05. Calcule o valor de nas proporções abaixo:</p><p>a)</p><p>Observe que as</p><p>unidades são</p><p>diferentes!</p><p>14</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>15</p><p>06. Tenho 36 fitas. Sendo que para cada três fitas azuis, tenho uma fita vermelha. Quantas</p><p>fitas vermelhas tenho ao total?</p><p>Resolução:</p><p>Observe que foi dado o total de fitas. Nisto, incluímos as azuis e as vermelhas. Como para</p><p>cada 3 fitas azuis temos 1 vermelha, então estamos comparando um total de 4 fitas entre si.</p><p>Assim, podemos concluir que em cada 4 fitas analisadas 1 delas é vermelha. Portanto, vamos</p><p>escrever da seguinte forma:</p><p>Logo, temos 9 fitas vermelhas ao total.</p><p>Olá alunos! Agora que já estudamos as razões e proporções, vamos analisar o</p><p>contexto em que elas se apresentam. Para isto, esta aula se desenvolverá a partir de</p><p>exemplos de situações cotidianas.</p><p>1 – REGRA DE TRÊS SIMPLES:</p><p>EXEMPLO 01 :</p><p>Imagine que um determinado professor receba seu salário por aula dada. Vamos supor que</p><p>para cada aula trabalhada ele receberá 50 reais. Se esse professor trabalhar uma hora por</p><p>dia, então receberá neste dia 50 reais. Correto?</p><p>Aula 2: Resolvendo problemas utilizando regra de três</p><p>16</p><p>Quanto esse professor receberá por dia, se passar a trabalhar 5 horas por dia? Seria</p><p>mais de 50 reais ou menos? Talvez, você esteja pensando: “É claro que é mais!” Como você</p><p>poderia me explicar tal situação?</p><p>Agora, veja um outro exemplo.</p><p>EXEMPLO 02 :</p><p>João é gerente de uma fábrica de agendas personalizadas. A qual produz, a cada 2 dias, 300</p><p>agendas. João precisa de apenas 4 funcionários para executar tal tarefa. Porém, quando</p><p>chegam as festas de fim de ano, as empresas contratam os serviços de João. Mas,</p><p>eventualmente, algumas encomendas são feitas em cima da hora. Neste ano, João recebeu</p><p>uma encomenda de 300 agendas para serem fabricadas em apenas 1 dia. João se</p><p>apavorou! O que João deverá fazer para atender este pedido?</p><p>Observe que os dois casos tratam de proporções diferenciadas. No primeiro, vemos</p><p>que se o professor trabalhar mais, maior será o seu salário.</p><p>Mas, no segundo caso, João precisará produzir o mesmo número de agendas,</p><p>porém em um tempo menor. Podemos então deduzir que João precisará contratar mais</p><p>funcionários. Certo?</p><p>Vamos analisar a solução dos dois casos detalhadamente:</p><p>1º caso: Por cada aula dada o professor recebe 50 reais. Se ele trabalhar 5 horas,</p><p>quanto receberá?</p><p>Podemos observar que se aumentarmos o número de horas trabalhadas, o valor do</p><p>salário recebido pelo professor também aumentará. E, se diminuirmos o número de horas</p><p>trabalhadas, o valor do salário diminuirá. Portanto, estamos falando de grandezas</p><p>diretamente proporcionais.</p><p>1 hora 50 reais</p><p>5 horas x reais</p><p>Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas,</p><p>a outra aumenta na mesma razão da primeira. Ou seja, quando as setas estão no mesmo</p><p>sentido.</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>17</p><p>Podemos, então escrever da seguinte maneira:</p><p>Assim, se o professor trabalhar 5 horas por dia, receberá por este dia, 250 reais.</p><p>Viu como é fácil! Vamos agora</p><p>ao 2º caso!</p><p>2º caso: João sabe que 4 funcionários conseguem produzir 300 agendas em dois</p><p>dias. Ele precisa produzir este mesmo número de agendas em apenas um dia. A solução vai</p><p>ser contratar mais funcionários. Mas, quantos?</p><p>Podemos observar que se aumentarmos o número de funcionários, a quantidade de</p><p>dias necessário para produzir o mesmo número de agendas diminui. E se quisermos</p><p>diminuir o número de funcionários a quantidade de dias para efetuar tal produção</p><p>aumentará. Portanto, estamos falando de grandezas inversamente proporcionais.</p><p>Neste caso, temos que:</p><p>2 dias 4 funcionários</p><p>1 dia x funcionários</p><p>Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas,</p><p>a outra diminui na mesma razão da primeira. Ou seja, quando as setas estão em sentidos</p><p>contrários.</p><p>Podemos, então escrever da seguinte maneira:</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>D</p><p>IM</p><p>IN</p><p>U</p><p>I</p><p>Lembre-se que se as grandezas forem</p><p>INVERSAMENTE proporcionais, você deve</p><p>INVERTER a posição da segunda razão, como</p><p>no exemplo!</p><p>18</p><p>Dessa maneira, podemos concluir que João precisará de 8 funcionários para realizar</p><p>a tarefa.</p><p>Os problemas de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais</p><p>podem ser resolvidos por um método chamado regra de três simples. Ou seja, em um</p><p>problema, são dados três termos conhecidos e encontraremos o quarto termo.</p><p>EXEMPLO 03 :</p><p>Carla adora fazer bolo de chocolate. Ela usa a seguinte receita para fazer um bolo.</p><p>No próximo fim de semana, Carla vai receber alguns amigos em sua casa. Ela precisa</p><p>fazer três receitas iguais a essa. Quantos ovos serão necessários para que Carla consiga</p><p>aumentar a receita, mantendo as mesmas características?</p><p>19</p><p>Observe que ela precisa manter a mesma receita! Se ela vai aumentar a receita do</p><p>bolo, então os ingredientes devem aumentar na mesma proporção. Logo, podemos</p><p>perceber que as grandezas são diretamente proporcionais. Conhecemos três termos e falta</p><p>encontrarmos o valor do quarto termo. Observe:</p><p>1 receita 4 ovos</p><p>3 receitas x ovos</p><p>Ela vai precisar de 1 dúzia de ovos, ou seja, 12 ovos!</p><p>EXEMPLO 04 :</p><p>Agora, vamos supor que uma pessoa utilize o ônibus para ir à escola. Geralmente,</p><p>este ônibus, com uma velocidade média de 60km/h, leva 1 hora para completar tal</p><p>percurso. Porém, imagine que em um determinado dia houve um grande engarrafamento.</p><p>O mesmo ônibus levou 2 horas para concluir o mesmo percurso diário. Nas condições</p><p>acima, qual foi a velocidade média alcançada pelo ônibus?</p><p>Vejamos, se o ônibus normalmente leva 1 hora para percorrer a distância citada a</p><p>uma velocidade média de 60km/h, e neste dia em especial, levou 2horas para percorrer a</p><p>mesma distância. Podemos concluir que ele andou mais lentamente. Você pode observar</p><p>que as grandezas velocidade média e horas são inversamente proporcionais. Pois se o</p><p>veículo em questão leva mais tempo em uma mesma distância significa que sua velocidade</p><p>média foi menor. Então podemos escrever assim:</p><p>1 hora 60 km/h</p><p>2 horas x km/h</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>D</p><p>IM</p><p>IN</p><p>U</p><p>I</p><p>20</p><p>Conhecemos três termos e falta encontrarmos o valor do quarto termo.</p><p>Logo, o ônibus percorreu a distância com uma velocidade média de 30km/h.</p><p>Neste momento, gostaria de chamar a sua atenção para problemas que envolvem</p><p>porcentagem e que podem ser resolvidos pelo método de regra de três simples. Mas antes,</p><p>vamos recordar a ideia de porcentagem.</p><p>1 – PORCENTAGEM:</p><p>Porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. Por isso, “por cento”. E</p><p>pode ser representada pelo símbolo %.</p><p>Vale ressaltar que, podemos representar uma porcentagem de maneiras diferentes.</p><p>Veja como podemos expressar trinta por cento.</p><p>1)</p><p> Forma de fração.</p><p>2) 0,3  Forma de decimal exato, que é obtido dividindo-se 30 por 100.</p><p>3) 30%  Forma de taxa percentual.</p><p>EXEMPLO 01 :</p><p>21</p><p>Como calcular 20% de um determinado valor? É fácil!</p><p>Basta escrever essa taxa percentual na forma fracionária e depois multiplicá-la pelo valor</p><p>dado. Observe:</p><p>EXEMPLO 02 :</p><p>Como calcular 20% de 400?</p><p>Logo, 20% de 400 é igual a 80. Viu como é prático!</p><p>Agora, vamos apresentar este assunto na forma de um problema do cotidiano.</p><p>Suponhamos que em sua escola possua 800 alunos. De acordo com os dados do</p><p>senso escolar, 38% são meninos. Qual é o número de meninos em sua escola?</p><p>Acompanhe a solução:</p><p>Desse modo, o número de meninos na escola é igual a 304.</p><p>EXEMPLO 03 :</p><p>Em uma classe, 75% dos alunos foram aprovados. Este 75% corresponde a 30</p><p>alunos. Qual é o número total de alunos nessa classe?</p><p>Neste exemplo, queremos saber qual é o valor total de alunos nessa classe. Você</p><p>pode observar que possuímos o valor de três termos e procuramos o valor do quarto</p><p>termo. Podemos solucionar este problema pelo método da regra de três simples.</p><p>75% 30 alunos</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>22</p><p>100% x alunos</p><p>Portanto, o total de alunos, nesta classe, é igual a 40.</p><p>Viu como podemos resolver diversos problemas utilizando a regra de três simples.</p><p>Agora, você precisa pôr em prática o que aprendeu. Vamos lá?</p><p>01. Calcule:</p><p>a) 10% de 550=</p><p>b) 25% de 480=</p><p>c) 7% de 200=</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>02. Uma blusa custa 28 reais. Mas se eu efetuar o pagamento à vista terei 15% de</p><p>desconto.</p><p>Atividades Comentadas 2</p><p>23</p><p>a) Qual será o valor desse desconto?</p><p>b) Quanto pagarei pela blusa, se efetuar o pagamento à vista?</p><p>Resolução:</p><p>a) Basta calcularmos 15% de 28,</p><p>Ou seja, o desconto será de R$4,20</p><p>b) Podemos resolver este problema de duas formas diferentes. Vejamos cada uma delas!</p><p>1ª) Como pagarei à vista, devo retirar do valor total da blusa, o valor do desconto a ser</p><p>dado. Portanto, 28-4,2=23,8</p><p>Ou seja, pagarei R$23,80.</p><p>2ª) Como o desconto será de 15%, significa que pagarei apenas 85% do valor da blusa.</p><p>Assim, basta calcular 85% de 28.</p><p>Isto significa que pagarei R$23,80.</p><p>03. Comprei 7 metros de fita por 14 reais. Quanto pagarei por 13 metros dessa mesma</p><p>fita?</p><p>Resolução:</p><p>Observe que se eu comprar mais metros dessa fita, maior será o valor a pagar. Portanto, as</p><p>duas grandezas são diretamente proporcionais. Temos então:</p><p>7 metros 14 reais</p><p>13 metros x reais</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>24</p><p>Portanto, pagarei 26 reais por 13 metros de fita.</p><p>04. Com quatro pedreiros podemos construir um muro em três dias. Em quantos dias seis</p><p>pedreiros podem construir o mesmo muro?</p><p>Resolução:</p><p>Observe que se quatro pedreiros constroem um muro em três dias, então seis pedreiros</p><p>levarão menos dias para construí-lo. Portanto, as duas grandezas são inversamente</p><p>proporcionais. Temos então:</p><p>4 pedreiros 3 dias</p><p>6 pedreiros x dias</p><p>Portanto, seis pedreiros levarão dois dias para construir o mesmo muro.</p><p>05. Numa classe de 40 alunos, 32 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos</p><p>aprovados?</p><p>Resolução:</p><p>Observe que como é pedido a taxa de porcentagem, precisamos apresentar uma</p><p>correspondência com o total. Veja: o total de alunos é 40. Podemos</p><p>dizer que 40 alunos</p><p>representa 100% do problema. Logo, 32 alunos representam quantos por cento. Utilizando</p><p>a regra de três simples, temos:</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>D</p><p>IM</p><p>IN</p><p>U</p><p>I</p><p>25</p><p>40 alunos 100%</p><p>32 alunos x %</p><p>Portanto, 32 alunos representa 80% dos de alunos dessa classe.</p><p>Caro aluno, existem situações-problemas em que a coleta de dados se dá de forma</p><p>prática e simples. Porém, há outras situações em que a coleta de dados torna-se muito</p><p>difícil. Imagine que você precisa fazer uma determinada medição para agregar informações</p><p>em uma determinada prefeitura. Uma de suas tarefas é apresentar a distância entre as</p><p>duas margens de um rio, o qual não é possível atravessar. Ou ainda, medir a altura de um</p><p>prédio sem ter acesso ao seu topo. Sabe como isso pode ser feito? Utilizando a</p><p>trigonometria!</p><p>Nesta aula, veremos como é possível medir grandes distâncias a partir de relações</p><p>existentes entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. A essas relações</p><p>chamamos de relações trigonométricas nos triângulos. Observe que trigonometria significa</p><p>medida das partes de um triângulo.</p><p>Em especial, nesta aula, veremos a aplicação dessas relações apenas nos triângulos</p><p>retângulos.</p><p>Antes de apresentarmos os exemplos, vamos relembrar alguns conceitos!</p><p>Aula 3: Razões trigonométricas.</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>26</p><p>1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS:</p><p>Seja o triângulo ABC da figura abaixo:</p><p>Observe que o ângulo A e o ângulo C medem juntos 90°. Você sabe o por quê?</p><p>Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° e o ângulo B</p><p>mede 90°. Então, o ângulo A mais o ângulo C medem 90°. Podemos dizer que eles são</p><p>ângulos complementares.</p><p>Quando comparamos as medidas dos lados de um triângulo observando um</p><p>determinado ângulo, determinamos razões trigonométricas a partir desse ângulo.</p><p>Tem-se o mesmo triângulo anterior. Porém,</p><p>vamos considerar o ângulo C como referência para</p><p>construção dessas razões.</p><p>Antes de compararmos as medidas dos lados</p><p>deste triângulo, vamos nomear cada lado a partir do</p><p>ângulo C, por exemplo:</p><p> O lado AC é oposto ao ângulo reto do triângulo ABC, como mostra a figura</p><p>abaixo.</p><p>A este lado chamemos de hipotenusa.</p><p>DICA: Em um</p><p>triângulo retângulo, a</p><p>hipotenusa será</p><p>sempre o maior lado!</p><p>27</p><p>Após localizarmos o lado que representa a hipotenusa do triângulo, sobram outros</p><p>dois. Esses outros lados recebem o nome de catetos.</p><p>O nosso intuito é comparar as medidas dos lados do triângulo a partir do ângulo C</p><p>dado. Para isto, chamaremos o lado BC de cateto adjacente, que significa aquele que está</p><p>junto ao ângulo. E o lado AB de cateto oposto, que significa o lado oposto ao ângulo dado.</p><p>Observe que se estivéssemos comparando as medidas dos lados do triângulo a</p><p>partir do ângulo A dado, chamaríamos o lado BC de cateto oposto e o lado AB de cateto</p><p>adjacente.</p><p>Agora, após denominarmos os nomes a cada lado desse triângulo podemos montar</p><p>as seguintes razões:</p><p>I ─ A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo dado e a medida da hipotenusa,</p><p>chamamos de seno do ângulo.</p><p>II ─ A razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa,</p><p>chamamos de cosseno do ângulo.</p><p>28</p><p>III ─ A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo dado e a medida do cateto</p><p>adjacente ao ângulo, chamamos de tangente do ângulo.</p><p>Vejamos o exemplo a seguir:</p><p>EXEMPLO 01 :</p><p>Calcule as razões seno, cosseno e tangente do ângulo F do</p><p>triângulo DEF ao lado.</p><p>Resolução:</p><p>Observe que primeiro precisamos nomear os lados a partir do ângulo F.</p><p>Temos então:</p><p>O seno, o cosseno e a tangente são as principais razões trigonométricas.</p><p>2 – TABELAS TRIGONOMÉTRICAS:</p><p>As razões trigonométricas são aplicadas à resolução de muitos problemas. Para isto,</p><p>é comum recorrermos as tabelas trigonométricas, na qual são fornecidos os valores</p><p>aproximados do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 1° a 89°.</p><p>29</p><p>A construção das primeiras tabelas trigonométricas deveu-se ao astrônomo grego</p><p>Hiparco de Niceia (180-125 a.C.). Mas, hoje em dia, é muito comum calculadoras</p><p>fornecerem os valores dessas razões. Por isso, estudaremos apenas as razões</p><p>trigonométricas referentes aos ângulos notáveis, ou seja, que aparecem com frequência</p><p>em problemas. São eles: 30°, 45° e 60°.</p><p>Observe a tabela:</p><p>30° 45° 60°</p><p>Seno</p><p>Cosseno</p><p>Tangente</p><p>1</p><p>EXEMPLO 01 :</p><p>Você precisa medir a altura de um prédio. Para isto se afasta 40 metros deste. Dentro do</p><p>seu campo de visão e com a ajuda de um instrumento que mede ângulos, o teodolito. Você</p><p>determinou que o ângulo formado entre a linha do horizonte e o topo do prédio é de 60°.</p><p>Sabendo que a sua altura é igual a 1,60m. Qual é a altura do prédio que você está</p><p>observando?</p><p>Observe o esquema abaixo:</p><p>30</p><p>Primeiro, precisamos achar o valor de x. Sendo assim, vamos nomear os lados do</p><p>triângulo dado. Como o ângulo dado é 60°. Então nomearemos a partir deste ângulo. Daí,</p><p>temos que:</p><p> 40m é a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60°;</p><p> x é a medida do cateto oposto ao ângulo de 60°.</p><p>Como as informações dadas referem-se aos catetos oposto e adjacente, devemos</p><p>analisar a razão tangente entre eles. Pois é esta razão que relaciona o cateto oposto e o</p><p>cateto adjacente entre si. Podemos escrever assim:</p><p>Lembre-se que devemos sempre utilizar as informações da tabela dada. Da qual,</p><p>temos que . Portanto, basta aplicarmos a substituição:</p><p>Resolvendo, temos:</p><p>Vamos usar o valor aproximado para .</p><p>Assim,</p><p>Mas, cuidado! 68 é a medida do valor de x e não a altura do prédio. Para acharmos</p><p>a medida da altura do prédio devemos somar a este resultado a altura do observador.</p><p>31</p><p>Portanto, a altura do prédio em questão é de 69,60m.</p><p>Que tal exercitar um pouco? Faça as atividades propostas, e em caso de dúvidas retorne</p><p>aos exemplos apresentados!</p><p>01. Considere o triângulo ao lado e responda as seguintes questões:</p><p>a) Qual é a medida da hipotenusa?</p><p>b) Qual é a medida do cateto oposto ao ângulo Q?</p><p>c) Qual é a medida do cateto adjacente ao ângulo Q?</p><p>d) Calcule o seno do ângulo Q:</p><p>e) Calcule o cosseno do ângulo Q:</p><p>f) Calcule a tangente do ângulo Q:</p><p>Resolução:</p><p>a) A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto do triângulo dado. Portanto, o lado QR que</p><p>mede 20cm.</p><p>b) O cateto oposto ao ângulo Q é o lado PR. Portanto, mede 16cm.</p><p>c) O cateto adjacente ao ângulo Q, é o lado que está junto ao ângulo Q. Logo, o lado PQ,</p><p>que mede 12cm.</p><p>d) O seno do ângulo Q é obtido a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao ângulo Q</p><p>e a hipotenusa do triângulo PQR. Podemos escrever da seguinte maneira:</p><p>Atividades Comentadas 3</p><p>32</p><p>e) O cosseno do ângulo Q é obtido a partir da razão que relaciona o cateto adjacente ao</p><p>ângulo Q e a hipotenusa do triângulo PQR. Podemos escrever da seguinte maneira:</p><p>f) A tangente do ângulo Q é obtida a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao</p><p>ângulo Q e o cateto adjacente ao ângulo Q. Podemos escrever da seguinte maneira:</p><p>02. Calcule o valor de x no triângulo abaixo:</p><p>Resolução:</p><p>Primeiro vamos nomear os lados do triângulo dado usando como referência o ângulo de</p><p>30°. Note que:</p><p> x é a hipotenusa do triângulo;</p><p> 6 é o cateto oposto ao ângulo de 30°</p><p>Como conhecemos o cateto oposto e estamos procurando o valor da hipotenusa, então a</p><p>razão que relaciona esses dados é o seno. Assim, temos que:</p><p>Como o valor de</p><p>, conforme apresentado na tabela. Podemos substituir da</p><p>seguinte forma:</p><p>33</p><p>Agora, basta resolver a proporção:</p><p>Logo, o valor de x na figura acima é igual a 12.</p><p>03. Um carpinteiro precisa construir um telhado utilizando uma madeira de 3 metros,</p><p>conforme figura abaixo. A recomendação do fabricante das telhas que serão utilizadas,</p><p>informa que a inclinação correta para este telhado deve ser de 30°. Sabendo disso, qual</p><p>será a altura (x) correta para que a instalação deste telhado obedeça as especificações?</p><p>Resolução:</p><p>Vamos reescrever os dados do problema em um triângulo retângulo.</p><p>Observe que:</p><p> o ângulo de referência é 30°;</p><p> hipotenusa mede 3m;</p><p> Note que o cateto oposto ao ângulo</p><p>de 30° mede x.</p><p>Como conhecemos a hipotenusa e estamos</p><p>procurando o valor do cateto oposto, então a razão que relaciona esses dados é o seno.</p><p>Assim, temos que:</p><p>34</p><p>Como o valor de</p><p>, conforme apresentado na tabela. Podemos substituir da</p><p>seguinte forma:</p><p>Agora, basta resolver a proporção:</p><p>Portanto, a altura do telhado deve ser de 1,5m.</p><p>Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas que</p><p>estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa.</p><p>Nas disciplinas em que os alunos participam da Avaliação do Saerjinho, pode-se utilizar</p><p>a seguinte pontuação:</p><p> Saerjinho: 2 pontos</p><p> Avaliação: 5 pontos</p><p> Pesquisa: 3 pontos</p><p>Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a</p><p>participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como uma</p><p>das três notas. Neste caso teríamos:</p><p> Participação: 2 pontos</p><p> Avaliação: 5 pontos</p><p> Pesquisa: 3 pontos</p><p>A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este bimestre.</p><p>Avaliação</p><p>35</p><p>Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação dos alunos. As</p><p>mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de Atividades Pedagógicas de</p><p>Aprendizagem Autorregulada – 02.</p><p>Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades do</p><p>aluno:</p><p>01. Em uma pesquisa com o total de 350 alunos. Obteve-se os seguintes resultados:</p><p> 210 são meninas;</p><p> 10% tem mais 18 anos ou mais;</p><p> Em cada 5 alunos pesquisados, 4 mora próximo à escola.</p><p>Com base nos dados acima, responda as seguintes questões:</p><p>a) Qual é a razão entre o número de meninas e o número de meninos?</p><p>b) Qual é o número de alunos com menos de 18 anos?</p><p>c) Quantos alunos moram próximo à escola?</p><p>Resolução:</p><p>a) Observe que o total de alunos é igual a 350. Como o número de meninas é igual a 210.</p><p>Podemos efetuar 350-210=140. Logo, o número de meninos é igual a 140. Agora, como</p><p>conhecemos o número de meninas e o número de meninos, podemos escrever da seguinte</p><p>maneira:</p><p>b) Com base nos dados acima, temos que 10% do número de alunos da pesquisa possuem</p><p>18 anos ou mais. Sendo assim, 90% desses alunos possuem menos de 18 anos. Portanto,</p><p>basta calcularmos 90% do total de alunos entrevistados.</p><p>.</p><p>Logo, 315 alunos possuem menos de 18 anos.</p><p>Avaliação Comentada</p><p>36</p><p>c) Observe que podemos escrever uma razão entre o número de alunos pesquisados e o</p><p>número de alunos que moram próximo a escola. Como o total de alunos entrevistados é</p><p>igual a 350. Podemos escrever uma proporção:</p><p>Resolvendo,</p><p>Assim, temos que dos 350 alunos entrevistados, 280 moram próximo à escola.</p><p>02. A razão entre a altura de Izabela e Fabiana é</p><p>. A altura de Izabela é 160 cm. Qual é a</p><p>altura de Fabiana?</p><p>Resolução:</p><p>Como conhecemos a altura de Izabela, podemos dizer que:</p><p>Portanto, Fabiana mede 96cm.</p><p>37</p><p>03. Uma torneira despeja 12 litros de água por minuto e enche uma caixa em 5 horas.</p><p>Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por</p><p>minuto?</p><p>Resolução:</p><p>Como a torneira passará a despejar mais água por minuto, significa que levará menos</p><p>tempo para encher a caixa. Sendo assim, podemos dizer que as grandezas são</p><p>inversamente proporcionais.</p><p>12 litros 5 horas</p><p>20 litros x horas</p><p>Então, devemos inverter a segunda razão:</p><p>Portanto, esta torneira levará 3 horas para encher a mesma caixa.</p><p>04. Considere o triângulo abaixo e responda as seguintes questões:</p><p>a) Qual é a medida da hipotenusa?</p><p>b) Qual é a medida do cateto oposto ao ângulo B?</p><p>c) Qual é a medida do cateto adjacente ao ângulo B?</p><p>d) Calcule o seno do ângulo B:</p><p>e) Calcule o cosseno do ângulo B:</p><p>f) Calcule a tangente do ângulo B:</p><p>A</p><p>U</p><p>M</p><p>EN</p><p>TA</p><p>D</p><p>IM</p><p>IN</p><p>U</p><p>I</p><p>38</p><p>Resolução:</p><p>a) A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto do triângulo dado. Portanto, o lado AB que</p><p>mede 6.</p><p>b) O cateto oposto ao ângulo B é o lado AC. Portanto, mede 5.</p><p>c) O cateto adjacente ao ângulo B, é o lado que está junto ao ângulo B. Logo, o lado BC, que</p><p>mede 3,4.</p><p>d) O seno do ângulo B é obtido a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao ângulo B</p><p>e a hipotenusa do triângulo ABC. Podemos escrever da seguinte maneira:</p><p>e) O cosseno do ângulo B é obtido a partir da razão que relaciona o cateto adjacente ao</p><p>ângulo B e a hipotenusa do triângulo ABC. Podemos escrever da seguinte maneira:</p><p>f) A tangente do ângulo B é obtida a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao</p><p>ângulo B e o cateto adjacente ao ângulo B. Podemos escrever da seguinte maneira:</p><p>05. O prefeito de uma cidade quer fazer do Morro da Cruz um local para atrair turistas.</p><p>Para isto, pretende construir um teleférico a fim de tornar mais acessível o ponto mais alto</p><p>do morro (o ponto B). A altura do ponto B, em relação ao solo, é de 1250 metros. Os</p><p>engenheiros recomendaram o ponto A, como ponto de partida do teleférico. Qual é a</p><p>distância do ponto A ao ponto C, de acordo com a figura apresentada abaixo?</p><p>Resolução:</p><p>Vamos reescrever o problema através do desenho do triângulo ABC.</p><p>39</p><p>A partir das informações obtidas no enunciado da questão, note que:</p><p> o ângulo de referência é 45°;</p><p> o lado BC, que mede 1250m, é o cateto oposto ao ângulo de 45°;</p><p> observe que o lado AB, que mede x, é o cateto adjacente ao ângulo de 45°.</p><p>Como conhecemos o cateto oposto e estamos procurando o valor do cateto</p><p>adjacente, então a razão que relaciona esses dados é a tangente. Assim, temos que:</p><p>Como o valor de , conforme apresentado na tabela. Podemos substituir</p><p>da seguinte forma:</p><p>Agora, basta resolver a proporção:</p><p>Portanto, a distância do ponto A ao ponto C é de 1250m.</p><p>Professor Aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais assuntos</p><p>relativos ao 2° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância</p><p>deles em suas</p><p>vidas.</p><p>É um momento onde a busca do conhecimento é aguçada, trazendo o aluno para</p><p>um universo diferente, onde as respostas buscadas se tornam desafios, tirando muitas</p><p>Pesquisa</p><p>40</p><p>vezes o aluno de um estado de acomodação e contribuindo para formar novos</p><p>pesquisadores.</p><p>Na pesquisa você provavelmente encontrará diversos respostas distintas, por isso,</p><p>neste documento não responderemos as questões propostas. O aluno deverá responder a</p><p>pesquisa após interagir com os colegas, assistir a videos, pesquisar na internet ou em</p><p>literaturas diversas.</p><p>Oriente-o a ler atentamente as questões respondendo cada uma delas de forma</p><p>clara e objetiva.</p><p>ATENÇÃO: Não se esqueça de ressaltar a importância de identificar as Fontes de Pesquisa,</p><p>ou seja, o nome dos livros e sites nos quais foram utilizados.</p><p>Seguem algumas sugestões e propostas para a realização da pesquisa referente aos</p><p>assuntos do 2° Bimestre:</p><p>I – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar razões e</p><p>proporções.</p><p>Espera-se que o aluno seja capaz de identificar relações entre grandezas do mesmo tipo</p><p>ocorridas no seu cotidiano, como por exemplo, a utilização de uma escala, a ampliação ou</p><p>diminuição de uma imagem, ou ainda, a proporção que existe na forma humana. Esta</p><p>atividade não tem o objetivo de verificar se o aluno responderá formalmente, mas se ele</p><p>entendeu a noção de razão e proporção apresentada através das relações por ele expostas,</p><p>e se ele é capaz de representá-la.</p><p>II – Agora que estudamos o conteúdo de razão e proporção e vemos que elas estão ligadas</p><p>às formas, estruturas, e de certa forma definem um conceito de beleza e harmonia.</p><p>Podemos verificar que tais conceitos influenciam a música. Por exemplo, através da</p><p>proporção áurea, sistemas de afinação, entre outros. Explique como se dá a razão e</p><p>proporção na música. Como ela interfere na harmonia e afinação. Apresente alguns</p><p>exemplos de sua aplicação.</p><p>( ATENÇÃO: Fazer esta parte da atividade em uma folha separada! )</p><p>41</p><p>Caro Professor, este item tem o objetivo de verificar se o aluno foi capaz de</p><p>perceber que as razões tem uma utilização no nosso cotidiano, em especial na música.</p><p>Então, ele deverá apresentar a influência da razão áurea e falar um pouco da influência da</p><p>matemática na música. Ressaltando a representação através de razões da harmonia e</p><p>afinação. Esta atividade tem, ainda, a finalidade de associar o aprendizado adquirido à</p><p>Artes e, ainda, suscitar no aluno interesse por outros campos de conhecimento.</p><p>[1] DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar 9:</p><p>Geometria Plana. 8 ed. São Paulo: Atual, 2006</p><p>[2] IEZZE, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6ª. Edição. São Paulo:</p><p>Atual, 2009.</p><p>[3] PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica.</p><p>Curitiba: SEED, 2006</p><p>[4] MARTAIX, M. El Discreto encanto de las matemáticas. Barcelona: Marcombo, 1986.</p><p>Equipe de Elaboração</p><p>Referências</p><p>42</p><p>COORDENADORES DO PROJETO</p><p>Diretoria de Articulação Curricular</p><p>Adriana Tavares Mauricio Lessa</p><p>Coordenação de Áreas do Conhecimento</p><p>Bianca Neuberger Leda</p><p>Raquel Costa da Silva Nascimento</p><p>Fabiano Farias de Souza</p><p>Peterson Soares da Silva</p><p>Ivete Silva de Oliveira</p><p>Marília Silva</p><p>COORDENADORA DA EQUIPE</p><p>Raquel Costa da Silva Nascimento</p><p>Assistente Técnico de Matemática</p><p>PROFESSORES ELABORADORES</p><p>Ângelo Veiga Torres</p><p>Daniel Portinha Alves</p><p>Fabiana Marques Muniz</p><p>Herivelto Nunes Paiva</p><p>Izabela de Fátima Bellini Neves</p><p>Jayme Barbosa Ribeiro</p><p>Jonas da Conceição Ricardo</p><p>Reginaldo Vandré Menezes da Mota</p><p>Tarliz Liao</p><p>Vinícius do Nascimento Silva Mano</p><p>Weverton Magno Ferreira de Castro</p><p>CIEP 456 – Marco Polo – Matemática – 2º ano: exercícios de proporções – 2º TRABALHO - 2° bim. 2016</p><p>Aluno: ________________________________________________Turma: ________ Data: ____________</p><p>Justifique as respostas.</p><p>CIEP 456 – Marco Polo – Matemática – 2º ano: exercícios de proporções -AULA - 2° bim. 2016</p><p>Aluno: ________________________________________________Turma: ________ Data: ____________</p><p>Justifique as respostas.</p><p>1</p><p>CIEP 456 – Marco Polo – Matemática – 2º ano: exercícios de porcentagem – 3º TRABALHO - 2° bim. 2016</p><p>Aluno: ________________________________________________Turma: ________ Data: ____________</p><p>Justifique as respostas.</p>