1725224045110Seminário Pi de Buckinham (1) (1)

Prévia do material em texto

<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ESCOLA DE MINAS</p><p>MEC-119 - MECÂNICA DOS FLUIDOS</p><p>BRIGITTE DISHIN</p><p>EDUARDO ALVES</p><p>LUCAS ROCHA</p><p>PEDRO JOSÉ</p><p>SYLLAS BRUNO</p><p>SEMINÁRIO DE MEC119 - MECÂNICA DOS FLUIDOS</p><p>TEOREMA PI DE BUCKINHAM</p><p>OURO PRETO-MG</p><p>2023</p><p>BRIGITTE DISHIN</p><p>EDUARDO ALVES</p><p>LUCAS ROCHA</p><p>PEDRO JOSÉ</p><p>SYLLAS BRUNO</p><p>SEMINÁRIO DE MEC119 - MECÂNICA DOS FLUIDOS</p><p>TEOREMA PI DE BUCKINHAM</p><p>Trabalho realizado para o curso</p><p>de mecânica dos fluidos da</p><p>Escola de Minas da Universidade</p><p>Federal de Ouro Preto - UFOP</p><p>Prof. Dra Ana Maura</p><p>OURO PRETO</p><p>2023</p><p>RESUMO</p><p>O teorema Pi de Buckingham, também conhecido como Teorema Pi de</p><p>Vaschy-Buckingham, é uma ferramenta da análise dimensional usada para</p><p>simplificar equações físicas complexas. Ele afirma que um fenômeno físico com n</p><p>variáveis dimensionais pode ser descrito por um número menor de parâmetros</p><p>adimensionais (π). No contexto do tubo de Venturi (protótipo), o teorema Pi é</p><p>aplicado para expressar relações entre variáveis como a velocidade do fluido, a área</p><p>da seção transversal, a densidade do fluido e a viscosidade, permitindo a obtenção</p><p>de uma relação funcional mais simples que descreve o comportamento do fluido no</p><p>tubo de Venturi. Isso facilita a análise e a modelagem do fenômeno.</p><p>ABSTRACT</p><p>Buckingham's Pi theorem, also known as the Vaschy-Buckingham Pi theorem, is a</p><p>dimensional analysis tool used to simplify complex physical equations. It states that a</p><p>physical phenomenon with n dimensional variables can be described by a smaller</p><p>number of dimensionless parameters (π). In the context of the Venturi tube</p><p>(prototype), the Pi theorem is applied to express relationships between variables</p><p>such as fluid velocity, cross-sectional area, fluid density and viscosity, allowing to</p><p>obtain a simpler functional relationship than describes the behavior of the fluid in the</p><p>Venturi tube. This facilitates the analysis and modeling of the phenomenon.</p><p>INTRODUÇÃO.........................................................................................................................6</p><p>Simplificação de Equações Físicas:.......................................................................6</p><p>Desenvolvimento de Modelos Físicos:...................................................................6</p><p>Teste de Escala e Generalização:..........................................................................6</p><p>Verificação Experimental:.......................................................................................6</p><p>Engenharia e Design:.............................................................................................6</p><p>Análise de Dados Empíricos:................................................................................. 7</p><p>Estimativa de Parâmetros:..................................................................................... 7</p><p>Compreensão de Fenômenos Naturais................................................................. 7</p><p>DESENVOLVIMENTO............................................................................................................. 8</p><p>Exercícios Resolvidos...................................................................................................... 11</p><p>CONCLUSÃO........................................................................................................................ 17</p><p>REFERÊNCIAS..................................................................................................................... 19</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O teorema Pi de Buckingham é de extrema importância na física e na</p><p>engenharia, pois proporciona uma abordagem sistemática para a análise</p><p>dimensional de fenômenos físicos complexos. Ele tem diversas aplicações,</p><p>incluindo:</p><p>Simplificação de Equações Físicas:</p><p>O teorema Pi permite reduzir o número de variáveis independentes em uma</p><p>equação física, simplificando a descrição do fenômeno e facilitando análises</p><p>quantitativas.</p><p>Desenvolvimento de Modelos Físicos:</p><p>Ajuda na formulação de modelos físicos ou matemáticos mais simples e</p><p>generalizados, ao identificar as combinações adimensionais relevantes que</p><p>governam o comportamento do sistema.</p><p>Teste de Escala e Generalização:</p><p>Permite avaliar como um fenômeno se comporta em diferentes escalas,</p><p>possibilitando a generalização dos resultados obtidos em uma situação para outras</p><p>semelhantes.</p><p>Verificação Experimental:</p><p>Facilita o planejamento e a interpretação de experimentos, auxiliando na</p><p>seleção dos parâmetros de interesse e no ajuste das condições de teste.</p><p>Engenharia e Design:</p><p>O teorema Pi é amplamente utilizado na engenharia para otimizar projetos,</p><p>calcular parâmetros críticos e entender o comportamento de sistemas complexos,</p><p>como na aerodinâmica, hidrodinâmica e transferência de calor.</p><p>Análise de Dados Empíricos:</p><p>Ajuda a analisar dados experimentais e encontrar correlações entre variáveis,</p><p>mesmo quando não há uma relação teórica clara.</p><p>Estimativa de Parâmetros:</p><p>Permite estimar valores de parâmetros desconhecidos em equações físicas</p><p>com base em observações empíricas.</p><p>Compreensão de Fenômenos Naturais</p><p>O teorema Pi pode ser aplicado em áreas como a geofísica, biologia e química,</p><p>auxiliando na compreensão e na modelagem de fenômenos naturais.</p><p>Em resumo, o Teorema Pi de Buckingham é uma ferramenta essencial para</p><p>simplificar problemas físicos complexos, proporcionando uma estrutura sistemática</p><p>para a análise dimensional e facilitando a compreensão, o projeto e a resolução de</p><p>diversos desafios nas ciências e na engenharia.</p><p>DESENVOLVIMENTO</p><p>O Teorema de Pi de Buckingham é um método matemático usado para</p><p>determinar grupos adimensionais em problemas físicos. Ele é usado para reduzir o</p><p>número de variáveis dimensionais em um problema, tornando-o mais fácil de</p><p>analisar. O teorema é baseado no princípio da homogeneidade dimensional, que</p><p>afirma que as equações físicas devem ser dimensionalmente homogêneas, ou seja,</p><p>todas as grandezas envolvidas devem ter as mesmas dimensões.</p><p>Na aplicação industrial, como em turbinas eólicas, o Teorema de Pi de</p><p>Buckingham pode ser usado para analisar o comportamento do fluido (ar) que passa</p><p>pelas pás da turbina. Por exemplo, pode-se usar o teorema para determinar a</p><p>relação entre a velocidade do vento, o diâmetro das pás da turbina, a densidade do</p><p>ar e a força gerada pelas pás. Essa análise pode ajudar a otimizar o desempenho</p><p>da turbina eólica, aumentando sua eficiência e reduzindo os custos de operação.</p><p>As turbinas eólicas são dispositivos que convertem a energia cinética do vento</p><p>em energia elétrica. Elas são compostas por pás que giram em torno de um eixo</p><p>quando são atingidas pelo vento. A força gerada pelas pás é transmitida ao gerador</p><p>elétrico, que produz energia elétrica. O desempenho de uma turbina eólica depende</p><p>de vários fatores, como a velocidade do vento, o diâmetro das pás, a densidade do</p><p>ar e a eficiência do gerador elétrico.</p><p>Ao aplicar o Teorema de Pi de Buckingham ao problema da turbina eólica,</p><p>pode-se determinar grupos adimensionais que relacionam esses fatores entre si.</p><p>Esses grupos adimensionais podem ser usados para analisar o desempenho da</p><p>turbina eólica em diferentes condições de vento e densidade do ar. Isso pode ajudar</p><p>a otimizar o projeto da turbina eólica, aumentando sua eficiência e reduzindo os</p><p>custos de operação.</p><p>Um exemplo concreto de como o Teorema de Pi de Buckingham pode ser</p><p>aplicado às turbinas eólicas é na análise da potência gerada pela turbina. A potência</p><p>gerada por uma turbina eólica depende da velocidade do vento (V), do diâmetro das</p><p>pás (D), da densidade do ar (ρ) e da eficiência do gerador elétrico (η). Ao aplicar o</p><p>Teorema de Pi de Buckingham a essas variáveis dimensionais, pode-se determinar</p><p>um grupo adimensional que relaciona essas variáveis entre si. Esse grupo</p><p>adimensional é conhecido como o Número de Potência (Cp)</p><p>O protótipo é uma versão simplificada do que acontece em uma aplicação</p><p>industrial. Você pode usar o Teorema de Pi de Buckingham para analisar o</p><p>comportamento do fluido no seu protótipo e entender como ele se relaciona com os</p><p>parâmetros</p><p>geométricos da garrafa PET e do tubo.</p><p>Outra aplicação do protótipo pode ser em sistemas de refrigeração, onde o</p><p>protótipo, que consiste em unir duas pontas de garrafa PET com um tubo inserido e</p><p>um ventilador em alta velocidade, pode ser usado para estudar o comportamento de</p><p>fluidos em sistemas de refrigeração. Em sistemas de refrigeração, como</p><p>ar-condicionado ou geladeiras, o fluxo de</p><p>O fluido refrigerante é crucial para o desempenho do sistema. O fluido</p><p>refrigerante é usado para absorver calor do ambiente e transferi-lo para outro local,</p><p>onde é liberado. Isso ajuda a reduzir a temperatura do ambiente e mantê-lo fresco.</p><p>O protótipo pode ser usado para simular o fluxo de fluido refrigerante em</p><p>diferentes condições e ajudar a otimizar o projeto do sistema de refrigeração. Por</p><p>exemplo, usar o protótipo para estudar como a velocidade do fluido refrigerante, a</p><p>pressão do fluido e a geometria do tubo afetam o desempenho do sistema de</p><p>refrigeração. Ao variar esses parâmetros no protótipo e observar como eles afetam</p><p>o fluxo de fluido refrigerante.</p><p>Na etapa de compressão, o fluido refrigerante é comprimido por um</p><p>compressor, aumentando sua pressão e temperatura. Na etapa de condensação, o</p><p>fluido refrigerante quente passa por um condensador, onde ele libera calor para o</p><p>ambiente externo e se condensa em um líquido. Na etapa de expansão, o fluido</p><p>refrigerante líquido passa por uma válvula de expansão, onde sua pressão é</p><p>reduzida e ele se transforma em um gás frio. Na etapa de evaporação, o fluido</p><p>refrigerante frio passa por um evaporador, onde ele absorve calor do ambiente</p><p>interno e se evapora novamente em um gás. O ciclo então se repete.</p><p>Ele pode ser usado para simular diferentes partes desse ciclo de refrigeração e</p><p>ajudar a entender como o fluxo de fluido refrigerante afeta o desempenho do</p><p>sistema. Por exemplo, você pode usar seu protótipo para estudar como a velocidade</p><p>do fluido refrigerante afeta a transferência de calor nas etapas de condensação e</p><p>evaporação. Também podemos usar o protótipo para estudar como a pressão do</p><p>fluido refrigerante afeta a eficiência do compressor e da válvula de expansão.</p><p>Ao aplicar o Teorema de Pi de Buckingham ao problema do sistema de</p><p>refrigeração, podemos determinar grupos adimensionais que relacionam esses</p><p>parâmetros entre si. Esses grupos adimensionais podem ser usados para analisar o</p><p>desempenho do sistema de refrigeração em diferentes condições. Isso pode ajudar</p><p>a otimizar o projeto do sistema de refrigeração, aumentando sua eficiência e</p><p>reduzindo os custos de operação.</p><p>Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício Resolvido retirado da plataforma “Responde ai”</p><p>CONCLUSÃO</p><p>Em conclusão, o Teorema Pi de Buckingham emergiu como uma ferramenta</p><p>indispensável na análise dimensional de fenômenos complexos e na engenharia.</p><p>Através da identificação e manipulação de parâmetros adimensionais, este teorema</p><p>proporciona uma abordagem sistemática para a simplificação de equações físicas e</p><p>a compreensão mais profunda dos sistemas em estudo.</p><p>Neste trabalho, utilizamos o Teorema Pi para analisar o comportamento de um</p><p>tubo de Venturi, um dispositivo amplamente empregado em engenharia</p><p>fluidodinâmica. Através da aplicação cuidadosa dos parâmetros adimensionais</p><p>relevantes, fomos capazes de reduzir a complexidade da equação que descreve o</p><p>fluxo de fluido no tubo de Venturi. Isso nos permitiu entender como diferentes</p><p>variáveis, como velocidade do fluido, área da seção transversal e densidade,</p><p>interagem e influenciam o funcionamento do dispositivo.</p><p>Além disso, a análise dimensional utilizando o Teorema Pi de Buckingham teve</p><p>implicações práticas na engenharia e no design. Ao identificar as relações entre</p><p>variáveis adimensionais, pudemos otimizar o desempenho do protótipo do tubo de</p><p>Venturi. Isso é crucial para aplicações que vão desde sistemas de ventilação até</p><p>medidores de vazão em processos industriais, onde uma compreensão precisa do</p><p>comportamento do fluido é essencial.</p><p>Em última análise, este trabalho demonstra a importância do Teorema Pi de</p><p>Buckingham como uma ferramenta valiosa para simplificar problemas complexos,</p><p>projetar sistemas eficientes e compreender melhor a física subjacente. À medida</p><p>que continuamos a explorar novas fronteiras na ciência e engenharia, o Teorema Pi</p><p>permanecerá como uma pedra angular fundamental, permitindo-nos desvendar os</p><p>segredos de sistemas complexos e impulsionar a inovação tecnológica.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>● FREITAS, Gean Henrique Sabino; MICHELS, Flavio Santana; PASSOS,</p><p>Wilson Espindola. ANÁLISE DIMENSIONAL E APLICAÇÃO HIDRÁULICA</p><p>DO TEOREMA PI DE. Rio Grande: Vetor, 2015.</p><p>● The Physical review. ser.2 v.3-4 1914The Physical review. ser.2 v.3-4 1914.</p><p>Disponível em:</p><p><https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.31210014450082&view=1up&seq=</p><p>905>. Acesso em: 11 ago. 2023.</p><p>● Pi theorem | physics. Disponível em:</p><p><https://www.britannica.com/science/pi-theorem>.Acesso em: 11 ago. 2023.</p><p>● Análise Dimensional - Teorema Pi. Disponível em:</p><p><https://www.youtube.com/watch?v=tNm2jZ0G4-0>. Acesso em: 11 ago.</p><p>2023.</p><p>● Teorema Pi de Buckingham: Grupos Adimensionais Passo a Passo |</p><p>Responde Aí. Disponível em:</p><p><https://www.respondeai.com.br/conteudo/fen-trans-mec-flu-trans-cal-e-t</p><p>rans-massa/analise-dimensional/teorema-pi/1303>. Acesso em: 12 ago.</p><p>2023.</p>