Geometria-Plana-Semelhanca-de-Triangulos-2

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<p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 29</p><p>Semelhança de Triângulos</p><p>1. (Uem 2014) João dispõe de três pedaços triangulares de palha de aço, sendo a área de</p><p>cada pedaço diretamente proporcional à massa do mesmo. Um pedaço possui 10,0 g de</p><p>massa, o segundo possui 12,0 g de massa e o terceiro, 18,0 g. Ele queimou completamente os</p><p>dois primeiros pedaços e mediu novamente suas massas, tendo obtido, respectivamente, 10,5</p><p>g e 12,6 g.</p><p>Com base na situação exposta, assinale o que for correto.</p><p>01) O aumento de massa se deve à reação química que causou uma redução nos átomos de</p><p>ferro que reagiram.</p><p>02) As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado</p><p>se devem à Lei de Proust.</p><p>04) Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar</p><p>em torno de 18,9 g.</p><p>08) Verificou-se um aumento de 0,5 % na massa de cada um dos pedaços de palha de aço</p><p>queimados.</p><p>16) Se, antes do experimento, os pedaços triangulares de 18 g e 10 g constituíam um par de</p><p>triângulos semelhantes, a razão de semelhança entre eles era de 9/10.</p><p>2. (Espm 2014) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com</p><p>BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diante.</p><p>Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada</p><p>por esse móvel será de:</p><p>a) 65 m</p><p>b) 72 m</p><p>c) 80 m</p><p>d) 96 m</p><p>e) 100 m</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 29</p><p>3. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F -</p><p>falsas.</p><p>( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 12cm. Sabendo que temos uma</p><p>circunferência inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a área</p><p>da circunferência inscrita e a área da circunferência circunscrita é</p><p>1</p><p>.</p><p>4</p><p>( ) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x y 4 0.   Sabendo que a</p><p>reta suporte da outra diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5, 3), pode-se</p><p>concluir que o perímetro desse quadrado, em unidades de comprimento, é igual a 16 2.</p><p>( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num triângulo PRQ. Sendo RQ 36cm e</p><p>a altura relativa a essa base igual a 24cm, então, a área da região hachurada vale,</p><p>aproximadamente, 225cm</p><p>2</p><p>.</p><p>A sequência correta, de cima para baixo, é:</p><p>a) V - V - F</p><p>b) V - F - V</p><p>c) V - F - F</p><p>d) F - F - V</p><p>4. (Ufsc 2014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens</p><p>retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de</p><p>2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma</p><p>estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma</p><p>ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada</p><p>lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível</p><p>planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:</p><p>Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK' 18km.</p><p>Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado</p><p>da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a</p><p>cidade B tenha comprimento mínimo.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 29</p><p>5. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes características:</p><p>- o ângulo Ê é reto;</p><p>- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD;</p><p>- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.</p><p>O segmento AC, em unidades de comprimento, mede</p><p>a) 8. b) 12. c) 13. d) 61. e) 5 10.</p><p>6. (Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB b e AD h, que</p><p>foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.</p><p>As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE x e AF y, a razão</p><p>x</p><p>b</p><p>é igual</p><p>a</p><p>a)</p><p>2 2</p><p>.</p><p>3</p><p>b)</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>c)</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>d)</p><p>6</p><p>.</p><p>4</p><p>e)</p><p>6</p><p>.</p><p>3</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 29</p><p>7. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo</p><p>lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.</p><p>A medida do lado desse quadrado é um número</p><p>a) par.</p><p>b) primo.</p><p>c) divisível por 4.</p><p>d) múltiplo de 5.</p><p>8. (G1 - ifce 2014)</p><p>O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço</p><p>mostrado na figura, é</p><p>a) 10.</p><p>b) 8.</p><p>c) 6.</p><p>d) 4.</p><p>e) 2.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 29</p><p>9. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas</p><p>várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.</p><p>b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da</p><p>distância do ponto E ao baricentro M.</p><p>10. (Upf 2014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi dividido em três figuras: I, II e III.</p><p>Então, é correto afirmar que:</p><p>a) A área da figura II é maior do que a área da figura I.</p><p>b) A área da figura II é menor do que a área da figura I.</p><p>c) A área da figura I é o dobro da área da figura III.</p><p>d) A área da figura I é igual à área da figura II.</p><p>e) A área da figura III é 1/3 da área da figura I.</p><p>11. (Pucrs 2014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em</p><p>forma de triângulo com a parte mais profunda destacada.</p><p>O valor em metros da medida ―x‖ é</p><p>a) 2</p><p>b) 2,5</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 6</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 29</p><p>12. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no</p><p>qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,</p><p>igual a</p><p>a) 24 cm</p><p>b) 13 cm</p><p>c) 12 cm</p><p>d) 9 cm</p><p>e) 7 cm</p><p>13. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no</p><p>alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do</p><p>desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras</p><p>projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm.</p><p>Portanto, a altura do ―pau de sebo‖, em metros, é</p><p>a) 5,0.</p><p>b) 5,5.</p><p>c) 6,0.</p><p>d) 6,5.</p><p>TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:</p><p>Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a</p><p>produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do</p><p>agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados</p><p>irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente.</p><p>14. (Uea 2014) Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo</p><p>porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do</p><p>navio B é de 18 km / h e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C</p><p>é de 15 km, conforme mostra a figura:</p><p>Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois</p><p>navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente,</p><p>a) 30 e 25.</p><p>b) 25 e 22.</p><p>c) 30 e 24.</p><p>d) 25 e 20.</p><p>e) 25 e 24.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 29</p><p>15. (Ufsc 2013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um</p><p>quadrado.</p><p>Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente.</p><p>02) Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE.</p><p>Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE.</p><p>04) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa</p><p>AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que</p><p>está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do</p><p>triângulo ABC.</p><p>08) Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6cm. O volume do octaedro</p><p>é 288cm</p><p>3</p><p>.</p><p>16) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o</p><p>quadrilátero é um losango.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 29</p><p>16. (Uem 2013) Considere um triângulo ABC com medidas AB 5cm, AC 2cm e</p><p>BC 4cm. Sejam D o ponto médio de BC e E o ponto médio de AB. Assinale o que for</p><p>correto.</p><p>01) Os triângulos ABC e EBD são congruentes.</p><p>02) A área do triângulo ABC é menor do que 4 cm</p><p>2</p><p>.</p><p>04) O triângulo EBD é obtusângulo.</p><p>08) O centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC está no interior desse triângulo.</p><p>16) A área do quadrilátero AEDC é o triplo da área do triângulo EBD.</p><p>17. (Ufmg 2013) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de</p><p>produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas</p><p>contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku,</p><p>apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O</p><p>seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com</p><p>AB 160 e AD 80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD</p><p>do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e</p><p>Q.</p><p>Considerando essas informações,</p><p>a) DETERMINE o raio QO da circunferência.</p><p>b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ.</p><p>18. (Fgv 2013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD .</p><p>Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de</p><p>circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos.</p><p>A distância de P até CB , em centímetros, é igual a</p><p>a)</p><p>4</p><p>5</p><p>b)</p><p>19</p><p>25</p><p>c)</p><p>3</p><p>4</p><p>d)</p><p>7</p><p>10</p><p>e)</p><p>17</p><p>25</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 29</p><p>19. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor</p><p>firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na</p><p>qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF,</p><p>todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e</p><p>BC representam cabos de aço que serão instalados.</p><p>Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?</p><p>a) 1m</p><p>b) 2 m</p><p>c) 2,4 m</p><p>d) 3 m</p><p>e) 2 6 m</p><p>TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:</p><p>Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a</p><p>figura abaixo (ilustrativa).</p><p>Ela deseja que:</p><p>— as medidas s e t sejam diferentes;</p><p>— a área da piscina seja 50 m</p><p>2</p><p>;</p><p>— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear;</p><p>— a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.</p><p>20. (Insper 2013) Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi</p><p>construída uma saída de água que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m</p><p>da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser</p><p>aproximadamente igual a</p><p>a) 10,00 m.</p><p>b) 13,33 m.</p><p>c) 16,67 m.</p><p>d) 20,00 m.</p><p>e) 23,33 m.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 29</p><p>21. (Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD,</p><p>foram utilizadas duas varetas, linha e papel.</p><p>As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as</p><p>extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.</p><p>Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ˆABC e ˆADC são retos.</p><p>Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine o</p><p>comprimento total da linha, representada por AB BC CD DA.  </p><p>22. (Insper 2012) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e</p><p>apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde</p><p>passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma</p><p>nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a</p><p>R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.</p><p>O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade</p><p>Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é</p><p>a) 250.</p><p>b) 240.</p><p>c) 225.</p><p>d) 200.</p><p>e) 180.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 29</p><p>23. (Espm 2012) A figura abaixo mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo</p><p>ABC, onde AB = 5cm e BC = 13cm.</p><p>Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M é ponto médio de BC.</p><p>Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a:</p><p>a) 12 cm</p><p>2</p><p>b) 18 cm</p><p>2</p><p>c) 15 cm</p><p>2</p><p>d) 7,5 cm</p><p>2</p><p>e) 9 cm</p><p>2</p><p>TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:</p><p>Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 27dm. Traçando-se uma reta ―t‖, paralela à</p><p>base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que</p><p>DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm.</p><p>24. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa falsa.</p><p>a) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes.</p><p>b) Os triângulos ABC e CDE são semelhantes.</p><p>c) CD 2.AD.</p><p>d) A razão de semelhança é</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>e) O lado BC mede 24dm.</p><p>25. (Ufpe 2011) Na figura abaixo AB AD 25,  BC 15 e DE 7. Os ângulos ˆˆDEA,BCA e</p><p>ˆBFA são retos. Determine AF.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 12 de 29</p><p>26. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em</p><p>450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do ―Colégio Alfa‖.</p><p>Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base</p><p>BCmede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm</p><p>O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta</p><p>cinza para pintar</p><p>25400 cm .</p><p>Adote 3π </p><p>Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o</p><p>círculo em todas as camisetas é igual a</p><p>a) 9</p><p>b) 10</p><p>c) 11</p><p>d) 12</p><p>27. (G1 - ccampos 2011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o</p><p>segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao</p><p>segmento AO, que M é o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT , determine a medida</p><p>do ângulo</p><p>^</p><p>TMO</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 29</p><p>28. (Unemat 2010) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos</p><p>médios dos lados AB e AC .</p><p>O segmento MNmede 6 cm.</p><p>A área do triângulo ABC mede:</p><p>a) 218 3 cm</p><p>b) 224 2 cm</p><p>c) 230 2 cm</p><p>d) 230 3 cm</p><p>e) 236 3 cm</p><p>29. (Fuvest 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além</p><p>disso, o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto</p><p>BC e o ponto F</p><p>pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE =</p><p>3</p><p>2</p><p>, então</p><p>a área do paralelogramo DECF vale</p><p>a)</p><p>63</p><p>25</p><p>b)</p><p>12</p><p>5</p><p>c)</p><p>58</p><p>25</p><p>d)</p><p>56</p><p>25</p><p>e)</p><p>11</p><p>5</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 29</p><p>30. (Ufg 2010) As ―Regras Oficiais de Voleibol‖, aprovadas pela Federação Internacional de</p><p>Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular,</p><p>medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura.</p><p>A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m</p><p>para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque,</p><p>desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a</p><p>seguir.</p><p>Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando</p><p>sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H,</p><p>fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R,</p><p>tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.</p><p>Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir</p><p>fazer o ponto.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 15 de 29</p><p>Gabarito:</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>02 + 04 = 06.</p><p>[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]</p><p>[02] As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado</p><p>se devem à Lei de Proust (proporções fixas).</p><p>[04] Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar</p><p>em torno de 18,9 g.</p><p>após a queima</p><p>após a queima</p><p>após a queima</p><p>Pr imeiro pedaço (10,0 g) :</p><p>m 10,5 g</p><p>10,5 10,0</p><p>0,05 5 %</p><p>10</p><p>Segundo pedaço (12,0 g) :</p><p>m 12,6 g</p><p>12,6 12,0</p><p>0,05 5 %</p><p>12</p><p>Terceiro pedaço (18,0 g) :</p><p>m m</p><p>m 18,0</p><p>0,05</p><p>18</p><p>m 18,9 g</p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]</p><p>[16] Falsa, pois a razão de semelhança será</p><p>18 9 3</p><p>.</p><p>10 5 5</p><p> </p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[C]</p><p>Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos facilmente AC 20 m.</p><p>Os triângulos ABC, CDE, EFG, são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança</p><p>é igual a</p><p>CD 12 3</p><p>,</p><p>16 4AB</p><p>  segue-se que AC 20 m, CE 15 m,</p><p>45</p><p>EG m,</p><p>4</p><p> constituem uma</p><p>progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado por</p><p>20</p><p>80 m.</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p></p><p></p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 16 de 29</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[B]</p><p>Sejam r e R, respectivamente, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência</p><p>circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que</p><p>r 1</p><p>,</p><p>R 2</p><p> vem</p><p>2 22</p><p>2</p><p>r r 1 1</p><p>.</p><p>R 2 4R</p><p>π</p><p>π</p><p>   </p><p>     </p><p>   </p><p>Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas a equação da reta suporte da outra</p><p>diagonal. Portanto, nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado.</p><p>Seja a medida do lado do quadrado ABCD. Como os triângulos PRQ e PAB são</p><p>semelhantes por AA, tem-se que</p><p>24 72</p><p>cm.</p><p>24 36 5</p><p></p><p>  </p><p>Por conseguinte, a área hachurada é dada por</p><p>2</p><p>236 24 72</p><p>225cm .</p><p>2 5</p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>Resposta da questão 4:</p><p>Considere a figura.</p><p>O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D'</p><p>é um ponto da reta DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK', então,</p><p>pela Desigualdade Triangular, BD' D'H BD' AC' BD DH BH.     </p><p>Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que</p><p>DK BK DK 5</p><p>2,5CH CD 18 DK</p><p>DK 12km.</p><p>  </p><p></p><p> </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 17 de 29</p><p>Resposta da questão 5:</p><p>[E]</p><p>Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem</p><p>CD BD CD 4</p><p>5CE AE CD 3</p><p>CD 12.</p><p>  </p><p></p><p> </p><p>Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos</p><p>2 2 2 2 2 2AC AE CE AC 5 15</p><p>AC 5 10.</p><p>    </p><p> </p><p>Resposta da questão 6:</p><p>[E]</p><p>Seja (AEF) 2S. Pela simetria da figura, temos (EBDF) (BDHG) S.  Além disso, os</p><p>triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA.</p><p>Portanto, como</p><p>(ABD) (AEF) (EBDF) 3S,  </p><p>tem-se</p><p>2 2</p><p>(AEF) 2Sx x</p><p>(ABD) 3Sb b</p><p>x 6</p><p>,</p><p>b 3</p><p>   </p><p>     </p><p>   </p><p> </p><p>que é o resultado pedido.</p><p>Resposta da questão 7:</p><p>[D]</p><p>Seja a medida do lado do quadrado DEFG.</p><p>Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA.</p><p>Portanto,</p><p>24</p><p>120 5 3</p><p>40 24</p><p>15cm,</p><p></p><p>   </p><p> </p><p>que é um múltiplo de 5.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 18 de 29</p><p>Resposta da questão 8:</p><p>[D]</p><p>Considere a figura.</p><p>É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se é a medida</p><p>do lado do quadrado, temos</p><p>28</p><p>16 4.</p><p>2</p><p>    </p><p>Resposta da questão 9:</p><p>a) Supondo que CAB BED 90 ,   é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são</p><p>semelhantes por AA. Desse modo, temos</p><p>AC AB x 24</p><p>2 2,5ED BE</p><p>x 19,2 m.</p><p>  </p><p> </p><p>b) Queremos mostrar que BM 2 ME. </p><p>De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que</p><p>DE é base média do triângulo ABC e, portanto,</p><p>1</p><p>DE BC</p><p>2</p><p>  e DE BC. Em consequência,</p><p>os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí,</p><p>BM BC BM BC</p><p>1ME DE ME BC</p><p>2</p><p>BM 2 ME.</p><p>  </p><p></p><p>  </p><p>Resposta da questão 10:</p><p>[D]</p><p>y2z</p><p>x</p><p>x2</p><p>y</p><p>z</p><p>~ IIII ΔΔ</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 19 de 29</p><p>Calculando a área de cada figura, temos:</p><p>2</p><p>yx</p><p>A</p><p>yx2A</p><p>xy2</p><p>2</p><p>x2z</p><p>A</p><p>III</p><p>II</p><p>I</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II.</p><p>Resposta da questão 11:</p><p>[C]</p><p>O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m.</p><p>O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto:</p><p>2 x</p><p>8x 24 x 3m</p><p>8 12</p><p>    </p><p>Resposta da questão 12:</p><p>[C]</p><p>Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto</p><p>em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O.</p><p>Como OH OD 3cm  e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os</p><p>triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim,</p><p>AD DO 4 3</p><p>8AH HC HC</p><p>HC 6cm.</p><p>  </p><p> </p><p>Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC 12cm.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 20 de 29</p><p>Resposta da questão 13:</p><p>[A]</p><p>Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a</p><p>altura h do pau de sebo é dada por</p><p>h 1</p><p>h 5 m.</p><p>125 25</p><p>  </p><p>Resposta da questão 14:</p><p>[C]</p><p>y 18 0,5 9km  </p><p>Logo,</p><p>2 2 2x 9 15 x 12km   </p><p>Depois de uma hora de viagem as distâncias serão dobradas, portanto, a distância entre os</p><p>navios B e C será de 30km.</p><p>A velocidade do navio C é de 12km a cada meia hora, ou seja, 24km / h.</p><p>Resposta da questão 15:</p><p>02 + 04 + 08 + 16 = 30.</p><p>01) Falsa. Seria possível se a altura do triângulo tivesse a mesma medida que sua base.</p><p>02) Verdadeira, pois</p><p>AECD EDC AECD BEC</p><p>ADE AECD EDC</p><p>BEC EDC AECD ADE</p><p>A A A A</p><p>A A A</p><p>como A A , temos A A</p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>04) Verdadeira. Área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC</p><p>(área do triângulo MBC). Observe na figura:</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 21 de 29</p><p>8) Verdadeira. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide</p><p>V = 2.(1/3).x</p><p>2</p><p>.h</p><p>V = 2.(1/3).72.6</p><p>V = 288 cm</p><p>3</p><p>16) Verdadeira, pois esta propriedade define um losango.</p><p>Resposta da questão 16:</p><p>02 + 04 + 16 =</p><p>22.</p><p>[01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos</p><p>ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a 2.</p><p>[02] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos</p><p>2</p><p>11 11 11 11</p><p>(ABC) 4 2 5</p><p>2 2 2 2</p><p>11 3 7 1</p><p>2 2 2 2</p><p>231</p><p>4</p><p>256</p><p>4</p><p>4cm .</p><p>   </p><p>      </p><p>   </p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p>[04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC é obtusângulo.</p><p>De fato,</p><p>2 2 2 2 2 2AB BC AC 5 4 2 .    </p><p>[08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o</p><p>circuncentro de ABC não está no seu interior.</p><p>[16] Correto. Do item [01], temos</p><p>2(ABC)</p><p>2 4.</p><p>(EBD)</p><p> </p><p>Daí, como (ABC) (EBD) (AEDC),  segue que (AEDC) 3 (EBD). </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 22 de 29</p><p>Resposta da questão 17:</p><p>a) O raio da circunferência é</p><p>80</p><p>40</p><p>2</p><p> .</p><p>b) Admita PQ = x</p><p>2 2 2BQ 40 80 BQ 40 5</p><p>POM ~ MQB, logo:</p><p>MQ 40</p><p>80 40 5</p><p>5MQ 80</p><p>MQ 16 5</p><p>Logo, MQ 32 5</p><p>Δ Δ</p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 23 de 29</p><p>Resposta da questão 18:</p><p>[A]</p><p>Considere a figura.</p><p>Sejam Q, S e H, respectivamente, o pé da perpendicular baixada de P sobre BC, a</p><p>interseção de AM com DP e o pé da perpendicular baixada de M sobre CP.</p><p>Queremos calcular PQ.</p><p>Como AB AP 4cm,  MD MP 2cm  e AM é lado comum, segue-se que os triângulos</p><p>ADM e APM são congruentes por LLL. Desse modo, AM é mediatriz de DP.</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APM, vem</p><p>2 2 2 2 2 2AM AP MP AM 4 2</p><p>AM 2 5 cm.</p><p>    </p><p> </p><p>Além disso, temos</p><p>2 2MP AM MS 2 2 5 MS</p><p>2</p><p>MS cm.</p><p>5</p><p>    </p><p> </p><p>É fácil ver que o triângulo CPD é retângulo em P. Logo, HP MS. Por outro lado, CM MP e</p><p>HM CP implica em CH HP. Daí,</p><p>4</p><p>CP 2 HP cm.</p><p>5</p><p>  </p><p>Finalmente, como os triângulos HMP e QCP são semelhantes, encontramos</p><p>4</p><p>PQ CP PQ 5</p><p>2 2HP MP</p><p>5</p><p>4</p><p>PQ .</p><p>5</p><p>  </p><p> </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 24 de 29</p><p>Resposta da questão 19:</p><p>[C]</p><p>É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,</p><p>AF AC AF 4</p><p>6BF BD BF</p><p>AF BF 2 3</p><p>2AF</p><p>AF 2</p><p>.</p><p>5AF BF</p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem</p><p>AF EF AF EF</p><p>6AB BD AF BF</p><p>EF 2</p><p>6 5</p><p>EF 2,4 m.</p><p>  </p><p></p><p> </p><p> </p><p>Resposta da questão 20:</p><p>[E]</p><p>Considere a figura.</p><p>Sabendo que BE DF 7 m  e BF DE m 3,  segue que AE t 7  e CF s 3.  Logo, como</p><p>os triângulos AED e DFC são semelhantes, vem</p><p>CF DF s 3 7</p><p>3 t 7DE AE</p><p>3t</p><p>s .</p><p>t 7</p><p></p><p>  </p><p></p><p> </p><p></p><p>Além disso, como a área da piscina é 250 m e s t, encontramos</p><p>2</p><p>3t</p><p>s t 100 t 100</p><p>t 7</p><p>3t 100t 700 0</p><p>t 23,33.</p><p>    </p><p></p><p>   </p><p> </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 25 de 29</p><p>Resposta da questão 21:</p><p>Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360 e que</p><p>os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso,</p><p>como AC BD, segue que DE EB e, portanto,</p><p>2</p><p>DE EB AE EC DE 18 32</p><p>DE 9 2 32</p><p>DE 3 8</p><p>DE 24cm.</p><p>     </p><p>   </p><p>  </p><p> </p><p>Desse modo, como AE 18 3 6   e DE 24 4 6,   vem que AD 5 6 30.   Por outro lado,</p><p>como EC 32 4 8   e DE 24 3 8,   obtemos CD 5 8 40.  </p><p>Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os triângulos BCE e</p><p>CDE, vem</p><p>AB BC CD DA 2 30 2 40 140cm.       </p><p>Resposta da questão 22:</p><p>[E]</p><p>Determinando o valor de k no triângulo XZP:</p><p>K</p><p>2</p><p>= 120</p><p>2</p><p>+ 160</p><p>2</p><p>K = 200 km.</p><p>XZP XDYΔ Δ</p><p>200 120</p><p>2d 360 d 180km</p><p>300 d</p><p>    </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 26 de 29</p><p>Resposta da questão 23:</p><p>[C]</p><p>Como os triângulos ABC e APN são semelhantes, conclui-se que AP = PB = 5/2.</p><p>AC</p><p>2</p><p>= 13</p><p>2</p><p>– 5</p><p>2</p><p>AC = 12</p><p>12</p><p>sen</p><p>13</p><p>α </p><p>Cálculo de h,</p><p>12</p><p>sen</p><p>13</p><p>h 12 30</p><p>h</p><p>5 13 13</p><p>2</p><p>α </p><p>  </p><p>Portanto, a área do paralelogramo é A =</p><p>13 30</p><p>. 15</p><p>2 13</p><p> .</p><p>Resposta da questão 24:</p><p>[B]</p><p>14 CE 18 2</p><p>CDE ~ CAB AC 21 e CE 16.</p><p>AC CE 18 27 3</p><p>Δ Δ       </p><p></p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 27 de 29</p><p>Resposta da questão 25:</p><p>Considere a figura.</p><p>Como   AB 25 5 5 e   BC 15 5 3, segue que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo</p><p>retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo,   AC 5 4 20.</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem</p><p>    </p><p> </p><p> </p><p>2 2 2 2 2 2AD DE AE AE 25 7</p><p>AE 576</p><p>AE 24.</p><p>Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos que</p><p></p><p>   </p><p>GC BC 15 7 35</p><p>GC .</p><p>24 8DE AE</p><p>Logo,     </p><p>35 125</p><p>AG AD GC 20 .</p><p>8 8</p><p>Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhantes por AA. Desse modo,</p><p></p><p>   </p><p>125</p><p>24</p><p>AF AG 8AF 15.</p><p>25AE AD</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 28 de 29</p><p>Resposta da questão 26:</p><p>[A]</p><p>2 2 2AC 16 12 AC 20   </p><p>R 16 R</p><p>AOD ~ ACM R 6</p><p>12 20</p><p>Δ Δ</p><p></p><p>   </p><p>Área que será pintada.</p><p>A =</p><p>2 2 2A 450. .R 450.3.6 48600cmπ  </p><p>Número de potes =</p><p>48600</p><p>9</p><p>5400</p><p></p><p>Resposta da questão 27:</p><p>Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo: 2 2k a</p><p>a 4k a 2k</p><p>a 4k</p><p>     .</p><p>Logo, no triângulo MTO, temos: ok 1</p><p>cos 60</p><p>2k 2</p><p>α α    .</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 29 de 29</p><p>Resposta da questão 28:</p><p>[E]</p><p> AMN ~  ABC</p><p>logo, BC = 2.6 = 12</p><p>Área do  ABC =</p><p>4</p><p>3122</p><p>= 336 cm</p><p>2</p><p>Resposta da questão 29:</p><p>[A]</p><p>(AC)</p><p>2</p><p>= 4</p><p>2</p><p>+ 3</p><p>2</p><p> AC = 5</p><p>∆DBE ~ ∆ABC </p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>34</p><p></p><p>yx</p><p> x = 1,2 e y = 0,9</p><p>A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura será x = 1,2</p><p>Logo sua área será A = 2,1. 1,2 =</p><p>25</p><p>63</p><p>100</p><p>252</p><p>10</p><p>12</p><p>10</p><p>21</p><p></p><p>Resposta da questão 30:</p><p>Como AC PD, pelo Teorema de Tales segue que</p><p>AP CD AP 3 1</p><p>.</p><p>9 3PB DB PB</p><p>   </p><p>Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto,</p><p>HA AB HA AP PB HA 4</p><p>HA 3,24 m.</p><p>2,43 3RP PB RP PB</p><p></p><p>      </p>