FUNÇAO AFIM

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<p>Traçado de gráficos de funções afins Vamos construir os gráficos de algumas funções afins, dadas por f(x) = ax + b, no plano cartesiano. Como o gráfico da função afim é uma reta e, para traçar uma reta, basta conhecermos dois pontos distin- tos pertencentes a ela, então determinamos dois pontos distintos da função e traçamos a reta. Veja alguns exemplos. X f(x) X f(x) -2 -5 0 2 1 4 1 -1 (0,1) y = y 4 5 ponto (0, 2) em que a 3 4 reta intersecta ponto em o eixo y 2 3 que a reta 2 intersecta de 1 eixo y Banco 1 -1 1 2 3 4 1 -3-2-1 0 2 3 1 2 -2 -3 -3 -4 -4 5 Nesse caso, temos a portanto a fun- Nesse caso, temos então a fun- ção f é crescente e gráfico da função é ascen- ção é decrescente e o gráfico da função é des- dente ("sobe" da esquerda para a direita). cendente ("desce" da esquerda para a direita). X f(x) X f(x) -1 -3 -2 4 1 3 1 -2 y f(x)=-2x y da 4 3 f(0)=b=0 de Banco 0 -2 0 -1 1 1 -2 a=3 3 Fique atento A função linear, dada pela lei f(x) ax, com a # 0, é um caso particular da função afim. As funções dos exemplos e d são funções lineares. O gráfico de uma função linear é uma reta não vertical que passa pela origem (0, 0). 38</p><p>Porque o gráfico da função identidade é uma reta que divide os ângulos que delimitam esses dois quadrantes em ângulos de mesma medida. Não escreva no livro. e) f(x) X Fique atento y X f(x) da A função identidade, 2 dada pela lei f(x) = X, -2 -2 f(0)=b= 0 1 é um caso particular da 2 2 função afim. A função -2- 0 1 2 1 de 1 identidade também é -2 uma função linear. O gráfico dela é a bissetriz dos e quadrantes. y X f(x) f(0)=b=2 Reflita -2 2 2 f(x) 2 Por que o gráfico da função identidade -1 2 1 (função do exemplo e) 0 2 0 de -2-1 1 2 é a bissetriz dos e 1 2 quadrantes? 2 2 Fique atento 4 y A função do exemplo f é da f(0) = b = 2 uma função constante. X f(x) y=2 gráfico de uma função 2 -2 0 constante é uma reta 1 0 2 de paralela ou coincidente 2 0 1 2 com eixo X que passa pelo ponto (0, b). Nesse -2 caso, Atividades resolvidas 3. Calcule e indique no caderno a taxa de variação da função cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos A(1,3) e 6). Verifique se essa função afim é crescente ou decrescente. Resolução y B Sabemos 6 r Em A(1,3 em B(5, 6), temos f(5) = 6. f(x2) 3 A 3 de X2 - Portanto, a taxa de variação de f(x) é igual a 4 Como 0, a função é crescente. 3 x 0 4 1 5 4. Um motociclista percorre uma estrada movimentando-se de acordo com a função horária dada por S(t) 100t - 50, em que S(t) representa a posição (em km) e t representa a medida de intervalo de tempo (em h) dele. Depois de quantas horas motociclista passa pelo marco do quilômetro zero (km 0)? Resolução Para que motociclista passe pelo marco do km 0, devemos ter S(t) = 0. Logo: 0 = 100t - 50 = 100t = t t = 0,5 50 motociclista passa pelo quilômetro zero depois de 0,5 h. Interpretação A função dada por S(t) : 100t - 50 é uma função afim cuja lei é do tipo = 39</p><p>Função linear e proporcionalidade Como observamos, uma função linear é uma função afim f: definida por f(x) : ax para todo a real diferente de 0. O gráfico dela no plano cartesiano é uma reta não vertical (é uma função) e não ho- rizontal (a # 0) que passa pela origem (0, 0). Os problemas que envolvem proporcionalidade, em geral, podem ser resolvidos por meio de uma função linear, por isso afirmamos que a função linear é modelo matemático para os problemas de proporcionalidade. Vamos supor que uma grandeza y seja função da grandeza X, ou seja, y = f(x). Dizemos que y é diretamente proporcional a X se as seguintes condições forem satisfeitas: y é uma função crescente de se multiplicarmos X por um número natural n, o valor correspondente y de y também ficará multiplicado por n, ou seja, para todo valor de X do domínio da função e todo n e N*. Nessas condições, as grandezas y e X podem ser relacionadas por uma função linear tal que = ax, com a sendo um número real de positivo. O coeficiente a é chamado coeficiente de proporcionalidade. Banco gráfico dessa função no plano cartesiano é então uma semirreta com origem no ponto (0, 0) do plano, como mostra a imagem ao lado. x Veja alguns exemplos de situações que envolvem proporcionalidade. 0 a) Se 1 quilograma de feijão custa R$ 6,00, então X quilogramas custam y f(x) = 6x. Note que f(x) : 6x é a lei de uma função crescente (x < também que 1 kg custa R$ 6,00, 2 kg custam R$ 12,00, 3 kg custam R$ 18,00, e assim por diante. Duplicando a quantidade de quilogramas, duplicamos preço; triplicando a quantidade de quilogra- mas, triplicamos preço; etc. ou seja, preço a pagar é diretamente proporcional à quantidade de quilogramas que compramos. Nesse caso, coeficiente de proporcionalidade é 6: etc. 6 12 18 y (em R$) da 7 Observe também que, nesse caso, f(1) = 6; f(2) = f(4) = 24, etc. e que, por exemplo: 6 de 5 O gráfico de f no plano cartesiano está representado ao lado. 4 b) Um motorista mantém carro em uma rodovia a uma medida de ve- 3 locidade constante de 90 km/h no piloto automático. Veja na tabela alguns valores dessa situação. 2 1 Deslocamento de um veículo (em kg) 0 1 1 1 2 t (em horas) 1 2 t 3 2 d (em km) 30 45 90 180 Tabela elaborada para fins didáticos. modelo matemático dessa situação é a função linear dada por d = 90t. Note que a função dada por d = 90t é crescente e que, duplicando a medida de intervalo de tempo, duplica a medida de distância; triplicando a medida de intervalo de tempo, triplica a medida de distância; e assim sucessivamente, ou seja, a medida de distância percorrida é diretamente proporcional à medida de intervalo de tempo. 47</p><p>O gráfico dessa função, no plano car- d (em km) tesiano, está representado ao lado. Nesse caso, o coeficiente de propor- 180 cionalidade é 90. Observe que: 180 90 90 45 30 t (em h) 0 1 1 1 2 3 2 Note que, se esse veículo estivesse na posição 20 km no início do percurso, a equação horária da posi- ção seria dada por s(t) = 90t + 20, e gráfico dessa função seria este abaixo. S (em km) 110 Apesar de a representação gráfica da função S ser uma S semirreta, ela não passa na origem do plano cartesiano 65 e S e t não são grandezas diretamente proporcionais. De fato, ao passarmos de t=0,5 h para t=1 h, a posição S não 20 de t (em h) dobra, pois vai de km para S = 110 km. 0 0,5 1 Atividades resolvidas 6. Ao ser aplicada uma quantia X em uma caderneta de poupança a uma taxa de juros compostos mensal, após 1 mês é obtido um montante y. Nesse cenário, uma aplicação de R$ 1.000,00 que rende 0,7% ao mês resulta em um montante de R$ 1.007,00 no fim do primeiro mês. a) Escreva a lei da função que relaciona X e y e verifique se essas grandezas são diretamente proporcionais. b) Verifique se a relação entre os juros que se recebe pela quantia aplicada inicialmente (x) e a medida de intervalo de tempo (t) é uma proporcionalidade. Resolução a) Para obter os juros (j) de um capital inicial (x) ao final de 1 mês precisamos multiplicar a taxa (i) pelo capital inicial (x). Sabemos que a taxa é igual a 0,7% = 0,007, assim, 0,007x. Para calcular montante (y), é preciso somar os juros (j) ao capital inicial (x): Rendimento das aplicações em um mês 0,007x + X y = 1,007x Considerando os dados fornecidos, podemos construir a ta- Capital Montante inicial (x) Juros (j) bela ao lado. (y) A segunda linha da tabela pode ser obtida calculando ren- R$ 1.000,00 R$ 7,00 R$ 1.007,00 dimento dos juros considerando o capital inicial (x) igual a 2.000,00. R$ 2.000,00 R$ 14,00 R$ 2.014,00 Tabela elaborada para fins didáticos. Observe que a segunda linha da tabela também pode ser obtida multiplicando a primeira linha por 2. Assim, podemos notar que as 2 condições da proporcionalidade estão satisfeitas: quanto maior a quantia investida, maior será montante (função crescente); ao ser dobrada (triplicada, quadriplicada, ...) a quantia X, montante será duplicado (triplicado, quadruplicado, ...). Portanto, a função é dada pela lei y = 0,007x e as grandezas X e y são diretamente proporcionais. 48</p><p>50. d) Não. Pois, por exemplo, lucro na venda de 10 livros é de R$ 300,00 (L(10) = 300), mas, dobrando número de livros vendidos, obtém-se um lucro de R$ 800,00 (L(20) = 800), que não é dobro de R$ 300,00. Atividades Não escreva no livro. 50. preço de venda de um livro é de R$ 50,00 por uni- Perceba que, desse modo, Ideb varia de 0 a 10 e dade. A receita total f(x) obtida com a venda desse que, quanto maior Ideb, melhor é considerada a livro pode ser calculada em função do número X de qualidade da educação na unidade escolar para a livros vendidos. etapa de ensino. Fonte de consulta: Nota técnica - Índice de Desenvolvimento da a) Escreva no caderno a lei dessa função.f(x)= 50x Educação Básica. Disponível em: http://download.inep. gov.br/ b) Essa função é linear? Sim. Acesso em: 12 maio 2020. c) A receita total é diretamente proporcional ao nú- mero de livros Considerando as informações, responda a cada item d) Suponha que, nessa situação, lucro, em reais, pela no venda de X livros seja dado por L(x) = 50x - 200. a) Qual é domínio dos valores possíveis do Ideb? O lucro é diretamente proporcional ao número de domínio é intervalo [0, 10]. b) Mantendo P constante, a relação entre Ideb de livros vendidos? Justifique. uma unidade escolar e a média N das notas é dire- 51. No caderno, construa a representação gráfica da fun- tamente proporcional? Sim, ção que relaciona montante final depois de 1 mês c) Suponha que, em uma unidade escolar, na etapa ao capital inicial, considerando uma aplicação com do Ensino Médio, a média de proficiência nas dis- uma taxa de juros mensal de 0,5% e um capital inicial ciplinas de Língua Portuguesa e de Matemática variando de R$ 0,00 a R$ 10.000,00. A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. seja igual a 6,5, e que 55% dos estudantes foram 52. O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica aprovados ao final do ano letivo nessa etapa. De (Ideb), iniciativa do Instituto Nacional de Estudos e acordo com esses dados, qual é Ideb dessa es- Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), é um cola para Ensino Médio? 3,575 índice usado para medir a qualidade da educação d) Em 2020, a meta para Ideb nacional é 6,0. Se a uni- no país. dade escolar indicada aumentar em 1,0 índice N e De maneira simplificada, podemos dizer que Ideb mantiver constante a taxa de aprovação, ela alcançará de uma unidade escolar para certa etapa de ensino é a meta nacional de 6,0? Caso negativo, qual deveria estabelecido de acordo com 2 subíndices. ser aumento no subíndice N (mantendo a taxa de N: Média de proficiência nas disciplinas de Língua aprovação constante) para que a unidade escolar al- Portuguesa e de Matemática da etapa de ensino cance a meta? Não. É impossível a escola alcançar a meta mantendo a taxa de aprovação em 55%. na unidade escolar, em determinados exames na- e) Junto a um colega, respondam: Na opinião de vocês, cionais, padronizada de 0 a 10. por que não seria ideal que Ideb de uma unidade P: Subíndice baseado na taxa de aprovação dos escolar fosse dado apenas pelo subíndice N ou ape- estudantes na etapa escolar, padronizado de 0 a 1. nas pelo subíndice P? Um exemplo de resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. Com esses 2 dados, Ideb é calculado pela se- 53. Elabore um problema sobre compra e venda de um guinte expressão: produto cuja resolução necessite do uso de uma fun- ção afim. 53. Resposta pessoal. Zero da função afim Fique atento O zero de uma valor de X para qual a função afim dada pela lei f(x) = ax + b se anula, ou seja, função f qualquer para qual f(x) = 0, denomina-se zero da função afim. Para determinar zero de é raiz da equação uma função afim basta encontrar valor real de X que satisfaz a equação ax + b obtida ao fazer Veja alguns exemplos. Reflita a) O zero da função afim f definida por f(x) raiz da Confira valor do zero de cada função afim equação 2x + 5 = 0. dos exemplos b e C. b) zero da função afim f definida por f(x) = 2x pois 2 é raiz da A resposta encontra-se nas equação Orientações c) O zero da função afim f definida por pois 8 é raiz da equação 8 = 0. específicas deste Manual. 50</p><p>d) Qualquer número real r é raiz da função constante nula f definida por f(x) = 0, Não escreva no livro. pois a equação f(r) 0 é sempre verdadeira, independentemente do valor de r. e) A função constante não nula f definida por f(x) = -5 não tem zero, pois não há número real r tal que f(r) = 0. Interpretação geométrica Geometricamente, o zero da função afim dada por f(x) = ax + b é a abscissa do Reflita ponto de intersecção do gráfico da função com eixo X. O que acontece com o valor de f(x) quando > 5 Por exemplo, dada a função afim definida por f(x) = 2x 5, temos: X (zero da função) 5 E quando < Qual é a intersecção X y y do gráfico da 1 -3 da função constante 3 1 1 nula com eixo x? E qual é a intersecção 0 do gráfico da -1 de função constante -2 não nula com esse -3 eixo? Como isso se relaciona com os zeros (se existirem) dessas funções? f(x) > f(x) < Logo, a reta, isto é, gráfico dessa função, intersecta o eixo X no ponto A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. Estudo do sinal da função afim Analise a situação a seguir. Um vendedor de maçãs tem um gasto fixo mensal de Como cada será vendida a R$ ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final do mês. Observe que lucro é dado em função do número X de maçãs vendidas, e a lei da função é f(x) = 2x 300. Para resolver a questão do comerciante, devemos determi- nar os valores reais de tais que f(x) > 0, ou seja, resolver 2x 300 > 0. Estudando o sinal: 0 f(x) Como a = então a função é crescente. Reflita 150 (zero da função) dispositivo prático mostra um esboço do de + gráfico da função f e Dispositivo prático: da da intersecção dele 150 com eixo X do plano cartesiano. Qual é f(x) > 0 (haverá lucro) significado dos sinais + e - nesse f(x) = 0 (não haverá lucro nem prejuízo) dispositivo? f(x) < 0 (haverá prejuízo) O sinal + significa e sinal Sendo S conjunto solução, temos: significa 51</p>