1526422-Matemática_Lista_2_-_N1_-_AP2

Prévia do material em texto

<p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Função quadrática 05 C INTRODUÇÃO Somando aos dois membros da equação, a fim de completarmos o quadrado do lado esquerdo, temos: Sabe-se que em cerca de 2000 a.C., os babilônios já + 4abx + = 4ac estavam familiarizados com equações do segundo grau, aplicadas à resolução de problemas práticos. Um matemático O lado esquerdo da equação é um trinômio quadrado indiano, de nome Bhaskara, promoveu um enorme avanço perfeito. Logo, podemos escrever: na resolução de equações do segundo grau, ao desenvolver uma fórmula para o cálculo das suas raízes. A função quadrática é uma das funções mais importantes da = 2a Matemática. Seu gráfico descreve uma curva extremamente importante, denominada parábola, que serve, por exemplo, Denotando pela letra grega delta (A) o termo - 4ac, para descrever a trajetória de um projétil lançado obliquamente obtemos: no ar. Hoje, reconhecemos que a função quadrática é muito indicada para a modelagem de problemas nos quais é em que necessária a determinação de quantidades máximas ou 2a mínimas, indicadas pelas coordenadas do seu vértice. Esse resultado é conhecido como Fórmula de DEFINIÇÃO DE OBSERVAÇÕES FUNÇÃO QUADRÁTICA i) Se A < 0, a função não possui raízes reais. A função f: R R definida por f(x) = + bx + C, em que ii) Se A = 0, a função tem duas raízes reais iguais. a, b e são constantes reais e 0, é dita função quadrática ou função polinomial do segundo grau. Seu gráfico é uma iii) Se A > 0, a função tem duas raízes reais distintas. curva chamada parábola. Exemplo RAÍZES DA FUNÇÃO Calcular as raízes da função QUADRÁTICA Resolução: Igualando a expressão a zero, temos Fórmula de Bhaskara Ora, a = 1, b = Para encontrarmos as raízes da função f(x) = + bx + C, Daí, A = 49 com a # 0, devemos fazer f(x) = 0. Assim, obtemos a equação Assim: = 2.1 2 Denotando por e as raízes procuradas, temos: Logo, temos + bx = -1-7 = 3 Multiplicando os dois membros por 4a, obtemos: + 4abx = -4ac Editora Bernoulli 29</p><p>Frente C Módulo 05 Soma e produto das raízes GRÁFICOS DE FUNÇÕES Sejam e X2 as raízes da função f(x) = ax2 + bx + C, com QUADRÁTICAS a # 0. Conhecemos as seguintes relações: Já sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma i) Soma das raízes da função parábola. Tal curva é definida, geometricamente, como a interseção de um cone de revolução e um plano paralelo à geratriz do cone, conforme figura a seguir: a ii) Produto das raízes da função Geratriz a Exemplo Calcular, utilizando as relações de soma e produto, as raízes da equação Para esboçarmos o gráfico de uma função quadrática, Resolução: devemos seguir a seguinte sequência: i) Determinar a concavidade da parábola. e Quando a (coeficiente de é positivo, a parábola tem concavidade para cima. Quando a é negativo, a parábola tem concavidade Assim, os números que satisfazem essas condições para baixo. são 2 e 3. ii) Determinar a interseção da parábola com o eixo Oy. A parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, c). iii) Determinar as interseções da parábola com o eixo FORMA FATORADA DA FUNÇÃO Ox (raízes). Conforme visto anteriormente, a existência ou não f(x) = ax2 + bx + C, com a de raízes reais depende do valor de A, na Fórmula de Bhaskara. Uma função quadrática f(x) = + bx + C, com a # 0, Se a função não tem raízes reais, ou seja, que possua raízes reais e pode ser escrita como um a parábola não intercepta o eixo das abscissas. produto de duas funções do primeiro grau. Se = 0, a função tem duas raízes reais iguais, ou seja, a parábola intercepta o eixo das abscissas em um único ponto. Exemplo Se A > 0, a função tem duas raízes reais distintas, ou seja, a parábola intercepta o eixo das abscissas Escrever a função quadrática f(x) = 2x2 - 6x em dois pontos. na forma fatorada. iv) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola. Resolução: Vértice é o ponto de interseção da parábola com o eixo Cálculo das raízes: de simetria. Como pertence ao eixo de simetria, as abscissas dispostas de maneira simétrica em relação a possuem a mesma imagem. X = 1 e = 2 Logo, é a média aritmética das raízes. 4 na forma fatorada, 2 ou 30 Coleção Estudo</p><p>Função quadrática Substituindo, na parábola, bx + C, Resolução: Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, temos a < 0. Além disso, observe que a interseção do gráfico com o eixo Oy ocorre em um ponto de ordenada Portanto, o ponto V = é o vértice positiva. Conforme visto anteriormente, esse ponto é da igual a (0, c). Logo, temos que C > 0. parábola. Para investigarmos o sinal do b, vamos considerar a Determinados esses valores, basta esboçarmos a parábola. abscissa do vértice da parábola. Sabemos que EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Pelo gráfico, verificamos que é positivo. Como a é negativo, temos que -b deve ser negativo. Ora, isso 01. Fazer o esboço da parábola y ocorre somente se b for positivo. Resolução: Logo, b 0. Concavidade: Temos a = 2 > 0, ou seja, a concavidade está voltada para cima. Regra prática para a determinação Interseção com o eixo Oy: Temos que C = 1, ou seja, a parábola intercepta o eixo do sinal de b das ordenadas no ponto (0, 1). Raízes: No exercício anterior, mostramos uma maneira de determinar o coeficiente b. Veremos agora uma regra prática = 1 para a obtenção desse sinal. i) Se a parábola está "subindo" quando intercepta o eixo das ordenadas, então b > 0. b 2a A = y y 4a 4.2 8 "subindo" "subindo" Esboço do gráfico o X y 1 ii) Se o vértice encontra-se exatamente no eixo das ordenadas, então b = 0. 1 3 2 4 1 y y X 1 8 V 02. (FAFI-MG) o gráfico de uma função f(x) o X X está representado a seguir. Podemos que y iii) Se a parábola está "descendo" quando intercepta o eixo das ordenadas, então b < 0. o y y "descendo" "descendo" X Editora Bernoulli 31</p><p>Frente C Módulo 05 VALOR MÁXIMO E VALOR Portanto, as raízes são MÍNIMO DA FUNÇÃO Vértice: b Se a > 0, a parábola y = ax2 + bx + C possui concavidade voltada para cima. Nesse caso, é fácil constatar que existe um 4.a 4.1 valor mínimo assumido por y, que coincide com a ordenada do vértice Essa ordenada é o valor mínimo da função. A função está definida no intervalo Portanto, y para X = 3, temos y=3. y 3 A 4a V o X i) é o valor mínimo da função. 1 2 3 X ii) A imagem (Im) da função é dada por: -1 = Pelo gráfico anterior, verificamos que os valores mínimo 4a e máximo de y, nessa ordem, Se a < 0, a parábola y bx + C possui concavidade 04. (UFV-MG) Na figura a seguir, a reta r: b tem voltada para baixo. Nesse caso, verificamos que existe um coeficiente angular positivo, e a reta tem valor máximo assumido por y e, analogamente, dizemos coeficiente angular negativo. que a ordenada do vértice é o valor máximo da função. y S A V 4a a 0 X é o valor máximo da função. A X ii) A imagem (Im) da função é dada por: figura que MELHOR representa o gráfico do trinômio é Im = A) y D) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS X 03. (UFU-MG) Sendo e y números reais tais que - 2x, os valores mínimo e máximo de y são, B) E) y nessa ordem, iguais a C) E) B) -1e9 D) Resolução: Raízes da função: C) y 2 X 32 Coleção Estudo</p><p>Função quadrática Resolução: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Efetuando a multiplicação dos termos, obtemos y = + (ad + bc)x + bd. Trata-se de uma função 01. (UFMG) Observe a figura, que representa o gráfico de quadrática. Analisando as retas dadas, temos que a é y = bx + C. Assinale a única afirmativa FALSA em positivo, b é positivo, negativo e d é positivo. Portanto, relação a esse gráfico. ao é negativo (concavidade voltada para baixo). Além y disso, bd é positivo, ou seja, a parábola intercepta o eixo Oy em um ponto de ordenada positiva. Entre os gráficos, o único com essas características é o da letra A. 05. (Fafeid-MG) No instante t = 0, uma bola é atirada verticalmente para cima, de uma altura de 5 cm acima do solo. Após t segundos, a sua altura S, em cm, acima do A) ac é negativo. C) b é positivo. solo, é dada por S = 40t Assim, é CORRETO B) 4ac é positivo. D) é negativo. afirmar que a altura máxima da bola, acima do solo, em cm, é igual a 02. (UFJF-MG) Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma A) 30 excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. número de B) 25 passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é C) 55 A) 16 B) 24 C) 38 D) 49 E) 54 D) 20 Resolução: 03. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. gráfico de s(t) é parabólico, com concavidade voltada A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), para baixo. Assim, a altura máxima corresponde à é igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é: ordenada do vértice. A) - => A = B) f(x) = -(x C) f(x) D) A altura máxima alcançada é 30 cm. E) f(x) 06. (PUC Minas) Uma empresa fabrica peças por dia, e seu 04. (UFV-MG-2010) Um retângulo tem três de seus vértices lucro em reais é dado pela função L(x) = 100(9 x)(x-1). nos pontos (0, 0), (x, 0) e (0, y), sendo e y positivos, o lucro máximo obtido pela empresa, por dia, em reais, é e o quarto vértice encontra-se sobre a reta 2x + 3y = 6. A) Nessas condições, o retângulo de área máxima tem B) perímetro com medida igual a C) A) 4 B) 6 C) 5 D) 7 E) 05. (UNIFESP-2007) A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. Resolução: M é o ponto médio de AB. Efetuando os produtos indicados, obtemos: L(x) = -100x2 + 1 000x - 900 Observe que o lucro L(x) é uma função quadrática do número de peças Como a concavidade está voltada para baixo, o lucro máximo corresponde à ordenada do vértice. A M B - A altura do arco, em centímetros, em um ponto da base A = = que dista 5 cm de M, é 1600 A) 15 D) 12 B) 14 E) 10 o lucro máximo é igual a R$ $ 1 600,00. C) 13 Editora Bernoulli 33</p><p>Frente C Módulo 05 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 05. (UFMG) A reais, tem duas raízes distintas pertencentes ao intervalo [-2, 3]. 01. (PUC Minas) Uma pedra é atirada para cima e sua Então, sobre os valores de b e a única afirmativa CORRETA é altura h, em metros, é dada pela função h(t) = em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = 2, pode-se que o valor de a é A) -3 B) -2 C) 2 D) 3 06. (PUC-Campinas-SP) Sejam e as raízes reais da 02. (PUC Minas) intervalo no qual a função equação do crescente é 03. (UFMG) Observe a figura. 07. (UFMG) Um certo reservatório, contendo 72 de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de água que do reservatório, em é dado por V(t) = 24t 5 Sabendo-se que a drenagem teve início às 10 horas, X o reservatório estará completamente vazio às -5 A) 14 horas. C) 19 horas. V B) 16 horas. D) 22 horas. Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é 08. (PUC-SP) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ $ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de 10x R$ Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço 04. (UFJF-MG) Considere uma função f: R R dada pela unitário da inscrição em tal evento deve ser expressão f(x) = -x2 + bx + C, em que b e são reais, A) R$ 15,00. D) R$ e cujo gráfico tem eixo de simetria na reta = 1 e módulo da diferença entre as raízes igual a 4. Um esboço que B) R$ 24,50. E) pode representar o gráfico de tal função é C) A) y D) y 09. (UFMG) ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação bx + 4. A abscissa do 1 1 X vértice dessa parábola é X 2 3 2 B) y E) y 10. (CEFET-MG-2009) A função = -x(x k) representa 1 o lucro de uma empresa em função da quantidade de X 1 capital empregado sendo k um valor real fixo. Se o lucro máximo atingido pela empresa foi o valor positivo y, então é CORRETO afirmar que k é igual a C) y A) D) B) E) 1 X C) 3 34 Coleção Estudo</p><p>Função quadrática 11. (PUC-Campinas-SP) Seja R um retângulo que tem 24 cm de 15. (UFMG) Observe esta figura. perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos y lados de R, obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua área seja máxima? A) cm A B B) cm C) 6 cm D) 6/2 cm X E) 9 cm Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da 12. (PUC-Campinas-SP) A soma e o produto das raízes de uma função de segundo grau y = + bx + ponto A função do 2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor situa-se no eixo das ordenadas, e o segmento AB é mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto paralelo ao eixo das abscissas. Assim, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento AB é A) (3,-4) A) C 16. (PUC-Campinas-SP) Na figura a seguir tem-se um C) (0,-4) quadrado inscrito em outro quadrado. D) (-4,3 E) (-4, 6) X 13. (UFJF-MG-2009) Num sistema de coordenadas cartesianas, o ponto R se desloca sobre o eixo das ordenadas, a partir do ponto (0, 30), em direção à origem o, com velocidade de 1 cm/s, e o ponto S se X desloca sobre o eixo das abscissas, partindo do ponto (2, 0), com o dobro dessa velocidade. Eles partem no mesmo instante. Veja a figura a seguir: Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se y da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. 30 Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida R O valor mínimo de A é A) 16 D) 32 B) 24 E) 48 o 2 S X C) 28 Em quanto tempo o triângulo ROS atingirá área máxima? 17. (UFMG) Observe esta figura. A) 13 S y B) 14 S C) 14,5 S D) 15 S E) 15,5 S X 14. (PUC-SP) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é (x 10), sendo o preço de venda e 10 o preço Nela, estão representados os gráficos das funções de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do f(x) e g(x) 3x 5. Considere os segmentos preço de venda e é, igual a (70 x). 2 Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre do produto é, aproximadamente, uma função quadrática o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o de X, cujo valor MÁXIMO, na unidade monetária usada, é gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim, o comprimento A) 200 D) 800 do segmento S é B) 1 000 E) 600 1 3 5 A) B) C) 1 D) C) 900 2 4 4 Editora Bernoulli 35</p><p>Frente C Módulo 05 18. (PUC Minas) lucro de uma microempresa, em função 02. (Enem-2000) gráfico cartesiano que melhor representa do número de funcionários que nela trabalham, é dado, a função R(x), para real, é em milhares de reais, pela fórmula L(n) = 36n A) R D) Com base nessas informações, pode-se afirmar que o lucro dessa microempresa é máximo quando nela trabalham A) 6 funcionários. B) 8 funcionários. X C) 10 funcionários. B) R E) R D) 12 funcionários. 19. (Unifor-CE) Sobre a função de R em definida por y = + 2x 4, é verdade que A) admite as raízes 1 + e 1 C) R B) é crescente em 10[. C) é decrescente em ]0, 2[. D) seu conjunto imagem é 1-00, -3]. X E) assume um valor mínimo para 1. 20. (FGV-SP) A função [0,5] R é definida por 03. (Enem-2000) Considerando o modelo anteriormente 8. A diferença entre o valor máximo e descrito, se o público-alvo é de pessoas, então a o valor mínimo dessa função é máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9 for conhecido por um número de pessoas igual a A) D) 38 B) 22 E) 44 SEÇÃO ENEM C) 01. (Enem-2009) Um posto de combustível vende 04. (Enem-2009 / Adaptado) A empresa WQTU Cosmético 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. vende um determinado produto, cujo custo de fabricação Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de de unidades é dado por + 232, e o seu valor de venda desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros é expresso pela função 180x 116. A empresa vendeu a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço 10 unidades desse produto; contudo, a mesma deseja do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. saber quantas unidades precisa para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado do maior lucro é por dia com a venda do álcool, então, a expressão que relaciona e é A) 10 B) 30 C) 58 D) 116 E) 232 A) V B) GABARITO C) D) Fixação 01. C 02. 03. A 04. C 05. A Instrução: Texto para as questões 02 e 03. Propostos Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada 01. A 05. 09. 13. C 17. A rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional 02. D 06. E 10. B 14. C 18. A ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas 03. A 07. B 11. B 15. D 19. D que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez 04. E 08. D 12. A 16. D 20. E de propagação, P o público-alvo e o número de pessoas que Enem conhecem o boato, R(x) = k.x.(P x), em que k é uma constante positiva 01. D 02. E 03. B 04. B característica do boato. 36 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Função composta e função 06 C inversa FUNÇÃO BIJETORA Verificando a condição i, temos que: Domínio: D = [3, 10] Uma função f: A B é bijetora se, e somente se, essa função atende às seguintes condições. Contradomínio: CD = [5,18] i) A sua imagem (Im) é igual ao seu contradomínio (CD). Imagem (projeção do gráfico no eixo das ordenadas): Observe que, ao representarmos simbolicamente uma 18] função f na forma f: A B, o conjunto A é o domínio da função, e o conjunto B é o contradomínio da função Logo, CD = Im. Portanto, a condição é satisfeita se, e somente se, Verificando a condição ii: Im B. Podemos observar que cada elemento da imagem ii) Para quaisquer elementos ex, do domínio A, com está relacionado com um único elemento do domínio. # tem-se # Para tal verificação, basta traçarmos linhas paralelas Em outras palavras, cada elemento da imagem deve ao eixo das abscissas, a partir da imagem. Cada uma estar relacionado com um único elemento do domínio. dessas linhas deve interceptar a curva em um único Exemplos ponto, para que a condição seja satisfeita. 1°) Exemplo em forma de diagrama f: A B A B FUNÇÃO INVERSA 16 4 Considere o diagrama a seguir: 25 5 36 A B Verificando a condição i, temos que: Domínio: D = A = {9, 16, 25, 36} Contradomínio: CD = B = {3, 4, 5, 6} Imagem: Im = {3,4,5,6} Logo, CD = Im. Verificando a condição ii: Podemos observar que cada elemento da imagem No diagrama, está indicada uma função f que associa a cada está relacionado com um único elemento do domínio. elemento de A a sua imagem em B. A função inversa de f, 2°) Exemplo em forma de gráfico indicada por é a função que associa a cada elemento de B f: [5, 18] a sua imagem em A. y Observe que f deve ser uma função bijetora. 18 Uma função bijetora f: A B é inversível, e sua inversa 5 função B A se, e somente se, para todo 3 10 Editora Bernoulli 37</p><p>Frente C Módulo 06 Cálculo da função inversa - regra prática EXERCÍCIO RESOLVIDO i) Trocar por yey por 01. (UFV-MG) Seja f a função real tal que f(2x - 9) = para ii) Isolar o novo y. todo X real. A igualdade se verifica para C igual a Exemplos A) 5 C) 3 E) 1 Determinar a função inversa das seguintes funções. B) 7 D) 9 1°) f(x) = 3x Resolução: (trocar Cálculo de f(c): Fazendo 2x 9 = k, temos temos (isolar o novo Assim, indicamos na forma que podemos dizer que Então, para Cálculo de f-1(c): (trocar por y e x): Temos Trocando por y e y por temos: (isolar o novo y): Assim, indicamos na forma Fazendo f(c) f-1(c), obtemos: OBSERVAÇÃO 2 Os gráficos da função f de sua inversa f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes FUNÇÃO COMPOSTA Exemplo Sejam as funções f e g, tais que f: A Esboçando os gráficos das funções f(x) conforme a figura a seguir: A B um mesmo sistema de eixos e considerando f: temos: f: A -> B y f 6 Bissetriz dos 5 quadrantes 4 3 H 2 f-1 1 C 1 2 3 4 5 6 X Considere uma função h: que produz os mesmos resultados que as funções f e g aplicadas em sequência, ou seja, que relaciona cada elemento de A com o correspondente elemento de sem passar pelo conjunto B. Tal função h é denominada função composta de f e g. 38 Coleção Estudo</p><p>Função composta e função inversa f(g(x)) Denotamos a função composta h(x) por g(f(x)) ou g o f(x). Resolução: Como exemplo, considere os conjuntos A, B e representados a seguir e sejam as funções f: A B e D) g: B C, tais que - 1. Vamos Resolução: descobrir a expressão matemática da função g(f(x)), que relaciona os elementos de A com os elementos de C. A B 1 4 03. Considere as funções f(x) = 4x + 11 e f(g(x)) = 6x - 10. 2 5 Determinar a expressão de g(x). 3 6 Resolução: 4 7 Pela definição de função composta, temos que f(g(x)) = 4g(x) + 11. Igualando esse resultado com a expressão fornecida, temos: 6x-21 15 24 04. Sejam as 32. 35 Determinar a expressão de t(x). 48 Resolução: C t(h(x)) = 15x + 3) = (I) Para calcularmos a expressão da função g(f(x)), devemos Vamos denotar 5x - 3 por k. Assim, temos: substituir o na expressão de g(x) por f(x). Assim, 5 1 Substituindo na expressão (I), temos: Mas, f(x) Portanto, temos: Assim, g(f(x)) Observe que essa expressão realmente relaciona os Daí, se a expressão vale para k, a mesma também vale elementos de A com os elementos de C. para X, ou seja, t(x) Para = 1, temos g(f(1)) = 12 + 6.1 + 8 = 15. 05. (UFU-MG) Seja f uma função real de variável real definida Para = 2, temos Para temos Para igual a A) 0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS B) 1 C) 2 02. Sejam as funções f: R tais que D) -1 Calcular: E) 3 A) f(g(2)) Resolução: Resolução: Para temos f(-1) = f(f(1)). Mas fogog(1) Logo, f(-1) = f(2). Resolução: Mas = f(g(g(1))) = f(g(-1)) = f(-3) = -3 Logo, Editora Bernoulli 39</p><p>Frente C Módulo 06 06. (Mackenzie-SP) O gráfico a seguir representa uma função 02. (Unifor-CE) Seja a função f, de R em representada no definida em R por gráfico a seguir. y y 5 1 3 2 3 X -1 -1 2 3 X É CORRETO afirman que -3 A) o conjunto imagem de f é o intervalo -5 B) f é negativa, para todo valor de f(2) + f(f(-5)) é igual a C) f é cresente, para todo A) -2 D) f é bijetora. B) -1 E) f é par. C) 0 03. (UFJF-MG-2007) A seguir, encontram-se representados D) 1 os gráficos das funções E) 2 y Resolução: 4 Pelo gráfico, verificamos que f(2) = -3. 3 Além disso, f(-5) = 5. 2 Logo, 1 1 2 3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (EFOA-MG) A figura a seguir representa o gráfico de uma y y g(x) função f. 4 3 y 2 2 1 X 1 2 3 X Sabendo que f possui inversa f R-R o valor de o total de elementos tais que fogof-1(2) é A) 2 A) 0 B) 4 B) 1 C) 0 C) 2 D) 3 D) 3 E) 1 E) 4 40 Coleção Estudo</p><p>Função composta e função inversa 04. (UFU-MG) Considere a função f(x) = 2x2 + 1, para 03. (UNIFESP) Há funções que possuem a seguinte Sendo g a função inversa de f, então, pode-se afirmar propriedade: "a valores distintos de correspondem que o número real g(f(6)) + f(g(6)) pertence ao intervalo valores distintos de y". Tais funções são chamadas injetoras. Qual, entre as funções cujos gráficos aparecem A) [0,4] a seguir, é injetora? B) [4,13] A) y C) [20,36] D) [36,73] 05. (UFJF-MG) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e sabendo-se que 1 o gráfico da função injetora f: A A passa pelos pontos B) y (1, 3), (2, 5) e (3, 4), podemos concluir que A) o gráfico de f passa pelo ponto (3, 1). B) a função f admite inversa. o 1 X C) a função f é crescente. C) y D) a função f é decrescente. E) o gráfico de f passa pelo ponto (5, 4). 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS D) y 01. (PUC Minas) Na figura, está o gráfico da função f. o 1 X 4 E) y 1 1 o 1 X o total de elementos tais que f(f(x)) = 04. (UFC-2009) o coeficiente b da função quadrática f(x) = + bx + 1, que satisfaz a condição A) 1 f(f(-1)) = 3, é igual a B) 2 A) -3 C) 3 B) -1 D) 4 02. (UEL-PR) Se f e g são funções de R em R tais 1, então g(x) é igual a 05. (ITA-SP) Qual das funções definidas a seguir é bijetora? B) A) f: R tal que f(x) = 2 B) f: R tal que f(x) = + 1 2 C) f: [1, 3] [2, 4], tal que f(x) = + 1 D) f: [0,2] R, tal que f(x) = 2 E) f: [0, 3], tal que Editora Bernoulli 41</p><p>Frente C Módulo 06 06. (UFU-MG-2006) Sejam funções tais 08. funções tais que + Então, pode-se afirmar que que o gráfico de f é uma reta, assinale a única alternativa B) está definida em R. B) E) D) o coeficiente angular do gráfico de 09. (UFRJ) Seja f: R uma função definida por f(x) 07. (UFES) A função cujo gráfico está representado na figura Se o gráfico da função f passa pelos pontos A(1,2) e a seguir tem inversa. B(2, 3), a função f-1 (inversa de f) é B) o gráfico de sua inversa é y 10. A) X B) y 11. (UFU-MG-2009) funções cujos gráficos estão esboçados a seguir: C) y y g X 6 4 2 D) y o 2 4 X X Definindo h: R CORRETO afirmar que E) B) a função h nunca se anula. X C) D) h é crescente no intervalo 2]. 42 Coleção Estudo</p><p>Função composta e função inversa 12. (Cesgranrio) Com a função f(x), representada no gráfico 15. (UFU-MG-2008) Sejam g duas funções reais definidas a seguir, e com a função g(x), obtém-se a composta para todo número real. Se f é dada por f(x) = g(f(x)) = X. A expressão algébrica que define g(x) é e a função composta f o g, por então y o valor de g(-2).g(2) é igual a A) 4 B) 8 f(x) C) 16 o 1 X D) 32 4 -1 16. (UFU-MG-2006) Seja f a função real de variável real cujo gráfico está representado na figura a seguir. Sejam g a função inversa de f e h a função definida por 1 A) h(x) = -g(-x). Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da função h. y a 1 X -1 A) y 4 a 13. (UFJF-MG-2007) Seja dada por f(x) = e tal que f(f(1)) > 1. MENOR valor inteiro positivo 1 possível para a é o 1 A) um número B) um número primo. B) y C) um múltiplo de 3. D) um múltiplo de 5. o a 1 E) um múltiplo de 7. -1 14. (UFTM-MG-2008) As retas r e S são simétricas com relação à reta y = X. Se a equação de C) y então a equação de S é 1 1 a X D) y b o b 1 a -1 X b a a Editora Bernoulli 43</p><p>Frente C Módulo 06 SEÇÃO ENEM Uma das etapas da implementação de uma rotina de programação de computadores consiste na determinação de um parâmetro Esse parâmetro é obtido da 01. A figura a seguir indica as trajetórias de dois robôs, seguinte forma: Sojourner e Opportunity, utilizados pela Agência Espacial Um dado de entrada é inserido no programa. Americana no projeto de exploração científica do planeta Marte. Considere que os dois robôs tenham partido, Multiplica-se por 8. Adiciona-se 11 ao resultado anterior. simultaneamente, de pontos distintos da superfície de Marte, com a mesma velocidade e em trajetória retilínea, Em uma etapa subsequente, o programador calcula em uma missão de exploração. Cada um dos robôs é um parâmetro utilizando o valor de Q calculado controlado por um operador na Terra. anteriormente, do seguinte modo: Adiciona-se 13 ao valor de Q. Ponto de Eleva-se o valor obtido ao quadrado. Norte partida (Robô Um programador decidiu determinar o parâmetro o Sojourner) em uma única etapa, a partir do dado de entrada Nordeste A expressão matemática correspondente a essa operação é Ponto de partida (Robô Opportunity) 13) + 12) Oeste Leste GABARITO Sudoeste Sul Fixação 01. D 02. A 03. E 04. B 05. B Sabe-se que o robô Sojourner intercepta a linha norte-sul a 4 km ao norte do ponto de referência o, e intercepta Propostos a linha leste-oeste a 2 km a oeste desse mesmo ponto 01. C 09. de referência. Considerando-se que a trajetória do robô Opportunity seja simétrica à trajetória do robô Sojourner 02. C 10. E em relação à linha sudoeste-nordeste, e que não ocorram 03. E 11. C imprevistos que atrasem os robôs, pode-se afirmar que 04. D 12. os mesmos irão se encontrar a, aproximadamente, 05. 13. D (Considere: 06. 14. E A) 1,4 km do ponto 07. D 15. A B) 2,8 km do ponto 08. E 16. D C) 4,2 km do ponto Seção Enem D) 5,6 km do ponto 01. D 02. A E) 7,0 km do ponto 44 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Inequações 07 C INTRODUÇÃO INEQUAÇÃO PRODUTO Sabemos que uma inequação é uma relação caracterizada Chamamos de inequação produto a toda inequação na qual pela presença dos seguintes sinais de desigualdade: <, o primeiro membro é formado por um produto de funções do > ou Vejamos alguns exemplos: primeiro grau e / ou funções do segundo grau, e o segundo 1°) Resolver, em a inequação X 3 > 18. membro é nulo. Resolução: Exemplos 1°) (x 2°) 0 2°) Resolver, em R, a inequação -2 3°) 0 Resolução: Para resolvermos uma inequação produto, devemos Multiplicando-se todos os termos da inequação por estudar o sinal de cada uma das funções que estão sendo 3, temos: multiplicadas. Em seguida, obtemos o resultado, analisando os sinais obtidos e utilizando o chamado quadro de sinais. Subtraindo-se -4 de todos os termos, temos: Exemplos 1°) Resolver, em R, a Resolução: 3°) Resolver, em R, a inequação Vamos denotar cada função por estudar o Resolução: sinal de cada uma delas. Inicialmente, vamos calcular as raízes da função: 0 1 2 ou 3 2 Raiz: Representando o gráfico, temos: Sinal + > 3 2 X + + Raiz: 2 3 X + Portanto, o conjunto solução é dado por: 3 X Editora Bernoulli 25</p><p>Frente C Módulo 07 Quadro de sinais 3°) Resolver, em R, a inequação 2 3 Resolução: - + + + - + - + X Suas raízes Como queremos saber em quais intervalos o produto é positivo ou igual a zero, temos: Estudo do sinal OBSERVAÇÃO Sinal As inequações do grau que possuam raízes reais podem ser fatoradas e, portanto, transformadas em inequações produto. Nesse caso, podem ser 2 resolvidas como descrito anteriormente. Por exemplo, a ser escrita na forma o uso do quadro de sinais. + + 2°) Resolver, em R, a inequação 0. 0 5 X 2 Resolução: Suas raízes são Estudo do sinal Estudo do sinal Sinal + 1 X - -1 2 - + + Estudo do sinal do produto 1 3 X 5 -1 0 2 2 Quadro de sinais + + - - + 1 3 + + - - - + + + - + - + - + + Queremos saber para que X Portanto, S = 26 Coleção Estudo</p><p>Inequações INEQUAÇÃO QUOCIENTE 2°) Resolver, R, inequação em a 0. Chamamos de inequação quociente a toda inequação na qual Resolução: o primeiro membro é formado por uma divisão envolvendo funções do primeiro grau e / ou funções do segundo grau, e o segundo membro é nulo. Convém ressaltar que, como 0 se trata de uma divisão, devemos verificar suas condições de existência, ou seja, o denominador não pode ser nulo. Temos: Exemplos 2x 8, com raízes -2 e 4 - 6x + 9, com raiz dupla 3 procedimento para resolução é análogo ao adotado nas Condição de existência: inequações produto. Estudo do sinal de Exemplos Sinal 1°) Resolver, em R a inequação Condição de existência: x-3 + + Estudo do sinal -2 4 X Possui uma raiz dupla igual a 1. Estudo do sinal de Sinal + + 1 X Sua raiz é igual a 3. + + 3 X + 3 X Quadro de sinais -2 3 4 Quadro de sinais + - - + 1 3 + + + + + + + + - - + - - + X - - + Queremos saber para que valores de temos X Editora Bernoulli 27</p><p>Frente C Módulo 07 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (UFMG) Considere a função 01. (PUC Rio-2006) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades: conjunto dos valores de para os quais 1 A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) 5 A) B) 02. (UFMG) conjunto solução da inequação -3x+a>7é C) Então, o valor de a é D) A) 1 D) 10 B) 2 E) 13 02. (UFG-2006) Duas empresas A e B comercializam o C) 7 mesmo produto. A relação entre o patrimônio y e o tempo 2x-1 de atividade em anos de cada empresa é representada, 03. (UFOP-MG) conjunto solução da inequação respectivamente, por: A) A: B) Considerando essas relações, o patrimônio da empresa A C) será superior ao patrimônio da empresa B a partir de D) quantos anos? E) A) 3 D) 12 B) 5 E) 15 04. (FUVEST-SP) Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela C) 9 primeira hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00. Considere um dia em 03. (UFPI) conjunto solução da inequação que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. é o intervalo número MÍNIMO de usuários necessário para que o A) (1,00) estacionamento obtenha lucro nesse dia é B) A) 25 D) 28 C) B) 26 E) 29 D) [0, C) 27 E) 0) 05. (UFMG) número real satisfaz 4x-3 > 2. Assinale a 04. (UFJF-MG-2006) Os valores de que satisfazem a alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades inequação pertencem a para X. 5 5 B) 2 C) [1,3 3] D) [-3, 2) 06. (UFV-MG) Seja p um número real positivo menor que a E) sua raiz quadrada. Sobre a inequação em R, é CORRETO afirmar que 05. (Umesp) A função tem como domínio, no E) campo dos reais, os valores de que se encontram na alternativa 07. (UFSM-RS) conjunto solução da inequação A) B) é dado por C) A) [-3, 3[ D) [-2,2] D) E) 28 Coleção Estudo</p><p>Inequações 08. (PUC Minas) polinômio 13. (UFRGS) Os gráficos seguintes representam, é negativo para Nesse caso, o MAIOR valor inteiro respectivamente, as funções y Essas funções se anulam somente nos pontos indicados A) 0 nas figuras. y B) -1 C) -2 D) -3 -3 2 X 09. (PUC Minas) conjunto dos valores de x para os quais y os pontos do gráfico de 5x estão acima do eixo das abscissas é A) -3 2 X B) A solução da inequação f(x).g(x) > A) (-00, 0) D) (2, +00) B) E) (-3, (0,2) 10. (UNESP) Todos os POSSÍVEIS valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 20x + 2m > 0, para todo pertencente ao conjunto dos reais, são dados por 14. (UERJ) Sabe-se que o pode ser decomposto na forma p(x) = Representando as funções reais f(x) num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico a seguir: y 11. (UFV-MG) Sejam as funções reais f e g dadas por ; o domínio da função 1 X 2 g Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação os valores de E) que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa: 12. (UFF-RJ) No triângulo retângulo representado a seguir, cada um dos catetos mede 3 cm. B) E 15. (UFRJ-2006) Uma operadora de celular oferece dois C planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma B assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e,a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais F é de R$ 1,50. A) CALCULE o valor da conta em cada plano para um Considere um ponto da hipotenusa e o retângulo ABCD, consumo mensal de 30 minutos em ligações sendo a medida de AD. DETERMINE B) DETERMINE a partir de quantos minutos, em ligações A) a área S do retângulo ABCD em função de X. locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que B) para que valor(es) de se tem S 1,25 o plano A. Editora Bernoulli 29</p><p>Frente C Módulo 07 16. (FEI-SP) DETERMINE o domínio da função f tal que SEÇÃO ENEM = + - 6 01. A tabela apresenta parte da planilha de custos de uma fábrica: 17. (CEFET-MG) número de soluções inteiras e estritamente Custo por unidade positivas da inequação 1 > 1 é Descrição produzida (R$) 3x-1 Matéria-prima 0,8 D) 3 Mão de obra / Impostos 3 B) 1 E) 4 Transporte 0,3 Armazenagem 0,1 18. (UFOP-MG) conjunto solução da inequação Energia 1,8 A) Além dos custos por unidade produzida, indicados na tabela anterior, essa fábrica possui um custo fixo mensal igual a R$ 46 000,00 devido à locação de máquinas e equipamentos. Devido a limitações da linha de montagem, o número mínimo de peças que podem ser produzidas é igual a 3 000. Sabendo-se que cada unidade é revendida 19. (UFTM-MG) intervalo que satisfaz a inequação por pode-se afirmar que o número de unidades tem comprimento 2. Portanto, o módulo que devem ser produzidas em um mês, para que o lucro líquido mensal da fábrica seja superior a é D) 7 A) 28 000 D) B) 5 E) 8 B) E) 40 000 C) 6 20. (FGV-SP-2006) conjunto solução da inequação a sendo a um número real positivo GABARITO e menor do que 1, é 1 A) a, Fixação a 01. B 02. D 03. A 04. A 05. D B) Propostos 01. D 03. B 05. B 07. C 09. B 02. E 04. 06. D 08. A 10. B E) 11. B 21. (UFLA-MG) Os valores de a para os quais a inequação B) < 3 seja verdadeira para todo são 13. D 3 14. D a 4 15. A) Plano 57, 50; Plano R$ 40,00 B) A partir de 68 minutos em ligações locais. 16. 17. B 18. D 19. 20. A 21. Seção Enem 3 01. B 3 30 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Função modular 08 C MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 2°) Resolver a equação DE UM NÚMERO REAL Resolução: Se um número possui módulo 10, esse número pode módulo de um número real a é representado por |a|. ser igual a -10 ou 10. Portanto, temos: Em que |a| = a, se x-4=10 x = 14 ou Exemplos x-4=-10 Portanto, 3°) Resolver a equação Geometricamente, o módulo de um número real representa a distância do Resolução: ponto a até a origem da reta real. Resolvendo a equação anterior, temos: Propriedades do módulo - ou ou i) ii) x-1=-2x+5 iii) R ou ou iv) v) = ou x-1=-2x-5 X X vi) = ou y y ou x-1=2x+5 EQUAÇÃO MODULAR Substituindo cada um dos resultados na equação original, verificamos = 2 são soluções É toda equação na qual a incógnita se encontra na forma da equação. de módulo. Portanto, S = {-6, 2}. Exemplos 1°) Resolver a equação 4°) Resolva a Resolução: Resolução: Há dois valores que satisfazem a Inicialmente, vamos calcular as raízes das expressões X = 8 dentro dos módulos. Portanto, 8}. -3 Editora Bernoulli 31</p><p>Frente C Módulo 08 Observe que, 3°) Resolver a inequação i) para valores de menores do que -3, os termos Resolução: 3 são negativos. ii) para valores de entre -3 e 1, o termo - 1 é negativo, e o termo + 3 é positivo. iii) para valores de X maiores do que 1, os termos e X + 3 são positivos. Portanto, S = Assim, podemos representar esse fato no esquema a seguir: -3 14 -x+1+x+3=14 FUNÇÃO MODULAR -2x 16 4=14 É uma função f: R R definida por f(x) = |x|. (convém) (absurdo) (convém) Essa função, de acordo com a definição de módulo, pode Devemos verificar também se as raízes -3 e 1 são soluções ser escrita da seguinte forma: da i) Para temos 4 = 14. (absurdo) ii) Para X = 1, temos 4 = 14. (absurdo) Assim, as soluções y Portanto, INEQUAÇÃO MODULAR Uma inequação é dita modular quando a incógnita se encontra na forma de módulo. X Exemplos gráfico da função modular é a reunião de duas 1°) Resolver a inequação semirretas de mesma origem. Observe que: Resolução: Para 0, temos o gráfico da reta Observe que há dois intervalos reais que satisfazem Para 0, temos o gráfico da função a essa 7 Portanto, A imagem da função modular é o conjunto 2°) Resolver a inequação Resolução: Observe que há apenas um intervalo que satisfaz a GRÁFICOS DE FUNÇÕES essa condição: MODULARES Portanto, Generalizando: Gráficos de funções da forma Seja a um número real positivo. Há dois casos possíveis: caso: Esse tipo de gráfico é obtido pela "reflexão" ou "rebatimento", em relação ao eixo X, das partes do gráfico caso: nas quais f(x) < 0. 32 Coleção Estudo</p><p>Função modular Exemplos Efetuando a reflexão em torno do eixo temos o seguinte gráfico: 1°) Esboçar o gráfico da função y Resolução: Inicialmente, vamos desconsiderar o módulo e esboçar o gráfico da função y 3 2 1 -2 1 2 3 X Agora, basta efetuarmos uma reflexão, em torno do eixo X, Outros gráficos da parte do gráfico que possui ordenada negativa. Exemplos y 1°) Esboçar o gráfico da função 2 Resolução: Basta esboçarmos o gráfico da função y = e, em seguida, deslocarmos esse gráfico 3 unidades 2 para cima. X y -2 OBSERVAÇÃO 3 gráfico da função básica também pode ser obtido por esse processo. X 2°) Esboçar o gráfico da função 2°) Esboçar o gráfico da função Resolução: Resolução: Inicialmente, vamos desconsiderar o módulo e Basta esboçarmos o gráfico da função em seguida, deslocarmos esse gráfico 2 unidades esboçar o gráfico da função 4x + 3. para baixo. y 1° passo: Esboço do gráfico da função Nesse caso, podemos utilizar o "rebatimento" em relação ao eixo X, descrito anteriormente. Inicialmente, desconsideramos o módulo e esboçamos o gráfico de 3 y 2 1 X -1 o 1 3 X -1 Editora Bernoulli 33</p><p>Frente C Módulo 08 Agora, basta efetuarmos uma reflexão em torno Daí, observe que há três funções, uma para cada intervalo do eixo da parte do gráfico que possui ordenada de X. Representando tais funções em um mesmo sistema negativa. de coordenadas cartesianas, temos: y Função I y Função III 1 Função II 3 1 X -1 1 -2 1 o 1 X passo: A partir do gráfico da 2 --1 construído anteriormente, promoveremos uma translação do mesmo 2 unidades para Para isso, é necessário encontrar os pontos de 4°) Esboçar o gráfico da função - interseção de com os eixos ordenados: Resolução: Interseção com o eixo Oy Inicialmente, esboçamos o gráfico da função Em seguida, deslocamos esse gráfico 1 unidade para baixo, obtendo o gráfico da função Finalmente, "rebatemos", em relação ao eixo Interseção com o eixo Ox a parte do gráfico com ordenada negativa, obtendo o gráfico da função y ou y 1 o -1 1 2 3 X -1 y -2 3°) Esboçar o gráfico da Resolução: -1 o 1 X Vamos calcular as raízes das expressões dentro dos -1 módulos: Logo, podemos usar o seguinte esquema: -2 -2<x<1 1 1 -1 1 X y=3 (função I) (função II) (função III) -1 34 Coleção Estudo</p><p>Função modular EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 04. conjunto imagem da função o intervalo 01. (UECE) Se = 2, então as raízes irracionais da B) equação C) A) C) B) 3/2 e 02. (UFLA-MG-2009) 6, a afirmativa 05. (FGV-SP) A soma dos valores inteiros de que CORRETA é satisfazem, simultaneamente, as desigualdades A) y se anula somente para quatro valores de X. B) y possui apenas um ponto de mínimo. A) 25 C) y se anula somente para dois valores de X. B) 13 D) y não é uma função par. C) 16 D) 18 03. (Cesgranrio) No gráfico a seguir, está representada a E) 21 função do 1° grau f(x). f(x) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5 01. (UFTM-MG-2007) Dada a desigualdade então a quantidade de valores inteiros não nulos de 3 que satisfaz é X A) 7 o gráfico que MELHOR B) 6 5 D) 4 E) 3 o 3 X 02. (UEMS) Considerando as funções reais de variável real que 5 A) B) 4 X (fog)(x) -1 D) 4 E) 1 03. (UFF-RJ) Com relação aos conjuntos 3 X P 4 o 2,4 X Somente são VERDADEIRAS as afirmativas A) III. B) I e IV. 4 C) II e III. o 3 D) II e IV. -1 X E) III e IV. Editora Bernoulli 35</p><p>Frente C Módulo 08 04. (UFJF-MG) Sobre os elementos do conjunto solução da 06. (UECE) Dados os equação - dizer que 1}, a soma dos elementos An B A) são um número natural e um número inteiro. igual a A) 19 B) são números naturais. B) 20 C) o único elemento é um número natural. C) 21 D) um deles é um número racional, o outro é um número D) 22 irracional. E) 18 E) não existem, isto é, o conjunto solução é vazio. 07. (UFMG) Seja R R uma função tal que 05. = 8|. gráfico de é (UEL-PR) Seja dada = gráfico da função g: R R, definida por g(x) = -f(x + 1), é A) y 8 A) y -2-1 1 2 X -2 2 X -1 -2 B) y 8 -3 B) y 2 X 3 C) y 2 8 1 -2 -1 1 2 X -2 2 X D) y C) y -2 2 O 3 X 2 -8 1 -1 1 X E) y -2 2 -2 2 o X D) y 2 -8 1 -1 1 08. (UFRGS) Para -1 o gráfico da função -2 2 X -1 + - 1| coincide com o gráfico da função -2 ax + b. Os valores de a e b são, respectivamente, E) y -2 -1 1 2 X -1 -2 -3 36 Coleção Estudo</p><p>Função modular 09. (UFLA-MG) gráfico da expressão + = 4 é dado por 11. (UFCE) Seja f uma função real de variável real cujo gráfico está representado a seguir. A) y D) y a alternativa cujo gráfico MELHOR representa 4 f(x) -4 4 1 -4 4 2 X 1 3 4 X -1 -4 A) |g(x) B) y E) y 1 4 1 2 7 4 X -1 -4 4 2 2 -4 4 X X -4 3 C) y 1 7 4 1 2 24 2 X -4 4 1 C) |g(x) 3 -4 1 10. (UFMG-2010) Considere a função 1 2 3 4 X Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função D) está CORRETO. A) y 1 1 2 3 4 X E) 1 X 3 1 B) y 1 2 7 4 X 2 2 12. (UFC-2008) Dadas as funções f: R R e g: R R 1 X definidas de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a A) 5 D) 2 C) y B) 4 E) 1 C) 3 1 X 13. (ITA-SP) Sabendo-se que as soluções da equação - 6 = 0 são raízes da equação podemos afirmar que D) y 1 X E) não existem a e b a menos que contenha todas as raízes da equação dada. Editora Bernoulli 37</p><p>Frente C Módulo 08 14. (UFMG) Observe a figura. 02. A elaboração de um programa de computadores consiste y em fornecer uma série de comandos ao computador 2 para que o mesmo execute uma determinada 1 Tais comandos devem ser dados em uma linguagem 2 apropriada, chamada linguagem de programação. o 1 3 É comum que um programador, antes de digitar o -1 programa propriamente dito, crie um algoritmo, ou seja, uma espécie de rascunho que contém a A reta r é o gráfico de uma função g. Seja f a função de operações que o futuro programa deverá executar. dada por f(x) = Pode-se afirmar que f(x) g(x) Um programador escreveu em um papel o seguinte tem como conjunto solução algoritmo: A) D) B) 3} E) R Passo 1) Dados iniciais valor de entrada Passo 2) 15. (UFRJ) Seja f a função real dada por f(x) = + bx + C, Passo 3) FIM. com a > 0. DETERMINE a, b e C, sabendo que as raízes Passo 4) Se # 6, então VOLTE AO PASSO 2, da equação 1, 2 e 5. JUSTIFIQUE UTILIZANDO COMO DADO DE ENTRADA. sua resposta. Após a implementação do programa, foram feitos vários testes. Em um desses testes, verificou-se que o passo 2 16. (UFES) foi repetido uma única vez, antes de o programa terminar. y número de valores reais possíveis para o dado de 1 entrada nessas condições, é igual a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 -2 -1 1 2 X o gráfico anterior representa a função A) GABARITO B) C) Fixação D) 01. 02. A 03. E 04. A 05. E E) Propostos SEÇÃO ENEM 01. E 10. B 01. Em uma gincana escolar, uma das etapas consistia 02. B 11. E na resolução de um desafio matemático. O professor 03. B 12. B forneceu uma série de informações acerca de um número Y. A primeira equipe que conseguisse determinar 04. A 13. D esse número venceria a prova. 05. A 14. B As informações eram as seguintes: 06. 15. número Y é natural. número |Y - 2 + 4 encontra-se a 10 unidades da 07. B origem da reta real. 08. Acerca do número Y, podemos concluir que 09. A 16. A A) é um número primo. B) possui 6 divisores naturais. C) é divisor de 56. Seção Enem D) é um número 01. 02. B E) é múltiplo de 3. 38 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Função exponencial 09 C INTRODUÇÃO GRÁFICOS Conta uma lenda que um rei havia prometido realizar Considere a função y = 3x. Vamos atribuir alguns valores qualquer desejo a quem executasse uma difícil tarefa. à variável, calcular a imagem correspondente e construir o Quando um dos seus súditos conseguiu realizá-la, o rei viu-se gráfico. Assim, temos: obrigado a cumprir a sua promessa. súdito pediu então que 9 as 64 casas de um tabuleiro de xadrez, jogo muito apreciado 1 no reino, fossem preenchidas com grãos de trigo, do seguinte -2 - 9 modo: na primeira casa, seria colocado um grão de trigo e, 1 -1 em cada casa seguinte, seria colocado o dobro de grãos que 3 havia na casa anterior. rei suspirou aliviado, considerando o 0 1 pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o 1 3 3 pagamento. Tal foi sua surpresa quando os seus conselheiros, 2 9 1 alguns dias depois, anunciaram que o reino encontrava-se 3 27 -1/3 totalmente sem provisões de trigo, uma vez que apenas na -2-10 1 2 X última casa o total de grãos era de o que corresponde a, Do mesmo modo, vamos obter o gráfico da função: aproximadamente, 9 = 9,2233 X Essa quantidade, juntamente com a soma das quantidades colocadas nas outras casas, superava em muito não só a capacidade do reino, mas a de todos os outros de que se tinha notícia. f(x) = 2 y Essa lenda nos dá um exemplo de uma função exponencial, 8 -3 8 a função y = 2x. As funções exponenciais crescem ou -2 4 decrescem muito rapidamente, sendo extremamente -1 2 importantes para descrever diversos fenômenos, tais 0 1 como crescimento populacional, reprodução de bactérias, 4 1 decaimento radioativo, juros compostos, entre outros. 1 2 2 Seu estudo desenvolveu-se notadamente por volta do 1 2 1 século XVI, com o trabalho de dois matemáticos: John 4 1/2 Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1561-1630). 1 3 - -3-2-10 1 2 3 X 8 EXPONENCIAL De modo geral, há dois tipos de gráfico para a função f(x) - i) Se a > 1, então a função f(x) = é crescente. Considere uma função f: R definida por f(x) = ax, Exemplo com a > 1. Tal função é denominada função exponencial. y Exemplos 1°) f(x) = 3x 3°) 1 4°) Editora Bernoulli 27</p><p>Frente C Módulo 09 ii) Se0<a<1, então a função f(x) = é decrescente. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exemplo 01. Determinar os valores de k para os quais a função é crescente. y Resolução: Para que a função seja crescente, é necessário que Portanto, temos: 1 = X Com relação aos gráficos, podemos dizer: i) Trata-se de uma função injetora, pois a cada 02. (PUC-SP) Sobre a função f(x) = definida em R, valor da imagem corresponde um único valor do podemos afirmar que domínio. A) tem um único zero no intervalo [0,2] ii) domínio de uma função exponencial é sempre igual qualquer que seja a e R* ao conjunto dos números reais (D = R). C) ex qualquer que seja a E iii) A curva está toda acima do eixo das abscissas, D) assume valores de R em pois é sempre maior que zero para todo real. Portanto, a sua imagem Im é dada por Im = E) assume valores apenas em iv) A curva corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1). Resolução: Isso ocorre porque, para X = 0, temos A função f(x) = não possui raízes, pois para todo OBSERVAÇÃO real. Portanto, a alternativa A é falsa. o número e Para 0 temos que > Portanto, a alternativa B é falsa. Trata-se de um número irracional, cujo valor é Esse número é conhecido como número neperiano, uma Para a > e, temos que Portanto, a alternativa referência ao matemático escocês John Napier, autor da C é falsa. primeira publicação sobre a Teoria dos Logaritmos. A função f(x) = possui o seguinte gráfico: número e é extremamente importante no estudo de juros e de diversos fenômenos naturais, tais como crescimento y populacional, decaimento radioativo, crescimento de bactérias, entre outros. gráfico da função dado por: 1 y X Observe que se trata de uma função com domínio R 1 e imagem R* Portanto, a alternativa D é verdadeira. Conforme visto no item anterior, o domínio não se X restringe ao conjunto Portanto, a alternativa E é falsa. 28 Coleção Estudo</p><p>Função exponencial EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 05. (UEL-PR) crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = em que t 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. 01. (UFLA-MG-2007) A figura é um esboço do gráfico da Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, a+b função A ordenada do ponto P de abscissa é 2 após 8 horas o número de bactérias da colônia será y A) 6a C) 9a E) a + 8 B) 8a D) d P EXERCÍCIOS PROPOSTOS C 01. (FUVEST-SP) Seja f(x) = são tais que a b X f(a) = 4f(b), = pode-se afirmar que A) B) C) cd D) 02. (Mackenzie-SP) Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, respectivamente, às funções y = y I II III 02. (UNIRIO-RJ) Numa população de bactérias, há P(t) = bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? Então, está CORRETO afirmar que A) 20 B) 12 C) 30 D) 15 E) 10 A) D) B) E) a<0<c<b C) 03. (PUC Minas) Os pontos A(1, 6) e B(2, 18) pertencem ao gráfico da função Então, o valor de an é 03. (UNESP) A trajetória de um salto de um golfinho nas A) 6 B) 9 C) 12 D) 16 proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou 04. (PUC Minas) Cada um dos gráficos adiante representa = T), foi descrita por um observador através do uma destas funções: seguinte modelo matemático: com t em segundos, h(t) em metros e tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante esse salto foi A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 10 y y y 04. (UNIFESP-2009) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumulado X a cada 2 horas. Daí, se K é o volume da substância no organismo, pode-se utilizar a função f(t) = Sobre essas funções, foram feitas três afirmativas: estimar a sua eliminação depois de um em horas. I. Neste caso, o tempo MÍNIMO necessário para que uma II. g(x) h(x), para > 0 pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única dose, é de III. h(x) > 0, para todo pertencente aos reais. A) 12 horas e D) 8 horas. número de afirmativas CORRETAS é B) 12 horas. E) 6 horas. C) 10 horas e A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Editora Bernoulli 29</p><p>Frente C Módulo 09 05. (Mackenzie-SP) Na figura, temos os esboços dos 08. (UFF-RJ) A automedicação é considerada um risco, gráficos das funções f e g, sendo f(x) = valor de pois a utilização desnecessária ou equivocada de um g(g(-1)) + f(g(3)) é medicamento pode comprometer a saúde do usuário. Substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos y do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois 4 de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração y de certa 3 substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido t, de acordo com a expressão: 1 X Em que é a concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 2 concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após 06. (CEFET-MG-2008) conjunto imagem da função real C) 1 hora. E) 4 horas. = A) 4 D) 2 horas. B) [0,3] 09. (UFRN) No plano cartesiano a seguir, estão representados C) o gráfico da função y = 2x, os números a, b, e suas D) imagens. y 07. (UFC) Suponha que um corpo, com temperatura positiva, seja inserido em um meio cuja temperatura é mais baixa do que a do corpo. A tendência natural será a 4 diminuição da temperatura do corpo. Newton, estudando C a b X este fenômeno, descobriu que a temperatura T do corpo decresce à medida que o tempo t passa, segundo a Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e são, respectivamente, equação mostrada adiante: = Em que e é a base do logaritmo natural e A, B e k são B) constantes positivas. Assinale a alternativa na qual consta o gráfico cartesiano que MELHOR representa, nesse 10. (UFPE-2007) preço de um automóvel, P(t), desvaloriza-se fenômeno, a temperatura T em função do tempo t. em função do tempo t, dado em anos, de acordo com uma função de tipo exponencial P(t) = com a e b A) T D) T sendo constantes reais. Se, hoje (quando t = 0), o preço do automóvel é de R$ 000,00, e valerá R$ 16 000,00 daqui a 3 anos (quando t = 3), em quantos anos o preço do automóvel será de R$ 8 192,00? t t Dado: 20 000 B) T E) T 11. (UERJ) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, t t de acordo com as seguintes funções: A(t) C) T B(t) Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000. DETERMINE em quantos t meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. 30 Coleção Estudo</p><p>Função exponencial 12. (PUC RS) Uma substância que se desintegra ao longo 18. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período do tempo tem sua quantidade existente, após t anos, de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = conforme o dada por M(t) = em que representa gráfico a seguir a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade existente após anos em relação à quantidade inicial aproximadamente, 960% A) B) C) D) E) 13. (Mackenzie-SP) A função real definida por f(x) = 7,5% N*, é tal que f(f(x)) = Então, o número real a vale o 4 7 x(anos) B) 2 C) 4 1 DETERMINE a taxa de inflação desse país no quarto ano de 14. (Unip-SP) número de raízes reais da equação SEÇÃO ENEM 01. (Enem-2009) A população mundial está ficando mais B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa 15. (ITA-SP) Sejam g: funções definidas por: de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da Considere as afirmações: coluna da direita representam as faixas percentuais. I. Os gráficos de f e g não se interceptam. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre II. As funções f e g são crescentes. 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. III. f(-2)g(-1) = f(-1)g(-2). 461 Então, 35 A) apenas a afirmação I é falsa. Países desenvolvidos B) apenas a afirmação III é falsa. 30 C) apenas as afirmações I e II são falsas. 269 D) apenas as afirmações II e III são 25 E) todas as afirmações são falsas. Número em milhões 20 16. (FGV-SP-2010) valor de um carro decresce 95 15 exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a 490 anos, será dado por V = A.e-k.x, em que e = 2,7182... Países em 10 desenvolvimento Hoje, o carro vale R$ e daqui a 2 anos valerá R$ Nessas condições, o valor do carro daqui 5 a 4 anos será 110 ESTIMATIVAS 0 A) R$ D) R$ 25 000,00. 1950 70 90 2010 30 50 B) R$ 20 E) R$ Disponível em: <www.economist.com> Acesso em: 9 jul. 2009 C) R$ (Adaptação). 17. (Unicamp-SP) Suponha que o número de indivíduos Suponha que o modelo exponencial y = 363.e0,03.x, em que de uma determinada população seja dado pela função corresponde ao ano 2000, = 1 corresponde ao ano F(t) = a.2-b.t, em que a variável t é dada em anos e a e 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em b são constantes. milhões de habitantes no ano seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países A) ENCONTRE as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a .024 indivíduos e a população em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, após 10 anos seja a metade da população inicial. considerando 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre B) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza A) 490 e 510 milhões. D) 810 e 860 a da população inicial? 8 B) 550 e 620 milhões. E) 870 e 910 milhões. C) ESBOCE o gráfico da função F(t) para t e [0, 40]. C) 780 e 800 milhões. Editora Bernoulli 31</p><p>Frente C Módulo 09 02. A pressão atmosférica P, em mmHg, é dada em função da altura h (em relação ao nível do mar) pela expressão GABARITO P(h) = sendo e o número neperiano, que vale aproximadamente 2,7182. Um alpinista, ao escalar uma Fixação elevação, verificou através de um barômetro (instrumento que mede a pressão atmosférica) que a pressão no 01. A 02. D 03. E 04. B 05. C ponto em que se encontrava era igual a 600 mmHg. Considerando o parâmetro = -0,0002, pode-se afirmar Propostos que a altura do alpinista, em relação ao nível do mar, 01. E é igual a Dados: 02. E A) 1 150 m. 03. B B) m. 04. D C) m. D) m. 05. E) m. 06. E 07. E 03. Sob certas condições, o número N de bactérias de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, 08. E é dado por N(t) = Isso significa que, após 6 dias, 09. D o número inicial de bactérias terá sido multiplicado por 10. 12 anos A) B) 2 11. 6 meses C) 16 12. E D) 13. B E) 14. 04. A madeira foi um dos primeiros materiais usados pelo 15. E homem, na construção de sua habitação e de seus 16. primeiros meios de transporte. Com a alta utilização 1 desse material, intensificaram-se o desmatamento e a 17. A) a = e b = 10 significativa diminuição das florestas no mundo. A fim B) = 30 anos de solucionar esse problema, tende-se à produção de madeira a partir de florestas plantadas ou regeneradas. C) F(t) Para calcular o rendimento V de uma dessas florestas, podemos usar a fórmula: 512 256 Em que V nos dá o valor em metros cúbicos de madeira 128 por are, em função da idade da floresta, t. Considerando 64 e-0,481 = 0,62, a quantidade de de madeira que renderá 10 20 30 40 t uma floresta de 80 hectares com 100 anos de idade está entre 18. 60% A) 10 000 e B) 20 000 e Seção Enem C) e D) 40 000 e 01. E 02. A 03. E 04. C E) e 32 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Equações e inequações 10 C exponenciais EQUAÇÃO EXPONENCIAL 03. Resolver, em R, a equação 4x - 2x - 12 = 0. Uma equação é dita exponencial quando a variável se Resolução: apresenta no expoente. Seja a um número real tal que Como a função exponencial é injetora, temos: Substituindo 2x por y, temos: - 49 então = 4 Para y = -3, temos 2x = -3 (absurdo). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Para y=4, 2. Portanto, S = {2}. 01. Resolver, em R, a equação 32x = 128. INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Resolução: Toda desigualdade em que a variável aparece no expoente = é uma inequação exponencial. Exemplos Portanto, S = 2°) 02. Resolver, em R, a equação De modo geral, uma inequação deve ser resolvida colocando-se a mesma base a nos dois membros da Resolução: inequação e considerando-se os seguintes casos: Podemos escrever 1° caso: a > 1 Como a função f(x) = é crescente, observamos Substituindo 3x por y, temos: que, se > então > y = 6400 1 X2 X Para Portanto: Para y = 9, 1, devemos conservar o sinal da desigualdade ao compararmos os expoentes. Portanto, = {-2, 2}. Editora Bernoulli 33</p><p>Frente C Módulo 10 2° caso: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Como a função f(x) = é decrescente, observamos que, se > então 01. (PUC Minas) Considere como verdadeiras as igualdades y Nessas condições, o valor de é A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 02. (UFMG) Suponha que a equação 1 seja válida para todo número real em que a, b, e C X são números reais. Então, a soma igual a Portanto: 3 D) 12 Se 1, devemos inverter o sinal da 03. (UFSCar-SP) par ordenado solução do sistema desigualdade ao compararmos os expoentes. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS A) C) E) 04. Resolver a inequação 7x > 343. Resolução: D) Como devemos conservar a desigualdade, ou seja, 04. (UNIRIO-RJ) conjunto solução da inequação 3. em é Portanto, A) 05. inequação Resolver a Resolução: 3x-21 3x-21 05. (UFJF-MG) A função c(t) = com o 25-1 25 crescimento do número C, de bactérias, no instante t em tempo necessário, em horas, para que haja, < devemos inverter a desigualdade, nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo A) [0, 4] D) [36, 72] ou seja, - 23 B) [4,12] E) [72, 108] C) Portanto, S = EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06. Resolver a Resolução: 01. (UEL-PR) Considere as soluções reais de = 1. Nesse caso, devemos utilizar as propriedades das então a diferença entre a maior e a menor potências. dessas raízes é 2x 18 C) 2 D) 1 E) 0 Substituindo 2x por y, temos: 02. (UNIRIO-RJ) Assinale o conjunto-solução da inequação Substituindo y por 2x, obtemos: 34 Coleção Estudo</p><p>Equações e inequações exponenciais 03. (UFMG) produto das raízes da equação 3x + é 10. (UFPE) Quantas soluções reais possui a equação 3x-1 3 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 10 D) 1 11. (FGV-SP) Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante relativo 04. (UFOP-MG) valor de que satisfaz a equação seguinte ao capital aplicado é dado por M(t) : em que é um número C> 0. menor tempo POSSÍVEL para quadruplicar uma A) D) primo. certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é B) irracional. A) 5 meses. C) negativo. B) 2 anos e 6 meses. C) 4 anos e 2 meses. 05. (Fatec-SP) Seja f: R, em que o conjunto D) 6 anos e 4 meses. E) 8 anos e 5 meses. dos valores de para os quais < 12. (PUC Minas) valor de que satisfaz a equação A) D) B) 1 E) 5 1 C) 2 1 B) 3 D) 3 06. (UEL-PR) A relação a seguir descreve o crescimento de uma população de micro-organismos, sendo P o número 13. (UFV-MG) Seja a equação = 1. A soma e de micro-organismos, t dias após o instante 0. valor o produto de suas soluções são, respectivamente, de P é superior a se, e somente se, t satisfizer à os números condição P 14. (Cesgranrio) Se o quociente de então 07. (UFV-MG) Seja a função conjunto 3 dos valores de para os quais 3) > f(6) é B) 15. (FGV-SP) A raiz da equação C) A) um número primo. D) B) um número negativo. E) C) um número irracional. D) um número maior ou igual a 1. 08. (FGV-SP) Seja a função f, de R em R, definida por E) um múltiplo de 5. = 8, então é 16. (PUC RS) Se 3x = então 15 - vale E) 2 A) 16 B) 15 C) 14 D) 11 E) 6 17. (UFV-MG-2008) Faça o que se pede. 09. (Mackenzie-SP-2010) valor de na equação A) ESBOCE o gráfico da função f: R R definida por f(x) = B) ENCONTRE o conjunto solução da inequação A) tal que D) múltiplo de 2. B) negativo. E) R. C) tal que Editora Bernoulli 35</p><p>Frente C Módulo 10 18. (UFV-MG-2009) Para resolver a equação exponencial 02. Uma garrafa de cerveja foi colocada em uma geladeira que 2 + 8 = 0, Aline tomou o cuidado de tinha temperatura interna igual a 5 A temperatura da inicialmente multiplicar ambos os membros da equação garrafa em função do tempo pode ser descrita pela função: por 16. Tendo resolvido CORRETAMENTE Aline encontrou dois números reais cujo produto vale A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 Em que T. é a temperatura do ambiente, em graus Celsius, 19. (UFLA-MG) valor de X que satisfaz a equação e B é uma constante. Sabe-se que, após 2 horas, a 260 é cerveja chegou a 14 Quanto tempo levou para que essa garrafa atingisse a temperatura de 6 °C? A) 5 B) 8 C) 3 D) 2 E) 1 A) 2 horas B) 3 horas SEÇÃO ENEM C) 4 horas D) 5 horas 01. A fotografia a seguir mostra o famoso monumento conhecido como Gateway Arch. E) 6 horas GABARITO Fixação 01. A 02. 03. D 04. A 05. C Propostos 01. D 09. D 02. 10. 03. B 11. 04. E 12. E 05. E 13. E 06. D 14. B 07. D 15. D 08. A 16. D Localizado em St. Louis, Missouri, o Gateway Arch foi 17. A) y projetado pelo arquiteto Eero Saarinen. Embora lembre uma parábola, o monumento tem a forma exata de uma curva conhecida como catenária, nesse caso, 3 no formato invertido. A catenária é uma curva formada por um fio pendente, e sua expressão é dada por 1 que é que depende 1 em a uma constante 3 2a -1 1 X dos parâmetros físicos do fio, e e é o número neperiano. Se a = 1, o valor de para o qual 18. A) -2 19. A C) 0 Seção Enem D) 1 01. 02. 36 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Logaritmos 11 C INTRODUÇÃO Em que: i) b é o logaritmando. No ano de 1614, foi lançada a obra Mirifice logarithmorum canonis descriptio, que significa "Uma descrição da maravilhosa ii) a é a base. regra dos logaritmos". Tal obra, escrita pelo nobre escocês iii) é o logaritmo. John Napier (1550-1617), provocou uma verdadeira revolução na Matemática da época, bem como nas áreas relacionadas Exemplo à astronomia e à navegação, ao apresentar um método Calcular o valor de cada logaritmo a seguir: que diminuiu enormemente o tempo gasto na realização dos cálculos que os estudiosos dessas áreas efetuavam 1°) log, 32 frequentemente. Coube ao inglês Henry Briggs (1561-1630) Resolução: o aperfeiçoamento desse método, através da elaboração da log, 5 chamada Tábua de logaritmos decimais, que permitia escrever qualquer número positivo como uma potência de dez. Com o surgimento das calculadoras científicas, as tábuas Resolução: logarítmicas perderam a sua utilidade. Porém, o conceito de logaritmo continua sendo um dos mais importantes da 625 = = Matemática, e o seu uso é fundamental na abordagem de diversos problemas das mais variadas áreas do conhecimento. DEFINIÇÃO DE LOGARITMO OBSERVAÇÕES i) As condições de existência do logaritmo b são: Imaginemos o seguinte problema: A qual expoente devemos elevar o número 3 de modo a obtermos 243? Observe que o problema anterior pode ser descrito através da seguinte equação exponencial: ii) Quando a base de um logaritmo é igual a 10 (logaritmo decimal), esta pode ser omitida. Exemplo: 5 pode ser escrito como log 5. A partir de agora, diremos que 5 é o logaritmo de 243 na base 3. Com isso, promovemos uma mudança na notação iii) Quando a base do logaritmo é o número e utilizada. Assim, escrevemos: (e = 2,71828...), esse logaritmo é chamado logaritmo neperiano ou logaritmo natural e é 5 representado pela notação In. Portanto, observamos que as expressões descritas Exemplo: 18 pode ser escrito como In 18. anteriormente são equivalentes, ou seja: log, Podemos generalizar essa ideia do seguinte modo: CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sendo a e b números reais e positivos, com a # 1, Considerando a definição de logaritmo e suas condições chama-se logaritmo de b na base a o expoente real de existência, temos: que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. i) ak; Editora Bernoulli 31</p><p>Frente C Módulo 11 Justificativa de iv: Resolução: X (I) Sabemos que = 3 Seja k o número pelo Queremos mostrar que qual o valor de E fica multiplicado a cada aumento de Fazendo b = y (II). uma unidade no valor de I. Assim, temos: Substituindo (II) na expressão (I), obtemos = (III). Igualando os valores de nas expressões (II) e (III), obtemos X = b. PROPRIEDADES DOS DE BASE LOGARITMOS Considere o logaritmo b, em que b > 0 e 0 < a # 1. Sendo a, b e números reais e positivos, e a # 1, temos: Se desejarmos escrever esse logaritmo em uma base C, em que 0 utilizaremos a seguinte propriedade: i) = ii) a , sendo a # 0, ou seja, a # 1. Exemplos iv) com a R*. 1°) Escrever log, 5 na base 2. Resolução: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. o valor 2°) Escrever log, 4 na base 4. de considerando satisfeitas as condições de Resolução: existência. 1 Resolução: 3 Generalizando, se forem satisfeitas as condições de existência dos logaritmos, temos que: Z COLOGARITMO 02. (UFMG) A intensidade de um terremoto na escala Richter É definido como o valor oposto ao do logaritmo. Assim, é definida por em que E é a energia escrevemos: liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora (KWh), e KWh. A cada aumento de uma unidade Observe também que no valor de I, o valor de E fica multiplicado por Portanto, podemos escrever que: B) 10 3 32 Coleção Estudo</p><p>Logaritmos EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Como as bases são iguais, temos: São equações que envolvem logaritmos, em que as variáveis podem aparecer no logaritmando ou na base. Assim, para resolvê-las, aplicamos a definição, as condições de existência e as propriedades dos logaritmos. =-3 ou 2 Verificando as condições de existência, temos: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS convém) Para (convém) 03. Resolver, em R, a seguinte equação logarítmica: Portanto, a solução da equação 06. Resolver, em R, a = Resolução: Resolução: Inicialmente, devemos verificar as condições de existência Inicialmente, devemos verificar as condições de existência (C.E.) de cada logaritmo. Assim, temos: de cada logaritmo. Assim, temos: 6 (condição I) e Em seguida, como as bases são iguais, devemos igualar (condição II) também os logaritmandos. Como deve atender simultaneamente às duas condições, temos que a interseção dessas é dada por > 11. Logo: 3x - 18 = 6 3x = Manipulando a equação, obtemos: Como esse valor satisfaz a condição de existência então a solução da equação 04. Resolver, em R, a equação log, = -3. x-11 Resolução: Aplicando a condição de existência, temos: x-11 1 5 Como 17 satisfaz a condição de existência então Aplicando a definição de logaritmo, temos: a solução da equação é 5x EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 8 7 = 40 7 01. (UFPR-2011) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão 40 < satisfazendo a condição de Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou existência, a solução da equação é S = que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t 05. Determinar o conjunto solução da equação semanas pode ser aproximado pela fórmula: log, = log, 21, em R. P a sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Resolução: Se essa fórmula é válida para um certo estudante, Inicialmente, verificamos a condição de existência: com a = 20 e b = 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será A) entre uma e duas semanas. Observação: Nesse caso, não julgamos necessário resolver B) entre duas e três semanas. a inequação de segundo grau, mas apenas indicá-la. C) entre três e quatro semanas. Em seguida, resolvemos a equação e verificamos se cada D) entre quatro e cinco semanas. uma das soluções satisfaz a condição de existência. E) entre cinco e seis semanas. Editora Bernoulli 33</p><p>Frente C Módulo 11 02. (FUVEST-SP) Se 8 = a, então 5 vale 02. (FGV-SP) valor da expressão A) é E) 121 B) A) 4 D) 169 4 289 3 B) E) N.d.a. 4 03. (Unifor-CE-2009) Em 1987, uma indústria farmacêutica 49 4 iniciou a fabricação de certo tipo de medicamento e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 8% ao ano. 03. (UFU-MG-2010) Existem alguns esportes em que a Assim, em que ano a produção de tal medicamento sensação de liberdade e perigo convivem lado a lado. quadruplicou a quantidade fabricada em 1987? Este é o caso do esqui na neve. Suponha que um São dadas as aproximações: log 2 = 0,30; log 3 = 0,48 esquiador, ao descer uma montanha, seja surpreendido A) 2002 D) 2005 por uma avalanche que o soterra totalmente. A partir do B) 2003 E) 2006 instante em que ocorreu o soterramento, a temperatura C) 2004 de seu corpo decresce ao longo do tempo t (em horas), segundo a função T(t) dada por: 04. (UEL-PR-2007) Considere A, B e números reais positivos (T em graus Celsius), com t 0 com A 1, B # 1 e C + 1. Se log B = 2 e conclui-se que o valor de log Quando a equipe de salvamento o encontra, já sem vida, a temperatura de seu corpo é de 12 graus Celsius. De acordo com as condições dadas, pode-se afirmar que ele ficou soterrado por, E) 3 Utilize a aproximação: 5 A) 2h e 36 minutos. B) 36 minutos. C) 1h e 36 minutos. 05. (UFMG) valor de que satisfaz a equação D) 3h e 36 minutos. que log representa 04. (Unimontes-MG-2010) Se log, (a - b) o logaritmo decimal, pertence ao intervalo então o valor de log, em função de X, é C) 2 A) D) B) x - 2 B) E) [3,4] 05. (FGV-SP) A equação log, = 2 apresenta o seguinte conjunto solução: C) [1,2] {-1,3} D) {1,3} B) {-1} E) N.d.a. EXERCÍCIOS PROPOSTOS C) {3} 01. (Mackenzie-SP-2010) Considerando a solução (x, y) 06. (VUNESP) Se = log 25 e y = log, 5, então A) do sistema com X # 1, o valor de D) x = 2y B) E) 2x = 3y é 07. (FUVEST-SP) Se = 7 e = 49, A) 1 D) 2 é igual a 1 D) 2 B) 4 E) C) 1 34 Coleção Estudo</p><p>Logaritmos (FEI-SP) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32 14. (UFC) valor da soma 27 em função de a e b, obtemos + é A) B) 2a b A) 0 D) 2 C) 2ab B) -1 E) 3 C) -2 09. (FGV-SP) o valor de 5 15. (UFMG) Seja n = Então, o valor de n é D) 3 A) C) 25 B) 3 E) B) D) 5 C) 7 16. (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6 000 unidades de certo produto e, desde então, 10. (UFMG) em que k 7.10-3. Pode-se, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao então, afirmar que o valor de para o qual f(x) = triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) D) A) 1998 D) 2001 B) 1999 E) 2002 C) 2000 11. (UNESP-2006) nível sonoro N, medido em 17. (FUVEST-SP-2009) número real a é o menor decibéis (dB), e a intensidade I de um som, medida entre os valores de que satisfazem a equação em watt por metro quadrado estão relacionados = pela expressão: é igual a Suponha que foram medidos em certo local os níveis 2 sonoros, N1 e de dois ruídos com intensidades respectivamente. Sendo 20 dB, razão é = a 18. (UFES) valor real de m para o qual as raízes da equação m.log3 X = 0 apresentam produto igual a 9 é A) 10-2 C) 10 E) A) B) 10-1 12. (UFRGS) Sabendo-se que e a = y, pode-se afirmar que é igual a C) ) m = 2 E) 4y B) D) 2y 13. (PUC RS-2006) Sabe-se que a representação gráfica da função f dada por f(x) = ax, com a > 19. (UFLA-MG-2009) As soluções da equação passa pelos pontos (2, e Assim, produto = a = 14 A) -8 C) -1 E) 4 B) -4 D) 1 14 Editora Bernoulli 35</p><p>Frente C Módulo 11 20. (UFU-MG-2007) Admitindo-se que a "luminosidade" L(x) 02. Observe o texto a seguir: da luz solar a metros abaixo do nível do oceano seja Projeção da população do Brasil dada, em luxes, pela função L(x) = e que IBGE: população brasileira envelhece em ritmo acelerado um mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidade fica inferior a 10% de seu Desde os anos 1960 que a taxa de crescimento da população brasileira vem experimentando paulatinos valor na superfície, então a MAIOR profundidade, intensificando-se juntamente com as quedas mais em metros, que o mergulhador pode atingir sem ter pronunciadas da fecundidade. Desde o período 1950-1960 de usar luz artificial é igual a até o ano de 2008, a taxa de crescimento da população A) 2.In 10 recuou de 3% para 1% ao ano, aproximadamente. Segundo as projeções, o país apresentará um potencial B) In 100 de crescimento populacional até 2039, quando se espera C) In 20 que a população atinja o chamado "crescimento D) 10.In 10 A partir desse ano serão registradas taxas de crescimento negativas, que correspondem à queda no número da população. SEÇÃO ENEM Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/ 01. A figura a seguir mostra o espacial Hubble. Acesso em: 27 jun. 2011. Em órbita da Terra desde 1990, o Hubble tem Considerando que a população brasileira era de 70 milhões ajudado alguns cientistas a ampliar o conhecimento de habitantes em 1960, e que o ritmo de crescimento acerca do Universo, por meio do estudo de astros populacional se mantivesse no mesmo nível observado extremamente distantes. na década de 1950, a população brasileira chegaria a 350 milhões de habitantes por volta do ano (Dados: log 2 = 0,301 e log 1,03 = 0,013) A) 2014 C) 2020 E) 2040 B) 2018 D) 2034 GABARITO Fixação Disponível em: TG3IbgTjgGI/AAAAAAAAAB4/24jCYMgiE7k/s1600/ 01. C 02. E 03. A 04. D 05. hubble.jpg> Acesso em: 27 jun. 2011. Propostos Um astrônomo estimou que a distância da Terra a um determinado corpo celeste era, aproximadamente, 01. C 11. D igual a km. Para saber o número de casas decimais 02. A 12. E correspondentes a essa medida, o astrônomo adotou o 03. C 13. B seguinte procedimento: 04. C 14. Igualou o número a 05. C 15. D Tomou o logaritmo decimal nos dois membros da 06. 16. E equação; 07. E 17. B De uma tabela, obteve os valores log 2 = 0,30 e log 08. E 18. C Resolvendo a equação, calculou o valor de X. 09. D 19. A Assim, ele foi capaz de escrever essa medida como uma 10. B 20. D potência de base 10, cujo expoente é igual a A) 32,4 D) 26,6 Seção Enem B) 30,0 E) 25,4 01. A 02. A C) 28,4 36 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Função logarítmica 12 C INTRODUÇÃO 2°) Gráfico da função Chama-se função logarítmica toda função f, de domínio x y y e contradomínio R, que associa a cada número real 8 -3 3 positivo X o logaritmo log X, sendo a um número real 4 -2 2 positivo e diferente de 1. 2 -1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 X = log X, em que 1 -1 2 -2 1 2 -3 4 Exemplos 1 3 8 1°) f(x) = X 4°) OBSERVAÇÕES i) Ambos os gráficos não interceptam o eixo das GRÁFICOS ordenadas. Isso ocorre porque a função logarítmica não está definida para X = 0. Vamos construir os gráficos das funções f(x) = ii) Ambos os gráficos interceptam o eixo das abscissas no Em cada caso, iremos atribuir alguns valores ponto (1, 0). Isso se deve ao fato de que 1 = 0, 2 para qualquer número real a positivo e diferente de 1. para X e, em seguida, calcularemos os correspondentes iii) gráfico da função f(x) = log, X é crescente. Isso valores de y. Os pares ordenados obtidos serão usados ocorre porque a base do logaritmo é igual a 2, ou seja, para construir cada gráfico. é maior do que 1. 1°) Gráfico da = iv) gráfico da função f(x) = log, X é decrescente. Isso 2 ocorre porque a base do logaritmo é igual ou seja, 2 y é um número maior do que 0 e menor do que 1. 1 -3 De modo geral, há dois casos a serem considerados no 8 y esboço do gráfico da função f(x) = X: 1 -2 3 4 1° caso: a > 1 2 1 - -1 1 y 2 1 2 3 4 5 6 7 8 X 1 0 -1 2 1 -2 Função crescente 1 X -3 Domínio D=R* 4 2 Imagem Im = R 8 3 Editora Bernoulli 37</p><p>Frente Módulo 12 2° caso: EXERCÍCIO RESOLVIDO y 01. (UFJF-MG) A figura a seguir é um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função f(x) = log X, com alguns pontos destacados. Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9, é INCORRETO afirmar que y 1 X 2 A 1 B C X Função decrescente Domínio D = A) a base b é igual a 3. B) a abscissa de é igual a 1. Imagem Im = R C) f(x) < 0 para todo X E (0, 1). D) a abscissa de B é igual a 2. E) f(x) é crescente. OBSERVAÇÃO Resolução: A função f: R* R, definida por f(x) = X, é inversa ponto A possui abscissa 9 e ordenada 2. Substituindo, na expressão da função, temos: da função g: R R*, definida por = ax, com 0 < a # 1. Os gráficos das funções f e g são simétricos em relação Portanto, a alternativa A está correta. à bissetriz dos quadrantes Para f(x) = 0, temos Logo, a abscissa do ponto é igual a 1. Portanto, a alternativa B está correta. 1° caso: a > 1 Para as correspondentes imagens são negativas. Portanto, a alternativa está correta. y Para f(x) = 1, 3. Portanto, a alternativa D está incorreta. y = log gráfico representa uma função crescente, pois a base 1 b=3 > 1, ou seja, a alternativa E está correta. INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 1 X É toda desigualdade em que a variável aparece no logaritmando ou na base do logaritmo. Há dois casos básicos: Consideremos a função logarítmica 1° caso: a > 1 y gráfico representa uma função crescente. Assim, observe que, para < X, temos f(x) 1 1 X 38 Coleção Estudo</p><p>Função logarítmica Portanto: Como 1, devemos inverter a desigualdade para os logaritmandos, ou seja: Sea>1, devemos conservar o sinal da desigualdade ao compararmos os logaritmandos. A solução é dada pela interseção dos intervalos (I), (II) e (III). caso: = gráfico representa uma função decrescente. Assim, observe que, para log < temos 04. Resolver, em R, a inequação + log, -3. f(x) 2 Resolução: A condição de existência é dada por: X. X Portanto: devemos inverter o sinal da desigualdade função I ao compararmos os logaritmandos. 8 8x+8 OBSERVAÇÃO função Estudo do sinal: Ao resolvermos uma inequação logarítmica, devemos levar em consideração as condições de existência dos logaritmos Raiz: envolvidos. Portanto, a solução consiste na interseção dos intervalos obtidos da condição de existência dos logaritmos e da inequação logarítmica. + 55 X EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Função II 02. Resolver, em R, a inequação log, log, 5. Raiz: Resolução: Verificamos, inicialmente, a condição de existência: + (I) -1 X Como 7 > 1, devemos conservar a desigualdade para os logaritmandos, ou seja: Quadro de sinais: -1 55 A solução é dada pela interseção dos intervalos (I) e (II). + + - Portanto, = + + 03. Resolver, em R, a inequação log, 6 6 - + - Resolução: X Verificamos, inicialmente, as condições de existência: Logo, o intervalo obtido da inequação logarítmica é 2x-8>0 55 (II). ee Fazendo a interseção de (II) com a condição de existência (I), temos como Editora Bernoulli 39</p><p>Frente C Módulo 12 APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Há equações exponenciais que não conseguimos reduzir a 01. (UNIFESP) Com base na figura, o comprimento da potências de mesma base. diagonal AC do quadrilátero ABCD, de lados paralelos Assim, para resolvermos essas equações, devemos aplicar o aos eixos coordenados, é logaritmo, em uma base adequada, dos dois lados da igualdade. Esse artifício é utilizado devido ao fato de a função logarítmica y y=2.3* ser a inversa da exponencial. D EXERCÍCIOS RESOLVIDOS B 05. Resolver a equação exponencial 4x = 12. A (Considerar log 2 = 0,30; log 3 0,48) Resolução: 12 A) 2/2 D) 4/5 x.log 4 = log (4.3) B) 4/2 E) 6/3 x.log = log + log 3 C) 8 2x.log 2 = 2.log 2 + log 3 2x.0,30 = 2.0,30 + 0,48 02. (UFMG) Observe a figura. y 06. (UFOP-MG) A massa de certo material radioativo num instante t é dada por m(t) = Se t é dado em anos, m(20) = 400 g, 5 adotando log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7, encontrar X A) o valor de k. B) o tempo necessário para que metade da massa inicial -4 se desintegre. Nessa figura, está representado o gráfico da função Resolução: 1 f(1) é igual A) Cálculo do valor de k: A) -3 Para t = 20, 3 log = 03. (Unimontes-MG-2007) domínio da função f: definida por -20 = 200 B) Temos que m(t) = Queremos que m(t) = (metade da massa inicial). 04. (FGV-SP) A solução da inequação A) 200 t = 60 200 o tempo necessário é igual a 60 anos. 40 Coleção Estudo</p>