MAT BOOK 1

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<p>Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons</p><p>Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.</p><p>APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA BÁSICA NO</p><p>COTIDIANO DOS NEGÓCIOS</p><p>Frações e operações com frações aplicadas à gestão</p><p>de negócios1.</p><p>Porcentagem e variação percentual para o cálculo da</p><p>eficiência empresarial.2.</p><p>Elementos e propriedades de potenciação e de</p><p>radiciação3.</p><p>Equações do 1º grau, conjuntos numéricos e lógica</p><p>matemática na análise de cenários4.</p><p>Sumário</p><p>Sumário clicável</p><p>4</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Este Percurso de Aprendizagem se dedica a</p><p>demonstrar como os conhecimentos elementares</p><p>da matemática podem ajudar o empreendedor a</p><p>conhecer seu ambiente de negócios e melhorar</p><p>seu processo de tomada de decisão. Para isso, é</p><p>importante que você fique atento ao método de</p><p>resolução dos problemas, pois vamos estudar e</p><p>aplicar as noções de frações e suas operações,</p><p>porcentagem, potenciação, radiciação e equações,</p><p>em situações comuns ao ambiente de trabalho do</p><p>empreendedor. Assim, poderemos responder a</p><p>questionamentos como: quais as situações em que</p><p>precisarei usar esse conhecimento matemático?</p><p>Preciso decorar todas as fórmulas? Como interpreto</p><p>os resultados de equação? Agora, vamos aos</p><p>estudos!</p><p>Olá</p><p>5</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Frações e operações com frações aplicadas à gestão de</p><p>negócios1.</p><p>É natural que todos os dias você resolva vários problemas matemáticos. A maior parte</p><p>dessas resoluções é tão simples e intuitiva que acabamos nem percebendo o quanto</p><p>sabemos e dominamos os conceitos e técnicas matemáticos. Por isso será muito simples</p><p>compreender e aplicar em casos práticos as noções de frações e suas operações.</p><p>Para definirmos o que é uma fração, vamos compreendê-la da seguinte maneira:</p><p>Toda vez que fragmentamos um determinado elemento em partes iguais,</p><p>estaremos fracionando esse elemento. Por isso, uma fração é simplesmente “a</p><p>divisão de um item em partes necessariamente iguais”.</p><p>Esses fragmentos, ou “pedaços”, podem ser somados uns aos outros, ou subtraídos um</p><p>em relação ao outro; podem ainda multiplicarem-se ou serem divididos. Quando fazemos</p><p>isso, dizemos que: houve uma operação de frações.</p><p>Em seu cotidiano à frente da gestão de sua empresa, na elaboração ou análise de um</p><p>plano de negócios, é comum que se façam divisões de orçamentos anuais em orçamentos</p><p>mensais, fragmentação do quantitativo de produção mensal em produção semanal,</p><p>consumo de insumo por produto acabado, e são nessas situações que você precisará</p><p>das noções aqui estudadas.</p><p>Mas como faço a aplicação desse conceito?</p><p>Sendo a figura abaixo uma placa quadrada de 2m de lado, e se precisamos de 0,5m</p><p>quadrados dessa placa para fabricar um dado produto, logo cada placa atende a demanda</p><p>de 4 produtos, já que 0,5m2 + 0,5m2 + 0,5m2 + 0,5m2 = 2m2.</p><p>Então, qual fração da placa será usada em cada produto? Para solucionar esse problema,</p><p>podemos usar uma fração!</p><p>6</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Onde os termos dessa fração serão a porção necessária para cada produto como o</p><p>numerador e a área da placa como denominador.</p><p>Assim:</p><p>numerador</p><p>denominador</p><p>=</p><p>0,5m</p><p>2,0m</p><p>=</p><p>Nesse caso, vamos multiplicar ambos os termos por 10 e transformá-los em números</p><p>naturais:</p><p>0,5 x1 0 5</p><p>2,0 1 0 20x</p><p>= =</p><p>Como representamos a fração por números naturais, tanto no numerador como no</p><p>denominador, precisaremos usar o Máximo Divisor Comum – MDC, para transformarmos</p><p>essa fração em uma fração ideal. Então, precisaremos do MDC de 5 e 20. Para isso</p><p>faremos assim:</p><p>5, 20</p><p>1, 4 2</p><p>1, 2 2</p><p>1,1</p><p>5</p><p>Como o 5 é único número que divide tanto ele mesmo quanto o 20, então o 5 é o Máximo</p><p>Divisor Comum, tanto para o 5 quanto para o 20. E para concluirmos a fração, basta agora</p><p>dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo MDC, que nesse caso é o 5. Ficará</p><p>assim:</p><p>Para ajudá-lo(a) a fixar o conceito e o método, veja esses exemplos:</p><p>7</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Exemplo 1: Uma panificadora que produz 160 bolos mensalmente produzirá em média ¼</p><p>de sua produção semanalmente, pois:</p><p>Exemplo 2: Em uma churrascaria que serve 1kg de carne para 5 pessoas, considera-se</p><p>que cada cliente consome até 200g. Qual a fração da carne servida a cada cliente?</p><p>Até aqui já conseguimos fazer essa breve revisão. São tópicos básicos, mas de muita</p><p>importância para os nossos próximos Percursos de Aprendizagem.</p><p>Como as noções de frações foram tratadas, agora precisamos aplicar suas operações.</p><p>Para isso vamos estudar um pouco sobre: soma e subtração e multiplicação e divisão de</p><p>fração.</p><p>Soma e subtração de frações</p><p>Vamos iniciar admitindo que um gerente de produção precise direcionar 1/3 dos insumos</p><p>X para a produção de um produto A, e ¼ desse mesmo insumo para a produção de um</p><p>produto B. Nessas condições, se precisarmos saber a soma total do quanto foi utilizado</p><p>desse insumo, precisamos proceder da seguinte forma:</p><p>1 1</p><p>3 4</p><p>= +</p><p>Aqui temos um principal ponto de atenção: tanto na soma quanto na subtração de frações</p><p>com denominadores diferentes, teremos que deixar esses denominadores iguais. Para</p><p>isso precisamos determinar o Mínimo Múltiplo Comum – MMC de 3 e de 4. Faremos</p><p>assim:</p><p>3, 4</p><p>3, 2</p><p>3, 1</p><p>1,1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>Nosso método considera então o produto dos divisores de 3 e de 4, com isso, o mmc de 3</p><p>e 4 será: 2 x 2 x 3 = 12. Com isso, podemos determinar as equivalentes com denominador</p><p>12 para as duas frações supracitadas, basta que você use o mesmo fator de multiplicação</p><p>no numerador e no denominador.</p><p>Feito isso, repetimos ambos os denominadores e somamos apenas os numeradores:</p><p>8</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>4 3 7</p><p>12 12</p><p>= =</p><p>Chegamos então à fração irredutível: 7/12, o que significa dizer que o gerente 7 partes de</p><p>um total de 12 partes possíveis desse insumo.</p><p>Do mesmo modo, podemos determinar a fração que representa a quantidade de insumo</p><p>em estoque, pois a quantidade em estoque é 1 inteiro. Podemos fazer isso da seguinte</p><p>forma:</p><p>71</p><p>12</p><p>x= +</p><p>1 7</p><p>1 12</p><p>x= +</p><p>Para isso teremos que determinar o mm de 1 e de 12, que nesse caso é o próprio 12,</p><p>então:</p><p>1x12 7</p><p>1 12 12</p><p>x</p><p>x</p><p>= +</p><p>12 7</p><p>12 12</p><p>x= +</p><p>7 12</p><p>12 12</p><p>x+ =</p><p>12 7</p><p>12 12</p><p>x = −</p><p>Multiplicação e divisão de frações</p><p>Para multiplicarmos duas frações basta multiplicar o numerador por numerador e o</p><p>denominador por denominador. Assim teremos:</p><p>Já na divisão de frações, iremos converter a divisão em multiplicação. Para isso, basta</p><p>que você multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda. Dessa forma:</p><p>Nossos estudos apenas iniciaram, portanto precisamos fazer essa breve recapitulação</p><p>de dos conceitos fundamentais de fração e suas operações. Por isso, você deve sempre</p><p>9</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>lembrar que é possível realizar tanto uma soma ou uma adição, como também a</p><p>subtração ou diminuição de frações. Bem, como podemos realizar uma multiplicação,</p><p>que chamaremos também de produto, e ainda uma divisão de frações? Sendo essas</p><p>algumas das operações. Mas antes de apresentarmos mais exemplos para fixar essas</p><p>operações, vamos tratar da igualdade de frações.</p><p>Igualdade de frações</p><p>Vamos admitir duas frações, quais sejam:</p><p>m</p><p>n e</p><p>p</p><p>q . Se nesse caso os valores de n e q são</p><p>≠ 0, então as duas frações serão iguais na condição obrigatória de a . d = b . c, pois, assim,</p><p>m</p><p>n =</p><p>p</p><p>q ⇔ a . d = b . c, sendo n ≠ 0 e q ≠ 0.</p><p>Logo, a equivalência de</p><p>m</p><p>n =</p><p>p</p><p>q só ocorre se, e somente se, a . d = b . c.</p><p>Bom, mas é preciso exemplificar essa explicação para ajudá-lo(a) a compreender essa</p><p>relação, e assim garantirmos a sua aplicação quando você precisar desses conhecimentos</p><p>nas práticas de gestão e empreendedorismo. Então vejamos:</p><p>Exemplo 3: Um em cada três funcionários da empresa X possui formação superior,</p><p>muito embora a terceira parte de cada nove funcionários dessa mesma empresa possua</p><p>apenas o ensino fundamental. Nesse exemplo, podemos perceber que a quantidade de</p><p>funcionários que concluiu uma graduação é “equivalente” à quantidade de funcionários</p><p>que concluiu apenas o ensino fundamental. Dada a conclusão, podemos representar</p><p>essa mesma situação por meio de uma equivalência</p><p>de frações matemáticas. Basta</p><p>fazer assim:</p><p>1 3</p><p>3 9</p><p>=</p><p>Veja que 1 em cada 3, ou seja, 1/3 representa os graduados, e 3 em cada 9, ou seja, 3/9,</p><p>representam os que possuem ensino fundamental, logo, pela explicação dada, temos</p><p>que:</p><p>1 3</p><p>3 9</p><p>= se, e somente se, 1. 9 = 3 . 3. Concluímos então que 9 = 9, ou seja, de fato temos uma</p><p>fração equivalente. Simples, não é mesmo?</p><p>Observe os exemplos que seguem. A finalidade deles é ajudá-lo(a) a fixar as operações</p><p>com frações. Para isso, todos eles foram construídos em situações hipotéticas, para as</p><p>quais o(a) empreendedor(a) terá que usar seus conhecimentos matemáticos.</p><p>Exemplo 4: Ao analisar os seus estoques, o dono de um empreendimento Y identificou</p><p>que três dos produtos vendidos pela empresa apresentavam danos nas embalagens por</p><p>causa das condições de acondicionamento. O produto A apresentou uma avaria em 3</p><p>de cada 4 produtos em estoque; no produto B, 2 de cada 12 itens estavam na mesma</p><p>situação; e o item C apresentava avaria em 5 de cada 8 produtos. Nesse cenário, se</p><p>somássemos essas avarias, qual a fração que representaria esse total?</p><p>Para solucionarmos, veja como é simples: nesse caso, faremos uma soma, ou seja,</p><p>usaremos o +. Perceba ainda que as avarias do item B podem ser simplificadas, 2/12 é</p><p>10</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>equivalente a 1/6, já que 1 . 12 = 2 . 6 = 12.</p><p>Então a soma dessas avarias pode ser dada assim: A + B + C, ou seja:</p><p>3 1 5</p><p>4 6 8</p><p>+ +</p><p>Lembrando-se do que tratamos anteriormente, precisaremos determinar o mmc dos</p><p>denominadores dessas frações. Bom, como o mmc de 4, 6 e 8 é 24, você deve multiplicar</p><p>tanto o denominador quanto o numerador pelo número que equipara o denominador das</p><p>três frações. Você fará assim:</p><p>Agora, vamos repetir o denominador comum 24 e somar os numeradores:</p><p>Lembre-se de que esse é o mesmo processo para realizar uma subtração de frações.</p><p>Exemplo 5: A Loja Roupas Boas quer implantar um programa de bonificação na venda de</p><p>calças jeans. Essa estratégia é para motivar os vendedores a darem saída no estoque,</p><p>pois a nova coleção já está chegando. Para isso, como a empresa pratica um lucro de</p><p>sobre as vendas das calças, a ideia é bonificar o vendedor com 1/3 do lucro de cada</p><p>uma dessas calças. Sendo assim, ao vender 2 em cada 6 calças do estoque, qual a fração</p><p>que representa o bônus desse vendedor em relação ao preço das calças?</p><p>Para solucionar esse problema, já está claro que teremos que usar uma multiplicação de</p><p>fração. Deve-se perceber ainda que a fração , pois 2 . 3 = 1 . 6 = 6.</p><p>Logo, a fração que representa o ganho do vendedor será determinada pelo produto entre</p><p>o lucro do vendedor e o bônus do vendedor. Assim teremos:</p><p>Exemplo 6: A Global Ltda pretende distribuir 25% dos seus lucros com os 1.000 funcionários</p><p>mais produtivos de todas as suas filiais. Admitindo que a Global Ltda tenha no total 10.000</p><p>funcionários em suas filiais, determine a fração que representa o quociente entre o lucro</p><p>distribuído e a parcela de funcionários contemplados.</p><p>Para resolver esse problema, já sabemos que devemos usar uma divisão de frações.</p><p>Nesse caso, você deve determinar quais são essas frações.</p><p>Se 25% dos lucros serão distribuídos, então a fração que representa esse valor é ¼. E</p><p>como temos 1000 de cada 10.000, então: 1.000/10.000 = 1/10. Assim vejamos:</p><p>11</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Chegamos ao fim do nosso primeiro conteúdo. Deve ter ficado claro para você o</p><p>que é uma fração e como realizar suas operações. Veja que no exemplo 6 tivemos</p><p>que usar outro conceito da matemática, a porcentagem, e esse será o nosso novo</p><p>Circuito de estudo. Vamos lá?</p><p>12</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Porcentagem e variação percentual para o cálculo da</p><p>eficiência empresarial2.</p><p>Desde o Imperador romano Otávio Augusto, na Grécia antiga, com a taxa denominada</p><p>centésima rerum venalium (razão 1/100), que os conhecimentos ligados à porcentagem</p><p>são aplicados em diversas áreas do conhecimento, seja nos estudos geográficos, na</p><p>economia ou na gestão de investimentos e negócios. Já seu símbolo % só foi criado no</p><p>século XVII pelos ingleses, mas é utilizado até hoje.</p><p>Originada do latim, per centum, a expressão “por cento” (%), significa “um por</p><p>cento”. Por isso que quando você comprou aquela calça jeans que custava R$</p><p>100,00, com desconto de 30% você pagou apenas R$ 70,00. Pois de cada R$ 100,00</p><p>será descontado R$ 30,00. Concluímos assim que há uma razão .</p><p>Desse modo, definimos porcentagem como toda razão , para b=100.</p><p>Para tanto, 30 por cento de 100 é igual a . Mas veja, em vez de usarmos sempre</p><p>a expressão “por cento”, podemos usar p símbolo % (onde lemos: por cento). Com</p><p>isso, = 30%.</p><p>Seja nas ciências, na indústria, no comércio ou nas finanças, os cálculos de porcentagem</p><p>são sempre aplicados como método e verificação de resultados, como, por exemplo,</p><p>a eficiência de uma empresa. Diariamente, usamos as expressões redução no preço,</p><p>acréscimo nos preços de produtos ou serviços, que são exatamente quantidades</p><p>numéricas que são tomadas como base.</p><p>Exemplo 7: o combustível aumentou 2%. Ou seja, a cada R$ 100,00 de combustível</p><p>comprado pelo cliente, serão acrescentados R$ 2,00 em relação ao preço anterior.</p><p>Exemplo 8: a loja está dando descontos de 10% nas compras à vista. Ou seja, a cada R$</p><p>100,00 pagos à vista, o cliente terá um desconto de R$ 10,00.</p><p>Razão Centesimal</p><p>Toda e qualquer razão que tenha como consequente um denominador 100 é chamada de</p><p>Razão Centesimal. Assim, se dos 25 funcionários de uma empresa, 15 possuem ensino</p><p>superior, podemos dizer que 60% deles são graduados, pois:</p><p>13</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Podemos destacar mais exemplos, veja:</p><p>Essa mesma razão centesimal também pode ser expressa de outra forma. Desse modo:</p><p>Assim, temos quatro taxas percentuais: 10%, 3%, 25% e 16%. Vamos aplicar a um exemplo</p><p>para fixarmos nosso estudo.</p><p>Exemplo 9: sabendo que um plano de negócio indica que o empreendedor terá uma</p><p>lucratividade de R$ 4,00 para cada R$ 10,00 investido nesse negócio, expresse essa razão</p><p>em taxa percentual.</p><p>Logo, pode ser expresso como 40%.</p><p>Calculando variação porcentagem</p><p>Podemos propor um modelo matemático para aplicarmos o cálculo percentual, pois a</p><p>porcentagem p% de um determinado valor V pode ser adquirida multiplicando-se a fração</p><p>representativa da taxa percentual</p><p>, pelo valor V. Assim teremos:</p><p>Concluiremos aplicando em mais um exemplo prático.</p><p>Exemplo 10: um(a) empreendedor(a) que deseje 17% de rentabilidade anual em um</p><p>negócio que demanda investimento de R$ 32.000,00, terá que valor monetário anual de</p><p>rentabilidade?</p><p>Assim, o(a) empreendedor(a) terá anualmente uma rentabilidade de R$ 5.440,00.</p><p>Além desse material, que é introdutório e o orienta nos estudos, uma ótima opção de</p><p>estudo é o acesso à Biblioteca Virtual. Lá você encontrará muitos livros que o(a) ajudarão</p><p>com mais exercícios e cases. Uma ótima indicação é o livro Matemática aplicada, de</p><p>Nilton Lapa. Você pode verificar o endereço dessa obra nas referências deste material de</p><p>estudo. Veja o exemplo 11 exposto abaixo, ele foi adaptado do livro de Lapa (2012):</p><p>14</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Exemplo 11: Um(a) empreendedor(a) está oferecendo a mercadoria X, cujo preço era R$</p><p>50,00, com um aumento de 32%. Considerando que um dos vendedores da loja concedeu</p><p>desconto de 20% em uma unidade desse produto, qual será o preço pago pelo cliente?</p><p>Observe que esse problema traz uma situação cotidiana dos negócios do setor de</p><p>comércio. Para solucionar esse problema, podemos admitir o fator de aumento de 32%</p><p>como sendo 1,32, e o fator de redução de 20% como sendo de 0,80. Assim, para sabermos</p><p>o preço final dessa mercadoria após essas duas modificações sucessivas, basta calcular</p><p>R$ 50,00 ⋅ 1,32 ⋅ 0,80 = 52,8.</p><p>Portanto, o preço final da mercadoria X será de R$ 52,80.</p><p>Observe que:</p><p>Como 1,056 é o fator de aumento correspondente a 5,6%, concluímos que um aumento de</p><p>32%, seguido de uma redução de 20%, equivale a um aumento de 5,6%.</p><p>O estudo de porcentagem é fundamental para a sua compreensão do módulo 4</p><p>desta disciplina.</p><p>Por isso, além dos exemplos apresentados, é fundamental que</p><p>você resolva as atividades de fixação e acesse os livros indicados. Nesse próximo</p><p>Circuito de Estudo, vamos concluir nossos estudos introdutórios e revisão,</p><p>trataremos de potenciação, que juntamente com a porcentagem comporão as bases</p><p>para estudarmos matemática financeira e taxas de juros simples e compostos.</p><p>Siga em frente!</p><p>15</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Elementos e propriedades de potenciação e de radiciação3.</p><p>Uma potência, ou potenciação, pode ser uma ferramenta extremamente útil enquanto</p><p>método de simplificação matemática de valores muito grandes. Essa condição é bem</p><p>antiga e pode auxiliar o empreendedor em múltiplas tarefas do seu cotidiano, possibilitando</p><p>distintas representações matemáticas com certo nível de complexidade.</p><p>Em termos práticos, podemos dizer que uma representação por meio de potência pode</p><p>ser usada quando os fatores são todos iguais.</p><p>Para definirmos o que é uma potência, vamos compreendê-la da seguinte maneira:</p><p>Potência de grau p de um número n é o produto de p fatores iguais, sendo assim:</p><p>np = n ⋅ n ⋅ ...⋅ n</p><p>Em que:</p><p>n = base da potência</p><p>p = expoente da potência</p><p>Para deixar essa explicação clara, vamos aplicar em uma situação prática.</p><p>Exemplo 12: ao comparar a rentabilidade de um investimento de R$ 12.000,00</p><p>na melhoria de seu negócio, um(a) empreendedor(a) constata que teria a mesma</p><p>rentabilidade se investisse esse valor em um fundo de capital que rende 2% a.a. Assim,</p><p>caso o(a) empreendedor(a) decida investir no negócio, qual será o valor monetário de sua</p><p>rentabilidade após 2 anos?</p><p>Para resolvermos esse exemplo, usaremos nossos conhecimentos em fração,</p><p>porcentagem e potenciação, aplicados no modelo de determinação do montante em</p><p>matemática financeira. Assim teremos:</p><p>M = P(1+i)n</p><p>Onde:</p><p>M = montante</p><p>P = Capital aplicado</p><p>i = taxa de rentabilidade</p><p>n = período de aplicação</p><p>Teremos, então:</p><p>(1+i) como a base do expoente n. Logo, basta substituirmos o valor do investimento, da</p><p>taxa e do período, no modelo proposto.</p><p>16</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>M = P(1+i)n ⇒ M = R$ 12.000,00 . (1 + ( 2)/100) 2 ⇒ M = R$ 12.000,00 . (1 + 0,02)2 ⇒</p><p>M = R$ 12.000,00 . (1,02)2 ⇒ M = R$ 12.000,00 . 1,0404 ⇒</p><p>M = R$ 12.484,8</p><p>No estudo das potências, teremos que tratar de alguns casos específicos, a saber:</p><p>potências com expoentes positivos, negativos e nulos; e potências de base 10 e de</p><p>número racional.</p><p>Casos Específicos</p><p>1º Potência com expoente positivo inteiro: para todo número n ≠ 0 elevado ao expoente</p><p>1, seu resultado será n, sendo assim: n1 = n. Desse modo, para 81, teremos:</p><p>81 = 8</p><p>(-31) = -3</p><p>2º Potência com expoente negativo: para todo número n ≠ 0 elevado ao expoente negativo</p><p>p, para p sendo um número inteiro positivo, seu resultado será , sendo assim: .</p><p>Desse modo, para 2-3, teremos:</p><p>3º Potência com expoente nulo: para todo número n ≠ 0 elevado ao expoente nulo, ou</p><p>seja, zero, seu resultado será 1, sendo assim: n0 = 1. Desse modo, para 40, teremos:</p><p>4° Potência de Base 10: para toda potência de base 10, seu resultado será 1 seguido da</p><p>quantidade de zero indicado pelo valor do expoente. Desse modo, para 101, teremos:</p><p>101 = 10</p><p>103 = 1000</p><p>105 = 100000</p><p>17</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>5º Potência de Número racional com expoente positivo inteiro: tomando n ≠ 0, m ≠ 0 e</p><p>p sendo um número positivo e inteiro, teremos . Desse modo, para ,</p><p>teremos:</p><p>Propriedades de uma potência</p><p>Agora vamos esclarecer algumas das propriedades que precisamos utilizar para o cálculo</p><p>matemático de potenciação.</p><p>1ª Propriedade: Potência de uma fração</p><p>Considere a expressão . Definindo-a como potência, teremos:</p><p>Desse modo, se d ≠ 0 for um número real, e c for um número inteiro positivo, logo, .</p><p>Sendo assim, determinamos a potência tanto do numerador quanto do denominador.</p><p>2ª Propriedade: Produto de uma potência de mesma base</p><p>Caso tenhamos a expressão 22 ⋅ 23, pela definição de potenciação, teremos:</p><p>22 ⋅ 23 = (2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 2⋅ 2) = 25</p><p>Desse modo, sendo d ≠ 0 e real, e p e q números inteiros positivos, logo dp ⋅ dq = dp+q. Sendo</p><p>assim, conserva-se a base e somam-se os expoentes.</p><p>3ª Propriedade: Divisão de Potência de mesma base</p><p>Se tivermos a expressão</p><p>, dada a definição de potenciação, teremos:</p><p>Desse modo, sendo d ≠ 0 e um número real, e p e q sendo números inteiros, logo .</p><p>Sendo assim, conserva-se a base e subtrai-se o expoente do denominador do expoente</p><p>do numerador.</p><p>18</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>4ª Propriedade: Potenciação de outra Potência</p><p>Caso tenhamos a expressão , dada a definição de potenciação, teremos:</p><p>Desse modo, sendo d ≠ 0 e um número real, e p e q sendo números inteiros, logo .</p><p>Sendo assim, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.</p><p>Exemplo 13: Dada a potência , resolva essa expressão.</p><p>Nesse exemplo, temos uma potência de potência. Veja que acabamos de tratar dessa</p><p>propriedade, além dela, usaremos também a propriedade de potência de fração. Assim,</p><p>para resolvê-la, primeiro solucione a potência da potência:</p><p>Exemplo 14: Sabe-se que na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base</p><p>e subtrai-se do expoente do numerador o expoente do denominador. Dada a explicação,</p><p>solucione o seguinte problema: .</p><p>Nesse caso, você deve repetir a fração base, ou seja, 2/3, e subtrair o 5 do 7. Assim:</p><p>Radiciação</p><p>Para entendermos o que é a radiciação, vamos partir do número 27, admitindo que um</p><p>determinado número, quando elevado à terceira potência, ou ao cubo, seja exatamente</p><p>igual a 27. Naturalmente saberemos que esse número é o 3, já que o 33 = 27. É essa</p><p>inversão da potenciação que chamamos de radiciação.</p><p>Podemos então definir que a radiciação é:</p><p>Raiz n-ésima de n a expressão que elevada à potência n reproduz p, sendo ela</p><p>representada por √.</p><p>Vamos tomar essa definição por base e considerar que um número p seja nomeado raiz</p><p>enésima de um número q, ou seja, se, e somente se, q=pn. Aqui, √ será o radical, q</p><p>será chamado de radicando, p será a raiz e n será o índice da raiz maior ou igual a 1.</p><p>19</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>A aplicação da radiciação está ligada principalmente à solução de equações e simplificação</p><p>de expressões algébricas e aritméticas. É preciso lembrar, ainda, que potências, cujo</p><p>expoente seja fracionário, podem ser escritas em forma de radical, ao ponto que o radical</p><p>pode ser escrito em forma de potência, tendo o expoente fracionário. Veja os exemplos</p><p>abaixo:</p><p>Exemplo 15:</p><p>Exemplo 16:</p><p>Propriedades da Radiciação</p><p>1ª Propriedade: Expoente inteiro par</p><p>Seja p ≥ 0 e n > 1, e um inteiro par, logo:</p><p>2ª Propriedade: Expoente ímpar</p><p>Seja p número real qualquer e n > 1 um número ímpar, logo:</p><p>3ª Propriedade: Índices inteiros e positivos</p><p>Seja p, q, r inteiros e p>1, q>1 e r>1, logo:</p><p>Além da radiciação, precisamos lembrar ainda dos conceitos base de racionalização.</p><p>Essa racionalização poderá ser usada quando você se tiver uma raiz no denominador</p><p>de uma fração. Nessas condições, será necessário que você elimine essa raiz do</p><p>denominador. Esse processo é chamado de racionalização.</p><p>Assim, sempre que uma fração apresentar um radical, seja no numerador ou</p><p>denominador, chamaremos de fração irracional.</p><p>Isso quer dizer que racionalizar uma fração nada mais é que escrever essa fração tirando</p><p>as raízes do denominador, deixando-o racional. Essa resolução pode ser alcançada</p><p>quando multiplicamos o numerador e o denominador da fração por um número que seja</p><p>diferente de zero.</p><p>20</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Uma fração irracional pode ser exemplificada por , ou .</p><p>Exemplo 17: Dada a fração , podemos racionalizá-la da seguinte forma:</p><p>Como dito na explicação, basta multiplicar a fração por um número que seja diferente de</p><p>zero. Bom, como o objetivo é eliminar a raiz do denominador, teremos que multiplicar os</p><p>termos da fração por √3. Essa simplificação pode ser feita assim:</p><p>21</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Equações do 1º grau, conjuntos numéricos e lógica</p><p>matemática na análise de cenários4.</p><p>Agora vamos tratar de equações. Nesse Percurso de Aprendizagem vamos estudar mais</p><p>afundo as equações</p><p>do 1º grau. Será feita uma breve introdução a equações do 2° grau.</p><p>Mas lembre-se de que as bibliografias da disciplina oferecem ótimas opções de livro na</p><p>Biblioteca virtual. Fique à vontade para usar esse material.</p><p>É comum usarmos a x b para representar genericamente uma sentença matemática</p><p>para o produto de dois números racionais quaisquer que sejam seus valores. É o que</p><p>chamamos de expressão algébrica.</p><p>Quando uma sentença usa o símbolo de =, dizemos que ela representa uma igualdade.</p><p>Fica fácil entender quando afirmamos que 8 + 2 = 10. Essa é a representação da sentença</p><p>matemática oito mais dois é igual a dez, escrita em números.</p><p>Assim, em uma igualdade como: 6 + 5 = 11, teremos: 6 + 5 como primeiro membro da</p><p>igualdade; e 11 como segundo membro da igualdade. Ou seja, o primeiro membro se</p><p>localiza à esquerda da igualdade, e o segundo membro à direita.</p><p>Naturalmente, sentenças como essas são sempre usadas no cotidiano do empreendedor,</p><p>seja para analisar um relatório de resultados de produção, seja para comparar planilhas</p><p>de compras e despesas. Nessas tarefas, é muito comum a aplicação de equações do 1º</p><p>grau como método de análise. Esse será nosso último Circuito de Estudo nesse Percurso</p><p>de Aprendizagem.</p><p>Primeiro precisamos entender o que é uma equação, pois além da equação do 1º grau,</p><p>você estudará, em outros componentes, a do 2º grau. Assim, podemos definir uma</p><p>equação como:</p><p>A sentença matemática que representa uma igualdade, reunindo letras a números</p><p>desconhecidos na sentença, ao ponto que nomeamos essa letra de incógnita.</p><p>Segundo Morettin, Hazzan e Bussab (2017), podemos ainda dizer que uma equação do</p><p>primeiro grau na incógnita x, no universo real, é toda equação redutível à forma:</p><p>a . x = b</p><p>De modo que a e b são números reais quaisquer, com a ≠ 0.</p><p>Sendo assim, para se resolver esse tipo de equação, basta dividir ambos os membros por</p><p>a, ou seja:</p><p>O valor encontrado é chamado raiz da equação.</p><p>Para ajudá-lo(a) a fixar essa explicação, usaremos um exemplo proposto por Morettin,</p><p>Hazzan e Bussab (2017). Observe:</p><p>22</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Exemplo 18: Dada a equação</p><p>, poderemos determinar o valor de x da</p><p>seguinte maneira:</p><p>Primeiro precisaremos identificar o mmc de 3, 2 e 6, que nesse caso é 6. Com isso, vamos</p><p>multiplicar todos os termos da equação pelo mmc. Assim:</p><p>Vamos exemplificar para ajudá-lo(a) nessa compreensão:</p><p>Exemplo 19: o gerente de financeiro, após analisar o relatório de receitas, constata que</p><p>precisará de 100 unidades do produto y para somar essa receita com os R$ 500,00 em</p><p>caixa para alcançar a meta do dia, que é R$ 1.600,00.</p><p>Para esse exemplo, devemos montar a equação, assim teremos: 100y + 500 = 1600.</p><p>Temos então uma equação com uma incógnita.</p><p>Exemplo 20: ao produzir 7 peças x de sua linha de produtos, o(a) empreendedor(a)</p><p>constata que precisa de 3 itens do insumo a mais 2 itens do insumo b.</p><p>Representando a situação numa equação, teremos: 3a + 2b = 7. Temos assim uma</p><p>equação com duas incógnitas.</p><p>Com isso, podemos dizer que uma equação do 1º grau é aquela que se pode reduzir à</p><p>forma ax=b, em que é a incógnita e a e b são os coeficientes e números reais, com a ≠ 0.</p><p>Quanto aos objetivos da equação, podemos distingui-la em três tipos:</p><p>• Equação de definição: é aquela que estabelece identidade entre duas expressões</p><p>alternativas que possuam exatamente o mesmo significado. Uma situação prática</p><p>acontece quando o empreendedor quer determinar o Lucro Total – LT do negócio, que</p><p>nesse caso é o excedente de Receita Total – RT em relação aos Custos Totais - CT, ou</p><p>seja, LT = RT – CT.</p><p>• Equação de comportamento: é aquela que especifica como uma variável se comporta</p><p>frente a alterações em outras variáveis. Para aplicarmos em uma situação prática,</p><p>podemos tomar como os Custos Totais propostos acima, para os quais será necessário</p><p>saber Custo Fixo – CF mais Custos Variáveis – CV, ou seja, se o CF de um negócio é</p><p>de R$ 800,00 e o CV depender do consumo x de um determinado insumo que custa R</p><p>50,00, então a equação que representa CT será: CT = CF + CV ⇒ CT = 800 + 50x.</p><p>23</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>• Equação de equilíbrio: é aquela que indica uma noção de equilíbrio em um modelo</p><p>econômico. Um modelo matemático comumente conhecido é o equilíbrio oferta x</p><p>demanda, cuja quantidade ofertada é igual à quantidade demandada, ou seja: Qo =</p><p>Qd.</p><p>• Equação de equilíbrio: é aquela que indica uma noção de equilíbrio em um modelo</p><p>econômico. Um modelo matemático comumente conhecido é o equilíbrio oferta x</p><p>demanda, cuja quantidade ofertada é igual à quantidade demandada, ou seja: Qo =</p><p>Qd.</p><p>Para ajudar a fixar o conceito e a aplicação, vamos observar um exemplo prático:</p><p>Exemplo 21: ao comparar a planilha de custos, o gestor do negócio constata que teve um</p><p>custo fixo de R$ 1.050,00 naquele mês, e que ao usar 80 unidades do item x, que custa R$</p><p>12,00 cada, havia diminuído seu lucro em 10% em relação ao mês anterior, mesmo com</p><p>uma receita de R$ 7.000,00 naquele mês.</p><p>Para esse exemplo, vamos determinar o Lucro Total do negócio no mês anterior ao mês</p><p>analisado. Faremos assim:</p><p>CT = CF + CV ⇒ CT = R$ 1.050,00 + 80 . R$ 12,00 ⇒ CT = R$ 1.050,00 + R$ 960,00 ⇒ CT =</p><p>R$ 2.010,00</p><p>2º determinar o Lucro Total no mês em Análise - LTa</p><p>LT = RT – CT ⇒ LT = R$ 7.000,00 – R$ 2.010,00 ⇒ LT = R$ 4.990,00</p><p>3º determinar o Lucro Total no Mês Anterior – LTma</p><p>LTma = LTa – x, em que x é exatamente igual a 10% do lucro total do mês em análise,</p><p>assim: x = LTa . 10%</p><p>Logo: LTma = LTa – (LTa . 10%) ⇒ LTma = R$ 4.990,00 – (R$ 4.990,00 .</p><p>) ⇒ LTma = R$</p><p>4.990,00 – R$ 499,00 ⇒ LTma = R$ 4.491,00</p><p>Além das equações do 1º grau, também será necessário estudar sobre Equação do 2º</p><p>Grau. Para a resolução dessas ultimas, você precisará usar os conhecimentos anteriores.</p><p>Veja, uma equação de 2º Grau é uma expressão algébrica que pode ser reduzida à forma</p><p>ax2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0.</p><p>Assim, dada a equação y = x2 – 3x + 4, teremos como coeficientes: a = 1, b = -3 e c =</p><p>4. Nesse caso, o gráfico da equação do 2º Grau é dado por uma parábola que passa o</p><p>vértice de coordenadas: xv = na abscissa e yv = 1(xv)</p><p>2 - 3xv+4 na coordenada.</p><p>Para as equações de 2º grau, você deverá usar a Fórmula de Bhaskara, aquela mesma do</p><p>ensino médio. Veja a formula:</p><p>Para ajudá-lo a praticar, observe o exemplo apresentado a seguir.</p><p>Exemplo 22: Dada a equação 2x2 + 3x – 2 = 0, determine o valor de x e obtenha o conjunto</p><p>verdade.</p><p>24</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Como dito, para essa resolução, você terá que usar Bhaskara. Aplicando os coeficientes</p><p>a = 2, b = -3 e c = 2, teremos:</p><p>Assim, o conjunto verdade será .</p><p>Conjuntos numéricos e lógica matemática na análise de cenários</p><p>O estudo dos conjuntos numéricos traz grande aplicação prática no mundo da gestão e</p><p>contribui na resolução do problema cotidiano das empresas. Assim, faz-se necessário</p><p>estudarmos sobre a teoria dos conjuntos, identificando seus possíveis tipos e suas</p><p>representações.</p><p>Nessa empreitada, precisaremos também relembrar um pouco dos estudos sobre</p><p>a reta numérica e como ela se relaciona com os conjuntos, pois assim poderemos</p><p>praticar as operações possíveis com esses conjuntos. Após relembrados esses</p><p>conceitos e definições, conheceremos algumas situações nas quais deveremos</p><p>usar nossos conhecimentos sobre conjuntos para solucionar problemas do</p><p>ambiente empresarial. Agora, vamos aos estudos!</p><p>25</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Tipos de conjunto</p><p>Para iniciarmos nossos estudos sobre a teoria dos conjuntos, precisaremos das noções</p><p>primitivas quanto ao conjunto, aos elementos e a sua pertinência. Com isso, podemos</p><p>dizer que um conjunto constitui-se por um agrupamento de objetos definidos nomeados</p><p>de elementos, escritos tanto entre chaves quanto separados por vírgula ou ponto-e-</p><p>vírgula.</p><p>Sabendo disso, podemos distinguir três tipos de conjuntos, a saber: Conjunto Unitário,</p><p>Conjunto Vazio, Conjunto Finito e Conjunto Infinito.</p><p>• Conjunto Vazio: é aquele no qual não se encontra nenhum elemento, podendo</p><p>ser</p><p>representado por { } ou Ø.</p><p>• Conjunto Unitário: é aquele no qual a coleção dos elementos é constituída por apenas</p><p>um item, como, por exemplo, no conjunto da tipagem sanguínea {O-}.</p><p>• Conjunto Finito: é aquele no qual se pode contar ou enumerar os elementos, a exemplo</p><p>do conjunto das vogais {a, e, i, o, u}, ou os dias da semana {domingo, segunda, terça,</p><p>quarta, quinta, sexta, sábado}.</p><p>• Conjunto Infinito: é aquele constituído por elementos os quais não podemos enumerar,</p><p>a exemplo do conjunto das estrelas.</p><p>Esses conjuntos possuem múltiplas formas de representação, ou seja, várias</p><p>representações de conjuntos. Podemos então representar os conjuntos de forma tabular,</p><p>por propriedade e/ou por diagrama de Venn.</p><p>• Representação Tabular: é a listagem ou a enumeração dos elementos do conjunto,</p><p>quando representados entre chaves e separados por ponto-e-vírgula. Exemplo: {1; 2;</p><p>3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.</p><p>• Representação por Propriedade: é a representação dos elementos em função de dada</p><p>propriedade. Exemplo: X = {y | y é uma vogal}, então x = {a, e, i, o, u}.</p><p>• Representação por Diagrama de Venn: dá-se mediante utilização de uma figura</p><p>geométrica fechada. Seu principal intuito é facilitar a compreensão das definições e</p><p>demonstrações do conjunto, de modo que todo e qualquer ponto interno à figura pode</p><p>configurar um elemento do conjunto; já os pontos fora da figura não pertencem ao</p><p>conjunto. Como exemplo, as vogais do nosso alfabeto na figura a seguir:</p><p>26</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Nesse ponto, já conseguimos entender que é possível existir uma relação de inclusão</p><p>entre conjuntos. Se considerarmos o Conjunto A = {a, b, c, d, e, i, o, u}, poderemos constatar</p><p>que há um subconjunto em A, a saber, o subconjunto V = {a, e, i, o, u}. Para tanto, o V é</p><p>um subconjunto de A, onde V está contido em V. Essa inclusão só é possível porque V⊂A,</p><p>sendo uma tautologia para demais casos iguais, onde V estará contido A se, e somente</p><p>se, todo elemento de V for também elemento de A.</p><p>Noções sobre conjunto Universo</p><p>Até aqui já tratamos dos tipos de conjunto e suas formas de representação, mas ainda</p><p>precisaremos explicar como interpretar o conjunto que representa a totalidade dos</p><p>elementos disponíveis. Matematicamente, a classe que contém todos os elementos que</p><p>se deseja considerar em certa situação é chamada de Universo. Desse modo, todos os</p><p>conjuntos seriam subconjuntos de um conjunto que possui mais elementos, chamado de</p><p>conjunto universo, sendo indicado por U.</p><p>Podemos então admitir a definição de Guerra (2016) para quem o conjunto universo</p><p>é um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos</p><p>trabalhando (GUERRA, 2016).</p><p>Com isso, podemos analisar a figura disposta abaixo:</p><p>Após essa análise, podemos concluir com base na definição proposta acima que todos</p><p>os elementos dispostos constituem o conjunto universo, ou seja, U = {p, q, e, a, i, o, u, r}.</p><p>Assim, ao deparar com situação na qual se verifique mais de um conjunto, e mesmo com</p><p>elementos dispersos e fora do diagrama de Venn, será possível construir um conjunto</p><p>universo ao relacionar todos os elementos dispostos.</p><p>Vamos observar o exemplo abaixo e apresentar uma solução para o problema apresentado,</p><p>a partir das noções de conjunto universo. Observe:</p><p>Exemplo 23 Guilherme é um funcionário da Bolsa de Valores que informa a três</p><p>corretores, Pedro, Renato e Samuel, as oscilações do mercado de ações. Para manter</p><p>sua organização, ele construiu um diagrama, como o apresentado abaixo, no qual P, Q e</p><p>representam os conjuntos de informações transmitidas aos corretores Pedro, Renato e</p><p>Samuel, respectivamente. O diagrama descreve para quem as informações 1, 2, 3, 4 e 5</p><p>foram transmitidas.</p><p>27</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Em vez de usar o diagrama, Guilherme poderia organizar esses dados em tabela, em</p><p>que, no cruzamento da linha (informação) com a coluna (corretor), ele escreveria um X,</p><p>indicando que tal informação já foi transmitida a tal corretor. Para ajudar o Guilherme,</p><p>construa a tabela proposta.</p><p>Para construirmos a tabela, podemos constatar que as informações representam os</p><p>elementos e nesse caso, o conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5}. Assim a tabela poder apresentada</p><p>do seguinte modo:</p><p>Esperamos que você, até aqui, já tenha aprendido os conhecimentos elementares sobre</p><p>conjuntos, como sua representação e seus tipos. Mas antes de iniciarmos nossos</p><p>estudos sobre operações com conjuntos, é muito importante estudar sobre os conjuntos</p><p>numéricos fundamentais e suas propriedades. Vamos lá?</p><p>Apresentação dos conjuntos numéricos fundamentais e suas propriedades</p><p>Estamos estudando a Teoria dos Conjuntos, e nesse caso os conjuntos de interesse do</p><p>nosso estudo são aqueles formados por números, ou seja, os conjuntos numéricos. Por</p><p>sua vez, esses conjuntos podem ser formados por números: naturais, inteiros, racionais,</p><p>irracionais e/ou reais. Vamos agora conhecer cada um deles!</p><p>Números Naturais</p><p>28</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Inicialmente, é preciso destacar que os chamados números naturais são usados</p><p>com a finalidade básica de servirem a contagem. Sabendo disso, podemos</p><p>resgatar um pouco da história para compreendermos como esses números</p><p>surgiram. O que se sabe é que, já no ano 3800 a.C, como algumas sociedades</p><p>primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze, aldeias às margens</p><p>dos rios transformaram-se em cidades. Com isso, surgiram algumas atividades</p><p>mais complexas graças ao desenvolvimento do comércio. Assim, os agricultores</p><p>passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades,</p><p>o que fez com que algumas pessoas se dedicassem a outras atividades, como</p><p>artesanato, comércio, administração. A consequência desse desenvolvimento, foi</p><p>o surgimento da escrita e com ela, passou-se a representar quantidade através de</p><p>símbolos (GUERRA, 2016).</p><p>No estudo sobre o conjunto dos números naturais, denotaremos por ℕ, de modo que</p><p>ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Esses algarismos também podem ser nomeados de</p><p>algarismos indo-arábicos. Nessa sequência, vamos considerar o zero como natural, pois</p><p>ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais.</p><p>Assim, se p é um número natural, logo p + 1 será um número natural, tal que:</p><p>p e p + 1 são números naturais consecutivos;</p><p>p é número antecessor de p + 1;</p><p>p + 1 é o número sucessor de p.</p><p>Com isso, podemos indicar as propriedades dos Números Naturais:</p><p>Propriedade 1 – Todo número natural possui um número sucessor;</p><p>Propriedade 2 – A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural;</p><p>Propriedade 3 – A multiplicação de dois números naturais quaisquer resulta em um número</p><p>natural.</p><p>Números Inteiros</p><p>O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos,</p><p>números inteiros negativos e pelo zero, e é representado por ℤ. Assim, ℤ é dado</p><p>por -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5. Ou seja: ℤ = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5 ...}.</p><p>Podemos afirmar que os números inteiros estão presentes no cotidiano de todas</p><p>as pessoas, não apenas dos(as) empreendedores(as). As medidas de temperatura</p><p>que diariamente vemos nos jornais, e, no caso específico dos negócios, ao vermos</p><p>diariamente nos saldos e extratos bancários os valores a creditar e a debitar, o</p><p>que por sua vez podem deixar os números apresentados, tanto negativos quanto</p><p>positivos.</p><p>Para ajudar em seus estudos, vamos diferenciar números inteiros positivos de números</p><p>29</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>inteiros negativos. Assim vejamos:</p><p>Números inteiros positivos: são os números localizados à direita do zero na reta numérica,</p><p>ou seja, o números, 1, 2, 3, 4, 5 ..., 50, ... 100.</p><p>Números inteiros negativos: são os números localizados à esquerda do zero na reta</p><p>numérica, ou seja, os números -1, -2, -3, -4, -5, ... -50, ... -100.</p><p>Com isso, podemos indicar uma reta com os números inteiros. Logo:</p><p>Com isso, podemos indicar as propriedades dos Números Inteiros:</p><p>Propriedade 1 – Sendo P e I os conjuntos dos números inteiros pares e ímpares,</p><p>respectivamente, temos P U I</p><p>= ℤ e P ∩ I = Ø;</p><p>Propriedade 2 – Todo número inteiro tem sucessor e antecessor;</p><p>Propriedade 3 – A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro;</p><p>Propriedade 4 – A diferença entre dois números inteiros quaisquer é um número inteiro;</p><p>Propriedade 5 – O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.</p><p>Números Racionais</p><p>Para apresentar uma definição, podemos dizer que todo número que pode ser escrito na</p><p>forma p/q é um número racional, desde que p e q sejam inteiros e q seja diferente de zero.</p><p>Os números racionais podem ser denotados por Q, de modo que:</p><p>ℚ = { | p, q ∈ ℤ e q ≠ 0}</p><p>Com isso, podemos destacar que todo número inteiro p pode ser escrito no formato p/1.</p><p>Vejamos:</p><p>Dos números racionais, podemos indicar as seguintes propriedades:</p><p>Propriedade 1 – A soma de dois números quaisquer é um número racional;</p><p>Propriedade 2 – A diferença de dois números racionais quaisquer é um número racional;</p><p>Propriedade 3 – O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional;</p><p>Propriedade 5 – A divisão de dois números racionais quaisquer, desde que o divisor seja</p><p>diferente de zero, é um número racional.</p><p>Números Irracionais</p><p>30</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Os números irracionais são todo e qualquer número não racional, logo, podemos dizer</p><p>que número irracional é aquele que não poder ser representado no formato , tal que q</p><p>seja diferente de 0.</p><p>Podemos citar como exemplo de números irracionais: √(5 ) e √(7 ).</p><p>Podemos assim apresentar as seguintes propriedades para os números Irracionais:</p><p>Propriedade 1 – Sejam p e q números naturais, com p ≠ 0. Se não é inteiro, então é</p><p>irracional;</p><p>Propriedade 2 – A soma de um número racional com um número irracional é um número</p><p>irracional;</p><p>Propriedade 3 – A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer</p><p>ordem, é um número irracional;</p><p>Propriedade 4 – O produto de um número diferente de zero por um número irracional é</p><p>um número irracional;</p><p>Propriedade 5 – A divisão de um número racional diferente de zero por um número</p><p>irracional é um número irracional.</p><p>Números Reais</p><p>O conjunto dos números reais pode ser denotado por ℝ, e é formado pelos números ℕ, ℤ,</p><p>ℚ e pelos Irracionais. Logo:</p><p>ℝ = {x | x ∈ ℚ ou I}</p><p>Dos números Reais, podemos destacar as seguintes propriedades:</p><p>Propriedade 1 – A soma de dois números reais quaisquer é um número real;</p><p>Propriedade 2 – A diferença entre dois números reais quaisquer é um número real;</p><p>Propriedade 3 – O produto de dois números reais quaisquer é um número real;</p><p>Propriedade 4 – A divisão de dois números reais quaisquer, sendo o divisor não nulo, é</p><p>um número real;</p><p>Propriedade 5 – Sendo p um número natural par não nulo e q um número real, logo ∈</p><p>ℝ ⇔ q ≥ 0;</p><p>Propriedade 6 – Se p é um número natural ímpar e q um número real, logo ∈ ℝ.</p><p>A reta numérica e sua relação com conjuntos</p><p>Uma vez conhecidos os conjuntos numéricos, já podemos, a partir desses estudos,</p><p>construirmos uma reta numérica. Para isso, precisamos lembrar que o conjunto dos</p><p>números reais (ℝ) é formado por todos os números naturais (ℕ), racionais (ℚ), irracionais</p><p>(I) e inteiros (ℤ).</p><p>Assim, vamos desenhar uma reta e, ao selecionarmos um ponto qualquer como referência</p><p>ao 0 para servir de origem, e a partir dele podermos escolher um ponto à direita como</p><p>ponto 1.</p><p>31</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Perceba que os números 2/3, 1 e 2 estão à direita do zero na reta numérica, e assim são</p><p>chamados de Positivos. Já os números -1/2, -1 e -2, estão à esquerda do zero, e são</p><p>chamados de Negativos.</p><p>Na reta numérica, a medida da distância entre cada ponto pode ser chamado de unidade de</p><p>medida. Assim, ao marcar ordenadamente os números reais à direita do zero, convenciona-</p><p>se que eles são números positivos; já os números reais à esquerda do zero são negativos.</p><p>Esses intervalos, bem como a representação de subconjuntos que envolvam números</p><p>reais na reta real, são importantes para a resolução tanto de Inequações de 1° Grau,</p><p>quanto na definição de funções, limite, continuidade etc.</p><p>Vamos tratar de uma situação na qual poderemos usar a reta numérica para chegar a</p><p>uma conclusão. Veja o exemplo abaixo.</p><p>Exemplo 24 A loja Variedades Alfa trabalha com fretes e entregas, e para isso usa uma</p><p>caminhoneta para atender a demandas de clientes e oferecer serviços de transporte</p><p>de mercadorias na cidade. O motorista do veículo sabe que a velocidade do veículo é</p><p>limitada por normas da própria empresa, tanto que na carroceria do veículo foi anexada</p><p>uma placa com a seguinte descrição:</p><p>Ao analisarmos a placa informativa e indicarmos por x uma velocidade qualquer da</p><p>caminhoneta, em quilômetros por hora, no trecho da entrega, podemos classificar as</p><p>afirmativas abaixo como Verdadeira ou Falsa, a saber:</p><p>a) x pode assumir qualquer valor real, com 0 ≤ x ≤ 80.</p><p>b) x podo assumir o valor 70 √2.</p><p>c) x pode assumir qualquer valor irracional, com 0 ≤ x ≤ 80.</p><p>d) Se a caminhoneta atingiu a velocidade y ∛2 km/h nesse trecho, então podemos afirmar</p><p>que 0 ≤ y ≤ 40 ∛2.</p><p>Observe que esse exemplo oferece certo nível de complexidade, pois estamos</p><p>trabalhando com esses exemplos para que você também possa estudar situações mais</p><p>matematizadas que o(a) ajudarão em avaliações externas, como é o caso do ENADE.</p><p>32</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Bom, vamos ajudá-lo(a) a compreender e a resolver esse exemplo. Assim, vejamos:</p><p>A afirmativa “a” é verdadeira, já que a velocidade tem variação constante, ou seja, para</p><p>passar de uma velocidade menor que determinado valor v para uma velocidade maior</p><p>que v, o automóvel tem de passar, obrigatoriamente, pela velocidade v. Logo, para que</p><p>varie de 0 a 80 km/h, a velocidade deve assumir todos os valores reais x, com 0 ≤ x ≤ 80.</p><p>A afirmativa “b” é falsa, já que 70 √2 ≈ 99, e os valores de x devem obedecer à condição</p><p>0 ≤ x ≤ 80.</p><p>A afirmativa “c” é verdadeira, pois todo número irracional é real, e no item a concluímos</p><p>que x assume qualquer valor real sob a condição 0 ≤ x ≤ 80.</p><p>A afirmativa “d” é falsa, pois 0 ≤ y ∛2 ≤ 80, e dividindo os membros dessa desigualdade</p><p>por ∛22, teremos:</p><p>Assim, racionalizando o denominador de , multiplicamos o numerador e o denominador</p><p>por ∛22, teremos:</p><p>0 ≤ y ≤ 40 ∛4.</p><p>Operações com conjuntos</p><p>Agora vamos tratar um pouco das operações que podemos realizar com conjuntos.</p><p>Nessas operações trabalharemos com intersecção, união e diferença. Assim vejamos:</p><p>Intersecção</p><p>Considere dois conjuntos: P e Q. Os elementos que são comuns tanto a P quanto a Q</p><p>representam a intersecção entre ambos os conjuntos. Veja o exemplo:</p><p>Nesse exemplo, podemos perceber que 1, 2 e 3 pertencem a P, mas não pertencem</p><p>a Q; já os números 7, 9 e 11 pertencem a Q mas não pertencem a P, ao ponto que os</p><p>números pares: 2, 4, 6, 8 e 10 pertencem simultaneamente a P e Q. Assim, dizemos que</p><p>33</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>a intersecção entre P e Q é representada pelos números 2, 4, 6, 8 e 10. Essa intersecção</p><p>pode ser presentada por P∩Q. Logo, se o conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} e Q = { 2, 4, 6, 7,</p><p>8, 9, 11}, então P∩Q = {2, 4, 6, 8, 10}.</p><p>Simbolicamente, podemos afirmar que P∩Q = {a|a ∈ P e a ∈ Q}. Mas caso tenhamos dois</p><p>conjuntos que não possuam qualquer elemento comum, chamaremos então de conjuntos</p><p>disjuntos, e serão denotados P∩Q = Ø.</p><p>Exemplo 25 Dados os conjuntos A e B, em que A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 6, 9}, determine</p><p>o conjunto A∩B.</p><p>Assim temos que o conjunto A∩B = {3}.</p><p>Exemplo 26 Ao iniciar sua loja virtual, um(a) empreendedor(a) fez uma pesquisa com 350</p><p>pessoas para avaliar a eficácia de um anúncio na divulgação de dois produtos novos, X e</p><p>Y. Ao concluir a pesquisa, ele(a) constatou que do total de entrevistados, 280 conheciam</p><p>o produto X; 80 conheciam os dois produtos; e 20 não conheciam nenhum dos dois</p><p>produtos.</p><p>De acordo com os dados colhidos pelo(a) empreendedor(a), quantas pessoas</p><p>entrevistadas conheciam apenas o produto B?</p><p>Na solução desse problema, vamos ajudá-lo(a) mostrando um passo a passo. Observe</p><p>com atenção, pois esse método o(a) ajudará nos problemas futuros.</p><p>Vamos lá?</p><p>Relembrando nossos conceitos fundamentais, temos três conjuntos, a saber: U como</p><p>conjunto Universo; X como conjunto do produto X; e Y como conjunto do produto Y.</p><p>Podemos então representá-los assim:</p><p>Primeiro passo: vamos considerar o conjunto X ∩ Y aquele formado pelas pessoas que</p><p>conhecem os dois produtos. Essa intersecção possui 80 elementos. Podemos então</p><p>representá-la da seguinte forma:</p><p>34</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Segundo passo: o conjunto X é formado pelas pessoas que conhecem o produto X. Tal</p><p>conjunto possui 280, porém, no passo 1, já foram consideradas 80 pessoas desse total,</p><p>faltando, assim, 200 pessoas para contemplar o conjunto. Vamos escrever as 200 na</p><p>região que corresponde a X – Y:</p><p>Terceiro passo: a região que corresponde a (XUY) é aquela das pessoas que não</p><p>conhecem nenhum dos produtos. Nessa região devemos escrever 20:</p><p>Quarto passo: a região que corresponde ao conjunto Y – X é aquela das pessoas que</p><p>conhecem apenas o produto Y. Como não o conhecemos, vamos admitir essa região</p><p>como q, sendo esse o número de elementos desse conjunto:</p><p>35</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Nesse ponto, como já sabemos a quantidade de elementos no conjunto universo, ou seja,</p><p>350, logo, 20 + 200 + 80 + q = 350, assim:</p><p>350 = 20 + 200 + 80 + q</p><p>350 = 300 + q</p><p>300 + q = 350</p><p>q = 350 – 300</p><p>q = 50 elementos</p><p>Com isso, podemos representar o diagrama completamente preenchido, onde:</p><p>36</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>União</p><p>O conjunto União de dois conjuntos, P e Q, será formado pelos elementos presentes em</p><p>pelo menos um dos conjuntos. Veja o exemplo:</p><p>Pelo exemplo, podemos dizer que dos conjuntos P = { a, b, c, d, e, f} e Q = {j, l, m, n}, o</p><p>conjunto União é dado por P∪Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l , m, n}, onde, simbolicamente: P∪Q</p><p>= {a|a ∈ P ou a ∈ Q}, e o número de elementos de P∪Q é 13, e denotamos n(P∪Q) = 13.</p><p>É possível ainda denotar que observamos que o número de elementos de P∪Q, n(P∪Q)</p><p>é dado por: n(P∪P) = n(P) + n(Q)–n(P∩Q), ao ponto de que n(P) e n(Q) representam,</p><p>respectivamente, os números de elementos dos conjuntos P e Q.</p><p>Exemplo 27 Considerando os conjuntos A e B, em que A = {4, 8, 16, 32} e B = {2, 4, 6, 12},</p><p>determine o conjunto n(A∪B).</p><p>Temos então que A∪B = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 32}, onde n(A∪B) = 12.</p><p>Diferença</p><p>A diferença P – Q dos conjuntos P e Q é dada por qualquer conjunto formado pelos</p><p>elementos que por sua vez pertençam a P e não pertençam a Q.</p><p>No exemplo indicado acima, do conjunto P = {x, y, w, z, a, b, c} e do conjunto Q = {e, i, o, u,</p><p>a, b, c}, temos o conjunto diferença P – Q = {x, y, w, z} e Q – P = { e, i, o, u}. Simbolicamente:</p><p>P – Q = {a|a ∈ P e a ∉ Q}.</p><p>Exemplo 28 dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8}, quais os elementos que</p><p>podemos encontrar no conjunto B – A?</p><p>37</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Nesse caso, sabendo que a diferença é dada pelos elementos presentes em um conjunto</p><p>e não presentes no outro, concluímos que B – A = {6, 8}.</p><p>Exemplo 29 Os negócios do setor de tecnologia lidam diariamente com termos em línguas</p><p>estrangeiras. Por essa razão, um(a) empreendedor(a) de um negócio de vendas online</p><p>fez um levantamento na empresa e constatou que dos 180 funcionários que trabalham</p><p>no escritório da matriz, 108 deles falam inglês, 68 falam espanhol, 32 falam apenas</p><p>português.</p><p>Diante dessa situação, o(a) empreendedor(a) precisar saber quantos funcionários falam</p><p>inglês e espanhol.</p><p>Para ajudar a resolver esse problema, usaremos mais uma vez o passo a passo</p><p>apresentado anteriormente. Vejamos:</p><p>Chamaremos de U o conjunto universo, I o conjunto de funcionários que falam inglês e E</p><p>o conjunto de funcionários que falam espanhol.</p><p>Primeiro passo: como temos uma intersecção entre os que falam inglês e espanhol, logo,</p><p>E∩I é exatamente o valor que estamos procurando. Assim, chamaremos de x.</p><p>Segundo passo: o conjunto I tem 108 elementos. Como já admitimos que x desses</p><p>elementos estão em I, então faltam 108-x desses elementos em I, que devem ser indicados</p><p>na região I – E:</p><p>38</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Terceiro passo: o conjunto E tem 68 elementos. Como já admitimos que x desses</p><p>elementos estão em E, então faltam 68 – x elementos em E, que devem ser indicados na</p><p>região E – I:</p><p>Quarto passo: se 32 dos funcionários falam apenas português, logo esses 32 não falam</p><p>nem inglês nem espanhol, então:</p><p>Quinto passo: já sabemos que o conjunto Universo é formado por 180 elementos, logo,</p><p>32 + 108 – x + x + 68 – x = 180.</p><p>Assim temos que:</p><p>39</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>180 = 32 + 108 – x + x + 68 – x</p><p>180 = 140 – x + x + 68 – x</p><p>180 = 208 – x + x – x</p><p>180 = 208 – x</p><p>x = 208 – 180</p><p>x = 28 elementos</p><p>Assim podemos preencher completamente o diagrama com os seguintes valores:</p><p>Aplicações de operações com conjunto em gestão de negócios</p><p>Ao deparar diariamente com suas atribuições e competências demandadas ao exercício</p><p>de cargos de gestão e decisão, é possível fazer uso das operações indicadas acima como</p><p>método de resolução de problemas.</p><p>Lembre-se de que, como gestor, uma das habilidades mais requisitadas é a capacidade</p><p>de tomar decisão diante de trade off de recursos, mercados, máquinas ou investimentos</p><p>financeiros.</p><p>Para ajudar na compreensão dessa aplicação, podemos optar pela seguinte situação:</p><p>um profissional de marketing, após contratar uma pesquisa base, identificou que 80%</p><p>dos clientes pesquisados compram o produto X semanalmente, enquanto 20% compram</p><p>apenas o produto Y com a mesma frequência, mas 40% desses clientes não compram</p><p>Y. Sabendo que a pesquisa levantou informações de 200 clientes, o profissional deverá</p><p>identificar a quantidade de clientes que não compram Y, no intento de buscar uma</p><p>estratégia que motive a compra desse grupo de clientes.</p><p>Para chegar à conclusão necessária diante do problema proposto, o profissional pode</p><p>fazer uso de seus conhecimentos em Teoria dos Conjuntos, por meio do seguinte</p><p>processo:</p><p>Clientes que só compram Y = 20%</p><p>Clientes que compram X = 80%</p><p>Clientes que não compram Y = 40%</p><p>40</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Já que tivemos 200 clientes entrevistados, podemos então concluir que 40 clientes</p><p>compram apenas Y e 80 clientes não compram Y, já que 160 do total de clientes</p><p>pesquisados compram tanto X quanto Y. Como 160 dos clientes compram X ou Y, e 80</p><p>desses clientes não compra Y, logo, 80 compram apenas X. Essa mesma conclusão pode</p><p>ser alcançada usando um diagrama de Veen. Veja:</p><p>Onde: ? + 40% + 20% = 100%, ou seja, X ∩ Y + (X - Y) = 160, onde sabemos que Y – X = 40,</p><p>logo, X - Y = X∪Y – [(X ∩ Y) + (Y – X)]. Assim, ? = 200 – (80 + 40), ou seja, ? = 200 – 120 = 80.</p><p>Para concluirmos nossos estudos sobre conjuntos, vamos propor mais uma situação</p><p>prática. Lembre-se que já resolvemos vários exemplos, por isso, tente responder a</p><p>situação com base nos exemplos anteriores. De todo modo, você terá a resolução a sua</p><p>disposição. Vamos lá?</p><p>Exemplo 30 Uma das ferramentas mais eficazes na gestão de negócios é a pesquisa</p><p>de mercado. Por meio da pesquisa de mercado, você pode levantar informações do seu</p><p>mercado consumidor, mercado concorrente e mercado fornecedor. Sendo assim, uma</p><p>indústria de artigos esportivos contratou uma empresa de consultoria de negócios para</p><p>fazer uma pesquisa de mercado com 1.500 pessoas, que deveriam responder “sim” ou</p><p>“não” a cada uma das seguintes perguntas:</p><p>1ª Você pratica caminhada?</p><p>2ª Você pratica corrida?</p><p>3ª Você pratica ginástica?</p><p>A empresa de consultoria entregou os seguintes resultados da pesquisa conforme</p><p>apresentados na tabela abaixo:</p><p>De posse desses dados, a fábrica precisa identificar quantas pessoas responderam “não”</p><p>às três perguntas.</p><p>41</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Dos exemplos que já resolvemos, uma coisa que você já deve ter percebido: é que a</p><p>resolução deve sempre começar pela intersecção entre os conjuntos. Façamos então o</p><p>mesmo procedimento. Veja:</p><p>Chamaremos U o conjunto universo formado por 1.500 entrevistados;</p><p>1 será o conjunto de pessoas que respondeu sim à 1ª pergunta;</p><p>2 será o conjunto de pessoas que respondeu sim à 2ª pergunta;</p><p>3 será o conjunto de pessoas que respondeu</p><p>sim à 3ª pergunta.</p><p>Primeiro passo: iniciaremos sempre pela intersecção entre os 3 conjuntos. Logo, já</p><p>sabemos que 70 pessoas responderam sim às 3 perguntas, ou seja, 1 ∩ 2 ∩ 3. Assim,</p><p>teremos:</p><p>Segundo passo: devemos indicar o número de elementos das intersecções dos conjuntos</p><p>dois a dois. Já sabemos por meio da tabela que 108 pessoas responderam “sim” à 1ª e</p><p>à 2ª pergunta, simultaneamente, e como já indicamos 70 pessoas nessa intersecção,</p><p>logo, faltam 48 elementos em 1 ∩ 2; na tabela também identificamos que 172 pessoas</p><p>responderam “sim” à 1ª e à 3ª perguntas, simultaneamente, e já indicamos 70 pessoas</p><p>nessa intersecção, logo faltam 102 pessoas em 1 ∩ 3; como 110 pessoas responderam</p><p>“sim” à 2ª e à 3ª perguntas, simultaneamente, e já havíamos indicado 70 pessoas nessa</p><p>intersecção, então faltam 40 pessoas em 2 ∩ 3. Assim, vejamos:</p><p>42</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Terceiro passo: sabemos que 800 pessoas responderam “sim” à 1ª pergunta, e já</p><p>indicamos 220 elementos em 1 (102+70+48=220), faltam 580 elementos/pessoas para</p><p>completar o conjunto; a tabela indica que 332 pessoas/elementos responderam “sim” à 2ª</p><p>pergunta, e já indicamos 158 (48+70+40=174) pessoas em 2, logo faltam 174 elementos;</p><p>como 618 pessoas responderam “sim” à 3ª pergunta, e como já indicamos 212 pessoas</p><p>em 3 (102+70+40=212), faltam 406 elementos.</p><p>Quarto passo: como já preenchemos os grupos 1, 2 e 3, o número de pessoas é representado</p><p>pelos elementos que estão fora dos três conjuntos. Nesse caso, representaremos por x.</p><p>43</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Logo, sendo U = 1.500 o conjunto que totaliza os entrevistados, temos:</p><p>x + 174 + 48 + 70 + 40 + 580 + 102 + 406 = 1.500</p><p>1.500 = x + 174 + 48 + 70 + 40 + 580 + 102 + 406</p><p>1.500 = x + 1.420</p><p>x + 1.420 = 1.500</p><p>x = 1.500 – 1.420</p><p>x = 80 pessoas</p><p>Concluímos então que 80 pessoas entrevistadas responderam “não” às três perguntas.</p><p>44</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>Neste Percurso de Aprendizagem, o nosso objetivo era compreender como os</p><p>conhecimentos elementares de frações, porcentagem, equações e conjuntos podem</p><p>auxiliar o(a) empreendedor(a) no cotidiano do ambiente de negócios. Vamos relembrar</p><p>os principais conceitos deste Percurso de Aprendizagem:</p><p>• Toda vez que fragmentamos um determinado elemento em partes iguais, estaremos</p><p>fracionando esse elemento. Por isso, uma fração é simplesmente a divisão de um</p><p>item em partes necessariamente iguais.</p><p>• A expressão “por cento” (%) significa “um por cento”. Por isso que quando você</p><p>comprou aquela calça jeans que custava R$ 100,00, com desconto de 30%, pagou</p><p>apenas R$ 70,00, pois de cada R$ 100,00 serão descontados R$ 30,00.</p><p>• Uma potência pode ser uma ferramenta extremamente útil enquanto método</p><p>de simplificação matemática de valores muito grandes. Ela pode auxiliar o(a)</p><p>empreendedor(a) em múltiplas tarefas do seu cotidiano, possibilitando distintas</p><p>representações matemáticas com certo nível de complexidade.</p><p>• Raiz n-ésima de n a expressão que elevada à potência n reproduz p, sendo ela</p><p>representada por √.</p><p>• Essa racionalização poderá ser usada quando você tiver uma raiz no denominador</p><p>de uma fração. Racionalizar é eliminar a raiz do denominador, pois sempre que uma</p><p>fração apresentar um radical, seja no numerador ou no denominador, chamaremos</p><p>de fração irracional.</p><p>• Uma equação pode ser definida como sentença matemática que representa uma</p><p>igualdade, reunindo letras e números desconhecidos na sentença, ao ponto que</p><p>nomeamos essa letra de incógnita.</p><p>• Conjunto constitui-se de um agrupamento de objetos definidos nomeados de</p><p>elementos, escritos tanto entre chaves ou separados por vírgula ou ponto-e- vírgula.</p><p>• Os conjuntos podem ser vazios, unitários, finito e até infinitos.</p><p>• Conjunto vazio que é aquele no qual não se encontra nenhum elemento; o conjunto</p><p>unitário é aquele no qual a coleção dos elementos é constituída por apenas um</p><p>item; o conjunto finito é aquele no qual se pode contar ou enumerar os elementos;</p><p>o conjunto infinito é aquele constituído por elementos os quais não podemos</p><p>enumerar.</p><p>• As operações com conjunto incluem operações de intersecção, união e diferença</p><p>entre conjuntos.</p><p>Aprendemos ainda que seja nas ciências, na indústria, no comércio ou nas finanças,</p><p>os cálculos de porcentagem são sempre aplicados como método e verificação de</p><p>resultados, como, por exemplo, a eficiência de uma empresa. Ficou claro que uma</p><p>potência, ou potenciação, pode ser uma ferramenta extremamente útil enquanto método</p><p>de simplificação matemática de valores muito grandes, e que uma equação é a sentença</p><p>matemática que representa uma igualdade, reunindo letras e números desconhecidos na</p><p>sentença, ao ponto que nomeamos essa letra de incógnita. Por fim, vimos os conjuntos</p><p>dos números naturais, números racionais, números irracionais e números reais, e as</p><p>operações com conjuntos, quais sejam: soma, diferença e intersecção.</p><p>Assim, concluímos nosso Percurso de Aprendizagem, e vamos praticar por meio dos</p><p>exercícios. Bons estudos!</p><p>RESUMO DO PERCURSO DE APRENDIZAGEM</p><p>45</p><p>Voltar ao sum</p><p>ário</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v.1.</p><p>Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>cfi/0!/4/4@0.00:65.4</p><p>BARBONI, Ayrton ; PAULETTE, Walter (autor ). Fundamentos de matemática: cálculo e</p><p>análise: cálculo diferencial e integral a uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2389-2. (DIGITAL)</p><p>(Cód.:5347)</p><p>DREWS, Sonia Beatriz Teles; BORGEs, Pedro Augusto Pereira. Matemática aplicada à</p><p>administração. Ijuí: Ed. Unijuí, 2009. 182 p.</p><p>LAPA, Nilton. Matemática aplicada: uma abordagem introdutória. São Paulo: Saraiva,</p><p>2012. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788502157118.</p><p>(DIGITAL) (Cód.:1350)</p><p>MORETTIN, Pedro A. ; HAZZAN, Samuel ; BUSSAB, Wilton O. Introdução ao cálculo para</p><p>administração, economia e contabilidade. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788547221843. (DIGITAL)</p><p>(Cód.:25860)</p><p>GUERRA, Fernando. Matemática básica. Brasília. ed. DCA-UFSC. 2016. 168p.</p><p>GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v.</p><p>1. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788521635574.</p><p>(DIGITAL) (Cód.:24732)</p><p>PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2009.</p><p>SILVA, Luiza Maria Oliveira da; MACHADO, Maria Augusta Soares. Matemática aplicada à</p><p>administração, economia e contabilidade: funções de uma e mais variáveis. São Paulo:</p><p>Cengage Learning, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/</p><p>books/9788522126576/cfi/0!/4/4@0.00:40.4</p><p>SILVA, Sebastião Medeiros da ; SILVA, Elio Medeiros da (autor) ; SILVA, Ermes Medeiros</p><p>da (autor). Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. Rio de Janeiro: Atlas,</p><p>2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788597016659.</p><p>(DIGITAL) (Cód.:23473)</p><p>UNIVERSIDADE DE FORTALEZA (UNIFOR)</p><p>Presidência</p><p>Lenise Queiroz Rocha</p><p>Vice-Presidência</p><p>Manoela Queiroz Bacelar</p><p>Reitoria</p><p>Fátima Maria Fernandes Veras</p><p>Vice-Reitoria de Ensino de Graduação e Pós-Graduação</p><p>Maria Clara Cavalcante Bugarim</p><p>Vice-Reitoria de Pesquisa</p><p>José Milton de Sousa Filho</p><p>Vice-Reitoria de Extensão</p><p>Randal Martins Pompeu</p><p>Vice-Reitoria de Administração</p><p>José Maria Gondim Felismino Júnior</p><p>Diretoria de Comunicação e Marketing</p><p>Ana Leopoldina M. Quezado V. Vale</p><p>Diretoria de Planejamento</p><p>Marcelo Nogueira Magalhães</p><p>Diretoria de Tecnologia</p><p>José Eurico de Vasconcelos Filho</p><p>Diretoria do Centro de Ciências da Comunicação e Gestão</p><p>Danielle Batista Coimbra</p><p>Diretoria do Centro de Ciências da Saúde</p><p>Lia Maria Brasil de Souza Barroso</p><p>Diretoria do Centro de Ciências Jurídicas</p><p>Katherinne de Macêdo Maciel Mihaliuc</p><p>Diretoria do Centro de Ciências Tecnológicas</p><p>Jackson Sávio de Vasconcelos Silva</p><p>AUTOR</p><p>JOSÉ LANDSBERG COSTA LIMA FILHO</p><p>Empreendedor, empresário e professor universitário, grad-</p><p>uado em Administração</p><p>de Empresas com especialização</p><p>em Administração Financeira e MBA em Gestão Financei-</p><p>ra, Controladoria e Auditoria além de mestrando em Ad-</p><p>ministração. Sólida vivência financeira com atuação em</p><p>cargos de gestão e direção de empresa. Possui experiên-</p><p>cia na área projetos financeiros, planejamento financeiro</p><p>e de risco financeiro com participações em empresas de</p><p>pequeno, médio e grande. Conhecedor de ferramentas</p><p>estatísticas que ajudam, previnem e diminuem as perdas</p><p>financeiras e que reduzem o risco na atuação no mercado</p><p>financeiro. Também possui conhecimento na área de pro-</p><p>jetos e captação de recursos para investimentos e novos</p><p>produtos adquiridos ao longo de mais de dez anos de at-</p><p>uação no segmento. Professor em cursos de graduação</p><p>e pós-graduação ministrando disciplinas correlatas aos</p><p>métodos quantitativos como matemática, matemática fi-</p><p>nanceira, finanças e estatística.</p><p>RESPONSABILIDADE TÉCNICA</p><p>COORDENAÇÃO DA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Coordenação Geral</p><p>Andrea Chagas Alves de Almeida</p><p>Supervisão Esquipe Multidisciplinar</p><p>Francisco Weslley Lima</p><p>Analista Educacional - Pedagógico</p><p>Lara Meneses Saldanha Nepomuceno</p><p>Analista Educacional - Mídias</p><p>Emanoel Alves Cavalcante</p><p>Projeto Instrucional</p><p>Ana Lucia Do Nascimento</p><p>Maria Mirislene Vasconcelos</p><p>Revisão Gramatical</p><p>Janaína de Mesquita Bezerra</p><p>José Ferreira Silva Bastos</p><p>Identidade Visual / Arte</p><p>Francisco Cristiano Lopes de Sousa</p><p>Paulo Renato Mendes Almeida</p><p>Editoração / Diagramação</p><p>Emanoel Alves Cavalcante</p><p>Rafael Oliveira de Souza</p><p>Rebeka Melo Peres</p><p>Régis da Silva Pereira</p><p>Produção de Áudio e Vídeo</p><p>José Moreira de Sousa</p><p>Pedro Henrique de Moura Mendes</p><p>Programação / Implementação</p><p>Renan Alves Diniz</p><p>Thais Rozas Teixeira</p>