Funções Trigonométricas

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<p>( Observações comprimento de uma circun ferência (1) de raio R i igual a P = R X oy = R 2) A medida do XP em do arco medimos isto do arco XP utilizando do Raio valor Rl ferência. angulo mede II 2</p><p>(2) (3) Um negative grando percorremos a no sentido : y P 10 Se arco tiver a mesma medida tem a l do O >0 mesma 0 XP i percorrido no sentido pois anti- horario e 0 arco XP' i percorrido no sentido</p><p>(3) de Triangulos e a das cosseno e tangente B3 B2 B, 10 A3 A1 A2 OA,B, OA2B2 e OA3B3 angulos sao radianos. Obs: reto tem medida a A2B2 A3B3 sen(o) = OB, = OB2 = OB3 = OA, = OA2 = OA3 = A2B2 = A3 B3 sen(9) OB, OB2 OB3 . = OA2 OA3</p><p>(4) De acordo com as anteriores, temos = sen = = 1 e = das Vamos considerar a ( 1) : y y O X 1 = y to = x : abscissa do =</p><p>(5) ( extensio das fungoes (1) Se a medida de a 0>0 t percorremos sentido for unitaria no anti- até a medida de radianos t radianos. circum do ponto X= sija Se que em um P sobre valor de t a = = e (2) Se a de um for t caso anterior, entas podemos porem proceder a como no sera percorrida no sentido</p><p>(6) (3) A de uma circun de centro na e R= 1 dada x2+ 1 . 2 Portanto, 2 + = 1 . (4) Sinal das em cada seno + - + - + + - + + - (5) Como da as unitaria igual a 2TT, de fungoes periodo igual a periodicas sen 2TT) = cos =</p><p>(7) ser percorrida tanto no anti- (6) que a unitaria pode no sentido escrever sen = i cos + tg = para todo k E Z dos AO PRiMEiRO Quadrante Vamos considerar um angulo do primeiro assim II</p><p>(8) um angulo do P' XP : correspondents as R=1 ao Q 0 Q' : correspondente do medida a II radianos OBSERVAÇÕES 1) = 2) 3) = - cos(x) = - i = = sen Lembre-se de que a ordenada abscissa do P e sen i a do to P.</p><p>(9) 20 ao angulo do 32 1) = ao Q 2) DOPQ 3) - ao sen(X)= P 3. i do (1) (2) AOPQ P usar (3) cos(ao) = sen (ao) = - sen</p><p>(10) das seno e P1. Cos (- sen (-0) = - A dessa da das seno e (usando a e seguintes medida (o) = (- = 2) Se um e isosceles, entas da base P'= (costa), P a Q P= sen(a)) R a cos(a) P'OP sent-a) = sen(a)</p><p>a e b angulos do (11) cos(a+b) = - Segue da figure a S. S= b P= 1=R R=1 Q= DOXP DOQS QOS = e Assim, = = sen 2 - 2 = = (1-</p><p>(12) 2 2 + + 2 + 2 senca) 2 2 = 2 + 'Cos (a+b) + sen / = 1 1 - 2 cos(a) cos(b) 2 (b) + 1 = 1 - 2 cos (a+b) + 1 - 2 2 sen(b) 2 (a+b) = Cos(a) Cos sen(a) u P3. Sejam a do quadrante tais Cosla- b) = Cos(a) cos(b) + senca) Veja a Figura as lads a-b x R=1 M=(1,0) R=1 - b = a (cos(-a),</p><p>(13) Na propriedade se - (a- - b) Assim, pela (a - = = cos(b-a) = cos(b) + = cos(a) + sen(a) = Dado e tais < 2T e = Saja II x I EZ. vimos no inicio do curso de Calculo, x < Seja = x - = e</p><p>(14) Usando Teorema anterior, a de um quadrante e as demais resultados vistos nessas notas de aula, nos podemos mostrar = cos(a) senca) - b) = e cos(b) e disso, podemos = senca) + senlb) cos(a) e - senca) coslb) - sen(b) cos(a).</p><p>(15) (1) Cos (a+b)) = ; (2) cos = - sen = - sen(a) (3) = = - sent sen = - sen (4) = = sen(a+b) = - cos + (a+b)) = - - coslb) - sen sen(6)] - [- cos(b) - cos(a). sen(6)] senca) + sen (b)</p><p>Limites a Figura de T 0 T P 4 M Considere as A1= area do = 2 = 2 = = = = - 2 A area do circular OMP = 2 A are do de R=1 i = - area do circular OMP f MP x - i dada pela de 3 2 - A. A = A a a do circular</p><p>(17) A3= A area do DOMT = 2 = 1 . obs h2 = = = 1 Dessa que A1 < A2 sen(x) X sen(x) 2 2 2 podemos que (i) < sen (x) 2 . 2 X (ii) 1 sen(x) X < sen(x) 2 2 < . de x um do e, e</p><p>(18) primeiro Limite Fundamental vamos analisar i dado por lim sencx) = 1 . X Para resolvermos esse sera necessario usar do Confron Se < hcx) C = L lim L, lim = L. . C L of dado un / E>0, existe If = com tal E { V</p><p>(19) Teorema do Como = dado existe tal que < < < ( de (i) (ii) (iii) 1x-cl < Logo, lim = L. C</p><p>(20) Voltando para a analise do mental lim = 1 1 observe < <1, para todo X X E Co, Alem disso, = Cos + 2 = 2 e sen 2 = Assim, 2 Cos(x) = sen 2 - sen ) 2 Cos(x) = 2 sen ) 2 2 sen = 1- 2 sen = 1- 2 : seja, 2 2 para Assim, < sen < se X E</p><p>(21) Podemos concluir 2 < x2 X 4 2 2 1- < = 4 2 < 2 D . - 2 Dessa 1- < Cos(x) < 1 2 com a dessa ( Lembre-se de que 1, de acordo 2 observe lim (1- 2 ) 1 = 2 = 1-0 = 1. 2 Pelo Teorema do Confronto, lim 1= Portanto continua em</p><p>(22) se considerarmos Portanto, todor - 0 < - < Assim, consultando a pagina sen (-x) < < 1 2 2 2 ) - sen(x) < x < - sen(x) 2 2 2 ( Lembre-se de que = - e Cos (x) ) . 1 < < 2 2 2 < X 2</p><p>(23) Dessa forma, considerando tem-se 1 < 2 2 (x<o) sen(x) < x > < < 1 X ( Note 2 < 2 ) 2 Alim disso, Cos ( 2 = 11 1- sen 2 sen = 1- 2 . cos(x) = sen se se 2 Assim, 2 Como < sen - >- - sen . 2 2 Assim 2 > 4 ( obsure <0 Logo -</p><p>(24) 2 2 1- sen ) 4 2 1- < x2 2 2 2 Cos(x) > 2 Assim, 1- < se 2 X C (- De com Teorema do lin = 1 = 1 6 OBS e continua :</p><p>(25) X E < 1 Como = 1 = X->0 lim = 1 de X X acordo Teorma do Limite Fundamental lim ) = De note 1- = ( 1 - ( ) = = ( 2 = 2 X = X_ = (1+cow)</p><p>(26) Portanto, usando as de lim = 2 2 = lim lim . = X Assim, = X = x X lim sen(x) = ) XPO = Portanto, a e continua em = = pois</p><p>(1) sen (3x) = 5 3 pois sen(3x) sen(3x) = = 3x =3 sen(5x) sen(5x) ( sen 5x ) 5 5x lim 3x sen(3x) = 3. = = 5 lim 5x Podemos mostrar = 1, ax pois = a. (2) = 1, pois sen(x) = TT-X + = sen(x) = lim lim sen = 1, pois T-X</p><p>28 Calcule limites (1) lim sen(7x) i (2) tg(az) bx (3) lim (4) x-1 1-x2 (5) Cos = Cos x-1 x-1 (6) lim 1- { X-70 x2 denominador (1+ (7) lim - ; (8) - (9) (10) lim (sick) -1)x2 1- x2 (secante ). = Cosec(x) = ( 1 = ( fun</p>