Livro 1 - Mat e Nat-139-144

Prévia do material em texto

128
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 1
04. 
sen
cosA
B
C
D
E
I
H
G
F
P
O
N
M
J
K
L
O
Na fi gura, tem-se que o arco AB AC AD� � �= ° = ° = °30 45 60, , .
Considere que as linhas tracejadas são paralelas aos eixos.
O valor de cos
7
4
2
3
11
6
π π π
⋅ ⋅sen sen equivale a:
A) −
3 2
8
B) −
6
8
C) 
6
8
D) 
3 2
8
05. A fi gura a seguir indica o círculo trigonométrico, com o centro 
no ponto O.
0 A

B
C
sen
cos
Considere que um minúsculo animal esteja em O e faça (sem 
voar) o percurso OABOC.
Em função do ângulo α, o trajeto total percorrido pelo animal 
é igual a:
A) (2 + sen α + cos α) u.c. 
B) (1 + sen α) u. c.
C) (tg α + sec α) u. c.
D) (sen α + cos α) u. c.
06. Na circunferência de raio 1, representada na fi gura a seguir, 
os pontos M e N são tais que o arco de extremidades A e M 
mede 
π
2
rad e o arco de extremidades A e N mede − π
3
rad
2
1
–1
–1–2
A
x
21
2
0
M
N
y
A distância entre os pontos M e N é
A) 2 3− B) 2 3−
C) 2 3+ D) 1
E) 2 3+
07. Considere as seguintes afi rmações para arcos medidos em 
radianos:
I. sen 1 > sen 3
II. cos 1 < cos 3
III. cos 1 < sen 1
Quais são verdadeiras?
A) Apenas I é verdadeira. 
B) Apenas II é verdadeira.
C) Apenas III é verdadeira. 
D) São verdadeiras apenas I e III.
E) São verdadeiras I, II e III.
08. (Enem) A rosa dos ventos é uma fi gura que representa oito 
sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.
N
S
NO
O L
NE
SO SE
Uma câmera de vigilância está fi xada no teto de um sopping
e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um 
controlador, para qualquer sentido. A lente da câmera está 
apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador 
efetua três mudanças consecutivas, a saber:
– 1ª mudança: 135º no sentido anti-horário;
– 2ª mudança: 60º no sentido horário;
– 3ª mudança: 45º no sentido anti-horário.
Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, 
com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) 
devido a um movimento suspeito de um cliente.
Qual mudança de sentido o controlador deve efeturar para 
reposicionar a câmera?
A) 75º no sentido horário. 
B) 105º no sentido anti-horário.
C) 120º no sentido anti-horário.
D) 135º no sentido anti-horário.
E) 165º no sentido horário.
129
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 1
09. Na circunferência a seguir, o ponto M representa a imagem de 
um arco de medida, em radianos, igual a
M
0
A) − 56
3
π
B) − 7
4
π
C) 5
6
π
D) 21
5
π
E) 38
5
π
10. No jogo mostrado na fi gura, uma bolinha desloca-se somente 
de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de 
circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 e 8. 
Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar 
a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo 
sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido 
anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120º.
B A
P
C
OO
G
H
1 2 3 4 5 6 7 8
D
E
F
Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no 
ponto:
A) B 
B) D
C) E 
D) F
E) G
Aula 04: 
Função Seno e Cosseno
Parte I
Função seno
Considere o Ciclo Trigonométrico da fi gura:
y
2π
x xπ
0
0
P1 P
2
π
2
3π
sen x OP= 1
Denominamos função seno a função f : R → R que, a cada 
número real x, associa o seno nesse número, isto é:
f(x) sen x=
Sinal da função seno
y
x0
2π
π
++
– –
2
π
2
3π
Gráfi co da função seno
Vamos construir o gráfi co da função f(x) = sen x inicialmente 
no intervalo [0, 2π], isto é, 0 ≤ x ≤ 2π.
O gráfi co da função f : R → R, defi nida por f(x) = sen x, é a 
curva chamada senoide, que tem o seguinte aspecto:
y
0
–1
xπ
2π
f(x) = sen x
2
π
3
π
4
π
6
π
3
2
2
2
1
2
1
Note bem: –1 1≤ ≤sen x
C-5 H-19, 20
C-18 H-18, 20
H-21
H-18, 20
Aula
04
130
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 1
Propriedades
P1 – Domínio ⇒ D(f) = R
P2 – Imagem ⇒ Im(f) ={y e R; –1 < y < 1}
P3 – Período ⇒ P(sen x) = 2π
Periodicidade da função seno no
intervalo [–2π, 2π]
y = sen x
0
período
–1
1
–π π
x
2
–3π–2π 2π
2
3π
2
–π
2
π
período
Não Esqueça!
Uma função defi nida como f(x) = a + b · sen (cx + d)
tem período dado por P = 2π
| c |
.
P4 – Variação ⇒
Crescente e quadrantes
Decrescente e quadrantes
:
:
1 4
2 3
º º
º º{
P5 – Paridade ⇒ é uma função ímpar, pois:
sen ( x) sen x− = −
Exercícios Resolvidos
01. Esboce os gráfi cos das funções:
A) f(x) = 2 sen x
1
0
y
2
x
–1
– 2
2π
π
2
3π
2
π
 
Período = 2π
Imagem = [–2, 2]
B) f(x) = 2 + sen x
2
0
3
1
x
–1
2π
2
3π
2
π π
 
Período = 2π
Imagem = [1, 3]
C) f(x) = sen (2x)
y
0
1
x
–1
2π2
3π
2
π
π
 
Período = π
Imagem = [–1, 1]
D) f(x) = sen
x
2




y
0
1
x
–1
2π 3π 4π
π
 Período = 4π
 Imagem = [–1, 1]
E) f(x) = – sen x
y
0
1
x
–1
2π
π
2
3π
2
π
 
Período = 2π
Imagem = [–1, 1]
02. Construa o gráfi co da função f(x) = 3 · sen x −



π
2
no intervalo 
0 < x < 2π.
Resolução:
Trabalhando a função, teremos:
x − π
2
x sen x −




π
2
f sen x(x) = ⋅ −



3
2
π
0
π
2
0 0
π
2
π 1 3
π
3
2
π
0 0
3
2
π
2π –1 –3
2π
5
2
π
0 0
Dessa forma, temos o esboço do gráfi co da função:
y
0
3
x
–3
2π
π
2
π
2
3π
2
5π
131
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 1
03. Determine k para que exista o arco que satisfaça a igualdade 
sen x = 2k – 7
Resolução:
Devemos ter:
– 1 < sen x < 1,
Substituindo, temos:
− ≤ − ≤ ⇒ − ≤− ≤ −{1 2 7 1 2 7 11 2 7k k Ik ( )(II)
Dessa maneira, em (I), temos:
2k – 7 < 1
2k < 8
k < 4
Em (II), temos:
– 1 < 2k – 7
2k – 7 > – 1
2k > 6
k > 3
Uma reta real:
3
Fazendo (I) ∩ (II) obtemos:
(I)
(II)
4
3 4
Por conseguinte:
O conjunto-solução é dado por:
S = {x ∈ R;3 < x < 4} = [3, 4]
04. A equação sen x = log x apresenta
A) uma solução.
B) duas soluções.
C) três soluções.
D) quatro soluções.
E) mais de quatro soluções.
Resolução:
Esboçando os gráfi cos no mesmo sistema de eixo cartesiano, 
temos:
0
1
1 10
–1
x
y
2π
3π
π
Pelo gráfi co x, y = sen x e y = log x tem 3 pontos comuns, logo 
sen x = log x tem 3 soluções.
Resposta: C
05. O limite da soma sen2 x + sen4 x + ... + sen x2n + ... + em que 
x k k Z≠ + ∈π π
2
, , é:
A) n · sen2 x
B) 2n · sen x
C) sen2 x
D) cos2 x
E) tg2 x
Resolução:
A sequência sen2 x, sen4 x, ..., sen2n x, ... é uma progressão 
geométrica infi nita; logo, o limite da soma será:
lim
cosn
nS
a
q
sen x
sen x
sen x
x
tg x
→∞
=
−
=
−
= =1
2
2
2
2
2
1 1
Resposta: E
06. Quais os valores máximo e mínimo que a função
f
x
(x) sen= − + ⋅ −



1 5
3
2
9
π
 pode assumir?
Resolução:
Sabemos que:
–1 < sen x < 1
Dessa maneira:
− ≤ −



≤
− ≤ ⋅ −



≤
− − ≤ − + ⋅ −
1
3
2
9
1
5 5
3
2
9
5
5 1 1 5
3
sen
x
sen
x
sen
π
π
π 22
9
5 1
6 1 5
3
2
9
4
x
sen
x




≤
− ≤ − + ⋅ −



≤
–
π
Substituindo, obtemos:
− ≤ ≤6 4f(x)
Logo:
Valor máximo: 4
Valor mínimo: –6
07. Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen 50º é:
A) 0,2
B) 0,4
C) 0,6
D) 0,8
E) 0,9
Resolução:
Devemos ter:
sen 45º < sen 50º < sen 60º
Aproxima eçõ s:
2 1 4
3 17
≅
≅



,
,
2
2
50
3
2
1 4
2
50
17
2
0 7 50 0 85
< <
< <
< <
sen
sen
sen
º
,
º
,
, º ,
Resposta: D
08. Determine os elementos do conjunto
A y y sen
k
k z= ∈ = 



∈






R; ,
π
4
 no intervalo 0 < y < 2π.
132
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 1
Resolução:
Fazendo k = 0, depois k = 1, depois k = 2, etc na expressão kπ
4
,
teremos:
• k y sen= ⇒ = =0 0 0( )
• k y sen= ⇒ = 



=1
4
2
2
π
• k y sen= ⇒ = 



=2
2
1
π
• k y sen= ⇒ = 



=3 3
4
2
2
π
• k y sen= ⇒ = =4 0( )π
• k y sen= ⇒ =




= −5 5
4
2
2
π
• k y sen= ⇒ = 



= −6 3
2
1
π
• k y sen= ⇒ = 



= −7 7
4
2
2
π
• k y sen= ⇒ = =8 2 0( )π
O conjunto que queremos determinar é formado pelos 
senos desses números, os quaisestão indicados no ciclo 
trigonométrico a seguir.
Logo: A = − −








0
2
2
1
2
2
1, , , ,
0 ≡ 2π
x
y
2
π
4
π
π
3
4
π
5
4
π
3
2
π
7
4
π
09. Prove que existe número x que satisfaça à equação
sen x
ab
a b
=
+
2
2 2
quaisquer que sejam a e b reais, sendo a ≠ 0 ou b ≠ 0.
Resolução:
Devemos provar que − ≤
+
≤1 2 1
2 2
ab
a b
, ∀a, b ∈ R(a ≠ 0 ou b ≠ 0).
Quaisquer que sejam a e b reais com a ≠ 0 ou b ≠ 0, temos:
2
1
2
0
2
1
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
ab
a b
ab a b
a b
a b
a b
ab
a b
I
+
+ = + +
+
= +
+
≥ ⇒
⇒
+
≥ −
( )
e
1
2 2
0
1
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
−
+
= + −
+
= −
+
≥ ⇒
⇒ ≥
+
ab
a b
a b ab
a b a b
ab
a b
II
(a b)
De I e II decorre que:
− ≤
+
≤1 2 1
2 2
ab
a b
q(c. .d.)
10. Qual da equações representa a função trigonométrica cujo 
gráfi co está na fi gura a seguir?
3
1
5
y
x0 π
3
3π
2
π
4
π–π
4
3π
2
π
4
π
A) f(x) = 2sen x B) f(x) = 2sen(2x)
C) f(x) = 3 + 2sen
x
2




 D) f(x) = 3 + sen (2x)
E) f(x) = 3 + 2sen (2x)
Resolução:
Note que a função f(x) = 3 + 2sen(2x) satisfaça todas as 
condições no gráfi co, pois:
• f f f f( ) f ( ) ( )0
2 2
3= 



= = −



= − =π π π π
• f f
π π
4
3
4
5




= −



=
• f f
3
4 4
1
π π



= −



=
Resposta: E
Fatos que ajudam (Não Esqueça!)
Modifica a
amplitude do gráfico
Modifica o períodoDeslocamento no eixo y
f(x) = a + b · sen (cx + d)
Deslocamento no eixo
x através da expressão dc
Função cosseno
Considere o ciclo trigonométrico da fi gura.
2π
x
x x
y
P
P2
0
0
2
π
π
3
2
π
 
cos x OP= 2
Denominamos função cosseno a função f: R → R que, a 
cada número real x, associa o cosseno nesse número, isto é:
f(x) cos x=
133
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 1
Sinal da função cosseno
x0
y
– +
– +
2
π
π
3
2
π
2π
Gráfi co da função cosseno
Vamos construir o gráfi co da função f(x) = cos x inicialmente 
no intervalo [0, 2π], isto é, 0 < x < 2π.
O gráfi co da função f: R → R defi nida por f(x) = cos x é a 
curva chamada cossenoide, que tem o seguinte aspecto:
x
y
0 2π
–1
2
π
3
π
4
π
6
π
f(x) = cos x
π
3
2
π
3
2
2
2
1
2
1
Note bem:
– cos1 1≤ ≤x
Propriedades
P1– Domínio ⇒ D(f) = R
P2– Imagem ⇒ Im(f) = {y ∈ R, –1< y < 1}
P3– Período ⇒ P(cos x) = 2π
Periodicidade da função cosseno no
intervalo [–2π, 2π]
y = cos x
0
período
–1
1
–π π
x
2
–3π 2π
2
–3π–2π
2
–π
2
π
período
Não Esqueça!
Uma função defi nida como f(x) = a + b · cos(cx + d) tem 
período dado por:
P = 2π
| c |
P4 – Variação ⇒ Crescente e quadrantes
Decrescente e quadrantes
:
:
3 4
1 2
º º
º º{
P5 – Paridade ⇒ É uma função par, pois:
cos ( x) cos x− =
Exercícios Resolvidos
01. Esboce os gráfi cos das funções:
A) f(x) = 2cos x
x
Período: 2π
Imagem: [–2, 2]
y
0
1
2
–2
–1
3
2
π 2π
π
2
π
B) f(x) = 2 + cos x
x
Período: 2π
Imagem: [1, 3]
y
0
1
2
3
–1
2ππ
2
π 3
2
π
C) f(x) = cos(2x)
x
y
0
1
–1
2ππ
4
π
2
π
Período: π
Imagem: [–1, 1]3
2
π3
4
π
D) f
x
(x) cos= 


2
x
y
0
1
–1
3π2π 4π
Período: 4π
Imagem: [–1, 1]
3
2
π
2
π π