Aula 1 C - Potenciação e Radiciação (1)

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<p>POTENCIAÇÃO</p><p>Potências</p><p> São aplicadas no estudo de potenciação de números reais.</p><p> Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo</p><p>de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes.</p><p>Potências</p><p> A potenciação é a operação matemática baseada em um produto, na</p><p>qual todos os fatores são o mesmo número real. Exemplo:</p><p>2 x 2 x 2 → mesmo número real → 2</p><p>Potências</p><p> O número real que se repete é chamado de base da potência, e a</p><p>quantidade de vezes que ele se repete é denominada expoente da</p><p>potência.</p><p>2 → número real que se repete → base da potência</p><p>³ → quantidade de vezes que se repete → expoente → 2³</p><p>Propriedades das Potências</p><p> Primeira: Multiplicação de potências de mesma base.</p><p> Conserva-se a base e somam os expoentes →</p><p>54 . 5² = 54+2 = 56</p><p>2³ . 25 . 22 = 23+5+2 = 210</p><p>Propriedades das Potências</p><p> Segunda: Divisão de potências de mesma base.</p><p> Conserva-se a base e subtraem os expoentes →</p><p>54 / 5² = 54-2 = 52</p><p>28 / 25 = 28-5 = 2³</p><p>Propriedades das Potências</p><p> Terceira: Potência de potência.</p><p> Conserva-se a base e multiplicam os expoentes →</p><p>(5³)² = 53 · 2 = 56</p><p>(45)-3 = 45 · (-3) = 4-15</p><p>Propriedades das Potências</p><p> Quarta: Potência de um produto.</p><p> Pode-se elevar cada um dos fatores a esse expoente →</p><p>(2 . 4)3 = (2 . 4) . (2 . 4) . (2 . 4) = 23 . 43</p><p>(2 . 4)3 = 23 . 43</p><p>Propriedades das Potências</p><p> Quinta: Potência do quociente.</p><p> Pode-se calcular a potência do dividendo e a potência do divisor →</p><p>(6 / 4)² = (6 / 4) . (6 / 4) = 6² / 4²</p><p>(6 / 4)² = 6² / 4²</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência unitária: Todo número elevado a um é ele mesmo →</p><p>123¹ = 123</p><p>3¹ = 3</p><p>0,54¹ = 0,54</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência de expoente zero: Todo número diferente de zero elevado</p><p>a zero é igual a um →</p><p>100 = 1</p><p>0,750 = 1</p><p>192.392.3120 = 1</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência de uma fração: Consequência da propriedade da potência</p><p>de um quociente.</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência com um expoente negativo: Escrevemos o inverso da</p><p>base e trocamos o sinal do expoente.</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência com um expoente negativo: Quando a base da potência</p><p>for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência com um expoente negativo: Quando a base for</p><p>um número decimal, é necessário realizar a sua representação como</p><p>uma fração.</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência com um expoente negativo: Quando a base é uma</p><p>fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o</p><p>numerador com o denominador.</p><p>Casos Particulares das</p><p>Potências</p><p> Potência com expoente fracionário: Podemos transformar essa</p><p>potência em uma radiciação →</p><p>RADICIAÇÃO</p><p>Radiciação</p><p> A radiciação é uma operação matemática que possui várias</p><p>aplicações, dominá-la é importante para resolver problemas</p><p>envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.</p><p>Radiciação</p><p> A radiciação possui propriedades importantes que servem para</p><p>facilitar as contas e realizar simplificações de radicais.</p><p> Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de</p><p>cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada</p><p>um dos seus termos.</p><p>Representação</p><p> Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo</p><p>conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é</p><p>representada pela seguinte operação:</p><p>Representação</p><p> Para calcular a raiz de um número, é fundamental entender que a</p><p>radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar</p><p>potenciação é essencial para calcular a raiz de um número.</p><p>Representação</p><p> Ao escrever a raiz enésima (n) de a e afirmar que ela é igual a b...</p><p>.... estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o</p><p>número representado pela letra a.</p><p>Representação</p><p> Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é</p><p>raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao</p><p>índice é igual ao radicando.</p><p>Exemplos</p><p> Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é</p><p>raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao</p><p>índice é igual ao radicando.</p><p>Propriedades</p><p> As propriedades da radiciação são meios para facilitar o cálculo de</p><p>problemas que envolvem tal operação.</p><p> Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é</p><p>de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.</p><p>Primeira Propriedade</p><p> A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio</p><p>número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da</p><p>raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o</p><p>próprio radicando.</p><p>Segunda Propriedade</p><p> A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes</p><p>enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos</p><p>separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de</p><p>suas parcelas.</p><p>Terceira Propriedade</p><p> A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas</p><p>raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números,</p><p>podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz</p><p>enésima do divisor.</p><p>Quarta Propriedade</p><p> Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde</p><p>que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.</p><p>Quinta Propriedade</p><p> Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus</p><p>índices e representar essa operação com um único radical.</p><p>Sexta Propriedade</p><p> A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz</p><p>enésima do radicando elevada a essa potência.</p><p>Sétima Propriedade</p><p> A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com</p><p>expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o</p><p>expoente da base corresponde ao numerador:</p><p>Simplificação de Radicais</p><p> Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma</p><p>raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical.</p><p> Para isso, é necessário algum método para decompor o número</p><p>em fatores primos.</p><p>Simplificação de Radicais</p><p> Exemplo: Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.</p><p> Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões</p><p>sucessivas.</p><p>Simplificação de Radicais</p><p>Simplificação de Radicais</p><p> Exemplo: Sendo assim, temos que 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Como o</p><p>nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses</p><p>fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:</p><p>Simplificação de Radicais</p><p> Exemplo: Assim, para reescrever a raiz de 360, utilizaremos a</p><p>primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa</p><p>que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os</p><p>que não estão permanecem dentro do radical:</p><p>Operações com Radicais</p><p> Adição e Subtração: Não podemos somar ou subtrair o radical de</p><p>uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:</p><p>Operações com Radicais</p><p> Adição e Subtração: Realizar a soma ou a subtração de duas raízes</p><p>e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos</p><p>falando da mesma raiz, por exemplo:</p><p>Operações com Radicais</p><p> Adição e Subtração: Nesse caso sempre somaremos os</p><p>coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando</p><p>que não se pode somar o radicando de cada uma delas.</p><p>Operações com Radicais</p><p> Adição e Subtração: Quando necessário, podemos simplificar as</p><p>raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar</p><p>a operação:</p><p>Operações com Radicais</p><p> Adição e Subtração: Quando necessário, podemos simplificar as</p><p>raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar</p><p>a operação:</p><p>Operações com Radicais</p><p> Multiplicação e Divisão: Para realizar a multiplicação ou divisão, é</p><p>necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes.</p><p>Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedades.</p><p>Exercício 1</p><p> Exercício 1: Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m”</p><p>números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:</p><p>Exercício 1</p><p> Resolução: Analisando as alternativas, a única que não corresponde</p><p>a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a</p><p>soma da forma que foi feito.</p><p>Exercício 2</p><p> Exercício 2: O resultado do cálculo da expressão é:</p><p>Exercício 2</p><p> Resolução: Note que todas as frações possuem mesmo índice, o</p><p>que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a</p><p>propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações</p><p>necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².</p><p>Exercício 2</p><p>Bibliografia</p><p> Educa mais Brasil. Enem. Matemática. Operações Matemáticas. Disponível em:</p><p>https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas</p><p> Brasil Escola. Matemática. Propriedades da Multiplicação. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-</p><p>multiplicacao-que-facilitam-calculo-mental.htm</p><p> Mundo Educação. Matemática. Propriedades das Potências. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-das-</p><p>potencias.htm</p><p> Brasil Escola. Matemática. Radiciação. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao.htm</p><p> Mundo Educação. Matemática. Radiciação. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/radiciacao.htm</p><p>https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas</p><p>https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-multiplicacao-que-facilitam-calculo-mental.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm</p><p>https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm</p><p>escolaprofissional.com.br</p><p>Rua Eng. Rebouças, 2213</p><p>Curitiba | PR | Brasil</p><p>adm.etpescola@gmail.com</p><p>41 3332-7025</p><p>mailto:adm.etpescola@gmail.com</p>