683452296-Renato-Miranda-Resistencia-Dos-Materiais

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<p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda</p><p>e Colaboradores</p><p>À Délia, Eduardo, Paula e Daniela, pelas</p><p>horas roubadas e reais desviados.</p><p>APOSTILA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS -APRESENTAÇÃO 2-MAIO DE 2012</p><p>PROF. RENATO J. P. C. MIRANDA E COLABORADORES.</p><p>Esta segunda apresentação de maio de 2012, é continuação da primeira de fevereiro de 2000,</p><p>que está na página seguinte.</p><p>Nos anos 60 e 70, eu e alguns colegas escrevemos à máquina e desenhos à nanquim, alguns</p><p>capítulos desta apostila. No final dos anos 90, preparamos outros capítulos, alguns</p><p>parcialmente, 16 anexos e entregamos o nosso trabalho à comunidade acadêmica e profissional.</p><p>São 512 páginas, sendo 20 coloridas. Parte dos capítulos antigos foi apenas “scaneada”, e</p><p>portanto, estão com a nomenclatura da época (S para área, J para momento de inércia, Q para</p><p>força cortante, etc.) e com exercícios feitos no sistema de unidades técnico ( Kgf, tf,cm, etc.).</p><p>Com relação ao modo de indicar o diagrama de momento fletor M, optou-se nesta edição , em</p><p>adotar o modo usado por algumas Escolas de Engenharia do Brasil, ou seja desenhá-lo sobre o</p><p>lado tracionado. Como sabemos o momento fletor é positivo quando traciona as fibras</p><p>inferiores e negativo quando traciona as fibras superiores. Portanto, neste trabalho, será</p><p>desenhado positivo para baixo e negativo para cima. Esta convenção facilita o projeto de vigas</p><p>de concreto armado, pois as armaduras são colocadas predominantemente no lado tracionado,</p><p>ou seja, onde está desenhado o diagrama de momentos fletores.</p><p>Recentemente, a FEI e outras Escolas de Engenharia estão usando o sistema universal</p><p>empregado na maioria das Escolas no mundo, ou seja, o sistema lógico de desenhar valores</p><p>positivos para cima e negativos para baixo. Portanto, se na sua Escola, é usado este sistema</p><p>universal, os diagramas de momentos fletores devem ser invertidos.</p><p>Na próxima edição , pretendemos uniformizar a maneira de desenhar o diagrama de momento</p><p>fletor, em positivo para cima e negativo para baixo; padronizar o sistema de unidades só no SI;</p><p>alterar a nomenclatura antiga; atualizar anexos e exercícios e sobretudo completar a parte</p><p>conceitual do capítulo II-Complementos de Reações de Apoio –RDA e Diagramas de Esforços</p><p>Internos Solicitantes-DEIS, e do capítulo V-Tensões Normais na Flexão.</p><p>Apesar destes problemas, podemos dizer que felizmente atingimos os nossos objetivos, pois</p><p>durante décadas, milhares de alunos ,centenas de profissionais e dezenas de professores usaram</p><p>e usam a nossa apostila, agora disponível livremente na rede, para auxiliar o processo de ensino</p><p>e aprendizado de Resistência dos Materiais. Evidentemente, que deve ser usada como</p><p>bibliografia complementar à excelente bibliografia existente nacional e internacional.</p><p>Agradeço mais uma vez a todos os colaboradores, divulgadores e leitores deste trabalho e</p><p>espero ter ajudado muitas pessoas a entrarem no fascinante mundo do projeto das peças sujeitas</p><p>a esforços.</p><p>Correções, sugestões, criticas, e comentários são sempre bem recebidas. Os convites anteriores</p><p>continuam abertos para os interessados na co-autoria, atualização, complementação e quiçá</p><p>,transformá-la num livro.</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda – email: renatocmiranda@yahoo.com.br</p><p>APRESENTAÇÃO</p><p>No início da década de 70, alguns jovens Professores de várias Escolas de Engenharia de São</p><p>Paulo reuniram-se diversas vezes, visando preparar uma apostila sobre Resistência dos Materiais para</p><p>ajudar os alunos e Professores no delicado processo de ensino e aprendizagem desta importante matéria,</p><p>que na época tinha um baixíssimo índice de aprovação.</p><p>Em algumas Faculdades o índice de aprovação não chegava a 10%!</p><p>Cada Professor ficou encarregado de preparar alguns capítulos que depois seriam agrupados para</p><p>compor uma apostila.</p><p>Quase 30 anos se passaram, estamos entrando no novo milênio e apenas nós (Professor Renato J.</p><p>P. C. Miranda) preparamos 4 capítulos, a saber: III – Complementos de Figuras Planas, IV – Tração</p><p>Compressão e Cisalhamento; VII – Torção e VIII – Flambagem, que durante muitos anos ajudaram,</p><p>alunos e Professores de Resistência dos Materiais , em muitas Escolas de Engenharia, Arquitetura,</p><p>Técnicas e de Projeto, além de propiciar aos profissionais já formados, uma alternativa de revisão dos</p><p>conceitos básicos da análise de peças sujeitas a esforços.</p><p>Em meados de 1999, um grupo de Professores, alunos, ex-alunos e Engenheiros, com a nossa</p><p>coordenação, reuniram-se com os mesmos objetivos citados, desta vez com auxílio dos recursos da</p><p>Informática (Word, AutoCAD, Excel, Internet, CorelDraw, Paint, etc.).</p><p>Após meses de muito trabalho, entregamos esta edição provisória à comunidade acadêmica e</p><p>profissional, pois não foi possível fazer os resumos teóricos completos dos capítulos: I – Conceitos</p><p>Gerais, II – Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes e V –</p><p>Tensões Normais na Flexão.</p><p>Como é citado no capítulo I – Introdução ao Curso e anexo XVI – Referências Bibliográficas,</p><p>existem centenas de obras sobre Resistência dos Materiais no Brasil e no Exterior, nas bibliotecas e na</p><p>Internet. Cada uma tem as suas características, adequadas aos meios acadêmicos e profissionais, onde</p><p>foram produzidas.</p><p>No nosso caso, o contato com os Professores e alunos no dia a dia da sala de aula, encorajou-nos</p><p>a preparar mais este trabalho despretensioso, sem querer chegar perto dos meus extraordinários mestres</p><p>como Professor Gaspar Ricardo, Professor Telemaco, Professor Soares, Professor Mautoni, Professor</p><p>Souza Lima, Professor Zagottis, Professor Tupiassu, Professor Freire, Professor Lavaste, Professor</p><p>Manoel Rocha, entre outros.</p><p>Dentre os diversos livros existentes, recomendamos como reforço ao curso, o empréstimo</p><p>através da Biblioteca do livro “Resistência dos Materiais” de BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. – 3</p><p>a</p><p>edição, Editora Makron Books, São Paulo, 1996, que pode ser usado em conjunto com o livro “Mecânica</p><p>Vetorial para Engenheiros – Estática”, 5</p><p>a</p><p>edição dos mesmos autores e da mesma editora.</p><p>Estes livros, além de se aproximarem da maneira como damos o curso, traz nas edições inglesas,</p><p>interessantes TUTORIAIS descritos nos anexos VIII, IX e X, além de apresentarem no final de cada</p><p>capítulo, alguns exercícios para serem resolvidos por computador, como se indica no anexo XI.</p><p>Esclarecemos que esta apostila pode ser usada com quaisquer outros livros que abordem</p><p>Resistência dos Materiais e Estática.</p><p>Como se vê no índice, este trabalho foi dividido em 8 capítulos e pode ser usado num curso</p><p>básico semestral de 4 ou 6 aulas semanais, ou anual de 2 ou 4 aulas semanais, com ou sem atividades de</p><p>Laboratório.</p><p>Abusamos do direito de preparar Anexos. Com auxílio de algumas pessoas, preparamos 16</p><p>Anexos, que pretendem dar um caráter atual à apostila. Além dos Anexos dos Tutoriais, destacamos os</p><p>Anexos da Internet, dos programas existentes nas calculadoras do tipo HP48 GX, das tabelas de materiais,</p><p>figuras planas e perfis, do formulário completo, da extensa relação de referências e livros, e, sobretudo, da</p><p>interessante coleção de alguns Exemplos Motivadores das diversas Áreas da Engenharia.</p><p>Na próxima edição, que esperamos não demorar 30 anos, devemos completar os Capítulos</p><p>citados e o anexo dos Exemplos Motivadores, bem como, com o auxílio do leitor, corrigir os eventuais</p><p>erros e atualizar todos os dados e informações. Desde já agradecemos essa valiosa colaboração no sentido</p><p>de tentar “zerar” o número de erros, pois sabemos bem o que é “perder” tempo, fazendo de vários modos</p><p>um determinado exercício e estar com a resposta errada!</p><p>Esperamos também num futuro próximo, preparar a continuação deste curso básico, envolvendo</p><p>os capítulos complementares de Resistência dos Materiais, tais como Cisalhamento na Flexão, Perfis de</p><p>Parede Fina, Complementos de Torção,</p><p>os alunos são atendidos pelos professores em</p><p>tempo integral e pelos monitores.</p><p>Aproveitando a oportunidade, talvez seja conveniente fazer algumas considerações a respeito das</p><p>eventuais revisões de provas. Embora constitua um direito dos alunos, que deve ser respeitado,</p><p>solicitamos que não seja confundida revisão propriamente dita, ou seja, uma análise e comentários dos</p><p>erros e acertos nas provas, que conduz à manutenção ou não da nota atribuída, com uma lamentação,</p><p>seguida de longas explanações sobre problemas pessoais, familiares, etc., que para o aluno são da maior</p><p>importância, influindo, infelizmente, de um modo negativo no rendimento escolar, mas que não podem</p><p>nas Escolas de maior seriedade, alterar substancialmente os resultados das várias e exaustivas avaliações</p><p>feitas pelas equipes de professores.</p><p>Observamos que nos casos de dúvidas, a prova é avaliada por dois ou mais professores, e que de</p><p>modo geral, as notas são mantidas, salvo erro grosseiro de correção, soma das notas, ou passagens das</p><p>notas. Neste caso, pedimos desculpas pelo erro e corrigimos a nota.</p><p>12-Trabalho Prático – Avaliação n.º 1</p><p>Visando dar um caráter prático a esta introdução, vamos retomar a peça da figura 1, desenhando</p><p>agora em perspectiva na figura 5. Admitindo os seguintes dados:</p><p>Evidentemente que esta peça será oportunamente calculada analiticamente pela Resistência dos</p><p>Materiais Básica, ou de um modo mais sofisticado por um método numérico tipo Elementos Finitos, ou</p><p>ainda analisada com as técnicas de Análise Experimental de Tensões (Extensometria Elétrica).</p><p>Atualmente, desejamos testar apenas a sua intuição e saber qual a capacidade da peça, ou seja,</p><p>qual o valor da máxima carga P1 de tração admissível na peça e qual o valor da máxima carga P2</p><p>admissível que provoca flexão na barra.</p><p>Mais tarde, depois de calculada ou analisada experimentalmente, compararemos a sua “intuição”</p><p>com o valor exato da capacidade da peça a tração e flexão.</p><p>Finalizando, só nos resta desejar e aplicar os nossos esforços, no sentido de que todos os alunos</p><p>obtenham o melhor aproveitamento, desenvolvimento e utilização do curso de Resistência dos Materiais</p><p>da maneira mais agradável possível.</p><p>P2</p><p>P1</p><p>b</p><p>h</p><p>l</p><p>l = 250 mm</p><p>b = 25 mm</p><p>h = 3 mm</p><p>aço comum</p><p>Figura 5 – Qual a capacidade da peça, quanto à Tração (só P1) e à Flexão (só P2)?</p><p>1.9</p><p>2</p><p>a</p><p>Parte – Conceitos Gerais - Orientação Para Estudo</p><p>Nesta edição não serão desenvolvidos os vários Conceitos Gerais da Resistência dos Materiais</p><p>previstos para este capítulo I.</p><p>Recomenda-se que o aluno participe ativamente das aulas do seu curso e utilize como reforço o</p><p>livro texto ou de referência adotado na sua Escola.</p><p>De acordo com a nomenclatura já apresentada no início deste trabalho, neste capítulo deverão ser</p><p>vistas as seguintes grandezas:</p><p>P, N, F............................................................................................................................ Força normal</p><p>V, Q .............................................................................................................................. Força cortante</p><p>M ............................................................................................................................... Momento fletor</p><p>T, MT ........................................................................................................... Momento torçor, torque</p><p> ............................................................................................. Tensão normal, tração ou compressão</p><p> .............................................................................................. Tensão tangencial ou de cisalhamento</p><p> ....................................................................................................................................... Tensão total</p><p>A, S ........................................................................................................... Área da secção transversal</p><p>LIM, LIM ................................................................................................................... Tensões limites</p><p>RT, RC, U ............................................. Tensão limite de resistência (última), tração, compressão</p><p>ET, EC, Y ......................................................... Tensão limite de escoamento, tração, compressão</p><p>ESM, e ....................................................................................................... Tensão de esmagamento</p><p>csT, sT ............................................................................................. Coeficiente de segurança à tração</p><p>csC, sC ................................................................................... Coeficiente de segurança à compressão</p><p>adm, adm,  ,  ,all, all ...................................................................................... Tensão admissível</p><p>Nas aulas, recomenda-se a seguinte seqüência para a apresentação dos seguintes conceitos:</p><p>Tensão – Conceito Elementar; Conceito Geral; Convenção de Sinais; Caso Geral; Equivalência Entre</p><p>Tensões e Esforços Internos Solicitantes; Estados Limites; Cargas Limites; Tensões Limites; Tensões</p><p>Admissíveis; Coeficiente de Segurança; Principais Fatores; Valores Orientativos; Projeto Pelas Condições</p><p>de Rigidez e Resistência; Observações Gerais.</p><p>Com relação ao estudo por livros, por exemplo, nas Escolas que utilizam a referência BEER, F.</p><p>P. e JOHNSTON JR., E. R. – Resistência dos Materiais, Makron Books do Brasil Editora Ltda, São</p><p>Paulo, 1996, recomenda-se estudar os seguintes conceitos gerais dos Capítulos 1 e 2, cujo sumário</p><p>apresenta-se a seguir:</p><p>Página</p><p>Capítulo 1 - Introdução Conceito de Tensão.................................................................................... 1</p><p>1.1 Introdução .............................................................................................................. ........................ 1</p><p>1.2 Forças e Tensões............................................................................................................................. 2</p><p>1.3 Forças Axiais; Tensões Normais........................................................................................... ......... 6</p><p>1.4 Tensões de Cisalhamento............................................................................................................... 10</p><p>1.5 Tensões de Esmagamento................................................................................................... ............ 13</p><p>1.6 Aplicações na Análise de Estruturas Simples................................................................................. 14</p><p>Problema Resolvido 1.1....................................................................................................... ........... 18</p><p>Problemas.................................................................................................................... ................... 20</p><p>1.8 Tensões Para um Caso de Carregamento Qualquer; Componente de Tensões.............................. 31</p><p>1.9 Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança............................................. 37</p><p>Problema Resolvido 1.2....................................................................................................... ........... 41</p><p>Problema Resolvido 1.3....................................................................................................... ........... 44</p><p>Problemas..................................................................................... .................................................. 46</p><p>Revisão e Sumário............................................................................................................ .............. 52</p><p>Problemas de Revisão..................................................................................................................... 57</p><p>Capítulo 2 – Tensão</p><p>e Deformação – Carregamento Axial............................................................ 64</p><p>2.1 Introdução....................................................................................................................................... 64</p><p>2.2 Deformação Específica Normal Sob Carregamento Axial............................................................. 65</p><p>2.3 Diagrama Tensão-deformação........................................................................................................ 68</p><p>2.4 Tensões e Deformações Específicas Verdadeiras...........................................................................75</p><p>2.5 Lei de Hooke, Módulo de Elasticidade...........................................................................................76</p><p>2.6 Comportamento Elástico e Comportamento Plástico dos Materiais.............................................. 77</p><p>2.8 Deformações de Barras Sujeitas à Cargas Axiais........................................................................... 81</p><p>Problema Resolvido 2.1....................................................................................................... ........... 85</p><p>1.10</p><p>Problema Resolvido 2.2....................................................................................................... ........... 87</p><p>Problemas................................................................................................... .................................... 89</p><p>2.11 Coeficiente de Poisson.................................................................................................. ................ 124</p><p>2.14 Deformação de Cisalhamento....................................................................................................... 133</p><p>2.16 Distribuição das Tensões e Deformações Específicas Causadas por</p><p>Carregamento Axial; Princípio de Saint-Venant.......................................................................... 152</p><p>Este capítulo I, de Conceitos Gerais, está ligado ao capítulo II - Complementos de Reações de</p><p>Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes, onde se detalha a determinação dos esforços</p><p>internos solicitantes, Força Normal de Tração e Compressão (P = N) e Força Cortante (V = Q) e ao</p><p>Capítulo IV – Tração, Compressão e Cisalhamento, onde se vê com detalhe as tensões, deformações e</p><p>deslocamentos provocados pelas Força Normal de Tração e Compressão (P = N) e pela Força Cortante (V</p><p>= Q).</p><p>Resumindo, a parte teórica deste Capítulo I – Conceitos Gerais da nossa apostila encontra-se no</p><p>Capitulo 1 – Conceito de Tensão e Capítulo 2 - Tensão e Deformação – Carregamento Axial do BEER-</p><p>JOHNSTON e no capítulo IV – Tração, Compressão e Cisalhamento da apostila. Na próxima edição,</p><p>pretende-se fazer um capítulo I, completo e separado com os Conceitos Gerias da Resistência dos</p><p>Materiais.</p><p>Por enquanto, vamos fazer um resumo dos esforços já estudados</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>toCisalhamen deou Tangencial Tensão</p><p>Compressãoou Tração de Normal Tensão</p><p>TensõessistentesRe Internos</p><p>Torçor MomentoMT</p><p>Fletor Momento M</p><p>Cortante Força QV</p><p>Compressão e Tração de Normal ForçaNP</p><p>esSolicitant Internos</p><p>Reativos</p><p>Ativos</p><p>Externos</p><p>Esforços</p><p>T</p><p>Este quadro será ampliado no final do Capítulo II, após o aprofundamento em cálculo de</p><p>Reações de Apoio e de Diagramas de Esforços Internos Solicitantes.</p><p>V</p><p>A</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>N</p><p>V</p><p>B</p><p>=</p><p>-2</p><p>0</p><p>0</p><p>N</p><p>V</p><p>A</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>0</p><p>N</p><p>N</p><p>A</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>N</p><p>V</p><p>B</p><p>=</p><p>2</p><p>7</p><p>0</p><p>N</p><p>H</p><p>A</p><p>=</p><p>8</p><p>k</p><p>N</p><p>F</p><p>X</p><p>=</p><p>F</p><p>√</p><p>.c</p><p>o</p><p>sα</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>k</p><p>N</p><p>F</p><p>Y</p><p>=</p><p>F</p><p>√</p><p>.s</p><p>en</p><p>α</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>k</p><p>N</p><p>3</p><p>0</p><p>0</p><p>3.0 Este capítulo é a rigor,</p><p>um anexo, pois o assunto é da Física e ou Mecânica.</p><p>CAPÍTULO III</p><p>COMPLEMENTOS</p><p>DE FIGURAS</p><p>PLANAS</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda</p><p>Highlight</p><p>π π</p><p>262</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Respostas:</p><p>a) P≤18850kgf</p><p>b) P≤18000kgf</p><p>P≤10800kgf</p><p>c) P≤21213kgf</p><p>d) P≤14000kgf</p><p>P=10800kgf</p><p>Respostas:</p><p>a) N=VB=4wa</p><p>b) W=5,89kgf/cm</p><p>c) W=14,55kgf/cm</p><p>d) b=1,18.10</p><p>-4</p><p>cm</p><p>F1=135N F2=45N</p><p>CAPÍTULO V</p><p>TENSÕES NORMAIS</p><p>NA FLEXÃO</p><p>5.0</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda</p><p>Colaborador:</p><p>Prof. Werner Mangold</p><p>Como se descreve no anexo de CAE – Computer Aided</p><p>Engeneering (Engenharia Assistida por Computador), o</p><p>primeiro passo para se alcançar todas as potencialidades</p><p>do MEF – Método dos Elementos Finitos, começa aqui, na</p><p>Resistência dos Materiais.</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Respostas:</p><p>σMáx T=3159kgf/cm</p><p>2</p><p>σMáx C=2527kgf/cm</p><p>2</p><p>Resposta:</p><p>σT,C= 1159kgf/cm</p><p>2</p><p>6.0</p><p>CAPÍTULO VI</p><p>DESLOCAMENTOS</p><p>NA FLEXÃO</p><p>Você ainda tem dúvidas da importância da</p><p>Resistência dos Materiais?</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda</p><p>Colaboração:</p><p>MSc. Marcelo Mendes Vieira</p><p>Dr. Antonio Massato Makiyama</p><p>BARDELLA S/A</p><p>INDUSTRIAS MECÂNICAS</p><p>Admite:</p><p>Estagiário em Engenharia</p><p>Requisitos:</p><p> Estar cursando em 2000 o último ano;</p><p> COM BONS CONHECIMENTOS DE RESISTÊNCIA</p><p>DOS MATERIAIS;</p><p> Ter domínio em informática e inglês.</p><p>Interessados enviar curriculum ou comparecer à:</p><p>Bardella S/A Industrias Mecânicas</p><p>Av. Antônio Bardella, n.º 3250</p><p>6.1</p><p>CAPÍTULO VI - DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO</p><p>PARTE I - RESUMO TEÓRICO</p><p>1 - Objetivos</p><p>Basicamente, este capítulo tem o objetivo de ilustrar problemas cuja resolução é a determinação dos</p><p>deslocamentos transversais (flechas) e angulares (rotações) em barras submetidas ao momento fletor, como se</p><p>indica na fig.1.</p><p>Fig. 1 - Ilustração da deformação de uma viga engastada.</p><p>2 - Importância</p><p>Os projetos e dimensionamentos de estruturas devem ser feitos quanto ao critério de resistência,</p><p>relacionado às tensões limites do material e, ao critério de rigidez, relacionado aos deslocamentos máximos da</p><p>estrutura. Neste capítulo será visto como são calculados os deslocamentos transversais (flechas: fy</p><p>MÁX</p><p> ) e</p><p>angulares (rotações:  </p><p>MÁX</p><p>) na estrutura.</p><p>3 - Nomenclatura</p><p>c ..................................................................................................................................... Curvatura</p><p>E ............................................................................ Módulo de elasticidade longitudinal (Young)</p><p>F, P ................................................................................................................... Força concentrada</p><p>f ....................................................................................................................... Flecha admissível</p><p>I ..................................................................................................................... Momento de inércia</p><p>L , l ............................................................................................................. Comprimento da viga</p><p>LN ..............................................................................................................................Linha Neutra</p><p>V ............................................................................................................................. Força cortante</p><p>sT,C ...................................................................... Coeficiente de segurança à tração e compressão</p><p>M ..........................................................................................................................Momento fletor</p><p>y .................................................................................................... Deslocamento vertical (flecha)</p><p>y .............................................................................. Distância da LN ao ponto genérico da secção</p><p>w ........................................................................................................................ Carga distribuída</p><p>6.2</p><p> .............................................................................................................................. Deslocamento</p><p> .................................................................................................... Deformação específica linear</p><p> .......................................................................................................................... Tensão normal</p><p>adm , ......................................................................................................... Tensão admissível</p><p>CT ,lim ........................................................... Tensão limite do material à tração e a compressão</p><p> ,  ......................................................................................... Deslocamento angular (rotação)</p><p> ............................................................................................. Deslocamento angular admissível</p><p> ,R ................................................................................................................... Raio de curvatura</p><p>4 - Hipóteses Fundamentais</p><p>Na solução destes problemas, são admitidas as seguintes hipóteses:</p><p>a) Segundo a "Hipótese de Navier", as secções planas permanecem planas durante a deformação;</p><p>b) O material da estrutura obedece a "Lei de Hooke", ou seja, trabalha no regime elástico,</p><p> .E (1);</p><p>c) Existe uma variação linear das tensões na secção segundo a "Hipótese de Bernoulli" (ver fig.2 e</p><p>eq.2);</p><p>d) Há apenas pequenos deslocamentos.</p><p>5 - Expressão da Curvatura</p><p>Uma barra submetida a um momento fletor, tende a curvar-se conforme ilustra a fig.3. Em sua linha</p><p>neutra não existe deformação, mas a medida que se afasta da mesma, existe a distribuição linear das tensões na</p><p>secção (hipótese de Bernoulli). Logo,</p><p>y</p><p>I</p><p>M</p><p>. (2)</p><p>Fig. 2 - Distribuição linear da tensão (Hipótese de Bernoulli).</p><p>Sendo L o comprimento do trecho AB esquematizado na fig.3, pode-se determinar a sua deformação em</p><p>função de y, pois as secções que contêm os pontos A e B mantêm-se planas (hipótese de Navier) durante a flexão,</p><p>desta forma:</p><p>6.3</p><p>Fig. 3 - Comportamento da barra na flexão.</p><p>. ABL</p><p>(3).</p><p>.</p><p>1</p><p>que, se-Tem</p><p>(1).</p><p>E</p><p>também,se</p><p>.</p><p>.</p><p>Assim,</p><p>´ sendo</p><p>).(´´´</p><p>Ey</p><p>yy</p><p>L</p><p>LL</p><p>yBAL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Combinando as equações (2) e (3), tem-se</p><p>EI</p><p>M</p><p></p><p></p><p>1</p><p>(4)</p><p>* onde E I é o Produto de rigidez à flexão ou Rigidez flexional.</p><p>6 - Cálculo e simplificações</p><p>O inverso do raio ( 1/ ), denominado curvatura, pode ser determinado pela equação (4). Esta expressão</p><p>é clássica do cálculo elementar para obtenção deste termo em curvas planas.</p><p>   2</p><p>3</p><p>22</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>'1</p><p>"</p><p>1</p><p>1</p><p>y</p><p>y</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>yd</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(5)</p><p>Veja que a derivada do deslocamento y em função de x pode ser escrito como sendo a própria rotação,</p><p>portanto</p><p>  tan´</p><p>dx</p><p>dy</p><p>y (6).</p><p>Como a barra é submetida a pequenos deslocamentos , logo 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>dx</p><p>dy</p><p>.</p><p>Desta forma, a equação completa diferencial da curvatura fica reduzida a forma</p><p>2</p><p>21</p><p>dx</p><p>yd</p><p></p><p></p><p>. (7)</p><p>6.4</p><p>Fig. 4 - Esquema da deformação em um elemento infinitesimal.</p><p>Esquematizado na fig.4, pode-se exemplificar de uma outra maneira tal procedimento. Destacando um</p><p>elemento infinitesimal dx, verifica-se que</p><p> ddx . (8).</p><p>Pelas equações (5) e (7), prova-se que</p><p>2</p><p>21</p><p>dx</p><p>yd</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>d</p><p>dx</p><p>d</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(9).</p><p>7 - Equação Diferencial de Linha Elástica</p><p>Combinando as equações (3) e (8), obtêm-se a equação diferencial da linha elástica,</p><p>EI</p><p>xM</p><p>dx</p><p>d</p><p>dx</p><p>yd )(</p><p>2</p><p>2 </p><p></p><p></p><p>ou )(</p><p>2</p><p>2</p><p>xM</p><p>dx</p><p>d</p><p>EI</p><p>dx</p><p>yd</p><p>EI </p><p></p><p>(10).</p><p>8 - Convenções de Sinais</p><p>A seguir, estão expostas duas convenções de coordenadas. Neste capítulo, serão abordados os dois tipos</p><p>de convenções exemplificados nos exercícios resolvidos.</p><p>a) Convenção adotada no livro de Resistência</p><p>dos Materiais dos autores Beer-Johnston e</p><p>em outros livros:</p><p>b) alguns autores também utilizam:</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>6.5</p><p>Em parte deste capítulo, irá trabalhar com a convenção (a) e, portanto, será utilizado o sinal positivo (+)</p><p>na equação diferencial da linha elástica.</p><p>EI</p><p>xM</p><p>dx</p><p>d</p><p>dx</p><p>yd )(</p><p>2</p><p>2 </p><p></p><p></p><p>(10.a)</p><p>E na parte final deste capítulo, utilizar-se-á a convenção (b) e, por conseqüência, será invertido o sinal</p><p>da equação genérica do momento fletor que é introduzida na equação diferencial da linha elástica.</p><p>EI</p><p>xM</p><p>dx</p><p>d</p><p>dx</p><p>yd )(</p><p>2</p><p>2 </p><p></p><p></p><p>(10.b)</p><p>Recomenda-se que os leitores utilizem a convenção (a), ou seja, eixo y das flechas positivas para cima, e</p><p>o eixo x das ordenadas positivas orientadas da esquerda para a direita, sabendo que, o momento fletor é positivo</p><p>quando as fibras inferiores são tracionadas.</p><p>9 - Relações entre Esforços e Deslocamentos</p><p>Admitindo que o produto de rigidez EI é constante ao longo da barra, pode-se fazer as seguintes</p><p>relações:</p><p>al transverstodeslocamen)(  xfy</p><p>angular todeslocamen´  </p><p>dx</p><p>dy</p><p>y</p><p>fletor momento´´</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p>EI</p><p>M</p><p>dx</p><p>yd</p><p>y</p><p>cortante força´´´</p><p>3</p><p>3</p><p></p><p>EI</p><p>V</p><p>dx</p><p>yd</p><p>y V</p><p>dx</p><p>dM</p><p></p><p>adistribuíd carga´´´´</p><p>4</p><p>4</p><p></p><p>EI</p><p>w</p><p>dx</p><p>yd</p><p>y w</p><p>dx</p><p>dV</p><p></p><p>10 - Alguns Processos</p><p>O processo de integração da linha elástica não é o único método para determinação dos deslocamentos e</p><p>das rotações em uma viga. Semelhantes soluções também são encontradas em processos como: Analogia de</p><p>Mohr, Método das Áreas do Momento, Método usando Funções Ressalto, Método da Carga Unitária, Método</p><p>dos Trabalhos Virtuais, Método da Sobreposição de Efeitos, Teorema de Castigliano (Energia), Métodos</p><p>Experimentais (relógio comparador, L.V.D.T., etc.), Métodos Gráficos, Métodos Computacionais tais como o</p><p>Método dos Elementos Finitos, entre outros.</p><p>11 - Processo de Integração da Linha Elástica- Seqüência Geral</p><p>De maneira prática, tal solução pode ser descrita conforme seguem as etapas:</p><p>a) Adotar sistema de referência (direção das coordenadas x e y);</p><p>in</p><p>te</p><p>g</p><p>ra</p><p>çã</p><p>o</p><p>d</p><p>er</p><p>iv</p><p>a</p><p>çã</p><p>o</p><p>6.6</p><p>b) Obter a equação genérica de M(x);</p><p>c) Substituir na Equação Diferencial da Linha Elástica: )(". xMyEI  ;</p><p>d) Efetuar a primeira integração:   1.. CdxMEI  ;</p><p>e) Efetuar a segunda integração: 21... CxCdxMyEI   ;</p><p>f) Determinar C1 e C2 através das condições de contorno do problema;</p><p>g) Escrever as equações finais de  (x) e y(x);</p><p>h) Determinar a rotação  e a flecha y nas secções de interesse.</p><p>PARTE II - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1) Encontrar a equação da linha elástica, deslocamento e rotação no ponto A da viga em balanço:</p><p>Pelo cálculo da reação de apoio verifica-se que o ponto B</p><p>tem:</p><p>PVB  e, LPM B .</p><p>O passo seguinte, é adotar a convenção de sinais. De</p><p>preferência, adota-se a mesma do Beer-Johnston, logo os</p><p>deslocamentos positivos tem o sentido para cima e a</p><p>origem das coordenadas localiza-se no ponto A.</p><p>Tomando a equação genérica do momento, tem-se:</p><p>xPxM .)( </p><p>Com esta convenção de sinais adotada, a equação diferencial da linha elástica agrega a equação genérica</p><p>do momento de forma positiva, assim:</p><p>xPxMyEI .)(". </p><p>Integrando a mesma, obtem-se a equação para o cálculo de rotação da barra,</p><p>P</p><p>VB</p><p>A</p><p>B</p><p>P</p><p>V</p><p>M</p><p>P.L</p><p>L</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>6.7</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>.).('. C</p><p>xP</p><p>EICdxxMyEI </p><p></p><p>   (1)</p><p>E repetindo a operação, tem-se a equação referente ao deslocamento:</p><p>21</p><p>3</p><p>21 .</p><p>6</p><p>.</p><p>..).(. CxC</p><p>xP</p><p>yEICxCdxxMyEI </p><p></p><p>  (2)</p><p>No entanto, as constantes C1 e C2 não foram determinadas. Pelas condições de contorno do problema, é</p><p>possível encontrá-las, tomando:</p><p>- para x = L, a rotação é nula, tem-se pela equação (1) que</p><p>2</p><p>. 2</p><p>1</p><p>LP</p><p>C  , pois a viga neste ponto está</p><p>engastada e, portanto, não sofre nenhum deslocamento angular de imediato;</p><p>- da mesma forma, para x = L, a flecha é nula, e pela equação (2) tem-se que</p><p>3</p><p>. 3</p><p>2</p><p>LP</p><p>C</p><p></p><p> .</p><p>As equações finais da rotação e da linha elástica são, respectivamente:</p><p>2</p><p>.</p><p>.</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>2 LP</p><p>x</p><p>P</p><p>EI </p><p></p><p></p><p>3</p><p>.</p><p>.</p><p>2</p><p>.</p><p>.</p><p>6</p><p>.</p><p>32</p><p>3 LP</p><p>x</p><p>LP</p><p>x</p><p>P</p><p>yEI </p><p></p><p></p><p>Com isso, para se determinar a rotação e a flecha no ponto A, substitui-se o respectivo valor de x</p><p>referente ao ponto desejado. Sendo assim, x = 0 no ponto A, logo:</p><p>EI</p><p>LP</p><p>A</p><p>.2</p><p>. 2</p><p></p><p>EI</p><p>LP</p><p>yA</p><p>.3</p><p>. 3</p><p></p><p>2) Dada a viga bi-articulada com carregamento distribuido uniformente, pede-se:</p><p>a) Reações de apoio e diagramas;</p><p>b) Pelo processo de Integração da Linha Elástica, determinar as rotações nos extremos e a</p><p>flecha no meio do vão;</p><p>Resolução:</p><p>Como todo exercício deste gênero, é imprescindivel o cálculo correto para determinação dos esforços</p><p>internos solicitantes, principalmente, quanto ao momento fletor.</p><p>w</p><p>L/2 L/2</p><p>A B C</p><p>L</p><p>6.8</p><p>Dentro deste procedimento, adota-se a convenção de sinais que, neste caso, é a mesma dos autores Beer-</p><p>Jonhston.</p><p>a) reações de apoio e diagrama de esforços internos solicitantes:</p><p>2</p><p>.</p><p>Lw</p><p>VV</p><p>LwVV</p><p>BA</p><p>BA</p><p></p><p></p><p></p><p>8</p><p>2lw</p><p>M C</p><p></p><p></p><p>b) Cálculo das rotações nos vínculos</p><p>Toma-se a equação genérica do momento fletor. Para tanto pode-se relembrar o procedimento para</p><p>obtênção da equação. Iniciando pelo apoio esquerdo e prosseguindo pelo comprimento da barra, conforme a</p><p>figura a seguir, observa-se que o vínculo A possui uma reação de apoio que gera um momento positivo na</p><p>posição "x" da barra de ordem  xLwxVA .</p><p>2</p><p>..  . No vínculo em si, não existe reação de momento fletor, pois é</p><p>uma articulação. Quanto a carga distribuida, esta se concentra no meio do trecho destacado, portanto seu</p><p>momento fletor, de valor negativo, é igual a</p><p>2</p><p>.. xxw .</p><p>y</p><p>x</p><p>w</p><p>A</p><p>VA</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>w. x</p><p>x / 2</p><p>VA . x (w . x).x / 2</p><p>w</p><p>L / 2 L / 2</p><p>A B C</p><p>VA</p><p>VB</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>V</p><p>+</p><p>M</p><p>+</p><p>w.L / 2</p><p>- w.L / 2</p><p>w.L</p><p>2</p><p>/ 8</p><p>6.9</p><p>Somando os momentos fletores criados por estas forças cortantes (da reação de apoio e da carga</p><p>distribuida), determina-se o momento fletor em uma posição "x". Portanto,</p><p>2.</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>.</p><p>)( x</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>xM </p><p>Em seguida, realiza-se as integrações para obter as equações de rotação e deslocamento da viga. Para as</p><p>constantes de integração, estas devem ser encontradas através das condições de contorno como é mostrado</p><p>adiante. Com isso, é possível calcular o deslocamento da viga no ponto desejado.</p><p>Equação do momento em função de x:</p><p>2</p><p>22</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>M </p><p></p><p></p><p>2</p><p>22</p><p>". x</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>MyEI </p><p></p><p></p><p>Integrando-a, tem-se:</p><p>21</p><p>43</p><p>1</p><p>32</p><p>2412</p><p>.</p><p>64</p><p>.</p><p>CxCx</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>yEI</p><p>Cx</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>EI</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Condições de contorno:</p><p>24</p><p>0</p><p>2</p><p>para-</p><p>000 para-</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>Lw</p><p>C</p><p>L</p><p>x</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E as equações finais:</p><p>x</p><p>Lw</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>yEI</p><p>Lw</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>Lw</p><p>EI</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>242412</p><p>.</p><p>2464</p><p>.</p><p>3</p><p>43</p><p>3</p><p>32</p><p>Desta forma, os deslocamentos angulares dos apoios (A e B) e a flecha no centro (C) será:</p><p>- ponto A, x = 0 :</p><p>EI</p><p>Lw</p><p>A</p><p>.24</p><p>. 3</p><p></p><p>- ponto B, x = L :</p><p>EI</p><p>Lw</p><p>B</p><p>.24</p><p>. 3</p><p></p><p>- ponto C, x = L / 2 :</p><p>EI</p><p>Lw</p><p>yC</p><p>.384</p><p>..5 4</p><p></p><p>3) Uma viga bi-articulada está submetida a um momento externo M0. Pede-se:</p><p>a) diagrama de esforços internos solicitantes;</p><p>b) determinar as equações de deslocamento e rotação literalmente da barra;</p><p>c) as rotações dos pontos A e B, nas formas literais e numéricas;</p><p>d) a rotação e a flecha no ponto C (no meio da viga), literalmente e numericamente;</p><p>e) encontrar a posição e o valor da flecha máxima na barra.</p><p>6.10</p><p>Dados:   444 290</p><p>64</p><p>cmdDI </p><p></p><p>E = 20 . 10</p><p>6</p><p>N/cm</p><p>2</p><p>L = 200 cm</p><p>M0 = 2 . 10</p><p>6</p><p>N.cm</p><p>Perfil tubular ( D = 10 cm e  d = 8 cm)</p><p>Resolução:</p><p>a) O cálculo das reações de apoio se torna fato integrante para solução da deformação da viga. Mas</p><p>antes disso, adotar-se-á a convenção de sinais que é utilizado pelo Beer-Johnston, logo</p><p>L</p><p>M</p><p>V A</p><p>0 e</p><p>L</p><p>M</p><p>VB</p><p>0</p><p>Assim, o diagrama de esforços internos solicitantes está representado a seguir:</p><p>b) Obedecendo o roteiro para o cálculo do</p><p>deslocamento de vigas (visto na seção</p><p>11 deste capítulo), deve-se obter a</p><p>equação genérica do momento em</p><p>função da posição no eixo, portanto</p><p>x</p><p>L</p><p>M</p><p>MxVMxM A</p><p>0</p><p>00)( </p><p>Substitui-se na Equação Diferencial da Linha Elástica: 0</p><p>0,, )( Mx</p><p>L</p><p>M</p><p>xMyEI </p><p>Integrando a equação: 10</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>.2</p><p>).( CxM</p><p>L</p><p>xM</p><p>CdxxMEI </p><p></p><p> </p><p>y</p><p>x</p><p>EI constante</p><p>L</p><p>M0</p><p>A B</p><p>C</p><p>L / 2</p><p>M0</p><p>A B</p><p>C</p><p>M0 / L =10</p><p>4</p><p>N</p><p>V</p><p>M</p><p>M0 = -2 . 10</p><p>6</p><p>N.cm</p><p>y</p><p>x</p><p>VB VA</p><p>6.11</p><p>Integrando novamente: 21</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>26</p><p>CxC</p><p>xM</p><p>L</p><p>xM</p><p>yEI </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A seguir, deve-se encontrar as constantes C1 e C2 através das condições de contorno:</p><p>3</p><p>0 para-</p><p>000 para-</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>LM</p><p>CyLx</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p></p><p>Desta forma, as equações finais serão:</p><p>3.2</p><p>0</p><p>0</p><p>20 LM</p><p>xMx</p><p>L</p><p>M</p><p>EI</p><p></p><p></p><p>x</p><p>LM</p><p>x</p><p>M</p><p>x</p><p>L</p><p>M</p><p>yEI </p><p></p><p></p><p>326</p><p>02030</p><p>c) Rotações nos pontos A e B:</p><p>rad</p><p>EI</p><p>LM</p><p>x A</p><p>30 10.766,7</p><p>.3</p><p>.</p><p>A ponto no 0 sendo -  </p><p>rad</p><p>EI</p><p>LM</p><p>Lx B</p><p>30 10.831,3</p><p>.6</p><p>.</p><p>B ponto no e -  </p><p>d) rotação e flecha no ponto C:</p><p>cm</p><p>EI</p><p>LM</p><p>y</p><p>rad</p><p>EI</p><p>LM</p><p>Lx</p><p>C</p><p>C</p><p>431,0</p><p>.16</p><p>.</p><p>10.958,0</p><p>.24</p><p>.</p><p>C ponto no2 para-</p><p>2</p><p>0</p><p>30</p><p></p><p> </p><p>e) Na barra, a flecha possuirá valor de máximo quando a sua derivada for nula, ou seja, no ponto cuja</p><p>a rotação é nula, no caso 0</p><p>dx</p><p>dy</p><p>.</p><p>- igualando a zero a equação da rotação: 0</p><p>3.2</p><p>0</p><p>0</p><p>20 </p><p></p><p></p><p>LM</p><p>xMx</p><p>L</p><p>M</p><p>EI</p><p>dx</p><p>dy</p><p>EI </p><p>- esta equação tem duas raízes como solução:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>3</p><p>13</p><p>.Lx , no entanto, a raiz válida está dentro</p><p>do intervalo do comprimento da barra, portanto, cmLLxm 53,84423,0</p><p>3</p><p>13</p><p>. </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>- neste caso, a flecha tem valor máximo de cmym 885,0 .</p><p>4) Para a viga abaixo, pede-se:</p><p>6.12</p><p>a) reações de apoio e diagramas;</p><p>b) dimensionar a espessura "a" pela condição de resistência à flexão</p><p>   ;</p><p>c) demonstrar pelo processo de Integração da Linha Elástica que a</p><p>flecha no meio do vão vale: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>Lw</p><p>E</p><p>LF</p><p>fc</p><p>384</p><p>5</p><p>48</p><p>43</p><p>;</p><p>d) dimensionar pela condição de rigidez a flexão  ffc  .</p><p>Dados:</p><p>cm</p><p>l</p><p>f</p><p>cmKgfE</p><p>mcmL</p><p>cmKgf</p><p>mKgfw</p><p>KgfF</p><p>1</p><p>600</p><p>/101,2</p><p>6600</p><p>/400.1</p><p>/500</p><p>000.5</p><p>26</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Resolução:</p><p>O processo de resolução deste exercício tomará o mesmo procedimento descrito na seção 9 deste</p><p>capítulo, no entanto, também cumprirá com o que foi pedido no problema.</p><p>A convenção de sinais adotada aqui é a mesma dos autores Beer-Johnston.</p><p>a) reações de apoio e diagrama de esforços internos solicitantes:</p><p>kgf</p><p>Lw</p><p>VV</p><p>kgf</p><p>LwF</p><p>VV</p><p>kgfLwFVV</p><p>AC</p><p>BA</p><p>BA</p><p>500.2500.1000.4</p><p>2</p><p>000.4500.1500.2</p><p>22</p><p>000.8.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>cmkgfM</p><p>mkgf</p><p>LwLF</p><p>M</p><p>C</p><p>C</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>000.975</p><p>750.9250.2500.7</p><p>84</p><p>2</p><p>a</p><p>6a</p><p>a</p><p>a</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>10a</p><p>F</p><p>w</p><p>L/2 L/2</p><p>A B C</p><p>6.13</p><p>b) dimensionar pela condição de resistência:</p><p> </p><p>cma</p><p>aW</p><p>M</p><p>a</p><p>a</p><p>W</p><p>a</p><p>aaaa</p><p>X</p><p>X</p><p>X</p><p>19,2</p><p>400.1</p><p>87,65</p><p>10975</p><p>87,65</p><p>5</p><p>3,329</p><p>12</p><p>)8(410.6</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>33</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>c) Demonstração da flecha no ponto C:</p><p>Para o cálculo da flecha em C, toma-se a equação genérica do momento fletor. Em seguida, realiza-se as</p><p>integrações para obter as equações de rotação e deslocamento da viga. Para as constantes de integração, estas</p><p>devem ser encontradas através das condições de contorno como é mostrado adiante. Com isso, é possível calcular</p><p>o deslocamento da viga no ponto desejado.</p><p>Neste caso, usa-se a condição de simetria, pois a viga e o carregamento são simétricos e a rotação é</p><p>obrigatoriamente nula no centro de sua extensão e, portanto, encontra-se com um valor máximo de flecha neste</p><p>local.</p><p>Equação do momento em função de x:</p><p>222</p><p>2xw</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>F</p><p>M</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>222</p><p>".</p><p>2xw</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>F</p><p>MyEI</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Integrando-a, tem-se:</p><p>21</p><p>433</p><p>1</p><p>322</p><p>241212</p><p>.</p><p>644</p><p>.</p><p>CxC</p><p>xwxlwxF</p><p>yEI</p><p>C</p><p>xwxlwxF</p><p>EI</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Condições de contorno:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>lw</p><p>E</p><p>lF</p><p>f</p><p>l</p><p>x</p><p>lwlF</p><p>C</p><p>l</p><p>x</p><p>Cyx</p><p>C</p><p>384</p><p>5</p><p>482</p><p>:Logo</p><p>24</p><p>1</p><p>48</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>para-</p><p>000 para-</p><p>43</p><p>32</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p>F=5000</p><p>w=500</p><p>l/2 l/2</p><p>A B C</p><p>VA=4000 VB=4000</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>-</p><p>V</p><p>+</p><p>M</p><p>+</p><p>4000</p><p>4000</p><p>2500</p><p>2500</p><p>9750</p><p>6.14</p><p>d) dimensionar por rigidez à flexão:</p><p>É comum que uma viga não deva ultrapassar certos valores de flecha em um projeto. Para isso, o cálculo</p><p>pelo processo da integração da linha elástica torna-se uma ferramenta útil para estes casos. Como o carregamento</p><p>em toda a viga é simétrico, consequentemente, a flecha máxima coincide em seu centro. Desta forma, o cálculo</p><p>da espessura "a" fica sendo</p><p>cma</p><p>aa</p><p>fC</p><p>59,2</p><p>1</p><p>329101,2384</p><p>60055</p><p>3,329101,248</p><p>600000.5</p><p>46</p><p>4</p><p>46</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Desta maneira, em um projeto, seria escolhida a espessura mínima calculada pelo critério de rigidez,</p><p>pois assim, satisfaria os dois critérios.</p><p>Obs.: Este e muitos outros problemas, do ponto de vista prático, pode ser feito utilizando os</p><p>resultados do Anexo VI – Deslocamentos na Flexão e aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos.</p><p>5) Pelo processo da integração da linha elástica, determinar:</p><p>a) rotação e flecha da seção A</p><p>b) rotação e flecha da seção C</p><p>c) esboçar a linha elástica.</p><p>Dados: w, a , E, I</p><p> Não é necessário determinar as reações de apoio e os diagramas.</p><p>Resolução:</p><p>Trecho AB</p><p>22</p><p>..</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>wx</p><p>waxwaM</p><p>x</p><p>wxxFMM </p><p> Equação Diferencial da L.E.</p><p>6.15</p><p>M</p><p>dx</p><p>d</p><p>EI</p><p>dx</p><p>yd</p><p>EI </p><p></p><p>2</p><p>2</p><p> 1a integração</p><p>1</p><p>3</p><p>22</p><p>62</p><p>C</p><p>wx</p><p>x</p><p>wa</p><p>xwaEI  (1)</p><p> 2a integração</p><p>21</p><p>4</p><p>32</p><p>2</p><p>2462</p><p>CxC</p><p>wx</p><p>x</p><p>wa</p><p>x</p><p>wa</p><p>EIy  (2)</p><p> Condições de contorno</p><p>a) P/ x=3a (em B)  0 Da Eq. 1</p><p>1</p><p>3</p><p>22</p><p>62</p><p>0 C</p><p>wx</p><p>x</p><p>wa</p><p>xwa  3</p><p>1 12waC </p><p>b) P/ x=3a (em B)  0y Da Eq. 2</p><p>44</p><p>2</p><p>2</p><p>4444</p><p>625,23</p><p>8</p><p>189</p><p>36</p><p>24</p><p>81</p><p>6</p><p>27</p><p>2</p><p>9</p><p>0</p><p>wawaC</p><p>Cwawawawa</p><p></p><p></p><p> Equações Finais</p><p>43</p><p>4</p><p>32</p><p>2</p><p>8</p><p>189</p><p>12</p><p>2462</p><p>. waxwa</p><p>wx</p><p>x</p><p>wa</p><p>x</p><p>wa</p><p>yEI </p><p>3</p><p>3</p><p>22 12</p><p>62</p><p>. wa</p><p>wx</p><p>x</p><p>wa</p><p>xwaEI </p><p>-</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>EI</p><p>wa</p><p>EI</p><p>wa</p><p>y</p><p>EI</p><p>wa</p><p>x</p><p>A</p><p>A</p><p>44</p><p>3</p><p>8</p><p>189</p><p>625,23</p><p>12</p><p>0 para</p><p></p><p> Trecho AC – reta</p><p>yyy</p><p>a</p><p>y</p><p>AC</p><p>y</p><p>tg</p><p>AC</p><p>AC</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>EI</p><p>wa</p><p>y</p><p>EI</p><p>wa</p><p>y</p><p>EI</p><p>wa</p><p>ay</p><p>CC</p><p>A</p><p>44</p><p>2</p><p>625,3512625,23</p><p>12</p><p>.</p><p></p><p> </p><p>Respostas:</p><p>EI</p><p>w</p><p>A</p><p>a³</p><p>12</p><p>EI</p><p>w</p><p>YA</p><p>4a</p><p>625,23</p><p>6.16</p><p>EI</p><p>w</p><p>C</p><p>a³</p><p>12</p><p>EI</p><p>wa</p><p>YC</p><p>4</p><p>625,35</p><p>6) Determinar a rotação do apoio A e a flecha da secção C pelo processo da integração da linha elástica.</p><p>Dados: E, I, w, Mo, a.</p><p>(2) 21</p><p>2462</p><p>(1) 1</p><p>62</p><p>2</p><p>432</p><p>32</p><p>2</p><p>,,</p><p>CxC</p><p>xwx</p><p>aw</p><p>xM</p><p>yIE</p><p>C</p><p>xwx</p><p>awxMIE</p><p>xw</p><p>xawMMyIE</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>aM</p><p>aw</p><p>Cyax</p><p>Cyx</p><p>O </p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>102</p><p>0200</p><p>contorno de Condições</p><p>3</p><p>xaMx</p><p>awxwxawxM</p><p>yIE</p><p>aM</p><p>awxwx</p><p>awxMIE</p><p>O</p><p>O</p><p>OO</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>32462</p><p>362</p><p>finais Equações</p><p>3432</p><p>332</p><p></p><p>IE</p><p>aM</p><p>IE</p><p>aw</p><p>yax</p><p>IE</p><p>aM</p><p>IE</p><p>aw</p><p>x</p><p>O</p><p>C</p><p>O</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>224</p><p>5</p><p>p/</p><p>3</p><p>0p/</p><p>Respostas</p><p>4</p><p>3</p><p></p><p>A C B</p><p>x</p><p>a a</p><p>VB</p><p>y</p><p>x</p><p>Mo Mo</p><p>R=2·w·a</p><p>w</p><p>2</p><p>2xw</p><p>xVMM</p><p>awVV</p><p>AO</p><p>BA</p><p></p><p></p><p></p><p>6.17</p><p>7) Determinar as rotações dos apoios A e B e o máximo deslocamento vertical.</p><p>(usar o processo da integração da Linha Elástica)</p><p>Dados: M0, l, E.I= constante.</p><p>21</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>00</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p>..</p><p>2</p><p>2</p><p>..</p><p>2</p><p>"..</p><p>2</p><p>e</p><p>2</p><p>CxC</p><p>x</p><p>l</p><p>Mx</p><p>MyIE</p><p>C</p><p>x</p><p>l</p><p>M</p><p>xMIE</p><p>x</p><p>l</p><p>M</p><p>MyIE</p><p>Mx</p><p>l</p><p>M</p><p>M</p><p>l</p><p>M</p><p>VA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>IE</p><p>lM</p><p>lx</p><p>IE</p><p>lM</p><p>x</p><p>lM</p><p>ClC</p><p>lMlM</p><p>ylx</p><p>Cyx</p><p>B</p><p>A</p><p>.6</p><p>.6</p><p>0</p><p>632</p><p>00</p><p>000</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>11</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>VB</p><p>M0 M0</p><p>A B</p><p>l</p><p>VA</p><p>x</p><p>B</p><p>x</p><p>y</p><p>6.18</p><p>l0,2113 x"para</p><p>016,0</p><p>ou</p><p>l0,7886 x'para</p><p>016,0</p><p>016,0..</p><p>2113,0"</p><p>7886,0'</p><p>12</p><p>126</p><p>12</p><p>24366</p><p>066</p><p>0</p><p>6</p><p>66</p><p>0</p><p>6</p><p>0</p><p>6</p><p>:tosdeslocamen máximos dos cálculo</p><p>2</p><p>0</p><p>max</p><p>2</p><p>0</p><p>max0max</p><p>22</p><p>22</p><p>222</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>lM</p><p>y</p><p>E</p><p>lM</p><p>yMyIE</p><p>lx</p><p>lxlllll</p><p>x</p><p>lxlx</p><p>l</p><p>lxlxl</p><p>x</p><p>l</p><p>xlM</p><p>l</p><p>xM</p><p>xM</p><p>8) Na viga abaixo, determinar as rotações dos apoios “A” e “B”, e o deslocamento vertical da secção “C”. (usar o</p><p>processo da integração da Linha Elástica).</p><p>Dados: M0, a, E e I.</p><p>x</p><p>a</p><p>M</p><p>MM</p><p>a</p><p>M</p><p>VA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p></p><p>21</p><p>2030</p><p>10</p><p>20</p><p>0</p><p>0</p><p>29</p><p>..</p><p>23</p><p>2</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>"..</p><p>CxCx</p><p>M</p><p>x</p><p>a</p><p>M</p><p>yIE</p><p>CxMx</p><p>a</p><p>M</p><p>IE</p><p>Mx</p><p>a</p><p>M</p><p>MyIE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>aMCa</p><p>M</p><p>aMCa</p><p>aCa</p><p>M</p><p>a</p><p>a</p><p>M</p><p>yax</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>01</p><p>203</p><p>01</p><p>1</p><p>2030</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>9</p><p>33</p><p>3</p><p>2</p><p>9</p><p>9</p><p>27</p><p>003</p><p>000</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>aM</p><p>x</p><p>A</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>M0 M0</p><p>A B C</p><p>a 3a</p><p>VA</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>2a</p><p>6.19</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>aM</p><p>yaaMa</p><p>M</p><p>a</p><p>a</p><p>M</p><p>yIE</p><p>ax</p><p>E</p><p>aM</p><p>aMaMa</p><p>a</p><p>M</p><p>IE</p><p>ax</p><p>CC</p><p>BB</p><p>92</p><p>1</p><p>29</p><p>..</p><p>22</p><p>1</p><p>)3()3(</p><p>3</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>2030</p><p>0</p><p>00</p><p>20 </p><p>9) Viga bi-apoiada com carga concentrada com balanço</p><p>a) Reações de apoio e diagramas de esforços</p><p>internos solicitantes</p><p>b) A, C, B, D, YC, YD pelo processo da I.LE</p><p>c) A, YC numericamente</p><p>Perfil “” W130 x 23,8</p><p>Ix = 8,8710</p><p>4</p><p>mm</p><p>4</p><p>Wx = 139,410³mm³</p><p>P = 50 kN</p><p>l = 1,25 m</p><p>a = 1,0 m</p><p>Eaço = 200 GPa</p><p>E.I = 1,77410</p><p>6</p><p>N/m²</p><p>A C B D</p><p>A B θB</p><p>YD</p><p>l/2 l/2 a</p><p>YC</p><p>C</p><p>P/2 P/2</p><p>y</p><p>x</p><p>P</p><p>(+)</p><p>(-)</p><p>P/2</p><p>P/2</p><p>P·l/4</p><p>V</p><p>M</p><p>D</p><p>6.20</p><p>x</p><p>lPxP</p><p>yIE</p><p>lPxP</p><p>IE</p><p>lP</p><p>C</p><p>l</p><p>x</p><p>Cyx</p><p>CxC</p><p>xP</p><p>yIE</p><p>C</p><p>xP</p><p>IE</p><p>x</p><p>P</p><p>yIE</p><p>x</p><p>P</p><p>M</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1612</p><p>164</p><p>finais Equações</p><p>16</p><p>10</p><p>2</p><p>0200</p><p>contorno de Condições</p><p>(2) 21</p><p>12</p><p>(1) 1</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>AC Trecho</p><p>23</p><p>22</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>,,</p><p></p><p></p><p></p><p>(reta)</p><p>(simetria)</p><p>16</p><p>(simetria) 0</p><p>16</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>BD</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>IE</p><p>lP</p><p>IE</p><p>lP</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mmm</p><p>IE</p><p>y</p><p>rad</p><p>a</p><p>IE</p><p>lP</p><p>ay</p><p>a</p><p>y</p><p>tg</p><p>C</p><p>A</p><p>BD</p><p>D</p><p>BB</p><p>BD</p><p>147,110147,1</p><p>48</p><p>25,150000</p><p>15,0</p><p>180</p><p>1075,2</p><p>10774,116</p><p>25,150000</p><p>nteNumericame</p><p>16</p><p>reta - BD Trecho</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10) Determinar:</p><p>a) Reações de apoio e diagramas de esforços internos solicitantes</p><p>b) A e YC, literalmente pelo processo da I.L.E.</p><p>c) A e YC, numericamente</p><p>d) max</p><p>6.21</p><p>aP</p><p>xw</p><p>x</p><p>lw</p><p>M</p><p>aP</p><p>xw</p><p>xPxVM</p><p>xw</p><p>lw</p><p>xwPVV</p><p>A</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>(2) 21</p><p>22412</p><p>(1) 1</p><p>64</p><p>22</p><p>243</p><p>32</p><p>2</p><p>,,</p><p>CxC</p><p>xaPxwxlw</p><p>yIE</p><p>CxaP</p><p>xwxlw</p><p>IE</p><p>MaP</p><p>xw</p><p>x</p><p>lw</p><p>yIE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Condições de contorno:</p><p>224</p><p>10</p><p>2</p><p>ou 0</p><p>0200</p><p>3 laPlw</p><p>C</p><p>l</p><p>xylx</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mmy</p><p>IE</p><p>laP</p><p>IE</p><p>lw</p><p>y</p><p>rad</p><p>IE</p><p>laP</p><p>IE</p><p>lw</p><p>CC</p><p>AA</p><p>75,2</p><p>824</p><p>5</p><p>58,01016,10</p><p>224</p><p>c) e b)</p><p>24</p><p>3</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>2</p><p>a)</p><p>5936</p><p>10448,82</p><p>82448</p><p>64</p><p>2</p><p>49</p><p>4</p><p>4</p><p>lw</p><p>PVV</p><p>mNIE</p><p>mI</p><p>mm</p><p>d</p><p>I</p><p>BA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>P P</p><p>A B</p><p>D E</p><p>C</p><p>w</p><p>a l/2 l/2 a</p><p>VA VB</p><p>(+) (+)</p><p>(-) (-)</p><p>wl</p><p>wl</p><p>P</p><p>P</p><p>V</p><p>M</p><p>Pa Pa</p><p>aP</p><p>lw</p><p></p><p></p><p>8</p><p>2</p><p>Dados:</p><p>w = 4 kN/m</p><p>P = 250 N</p><p>Ød = 36 mm</p><p>l = 800 mm</p><p>a = 250 mm</p><p>E = 72 GPa</p><p>y</p><p>x</p><p>6.22</p><p>22</p><p>69</p><p>2</p><p>cmkgf562mmkgf62,5MPa 2,56</p><p>10</p><p>1</p><p>018,0</p><p>10448,82</p><p>5,257</p><p>N.m 5,2575,62320</p><p>8</p><p>d)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>MAX</p><p>C</p><p>C</p><p>MAX</p><p>aP</p><p>lw</p><p>M</p><p>y</p><p>I</p><p>M</p><p></p><p></p><p>11) Determinar a rotação do apoio A e a flecha da secção central C.</p><p>Dados: w, a, E, I.</p><p>a</p><p>xwxw</p><p>Area</p><p>x</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>a</p><p>w</p><p>x</p><p>w</p><p>VVR</p><p>aw</p><p>R</p><p>aw</p><p>aw</p><p>R</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>BA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>21</p><p>(2) 21</p><p>12120</p><p>(1) 1</p><p>424</p><p>26</p><p>623</p><p>35</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>,,</p><p>3</p><p>CxC</p><p>xaw</p><p>a</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>Cx</p><p>aw</p><p>a</p><p>xw</p><p>IE</p><p>x</p><p>aw</p><p>a</p><p>xw</p><p>MyIE</p><p>a</p><p>xw</p><p>x</p><p>awx</p><p>AreaxVM A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>24</p><p>5</p><p>10</p><p>0200</p><p>contorno de Condições</p><p>awCax</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p></p><p>xaw</p><p>xaw</p><p>a</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>aw</p><p>xaw</p><p>a</p><p>xw</p><p>IE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>35</p><p>3</p><p>24</p><p>24</p><p>5</p><p>12120</p><p>24</p><p>5</p><p>424</p><p>finais Equações</p><p></p><p>R1 R R2</p><p>w</p><p>y</p><p>VB</p><p>x</p><p>A C B</p><p>a a</p><p>Área</p><p>VA</p><p>6.23</p><p>IE</p><p>aw</p><p>yax</p><p>IE</p><p>aw</p><p>x</p><p>C</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>3</p><p>15</p><p>2</p><p>para</p><p>24</p><p>5</p><p>0 para</p><p>Respostas</p><p></p><p> A seguir, dos exercícios 12 ao 26, estão expostas resoluções onde a convenção de sinais tem como sinal</p><p>positivo os deslocamentos de sentido descendente.</p><p>12) Utilizando a equação diferencial da linha elástica para a barra carregada conforme a figura, pede-se:</p><p>a) determinar as rotações das secções A e B.</p><p>b) determinar o deslocamento vertical YC da secção C.</p><p>Dados: w, l, E, I.</p><p>3</p><p>22</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>,,</p><p>,,</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>7</p><p>102</p><p>0200</p><p>21</p><p>24</p><p>12</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>lwCylx</p><p>Cyx</p><p>CxCxlw</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>Cxlw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>lw</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>MyIE</p><p>xw</p><p>lwM</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A B</p><p>C</p><p>0</p><p>2</p><p>02422</p><p>0</p><p>222</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>V</p><p>lwV</p><p>Vllwlwlw</p><p>M</p><p>2wl² 4wl²</p><p>w</p><p>l l</p><p>2l VA VB</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>6.24</p><p>IE</p><p>lw</p><p>ylx</p><p>xlwxlw</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>IE</p><p>lw</p><p>lx</p><p>IE</p><p>lw</p><p>x</p><p>lwxlw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>24</p><p>31</p><p>3</p><p>7</p><p>24</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>7</p><p>0</p><p>3</p><p>7</p><p>2</p><p>6</p><p>4</p><p>322</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>32</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p>13) Determinar a rotação do apoio A e a flecha da secção C.</p><p>Dados: w, a, E, I.</p><p>0</p><p>2</p><p>4222 0</p><p>2 0</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>B</p><p>BA</p><p>BAY</p><p>V</p><p>awV</p><p>awawawaVM</p><p>awRVVF</p><p>(2) 21</p><p>2</p><p>4</p><p>24</p><p>(1) 14</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>24</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>,,</p><p>2</p><p>2</p><p>CxCx</p><p>awxw</p><p>yIE</p><p>Cxaw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>aw</p><p>xw</p><p>MyIE</p><p>xw</p><p>awM</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4·w·a² 2·w·a²</p><p>a a</p><p>R=2·w·a</p><p>w</p><p>x</p><p>y</p><p>A C B</p><p>VB VA</p><p>x</p><p>6.25</p><p>IE</p><p>aw</p><p>yaxxawxaw</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>IE</p><p>aw</p><p>xawxaw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>awCyax</p><p>Cyx</p><p>C</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>322</p><p>4</p><p>3</p><p>32</p><p>3</p><p>3</p><p>24</p><p>41</p><p>p/</p><p>3</p><p>11</p><p>2</p><p>24</p><p>3</p><p>11</p><p>0p/</p><p>3</p><p>11</p><p>4</p><p>6</p><p>:Respostas :Finais Equações</p><p>3</p><p>11</p><p>102</p><p>0200</p><p>contorno de Condições</p><p></p><p>14) Determinar para a viga abaixo, usando processo integração da L.E.:</p><p>a) B em função de M0, w, l, E e ;</p><p>b) yC em função de M0, w, l, E e ;</p><p>c) dimensão de “d” da secção para fyC  (numericamente).</p><p>Dados:</p><p>600</p><p>/ 2</p><p>1</p><p>3</p><p>/101,2</p><p>0</p><p>26</p><p>l</p><p>f</p><p>mtfw</p><p>mtfM</p><p>ml</p><p>cmKgfE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>018,0</p><p>36</p><p>)866,0(</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>4</p><p>3</p><p>xw</p><p>Mx</p><p>l</p><p>Mlwxw</p><p>MxVM</p><p>l</p><p>Mlw</p><p>V</p><p>l</p><p>Mlw</p><p>V</p><p>d</p><p>dd</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>LN</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d d</p><p>d</p><p>Plano das cargas</p><p>LN</p><p>Secção transversal</p><p>M0</p><p>A B</p><p>w</p><p>2M0</p><p>l</p><p>l/2</p><p>x</p><p>C</p><p>6.26</p><p>lM</p><p>lw</p><p>ClClM</p><p>lMlwlw</p><p>ylx</p><p>Cyx</p><p>CxCxMx</p><p>l</p><p>M</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>yIE</p><p>CxMx</p><p>l</p><p>M</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>IE</p><p>Mx</p><p>l</p><p>M</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>MyIE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>3</p><p>11</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>44</p><p>2</p><p>21</p><p>2</p><p>0</p><p>3034</p><p>10</p><p>2023</p><p>0</p><p>02</p><p>2</p><p>1</p><p>2421224</p><p>00</p><p>000</p><p>21224</p><p>..</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>46</p><p>..</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>"..</p><p></p><p>lMlwIE</p><p>lM</p><p>lw</p><p>lM</p><p>lMlw</p><p>l</p><p>w</p><p>IE</p><p>lx</p><p>B</p><p>B</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>0</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>143</p><p>24</p><p>164</p><p>..</p><p>2</p><p>1</p><p>24</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>46</p><p>..</p><p>para</p><p></p><p></p><p>IE</p><p>lM</p><p>IE</p><p>lw</p><p>y</p><p>lMlw</p><p>yIE</p><p>lMlwyIE</p><p>l</p><p>lM</p><p>llwlMlMlwlw</p><p>yIE</p><p>para</p><p>IE</p><p>lw</p><p>C</p><p>C</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>.16.384</p><p>5</p><p>b)</p><p>16384</p><p>5</p><p>..</p><p>16</p><p>441</p><p>384</p><p>841</p><p>..</p><p>22</p><p>1</p><p>224222122242</p><p>..</p><p>2</p><p>l</p><p>x</p><p>.24</p><p>a)</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>0</p><p>32</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>cmd</p><p>d</p><p>d</p><p>yIE</p><p>yIE</p><p>C</p><p>C</p><p>5,54 c)</p><p>964.816.8</p><p>10666,1</p><p>600</p><p>300</p><p>018,0101,2</p><p>10666,1..</p><p>)300(000.100</p><p>16</p><p>1</p><p>)300(20</p><p>384</p><p>5</p><p>..</p><p>4</p><p>1146</p><p>11</p><p>24</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6.27</p><p>15) Usando a equação diferencial da linha elástica, calcular :</p><p>a) Rotação em A, B e C.</p><p>b) Flecha em C.</p><p>c) Esboçar a linha elástica.</p><p>Dados: w, a, E, I.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>01</p><p>02</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>21</p><p>42424</p><p>5</p><p>1</p><p>268</p><p>5</p><p>224</p><p>5</p><p>224</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>224</p><p>3</p><p>23</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>C</p><p>C</p><p>y</p><p>ax</p><p>x</p><p>CxC</p><p>xawxw</p><p>xawyIE</p><p>Cx</p><p>awxw</p><p>xawIE</p><p>awxw</p><p>xaw</p><p>dx</p><p>d</p><p>IE</p><p>dx</p><p>yd</p><p>IE</p><p>a</p><p>w</p><p>xw</p><p>xawM</p><p>awVawV BA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>IE</p><p>aw</p><p>y</p><p>IE</p><p>aw</p><p>axCpto</p><p>IE</p><p>aw</p><p>axBpto</p><p>xApto</p><p>xawxw</p><p>xawyIE</p><p>x</p><p>awxw</p><p>xawIE</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>12</p><p>24</p><p>. b)</p><p>6</p><p>2.</p><p>00.</p><p>a)</p><p>4248</p><p>5</p><p>268</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>224</p><p>3</p><p>23</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>c)</p><p>16) Calcular por integração da equação diferencial da linha elástica:</p><p>A</p><p>C</p><p>B YC</p><p>wa²</p><p>2 w</p><p>x</p><p>VA VB</p><p>y</p><p>2a</p><p>A B C a C</p><p>6.28</p><p>a) Rotação em A, B, C e D, (A, B, C, e D);</p><p>b) Flechas em C e D, (fC e fD);</p><p>c) Esboçar a linha elástica da barra.</p><p>Dados: M0, E, , l, a.</p><p>2</p><p>0</p><p>000</p><p>2</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>..</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>..</p><p>2</p><p>3</p><p>"..</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>21</p><p>2030</p><p>10</p><p>20</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>lM</p><p>Cylx</p><p>Cyx</p><p>CxCx</p><p>M</p><p>x</p><p>l</p><p>M</p><p>yIE</p><p>CxMx</p><p>l</p><p>M</p><p>IE</p><p>Mx</p><p>l</p><p>M</p><p>MyIE</p><p>x</p><p>l</p><p>M</p><p>MM x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>IE</p><p>lM</p><p>f</p><p>l</p><p>xp</p><p>IE</p><p>lMl</p><p>xp</p><p>lxp</p><p>IE</p><p>lM</p><p>xp</p><p>x</p><p>l</p><p>x</p><p>l</p><p>x</p><p>IE</p><p>M</p><p>y</p><p>l</p><p>x</p><p>l</p><p>x</p><p>IE</p><p>M</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>.162</p><p>/</p><p>.82</p><p>/</p><p>0 /</p><p>.2</p><p>0 /</p><p>22.</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>l</p><p>l/2</p><p>x</p><p>a</p><p>B C D</p><p>2M0 M0</p><p>x</p><p>y</p><p>l</p><p>M 03</p><p>l</p><p>M3</p><p>0</p><p></p><p>l</p><p>M 03</p><p>6.29</p><p>0</p><p>00</p><p>: BDtrecho</p><p></p><p></p><p></p><p>D</p><p>DB f</p><p></p><p></p><p>17) Pelo processo da integração da linha elástica, determinar literalmente em função de w, a, E, I a flecha na</p><p>extremidade C.</p><p>(2) 21</p><p>324</p><p>(1) 1</p><p>6</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>34</p><p>2</p><p>3</p><p>,,</p><p>22</p><p>CxC</p><p>xawxw</p><p>yIE</p><p>Cxaw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>xawxawMyIE</p><p>xw</p><p>xaw</p><p>xw</p><p>xVM A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(+)</p><p>V</p><p>M</p><p>2·w·a²</p><p>2·w·a</p><p>y</p><p>x</p><p>a</p><p>2·a a VA=2·w·a</p><p>VB=0</p><p>p</p><p>w·2·a</p><p>Mo=2·w·a²</p><p>w</p><p>A B C</p><p>B YC</p><p>awV</p><p>V</p><p>aVawaaw</p><p>M</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>0</p><p>0222</p><p>0</p><p>2</p><p>fD=0</p><p>fC>0</p><p>B=0</p><p>A>0</p><p>Esboço da L.E.:</p><p>3102</p><p>0200</p><p>awCyax</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p>6.30</p><p>IE</p><p>aw</p><p>y</p><p>BCtgy</p><p>IE</p><p>aw</p><p>awaw</p><p>aw</p><p>IEax</p><p>C</p><p>BC</p><p>BB</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>2p/</p><p>4</p><p>3</p><p>33</p><p>3</p><p></p><p></p><p>18) Determinar a flecha e a rotação da seção “C”, dados Mo, a, E, I.</p><p>x</p><p>a</p><p>M</p><p>MM</p><p>a</p><p>M</p><p>V</p><p>a</p><p>M</p><p>V</p><p>aVMMM</p><p>VVF</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>BA</p><p>BAy</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0320</p><p>00</p><p>00</p><p>21</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>6</p><p>,</p><p>2</p><p>..</p><p>2</p><p>..</p><p>"..</p><p>CxC</p><p>a</p><p>xM</p><p>M</p><p>xM</p><p>yIE</p><p>C</p><p>a</p><p>xM</p><p>xMIE</p><p>x</p><p>a</p><p>M</p><p>MMyIE</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>C.C.- Condições de Contorno</p><p>002</p><p>000</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p>Cyax</p><p>Cyx</p><p>MO 2MO</p><p>3a a</p><p>x</p><p>x</p><p>yC</p><p>C</p><p>B A</p><p>B</p><p>C</p><p>y</p><p>VA</p><p>VB</p><p>6.31</p><p>C</p><p>O</p><p>BC</p><p>O</p><p>BC</p><p>O</p><p>BB</p><p>OO</p><p>O</p><p>O</p><p>y</p><p>IE</p><p>aM</p><p>atgy</p><p>IE</p><p>aM</p><p>IE</p><p>aM</p><p>ay</p><p>a</p><p>xMxM</p><p>yIE</p><p>a</p><p>xM</p><p>x-MIE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>62</p><p>..</p><p>2</p><p>..</p><p>:finais Equações</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>19) Calcular as reações nos mancais, fazer os diagramas e calcular fD, fC, A, B e D.</p><p>0</p><p>024220</p><p>2</p><p>04220</p><p>22</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>AB</p><p>B</p><p>BA</p><p>V</p><p>awawaawaVM</p><p>awV</p><p>awawaawVM</p><p>A</p><p>B C D</p><p>a a a</p><p>VA=0 VB=2wa</p><p>M0=2wa</p><p>2</p><p>M0=4wa</p><p>2</p><p>w</p><p>V</p><p>M</p><p>4wa</p><p>2</p><p>2wa</p><p>2</p><p>6.32</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>222</p><p>2</p><p>2</p><p>2242</p><p>00</p><p>2</p><p>4</p><p>22</p><p>00</p><p>awawawMax</p><p>Qxxw</p><p>awM</p><p>awVax</p><p>Vx</p><p>xwV</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>11</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>21</p><p>224</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>11</p><p>028</p><p>24</p><p>16</p><p>002</p><p>000</p><p>2</p><p>4</p><p>24</p><p>..</p><p>4</p><p>6</p><p>..</p><p>4</p><p>2</p><p>"..</p><p>awCaCaw</p><p>aw</p><p>yax</p><p>Cyx</p><p>CxC</p><p>xawxw</p><p>yIE</p><p>Cxaw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>aw</p><p>xw</p><p>MyIE</p><p></p><p>IE</p><p>aw</p><p>af</p><p>IE</p><p>aw</p><p>fax</p><p>IE</p><p>aw</p><p>ax</p><p>IE</p><p>aw</p><p>x</p><p>xawxaw</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>awxaw</p><p>xw</p><p>IE</p><p>BD</p><p>C</p><p>DB</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>322</p><p>4</p><p>32</p><p>3</p><p>3</p><p>24</p><p>41</p><p>48</p><p>176296</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>11</p><p>0</p><p>3</p><p>11</p><p>2</p><p>24</p><p>..</p><p>3</p><p>11</p><p>4</p><p>6</p><p>..</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>20) Utilizando-se a equação diferencial da linha elástica para a viga carregada abaixo, pede-se:</p><p>a) calcular o valor MO de tal forma que a flecha no meio do vão (ponto D) seja NULA.</p><p>b) para o valor de MO do item a), calcular a flecha em C.</p><p>Dados: w, l, E, I.</p><p>6.33</p><p>21</p><p>12242</p><p>1</p><p>46</p><p>22</p><p>22</p><p>342</p><p>23</p><p>2,,</p><p>2</p><p>CxCx</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>M</p><p>yIE</p><p>Cx</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>xMIE</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>MMyIE</p><p>Mx</p><p>w</p><p>x</p><p>lw</p><p>M</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>IE</p><p>lw</p><p>y</p><p>l</p><p>y</p><p>IE</p><p>lw</p><p>lx</p><p>lwMy</p><p>l</p><p>x</p><p>x</p><p>lM</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>M</p><p>yIE</p><p>lMlw</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>p</p><p>xMIE</p><p>lMlw</p><p>Cylx</p><p>Cyx</p><p>CBC</p><p>BB</p><p>O</p><p>OO</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3844</p><p>:C Ponto</p><p>96</p><p>:B Ponto</p><p>48</p><p>5</p><p>0</p><p>2</p><p>:D Ponto</p><p>22412242</p><p>22446</p><p>224</p><p>10</p><p>0200</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>342</p><p>3</p><p>23</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p>21) Determinar para a viga esquematizada abaixo:</p><p>a) a relação entre M1 e M2 de modo que A = 0</p><p>b) para esse valor do item anterior, calcular a flecha máxima entre “A e B” e a flecha em C.</p><p>l/2 l/2 l/4</p><p>MO MO</p><p>VB VA</p><p>y</p><p>x</p><p>A D B C</p><p>w</p><p>2</p><p>lw</p><p>VV BA</p><p></p><p></p><p>6.34</p><p>21</p><p>62</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>21</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>21</p><p>1</p><p>21</p><p>1</p><p>,,</p><p>CxC</p><p>x</p><p>l</p><p>MMx</p><p>MyIE</p><p>C</p><p>x</p><p>l</p><p>MM</p><p>xMIE</p><p>x</p><p>l</p><p>MM</p><p>MMyIE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>1</p><p>22 a)</p><p>0p/ 0</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>10</p><p>0200</p><p>2</p><p>1</p><p>1212</p><p>12</p><p>2</p><p>21</p><p>1</p><p>12</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>M</p><p>M</p><p>MMlMlM</p><p>x</p><p>lMlMx</p><p>l</p><p>MM</p><p>xMIE</p><p>lMlM</p><p>Cylx</p><p>Cyx</p><p></p><p>6</p><p>3</p><p>21</p><p>IE</p><p>lM</p><p>IE</p><p>lM</p><p>AA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>M1 M2</p><p>A</p><p>B C</p><p>x</p><p>l a</p><p>VA VB</p><p>(+)</p><p>(M1+M2) / l</p><p>V</p><p>M</p><p>M1</p><p>M2</p><p>1</p><p>21</p><p>21</p><p>21 00</p><p>Mx</p><p>l</p><p>MM</p><p>M</p><p>l</p><p>MM</p><p>V</p><p>lVMMM</p><p>B</p><p>BA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>M1</p><p>M2</p><p>6.35</p><p>lx</p><p>xxl</p><p>l</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>l</p><p>M</p><p>xMIE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>32 0</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>AB entre máxima Flecha b)</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>IE</p><p>alM</p><p>yay</p><p>IE</p><p>lM</p><p>l</p><p>l</p><p>M</p><p>lMIElx</p><p>IE</p><p>lM</p><p>y</p><p>l</p><p>l</p><p>M</p><p>lMyIE</p><p>CBC</p><p>B</p><p>MAX</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>p/</p><p>C em Flecha</p><p>074,0</p><p>0</p><p>27</p><p>8</p><p>6</p><p>13</p><p>9</p><p>4</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>312</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p>22) Para a viga da figura abaixo, cuja secção é a indicada, calcular MO de modo que a flecha em “C” seja 0,5 cm.</p><p>Obs.: Calcular as deformações literalmente e depois aplicar numericamente.</p><p>Dados: a = 1 m</p><p>E = 2100 tf/cm</p><p>2</p><p>A B</p><p>C</p><p>x</p><p>x</p><p>3a a</p><p>B B</p><p>y</p><p>2M0</p><p>VB</p><p>VA 20</p><p>2</p><p>2</p><p>15,5</p><p>6,5</p><p>10 10</p><p>x</p><p>LN</p><p>Secção Transversal [cm]</p><p>Plano de carga</p><p>6.36</p><p>42</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>cm 767.35,540</p><p>12</p><p>202</p><p>5,540</p><p>12</p><p>220</p><p>cm 5,6</p><p>80</p><p>520</p><p>cm 520)1240()140(</p><p>cm 80)202()202(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>LN</p><p>x</p><p>Yg</p><p>M</p><p>A</p><p>21</p><p>302</p><p>0</p><p>1</p><p>20</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>9</p><p>1</p><p>..</p><p>3</p><p>1</p><p>2..</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>"..</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>CxCx</p><p>a</p><p>M</p><p>xMyIE</p><p>Cx</p><p>a</p><p>M</p><p>xMIE</p><p>Mx</p><p>a</p><p>M</p><p>yIE</p><p>Mx</p><p>a</p><p>M</p><p>M</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>aMCaCa</p><p>a</p><p>M</p><p>aM</p><p>Cyaxp</p><p>yxp</p><p>B</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>011</p><p>33022</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>233</p><p>9</p><p>1</p><p>30</p><p>0C com</p><p>003</p><p>/</p><p>00 /</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E</p><p>aM</p><p>af</p><p>E</p><p>aM</p><p>aM</p><p>a</p><p>aM</p><p>aME</p><p>Bem</p><p>xaM</p><p>a</p><p>xM</p><p>xMyIE</p><p>aM</p><p>a</p><p>xM</p><p>xMIE</p><p>BC</p><p>BB</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>3</p><p>02</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>32a3x</p><p>:</p><p>2</p><p>9</p><p>"..</p><p>2</p><p>3</p><p>2..</p><p>:finais Equações</p><p></p><p></p><p></p><p>6.37</p><p>cm tf5,395cmKgf 540.395</p><p>:Resposta</p><p>540.395</p><p>100</p><p>767.3000.100.25,05,0</p><p>5,0</p><p>100.2E e m 1a /</p><p>0</p><p>220</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>M</p><p>cmKgf</p><p>a</p><p>E</p><p>M</p><p>cmf</p><p>E</p><p>aM</p><p>f</p><p>cm</p><p>tf</p><p>p</p><p>CC</p><p>23) Para a barra carregada conforme a figura abaixo, pede-se:</p><p>a) A equação da linha elástica (trecho AB)</p><p>b) O deslocamento vertical dos pontos “C” e “D”.</p><p>c) Esboçar a posição deformada da viga.</p><p>Dados: w, l, E e I</p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>34</p><p>1</p><p>2</p><p>23</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>1648</p><p>5</p><p>24</p><p>w</p><p>..</p><p>816</p><p>5</p><p>6</p><p>w</p><p>..</p><p>88</p><p>5</p><p>2</p><p>w</p><p>"..</p><p>88</p><p>5</p><p>2</p><p>w</p><p>:AB Trecho</p><p>8</p><p>5</p><p>8</p><p>3</p><p>0</p><p>28</p><p>0</p><p>28</p><p>0</p><p>CxCx</p><p>lw</p><p>x</p><p>lw</p><p>xyIE</p><p>Cx</p><p>lw</p><p>x</p><p>lw</p><p>xIE</p><p>lw</p><p>x</p><p>lw</p><p>xMyIE</p><p>lw</p><p>x</p><p>lw</p><p>x- M</p><p>lw</p><p>V</p><p>lw</p><p>V</p><p>V</p><p>lwlw</p><p>lV</p><p>lwlw</p><p>M</p><p>A</p><p>B</p><p>BBA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A B C D</p><p>VA VB</p><p>y</p><p>x</p><p>l l/4 l/4</p><p>wl</p><p>2</p><p>/8</p><p>w</p><p>B</p><p>yD</p><p>yC=0</p><p>6.38</p><p>IE</p><p>lw</p><p>y</p><p>l</p><p>y</p><p>IE</p><p>lwlwlwl</p><p>IElx</p><p>x</p><p>x</p><p>lw</p><p>x</p><p>lw</p><p>xyIE</p><p>ClC</p><p>lwlwl</p><p>ylx</p><p>Cyx</p><p>DBD</p><p>BB</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1924</p><p>48816</p><p>5</p><p>6</p><p>w</p><p>..</p><p>0y e 00</p><p>1648</p><p>5</p><p>24</p><p>w</p><p>..</p><p>0</p><p>1648</p><p>5</p><p>24</p><p>w</p><p>00</p><p>000</p><p>4</p><p>3333</p><p>C</p><p>2</p><p>2</p><p>34</p><p>11</p><p>444</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>24) Determinar a rotação do apoio A e a flecha no meio do vão.</p><p>Dados: w, l, E, I.</p><p>(2) 21</p><p>36120</p><p>(1) 1</p><p>1224</p><p>66</p><p>663</p><p>35</p><p>24</p><p>33</p><p>,,</p><p>3</p><p>CxC</p><p>xlw</p><p>l</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>C</p><p>xlw</p><p>l</p><p>xw</p><p>IE</p><p>l</p><p>xw</p><p>l</p><p>xw</p><p>MyIE</p><p>l</p><p>xw</p><p>x</p><p>lwx</p><p>SxVM A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>360</p><p>7</p><p>10</p><p>0200</p><p>contorno de Condições</p><p>lwCylx</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p>3</p><p>63</p><p>1</p><p>22</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>lw</p><p>V</p><p>lw</p><p>RV</p><p>l</p><p>xwxw</p><p>S</p><p>x</p><p>l</p><p>w</p><p>w</p><p>l</p><p>w</p><p>x</p><p>w</p><p>B</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>R = w·l /2</p><p>S</p><p>VA VB</p><p>y</p><p>x</p><p>C</p><p>l/2 l/2</p><p>x</p><p>w</p><p>A B</p><p>6.39</p><p>xlw</p><p>xlw</p><p>l</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>lw</p><p>xlw</p><p>l</p><p>xw</p><p>IE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>35</p><p>3</p><p>24</p><p>360</p><p>7</p><p>30120</p><p>360</p><p>7</p><p>1224</p><p>finais Equações</p><p></p><p>IE</p><p>lw</p><p>ylx</p><p>IE</p><p>lw</p><p>x</p><p>C</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>3</p><p>768</p><p>5</p><p>2</p><p>p/</p><p>360</p><p>7</p><p>0p/</p><p>Respostas</p><p></p><p>25) Determinar a flecha no ponto D (meio do vão), as rotações nos pontos A e B, e a flecha da secção C.</p><p>Dados: w, a, E, I.</p><p>(2) 21</p><p>12360</p><p>(1) 1</p><p>472</p><p>218</p><p>1823</p><p>35</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>,,</p><p>3</p><p>CxC</p><p>xaw</p><p>a</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>Cx</p><p>aw</p><p>a</p><p>xw</p><p>IE</p><p>x</p><p>aw</p><p>a</p><p>xw</p><p>MyIE</p><p>a</p><p>xw</p><p>x</p><p>awx</p><p>AxVM A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>40</p><p>21</p><p>103</p><p>0200</p><p>contorno de Condições</p><p>awCyax</p><p>Cyx</p><p></p><p></p><p>R</p><p>A w</p><p>A</p><p>B C</p><p>VA VB</p><p>x</p><p>3·a a</p><p>y</p><p>x</p><p>B</p><p>C</p><p>a</p><p>xwxw</p><p>A</p><p>x</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>a</p><p>w</p><p>x</p><p>w</p><p>awRV</p><p>aw</p><p>RV</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>B</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>62</p><p>33</p><p>3</p><p>2</p><p>23</p><p>1</p><p>2</p><p>D</p><p>6.40</p><p>xaw</p><p>xaw</p><p>a</p><p>xw</p><p>yIE</p><p>aw</p><p>xaw</p><p>a</p><p>xw</p><p>IE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>35</p><p>3</p><p>24</p><p>40</p><p>21</p><p>12360</p><p>40</p><p>21</p><p>472</p><p>finais Equações</p><p></p><p>EI</p><p>aw</p><p>yax</p><p>IE</p><p>aw</p><p>y</p><p>a</p><p>y</p><p>tg</p><p>IE</p><p>aw</p><p>ax</p><p>D</p><p>C</p><p>C</p><p>BB</p><p>CB</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>.</p><p>256</p><p>135</p><p>2</p><p>.3 para</p><p>5</p><p>3</p><p>para</p><p>5</p><p>3</p><p>3 para</p><p>Respostas</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>PARTE III - CASO GERAL - "N" TRECHOS PELO PROCESSO CLÁSSICO DA</p><p>INTEGRAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA</p><p>1- Resumo</p><p>Já foi visto que pelo Processo Clássico da Integração da Linha Elástica, deve-se escrever a equação</p><p>genérica do Momento Fletor M(x), efetuar a dupla integração, determinar as duas constantes da integração C1 e</p><p>C2, através de duas condições de contorno que dependem da vinculação da viga. São cálculos cuja a viga em toda</p><p>sua extensão possui uma única curva característica do momento fletor e com o produto de rigidez à flexão (E.I)</p><p>constante, portanto, diz-se também que esta tem um único trecho para cálculo da linha elástica. Mais adiante, será</p><p>mostrado o cálculo com vigas que possuem mais de um trecho de carregamento do momento fletor ou com</p><p>segmentos de vigas diferentes.</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y(x) (x)</p><p>linha</p><p>elástica</p><p>VA VB</p><p>V(x)</p><p>M(x)</p><p>L</p><p>A</p><p>B</p><p>w(x)</p><p>6.41</p><p>Equação diferencial da linha elástica: MyEI ".</p><p>Primeira integração ("rotação"):   1..'. CdxMEIyEI  (1)</p><p>Segunda integração (eq. da linha elástica):    21.. CdxCdxMyEI (2)</p><p>No caso da viga bi-apoiada, as condições de contorno que permitem a determinação das constantes de</p><p>integração C1 e C2 são:</p><p>a) para x = 0  y = 0;</p><p>b) para x = L  y = 0.</p><p>Determinadas as constantes C1 e C2 , volta-se às equações (1) e (2) que permitem determinar a rotação</p><p>(x) e a flecha y(x) em qualquer secção.</p><p>2- Caso Geral - "n" Trechos- Processo Clássico da Integração da Linha Elástica - Noções</p><p>Neste caso, para cada trecho deve-se escrever a equação de Momento Fletor - M(x), efetuar a dupla</p><p>integração, gerando duas constantes de integração por trecho. Logo, o número total de constantes referentes a</p><p>integração são de "2.n" que, a fim de serem determinadas, exigem o conhecimento de "2.n" condições de</p><p>contorno.</p><p>O procedimento de tal resolução pode ser explicado através do exemplo a seguir, onde tem-se 4 trechos</p><p>(n = 4) e portanto, após as integrações, gerarão 8 constantes de integração (C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C7 e C8 ) que</p><p>devem ser determinadas através de 8 condições de contorno, 2 relativas aos apoios A e B e 6 impondo a</p><p>continuidade da linha elástica nas secções C, D e E.</p><p>Desta forma, as condições de contorno são:</p><p>- para os apoios:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(2) 0</p><p>(1) 00</p><p>ylx</p><p>yx</p><p>l1 l2 l3 l4</p><p>l</p><p>y</p><p>x</p><p>P</p><p>w M</p><p>VA VB</p><p>D E C</p><p>A</p><p>B</p><p>( I ) ( II ) ( III ) ( IV )</p><p>6.42</p><p>- para as secções C, D e E:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(8)</p><p>(7)</p><p>(6)</p><p>(5)</p><p>(4)</p><p>(3)</p><p>321</p><p>21</p><p>1</p><p>IVIII</p><p>IVIII</p><p>IIIII</p><p>IIIII</p><p>III</p><p>III</p><p>yy</p><p>lllx</p><p>yy</p><p>llx</p><p>yy</p><p>lx</p><p></p><p></p><p></p><p>Resolvendo o sistema de 2.n = 8 equações acima com 2.n = 8 incógnitas, determina-se as 8 constantes</p><p>de integração que substituídas nas equações de (x) e y(x), respectivo a cada trecho, permitem a solução do</p><p>problema.</p><p>3- Exemplos</p><p>3.1) Determinar a máxima flecha para a viga a seguir:</p><p>Resolução:</p><p>Representando o diagrama de esforços internos solicitantes pode-se observar, neste simples</p><p>carregamento, a descontinuidade do momento fletor em sua extensão.</p><p>P</p><p>VA VB</p><p>A B</p><p>a 2.a</p><p>C</p><p>P</p><p>VA VB</p><p>A B</p><p>2.P/3</p><p>C</p><p>(+)</p><p>(-)</p><p>(+)</p><p>P/3</p><p>2.a.P/3</p><p>M</p><p>V</p><p>3</p><p>2</p><p>33</p><p>2</p><p>Pa</p><p>M</p><p>P</p><p>V</p><p>P</p><p>V</p><p>C</p><p>BA</p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>6.43</p><p>Para o trecho AC:</p><p>(2)</p><p>9</p><p>.</p><p>(1)</p><p>3</p><p>.</p><p>3</p><p>2</p><p>".</p><p>21</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>CxCx</p><p>P</p><p>yEI</p><p>Cx</p><p>P</p><p>EI</p><p>x</p><p>P</p><p>yEI</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para o trecho CB:</p><p>(4)</p><p>6</p><p>2</p><p>18</p><p>.</p><p>(3)</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>.</p><p>33</p><p>2</p><p>".</p><p>43</p><p>23</p><p>3</p><p>2</p><p>CxCx</p><p>Pa</p><p>x</p><p>P</p><p>yEI</p><p>Cx</p><p>Pa</p><p>x</p><p>P</p><p>EI</p><p>x</p><p>PPa</p><p>yEI</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> Observe que neste trecho CB, a convenção de sinais continua a mesma, no entanto, o ponto</p><p>referencial da origem das coordenadas alterou-se para o ponto C. Isso simplifica os cálculos mais</p><p>adiante.</p><p>Como está se trabalhando com dois trechos, logo deve-se encontrar quatro condições de contorno para a</p><p>solução das constantes de integração.</p><p>No ponto A, pela eq. 2, x = 0  y = 0 02 C (5)</p><p>No ponto C, x = a 1</p><p>2</p><p>3</p><p>C</p><p>Pa</p><p>C  (pela eq. 1), e também, x = 0 3CC  (pela eq. 3), que</p><p>igualando: 1</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>C</p><p>Pa</p><p>C  (6).</p><p>E comparando a flecha no ponto C, tem-se x = a aC</p><p>Pa</p><p>yC .</p><p>9</p><p>1</p><p>3</p><p> (pela eq. 2), assim como, x =</p><p>0 4CyC  (pela eq. 4), que podem ser igualadas, dando: aC</p><p>Pa</p><p>C .</p><p>9</p><p>1</p><p>3</p><p>4  (7).</p><p>No ponto B, a flecha é nula e, pela eq. 4, x = 2a 0.2</p><p>18</p><p>5</p><p>43</p><p>3</p><p> CaC</p><p>Pa</p><p>(8).</p><p>Combinando as equações (6), (7) e (8), as constantes de integração ficam:</p><p>54</p><p>23</p><p>54</p><p>11</p><p>54</p><p>29 3</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>Pa</p><p>C</p><p>Pa</p><p>C</p><p>Pa</p><p>C</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Desta forma, as equações finais são:</p><p>3</p><p>2PaMC </p><p>3</p><p>PVC </p><p>y</p><p>x C</p><p>B</p><p>6.44</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(10) .</p><p>54</p><p>29</p><p>.</p><p>9</p><p>.</p><p>(9)</p><p>54</p><p>29</p><p>.</p><p>3</p><p>.</p><p>AC Trecho</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>Pa</p><p>x</p><p>P</p><p>yEI</p><p>Pa</p><p>x</p><p>P</p><p>EI </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(12)</p><p>54</p><p>23</p><p>.</p><p>54</p><p>11</p><p>.</p><p>3</p><p>.</p><p>18</p><p>.</p><p>(11)</p><p>54</p><p>11</p><p>.</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>6</p><p>.</p><p>CB Trecho</p><p>32</p><p>23</p><p>2</p><p>2</p><p>Pa</p><p>x</p><p>Pa</p><p>x</p><p>Pa</p><p>x</p><p>P</p><p>yEI</p><p>Pa</p><p>x</p><p>Pa</p><p>x</p><p>P</p><p>EI </p><p>Como foi visto, a determinação da flecha máxima é obtida no ponto onde o deslocamento angular ou</p><p>rotação da viga é nula. Trabalhando com o primeiro trecho da viga, certica-se que o ponto x = 1,27</p><p>a, portanto,</p><p>não está situado neste segmento. No trecho CB, igualando a zero a eq.10, obtêm-se também uma equação do</p><p>segundo grau cuja a solução é:</p><p> x = 0,358.a;</p><p>Substituindo na eq. 11, verifica-se que a flecha máxima é:</p><p>EI</p><p>aP</p><p>yC</p><p>3.</p><p>459,0</p><p>3.2) Para a viga esquematizada a seguir:</p><p>a) esboçar a posição da viga deformada;</p><p>b) usando o processo da integração da linha elástica, determinar a equação das flechas e rotações nos trechos</p><p>AB e BC em função de P, a, E e I;</p><p>c) determinar a flecha máxima no trecho AB (literalmente);</p><p>d) com os valores de P, a, E e I indicados, determinar o valor numérico da flecha e da rotação em C e as</p><p>rotações em A e B.</p><p>a = 100 cm</p><p>E = 2,1·10 kgf/cm²</p><p>I = 105,1 cm</p><p>P = 200 kgf</p><p>P</p><p>E·I=cte</p><p>A</p><p>B C</p><p>x</p><p>3·a a</p><p>VA=P/3 VB=4/3 ·P</p><p>Ymax</p><p>V</p><p>M</p><p>(-)</p><p>(+)</p><p>P/3</p><p>P</p><p>P·a</p><p>6.45</p><p> </p><p>(4) 43</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>(2) 21</p><p>18</p><p>(3) 34</p><p>2</p><p>(1) 1</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>4ou</p><p>3</p><p>3 BC Trecho AB Trecho</p><p>233</p><p>22</p><p>,,,,</p><p>CxC</p><p>xaPxP</p><p>yIECxC</p><p>xP</p><p>yIE</p><p>CxaP</p><p>xP</p><p>IEC</p><p>xP</p><p>IE</p><p>aPxPMyIEx</p><p>P</p><p>MyIE</p><p>xPaPMx</p><p>P</p><p>M</p><p>axPaPM</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>I</p><p>64</p><p>0</p><p>3 para</p><p>2</p><p>103 para</p><p>2</p><p>13</p><p>3</p><p>3 para 0200 para</p><p>contorno de Condições</p><p>aPC</p><p>y</p><p>ax</p><p>aP</p><p>Cyax</p><p>aPC</p><p>axCyx</p><p>B</p><p>II</p><p> ey de Equações b)</p><p>33</p><p>33</p><p>2</p><p>222</p><p>6</p><p>2</p><p>13</p><p>2</p><p>6</p><p>218</p><p>2</p><p>13</p><p>4</p><p>2</p><p>26</p><p>BC Trecho AB Trecho</p><p>aPxxaP</p><p>xP</p><p>yIEx</p><p>aPxP</p><p>yIE</p><p>aPxaP</p><p>xP</p><p>IE</p><p>aPxP</p><p>IE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>cm</p><p>IE</p><p>aP</p><p>y</p><p>rad</p><p>IE</p><p>aP</p><p>ax</p><p>IE</p><p>aP</p><p>IE</p><p>aP</p><p>Yaax</p><p>aPxP</p><p>IE</p><p>C</p><p>C</p><p>21,1</p><p>3</p><p>4</p><p>78,001359,0</p><p>2</p><p>3</p><p>4 para d)</p><p>3</p><p>3</p><p>577,073,130</p><p>26</p><p>AB trechonoYmax c)</p><p>2</p><p>2</p><p>33</p><p>max</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6.46</p><p>EI</p><p>aP</p><p>al</p><p>EI</p><p>aP</p><p>l</p><p>B</p><p>A</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>.3 para</p><p>2</p><p>.</p><p>0 para</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4- Conclusão</p><p>O processo clássico da integração da linha elástica, no caso de vários trechos, torna-se muito trabalhoso</p><p>para ser resolvido manualmente. No caso geral, recomenda-se outros processos, tais como:</p><p>1) Processo da integração usando funções singulares ou Equação Universal da Linha Elástica (ver</p><p>Beer-Johnston);</p><p>2) Processo dos Momentos das Áreas (ver Beer-Johnston);</p><p>3) Processos baseados em Energia da Deformação - Teorema de Castigliano - Tabelas de Kurt Beyer</p><p>(ver Beer-Johnston);</p><p>4) Processo baseados no Princípio dos Trabalhos Virtuais;</p><p>5) Processo das Analogias de Mohr;</p><p>6) Processo da Superposição(ver Beer-Johnston);</p><p>7) Processos Experimentais como L.V.D.T., relógio comparador, etc.</p><p>8) Processos numéricos como Diferenças Finitas, Elementos Finitos (exemplo: Pórtico, Nastran,</p><p>Ansys, Cosmos/m, Sap, Abaqus, etc.)</p><p>9) Outros.</p><p>5- Exercício Proposto</p><p>1) Exercício completo de Flexão – Tensões e Deslocamentos</p><p>Para a viga abaixo, pede-se:</p><p>a) Reações de apoio e diagramas de esforços internos solicitantes;</p><p>b) Características geométricas da seção circular tubular com d = 0,8.D, em função do diâmetro externo D;</p><p>c) Rotação (  ) e flecha ( y ) das seções A, B e C pelo processo clássico da integração da LINHA ELÁSTICA,</p><p>em função de P, a, E e I;</p><p>d) Pesquisar a flecha máxima, em função de P, a, E e I;</p><p>e) Dimensionar, pela condição de rigidez, limitando </p><p>MÁX</p><p>;</p><p>f) Dimensionar, pela condição de rigidez, limitando fy</p><p>MÁX</p><p> ;</p><p>g) Dimensionar, pela condição de resistência, limitando </p><p>MÁX</p><p>;</p><p>h) Repetir os itens 7, 8 e 9 para seção circular cheia e comparar o peso;</p><p>6.47</p><p>i) Repetir os itens 7, 8 e 9 para seção tubular retangular , 10t x 6t x t, com espessura “ t ” e comparar o peso;</p><p>j) Idem para a seção em forma de Perfil Industrial e comparar os pesos;</p><p>Sugestão:- Fazer para aço comum, aço especial, liga de Al, liga de Ti, material composto, etc. Comparar pesos,</p><p>preços, etc. Construir modelos, etc.</p><p>P= 5 kN</p><p>a= 200 mm</p><p>1</p><p>a</p><p>solução – adotar:</p><p>d= 0,8D</p><p>E= 210 GPa</p><p>Rotação Admissível:</p><p>O5,0</p><p>Flecha Admissível: mm4,0f </p><p>Tensão Normal Admissível: MPa100</p><p>t 10 t</p><p>6t</p><p>y</p><p>x</p><p>a 2a</p><p>A</p><p>C B</p><p>P D</p><p>d</p><p>7.1</p><p>8.0</p><p>8.1</p><p>CAPÍTULO VIII: FLAMBAGEM.</p><p>PARTE I – FUNDAMENTOS</p><p>1 – Generalidades.</p><p>Nos pontos iniciais da Resistência dos Materiais procuramos dimensionar ou verificar estruturas pelas</p><p>condições de resistência (limitação de tensões) e de rigidez (limitação de deslocamentos), estando as peças</p><p>evidentemente em equilíbrio.</p><p>Veremos neste capítulo que, de modo geral, não basta apenas impor as limitações de tensões e</p><p>deslocamentos, sendo também necessário verificar a estabilidade do referido equilíbrio.</p><p>Apenas para ilustrar de uma maneira elementar, a importância do fenômeno da instabilidade do</p><p>equilíbrio, tomemos por exemplo uma régua comum de plástico de 30cm de comprimento e com uma secção</p><p>retangular de 3cm x 0.2cm, solicitada por uma carga de tração e depois por uma carga de compressão (fig.1).</p><p>Verificamos claramente que ao tracionarmos a régua, é necessária uma força grande para seu colapso</p><p>(da ordem de 200Kgf), porém quando a comprimimos axialmente observa-se que com uma força pequena (da</p><p>ordem de 1Kgf), a peça já adquire uma configuração completamente inaceitável em termos estruturais, ou seja,</p><p>ocorreu a chamada instabilidade de equilíbrio e diz-se que a régua atingiu um estado limite de flambagem.</p><p>A explicação detalhada e rigorosa do fenômeno da flambagem, será vista nos itens seguintes.</p><p>O estudo da flambagem é particularmente importante nas peças longas e sobretudo nas estruturas</p><p>mecânicas e metálicas em geral (edifícios, equipamentos, guindastes, torres, pontes, aviões, veículos, máquinas</p><p>etc.), onde as espessuras são normalmente pequenas quando comparadas com outras dimensões. Entretanto, em</p><p>muitas estruturas de madeira e concreto o problema de flambagem também é de grande importância e deve ser</p><p>considerado adequadamente.</p><p>Podemos dizer ainda, que boa parte dos acidentes em estruturas ocorre devido aos problemas de</p><p>instabilidade do equilíbrio, provocando em geral grandes deslocamentos e conseqüente ruína</p><p>da estrutura.</p><p>Embora o assunto tenha sido estudado pela primeira vez, há muito tempo, por L. Euler (1707-1783), só</p><p>nas últimas décadas, com a necessidade crescente de melhorar os materiais e diminuir as secções é que o estudo</p><p>da flambagem sofreu grande desenvolvimento e a sua importância é reconhecida por todos.</p><p>2 – Equilíbrio estável, instável e indiferente.</p><p>Uma estrutura, quando sujeita a um determinado carregamento, pode assumir várias formas possíveis de</p><p>equilíbrio.</p><p>Recordamos o conceito clássico de equilíbrio, com o exemplo tradicional da Física, onde uma pequena</p><p>esfera é colocada sobre uma superfície côncava, convexa e plana (fig.2).</p><p>Diz-se que o equilíbrio é estável, quando ao afastarmos o corpo para uma posição ligeiramente</p><p>diferente da inicial, ocorre a volta para a posição inicial.</p><p>O equilíbrio será instável, quando o desvio tende a aumentar, levando o corpo a uma outra forma de</p><p>equilíbrio.</p><p>P P P P</p><p>a - Tração b – Compressão e Flambagem</p><p>Fig.1 – Barra Tracionada e Comprimida</p><p>8.2</p><p>Será indiferente, quando o corpo permanecer na nova posição, não tendendo nem a voltar à posição</p><p>original, nem a ter o desvio acentuado.</p><p>O exemplo clássico do cone, também ilustra claramente as três modalidades de equilíbrio (fig.3).</p><p>Os conceitos de equilíbrio estável, instável e indiferente serão mais tarde analisados através dos</p><p>balanços energéticos e, como sabemos, a forma de equilíbrio estável é aquela que minimiza a energia potencial e</p><p>na realidade todos os corpos procuram as formas de equilíbrio estável.</p><p>3 – Conceito de Flambagem.</p><p>Consideramos o caso mais comum que é o de flambagem por flexão, onde a peça ao flambar, se</p><p>deforma apenas por flexão em torno de um dos eixos centrais de inércia.</p><p>Seja uma barra prismática, bi-articulada, sem peso próprio, solicitada por uma carga axial crescente de</p><p>compressão P. Admite-se ainda que o material da barra seja homogêneo e elástico perfeito, satisfazendo a Lei</p><p>de Hooke.</p><p>Embora algumas destas hipóteses sejam teóricas e nunca sejam verificadas na prática, são importantes</p><p>para o conceito inicial de flambagem.</p><p>Ao carregarmos a barra da fig.4a, verificamos que para pequenos valores de carga P, temos o</p><p>aparecimento de tensões uniformes de compressão e de um pequeno deslocamento longitudinal, porém a forma</p><p>reta da barra será de equilíbrio estável, isto é, dando um pequeno deslocamento transversal “f”, como na fig.4b, a</p><p>peça voltará à posição inicial 4a.</p><p>A medida que a intensidade de carga P aumenta, verifica-se que a partir de um certo valor de P, a forma</p><p>reta da barra será uma forma de equilíbrio instável, pois dado um pequeno deslocamento transversal “f”, como</p><p>na fig. 4b, haverá a tendência de aumentar o deslocamento, levando a estrutura a uma nova forma de equilíbrio, a</p><p>fletida que se tornará estável. (fig.4c).</p><p>a – Estável b – Instável c – Indiferente</p><p>Fig.2 – Três Tipos de Equilíbrio</p><p>a – Estável b – Instável c – Indiferente</p><p>Fig.3 – Três Tipos de Equilíbrio</p><p>8.3</p><p>Ao fenômeno da mudança da forma de equilíbrio estável, para a instável, denomina-se genericamente</p><p>de flambagem e chama-se carga crítica (PCr) ou carga de flambagem (Pfl) a menor carga axial que</p><p>corresponde a passagem de uma para outra configuração de equilíbrio.</p><p>4-Caso Fundamental de Euler.</p><p>Para o cálculo da carga de flambagem, considere-se novamente a mesma barra prismática articulada nas</p><p>duas extremidades, de comprimento l, sujeita a ação de uma força axial de compressão. Admite-se ainda que o</p><p>material seja homogêneo e elástico, satisfazendo a Lei de Hooke. Adotaremos os eixos x e y indicados na figura</p><p>5, com a origem na extremidade A.</p><p>Considerando-se pela primeira vez no curso, o cálculo do momento fletor M numa secção genérica, a</p><p>partir da posição deformada (teoria de 2</p><p>ª</p><p>ordem), temos:</p><p>yPM </p><p>onde y é o deslocamento vertical da secção genérica.</p><p>Admitindo-se agora que a configuração assumida satisfaça a equação diferencial simplificada da linha</p><p>elástica (válida para pequenas deformações), vem:</p><p>M'y'I Eou</p><p>IE</p><p>M</p><p>dx</p><p>yd</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>P</p><p>p</p><p>P</p><p>p</p><p>f</p><p>P</p><p>p</p><p>a- b- c-</p><p>Fig.4 – Conceito Clássico de Flambagem</p><p>P P P</p><p>y y</p><p>A</p><p>x</p><p>P P A B</p><p>x</p><p>l</p><p>x</p><p>P P B y</p><p>-a- -b-</p><p>Fig.5 – Caso Fundamental de Euler</p><p>8.4</p><p>Substituindo o valor de M resulta a seguinte equação diferencial:</p><p>0yP"yIE </p><p>fazendo 2K</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p></p><p>, obtém-se: 0yK"y 2  , cuja solução geral é:</p><p>KxcosCKxsenCy</p><p>21</p><p></p><p>As constantes de integração C1 e C2, são obtidas a partir das condições de contorno de cada problema.</p><p>No caso particular da barra bi-articulada, vem:</p><p>a) para x = 0, y = 0 ou seja 0 = C1 0 + C2 1, logo C2 = 0</p><p>b) para x = l, y = 0 ou seja 0 = C1 senKl + 0, logo C1 senKl = 0</p><p>Não considerando a possibilidade de C1 = 0, pois se C1 e C2 forem simultaneamente nulos, temos y = 0,</p><p>ou seja, a forma reta de equilíbrio, o que não nos interessa, resulta que, só haverá solução não trivial quando:</p><p>0Klsen </p><p>ou seja para 1,2,3,...)(n nlK  , que é a condição de flambagem procurada.</p><p>Substituindo</p><p>IE</p><p>P</p><p>K2</p><p></p><p> , em</p><p>2222 nlK  , resulta:</p><p>2</p><p>22</p><p>fl</p><p>l</p><p>IEn</p><p>P</p><p></p><p></p><p>Na prática só interessa em geral a primeira carga de flambagem, isto é, para n = 1:</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p></p><p>Para outros valores de n, obteríamos carga de flambagem superiores que corresponderiam às seguintes</p><p>situações teóricas:</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE4</p><p>P2n</p><p></p><p></p><p>P P</p><p>Fig.6 – Configuração de flambagem para n=1</p><p>P P</p><p>Fig.7 – Configuração de Flambagem para n=2</p><p>8.5</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE9</p><p>P3n</p><p></p><p></p><p>Visando a solução de problemas mais gerais, convém observar que ao impormos as condições de</p><p>contorno para determinarmos as constantes C1 e C2 na equação: KxcosCKxsenCy</p><p>21</p><p> , correspondeu</p><p>impor a condição de que a equação: 0yK"y 2  só apresenta solução não trivial, quando o discriminante das</p><p>equações que determinam C1 e C2 for nulo ou seja, quando:</p><p>0</p><p>KlcosKlsen</p><p>10</p><p></p><p>donde: ,</p><p>l</p><p>IE</p><p>Pe n Kl;0Klsen</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p> como vimos.</p><p>5 – Diversos Casos de Vinculação.</p><p>Estudando as diversas condições de contorno para os vários casos de vinculação das extremidades das</p><p>barras, chega-se às correspondentes condições de flambagem.</p><p>Reproduzimos a seguir, além da barra bi-articulada já estudada, os resultados das cargas de flambagem</p><p>para os quatro principais casos de vinculação.</p><p>1</p><p>º</p><p>Caso 2</p><p>º</p><p>Caso 3</p><p>º</p><p>Caso 4</p><p>º</p><p>Caso</p><p>Barra articulada nas duas</p><p>extremidades..</p><p>Barra engastada numa</p><p>extremidade e livre na</p><p>outra.</p><p>Barra engastada numa</p><p>extremidade e apoiada na</p><p>outra.</p><p>Barra engastada nas duas</p><p>extremidades.</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l4</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE2</p><p>P</p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE4</p><p>P</p><p></p><p></p><p>Fig.9 – 4 Casos de Vinculação</p><p>6 – Fórmula Geral de Euler.</p><p>Observando as expressões anteriores, concluímos que estas podem ser reunidas, numa única fórmula,</p><p>denominada formula geral de Euler, através do conceito de comprimento de flambagem – lfl que é o</p><p>comprimento de uma peça bi-articulada que apresenta a mesma carga crítica de flambagem que a peça real de</p><p>comprimento l. Portanto podemos escrever para todos os casos:</p><p>P P</p><p>Fig.8 – Configuração de Flambagem para n=3</p><p>P</p><p>l</p><p>P P</p><p>P</p><p>l</p><p>P</p><p>P</p><p>l</p><p>P</p><p>P</p><p>l</p><p>8.6</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p> (2) ou ll</p><p>fl</p><p> (3)</p><p>Sendo  um coeficiente que</p><p>Estados Múltiplos de Tensões e Deformações, Lei de Hooke</p><p>Generalizada, Critérios de Resistência, Solicitações Compostas e muitos outros.</p><p>Pretende-se ainda, usar a nossa experiência nas áreas de Análise Experimental de Tensões,</p><p>Laboratórios Didáticos de Resistência dos Materiais e Método dos Elementos Finitos, para preparar</p><p>trabalhos específicos nestes importantes setores.</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda</p><p>Agradecimentos</p><p>Muitas pessoas colaboraram para a produção desta apostila. Algumas, de uma forma mais</p><p>rápida, por exemplo, ajudando na importante revisão final de um capítulo ou anexo, outras, ao longo de</p><p>vários meses, organizando, digitando e desenvolvendo capítulos inteiros. Independentemente do tempo</p><p>dedicado, cada qual foi essencial para a concretização deste trabalho. Nossos agradecimentos a:</p><p>PROFESSORES: Airton Nabarrete, Anselmo Martinez, Antonio M. Makiyama,</p><p>Armando L. P. C. Miranda, Cesar A. Guidetti, Franco Brunetti,</p><p>Renato I. Teramoto e Werner Mangold;</p><p>ALUNOS E MONITORES: Cesar P. Souza, Daniel Cortazzo, Danilo Buchdid, Igor Zucato,</p><p>Renato Callejon, Rodrigo Ferrante, Sandro Arthur de Oliveira e</p><p>Vanessa Dias da Silva;</p><p>Ex-ALUNOS: Luiz Alberto P. Alvim e Marcelo M. Vieira;</p><p>ENGENHEIROS: Eduardo Monteiro, Júlio Ruiz Delgado, Milton Delgado Ruiz,</p><p>Nelson de Aquino Filho, Roberto Camanho e Shiro Sakon.</p><p>Quanto ao concurso da escolha da capa, venceram os alunos: Danilo Buchdid, Tiago Paes de</p><p>Barros e Oliveira e Filipe Alvarenga. Além deles, participaram com brilhantismo, os alunos: Silvio José</p><p>Macedo, Marcio O. Zappi e Andressa Rosolem Lopes e os funcionários: Luciano José Silva e Ricardo</p><p>Corrales Rocha.</p><p>Registra-se que o desenho da capa foi compilado do livro: “Quem Deu Asas ao Homem” de</p><p>VILLARES, Henrique Dumont, Rio de Janeiro, Instituto Nacional do Livro, 1957, que aborda a história</p><p>do nosso grande aviador: Alberto Santos Dumont.</p><p>Agradecimentos especiais aos alunos: Eduardo Tadao Tanaka e Leonardo Moneci Zamboni, que</p><p>durante vários meses, dedicaram-se intensamente à preparação, digitação e desenhos de praticamente toda</p><p>a apostila, com muito esforço e paciência.</p><p>Finalmente, agradecemos sua atenção e participação, esperando que este trabalho facilite e</p><p>incentive seus estudos sobre Resistência dos Materiais e que Você entre no fascinante mundo do projeto</p><p>de peças e estruturas sujeitas a esforços!</p><p>Renato José Pereira da Costa Miranda</p><p> Engenheiro Industrial Mecânico;</p><p> Possui diversos cursos de pós-graduação e especialização nas áreas de Resistência dos</p><p>Materiais, Análise Experimental de Tensões, Método dos Elementos Finitos e Projeto</p><p>Mecânico em Geral;</p><p> Professor Titular na FEI – Faculdade de Engenharia Industrial de São Bernardo do Campo;</p><p> Professor Associado na Escola de Engenharia Mauá;</p><p> Professor Titular na Universidade Santa Cecília;</p><p> Engenheiro Consultor;</p><p> Ex-Professor da Universidade São Judas Tadeu, Universidade do Grande ABC,</p><p>Universidade de Guarulhos, Universidade Mackenzie, Escola Técnica Industrial Lauro</p><p>Gomes e Escola Profitec.</p><p>NOMENCLATURA</p><p>1- F, P .................................................................................................................... Força concentrada</p><p>2- w, p , q, g ............................................................................................................. Carga distribuída</p><p>3- M0, T0 ................................................................................................................. Momento, torque</p><p>4- P, N, F ....................................................................................................................... Força normal</p><p>5- V, Q .......................................................................................................................... Força cortante</p><p>6- M ........................................................................................................................... Momento fletor</p><p>7- T, MT ....................................................................................................... Momento torçor, torque</p><p>8- A, S ...................................................................................................... Área da secção transversal</p><p>9- Qx, Msx, Mx, Sx .................................................................................................. Momento estático</p><p>10- Ix, Jx ................................................. Momento de inércia em relação a um eixo, momento axial</p><p>11- Ixy, Pxy, Jxy ..................................................................... Produto de inércia, momento centrífugo</p><p>12- J, Ip, Jp, J0 ............................................................................................ Momento polar de inércia</p><p>13- r, i, k .....................................................................................................................Raio de giração</p><p>14- Wx, Sx, Zx .................................................................................... Módulo de resistência à flexão</p><p>15- WT ............................................................................................... Módulo de resistência à torção</p><p>16- I1, I2, IMAX, IMIN .......................................................... Momentos principais (centrais) de inércia</p><p>17- 1, 2, m .............................................................................................. Ângulos correspondentes</p><p>18-  ....................................................................................... Tensão normal, tração ou compressão</p><p>19-  ........................................................................................ Tensão tangencial ou de cisalhamento</p><p>20-  ................................................................................................................................ Tensão total</p><p>21- LIM, LIM ............................................................................................................. Tensões limites</p><p>22- PLIM, PU ...................................................................................................... Carga limite (última)</p><p>23- RT, RC, U ....................................... Tensão limite de resistência (última), tração, compressão</p><p>24- ET, EC, Y ................................................... Tensão limite de escoamento, tração, compressão</p><p>25- R, U ..................................................................... Tensão limite de resistência ao cisalhamento</p><p>26- E, y .................................................................... Tensão limite de escoamento ao cisalhamento</p><p>27- p ......................................................................................... Tensão limite de proporcionalidade</p><p>28- ESM, e ................................................................................................ Tensão de esmagamento</p><p>29- CIR, t ..................................................................................................... Tensão circunferencial</p><p>30- LON .............................................................................................................. Tensão longitudinal</p><p>31- RAD ........................................................................................................................ Tensão radial</p><p>32- adm, adm,  ,  ,all, all ............................................................................... Tensão admissível</p><p>33- p ....................................................................................................................................... Pressão</p><p>34- d ........................................................................................................................ Diâmetro interno</p><p>35- D ........................................................................................................................ Diâmetro externo</p><p>36- r .................................................................................................................................</p><p>depende das condições de vinculação das extremidades das barras.</p><p>Comparando a expressão geral com as quatro fórmulas anteriores, concluímos facilmente que:</p><p>a) No 1</p><p>º</p><p>Caso, da barra bi-articulada, o comprimento da flambagem é o próprio comprimento real da barra</p><p>1 ll</p><p>fl</p><p> .</p><p>b) No 2</p><p>º</p><p>Caso, da barra em balanço, o comprimento de flambagem é o dobro do comprimento real.</p><p>2 l2l</p><p>fl</p><p></p><p>c) No 3</p><p>º</p><p>Caso, da barra engastada numa extremidade e apoiada na outra, o comprimento de flambagem é</p><p>aproximadamente 70% do comprimento real.</p><p>0,7 l7,0l</p><p>fl</p><p></p><p>d) No 4</p><p>º</p><p>Caso, da barra bi-engastada, o comprimento de flambagem é a metade do comprimento real da barra.</p><p>5,0 l5,0l</p><p>fl</p><p></p><p>Convém observar que para levar em conta as condições reais dos vínculos, como por exemplo, as</p><p>dificuldades de realizar o engastamento ou articulação perfeita, é comum as normas estruturais recomendar</p><p>para os comprimentos efetivos de flambagem valores diferentes dos relativos modelos teóricos, como se</p><p>mostra a seguir.</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>teórico 1.0 2.0 0.7 0.5 1.0 2.0</p><p>recom. 1.0 2.1 0.8 0.65 1.2 2.0</p><p>Rotação nula e translação nula Rotação livre e translação nula</p><p>Rotação livre e translação livre Rotação nula e translação livre</p><p>Rotação livre e translação livre Rotação nula e uma translação livre</p><p>Fig.10 – Diversos Casos de Vinculação</p><p>No quadro da fig.10, além de repetirmos os quatro principais casos já analisados , relacionamos mais dois casos</p><p>de interesse prático, mostra-se que os comprimentos de flambagem correspondem às distâncias entre os pontos</p><p>de inflexão na posição deformada, e salienta-se as diferenças entre os comprimentos de flambagem teóricas e</p><p>recomendadas efetivamente.</p><p>Nos problemas do nosso curso de caráter acadêmico, usaremos os valores teóricos.</p><p>l</p><p>lfl</p><p>lfl</p><p>lfl</p><p>lfl</p><p>lfl</p><p>lfl</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>8.7</p><p>7- Algumas observações relativas à carga de flambagem</p><p>7.1- Não havendo impedimento especial ao longo da barra, ela flambará evidentemente em torno do eixo central</p><p>de menor inércia e portanto a fórmula geral de Euler ficará:</p><p>2</p><p>fl</p><p>min</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>EI</p><p>P</p><p></p><p> (4) onde Imin =I2 .</p><p>Nos casos de vinculação especial há necessidade de verificar a flambagem em mais de uma direção.</p><p>Na figura 11, recordamos a posição do eixo de menor momento de inércia de alguns perfis.</p><p>7.2- Na dedução da carga crítica de flambagem vista no item 4, imaginamos uma situação teórica de barra de</p><p>eixo perfeitamente reto, de material homogêneo, elástico perfeito e submetida a uma carga rigorosamente axial.</p><p>Na prática são comuns situações bem diferentes das idealizadas, ou seja:</p><p>a) material com comportamento não elástico e com tensões internas residuais resultantes dos processos</p><p>de fabricação;</p><p>b) excentricidades (inevitáveis ou voluntárias) dos pontos de aplicação da carga;</p><p>c) eixo da barra apresentando curvatura inicial;</p><p>d) esforços transversais que provocam momentos fletores etc.</p><p>Veremos na 2</p><p>a</p><p>. parte deste capítulo – Alguns Tópicos Complementares (em preparação – não consta</p><p>desta edição), que a consideração dos fatos acima altera profundamente alguns conceitos, porém, por motivos</p><p>didáticos, nesta 1</p><p>a</p><p>. parte julgamos conveniente considerar a situação teórica já descrita.</p><p>7.3- Ao deduzirmos a fórmula de Euler, consideramos também grande simplificação, ou seja, a equação</p><p>diferencial simplificada da linha elástica, válida apenas para pequenas deformações, isto é:</p><p>EI</p><p>M</p><p>dx</p><p>yd</p><p>R</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p> sendo R o raio de curvatura.</p><p>Percebe-se na dedução feita que, com esta simplificação, o cálculo da flecha resultará indeterminado</p><p>quando P=Pfl .</p><p>MIN.</p><p>MIN.</p><p>MIN.</p><p>MIN. MIN.</p><p>MIN.</p><p>MIN.</p><p>-a-</p><p>-b-</p><p>-c-</p><p>-d- -e-</p><p>Fig.11 – Flambagem se dá em torno do Eixo de Imin.</p><p>8.8</p><p>Chamando de f a flecha no meio do vão l da barra bi-articulada, obteríamos a seguinte representação</p><p>gráfica da fig. 12:</p><p>Ou seja, para valores de P inferiores à carga de flambagem, a barra permanece reta e quando P=Pfl a</p><p>flecha é indeterminada, podendo assumir qualquer valor entre zero e infinito.</p><p>Veremos no item seguinte que esta conclusão não é correta.</p><p>7.4- Pode-se demonstrar que se considerarmos a expressão correta da curvatura, ou seja:</p><p>   EI</p><p>M</p><p>'y1</p><p>"y</p><p>R</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p> (5)</p><p>podemos calcular o comportamento da flecha para cargas superiores a de flambagem.</p><p>No caso da barra bi-articulada, chega-se a uma expressão que embora continue com algumas</p><p>simplificações, fornece com boa precisão, a flecha para cargas ligeiramente superiores à carga de flambagem,</p><p>que é a seguinte:</p><p>1</p><p>P</p><p>P</p><p>9,0</p><p>l</p><p>f</p><p>fl</p><p> (6)</p><p>Esta função está representada na tabela abaixo, da fig. 13, até P= 1,05 Pfl .</p><p>P/Pfl f/l P/Pfl f/l</p><p>1,000 0,000 1,030 0,156</p><p>1,010 0,090 1,035 0,168</p><p>1,015 0,110 1,040 0,180</p><p>1,020 0,127 1,045 0,191</p><p>1,025 0,142 1,050 0,201</p><p>Fig. 13</p><p>Para cargas superiores a P=1,05 Pfl , deve-se considerar a linha elástica de forma rigorosamente exata e o</p><p>comportamento está registrado na fig. 14, observando-se que a flecha no meio da viga passa por um máximo f </p><p>0,4 l para P  1,89 Pfl .</p><p>P/Pfl</p><p>f/l</p><p>0,4</p><p>0,3</p><p>0,2</p><p>0,1</p><p>0</p><p>0,5 1,0 1,5</p><p>P</p><p>P</p><p>l</p><p>f</p><p>Fig.12 – Indeterminação da Flecha para P Pfl – Teoria Simplificada</p><p>Ponto de bifurcação</p><p>do equilíbrio</p><p>A</p><p>8.9</p><p>7.5- Observa-se portanto, que para uma carga ligeiramente superior à carga de flambagem, por exemplo, P= 1,05</p><p>Pfl , a flecha já assume um valor muito grande, f  0,2 l (ponto B, da figura 14).</p><p>Esta é a razão pela qual uma barra esbelta, sujeita a uma compressão axial, sofre o colapso praticamente</p><p>ao atingirmos a carga de flambagem e portanto, deve-se considerar a flambagem como um estado limite de</p><p>ruína, e a carga de trabalho deve estar protegida com um coeficiente de segurança s:</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p> (7) , onde</p><p>fl</p><p>P = carga admissível à flambagem.</p><p>Como sabemos, o coeficiente de segurança é introduzido nos cálculos para levar em conta uma série de</p><p>incertezas relativas ao material, às cargas, ao modelo de cálculo, à geometria da barra etc, além, evidentemente,</p><p>do grau de responsabilidade da peça.</p><p>No caso da flambagem, embora algumas normas adotem coeficiente de segurança variável com o</p><p>comprimento da peça, parece-nos mais razoável o critério adotado por vários autores em admitir um coeficiente</p><p>de segurança independente do comprimento da peça.</p><p>7.6- Completando o conceito de flambagem, observa-se na fig. 14 que para P < Pfl a forma reta de equilíbrio que</p><p>é sempre possível é estável; para P = Pfl há a bifurcação do equilíbrio (ponto A das fig. 12 e 14) aparecendo uma</p><p>nova forma de equilíbrio, a fletida, que passa a ser estável e a forma reta torna-se instável e, para P > Pfl , as</p><p>deformações e tensões (flexão composta) crescem rapidamente, levando, em geral, a peça ao colapso.</p><p>7.7- Existem algumas peças especiais que podem trabalhar flambadas em ocasiões especiais.</p><p>7.8- Como teremos oportunidade de comentar nas aplicações, percebe-se que o problema de flambagem é</p><p>basicamente um problema de verificação da possibilidade da ocorrência de instabilidade de equilíbrio e não</p><p>de dimensionamento.</p><p>Porém, embora não seja conceitualmente correto, pode-se efetuar o dimensionamento de peças à</p><p>flambagem através de tentativas, o que volta a ser um problema de verificação.</p><p>Fig.14 - Comportameto Pós-Flambagem - Teoria Exata</p><p>0</p><p>0.1</p><p>0.2</p><p>0.3</p><p>0.4</p><p>0.5</p><p>0.6</p><p>0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2</p><p>p/pfl</p><p>f/</p><p>l</p><p>Tratamento matemático simplificado Tratamento matemático exato</p><p>1,89</p><p>B</p><p>A</p><p>P/Pfl</p><p>8.10</p><p>7.9- Apenas para termos uma idéia da extensão dos assuntos sobre flambagem, cabe observar que embora nesta</p><p>1</p><p>a</p><p>. parte apenas estudamos a flambagem</p><p>por flexão podemos ter outras modalidades de flambagem, como por</p><p>exemplo:</p><p>a) flambagem de parte ou conjunto da estrutura, assimilada, esta, a um corpo rígido;</p><p>b) flexão composta em barras esbeltas;</p><p>c) flambagem por Flexão e Torção – flambagem lateral;</p><p>d) flambagem por Torção;</p><p>e) flambagem de estruturas reticulares;</p><p>f) flambagem de placas;</p><p>g) flambagem de cascas etc.</p><p>7.10- Finalizando estas observações e retomando o que já foi dito nas generalidades, deve-se projetar estruturas</p><p>sempre considerando 3 condições básicas:</p><p>a) condição de resistência: as máximas tensões não devem ultrapassar certos valores limites pré-</p><p>fixados, considerando o estado triplo de tensões e o critério de resistência mais adequado;</p><p>b) condição de rigidez: os deslocamentos máximos não devem ultrapassar certos valores limites pré-</p><p>fixados.</p><p>c) condição de estabilidade: o equilíbrio deve existir e ser estável, isto é, deve ser verificada a margem</p><p>de segurança contra a possível ocorrência de instabilidade do equilíbrio (flambagem).</p><p>Como já foi dito, não basta atender às 2 primeiras condições, sendo indispensável em muitos casos, a</p><p>verificação da flambagem.</p><p>8- Campo de validade da Fórmula de Euler.</p><p>Definindo-se Tensão de flambagem (fl) ao quociente da carga de flambagem pela área da seção</p><p>transversal (A), vem:</p><p>A</p><p>P</p><p>fl</p><p>fl</p><p> (8)</p><p>Até agora admitimos que o material obedeça a Lei de Hooke, ou seja, que as tensões de flambagem</p><p>atuantes fossem inferiores à tensão limite de proporcionalidade (p) do material.</p><p>Portanto, no regime elástico, onde é válida a fórmula de Euler, devemos ter:</p><p>p</p><p>fl</p><p>fl</p><p>A</p><p>P</p><p> (9)</p><p>Substituindo</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>EI</p><p>P</p><p></p><p> e lembrando a definição de raio de giração (r), temos:</p><p>Al</p><p>EI</p><p>P</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p> e como</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>r</p><p>l</p><p>E</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Definindo a relação entre o comprimento de flambagem (lfl) e o raio de giração (r) de índice de esbeltez</p><p>da barra ():</p><p>r</p><p>l</p><p>fl (10)</p><p>8.11</p><p>Portanto, a tensão de flambagem no regime elástico vale:</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> (11)</p><p>Representando num sistema de eixos cartesianos  x</p><p>fl</p><p>, temos a chamada hipérbole de Euler, indicada</p><p>na fig. 15b.</p><p>Impondo a condição do regime elástico, resulta:</p><p>p2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Desta relação podemos tirar o valor limite do índice de esbeltez (lim) a partir do qual é válida a</p><p>fórmula de Euler:</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p>E</p><p></p><p></p><p> (12)</p><p>Observa-se portanto que este limite depende exclusivamente do material. Por exemplo, para o antigo</p><p>aço comum de construção do tipo ASTM-A7, temos:</p><p>E= 2,1 x 10</p><p>6</p><p>Kgf/cm</p><p>2</p><p>105</p><p>1100</p><p>10.1,2. 62</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p>p= 1900 Kgf/cm</p><p>2</p><p>Em resumo, para peças longas, com   lim , ocorre a flambagem no regime elástico e vale a fórmula</p><p>de Euler:</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>EI</p><p>P</p><p></p><p> ou</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> e A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>9- Flambagem no regime inelástico – Várias Teorias</p><p>Os estudos contemporâneos de Euler (1747), provavelmente não observaram o campo de validade</p><p>correspondente e, certamente, não conseguiram resultados sequer razoáveis nas experiências de flambagem em</p><p>peças curtas e o estudo da flambagem, além do regime elástico, ficou abandonado durante muito tempo.</p><p>Somente em 1847, Lamarle mostrou porque a fórmula de Euler só pode ser usada para peças com</p><p>grande esbeltez onde fl  p e, a partir de 1889, começou com Considère e Engesser, o desenvolvimento de</p><p>várias teorias e fórmulas empíricas para tentar resolver o problema. Apenas recentemente (em termos históricos)</p><p></p><p>lim</p><p></p><p></p><p>p</p><p>fl</p><p></p><p>p</p><p>Etg </p><p></p><p></p><p></p><p>Fig.15 – Regime Elástico – Hipérbole de Euler</p><p>8.12</p><p>que Shanley, em 1947, resolveu definitiva e satisfatoriamente, o estudo da flambagem além do limite de</p><p>proporcionalidade.</p><p>Nos itens seguintes, pretendemos comentar algumas das teorias e fórmulas de flambagem no regime</p><p>plástico e depois estabelecermos algumas conclusões práticas relativas ao cálculo de peças curtas e médias</p><p>sujeitas à compressão.</p><p>9.1- Teoria do módulo tangente – Engesser (1889)</p><p>Analisando as fórmulas de Euler, válidas para regime elástico, onde como sabemos, o módulo de</p><p>elasticidade longitudinal (E) corresponde numericamente à tangente trigonométrica do ângulo  que a reta OA</p><p>faz com o eixo das deformações específicas (); Engesser, após alguns estudos iniciais de Considère, concluiu</p><p>pela validade das mesmas fórmulas também na fase plástica, substituindo (E) pelo chamado módulo de</p><p>elasticidade tangente (ET) definido como a tangente trigonométrica do ângulo () que a tangente à curva =f()</p><p>faz com o eixo das deformações  no ponto correspondente à tensão  em estudo (fig. 16).</p><p></p><p></p><p></p><p> tg</p><p>d</p><p>d</p><p>E</p><p>T</p><p>(13)</p><p> tgE</p><p>Portanto, no regime elástico temos  tgE constante para tensões até p e para tensões superiores a p</p><p>temos  tgE</p><p>T</p><p>variável de acordo com o nível de tensão.</p><p>Evidentemente, E T é uma fração m de E:</p><p>E.mE</p><p>T</p><p> com 0  m  1</p><p>No regime elástico m=1 e no regime plástico, ET é uma função da tensão, da esbeltez  e do</p><p>comportamento do material, nem sempre de simples equacionamento.</p><p>Concluindo, verificamos que pela teoria do módulo tangente, admite-se que ET define perfeitamente as</p><p>relações entre tensões e deformações para todos os pontos da seção transversal e portanto:</p><p>2</p><p>fl</p><p>T</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p> (15)</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> (16)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Fig.16 – Módulo Tangente ET</p><p>0</p><p>A p</p><p>8.13</p><p>9.2- Teoria do duplo módulo – Karman – Engesser – 1910</p><p>O próprio Engesser em 1895, Karman, em 1910, e outros pesquisadores verificaram que uma peça ao</p><p>flambar, apresenta, devido à flexão composta, tensões de compressão aumentadas nas fibras do lado côncavo e</p><p>diminuídas no lado convexo.</p><p>Como sabemos nas fibras descarregadas, o comportamento da relação tensão x deformação, corresponde</p><p>a reta BC paralela à reta OA da fig. 17 e portanto, valendo o módulo de Young (E); e como nas fibras carregadas</p><p>vale o módulo tangente (ET) relativo à reta BD, definiu-se o chamado módulo reduzido ou duplo módulo (ED)</p><p>como sendo uma função do material, dos mesmos E e ET e da forma da seção transversal.</p><p>Por exemplo, para a seção retangular chega-se a:</p><p>2</p><p>T</p><p>T</p><p>D</p><p>)EE(</p><p>EE4</p><p>E</p><p></p><p> (17)</p><p>Portanto, as fórmulas para flambagem inelástica segundo a Teoria do duplo módulo são:</p><p>2</p><p>fl</p><p>D</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p> (15)</p><p>2</p><p>D</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> (16)</p><p>Convém notar que os valores obtidos pela teoria do duplo módulo conduziam em geral a valores</p><p>superiores aos que eram obtidos experimentalmente e apesar destas pequenas discrepâncias, tal teoria foi aceita</p><p>como válida até 1947.</p><p>9.3- Teoria de Engesser – Shanley (1947)</p><p>O conceito moderno de flambagem no regime plástico deve-se a Shanley, que em 1947, no seu famoso</p><p>trabalho “Inelastic Column Theory” do “Journal of the Aeronautical and Sciences” demonstrou analítica e</p><p>experimentalmente, a validade da teoria do módulo tangente de Engesser.</p><p>Algumas das principais conclusões dos estudos e pesquisas de Shanley estão relacionadas a seguir:</p><p>a) Quando a carga axial atinge o valor correspondente ao ponto de bifurcação do equilíbrio, a passagem</p><p>da forma reta para fletida, ocorre somente com um acréscimo de carga e para pequenas flechas não</p><p>há descarregamento nas fibras do lado convexo da peça e, portanto, o módulo tangente define a</p><p>relação tensão x deformação em toda seção.</p><p>b) Aumentando-se a carga, as flechas aumentam rapidamente, o lado convexo é descarregado e como o</p><p>lado côncavo é carregado, a deformação é definida, como vimos, pelo duplo módulo. Porém, quando</p><p>p</p><p></p><p> B</p><p>0</p><p>Fig.17 – Duplo Módulo ED</p><p>C</p><p>A</p><p></p><p></p><p>D</p><p>BC – fibras descarregadas – E</p><p>BD – fibras carregadas – ET</p><p>ED = f(E,ET)</p><p>8.14</p><p>a carga atinge o valor correspondente ao duplo módulo, a peça em geral, já apresenta grandes flechas</p><p>incompatíveis com a utilização normal da estrutura.</p><p>c) A fórmula do módulo tangente dá a máxima carga para a qual a coluna pode permanecer reta e</p><p>portanto, é aconselhável considerá-la como carga crítica.</p><p>d) A parcela da carga que pode exceder o valor dado pela teoria do módulo tangente é uma função,</p><p>principalmente, do material e da forma com que é aplicada a carga.</p><p>e) A carga crítica de flambagem numa coluna apresenta como limite inferior, o valor dado pela teoria</p><p>do módulo tangente e como limite superior, o valor fornecido pela teoria do duplo módulo.</p><p>Convém observar que estas conclusões também foram endossadas pelo próprio Karman, um dos</p><p>defensores da Teoria do duplo módulo.</p><p>Em resumo, aceita-se atualmente como correta, a definição de carga de flambagem no regime</p><p>inelástico, no seu limite inferior, a partir da teoria do módulo tangente:</p><p>2</p><p>fl</p><p>T</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>IE</p><p>P</p><p></p><p> (20)</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> (21)</p><p>A título de comparação, reproduzimos abaixo as curvas de flambagem obtidas por Shanley, pelas</p><p>teorias do módulo tangente e do duplo módulo para corpos de prova cilíndricos de alumínio (fig. 18).</p><p>Os resultados experimentais confirmam plenamente a teoria do módulo tangente ET que também é</p><p>chamado de módulo de Engesser-Shanley.</p><p>9.4- Conclusão Prática</p><p>Embora do ponto de vista conceitual, a flambagem no regime plástico esteja bem resolvida pela teoria de</p><p>Engesser-Shanley, o tratamento analítico não é muito simples, pois a função ET é de determinação trabalhosa,</p><p>razão pela qual existem várias fórmulas e curvas de natureza experimental e empírica que procuram traduzir de</p><p>uma maneira mais clara a flambagem inelástica.</p><p>Do ponto de vista prático, as curvas de flambagem podem ser determinadas através de várias</p><p>experiências com corpos de prova de esbeltez variável ou aproximadamente da seguinte maneira: no regime</p><p>elástico, ou seja, para lim a curva é hipérbole de Euler, para =0, quando o material tem um limite de</p><p>escoamento bem definido, admite-se que a tensão crítica é a tensão de escoamento, ou seja, fl =esc e entre esses</p><p>pontos temos uma curva que para =0 tem tangente horizontal e para =lim tem a mesma tangente que a</p><p>hipérbole de Euler, como mostra a fig. 19.</p><p> lim</p><p>p</p><p>fl</p><p>E</p><p>ET</p><p>ED</p><p>Fig.18 – Comparação das Teorias do</p><p>Módulo Tangente e do Duplo Módulo</p><p>E – Curva de Euler</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p>ET – Curva do Módulo Tangente</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p>ET – Curva do Módulo Duplo</p><p>2</p><p>D</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p>8.15</p><p>No caso de materiais onde o patamar do escoamento não é bem definido, recomenda-se determinar a</p><p>curva de flambagem diretamente através de ensaios.</p><p>Entretanto para o projeto de barras comprimidas, no regime plástico, é mais usual recorrer a expressões</p><p>analíticas que em geral, variam muito em função do autor, das normas e códigos estruturais dos diversos países,</p><p>do coeficiente de segurança adotado, do material e de outros fatores.</p><p>A seguir, relacionamos algumas das fórmulas mais usadas no nosso meio.</p><p>9.5- Fórmula de Tetmajer (1903)</p><p>É uma das fórmulas mais antigas e usadas na Resistência dos Materiais. Sua forma geral é a seguinte:</p><p>2</p><p>fl</p><p>cba  (22)</p><p>Os coeficientes a, b, c são característicos do material e abaixo damos os valores para alguns materiais</p><p>em Kgf/cm</p><p>2</p><p>:</p><p>Material lim a b c</p><p>Aço St 37 105 3100 11,40 0,00</p><p>Aço St 60 89 3350 6,20 0,00</p><p>Ferro Fundido 80 7760 120,00 0,53</p><p>Madeira 100 293 1,94 0,00</p><p>Aço Ni 86 4700 23,00 0,00</p><p>Fig.20</p><p>Por exemplo, para o antigo aço St-37, a fórmula de Tetmajer corresponde a uma linha reta dada por:</p><p> 4,113100</p><p>fl</p><p>[Kgf/cm</p><p>2</p><p>] (23)</p><p>  lim</p><p>Regime Plástico</p><p>Peças Curtas</p><p> > lim</p><p>Regime Elástico</p><p>Peças Longas</p><p>lim</p><p>fl</p><p>esc</p><p>p</p><p>Diversas Teorias</p><p>Mesma Tangente</p><p>Hipérbole de Euler</p><p>Fig.19 – Curvas de Flambagem</p><p></p><p>8.16</p><p>9.6- Fórmulas parabólicas (Johnson-1884, Ostenfeld-1898, Bleich-1952 e outros)</p><p>Diversos autores recomendam fórmulas parabólicas do tipo:</p><p>2</p><p>fl</p><p>BA  (24)</p><p>onde A e B são também coeficientes característicos do material.</p><p>Por exemplo, segundo Bleich, os coeficientes A e B são obtidos através das seguintes condições, como</p><p>já comentamos:</p><p>1) para =0  fl = esc logo</p><p>esc</p><p>A </p><p>2) para =lim fl = p logo</p><p>2</p><p>lim</p><p>pesc</p><p>B</p><p></p><p></p><p></p><p>resultando, portanto:</p><p>2</p><p>2</p><p>lim</p><p>pesc</p><p>escfl</p><p></p><p></p><p></p><p> (25)</p><p>Esta expressão representa com bastante aproximação a teoria do módulo tangente de Engesser-Shanley</p><p>e é utilizada pela NB-14- Cálculo e Execução de Estruturas de Aço da ABNT.</p><p>Por exemplo, para o aço ASTM-A7 com</p><p> esc = 2400 Kgf/cm</p><p>2</p><p>,  p = 1900 Kgf/cm</p><p>2</p><p>, E = 2,1 x 10</p><p>6</p><p>Kgf/cm</p><p>2</p><p>e lim= 105</p><p>Resulta: 2400A</p><p>esc</p><p> ; 046,0B</p><p>2</p><p>lim</p><p>pesc</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e portanto: ]cm/Kgf[046,02400 22</p><p>fl</p><p> (26)</p><p>9.7- Fórmula do Prof. T. V. Langendonck (1953)</p><p>Corresponde a uma expressão baseada na teoria do módulo tangente, fazendo:</p><p>)(</p><p>)(</p><p>1</p><p>E</p><p>E</p><p>flescfl</p><p>2</p><p>pfl</p><p>T</p><p></p><p></p><p></p><p> (27)</p><p>Substituindo em:</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p>e com algumas transformações, chega-se a seguinte fórmula:</p><p>2</p><p>limp</p><p>pesc</p><p>2</p><p>lim</p><p>pesc</p><p>fl</p><p>2</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> (28)</p><p>8.17</p><p>a expressão anterior também pode ser obtida a partir da expressão geral:</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>c1</p><p>ba</p><p></p><p></p><p> (29)</p><p>onde os coeficientes a,b,c, característicos do material, são determinados com as condições já descritas:</p><p>1) para =0,  fl =  esc</p><p>2) para =lim ,  fl =  p</p><p>3) para =lim , tangente à curva coincide com a tangente à hipérbole de Euler.</p><p>9.8- Norma AISC (American Institute of Steel Construction)</p><p>a) Regime elástico lim</p><p>esc</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p>esc</p><p>p</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E2E</p><p>2</p><p>)tetancons(92,1</p><p>12</p><p>23</p><p>s</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b) Regime plástico <lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>lim</p><p>2</p><p>escfl</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>lim</p><p>3</p><p>lim</p><p>88</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>s</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> (variável)</p><p>Para aplicação desta norma, ver exercício 12-4.</p><p>9.9- CRC (Column Research Council)</p><p>No regime plástico, também é recomendada um tipo de fórmula parabólica (Johnson), semelhante ao</p><p>código AISC:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>0</p><p>escfl</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>para  < 0 onde:</p><p>p</p><p>2</p><p>0</p><p>E2</p><p></p><p></p><p></p><p>8.18</p><p>9.10- Outras fórmulas</p><p>Como já dissemos, várias são as fórmulas propostas para a flambagem no regime plástico, como por</p><p>exemplo a de Gordon-Rankine (1860), do tipo:</p><p>2fl</p><p>b1</p><p>a</p><p></p><p> (30)</p><p>e uma série de outras fórmulas de menor uso em nosso meio técnico.</p><p>10- Resumo – Orientação para cálculo – Principais Etapas:</p><p>De um modo geral, os problemas de verificação à flambagem por flexão para cargas axiais apresentam as</p><p>seguintes etapas:</p><p>a) determinar a força normal de compressão “ P ” na barra em estudo (ver Estática – Física – Equilíbrio</p><p>– Treliças etc);</p><p>b) determinar o momento de inércia mínimo da seção: Imin = I2;</p><p>c) determinar o raio de giração mínimo da seção:</p><p>A</p><p>I</p><p>rrr min</p><p>2min</p><p> ;</p><p>d) identificar as condições de vínculo e determinar o comprimento equivalente de flambagem:</p><p>llL</p><p>fle</p><p> ;</p><p>e) determinar o índice de esbeltez da barra:</p><p>r</p><p>l</p><p>r</p><p>L</p><p>fle  ;</p><p>f) determinar o índice de esbeltez limite do material:</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p>E</p><p></p><p></p><p> ;</p><p>g) comparar o índice de esbeltez da barra () com o índice de esbeltez limite do material (lim);</p><p>h) se   lim , isto é, flambagem elástica (barras longas), aplicar as fórmulas de Euler e tirar as</p><p>necessárias</p><p>conclusões:</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> ,</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p>l</p><p>EI</p><p>P</p><p></p><p> ou A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>i) se  < lim , isto é, flambagem inelástica (barras curtas), aplicar a fórmula mais adequada ao material.</p><p>Como dissemos, recomendamos usar fórmulas baseadas na teoria do módulo tangente de Engesser-</p><p>Shanley, por exemplo, a fórmula parabólica de Bleich, do tipo:</p><p>2</p><p>fl</p><p>BA  ou A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>j) determinar a carga admissível à flambagem:</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p> ;</p><p>k) comparar a carga admissível à flambagem com a carga normal atuante:</p><p>fl</p><p>PP  .</p><p>Finalmente, na fig. 21, representamos, em função do índice de esbeltez , para o material por nós escolhido</p><p>para a fixação das idéias gerais, o aço comum de construção do tipo ASTM-A7, as seguintes funções que</p><p>mostram como varia a tensão de flambagem com a esbeltez da barra:</p><p>Curva 1 – Euler:</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>E</p><p></p><p></p><p> para   lim (hipérbole)</p><p>Curva 2 – Engesser – Shanley – Bleich: 2</p><p>fl</p><p>BA  para  < lim (parábola)</p><p>8.19</p><p>8.20</p><p>11- Exemplos</p><p>11.1- Deduzir a fórmula da carga de flambagem para o caso de uma extremidade articulada e outra engastada</p><p>(fig. 22).</p><p>Por ocasião da flambagem, surgem o momento de engastamento MB e as reações de apoio VA e VB.</p><p>Logo o momento fletor na seção genérica vale:</p><p>x.Vy.PM</p><p>A</p><p></p><p>Substituindo na equação simplificada da linha elástica:</p><p> </p><p>0</p><p>I.E</p><p>x.V</p><p>y</p><p>I.E</p><p>P</p><p>"y</p><p>I.E</p><p>x.Vy.P</p><p>I.E</p><p>M</p><p>"y AA </p><p></p><p></p><p>fazendo:</p><p>I.E</p><p>P</p><p>k2  , obtém-se: 0x</p><p>P</p><p>V</p><p>kyk"y A22  ,</p><p>cuja solução geral é: x</p><p>P</p><p>V</p><p>kxcosCkxsenCy A</p><p>21</p><p> .</p><p>No caso, as condições de contorno são:</p><p>a) x=0, y=0 C2 = 0</p><p>b) x=l, y’=0 logo l.kcoskC</p><p>P</p><p>V</p><p>1</p><p>A </p><p>c) x=l, y=0 logo   0l.kcoskll.ksenC</p><p>1</p><p></p><p>Não considerando a possibilidade de C1 =0, a condição de flambagem resulta:</p><p>0l.kcosl.kl.ksen  ou kll.tgk </p><p>A equação acima pode ser resolvida por tentativas ou graficamente e a 1</p><p>a</p><p>solução diferente de zero é:</p><p>rd4934,4l.k </p><p>19,20lk 22 </p><p>2</p><p>fl2</p><p>l</p><p>19,20</p><p>I.E</p><p>P</p><p>k  e portanto</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2fl</p><p>l</p><p>I.E</p><p>l</p><p>I.E2</p><p>I.E</p><p>l</p><p>19,20</p><p>P</p><p></p><p></p><p></p><p> com l7,0l</p><p>fl</p><p></p><p>que é o resultado apresentado anteriormente.</p><p>P P</p><p>l</p><p>x</p><p>y</p><p>VA</p><p>VB</p><p>MB</p><p>A B</p><p>Fig.22</p><p>8.21</p><p>11.2- Determinar a carga admissível P nas peças abaixo esquematizadas (fig. 23). A seção transversal de todas</p><p>elas é retangular e o material é aço ASTM-A7. Adotar coeficiente de segurança s=3. Considerar todas as barras</p><p>como engastadas na extremidade inferior e livres na superior.</p><p>Seção: b=0,5 cm</p><p>h=3,0 cm</p><p>Material: aço ASTM A7</p><p>p</p><p> = 1900 Kgf/cm</p><p>2</p><p>TCesc</p><p> = 2400 Kgf/cm</p><p>2</p><p>E = 2,1.10</p><p>6</p><p>.Kgf/cm</p><p>2</p><p>.</p><p>Na barra 1, consideraremos apenas o cálculo à compressão ou tração simples, isto é, desprezando a</p><p>influência da esbeltez da peça:</p><p>Kgf1200PKgf1200</p><p>3</p><p>3600</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>Kgf36005,0.3.2400A.P</p><p>esc</p><p>escesc</p><p></p><p></p><p>Como sabemos, se o material é igualmente resistente à tração e compressão, teremos a mesma carga</p><p>admissível à compressão e tração, independente do comprimento da peça.</p><p>Para as demais barras, consideraremos o efeito de flambagem. Como vimos, é necessário calcular o</p><p>índice de esbeltez limite do material (lim) e comparar com o índice de esbeltez da coluna em questão, para</p><p>sabermos se a barra flambará no regime elástico ou plástico.</p><p>44,104</p><p>1900</p><p>10.1,2E 62</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Barra 2: cm2l  cm4l.2l</p><p>fl</p><p></p><p>cm144,0</p><p>12</p><p>5,0</p><p>12</p><p>b</p><p>hb12</p><p>hb</p><p>A</p><p>J</p><p>rr</p><p>3</p><p>y</p><p>ymin</p><p></p><p>P</p><p>P</p><p>2cm</p><p>P</p><p>5cm</p><p>P</p><p>7,52cm</p><p>P</p><p>P</p><p>15cm</p><p>25cm</p><p>[1] [2] [3] [4] [5] [6]</p><p>Fig.23</p><p>x</p><p>y</p><p>h</p><p>b</p><p>8.22</p><p>7,27</p><p>144,0</p><p>4</p><p>r</p><p>l</p><p>fl </p><p>Como  < lim a barra flambará no regime plástico e adotando a expressão de Bleich para o citado</p><p>material, vem:</p><p> </p><p>Kgf1182PKgf1182</p><p>3</p><p>3547</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>Kgf35475,1.7,2364A.P</p><p>cm/Kgf7,23647,27046,02400046,02400</p><p>fl</p><p>flfl</p><p>222</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p>Barra 3: cm5l  cm10l.2l</p><p>fl</p><p></p><p>lim</p><p>fl 4,69</p><p>144,0</p><p>10</p><p>r</p><p>l</p><p>  regime plástico</p><p> </p><p>Kgf1089PKgf1089</p><p>3</p><p>3267</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>Kgf32675,1.5,2178A.P</p><p>cm/Kgf5,21784,69046,02400</p><p>fl</p><p>flfl</p><p>22</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p>Barra 4: cm52,7l  cm04,15l.2l</p><p>fl</p><p></p><p>44,104</p><p>144,0</p><p>04,15</p><p></p><p>Como =lim estamos no ponto particular da transição do regime elástico para o plástico e,</p><p>evidentemente, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas.</p><p>Neste caso, sugere-se adotar a fórmula de Euler por ser, de um modo geral, mais precisa.</p><p> </p><p>Kgf950PKgf950</p><p>3</p><p>2850</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>Kgf28505,1.1900A.P</p><p>cm/Kgf1900</p><p>44,104</p><p>10.1,2.E</p><p>fl</p><p>flfl</p><p>p</p><p>2</p><p>2</p><p>62</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ou diretamente pela fórmula da carga de flambagem:</p><p> </p><p>4</p><p>33</p><p>ymin</p><p>2</p><p>62</p><p>2</p><p>fl</p><p>min</p><p>2</p><p>fl</p><p>cm0312,0</p><p>12</p><p>5,0.3</p><p>12</p><p>hb</p><p>II</p><p>Kgf2850</p><p>04,15</p><p>0312,0.10.1,2.</p><p>l</p><p>I.E</p><p>P</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Kgf950PKgf950</p><p>3</p><p>2850</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl </p><p>Se utilizássemos as fórmulas do regime plástico:</p><p> </p><p>Kgf2850P</p><p>cm/Kgf190044,104.046,02400</p><p>fl</p><p>p</p><p>22</p><p>fl</p><p></p><p></p><p>e Kgf950P </p><p>8.23</p><p>Barra 5: cm15l  cm30l.2l</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf239PKgf8,238</p><p>3</p><p>5,716</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>Kgf5,7165,1.7,477A.P</p><p>cm/Kgf7,477</p><p>3,208</p><p>10.1,2.E</p><p>3,208</p><p>144,0</p><p>30</p><p>r</p><p>l</p><p>fl</p><p>flfl</p><p>2</p><p>2</p><p>62</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>lim</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Barra 6: cm25l  cm50l.2l</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf86PKgf86</p><p>3</p><p>9,257</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>Kgf9,2575,1.9,171A.P</p><p>cm/Kgf9,171</p><p>2,347</p><p>10.1,2.E</p><p>2,347</p><p>144,0</p><p>50</p><p>r</p><p>l</p><p>fl</p><p>flfl</p><p>2</p><p>2</p><p>62</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>lim</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>Neste exercício de fixação podemos destacar os seguintes pontos:</p><p>a) a grande influência da esbeltez das peças, diminuindo a capacidade de suporte, quando comprimidas;</p><p>b) para pequenos índices de esbeltez (<20) podemos em geral , na prática, desprezar a influência de</p><p>flambagem. No nosso curso, consideraremos o efeito de flambagem para qualquer valor de .</p><p>c) embora seja possível calcular peças com grandes esbeltez, as normas estruturais limitam em geral o</p><p>valor de  nas barras comprimidas, em torno de 200.</p><p>d) a seção retangular não é indicada para resistir à flambagem, pois Ix >> Iy e há portanto, muito</p><p>desperdício de material.</p><p>11.3- Verificar a estrutura abaixo (Fig. 24), considerando a flambagem nas barras bi-articuladas 1 e 2.</p><p>P1 = 25 tf P2 = 15 tf</p><p>a = 1,5 m b = 1,0 m</p><p> = 30</p><p>o</p><p>.  = 45</p><p>o</p><p>.</p><p>Barra 1</p><p>"</p><p>8</p><p>3x"4x"4</p><p>Barra 2 2 "200,0x"2x"6 espaçados de 1”</p><p>Material</p><p>Aço S AR55 (Usiminas), com</p><p>p = 2800 kgf/cm</p><p>2</p><p>E = 2,1.10</p><p>6</p><p>kgf/cm</p><p>2</p><p>esc = 3600 kgf/cm</p><p>2</p><p>No regime plástico, usar:</p><p>FIG.24</p><p>2</p><p>2</p><p>lim</p><p>pesc</p><p>escfl</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p>P1</p><p>P2</p><p> </p><p>a b</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p></p><p></p><p>8.24</p><p>Cálculo das forças nas barras 1 e 2:</p><p>Aplicando as equações de equilíbrio da estática para o nó B, vem:</p><p> </p><p></p><p>0cosNcosNP0F</p><p>0senNsenNP0F</p><p>211y</p><p>212x</p><p>Resolvendo, obtém-se portanto:</p><p>tf32,7N</p><p>1</p><p> (compressão na barra 1)</p><p>tf39,26N</p><p>2</p><p> (compressão na barra 2)</p><p>Barra 1:</p><p>"</p><p>8</p><p>3x"4x"4 - cm0,2r</p><p>min</p><p> - 2cm5,18'A </p><p>86</p><p>2800</p><p>10.1,2.E 62</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>cm300</p><p>5,0</p><p>150</p><p>sen</p><p>a</p><p>l</p><p>fl</p><p></p><p></p><p> </p><p>lim</p><p>min</p><p>fl 150</p><p>2</p><p>300</p><p>r</p><p>l</p><p>Regime Elástico</p><p>33,2s33,2</p><p>7320</p><p>17039</p><p>N</p><p>P</p><p>s</p><p>Kgf170395,18.921A.P</p><p>cm/Kgf921</p><p>160</p><p>10.1,2.E</p><p>1</p><p>1</p><p>fl</p><p>1</p><p>flfl</p><p>2</p><p>2</p><p>62</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Barra 2: 2 "200,0x"2x"6</p><p>  </p><p>cm91,2</p><p>5,15.2</p><p>3,262</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p>cm3,26227,13,15,158,282I</p><p>cm1092546.2I</p><p>min</p><p>min</p><p>42</p><p>y</p><p>4</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p>cm4,141</p><p>707,0</p><p>100</p><p>sen</p><p>b</p><p>l</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>lim</p><p>min</p><p>fl 6,48</p><p>91,2</p><p>4,141</p><p>r</p><p>l</p><p>Regime Plástico</p><p>22</p><p>2fl</p><p>108,03600</p><p>86</p><p>28003600</p><p>3600 </p><p></p><p></p><p>P1</p><p>P2</p><p>N1</p><p>N2</p><p></p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>Fig.25</p><p>1,3 1,27</p><p>y</p><p>x</p><p>Fig.26</p><p>Y1</p><p>G1 G</p><p>1,3 1,27</p><p>8.25</p><p>  22</p><p>fl</p><p>cm/Kgf8,33446,48108,03600 </p><p>Kgf10369031.8,3344A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>93,3s93,3</p><p>26390</p><p>103690</p><p>N</p><p>P</p><p>s</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p></p><p>Resp.: A estrutura resiste com um coeficiente de segurança à flambagem de s=2,33 .</p><p>Obs.: 1) Na barra 1, de perfil , foram desprezados os efeitos de torção;</p><p>2) Na barra 2, de perfil , foi desprezado o efeito de cisalhamento, considerando-se a seção múltipla</p><p>com um perfil único.</p><p>11.4- Determinar a máxima carga P na estrutura da Fig. 27, considerando a flambagem da barra bi-articulada</p><p>AB, para as seguintes seções e materiais:</p><p>a) aço ASTM-A7- 2 perfis "24,0x</p><p>8</p><p>52x"10</p><p>"</p><p>- Usar NB 14</p><p>b) aço ASTM – A36 – 2 perfis "24,0x</p><p>8</p><p>52x"10</p><p>"</p><p>- Usar AISC (American Institute of</p><p>Steel Construction)</p><p>c) peroba rosa - d=20 cm – usar NB 11 – ABNT – s=4</p><p>(NB 11 – Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira)</p><p>d) concreto a=18cm E=150000 Kgf/cm</p><p>2</p><p>lim =70 s=3</p><p>e) ferro fundido D=30cm; d=26 cm. Adotar s=5.</p><p>Cálculo da força na barra AB</p><p>P</p><p>D</p><p>6 m B C</p><p>4 m</p><p>A</p><p>2 m</p><p>Fig.27</p><p>= 500 kgf/m p</p><p>04.40006.V8.P0M</p><p>BD</p><p></p><p>P33,12667V</p><p>B</p><p></p><p>4 m</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>B</p><p>V</p><p>R=500x8=4000</p><p>P</p><p>Fig.28</p><p>8.26</p><p>a) aço ASTM – A7 – 2 "24,0x</p><p>8</p><p>52x"10</p><p>"</p><p>- usar NB 14</p><p>  22</p><p>fl</p><p>cm/Kgf213847,75046,02400 </p><p>Kgf12400458.2138A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>Kgf62002</p><p>2</p><p>124004</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf44613PP33,1266762002VP</p><p>Bfl</p><p></p><p>b) aço ASTM – A36 - 2 "24,0x</p><p>8</p><p>52x"10</p><p>"</p><p>- usar AISC</p><p>Para este aço temos 2</p><p>esc</p><p>cm/Kgf2540ksi36 </p><p>Pelo AISC devemos adotar:</p><p>2</p><p>esc</p><p>p</p><p></p><p></p><p>128</p><p>2540</p><p>10.1,22E2E 62</p><p>esc</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>esc2</p><p>lim</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>lim</p><p>pesc</p><p>escfl</p><p>2</p><p>1. </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>cm/Kgf20982540.</p><p>128.2</p><p>47,75</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Kgf12168458.2098A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>Na norma citada, o coeficiente de segurança é função da esbeltez da coluna e é dado pela expressão:</p><p> </p><p> </p><p>86,1</p><p>128.8</p><p>47,75</p><p>128.8</p><p>47,75.3</p><p>67,1</p><p>88</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>s</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>lim</p><p>3</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Kgf65421</p><p>86,1</p><p>121684</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf47183PP33,1266765421VP</p><p>Bfl</p><p></p><p>c) peroba rosa - d= 20 cm – usar NB11 – s=4</p><p>Para este tipo de madeira temos:</p><p>2cm/Kgf94250E  2</p><p>c</p><p>cm/Kgf85</p><p>e segundo a NB11:</p><p>cp</p><p>3</p><p>8</p><p> 64</p><p>85.</p><p>3</p><p>8</p><p>94250E 2</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6,6</p><p>1,61</p><p>x</p><p>G</p><p>y</p><p>G1</p><p>y</p><p>1</p><p>   42</p><p>y</p><p>4</p><p>x</p><p>cm163461,16,6291,952I</p><p>cm56002800.2I</p><p></p><p></p><p>cm3,5</p><p>29.2</p><p>1634</p><p>A</p><p>I</p><p>rr x</p><p>ymin</p><p></p><p>lim</p><p>47,75</p><p>3,5</p><p>400</p><p>r</p><p>lf</p><p></p><p>Fig.29</p><p>8.27</p><p>para</p><p>2</p><p>2</p><p>fllim</p><p>E</p><p></p><p></p><p> e para</p><p>lim</p><p>40  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>40</p><p>40</p><p>.</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>lim</p><p>cfl</p><p>No caso temos:</p><p>cm5</p><p>4</p><p>20</p><p>4</p><p>d</p><p>d</p><p>4</p><p>64</p><p>d</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p>2</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>lim</p><p>fl 80</p><p>5</p><p>400</p><p>r</p><p>l</p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>cm/Kgf4,145</p><p>80</p><p>94250.E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Kgf45679</p><p>4</p><p>20</p><p>.4,145A.P</p><p>2</p><p>flfl</p><p></p><p></p><p></p><p>Kgf11420</p><p>4</p><p>45679</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf6580PP33,1266711420 </p><p>d) concreto - 2cm/Kgf150000Ecm18a </p><p>70</p><p>lim</p><p> Adotar : s=3</p><p>cm2,5</p><p>12</p><p>18</p><p>12</p><p>a</p><p>a12</p><p>a</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p>2</p><p>4</p><p></p><p>lim</p><p>fl 9,76</p><p>2,5</p><p>400</p><p>r</p><p>l</p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>cm/Kgf249</p><p>9,76</p><p>150000.E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Kgf8094318.249A.P 2</p><p>flfl</p><p></p><p>Kgf26981</p><p>3</p><p>80943</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf18281PP33,1266726981 </p><p>e) ferro fundido - D= 30 cm; d= 26 cm; s= 5; lim= 80; E=1.10</p><p>6</p><p>Kgf/cm</p><p>2</p><p>.</p><p>Se < lim usar Tetmajer</p><p>  222 cm1762630</p><p>4</p><p>A </p><p></p><p> cm92,9</p><p>176</p><p>17329</p><p>A</p><p>I</p><p>r </p><p>  444 cm173292630</p><p>64</p><p>I </p><p></p><p></p><p>lim</p><p>fl 3,40</p><p>92,9</p><p>400</p><p>r</p><p>l</p><p></p><p>  222</p><p>fl</p><p>cm/Kgf37853,4053,03,40.120776053,01207760 </p><p>Kgf666119176.3785A.P</p><p>flfl</p><p></p><p>Kgf133224</p><p>5</p><p>666119</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p></p><p>Kgf98163PP33,12667133224 </p><p>8.28</p><p>11.5- Dimensionar a barra bi-articulada AB. Considerar o veículo representado pelo trem abaixo na posição mais</p><p>crítica ao longo da viga CBD. Adotar coeficiente de segurança s=4. Considerar aço St 37 e se <lim usar a</p><p>fórmula de Tetmajer.</p><p>Cálculo da força na barra AB:</p><p>Intuitivamente ou através do estudo de linhas de influência, percebe-se que a posição mais desfavorável do trem</p><p>tipo, relativamente à força na barra AB, é a extremidade direita da barra CBD.</p><p>H</p><p>4,1351</p><p>H37,0</p><p>500</p><p>r</p><p>l</p><p>fl  aço St 37  105</p><p>lim</p><p></p><p>Como já dissemos, o problema de dimensionamento à flambagem deve ser feito por tentativas, pois não</p><p>se sabe à priori, em que regime a barra flambará.</p><p>1</p><p>a</p><p>TENTATIVA: Admitindo-se Regime Elástico.</p><p>cm05,15H</p><p>500</p><p>H.049,0.10.1,2.</p><p>52042.4</p><p>l</p><p>I.E.</p><p>F.sP</p><p>2</p><p>462</p><p>2</p><p>fl</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Verificação: lim</p><p>8,89</p><p>05,15</p><p>4,1351</p><p></p><p>Portanto não foi válido a aplicação da fórmula de Euler.</p><p>D</p><p>4 m 3 m</p><p>3</p><p>m</p><p>A</p><p>C</p><p>p</p><p>B</p><p></p><p>x</p><p>y</p><p></p><p>H</p><p></p><p>h</p><p>h</p><p>H</p><p>Secção da barra AB</p><p>h=0,8H</p><p>P=P 10 tf</p><p>2 m</p><p>Trem tipo</p><p>p=200 kgf/m</p><p>Fig.30</p><p>3,5 m</p><p>5 m</p><p>10000</p><p>D</p><p>A</p><p>F</p><p>C</p><p>F</p><p>B</p><p>F</p><p>1400 10000</p><p>Fig. 34</p><p>0M</p><p>6,0</p><p>5</p><p>3</p><p>sen</p><p>c</p><p></p><p></p><p>Kgf52042F</p><p>05,3.14004.senF5.100007.1000</p><p></p><p></p><p>4</p><p>44444</p><p>222222</p><p>H049,0</p><p>12</p><p>H8,0H</p><p>12</p><p>hH</p><p>I</p><p>H36,0H8,0HhHA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>H.37,0</p><p>H.36,0</p><p>H.049,0</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p>2</p><p>4</p><p></p><p>Fig.31</p><p>H</p><p>H</p><p>h</p><p>h</p><p>P</p><p>8.29</p><p>2</p><p>a</p><p>TENTATIVA: Admitindo-se Regime Plástico, segundo Tetmajer.</p><p>2</p><p>flfl</p><p>H36,0).4,113100(F.sA.P </p><p>cm37,16HH36,0.</p><p>H</p><p>4,1351</p><p>.4,11310052042.4 2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Verificação:</p><p>lim</p><p>6,82</p><p>37,16</p><p>4,1351</p><p></p><p>Portanto, foi válida a aplicação da fórmula de Tetmayer do regime plástico e a resposta é</p><p>cm37,16H </p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>a) Poderíamos também ter adotado valores para a dimensão H e verificar o coeficiente de segurança.</p><p>b) Se tivéssemos usado a fórmula parabólica no regime plástico, a equação obtida seria de resolução</p><p>mais trabalhosa, podendo ser resolvida inclusive por tentativas.</p><p>11.6- Determinar a máxima pressão admissível p no mecanismo abaixo ( fig. 32 ), considerando a flambagem na</p><p>biela AB. Adotar coeficiente de segurança s=8. Material: aço ASTM – A7.</p><p>2cm511.112.10.2A  4</p><p>33</p><p>miny</p><p>cm25,334</p><p>12</p><p>1.11</p><p>12</p><p>10.2</p><p>.2II </p><p>cm56,2</p><p>51</p><p>25,334</p><p>A</p><p>I</p><p>r </p><p>lim</p><p>fl 2,117</p><p>56,2</p><p>300</p><p>r</p><p>l</p><p></p><p>Kgf76975</p><p>300</p><p>25,334.10.1,2.</p><p>l</p><p>EJ</p><p>P</p><p>2</p><p>62</p><p>2</p><p>fl</p><p>y</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> Kgf9622</p><p>8</p><p>76975</p><p>s</p><p>P</p><p>P fl</p><p>fl</p><p></p><p>A partir da força admissível na biela AB, podemos determinar para a posição dada, a força horizontal</p><p>admissível F , através do equilíbrio do ponto A.</p><p>Kgf9476cosPF </p><p>e portanto a pressão pedida será:</p><p>2</p><p>22</p><p>cm/Kgf8,4p</p><p>4</p><p>50</p><p>.p9476</p><p>4</p><p>D</p><p>.pF </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Fig.33</p><p>P</p><p></p><p>F</p><p>10</p><p>2</p><p>[ cm ]</p><p>Secção da biela</p><p>2</p><p>1</p><p>B</p><p></p><p>l</p><p>Fig. 35</p><p>1</p><p>1</p><p>A Ø</p><p>D</p><p>p</p><p>cm300l</p><p>cm50D</p><p>10</p><p></p><p></p><p> </p><p>Fig.32</p><p>8.30</p><p>11.7- Calcular a máxima carga admissível P na peça de aço abaixo indicada (Fig. 34). Adotar coeficiente de</p><p>segurança s=3. Admitir para efeito de flambagem, barra bi-engastada, para flexão em torno do eixo y(flambagem</p><p>na direção x); e barra bi-articulada, para flexão em torno do eixo x (flambagem na direção y). Utilizar o Sistema</p><p>Internacional (SI) de Unidades de Medidas.</p><p>Flambagem em torno do eixo yy (plano xz):</p><p>cm87,0</p><p>12</p><p>9</p><p>A</p><p>I</p><p>r</p><p>y</p><p>y</p><p></p><p>lim</p><p>y</p><p>fly</p><p>y</p><p>4,172</p><p>87,0</p><p>150</p><p>r</p><p>l</p><p></p><p>N81325</p><p>5,1</p><p>10.9.10.06,2.</p><p>l</p><p>EI</p><p>P</p><p>2</p><p>8112</p><p>2</p><p>fly</p><p>y</p><p>2</p><p>fly</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>N27108PN27108</p><p>3</p><p>81325</p><p>s</p><p>P</p><p>P</p><p>fly</p><p></p><p>Flambagem em torno do eixo xx (plano yz):</p><p>Admitindo-se como barra bi-engastada perfeita:</p><p>m5,1cm150</p><p>2</p><p>300</p><p>2</p><p>l</p><p>l</p><p>fly</p><p></p><p>484</p><p>33</p><p>y</p><p>m10.9cm9</p><p>12</p><p>3.4</p><p>12</p><p>hb</p><p>I </p><p>242 m10.12cm123.4h.bA </p><p>Admitindo-se como barra bi-articulada perfeita:</p><p>m3cm300ll</p><p>flx</p><p></p><p>484</p><p>33</p><p>x</p><p>m10.16cm16</p><p>12</p><p>4.3</p><p>12</p><p>bh</p><p>I </p><p>cm15,1</p><p>12</p><p>16</p><p>A</p><p>I</p><p>r X</p><p>x</p><p></p><p>Fig.35</p><p>l</p><p>Fig.36</p><p>lL </p><p>Fig. 37</p><p>P</p><p>P</p><p>l L</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>z</p><p>z</p><p>127</p><p>m/N10.06,2E</p><p>36açoASTMA</p><p>MATERIAL</p><p>cm4h</p><p>cm3b</p><p>cm300lL</p><p>lim</p><p>211</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>y</p><p>x x</p><p>h</p><p>b</p><p>Fig.34</p><p>8.31</p><p>lim</p><p>x</p><p>lfx</p><p>x</p><p>260</p><p>15,1</p><p>300</p><p>r</p><p>l</p><p></p><p>N36145</p><p>0,3</p><p>10.16.10.06,2.</p><p>l</p><p>EI</p><p>P</p><p>2</p><p>8112</p><p>2</p><p>flx</p><p>x</p><p>2</p><p>flx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>N12048PN12048</p><p>3</p><p>36145</p><p>P </p><p>Como se observa, devido às condições especiais de vinculação, a barra neste caso, tenderá a flambar em</p><p>torno do eixo de maior momento de inércia e portanto, nestas condições, o que define a flambagem é o valor do</p><p>índice de esbeltez da peça.</p><p>11.8- Verificar a barra 5 do dispositivo abaixo.</p><p>Seção da barra 5 – 2 "</p><p>8</p><p>1x"1x"1 , justapostos como indica a fig. 38.</p><p>Para o perfil composto temos:</p><p> </p><p>cm87,0</p><p>148.2</p><p>22,2</p><p>rr</p><p>cm22,2]721,048,1341,0[2I</p><p>cm638,2319,1.2I</p><p>minx</p><p>42</p><p>x</p><p>4</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p>O índice de esbeltez da barra será:</p><p>69</p><p>87,0</p><p>60</p><p>r</p><p>l</p><p>min</p><p>fl </p><p>Para o cálculo do índice de esbeltez limite do material, temos: 104</p><p>1900</p><p>10.1,2.E 62</p><p>p</p><p>2</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>G</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>b x</p><p>y</p><p>Fig.38</p><p>1</p><p>G</p><p>G</p><p>a a</p><p>x x</p><p>y</p><p>1,796 cm</p><p>0,72 cm</p><p>Desprezar os arredondamentos na região de contato das duas</p><p>cantoneiras.</p><p>Segundo o catálogo da COFAVI, os dados de uma</p><p>cantoneira isolada são:</p><p>cm48,0rr</p><p>cm76,0yx</p><p>cm83,0IyIx</p><p>cm48,1A</p><p>2min</p><p>4</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>11</p><p>422</p><p>a1</p><p>cm319,1341,083,0.2Ib</p><p>IaIyIxIb</p><p>cm341,048,0.48,1r.AIa</p><p></p><p></p><p></p><p>40 cm</p><p>P</p><p>A</p><p>3</p><p>0</p><p>c</p><p>m</p><p>4</p><p>Fig. 40</p><p>3</p><p>B</p><p>3</p><p>0</p><p>c</p><p>m</p><p>40 cm</p><p></p><p></p><p>1</p><p>5</p><p>2</p><p>C</p><p>P</p><p>D</p><p>Kgf4000P </p><p>Material:</p><p>Aço ASTM-A7</p><p>2s</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf1400</p><p>cm/Kgf2400</p><p>cm/Kgf1900</p><p>26</p><p>2</p><p>c</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Fig.37</p><p>8.32</p><p>Portanto</p><p>lim</p><p> , ou seja, Regime Plástico.</p><p>Usando a fórmula de SHANLEY-BLEICH, temos:</p><p>  222</p><p>fl</p><p>cm/Kgf218069046,02400046,02400 </p><p>  Kgf322648,1.21090A.P</p><p>cm/Kgf1090</p><p>2</p><p>2180</p><p>2</p><p>flfl</p><p>2fl</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>O cálculo da força atuante na barra 5 é feito facilmente equilibrando os nós A e C:</p><p>Nó A:  </p><p>31V</p><p>NN0F</p><p>)tração(</p><p>cos2</p><p>P</p><p>N0F</p><p>1H</p><p></p><p> </p><p>Nó C:  </p><p>21H</p><p>NN0F</p><p>  PtgsenN2N0F</p><p>15V</p><p>logo: )compressão(Kgf300075,0.4000N</p><p>5</p><p></p><p>Como</p><p>fl5</p><p>PN  , a barra está verificada contra a flambagem.</p><p>11.9- Considere a barra da figura, de secção losangular, sujeita a uma carga axial, de compressão. Quando esta</p><p>carga for igual a carga crítica, a barra irá flambar no plano `NS´ ou `OE´ ? Por quê ?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>A P </p><p></p><p>N1</p><p>N3</p><p>Fig.39</p><p>N2 N1 N5</p><p>C</p><p>Fig.40</p><p>N</p><p>S</p><p>O</p><p>a a</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>E</p><p>E</p><p>O</p><p>N</p><p>S</p><p>P</p><p>Fig.41</p><p> </p><p>4</p><p>3</p><p>NS</p><p>4</p><p>3</p><p>OE</p><p>a.667,0</p><p>12</p><p>a.2.a</p><p>.4I</p><p>a.667,2</p><p>12</p><p>a.2.a</p><p>.4I</p><p></p><p></p><p>Sendo INS < IOE , a barra irá flambar no plano OE, que é o plano</p><p>perpendicular ao eixo de menor momento de inércia ( INS ).</p><p>Podemos dizer também, que a barra flambará em torno do eixo</p><p>NS de menor inércia.</p><p>8.33</p><p>11.10- Verificar a segurança do tirante e da escora:</p><p>DADOS</p><p> AB = 1 m</p><p>AC = 0,5 m</p><p> secções transversais :</p><p>tirante d = 1 cm</p><p>escora</p><p> Materiais</p><p>Tirante ET = 2000 Kgf/cm²</p><p>Escora E = 2,1.10</p><p>6</p><p>Kgf/cm²</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Equilíbrio do ponto A :</p><p>Tirante AB :</p><p>Escora AC : A=2cm</p><p>2</p><p>11.11- Para a estrutura da figura, calcular o máximo valor de “P” que pode ser aplicado, considerando o efeito da</p><p>flambagem nas barras comprimidas.</p><p>P</p><p>O45</p><p></p><p>4,0m</p><p>A B</p><p>FAB</p><p>FBC</p><p>1</p><p>2</p><p>LBC=5m</p><p>DADOS:- Material – Aço ASTM-A36</p><p>P</p><p>2</p><p>lim</p><p>E.</p><p></p><p></p><p></p><p>MPa250ECET </p><p>MPa190P </p><p>GPa200E </p><p>Para lim (REGIME PLÁSTICO)</p><p>2</p><p>fl .0058,0250  ( MPa )</p><p>ADOTAR: c.s = 3 ( COEF. DE SEGURANÇA )</p><p>190</p><p>10.200. 32</p><p>lim</p><p></p><p></p><p>102lim </p><p>Fig.43</p><p>C</p><p>3,0m 1,0m</p><p>LAB</p><p>SECÇÕES</p><p>BARRA AB</p><p>BARRA BC</p><p>A, B, C ...ARTICULAÇÕES</p><p>x’</p><p>2 6” x 2” x 0,2”</p><p>O36,86</p><p>0,8 cos</p><p>0,6 sen</p><p>75,0 tg</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 cm</p><p>1 cm</p><p>FAB = 514,03 1000</p><p>A</p><p>FAC = 729,93</p><p>06,3s</p><p>48,659</p><p>2000</p><p>s48,654</p><p>4</p><p>1</p><p>03,514</p><p>TT</p><p>2</p><p>T </p><p></p><p></p><p>93,1</p><p>93,729</p><p>38,1409</p><p>s cm29,0</p><p>2</p><p>17,0</p><p>ii</p><p>38,1409</p><p>50</p><p>17,0101,2</p><p>P cm17,0</p><p>12</p><p>12</p><p>I</p><p>4,10441,172</p><p>29,0</p><p>50</p><p>4,104</p><p>1900</p><p>101,2</p><p>fl2min</p><p>2</p><p>62</p><p>fl</p><p>4</p><p>3</p><p>1</p><p>escora</p><p>62</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>B</p><p>tirante</p><p>1000 Kgf</p><p>A</p><p>escora</p><p>C</p><p>60º</p><p>45º</p><p>Fig.42</p><p>G1</p><p>5,08</p><p>4cm</p><p>4cm</p><p>3cm 3cm</p><p>x’</p><p>y’</p><p>y’</p><p>G</p><p>G</p><p>G1</p><p>3,78 1,3</p><p>2P</p><p>8.34</p><p>11.12- Determinar a máxima carga w em Kgf/cm na estrutura, considerando o problema da flambagem.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>-Forças nas barras (Equilíbrio nó B)</p><p>0Fx  {+ FAB - FBCsen - Pcos45º= 0</p><p>+ FAB - 0,6FBC - 0,71P = 0 (I)</p><p>0Fy  {+ FBC cos - 2P - Psen45º = 0</p><p>+ 0,8FBC - 2P - 0,71P = 0</p><p>FBC = 3,38P=N2 (compressão)</p><p>De (I) vem: FAB - 0,6.(3,38P) - 0,71P= 0</p><p>FAB = 2,74P=N1 (compressão)</p><p>-Secções</p><p>Barra AB: lfl=le=lAB=1m</p><p>lim</p><p>fl</p><p>AB</p><p>mm</p><p>inm</p><p>4</p><p>3</p><p>y</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>2</p><p>97,81</p><p>22,1</p><p>100</p><p>r</p><p>l</p><p>22,1</p><p>24</p><p>36</p><p>ir</p><p>Icm36</p><p>12</p><p>3.4</p><p>.4'I</p><p>cm64</p><p>12</p><p>4.3</p><p>.4'I</p><p>cm24</p><p>2</p><p>6.8</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>fl 250.0,0058.(81,97</p><p>2</p><p>)=211,03 Mpa</p><p>Pfl= fl .A=(211,03.10</p><p>6</p><p>).(24.10</p><p>-4</p><p>)=506,47 kN</p><p>kN61,61P</p><p>P.74,282,168FP</p><p>kN82,168</p><p>3</p><p>47,506</p><p>s.c</p><p>P</p><p>P</p><p>AB</p><p>fl</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p>Barra BC: lfl=le=lBC=5m</p><p>lim</p><p>fl</p><p>AB</p><p>mm</p><p>inm</p><p>42</p><p>y</p><p>4</p><p>x</p><p>2</p><p>4,124</p><p>02,4</p><p>500</p><p>r</p><p>l</p><p>cm02,4</p><p>31</p><p>5,500</p><p>ir</p><p>Icm5,500)78,35,158,28.(2'I</p><p>cm1092546.2'I</p><p>cm315,15.2A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>42,124</p><p>10.200.E. 32</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =127,4 MPa</p><p>Pfl= fl .A=(127,4.10</p><p>6</p><p>).(31.10</p><p>-4</p><p>)=394,9 kN</p><p>kN95,38P</p><p>P.38,365,131FP</p><p>kN65,131</p><p>3</p><p>9,394</p><p>s.c</p><p>P</p><p>P</p><p>BC</p><p>fl</p><p>fl</p><p></p><p></p><p></p><p>MENOR P</p><p>RESPOSTA: PMÁX=38,95 kN</p><p>Dados da barra BD:</p><p> secção (ver figura)</p><p> Material</p><p>ET = EC = 2400 Kgf/cm²</p><p>p = 1900 Kgf/cm²</p><p>E = 2,1.106 Kgf/cm²</p><p> Adotar sfl = 5</p><p>200.w</p><p>VC = 50.w</p><p>250.w</p><p>250.w</p><p>1,3</p><p>y´</p><p>3,78</p><p>y</p><p>x´</p><p>cm</p><p>5,08</p><p>400 cm 200 cm</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>c</p><p>m</p><p>C B A</p><p>D</p><p>w</p><p>6’’ x 2’’ x 0,2’’</p><p>y</p><p>x</p><p> se regime plástico, usar</p><p>SHANLEY - BLEICH</p><p>Fig.44</p><p>8.35</p><p>  </p><p>  2</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>barra</p><p>min</p><p>min</p><p>42</p><p>Y</p><p>fl</p><p>4</p><p>X</p><p>fl</p><p>62</p><p>lim</p><p>cm</p><p>Kgf</p><p>15,228675,49</p><p>44,104</p><p>19002400</p><p>2400</p><p>plástico) (campo 4,104 75,49</p><p>02,4</p><p>200</p><p>cm02,4</p><p>31</p><p>54,500</p><p>i</p><p>cm</p><p>Kgf</p><p>7,56wIcm54,50078,35,158,282I</p><p>5</p><p>w250</p><p>56,70870</p><p>s cm10925462I</p><p>kgf56,708703115,2286P 44,104</p><p>1900</p><p>101,2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Fig.45</p><p>Fig.46</p><p>11.13- Esboçar o diagrama tensão de flambagem( fl ) X índice de esbeltez (  ), indicando os tipos de</p><p>curvas, tipos de regime (elástico e plástico), índice de esbeltez limite ( lim ), tensão de proporcionalidade</p><p>( p ) e tensão de escoamento ( E ). No regime plástico usar 2</p><p>Efl k .</p><p>PARÁBOLA</p><p></p><p>Barras curtas</p><p>Lim</p><p>R. Plástico</p><p> </p><p></p><p>fl</p><p>E</p><p>p</p><p>- EULER</p><p>Barras longas</p><p>R. Elástico</p><p>Lim  Lim</p><p></p><p>HIPÉRBOLE</p><p>11.14- Dado o caso fundamental de Euler (barra biarticulada), esboçar os outros 3 principais casos,</p><p>indicando a vinculação, a deformação e o valor do comprimento equivalente de flambagem ( Le</p><p>= lfl ).</p><p>P</p><p>P</p><p>L</p><p>P</p><p>P</p><p>L</p><p>fl</p><p>=</p><p>L</p><p>L</p><p>fl</p><p>=</p><p>2</p><p>.L</p><p>L</p><p>fl</p><p>=</p><p>0</p><p>,7</p><p>.L</p><p>L</p><p>fl</p><p>=</p><p>0</p><p>,5</p><p>.L</p><p>Fig.45</p><p>Fig.46</p><p>8.36</p><p>12 - Exercícios Propostos</p><p>12.1- Calcular a carga admissível à flambagem para as seis colunas abaixo esquematizadas ( Fig. 47 a 52 ).</p><p>a)</p><p>Material adotar</p><p>Aço ASTM A7 s=3 l=4m</p><p>26</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>p</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf2400</p><p>cm/Kgf1900</p><p></p><p></p><p></p><p>b)</p><p>Pinho do Paraná s=4 l=3m</p><p>cp</p><p>2</p><p>2</p><p>c</p><p>3</p><p>8</p><p>cm/Kgf105225E</p><p>cm/Kgf51</p><p></p><p></p><p></p><p>c)</p><p>Ferro fundido s=5 l=3,5m</p><p>26</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>c</p><p>cm/Kgf10.1E</p><p>cm/Kgf1500</p><p>cm/Kgf1800</p><p></p><p></p><p></p><p>d)</p><p>Liga de Al s=3 l=2m</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>cm/Kgf1750</p><p>cm/Kgf703000E</p><p></p><p></p><p>Para</p><p>lim</p><p></p><p>2</p><p>fl</p><p>cm/Kgf192953 </p><p>secção</p><p>1</p><p>Fig.48</p><p>d=20 cm</p><p>l</p><p>P</p><p>P</p><p>Fig.47</p><p>P</p><p>P</p><p>l</p><p>30 cm</p><p>20</p><p>1 1</p><p>2</p><p>Fig.49</p><p>Fig.50</p><p>P</p><p>P</p><p>l</p><p>12 cm</p><p>5</p><p>l</p><p>P</p><p>P</p><p>20 cm</p><p>3 cm</p><p>3</p><p>0</p><p>c</p><p>m</p><p>2</p><p>c</p><p>m</p><p>8.37</p><p>e)</p><p>Aço ASTM A36 l=6m</p><p>26</p><p>2</p><p>p</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf2540</p><p></p><p></p><p>usar AISC</p><p>f)</p><p>Aço St 37 s=2,5 l=1,5m</p><p>2</p><p>p</p><p>26</p><p>cm/Kgf1900</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p></p><p></p><p>Para</p><p>lim</p><p></p><p>usar Tetmajer</p><p>Resp.: a) Kgf69824P</p><p>fl</p><p> b) Kgf5664P</p><p>fl</p><p> c) Kgf22500P</p><p>fl</p><p></p><p>d) Kgf24011P</p><p>fl</p><p> e) Kgf13040P</p><p>fl</p><p> f) Kgf16758P</p><p>fl</p><p></p><p>12.2- Verificar a estrutura abaixo (fig. 53)</p><p>FIG 55</p><p>Resp.: s  3</p><p>4</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3 m</p><p>1,5 m</p><p>1</p><p>2</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>0,5”</p><p>P= 50 tf</p><p>Material: aço SAR-50 (Usiminas)</p><p>26</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>E</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf2640</p><p>cm/Kgf3300</p><p></p><p></p><p></p><p>Barra 1 :</p><p>2 L "</p><p>8</p><p>1x"4x"8</p><p>Barra 2 :</p><p>L "</p><p>8</p><p>5x"8x"8</p><p>2 I "31,0x"</p><p>8</p><p>54x"10</p><p>Fig.51</p><p>l</p><p>Fig. 54</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>12 cm</p><p>9 cm</p><p>Fig.52</p><p>Fig.53</p><p>P</p><p>8.38</p><p>12.3- Determinar a máxima carga P na estrutura abaixo, considerando a flambagem nas barras AB e AC.</p><p>Resp.: P=5333 Kgf</p><p>12.4- Determinar o acréscimo de temperatura que provoque flambagem na barra bi-articulada da figura abaixo.</p><p>12.5- Dimensionar a barra CD da estrutura abaixo (fig. 56):</p><p>P= 1000 Kgf</p><p>p= 1000 Kgf/m</p><p>s= 4</p><p>material – aço</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>p</p><p>26</p><p>cm/Kgf2500</p><p>cm/Kgf2000</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p></p><p></p><p></p><p>Resp.: t = 88</p><p>o</p><p>C</p><p>e</p><p>d</p><p>l</p><p>2</p><p>,0</p><p>m</p><p>1 m</p><p>Fig. 56 A</p><p>1 m</p><p></p><p>D</p><p>2</p><p>,0</p><p>m</p><p>P</p><p>B</p><p>C</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>m</p><p>m</p><p>[ mm ]</p><p>150</p><p>Dados:</p><p>Barra AB: "200,0x"2x"6</p><p>Barra AC:</p><p>Material: aço ASTM A7</p><p>26</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>p</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf2400</p><p>cm/Kgf1900</p><p></p><p></p><p></p><p>Adotar s=4</p><p>Dados: l=200cm; d=10cm;</p><p>e=1 cm;</p><p>Material: aço estrutural</p><p>C/10.12</p><p>cm/Kgf2400</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf1900</p><p>6</p><p>2</p><p>E</p><p>26</p><p>2</p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Fig.55</p><p>Fig.54</p><p>Secção: triângulo</p><p>equilátero</p><p>C B A</p><p>D</p><p>p</p><p>3 m 3 m</p><p>4</p><p>m</p><p>4 m</p><p>a</p><p>a a</p><p>P</p><p>Resp.: a= 13,7 cm</p><p>Fig.56</p><p>8.39</p><p>12.6- Determinar a máxima carga admissível na estrutura abaixo, nos seguintes casos:</p><p>a) l = 4m b) l = 8m</p><p>12.7- A coluna da figura seguinte é rotulada nas extremidades A e B e apresenta na seção central C ligações que</p><p>impedem a flambagem segundo a direção xx, ou seja, em torno do eixo yy. Sabendo-se que se trata do perfil H</p><p>de 5” (tipo Alcan Shape 29003) e que a liga de alumínio é do tipo 6351 T6, verificar a coluna para uma carga</p><p>axial de compressão de 40 tf.</p><p>D</p><p>l</p><p>Fig. 59</p><p>A</p><p>C</p><p>a</p><p></p><p>a</p><p>a</p><p>B</p><p>P</p><p>As 3 barras bi-articuladas AD,</p><p>BD e CD estão dispostas de tal</p><p>forma que a base horizontal</p><p>ABC é um triângulo equilátero</p><p>de lado a=l/4 onde l é a altura</p><p>GD da estrutura.</p><p>G é o centro de gravidade do</p><p>triângulo ABC. Adotar</p><p>coeficiente de segurança s=3. A</p><p>seção das barras é tubular  6”</p><p>(DIN 2440): admitir material do</p><p>tipo ASTM A7. Resp.: a) P=48482 Kgf</p><p>b) P=22745 Kgf</p><p>xx</p><p>y</p><p>y</p><p>P= 40 tf</p><p>l/2</p><p>A</p><p>x</p><p>C</p><p>y</p><p>y x</p><p>l = 6 m</p><p>P= 40 tf</p><p>Obs.: Consultar catálogo da</p><p>Alcan ou equivalente.</p><p>P= 40 tf</p><p>l/2</p><p>B</p><p>Fig.57</p><p>ADOTAR:</p><p>A=34,52cm</p><p>2</p><p>Ix=565,24cm</p><p>4</p><p>Iy=326,74cm</p><p>4</p><p>E=713300Kgf/cm</p><p>2</p><p>σp=1770Kgf/cm</p><p>2</p><p>No regime plático:</p><p>Σfl=2960 - 19λ (Kgf/cm</p><p>2</p><p>)</p><p>Fig.58</p><p>Resp:</p><p>Pflx=18876Kgf</p><p>Pfly=25558Kgf</p><p>Portanto não resisste!</p><p>8.40</p><p>12.8- Determinar o coeficiente de segurança da estrutura da figura.</p><p>12.9- Determinar a máxima carga P na estrutura na qual A, B e C são articulações.</p><p>12.10- O Prof. Renato Miranda está projetando e construindo uma treliça para uso no Laboratório de Resistência</p><p>dos Materiais, semelhante à existente no Dep. de Física, como se indica abaixo.</p><p>Pede-se:</p><p>a) Determinar as forças na barra mais tracionada e mais comprimida.</p><p>Barra "AB"</p><p>Barra "BC"</p><p>A, B, C são articulaçõesC</p><p>B</p><p>2</p><p>m</p><p>1,5 tf</p><p>1,5 m</p><p>A</p><p>3 cm</p><p>8 cm</p><p>5 cm</p><p>3 cm</p><p>Material das barras:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>/120</p><p>/100</p><p>/180</p><p>cmtfE</p><p>cmKgf</p><p>cmKgf</p><p>p</p><p>RCRT</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para</p><p>lim</p><p> vale:</p><p>2</p><p>fl</p><p>cm/Kgf2,61800 </p><p>1</p><p>,5</p><p>m</p><p>1</p><p>0</p><p>c</p><p>m</p><p>P</p><p>Secção</p><p>espessura constante</p><p>C Obs:</p><p>5 cm</p><p>0,5</p><p>2 m</p><p>A</p><p>B</p><p>• Material:</p><p>26</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>ECET</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf1900</p><p>cm/Kgf2400</p><p></p><p></p><p></p><p>• Adotar:</p><p>0,3s</p><p>5,1s</p><p>fl</p><p>T</p><p></p><p></p><p>• Se ocorrer flambagem no campo</p><p>plástico, usar a fórmula de</p><p>SHANLEY-BLEICH.</p><p>60</p><p>mm445a</p><p>N30P</p><p>N20P</p><p>N10P</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Material- Aço</p><p>inoxidável</p><p>4s</p><p>mm/Kgf21000E</p><p>mm/Kgf35</p><p>mm/kgf25</p><p>2</p><p>2</p><p>CT, E</p><p>2</p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Obs.: Todos os triângulos são equiláteros.</p><p>1</p><p>3 2</p><p>4</p><p>5 6</p><p>9 8</p><p>7</p><p>A B</p><p>C</p><p>10</p><p>11</p><p>D F</p><p>E G</p><p>a a a</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>Fig.59</p><p>Fig.60</p><p>Fig.61</p><p>Resposta:</p><p>s = 1,8</p><p>Resposta:</p><p>P = 3739Kgf</p><p>8.41</p><p>b) Dimensionar a barra mais tracionada, de seção retangular: bx2b</p><p>c) Dimensionar a barra mais comprimida, de seção circular:</p><p>d) Instalando-se um extensômetro simples na barra n</p><p>o</p><p>. 6, qual deve ser a leitura?</p><p>12.11- Calcular a máxima carga P considerando a flambagem da barra AB:</p><p>Se regime plátisco usar σfl=2540 – 0,0775λ</p><p>2</p><p>(kgf/cm</p><p>2</p><p>)</p><p>12.12- Uma coluna circular de aço, com secção de 100cm</p><p>2</p><p>pode ser executada de dois</p><p>modos:</p><p>A) Secção circular maciça.</p><p>B) Secção em forma de coroa circular, com espessura de parede de 1cm.</p><p>Determinar o coeficiente de segurança à flambagem, para cada caso, para uma carga máxima atuante de 100tf.</p><p>Material:</p><p>EC = 2400 Kgf/cm</p><p>2</p><p>p = 1900 Kgf/cm</p><p>2</p><p>E = 2,1.10</p><p>6</p><p>Kgf/cm</p><p>2</p><p>Se ocorrer flambagem no campo</p><p>plástico, usar Stanley.</p><p>Resposta:</p><p>A) sfl = 1,03</p><p>B) sfl = 2,34</p><p>12.13- Para a estrutura carregada conforme figura, na qual A, B e C são articulações,</p><p>pede-se:</p><p>a) Verificar a tensão normal na barra AB.</p><p>2,0 m 1,0 m</p><p>1</p><p>,5</p><p>m</p><p>A</p><p>C B D</p><p>Seção</p><p>2 "</p><p>8</p><p>3x"4x"4</p><p>2b</p><p>b</p><p>Material:-</p><p>Aço ASTM-A36</p><p>4s</p><p>cm/Kgf10.1,2E</p><p>cm/Kgf2540</p><p>cm/kgf1270</p><p>26</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D F</p><p>6</p><p>2m</p><p>P</p><p>Fig.62</p><p>Fig.63</p><p>Fig.64</p><p>Respostas:</p><p>a) N6 = +39N, N10</p><p>= -25N</p><p>b) b = 0,47mm</p><p>c) d = 3,74mm</p><p>d) e= 2,36 ∙10</p><p>-6</p><p>Resposta:</p><p>P=8251kgf</p><p>8.42</p><p>b) Calcular o comprimento a dos cordões de solda da emenda.</p><p>c) Determinar graficamente, o deslocamento do nó B.</p><p>d) Calcular o coeficiente de segurança da barra BC.</p><p>DADOS</p><p> chapas e tubos</p><p>pT = 1900 Kgf/cm²</p><p>ET = EC = 2400 Kgf/cm²</p><p>esc = 1800 Kgf/cm² , E = 2,1.10</p><p>6</p><p>Kgf/cm²</p><p>No regime elástico usar SHANLEY</p><p>12.14- Calcular o coeficiente de segurança da estrutura da figura, considerando as solicitações nas colunas AB,</p><p>CD e nas soldas do apoio da coluna AB.</p><p>DADOS:</p><p>A e C são articulações</p><p>SOLDA: e = 100 MPa</p><p>COLUNAS AB e CD: p = 190 MPa</p><p>E T,C = 240 MPa</p><p>E = 210 GPa</p><p>Para regime plástico, aplicar:</p><p>fl = 240 – 0,0046.² (MPa)</p><p>Seção transversal da coluna CD:</p><p>Detalhe da ligação soldada (coluna AB)</p><p>(medidas em milímetros)</p><p>0,5 0,5 1</p><p>9 10</p><p>a</p><p>Detalhe da emenda ( cm )</p><p>Fig.65</p><p>4 m</p><p>E</p><p>2m 1m</p><p>100 KN</p><p>3,5 m</p><p>A</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>6</p><p>0</p><p>m</p><p>m</p><p>8</p><p>0</p><p>m</p><p>m</p><p>150</p><p>170</p><p>200</p><p>10</p><p>10</p><p>RESPOSTAS</p><p>a) T = 1111 Kgf/cm²  2400</p><p>ou sT = 2,16</p><p>b) a  9,39 cm</p><p>c) B = 0,23 cm</p><p>d) sfl = 3,2</p><p> soldas</p><p>T = C = 1000 Kgf/cm²</p><p> = 750 Kgf/cm²</p><p>E = 1,9.10</p><p>6</p><p>Kgf/cm²</p><p>emenda</p><p>A B 2tf</p><p>6tf</p><p>C</p><p>9cm</p><p>2m</p><p>1</p><p>,5</p><p>m</p><p>10cm</p><p>Fig.66</p><p>8.43</p><p>RESOLUÇÃO:</p><p>Barra CD: compressão de 50 KN</p><p>BARRA AB: tração de 150 KN</p><p>SOLDA:</p><p>RESPOSTA: c.s.=1,88</p><p>222</p><p>444</p><p>6</p><p>92</p><p>cm98,21)68(</p><p>64</p><p>A</p><p>cm4,137)68(</p><p>64</p><p>I</p><p>104</p><p>10190</p><p>10210</p><p>min</p><p>lim</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Pa100808,0</p><p>160</p><p>210E</p><p>elástico reg. 104 160</p><p>50,2</p><p>400</p><p>cm50,2</p><p>98,21</p><p>4,137</p><p>r</p><p>9</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>fl</p><p>min</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>56,3.s.c</p><p>50</p><p>8,177</p><p>.s.c</p><p>KN8,177N1777731098,21100808,0P</p><p>CDfl</p><p>fl</p><p>49</p><p></p><p> </p><p>4,2.s.c</p><p>100</p><p>240</p><p>.s.c</p><p>MPa100Pa10100</p><p>10)151(</p><p>150000</p><p>ABAB</p><p>T</p><p>6</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>88,1.s.c</p><p>53</p><p>100</p><p>.s.c</p><p>MPa53Pa1053</p><p>)1010</p><p>2</p><p>2</p><p>10200(2</p><p>150000</p><p>so ld aso ld a</p><p>so ld a</p><p>6</p><p>33</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>150KN 50KN</p><p>100KN</p><p>A.III-15</p><p>x</p><p>y</p><p>Ix´=</p><p>Ix´ = Iy´ = 0,05488.R</p><p>4</p><p>A.VIII-1</p><p>Anexo VIII: Resistência Dos Materiais – Trabalho nº 1</p><p>Visando uma participação mais efetiva dos alunos no processo de ensino e aprendizagem e o</p><p>desenvolvimento dos alunos mais interessados, estamos propondo um trabalho com as seguintes partes:</p><p>a) Uso do Tutorial de Estática do livro de BEER – JOHNSTON ou equivalente.</p><p>b) Uso do Tutorial de Resistência dos Materiais de livro BEER – JOHNSTON ou equivalente.</p><p>c) Desenvolvimento de um tema ligado à Resistência dos Materiais (Seminário).</p><p>Uso dos Tutoriais de Estática e Resistência dos Materiais Instruções Gerais</p><p>Como é sabido os Tutoriais são programas interativos que ajudam os alunos na resolução de</p><p>problemas, complementando a utilização da bibliografia indicada. O aluno pode variar dentro dos limites,</p><p>os dados dos problemas consistindo em uma fonte inesgotável de situações, onde os alunos mais curiosos</p><p>investigam a sensibilidade de um dado problema às mudanças das variáveis.</p><p>No caso de uma resposta incorreta, o programa fornece explicações, ou a resposta certa, antes do</p><p>aluno prosseguir a solução. Dependendo do número de vezes que o aluno errar ou acertar as várias</p><p>passagens do exercício, o software exibe a nota obtida.</p><p>O Tutorial de Estática apresenta os seguintes 12 tipos de exercícios:</p><p>1. Componentes de forças.</p><p>2. Tensões em cabos.</p><p>3. Resultantes de forças coplanares.</p><p>*4. Reações de apoio.</p><p>*5. Centro de gravidade</p><p>*6. Treliças pelo método dos nós.</p><p>*7. Treliças pelo método das secções.</p><p>*8. Análise de estruturas.</p><p>*9. Diagrama de força cortante e momento fletor.</p><p>10. Atrito.</p><p>*11. Momento de inércia.</p><p>*12. Circulo de Mohr para momentos de inércia.</p><p>No Tutorial de Resistência dos Materiais temos os seguintes 10 tipos de problemas, 5 no disco A</p><p>e cinco no disco B:</p><p>1. Tensões em tubos e parafusos.</p><p>*2. Sistema com dois eixos – Torção.</p><p>*3. Carga excêntrica – Flexão composta.</p><p>4. Cisalhamento na flexão.</p><p>5. Círculo de Mohr para tensões.</p><p>*6. Diagrama de força cortante, momento fletor e cálculo de tensões.</p><p>7. Deslocamento na flexão – viga com vários trechos.</p><p>8. Deslocamento na flexão – Processo de momento de áreas.</p><p>9. Impacto.</p><p>*10. Flambagem de colunas.</p><p>O trabalho será feito em grupos de quatro alunos, divididos em ordem numérica em cada turma.</p><p>Cada grupo entregará apenas um exercício de Estática, e um de Resistência dos Materiais,</p><p>escolhidos entre aqueles assinalados com asterisco (*).</p><p>Os demais assuntos serão vistos nos cursos mais avançados.</p><p>Recomenda-se, evidentemente, que cada aluno estude todos os exercícios dos Tutoriais ligados</p><p>aos pontos já vistos, embora cada grupo tenha que entregar apenas dois exercícios.</p><p>Para cada problema, o aluno resolverá de dois modos:</p><p>a)Modo 1 – “Tutorial” - usando o Tutorial, ou seja, adotando os dados que achar mais</p><p>conveniente (dentro das limitações do programa), resolvendo no computador todas as passagens e</p><p>documentar, isto é, imprimir pelo menos quatro “telas”, por exemplo uma com os dados iniciais, duas com</p><p>as etapas intermediárias e uma última com as respostas finais.</p><p>Evidentemente que podem ser impressas mais de quatro “telas”. Em alguns problemas temos</p><p>mais de cinqüenta etapas, que se</p><p>impressas, dariam um volume grande e desnecessário de papel.</p><p>No Tutorial de Estática para imprimir basta carregar o programa DOS GRAPHICS antes de</p><p>rodar o Tutorial e para cada tela a imprimir acionar a tecla PRT SC. Para o Tutorial de Resistência dos</p><p>Materiais o procedimento para a impressão será explicado pelos monitores.</p><p>A.VIII-2</p><p>b) Modo 2 “Manualmente”- para os mesmos dados adotados no modo 1, o aluno deverá refazer o</p><p>problema, deixando de lado a solução do Tutorial, usando os conceitos de Estática e Resistência dos</p><p>Materiais, vistos no curso e detalhando as passagens. Para entregar no relatório o aluno poderá optar pela</p><p>solução manuscrita legível ou usar editor de texto, planilha de cálculos, programas de desenho e outros</p><p>recursos da informática.</p><p>Evidentemente que as respostas dos modos 1 e 2, devem coincidir e em alguns itens a seqüência e</p><p>o modo de solução do Tutorial (modo 1) coincidirão com a maneira de resolver vista no curso (modo 2).</p><p>Para os trabalhos com todos os dados “coincidentemente” iguais e comprovada a</p><p>“improbabilidade escolar” será atribuída NOTA ZERO e tomadas as providências administrativas.</p><p>Com os programas, com autorização das editoras McGraw Hill, são livres, os Tutoriais podem ser</p><p>copiados de acordo com as normas vigentes.</p><p>Evidentemente que a parte do trabalho relativa aos Tutoriais pode ser feita na Escola ou em casa</p><p>para quem possuir computador.</p><p>Os Tutorais estão em língua inglesa, cujos conhecimentos básicos e de informática são</p><p>indispensáveis a todos os estudantes de engenharia.</p><p>Lembramos ainda que o mais importante neste trabalho é o tempo que o aluno vai interagir com o</p><p>computador e o aprendizado correspondente. Os exercícios que serão entregues, servirão apenas como um</p><p>documento escrito, ao qual será uma nota parcial de participação.</p><p>Convém salientar também, que nas avaliações e provas poderão ser solicitadas questões relativas</p><p>aos Tutoriais, de acordo com os itens vistos na matéria.</p><p>No anexo IX, apresentamos duas folhas de apêndice do livro de Mecânica Vetorial para</p><p>Engenheiros do BEER – JOHNSTON com diversas instruções de como usar o software interativo de</p><p>Estática e Resistência dos Materiais.</p><p>No anexo IX, apresenta-se algumas informações sobre o novo Tutorial de Estática do BEER –</p><p>JOHNSTON – 6</p><p>ª</p><p>edição que pode ser usado na parte I deste trabalho.</p><p>Maiores informações com o Professor da sua turma e com os monitores e instrutores.</p><p>Desenvolvimento de tema ligado à Resistência do Materiais (seminário)</p><p>Nesta terceira parte do trabalho, espera-se que os alunos usem a criatividade e energia para</p><p>pesquisar, ilustrar e desenvolver assuntos ligados direta ou indiretamente à disciplina, e à Introdução à</p><p>Engenharia de um modo geral. Dentro da infinidade de temas, relacionamos algumas sugestões:</p><p>1. Perfis Industriais - Tipos – Aplicações - Materiais – Processos de fabricação –</p><p>Catálogos – Tabelas – Amostras – Cálculo manual de um tipo – Preços – etc.</p><p>2. Propriedades Mecânicas dos Materiais – Tabelas – Aplicações – Qual o material mais</p><p>resistente à tração?</p><p>3. Treliças – Tipos – Processos de Cálculo – Aplicações.</p><p>4. Estruturas Metálicas – Tipos – Aplicações.</p><p>5. Construção de modelos e ou pequenos equipamentos para ilustrar aplicações da</p><p>Resistência dos Materiais – Treliças – Flexão – Torção – Flambagem – Tubos – Juntas – Tração –</p><p>Compressão – Cisalhamento, etc.</p><p>6. Desenvolvimento e o uso de programas (multimídia) de computador para ilustrar</p><p>aplicações de Resistência dos Materiais. Exemplos: Diagramas, Figuras Planas, Linha Elástica, etc.</p><p>7. Uso de Tutoriais e programas de outros livros. (Timoshenko, Nordon, Learner, etc).</p><p>8. Patologia das estruturas – Acidentes Estruturais. Exemplo: Ponte de Tacoma, Ayrton</p><p>Senna, Dutos da Petrobrás, etc.</p><p>9. História da Resistência dos Materiais.</p><p>10. Ensaios Mecânicos – Tração – Torção – etc.</p><p>11. Métodos de Análise Experimental de Tensões – Extensometria Elétrica –</p><p>Fotoelasticidade, etc.</p><p>12. Visita à empresas, institutos de pesquisa, laboratórios, obras de arte, estruturas famosas,</p><p>etc.</p><p>13. Pesquisas na Internet.</p><p>14. Séries de exercícios especiais.</p><p>15. Métodos especiais de cálculo, por exemplo uso de funções singulares em diagramas,</p><p>linha elástica, etc.</p><p>16. Análise de peças, dispositivos, estruturas, etc..., ligadas a Engenharia de um modo geral,</p><p>Mecânica, Elétrica, Metalurgia, Química, Têxtil, Industrial, Bioengenharia, Naval, Aeronáutica,</p><p>Sanitária, Pesca, etc.</p><p>A.VIII-3</p><p>17. Itens especiais indicados na bibliografia, como vigas no espaço, estruturas com</p><p>articulações, concentração de tensões, regime plástico, vigas curvas, etc.</p><p>18. Outros, de acordo com o interesse do grupo.</p><p>As três partes do trabalho deverão ser entregues em uma única pasta perfeitamente identificada,</p><p>indicando o número da turma e o número e nome dos alunos do grupo em ordem crescente.</p><p>Lembramos que a não colocação do nome e número do aluno na capa do trabalho, significa não</p><p>participação, sendo atribuída nota zero e não serão aceitas justificações posteriores.</p><p>Recomenda-se que os interessados guardem cópias, pois não está prevista a devolução dos</p><p>trabalhos.</p><p>Recomendamos também que todos os alunos do grupo participem das três partes do trabalho e</p><p>eventualmente para a preparação final do relatório, um aluno fique responsável pelo exercício de Tutorial</p><p>da Estática, outro pelo exercício do Tutorial de Resistência dos Materiais e dois pelo tema, ligado à</p><p>Disciplina.</p><p>A.IX-1</p><p>Anexo IX: Como Usar o Software Interativo</p><p>“Tutorial de Estática” – BEER – JOHNSTON</p><p>1. Introdução. Este complemento contém um disquete com software interativo. São doze</p><p>problemas de estática escolhidos por serem aqueles em que, com maior probabilidade, o estudante precisa</p><p>de ajuda. Os problemas foram elaborados pelos autores do texto e programados pela EnginComp Software</p><p>Inc., sendo fáceis de lidar e entender.</p><p>2. Equipamentos. Este software destina-se a microcomputadores IBM PC ou compatível, com</p><p>um mínimo de memória de 256Kb e DOS 2,0 ou mais recente. Seu micro deve ter um cartão para display</p><p>gráfico equivalente ao adaptador color/graphics da IBM.</p><p>3. Como começar. Para rodar o software interativo você deve ligar o micro e carregar a sua</p><p>versão DOS. A seguir insira o presente disquete no drive A e digite A:. Você verá na tela do monitor A>.</p><p>Digite TUTORIAL, acione a tecla Enter e o programa começa a rodar.</p><p>O programa exibirá (no monitor) uma página de rosto, com o título. Na parte inferior da tela</p><p>estará escrito PRESS ANY KEY TO CONTINUE. Durante a execução do programa, todas as entradas de</p><p>dados e todas a serem acionadas serão especificadas da mesma maneira em instruções que aparecem na</p><p>parte inferior da tela.</p><p>Após acionar uma tela qualquer, o programa mostrará na tela o menu principal, a partir do qual é</p><p>possível acessar todos os problemas. O cursor pode ser movido utilizando-se as teclas (ou ) ou a</p><p>escolha de problema pode ser feita digitando-se o correspondente número. Quando o cursor estiver sobre o</p><p>número do problema de sua escolha, acione a tecla F10.</p><p>4. Rodando o programa. Tendo escolhido um problema no menu principal e acionado a tecla</p><p>F10, você verá na metade superior uma relação de HELP.</p><p>Esta relação discrimina todas teclas de função especial, explicando suas funções. Ela pode ser</p><p>posta na tela a qualquer momento da execução do programa acionando-se a tecla F1.</p><p>Você pode sair da execução de qualquer um dos problemas acionando a tecla ESC. O programa</p><p>lhe dirá então para acionar a tecla F10, se você desejar voltar ao menu principal, ou qualquer outra tecla</p><p>para continuar rodando o mesmo problema. Assim evita-se que um problema seja abortado</p><p>acidentalmente.</p><p>Em vários casos, após ter dado uma resposta incorreta, você será convidado a acionar a tecla F2</p><p>para obter explicações antes de tentar outra vez ou de prosseguir com a resolução. Você poderá rever o</p><p>que já</p><p>fez acionando em seqüência a tecla HOME e F10. Com isto, você retorna ao início do problema.</p><p>Acionado repetidamente a tecla F10, você poderá rever etapas da sua resolução até retornar ao ponto mais</p><p>avançado anteriormente atingido.</p><p>Durante a resolução do problema haverá a necessidade de efetuar cálculos numéricos. O</p><p>programa lhe perguntará de deseja efetuar os cálculos ou se quer que o próprio programa os faça.</p><p>Ao completar a resolução de um problema, o programa lhe perguntará se deseja resolver o</p><p>mesmo programa com novos dados. Digitando Y (de yes) você retorna ao início do problema, de digitar</p><p>N (de No) o programa retornará ao menu principal.</p><p>Ocasionalmente, você pode desejar imprimir o que está sendo exibido na tela. Para isto, você</p><p>necessita de uma impressora que possa lidar com textos e com gráficos. Ainda mais, antes de começar a</p><p>rodar o software interativo, você precisa carregar o programa DOS GRAPHICS. Para imprimir o conteúdo</p><p>de uma tela acione as teclas Shift e PRT SC.</p><p>5. Notas dadas às respostas corretas. O micro vai exibir a nota dada às suas respostas corretas</p><p>no canto superior direito da tela. Se você acionar o tecla F9 para obter a resposta correta a sua nota</p><p>diminui. Por outro lado, a utilização da tecla F10 para rever sua resolução não afeta a nota. Ela também</p><p>não será alterada se você optar pela execução dos cálculos pelo próprio programa.</p><p>Se, entretanto, você mesmo efetuar os cálculos, a precisão deles afetará sua nota.</p><p>6. Como sair do programa. Para sair do programa, volte ao menu principal e selecione a opção</p><p>EXIT STATICS TUTORIALS através das teclas com setas, ou acionando em conseqüência as teclas ESC</p><p>e F10. Sempre saia do programa antes de desligar o micro.</p><p>A.X-1</p><p>Anexo X: Tutorial de Estática – Beer-Johnston – 6</p><p>ª</p><p>Edição</p><p>Informações:</p><p>Está disponível na Biblioteca, o novo Tutorial (software interativo) do livro – “Mecânica Vetorial</p><p>para Engenheiros – Estática” de BEER, F. e JOHNSTON, E. – 6</p><p>ª</p><p>edição (americana – 1996, portuguesa –</p><p>1996 – capa: Pirâmide do Louvre) da editora McGraw Hill.</p><p>Consta de dois disquetes, está no idioma inglês, roda no ambiente Windows e pode ser copiado.</p><p>Apresenta para os principais pontos, uma boa introdução teórica, em muitos casos com uma</p><p>interessante animação (movimento) das figuras, fórmulas e textos, que na opinião dos autores “dá vida à</p><p>Estática”.</p><p>Este novo Tutorial, contém cerca de 200 (duzentos) tipos de exemplos resolvidos e propostos com</p><p>respostas, sendo os dados dos problemas atribuídos aleatoriamente.</p><p>Em alguns problemas, o Tutorial pede a resposta ao aluno. Se a resposta for errada, na terceira</p><p>tentativa, o programa fornece a resposta certa e a solução do problema.</p><p>Está agrupado em cinco grandes partes:</p><p>1. Ferramentas para Análise – Vetores – Momentos – Binários;</p><p>2. Equilíbrio – Reações – Ponto Material – Corpos Rígidos 2D e 3D;</p><p>3. Forças Distribuídas – Centro de Gravidade – Momentos de Inércia;</p><p>4. Análise de Estruturas – Mecanismos – Treliças;</p><p>5. Vigas e Atrito – Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor.</p><p>Recomendamos que os alunos utilizem mais este recurso didático para aprimorarem os</p><p>conhecimentos de Estática e Resistência dos Materiais.</p><p>Na primeira parte do trabalho n.º. 1 de Resistência dos Materiais, pode ser usado o Tutorial de</p><p>Estática das edições anteriores, que apresenta doze tipos de exercícios, ou este novo Tutorial.</p><p>O uso deste novo programa, além de ser uma nova ferramenta de estudo, pode servir de mais uma</p><p>sugestão para o desenvolvimento de tema ligado à Resistência dos Materiais. Neste caso, o grupo deve</p><p>escolher um assunto, fazer os estudos e pesquisas necessárias e documentar (imprimir) um resumo teórico e</p><p>algumas aplicações.</p><p>A.XI-1</p><p>Anexo XI – Trabalho n.º 2 – Exercícios Para Serem Feitos Usando Computador – Resistência dos</p><p>Materiais – BEER-JOHNSTON – 3</p><p>a</p><p>Edição – Instruções:</p><p>Com a crescente e inevitável informatização da sociedade em geral, com o desenvolvimento de</p><p>várias disciplinas ligadas à computação nas diversas Escolas, enfim, com as facilidades que o uso do</p><p>computador está trazendo aos alunos e Professores, tornou-se possível introduzir em várias disciplinas,</p><p>atividades diretamente ligadas ao uso da computação.</p><p>Neste sentido, os autores BEER-JOHNSTON, além dos tutoriais descritos no trabalho n.º 1,</p><p>prepararam na parte final de cada capítulo, 4 ou mais exercícios para serem resolvidos, através de</p><p>programas elaborados e testados pelos próprios alunos.</p><p>Ao desenvolver o algoritmo necessário para a solução de um dado problema, o aluno se</p><p>beneficiará de vários modos, pois terá a oportunidade de:</p><p>a) Melhorar e fixar o entendimento dos conceitos teóricos estudados.</p><p>b) Aplicar em problemas relativamente práticos de engenharia, os conceitos de computação.</p><p>c) Habilitar-se a programar e implantar programas mais completos, inclusive profissionais.</p><p>Prevê-se para os próximos anos, que com a criatividade e competência dos bons Engenheiros, o</p><p>mercado de desenvolvimento de programas será bem atraente.</p><p>Como já foi dito, os alunos de algumas áreas, terão na continuação da Resistência dos Materiais</p><p>Básica, o estudo da Análise Matricial de Estruturas e Elementos Finitos, onde desenvolverão e aplicarão</p><p>vários programas acadêmicos e profissionais.</p><p>Os programas deste Trabalho n.º 2, poderão ser feitos em qualquer linguagem.</p><p>Estima-se que a maioria dos alunos façam os programas em TURBO PASCAL, que</p><p>normalmente é visto nas disciplinas de computação. Serão aceitos programas em Basic, Fortran, C++, etc.</p><p>Os programas deverão ser testados com os problemas indicados no texto e no relatório, devem</p><p>ser apresentados impressos e em disquete de 3 ½”. No relatório deve constar também o algoritmo e</p><p>diagrama de blocos utilizado, além da solução “manual” dos exercícios.</p><p>No livro mencionado, estão sugeridos vários problemas, e os que estão relacionados ao nosso</p><p>curso básico são:</p><p>Capítulo 1 – Introdução – Conceito de Tensão – 3 problemas:</p><p>1C1, 1C2 e 1C4.</p><p>Capítulo 2 – Tensões e Deformações – 2 problemas:</p><p>2C1 e 2C3.</p><p>Capítulo 3 – Torção – 3 problemas:</p><p>3C1, 3C2 e 3C4.</p><p>Capítulo 4 – Flexão – 3 problemas:</p><p>4C2, 4C3 e 4C4.</p><p>Capítulo 7 – Dimensionamento de Vigas e Eixos – 8 problemas:</p><p>7C1, 7C2, 7C3, 7C4, 7C5, 7C6, 7C7 e 7C8.</p><p>Capítulo 8 – Deslocamentos na Flexão por Integração da Linha Elástica – 4 problemas:</p><p>8C1, 8C2, 8C3 e 8C4.</p><p>Capítulo 11 – Flambagem em Colunas – 3 problemas:</p><p>11C1, 11C3 e 11C4.</p><p>Recomenda-se que a turma seja dividida em grupos de 4 alunos, e que cada aluno desenvolva o</p><p>programa para 1 exercício, de modo que no relatório final devem estar reunidos os 4 exercícios,</p><p>devidamente documentados em papel e reunidos num único disquete.</p><p>Maiores informações com o Professor da sua turma, e de computação, além dos monitores.</p><p>A.XIV- 1</p><p>Anexo XIV</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS NA INTERNET</p><p>UM MUNDO A DESCOBRIR !</p><p>ARTES GRÁFICAS E EDIÇÃO:</p><p>DANIEL CORTAZZO</p><p>RODRIGO FERRANTE</p><p>DANILO BUCHDID</p><p>IGOR ZUCATO</p><p>COORDENAÇÃO :</p><p>PROF. RENATO J. P. C. MIRANDA</p><p>A.XIV- 2</p><p>ANEXO XIV</p><p>A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS NA INTERNET – UM MUNDO A DESCOBRIR!</p><p>Alguns mecanismos de busca :</p><p> cade.com.br  webcrawler.com</p><p> yahoo.com  terravista.pt</p><p> altavista.digital.com  surf.com</p><p> lycos.com  ig.com.br</p><p> infoseek.com  voila.com</p><p> radaruol.com.br etc.</p><p>BUSCA REALIZADA NO DIA 02/02/2000 :</p><p>SITE IDIOMA OCORRÊNCIAS TÍTULO</p><p>Inglês 486 Resistência dos Materiais</p><p>Inglês 20 Mecânica dos Materiais</p><p>YAHOO Português 63 Mecânica dos Sólidos</p><p>Português/Espanhol 54 Resistência dos Materiais</p><p>Português/Espanhol 85 Mecânica dos</p><p>Raio interno</p><p>37- R ............................................................................................................................... Raio externo</p><p>38- e, t .................................................................................................................................. Espessura</p><p>39- L, l, a ..................................................................................................................... Comprimento</p><p>40- HA, Rx ................................................................................................................ Força horizontal</p><p>41- VA, Ry .....................................................................................................................Força vertical</p><p>42- R ............................................................................................................................... Reação total</p><p>43- MA .................................................................................................... Momento de engastamento</p><p>44- , x ................................................................................................ Deformação específica linear</p><p>45- T, y, z ................................................................................. Deformação específica transversal</p><p>46-  ................................................................................. Deformação específica angular (distorção)</p><p>47- E ........................................................................... Módulo de elasticidade longitudinal (Young)</p><p>48- G ............................................................................................ Módulo de elasticidade transversal</p><p>49-  ............................................................................................................... Coeficiente de Poisson</p><p>50- , l .................................................................................................... Deslocamento longitudinal</p><p>51- d .........................................................................................................Deslocamento transversal</p><p>52- y, v, v ........................................................................................ Deslocamento vertical (flecha)</p><p>53- ,  ............................................................................. Deslocamento angular na flexão (rotação)</p><p>54- ,  .......................................................................................... Deslocamento angular na torção</p><p>55- P, N ................................................................................................................................. Potência</p><p>56-  .................................................................................................................... Velocidade angular</p><p>57- f ................................................................................................................................... Freqüência</p><p>58- n ..........................................................................................................Rotação por minuto – rpm</p><p>59- cs, s ........................................................................................................Coeficiente de segurança</p><p>60- csT, sT ...................................................................................... Coeficiente de segurança à tração</p><p>61- csC, sC ............................................................................. Coeficiente de segurança à compressão</p><p>62- , R ................................................................................................................... Raio de curvatura</p><p>63- C .................................................................................................................................... Curvatura</p><p>64- δ , l , f ,θ ,φ ................................................................................... Deslocamento admissível</p><p>65- c, y’, y’’ ................................................................................ Distâncias das fibras mais afastadas</p><p>66- Pfl, Pcr ............................................................................................... Carga crítica de flambagem</p><p>67- fl, cr ............................................................................................ Tensão crítica de flambagem</p><p>68- Le, lfl ............................................................. Comprimento equivalente (efetivo) de flambagem</p><p>69- , Le/r .................................................................................................. Índice efetivo de esbeltez</p><p>70- , k,  .................................................................................... Coeficiente, função de vinculação</p><p>71- LIM, cc .................................................................................................... Índice de esbeltez limite</p><p>72-  ............................................................................................... Coeficiente de dilatação térmica</p><p>73- T ......................................................................................................... Variação de temperatura</p><p>74- p,  ...................................................................................................................... Peso específico</p><p>75- A ............................................................................................................ Alongamento de ruptura</p><p>76- KIc ................................................................................................... Fator de tenacidade à fratura</p><p>77- 1, 2, 3 ......................................................................................................... Tensões principais</p><p>78- 1, 2, 3 ................................................................................................... Deformações principais</p><p>79- S .................................................................................................. Deformação específica de área</p><p>80- V ........................................................................................................... Deformação volumétrica</p><p>81- K .......................................................................................... Módulo de elasticidade volumétrica</p><p>82- U ............................................................................................................... Energia de deformação</p><p>83- R .................................................................................................................................. Resiliência</p><p>84- el, el ........................................................................................... Tensões limites de elasticidade</p><p>85- ’, ’’ ................................................................................................. Tensões normais extremas</p><p>PREFIXOS SI</p><p>Fator de multiplicação Nome Símbolo</p><p>1000 000 000 000 000 000 = 10</p><p>18</p><p>.......... exa................. E</p><p>1000 000 000 000 000 = 10</p><p>15</p><p>.................. peta................. P</p><p>1000 000 000 000 = 10</p><p>12</p><p>......................... tera................ T</p><p>1000 000 000 = 10</p><p>9</p><p>.................................. giga................ G</p><p>1000 000 = 10</p><p>6</p><p>......................................... mega............... M</p><p>1000 = 10</p><p>3</p><p>................................................ quilo............... k</p><p>100 = 10</p><p>2</p><p>.................................................. hecto.............. h</p><p>10 = 10</p><p>1</p><p>.................................................... deca............... da</p><p>0,1 = 10</p><p>-1</p><p>.................................................. deci................ d</p><p>0,01 = 10</p><p>-2</p><p>................................................ centi............... c</p><p>0,001 = 10</p><p>-3</p><p>.............................................. mili................. M</p><p>0,000 001 = 10</p><p>-6</p><p>....................................... micro.............. </p><p>0,000 000 001 = 10</p><p>-9</p><p>................................ nano...............</p><p>Materiais</p><p>Inglês 2 Resistência dos Materiais</p><p>Inglês 5 Mecânica dos Materiais</p><p>SURF Português 11 Mecânica dos sólidos</p><p>Português/Espanhol 54 Resistência dos Materiais</p><p>Português/Espanhol 59 Mecânica dos Materiais</p><p>RADARUOL Inglês 2 Resistência dos Materiais</p><p>Português 9 Resistência dos Materiais</p><p>CADÊ Português/Espanhol 1 Mecânica dos sólidos</p><p>Português/Espanhol 21 Mecânica dos Materiais</p><p>ALTAVISTA Português 152351 Mecânica dos sólidos</p><p>IG Português/Espanhol 342 Mecânica dos sólidos</p><p>Português/Espanhol 2029 Resistência dos Materiais</p><p>ALGUMAS PALAVRAS-CHAVES :</p><p>“resistência dos materiais”, “mecânica dos materiais”, “mecânica dos sólidos”, mechanics of materials”,</p><p>“strength of materials”, “resistance des materiaux”, “resistencia de materiales”, “finite element method”,</p><p>“experimental stress analysis”, “takoma bridge”, “senna”, etc.</p><p>A.XIV- 3</p><p>SITES DE ALGUMAS INSTITUIÇÕES E EMPRESAS:</p><p> fei.br  sae.org</p><p> measurementsgroup.com  sem.com</p><p> puc-rio.br/parcerias/abcm  algor.com</p><p> pce.com.br  hbminc.com</p><p> fatiguetech.com  juresa.com.br</p><p> prossiga.cnpq.br  inep.gov.br/enc</p><p> mece.ualberta.ca  physics.uwstout.edu</p><p> me.mit.edu/2001  geocities.com/motorcity</p><p> tecquip.com.uk  arioch.gstc.nasa.gov</p><p> amazon.com  fem.unicamp.br/~em421</p><p> maua.br  ipt.br</p><p> mcgraw-hill.com  mscsoftware.com</p><p> users.iron.com.br/~damin  asm-intl.org</p><p> usiminas.com.br  matweb.com</p><p> abcem.com.br  cosipa.com.br</p><p> cesec.ufpr.br  makronbooks.com.br</p><p> medept.engr.uat.edu  alfa.ist.utl.pt:88/u/portela</p><p> poli.usp.br/pef/lab.htm  wiley.com</p><p> pmt.usp.br  alcoa.com</p><p> alcan.com mate.calpoly.edu</p><p>DEMONSTRAÇÃO DE ALGUNS SITES RELACIONADOS A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS :</p><p>http://www. fei.br/mecanica/me541/labmat.htm</p><p>O Laboratório de Materiais (LabMat) da Faculdade de Engenharia Industrial atende às</p><p>necessidades didáticas dos Departamentos de Mecânica, Metalurgia, Química, Civil e Têxtil, além de</p><p>conduzir projetos de pesquisa em materiais; permite, assim, a relação entre estrutura, propriedades</p><p>mecânicas e processamento (tratamentos térmicos e conformação mecânica) de metais e ligas, além de</p><p>relação estrutura-propriedades de polímeros, elastômeros e compósitos. Contém também uma área</p><p>dedicada a links, relacionados a materiais.</p><p>A.XIV- 4</p><p>UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS</p><p>FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>http://www.fem.unicamp.br/~em421/</p><p>Neste site encontra-se aulas, ementas, bibliografia, provas</p><p>e exercícios propostos sobre resistência dos materiais, as quais</p><p>tratam os assuntos como notação indicial de vetores, equilíbrio de</p><p>corpos rígidos, problemas com barras, torção em secções circulares,</p><p>flexões de vigas, função de singularidade, torção em secções</p><p>geométricas, perfis laminados, e muitos outros.</p><p>Encontra-se também sobre introdução ao método dos</p><p>elementos finitos, contendo informações sobre primeiro e segundo</p><p>semestre do ano letivo da faculdade.</p><p>Todos os arquivos que se encontram no site estão em</p><p>formato .pdf, sendo necessário ter o programa Acrobat Reader, que</p><p>se encontra www.adobe.com</p><p>http://medept.engr.uaf.edu/~jonah/class/es331/index.html</p><p>No site a Universidade do Alaska, encontram-se ótimos exercícios resolvidos e propostos, a</p><p>maioria de aplicações do cotidiano e exames aplicados na universidade.</p><p>http://medept.engr.uaf.edu/~jonah/class/es331/index.html</p><p>A.XIV- 5</p><p>http://www.esm.vt.edu/course_materials/</p><p>No site encontra-se exemplos de exercícios sobre estática, deformações de corpos, dinâmica,</p><p>controle e vibração.</p><p>Exercícios muito semelhantes ao curso dado por esta apostila.</p><p>Os arquivos encontram-se no formato .pdf, sendo necessário ter o programa Acrobat Reader, que</p><p>se encontra http://www.adobe.com</p><p>http://users.iron.com.br/~damin/index.htm</p><p>Na verdade não se trata do site oficial da Universidade Santa Cecília, mas sim um site criado</p><p>pelo Prof. Damin, que contém complemento ao estudo de resistência dos materiais e mecânica geral.</p><p>Contém exercícios, aulas, provas e gabaritos, links, bibliografias, provões de 97, 98 e 99 de</p><p>engenharia civil.</p><p>No site do departamento de mecânica desta universidade existe os seguintes links:</p><p>http://www.stcecilia.br/~mecanica</p><p>Existe uma apostila da disciplina de Laboratório de Engenharia Mecânica, na área de resistência</p><p>dos materiais, especializado em Extensometria Elétrica e preparada pelo Prof. João José de Sousa com a</p><p>coordenação do Prof. Fernando Luiz Windlin.</p><p>http://www.stcecilia.br/~mecanica</p><p>A.XIV- 6</p><p>http://physics.uwstour.edu/strength/indexfbt.htm</p><p>Encontram-se textos sobre todas as áreas da resistência dos materiais, desde teorias a exercícios</p><p>resolvidos.</p><p>Excelente site para o aprendizado e aperfeiçoamento nesta área.</p><p>Contém 9 tópicos explicando as áreas de tensão, estática, tensão térmica, momentos, torção,</p><p>transmissões de forças, análises de tensões e mais.</p><p>http://www.measurementsgroup.com</p><p>Site de um dos maiores fabricantes de extensômetros do mundo.</p><p>Contém informações detalhadas da utilização de strain gage.</p><p>Encontra-se catálogos, demonstrativos, aplicações, manuseio e outros.</p><p>O site ainda fornece cd-roms grátis, basta somente cadastrar-se.</p><p>http://www.mece.ualberta.ca/</p><p>O site do departamento de engenharia da Universidade Alberta, contém tutoriais que podem ser</p><p>copiados via download, textos explicativos sobre compostos mecânicos e plásticos, materiais (fibras,</p><p>plástico), treinamentos técnicos.</p><p>Todos os textos abordam o assunto de forma direta e cada um deles contém links para maior</p><p>aprofundamento e para outros sites da mesma área.</p><p>http://www.mece.ualberta.ca/</p><p>A.XIV- 7</p><p>Ayrton Senna da Silva</p><p>http://www.geocities.com/motorcity/5343/death-b.html</p><p>Site que mostra a causa real do acidente do Piloto tri-campeão de Formula 1, Ayrton Senna, a</p><p>qual é fundada na teoria da resistência dos materiais.</p><p>O site contém fotos, dados de telemetria e vídeos, demonstrando a causa real do acidente.</p><p>http://www.algor.com</p><p>Site oficial de uma das melhores empresas de software de elementos finitos.</p><p>O ALGOR além de resolver o cálculo de tensões em estruturas pelo método de elementos</p><p>finitos, resolve problemas de escoamento de fluídos e estática dos mesmos.</p><p>Encontram-se também artigos sobre a utilização dos elementos finitos no cotidiano, inclusive na</p><p>medicina.</p><p>http://www.me.mit.edu/</p><p>O site se refere ao departamento do Instituto de Tecnologia de Massachusetts, considerado por</p><p>alguns como o melhor centro tecnológico de engenharia do mundo, onde se encontra as mais atualizadas</p><p>informações no meio da tecnologia.</p><p>No site http://www.me.mit.edu/2.001 e http://www.me.mit.edu/2.002, encontram-se testes,</p><p>provas e demais informações sobre mecânica dos materiais.</p><p>http://www.algor.com/</p><p>http://www.me.mit.edu/2.001e</p><p>http://www.me.mit.edu/2.001e</p><p>A.XIV- 8</p><p>http://www.pce.com.br</p><p>Empresa brasileira que é especializada em análise por elementos finitos. Site muito interessante</p><p>para demonstrar o potencial da utilização da resistência dos materiais como desenvolvimento tecnológico.</p><p>No site encontram-se explicações da utilização dos elementos finitos, suas aplicações e</p><p>aplicativos utilizados.</p><p>http://www.amazon.com</p><p>Loja on-line especializada em venda de livros, cds, videos,</p><p>DVD, software e eletrônicos.</p><p>Sua estrutura é formada por um MainFrame interligado a várias editoras e produtoras, o que</p><p>torna a Amazon a maior rede de livros e afins do mundo.</p><p>Nessa empresa se encontra qualquer título disponível no mundo com preços acessíveis e</p><p>promocionais.</p><p>Doutor Henrique Lindenberg Neto</p><p>http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde</p><p>Este site é na verdade a home page pessoal do Professor Doutor</p><p>Henrique Lindenberg, um dos melhores e mais respeitados professores de área</p><p>de resistência dos materiais. Lecionando na Universidade de São Paulo, este professor possui uma das</p><p>melhores paginas para auxílio de estudo de resistência dos materiais, contendo exercícios, provas da</p><p>universidade, bibliografias, e ótimos links.</p><p>http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde</p><p>A.XIV- 9</p><p>http://www.cesec.ufpr.br/~pompeu</p><p>Este site é também uma home page. É um site interessante, pois tem links que levam a arquivos</p><p>de realidade virtual, na qual leva o internauta para dar um passeio pela universidade federal do Paraná,</p><p>porém é necessário a instalação do programa “Cosmo Player” que pode ser copiado via download do</p><p>próprio site.</p><p>http://www.cesec.ufpr.br/~pompeu/indice.html</p><p>Introdução geral sobre esforços externos solicitantes, resistentes, tração e compressão, lei de</p><p>Hooke, Alongamento, e Diagramas de tensão por deformação.</p><p>http://www.hbminc.com</p><p>Site de uma empresa fabricante de extensômetros.</p><p>Contem informações detalhadas da utilização de strain gage.</p><p>Encontra-se catálogos demonstrativos, aplicações, manuseio e outros.</p><p>http://www.inep.gov.br/enc</p><p>Este site é inteiramente dedicado ao Provão (exame nacional de cursos). Nele contém todos os</p><p>“Provões”, de todos os cursos e todos os anos ( 1997,1998,1999 e previsão para o Provão de 2000).</p><p>http://www.cesec.ufpr.br/~pompeu</p><p>http://www.cesec.ufpr.br/~pompeu</p><p>http://www.hbminc.com/</p><p>A.XIV- 10</p><p>Home Page de Resistência dos Materiais</p><p>DO PPrrooff.. WWiilllliiaann</p><p>http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/4502/</p><p>Este é a homepage pessoal do Prof. Willian que traz informações interessantes como conceitos</p><p>gerais, exercícios, forma de representação, algoritmos, tudo sobre a teoria dos Grafos.</p><p>Existem também programas e links muito interessantes sobre o mesmo assunto.</p><p>http://www.asm-intl.org</p><p>Este é o site oficial de um dos maiores associações de metais do mundo, ASM (American</p><p>Society for Metals) traz em seu site jornais sobre o assunto, exposições, links, afiliados, livrarias, fórum</p><p>de discussões, e mais informações na área de metais.</p><p>http://www.sae.org</p><p>Site oficial da Sociedade de Engenharia Automotiva. Contém informações sobre jornais do</p><p>assunto, exposições, links, afiliados, livrarias, fórum de discussões, e muito mais informações na área de</p><p>Engenharia Automotiva.</p><p>http://www.asm-intl.org/</p><p>http://www.sae.org/</p><p>A.XIV- 11</p><p>http://www.cemr.wvu.edu/index1.html</p><p>Este é o site oficial do colégio de engenharia e recursos minerais da Universidade West Virginia,</p><p>na qual contém varias informações sobre o colégio e demais áreas.</p><p>www.cemr.wvu.edu/~wwwemech/mater/quizzes/quizidx.htm</p><p>Este seção do site contém vários exercícios resolvidos e propostos dos principais tópicos da</p><p>resistência dos materiais como: estática, alongamento sobre carregamento simples, propriedades dos</p><p>materiais, vasos de pressão, circulo de Mohr, lei de Hooke generalizada e outros.</p><p>http://www.cemr.wvu.edu/~wwwemech/mater/mater1.htm</p><p>Esta seção do site contém suplementos para estudo, exames resolvidos e conselhos para</p><p>aumentar a habilidade de estudar.</p><p>http://www.cemr.wvu.edu/~wwwemech/statics/statics1.htm</p><p>Esta seção do site contém vários exercícios resolvidos e propostos da área de estática e</p><p>resistência dos materiais.</p><p>http://www.cemr.wvu.edu/~wwwemech/dynam/dynam1.htm</p><p>Esta seção do site contém vários exercícios resolvidos e propostos da área de dinâmica e</p><p>resistência dos materiais.</p><p>A.XIV- 12</p><p>http://www.matweb.com</p><p>Site para pesquisa de materiais em geral, possui vasta variedade de materiais como: aços inóx,</p><p>super ligas, polímeros termoplásticos, termofixos, materiais ferrosos, não ferrosos, elementos metálicos</p><p>puros, materiais cerâmicos e outros materiais para engenharia.</p><p>O site mostra características do materiais como sua composição, propriedades mecânicas,</p><p>propriedades físicas, térmicas, elétricas, e siglas de padrões de vários fabricantes do mundo.</p><p>http://www.jmarli.com/mecanica/index.html</p><p>Essa é a 2º versão do Curso desenvolvido para a Internet desde 1997. As disciplinas ministradas</p><p>pelo Prof. Luciano Menezes - resistência dos materiais e mecânica, vem utilizando a rede mundial como</p><p>mais uma forma de disseminar o conhecimento. Esse projeto visa uma nova formulação para o ensino, o</p><p>professor e os alunos não ficam limitados à sala ou a universidade.</p><p>A vida de hoje, diminui o contato entre os professores e alunos, devemos em tempos de</p><p>globalização aumentar esse contato.</p><p>A participação dos alunos no curso não é limitada apenas a sua utilização. Através da iniciação</p><p>científica os alunos estudam, projetam, desenvolvem e aprendem uma nova forma de sobreviver, nesse</p><p>mundo onde as desigualdades são cada vez maiores.</p><p>O site contém também listas de exercícios e programas úteis ao usuário da resistência dos</p><p>materiais.</p><p>http://www.matweb.com/</p><p>A.XIV- 13</p><p>http://www.cpgec.ufrgs.br/segovia/eng01140/</p><p>Este site é feito por um dos melhores professores da disciplina de resistência dos materiais, Prof.</p><p>Luis Alberto Segovia González, que atualmente leciona na Universidade do Rio Grande do Sul. Em seu</p><p>site encontra-se ótimos links, bibliografias e ainda pode-se fazer download dos seguintes programas:</p><p>FTool: Frame Analysis Tool</p><p>Programa educativo desenvolvido pelo Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia</p><p>Universidade Católica do Rio de Janeiro. Realiza a análise estrutural de estruturas de barras e representa</p><p>graficamente os diagramas de esforços. Ótimo para acompanhar a primeira parte da disciplina (Isostática).</p><p>West PointBridge Designer</p><p>Programa educativo desenvolvido pelo Departamento de Engenharia Civil e Engenharia</p><p>Mecânica da Academia Militar de West Point dos Estados Unidos. Realiza a simulação da passagem de</p><p>um veículo por uma ponte cuja estrutura treliçada pode ser alterada pelo usuário. Mostra em tempo real,</p><p>através de cores, os esforços desenvolvidos nas barras da treliça durante a passagem do veículo.</p><p>SALT UFRJ - Sistema de Análise de Estruturas</p><p>Versão educativa do programa, desenvolvido pelo Departamento de Mecânica Aplicada e</p><p>Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro. O "pacote" é constituído</p><p>por diversos módulos com variadas potencialidades.</p><p>A.XVI-1</p><p>Anexo XVI – Referências Bibliográficas</p><p>Profs. Anselmo Martinez</p><p>Renato J. P. C. Miranda</p><p>Obs.: A orientação bibliográfica normal que consta de 10 livros dos mais usados em nosso meio técnico,</p><p>está comentada no item 8 do Capítulo I – Introdução ao Curso. Neste anexo, além de repetir aqueles livros,</p><p>apresentamos um relação completa de referências bibliográficas para aqueles que desejam fazer uma pesquisa</p><p>completa de livros, apostilas, normas, revistas, etc., das últimas décadas sobre Resistência dos Materiais e</p><p>Estática.</p><p>Nas áreas de Elementos Finitos e Análise Experimental de Tensões, que mereciam um bibliografia</p><p>específica e separada, só apresentamos algumas referências para efetuarmos a relação</p><p>com a Resistência dos</p><p>Materiais.</p><p>[1]ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas - NB 5 - Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.</p><p>[2]ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas - NB 11 – Estruturas de Madeira.</p><p>[3]ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas - NB 14 – Estruturas de Aço.</p><p>[4]ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas - NBR 8800 – Estruturas Metálicas.</p><p>[5]ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas – P_PB 347 – Perfis de Chapa Dobrada.</p><p>[6]Afanásiev, A. M., Marien, V. A., “Prácticas de Laboratorio sobre Resistencia de Materiales”, URSS, Editorial</p><p>Mir, 1978. **</p><p>[7]Almeida, Luís Diamantino de Figueiredo e, “Resistência dos Materiais”, São Paulo, Érica, 1997.</p><p>[8]Amaral, O. C., “Estruturas Isostáticas”, Belo Horizonte, 3</p><p>a</p><p>Ed., Edições Engenharia e Arquitetura, 1977.</p><p>[9]Anand, D. K., Cunniff, P. F, “Mecanica para Engenieros - Estatica”, México, Compañia Editorial Continental</p><p>S. A., 1976.</p><p>[10]Arrivabene, Vladimir, “Resistência dos Materiais”, Makron Books, 1994.</p><p>[11]ASM Handbook, 10</p><p>a</p><p>Ed., 1990, Vol. 1.</p><p>[12]Associação Brasileira de Cimento Portland, “Vocabulário de Teoria das Estruturas”, São Paulo, 1967.</p><p>[13]Avril, Jean, “Encyclopedie D’Analyse des Contraintes”, France, Micromesures, 1984. **</p><p>[14]Bassin, M. G., Brodsky, S. M., Wolkoff, H., “Statics and Strength of Materials”, 4</p><p>a</p><p>Ed., McGraw Hill, 1988.</p><p>[15]Bazzo, Walter Antonio, Pereira, Luiz Teixeira do Vale, “Introdução à Engenharia”, 3</p><p>a</p><p>Ed., Florianópolis, Ed.</p><p>da UFSC, 1993.</p><p>[16]Bazzo, Walter Antonio, Pereira, Luiz Teixeira do Vale, “Ensino de Engenharia”, Florianópolis, Ed. da UFSC,</p><p>1997.</p><p>[17]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Resistência dos Materiais”, 3</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Ed. Makron Books,</p><p>1995.</p><p>[18]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Mechanics of Materials”, 2</p><p>nd</p><p>Ed., London, McGraw-Hill, 1992.</p><p>[19]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Estática”, 5</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Makron Books, 1994.</p><p>[20]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Mecânica Vectorial para Engenheiros - Estática”, 6</p><p>a</p><p>Ed.,</p><p>McGraw-Hill, 1998.</p><p>[21]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática, Cinemática e</p><p>Dinâmica – Manual de Solução para os Problemas a Serem Resolvidos com o Auxílio do Computador”,</p><p>5</p><p>a</p><p>Ed., McGraw-Hill, 1998.</p><p>[22]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Mechanics of Materials – Solution Manual to Accompany”,</p><p>U.S.A., McGraw-Hill Book Company, 1981.</p><p>[23]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E. Russel, “Mechanics of Materials – Instructor’s Manual to Accompany”,</p><p>2</p><p>nd</p><p>Ed., U.S.A., McGraw-Hill Inc, 1993.</p><p>[24]Belyaev, N. M., “Strength of Materials”, Moscow, MIR Publisher, 1999.</p><p>[25]Belluzi, O., “Ciencia de la Construccion”, Madri, Aguilar, 1973.</p><p>[26]Benevelo, N., “Flambagem das Peças Retas”, Rio de Janeiro, PUC – Usiminas.</p><p>[27]Benham, P. P.,Crawford, R. J., “Mechanics of Engineering Materials”, New York, John Wiley & Sons,</p><p>Longman Scientific & Technical.</p><p>A.XVI-2</p><p>[28]Blasi, C. G. Di, “Resistência dos Materiais”,Rio de Janeiro, Interamericana Editora, 1982.</p><p>[29]Bleich, F., “Buckling Strength of Metal Structures”, New York, Mc Graw-Hill, 1952.</p><p>[30]Blodgett, Omer W., “Design of Welded Structures”, The James F. Lincoln Arc Welding Foundation, 1966.</p><p>[31]Boas, J. M. V., “Flambagem – Manual do Engenheiro”, Porto Alegre, Globo, 1968, 7</p><p>o</p><p>Vol., 2</p><p>o</p><p>Tomo.</p><p>[32]Boresi, A. P., Sidebottom, O. M., “Advanced Mechanics of Materials”, 4</p><p>a</p><p>Ed., John Wiley & Sons, 1985.</p><p>[33]Botelho, Manoel Henrique Campos, “Resistência dos Materiais para Entender e Gostar”, São Paulo, Estúdio</p><p>Nubel, 1998.</p><p>[34]Botelho, Manoel Henrique Campos, “Concreto Armado, Eu Te Amo”, São Paulo, 2</p><p>a</p><p>Ed., Ed. Edgarg Blücher,</p><p>1996.</p><p>[35]Boumard, B., Lavaste, F., “Résistance des Matériaux – Dimensionnement des Structures à Barres Assisté Par</p><p>Micro-ordinateur”, Paris, L’outil Informatique, 1984. *</p><p>[36]Boulos, P., Zagottis, D. I. “Mecânica e Cálculo”, São Paulo, Editora Edgard Blücher Ltda, 1991.</p><p>[37]Branco, Carlos A. G. Moura, “Mecânica dos Materiais”, Lisboa, Fundação Calouste Gulbenkian.</p><p>[38]Branco, Carlos A. G. Moura, “Mecânica dos Materiais”, Lisboa, Mc Graw-Hill, 1989.</p><p>[39]Callister Jr., W. D., “Materials Science and Engineering”, 4</p><p>a</p><p>Ed., N.Y., John Wiley, 1997.</p><p>[40]Cammarano, Donato, “Esercizi di Scienza delle Construzoni”, Roma, Dets Editore.</p><p>[41]Campanari, Flavio Antonio, “Teoria das Estruturas”, Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1985, Vols. 1, 2, 3 e 4.</p><p>[42]Carnasciali, Carlos Celso “Estruturas Metálicas na Prática”, São Paulo, Ed. Mc Graw-Hill do Brasil, 1974.</p><p>[43]Carneiro, F. L., “350 Anos dos ‘Discorsi Intorni a Due Nueve Scienze’ de Galileo Galilei”, Rio de Janeiro,</p><p>CPPE, 1989.</p><p>[44]Catálogo da Companhia Siderúrgica Nacional (CSN).</p><p>[45]Catálogo da ALCAN – Perfis de Alumínio.</p><p>[46]Cernica, John N., “Resistencia de Materiales”, México, Continental, 1964.</p><p>[47]Chajes, A., “Principles of Structural Stability Theory”, N. Jersey, Prentice Hall, 1974.</p><p>[48]Cloud, Gary L., “Optical Methods of Engineering Analysis”, Cambridge University Press, 1998. **</p><p>[49]Coimbra, Alberto Luiz, “Mecânica dos Meios Contínuos”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1967.</p><p>[50]Costa, Evaristo Valladares, “Curso de Resistência dos Materiais com Elementos de Grafostática e de Energia</p><p>de Deformação”, São Paulo, Nacional, 1974, Teoria Vols. 1 e 2; Exercícios Vols. 1 e 2</p><p>[51]Courbon, Jean, “Résistance des Matériaux”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Paris, Dunod, 1964, Vols. 1 e 2.</p><p>[52]Courbon, Jean, “Tratado de Resistencia de Materiales - II”, Spain, 1965.</p><p>[53]Craig Jr., Roy R., “Mechanics of Materials”, USA, 1996.</p><p>[54]Crandall, Stephen, H., Dahl, Norman C., Lardner, Thomas J., “An Introduction To The Mechanics Of Solids”,</p><p>Singapore, 2</p><p>nd</p><p>Ed., Mc Graw-Hill, 1978.</p><p>[55]Crandall, Stephen, H., Dahl, Norman C., Lardner, Thomas J., “Introducción a la Mecânica de los sólidos”,</p><p>New York, Mc Graw-Hill, 1966.</p><p>[56]Cunha, Albino Pimenta da, Souza, Vicente Custódio Moreira de, Lima, Nelson Araújo, “Acidentes Estruturais</p><p>na Construção Civil”, São Paulo, Pini, 1996, Vol. 1.</p><p>[57]Dally, James W., Riley, William F., “Experimental Stress Analysis”, 3</p><p>a</p><p>Ed., New York, McGraw-Hill,1991. **</p><p>[58]Darkov, Anatoly, Kuznetsov, Vasily, “Structural Mechanics”, Moscow, Mir, 1968.</p><p>[59]Den Hartog, J. P., “Strength of Materials”, New York, Dover Publications, 1977.</p><p>[60]Delijaicov, Sérgio “Laboratório de Resistência dos Materiais”. **</p><p>[61]Dieter, George E., “Metalurgia Mecânica”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Rio de Janeiro, Guanabara Koogan, 1981.</p><p>[62]DIN, várias normas, Bilbao, Ed. Balzola.</p><p>[63]Dowling, Norman E., “Mechanical Behavior of Materials”, 2</p><p>nd</p><p>Ed., New Jersey, Prentice Hall, 1999.</p><p>[64]Dubbel, H., “Manual del Constructor de Máquinas”, Barcelona, 2</p><p>a</p><p>Ed., Editorial Labor, Vols. I e II, 1958.</p><p>A.XVI-3</p><p>[65]Dugas, René, “A History of Mechanics”, New York, Dover, 1988.</p><p>[66]Dugdale, D. S., Ruiz, C., “Elasticidad para Técnicos”, Barcelona, Editorial Reverté, 1973.</p><p>[67]Faupel, Joseph H., “Engineering Design; A Synthesis of Stress Analysis and Materials Engineering”, New</p><p>York, John Wiley, 1964.</p><p>[68]Felbeck, David K., “Introdução aos Mecanismos de Resistência Mecânica”, São Paulo, Edgard Blucher, 1971.</p><p>[69]Feodossiev, V., “Resistencia de Materiales”, Moscu, Editorial Mir, 1980.</p><p>[70]Feodossiev, V., “Resistência dos Materiais”, Porto, Lopes da Silva, 1977.</p><p>[71]Feodossiev, V., “Résistance des Matériaux”, Moscou, Éditions de La Paix.</p><p>[72]Feodossiev, V., “Selected Problems and Questions in Strength of Materiais”, Moscow, Mir, 1977.</p><p>[73]Feodossiev, V., “Diez Conferencias sobre Resistencia de Materiales”, Moscow, Editorial Mir, 1973.</p><p>[74]Fialho, J. Lobo, “Análise Experimental de Tensões”, Lisboa, Laboratório Nacional de Engenharia Civil, 1969,</p><p>Vols. I e II. **</p><p>[75]Fitzgerald, R. W., “Resistencia de Material”, Bogotá, Fondo Educativo Interamericano, 1970.</p><p>[76]Flores, Pio Torre, “Resistência</p><p>dos Materiais”, São José dos Campos, ITA, 1980.</p><p>[77]Fonseca, Adhemar da Cunha, Moreira, Domício Falcão, “Estática das Construções: Estruturas Isostáticas”,</p><p>Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1960.</p><p>[78]Fonseca, Adhemar da Cunha, Moreira, Domício Falcão, “Estática das Construções: Estruturas</p><p>Hiperestáticas”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1960.</p><p>[79]Fonseca, Adhemar da Cunha, “Curso de Mecânica - Estática”, Vol. I, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1971.</p><p>[80]Ford, Hugh, Alexander, J. M., “Advanced Mechanics of Materials”, London, Longmans, 1963.</p><p>[81]Franco, Mario, “Resistência dos Materiais e Estabilidade das Construções”, 3</p><p>a</p><p>Ed., Faculdade de Arquitetura e</p><p>Urbanismo, Universidade de São Paulo, 1993.</p><p>[82]Fusco, Péricles Brasiliense, “Estruturas de Concreto”, São Paulo, McGraw-Hill, 1976.</p><p>[83]Fung, Y. C., “A first course in Continuum Mechanics”, Prentice Hall, 1977.</p><p>[84]Gachon, H., “Mechanique des Structures a Barres”, Paris, École Nationale Superieure D’Arts et Metiers,</p><p>1983.</p><p>[85]Galambos, Theodore V., “Structural Members and Frames”, N. J., Prentice Hall, 1968.</p><p>[86]Gere, J. M., Weaver Jr., William, “Analysis of Framed Structures”, Princeton, N. J., Van Nostrand, 1965. *</p><p>[87]Gere, James M., Weaver Jr., William, “Análise de Estruturas Reticuladas”, Rio de Janeiro, Guanabara Dois,</p><p>1981. *</p><p>[88]Gere, James M., Timoshenko, Stephen P., “Mechanics of Materials”, 4</p><p>a</p><p>Ed., Boston, PWS Publishing</p><p>Company, 1997.</p><p>[89]Gerstle, Kurt H., “Basic Structural Design”, Japan, McGraw-Hill, 1967.</p><p>[90]Gieck, K. R., “Manual de Fórmulas Técnicas”, 4</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Hemus Editora Ltda., 1998.</p><p>[91]Giet, Armand, Géminard, Lucien, “Résistance des Matériaux”, Paris, Dunod, 1968, Vols. 1 e 2.</p><p>[92]Giet, Armand, “Problemes de Résistance des Matériaux”, Paris, Dunod, 1973.</p><p>[93]Goldenhórs, Simon, “Estática Gráfica”, 5</p><p>a</p><p>Ed., Buenos Aires, 1953.</p><p>[94]Gomes, Sérgio Congli, “Estática”, 7</p><p>a</p><p>Ed., São Leopoldo, Editora Unisinos, 1994.</p><p>[95]Gorfin, B., Oliveira, M. M., “Estruturas Isostáticas”, Rio de Janeiro, 3</p><p>ª</p><p>Ed., Livros Técnicos e Científicos</p><p>Editora, 1982.</p><p>[96]Guimarães, Helium Celso F., “Resistência dos Materiais”, Ministério do Exército, IME, 1978.</p><p>[97]Hearn, E. J., “Mechanics of Materials”, 2</p><p>a</p><p>e 3</p><p>a</p><p>Ed’s, Butterworth Heinemann, Vols. 1 e 2.</p><p>[98]Hermite, R., “Flambage et Stabilité”, Paris, Éditions Eyrolles, 1974.</p><p>[99]Hertzberg, R. W., “Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials”, 4</p><p>a</p><p>Ed., NY, John Wiley,</p><p>1996.</p><p>[100]Hibeller, Russel C., “Mechanics of Materials”, New York, Maxwell MacMilan International Edition, 1999.</p><p>A.XVI-4</p><p>[101]Hibeller, Russel C., “Estática”, 8</p><p>a</p><p>edição, Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999.</p><p>[102]Hibeller, Russel C., “Mechanics of Materials”, New Jersey, Prentice Hall, 1997.</p><p>[103]Higdon, Archie, Ohlsen, E. H., Stiles, W. B., Weese, J. A. e Riley, W. F., “Mecânica dos Materiais”, 3</p><p>a</p><p>Ed.,</p><p>Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1981.</p><p>[104]Higdon, Archie, Ohlsen, E. H., Stiles, W. B., Weese, J. A. e Riley, W. F., “Mechanics of Materials”, 3</p><p>nd</p><p>Ed.,</p><p>John Wiley & Sons, 1978.</p><p>[105]Higdon, Archie, “Mecânica – Vol I - Estática”, Rio de Jeneiro, 2</p><p>a</p><p>Ed., Prentice Hall do Brasil, 1984.</p><p>[106]HP 48 G Series, “User’s Guide”, Hawlett Packard.</p><p>[107]Hsieh, Yuan-Yu, “Elementary Theory of Structures”, N. J., Prentice Hall, 1970.</p><p>[108]Huang, T. C., “Mecanica para Ingenieros - Estática”, México, Fondo Educativo Interamericano, 1974.</p><p>[109]Jackson, John J., Wirtz, Horold G. “Elementary Statics and Strength of Materials”, U.S.A., Mc Graw-Hill,</p><p>1983.</p><p>[110]Juvinall, Robert C., “Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength”, McGraw-Hill, 1967.</p><p>[111]Kalmus, S. S., Lunard Jr., Eurimaco “Estabilidade das Construções – Vols. I e II”, São Paulo, Editora Nobel,</p><p>1978.</p><p>[112]Kardestuncer, Hayrettin, et al, “Finite Element Handbook”, New York, McGraw-Hill, 1988. *</p><p>[113]Kinasoshvili, R., “Strength of Materials”, Moscow, Mir, 1972.</p><p>[114]Kiseliov, V. A., “Mecânica de Construccion”, Moscú, Editorial Mir, Tomo II, 1972.</p><p>[115]Kletz, Trevor A, “O que Houve de Errado?”, São Paulo, Makron Books do Brasil, 1993.</p><p>[116]Kollbrunner, Curt Friedrich, Basler, K., “Torsion in Structures; An engineering Approach”, Berlin, Springer</p><p>Verlag, 1969.</p><p>[117]Kuznetsov, V., Darkov, A., “Structural Mechanics”, Moscow, Mir.</p><p>[118]Laboratório Nacional de Engenharia Civil, “Vocabulário de Teoria das Estruturas”, Lisboa, especificação</p><p>E183, 1966.</p><p>[119]Lacerda, Flávio Suplicy de, “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ed. Globo, 1964 Vols. 1 e 2.</p><p>[120]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Cálculo de Concreto Armado”, São Paulo, A.B.C.P.,</p><p>1944.</p><p>[121]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Introdução à Resistência dos Materiais”, Notas de Aula,</p><p>São Paulo, EPUSP, 1948.</p><p>[122]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, Silva Jr., Jayme Ferreira da, “Resistência dos Materiais e</p><p>Estabilidade das Construções”, São Paulo, Escola Politécnica, 1950, Vols. 1, 2, 3 e 4.</p><p>[123]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Vigas Simples Isostáticas de Alma Cheia”, Rio de Janeiro,</p><p>Editora Científica, 1955.</p><p>[124]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Tensões”, Rio de Janeiro, Científica, 1956.</p><p>[125]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, Lima, Victor M. de Souza, “Noções de Teoria da</p><p>Elasticidade e Critérios de Resistência”, São Paulo, EPUSP, 1959.</p><p>[126]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Resistência dos Materiais – Deformações - I”, Rio de</p><p>Janeiro, Científica, 1960.</p><p>[127]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Resistência dos Materiais – Deformações - II”, São</p><p>Paulo, Edgard Blucher.</p><p>[128]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Vigas Articuladas, Arcos e Pórticos Triarticulados”, Rio</p><p>de Janeiro, Editora Científica, 1958.</p><p>[129]Lardner, T. J., Archer, R. R., “Mechanics of Solids”, Singapore, International Editions, 1994.</p><p>[130]Lardner, T. J., Archer, R. R., “Solutions Manual to Accompany”, New York, Mc Graw-Hill, Inc, 1994.</p><p>[131]Laroze, Serge, “Résistence des Matériaux et Structures”, Tome 2 – Théorie des Pautres, Paris, Editions</p><p>Eyrolles, 1974.</p><p>[132]Lavaste, F., “Mecanique des Milieux Continus”, Paris, École Centrale des Arts & Manufactures, 1986.</p><p>A.XVI-5</p><p>[133]Leluan, A., “Résistance des Matériaux”, Paris, École Centrale des Arts & Manufactures, 1982.</p><p>[134]Lima, V. M. S., “Resistência dos Materiais”, São Paulo, Escola Politécnica da USP, 1965.</p><p>[135]Maliska, Clovis R., “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional – Fundamentos e</p><p>Coordenadas Generalizadas”, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1995. *</p><p>[136]Malvern, Lawrence E., “Introduction to the Mechanics of a Continuous Media”, Prentice Hall, 1969.</p><p>[137]Mangonon, P. L., “The Principles of Materials Selection for Engineering Design”, N.J., Prentice Hall, 1999.</p><p>[138]Manual de Construções Metálicas, publicado pela “American Institute of Steel Construction”, One East</p><p>Waker Drive, Chicago, Illinois.</p><p>[139]Martin, Francisco José San, Bernardi, Duílio, Boas, José de Moura Villas, Nuber, Friedrich, “Manual do</p><p>Engenheiro – Globo”, Porto Alegre, 1968, Tomo II.</p><p>[140]Martin, Harold C., “Introduction to Matrix of Structural Analysis”, New York, McGraw-Hill, 1966. *</p><p>[141]Mattar, Jamil Salles, “Problemas de Resistência dos Materiais e Estabilidade das Construções”, São</p><p>Paulo, 2</p><p>a</p><p>parte dos exames da EPUSP, 1950.</p><p>[142]Mattheck, C., “Design in Nature”, Berlin, Springer, 1998.</p><p>[143]McLean, W. G., Nelson, E. W., “Mecânica”, Rio de Janeiro, Sedegra, 1959.</p><p>[144]Melconian, Sarkis, “Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais”, São Paulo, Érica, 1949.</p><p>[145]Melosh, Robert J., “Structural Engineering Analysis by Finite Elements”, Prentice Hall, 1990. *</p><p>[146]Merian, James L., “Estática”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora, 1994.</p><p>[147]Merriman, “Resistência dos Materiais”, São Paulo, LEP S.A.</p><p>[148]Miles, A. W., Tanner, K. E., “Strain Measurement Biomechanics”, Chapman & Hall, 1992. **</p><p>[149]Miranda, Renato J. P. C., “Resistência dos Materiais: Figuras Planas; Tração, Compressão e Cisalhamento;</p><p>Torção”, apostila.</p><p>[150]Miranda, Renato J. P. C., “Alguns Aspectos da Segurança e Patologia das Estruturas”, São Bernardo do</p><p>Campo, FEI, 1977.</p><p>[151]Miranda, Renato J. P. C., Guidetti, Cesar A., “Resistência dos Materiais – Para Técnicos Industriais e</p><p>Projetistas”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Apostila, 1976.</p><p>[152]Miranda, Renato J. P. C., Dalt, Aurélio Da, “Análise da Influência da Rigidez do Implemento Rodoviário no</p><p>Comportamento Estrutural do Chassi do Caminhão, Considerando a Torção Não Uniforme”, São</p><p>Paulo, XI COBEM (Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica), 1991. *</p><p>[153]Miranda, Renato J. P. C., Et Al., “FEI – Engeware – Ensino de CAE, Um Convênio que Deu Certo”, Revista</p><p>Pesquisa e Tecnologia – FEI, agosto/1995. *</p><p>[154]Miranda, Renato J. P. C., “A Revolução do Método do Elementos Finitos”, Revista Pesquisa e Tecnologia –</p><p>FEI, junho/1984. *</p><p>[155]Miranda, Renato J. P. C., Et Al., “O Uso do Computador no Processo de Ensino e Aprendizado de</p><p>Resistência dos Materiais”, Revista Pesquisa e Tecnologia – FEI, 1996.</p><p>[156]Miranda, Renato J. P. C., “Resistência dos Materiais na FEI – História e Perspectiva”, Revista Pesquisa e</p><p>Tecnologia – FEI, julho/1988.</p><p>[157]Miranda, Renato J. P. C., Gimenez, S. A. A., “O Uso da Análise Experimental de Tensões no Processo de</p><p>Ensino e Aprendizagem de Resistência dos Materiais”, 2</p><p>o</p><p>Seminário de Análise Experimental de</p><p>Tensões – ABCM – Associação Brasileira de Ciências Mecânicas, IOCHPE-Maxion, S. B. do Campo,</p><p>SP, Brasil, 1994. **</p><p>[158]Miranda, Renato J. P. C., Santos, C. A. M., “Equipamentos de Ensaios de Flexão – Uma Contribuição Para</p><p>o Ensino e Aprendizagem de Resistência dos Materiais ”, Anais em CD-ROM – CIDIM 95 – Congresso</p><p>Brasileiro de Engenharia Mecânica; Belo Horizonte, Brasil, 1995. **</p><p>[159]Miranda, Renato J. P. C., “Utilização de Computadores no Ensino de Engenharia – Aplicações na Área de</p><p>Resistência dos Materiais e Estruturas”, I Fórum de Debates, 1983, FEI, São Paulo.</p><p>[160]Miranda, Renato J. P. C., “Introdução à Análise Matricial de Estruturas Reticuladas, Considerando os</p><p>Efeitos de Torção Não Uniforme nas Barras de Parede Fina, Com Secção Transversal Aberta”,</p><p>Seminário de Estruturas da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 1982. *</p><p>A.XVI-6</p><p>[161]Miroliubov, I., “Problemas de Resistência de Materiales”, 3</p><p>a</p><p>Ed., Moscou, Mir, 1978.</p><p>[162]Moreira, Domicio Falcão, “Análise Matricial das Estruturas”, Rio de Janeiro, U.S.P. e Livros Técnicos e</p><p>Científicos, 1977. *</p><p>[163]Mori, Dagoberto Dario, Corrêa, Marcio Roberto Silva, “Exercícios Resolvidos de Resistência dos Materiais”,</p><p>São Carlos, Universidade de São Paulo, 1983.</p><p>[164]Mori, Dagoberto Dario, Corrêa, Marcio Roberto Silva, “Exercícios Propostos de Resistência dos Materiais”,</p><p>São Carlos,, Universidade de São Paulo, 1983.</p><p>[165]Nash, William Arthur, “Resistência dos Materiais”, São Paulo, McGraw-Hill, 1982, Coleção Schaum.</p><p>[166]Nash, William Arthur, “Strength of Materials”, U.S.A, 3</p><p>th</p><p>Ed., McGraw-Hill, 1994.</p><p>[167]Neathery, R. F., “Applied Strength of Materials”, John Wiley & Sons, 1982.</p><p>[168]Neto, José de A. Freitas, Sperandio Jr., Ernesto “Exercícios de Estática e Resistência dos Materiais”, Paraná,</p><p>Universidade Federal do Paraná, 1971.</p><p>[169]Oliveira, Eduardo Romano de Arantes e, “Resistência dos Materiais – Livro II: Elementos da Teoria da</p><p>Elasticidade”, Lisboa, Instituto Superior Técnico.</p><p>[170]Olsen, G. A., “Strength of Materials”, George Allen & Unwin Ltd, 1951.</p><p>[171]Paiva, Salvador José de, “Exercícios de Resistência dos Materiais”, São Caetano do Sul, Depto de</p><p>Publicações do Centro Acadêmico da Escola de Engenharia Mauá, 1969.</p><p>[172]Pastaukhov, Viktor A., Voorwold, Herman J. “Introdução à Mecânica da Integridade Estrutural”, São Paulo,</p><p>Ed. UNESP, 1995.</p><p>[173]Pereira, Marco Antonio Carvalho, “A Internet como Ferramenta de Trabalho do Engenheiro Químico”,</p><p>Revista Brasileira de Engenharia Química, Orgão da Associação Brasileira de Engenharia Química, Vol.</p><p>18, N. 1, 1998.</p><p>[174]Pereira, Marco Antonio Carvalho, “A Internet Aplicada à Química”, palestra proferida no I.M.T. em</p><p>24/06/1999.</p><p>[175]Peterson, R. E., “Stress Concentration Factors”, John Wiley & Sons, 1974.</p><p>[176]Pfeil, Walter, “Estruturas de Aço”, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Científicos Editora S.A., 1976.</p><p>[177]Piconez, Stela C. B., Fazenda, Ivani C. Arantes, Ribeiro, Maria Luisa Sprovieri, Bizzo, Nélio Marco V.,</p><p>Pontuschka, Nídia Nacib, Kulcsar, Rosa, Kenski, Vani Moreira, Boulos, Yara, “A Prática de Ensino – e</p><p>o Estágio Supervisionado”, 2</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Papirus, 1994.</p><p>[178]Pissarenko, G. S., Iakovlev, A. P, Matveiev, V. V., “Prontuário de Resistência dos Materiais”, Ed. Mir</p><p>Moscovo, 1985.</p><p>[179]Pissarenko, G. S., Iakovlev, A. P, Matveiev, V. V., “Manual de Resistência de Materiales”, Moscow,</p><p>Editorial Mir Moscú, 1979.</p><p>[180]Popov, Egor P., “Introduction to Mechanics of Solids”, N. J., Prentice Hall, 1968.</p><p>[181]Popov, Egor P., “Introdução a Mecânica dos Sólidos”, São Paulo, Ed. Edgard Blücher, 1978.</p><p>[182]Popov, Egor P., “Introducción a La Mecánica de Sólidos”, Mexico, Limusa, 1976.</p><p>[183]Popov, Egor P., “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Prentice-Hall, 1984.</p><p>[184]Popov, Egor P., “Engineering Mechanics of Solids”, Prentice-Hall, 1990.</p><p>[185]Portela, Artur, Silva, Arlindo, “Mecânica dos Materiais”, Lisboa, Plátano Ed. Técnicas, 1996.</p><p>[186]Rachid, M., Libardi, W., Mamiya, E. N., “Exercícios de Resistência dos Materiais”, Universidade Federal de</p><p>São Carlos, 1982.</p><p>[187]Ratzersdorfer, J., “Flambagem”, São Paulo, Instituto de Pesquisas Tecnológicas, 1954, Vols. 1, 2 e 3.</p><p>[188]Rees, D. W. A. “Basic Solid Mechanics”, London, Mac Millan Press Ltd, 1997.</p><p>[189]Rees, D. W. A. “Mechanics of Solids and Structures”, Singapore, Mc Graw-Hill, 1990.</p><p>[190]Ricardo, Otávio Gaspar de Souza, “Introdução à Resistência dos Materiais”, Campinas, UNICAMP, 1977.</p><p>[191]Ricardo, Otávio Gaspar de Souza, “Elementos de Mecânica Geral e Resistência dos Materiais para Técnicos</p><p>de 2</p><p>o</p><p>Grau”, São Paulo, Tecnologia Industrial - 5, SENAI, 1993.</p><p>A.XVI-7</p><p>[192]Ricardo, Otávio Gaspar de Souza, “Teoria das Estruturas”, São Paulo, McGraw-Hill e Universidade de São</p><p>Paulo, 1978.</p><p>[193]Riley, William F., Sturges, Lerroy D., Morris, Don H., “Statics and Mechanics of Materials”, John Wiley &</p><p>Sons, 1995.</p><p>[194]Riley, William F., Sturges, Lerroy D., Morris, Don H., “Mechanics of Materials”, 5</p><p>a</p><p>Ed., New York, John</p><p>Wiley, 1999.</p><p>[195]Riley, William F., Zachary, Loren, “Introduction to Mechanics of Materials”, New York, John Wiley &</p><p>Sons, 1989.</p><p>[196]Roark, Raymond J., “Formulas de Resistencia de Materiales, Esfuerzos y Deformaciones”, Madri, Aguilar,</p><p>1952.</p><p>[197]Robinson, J. L., “Mechanics of Materials”, New York, John Wiley, 1969.</p><p>[198]Rocha, Aderson Moreira da, “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Editora Científica, 1969.</p><p>[199]Roylance, D., “Mechanics of Materials”, John Wiley & Sons, 1996.</p><p>[200]Rozenberg, Israel Mordka, “O Sistema Internacional de Unidades – SI”, São Paulo, Instituto Mauá de</p><p>Tecnologia, 1998.</p><p>[201]Saliger, Rudolf, “Estática Aplicada”, 4</p><p>a</p><p>Ed., Barcelona, Labor, 1968.</p><p>[202]Sanjuán, Rubio, “Compêndio de Resistência de Materiales”, 7</p><p>a</p><p>Ed., Rio de Janeiro, Editora Labor, 1966,</p><p>Tomo I e II.</p><p>[203]Santana, Aloizio Lellis, Genovesi, Vicente, Trindade, Leo Albino, “Exercícios de Resistência dos Materiais”,</p><p>Faculdade de Engenharia Industrial, Depto de Publicações do Centro Acadêmico Saboia de Medeiros,</p><p>1962.</p><p>[204]Santos, José Amaro dos, Graziano, Francisco Paulo, “Resistência dos Materiais e Estabilidade das</p><p>Construções”, Faculdade de Arquitetura e Urbanismo, Universidade de São Paulo, 1983.</p><p>[205]Santos, S. M. G., “Kippe ou Flambagem Transversal”, Rio de Janeiro, UFRJ,</p><p>1950.</p><p>[206]Santos, Sydnei M. G. dos, “Resistência dos Materiais”, UFRJ, Cadeira de Resistência dos Materiais e</p><p>Grafostática, Notas de Aula, 1972.</p><p>[207]Schiel, Frederico, “Introdução à Resistência dos Materiais”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Escola de Engenharia de São Carlos,</p><p>U.S.P., 1966.</p><p>[208]Schiel, F., “Resistência dos Materiais”, São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1974.</p><p>[209]Schreyer, “Estática das Construções”, Rio de Janeiro, Editora Globo, 1960, Vols. 1, 2 e 3.</p><p>[210]Seely, Fred B., Smith, James G., “Advanced Mechanics of Materials”, Tokyo, John Wiley, 1952.</p><p>[211]Seely, Fred B., Smith, James G., “Resistance of Materials”, New York, John Wiley, 1963.</p><p>[212]Shanley, F. R., “Strength of Materials”, New York, McGraw-Hill, 1957.</p><p>[213]Shanley, F. R., “Inelastic Column Theory”, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 14, N. 5, 1947.</p><p>[214]Shames, Irving H., “Introdução à Mecânica dos Sólidos”, Rio de Janeiro, 1988.</p><p>[215]Shames, Irving H., “Introduction to Solid Mechanics”, 2</p><p>nd</p><p>Ed., Prentice Hall, 1989.</p><p>[216]Shames, Irving H., “Egineering Mechanics – Statics and Dynamics”, U.S.A., 4</p><p>th</p><p>Ed., Prentice Hall, 1997.</p><p>[217]Shedd, T. C., Vawter, J., “Theory of Simple Structures”, New York, 2</p><p>nd</p><p>Ed., John Wiley & Sons, 1941.</p><p>[218]Shigley, Joseph Edward, “Applied Mechanics of Materials”, Tokyo, McGraw-Hill Kogakusha, 1976.</p><p>[219]Shigley, Joseph E., Mischke, Charles R., “Distortion & Stress – A Mechanical Designers Workbook”,</p><p>McGraw-Hill, 1990.</p><p>[220]Shigley, Joseph E., Mischke, Charles R., “Mechanical Engineering Design”, Singapore, McGraw-Hill.</p><p>[221]Silva Jr, Jayme Ferreira da, “Método de Cross”, São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1975.</p><p>[222]Silva Jr, Jayme Ferreira da, “Resistência dos Materiais”, Belo Horizonte, Engenharia e Arquitetura, 1982.</p><p>[223]Silva Jr, Jayme Ferreira da, “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1962.</p><p>[224]Silva Jr, Jayme Ferreira da, “Resistência e Estática das Construções”, Belo Horizonte, Universidade de Minas</p><p>Gerais, 1959.</p><p>A.XVI-8</p><p>[225]Silva, J. C. N. “Mecânica Geral - Estática”, São Paulo, Edição Preliminar, 1980.</p><p>[226]Silveira, B. F. “Mecânica – Curso Superior”, São Paulo, Editora Sycla Ltda.</p><p>[227]Singer, Ferdinand L. “Resistencia de Materiales”, Mexico, Horla, 1971.</p><p>[228]Singer, Ferdinand L. “Mecânica para Engenheiros – Estática”, Brasil, Harbras, 1981.</p><p>[229]Sloane, Alvin, “Resistencia de Materiales”, España, Unión Tipográfica Editorial Hespano Americana, 1966.</p><p>[230]Sonnino, Sérgio, Mirshawka, Vítor, “Baricentros”, São Paulo, Série Acadêmica LPM, 1965.</p><p>[231]Sonnino, Sérgio, “Mecânica Geral, Estática”, São Paulo, 1971.</p><p>[232]Souza, Sérgio Augusto de, “Ensaios Mecânicos de Materiais Metálicos. Fundamentos Teóricos e Práticos”,</p><p>5</p><p>a</p><p>Ed., Edgard Blucher, 1982.</p><p>[233]Stepin, P., “Strength of Materials”, Moscow, H. Perham.</p><p>[234]Sterman, Hugo, “Mecânica, Cinemática, Estática e Dinâmica”, 5</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Editora Leps.</p><p>[235]Stiopin, Piotr A., “Resistência de Materiales”, Moscou, Mir, 1968.</p><p>[236]Süssekind, José Carlos, “Curso de Análise Estrutural”, 4</p><p>a</p><p>Ed., Porto Alegre, Editora Globo, 1979, Vol. 1:</p><p>Estruturas Isostáticas, Vol. 2: Deformações em Estruturas. Método das Forças, Vol. 3: Método das</p><p>Deformações. Processo de Cross.</p><p>[237]Takanohashi, Susumu, “Resistência dos Materiais – Análise das Tensões e o Critério da Energia de</p><p>Distorção”, Faculdade de Engenharia Industrial (FEI), 1979.</p><p>[238]Takanohashi, Susumu, “Verificação do Risco de Flambagem em Estruturas de Aço”, São Bernardo do</p><p>Campo, 1982.</p><p>[239]Takanohashi, Susumu, “Introdução à Análise de Tensões”, São Paulo, 1967.</p><p>[240]Távora, Fernando Juarez Pitanga, “Unidades de Medida”, São Bernardo do Campo, Ivan Rossi, 1975.</p><p>[241]The Technical Staff of Measurements Group, Inc, “Strain Gage Based Transducers – Their Design and</p><p>Construction”, North Carolina, Raleigh, 1988. **</p><p>[242]Timoshenko, S. P., Gere, J. E., “Theory of Elastic Stability”, 2</p><p>d</p><p>Ed., New York, McGraw-Hill, 1961.</p><p>[243]Timoshenko, S. P., Gere, J. E., “Mecânica dos Sólidos”, Livros Técnicos e Científicos Ed., 1994, Vols. 1 e 2.</p><p>[244]Timoshenko, S. P., “Resistência dos Materiais Vol. 1 e 2”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1969.</p><p>[245]Timoshenko, Stephen P., “History of Strength of Materials”, New York, Dover Publications, 1983.</p><p>[246]Timoshenko, Stephen Prokofievitch, Goodier, J. N., “Teoria da Elasticidade”, 3</p><p>a</p><p>Ed., Rio de Janeiro, Ed.</p><p>Guanabara Dois, 1980.</p><p>[247]Timoshenko, Stephen Prokofievitch, Krieger, S. Woinowsky, “Theory of Plates on Shells”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Singapore,</p><p>Mc Graw-Hill International Editions, 1989.</p><p>[248]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Mecânica Técnica, Dinâmica”, 4</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Editora Técnica</p><p>Dragão.</p><p>[249]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Mecânica Técnica, Estática”, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e</p><p>Científicos Editora S. A., 1983.</p><p>[250]Truesdell, Clifford, “Essays in the History of Mechanics”, Springer Verlag, 1968.</p><p>[251]Tuma, Jan J., “Theory and Problems of Structural Analysis”, New York, McGraw-Hill, 1969.</p><p>[252]Ugural, A. C., “Mechanics of Materials”, Singapore, Mc Graw-Hill, 1991.</p><p>[253]Vazquez, Manuel, “Resistencia de Materiales”, 3</p><p>a</p><p>Ed., Madrid, Editorial Noela, 1994.</p><p>[254]Venancio Filho, Fernando, “Análise Matricial de Estruturas – Estática, Estabilidade e Dinâmica”, Rio de</p><p>Janeiro, Almeida Neves Editores, 1975. *</p><p>[255]Venancio Filho, Fernando, “Dimensionamento Sob Esforços Cíclicos”, Universidade do Brasil, 1963.</p><p>[256]Ventura, Teresa, “Fundamentos da Teoria da Elasticidade”, Lisboa, Laboratório Nacional de Engenharia</p><p>Civil, 1974.</p><p>[257]Volmir, A., “Problemas de Resistencia de Materiales”, URSS, Mir, 1986.</p><p>[258]Willems, Nicholas, Easley, John T., Rolf, Stanley T., “Resistência dos Materiais”, São Paulo, McGraw-Hill</p><p>do Brasil, 1983.</p><p>A.XVI-9</p><p>[259]Willems, Nicholas, Easley, John T., Rolf, Stanley T., “Strength of Materials”, U.S.A., McGraw-Hill, 1981.</p><p>[260]Witkowski, Francisco Mauro, “Física Geral – Estática – 1</p><p>a</p><p>Parte”.</p><p>[261]Young, Warren C., “Roark’s Formulas for Stress and Strain”, 6</p><p>th</p><p>Ed., McGraw-Hill, 1989.</p><p>[262]Zagottis, D. L., “Introdução a Teoria Geral da Estabilidade do Equilíbrio”, EPUSP, 1980.</p><p>[263]Zagottis, D. L., “Casos Especiais de Flambagem”, São Paulo, EPUSP.</p><p>[264]Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., “The Finite Element Method – Vol. 1: Basic Formulation and Linear</p><p>Problems”, 4</p><p>th</p><p>Ed., London, McGraw-Hill, 1989. *</p><p>[265]Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., “The Finite Element Method – Vol. 2: Solid and Fluid Mechanics,</p><p>Dynamics and Non-linearity”, 4</p><p>th</p><p>Ed., Singapure, McGraw-Hill, 1991. *</p><p>[266]Zünkler, B., “Exercicios Sobre Elasticidad y Resistencia de Materiales”, Barcelona, Editorial Reverté S. A.,</p><p>1976.</p><p>*  Livros sobre Elementos Finitos;</p><p>**  Livros sobre Análise Experimental de Estruturas.</p><p>Algumas revistas, jornais e anais de congressos ligados à Resistência dos Materiais:</p><p>[1]“Archive Of Applied Mechanics”, Springer-Verlag, Germany.</p><p>[2]“Caderno de Engenharia de Estruturas”, Escola de Engenharia de São Carlos, USP, São Paulo.</p><p>[3]“Computer Applications in Engineering Education”, John Wiley & Sons, USA.</p><p>[4]“COBEM - Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica”, ABCM - Associação Brasileira de Ciências</p><p>Mecânicas , Rio de Janeiro.</p><p>[5]“COBENGE – Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia”, ABENGE - Associação Brasileira de Ensino</p><p>de Engenharia, Brasília.</p><p>[6]“Experimental Mechanics – A Journal Of The Society For Experimental Mechanics (SEM)”, Bethel, USA.</p><p>[7]“International Journal For Numerical Methods In Engineering”, John Wiley & Sons, West Sussex, UK.</p><p>[8]“International Journal Of Solids And Structures”, Pergamon, USA.</p><p>[9]“International Journal Of Computer & Structure”, Pergamon, UK.</p><p>[10]“International Journal Of Engineering Education”, Tempus, UK.</p><p>[11]“Journal Of Elasticity”, Kluwer Academic Publishers, Netherlands.</p><p>[12]“Mathematics And Mechanics Of Solids”, England.</p><p>[13]“Revista</p><p>Brasileira de Ciências Mecânicas”, ABCM - Associação Brasileira de Ciências Mecânicas , Rio de</p><p>Janeiro.</p><p>[14]“Revista de Ensino de Engenharia”, ABENGE - Associação Brasileira de Ensino de Engenharia, Brasília.</p><p>[15]“Strain – Journal Of The British Society For Strain Measurement (BSSM)”, London, UK.</p><p>[16]“The Journal Of Strain Analysis For Engineering Design ”, Professional Engineering Publishing, London,</p><p>UK.</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>Este trabalho pretende ajudar Alunos, Professores, e</p><p>Engenheiros a dominar os oito capítulos da Resistência dos</p><p>Materiais Básica, que são:</p><p>I - Introdução – Conceitos Gerais</p><p>II - Reações de Apoio – Diagramas</p><p>III - Figuras Planas – Complementos</p><p>IV - Tração – Compressão – Cisalhamento</p><p>V - Tensões Normais na Flexão</p><p>VI - Deslocamento na Flexão</p><p>VII - Torção</p><p>VIII - Flambagem</p><p>Além destes capítulos ricamente ilustrados com</p><p>dezenas de aplicações práticas, o Prof. Renato Miranda</p><p>preparou uma série de 16 interessantes anexos, onde se</p><p>destacam várias tabelas sobre materiais e perfis industriais,</p><p>um formulário completo, instruções sobre o uso de tutoriais</p><p>e programas de computador, os principais sites da Internet,</p><p>as principais questões dos “Provões” do MEC, os principais</p><p>programas das calculadoras do tipo HP, uma extensa</p><p>relação bibliográfica e ainda um conjunto de exemplos</p><p>motivadores de Resistência dos Materiais em diversas áreas</p><p>da Engenharia e da Técnica.</p><p>O Prof. Renato Miranda colocou nesta obra toda sua</p><p>experiência de mais de 30 anos como Engenheiro e</p><p>Professor de diversas escolas de Engenharia, Técnicas e</p><p>Profissionais.</p><p>Bons estudos e torne-se mais um conhecedor da</p><p>fascinante área de projetar peças sujeitas a esforços!</p><p>n</p><p>0,000 000 000 001 = 10</p><p>-12</p><p>....................... pico................. p</p><p>0,000 000 000 000 001 = 10</p><p>-15</p><p>................ femto............. f</p><p>0,000 000 000 000 000 001 = 10</p><p>-18</p><p>......... atto................. a</p><p>ALFABETO GREGO</p><p>Alfa....................   Ni.......................  </p><p>Beta ..................   Xi.......................  </p><p>Gama.................   Ômicron............  </p><p>Delta..................   Pi.......................  </p><p>Épsilon..............   Rô......................  </p><p>Zeta....................   Sigma................  </p><p>Eta.....................   Tau....................  </p><p>Teta....................   Ipsilon................  </p><p>Iota....................   Fi.......................  </p><p>Capa..................   Qui.....................  </p><p>Lambda..............   Psi......................  </p><p>Mi......................   Ômega...............  </p><p>UNIDADES</p><p>1- Forças................................................................. N, kN, kgf, tf, daN (kip = 10</p><p>3</p><p>lbf)</p><p>2- Momentos.......................................................... N.m, kN.m, kgf.m, tf.m (kip.ft , lbf.in)</p><p>3- Carga distribuída................................................ N/m, kN/m, kgf/cm, tf/m</p><p>4- Comprimento, deslocamentos lineares.............. m, mm, cm (ft, in)</p><p>5- Área................................................................... m</p><p>2</p><p>, mm</p><p>2</p><p>, cm</p><p>2</p><p>(in</p><p>2</p><p>)</p><p>6- Momento estático, volume................................ m</p><p>3</p><p>, mm</p><p>3</p><p>, cm</p><p>3</p><p>(in</p><p>3</p><p>)</p><p>7- Momento de inércia........................................... m</p><p>4</p><p>, mm</p><p>4</p><p>, cm</p><p>4</p><p>(in</p><p>4</p><p>)</p><p>8- Potência............................................................. N.m/s = W, cv, hp</p><p>9- Ângulo............................................................... rad, grau º</p><p>10- Tensões, módulo de elasticidade, pressão....... N/m</p><p>2</p><p>= Pa, MPa, GPa, N/mm</p><p>2</p><p>, kN/cm</p><p>2</p><p>,</p><p>kgf/m</p><p>2</p><p>, kgf/cm</p><p>2</p><p>(psi, kpsi = ksi)</p><p>11- Velocidade angular.......................................... rad/s</p><p>12- Freqüência ...................................................... Hz</p><p>13- Coeficiente de dilatação................................... ºC</p><p>-1</p><p>14- Peso específico................................................ kN/m</p><p>3</p><p>, kgf/m</p><p>3</p><p>1 kgf = 9,81 N  10 N , MPa = 10</p><p>6</p><p>Pa , GPa = 10</p><p>9</p><p>Pa , 1 kN = 10</p><p>3</p><p>N , 1daN = 10</p><p>SUMÁRIO</p><p>CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO AO CURSO - CONCEITOS GERAIS</p><p>Página</p><p>1 - Introdução ao Curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1</p><p>1. O que é Resistência dos Materiais?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1</p><p>2. Principais Esforços - Conceitos Intuitivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2</p><p>3. Principais Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2</p><p>4. Principais Tópicos - Resumo do Programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>.</p><p>1.3</p><p>5. Principais Pré-Requisitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4</p><p>6. A Posição da Resistência dos Materiais no Curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>.</p><p>1.4</p><p>7. A Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5</p><p>8. Orientação Bibliográfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5</p><p>9. Histórico - Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7</p><p>10. Tendências - Perspectivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7</p><p>11. Desenvolvimento do Curso - Critério de Aprovação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>.</p><p>1.7</p><p>12. Trabalho Prático - Avaliação n.º 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>.</p><p>1.8</p><p>2 - Conceitos Gerais - Orientação Para Estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9</p><p>CAPÍTULO II - COMPLEMENTOS DE REAÇÕES DE APOIO E</p><p>DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES</p><p>Página</p><p>PARTE 1- Resumo Teórico - Conceitos Gerais Estruturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1</p><p>PARTE 2 - Exercícios resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3</p><p>PARTE 3 - Série de 58 exercícios propostos com respostas de reações de apoio e diagramas</p><p>de esforços internos solicitantes - Vigas retas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16</p><p>CAPÍTULO III - COMPLEMENTOS DE FIGURAS PLANAS</p><p>Página</p><p>1. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1</p><p>2. Momento estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2</p><p>3. Centro de gravidade (Baricentro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4</p><p>4. Momento de inércia em relação a um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5</p><p>5. Momento de inércia polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6</p><p>6. Momento centrífugo de inércia ou produto de inércia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8</p><p>7. Raio de giração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10</p><p>8. Exemplos - Figuras elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11</p><p>9. Translação de eixos - Teorema de Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21</p><p>10. Exemplos - Figuras elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.24</p><p>11. Formulário - Anexo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30</p><p>12. Exemplos - Figuras compostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30</p><p>13. Perfis Industriais - Anexo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.45</p><p>14. Exemplos - Perfis compostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.47</p><p>15. Rotação de eixos, momentos e eixos principais de inércia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.53</p><p>16. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.67</p><p>17. Módulos de resistência em relação a um eixo central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.82</p><p>18. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.89</p><p>19. Exemplos diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.99</p><p>20. Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.110</p><p>21. Exercícios complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.125</p><p>CAPÍTULO IV - TRAÇÃO - COMPRESSÃO - CISALHAMENTO</p><p>Página</p><p>1 - Tração e compressão.</p><p>1.1- Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1</p><p>1.2- Hipóteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2</p><p>1.3- Tensão normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4</p><p>1.4- Deslocamento longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6</p><p>1.5- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7</p><p>1.6- Deformação transversal - Coeficiente de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19</p><p>1.7- Deformação volumétrica na solicitação simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20</p><p>1.8- Solicitação dupla e tripla - Generalização da Lei de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21</p><p>1.9- Tubos de parede fina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.26</p><p>1.10- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.31</p><p>1.11- Energia de deformação - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.38</p><p>1.12- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.40</p><p>1.13- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.41</p><p>2 - Cisalhamento Puro.</p><p>2.1- Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.46</p><p>2.2- Hipóteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.47</p><p>2.3- Tensão de cisalhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.48</p><p>2.4- Deslocamento angular e transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.49</p><p>2.5- Energia de deformação no cisalhamento puro - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.52</p><p>2.6- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.53</p><p>2.7- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.58</p><p>2.8- Exercícios complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.68</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>Highlight</p><p>CAPÍTULO V - TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO</p><p>Página</p><p>1. Tipos de Flexão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1</p><p>2. Flexão Pura e Flexão Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1</p><p>2.1. Principais Hipóteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1</p><p>2.2. Cálculo das Tensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2</p><p>2.3. Projeto de Peças Pela Condição de Resistência, ou seja, Limitação de Tensões. . . 5.2</p><p>2.4. Etapas Clássicas dos Problemas de Flexão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2</p><p>2.5. Exercícios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3</p><p>3. Flexão Composta Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9</p><p>3.1. Resumo Teórico e Orientação Para Estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9</p><p>3.2. Exercícios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9</p><p>4. Flexão Simples Obliqua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12</p><p>4.1. Resumo Teórico - Orientação para Estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12</p><p>4.2. Exercícios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12</p><p>5. Exercícios Propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16</p><p>CAPÍTULO VI – DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO</p><p>Página</p><p>PARTE I- RESUMO TEÓRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1</p><p>1. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1</p><p>2. Importância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1</p><p>3. Nomenclatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1</p><p>4. Hipóteses Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2</p><p>5. Expressão da Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2</p><p>6. Cálculos e Simplificações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3</p><p>7. Equação Diferencial da Linha Elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4</p><p>8. Convenções de Sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4</p><p>9. Relações entre Esforços e Deslocamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5</p><p>10. Alguns Processos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5</p><p>11. Processo de Integração da Linha Elástica – Seqüência Geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5</p><p>PARTE II- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6</p><p>PARTE III- CASO GERAL - "N" TRECHOS PELO PROCESSO CLÁSSICO DA</p><p>INTEGRAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.40</p><p>1. Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.40</p><p>2. Caso Geral – “n” Trechos pelo Processo Clássico da Integração da Linha Elástica</p><p>- Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.41</p><p>3. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.42</p><p>4. Conclusão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.46</p><p>5. Exercício Proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>. . . . . . 6.46</p><p>CAPÍTULO VII - TORÇÃO</p><p>Página</p><p>1- Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.01</p><p>2- Torção em peças de secção circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.03</p><p>3- Expressão do momento torçor em função da potência e da rotação por minuto. . . . . 7.09</p><p>4- Dimensionamento pelas condições de resistência e rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10</p><p>5- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11</p><p>6- Energia de deformação - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17</p><p>7- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.19</p><p>8- Exercícios complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.22</p><p>CAPÍTULO VIII - FLAMBAGEM</p><p>Página</p><p>1- Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1</p><p>2- Equilíbrio estável, instável e indiferente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1</p><p>3- Conceito de flambagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2</p><p>4- Caso fundamental de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3</p><p>5- Diversos casos de vinculação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5</p><p>6- Fórmula geral de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5</p><p>7- Algumas observações relativas à carga de flambagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7</p><p>8- Campo de validade da fórmula de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10</p><p>9- Flambagem no regime inelástico - Várias teorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11</p><p>10- Resumo - Orientação para cálculo - Principais etapas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.18</p><p>11- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.20</p><p>12- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.36</p><p>ANEXOS</p><p>Página</p><p>I - PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS E TENSÕES ADMISSÍVEIS. . A.I - 1</p><p>Tabela 1 - Propriedades Mecânicas de Alguns Materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.I - 1</p><p>Tabela 2 - Tensões Admissíveis Típicas Para Alguns Tipos de Aços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.I - 7</p><p>Tabela 3 - Tensões Admissíveis Típicas Para Alguns Tipos de Madeiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . A.I - 7</p><p>II - MOMENTOS DE INÉRCIA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS. . . . . . . . . . . . . . A.II - 1</p><p>III - PERFIS INDUSTRIAIS - VÁRIAS TABELAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.III - 1</p><p>IV - ANÁLISE DAS EXPRESSÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.IV - 1</p><p>V - FORMULÁRIO DE TORÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.V - 1</p><p>VI - TABELA DE DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. VI - 1</p><p>VII - FORMULÁRIO BÁSICO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, NOTAÇÃO</p><p>BEER-JOHNSTON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.VII - 1</p><p>VIII - TRABALHO N.º 1 - COM TRÊS PARTES:</p><p>a) Uso do Tutorial de Estática do livro de Beer - Johnston (5ª Edição) ou equivalente</p><p>b) Uso do Tutorial de Resistência dos Materiais do livro de Beer - Johnston ou equivalente</p><p>c) Desenvolvimento de um tema ligado à Resistência dos Materiais (Seminário). . . . . . . . . . . . . A.VIII - 1</p><p>IX - COMO USAR O SOFTWARE INTERATIVO "TUTORIAL DE ESTÁTICA" -</p><p>- BEER-JOHNSTON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.IX - 1</p><p>X - TUTORIAL DE ESTÁTICA - BEER-JOHNSTON - 6ª EDIÇÃO - INFORMAÇÕES. . A.X - 1</p><p>XI - TRABALHO N.º 2 - EXERCÍCIOS PARA SEREM FEITOS USANDO</p><p>COMPUTADOR - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - BEER - JOHNSTON</p><p>- 3ª EDIÇÃO - INSTRUÇÕES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XI - 1</p><p>XII - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E OS E. N. C. - EXAMES NACIONAIS DE</p><p>CURSOS - "PROVÕES" (MEC - MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, CULTURA E</p><p>(DESPORTOS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XII - 1</p><p>XIII - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E AS CALCULADORAS TIPO HP 48G/GX. A.XIII - 1</p><p>XIV - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E A INTERNET - UM MUNDO A</p><p>DESCOBRIR! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XIV - 1</p><p>XV - EXEMPLOS MOTIVADORES DAS VÁRIAS ÁREAS DA ENGENHARIA. . . . . . . . A.XV - 1</p><p>XVI - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XVI - 1</p><p>1.0</p><p>1.0</p><p>CAPÍTULO I</p><p>INTRODUÇÃO AO</p><p>CURSO – CONCEITOS</p><p>GERAIS</p><p>Prof. Renato J. P. C. Miranda</p><p>Colaboração:</p><p>Leonardo Moneci Zamboni</p><p>Bem vindo à Resistência dos Materiais!</p><p>Após ler esta introdução, Você saberá como ter um bom</p><p>aproveitamento, e mais tarde analisar peças por Elementos Finitos!</p><p>1.1</p><p>CAPÍTULO I</p><p>INTRODUÇÃO AO CURSO – CONCEITOS GERAIS</p><p>1</p><p>a.</p><p>Parte – Introdução ao Curso:</p><p>1. O que é a Resistência dos Materiais (R.M.)?</p><p>2. Principais Esforços – Conceitos Intuitivos.</p><p>3. Principais Objetivos.</p><p>4. Principais Tópicos – Resumo do Programa.</p><p>5. Principais Pré-requisitos.</p><p>6. Posição da Resistência dos Materiais no Curso.</p><p>7. Posição da Resistência dos Materiais no Projeto.</p><p>8. Orientação Bibliográfica.</p><p>9. Histórico – Resumo.</p><p>10. Tendências – Perspectivas.</p><p>11. Desenvolvimento do Curso – Critério de Aprovação.</p><p>12. Trabalho Prático – Avaliação n.º 1.</p><p>1 – O Que É Resistência dos Materiais?</p><p>Na Natureza, todos os corpos (peças, estruturas, etc.) quando sujeitos a esforços (forças</p><p>concentradas, distribuídas, momentos, etc.), apresentam deformações (lineares, angulares, etc.)?</p><p>a)  Verdadeira.</p><p>b)  Falsa.</p><p>c)  Depende.</p><p>d)  N. D. A. – Nenhuma Das Anteriores.</p><p>É com esta pergunta, que em geral, propicia um bom debate com os alunos, que iniciamos a</p><p>Introdução ao curso básico de Resistência dos Materiais.</p><p>Evidentemente que a resposta certa é a primeira, pois em maior ou menor escala, todos os corpos</p><p>são deformáveis. Para verificar experimentalmente esta afirmação, basta tomar uma peça de borracha ou</p><p>giz e submetê-la a um esforço axial “P” como se indica na figura 1 e perceber que o corpo tem suas</p><p>dimensões alteradas numa proporção que depende da intensidade do esforço, da geometria e das</p><p>características do material.</p><p>Na figura 1 enfatizamos o binômio esforço “P”  deslocamento “” que vai se repetir ao longo</p><p>de todo o curso.</p><p>Com a apresentação do corpo deformável, a hipótese do corpo rígido vista nas disciplinas de</p><p>Física e Mecânica deve ser encarada com muitas restrições. Evidentemente que durante a análise de um</p><p>problema, parte do estudo pode ser feita considerando a hipótese de corpo rígido, como por exemplo, a</p><p>determinação</p><p>da trajetória, velocidade e aceleração de um veículo espacial. Porém, no dimensionamento</p><p>da estrutura desse veículo, devem ser limitadas as deformações e deslocamentos das diferentes peças.</p><p>Portanto, do ponto de vista simplificado, a Resistência dos Materiais estuda o comportamento</p><p>dos sólidos, ou seja, os esforços e deformações nos corpos sólidos, elásticos ou plásticos, visando o</p><p>dimensionamento de uma estrutura.</p><p>Será visto mais adiante, com detalhes, que o conceito de estrutura está ligado ao conjunto de</p><p>elementos, cuja finalidade é receber e transmitir esforços aplicados, respeitando diversas normas de</p><p>segurança, estabilidade, economia, resistência, rigidez, etc. Dentro dessa visão geral, podemos entender</p><p>como estrutura ou elemento estrutural, desde um simples parafuso, eixo, viga, até a estrutura completa de</p><p>um edifício, ponte, veículo, torre de transmissão, ponte rolante, fêmur, guindaste, gasoduto, prensa</p><p>hidráulica, plataforma marítima, espacial, etc.</p><p>P</p><p></p><p>Figura 1 – Peça sujeita a esforço</p><p>1.2</p><p>De um ponto de vista mais rigoroso, devemos incluir a Resistência dos Materiais dentro da</p><p>Reologia, que é o capítulo de Física que estuda os corpos deformáveis em geral. Assim fazem parte da</p><p>Reologia, a Teoria da Elasticidade, Teoria da Plasticidade, Mecânica dos Fluidos e a Mecânica dos</p><p>Sólidos, que estuda como o próprio nome indica, os corpos elásticos, plásticos, fluidos e granulosos,</p><p>respectivamente.</p><p>Podemos então concluir que a Resistência dos Materiais baseia-se nas hipóteses gerais da Teoria</p><p>da Elasticidade e da Teoria da Plasticidade, porém, introduz um grande número de hipóteses</p><p>simplificadoras, compatíveis com a precisão usual dos problemas de engenharia, visando a solução mais</p><p>rápida do problema clássico de dimensionar e verificar estruturas sujeitas a esforços.</p><p>Fica claro entender que a Resistência dos Materiais é sinônimo de Mecânica dos Materiais,</p><p>Mecânica dos Sólidos e Estática dos Corpos Deformáveis.</p><p>2 – Principais Esforços – Conceitos Intuitivos</p><p>Visando um primeiro contato intuitivo com os quatro esforços clássicos da Resistência dos</p><p>Materiais, apresentamos na figura 2, o comportamento das peças sujeitas a:</p><p>Esforço ou Força Normal “P” – de tração e compressão – Figura 2a e 2b.</p><p>Esforço ou Força Cortante “V” – corte ou cisalhamento – Figura 2c.</p><p>Momento Fletor “M” – Flexão – Figura 2d.</p><p>Momento Torçor “T” – Torção – Figura 2e.</p><p>3 – Principais Objetivos</p><p>Resumindo o que já foi discutido, podemos citar os seguintes objetivos básicos:</p><p>a) Dimensionamento de peças, sujeitas a esforços conhecidos e conhecendo o material.</p><p>b) Determinar os esforços admissíveis nas peças, conhecendo a geometria e o material.</p><p>c) Selecionar o material, conhecendo os esforços e a geometria.</p><p>d) Verificação da segurança, conhecidas as dimensões, esforços e material.</p><p>Evidentemente que além destes, podemos citar que como a Resistência dos Materiais faz parte</p><p>do currículo mínimo do MEC – Ministério da Educação, Cultura e Desportos, uma boa aprovação em</p><p>Resistência dos Materiais é fundamental para a obtenção do diploma de Engenheiro, Arquiteto, Técnico</p><p>ou Projetista, registro no CREA – Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura e uma boa nota no</p><p>P P</p><p>2a -Tração</p><p>P P</p><p>2b –Compressão</p><p>T T</p><p>2e -Torção</p><p>2d -Flexão</p><p>M</p><p>M</p><p>2c –Cisalhamento (corte)</p><p>V V</p><p>Figura 2 – Efeitos intuitivos dos vários esforços</p><p>1.3</p><p>ENC – Exame Nacional de Cursos (Provão), cada vez mais solicitado pelas empresas nas seleções de</p><p>candidatos.</p><p>Lembramos, também, que para alguns cursos como Civil, Mecânica, Naval, Aeronáutica,</p><p>Metalurgia, Mecatrônica, etc. a Resistência dos Materiais é a base para várias outras matérias</p><p>profissionais como Projeto de Máquinas e Motores, Estruturas Metálicas, Estruturas de Concreto,</p><p>Estruturas de Madeira, Fadiga, Mecânica da Fratura, Elementos Finitos, Análise Experimental, etc.</p><p>4 – Principais Tópicos – Resumo do Programa</p><p>Segundo o Conselho Nacional de Educação do MEC, a matéria Resistência dos Materiais faz</p><p>parte do currículo mínimo de todo o curso de Engenharia em todas as áreas e habilitações e</p><p>compreenderá: “Tensões e Deformações nos sólidos - Análise de peças sujeitas a esforços simples e</p><p>combinados – Energia de Deformação”.</p><p>Detalhando essa emenda podemos dizer que os principais tópicos de um curso básico de</p><p>Resistência dos Materiais são:</p><p>1. Introdução ao Curso – Conceitos Gerais.</p><p>2. Complementos de Estática, incluindo Figuras Planas, Perfis, Cálculo de Reações de Apoio,</p><p>Diagramas de Esforços Internos Solicitantes, Treliças, Mecanismos, Estruturas Isostáticas, etc.</p><p>3. Esforços e Deformações nas Peças sujeitas à Tração-Compressão.</p><p>4. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas ao Cisalhamento.</p><p>5. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas à Flexão.</p><p>6. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas à Torção.</p><p>7. Flambagem.</p><p>8. Estados Múltiplos de Tensões e Deformações – Noções.</p><p>9. Critérios de Resistência – Noções.</p><p>10. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas a Esforços Combinados.</p><p>Nos cursos mais completos, de acordo com a modalidade e escola de engenharia, fazem parte das</p><p>várias disciplinas ligadas a Resistência dos Materiais, entre outros os seguintes tópicos:</p><p>1. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas ao Cisalhamento na Flexão.</p><p>2. Instabilidade do Equilíbrio – Flambagem – Diversos Casos.</p><p>3. Estruturas Hiperestáticas.</p><p>4. Cargas Móveis – Linha de Influência.</p><p>5. Energia de Deformação – Teoremas.</p><p>6. Estado Duplo e Triplo de Tensões e Deformações.</p><p>7. Critérios de Resistência.</p><p>8. Processo de Cross.</p><p>9. Perfis de Parede Fina.</p><p>10. Vigas Curvas.</p><p>11. Estruturas em Regime Elasto-Plástico.</p><p>12. Tubos de Parede Grossa.</p><p>13. Torção Não Uniforme.</p><p>14. Cálculo de Estruturas pelo P.T.V. – Princípios dos Trabalhos Virtuais.</p><p>15. Fadiga.</p><p>16. Concentração de Tensões.</p><p>17. Mecânica da Fratura.</p><p>18. Flexão Composta de Barras Esbeltas.</p><p>19. Introdução aos Estudos de Chapas e Placas.</p><p>20. Introdução à Teoria da Elasticidade.</p><p>21. Análise Experimental de Estruturas.</p><p>22. Peças de Material Composto – Plásticos - Compósitos.</p><p>23. Choque – Impacto.</p><p>24. Análise Matricial de Estruturas Reticuladas.</p><p>25. Método dos Elementos Finitos.</p><p>26. Estruturas Metálicas – Noções.</p><p>27. Estruturas de Madeira – Noções.</p><p>28. Patologia das Estruturas.</p><p>29. História da Resistência dos Materiais.</p><p>Em algumas Faculdades, por motivos didáticos, a carga horária semanal de 6 aulas é dividida nas</p><p>seguintes partes, com os seguintes tópicos:</p><p>1.4</p><p>Parte A – Duas aulas por semana:</p><p>1. Introdução ao Curso.</p><p>2. Complementos de Figuras Planas.</p><p>3. Tensões Normais na Flexão.</p><p>Parte B – Duas aulas por semana:</p><p>1. Conceitos Gerais Estruturais.</p><p>2. Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes.</p><p>3. Deslocamentos na Flexão.</p><p>4. Flambagem.</p><p>Parte C – Duas aulas por semana:</p><p>1. Tensões – Conceitos Gerais.</p><p>2. Tração – Compressão.</p><p>3. Cisalhamento.</p><p>4. Torção.</p><p>Lembrando que a parte mais importante é a Parte D – Dedicação aos estudos, onde os</p><p>pedagogos recomendam como razoável, o mesmo número de aulas por semana para estudar, ou seja,</p><p>neste caso 6 horas por semana de dedicação. Sabemos que é difícil atender a esta recomendação e</p><p>portanto deixamos a critério de cada aluno o número de horas de dedicação semanal a este curso de</p><p>Resistência dos Materiais.</p><p>5 – Principais Pré-Requisitos</p><p>Como foi visto nos itens anteriores, o binômio esforços  deformações será estudado</p><p>completamente e portanto recomenda-se que os alunos tenham além dos indispensáveis conceitos básicos</p><p>de Matemática e Física, o maior conhecimento possível dos esforços, ou seja, da parte Estática da</p><p>Mecânica que estuda as relações entre esforços, equilíbrio, cálculo de reações de vínculo, treliças, centros</p><p>de gravidade e momentos de inércia de figuras planas, cargas distribuídas, etc.</p><p>Convém lembrar que alguns desses tópicos são vistos não</p><p>só no início da Faculdade como</p><p>também nos cursos do 2</p><p>o</p><p>grau.</p><p>Por outro lado, em algumas escolas de engenharia, tais assuntos são ministrados em disciplinas</p><p>denominadas Introdução à Resistência dos Materiais.</p><p>Vale a pena enfatizar mais uma vez a importância dos sólidos conhecimentos de Estática no</p><p>desenvolvimento de quase todo o curso de Engenharia Mecânica e Civil, pois tais áreas lidam</p><p>basicamente com máquinas e estruturas sujeitas aos mais variados tipos de esforços.</p><p>Recomenda-se também conhecimentos de Materiais de Construção e Ensaios Mecânicos,</p><p>principalmente do importante Ensaio de Tração.</p><p>Lamenta-se o fato que a maioria dos alunos traz uma série de deficiências e omissões do ensino</p><p>do 2º grau, pois se os alunos tivessem por exemplo os conhecimentos básicos de Estática, visto nos bons</p><p>cursos secundários e técnicos, a ampliação desses conhecimentos no 3º grau seria feita de um modo muito</p><p>mais eficiente.</p><p>6 – A Posição da Resistência dos Materiais no Curso</p><p>Como já foi dito, a Resistência dos Materiais faz parte das Matérias de Formação Básica de todo</p><p>o curso da Engenharia, em todas as áreas, ou seja: Civil, Mecânica, Elétrica, Química, Metalurgia e Minas</p><p>e nas várias habilitações como por exemplo: Sanitária, Construção, Naval, Aeronáutica, Eletrônica,</p><p>Comunicações, Alimentos, etc.</p><p>Evidentemente que nas áreas de Civil e Mecânica, a matéria Resistência dos Materiais é</p><p>desdobrada em várias disciplinas, distribuídas nas matérias de Formação Profissional Geral e Específica.</p><p>Percebe-se, portanto, que a Resistência dos Materiais é uma das matérias que fazem a ligação</p><p>entre aquelas eminentemente básicas como Matemática, Física, Mecânica e aquelas de caráter</p><p>profissional como por exemplo Elementos de Máquinas, Projeto de Máquinas, Máquinas de Elevação e</p><p>Transporte, Chassis e Carroceria, Máquinas Operatrizes, Máquinas Hidráulicas, Estruturas Metálicas,</p><p>Máquinas Agrícolas, etc.</p><p>Devido a estas e outras características já comentadas, e sendo uma das primeiras disciplinas onde</p><p>os alunos procuram dimensionar, ou seja, materializar alguma peça, vários alunos encontram algumas</p><p>dificuldades que serão superadas com dedicação aos estudos, auxílio dos professores e uma boa dose de</p><p>visão espacial, imaginação, iniciativa e bom senso, tão necessários ao futuro engenheiro.</p><p>1.5</p><p>7 – A Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico</p><p>Alguns alunos, talvez um pouco cansados da Matemática, Física, Mecânica, etc., do ciclo básico,</p><p>quando chegam ao 2</p><p>o</p><p>e 3</p><p>o</p><p>ano, pretendem já com a primeira aula de Resistência dos Materiais elaborar</p><p>projetos de veículos, máquinas, ferramentas, edifícios, pontes, etc.</p><p>Embora seja possível desenvolver interessantes projetos sem muitas sofisticações teóricas, é</p><p>evidente que para um projeto completo de engenharia, são necessárias várias etapas, desde a idealização</p><p>estrutural até o detalhamento completo.</p><p>Percebe-se, então, que a primeira etapa e talvez a mais importante, onde o aluno e futuramente o</p><p>engenheiro sempre tem a desenvolver é a Idealização do Modelo de Cálculo. A Resistência dos Materiais</p><p>participa da 2</p><p>a</p><p>etapa que é a Análise do Modelo de Cálculo verificando basicamente se as tensões e</p><p>deslocamentos estão dentro de limites seguros, restando ainda outras não menos importantes etapas</p><p>ligadas ao Projeto Definitivo, Execução, Montagem, Testes, etc.</p><p>Portanto, verifica-se que nesta importante área do Projeto Mecânico, a Resistência dos Materiais</p><p>junto com outras disciplinas correlatas já citadas desempenha um papel muito especial.</p><p>Usando as conhecidas siglas CAD – CAE – CAM, podemos dizer que a 1</p><p>a</p><p>etapa da Modelagem</p><p>está ligada aos diversos sistemas CAD – Computador Auxiliando o Desenho (AutoCAD, Microstation,</p><p>Catia, Ideas, Meduza, Pro-Engineer, Mechanical Desktop, etc.). A 2</p><p>a</p><p>etapa da Análise está associada aos</p><p>sistemas CAE – Computador Auxiliando a Engenharia, destacando-se o MEF – Métodos dos Elementos</p><p>Finitos e os programas NASTRAN, COSMOS, ANSYS, MECHANICA, SAP, ADINA, WORKING</p><p>MODEL FEA, ABAQUS, FEISTRUT, PORTICO, etc. A 3</p><p>a</p><p>etapa da Fabricação está direcionada aos</p><p>sistemas CAM – Computador Auxiliando a Manufatura (Di-Log, SmartCAM, etc.). Finalmente,</p><p>lembramos que temos uma 4</p><p>a</p><p>etapa que serve para validar as anteriores que é parte relativa aos Teste, ou</p><p>seja, os diversos métodos da Análise Experimental de Tensões que determinam experimentalmente os</p><p>esforços, deformações, tensões e deslocamentos nas estruturas e que está associada aos sistemas CAT –</p><p>Computador Auxiliando os Testes, representados pelos programas de aquisição de dados nos modernos</p><p>Laboratórios de Resistência dos Materiais, do tipo M6000 da Empresa M. M.</p><p>8 – Orientação Bibliográfica</p><p>Existem dezenas de bons livros de Resistência dos Materiais, de autores nacionais e estrangeiros,</p><p>que podem ser citados para ajudar o aprendizado dos alunos. Vamos relacionar dez dos livros mais</p><p>conhecidos e fazer alguns comentários sobre alguns deles.</p><p>[1]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E Russel, “Resistência dos Materiais”, 3</p><p>a</p><p>Ed., São Paulo, Editora</p><p>Makron Books, 1995.</p><p>[2]Ricardo, Otávio Gaspar de Souza, “Introdução à Resistência dos Materiais”, Campinas, UNICAMP,</p><p>1997.</p><p>[3]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Tensões”, Rio de Janeiro, Científica, 1956.</p><p>[4]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Deformações”, Rio de Janeiro, Científica, 1960.</p><p>[5]Timoshenko, S. P., “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1969.</p><p>[6]Silva Jr., Jayme Ferreira da, “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1962.</p><p>[7]Popov, Egor P., “Introdução à Mecânica dos Sólidos”, São Paulo, Ed. Edgard Blücher.</p><p>BÁSICAS DE TRANSIÇÃO PROFISSIONAIS</p><p>R. M.</p><p>Figura 3 – Posição da Resistência dos Materiais nas disciplinas do curso</p><p>MODELAGEM</p><p>CAD</p><p>ANÁLISE</p><p>CAE</p><p>FABRICAÇÃO</p><p>CAM</p><p>R. M.</p><p>Figura 4 – Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico</p><p>TESTES</p><p>CAT</p><p>1.6</p><p>[8]Higdon, Archie, Ohlsen, E. H., Stiles, W. B., Weese, J. A. e Riley, W. F., “Mecânica dos Materiais”,</p><p>3</p><p>a</p><p>Ed., Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1981.</p><p>[9]Feodossiev, V., “Resistência dos Materiais”, Porto, Lopes da Silva, 1977.</p><p>[10]Miroliubov, I., “Problemas de Resistência dos Materiales”, 3</p><p>a</p><p>Ed., Moscou, Mir, 1978.</p><p>[11]Nash, William Arthur, “Resistência dos Materiais”, São Paulo, McGraw-Hill, 1982, Coleção</p><p>Schaum.</p><p>Em geral, os cursos de Resistência dos Materiais, ministrados nas várias Escolas de Engenharia,</p><p>não seguem um único livro texto, sendo uma composição de várias obras com a experiência de cada</p><p>Professor.</p><p>A referência n.º 1 de BEER e JOHNSTON, corresponde em boa parte ao curso que será dado e,</p><p>portanto, poderá ser utilizado como livro básico. Apresenta a teoria exposta de maneira clara e um grande</p><p>conjunto de problemas bem ilustrados resolvidos e propostos com respostas.</p><p>O livro n.º 2 do Professor GASPAR RICARDO se caracteriza pela orientação para Engenharia</p><p>Mecânica, embora possa ser utilizado por estudantes de outras áreas.</p><p>As referências n.º 3 do Professor TELEMACO e dos seus vários colaboradores na Escola</p><p>Politécnica da USP na área de Engenharia Civil, constituíram uma fonte de aprendizado da maioria dos</p><p>professores da Resistência dos Materiais. Além dos livros mencionados, existe um conjunto de apostilas</p><p>tais como: Introdução à Resistência dos Materiais; Tensões; Deformações; Estruturas Isostáticas;</p><p>Treliças; e outras.</p><p>Os clássicos livros do Professor TIMOSHENKO de Resistência dos Materiais, junto com várias</p><p>de suas obras como Teoria das Estruturas, Teoria da Elasticidade, Teoria das Placas e Cascas, Teoria da</p><p>Instabilidade Elástica e outras, constituem uma notável contribuição ao estudo avançado da Resistência</p><p>dos Materiais.</p><p>O livro do Professor J. F. SILVA na linha das obras do Professor Telemaco é também um</p><p>excelente reforço para os estudantes de Resistência</p><p>dos Materiais.</p><p>Embora não estejam mencionados na lista de livros, merecem destaque alguns trabalhos de</p><p>vários Professores das Escolas de Engenharia tais como: Professor Crispino, Professor Campanari,</p><p>Professor Guidetti, Professor Schiel, Professor Susumu, Professor Miranda, Professor Lindenberg e</p><p>muitos outros.</p><p>Enfim, poderíamos apresentar um resumo das principais características de vários livros, mas, o</p><p>que realmente importa, é que o aluno através da Biblioteca da Faculdade e da Internet, tenha acesso e</p><p>consulte vários livros e apostilas e que estude de uma maneira mais intensiva seguindo pelo menos um</p><p>texto básico.</p><p>Convém também destacar a conveniência de o aluno se habituar a manusear catálogos</p><p>industriais. No nosso curso são utilizados os catálogos dos fabricantes de perfis industriais (C. S. N.,</p><p>Usiminas, Aço Minas, Alcan, etc.) e de materiais de construção em geral.</p><p>Para a parte de Estática e Introdução à Resistência dos Materiais e Estruturas Isostáticas, podem</p><p>ser citados entre muitos outros, os seguintes livros:</p><p>[1]Beer, F. P., Johnston, E. R., “Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática”, 5</p><p>a</p><p>Ed., McGraw-Hill,</p><p>1998.</p><p>[2]Merian, James L., “Estática”, 2</p><p>a</p><p>Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora, 1994.</p><p>[3]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Mecânica Técnica – Estática”, Livros Técnicos e Científicos, São</p><p>Paulo.</p><p>[4]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Teoria de las Estruturas”, Urmo Ediciones.</p><p>[5]Silva, J. F., “Resistência e Estática das Construções – Introdução”, Universidade de Minas Gerais.</p><p>[6]Fonseca, Adhemar da Cunha, “Curso de Mecânica – Estática”, vol. 1 e 2, Ao Livro Técnico.</p><p>[7]Fonseca, Adhemar da Cunha e Moreira, D. F., “Estática das Construções”, Ao Livro Técnico, Rio de</p><p>Janeiro, 1966.</p><p>[8]Oliveira, M. M. e Gorfim, B., “Estruturas Isostáticas”, Livros Técnicos e Científicos.</p><p>[9]Süssekind, José Carlos, “Curso de Análise Estrutural”, 4</p><p>a</p><p>Ed., Porto Alegre, Editora Globo, 1979,</p><p>Vol. 1: Estruturas Isostáticas, Vol. 2: Deformações em Estruturas. Método das Forças, Vol. 3:</p><p>Método das Deformações. Processo Cross.</p><p>[10]Amaral, O. C., “Estruturas Isostáticas”, Universidade Federal de Minas Gerais.</p><p>Com relação à parte de mecânica, merecem destaques os trabalhos dos vários professores nas</p><p>Escolas de Engenharia tais como: Professor Fleury Silveira, Professor Albanese, Prof. Amadeu, Professor</p><p>Giacaglia, Professor Nóbrega e muitos outros.</p><p>1.7</p><p>9 – Histórico – Resumo</p><p>Datam de Leonardo da Vinci (1452 – 1419) e de Galileu Galilei (1564 – 642), as primeiras</p><p>contribuições da Estática e da Resistência dos Materiais. A Lei de Robert Hooke (1635 – 1702) sobre a</p><p>proporcionalidade entre forças e deslocamentos deu um grande impulso no desenvolvimento da</p><p>Resistência dos Materiais.</p><p>O estudo da flexão iniciado em 1638 com a hipótese errada de Galileu da distribuição uniforme</p><p>só foi corrigida em 1826 com a hipótese de Navier (1785 – 1836) da manutenção das seções planas e a</p><p>conseqüente distribuição linear das tensões.</p><p>A Teoria da Elasticidade teve um grande desenvolvimento na 2</p><p>a</p><p>metade do século XIX e no</p><p>começo do século XX.</p><p>Apresentamos a seguir alguns outros nomes e datas que serão citados durante o curso, desde as</p><p>Leis da Mecânica de Isaac Newton (1642 – 1727), os estudos da família Bernoulli (1645 – 1782) e da</p><p>flambagem de L. Euler (1707 – 1783) passando pelo coeficiente de D. Poisson (1781 – 1840); Princípio</p><p>de Saint Venant (1797 – 1886); Fórmula de Cisalhamento na Flexão de D. Jourawski (1821 – 1891);</p><p>Círculo de O. Mohr (1835 – 1918) até o estudo de perfis de paredes finas de V. Z. Vlasov (1906 – 1958).</p><p>Vários problemas foram resolvidos de modo experimental ou integrando as várias e trabalhosas</p><p>equações diferenciais da Teoria da Elasticidade, porém, diversos problemas mais complexos ficaram sem</p><p>solução devido às grandes dificuldades matemáticas.</p><p>10 – Tendências – Perspectivas.</p><p>Foi a partir da segunda metade do século XX, com o advento dos computadores digitais, que</p><p>possibilitou através da técnica da discretização do problema em dezenas, centenas e milhares de</p><p>elementos recair em sistemas de equações lineares e resolver qualquer problema estrutural da Análise</p><p>Matricial de Estruturas e Método dos Elementos Finitos.</p><p>Estas novas técnicas matriciais já são dadas em várias Escolas de Engenharia e constituem o</p><p>presente e o futuro do engenheiro de projeto, que entretanto não substituem os conceitos básicos que</p><p>serão vistos neste curso de Resistência dos Materiais, pelo contrário, será através do perfeito domínio dos</p><p>conceitos elementares que o aluno e o engenheiro continuarão investigando, pesquisando, trabalhando,</p><p>agora em companhia do computador.</p><p>Com a popularização do Métodos dos Elementos Finitos, e da filosofia CAE – Computador</p><p>Auxiliando a Engenharia, entendemos que os softwares vão se tornar cada vez mais amigáveis,</p><p>facilitando a entrada e saída dos resultados, porém, sempre exigindo cada vez mais, os conceitos básicos</p><p>de Resistência dos Materiais.</p><p>11 – Desenvolvimento do Curso – Critério de Aprovação</p><p>A carga horária semanal e o tipo de curso semestral ou anual, variam, em função das</p><p>características da Faculdade e do Curso de Engenharia. Em geral, infelizmente, predominam as aulas</p><p>expositivas, com os conceitos teóricos ilustrados com vários exercícios.</p><p>Algumas Escolas oferecem Laboratório de Resistência dos Materiais ou Salas Ambiente de</p><p>Resistência dos Materiais, o que, evidentemente, facilita, estimula e desenvolve melhor o interesse do</p><p>aluno pelo aprendizado. As aulas práticas de Resistência dos Materiais podem numa primeira etapa serem</p><p>desenvolvidas virtualmente através de softwares ou tutoriais adequados e numa segunda etapa serem</p><p>vistas fisicamente no Laboratório de Resistência dos Materiais.</p><p>Mesmo sem Laboratório ou sala ambiente, estimulamos os professores a levar para as salas de</p><p>aulas, pequenos modelos ilustrativos os diversos pontos da Resistência dos Materiais.</p><p>É importante que o aluno participe ativamente das aulas, na fixação da teoria, na execução dos</p><p>exercícios desde a primeira semana, de modo a bem acompanhar e assimilar os ensinamentos vistos.</p><p>Como já foi dito, em média, a disponibilidade para estudo fora das aulas é de 2 a 6 horas</p><p>semanais e cabe ao aluno, fixar as suas cargas horárias de estudos por semanas.</p><p>Com relação aos sistemas de unidades, recomendamos que o aluno intensifique o uso do Sistema</p><p>Internacional (Newton, Pascal, etc.) e, como estamos numa fase de adaptação, convém utilizar também o</p><p>usual sistema M. K. S. técnico (kgf, etc.), além do sistema inglês ( polegada, pé, psi, etc.) que, felizmente,</p><p>num futuro próximo tenderá a desaparecer.</p><p>O critério de avaliação baseia-se principalmente na média ponderada das provas oficiais, porém,</p><p>convém lembrar que a entrega das séries de exercícios e trabalhos sugeridos (ver anexos: VIII – Trabalho</p><p>n.º 1 com três parte, IX – Como usar o software interativo “Tutorial de Estática” – Beer-Johnston, X –</p><p>Tutorial de Estática - Beer-Johnston – 6</p><p>a</p><p>edição – Informações e XI - Trabalho n.º 2 – Exercícios para</p><p>1.8</p><p>serem feitos usando computador – Resistência dos Materiais - Beer-Johnston – 3</p><p>a</p><p>edição – Instruções) a</p><p>assiduidade, pontualidade e efetiva participação nas aulas, o desempenho nas eventuais “provinhas” e</p><p>argüições, o interesse e a imaginação na elaboração das “experiências” recomendadas, enfim, todos os</p><p>estudos, atividades e comportamentos do aluno visando o bom acompanhamento da matéria, estão</p><p>evidentemente numa relação direta com um alto rendimento escolar ou obtenção de boas notas.</p><p>Como em quase todas as disciplinas básicas e conceituais, as provas principais são em geral sem</p><p>consulta, e envolvem questões teóricas, conceituais e práticas.</p><p>Durante os cursos e nas provas, é distribuído um completo formulário com um resumo de todas</p><p>as expressões e tabelas necessárias.</p><p>Além dos vários professores em tempo parcial,</p>