TOPOGRAFIA (1)

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<p>Topografia para</p><p>Arquitetura e</p><p>Urbanismo</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof. Me. Luciano Vieira Francisco</p><p>Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>• Introdução</p><p>• Instrumentos de Campo</p><p>• Levantamentos</p><p>• Unidades de Medida</p><p>· Familiarizar-se com a topografia.</p><p>· Conhecer os instrumentos mais utilizados.</p><p>· Desenvolver o senso crítico para realizar levantamentos.</p><p>· Desenvolver a habilidade de trabalhar com diferentes unidades de</p><p>medida, atentando-se a não cometer erros de conversão</p><p>OBJETIVO DE APRENDIZADO</p><p>Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>Orientações de estudo</p><p>Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem</p><p>aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua</p><p>formação acadêmica e atuação profissional, siga</p><p>algumas recomendações básicas:</p><p>Assim:</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e</p><p>horário fixos como o seu “momento do estudo”.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.</p><p>No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e</p><p>sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também</p><p>encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua</p><p>interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.</p><p>Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,</p><p>pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato</p><p>com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Determine um</p><p>horário fixo</p><p>para estudar.</p><p>Aproveite as</p><p>indicações</p><p>de Material</p><p>Complementar.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>Não se esqueça</p><p>de se alimentar</p><p>e se manter</p><p>hidratado.</p><p>Aproveite as</p><p>Conserve seu</p><p>material e local de</p><p>estudos sempre</p><p>organizados.</p><p>Procure manter</p><p>contato com seus</p><p>colegas e tutores</p><p>para trocar ideias!</p><p>Isso amplia a</p><p>aprendizagem.</p><p>Seja original!</p><p>Nunca plagie</p><p>trabalhos.</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>Introdução</p><p>O propósito da topografia – ou geomática, como vem sendo também denominada</p><p>nos últimos anos – é realizar medidas de distâncias, ângulos e desníveis para uma</p><p>reprodução do terreno em um mapa em duas ou três dimensões ou a sua descrição</p><p>em documentos oficiais.</p><p>Segundo historiadores, as primeiras medições topográficas foram registradas</p><p>por Heródoto e datam de aproximadamente 1400 a.C., no Antigo Egito, onde</p><p>o faraó ordenou que as terras fossem loteadas para a cobrança de impostos e</p><p>avaliação de prejuízos após as cheias do rio Nilo.</p><p>Os gregos e os romanos também demarcavam as suas terras e vários tratados</p><p>foram escritos, como Dioptra, de Heron de Alexandria, descrevendo as técnicas de</p><p>agrimensura e de cálculos geométricos, no século I d.C., onde versões rudimentares</p><p>de odômetros e teodolitos são descritos.</p><p>Grande parte dos registros sobre topografia na Antiguidade datam do Império</p><p>Romano, onde os agrimensores – que realizavam as funções de topógrafos</p><p>– mensuravam e escolhiam os melhores locais para a construção de pontes,</p><p>aquedutos, estradas, templos e edificações romanas.</p><p>Você consegue pensar em outros ramos que não a agrimensura e a construção civil, onde</p><p>os antigos romanos aplicavam os conhecimentos de seus topógrafos? Na Roma Antiga, os</p><p>topógrafos também trabalhavam nos frontes de batalha, pois calculavam as declividades</p><p>dos terrenos a aplicavam seus conhecimentos na artilharia, através do cálculo das trajetórias</p><p>que os projéteis lançados deveriam fazer para atingir o inimigo.</p><p>Ex</p><p>pl</p><p>or</p><p>Instrumentos de Campo</p><p>Ao longo dos séculos, muita coisa mudou nos instrumentos utilizados pelos</p><p>topógrafos. Nos tempos atuais, os instrumentos mais utilizados são:</p><p>• Trena – medidor de distância graduado, pode ser encontrado em fita ou</p><p>digital (laser);</p><p>Figura 1 – Trenas de fita e digital</p><p>Fonte: Divulgação</p><p>8</p><p>9</p><p>• Estacas e piquetes – pequenas varas utilizadas para demarcar e identificar</p><p>vértices em campo;</p><p>Figura 2 – Estacas</p><p>Fonte: Divulgação</p><p>• Baliza topográfica – bastão com nível bolha utilizado para alinhamentos;</p><p>Figuras 3 – Baliza topográfi ca e nível bolha</p><p>Fonte: Divulgação</p><p>• Prumo – para conferir o alinhamento vertical;</p><p>Figura 4 – Fio de prumo</p><p>Fonte: iStock/Getty Images</p><p>9</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>• Nível bolha – instrumento utilizado para conferir o alinhamento horizontal;</p><p>Figura 5 – Nível bolha tubular e circular</p><p>Fonte: iStock/Getty Images</p><p>• Nível topográfico – equipamento colocado sobre um tripé, utilizado para ler</p><p>a altura de um ponto demarcado sobre um piquete com uma mira;</p><p>Figura 6 – Topógrafo utilizando um nível topográfico</p><p>Fonte: iStock/Getty Images</p><p>• Mira – régua graduada e extensível, cuja leitura deve ser realizada através da</p><p>observação com o nível;</p><p>Figura 7 – Mira extensível</p><p>Fonte: Divulgação</p><p>10</p><p>11</p><p>• Teodolito – equipamento utilizado para realizar leituras de distância horizontal</p><p>e ângulos verticais, pode ser mecânico ou digital;</p><p>Figura 8 – Teodolitos digital e mecânico</p><p>Fonte: iStock/Getty Images</p><p>• Bússola – instrumento que se utiliza do campo magnético terrestre para se</p><p>orientar, composta por uma agulha feita de material magnetizado que pode</p><p>girar livremente, indicando sempre o eixo Norte-Sul devido à sua interação</p><p>com o mencionado campo magnético da Terra;</p><p>Figura 9 – Bússola</p><p>Fonte: Divulgação</p><p>• Estação total – equipamento similar ao teodolito, que realiza leituras digitais</p><p>de ângulos, distâncias, além de cálculos de projeções, armazenando as infor-</p><p>mações obtidas;</p><p>Figura 10 – Estação total</p><p>Fonte: iStock/Getty Images</p><p>11</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>• Global Positioning System (GPS) – sistema de posicionamento global,</p><p>instrumento que recebe e envia sinais via satélite para fornecer a geolocalização</p><p>(posição sobre a Terra) precisa e o tempo exato.</p><p>Figura 11 – Sistema de Posicionamento Global (GPS)</p><p>Fonte: Divulgação</p><p>Levantamentos</p><p>As medições topográficas são realizadas in loco, ou seja, diretamente no local</p><p>de interesse e são chamadas de levantamento. Existem, basicamente, dois tipos de</p><p>levantamento, planimetria e altimetria:</p><p>• Planimetria – levantamento das distâncias horizontais e dos ângulos das áreas</p><p>formadas pela projeção do relevo no plano topográfico;</p><p>Figura 12 – Exemplo de planimetria, onde são analisadas as</p><p>formas do relevo e da ocupação projetada em um plano</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>12</p><p>13</p><p>• Altimetria – levantamento dos declives e das diferenças de nível no plano</p><p>vertical do terreno.</p><p>Figura 13 – Levantamento altimétrico</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>Levantamentos Planimétricos Mais Utilizados</p><p>• Triangulação – decompor o terreno em triângulos, utilizando trena e baliza</p><p>para medir as distâncias;</p><p>Figura 14 – Triangulação topográfi ca</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>13</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>• Irradiação – utiliza-se de um sistema de coordenadas (polares) centrado no</p><p>teodolito ou na estação total, que observa pontos do perímetro do terreno.</p><p>Geralmente é utilizado para áreas pequenas e pouco acidentadas;</p><p>3</p><p>32</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>A</p><p>4</p><p>4</p><p>A</p><p>5</p><p>Dentro do perímetro Fora do perímetro</p><p>Figura 15 – Pontos irradiados dentro e fora do perímetro</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>• Poligonação – inicia-se com as medidas de um ponto da poligonal, formadas</p><p>pelo perímetro do terreno e mede-se as distâncias lineares e angulares para o</p><p>próximo ponto.</p><p>Figura 16 – Poligonação</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>14</p><p>15</p><p>Levantamentos Altimétricos</p><p>Civil. São Paulo: Edgard</p><p>Blucher, 1992. v. 1 e 2.</p><p>BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.</p><p>GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias.</p><p>São Paulo: Nobel, 1994.</p><p>GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014.</p><p>NBR 13 133/94 Execução de levantamento topográfico. ABNT: Rio de Ja-</p><p>neiro, 1994.</p><p>VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de</p><p>Topografia Curitiba: UFPR, 2012.</p><p>22</p><p>Topografia para</p><p>Arquitetura e</p><p>Urbanismo</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi</p><p>Revisão Técnico:</p><p>Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof.a Dr.a Selma Aparecida Cesarin</p><p>Planimetria</p><p>• Introdução</p><p>• Medição de Distâncias</p><p>• Distâncias Angulares</p><p>• Estação Total</p><p>• Irradiação</p><p>• Ângulos Internos das Poligonais</p><p>· Nesta Unidade, o estudante deverá aprender sobre o uso da Esta-</p><p>ção Total, a tomada de dados e a construção de poligonais em um</p><p>plano cartesiano.</p><p>· O aluno também será apresentado a outro método de cálculo de</p><p>área, baseado nas coordenadas e nos erros envolvidos.</p><p>OBJETIVO DE APRENDIZADO</p><p>Planimetria</p><p>Orientações de estudo</p><p>Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem</p><p>aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua</p><p>formação acadêmica e atuação profissional, siga</p><p>algumas recomendações básicas:</p><p>Assim:</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e</p><p>horário fixos como o seu “momento do estudo”.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.</p><p>No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e</p><p>sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também</p><p>encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua</p><p>interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.</p><p>Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,</p><p>pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato</p><p>com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Determine um</p><p>horário fixo</p><p>para estudar.</p><p>Aproveite as</p><p>indicações</p><p>de Material</p><p>Complementar.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>Não se esqueça</p><p>de se alimentar</p><p>e se manter</p><p>hidratado.</p><p>Aproveite as</p><p>Conserve seu</p><p>material e local de</p><p>estudos sempre</p><p>organizados.</p><p>Procure manter</p><p>contato com seus</p><p>colegas e tutores</p><p>para trocar ideias!</p><p>Isso amplia a</p><p>aprendizagem.</p><p>Seja original!</p><p>Nunca plagie</p><p>trabalhos.</p><p>UNIDADE Planimetria</p><p>Introdução</p><p>Nesta unidade, aprenderemos como realizar as medições de distâncias lineares</p><p>e dos ângulos para a construção da área projetada dos terrenos de interesse.</p><p>Chamamos esse tipo de levantamento de planimetria.</p><p>Um dos métodos mais utilizados para a realização de um levantamento desse</p><p>tipo é a construção de uma poligonal.</p><p>A poligonação é realizada por meio da observação de segmentos de reta</p><p>consecutivos, que margeiam o local a ser estudado. Esse é um dos principais</p><p>métodos para a obtenção da área e da forma do terreno. Para tanto, precisamos</p><p>obter as distâncias horizontais entre as linhas consecutivas e os ângulos formados</p><p>entre as direções dessas linhas. A quantidade de linhas que serão utilizadas (ou o</p><p>número de lados) da poligonal depende da forma do terreno. Quanto mais irregular</p><p>for a borda do terreno, mais linhas deveremos utilizar para contorná-lo.</p><p>Medição de Distâncias</p><p>É muito importante para o topógrafo realizar as medidas de distância adequada-</p><p>mente, para que erros não ocorram na reconstrução da área de interesse durante</p><p>a planimetria.</p><p>A medida de distâncias horizontais é a base da Topografia e é daí que partem</p><p>as suas raízes mais distantes. Em geral, são marcados dois pontos no chão e</p><p>as distâncias entre as verticais de cada ponto são medidas sob o mesmo plano</p><p>horizontal. Isso significa que caso dois pontos estejam em alturas diferentes,</p><p>devemos medir a distância horizontal entre o eixo vertical dos pontos, e não na</p><p>diagonal (distância real).</p><p>Distância Real</p><p>B</p><p>A</p><p>A-B</p><p>Distância Horizontal</p><p>x</p><p>Figura 1 – Distância Real e Distância Horizontal</p><p>8</p><p>9</p><p>Distâncias Angulares</p><p>Para se obter as medidas angulares de uma poligonal, utilizaremos um ponto</p><p>inicial como referência, para o qual conhecemos as coordenas por meio de um</p><p>GPS ou outro instrumento e, consequentemente, sabemos a sua distância com</p><p>relação ao Norte.</p><p>A seguir, podemos medir as distâncias angulares com o uso da Estação Total</p><p>ou teodolito; podem ser medidos ângulos internos ou externos, dependendo do</p><p>interesse e da praticidade.</p><p>Estação Total</p><p>Há algumas décadas, instrumentos analógicos como o teodolito, por exemplo,</p><p>eram os instrumentos mais utilizados na Topografia. Atualmente, a Estação Total</p><p>substituiu o Teodolito e vem sendo amplamente utilizada devido à sua precisão e</p><p>praticidade. Esse instrumento realiza em tempo real os cálculos de inclinações,</p><p>ângulos e distâncias nos levantamentos modernos.</p><p>A Estação Total possui pelo menos três instrumentos eletrônicos de leitura:</p><p>um instrumento de medição de distância, um instrumento de leitura angular e um</p><p>microprocessador para tratar os dados e realizar os cálculos básicos no momento da</p><p>observação. Esse aparelho é capaz de calcular as distâncias horizontais e verticais,</p><p>as distâncias angulares e exibi-los em uma tela. Além disso, a Estação Total</p><p>também pode armazenar esses dados para, posteriormente, serem transferidos a</p><p>um computador.</p><p>Em campo, a Estação Total deve ser colocada sobre um tripé e deve-se prestar</p><p>muita atenção ao seu nivelamento, para que não ocorram erros nas medidas devido</p><p>ao seu mau posicionamento.</p><p>9</p><p>UNIDADE Planimetria</p><p>Figura 2 – Estação Total de um dos modelos disponíveis no Mercado e seus componentes</p><p>Fonte: GHILANI, C. D. & WOLF. P. R. Geomática São Paulo. São Paulo: Pearson, 2014, p.162</p><p>Irradiação</p><p>Nesta unidade, você irá aprender a realizar o levantamento de uma poligonal</p><p>fechada por meio do método de pontos irradiados ou Irradiação. Nesse método,</p><p>posicionamos a Estação Total em um ponto inicial e a partir desse ponto,</p><p>observamos os outros pontos do terreno, colocando uma pessoa segurando uma</p><p>mira no ponto desejado.</p><p>Assim, com o auxílio da luneta da Estação Total, encontramos a mira e ela</p><p>calcula automaticamente a distância angular e horizontal até o ponto de interesse.</p><p>Um ponto de coordenadas conhecidas fora da poligonal deve se observado, pois é</p><p>por meio dele que realizaremos a calibração do nosso levantamento.</p><p>A figura3 mostra uma poligonal na qual a Estação Total foi colocada no ponto</p><p>O e o ponto Z é um ponto de referência com coordenadas conhecidas (nessa</p><p>fase, algumas pessoas preferem alinhar o ponto Z ao Norte verdadeiro, pois assim</p><p>teremos sempre o azimute verdadeiro para cada ponto).</p><p>Primeiramente, devemos medir a distância OZ e calibrar a Estação Total para</p><p>que o ponto Z seja a origem das nossas medidas angulares.</p><p>Para prosseguir com o levantamento, devemos medir a distância horizontal OA e</p><p>a distância angular ZA; a seguir, a distância horizontal OB e a distância angular AB;</p><p>então, a distância horizontal OC e a distância angular BC, e assim sucessivamente.</p><p>10</p><p>11</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>O</p><p>Z</p><p>Figura 3 – Poligonação por meio do método de pontos irradiados.</p><p>A posição O marca a Estação Total e os outros pontos marcam o vértice do terreno</p><p>Os dados devem ser anotados em uma Caderneta de campo e é importante</p><p>que, durante o levantamento, seja realizado um croqui com os nomes dos</p><p>pontos</p><p>observados no terreno, para posterior conferência ou localização.</p><p>Você deverá anotar os seguintes dados:</p><p>Ponto Ângulo Horizontal Distância Azimute</p><p>Veja o exemplo a seguir, baseado na figura3. Suponha que com um GPS você</p><p>mediu as coordenadas do ponto Z, que será a nossa referência, e encontrou um</p><p>azimute de 36º25’20”.</p><p>Ponto Ângulo Horizontal Distância Azimute</p><p>A-B 29° 13’24” 62,510 350° 47’ 0”</p><p>B-C 45° 07’ 42” 31,720</p><p>C-A 105° 39’ 43” 46,0</p><p>Z 180° 00’ 19”</p><p>O ponto Z foi medido novamente, para realizar o fechamento da nossa poligonal</p><p>e calcular eventuais erros de fechamento</p><p>Devemos, então, calcular o azimute para cada medida.</p><p>O azimute será:</p><p>azimute = (azimute anterior + Angulo Horizontal) - 180°</p><p>11</p><p>UNIDADE Planimetria</p><p>Lembrando-se de que o azimute deve estar entre 0º e 360º. Portanto, se:</p><p>Azimute < 0º - devemos fazer azimute + 360º</p><p>Azimute > 360º - devemos fazer azimute -3 60º</p><p>Importante!</p><p>Por exemplo: se um ponto tem o ângulo de 42°’06’ 53” e um azimute inicial de 24° 37’</p><p>32” teremos:</p><p>azimute = (24° 37’ 32” + 42° 06’ 53”) - 180°</p><p>azimute =66°44’25” - 180° sendo igual então a - 133°15’35”</p><p>-133° 15’ 35” < 360° logo então deve ser convertido com a somatória :</p><p>-133° 15’ 35” + 360° = 246° 44’25”</p><p>Sendo este então o azimute final.</p><p>Importante!</p><p>Logo:</p><p>Azimute A-B = (350°47’ 0” + 45° 07’ 42”) - 180° = 215° 54’ 36”</p><p>Azimute B - C = (215° 54’ 36” + 105° 39’ 06”) - 180° = 141° 33’ 48”</p><p>Ponto Ângulo Horizontal Distância Azimute</p><p>A-B 29° 13’24” 62,510 350° 47’ 0”</p><p>B-C 45° 07’ 42” 31,720 215° 54’ 36”</p><p>C-A 105° 39’ 43” 46,0 141° 33’ 42”</p><p>Z 180° 00’ 19”</p><p>Após o cálculo dos azimutes, devemos calcular as coordenadas para transpor o nosso</p><p>terreno para uma planta.</p><p>Então, para o cálculo da coordenas x e y de cada ponto, devemos utilizar as fórmulas:</p><p>X = distância x sen(azimute)</p><p>Y = distância x cos(azimute)</p><p>Assim, teremos:</p><p>Ponto Distância Azimute X(m) Y(m)</p><p>A 62,510 350° 47’ 0” -10,012 61,703</p><p>B 31,720 215° 54’ 36” -18,604 -25,691</p><p>C 46,0 141° 33’ 42” 28,597 -36,031</p><p>Z -- 180° 00’19” -- --</p><p>12</p><p>13</p><p>E dessa forma temos as coordenadas X e Y para cada ponto e podemos realizar</p><p>o gráfico do terreno, como pode ser visto na figura a seguir.</p><p>Notem que o desenho aparece girado, por causa das coordenadas do azimute</p><p>inicial que foi adotado:</p><p>Figura 4 – Gráfi co das coordenadas obtidas para o terreno observado</p><p>Conhecendo esses pontos, podemos utilizar o método de Gauss para calcular</p><p>a área de um polígono, sabendo as coordenadas de seus vértices. Porém, para</p><p>facilitar os cálculos, vamos transportar o Gráfico para o primeiro quadrante. Para</p><p>isso, basta observar quais são os valores mais negativos (tanto para x, quanto para</p><p>y) e realizar a soma para todas as coordenadas (em x e y, separadamente). Dessa</p><p>maneira, o gráfico todo será transportado para valores positivos de x e y, que é o</p><p>primeiro quadrante.</p><p>Vamos acompanhar.</p><p>Reescrevendo a Tabela anterior, temos:</p><p>Ponto Distância Azimute X(m) Y(m) X Positivo Y Negativo</p><p>A 62,510 350° 47’ 0” -10,012 61,703</p><p>B 31,720 215° 54’ 36” -18,604 -25,691</p><p>C 46,0 141° 33’ 42” 28,597 -36,031</p><p>Z -- 180° 00’19” -- --</p><p>Onde o valor mais baixo para x é -18,604m e para y é -36,031m; então devemos</p><p>somar esse valor em módulo para cada uma das colunas, de maneira que o valor</p><p>mais baixo para o x seja igual a zero e o valor mais baixo para y também seja 0.</p><p>13</p><p>UNIDADE Planimetria</p><p>Os novos valores são colocados em azul na Tabela:</p><p>Ponto Distância Azimute X(m) Y(m) X Positivo Y Negativo</p><p>A 62,510 350° 47’ 0” -10,012 61,703 8,592 97,734</p><p>B 31,720 215° 54’ 36” -18,604 -25,691 0 10,340</p><p>C 46,0 141° 33’ 42” 28,597 -36,031 47,597 0,000</p><p>Z -- 180° 00’19” -- --</p><p>E, dessa forma, podemos obter o Gráfico do terreno no primeiro quadrante:</p><p>Figura 5 – Gráfico do levantamento planimétrico no primeiro quadrante</p><p>Então com todos os valores positivos para as coordenadas, podemos utilizar o</p><p>método de Gauss para o cálculo da Área:</p><p>1</p><p>...</p><p>2</p><p>A B C A</p><p>A B C A</p><p>x x x x</p><p>área</p><p>y y y y</p><p>=</p><p>Nesse método, as diagonais serão multiplicadas e os valores das diagonais</p><p>descendentes devem ser positivos e as diagonais ascendentes devem ser negativas.</p><p>Vamos aplicar o método no exemplo anterior.</p><p>Colocaremos os valores de x e y positivos na matriz:</p><p>1</p><p>2</p><p>8 592 0 47 597 8 592</p><p>97 794 10 340 0 97 794</p><p>, , ,</p><p>, , ,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>14</p><p>15</p><p>área = ½ |1,790x66,667 + 0x89,330 + 42,852x75,554 + 62,836x32,601 + 77,165x0 + 39,881x28,299</p><p>– 28,299x0 - 66,667x42,852 -89,330x62,836 -75,554x77,165 -32,601x39,881-0x1,790|</p><p>área = ½| 119,333 + 0 + 3237,640 + 2048,516 + 0 + 1128,590 - 0 -2856,814 -5613,140</p><p>-5830,124-1300,160|</p><p>área= ½|6534,076-15600,238| = ½ |-9066,162|</p><p>Devido ao módulo, aqui representado pelas barras | |, devemos pegar o valor</p><p>positivo para realizar o cálculo.</p><p>Área = 2.125,65 m²</p><p>Ângulos Internos das Poligonais</p><p>Em alguns levantamentos topográficos, é importante realizar a medição dos</p><p>ângulos internos. E para isso é importante lembrar uma regra da Geometria que diz</p><p>que a soma dos ângulos internos de uma poligonal deve ser igual a:</p><p>angulos internos ( 2) 180ºn= − ×∑</p><p>Onde n é o número de lados do polígono. Por exemplo, a soma dos ângulos</p><p>internos de um triângulo deve ser 180º, pois (3-2)x180º=180º. Essa informação é</p><p>muito importante para a correção de erros angulares.</p><p>Por exemplo: imagine que um topógrafo realizou as seguintes medições para</p><p>um terreno de quatro lados:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Sabendo que os ângulos internos são:</p><p>A 86º 21’ 54”</p><p>B 94º47’03”</p><p>C 81º 59’ 20”</p><p>D 99º 25’48”</p><p>Temos que a soma dos ângulos internos é igual a 362º34’05”.</p><p>Como essa poligonal possui 4 lados, sabemos que a soma dos seus ângulos</p><p>internos deve ser igual a (4-2)x180º = 360º.</p><p>15</p><p>UNIDADE Planimetria</p><p>Logo, nesse caso, temos um erro de fechamento angular com a sobra de</p><p>2º34’05”. Para compensar esse erro, devemos dividí-lo pelo número de lados da</p><p>poligonal e somar ou subtrair o valor encontrado, dependendo do caso.</p><p>Nos casos nos quais a soma dos ângulos internos é superior ao valor teórico,</p><p>devemos subtrair a correção, enquanto nos casos nos quais a soma dos ângulos é</p><p>inferior ao valor teórico, devemos somar a correção para realizar a compensação.</p><p>Então, teremos 2º34’05” dividido por 4 = 0º38’31,25” e devemos subtrair esse</p><p>valor de cada medida do ângulo interno:</p><p>Ponto Ângulo Interno Ângulo Interno Corrigido</p><p>A 86º 21’ 54” 85º43’22,75”</p><p>B 94º47’03” 94º08’31,75”</p><p>C 81º 59’ 20” 81º20’48,75”</p><p>D 99º 25’48” 98º47’16,75”</p><p>Por exemplo: os ângulos internos de uma poligonal foram medidos por um</p><p>topógrafo, como mostra a Tabela a seguir.</p><p>Vértice Ângulo Interno</p><p>A 98º 12’ 40”</p><p>B 104º27’13”</p><p>C 99º 39’ 28”</p><p>D 109º 15’48”</p><p>E 127º52’44”</p><p>Responda:</p><p>a. Qual foi o erro de fechamento angular?;</p><p>b. Qual é a correção que deve ser aplicada para cada vértice?;</p><p>c. Quais são os novos valores angulares?</p><p>a. A soma dos ângulos internos de um polígono de 5 lados (5 vértices) deve</p><p>ser de (5-2)x180º=540º.</p><p>O valor encontrado para a soma dos ângulos internos do exercício é de</p><p>539º27’53”; logo, o erro total é de 540º- 539º27’53” = 0º32’7”.</p><p>Ou seja, o erro é de -0º32’7”.</p><p>b. Para compensar esse erro, devemos somar um total de 0º32’7”/5 =</p><p>0º6’25,4” para cada vértice, ou seja, a correção deve ser de +0º6’25,4”,</p><p>para cada ângulo interno.</p><p>16</p><p>17</p><p>c. Os novos valores corrigidos são dados na Tabela a seguir:</p><p>Ponto Ângulo Interno Ângulo Interno Corrigido</p><p>A 98º 12’ 40” 98º19’5,4”</p><p>B 104º27’13” 104º33’38,4”</p><p>C 99º 39’ 28” 99º45’53,4”</p><p>D 109º 15’48” 109º22’13,4”</p><p>E 127º52’44” 127º59’9,4”</p><p>17</p><p>UNIDADE Planimetria</p><p>Material Complementar</p><p>Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:</p><p>Para aprofundar seus conhecimentos, sugiro:</p><p>Vídeos</p><p>Engenharia Topografia Agrimensura</p><p>Engenharia Topografia Agrimensura – Poligonal. Videoaula sobre o cálculo de azimutes e ângulos internos</p><p>e externos.</p><p>https://youtu.be/fCAVpA5t1-s</p><p>Treinamento Estação Total</p><p>Vídeo sobre o uso da Estação Total.</p><p>https://youtu.be/Em2mpjL-4j0</p><p>Engenharia Topografia Agrimensura</p><p>Desenho de poligonal em AutoCAD. Videoaula</p><p>sobre a utilização de autoCAD para desenhar poligonais</p><p>topográficas</p><p>https://youtu.be/dnhhXcVjhJU</p><p>Leitura</p><p>Ciência Rural</p><p>Reconstituição de uma poligonal topográfica pelo sistema de posicionamento global. Planimetria.</p><p>CORSEUIL, C. W., ROBAINA A. D. Ciência Rural, Santa Maria (RS), v.33, n.2, p.299, mar.-abr. 2003.</p><p>Este estudo tem por objetivo verificar a influência do tempo de coleta de dados com receptores GPS na</p><p>reconstituição de uma poligonal topográfica.</p><p>https://goo.gl/VihNQy</p><p>18</p><p>19</p><p>Referências</p><p>BORGES, A. C. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: Edgard</p><p>Blucher, 1992. v.1 e 2.</p><p>BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.</p><p>GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias.</p><p>São Paulo: Nobel, 1994.</p><p>GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014. Disponível</p><p>na Biblioteca Virtual.</p><p>NBR 13 133/94. Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro:</p><p>ABNT, 1994.</p><p>VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topogra-</p><p>fia. Curitiba: UFPR, 2012.</p><p>19</p><p>Topografia para</p><p>Arquitetura e</p><p>Urbanismo</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof.a Dr.a Selma Aparecida Cesarin</p><p>Levantamentos Topográficos</p><p>• Memorial Descritivo</p><p>• Mapeamento</p><p>• Curvas de Nível</p><p>• Planialtimetria</p><p>• Volume</p><p>• Terraplenagem</p><p>· Nesta Unidade, o aluno terá contato com vários tipos de levantamentos</p><p>e aprenderá a planejar e documentar cada um deles, de acordo com</p><p>as suas necessidades.</p><p>OBJETIVO DE APRENDIZADO</p><p>Levantamentos Topográfi cos</p><p>Orientações de estudo</p><p>Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem</p><p>aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua</p><p>formação acadêmica e atuação profissional, siga</p><p>algumas recomendações básicas:</p><p>Assim:</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e</p><p>horário fixos como o seu “momento do estudo”.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.</p><p>No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e</p><p>sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também</p><p>encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua</p><p>interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.</p><p>Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,</p><p>pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato</p><p>com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Determine um</p><p>horário fixo</p><p>para estudar.</p><p>Aproveite as</p><p>indicações</p><p>de Material</p><p>Complementar.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>Não se esqueça</p><p>de se alimentar</p><p>e se manter</p><p>hidratado.</p><p>Aproveite as</p><p>Conserve seu</p><p>material e local de</p><p>estudos sempre</p><p>organizados.</p><p>Procure manter</p><p>contato com seus</p><p>colegas e tutores</p><p>para trocar ideias!</p><p>Isso amplia a</p><p>aprendizagem.</p><p>Seja original!</p><p>Nunca plagie</p><p>trabalhos.</p><p>UNIDADE Levantamentos Topográficos</p><p>Memorial Descritivo</p><p>O Memorial Descritivo é um documento oficial, necessário para o registro de</p><p>propriedades e terrenos em Cartório. Deve conter, obrigatoriamente, o nome do</p><p>proprietário, da propiedade e o endereço.</p><p>Além disso, deve apresentar descrição detalhada do terreno, citando perímetro,</p><p>área, azimutes, rumos e deflexões entre as linhas da poligonal, juntamente com os</p><p>limites confrontantes, além dos dados do topógrafo responsável pelo levantamento,</p><p>data e assinatura.</p><p>Veja o exemplo a seguir, retirado de VEIGA et al. (2012):</p><p>MEMORIAL DESCRITIVO</p><p>Propriedade de: Odilon Viana e outros</p><p>Lote: 16-C-3/C-1-A-2-A/C-1-A-3-A/C-1-A-2 do</p><p>Croqui 4687 da Planta Herdeiros de Lourenço Viana.</p><p>Indicação Fiscal: 5151515151-51</p><p>Lote de forma irregular, com 14,00 m (catorze metros) de frente para a</p><p>Rua Marquês das Oliveiras.</p><p>Do lado direito de quem da Rua Marquês das Oliveiras olha o lote, mede</p><p>61,30 m (sessenta e um metros e trinta centímetros), confrontando com</p><p>os lotes ind. fiscais: 51-057-018.000 de Pedro José Viana e 51-057-</p><p>022.000 de Pedro Viana.</p><p>Do lado esquerdo de quem da Rua Marquês das Oliveiras olha o lote,</p><p>mede em cinco segmentos, sendo o primeiro com 34,50 m (trinta e</p><p>quatro metros e cinqüenta centímetros). O segundo segmento deflete</p><p>à esquerda 90° (noventa graus) e mede 16,00 m (dezesseis metros),</p><p>confrontando com o lote ind. fiscal 51-057-016.000 de João Viana. O</p><p>terceiro segmento deflete à direita 90° (noventa graus) e mede 12,00 m</p><p>(doze metros) de frente para a Rua José Matos. O quarto segmento deflete</p><p>à direita 90° medindo 16,00 m (dezesseis metros). O 5º segmento deflete</p><p>à esquerda 90° (noventa graus) e mede 14,30 m (catorze metros e trinta</p><p>centímetros), confrontando com o lote ind. fiscal 51-057-030.000 de</p><p>Danilo Viana. Na linha de fundo, mede 18,70 m (dezoito metros e setenta</p><p>centímetros), confrontando com os lotes ind. fiscais 51-057-030.000 de</p><p>Danilo Viana e 41-057-022.000 de Pedro Viana.</p><p>O lote é murado em toda a sua extensão e sua área total é 1.187,45</p><p>m2 (um mil cento e oitenta e sete metros quadrados e quarenta e cinco</p><p>decímetros quadrados).</p><p>No lote existem 4 (quatro) imóveis, sendo que o imóvel I, de madeira,</p><p>com área de 120 m2 (cento e vinte metros quadrados) e forma irregular,</p><p>localiza-se a 31,00 m (trinta e um metros) da frente do lote na Rua Marquês</p><p>das Oliveiras, possuindo 9,00 m (nove metros) de frente por 13,0 m (treze</p><p>metros) no seu lado esquerdo.</p><p>Na divisa do primeiro segmento do lado esquerdo de quem da Rua Marquês</p><p>das Oliveiras olha o lote, a 22,50 m (vinte e dois metros e cinqüenta</p><p>centímetros) desta, situa-se o imóvel II, de alvenaria, medindo 3,50 m x</p><p>12,00 m (três metros e cinqüenta centímetros por doze metros) com área</p><p>de 42,00 m2 (quarenta e dois metros quadrados).</p><p>8</p><p>9</p><p>A 5 m (cinco metros) do terceiro segmento do lado esquerdo de quem</p><p>da Rua Marquês das Oliveiras olha o lote, de frente para a Rua José</p><p>Matos, situa-se o imóvel III, de alvenaria, medindo 12,00 m x 8,75 m</p><p>(doze metros por oito metros e setenta e cinco centímetros), com área de</p><p>105,00 m2 (cento e cinco metros quadrados).</p><p>No quinto segmento do lado esquerdo de quem da Rua Marquês das</p><p>Oliveiras olha o lote, a 4,80 m (quatro metros e oitenta centímetros)</p><p>localiza-se o imóvel IV, de alvenaria, com 3,80 m x 9,50 m (três metros</p><p>e oitenta centímetros por nove metros e cinquenta centímetros) e área de</p><p>36,10 m2 (trinta e seis metros quadrados e dez decímetros quadrados).</p><p>A largura da Rua Marquês das Oliveiras é 10,00 m (dez metros) e cada</p><p>calçada nesta rua mede 5,50 (cinco metros e cinquenta centímetros).</p><p>A largura da Rua José Matos é 10,00 m (dez metros) e cada calçada nesta</p><p>rua mede 4,50 m (quatro metros e cinqüenta centímetros).</p><p>João da Silva – Engenheiro Cartógrafo</p><p>CREA Nº. 00000 - D / PR</p><p>Curitiba, 29 de fevereiro de 2010.</p><p>O Memorial Descritivo, em geral, vem acompanhado de um croqui da área, mas</p><p>note que por meio dele, mesmo sem o croqui, seria possível desenhar uma planta</p><p>do terreno, pois todas as suas características estão detalhadas.</p><p>Por Lei, toda área registrada em Cartório deve conter um Memorial Descritivo.</p><p>Além disso, Empresas e grandes incorporações do ramo da construção civil devem</p><p>registrar suas obras em Cartório com um Memorial Descritivo da construção, que</p><p>deve conter não só a descrição da planta do imóvel que está sendo construído,</p><p>como também as garantias financeiras, orçamentos e todo o material que está</p><p>sendo utilizado, inclusive no acabamento final.</p><p>Mapeamento</p><p>Desde criança, somos habituados a observar e manusear mapas de origens</p><p>diversas. Atlas, mapas rodoviários, guia de ruas e até mesmo aparelhos com GPS,</p><p>que nos guiam através das ruas e rodovias, dando informações precisas de como</p><p>chegar de um lugar a outro.</p><p>Os levantamentos de Mapeamento são feitos para registrar o relevo, as</p><p>características físicas do local com os elementos naturais, juntamente com os</p><p>elementos culturais de uma região.</p><p>As características físicas dependem da forma do terreno, das elevações e das decli-</p><p>vidades encontradas. Os elementos naturais são aqueles que aparecem sem a interfe-</p><p>rência do homem, como, por exemplo, rios, cachoeiras, matas, florestas e desertos.</p><p>Já os elementos culturais são aqueles que foram criados pelo homem, como</p><p>construções, loteamentos, pontes, estradas e afins. Todas essas características</p><p>devem conter suas respectivas áreas de demarcação e legendas em um Mapeamento.</p><p>9</p><p>UNIDADE Levantamentos Topográficos</p><p>Os Mapeamentos podem ser planimétricos (quando apresentam somente as</p><p>características do local no plano horizontal) ou planialtimétricos (quando apresentam</p><p>as características do local juntamento com o seu relevo).</p><p>Como você já deve saber, os mapas possuem inúmeras aplicações e são de</p><p>grande importância, não somente nas Engenharias, mas também para a Agricultura,</p><p>Administração, Planejamento e Turismo, por exemplo.</p><p>Antigamente, os mapas eram desenhados à mão por especialistas, mas esse</p><p>método é impreciso e, hoje, temos a utilização de softwares específicos para a</p><p>construção dos mapas, o que nos permite inclusive visualizações de perspecti-</p><p>vas diferentes.</p><p>Os acidentes do terreno (elevações e depressões) podem ser mostrados de</p><p>diversas formas no terreno; em geral, são mostradas na forma de curvas de nível</p><p>ou com Gráficos digitais em três dimensões que mostram o terreno como se esse</p><p>fosse “fatiado”.</p><p>Os Mapeamentos podem ser realizados a partir de diversas fontes; atualmente,</p><p>as mais utilizadas são a terrestre e a aérea. O Mapeamento terrestre é feito pelo</p><p>topógrafo em campo, com o seu deslocamento até a região de interesse, enquanto</p><p>o Mapeamento aéreo utiliza fotos aéreas (técnica chamada de Fotogrametria) para</p><p>a construção dos mapas. Nos dias de hoje, a maioria dos mapas é realizada com as</p><p>duas técnicas combinadas.</p><p>Um dos items mais importantes do mapa é a escala. O mapa pode conter</p><p>os desenhos proporcionais entre si, mas sem a escala não podemos ter ideia do</p><p>tamanho real das formas retratadas.</p><p>A escala utilizada dependerá de vários fatores, como, por exemplo, nível de</p><p>detalhe, tamanho e precisão requeridos para o mapa. Muitas vezes, são realizados</p><p>mapas de reconhecimento com baixa precisão, pois, no momento da sua realização,</p><p>não havia interesse em uma descrição detalhada da região, mas, depois de alguns</p><p>anos, devido a um interesse crescente no local, faz-se necessária a confecção de</p><p>um mapa mais detalhado.</p><p>Sendo assim, é importante realizar o mapeamento sempre com a maior</p><p>precisão possível, visando a uma utilização futura, evitando que seja feito um novo</p><p>mapeamento posteriormente.</p><p>Os controles são muito importantes na realização do mapeamento. Eles podem</p><p>ser permanentes ou semi-permanentes e o tipo de controle utilizado depende do</p><p>mapeamento. Os controles horizontais são aqueles que marcam o solo, são feitos de</p><p>concreto ou metal e são afixados com precisão no terreno para realizar o controle</p><p>das coordenadas e das direções do mapeamento horizontal. O controle vertical é</p><p>estabelecido por meio de uma referência de nível conhecido nos arredores da área</p><p>a ser mapeada.</p><p>10</p><p>11</p><p>Figura 1 – Antigo mapa da cidade de São Paulo feito em 1841. Desenhado à mão</p><p>Fonte: smdu.prefeitura.sp.gov.br</p><p>Figura 2 – Mapa digital do centro da cidade de São Paulo, como é visto atualmente</p><p>Fonte: Google Maps</p><p>Figura 3 – Mapa planialtimétrico digital em três dimensões</p><p>Fonte: geoagris.com</p><p>11</p><p>UNIDADE Levantamentos Topográficos</p><p>Curvas de Nível</p><p>Como mencionado anteriormente, as curvas de nível são muito utilizadas para</p><p>retratar o relevo de uma região. Uma curva de nível é uma linha imaginária que</p><p>conecta pontos de uma mesma altitude em um levantamento. As margens de um</p><p>rio ou de um lago são exemplos de curvas de nível visíveis.</p><p>A distância entre duas curvas de nível consecutivas é chamada de intervalo</p><p>de curva de nível e o valor utilizado para esse intervalo depende do terreno, da</p><p>finalidade e da precisão do mapa. Por exemplo, em um mapeamento urbano</p><p>para a construção de ruas, seriam necessárias curvas de nível com intervalo de</p><p>0,5m a 1m, enquanto um mapeamento de uma região montanhosa pode ter um</p><p>intervalo de 10m.</p><p>As curvas de nível nunca se cruzam e tendem a ser quase paralelas entre si.</p><p>Elevações ou depressões pontuais (picos, vales, cursos de água, buracos etc.) são</p><p>representados no mapa como pontos críticos e, em alguns casos, podem ser</p><p>utilizadas para definir uma curva de nível.</p><p>As curvas de nível principais são traçadas como linhas cheias, enquanto curvas</p><p>de nível secundárias são traçadas com linhas tracejadas.</p><p>Figura 4 – Exemplo de construção de curva de nível</p><p>Fonte: deconcrete.org</p><p>12</p><p>13</p><p>Figura 5 – Curvas de nível com intervalo de 1 metro mostrando o relevo de uma região</p><p>Fonte: mundogeo.com</p><p>As curvas de nível não devem cruzar cursos de água ou grandes acidentes</p><p>topográficos. Por isso, em primeiro lugar, devemos procurar por esses pontos no</p><p>terrenos e utilizá-los como referência para a criação das linhas da curvas.</p><p>Você pode ver na figura 5 que as curvas de nível têm origem (são menores) nas</p><p>partes mais altas do terreno e vão seguindo até as partes mais baixas. Isso não</p><p>significa que devemos começar sempre pelas partes mais altas, pois em um terreno</p><p>com buracos significativos, também é possível iniciar o mapeamento das curvas de</p><p>nível pela altitude mais baixa.</p><p>Planialtimetria</p><p>A Planialtimetria ou Planta Topográfica é o levantamento detalhado da projeção</p><p>do terreno no plano horizontal (Planimetria), juntamente com os detalhes do relevo.</p><p>É um mapa bem complexo, mas de extrema importância para obter uma visão</p><p>geral e clara da localização.</p><p>13</p><p>UNIDADE Levantamentos Topográficos</p><p>Figura 6 – Mapeamento planialtimétrico da região de Sao José dos Campos (SP)</p><p>Fonte: ibge.gov.br</p><p>Muitas vezes, um mapa planialtimétrico é feito sobre uma fotografia da região.</p><p>Veja a figura a seguir:</p><p>Figura 7 – Mapa planialtimétrico sobre uma fotografia da região</p><p>Fonte: mecateengenharia.com.br</p><p>Volume</p><p>Em topografia, é muito comum que sejam requisitados volumes de diversas regiões</p><p>e de diversos tipos de materiais. Desde quantidades de terra a ser movimentada,</p><p>quantidade de concreto necessária para algumas obras, até a vazão de água por</p><p>rios, córregos e canais.</p><p>14</p><p>15</p><p>A medida direta do volume é muito difícil e por vezes impraticável. Nesta unidade,</p><p>iremos aprender a calcular os volumes pelo método das seções transversais. Esse</p><p>método é utilizado para o cálculo de seções lineares, como, por exemplo, estradas,</p><p>rios e canais.</p><p>No método das seções transversais, calculamos a área da seção e multiplicamos</p><p>pelo comprimento total, obtendo, assim, o volume.</p><p>Por exemplo: imagine um canal de 350m cuja seção transversal possui a forma</p><p>de um trapézio:</p><p>b</p><p>c</p><p>s</p><p>1</p><p>Seção de nível</p><p>Área = c(b+sc)</p><p>Figura 8 – Seção transversal de um canal trapezoidal</p><p>Fonte: Adaptado de GHILANI, C. D. & WOLF. P. R. (2014)</p><p>Sabendo que a profundidade c é igual a 2 metros, a largura do fundo é igual a 3</p><p>metros e s (inclinação do talude) é igual a 1 m. Calcule o volume de água.</p><p>Para resolver esse exercício, basta aplicar a fórmula da área de um canal trapezoidal,</p><p>onde c = 2 m, b = 3m e s = 1 e multiplicar pelo comprimento l = 350m.</p><p>Área = 2(3+1x2) = 10m²</p><p>Então, o volume será: V = Axcomprimento = 10x350 = 3500m³.</p><p>Terraplenagem</p><p>A Terraplenagem é a alteração do relevo do terreno com a escavação ou o</p><p>depósito de terra para transformar um terreno inclinado em um terreno plano ou</p><p>alterar inclinações já existentes. O termo</p><p>técnico correto é Terraplenagem, embora</p><p>o uso popular da palavra Terraplanagem tenha se tornado usual e aceito na maioria</p><p>dos casos.</p><p>Para realizar corretamente a terraplenagem em um terreno, devemos ter</p><p>conhecimento prévio do relevo e das medidas das suas declividades.</p><p>Existem 4 situações na qual se pode aplicar a terraplanagem:</p><p>• Transformar um terreno inclinado em um terreno plano, sem estabelecer uma</p><p>altura final;</p><p>• Transformar um terreno inclinado em um terreno plano, com a imposição de</p><p>uma cota final;</p><p>15</p><p>UNIDADE Levantamentos Topográficos</p><p>• Estabelecer uma inclinação a um plano, sem impor a sua altura final;</p><p>• Estabelecer uma inclinação a um plano, com a imposição de uma altura final.</p><p>Para todos os casos, é necessário calcular o volume de terra que deve ser</p><p>colocado ou retirado de uma determinada região e, para, isso se utiliza o método</p><p>da quadriculação.</p><p>Nesse método, o terreno é dividido em quadrados ou retângulos iguais, de lados</p><p>pré-definidos, para auxiliar no cálculo do volume de terra a ser utilizado.</p><p>Existem várias formas de realizar esse cálculo. E cada um dos casos acima deve</p><p>ser estudado individualmente.</p><p>16</p><p>17</p><p>Material Complementar</p><p>Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:</p><p>Sites</p><p>EcoDebate</p><p>ARTIGO: Obras de Terraplenagem: o patinho feio da geotecnia. DOS SANTOS, A. R.</p><p>Ecodebate. out. 2013. Artigo sobre os estudos da terraplenagem que, em geral, é deixada</p><p>de lado e considerada um “trabalho sujo”, ao qual os técnicos não dão a devida atenção.</p><p>https://goo.gl/GxEczn</p><p>Vídeos</p><p>Engenharia Topografia Terraplenagem</p><p>Videoaula sobre o cálculo de volume em terraplenagem para cotas definidas.</p><p>https://youtu.be/V-Sr3LPDsc8</p><p>Engenharia Topografia - Declividades Percentual e Angular</p><p>Videoaula sobre curvas de nível e declividades.</p><p>https://youtu.be/lspZghb7-IA</p><p>Leitura</p><p>Memorial Descritivo</p><p>Normas para a entrega de memoriais descritivos para a Prefeitura de São Paulo.</p><p>https://goo.gl/cMLWdO</p><p>17</p><p>UNIDADE Levantamentos Topográficos</p><p>Referências</p><p>BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.</p><p>BORGES, A. C. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: Edgard</p><p>Blucher, 1992. v.1 e 2.</p><p>GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias.</p><p>São Paulo: Nobel, 1994.</p><p>GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática. São Paulo: Pearson, 2014. Disponível</p><p>na Biblioteca Virtual.</p><p>NBR 13 133/94. Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro:</p><p>ABNT, 1994.</p><p>VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de</p><p>Topografia. Curitiba: UFPR, 2012.</p><p>18</p><p>Mais Utilizados</p><p>• Nivelamento – medida das diferenças de nível através da distância vertical de</p><p>um ponto até um plano de referência;</p><p>Figura 17 – Nivelamento</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>• Curvas de nível – curvas que interligam pontos com a mesma distância vertical</p><p>de um plano de referência.</p><p>Figura 18 – Curvas de nível</p><p>Fonte: Acervo do conteudista</p><p>O levantamento topográfico completo de uma região é dado pela planialtimetria,</p><p>que é a junção dos dois levantamentos: o planimétrico, onde é realizada a projeção</p><p>plana do terreno, com as medidas de todas as distâncias, ângulos e perímetros; e o</p><p>altimétrico, com as cotas e curvas de nível para o relevo do terreno.</p><p>15</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>Segurança nos Trabalhos de Campo</p><p>Como já mencionado, os levantamentos topográficos são realizados nos próprios</p><p>locais onde é necessária a aplicação das medidas. Assim, é muito importante que o</p><p>topógrafo tenha em mente os fatores ambientais que interferirão no seu trabalho.</p><p>Muitos levantamentos de controle são realizados em canteiros de obras, rodovias,</p><p>túneis, trilhos de trens ou outros locais onde a atenção deve ser redobrada para</p><p>evitar acidentes ou danificar instrumentos.</p><p>Os fatores naturais também devem ser levados em conta quando o levantamento</p><p>se realizar em campo aberto, matas, florestas, beiras de rios, montanhas e outros</p><p>lugares ermos, pois nesse caso é muito importante o uso de equipamentos de</p><p>segurança, roupas adequadas e kits de sobrevivência para evitar insolação,</p><p>desidratação, picadas de animais peçonhentos, desnorteamento, inundações,</p><p>eletrocução por raios e fios de alta tensão etc.</p><p>Sobre esse assunto, confira o artigo de Luís Antônio dos Santos, intitulado Análise de risco</p><p>em levantamentos topográficos e georreferenciamento de imóveis rurais, publicado na</p><p>Revista Geodireito, em setembro de 2014, e disponível em: https://goo.gl/O1cV2H</p><p>Ex</p><p>pl</p><p>or</p><p>Unidades de Medida</p><p>Sem dúvida, as grandezas mais utilizadas pelos topógrafos são o metro e os seus</p><p>múltiplos, além dos ângulos e de suas frações. Um topógrafo não trabalha somente</p><p>com as medidas realizadas no local onde seriam utilizados metros ou quilômetros,</p><p>mas também com as descrições das áreas levantadas em mapas, cartas e plantas.</p><p>Assim, o uso de escalas de conversão é necessário e as unidades de medida são</p><p>transformadas em milímetros ou centímetros. Por isso, é muito importante que</p><p>você esteja familiarizado(a) com as conversões entre as diversas unidades de medida</p><p>desses padrões.</p><p>Medidas de Distância</p><p>1 metro (m) = 100 centímetros (cm) = 1.000 milímetros (mm).</p><p>1 quilômetro (km) = 1.000 metros (m).</p><p>Exemplo: a distância entre dois lados de um terreno é de 13.500 cm. Qual é essa</p><p>distância em metros? E em quilômetros?</p><p>16</p><p>17</p><p>Resolução:</p><p>Nesse caso, para encontrarmos o valor em metros e quilômetros, basta realizar uma</p><p>regra de três simples para cada um dos quais:</p><p>1 m ----- 100 cm</p><p>X ----- 13500 cm</p><p>100x = 13500</p><p>X = 13500 / 100 = 135 m</p><p>1 km ----- 1000 m</p><p>X ----- 135m</p><p>1000x = 135</p><p>X = 135 / 1000 = 0,135 km</p><p>Quando tratamos de área do terreno, a conversão não é mais linear, e sim</p><p>quadrática.</p><p>1m² = 104 cm²</p><p>1cm² = 10² mm²</p><p>1 km² = 106 m²</p><p>Exemplo:</p><p>O Estado do Espírito Santo possui, aproximadamente, 46.000 km². Qual é a sua área</p><p>em m²?</p><p>Resolução:</p><p>46.000 km² podem ser escritos como 4,6 x 104 km², então, realizando a regra de</p><p>três, temos:</p><p>1 km² ----- 106 m²</p><p>4,6 x 104 km² ----- x</p><p>1x = 4,6 x 104 x 106</p><p>X = 4,6 x 1010m²</p><p>Medidas Angulares</p><p>As medidas angulares podem ser realizadas em radianos, graus ou grados, sendo</p><p>definidas como a região determinada pela interseção entre duas semirretas contidas</p><p>no mesmo plano.</p><p>Os ângulos podem ser escritos como números decimais ou frações de grau</p><p>chamadas de minutos de arco (´) e segundos de arco (´´). Por exemplo: podemos</p><p>escrever 67,5° ou 67° 30’, sendo um minuto de arco equivalente a 1/60 de grau</p><p>e um segundo de arco equivalente a 1/3600 de grau.</p><p>17</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>A divisão do grau em minutos e segundos de arco utiliza uma base hexadecimal,</p><p>como aquela que empregamos para as horas. Então, 0,5° é diferente de 50’ pois 0,5°</p><p>corresponde a 30’. Ou seja, 1° = 60’ e 1’ = 60’’</p><p>Exemplo:</p><p>Um topógrafo usa um teodolito para medir a distância angular entre dois pontos do</p><p>terreno e encontra o valor de 56,458°. Qual é o valor do ângulo em graus, minutos</p><p>e segundos?</p><p>Resolução:</p><p>O valor inteiro 56° não se altera, mas para calcular minutos e segundos iremos,</p><p>novamente, nos valer da regra de três.</p><p>Assim, ao retirarmos a parte inteira (56°) nos restará 0,458°.</p><p>1° ----- 60’</p><p>0,458° ----- x</p><p>X = 0,458 * 60</p><p>X = 27,48</p><p>Então, teremos 56° 27,48´. Utilizaremos o mesmo raciocínio para calcular os</p><p>segundos, ou seja, retiraremos a parte inteira dos minutos e fi caremos apenas com</p><p>os decimais. Logo, teremos: 27´ (minutos inteiros) e 0,48´ (que será transformado</p><p>em segundos):</p><p>1´ ----- 60’’</p><p>0,48´ ----- x</p><p>X = 0,48 * 60</p><p>X = 28,8´´</p><p>Então, teremos: 56° 27´28,8´´</p><p>Exemplo:</p><p>O ângulo formado em um dos vértices de uma poligonal é igual a 95° 21´54´´. Qual</p><p>é o seu valor em graus e décimos de grau?</p><p>Neste caso, adotaremos o procedimento inverso ao exercício anterior, de modo</p><p>que devemos transformar 54´´ em minutos e somá-los aos 21´ para, a seguir,</p><p>transformá-los em graus:</p><p>1´ ----- 60´´</p><p>X ----- 54´´</p><p>60x = 54</p><p>X = 54 / 60 = 0,9’</p><p>Então, teremos:</p><p>21´ + 0,9´ = 21,9´</p><p>1° ----- 60’</p><p>X ----- 21,9´</p><p>60x = 21,9</p><p>X = 21,9 / 60 = 0,365°</p><p>Logo:</p><p>95° + 0,365° = 95,365°</p><p>As calculadoras científicas possuem funções que re-</p><p>alizam as conversões de graus decimais para graus,</p><p>minutos e segundos. Não é um problema que você</p><p>faça uso da calculadora, mas é importante que você</p><p>saiba como tais conversões são realizadas a fim de</p><p>poder estimar se os seus cálculos e medições estão</p><p>ou não dentro das expectativas.</p><p>18</p><p>19</p><p>Material Complementar</p><p>Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:</p><p>Sites</p><p>Topografia Aplicada na Execução da Terraplanagem de um Projeto Viário</p><p>Artigo explicativo de Adriana Pires Pereira, Reginaldo Adair Justino e Ricardo de Moura</p><p>Costa, com ilustrações e descrições dos procedimentos utilizados em um levantamento</p><p>topográfico para a execução de um projeto rodoviário.</p><p>https://goo.gl/SXuTR2</p><p>Site Da Associação das Empresas de Topografia do Estado de São Paulo (Aetesp)</p><p>Reúne as principais empresas de topografia do Estado paulista, podendo-se encontrar</p><p>maiores informações sobre o mercado de trabalho e serviços prestados por empresas</p><p>de topografia.</p><p>http://www.aetesp.com.br</p><p>Vídeos</p><p>Topografia Noção Base Estação</p><p>Entrevista com topógrafos do metrô de São Paulo, os quais explicam o funcionamento</p><p>da estação total e de alguns outros instrumentos.</p><p>https://youtu.be/CBvpo-2G7jQ</p><p>Topografia em Loteamentos Urbanos l Rurai</p><p>Entrevista com o geógrafo Thiago Santana, quem explica a importância da topografia</p><p>para loteamentos urbanos e rurais.</p><p>https://youtu.be/rqukpkA09D0</p><p>Como demarcar um Lote utilizando uma Estação Total</p><p>https://youtu.be/gCZeQqALUsc</p><p>Leitura</p><p>Execução de Levantamento Topográfico</p><p>Texto com as normas, especificações e procedimentos da Norma Brasileira (NBR)</p><p>13133, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).</p><p>https://goo.gl/XMgvgr</p><p>19</p><p>UNIDADE Conceitos Básicos e Instrumentação</p><p>Referências</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133 – execução</p><p>de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.</p><p>BORGES, A. C. Exercícios de topografia. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.</p><p>______. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 1-2. São Paulo: Edgard</p><p>Blücher, 1992.</p><p>GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014.</p><p>VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION P. L. Fundamentos de topografia.</p><p>Curitiba, PR: UFPR, 2012.</p><p>20</p><p>Topografia para</p><p>Arquitetura e</p><p>Urbanismo</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof. Me. Luciano Vieira Francisco</p><p>Escalas e Cálculos de Área</p><p>• Unidades de</p><p>Medida</p><p>• Algarismos Significativos</p><p>• Cálculos de Área</p><p>· Familiarizar-se com as várias unidades de medidas utilizadas na</p><p>topografia.</p><p>· Desenvolver habilidades para evitar erros grosseiros em levantamentos.</p><p>· Conhecer os conceitos de escala numérica e cartográfica.</p><p>· Transitar entre os tamanhos real e em escala sem dificuldades.</p><p>· Conhecer os métodos para os cálculos de área de poligonais e de</p><p>terrenos com formas irregulares.</p><p>OBJETIVO DE APRENDIZADO</p><p>Escalas e Cálculos de Área</p><p>Orientações de estudo</p><p>Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem</p><p>aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua</p><p>formação acadêmica e atuação profissional, siga</p><p>algumas recomendações básicas:</p><p>Assim:</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e</p><p>horário fixos como o seu “momento do estudo”.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.</p><p>No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e</p><p>sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também</p><p>encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua</p><p>interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.</p><p>Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,</p><p>pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato</p><p>com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Determine um</p><p>horário fixo</p><p>para estudar.</p><p>Aproveite as</p><p>indicações</p><p>de Material</p><p>Complementar.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>Não se esqueça</p><p>de se alimentar</p><p>e se manter</p><p>hidratado.</p><p>Aproveite as</p><p>Conserve seu</p><p>material e local de</p><p>estudos sempre</p><p>organizados.</p><p>Procure manter</p><p>contato com seus</p><p>colegas e tutores</p><p>para trocar ideias!</p><p>Isso amplia a</p><p>aprendizagem.</p><p>Seja original!</p><p>Nunca plagie</p><p>trabalhos.</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>Unidades de Medida</p><p>As unidades de medida mais utilizadas na topografia são o metro e seus múltiplos</p><p>e graus e suas frações. Apesar disso, outras unidades de comprimento e área são</p><p>importantes, tais como acres, hectares e alqueires.</p><p>Importante!</p><p>Que no Brasil existe uma grande confusão com a medida de alqueires? O alqueire era</p><p>o nome dado ao cesto que os animais carregavam no dorso para transportar cereais.</p><p>Com o tempo, surgiu a medida alqueire, que era a área de plantio necessária para que</p><p>se pudesse colher uma quantidade de grãos suficientes para encher os cestos. Você</p><p>pode imaginar a confusão que se cria se o tamanho do cesto não for padronizado, ou</p><p>se considerarmos a quantidade total de cestos trasportados por um animal ao invés</p><p>de um único cesto? Pois é, foi exatamente isso que aconteceu no Brasil colonial, dan-</p><p>do origem a diferentes tipos de alqueires. O alqueire paulista (24.200 m²), o alqueire</p><p>mineiro (48.400 m²), o alqueire do Norte (27.225 m²), o alqueire baiano (96.800 m²)</p><p>e o alqueire goiano (193.600 m²).</p><p>Você Sabia?</p><p>A unidade de medida de área no sistema internacional é o metro quadrado</p><p>(m²), mas em topografia é comum utilizarmos algumas medidas agrárias. Além do</p><p>alqueire, uma medida muito utilizada é o hectare. Um are é a área equivalente a</p><p>um quadrado de lado 10 m, ou seja, 100 m², logo, um hectare é equivalente a 100</p><p>ares, então temos: 100 x 100 m² = 10000 m². O acre é uma unidade de medida</p><p>de área muito antiga, utilizada desde os tempos medievais, principalmente nos</p><p>países de língua inglesa e equivale a 4.046,86 m².</p><p>Algarismos Significativos</p><p>Algarismos significativos são os números que trazem informações sobre a medida</p><p>em questão. Zeros à esquerda não são considerados algarismos significativos se</p><p>aparecem antes de qualquer número. Por exemplo, os números a seguir possuem</p><p>três algarismos significativos – em cada caso:</p><p>• 845;</p><p>• 0,0127;</p><p>• 0,650;</p><p>• 100.</p><p>Importante!</p><p>Zeros à direita são algarismos significativos pois trazem informações sobre a gran-</p><p>deza medida.</p><p>Importante!</p><p>8</p><p>9</p><p>Em topografia devemos utilizar todos os algarismos significativos disponíveis</p><p>para a leitura nos instrumentos e no final arredondar o resultado para o número de</p><p>algarismos significativos designados previamente.</p><p>Escalas</p><p>Inconsciente quando desenhamos o mapa de uma cidade ou de ruas para</p><p>explicar o caminho de casa para um amigo, estamos criando uma escala imaginária</p><p>em nosso pensamento, onde cada traço no papel corresponde a uma distância.</p><p>A escala pode ser maior ou menor dependendo do meio de locomoção. Quando</p><p>pensamos em um trajeto realizado de carro – envolvendo distâncias maiores –, o</p><p>valor real correspondente a cada traço é maior do que o valor real correspondente</p><p>ao tamanho do traço em um trajeto feito a pé – envolvendo distâncias menores.</p><p>Uma escala é definida pela razão desenho sobre real:</p><p>Escala=</p><p>Desenho</p><p>Real</p><p>Então, uma escala traz sempre a relação entre o desenho no mapa e o tamanho</p><p>real, ou seja, quantas vezes o tamanho real foi reduzido ou aumentado. Quando a</p><p>escala é de redução, é sempre precedida pelo número 1, por exemplo, 1:1000 (lê-</p><p>se um para mil), significa que 1 unidade no desenho corresponde a 1.000 unidades</p><p>no real. Lembre-se que as unidades utilizadas para os números da escala devem</p><p>sempre ser as mesmas. Assim, na escala 1:200 para cada 1 cm no desenho, temos</p><p>200 cm no real, isto é, cada 1 cm do desenho equivale a 2 m no real. Quando a</p><p>escala é de ampliação, temos o número 1 após os dois pontos, por exemplo, 5:1,</p><p>onde cada 5 unidades do desenho equivalem a 1 unidade real.</p><p>Em topografia as escalas mais utilizadas são de redução, podendo aparecer</p><p>indicadas de diversas maneiras, entre as mais utilizadas, temos:</p><p>• Escala numérica: é a escala que utilizamos no exemplo acima, 1:1000;</p><p>• Escala gráfica: é a escala onde a unidade aparece estampada no mapa:</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>1 : 500 000 (1cm = 5km)</p><p>0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5</p><p>1 : 250 000 (1cm = 2,5km)</p><p>Figura 1 – Exemplos de escalas gráfi cas</p><p>Fonte:</p><p>9</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>Importante!</p><p>Que as escalas são sempre indicadas nos mapas? Estas podem ser apontadas de diver-</p><p>sas maneiras. Procure alguns mapas na internet, livros e revistas e observe as escalas</p><p>utilizadas. Você acha a escala em que esses mapas foram desenhados adequada? Re-</p><p>flita a esse respeito.</p><p>Você Sabia?</p><p>Exemplo:</p><p>Em um mapa com escala 1:50000 a distância em linha reta entre duas cidades</p><p>é medida com uma régua e o seu valor é de 8,2 cm. Qual é a distância real entre</p><p>as cidades em quilômetros?</p><p>Para resolver este exercício devemos lembrar da fórmula vista anteriormente:</p><p>Escala=</p><p>Desenho</p><p>Real</p><p>Então, substituímos os valores, lembrando que o valor medido no desenho –</p><p>mapa – está em centímetros, logo, o valor real encontrado também estará em</p><p>centímetros, de modo que será necessária uma conversão:</p><p>1</p><p>50000</p><p>8 2</p><p>�</p><p>� �, cm</p><p>Real</p><p>Assim, o valor real será:</p><p>Real = 8,2 × 50000 = 410000 cm</p><p>Realizando a conversão, temos que 410.000 cm equivalem a 4.100 m, que são</p><p>equivalentes a 4,1 km.</p><p>Exemplo:</p><p>Uma equipe está desenhando um mapa rural de uma região. Sabendo que o</p><p>tamanho real de uma estrada de terra retilínea é de 15 km, qual deve ser a escala</p><p>utilizada no mapa para que, no desenho, possua um tamanho de 20 cm?</p><p>Neste caso, devemos fazer a operação contrária, mas sempre lembrando de</p><p>utilizar as mesmas unidades:</p><p>Escala</p><p>Desenho cm</p><p>km</p><p>m</p><p>mReal</p><p>20</p><p>15</p><p>0 2</p><p>15000</p><p>,</p><p>Para simplificar, transformamos as duas unidades em metros, então teríamos uma</p><p>escala de 0,2:15000, mas vimos que as escalas de redução, em geral, iniciam-se</p><p>com o número 1. Então, para que isso aconteça, retornaremos</p><p>a forma fracionária</p><p>a fim de simplificar a fração para encontrar o número 1 no numerador.</p><p>10</p><p>11</p><p>Escala</p><p>m</p><p>m</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>0 2</p><p>15000</p><p>, �</p><p>�</p><p>, para tanto, devemos dividir o numerador e o denominador</p><p>por 0,2, ou seja, o valor que está presente no numerador:</p><p>0 2 0 2</p><p>15000 0 2</p><p>1</p><p>75000</p><p>, � ,</p><p>� ,</p><p>m</p><p>m</p><p>Então, para que a estrada de 15 km tenha um comprimento de 20 cm no mapa,</p><p>devemos utilizar uma escala de 1:7500.</p><p>Para que você se ambiente, temos a seguir um Quadro com escalas comumente</p><p>utilizadas na topografia, mas lembre-se que estas não devem, por força, seguir tal</p><p>padrão, pois cada topógrafo pode optar livremente pela escala que desejar utilizar,</p><p>dependendo de suas necessidades.</p><p>Quadro 1</p><p>Plantas e mapas Escalas</p><p>Casas e terrenos urbanos 1:50</p><p>Edifícios e condomínios 1:100 - 1:200</p><p>Bairros 1:500 - 1:1000</p><p>Plantas rurais 1:1000 - 1:5000</p><p>Cidades pequenas 1:10000 - 1:25000</p><p>Cidades grandes 1:50000 - 1:100000</p><p>Estados, regiões e países 1:200000 - 1:10000000</p><p>Fonte: elaborado pela professora conteudista</p><p>Erros nas Observações</p><p>Quando realizamos qualquer medição estamos sujeitos a várias fontes de erros.</p><p>Na topografia não poderia ser diferente. Assim, existem três tipos de fontes de</p><p>erros padrão:</p><p>• Ambientais: são causados pelo ambiente onde as medidas são realizadas. Tem-</p><p>peratura, umidade, vento, chuva, por exemplo, podem interferir nas observa-</p><p>ções realizadas pelo topógrafo (como dificuldade de observação), como também</p><p>podem interferir nas condições físicas do instrumento (dilatação de materiais);</p><p>• Pessoais: são erros causados pelo observador, conhecidos como falhas</p><p>humanas. Podem ser desde simples erros de leitura ou falta de atenção, até</p><p>incapacidade de operar instrumentos ou mau posicionamento dos mesmos;</p><p>• Instrumentais: são causados por mau funcionamento dos instrumentos.</p><p>Podem existir vários fatores que contribuam para esses erros: instrumentos</p><p>mau calibrados, falhas técnicas, imperfeições e defeitos de fabricação. Supondo</p><p>que os instrumentos não possuam nenhum defeito de fábrica e estejam em</p><p>bom funcionamento, boa parte dos erros instrumentais podem ser evitados ou</p><p>contornados com técnicas e verificações cuidadosas.</p><p>11</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>Os erros causados pelas fontes citadas acima podem ser classificados em três</p><p>categorias:</p><p>• Grosseiros: erros causados, em geral, pela desatenção do observador ou pelo</p><p>mau funcionamento do instrumento. Uma boa maneira de evitar este tipo de</p><p>erro é sempre refazer as medidas e, se possível, com observadores diferentes.</p><p>Exemplos: anotar medidas em linhas ou colunas erradas, anotar 125 ao invés</p><p>de 1,25, confundir a ordem dos piquetes, errar a contagem de traços etc.;</p><p>• Sistemáticos: são erros que afetam os dados da mesma maneira ou de</p><p>forma linear, de modo que seja possível a sua correção através de fórmulas</p><p>matemáticas. Exemplos: erro de calibração inicial, erro de zero da escala,</p><p>dilatação térmica da trena, defeitos óticos no instrumento etc.;</p><p>• Aleatórios: são erros que podem ocorrer por acidente, não possuem nenhum</p><p>padrão ou ocorrem após a eliminação de todas as fontes anteriores de erro</p><p>e possuem causas desconhecidas. Os efeitos dos erros aleatórios tendem a</p><p>diminuir quando um grande número de observações é realizado. Exemplos:</p><p>erro de pontaria na mira, efeitos do vento na baliza etc.</p><p>Cálculos de Área</p><p>Uma das atribuições do topógrafo é o cálculo de áreas de terrenos e áreas</p><p>construídas. Quando os terrenos possuem formas conhecidas, podemos calcular</p><p>sua área com fórmulas prontas. Relembremos alguns conceitos:</p><p>Área do Paralelogramo</p><p>Qualquer figura geométrica composta por quatro retas paralelas duas a duas é</p><p>considerada um paralelogramo. Ou seja, a área de um paralelogramo é sempre</p><p>igual ao produto da sua base pela sua altura:</p><p>A = b . h</p><p>b</p><p>h</p><p>b</p><p>h</p><p>Figura 2 – Exemplos de paralelogramo</p><p>No caso do quadrado, a base e a altura são iguais e podemos simplesmente</p><p>utilizar área = lado².</p><p>12</p><p>13</p><p>Exemplo:</p><p>O terreno de uma casa possui 7 metros de frente por 19 de profundidade. Qual</p><p>é a área do terreno supondo que os lados sejam paralelos?</p><p>A = b . h = 7 x 19 = 133 m²</p><p>Área do Círculo</p><p>O círculo pode ser descrito através do raio ou de seu diâmetro, basta se lembrar</p><p>que essas duas grandezas estão relacionadas entre si através da equação diâmetro</p><p>= 2 x raio.</p><p>A área do círculo pode ser calculada através do diâmetro ou do raio:</p><p>A r ou A</p><p>d</p><p>� ��</p><p>�2</p><p>2</p><p>4</p><p>,</p><p>d =2r</p><p>Diâmentro (d)</p><p>Raio (r)</p><p>Figura 3 – Representação do diâmetro e raio do círculo</p><p>Exemplo:</p><p>Calcule a área de um açude circular de diâmetro igual a 35 m.</p><p>A</p><p>d</p><p>m�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� 2 2</p><p>2</p><p>4</p><p>3 14 35</p><p>4</p><p>961 62</p><p>,</p><p>,</p><p>Área do Triângulo</p><p>Existem algumas formas de calcular a área de um triângulo, dependendo das</p><p>informações disponíveis. Tradicionalmente, para calcular a área de um triângulo</p><p>utilizamos a seguinte fórmula:</p><p>A</p><p>b h</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>2</p><p>Onde b é a base e h é a altura. Essa fórmula é muito útil para triângulos retângulos,</p><p>onde a altura é coincidente com um dos lados do triângulo.</p><p>13</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>b</p><p>b</p><p>ac</p><p>ca</p><p>A = b . h</p><p>2</p><p>Figura 4 – Base e altura do triângulo</p><p>Mas e se não conhecermos a altura do triângulo? Podemos sempre utilizar as</p><p>regras da trigonometria para calcular a altura do triângulo se conhecermos todos</p><p>os lados. Dessa forma, podemos escrever:</p><p>A p p a p b p c� �� � �� � �� �</p><p>Onde p é o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro do triângulo:</p><p>p</p><p>a b c</p><p>�</p><p>� �</p><p>2</p><p>Exemplo:</p><p>Calcule a área de um terreno triangular que possui lados iguais a 20 x 25 x 30 m.</p><p>Primeiramente, devemos calcular o semiperímetro:</p><p>p m�</p><p>� �</p><p>�</p><p>20 25 30</p><p>2</p><p>37 5, �</p><p>E, então, para calcular a área do triângulo, podemos utilizar a seguinte fórmula:</p><p>A p p a p b p c� �� � �� � �� � � � �� �� �� �� ��37 5 37 5 20 37 5 25 37 5 30, �� , �� , �� , ��</p><p>� �A m� , , � ²61523 44 248 04</p><p>Cálculo de Área pelo Método da Triangulação</p><p>Em geral, quando realizamos as medidas de um terreno aparentemente retangular,</p><p>notamos que os lados não são paralelos. Assim, imaginemos um terreno com as</p><p>seguintes dimensões:</p><p>40m</p><p>42m</p><p>30m29m</p><p>Figura 5</p><p>14</p><p>15</p><p>Poderíamos medir a diagonal do terreno e dividi-lo em dois triângulos que apa-</p><p>rentemente seriam iguais – mas não são –, pois os lados possuem valores distintos:</p><p>42m</p><p>40m</p><p>30m</p><p>I</p><p>29m</p><p>II</p><p>Figura 6</p><p>Se a diagonal do terreno for igual a 50 m, qual será o valor da área?</p><p>Para calcular a área total, devemos calcular a área do triângulo I e a área do</p><p>triângulo II. Comecemos pelo triângulo I:</p><p>p m</p><p>A p p a p b p c</p><p>1</p><p>42 30 50</p><p>2</p><p>61</p><p>1 61 61 42 61 30</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �� � �� � �� � � � �� �� ��</p><p>�</p><p>�� �� ��� �� �</p><p>� � � � � �</p><p>��</p><p>� �� �� �� , � ²</p><p>61 50</p><p>1 61 19 31 11 395219 628 66A m</p><p>E para o triângulo II temos:</p><p>p m</p><p>A p p a p b p c</p><p>2</p><p>29 40 50</p><p>2</p><p>59 5</p><p>2 59 5 59 5 29</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �� � �� � �� � � � �� ��</p><p>, �</p><p>, �� , ��559 5 40 59 5 50</p><p>2 59 5 30 5 19 5 9 5 336182</p><p>, �� ,</p><p>� , �� , �� , ��, ,</p><p>�� �� �� �</p><p>� � � � �A 444 579 81� , � ²m</p><p>Então, a área total do terreno será 628,66 + 579,81 = 1208,47 m².</p><p>Dessa forma, podemos calcular a área de qualquer terreno onde sua forma</p><p>possa ser dividida em vários triângulos.</p><p>Exemplo de triangulação realizada para medir a área de partes do Brasil:</p><p>https://goo.gl/dO9tecEx</p><p>pl</p><p>or</p><p>Método das Áreas Irregulares</p><p>Quando a área é irregular e a triangulação não é possível, podemos utilizar o</p><p>método dos trapézios, chamado também de método das áreas irregulares.</p><p>Imagine calcular a área de um terreno onde um dos lados é delimitado por um</p><p>rio tortuoso. Para utilizar esse método, seria ideal que você dividisse o lado oposto</p><p>ao rio em partes iguais para formar trapézios – veja a seguinte Figura:</p><p>15</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>3m 3m 3m 3m 3m</p><p>24m</p><p>Terreno</p><p>Rio</p><p>12</p><p>m</p><p>3m 3m 3m</p><p>Figura 7 – Exemplo de divisão de área para um terreno irregular.</p><p>Primeira etapa: dividir o lado oposto à aérea irregular em partes iguais</p><p>14</p><p>m</p><p>12</p><p>m 14</p><p>m</p><p>13</p><p>m</p><p>10</p><p>m</p><p>9m</p><p>6m 4m 5m</p><p>Figura 8 – Realizar a medição das distâncias entre as extremidades</p><p>e a borda irregular, traçando pequenos trapézios</p><p>Fonte: elaborada pela professora conteudista.</p><p>A fórmula para o cálculo da área irregular é dada por:</p><p>A</p><p>l</p><p>hi hf hm� � ��� ���2</p><p>2</p><p>Onde l é o espaçamento entre as medidas, neste exemplo, l = 3 m; hi é a</p><p>altura inicial e hf, a altura final, que seriam, neste caso, hi = 12 m e hf = 5 m e</p><p>hm corresponde às alturas intermediárias, de modo que, em nosso exemplo, a</p><p>somatória – simbolizada por Σ – das alturas intermediárias é Σhm = 14 + 14 + 13</p><p>+ 10 + 9 + 6 + 4 = 70 m.</p><p>Então, substituindo na fórmula, temos:</p><p>A</p><p>A m</p><p>� � � �� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>2</p><p>12 5 2 70</p><p>3 157</p><p>2</p><p>235 5</p><p>��</p><p>��</p><p>, � ²</p><p>16</p><p>17</p><p>É claro que para o cálculo da área podemos nos deparar com vários tipos de</p><p>terreno e a maioria não será constituída de forma simples, de modo que para</p><p>muitos será necessário subdividir o terreno em diversas áreas para calcular a área</p><p>total. Assim, resolveremos mais um exercício:</p><p>Considere o terreno a seguir e calcule a sua área:</p><p>5m</p><p>4m</p><p>4m</p><p>A3</p><p>A3</p><p>A2</p><p>36m</p><p>30m</p><p>24m</p><p>45m</p><p>A1</p><p>4,8m</p><p>5m</p><p>3m</p><p>2m</p><p>4m</p><p>4m</p><p>4m</p><p>4m</p><p>Figura 9 – Exemplo de um terreno misto para o cálculo da área</p><p>Como pode ser visto no desenho, o terreno já está dividido em quatro áreas.</p><p>Comecemos pela área 1, que é um triângulo de lados a = 36 m, b = 24 m e c = 45</p><p>m. Podemos calcular esta área utilizando a fórmula para o cálculo da área do triângulo:</p><p>p</p><p>a b c</p><p>p m</p><p>A p p a p b p c</p><p>A</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �� � �� � �� �</p><p>� �</p><p>2</p><p>1</p><p>36 24 45</p><p>2</p><p>52 5</p><p>1 52 5 52</p><p>, �</p><p>, �� ,55 36 52 5 24 52 5 45</p><p>1 52 5 16 5 28 5 7</p><p>�� �� �� �� �� �</p><p>� � � �</p><p>�� , �� ,</p><p>� , �� , �� , ��,A 55 185160 94 430 30� �, , � ²m</p><p>O mesmo procedimento deve ser realizado para a área 2, já que esta também é</p><p>um triângulo de lados a = 45 m, b = 30 m e c = 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 25 m:</p><p>p m</p><p>A p p a p b p c</p><p>A</p><p>2</p><p>45 30 25</p><p>2</p><p>50</p><p>2 50 50 45 50 30</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �� � �� � �� �</p><p>� � �� �� �</p><p>�</p><p>�� ���� �� �� �</p><p>� � � � � �</p><p>��</p><p>� ���� �� , � ²</p><p>50 25</p><p>2 50 5 20 25 125000 353 55A m</p><p>A área 3 é um pequeno triângulo retângulo. Note que este não foi incluso na área</p><p>irregular, pois sua base tem valor igual a 5 m, que é diferente da base dos trapézios</p><p>– iguais a 4 m. Para o cálculo da área do triângulo, basta utilizar a seguinte fórmula:</p><p>17</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>A</p><p>b h</p><p>A m</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>� ²</p><p>2</p><p>3</p><p>5 4</p><p>2</p><p>10</p><p>Finalmente, a área 4 será calculada utilizando o método das áreas irregulares.</p><p>Note que a área irregular – parte mais escura – se inicia somente quando as bases</p><p>são iguais l = 4 m. Temos, então:</p><p>A</p><p>l</p><p>hi hf hm� � ��� ���2</p><p>2</p><p>Onde l = 4 m, altura inicial é igual a 4 m e altura final é igual a 0 m (a curva toca</p><p>a base da área irregular).</p><p>A</p><p>A</p><p>A m</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>4 0 2 4 8 5 3 2</p><p>4 2 4 29 6</p><p>4 67 2</p><p>� � � � � �� ��� ��</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>,</p><p>,</p><p>, � ²</p><p>Então, a área total do terreno é igual a soma das áreas 1, 2, 3 e 4.</p><p>Atotal A A A A</p><p>Atotal</p><p>Atotal</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>1 2 3 4</p><p>430 30 353 55 10 67 2</p><p>861 0</p><p>, , ,</p><p>, 55� ²m</p><p>18</p><p>19</p><p>Material Complementar</p><p>Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:</p><p>Livros</p><p>Introdução à Cartografia: Fundamentos e Aplicações</p><p>ESTÊVEZ, L. F. Introdução à Cartografia: fundamentos e aplicações. Curitiba, PR:</p><p>Intersaberes, 2015.</p><p>Vídeos</p><p>Cálculo de Área Irregular</p><p>https://youtu.be/EYW9eibiP9I</p><p>Leitura</p><p>Escalas: Estudos de Conceitos e Aplicações</p><p>MENEZES, P. M. L.; COELHO NETO, A. L. Escalas: estudos de conceitos e aplica-</p><p>ções. [20--].</p><p>https://goo.gl/rjgo8W</p><p>Escala Geográfica e Escala Cartográfica: Distinção Necessária</p><p>MARQUES, A. J.; GALO, M. L. B. T. Escala geográfica e escala cartográfica: dis-</p><p>tinção necessária. Boletim de Geografia, Maringá, PR, v. 26-27, n. 1, p. 47-55,</p><p>2008-2009.</p><p>https://goo.gl/oDnq0j</p><p>19</p><p>UNIDADE Escalas e Cálculos de Área</p><p>Referências</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133 – execução</p><p>de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.</p><p>BORGES, A. C. Exercícios de topografia. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.</p><p>________. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 1-2. São Paulo: Edgard</p><p>Blücher, 1992.</p><p>GHILANI, C. D.; WOLF, P. R. Geomática. São Paulo: Pearson, 2014.</p><p>VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION P. L. Fundamentos de topografia.</p><p>Curitiba, PR: UFPR, 2012.</p><p>20</p><p>Topografia para</p><p>Arquitetura e</p><p>Urbanismo</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof. Me. Luciano Vieira Francisco</p><p>Altimetria</p><p>• Introdução</p><p>• Nivelamento</p><p>• Declividade</p><p>· Conhecer as medidas realizadas em campo através de um nível para</p><p>a aplicação do nivelamento topográfico.</p><p>· Conhecer os tipos de nivelamento, as cadernetas de campo, os</p><p>cálculos e os gráficos derivados das observações em campo.</p><p>OBJETIVO DE APRENDIZADO</p><p>Altimetria</p><p>Orientações de estudo</p><p>Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem</p><p>aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua</p><p>formação acadêmica e atuação profissional, siga</p><p>algumas recomendações básicas:</p><p>Assim:</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e</p><p>horário fixos como o seu “momento do estudo”.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.</p><p>No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e</p><p>sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também</p><p>encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua</p><p>interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.</p><p>Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,</p><p>pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato</p><p>com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Determine um</p><p>horário fixo</p><p>para estudar.</p><p>Aproveite as</p><p>indicações</p><p>de Material</p><p>Complementar.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>Não se esqueça</p><p>de se alimentar</p><p>e se manter</p><p>hidratado.</p><p>Aproveite as</p><p>Conserve seu</p><p>material e local de</p><p>estudos sempre</p><p>organizados.</p><p>Procure manter</p><p>contato com seus</p><p>colegas e tutores</p><p>para trocar ideias!</p><p>Isso amplia a</p><p>aprendizagem.</p><p>Seja original!</p><p>Nunca plagie</p><p>trabalhos.</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Introdução</p><p>A altimetria, ou nivelamento, é a medida das distâncias verticais entre dois</p><p>pontos de uma área, medindo, portanto, a diferença de nível entre os quais.</p><p>Você poderia pensar que para medir a diferença de altura entre dois pontos</p><p>sobre a superfície da Terra, deveria-se levar em conta a curvatura do Planeta,</p><p>uma vez que já é sabido que este é esférico. É claro que para pequenas distâncias,</p><p>como a área do terreno da casa ou do apartamento onde você mora, a influência</p><p>da curvatura da Terra é desprezível, mas qual é o limite para não considerarmos</p><p>tal influência? Imagine que você esteja realizando medidas em uma grande fazenda</p><p>no interior, nesse caso, você deveria ou não levar em conta a curvatura da Terra?</p><p>Imagine ainda que você está realizando medidas sobre a superfície da Terra</p><p>e que os pontos A e B estejam na mesma altura aparente. O erro cometido na</p><p>leitura da altura é devido a dois fatores: o raio de inclinação da Terra e a refração</p><p>da atmosfera – é o desvio que um raio de luz faz ao passar de um meio para outro</p><p>com diferente densidade como, por exemplo, quando colocamos uma colher em</p><p>um copo com água.</p><p>Na Figura 1 temos o erro óptico (Eopt), o erro devido à curvatura da Terra (Ect),</p><p>o raio da Terra (Rt) e a distância entre os pontos A e B (d).</p><p>Importante!</p><p>O desenho está exageradamente fora de escala para que você possa entender o cálculo.</p><p>Importante!</p><p>A</p><p>B</p><p>Eopt</p><p>Ect</p><p>Rx</p><p>Rx</p><p>C</p><p>Figura 1 – Diagrama com o erro</p><p>cometido na leitura da altura</p><p>devido ao raio de curvatura terrestre e à refração atmosférica</p><p>8</p><p>9</p><p>Note que a figura ABC é um triângulo retângulo e, assim, podemos escrever</p><p>usando o teorema de Pitágoras:</p><p>CB CA AB2 2 2� ��</p><p>Mas CA é igual ao raio da Terra, CB é igual à soma do raio da Terra e os erros</p><p>E e AB são iguais à distância entre os pontos.</p><p>CA Rt e CB Rt E� � �</p><p>Substituindo os valores na equação anterior:</p><p>Rt E Rt d</p><p>Rt E Rt E Rt d</p><p>E Rt E d</p><p>E</p><p>�� � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>�</p><p>�.� �.� �</p><p>�.� �.� �</p><p>22Rt E d�� � � ²</p><p>Como o erro é muito pequeno comparado ao raio da Terra, podemos dizer que</p><p>o resultado de 2 2Rt E Rt� � é:</p><p>E Rt d</p><p>E</p><p>d</p><p>Rt</p><p>2</p><p>2</p><p>� � �</p><p>�</p><p>²</p><p>²</p><p>Como dito, o erro é a soma de dois fatores, o erro óptico e o erro de curvatura.</p><p>Através de observações realizadas em diversos pontos da Terra, estima-se que o</p><p>erro óptico médio seja igual a 0,1306 do erro total, ou seja:</p><p>Eopt E= 0 1306, �</p><p>Lembrando que o erro total E:</p><p>E Eopt Ect� �</p><p>Então:</p><p>E E Ect</p><p>Ect E E</p><p>� �</p><p>� �</p><p>0 1306</p><p>0 1306</p><p>,</p><p>,</p><p>Colocando o erro total (E) em evidência:</p><p>Ect E</p><p>Ect E</p><p>E</p><p>Ect</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>�</p><p>1 0 1306</p><p>0 8694</p><p>0 8694</p><p>,</p><p>, �</p><p>,</p><p>9</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Que pode ser substituído na equação anterior:</p><p>E</p><p>Ect</p><p>E</p><p>d</p><p>Rt</p><p>Ect d</p><p>Rt</p><p>Ect</p><p>d</p><p>Rt</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>0 8694 2</p><p>0 8694 2</p><p>2</p><p>0 8694</p><p>,</p><p>� �</p><p>²</p><p>,</p><p>²</p><p>�</p><p>²</p><p>,</p><p>Ou:</p><p>Ect</p><p>d</p><p>Rt</p><p>=�</p><p>²</p><p>,0 4347</p><p>Supondo que o raio médio da Terra seja igual a 6.371 km (6.371.000 m), para</p><p>uma distância de 120 m, temos:</p><p>Ect</p><p>Ect m</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>²</p><p>,</p><p>�, � �</p><p>120</p><p>6371000</p><p>0 4347</p><p>0 00098</p><p>Que é o equivalente a, aproximadamente, 1 mm, este que é um erro pouco</p><p>significativo para as distâncias utilizadas. Então, podemos concluir que para uma</p><p>distância de aproximadamente 120 m, podemos desconsiderar o erro causado pela</p><p>curvatura terrestre.</p><p>Nivelamento</p><p>O estudo dos desníveis do terreno é de fundamental importância para a</p><p>Engenharia, pois a partir de uma cota ou altitude referencial é possível determinar</p><p>as depressões e elevações de um terreno.</p><p>Neste momento é importante que você faça a distinção entre cota e altitude: cota</p><p>é a altura vertical medida a partir de um plano qualquer, enquanto que altitude é a</p><p>distância vertical medida com relação ao nível do mar. Por exemplo, imaginemos</p><p>que você esteja em um local onde a altitude de seu ponto referencial – ponto A da</p><p>Figura 2 – seja de 200 m e a cota medida para um outro ponto – B – com relação</p><p>a esse ponto seja igual a 2,31 m, teremos então uma altitude de 202,31 m para</p><p>o ponto B.</p><p>10</p><p>11</p><p>A</p><p>B</p><p>cota = 2,31m</p><p>200m de altitude</p><p>Nível do mar</p><p>Figura 2 – Exemplo da diferença entre cota e altitude</p><p>Existem três tipos de nivelamento: trigonométrico, geométrico e taqueométrico.</p><p>Segundo a Norma Brasileira (NBR) 13133 – execução de levantamento topográfico</p><p>–, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), os nivelamentos podem</p><p>ser definidos como:</p><p>[Trigonométrico – ...] realiza a medição da diferença de nível entre pontos</p><p>no terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical</p><p>da direção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na</p><p>relação trigonométrica entre o ângulo e a distância medidos, levando em</p><p>consideração a altura do centro do limbo vertical do teodolito ao terreno e</p><p>a altura sobre o terreno do sinal visado (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE</p><p>NORMAS TÉCNICAS, 1994, p. 4);</p><p>Z</p><p>DH</p><p>ha dh</p><p>h1</p><p>A</p><p>B</p><p>Figura 3 – Nivelamento trigonométrico, onde são medidos os ângulos Z e A e a Distância</p><p>Horizontal (DH), sendo possível determinar o desnível através do triângulo retângulo</p><p>[Geométrico – ...] realiza a medida da diferença de nível entre pontos no</p><p>terreno por intermédio de leituras correspondentes às visadas horizontais,</p><p>obtidas com um nível, em miras colocadas verticalmente nos referidos pon-</p><p>tos (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1994, p. 3);</p><p>11</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Ré</p><p>Vante</p><p>Ré</p><p>Vante</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>DN</p><p>Figura 4 – Levantamento geométrico, com o nível colocado entre</p><p>várias miras, onde é medida a diferença de altura entre as quais</p><p>[Taqueométrico – ...] nivelamento trigonométrico em que as distâncias são</p><p>obtidas taqueometricamente e a altura do sinal visado é obtida pela visada</p><p>do fio médio do retívulo da luneta do teodolito sobre uma mira colocada</p><p>verticalmente no ponto cuja diferença de nível em relação à estação do</p><p>teodolito é objeto de determinação (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE</p><p>NORMAS TÉCNICAS, 1994, p. 4).</p><p>Os tipos de nivelamento mais utilizados são o trigonométrico e o geométrico. O</p><p>nivelamento trigonométrico é baseado na construção de triângulos retângulos e é</p><p>muito mais rápido de ser realizado, mas apresenta incertezas maiores e que tendem</p><p>a ser desprezíveis em grandes distâncias ou desníveis, pois o erro percentual será</p><p>pequeno; já para medidas mais precisas utilizamos o nivelamento geométrico,</p><p>como será descrito a seguir.</p><p>Nivelamento Geométrico</p><p>Para realizar o nivelamento geométrico devemos utilizar um nível e miras. O</p><p>nível pode ser digital ou analógico, mas deve ser afixado em um tripé e alinhado</p><p>com a horizontal através de níveis bolha.</p><p>Figuras 5 e 6 – Nível e miras para níveis analógicos com números e subdivisões</p><p>para leitura e a mira em código de barras para leitura com nível digital</p><p>12</p><p>13</p><p>A leitura da mira utilizando o nível</p><p>óptico – sem leitura digital – deve ser re-</p><p>alizada lendo quatro algarismos: os dois</p><p>primeiros estão, em geral, colocados na</p><p>mira; o terceiro é lido como mostrado</p><p>na Figura 7; e o quarto algarismo deve</p><p>ser estimado.</p><p>O nivelamento geométrico possui</p><p>uma precisão de centímetro ou milíme-</p><p>tro por quilômetro. Pode ser simples ou</p><p>composto, a diferença é que o simples se</p><p>baseia em uma única instalação do nível,</p><p>enquanto o composto se baseia em lo-</p><p>cais onde o aparelho deve ser instalado,</p><p>ou seja, em lugares diferentes devido à</p><p>impossibilidade de se realizar as medidas</p><p>com uma única linha de visada.</p><p>II</p><p>9</p><p>2.028 m</p><p>2.000 m</p><p>1.966 m</p><p>1.950 m</p><p>1.912 m</p><p>1.900 m</p><p>1.885 m</p><p>Figura 7 – Exemplos de leitura de mira</p><p>A B C D E</p><p>Visa</p><p>da</p><p>Ré</p><p>V.V</p><p>.I</p><p>V.V.m</p><p>A B C D E</p><p>Figura 8 – Tipos de nivelamento: simples (fi gura superior), sem a mudança do</p><p>equipamento; e composto (fi gura inferior), com a mudança do equipamento</p><p>Os dados devem ser anotados em uma planilha ou caderneta de campo. A</p><p>planilha de campo é um material essencial para documentar o seu trabalho em</p><p>topografia. É nesta que você deverá anotar os dados observados nos instrumen-</p><p>tos topográficos.</p><p>13</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Lembre-se que deve ser clara e legível, pois é um documento que, após as</p><p>medidas em campo, pode ser utilizado por outras pessoas para realizar o</p><p>tratamento dos dados e complementar o levantamento topográfico. Assim, seja</p><p>organizado(a), lembrando-se de anotar os seus dados e as informações do projeto</p><p>ou do levantamento na parte superior de cada folha e use, preferencialmente,</p><p>caneta à prova d’água ou grafite, a fim de evitar borrões em caso de chuva.</p><p>É igualmente importante a realização de um croqui, que é um desenho feito à</p><p>mão livre, com a forma aproximada do terreno e a marcação das posições onde os</p><p>instrumentos foram colocados, assim como a nomenclatura dada a cada um. Dessa</p><p>forma, evitam-se confusões posteriores caso o observador não se lembre de algum</p><p>dado sobre o posicionamento instrumental.</p><p>No caso do nivelamento geométrico, além de um cabeçalho com seu nome</p><p>completo, nome do projeto, localização e outros dados importantes para o terreno,</p><p>deve-se preparar uma planilha de campo com as seguintes colunas:</p><p>Quadro 1</p><p>Estaca</p><p>Visão vante Visada</p><p>ré</p><p>Altura</p><p>instrumental Cota</p><p>Intermediária Mudança</p><p>Tais valores devem ser anotados para a realização de um gráfico com as inclina-</p><p>ções do terreno e o cálculo da declividade. Vejamos um exemplo:</p><p>Exemplo 1 – nivelamento geométrico simples.</p><p>Imagine que um topógrafo foi a campo para realizar um nivelamento geométrico</p><p>simples (Figura 9) em um local com altitude igual a 520 m e com as estacas colocadas</p><p>a cada 10 m, retornando com a seguinte planilha de campo:</p><p>Quadro 2 – Caderneta de campo</p><p>de um nivelamento geométrico simples à altitude de 520 m</p><p>Estaca</p><p>Visão vante Visada</p><p>ré</p><p>Altura</p><p>instrumental</p><p>Cota</p><p>Intermediária Mudança</p><p>520</p><p>A 0,740</p><p>B 0,982</p><p>C 2,378</p><p>D 2,744</p><p>E 2,691</p><p>F 1,816</p><p>G 0,586</p><p>14</p><p>15</p><p>Vis</p><p>ada</p><p>Ré V.V</p><p>.I</p><p>A B C D E F G</p><p>10m 10m 10m 10m 10m 10m</p><p>Figura 9 – Nivelamento simples realizado no Exemplo 1</p><p>Iniciaremos calculando a altura instrumental que será dada por:</p><p>alt.instrum = cota inicial + visada ré</p><p>alt.instrum = 520 + 0,740 = 520,740 m</p><p>A seguir, calcularemos as cotas para cada ponto – que é o nosso objetivo principal</p><p>– para estimar e “graficar” os desníveis do terreno:</p><p>cota = alt.instrum – v.v.i.</p><p>Ou:</p><p>cota = alt.instrum – v.v.m .</p><p>Onde v.v.i. é a visão vante intermediária e v.v.m. é a visão vante de mudança.</p><p>A cota para a estaca A é de 520 m, tal como indicado no enunciado.</p><p>Para B:</p><p>cotaB = 520,740 – 0,982</p><p>cotaB = 519,758 m</p><p>Para C:</p><p>cotaC = 520,740 – 2,378</p><p>cotaC = 518,362 m</p><p>15</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Para D:</p><p>cotaD = 520,740 – 2,744</p><p>cotaD = 517,996 m</p><p>Para E:</p><p>cotaE = 520,740 – 2,691</p><p>cotaE = 518,049 m</p><p>Para F:</p><p>cotaF = 520,740 – 1,816</p><p>cotaF = 518,924 m</p><p>Para G:</p><p>cotaG = 520,740-0,586</p><p>cotaG = 520,154 m</p><p>Assim, podemos reescrever o Quadro 2 da seguinte forma – sendo que os</p><p>números em azul foram calculados acima:</p><p>Quadro 3 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico</p><p>simples à altitude de 520 m após o cálculo das cotas (em azul)</p><p>Estaca</p><p>Visão vante Visada</p><p>ré</p><p>Altura</p><p>instrumental</p><p>Cota</p><p>Intermediária Mudança</p><p>A 0,740 520,740 520</p><p>B 0,982 518,758</p><p>C 2,378 518,362</p><p>D 2,744 517,996</p><p>E 2,691 518,049</p><p>F 1,816 518,924</p><p>G 0,586 520,154</p><p>O gráfico do nivelamento é apresentado na Figura a seguir:</p><p>co</p><p>ta</p><p>(m</p><p>)</p><p>520,5</p><p>520</p><p>519,5</p><p>519</p><p>518,5</p><p>518</p><p>517,5</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70</p><p>distância (m)</p><p>Figura 10 – Gráfico do nivelamento geométrico simples realizado no</p><p>Exemplo 1, com distância entre as estacas igual a 10 m</p><p>16</p><p>17</p><p>Exemplo 2 – nivelamento geométrico composto.</p><p>Agora que você já se familiarizou com o nivelamento simples, observaremos</p><p>como seria a caderneta de campo de um nivelamento composto para uma cota</p><p>inicial de 200 m com estacas colocadas de 12 em 12 m:</p><p>Quadro 4 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico composto à altitude inicial de 200 m</p><p>Estaca</p><p>Visão vante Visada</p><p>ré</p><p>Altura</p><p>instrumental</p><p>Cota</p><p>Intermediária Mudança</p><p>A 1,749 201,749 200</p><p>B 1,795</p><p>C 1,652</p><p>D 0,286</p><p>D 2,133</p><p>E 0,971</p><p>F 0,355</p><p>G 0,873</p><p>H 1,934</p><p>V.R</p><p>. V.V</p><p>.I</p><p>V.V</p><p>.I V.V.</p><p>M.</p><p>V.R V.V</p><p>.I</p><p>V.V</p><p>.I</p><p>A B C D E F G H</p><p>12m</p><p>Figura 11 – Nivelamento composto realizado no Exemplo 2</p><p>Realizaremos os cálculos das estacas B, C e D da mesma forma como foram</p><p>realizados no exemplo anterior:</p><p>Para B:</p><p>cotaB = 201,749 – 1,795</p><p>cotaB = 199,954 m</p><p>Para C:</p><p>cotaC = 201,749 – 1,652</p><p>cotaC = 200,097 m</p><p>17</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Para D:</p><p>cotaD = 201,749 – 0,286</p><p>cotaD = 201,463 m</p><p>Note que para o ponto D foram realizadas duas medidas: uma de visão vante de</p><p>mudança e uma de visada ré. Para a estaca D devemos, então, reiniciar o proce-</p><p>dimento. A cota do ponto D será aquela calculada com a visão vante de mudança,</p><p>mas a altura instrumental utilizada para as outras estacas será a altura instrumental</p><p>de D, pois o aparelho foi movido, de modo que esta será a nova calibração:</p><p>alt.instrumD = cota inicial + visada ré</p><p>alt.instrum = 201,463 + 2,133 = 203,596 m</p><p>Para E:</p><p>cotaE = 203,596 – 0,971</p><p>cotaE = 202,625 m</p><p>Para F:</p><p>cotaF = 203,596 – 0,355</p><p>cotaF = 203,241 m</p><p>Para G:</p><p>cotaG = 203,596 – 0,873</p><p>cotaG = 202,723 m</p><p>Para H:</p><p>cotaH = 203,596 – 1,934</p><p>cotaH = 201,662 m</p><p>Quadro 5 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico composto</p><p>à altitude inicial de 200 m com os resultados dos cálculos (em azul)</p><p>Estaca</p><p>Visão vante Visada</p><p>ré</p><p>Altura</p><p>instrumental</p><p>Cota</p><p>Intermediária Mudança</p><p>A 1,749 201,749 200</p><p>B 1,795 199,954</p><p>C 1,652 200,097</p><p>D 0,286 201,463</p><p>D 2,133 203,596</p><p>E 0,971 202,625</p><p>F 0,355 203,241</p><p>G 0,873 202,723</p><p>H 1,934 201,662</p><p>18</p><p>19</p><p>O gráfico do nivelamento é apresentado na Figura a seguir:</p><p>co</p><p>ta</p><p>(m</p><p>)</p><p>203,5</p><p>203</p><p>202,5</p><p>202</p><p>201,5</p><p>200,5</p><p>200</p><p>0 20 40 30 60 80 100</p><p>distância (m)</p><p>201</p><p>199,5</p><p>Figura 12 – Gráfi co do nivelamento composto apresentado no</p><p>Exemplo 2, com distância entre as estacas igual a 12 m</p><p>Prova Real</p><p>Podemos tirar a prova real do nivelamento através da seguinte fórmula:</p><p>Cota final Visadas Ré v vm cota inicial� � � .�. .�� �� � �� �</p><p>Para o Exemplo 1 temos somente uma visada ré e uma v.v.m., então:</p><p>Cota final</p><p>Cota final m</p><p>� �, ,</p><p>� � , �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>0 740 0 586 520</p><p>520 154</p><p>Que é exatamente a cota final do Exemplo 1, o que nos leva à certeza de que os</p><p>cálculos foram realizados de maneira correta.</p><p>Para o Exemplo 2, temos:</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>visadasré m</p><p>v vm m</p><p>� , , , �</p><p>. . . , , , �</p><p>1 749 2 133 3 882</p><p>0 286 1 934 2 220</p><p>CCota final</p><p>Cota final m</p><p>� �, ,</p><p>� � , �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>3 882 2 220 200</p><p>201 662</p><p>Que também é a cota final do Exemplo 2, como queríamos demonstrar.</p><p>19</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Declividade</p><p>A declividade pode ser calculada entre quaisquer duas marcações no terreno. A</p><p>declividade é dada por:</p><p>declividade</p><p>y</p><p>x</p><p>cota final cota inicial</p><p>distância final</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� ddist inicial.�</p><p>Para o Exemplo 1, temos uma declividade total de:</p><p>declividade �</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>,</p><p>�</p><p>,</p><p>,</p><p>520 15 520</p><p>60 0</p><p>0 15</p><p>60</p><p>0 0025</p><p>Que, em porcentagem, é o correspondente a:</p><p>0 0025 100 0 25, �� , %�� �</p><p>Ou ainda, 0,25 m para cada 100 m, que é o equivalente a 25 cm a cada 100 m.</p><p>Poderíamos calcular também a declividade entre dois pontos quaisquer medidos.</p><p>Por exemplo, a declividade entre as estacas A e F no Exemplo 2:</p><p>declividade �</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>,</p><p>�</p><p>,</p><p>,</p><p>202 72 200</p><p>72 0</p><p>2 72</p><p>72</p><p>0 0378</p><p>Que é o equivalente a 3,78%, ou 3,78 m a cada 100 m.</p><p>20</p><p>21</p><p>Material Complementar</p><p>Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:</p><p>Vídeos</p><p>Demarcação de Terraço Nivelado (Curva de Nível)</p><p>Videoaula da Escola Técnica Estadual (Etec) Monte Aprazível com a descrição da</p><p>instrumentação e instruções para a realização do nivelamento topográfico utilizando-</p><p>se de um nível.</p><p>https://youtu.be/QO6SuVbWdBA</p><p>Engenharia, Topografia, Agrimensura: Leitura da Régua Graduada ou Mira – Nivelamento Geométrico</p><p>Videoaula sobre a leitura da mira durante o nivelamento topográfico.</p><p>https://youtu.be/wappYkcQjuk</p><p>Leitura</p><p>Execução de Levantamento Topográfico</p><p>Norma Brasileira (NBR) 13133, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT)</p><p>para a realização de nivelamento topográfico.</p><p>https://goo.gl/72wSB3</p><p>Exatidão dos Desníveis Obtidos com Estação Total</p><p>Artigo de Leila Meneghetti, da Faculdade de Tecnologia de São Paulo (Fatec-SP), que</p><p>resume os métodos e as análises das medições de desnível através do uso de estação</p><p>total durante o nivelamento.</p><p>https://goo.gl/tq0q6W</p><p>21</p><p>UNIDADE Altimetria</p><p>Referências</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133 – execução</p><p>de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.</p><p>BORGES, A. C. Exercícios de topografia. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.</p><p>________. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 1-2. São Paulo: Edgard</p><p>Blücher, 1992.</p><p>GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às Ciências Agrárias.</p><p>São Paulo: Nobel, 1994.</p><p>GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014.</p><p>VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION P. L. Fundamentos de topografia.</p><p>Curitiba, PR: UFPR, 2012.</p><p>22</p><p>Topografia para</p><p>Arquitetura e</p><p>Urbanismo</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof.a Dr.a Selma Aparecida Cesarin</p><p>Goniometria</p><p>• Introdução</p><p>• Bússola</p><p>• Ângulos na Vertical</p><p>• Ângulos Horizontais</p><p>• Deflexão</p><p>• Rumo e Azimute</p><p>· Nesta Unidade, o aluno terá contato com as medidas angulares</p><p>realizadas em campo, as orientações e direções das observações.</p><p>Aprenderá a se localizar e a localizar as medidas em campo por</p><p>meio dos ângulos. O estudante também deverá aprender a observar</p><p>e a calcular coordenadas importantes para a criação de plantas e</p><p>documentos topográficos.</p><p>OBJETIVO DE APRENDIZADO</p><p>Goniometria</p><p>Orientações de estudo</p><p>Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem</p><p>aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua</p><p>formação acadêmica e atuação profissional, siga</p><p>algumas recomendações básicas:</p><p>Assim:</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e</p><p>horário fixos como o seu “momento do estudo”.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.</p><p>No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e</p><p>sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também</p><p>encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua</p><p>interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.</p><p>Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,</p><p>pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato</p><p>com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.</p><p>Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Mantenha o foco!</p><p>Evite se distrair com</p><p>as redes sociais.</p><p>Determine um</p><p>horário fixo</p><p>para estudar.</p><p>Aproveite as</p><p>indicações</p><p>de Material</p><p>Complementar.</p><p>Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma</p><p>Não se esqueça</p><p>de se alimentar</p><p>e se manter</p><p>hidratado.</p><p>Aproveite as</p><p>Conserve seu</p><p>material e local de</p><p>estudos sempre</p><p>organizados.</p><p>Procure manter</p><p>contato com seus</p><p>colegas e tutores</p><p>para trocar ideias!</p><p>Isso amplia a</p><p>aprendizagem.</p><p>Seja original!</p><p>Nunca plagie</p><p>trabalhos.</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>Introdução</p><p>O estudo topográfico depende das medidas dos ângulos entre as diversas retas</p><p>que compõem o terreno e a sua localização.</p><p>A Goniometria, palavra de origem grega (gonia = ângulo e metron = medida),</p><p>é a técnica da medição de ângulos e do traçado de formas geométricas.</p><p>Em Topografia, uma das tarefas principais é a medição de ângulos nas direções</p><p>horizontal e vertical, dependendo do trabalho a ser realizado.</p><p>Bússola</p><p>Um dos métodos mais antigos e mais populares para a medição de ângulos é a</p><p>bússola, que foi descoberta pelos chineses no século I, foi trazida para o ocidente</p><p>pelos árabes e foi amplamente utilizada pelos europeus na época das grandes</p><p>navegações.</p><p>A bússola é composta por uma agulha magnetizada, que é presa em um plano</p><p>horizontal exatamente no seu centro de gravidade, para que possa girar livremente</p><p>sobre esse plano.</p><p>Devido ao campo magnético terrestre, a agulha se orienta sempre na direção</p><p>do eixo Norte-Sul, com sua ponta indicando sempre o Norte magnético, que se</p><p>aproxima do Norte geográfico.</p><p>Assim, ao nos orientarmos com uma bússola, colocando-nos de frente para a</p><p>direção que a ponta da bússola indica, estaremos olhando para o Norte, teremos o</p><p>Sul às nossas costas, o Leste à nossa direita e o Oeste à nossa esquerda.</p><p>Figura 1 – Bússola profissional</p><p>Fonte: iStock/Getty Images</p><p>8</p><p>9</p><p>A direção para onde a agulha magnetizada da bússola aponta depende do campo</p><p>magnético terrestre. O eixo Norte-Sul magnético não coincide exatamente com o</p><p>eixo Norte-Sul geográfico, ou seja, existe um polo Norte (ou Sul) magnético e um</p><p>geográfico. A diferença em graus entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é</p><p>chamada de declinação magnética.</p><p>Uma das formas mais simples para descobrirmos a declinação magnética de um</p><p>local é utilizar uma bússola e o conhecimento da direção exata do Norte verdadeiro</p><p>(ou geográfico).</p><p>Devemos alinhar o Norte da bússola ao Norte verdadeiro e observar a direção</p><p>que a agulha da bússola apontará como Norte magnético. A diferença, em graus,</p><p>entre o Norte da bússola e a ponta da agulha será a declinação magnética, que</p><p>pode ser positiva ou negativa. Chamamos de positiva a declinação magnética que</p><p>acontece quando o Norte magnético está a Leste do Norte verdadeiro e negativa</p><p>quando a agulha da bússola aponta o Norte magnético a Oeste do Norte verdadeiro.</p><p>Veja a figura a seguir:</p><p>Norte</p><p>Verdadeiro</p><p>-D</p><p>Norte</p><p>Magnético</p><p>Norte</p><p>Verdadeiro</p><p>+D</p><p>Norte</p><p>Magnético</p><p>Figura 2 – Declinação magnética negativa, para o Oeste, e positiva, para o Leste</p><p>Fonte: Adaptado de iStock/Getty Images</p><p>A declinação magnética varia com o tempo, pois o campo magnético terrestre</p><p>não é constante e apresenta algumas alterações:</p><p>• Secular: a variação secular possui o período de aproximadamente uma centena</p><p>de anos e é a maior delas, podendo chegar a até 11º;</p><p>• Diurna: a variação diurna é uma pequena variação que faz com que a agulha da</p><p>bússola oscile entre um intervalo de 8 minutos de arco durante vários períodos</p><p>do dia. Em geral, essa variação é ignorada pois está dentro dos limites de erro</p><p>de leitura instrumental da bússola;</p><p>• Anual: a variação anual possui o período de aproximadamente um ano,</p><p>também é bem pequena, cerca de 1 minuto de arco e, pelo mesmo motivo,</p><p>considerada na variação diurna, também pode ser ignorada;</p><p>9</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>• Acidental: a variação acidental é uma fonte de erros muito comum nas medidas</p><p>de declinação magnética e diz respeito às variações causadas por tempestades</p><p>ou interferências magnéticas que causam alterações acidentais e pontuais de</p><p>alguns graus nas medições.</p><p>Além da declinação magnética, são necessárias outras medidas angulares para</p><p>o estudo topográfico de campo. Os ângulos verticais são, normalmente, utilizados</p><p>para medidas de nivelamento, enquanto as observações dos ângulos horizontais</p><p>são importantes para determinar rumos e azimutes para a construção da poligonal</p><p>do terreno.</p><p>Níveis, teodolitos e estação total são exemplos de equipamentos utilizados para</p><p>a medição de distâncias e medidas angulares em Topografia.</p><p>Ângulos na Vertical</p><p>Para trabalhar com ângulos verticais, devemos definir dois pontos de referência:</p><p>o zênite e o nadir.</p><p>O zênite é o ponto localizado exatamente acima da sua cabeça, por onde passa</p><p>o eixo vertical que demarca a sua posição. Já o nadir é a ponta oposta ao zênite,</p><p>ou seja, o ponto localizado sobre o seu eixo vertical, localizado sob os seus pés.</p><p>O ângulo vertical (V) é a medida angular entre o seu plano horizontal e a linha</p><p>de visada. Esse ângulo varia entre 90º e -90º. O zênite de um observador possui</p><p>ângulo vertical igual a 90º e nadir igual a -90º.</p><p>Os ângulos verticais para linhas de visada acima do horizonte (elevações) serão</p><p>sempre positivos e para linhas de visada abaixo do horizonte (depressões) serão</p><p>sempre negativos.</p><p>Figura 3 –Ângulo vertical e zênite</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>10</p><p>11</p><p>O ângulo zenital (Z) é o ângulo formado entre o zênite e a linha de visada e pode</p><p>assumir valores entre 0º (objetos no zênite) e 180º (objetos no nadir).</p><p>Figura 4 – Distância zenital</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>Ângulos Horizontais</p><p>Os ângulos horizontais possuem esse nome por serem medidos no plano</p><p>horizontal do terreno, sem levar em conta as elevações, como se ele estivesse</p><p>totalmente projetado em um único plano.</p><p>Em Topografia, em geral, necessita-se medir o ângulo entre duas direções, dadas</p><p>pelos vértices dos terrenos. Imagine que você queira medir o ângulo α do vértice A</p><p>de um terreno, como a figura a seguir:</p><p>Figura 5 – Ângulo α do vértice A.</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>Esse ângulo pode ser medido de diversas formas. Além da escolha instrumental,</p><p>como teodolito ou a estação total, por exemplo, existe a escolha da orientação do</p><p>instrumento como pode ser visto a seguir.</p><p>Instrumento não Orientado</p><p>Nesse caso, escolhemos uma direção arbitrária para ser a origem das nossas</p><p>medições, e medimos as distâncias angulares entre a origem e o seguimento de reta</p><p>AB e a origem e o segmento de reta da origem AC e para encontrarmos o ângulo</p><p>α basta subtrair uma medida da outra.</p><p>11</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>Figura 6 – Medição de ângulos</p><p>com o uso do instrumento não orientado</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>Instrumento Orientado para o Norte</p><p>Quando o instrumento está orientado para o Norte, o procedimento é idêntico</p><p>ao anterior, com a diferença que a origem da nossa medição deve coincidir com o</p><p>Norte. Nesse caso, não chamaremos mais os ângulos de L1 e L2, mas de azimute,</p><p>pois esse, por definição, possui sempre origem no Norte.</p><p>Figura 7 – Medição de ângulos com o instrumento orientado para o Norte</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>Instrumento Apontando para a Ré</p><p>Nesse caso, tomamos como origem a direção do primeiro segmento de reta e</p><p>medimos no sentido horário. Dessa forma, estaremos obtendo o ângulo externo e</p><p>basta realizar 360º – Ângulo para encontrar a medida do ângulo interno.</p><p>Figura 8 – Medida do ângulo externo com o instrumento apontando para a ré</p><p>Figura: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>12</p><p>13</p><p>Instrumento Apontando para a Vante</p><p>Esta orientação é semelhante à orientação anterior, mas tomaremos como</p><p>origem a vante. Dessa forma, quando realizarmos a medida angular no sentido</p><p>horário, estaremos medindo o ângulo interno.</p><p>Figura 9 – Medida do ângulo interno com o instrumento apontado para a vante</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>Defl exão</p><p>Para o uso dessa técnica, devemos ter a origem das medições no prolongamento</p><p>da ré, ou seja, a ré deve coincidir com a leitura igual a 180º. Na deflexão, o ângulo</p><p>deve estar sempre entre 0º e 180º e deve ser negativo quando medido no sentido</p><p>anti-horário e positivo no sentido horário.</p><p>Veja a figura a seguir:</p><p>Figura 10 – Medida da defl exão (nesse caso, positiva)</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>Rumo e Azimute</p><p>O azimute é o ângulo formado entre uma determinada direção e o Norte</p><p>(geográfico ou magnético). É medido a partir do Norte no sentido horário e varia</p><p>de 0º a 360º.</p><p>13</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>O exemplo a seguir mostra o azimute de quatro pontos (P1, P2, P3 e P4):</p><p>Figura 11 – Exemplos de azimutes em quatro direções diferentes</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>O Rumo é a menor distância entre a direção de visada e o eixo Norte-Sul,</p><p>contando sempre a partir do Norte ou Sul e varia entre 0º e 90º. É sempre dado</p><p>juntamente com uma direção dependendo do quadrante em que se localiza a linha</p><p>de visada: Nordeste (NE) para o primeiro quadrante, Sudeste (SE) para o segun-</p><p>do quadrante, Sudoeste (SW) para o terceiro quadrante e Noroeste (NW) para o</p><p>quarto quadrante.</p><p>Veja os exemplos a seguir:</p><p>Figura 12 – Exemplos de rumos em quatro direções diferentes</p><p>Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010</p><p>14</p><p>15</p><p>Transformação de Rumos e Azimutes</p><p>Sempre que obtemos o Rumo, podemos localizá-lo em um Gráfico e convertê-lo</p><p>em azimute e vice-versa.</p><p>Exemplo</p><p>Imagine que você realizou uma observação com azimute igual à 140º 25’ 36’’</p><p>qual seria o rumo?</p><p>Para realizar a conversão, é interessante desenhar a linha de visada em um gráfico:</p><p>140º 25’ 36”</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 13</p><p>Nesse caso, o Rumo será a distância entre a linha de visada e o Sul, pois a</p><p>menor distância angular entre a linha de visada e o eixo Norte-Sul se encontra para</p><p>baixo. Dessa forma, o Rumo será: 180° - 140º 25’ 36” = 39º34’24” na direção</p><p>SE, ou seja 39º34’24” SE.</p><p>Exemplo</p><p>Considere que um topógrafo realizou a medida de um rumo e encontrou 52º</p><p>45’20” NW. Qual é o azimute desta linha de visada?</p><p>Para resolver esse exercício, vamos novamente desenhar o Gráfico da linha de</p><p>visada sobre a rosa dos ventos.</p><p>15</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>52º45’20”</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 14</p><p>Então, para encontrar o azimute, devemos contar a partir do Norte, no sentido</p><p>horário, até encontrarmos a linha de visada. Para descobrirmos qual é esse ângulo,</p><p>devemos fazer azimute = 360º - 52º45’20” = 307º14’40”.</p><p>Azimute à Direita e Azimute à Esquerda</p><p>Quando falamos de azimute, a definição padrão é a de realizar a medida da</p><p>distância angular entre a direção Norte e a linha de visada, contando a partir do</p><p>Norte em sentido horário (azimute à direita).</p><p>Porém, em alguns casos pode ser conveniente realizar esta medida no sentido an-</p><p>ti-horário (sempre partindo do Norte) e neste caso chamamos o azimute à esquerda.</p><p>Azimute à direita: 61º22’36”</p><p>Azimute à esquerda: 298º37’24”</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 15</p><p>16</p><p>17</p><p>A soma do azimute à direita com o azimute à esquerda será sempre igual a 360º.</p><p>Todas essas relações entre rumos e azimutes podem ser tomadas para visadas</p><p>vante ou ré. Observe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo</p><p>Um topógrafo realizou a seguinte medida:</p><p>Vante</p><p>35º12’54</p><p>Ré</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 16</p><p>A ré será sempre um prolongamento da visada vante na mesma direção e sentido</p><p>oposto, como se o observador virasse de costas para a visada vante.</p><p>O mesmo raciocínio se aplica quando temos observações realizadas para a</p><p>visada ré e queremos as distâncias angulares para a visada vante.</p><p>Nesse caso, o azimute à direita vante foi medido e o valor encontrado foi de</p><p>35º12’54”. Então, o azimute à esquerda vante será 360º-35º12’54” = 324º47’06”</p><p>e o Rumo vante será 35º 12’ 54” NE, pois a visada vante se encontra mais próxima</p><p>ao Norte que ao Sul.</p><p>Para a visada ré, podemos notar que o ângulo formado pela visada ré e o eixo</p><p>Norte-Sul é o mesmo medido pelo topógrafo.</p><p>17</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>Vante</p><p>35º12’54</p><p>35º12’54</p><p>Ré</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 17</p><p>Então, teremos azimute à direita para a visada ré = 180º+35º12’54” =</p><p>215º12’54”, lembrando que o azimute é sempre contado com a origem no Norte.</p><p>Azimute à esquerda para a visada ré = 180º - 35º12’54” = 144º47’06”, rumo ré</p><p>= 35º12’54” SW.</p><p>Nesse ponto, é conveniente fazermos uma Tabela:</p><p>Vante Ré</p><p>Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo</p><p>35º12’54” 324º47’06” 35º12’54” NE 215º12’54” 144º47’06” 35º12’54” SW</p><p>Você também deve ser capaz de realizar os cálculos de rumos e azimutes com os</p><p>valores dados em uma Tabela.</p><p>Exemplo</p><p>Complete a Tabela a seguir, dado o Azimute à esquerda Ré.</p><p>Vante Ré</p><p>Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo</p><p>22º51’09”</p><p>18</p><p>19</p><p>Baseados na informação da Tabela, podemos fazer o Gráfico da visada ré:</p><p>Ré</p><p>22º51’09”</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 18</p><p>E assim completamos a Tabela com os outros valores da visada ré. Azimute à</p><p>direita = 360º-22º51’09” = 337º08’51” e o rumo que é igual a 22º51’09” NW.</p><p>Para descobrirmos os outros valores para a visada vante, devemos colocar a</p><p>visada vante no Gráfico, lembrando de que esta será um prolongamento da visada</p><p>ré no sentido oposto:</p><p>Ré</p><p>Vante</p><p>N</p><p>S</p><p>W E</p><p>Figura 19</p><p>19</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>A distância angular entre a visada vante e o eixo Norte Sul é a mesma distância</p><p>entre a visada ré e o eixo Norte Sul. Portanto, o seu Rumo será 22º51’09” SE.</p><p>O azimute à direita pode ser calculado como 180º-22º51’09” = 157º08’51” e</p><p>o azimute à esquerda será 180º+22º51’09” = 202º51’09”.</p><p>Dessa forma, podemos completar a Tabela:</p><p>Vante Ré</p><p>Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo</p><p>157º08’51” 202º51’09” 22º51’09” SE 337º08’51” 22º51’09” 22º51’09” NW</p><p>20</p><p>21</p><p>Material Complementar</p><p>Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:</p><p>Vídeos</p><p>Cálculo de Rumos e Azimutes</p><p>Engenharia Topografia Agrimensura – Cálculo de rumos e azimutes. Videoaula</p><p>sobre o cálculo de rumos e azimutes.</p><p>https://youtu.be/AWe5DdTCE8s</p><p>Azimutes e Rumos Ré e Vante</p><p>Engenharia Topografia Agrimensura – Azimutes e rumos ré e vante. Videoaula</p><p>sobre o cálculo de rumos e azimutes nas orientações vante e ré.</p><p>https://youtu.be/39u7pkrRQfM</p><p>Leitura</p><p>Texto Ilustrado para Esclarecer a Diferença entre os Polos Magnéticos e os Polos Geográficos</p><p>Norte Geográfico e Norte Magnético. MOLINA, E. Revista FAPESP, São Paulo. Ed.</p><p>197, jul. 2012. Texto ilustrado para esclarecer a diferença entre os polos magnéticos</p><p>e os polos geográficos.</p><p>https://goo.gl/QKTcQH</p><p>Rumos e Azimutes</p><p>OLIVEIRA, W. A. Portal Agrimensura, nov. 2015. Resumo de Rumos e azimutes,</p><p>apresentação de técnicas para o cálculo.</p><p>https://goo.gl/slvLgR</p><p>21</p><p>UNIDADE Goniometria</p><p>Referências</p><p>BORGES, A. C. Topografia Aplicada à Engenharia</p>