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<p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: carga elétrica</p><p>frente: Física iii</p><p>001.061-127582/18</p><p>AULAS 1 A 3</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>CARGA ELÉTRICA</p><p>Introdução</p><p>Eletrostática é o estudo dos fenômenos de natureza elétrica</p><p>quando as cargas estão em repouso em relação a um referencial</p><p>inercial.</p><p>Carga Elétrica</p><p>Carga elétrica é uma propriedade associada a algumas</p><p>partículas elementares, por exemplo, o elétron, o próton (no âmbito</p><p>da Física Clássica1).</p><p>Um dos aspectos importantes que devemos deixar bem claro é</p><p>que a carga elétrica não aparece na natureza em qualquer quantidade,</p><p>mas sim como um múltiplo de uma unidade fundamental, a carga</p><p>elementar.</p><p>Apesar de ter existido vários experimentos para tentar calcular</p><p>tal carga, o mais clássico foi do físico americano Robert A. Millikan</p><p>(1869-1953): experimento da gota de óleo. Este experimento, que</p><p>discutiremos nos próximos capítulos, dá-nos a informação de que a</p><p>carga elementar possui o valor de:</p><p>e = 1,6021⋅10–19 C</p><p>Sendo assim, a carga é quantizada!</p><p>Um segundo aspecto importante é que a carga elementar</p><p>está sempre atrelada a uma massa. A razão carga massa é também</p><p>determinada através de alguns experimentos (também serão vistos</p><p>adiante). Portanto, se calcularmos a carga, a massa poderá ser</p><p>determinada.</p><p>Partícula Massa Carga</p><p>Elétron 9,1091⋅10–31 kg –e</p><p>Próton 1,6725⋅10–27 kg +e</p><p>Nêutron 1,6748⋅10–27 kg 0</p><p>De certo modo, a quantização da carga é interessante, mas</p><p>em algumas situações é melhor não olharmos tão a fundo para isso.</p><p>É viável fazer vista grossa para algumas situações e para resolver</p><p>algumas questões (Maxwell não sabia da existência de cargas</p><p>elementares. Ele devia imaginar cargas como uma geleia).</p><p>1 Os quarks têm carga elétrica –1/3 ou 2/3, em que a unidade é a carga elementar.</p><p>Conservação da carga</p><p>Percebe-se na natureza que as cargas não se reproduzem</p><p>nem somem. Elas podem mudar de endereço ou de roupa, mas a</p><p>soma total sempre é a mesma. O número total de cargas no universo</p><p>é constante. As cargas podem aparecer de duas formas: positivas ou</p><p>negativas (como foi visto na tabela anterior). Essa nomenclatura surge</p><p>do fato de uma anular o efeito da outra. Se você tem uma carga +q e</p><p>uma carga –q no mesmo lugar, eletricamente é como se não houvesse</p><p>carga ali. Portanto, uma carga positiva pode aniquilar uma negativa,</p><p>mas não pode se suicidar! Não pode se aniquilar sozinha.</p><p>Se o sistema está isolado eletricamente (não deixa trocar cargas</p><p>com o meio externo), a carga local deve ser conservada.</p><p>Tomemos o seguinte exemplo:</p><p>O sistema a seguir contém N corpos carregados com suas</p><p>respectivas cargas. A carga do i-ésimo corpo é Q</p><p>i</p><p>.</p><p>Q</p><p>1</p><p>Q</p><p>2</p><p>Q</p><p>3</p><p>Q</p><p>N – 1</p><p>Q</p><p>N</p><p>Q</p><p>4</p><p>N</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>N – 1</p><p>Acontece alguma interação entre eles e o resultado é uma</p><p>nova configuração de cargas. Cada corpo adquire uma nova carga</p><p>Q’</p><p>i</p><p>(carga final do i-ésimo corpo).</p><p>Q’</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4 N</p><p>N – 1</p><p>Q’</p><p>2</p><p>Q’</p><p>3</p><p>Q’</p><p>4</p><p>Q’</p><p>N – 1</p><p>Q’</p><p>N</p><p>Devido à conservação da carga local (sistema isolado), podemos</p><p>escrever que:</p><p>Q Q Qi</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>i</p><p>N</p><p>tot</p><p>= =</p><p>∑ ∑= =</p><p>1 1</p><p>’</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.061-127582/18</p><p>A priori, um corpo eletricamente neutro poderia ficar eletrizado</p><p>ganhando ou perdendo prótons ou elétrons.</p><p>O que acontece, porém, é que os prótons são partículas bem</p><p>mais pesadas (sua massa é cerca de 1836 vezes maior que a dos</p><p>elétrons) e que estão fortemente ligadas ao núcleo, através de forças</p><p>muito intensas e de curto alcance que ocorrem entre próton e próton,</p><p>próton e nêutron, ou nêutron e nêutron. Assim, na maioria das vezes,</p><p>a troca de carga é dada pela passagem de elétrons.</p><p>Unidades</p><p>Iremos trabalhar com o Sistema Internacional de medidas</p><p>(SI). A unidade de carga elétrica é o coulomb (C). Alguns livros</p><p>e alguns países ainda usam a unidade do sistema Gaussicano.</p><p>A unidade de carga em tal sistema é o esu (statcoulomb). O sistema</p><p>Gaussiano se baseia na seguinte convenção:</p><p>∈</p><p>0</p><p>= 1/4π</p><p>Onde ∈</p><p>0</p><p>é a permissividade elétrica do vácuo (estudaremos</p><p>isso adiante). Assim, pode-se mostrar que o fator de conversão de</p><p>coulomb para statcoulomb é de 3⋅109.</p><p>É comum utilizar outras ordens de grandeza para expressar</p><p>cargas, chamadas de submúltiplos de carga:</p><p>SUBMÚLTIPLO SÍMBOLO VALOR</p><p>miliCoulomb</p><p>microCoulomb</p><p>nanoCoulomb</p><p>picoCoulomb</p><p>mC</p><p>µC</p><p>nC</p><p>pC</p><p>10–3 C</p><p>10–6 C</p><p>10–9 C</p><p>10–12 C</p><p>Princípio de atração e repulsão</p><p>Um dos motivos da gravitação, que é uma força muito menor</p><p>do que a força elétrica, ter sido estudado de maneira mais satisfatória</p><p>muito antes da eletricidade é que a força elétrica pode atuar de duas</p><p>formas: atrativa ou repulsiva. Assim, muitas vezes esse efeito era</p><p>anulado em geral e ninguém observava com facilidade. Já a força</p><p>gravitacional é sempre atrativa e seus efeitos nunca se cancelam.</p><p>É percebido na natureza que cargas elétricas (em repouso) de</p><p>mesmos sinais se repelem e de sinais opostos se atraem.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>––</p><p>–</p><p>Repulsão</p><p>Repulsão</p><p>Atração</p><p>Materiais condutores e isolantes</p><p>Condutores</p><p>São meios em que as cargas elétricas se deslocam com</p><p>facilidade, permitindo facilmente a passagem de corrente elétrica.</p><p>Isto se deve à presença de portadores de carga com liberdade de</p><p>movimento. Dentre vários exemplos, destacamos os metais, a grafite,</p><p>os gases ionizados, as soluções iônicas eletrolíticas (como as soluções</p><p>aquosas de ácidos, bases e sais), o plasma, o corpo humano e a Terra.</p><p>Nos gases ionizados e nas soluções eletrolíticas, os portadores</p><p>de carga são íons, e a eficiência na condução de corrente elétrica</p><p>depende do número de portadores. Nos metais, verifica-se que são</p><p>as cargas negativas que se movem. Isto pode ser verificado a partir da</p><p>configuração eletrônica destes elementos. Quase todos eles têm um ou</p><p>dois elétrons na última camada que são ligados fracamente ao átomo.</p><p>Imagine que vários átomos de Sódio se unam formando um</p><p>cristal. Os elétrons se comportam como uma nuvem livre sobre o cristal.</p><p>Veja a figura seguinte:</p><p>– – – –</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>– –</p><p>–</p><p>– – – – –</p><p>– –</p><p>–</p><p>– – –</p><p>–</p><p>– –</p><p>–</p><p>–</p><p>íons Na+</p><p>elétrons</p><p>Observação:</p><p>A Terra é um condutor especial, que devido às suas dimensões</p><p>tende a descarregar todos os corpos condutores que à ela forem</p><p>ligados.</p><p>Se um corpo está carregado negativamente, ao ligá-lo à Terra,</p><p>as cargas negativas excedentes escoam e deixam o corpo Neutro. O</p><p>equilíbrio eletrostático ocorre quando os corpos adquirem o mesmo</p><p>potencial2.</p><p>–</p><p>––––––––––</p><p>––––––</p><p>–––</p><p>––</p><p>––– ––––––––––––––</p><p>––</p><p>–––––</p><p>–– –</p><p>Se um condutor eletrizado negativamente é ligado à Terra,</p><p>os seus elétrons excedentes escoam para a Terra, descarregando-o.</p><p>O mesmo ocorre quando um corpo está carregado</p><p>positivamente. Ao ligá-lo à Terra, elétrons migram para o corpo até</p><p>que o descarregue.</p><p>–</p><p>++++++</p><p>+</p><p>++</p><p>+</p><p>++ + ++++ + + + + + +</p><p>+</p><p>–+ + + + + + + + +</p><p>+</p><p>++++++</p><p>+</p><p>++</p><p>++</p><p>++</p><p>Se um condutor eletrizado positivamente é ligado à Terra,</p><p>elétrons livres escoam da Terra, descarregando-o.</p><p>Atente sempre ao símbolo de aterramento. Pode ser um ponto</p><p>crucial para resolver um problema.</p><p>2 Trataremos de potencial mais à frente.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.061-127582/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Isolantes</p><p>São meios em que, em condições usuais, não há passagem</p><p>de corrente elétrica. Evidentemente, isto se deve à ausência de</p><p>liberdade de movimento dos portadores de carga. São exemplos de</p><p>isolantes o vidro, a ebonite, os plásticos usuais, a água destilada, os</p><p>óleos minerais. Apenas em condições especiais, sujeitos à ação de</p><p>intensos campos elétricos, por exemplo, um dielétrico pode conduzir</p><p>corrente elétrica.</p><p>Semicondutores</p><p>Semicondutores são sólidos geralmente cristalinos de</p><p>condutividade elétrica intermediária entre condutores e isolantes. Os</p><p>semicondutores são, quando puros e cristalinos, a temperaturas muito</p><p>baixas, excelentes isolantes.</p><p>Aumentando a temperatura e acrescentando uma impureza</p><p>(dopando o material), consegue-se a condução de cargas. Isto,</p><p>evidentemente, só se</p><p>do sistema. Portanto, é possível concluir que</p><p>todas modificações que o sistema original sofre é em</p><p>função da carga induzida.</p><p>Resposta: D</p><p>08. i. Após a adição da carga +Q, teremos o seguinte sistema:</p><p>ii. Como as placas estão aterradas, implica dizer que, não</p><p>importa a mudança que ocorra no sistema (como a</p><p>adição da carga +Q), a potencial em cada placa, em</p><p>qualquer ponto delas, é zero volts.</p><p>iii. Supondo placas infinitas (placas finitas seriam mais difícil</p><p>realizar os cálculos e fugiria do nível da prova do ITA/IME),</p><p>implica que todas as linhas de campo que saem da carga</p><p>+Q chegam nas placas, logo Qe + Qd = – Q. Como todas</p><p>as linhas de +Q chegam nas placas, podemos substituir a</p><p>carga pontual +Q por uma placa infinita com carga +Q,</p><p>obtendo o seguinte sistema:</p><p>Bizu: Essa “sacada” de substituir uma carga pontual por outro</p><p>corpo, como uma placa infinita, pode ser usado apenas nos</p><p>casos em que todas as linhas de campo elétrico dessa carga</p><p>pontual chegam no objeto desejado, como nesse caso acima</p><p>em todas as linhas chegam nas placas paralelas. Ao substituir</p><p>a carga pontual, é preferível que seja substituído por um</p><p>corpo simétrico que recebe as linhas de campo.</p><p>iv. Observe que o novo sistema é a associação em paralelo</p><p>de dois capacitores, logo:</p><p>v. Para capacitores, temos que:</p><p>1 1 1 0 1 0</p><p>2 2 2 0 2 0</p><p>Qe V .C Q e V ( A/a) V Qe a/ A</p><p>Qd V .C Qd V ( A/d-a) V Q d(d a/ A</p><p>  = =  =    </p><p>→ →  </p><p>= =  = −     </p><p>vi. Observe que os capacitores C1 e C2 estão na mesma</p><p>diferença de potencial, logo V1 = V2.</p><p>vii.</p><p>1 2</p><p>0</p><p>V</p><p>Q</p><p>e V</p><p>e a</p><p>A</p><p></p><p>→</p><p> 0</p><p>Qd(d a)</p><p>A</p><p>−</p><p>=</p><p></p><p>d a</p><p>Qe Qd</p><p>a</p><p> −</p><p>→ =   </p><p>viii. Do passo iii):</p><p>d a a a</p><p>e d Q Qd+ Qd= Q Qd Q</p><p>a a</p><p>Q Q</p><p>d</p><p>     −</p><p>= − → − → = −          </p><p>+</p><p>Resposta: A</p><p>Macete de prova:</p><p>Para não perder tempo calculando em uma prova objetiva,</p><p>você poderia testar o caso particular em que a = d/2, pois,</p><p>nesse caso, a carga pontual +Q estaria na simetria do</p><p>sistema e, por essa razão, Qe = Qd = –Q/2. Testando</p><p>a = d/2, é possível perceber que os itens a) e b) coincidem</p><p>com –Q/2. Para saber qual marcar, podemos fazer outro</p><p>teste, a → d, pois a carga Q estará tão perto da placa direita</p><p>que a carga induzida nela será bastante próxima de –Q, pois</p><p>a maioria das linhas de campo irá para a placa direita.</p><p>Portanto, dessa maneira, restará apenas o item A) para</p><p>marcar. Poderia ser feito apenas o teste a → d, mas, na</p><p>maioria das questões, o teste da simetria (a = d/2) salva. Por</p><p>isso coloquei os dois testes.</p><p>09. i.</p><p>ii. Supondo que uma carga Q realize trabalho no percurso</p><p>ABCDA, temos que  Total = 0</p><p>iii.  Total = 0 porque a carga Q retorna para a sua origem.</p><p>Iv.  Total =  AB +  BC +  CD +  DA = 0 → EAB  q   cos 1 +</p><p>EBC  q  ’ cos 2 + ECD  q   cos 3 + EDA  q  ’ cos 4 = 0</p><p>→ E  q = Força elétrica → cos 1 = 1 (1 = 0º),</p><p>cos 2 = 0 (2 = 90º), cos 3 = – 1 (3 = 180º),</p><p>cos 4 = 0 (4 = 0º)</p><p>→ EAB   1 + EBC  ’   + ECD    (– 1) + EDA  ’  (0) →</p><p>→ EAB   – ECD   = 0 → EAB = ECD</p><p>v. EAB = ECD, portanto está provado que é impossível</p><p>produzir o campo proposto pela questão. Se fosse</p><p>possível, como a densidade de linha é maior em CD do</p><p>que em AB e sendo o campo elétrico proporcional à</p><p>densidade de linhas, teríamos que ter ECD> EAB.</p><p>10.</p><p>i. As cargas na nuvem irão induzir cargas no lago. Essas</p><p>cargas irão gerar um campo elétrico que irá gerar uma</p><p>força elétrica que causará uma elevação de altura h da</p><p>superfície do lago.</p><p>ii.</p><p>iii. Supondo que o lago e as nuvens sejam horizontais</p><p>(Enunciado da questão), podemos tratar elas como</p><p>placas planas carregadas.</p><p>iv. O campo elétrico que uma placa faz na outra é (/2E),</p><p>sendo  a densidade elétrica superficial.</p><p>v. No equilíbrio eletrostático, em relação ao lago, temos</p><p>Felétrica = pressão  área.</p><p>vi. Felétrica = pressão  área →</p><p>q</p><p>gh 2 gh</p><p>2 Área</p><p></p><p> </p><p>→  =  →  =    </p><p>Resposta: 2 gh = </p><p>campo elétrico</p><p>que o lago sente</p><p>q gh Área</p><p>2</p><p></p><p> =   →</p><p></p><p>11. i. No enunciado da questão, a figura apresentada está errada.</p><p>A figura correta é a seguinte:</p><p>Obs.: Esse ““ não faz parte da figura do enunciado da</p><p>questão. Eu coloquei ele aí para aproveitar o desenho.</p><p>ii. De acordo com o enunciado, temos E = axî + ayî, ou</p><p>seja, a equação vetorial do campo elétrico para qualquer</p><p>ponto x e y.</p><p>iii. Para um ponto p qualquer, temos</p><p>dy</p><p>tg (I)</p><p>dx</p><p> =</p><p>iv. De acordo com a equação apresentada no passo ii, para</p><p>um ponto p qualquer, temos</p><p>ay</p><p>tg (ii)</p><p>ax</p><p> =</p><p>v. Igualando as expressões (I) e (II):</p><p>dy ay</p><p>tg</p><p>dx ax</p><p> = =</p><p>00</p><p>y x</p><p>y x</p><p>0 0</p><p>0</p><p>0 0 0</p><p>constante</p><p>dy ay dy y dy dx</p><p>dx ax dx x y x</p><p>dy dx y x</p><p>n n</p><p>y x y x</p><p>y x y</p><p>y x</p><p>y x x</p><p>= → = → =</p><p>   </p><p>→ = = = →     </p><p> </p><p>→ = → =   </p><p> </p><p>Resposta: E</p><p>12. i. Para um dQ da carga da esfera, temos:</p><p>ii. Decompondo o vetor área dA nos eixos x e y, por causa</p><p>da simetria da esfera, a soma de todos os dAsen (parte</p><p>de dA no eixo y com o ““ variando) é zero.</p><p>iii.</p><p>2 2</p><p>kdQ dQ k</p><p>E=E’cos E = cos = E dAcos</p><p>dAR R</p><p></p><p>→ →  → =  </p><p>iv. Observe que dAcos é a decomposição de dA no eixo X.</p><p>dAcos é a soma de todas essas decomposições. Se</p><p>você observar a figura do passo i), perceberá que</p><p>2dAcos r , =  o que é conhecido como área projetada.</p><p>v. 2</p><p>2 2</p><p>0</p><p>k k 1</p><p>E dAcos E r k</p><p>4R R</p><p> </p><p>=  → =   → = →</p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>1 r</p><p>E r E</p><p>4 4R R</p><p> </p><p>→ =    → = </p><p> </p><p>13. i. O elétron irá induzir carga no tubo com área de seção</p><p>transversal variando. A carga induzida irá gerar campo</p><p>elétrico e, consequentemente, força elétrica.</p><p>ii. Observe que a área em que o ponto A está é maior que</p><p>a área em que o ponto B está, logo a concentração de</p><p>linhas de campo elétrico é maior em B. A intensidade</p><p>do campo elétrico é proporcional à concentração de</p><p>linhas, portanto a força elétrica em B é maior do que</p><p>em A, o que implica que a velocidade em B é maior do</p><p>que em A.</p><p>14. i.</p><p>(Equação de reta passando</p><p>pela origem)</p><p>ii. De acordo com o enunciado:</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>EN E cos Campo elétrico perpendicular</p><p>E N E cos(2 ) à divisão de meios.</p><p> = </p><p></p><p>= </p><p>iii. Substituindo os valores do passo ii) em 1E1N =2E2N:</p><p>1E1N = 2E2N → 1 E1 cos() = 2E2 cos(2) → 2 = 51</p><p>(Enunciado da questão)</p><p>→ 1 E1 cos() = 51E2 cos(2) →</p><p>1</p><p>2</p><p>E cos</p><p>E</p><p>5cos(2 )</p><p></p><p></p><p>=</p><p>Resposta: C</p><p>15.</p><p>i. Calcular o campo elétrico de um cubo é bastante</p><p>complicado e está fora do nível ITA/IME, portanto não é</p><p>a solução ideal para a questão.</p><p>ii. Observe que a questão dá no enunciado que a carga do</p><p>cubo é uniforme, a densidade volumétrica de carga  e a</p><p>intensidade do campo elétrico. Portanto, a proposta da</p><p>questão é que você relacione esses dados para encontrar</p><p>o que foi pedido.</p><p>iii. Observe que</p><p>Q</p><p>Q V</p><p>V</p><p> = → =  ⎯⎯→ para um cubo V = 3 →</p><p>Q = 3 (I)</p><p>iv. Por análise dimensional, temos que</p><p>2</p><p>Q</p><p>E (II)</p><p>Quer dizer “proporcional”</p><p>v. Substituindo (I) em (II), temos que</p><p>3</p><p>2</p><p>E E</p><p></p><p> → </p><p>vi.</p><p>Para o cubo de lado L: E (III)</p><p>Para o cubo de lado (L/2): E’ (L/2) (IV)</p><p> </p><p></p><p></p><p>vii. Dividindo (IV) por (III), obtemos E’ = E/2</p><p>viii. Por superposição de campos elétricos, temos que o</p><p>campo resultante é:</p><p>Eresultante = E – E’</p><p>Campo que é produzido pela parte</p><p>que foi removida.</p><p>Campo que é produzido pelo cubo completo.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Marcos Haroldo</p><p>DIG.: Rejane – 15/02/2021 – REV.: TEREZA</p><p>resultante resultante</p><p>E E (Campo produzido pelo</p><p>E = E E =</p><p>o que sobrou do cubo)2 2</p><p>− →</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: Fluxo Elétrico</p><p>frente: Física iii</p><p>003.576 - 129701/18</p><p>AULAS 14 A 16</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Fluxo Elétrico</p><p>Imaginemos uma superfície S qualquer, “imersa” num campo</p><p>elétrico</p><p>→</p><p>E, e, nessa superfície tomemos um elemento ∆s bastante</p><p>pequeno, de tal sorte, que o campo elétrico ao longo deste elemento</p><p>possa ser considerado constante. Seja</p><p>→</p><p>n o versor perpendicular a este</p><p>elemento da superfície.</p><p>s</p><p>n</p><p>E</p><p>�</p><p>�</p><p>E</p><p>�</p><p>s∆</p><p>θ</p><p>Superfície “imersa” num campo elétrico E</p><p></p><p>.</p><p>O fluxo elétrico através do elemento de superfície ∆s é definido</p><p>por:</p><p>∆ ∆E E n s</p><p> </p><p>∫ = ⋅</p><p>Onde E n E</p><p>  </p><p>⋅ = cos θ é o produto escalar entre</p><p>→</p><p>E e</p><p>→</p><p>n, ou seja, a</p><p>componente de</p><p>→</p><p>E normal ao elemento de superfície ∆s.</p><p>A partir dessa definição, verificamos que o fluxo é proporcional</p><p>ao número de linhas de força que atravessam o elemento da superfície.</p><p>Se quisermos saber o fluxo elétrico total através da superfície</p><p>∆</p><p>→</p><p>S, basta realizarmos o somatório de todos os fluxos ∆</p><p>E</p><p>:</p><p>Φ ∆Φ ∆E E E n S= = ⋅∑ ∑</p><p> </p><p>Fazendo ∆s → 0 o somatório se transforma na integral de</p><p>superfície do vetor campo elétrico ao longo de S, representada por:</p><p>ΦE</p><p>s</p><p>E ndS= ⋅∫</p><p> </p><p>No caso particular em que o campo é uniforme e a superfície</p><p>é plana:</p><p>s</p><p>N</p><p>E</p><p>�</p><p>�</p><p>0</p><p>Fluxo de um campo elétrico uniforme através de uma superfície plana.</p><p>ΦE E ndS= ⋅∫</p><p> </p><p>→</p><p>E e</p><p>→</p><p>n são constantes, e o seu produto escalar pode deixar a</p><p>integral.</p><p>ΦE E n dS= ⋅ ∫</p><p> </p><p>Mas E n E e dS S</p><p> </p><p>⋅ = =∫cos θ é a área total da superfície. Daí:</p><p>φ</p><p>E</p><p>= E cosθ</p><p>O fluxo elétrico através de uma superfície fechada S é</p><p>representado com a notação abaixo:</p><p>φE E ndS= ⋅∫</p><p> </p><p></p><p>Este fluxo é positivo, quando as linhas da força saem da</p><p>superfície e é negativo quando as linhas de força entram na superfície.</p><p>Evidentemente, quando a quantidade de linhas de força que entram</p><p>é igual à quantidade de linhas de força que saem, o fluxo elétrico</p><p>total através da superfície é nulo.</p><p>s</p><p>s</p><p>s</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.576 - 129701/18</p><p>Fluxo elétrico através de uma superfície fechada S, em três casos:</p><p>as linhas de força saem da superfície, e o fluxo é positivo (a); as linhas de</p><p>força entram na superfície e o fluxo é negativo (b); as linhas de força</p><p>apenas atravessam a superfície (entram e saem) e o fluxo é nulo (c).</p><p>Lei de Gauss</p><p>A Lei de Gauss estabelece essa relação, afirmando que,</p><p>“o fluxo elétrico total, através de uma superfície fechada, é</p><p>proporcional à carga líquida contida em seu interior”. Esta superfície</p><p>fechada (real ou imaginária) é dita superfície gaussiana e problemas</p><p>de alta simetria poderão ser facilmente resolvidos, escolhendo-se uma</p><p>superfície gaussiana adequada.</p><p>Em nenhum momento, o enunciado anterior da Lei de Gauss</p><p>nos diz qual é a constante de proporcionalidade, mas poderemos</p><p>descobri-la facilmente com um caso particular de simetria esférica:</p><p>r</p><p>e</p><p>r</p><p>R</p><p>q</p><p>Superfície</p><p>imaginária</p><p>+</p><p>Tomemos o campo a uma distância R de uma carga puntiforme.</p><p>Para calcular o fluxo, basta fazer:</p><p>φ π</p><p>π</p><p>πE S S</p><p>E da E da E R</p><p>q</p><p>R</p><p>R= ⋅ = = =</p><p>∈∫ ∫</p><p> </p><p>  4</p><p>1</p><p>4</p><p>42</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>φE</p><p>encq=</p><p>∈0</p><p>O resultado é válido para qualquer caso, porém a demonstração</p><p>exige uma matemática um pouco trabalhosa. Entretanto, guardemos</p><p>tal resultado para facilitar nossas vidas daqui para frente. Tentaremos,</p><p>nesse momento, trabalhar em alguns exemplos a fim de aplicação</p><p>deste resultado.</p><p>Tais exemplos serão os exercícios que serão resolvidos nas</p><p>aulas do FB ONLINE.</p><p>Exercícios</p><p>01. Cortando-se uma casca esférica de raio R ao meio, obtemos uma</p><p>casca hemisférica. A figura mostra uma dessas cascas, imersas</p><p>num campo elétrico uniforme de intensidade E normal à sua seção</p><p>meridiana. Determine o fluxo do campo elétrico E através dessa</p><p>superfície hemisférica.</p><p>→</p><p>EE</p><p>→</p><p>E</p><p>02. Um fio de densidade linear</p><p>fio</p><p>L</p><p>+ λ</p><p>λ atravessa um cubo de aresta</p><p>L. Determine o fluxo através</p><p>do cubo.</p><p>03. Na questão anterior, caso trocassémos o cubo por uma esfera de</p><p>raio R, quanto seria o fluxo através da esfera?</p><p>Obs.: Considere que a direção do fio coincide com os diâmetros</p><p>da esfera.</p><p>04. Na figura está esquematizado um cubo de aresta d, com um dos</p><p>seus vértices na origem de um sistema de coordenadas cartesianas</p><p>x, y e z. As arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados.</p><p>Um fio retilíneo r, paralelo ao eixo z, passa pelo centro geométrico</p><p>do cubo e está eletrizado com densidade linear de carga λ. O plano</p><p>xz está carregado com densidade superficial de carga σ. Supondo</p><p>que o meio seja o vácuo e sabendo que o campo eletrostático</p><p>gerado por um plano uniformemente eletrizado é dado por</p><p>E =</p><p>∈</p><p>σ</p><p>2 0</p><p>, o fluxo do vetor campo eletrostático resultante na face</p><p>ABCD, é:</p><p>A) φ</p><p>σ</p><p>ε</p><p>λ</p><p>ε</p><p>= +</p><p>d d2</p><p>0 02 4</p><p>B) φ</p><p>σ</p><p>ε</p><p>λ</p><p>ε</p><p>= +</p><p>d d2</p><p>0 04</p><p>C) φ</p><p>σ</p><p>ε</p><p>=</p><p>d2</p><p>04</p><p>D) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>d2</p><p>0</p><p>E) φ</p><p>σ</p><p>ε</p><p>λ</p><p>πε</p><p>= +</p><p>d d2</p><p>0 02</p><p>05. Linha infinita uniformemente carregada no vácuo</p><p>Seja um condutor infinito em forma de fio, eletrizado positivamente,</p><p>com uma densidade linear de carga constante e igual a λ. Pela</p><p>simetria, devemos construir uma superfície gaussiana cilíndrica, tal</p><p>que o campo elétrico seja constante ao longo da superfície lateral</p><p>do cilindro e perpendicular às faces circulares.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>hhh</p><p>2 πr</p><p>E</p><p>Superfície</p><p>gaussiana</p><p>r</p><p>λ</p><p>Aplique a Lei de Gauss e mostre que E</p><p>ro</p><p></p><p>= λ</p><p>πε2</p><p>z</p><p>r</p><p>B</p><p>A</p><p>d</p><p>C</p><p>x</p><p>0</p><p>d</p><p>D</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>003.576 - 129701/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. Mostre que o campo produzido por uma placa delgada é E</p><p>o</p><p></p><p>= σ</p><p>ε2</p><p>,</p><p>onde σ = densidade superficial de carga.</p><p>07. Usando a Lei de Gauss, calcule o campo elétrico produzido por</p><p>uma carga puntiforme Q, a uma distância d desta.</p><p>08. A figura seguinte mostra quatro cargas pontuais e a secção</p><p>transversal de uma superfície de Gauss. Qual das seguintes</p><p>afirmações é verdadeira sobre a situação descrita?</p><p>Q</p><p>4</p><p>Q</p><p>1</p><p>Q</p><p>2</p><p>Superfície</p><p>Gaussiana</p><p>Q</p><p>3</p><p>P</p><p>A) O fluxo elétrico líquido através da superfície depende de todas</p><p>as quatro cargas apresentadas, mas o campo elétrico no ponto</p><p>P depende apenas de cargas Q</p><p>2</p><p>e Q</p><p>3</p><p>.</p><p>B) O fluxo elétrico líquido através da superfície gaussiana depende</p><p>apenas das cargas Q</p><p>2</p><p>e Q</p><p>3</p><p>, mas o campo elétrico no ponto P</p><p>depende de todas as quatro cargas.</p><p>C) O fluxo elétrico líquido através da superfície gaussiana depende</p><p>das cargas Q</p><p>2</p><p>e Q</p><p>3</p><p>e o campo elétrico no ponto P depende</p><p>apenas de cargas Q</p><p>2</p><p>, Q</p><p>3</p><p>e Q</p><p>4</p><p>.</p><p>D) O fluxo elétrico líquido através da superfície gaussiana depende</p><p>apenas em encargos Q</p><p>1</p><p>e Q</p><p>4</p><p>, e o campo elétrico no ponto P</p><p>depende apenas de cargas Q</p><p>2</p><p>e Q</p><p>3</p><p>.</p><p>E) Tanto o fluxo elétrico líquido através da superfície gaussiana</p><p>quanto o campo elétrico no ponto P depende de todas as</p><p>quatro cargas.</p><p>09. Um fio de densidade linear de carga positiva λ atravessa três</p><p>superfícies fechadas, A, B e C, de formas respectivamente</p><p>cilíndrica, esférica e cúbica, como mostra a figura. Sabe-se que</p><p>A tem comprimento L = diâmetro de B = comprimento de um</p><p>lado de C, e que o raio da base de A é a metade do raio da esfera</p><p>B. Sobre o fluxo do campo elétrico φ, através de cada superfície</p><p>fechada, pode-se concluir que:</p><p>L</p><p>A B C λ</p><p>A) φ</p><p>A</p><p>= φ</p><p>B</p><p>= φ</p><p>C</p><p>B) φ</p><p>A</p><p>> φ</p><p>B</p><p>> φ</p><p>C</p><p>C) φ</p><p>A</p><p>< φ</p><p>B</p><p>< φ</p><p>C</p><p>D) φ</p><p>A</p><p>/2 = φ</p><p>B</p><p>= φ</p><p>C</p><p>E) φ</p><p>A</p><p>= 2φ</p><p>B</p><p>= φ</p><p>C</p><p>10. Uma carga pontual +q está a uma distância d/2 de uma superfície</p><p>quadrada de lado d e encontra-se diretamente acima do centro do</p><p>quadrado, como é mostrado na figura. Se a permissividade elétrica</p><p>do meio vale ε, determine o fluxo elétrico que passa através do</p><p>quadrado.</p><p>+q d</p><p>2</p><p>d</p><p>11. Na questão anterior, se a carga +q estivesse em um vértice de um</p><p>cubo, qual seria</p><p>o fluxo através do cubo.</p><p>12. Ainda sobre a questão anterior, caso +q estivesse em um vértice</p><p>do cubo, qual seria o fluxo através de um quadrado.</p><p>13. O campo elétrico na atmosfera da superfície da Terra é de</p><p>aproximadamente 200 V/m, dirigido para baixo. A 1.400 m acima</p><p>da superfície da Terra, o campo elétrico na atmosfera é de somente</p><p>20 V/m, novamente dirigido para baixo. Determine a densidade</p><p>média de carga na atmosfera abaixo de 1.400 m.</p><p>14. Considere uma carga negativa – Q localizada dentro de duas esferas,</p><p>como mostrado a seguir. A esfera A tem raio R e o fluxo através dela</p><p>é φ</p><p>A</p><p>, enquanto a esfera B tem raio 2R e o fluxo através dela é φ</p><p>B</p><p>.</p><p>–Q</p><p>A</p><p>B</p><p>Analise as sentenças seguintes:</p><p>I. φ</p><p>A</p><p>> φ</p><p>B</p><p>II. φ</p><p>A</p><p>= φ</p><p>B</p><p>III. φ</p><p>A</p><p>< φ</p><p>B</p><p>IV. Se uma carga + 2Q é adicionada fora das duas esferas, o fluxo</p><p>através da esfera B aumentará.</p><p>É(são) correta(s):</p><p>A) I e IV.</p><p>B) II e IV.</p><p>C) III e IV.</p><p>D) somente II.</p><p>E) nenhuma das sentenças é correta.</p><p>15. Um cilindro oco infinito cuja secção reta possui raio r = 8 cm é</p><p>mostrado na figura seguinte. A superfície externa do tubo possui</p><p>uma carga elétrica uniforme, tal que para cada intervalo de 2 m</p><p>de comprimento do tubo existe um quantidade de carga igual</p><p>a 0,75µC . O espaço no interior do tubo não contém nenhuma</p><p>carga. Qual é a densidade de carga (aproximada) existente na</p><p>superfície do tubo?</p><p>r</p><p>A) 7,5⋅10–7 C/m2 B) 7,5⋅10–5 C/m2</p><p>C) 1,9⋅10–7 C/m2 D) 3,8⋅10–5 C/m2</p><p>E) 1,5 x 10–4 C/m2</p><p>01.</p><p>i. Para um pedaço dA de área, temos que:</p><p>ii. Para o fluxo elétrico, temos:  =  →  =   → E dA E dAcos</p><p>→ E é constante</p><p>→  = E dAcos</p><p>iii. Observe que, decompondo o vetor área dA, pela</p><p>simetria da espera, a soma de todos os componentes do</p><p>tipo dAsen é zero. A soma de todas as componentes</p><p>dAcos coincide com o valor R2, isso é conhecido</p><p>como área projetada. Portanto 2dAcos R = </p><p>iv. 2</p><p>2</p><p>E dAcos</p><p>R</p><p>dAcos R</p><p> = </p><p> = </p><p> = </p><p></p><p></p><p>02.</p><p>i. Utilizando a densidade linear , é possível obter a carga</p><p>(Q interna) que está dentro do cubo.</p><p> = → =  →</p><p>→ =  interna</p><p>carga</p><p>carga comprimento</p><p>comprimento</p><p>para L : Q L</p><p>ii. De acordo com a Lei de Gauss, para uma superfície</p><p>simétrica e fechada, o fluxo elétrico é interna</p><p>0</p><p>Q</p><p> =</p><p></p><p>.</p><p>iii. O cubo é uma superfície simétrica e fechada (se você</p><p>rotacionar ele, no eixo do fio, perceberá que obterá</p><p>sempre a mesma superfície). Portanto, o fluxo através do</p><p>cubo é:</p><p>0</p><p>L</p><p> =</p><p></p><p>03. i. De acordo com o enunciado, temos:</p><p>ii. Observe que a esfera é uma superfície simétrica,</p><p>portanto, com base na solução da questão 02, temos que:</p><p> =   =</p><p> = </p><p>interna</p><p>0</p><p>0</p><p>interna</p><p>Q</p><p>2R</p><p>Q (2R)</p><p>04. i. Para o fio infinito, temos:</p><p>De acordo com a questão 02, o fluxo elétrico total no</p><p>cubo é </p><p></p><p>0</p><p>d</p><p>. Observe que o fluxo elétrico ocorre apenas</p><p>nas faces laterais do cubo. Pela simetria do cubo,</p><p>podemos dizer que o fluxo em cada face é igual e que a</p><p>soma dos fluxos da face é o fluxo total. Portanto, o fluxo</p><p>em cada face é  = </p><p></p><p>fio</p><p>0</p><p>d</p><p>.</p><p>4</p><p>ii. Para o plano infinito, temos:</p><p>Observe que apenas a intersecção do plano com uma</p><p>face do cubo (parte branca do plano tracejado com</p><p>linhas pretas) gera fluxo elétrico na face ABCD.</p><p> =  = → = </p><p> </p><p>2</p><p>2</p><p>plano plano</p><p>0 0</p><p>d</p><p>E A d</p><p>2</p><p>iii. O fluxo elétrico total na face ABCD é a soma de todos os</p><p>fluxos que atravessam ela, portanto ABCD = fio = plano.</p><p>Logo:</p><p> </p><p>= +</p><p> </p><p>2</p><p>ABCD</p><p>0 0</p><p>d d</p><p>4 2</p><p>Resposta: A</p><p>05. i. Observe que o campo elétrico é uniforme, constante e</p><p>atravessa perpendicularmente a área lateral do cilindro</p><p>(superfície gaussiana), logo podemos dizer que</p><p> →   =  =E A E 2 rh</p><p>ii. Observe que, se rotacionarmos o cilindro no eixo do fio,</p><p>a superfície cilíndrica é simétrica, logo, por lei de Gauss,</p><p> =</p><p></p><p>int</p><p>0</p><p>Q</p><p>.</p><p>iii. Observe que apenas um comprimento h do fio está dentro</p><p>da superfície cilíndrica, portanto = </p><p>int</p><p>h ,Q em que Qint</p><p>é a carga interna, a superfície gaussiana cilíndrica.</p><p>iv.</p><p> =  =    = → =</p><p>  = </p><p>int</p><p>0</p><p>0 0</p><p>interna</p><p>Q</p><p>E 2 rh</p><p>h</p><p>E 2 rh E</p><p>2 rQ h</p><p>06. i. Para uma placa delgada, temos:</p><p>ii. Observe que é muito difícil encontrar uma superfície</p><p>gaussiana para essa placa que não apresente efeito de</p><p>borda. Observe também que o é constante, logo a placa</p><p>produz um campo elétrico uniforme constante, ou seja,</p><p>se encontrarmos uma parte da placa que possua</p><p>simetria calcularmos o campo elétrico nela, o resultado</p><p>é válido para toda a placa.</p><p>iii</p><p>iv. Supondo que a região que o campo elétrico atravessa</p><p>(local que está pintado) possua área A, por lei de Gauss:</p><p>= →  = → =  →</p><p></p><p>interna interna</p><p>interna</p><p>0</p><p>Q Q</p><p>2 EA Q A 2E A</p><p>A</p><p></p><p>=</p><p>A </p><p>→ =</p><p> </p><p>0 0</p><p>E</p><p>2</p><p>Observe que os campos estão saindo da superfície gaussiana, portanto os</p><p>fluxos elétricos são positivos e são somados. Logo, por esse motivo o</p><p>número 2 aparece.</p><p>07. i. Uma carga puntiforme emite linhas de campo elétrico</p><p>para todas as direções, logo a superfície gaussiana de</p><p>uma carga puntiforme é uma esfera.</p><p>ii. Utilizando a lei de Gauss, temos:</p><p>08. a) Falso. Pois, de acordo com a lei de Gauss, o fluxo de linhas</p><p>de campo elétrico, através de uma superfície gaussiana,</p><p>depende apenas da carga interna, ou seja, a carga que</p><p>está dentro da superfície gaussiana, que nesse caso é Q2</p><p>e Q3.</p><p>b) Verdadeiro. Pois o vetor campo elétrico resultante em</p><p>um determinado ponto do espaço é a soma vetorial dos</p><p>vetores campos elétricos produzidos pelas cargas presentes</p><p>nesse espaço. (Considerando o caso em que as cargas</p><p>são partículas pontuais).</p><p>c) Falso. Explicado nos itens a e b.</p><p>c) Falso. Explicado nos itens a e b.</p><p>d) Falso. Explicado nos itens a e b.</p><p> = →   = → =  → =</p><p>  </p><p>2</p><p>2 2</p><p>00 0</p><p>K</p><p>Q Q 1 Q KQ</p><p>E A E 4 d E E</p><p>4 d d</p><p>09. i. De acordo com a lei de Gauss, em uma superfície</p><p>gaussiana, o fluxo elétrico depende da carga interna, ou</p><p>seja, da carga que está dentro da superfície gaussiana.</p><p>ii. De acordo com o enunciado da questão, a mesma</p><p>quantidade de fio está dentro das superfícies gaussianas.</p><p>Como  =</p><p>carga</p><p>comprimento</p><p>, concluímos que a carga interna</p><p>em cada superfície gaussiana é =  intQ L .</p><p>iii. Como as gaussianas A, B e C possuem a mesma carga</p><p>interna e que  =</p><p></p><p>interna</p><p>0</p><p>Q</p><p>, concluímos que  = = A B C</p><p>.</p><p>Resposta: A</p><p>10. i. Na questão 02, foi dito que, ao gerarmos um cubo,</p><p>obtemos uma figura simétrica e, por essa razão, as faces</p><p>desse cubo, que estão sendo atravessadas por linhas de</p><p>campo elétrico, possuem o mesmo fluxo elétrico.</p><p>ii. Observe que, nessa questão, o enunciado pede o fluxo</p><p>através de um quadrado. Calculando formalmente,</p><p>entraríamos em um mar de contas que são desfocas</p><p>para o ITA e o IME. Nesse tipo de problema, em que a</p><p>questão lhe dar uma superfície qualquer, para evitar</p><p>contas, o interessante é pensar em uma superfície</p><p>gaussiana para associar com a superfície do problema.</p><p>iii. Nesse caso, em que o problema sugeriu um quadrado,</p><p>o interessante é pensar em um cubo, pois, por causa da</p><p>simetria do cubo, é possível calcular o fluxo elétrico em</p><p>um quadrado.</p><p>iv.</p><p>v. Como o cubo é simétrico,</p><p>+</p><p> =</p><p></p><p>cubo</p><p>0</p><p>q</p><p>.</p><p>vi. Pela simetria do cubo, o fluxo de todas as faces são iguais,</p><p>logo:</p><p>+</p><p>  = → = =  →  </p><p> </p><p>face face facecubo</p><p>0 0</p><p>q q</p><p>6 6</p><p>6</p><p>11. i. Observe que esse problema é semelhante ao da questão</p><p>10, mas, ao invés de “adicionarmos” faces para obter</p><p>uma superfície gaussiana simétrica, iremos “adicionar”</p><p>cubos para obtermos a superfície gaussiana desejada.</p><p>Observe que esse problema é semelhante</p><p>ao da questão</p><p>10 pelo fato de estarmos usando a superfície fornecida</p><p>pela questão para obter a superfície gaussiana que</p><p>necessitamos.</p><p>ii.</p><p>iii. Perceba que cada cubo contém</p><p>1</p><p>8</p><p>da carga.</p><p>iv. O cubo grande contém toda a carga, portanto o fluxo</p><p>nele é, por lei de Gauss e simetria,</p><p>+</p><p> =</p><p></p><p>0</p><p>q</p><p>.</p><p>v. Como cada cubo pequeno contém</p><p>1</p><p>8</p><p>q, por simetria,</p><p>eles recebem</p><p>1</p><p>8</p><p>. Portanto o fluxo nos cubos pequenos</p><p>é</p><p>+</p><p></p><p>0</p><p>q</p><p>.</p><p>8</p><p>12.</p><p>i. Observe que, nesse caso, a carga +q não está no centro</p><p>do cubo, portanto não existe a simetria que deixa o</p><p>fluxo de cada face igual.</p><p>ii. Para contornar esse problema, utilizaremos a simetria</p><p>do cubo grande utilizada na questão 11. Perceba que,</p><p>com o cubo grande, a carga +q se encontra no centro,</p><p>logo há simetria.</p><p>iii. Como visto na questão 10, por causa da simetria, o fluxo</p><p>em cada face do cubo grande é</p><p>+</p><p></p><p>0</p><p>q</p><p>.</p><p>6</p><p>iv. Cada face do cubo grande possui 4 faces do cubo</p><p>pequeno, portanto, pela simetria do cubo grande, o fluxo</p><p>de cada uma das 4 faces é igual. Portanto, o fluxo para uma</p><p>face do cubo pequeno é . Assim, para uma face do</p><p>cubo pequeno, o fluxo elétrico é</p><p>+</p><p></p><p>0</p><p>q</p><p>.</p><p>24</p><p>13.</p><p>i. Considerando que a “atmosfera da superfície da terra”</p><p>se refira ao nível do mar, temos a seguinte representação:</p><p>ii. A representação acima é possível pelo fato de o raio da</p><p>Terra (6400 km) ser muito maior que 1400 m, ou seja,</p><p>6400  103 m  1400 m.</p><p>iii. Por fluxo elétrico:</p><p> − = →  = →</p><p> 0</p><p>Q Q</p><p>200 A 20A 180 A</p><p>A h</p><p></p><p>=</p><p>A</p><p>0</p><p>h</p><p>−</p><p>−</p><p>  </p><p>→  = →  =  →  = →</p><p>→   </p><p>120</p><p>0</p><p>12</p><p>3</p><p>180 180 8,85</p><p>8,85 10</p><p>1400 1400</p><p>c</p><p>1,14 10</p><p>m</p><p>Legenda:  = densidade média de cargas.</p><p>A = área que o campo elétrico está atravessando.</p><p>14. Observe que está questão é semelhante à questão 08.</p><p>Portanto, como visto na questão 08, de acordo com a lei de</p><p>Gauss, o fluxo elétrico depende apenas da carga interna à</p><p>superfície gaussiana, ou seja, dentro da superfície gaussiana.</p><p>Logo, é possível concluir que apensas o item II é verdadeiro.</p><p>Resposta: D</p><p>15. De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura:</p><p>ii. Como a carga elétrica é uniforme, implica que a</p><p>densidade superficial de carga a cada 2 m de tubo é</p><p>igual à densidade superficial do tubo completo.</p><p>iii.</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p> = →   </p><p>   </p><p>6</p><p>7</p><p>tubo tubo2 2</p><p>0,75 10 C C7,5 10</p><p>2 (8 10 ) 2 m</p><p>Resposta: A</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – A –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– – B A –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>– – – D A</p><p>– Demonstração.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Marcos Haroldo</p><p>DIG.: Rejane – 15/02/2021 – REV.: Katiary</p><p> +</p><p>  </p><p>0</p><p>q</p><p>6</p><p>4</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: Potencial elétrico</p><p>frente: Física iii</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>AULAS 17 A 21</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>POTENCIAL ELÉTRICO</p><p>Introdução</p><p>Posso começar esse capítulo atentando você, caro leitor, para</p><p>não confundir esse termo potencial elétrico com energia potencial</p><p>elétrica. É óbvio que se você chegou até aqui, já deve ter estudado</p><p>energia potencial e, embora seja atrativo confundir as duas grandezas,</p><p>são duas coisas distintas. Existe sim uma ligação entre elas e vamos</p><p>ver isso mais adiante.</p><p>Dada uma distribuição de cargas, queremos encontrar o</p><p>campo elétrico em um certo ponto no espaço. Bom, aqui temos que</p><p>encontrar três componentes, pois o campo é uma grandeza vetorial.</p><p>Dependendo da distribuição de cargas, podemos cair em um problema</p><p>extremamente complicado (um não, três problemas). O campo elétrico</p><p>(mais precisamente o campo eletrostático) é uma função vetorial</p><p>especial. Eis a propriedade especial:</p><p>Dada uma carga q fixa na origem, calculemos a integral de</p><p>linha do campo elétrico sobre a curva que liga os pontos a e b.</p><p>z</p><p>q</p><p>x</p><p>y</p><p>a</p><p>b</p><p>r</p><p>b</p><p>r</p><p>a</p><p>E d</p><p>q</p><p>r</p><p>r d</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �� �4</p><p>1</p><p>0</p><p>2��</p><p>Atente para o seguinte detalhe:</p><p>dr</p><p>r</p><p>θ</p><p>P</p><p>d</p><p>��</p><p>�</p><p>E</p><p>��</p><p>r d dr� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>Assim, temos:</p><p>E d</p><p>q</p><p>r</p><p>dr</p><p>q</p><p>r ra</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a b</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �4</p><p>1</p><p>4</p><p>1 1</p><p>0</p><p>2</p><p>0�� ��</p><p>Isso nos diz que, se tomarmos a integral de linha sobre um</p><p>caminho fechado, o resultado é sempre zero.</p><p>Sempre que uma função vetorial possui essa peculiaridade,</p><p>podemos escrever tal função como a derivada de uma função escalar.</p><p>Aqui está uma motivação enorme para estudar a função potencial:</p><p>Basta resolver um só problema, pois é uma função escalar e depois</p><p>derivar (que, geralmente, é bem mais fácil de integrar) e encontrar</p><p>o campo.1</p><p>Trabalho da força elétrica</p><p>Como você já viu em mecânica, podemos calcular o trabalho</p><p>de uma força indo do ponto a até um ponto b, como:</p><p>�ab a</p><p>b</p><p>F r dr� � � ��</p><p>� �</p><p>Para o caso da força elétrica sobre uma carga +q produzida</p><p>por uma carga pontual +Q localizada na origem, temos:</p><p>�</p><p>�� ��ab a</p><p>b</p><p>a b</p><p>Qq</p><p>r</p><p>dr</p><p>Qq</p><p>r r</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��4</p><p>1</p><p>4</p><p>1 1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>�</p><p>Definimos o potencial elétrico como:</p><p>V r</p><p>Q</p><p>r</p><p>� � � �</p><p>4</p><p>1</p><p>0��</p><p>Obtemos a energia potencial multiplicando o potencial</p><p>eletrostático pela carga de prova (carga que está sentindo o potencial):</p><p>U r</p><p>Qq</p><p>r</p><p>� � � �</p><p>4</p><p>1</p><p>0��</p><p>De maneira que podemos relacioná-los da seguinte maneira:</p><p>U(r) = qV(r)</p><p>Dessa forma, temos:</p><p>τab = – [U(r</p><p>b</p><p>) – U(r</p><p>a</p><p>)] = – ∆U</p><p>Isso é uma característica de forças conservativas2. Temos que</p><p>parar um pouco nesse momento e observar alguns pontos importantes.</p><p>1 De maneira mais formal, existe um teorema que afirma o seguinte: Sempre que o ro-</p><p>tacional de um campo vetorial for nulo, tal campo pode ser expresso como o gradiente</p><p>de um potencial.</p><p>2 Ver página 114 - Nussenzveig.</p><p>H. Moyses. Curso de Física Básica, Vol. 1, Ed. Blucher Ltda, 4ª Edição.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Não se consegue medir potencial na natureza, mas sim a</p><p>diferença de potencial (através da expressão anterior, por exemplo).</p><p>Entretanto, se a distribuição de carga for local (não se estender ao</p><p>infinito), podemos dizer que: quanto maior for a distância do ponto em</p><p>questão à distribuição de cargas, menor será seu termo de potencial.</p><p>Ou seja, o potencial vai a zero quando r → ∞. Veja os gráficos:</p><p>a b</p><p>Q > 0</p><p>Q < 0</p><p>Gráfico representativo do potencial elétrico como função da distância do ponto a uma carga</p><p>pontual positiva (a) e negativa (b). Observe que o nível zero do potencial elétrico está no infinito.</p><p>Adotamos assim, que o potencial é zero no infinito e dessa</p><p>forma podemos determinar o potencial num certo ponto. Observe que</p><p>não podemos fazer o mesmo se a distribuição de cargas também se</p><p>estende até o infinito!</p><p>A unidade do potencial</p><p>O potencial elétrico, bem como a d.d.p., é medido no SI em</p><p>volts, tal que:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>V</p><p>J</p><p>C</p><p>=</p><p>Observação:</p><p>Na realidade, o volt é mais apropriadamente definido</p><p>como sendo a d.d.p. entre as seções transversais de um condutor</p><p>que, percorrido por uma corrente de 1A (ampère), produz uma</p><p>potência de 1W (watt).</p><p>No CGS, a unidade de potencial elétrico é o stat Volt, tal que:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>sV</p><p>erg</p><p>sC</p><p>=</p><p>Pode-se verificar que o fator de conversão entre estas</p><p>unidades é:</p><p>1sV = 300 V</p><p>A partir do volt, pode-se definir uma unidade de energia:</p><p>o elétron-volt (eV). O elétron-volt é a energia cinética adquirida por</p><p>uma partícula que contenha a carga elementar (e = 1,6 × 10–19 C)</p><p>quando acelerada a partir do repouso por uma diferença de potencial</p><p>de 1V.</p><p>Qual a relação existente entre o elétron-volt e o joule?</p><p>Superposição</p><p>Em geral, o potencial para uma carga pontual Q é:</p><p>V r</p><p>Q</p><p>r</p><p>( ) � �</p><p>4</p><p>1</p><p>0��</p><p>Recorrendo ao princípio de superposição para uma distribuição</p><p>de cargas, temos:</p><p>V r</p><p>Qi</p><p>ri</p><p>N</p><p>( ) �</p><p>�</p><p>�1</p><p>4 0 1��</p><p>Para o caso de uma distribuição contínua no espaço, devemos</p><p>encontrar:</p><p>V r</p><p>dQ</p><p>r</p><p>r d</p><p>r</p><p>( ) � �</p><p>� �</p><p>��</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>40 0�� ��</p><p>� �� �</p><p>q</p><p>q</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>q</p><p>1</p><p>q</p><p>2</p><p>r</p><p>r</p><p>P P P</p><p>dτ</p><p>Adaptando</p><p>para uma distribuição linear e superficial, é óbvio</p><p>que devemos ter (como visto anteriormente):</p><p>V r</p><p>r dl</p><p>r</p><p>V r</p><p>r da</p><p>r</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>0</p><p>0</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>Superfície equipotencial</p><p>Percebemos que a função potencial é uma função de ponto, ou</p><p>seja, não depende do caminho seguido desde o infinito até tal ponto.</p><p>Com esse raciocínio, podemos observar que existem várias posições</p><p>que possuem o mesmo potencial. Esse conjunto de pontos que</p><p>possuem o mesmo potencial leva o nome de superfícies equipotenciais.</p><p>V(x,y,z) = V(constante)</p><p>Sabemos que a diferença de potencial entre dois pontos é</p><p>dada pela integral de linha do campo elétrico. No caso de dois pontos</p><p>quaisquer pertencentes a uma superfície equipotencial, temos:</p><p>E dl V V</p><p>� �</p><p>� � � ��1</p><p>2</p><p>1 2 0</p><p>Para que o deslocamento entre os dois pontos de superfície</p><p>equipotencial se dê ao longo de uma linha contida nesta superfície,</p><p>devemos ter:</p><p>dV E dl� � � �</p><p>� �</p><p>0</p><p>Ou seja, toda contribuição infinitesimal para potencial</p><p>ao longo de uma linha sobre a superfície equipotencial é nula.</p><p>Desde que estejamos numa região de campo elétrico não nulo,</p><p>podemos concluir que:</p><p>E dl E dl</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>O campo elétrico é perpendicular a qualquer deslocamento</p><p>infinitesimal ao longo da superfície equipotencial. A única maneira</p><p>de fazermos isto acontecer é tendo a superfície equipotencial como</p><p>sendo normal às linhas de força do campo elétrico.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exemplo 1: Superfície Equipotencial devido a uma carga pontual.</p><p>linha de força</p><p>superfície equipotencial</p><p>Superfície equipotencial devido a uma carga pontual.</p><p>Neste caso, o potencial é dado por V</p><p>KQ</p><p>r</p><p>= . Para V constante,</p><p>temos r constante, o que corresponde, enquanto lugar geométrico, à</p><p>superfície da esfera de raio r.</p><p>Exemplo 2: Superfícies equipotenciais de um dipolo</p><p>+ –</p><p>Superfície equipotencial de um dipolo elétrico.</p><p>Observe que uma das superfícies equipotenciais é o plano</p><p>equidistante das duas cargas para o qual V = 0.</p><p>Exemplo 3: Campo elétrico uniforme</p><p>Superfície equipotencial numa região de campo elétrico</p><p>uniforme.</p><p>As superfícies equipotenciais são planos normais à direção do</p><p>vetor campo elétrico.</p><p>Exemplo 4: Fio infinito uniformemente carregado</p><p>λ</p><p>Superfícies equipotenciais devido a um fio infinito</p><p>uniformemente carregado.</p><p>As superfícies equipotenciais são superfícies cilíndricas coaxiais,</p><p>cujo eixo comum é exatamente o fio.</p><p>Movimento de uma partícula provocado</p><p>por uma diferença de potencial</p><p>Para nosso estudo, objetivo e restrito à eletrostática, todos os</p><p>campos são conservativos e não consideraremos efeitos de radiação.</p><p>Portanto, se uma partícula possui num certo ponto a, energia cinética</p><p>K</p><p>a</p><p>e já num outro ponto b, uma energia cinética K</p><p>b</p><p>, podemos escrever</p><p>o seguinte:</p><p>t</p><p>ab</p><p>= – ∆U = ∆K</p><p>Ou seja, o trabalho da força elétrica é igual à variação de</p><p>energia cinética (considerando que só exista essa força). Podemos</p><p>prosseguir da seguinte maneira:</p><p>∆U + ∆K = 0</p><p>U</p><p>a</p><p>+ K</p><p>a</p><p>= U</p><p>b</p><p>+ K</p><p>b</p><p>Em outras palavras, temos mais uma vez a conservação</p><p>da energia mecânica para nos t irar de várias s ituações</p><p>problemáticas. Essa é uma saída aprimorada para resolver</p><p>problemas. Observe que não precisamos saber como, ou por onde</p><p>a partícula evolui de um ponto a outro para saber a sua velocidade.</p><p>Basta conhecer sua posição e tudo estará resolvido.</p><p>Bom, parece simples, mas eu aconselho praticar bastante nos</p><p>exercícios, pois poderá haver situações onde precisaremos explorar</p><p>simetrias, além da conservação de energia.</p><p>Observação:</p><p>É importante perceber que, no caso de um movimento</p><p>espontâneo de uma carga numa região de campo elétrico, a</p><p>trajetória pode ser bastante complicada. No caso em que as</p><p>linhas de campo são retilíneas (como nos casos de um campo</p><p>uniforme ou de uma carga pontual, por exemplo), uma partícula</p><p>abandonada em repouso segue as linhas de campo. Entretanto,</p><p>isto não é verdade para todos os casos.</p><p>Condutores</p><p>Como vimos em nossa primeira nota de aula, os materiais ditos</p><p>condutores caracterizam-se pela presença, em seu interior, de elétrons</p><p>livres, ou seja, de elétrons debilmente ligados aos átomos do material,</p><p>ou de outros portadores de carga, com liberdade de movimento.</p><p>Esta característica possibilita que as cargas excedentes em um</p><p>condutor encontrem uma configuração, em condições de equilíbrio</p><p>eletrostático, tal que a distância entre elas seja a maior possível devido</p><p>à repulsão eletrostática.</p><p>Graças a essa possibilidade, toda a carga excedente de um</p><p>condutor localiza-se em sua superfície exterior. A seguir, debateremos</p><p>algumas experiências que podem evidenciar facilmente este fato:</p><p>Exemplo 1: Consideremos uma esfera condutora, oca, eletrizada,</p><p>dotada de um orifício e posicionada sobre um suporte isolante, e um</p><p>bastão condutor, neutro (figura seguinte). Se tocarmos a esfera com</p><p>o bastão na sua parte interna, o bastão permanece neutro. Porém, se</p><p>o fizermos na parte externa, o bastão adquire carga de mesmo sinal</p><p>que a carga da esfera.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ + + +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+++</p><p>+</p><p>Esfera condutora oca e eletrizada dotada de um orifício e</p><p>bastão condutor. A carga da esfera localiza-se em sua superfície</p><p>externa.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>É visível que a dependência do potencial com a distância é</p><p>inversamente proporcional. Isso explica porque a configuração exige</p><p>maior afastamento das cargas, pois quanto mais afastadas, menor</p><p>energia acumulada.</p><p>Exemplo 2: Hemisférios de Cavendish</p><p>Tomemos uma esfera metálica eletrizada sobre um suporte</p><p>isolante e dois hemisférios perfeitamente adaptáveis à ela.</p><p>Quando encaixamos os hemisférios sobre à esfera, toda a carga</p><p>anteriormente disposta sobre ela passa aos hemisférios. Quando estes</p><p>são retirados, a esfera fica neutra.</p><p>+</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>(a)</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>++++</p><p>+</p><p>++</p><p>++</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+</p><p>++</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>(b)</p><p>Hemisférios de Cavendish adaptáveis a uma esfera condutora</p><p>eletrizada (a) são encaixados sobre ela e a carga antes na esfera passa</p><p>aos hemisférios (b) que, sendo retirados, deixam a esfera neutra (b).</p><p>Essa propriedade nos leva, pela Lei de Gauss, a constatar que</p><p>o campo elétrico, no interior de um condutor, é nulo. Obviamente,</p><p>se houvesse campo elétrico, as cargas elétricas sofreriam a ação das</p><p>forças, e não haveria equilíbrio eletrostático.</p><p>Da mesma forma não deve haver componente tangencial do</p><p>campo elétrico na superfície do condutor, pois, neste caso, haveria</p><p>movimento de cargas sobre a superfície. Conclui-se, portanto, que o</p><p>campo nas proximidades de um condutor é normal à sua superfície e</p><p>tem módulo dado, pela Lei de Gauss, como sendo:</p><p>E �</p><p>�</p><p>�0</p><p>As linhas de campo, portanto, são normais à superfície do</p><p>condutor, partindo dela ou terminando.</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>E</p><p>3</p><p>E = 0</p><p>E</p><p>4</p><p>V</p><p>A</p><p>=V</p><p>B</p><p>=V</p><p>C</p><p>=V</p><p>D</p><p>E</p><p>5</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ + + +</p><p>+</p><p>+</p><p>Campo devido a um condutor nulo no interior, e normal à</p><p>superfície nos pontos externos próximos a ela.</p><p>Quanto ao potencial, é fácil verificar que, em um condutor,</p><p>em equilíbrio eletrostático, não existe diferença de potencial entre</p><p>quaisquer dois pontos, caso contrário haveria movimento de cargas:</p><p>Além disso, se o campo no interior do condutor é nulo, anula-se</p><p>também a sua integral de linha entre dois pontos quaisquer.</p><p>Sendo assim, podemos afirmar que a superfície de um condutor</p><p>em equilíbrio eletrostático é uma superfície equipotencial.</p><p>+</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++</p><p>+</p><p>++++</p><p>+</p><p>V</p><p>A</p><p>=V</p><p>B</p><p>=V</p><p>c</p><p>=V</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Potencial devido a um condutor.</p><p>Outra propriedade concernente aos condutores carregados é</p><p>o chamado poder das pontas. A grosso modo, podemos justificar a</p><p>concentração de cargas nas “pontas” sob dois aspectos: a repulsão</p><p>eletrostática entre os portadores livres levando-os às regiões mais</p><p>distantes do condutor (as suas extremidades), e a dependência do</p><p>potencial que, no caso de distribuições limitadas de carga, varia</p><p>linearmente com a carga e inversamente</p><p>com a distância. Neste</p><p>caso, esperamos que em pontos mais afastados, haja uma maior</p><p>concentração de carga, de forma a manter o condutor a um potencial</p><p>constante3.</p><p>Graças a essa propriedade, o campo elétrico próximo às regiões</p><p>pontiagudas de um condutor é mais intenso.</p><p>Alguns exemplos ilustrativos do poder das pontas são</p><p>apresentados a seguir.</p><p>Exemplo 1: Linhas de campo de um ovoide:</p><p>Linhas de força devido a um</p><p>“ovoide” e uma placa, carregadas com</p><p>cargas de mesmo valor absoluto e sinais</p><p>contrários. A maior densidade de linhas</p><p>nas extremidades dos condutores indica</p><p>um campo elétrico mais intenso.</p><p>Exemplo 2:</p><p>Os para-raios são dispositivos destinados a proteger aparelhos e</p><p>construções de danos causados por raios. Um tipo simples é uma haste</p><p>condutora com uma extremidade no ponto mais alto da construção.</p><p>Esta haste é ligada por um fio a outra haste, enterrada. Esta montagem</p><p>permite que o acúmulo de cargas induzidas na construção (por uma</p><p>nuvem eletrizada, por exemplo) concentre-se na extremidade dos</p><p>para-raio. Nestas condições, o raio, ou seja, a descarga elétrica entre</p><p>as nuvens e a Terra, “cai” no para-raio e não na construção.</p><p>(a) (b)</p><p>–</p><p>+</p><p>+ + + + + + +</p><p>Uma nuvem carregada positivamente induz cargas negativas</p><p>que se concentram na extremidade do para-raios (a). O raio “cai”</p><p>sobre os para-raios, não afetando a construção.</p><p>3 A rigor, isto só pode ser verificado por meio da resolução da equação de Laplace para</p><p>o potencial eletrostático.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exemplo 3:</p><p>Consideremos um dispositivo condutor provido de uma</p><p>extremidade pontiaguda, e continuamente carregado com carga</p><p>negativa, conforme a figura. A grande concentração de carga negativa</p><p>atrai moléculas do ar ionizadas positivamente, ou mesmo por simples</p><p>indução, ao se chocarem com o condutor, estas moléculas adquirem</p><p>carga negativa, sendo, então, violentamente repelidas. Estas moléculas</p><p>formam o vento elétrico, que pode ser verificado por meio de uma vela</p><p>acesa próxima às vizinhanças da extremidade pontiaguda. O mesmo</p><p>raciocínio pode ser seguido para o condutor carregado positivamente.</p><p>–</p><p>––</p><p>– –</p><p>– – – –</p><p>íons negativos</p><p>Dispositivo condutor carregado (a) negativamente, produzindo</p><p>um vento elétrico de íons negativos.</p><p>Métodos das imagens (opcional)</p><p>O método das imagens, proposto por Lord Kelvin tem como</p><p>objetivo simplificar alguns problemas, em que distribuições de cargas</p><p>podem ser substituídas por uma única carga ou um sistema de cargas</p><p>bem mais simples.</p><p>Antes de começar a descrever o método, vou enunciar dois</p><p>teoremas de unicidade sobre potencial eletrostático. Não cabe nesse</p><p>momento a demonstração destes, mas serão de extrema importância</p><p>para o entendimento do método das imagens.</p><p>Primeiro Teorema de Unicidade:</p><p>A solução da equação de Laplace em um volume v é</p><p>exclusivamente determinada se V for especificado na superfície de</p><p>contorno S.</p><p>V especificado</p><p>nesta superfície</p><p>(S)</p><p>V desejado</p><p>nesse volume</p><p>(ν)</p><p>O que este teorema quer dizer é que, se for fornecido o</p><p>potencial no contorno, é possível calcular o potencial dentro da região</p><p>e esta solução será única (por isso se chama Teorema da Unicidade).</p><p>Segundo Teorema de Unicidade:</p><p>Em um volume v cercado por condutores e contendo uma</p><p>densidade de carga especificada ρ, o campo elétrico é determinado</p><p>univocamente se a carga total de cada condutor for dada.4</p><p>4 As demonstrações podem ser encontradas na página 82 de D. Griffiths. Eletrodinâmi-</p><p>ca. 3ª Edição</p><p>ρ</p><p>especificado</p><p>Superfícies de integração</p><p>S Q</p><p>2</p><p>Q</p><p>3</p><p>Q</p><p>1</p><p>Q</p><p>4</p><p>ν</p><p>Contorno externo –</p><p>pode estar no infinito</p><p>Caso você ache que o segundo teorema é óbvio, analisemos</p><p>a seguinte situação do Purcell: A figura (a) seguinte mostra uma</p><p>configuração eletrostática confortável que consiste de quatro</p><p>condutores com cargas ±Q, situados de forma que os positivos estejam</p><p>próximos dos negativos. Parece bem estável, concordam? Agora, o que</p><p>acontece quando juntamos em pares através de fios minúsculos, como</p><p>mostra a figura (b)? Como as cargas positivas estão muito próximas</p><p>das negativas (que é onde elas preferem ficar), podemos muito bem</p><p>supor que nada irá acontecer. Certo?</p><p>+ +</p><p>++</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>a b</p><p>Errado! A configuração da</p><p>figura (b) é impossível, já que existem</p><p>agora, de fato, dois condutores e a</p><p>carga total de cada um deles é zero.</p><p>Uma das maneiras de rearranjar as</p><p>cargas nesses condutores é não tendo</p><p>carga em lugar algum e, portanto,</p><p>campo zero em toda parte (figura c).</p><p>Pelo Segundo Teorema de Unicidade, essa deve ser a solução: a carga</p><p>irá fluir pelos fios minúsculos, cancelando-se.</p><p>Agora estamos prontos para entender o método das</p><p>imagens. Suponha que uma carga pontual q seja mantida a</p><p>uma distância d acima de um plano condutor infinito e aterrado</p><p>(figura seguinte). Pergunta: qual é o potencial na região acima do</p><p>plano? Se você respondeu</p><p>1</p><p>4 0��</p><p>�</p><p>q</p><p>r</p><p>, errou, pois o condutor terá cargas</p><p>induzidas e isso irá alterar o potencial.</p><p>z</p><p>x</p><p>q</p><p>d</p><p>y</p><p>V = 0</p><p>Agora como podemos calcular esse potencial? De um ponto</p><p>de vista matemático, nosso problema é resolver a equação de Poisson</p><p>na região z > 0, com uma única carga pontual q em (0,0,d), sujeita às</p><p>seguintes condições de contorno:</p><p>1. V = 0, quando z = 0 (plano aterrado);</p><p>2. V → 0 no infinito.</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>c</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>O primeiro teorema de unicidade (na verdade seu corolário)</p><p>garante que só existe uma função que satisfaz esses requisitos.</p><p>Se por um truque ou suposição inteligente, conseguirmos descobrir</p><p>tal função, ela tem de ser a resposta certa.</p><p>Vamos ao truque: esqueça o problema real; vamos estudar</p><p>uma situação completamente diferente. Este novo problema consiste</p><p>em duas cargas pontuais +q (0,0,d) e uma –q (0,0,–d), sem o plano</p><p>condutor (ver figura).</p><p>x</p><p>z</p><p>y</p><p>+q</p><p>d</p><p>d</p><p>–q</p><p>Para esta configuração, posso facilmente expressar o potencial:</p><p>V x y z</p><p>q</p><p>x y</p><p>q</p><p>x y</p><p>( , , )</p><p>(z d) (z d)</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>4 0</p><p>2 2 2 2 2 2��</p><p>Perceba que temos:</p><p>1. V = 0, quando z = 0, e</p><p>2. V → 0 no infinito.</p><p>E a única carga na região z > 0 é a carga pontual em (0,0,d).</p><p>Mas estas são precisamente as condições do problema original.</p><p>Evidentemente, a segunda configuração produz exatamente o mesmo</p><p>potencial que a primeira configuração, na região superior. Conclusão:</p><p>o potencial de uma carga pontual acima de um condutor infinito</p><p>aterrado é dado pela equação anterior.</p><p>Atente ao papel crucial desempenhado pelo Teorema de</p><p>Unicidade neste argumento, sem ele ninguém acreditaria nesta solução,</p><p>já que ela foi obtida para uma distribuição completamente diferente.</p><p>Outra aplicação desse método é a seguinte:</p><p>Uma carga q está a uma distância a do centro de uma esfera</p><p>condutora aterrada de raio R. Encontre o potencial fora da esfera.</p><p>V 0</p><p>R</p><p>a</p><p>q</p><p>=</p><p>Analisemos o seguinte problema: uma carga pontual q q</p><p>R</p><p>a</p><p>’ � �</p><p>localizada a uma distância b</p><p>R</p><p>a</p><p>=</p><p>2</p><p>do centro da esfera. O potencial</p><p>da configuração é:</p><p>V r</p><p>q</p><p>r</p><p>q</p><p>r</p><p>( )</p><p>’</p><p>’</p><p>� ��</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>1</p><p>4 0��</p><p>���������������������</p><p>a</p><p>r</p><p>r’</p><p>r</p><p>b q’ q</p><p>θ</p><p>Perceba que o potencial se anula em todos os pontos da</p><p>esfera e, portanto, encaixa-se nas condições de contorno do nosso</p><p>problema anterior.</p><p>Observação:</p><p>Não se pode colocar a carga imagem na região onde</p><p>você deseja calcular o potencial. Isso alteraria ρ e mudaria sua</p><p>equação de Poisson.</p><p>Entendendo melhor a eletrização</p><p>Eletrização por contato</p><p>Analisamos anteriormente o caso do contato entre duas ou</p><p>mais esferas idênticas. Agora, veremos como se distribuem as cargas</p><p>quando o contato se dá entre condutores esféricos de dimensões</p><p>quaisquer.</p><p>Sejam as esferas A e B de raios R</p><p>A</p><p>e R</p><p>B</p><p>, respectivamente,</p><p>a primeira está carregada com uma carga Q e a segunda está</p><p>neutra:</p><p>RBRA</p><p>RBRA</p><p>RBRA</p><p>(a) (b)</p><p>(c)</p><p>Q 0</p><p>Q</p><p>A</p><p>Q</p><p>B</p><p>Nas condições de equilíbrio eletrostático, ambas as esferas</p><p>adquirem o mesmo potencial V:</p><p>V K</p><p>R</p><p>R</p><p>K</p><p>Q</p><p>R</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>= =</p><p>Além disso, Q</p><p>A</p><p>+ Q</p><p>B</p><p>= Q, pela Conservação da Carga</p><p>Elétrica.</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Daí temos:</p><p>Q</p><p>R</p><p>R</p><p>Q Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>R</p><p>R</p><p>e Q</p><p>Q</p><p>R</p><p>R</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1 1</p><p>No caso de condutores quaisquer, interferirá a geometria</p><p>de cada um deles. Mais adiante, quando estudarmos capacitância,</p><p>poderemos resolver esse problema.</p><p>Eletrização por indução</p><p>Vimos que a indução eletrostática corresponde à redistribuição</p><p>de carga em um condutor (induzido devido à influência do campo</p><p>elétrico criado pelas cargas de outro ‘indutor’).</p><p>Essa redistribuição se dá de modo tal que, no equilíbrio</p><p>eletrostático, o potencial seja uniforme no condutor.</p><p>Para ilustrar a situação, façamos o seguinte: tomemos</p><p>um indutor A, carregado com uma carga elétrica q, positiva.</p><p>A tem o formato de uma esfera condutora e está em equilíbrio</p><p>eletrostático. O potencial, como função da distância ao centro da</p><p>esfera, está representado a seguir pela curva 1.</p><p>V</p><p>A</p><p>r</p><p>1</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+++</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++++++</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+++</p><p>+</p><p>+ +</p><p>Potencial devido a um condutor esférico.</p><p>Ao aproximarmos outro condutor, B, de A, a situação se</p><p>modifica. Antes do equilíbrio eletrostático se estabelecer, B não</p><p>tem um potencial uniforme, o que provoca o movimento das cargas</p><p>livres, que se redistribuem. Como o potencial inicial no ponto P</p><p>é maior que no ponto Q (ver figura), as cargas livres (negativas)</p><p>deslocam-se das proximidades de Q (menor potencial) para as</p><p>proximidades de P (maior potencial), até que o acúmulo de cargas</p><p>negativas em torno de P forneça uma contribuição negativa ao</p><p>potencial desta região, e que o déficit de cargas negativas em</p><p>torno de Q forneça uma contribuição positiva ao potencial desta</p><p>região. Estes novos “potenciais” são tais que, ao se superporem</p><p>ao potencial original, tornam B uma região equipotencial. O efeito</p><p>sobre o condutor A é o de redução do potencial e também o de</p><p>redistribuição de suas cargas. O potencial final é ilustrado pela</p><p>curva 2, como vemos a seguir.</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>V</p><p>A</p><p>P</p><p>1</p><p>2</p><p>B Q</p><p>r</p><p>Potencial devido à indução eletrostática.</p><p>Caso o induzido seja ligado à Terra, seu potencial se reduzirá</p><p>até que, no equilíbrio eletrostático, ele seja igual ao potencial da Terra,</p><p>que adotamos V = 0. Neste caso, temos a situação ilustrada pela curva</p><p>3, na figura a seguir:</p><p>A</p><p>V 1</p><p>3</p><p>r</p><p>+</p><p>++++</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++ + + ++</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>Potencial devido à indução eletrostática, com o induzido ligado</p><p>à Terra.</p><p>Observe que, neste caso, o induzido adquire uma carga –q</p><p>denominada carga induzida. Quando |q| = |q’|, dizemos que a indução</p><p>é total e, quando |q| > |q’|, a indução é parcial. Isto significa que na</p><p>indução total todas as linhas de força que nascem no indutor terminam</p><p>no induzido, ou vice-versa. Na indução parcial nem todas as linhas</p><p>de força que saem do indutor terminam no induzido, ou o contrário.</p><p>Observação:</p><p>É importante lembrar que, quando todas as linhas de</p><p>campo que saem de uma superfície carregada chegam à</p><p>outra superfície, a carga induzida é igual à carga indutora.</p><p>Chamamos isso de indução total.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++++</p><p>+</p><p>— —</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>————</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ + + + + +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++</p><p>+</p><p>+</p><p>I I = =I I I IQ</p><p>A</p><p>Q</p><p>B</p><p>Q</p><p>B</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>01. Determine a diferença de potencial entre o centro da esfera,</p><p>uniformemente carregada com densidade ρ e raio R, e o centro</p><p>do buraco, de raio r. A distância entre os centros vale a.</p><p>a</p><p>A)</p><p>ρ</p><p>6 a0∈</p><p>− +{a r r a}3 3 22 3</p><p>B)</p><p>ρ</p><p>6 a0∈</p><p>− +{a r r a}3 3 2</p><p>C)</p><p>ρ</p><p>3 a0∈</p><p>− +{a r r a}3 3 22</p><p>D)</p><p>ρ</p><p>3</p><p>3 33 3 2</p><p>a</p><p>{a r r a}− +</p><p>E)</p><p>ρ</p><p>6 a0∈</p><p>− +{ a r r a}3 2 33 3 2</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Solução:</p><p>O potencial em um ponto genérico da esfera (no interior)</p><p>uniformemente preenchida é dado por:</p><p>V</p><p>k Q</p><p>R</p><p>= −0</p><p>3</p><p>2 2</p><p>2</p><p>3( R r )</p><p>Por superposição de potenciais, temos:</p><p>I. Potencial no centro da esfera: V</p><p>A</p><p>V</p><p>k</p><p>R</p><p>R</p><p>k</p><p>R</p><p>a</p><p>A =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>ρ π ρ π</p><p>II. Potencial no centro do buraco: V</p><p>B</p><p>V</p><p>k</p><p>r</p><p>R</p><p>k</p><p>R</p><p>R</p><p>B = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>3</p><p>2 2</p><p>ρ π ρ π</p><p>( R a )</p><p>Assim,</p><p>V V</p><p>k</p><p>R</p><p>R</p><p>k</p><p>r</p><p>a</p><p>k</p><p>r</p><p>r</p><p>A B− =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>ρ π ρ π ρ π</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>k</p><p>R</p><p>R</p><p>0</p><p>3</p><p>3</p><p>2 2</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>ρ π</p><p>( R a )</p><p>=</p><p>∈</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>π</p><p>π π π π</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>0</p><p>3 3 3 3R r</p><p>a</p><p>r</p><p>r</p><p>R</p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2 2</p><p>R</p><p>( R a )</p><p>= − + − −( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>2 2 2</p><p>E</p><p>R</p><p>r</p><p>a</p><p>r R a</p><p>=</p><p>∈</p><p>− +{ }ρ</p><p>6</p><p>2 3</p><p>0</p><p>3 3 2</p><p>a</p><p>a r r a</p><p>02. Do conta-gotas 1 até a esfera metálica 2, de raio R, caem gotas</p><p>de água, a cada gota é comunicada uma carga q. Qual deve ser a</p><p>altura mínima de queda das gotas para que a esfera se preencha</p><p>completamente. Assuma que o raio da gota é muito menor que</p><p>o raio da esfera ( ).r R�</p><p>Obs: A altura é a medida entre o conta-gotas e o orifício.</p><p>Considere que esta altura é muito maior que R.</p><p>Dados:</p><p>• Permissividade do meio: ∈</p><p>0</p><p>;</p><p>• Densidade da água: ρ;</p><p>• Aceleração da gravidade: g.</p><p>A)</p><p>3</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>6</p><p>q R</p><p>grπ ρ∈</p><p>B)</p><p>q R</p><p>gr</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>616π ρ∈</p><p>C)</p><p>2</p><p>16</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>6</p><p>q R</p><p>grπ ρ∈</p><p>D)</p><p>9</p><p>16</p><p>2 2</p><p>0</p><p>6</p><p>q R</p><p>gr∈ ρ</p><p>E)</p><p>3</p><p>16</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>6</p><p>q R</p><p>grπ ρ∈</p><p>?</p><p>g</p><p>q</p><p>1</p><p>2</p><p>Solução:</p><p>Após preenchida, a esfera não deixará mais nenhuma gota</p><p>penetrar. Podemos dizer, para a próxima gota, que:</p><p>mgh</p><p>k Qq</p><p>R h</p><p>k Qq</p><p>R</p><p>+</p><p>+</p><p>=0 0</p><p>mgh</p><p>k Qq</p><p>R h</p><p>k Qq</p><p>R</p><p>k Qq</p><p>h</p><p>R</p><p>= −</p><p>+</p><p>+ = ⋅</p><p>+</p><p>0 0</p><p>0</p><p>(R h)</p><p>Qq</p><p>mgR</p><p>R h</p><p>Qq</p><p>mgR4 40 0π π∈</p><p>− = ≈</p><p>∈</p><p>A carga de cada gota é dada por:</p><p>Q nq</p><p>R</p><p>r</p><p>q</p><p>R</p><p>r</p><p>q= = = </p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p>Substituindo, temos:</p><p>h</p><p>R</p><p>r</p><p>q</p><p>r</p><p>gR</p><p>q R</p><p>gr</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∈ </p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∈</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>6</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>16π ρ π π ρ</p><p>03. Uma certa região do espaço varia o potencial com a posição da</p><p>seguinte maneira (ver gráfico). Determine o módulo da intensidade</p><p>do campo elétrico para x = 1 m. A curva representa um quarto</p><p>de circunferência.</p><p>V(V)</p><p>x(m)1,25</p><p>A) 4 N/C</p><p>B) 1/3 N/C</p><p>C) 4/3 N/C</p><p>D) 3/2 N/C</p><p>E) 1 N/C</p><p>Solução:</p><p>Como o gráfico é uma circunferência, podemos escrever:</p><p>V2+x2 = 1,252</p><p>Para determinarmos o campo elétrico na posição x = 1m, devemos</p><p>fazer:</p><p>E</p><p>dx</p><p>(x )</p><p>dV</p><p>,(x )</p><p>= = − =</p><p>−</p><p>⋅ ⋅ =</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>2 1 25 1</p><p>2 1</p><p>4</p><p>31</p><p>2 2</p><p>N/C</p><p>9 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exercícios</p><p>01. (OBF/2001) Um quadrado de lado L tem uma carga puntiforme</p><p>+Q fixa em cada um de seus vértices, como indicado na figura a</p><p>seguir. No centro O do quadrado é fixada uma carga puntiforme</p><p>–q. O ponto P, localizado ao longo do eixo perpendicular ao</p><p>plano do quadrado e que passa pelo seu centro, dista d do ponto</p><p>O. Considere que todo o sistema se encontra no vácuo, e que a</p><p>constante eletrostática do vácuo é denotada por K.</p><p>P</p><p>Ld</p><p>+Q</p><p>+Q</p><p>+Q</p><p>+Q</p><p>O –q</p><p>A) Calcule o valor da carga localizada no centro, para que o campo</p><p>elétrico resultante em P seja nulo.</p><p>B) Calcule o valor da carga localizada no centro para que</p><p>o potencial elétrico total em P seja nulo. Nesta situação,</p><p>determine o trabalho total realizado pelas forças elétricas sobre</p><p>uma carga de prova qualquer para trazê-la do infinito até o</p><p>ponto P, segundo uma trajetória arbitrária.</p><p>02. Na figura, temos um sistema massa-mola-massa composto por</p><p>2 esferas metálicas de carga Q e massa m, e por uma mola de</p><p>constante elástica K</p><p>m</p><p>, comprimento L, inicialmente não elongada.</p><p>O sistema é mantido em equilíbrio pela ação de um fio de nylon</p><p>não elástico, preso às esferas. Rompendo-se este fio, qual a</p><p>distância máxima entre as esferas?</p><p>Dados: K</p><p>m</p><p>= 1 N/m; L = 1 m; Q = 10 µC</p><p>K = 1 · 1010 (ct. eletrostática)</p><p>L</p><p>+ +</p><p>03. Um pós i t ron (e lé t ron</p><p>positivo) é lançado a partir</p><p>de uma distância d com uma</p><p>velocidade inicial v0, em</p><p>direção ao centro de uma</p><p>esfera condutora de raio</p><p>R carregada positivamente</p><p>com carga +Q, conforme</p><p>a figura. A esfera é dotada</p><p>de um furo diametral,</p><p>que possibilita ao pósitron</p><p>atravessar a esfera.</p><p>Determine a velocidade inicial mínima que possibilita ao pósitron</p><p>atravessar a esfera.</p><p>Observação: Despreze o campo gravitacional e considere a</p><p>esfera fixa.</p><p>Esfera fixa</p><p>d</p><p>e, m</p><p>R</p><p>vácuo</p><p>V0</p><p>04. Um elétron é lançado da superfície de</p><p>um condutor esférico com velocidade inicial</p><p>tangente ao condutor. A energia cinética</p><p>de lançamento é 200 eV e o condutor está</p><p>eletrizado com uma carga Q = 0,01 µC. A</p><p>influência do elétron sobre a distribuição</p><p>de cargas do condutor é desprezível. Qual</p><p>deve ser o raio do condutor para que o</p><p>máximo afastamento do elétron de sua</p><p>superfície seja igual ao raio? (Despreze</p><p>dissipações de energia).</p><p>Dado: k</p><p>0</p><p>= 9 · 109 (SI) → constante eletrostática.</p><p>A) 10 cm B) 20 cm</p><p>C) 30 cm D) 40 cm</p><p>E) 50 cm</p><p>05. Nos ângulos de um quadrado regular com lado a, localizam-se,</p><p>em cada ângulo, um elétron (carga –e, massa m). Devido à ação</p><p>das forças elétricas, os elétrons sofrem dispersão. Determine a</p><p>velocidade de cada elétron no infinito.</p><p>Dado: ε</p><p>0</p><p>= permissividade elétrica.</p><p>A) V</p><p>e</p><p>ma</p><p>�</p><p>�2</p><p>0</p><p>4 2</p><p>8</p><p>( )</p><p>��</p><p>B) V</p><p>e</p><p>ma</p><p>�</p><p>�2</p><p>0</p><p>4 3 2</p><p>8</p><p>( )</p><p>��</p><p>C) V</p><p>e</p><p>ma</p><p>�</p><p>�2</p><p>0</p><p>4 2 2</p><p>8</p><p>( )</p><p>��</p><p>D) V</p><p>e</p><p>ma</p><p>�</p><p>�2</p><p>0</p><p>1 2</p><p>4</p><p>( )</p><p>��</p><p>E) V</p><p>e</p><p>ma</p><p>�</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>8��</p><p>06. Determine as ve loc idades que te rão do i s e lé t rons</p><p>(massa m , carga –e) quando est iverem distanciados</p><p>λr(λ > 1), se os mesmos começam a movimentar-se a partir</p><p>de uma distância r.</p><p>Dado: ε</p><p>0</p><p>= permissividade elétrica.</p><p>A)</p><p>e</p><p>rm4</p><p>1</p><p>0</p><p>2��</p><p>�</p><p>�</p><p>( )�</p><p>B)</p><p>e</p><p>rm4</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2��</p><p>�</p><p>�</p><p>( )�</p><p>C)</p><p>e</p><p>rm4</p><p>1</p><p>0��</p><p>�</p><p>�</p><p>( )�</p><p>D)</p><p>e</p><p>rm4</p><p>1</p><p>0��</p><p>�</p><p>�</p><p>( )�</p><p>E)</p><p>e</p><p>rm4</p><p>1</p><p>0</p><p>3</p><p>2��</p><p>�</p><p>�</p><p>( )�</p><p>07. Um campo elétrico variável tem seu módulo mudado com a</p><p>posição x de acordo com o gráfico seguinte. Uma carga Q,</p><p>devido ao citado campo, desloca-se da origem x = 0 até a posição</p><p>x = a. O gráfico tem suas unidades no M.K.S. O trabalho realizado</p><p>pela força elétrica sobre a carga Q no deslocamento de x = 0 até</p><p>x = a vale:</p><p>A)</p><p>QEa</p><p>2</p><p>B)</p><p>QE a0</p><p>2</p><p>C)</p><p>QE a0</p><p>4</p><p>D) 2πQE</p><p>0</p><p>a</p><p>E) πQE</p><p>0</p><p>a</p><p>R</p><p>P</p><p>0</p><p>P</p><p>1</p><p>2R V</p><p>0</p><p>O</p><p>V</p><p>1</p><p>E (N/C)</p><p>E</p><p>0</p><p>semielipse</p><p>x</p><p>a</p><p>10F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>08. Duas pequenas esferas de metal(puntiformes), de massas m</p><p>e cargas +q cada, estão mantidas encostadas na superfície</p><p>interna de um anel, feito de acrílico, de raio r e massa 4 m.</p><p>Todo o conjunto está inicialmente em repouso sobre um plano</p><p>horizontal liso, com as esferas separadas pela distância r.</p><p>Sendo k a constante eletrostática do meio, determine a velocidade</p><p>máxima atingida pelo anel, após as esferas serem liberadas.</p><p>r</p><p>r</p><p>09. Três pequenas esferas idênticas de mesma</p><p>+q</p><p>+q</p><p>+q</p><p>carga +q e massa m estão apoiadas sobre</p><p>um plano horizontal liso, conectadas</p><p>entre si através de fios de nylon, formando</p><p>um triângulo equilátero de lado L. Em</p><p>seguida, corta-se um dos fios. Determine</p><p>a máxima velocidade v atingida pela</p><p>carga elétrica do vértice ao fio que foi</p><p>cortado, sabendo-se que a constante</p><p>eletrostática do meio vale k.</p><p>10. Sobre um plano inclinado e com ângulo a = 30º, ilustrado na figura</p><p>seguinte, encontraram-se dois blocos carregados eletricamente</p><p>com cargas q</p><p>1</p><p>= 2 · 10–3 C e q C2</p><p>41</p><p>9</p><p>10� � � .</p><p>Sabe-se que o bloco 1 está fixado na posição A e que o bloco 2</p><p>é móvel e possui massa m</p><p>2</p><p>= 0,1 kg. Num certo instante, o bloco</p><p>2 encontra-se a uma altura h = 8 m e desloca-se com velocidade</p><p>linear V � �90 9 49, m/s, como mostra a figura a seguir..</p><p>Dados: K</p><p>N m</p><p>C</p><p>� �</p><p>�</p><p>9 109</p><p>2</p><p>2</p><p>; considere g = 10 m/s2.</p><p>A</p><p>αxx</p><p>xx</p><p>B</p><p>h</p><p>N.m2</p><p>C2</p><p>Determine:</p><p>A) as distâncias mínima e máxima entre os dois blocos.</p><p>B) a máxima velocidade linear que o bloco 2 atinge.</p><p>11. A figura mostra, em corte, dois condutores esféricos muito afastados,</p><p>interligados por um fio condutor fino. O condutor da esquerda está</p><p>no centro de uma cavidade esférica condutora ligada à Terra. Antes</p><p>da esfera esquerda ser colocada na cavidade, o conjunto das duas</p><p>esferas interligadas estava a um potencial V</p><p>0</p><p>. Determine a carga na</p><p>superfície interna da cavidade.</p><p>e</p><p>R R</p><p>12. Uma esfera condutora sólida com carga positiva está localizada</p><p>dentro de uma casca condutora neutra. Qual das figuras</p><p>seguintes representa corretamente as linhas de campo elétrico</p><p>do sistema?</p><p>A) B)</p><p>C) D)</p><p>E)</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>13. Acompanhando uma linha reta, existe um número infinito de</p><p>cargas alternadamente positivas e negativas ±q, sendo todas as</p><p>cargas adjacentes separadas pela mesma distância r, conforme</p><p>figura a seguir. Determine a energia potencial de uma carga.</p><p>Sugestão: �n x x</p><p>x x x</p><p>( ) ...1</p><p>2 3 4</p><p>2 3 4</p><p>� � � � �</p><p>Dado: ε</p><p>0</p><p>→ permissividade elétrica.</p><p>q</p><p>r</p><p>+ + + + + +</p><p>14. Uma carga pontual +q posicionada a uma distância d de uma</p><p>lâmina metálica plana e muito extensa. Determine a energia de</p><p>interação entre elas.</p><p>Observação: A lâmina está aterrada.</p><p>15. A figura ilustra a situação inicial em que dois blocos,</p><p>considerados puntiformes e carregados eletricamente com</p><p>cargas Q</p><p>A</p><p>= +5 · 10–5 C e Q</p><p>B</p><p>= +4 · 10–4 C, encontram-se</p><p>afastados pela distância z. O bloco A desloca-se com velocidade</p><p>vi = 5 m/s e dista x do anteparo. O bloco B encontra-se afixado na</p><p>parede e o conjunto mola-anteparo possui massa desprezível.</p><p>Sabendo que a superfície entre o bloco B e o anteparo</p><p>não possui atrito, e que na região à esquerda do anteparo</p><p>o coeficiente de atrito dinâmico da superfície é µ</p><p>C</p><p>= 0,5,</p><p>determine:</p><p>Dados: Constante eletrostática K = 9 · 109 Nm2/C2</p><p>Constante de elasticidade da mola = 52 N/m</p><p>Distância z entre os dois blocos = 9 m</p><p>Distância x entre o bloco A e o anteparo = 11 m</p><p>Massa do bloco A = 2 kg</p><p>A aceleração da gravidade g = 10 m/s2</p><p>11 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.158 - 130271/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>x</p><p>atrito</p><p>anteparo</p><p>V</p><p>I A</p><p>+++</p><p>+++</p><p>+++</p><p>+++</p><p>+++</p><p>+++</p><p>B</p><p>z</p><p>A) A velocidade com que o bloco A atinge o anteparo.</p><p>B) A compressão máxima y da mola, considerando para efeito de</p><p>cálculo que z + x + y ≅ z + x.</p><p>C) A energia dissipada até o momento em que a mola atinge sua</p><p>deformação máxima.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* 2 m * C A</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C C * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* B * * *</p><p>* 01: A)</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3 2</p><p>Qd</p><p>L</p><p>d+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>/ B)</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>Qd</p><p>L</p><p>d</p><p>e</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=/ τ</p><p>03: v</p><p>kQq</p><p>Rd</p><p>d R</p><p>m</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>08:</p><p>k q</p><p>mr</p><p>0</p><p>2</p><p>12</p><p>09:</p><p>2</p><p>3</p><p>2kq</p><p>mL</p><p>10: A) 10 m e 40 m B) 10 m/s</p><p>11: Q</p><p>RV</p><p>R e</p><p>=</p><p>− +</p><p>+</p><p>8</p><p>2</p><p>0 0πε (R e)</p><p>13: �q</p><p>r</p><p>n</p><p>2</p><p>02</p><p>2</p><p>��</p><p>�</p><p>14: −Kq</p><p>d</p><p>2</p><p>4</p><p>15: A) 6 m/s B) 1 m C) 10 J.</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>naldo/REV.: Lícia</p><p>felipe</p><p>Retângulo</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>1.</p><p>a)</p><p>i)</p><p>ii) Observe que o triângulo BPD (BPD) é equivalente ao APC por causa do quadrado e que os campos elétricos de cada</p><p>carga + Q são equivalentes em módulo.</p><p>iii) No ponto P:</p><p>iv) Analisando o APC, pela equivalência com o BPD, concluímos que o campo das quatro cargas + Q no ponto P é 4E’cos.</p><p>v) Para que o campo elétrico seja nulo no ponto p, é necessário que o módulo do campo elétrico de – q seja igual ao módulo</p><p>4E’cos.</p><p>Portanto:</p><p>K</p><p></p><p>2</p><p>q K</p><p>4</p><p>d</p><p> </p><p>      </p><p>      </p><p>                                                    </p><p>22 2 2 2</p><p>22 2 2 2</p><p>2</p><p>Q q Q 4 Qdd d</p><p>4 q =</p><p>dL L L LL+ d + d + d + d+ d2 2 2 22</p><p>3</p><p>2 3/2</p><p>b)</p><p>i)  </p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 4</p><p>KU + Q = K Q L 2 + d</p><p>></p><p>U q = k q d–</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>U Q</p><p>Q K</p><p>–</p><p>L</p><p>+ d</p><p>2</p><p></p><p></p><p>   </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>U q</p><p>q q 4 Q 4 Qd</p><p>0 q =</p><p>d d L L+ d + d</p><p>2 2</p><p>3/2</p><p>3</p><p>São 4 cargas + Q Soma dos potenciais em P é zero.</p><p>ii)</p><p></p><p>             </p><p></p><p>q</p><p>inicial</p><p>prova final inicial prova</p><p>ficial</p><p>U</p><p>U 0 U U g 0</p><p>U</p><p>Obs.: Por conversão, o potencial elétrico no infinito e zero.</p><p>Essa soma vetorial foi feita no BPD.</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>2.</p><p>i) A distância máxima entre as</p><p>esferas irá ocorrer quando não houver mais movimento, ou seja, energia cinética.</p><p>ii) O sistema é conservativo, pois não possui forças externas ou dissipadoras de energia. Portanto, por conservação de energia,</p><p>temos:</p><p> </p><p>    </p><p>  </p><p> </p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>K m x k m xK Q K Q 1 1</p><p>= + K Q – =</p><p>L 2 L L + x 2L + x</p><p> 2</p><p>L</p><p>KQ</p><p> x – L</p><p> </p><p>  </p><p>   </p><p>  </p><p>2</p><p>2</p><p>km x x</p><p>KQ</p><p>2L L x  </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>2</p><p>km x</p><p>L L x 2</p><p>; x  0, pois seria a condição inicial.</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>         </p><p>  </p><p>2</p><p>10</p><p>km 1N / mkm x</p><p>2kQ km L L x x L 1m ; Q 10 C</p><p>2L L x k 1/10</p><p>2</p><p>K Q</p><p>  </p><p> </p><p>            </p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>–610 10 2 –2 2</p><p>u</p><p>2 10 10 10 1 1 1 x x 2 10 . 10 10 x x</p><p>  </p><p>             2 2 1 3 – 2 m (Abs)</p><p>x x 2 x x – 2 0 1 – 4 1 – 2 9 x –</p><p>1 m2</p><p>iii) Observe que x = – 2 m implica que houve contração na mola, ou seja, as esferas se aproximaram. Como a questão pede o</p><p>afastamento máximo implica que x = – 2 m é absurdo. Logo, x = 1 m.</p><p>iv) Observe que x é a variação de comprimento da mola. O afastamento máximo é L + x, ou seja, 2 m.</p><p>3.</p><p>i) Para efeito de simplificação de contas, considere as dimensões do furo desprezíveis em relação às dimensões da esfera.</p><p>(Afinal, o diâmetro desse tubo equivale ao diâmetro do pósitron, o qual é muito pequeno).</p><p>ii) A condição de velocidade inicial mínima ocorre quando o pósitron atravessa a esfera toda e chega ao fim com velocidade</p><p>final igual a zero, pois, se a pósitron chegar ao fim do túnel com velocidade final > 0, ele terá velocidade para ir além do que</p><p>o necessário.</p><p>iii) O sistema é conservatório, logo, por conservação de energia:</p><p>   </p><p>          </p><p>   </p><p>2 2 2</p><p>0 0 0</p><p>0</p><p>KQe mV KQe mV KQe KQe mV d – R 2KQe d – R</p><p>– KQe V</p><p>d 2 R 2 R d 2 Rd m Rd</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>4.</p><p>i)</p><p>A condição de máximo afastamento, neste caso,</p><p>ocorre quando, no ponto mais alto da trajetória,</p><p>a velocidade V1 é perpendicular a trajetória.</p><p>Observe que, se essa condição não ocorresse, no</p><p>ponto P1 ainda haveria aproximação ou</p><p>afastamento, ou seja, o máximo afastamento</p><p>não ocorreria.</p><p>ii) Observe que o torque resultante nesse sistema é zero (o vetor força elétrica) entre o elétron e o condutor, possui direção</p><p>radial, logo o momento angular é conservativo.</p><p>m 0V R osen90  m 1V 2R  osen 90      </p><p>2</p><p>20 0</p><p>0 1 1 1</p><p>V V</p><p>V 2V V V</p><p>2 4</p><p>       </p><p>2 2</p><p>2 2 2 20 0</p><p>1 1 0 1</p><p>V 1 1 V 1 1</p><p>mV m m V m mV 200eV mV 50eV</p><p>4 2 2 4 2 2</p><p>iii) O sistema é conservativo, logo, por conservação de energia:</p><p></p><p>      </p><p>2 2</p><p>0 1KQe mV KQ e mV KQe KQe</p><p>– – 200eV – 50eV</p><p>R 2 2R 2 R 2R</p><p> </p><p>     </p><p> </p><p>2 KQe KQe KQ e</p><p>– 200eV – 50eV</p><p>2 R 2R</p><p> 150 e</p><p>2R</p><p>  </p><p> </p><p>9 –69 10 0,01 10</p><p>V 150V</p><p>2R</p><p>  </p><p>    </p><p></p><p>– 699 10 0,01 10</p><p>R R 0,3 m 30 cm</p><p>150 2</p><p>Resposta: C</p><p>5.</p><p>i)</p><p>AB BC CD DA a   </p><p>AC BD a 2 </p><p>As partes circuladas são as energias potenciais entre os elétrons.</p><p>ii) Energia potencial = 1 2KQ Q</p><p>d</p><p>. No infinito, d  , logo 1 2KQ Q</p><p>d</p><p> 0.</p><p>Portanto, no infinito haverá apenas energia cinética.</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>iii) Por conservação de energia:</p><p>          </p><p>        </p><p>      </p><p>2 2 2K – e – e K – e – e 4 mV 4 Ke 2 2Ke 4mV</p><p>4 2</p><p>a 2 a 2a 2 2 a 2</p><p> </p><p>24 2Ke</p><p>a 2</p><p></p><p>22Ke</p><p>a 2  </p><p>    </p><p>   </p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 1 24mV 2Ke</p><p>V</p><p>4a m</p><p>2</p><p>    </p><p>     </p><p>  </p><p>2 2</p><p>2</p><p>0 0</p><p>Ke 4 2 e 4 21</p><p>V K V</p><p>2am 4 8 ma</p><p>6.</p><p>i)</p><p>ii) O sistema é conservativo, logo, por conservação do momento linear:</p><p>   </p><p>    </p><p>0 0 1 2 1mV mV mV mV mV </p><p></p><p>2mV      </p><p> </p><p>1 2 1 20 V – V V V V</p><p>0 0</p><p>Sinal negativo indica que o vetor v1 possui sentido</p><p>contrário ao vetor v2, mas os módulos de v1 e v2 são iguais.</p><p>iii) Por conservação de energia:</p><p>       </p><p>  </p><p> </p><p>2</p><p>1 2</p><p>K – e – e K – e – e mV mV</p><p>2 2</p><p> </p><p>      </p><p>    </p><p>2 2 2 2 2Ke Ke mV mV Ke 1 2</p><p>1 –</p><p>2 2</p><p>2mV</p><p>2</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>2</p><p>2Ke – 1</p><p>mV</p><p>  </p><p>       </p><p>      </p><p>2</p><p>2</p><p>0 0 0</p><p>– 11 e – 1 e</p><p>K mV V</p><p>4 4 4 m</p><p>7.</p><p>i) Pela definição de trabalho,  F x dx   . Pelo enunciado da questão,</p><p>   F x E x Q,  logo    E x Q dx QE x dx       </p><p>ii) A carga Q é constante, logo  Q E x dx   (I)</p><p>iii) Pela definição de integral,  E x dx  área do gráfico.</p><p>Símbolo de numericamente igual, ou seja, apenas o valor do número é igual.</p><p>iv) O gráfico da questão é metade de uma elipse, logo   AB</p><p>E x dx</p><p>2</p><p></p><p> (II),</p><p>aonde A (eixo maior) =</p><p>a</p><p>2</p><p>e B(eixo menor) = E0.</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>v) Substituindo (II) em (I):   AB</p><p>E x dx</p><p>2</p><p></p><p> (II)</p><p>0</p><p>0</p><p>Q a QE a</p><p>E</p><p>2 2 4</p><p>  </p><p>       </p><p> </p><p>Resposta correta: Letra C</p><p>8.</p><p>i) As esferas de massa m são equivalentes e o sistema é simétrico, logo as velocidades das esferas de massa m são iguais em</p><p>módulo.</p><p>ii) Para um ponto qualquer do anel, temos:</p><p>Conservando o momento linear no eixo vertical: 2m Vsen 4 m </p><p></p><p>1</p><p>V 0</p><p></p><p>      </p><p></p><p> V V</p><p>V' sen V' sen</p><p>2 2</p><p>(Módulo da velocidade do anel)</p><p>iii) Condição de V’ máximo:  = 90º, logo, quando V’ é máximo, a distância entre as cargas q (apenas de massa m) é 2 r.</p><p>iv) Condição de máximo:   </p><p>V</p><p>V' V 2V'</p><p>2</p><p>v) Por conservação de energia:</p><p> </p><p>2</p><p>2 2 2 4m V'Kq Kq 2mV</p><p>2 2 2</p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>24m V' 4m V'2 Kq Kq 2mV Kq 2m</p><p>2V'</p><p>2 2 2 2 2 2 2</p><p>      </p><p>  </p><p>2Kq</p><p>2</p><p></p><p> </p><p>2</p><p>8m</p><p>2</p><p></p><p></p><p> </p><p>2</p><p>4m V'</p><p>2</p><p>  </p><p>2 2</p><p>2 Kq kq</p><p>V' V'</p><p>12m 12m</p><p>   </p><p> </p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>9.</p><p>i) Baseado na questão 8, temos:</p><p>Início: Fim:</p><p>As partes circuladas representam a energia potencial elétrica entre duas cargas elétricas.</p><p>ii) O sistema é conservativo, logo, por conservação de momento linear:</p><p>   </p><p>  </p><p>0 2mV' mV mV – 2m    </p><p>  </p><p>V' V 2V' V 2V'</p><p>iii) Por conservação da energia:</p><p>    </p><p>          </p><p> </p><p>2 2</p><p>2 2 2 2 2 2 2 22m V' 2m V'3Kq 2Kq Kq mV 2 3Kq 2 2Kq Kq mV</p><p>L L 2L 2 2 2 L 2 L 2L 2 2</p><p>22 2 2 2 2 2 26Kq 4Kq Kq 2m V mV Kq 2mV 4 mV</p><p>2L 2L 2L 2 2 2 2L 8 4 2</p><p>  </p><p>         </p><p>   </p><p>2 2 2 2Kq 6mV 8Kq 2Kq</p><p>V V</p><p>2L 8 12mL 3mL</p><p>     </p><p>10.</p><p>a)</p><p>i) A condição de distância máxima e mínima ocorre quando a velocidade é zero.</p><p>ii) Antes: Depois:</p><p>iii) Conservando a energia:</p><p>2</p><p>1 2 1 2Kq q mV Kq q</p><p>mgh mgdsen30º</p><p>16 2 d</p><p>   </p><p>– 4 –39 –4 –3 91 1</p><p>9 10 10 2 10 9 10 10 2 10</p><p>9 90,1 90 1</p><p>0,1 10 8 0,1 10 d</p><p>16 2 d 2</p><p>   </p><p>           </p><p>              </p><p> </p><p>2200 9 200 d 200 d</p><p>8 25 50d 400 d</p><p>16 2 d 2 d 2</p><p>          </p><p>   2 50 30</p><p>d – 50d 400 0 2500 – 4 1 400 900 d</p><p>2</p><p></p><p>       </p><p>mínimo máximod 10 m e d 40 m  </p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>b)</p><p>i) A condição de velocidade máxima ocorre quando a aceleração é igual a zero.</p><p>ii) No eixo paralelo a rampa, temos: 1 2</p><p>2 2</p><p>Kq q 1 200</p><p>mgsen30º 0,1 10</p><p>2x x</p><p> </p><p>     </p><p> </p><p>2</p><p>1 200</p><p>x 20 m</p><p>2 x</p><p>    (Distância entre os blocos que ocorre Vmáx)</p><p>iii) Conservando a energia:</p><p>2 2</p><p>1 2 1 2Kq q mV Kq q mV máx</p><p>mgh mgxsen30</p><p>16 2 x 2</p><p>    </p><p>2</p><p>máx</p><p>máx</p><p>200 1 0,1 V</p><p>25 0,1 10 20 V 10 m / s</p><p>20 2 2</p><p>  </p><p>         </p><p> </p><p>11.</p><p>i) Situação inicial: QTOTAL = 220  0</p><p>TOTAL</p><p>2V R</p><p>Q</p><p>K</p><p></p><p>ii) Potencial da esfera que está dentro da casca: 1 1</p><p>1</p><p>KQ KQ</p><p>V –</p><p>R R e</p><p></p><p></p><p>iii) Potencial da esfera que está fora da casca: 2</p><p>2</p><p>KQ</p><p>V</p><p>R</p><p></p><p>iv) O equilíbrio ocorre quando V1 = V2</p><p>v)</p><p>K 1Q K</p><p>–</p><p>R</p><p>1Q K</p><p>R e</p><p></p><p></p><p>2Q</p><p>R</p><p>R</p><p>   1 1e Q – RQ   2 2 1</p><p>e</p><p>R e Q Q Q</p><p>R e</p><p> </p><p>     </p><p> </p><p>vi) A carga entre as esferas de raio R é conservada, logo QTOTAL = Q1 + Q2</p><p>vii) 0 0 0</p><p>1 2 1 1 1</p><p>2V R 2V R R e e 2V R R 2e</p><p>Q Q Q Q Q</p><p>K K R e R e K R e</p><p>      </p><p>           </p><p>       </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>0 0 0 0</p><p>1 carga esférica 1</p><p>8 V R R e 8 RV R e</p><p>Q Q Q –</p><p>R 2e R 2e</p><p>    </p><p>    </p><p> </p><p>iii)</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>12.</p><p>i) O número de linhas de campo elétrico é proporcional ao módulo da carga elétrica. Como o módulo da carga elétrica</p><p>induzida na</p><p>casca condutora é igual ao módulo da carga positiva, implica que a quantidade de linhas de campo emitida pela</p><p>casca condutora é igual a quantidade de linhas de campo emitida pela carga positiva.</p><p>ii) Uma das propriedades de campo elétrico é que a linha de campo elétrico são perpendiculares a superfície do condutor.</p><p>iii) Na casca condutora teremos cargas com valor positivo e negativo. As cargas com valor negativo ficarão presas as linhas de</p><p>campo elétrico da carga que está dentro da casca. A carga com valor positivo irá ser distribuída pela casca condutora, por</p><p>causa da repulsão, de tal maneira que a distribuição fique simétrica (condição de maior distanciamento).</p><p>iv) Baseado nos passos acima, temos o seguinte sistema:</p><p>Resposta correta: Letra B</p><p>13.</p><p>i) Há um erro no enunciado da questão. Na parte de “sugestões” temos que</p><p> </p><p>2 3 4x x x</p><p>n 1 x x –</p><p>2 3 4</p><p>    ... , porém, na realidade,    </p><p>2 3 4x x x</p><p>n 1 x x – – ...</p><p>2 3 4</p><p>ii) O número de cargas é infinito, portanto, para qualquer parte da linha que selecionarmos, teremos a seguinte situação:</p><p>A parte circulada representa a energia potencial elétrica entre duas cargas.</p><p>iii) Para uma carga, nesse caso a positiva, temos a seguinte energia potencial elétrica:</p><p>Energia =</p><p>2 2 2 2Kq Kq Kq Kq</p><p>2 – 2 2 – 2 ...</p><p>2 3 4</p><p>       </p><p>          </p><p>          </p><p>Energia =</p><p> </p><p>2</p><p>n 1 x , x 1</p><p>Kq 1 1 1</p><p>2 – 1 – – ...</p><p>2 3 4</p><p> </p><p>   </p><p>    </p><p>   </p><p></p><p></p><p>Energia =</p><p>2Kq</p><p>2 – n2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> Energia =   </p><p> </p><p></p><p>2</p><p>0</p><p>1 q</p><p>2 n2</p><p>4</p><p> Energia =</p><p>2</p><p>0</p><p>q</p><p>– n2</p><p>2 </p><p></p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>14.</p><p>i) Para que a questão tenha solução, vamos supor que todas as linhas de campo elétrico da carga pontual + q chegam na</p><p>lâmina metálica. Se não supormos isso, será extremamente difícil saber quantas linhas chegam na lâmina e, dessa maneira,</p><p>saber a carga induzida na lâmina.</p><p>ii) Como todas as linhas de campo elétrico da carga pontual + q chegam na lâmina metálica, a carga induzida nela – q. Por ser</p><p>uma questão de facilitação de contas, vamos supor que as linhas de campo da carga induzida – q chegam em uma carga</p><p>pontual – q que está localizada a uma distância d da lâmina metálica. Portanto, temos a seguinte situação:</p><p>iii) Para essa situação, teríamos que a energia do sistema equivalerá a</p><p>2Kq</p><p>–</p><p>2d</p><p>. Porém, esse sistema é composto apenas pela</p><p>carga pontual + q e a placa metálica, ou seja, apenas metade dessas linhas de campo existem. Portanto, pela simetria do</p><p>sistema, a energia de interação entre a carga + q e a placa metálica é</p><p>2Kq</p><p>–</p><p>4d</p><p>.</p><p>Esse tipo de problema é conhecido como Método das Imagens.</p><p>15.</p><p>a)</p><p>i)</p><p>ii) No espaço x + z não há atrito, portanto, podemos conservar a energia:</p><p>2 2 2 2</p><p>A B A i A B A f A i A f</p><p>A B</p><p>KQ Q m V KQ Q m V 1 1 m V m V</p><p>KQ Q –</p><p>z 2 x z 2 z x z 2 2</p><p> </p><p>      </p><p>  </p><p>2 2</p><p>fV</p><p>2</p><p></p><p>9 910 5  –510 4  –4 11</p><p>10</p><p>9</p><p></p><p>20  </p><p>2</p><p>2</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>2 2</p><p>f f5 V 36 V 6m / s    </p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>b)</p><p>i) A condição de compressão máxima ocorre quando a energia cinética do bloco A por zero.</p><p>ii) Na situação final, a energia do sistema será a energia que ele tinha antes de entrar na zona de atrito menos a energia</p><p>dissipada pelo atrito, logo:</p><p>   </p><p> </p><p>         </p><p>   </p><p></p><p>2 2 2 2</p><p>1 2 1 2 f 1 2 1 2</p><p>k z</p><p>Ky KQ Q KQ Q mAV Ky KQ Q KQ Q mAVf</p><p>– Fat y – N y</p><p>2 2 2 y z x z 2x z y x z</p><p> Na vertical:  </p><p>2</p><p>2 252y 2</p><p>N mA g 6 – 0,5 2 10 y 26y 10y – 36 0</p><p>2 2</p><p>          </p><p> </p><p>1</p><p>2</p><p>y 1 m10 62</p><p>3844 y – y 1 m72</p><p>y m absurdo52</p><p>52</p><p></p><p>      </p><p></p><p>c) A energia dissipada é Fat y N y mA g y 0,5 2 10 1 10J             </p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: EDNA – REV.: CARLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: corrente elétrica</p><p>frente: Física iii</p><p>005.507 – 131456/18</p><p>AULAS 22 e 23</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Introdução</p><p>Consideramos uma região do espaço em que exista uma</p><p>distribuição de cargas em movimento. Seja uma superfície de área A,</p><p>real ou imaginária, nesta região.</p><p>Definimos a corrente elétrica média como sendo a razão entre</p><p>a carga líquida que atravessa a superfície num determinado sentido,</p><p>e o intervalo de tempo transcorrido.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++</p><p>+</p><p>A</p><p>Movimento de cargas ordenado</p><p>É evidente que, se o movimento de cargas é aleatório, com</p><p>portadores de carga se movendo em todas as direções, devemos ter</p><p>uma corrente elétrica média nula, pois a cada portador que atravessa</p><p>a superfície num sentido, corresponde a outro que a atravessa no</p><p>sentido contrário. Neste caso:</p><p>Ι</p><p>∆</p><p>∆</p><p>= =</p><p>q</p><p>t</p><p>0</p><p>Porém, se existe um sentido preferencial de movimento dos</p><p>portadores, o que acontece é bem diferente, pois a contagem dos</p><p>portadores indica que um número maior deles atravessa a superfície</p><p>nesse sentido. Isto nos dá uma carga total (líquida) ∆q não nula e uma</p><p>corrente elétrica média dada por:</p><p>Ι</p><p>∆</p><p>∆</p><p>=</p><p>q</p><p>t</p><p>Podemos também definir a corrente elétrica instantânea</p><p>na forma:</p><p>Ι</p><p>∆</p><p>∆∆</p><p>= =</p><p>→</p><p>lim</p><p>t</p><p>q</p><p>t</p><p>dq</p><p>dt0</p><p>Aqui, q(t) e i(t) são funções do tempo. A partir da representação</p><p>gráfica da corrente elétrica, ou seja, da forma de ondas da corrente</p><p>elétrica, podemos calcular a carga que atravessa a superfície de</p><p>referência, num intervalo de tempo ∆t. Basta calcular a integral (ou</p><p>seja, a “área” sob o gráfico) da corrente elétrica no tempo:</p><p>∆q i t dt</p><p>t</p><p>t</p><p>= ( )∫</p><p>1</p><p>2</p><p>i (t)</p><p>t</p><p>Gráfico de corrente elétrica contra o tempo</p><p>Costumamos classificar a corrente elétrica de acordo com a</p><p>situação a que corresponde o movimento de cargas. Uma corrente</p><p>elétrica de convecção ocorre quando se verifica a translação de uma</p><p>nuvem de elétrons (como em tubos catódicos) ou de íons, ou ainda</p><p>quando observamos as cargas estáticas de um corpo carregado em</p><p>movimento. Uma corrente elétrica de condução se dá quando os</p><p>portadores se movem num material estacionário, como num metal;</p><p>em que os elétrons de valência atravessam uma rede cristalina com</p><p>íons positivos em posições fixas.</p><p>Quanto ao sentido da corrente, costumamos classificá-la como</p><p>contínua quando o campo elétrico externo possui sempre o mesmo</p><p>sentido e alternada quando o sentido do campo externo é invertido</p><p>periodicamente.</p><p>A) i</p><p>t</p><p>(a)</p><p>B) i</p><p>t</p><p>(c)</p><p>C) i</p><p>t(b)</p><p>D) i</p><p>t</p><p>(d)</p><p>Forma de onda de uma corrente contínua (a) e corrente alternada em forma de</p><p>onda harmônica (b), quadrada (C) e triangular (D)</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.507 – 131453/18</p><p>Quanto à duração da corrente elétrica ela pode ser classificada</p><p>como transiente, se for curta duração, como a que surge no processo</p><p>de redistribuição de cargas num condutor até atingir o equilíbrio</p><p>eletrostático; ou estacionária se é produzida por uma diferença</p><p>de potencial mantida por um agente externo (como veremos mais</p><p>adiante, uma corrente estacionária deve ser produzida por uma fonte</p><p>ou gerador – de tensão ou corrente).</p><p>Unidade de corrente</p><p>A unidade de corrente elétrica no SI é o ampère. O ampère é</p><p>definido originalmente como segue:</p><p>“Quando dois condutores retilíneos paralelos, afastados um</p><p>metro, interagem com uma força por unidade de comprimento de</p><p>2 x 10–7 N/m, a corrente elétrica que os atravessa vale um ampère (1 A).”</p><p>Esta definição, decorrente do eletromagnetismo equivale</p><p>exatamente ao fluxo de uma carga de 1C na superfície de referência</p><p>após 1 s:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>A</p><p>C</p><p>s</p><p>=</p><p>Por vezes usaremos submúltiplos do ampère como miliampère</p><p>(1mA = 10–3 A) e o microampère (1mA = 10–6 A).</p><p>No sistema CGS (ES) a unidade é o statAmpère, tal que:</p><p>2997924536,8431 statA, ou seja: 1A ≈ 3,0 · 109 statA.</p><p>O vetor densidade de corrente elétrica</p><p>A definição da corrente elétrica como razão entre carga e</p><p>tempo nos leva a concluir que ela se trata de uma grandeza escalar.</p><p>Não obstante, o movimento de cargas deve conter uma</p><p>informação de direção e sentido, que só pode ser descrito por uma</p><p>grandeza vetorial.</p><p>Tal grandeza é a densidade de</p><p>dá, graças à existência de portadores de cargas</p><p>livres. Estes portadores podem ser de dois tipos:</p><p>• Elétrons livres: neste caso, o semicondutor é dito de tipo</p><p>n (de negativo).</p><p>• “Buracos”: um buraco é uma ausência de elétrons, que</p><p>pode “passar” por um semicondutor. Neste caso, ele é dito de tipo-p</p><p>(de positivo).</p><p>O número de portadores (elétrons livres ou buracos) em um</p><p>semicondutor é sempre muito menor do que em um condutor.</p><p>Existem outras classificações de materiais, por exemplo, os</p><p>supercondutores, mas não nos preocupemos tanto nesse momento.</p><p>Processos de eletrização</p><p>Chamamos de processos de eletrização as possíveis formas de</p><p>eletrizar um material inicialmente neutro. Tal material pode se eletrizar</p><p>positivamente (perdendo elétrons) ou negativamente (recebendo</p><p>elétrons).</p><p>Eletrização por atrito</p><p>Consiste em atritar dois materiais até que elétrons de um</p><p>deles migrem para o outro. Nesta situação, as cargas sempre possuem</p><p>mesmo módulo e sinais opostos.</p><p>Façamos o seguinte experimento: esfreguemos um bastão de</p><p>vidro em um pedaço de seda. A seda por sua vez consegue extrair</p><p>elétrons do bastão, ficando assim com carga negativa. O bastão por</p><p>sua vez, fica carregado positivamente.</p><p>a b c</p><p>– –</p><p>––</p><p>+ ++ + +</p><p>Um bastão de vidro e um pedaço de seda, inicialmente neutros</p><p>(a) são atritados, havendo passagem de elétrons do vidro para a seda</p><p>(b), que ficam, ao final do processo, com cargas positiva e negativa,</p><p>respectivamente (c).</p><p>Depois de fazer tal experiência inúmeras vezes, cientistas</p><p>montaram a seguinte tabela, indicando qual material deve ceder</p><p>elétrons em relação a outros. Essa série de valores foi batizada como</p><p>série triboelétrica.</p><p>Série triboelétrica</p><p>Pele de coelho</p><p>+</p><p>–</p><p>Vidro polido</p><p>Mica</p><p>Marfim</p><p>Lã</p><p>Pele de gato</p><p>Penas</p><p>Seda</p><p>Algodão</p><p>Âmbar</p><p>Ebonite</p><p>Celuloide</p><p>Observe a posição da seda e do vidro como visto anteriormente.</p><p>Eletrização por contato</p><p>É o processo que ocorre quando um corpo neutro é colocado</p><p>em contato com um corpo eletrizado, havendo uma redistribuição de</p><p>carga elétrica entre eles. Se um ou ambos os corpos são isolantes, a</p><p>troca de cargas se dá apenas em uma pequena região em torno do</p><p>contato. Se ambos os corpos forem condutores, a troca de cargas</p><p>afeta a totalidade dos mesmos.</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ ++</p><p>+</p><p>+</p><p>+ + +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>– ––</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>– – – –</p><p>–</p><p>–</p><p>a</p><p>b</p><p>–</p><p>–––</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>+</p><p>+</p><p>Eletrização por contato entre dois condutores, sendo um</p><p>inicialmente carregado com carga positiva a e negativa b.</p><p>No caso bastante particular de condutores esféricos idênticos, a</p><p>redistribuição de cargas se faz meio a meio. Estudaremos alguns casos</p><p>mais diferentes ao definirmos potencial elétrico. Veja um exemplo de</p><p>contato entre dois condutores esféricos:</p><p>+ +</p><p>++</p><p>+ +</p><p>++</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ +</p><p>e–</p><p>a</p><p>b</p><p>Q</p><p>1</p><p>= Q Q</p><p>2</p><p>= Q</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>'</p><p>1</p><p>Q</p><p>Q</p><p>2</p><p>= '</p><p>2</p><p>Q</p><p>Q</p><p>2</p><p>=</p><p>Eletrização por contato de duas esferas condutoras idênticas.</p><p>Inicialmente uma está carregada e a outra está neutra (a). Após o</p><p>contato (b), a carga se distribui pela metade entre as duas esferas (c).</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.061-127582/18</p><p>A distribuição de cargas depende de vários fatores. Mesmo</p><p>sendo condutores, as cargas não fluem indefinidamente. A forma</p><p>do objeto também tem influência sobre a carga final obtida através</p><p>do contato.</p><p>Eletrização por indução</p><p>Quando aproximamos um corpo eletrizado de um condutor,</p><p>inicialmente neutro, as cargas migram de tal maneira que as positivas</p><p>fiquem próximas das negativas e vice-versa.</p><p>Por exemplo: Tomemos um bastão carregado negativamente</p><p>e aproximemos de um condutor neutro. Os elétrons deste condutor</p><p>migram para a extremidade oposta, mantendo-se distantes do bastão</p><p>carregado também de elétrons. Cuidado para não sair por aí dizendo</p><p>que os prótons migram para regiões próximas a do bastão. Isso é um</p><p>erro grave! Os prótons estão presos à estrutura e somente elétrons</p><p>estão livres para se mover.</p><p>A</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>––+</p><p>++</p><p>+</p><p>+ –</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>B a</p><p>Indução Eletrostática em um condutor devido à aproximação</p><p>de um corpo carregado negativamente.</p><p>Ao induzir cargas no material condutor, podemos ligá-lo à Terra.</p><p>Dessa forma, a carga de mesmo sinal do corpo carregado é anulada</p><p>pela Terra. Por exemplo, se o corpo for carregado positivamente, os</p><p>elétrons sobem da Terra para o condutor neutralizando a carga positiva</p><p>do condutor. Após isso, podemos cessar o aterramento (mantendo o</p><p>condutor próximo ao corpo carregado) e em seguida afastá-lo. Assim,</p><p>o condutor ficará carregado negativamente.</p><p>aA B</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ + +</p><p>– – –</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–––</p><p>–</p><p>–</p><p>– –</p><p>– –</p><p>–</p><p>–</p><p>– – –</p><p>– – –</p><p>–</p><p>–– – –</p><p>–</p><p>–</p><p>–––––</p><p>–</p><p>– – –</p><p>–––</p><p>–––––</p><p>–</p><p>–</p><p>– –</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+ + + + + ++</p><p>+</p><p>++</p><p>+++</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+++</p><p>+</p><p>+++</p><p>+</p><p>+</p><p>+++++</p><p>+</p><p>B</p><p>B</p><p>B b</p><p>Ao ligarmos o corpo neutro à Terra, as cargas de mesmo sinal</p><p>que o corpo eletrizado se neutralizam.</p><p>Temos aqui um experimento bastante interessante: o</p><p>eletroscópio de folhas.</p><p>+ +</p><p>+</p><p>+</p><p>++</p><p>–– –</p><p>–</p><p>– –– ––</p><p>++</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>Eletroscópio de folhas.</p><p>Ao aproximarmos uma esfera carregada positivamente,</p><p>os elétrons são atraídos para a parte superior do eletroscópio</p><p>(carga total nula) e a região inferior (folhas) ficam carregadas</p><p>positivamente. Como as cargas de mesmos sinais se repelem, as folhas</p><p>se abrem. A mesma coisa acontece quando a esfera é carregada</p><p>negativamente.</p><p>Exercícios</p><p>01. Na ausência da gravidade e no vácuo, encontram-se três esferas</p><p>condutoras alinhadas, A, B e C, de mesmo raios r,r e 2r e de</p><p>massas respectivamente iguais a m, m e 2m. Inicialmente B e C</p><p>encontram-se descarregadas e em repouso, e a esfera A, com</p><p>carga elétrica Q, é lançada contra a intermediária B com uma</p><p>certa velocidade νν . Supondo que todos os movimentos ocorram</p><p>ao longo de uma mesma reta, que as massas sejam grandes o</p><p>suficiente para se desprezar as forças colombianas e ainda que</p><p>todas as colisões sejam elásticas, determine a carga elétrica de</p><p>cada esfera após todas as colisões possíveis.</p><p>02. Um condutor isolado perde elétrons. Podemos afirmar:</p><p>A) O condutor fica carregado positivamente.</p><p>B) O condutor fica carregado negativamente.</p><p>C) O condutor fica neutro.</p><p>D) O condutor fica neutro ou carregado positivamente.</p><p>E) Nada se pode afirmar.</p><p>03. Após atritarmos um bastão de ebonite com um pedaço de lã,</p><p>medimos o valor da carga adquirida por aquele. Um possível valor</p><p>para esta medida é:</p><p>A) +8,0 × 10–19 C</p><p>B) –7,2 × 10–19 C</p><p>C) +5,4 × 10–19 C</p><p>D) –4,8 × 10–19 C</p><p>E) Os valores dos itens b e d são possíveis.</p><p>04. Seja A uma esfera condutora de carga elétrica Q. Tomam-se</p><p>N neutras idênticas à A e isoladas umas das outras e realiza-se</p><p>a seguinte operação: toca-se A com a 1ª esfera neutra, depois</p><p>toca-se A com a segunda e assim sucessivamente. Se, ao final da</p><p>operação, a carga da esfera A é 2(18 – 4N) vezes a carga inicial de A,</p><p>quantas esferas foram tocadas por A?</p><p>05. Um aluno das turmas especiais realizou a seguinte experiência:</p><p>I. Eletrizou uma pequena esfera condutora A com uma carga Q;</p><p>II. Tomou uma esfera neutra idêntica à primeira e provocou um</p><p>contato entre elas;</p><p>III. Tomou duas esferas neutras idênticas à A e provocou um</p><p>contato simultâneo entre elas e a esfera A;</p><p>IV. Tomou três esferas neutras idênticas à A e provocou um contato</p><p>simultâneo entre elas e a esfera A; e assim por diante.</p><p>Sabe-se que o número total de esferas na experiência (inclusive</p><p>A) é 56. Daí, a razão entre a carga contida na esfera A, após a</p><p>experiência, e Q é, aproximadamente:</p><p>A)</p><p>1</p><p>9!</p><p>B) 1</p><p>10!</p><p>C) 1</p><p>11!</p><p>D)</p><p>1</p><p>12!</p><p>E) N.D.A.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.061-127582/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. (Fundação Carlos Chagas) Um bastão de vidro é atritado em</p><p>certo tipo de tecido. O bastão, a seguir, é encostado em um</p><p>eletroscópio previamente descarregado, de forma que as folhas</p><p>do mesmo sofrem uma pequena deflexão. Atrita-se a seguir</p><p>o bastão novamente com o mesmo tecido, aproximando-o do</p><p>mesmo eletroscópio, evitando o</p><p>corrente</p><p>�</p><p>J( ) cujo caráter vetorial</p><p>ficará evidente na definição a seguir. Consideremos um meio condutor</p><p>com uma densidade de portadores (número de portadores por unidade</p><p>de volume) dada por:</p><p>η =</p><p>N</p><p>V</p><p>N → números de portadores</p><p>V → volume</p><p>Suporemos que a carga dos portadores é igual a e e que eles se movem</p><p>pelo condutor com um vetor velocidade média igual a v. Consideremos uma</p><p>seção plana de área A, um versor n</p><p>�</p><p>, perpendicular a ela, outra seção, de</p><p>igual área, paralela e anterior a ela conforme a figura:</p><p>h</p><p>2</p><p>e θ</p><p>v n</p><p>v Dt</p><p>A</p><p>1</p><p>Definindo como ∆t o tempo necessário para um portador;</p><p>inicialmente na seção 1 chegar à seção 2, geramos um cilindro, de</p><p>base A em altura h = v ∆t cos θ = v· n</p><p>�</p><p>∆t.</p><p>O volume deste cilindro é dado por: V = Ah e a carga total de</p><p>todos eles é: ∆q = η e Av· n</p><p>�</p><p>∆t.</p><p>Podemos dizer que:</p><p>Ι</p><p>∆</p><p>∆∆</p><p>= = =</p><p>→</p><p>lim</p><p>t</p><p>q</p><p>t</p><p>dq</p><p>dt</p><p>e Av n</p><p>0</p><p>η</p><p>� �</p><p>·</p><p>Quando a secção é perpendicular à velocidade, temos:</p><p>I = ηAve</p><p>Para definirmos o vetor densidade de corrente basta formarmos:</p><p>J</p><p>�</p><p>= η e v→ Ι = η e v · A n</p><p>�</p><p>Considerando uma superfície de referência que possa ser</p><p>dividida em várias pequenas áreas ∆A, temos:</p><p>∆A J</p><p>A</p><p>�</p><p>�</p><p>n</p><p>Partição de uma superfície de referência num conjunto</p><p>de pequenas superfícies ∆A, tais que o vetor J</p><p>�</p><p>seja praticamente</p><p>constante.</p><p>A corrente elétrica total será a soma de todas as correntes</p><p>elementares que atravessam cada uma das superfícies ∆A</p><p>k</p><p>:</p><p>Ι ∆= =∑ ∑i J n Ak</p><p>k k</p><p>k k</p><p>� �</p><p>·</p><p>Transformando-se em integral quando fazemos o limite:</p><p>Ι = ∫ J n dA</p><p>� �</p><p>·</p><p>A corrente elétrica, portanto, pode ser considerada como o fluxo</p><p>do vetor J</p><p>�</p><p>, ou seja, a integral de superfície da densidade de corrente.</p><p>Ou seja, a densidade da corrente é a corrente elétrica por</p><p>unidade de área. É evidente que a unidade de densidade de corrente</p><p>no SI é o ampère por metro quadrado (A/m2).</p><p>É importante observar que, da expressão J</p><p>�</p><p>= η ev, decorre que</p><p>o sentido da densidade de corrente (e, portanto, o “sentido” atribuído</p><p>da corrente) só coincide com o sentido do vetor velocidade, no caso</p><p>em que os portadores de carga são positivos.</p><p>Entretanto, o principal caso que estudaremos será o da</p><p>condução em metais, que têm como portadores de cargas livres os</p><p>elétrons, de carga negativa. No caso dos metais o “sentido” da corrente</p><p>é contrário ao sentido do movimento real de cargas (comumente</p><p>denomina-se o primeiro sentido convencional e o segundo sentido</p><p>real da corrente).</p><p>→ sentido real da corrente</p><p>← sentido convencional da corrente</p><p>Amostra de um condutor metálico representando os sentidos real e</p><p>convencional da corrente elétrica.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.507 – 131453/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Continuidade da corrente elétrica</p><p>Consideremos uma superfície fechada A, definindo o volume</p><p>finito V, numa dada região do espaço:</p><p>v</p><p>An</p><p>J</p><p>� �</p><p>Superfície fechada (“gaussiana”)</p><p>Através da superfície sai (o versor aponta para fora da</p><p>superfície) uma corrente elétrica total:</p><p>Ι = ∫ J n dA</p><p>� �</p><p>·</p><p>É evidente que a superfície A envolve todas as cargas</p><p>distribuídas pelo volume v. A carga total em questão vale:</p><p>q dV</p><p>v</p><p>= ∫ ρ</p><p>Em que ρ é a densidade volumétrica de cargas. De acordo com</p><p>o princípio de conservação da carga total deve conservar-se. Seja a</p><p>carga total denotada por Q, a carga contida no volume q e a carga</p><p>que deixa o volume q’, temos:</p><p>Q = q + q’ = constante</p><p>→ = +</p><p>dQ</p><p>dt</p><p>dq</p><p>dt</p><p>dq</p><p>dt</p><p>’</p><p>Mas a derivada da carga que deixa o volume V nada mais é do</p><p>que a corrente que sai através da superfície A, ou seja:</p><p>d dV</p><p>dt</p><p>J n dAv</p><p>A</p><p>ρ∫</p><p>∫+ =</p><p>� �</p><p>· 0</p><p>Esta é a forma integral da equação da continuidade da carga</p><p>elétrica. Quando a carga contida no volume permanece constante,</p><p>ou seja, quando não há acúmulo de cargas, esta equação reduz-se</p><p>simplesmente a:</p><p>J n dA</p><p>A</p><p>� �</p><p>· =∫ 0</p><p>Se dividirmos a superfície fechada A num conjunto de</p><p>superfícies abertas ∆A</p><p>k</p><p>, e associarmos a cada uma delas uma corrente</p><p>ik, podemos chegar ao resultado:</p><p>Ι = =∑ ik</p><p>k</p><p>0</p><p>A</p><p>1</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>3</p><p>A</p><p>4</p><p>A</p><p>6</p><p>A</p><p>5</p><p>Superfície A, submetida à partição em k superfície ∆A</p><p>k</p><p>.</p><p>Se o volume envolvido pela superfície A for pequeno, de</p><p>modo a poder tratá-lo como um ponto de conjunção ou ramificação</p><p>no condutor (o que conheceremos como “nó” do circuito elétrico)</p><p>podemos chegar à primeira Lei de Kirchoff, que admite os enunciados:</p><p>“A soma algébrica das correntes que fluem de um nó é nula”.</p><p>ou</p><p>“A soma das correntes que ‘entram’ em um nó é igual à soma</p><p>das correntes que ‘saem’ do mesmo nó”.</p><p>Ambas correspondem à expressão ik</p><p>k</p><p>=∑ 0 , em que as</p><p>correntes que “saem” são consideradas positivas e as que “entram”</p><p>são consideradas negativas. A 1ª Lei de Kirchoff aparece exemplificada</p><p>a seguir:</p><p>A)</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>3</p><p>B) i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>3</p><p>C) i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>3i</p><p>4</p><p>Teoria microscópica da condução</p><p>Consideremos um condutor metálico filiforme (em forma de</p><p>fio), de dimensões L (comprimento) e A (área de seção transversal),</p><p>sobre o qual se aplica uma ddp de valor v:</p><p>v</p><p>A</p><p>Representação de um condutor filiforme.</p><p>A diferença de potencial aplicada faz surgir um campo elétrico</p><p>que, suposto uniforme e na direção do fio, tem módulo dado por:</p><p>E</p><p>V</p><p>L</p><p>=</p><p>Como vimos anteriormente, devido à estrutura eletrônica dos</p><p>metais, que possuem um ou dois elétrons na última camada por átomo,</p><p>estes elétrons tornam-se “livres” compondo a “banda de condução”</p><p>do metal. Tais elétrons, enquanto não há campo elétrico no metal,</p><p>possuem um movimento completamente aleatório. Este movimento</p><p>é permeado de colisões com os íons de rede cristalina do metal, (na</p><p>realidade eles são repelidos pelos elétrons de valência que compõem</p><p>a eletrosfera do íon), conforme a figura abaixo. O resultado é um</p><p>movimento de cargas inteiramente caótico, correspondendo a uma</p><p>corrente elétrica média nula.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.507 – 131453/18</p><p>íon</p><p>elétron</p><p>Trecho de um condutor metálico mostrando 6 comportamentos de um</p><p>elétron livre quando não há ddp aplicada. O movimento é aleatório</p><p>e a corrente elétrica média é nula.</p><p>Ao se aplicar uma ddp (e, portanto, um campo externo,</p><p>surge uma força elétrica que tende a acelerar os elétrons na direção</p><p>oposta. Porém, a característica aleatória do movimento eletrônico</p><p>não desaparece completamente, e as colisões com os íons da rede</p><p>cristalina persistem. No resultado final é que aparece uma corrente</p><p>elétrica média não nula, correspondendo a um vetor densidade de</p><p>corrente na direção e sentido do campo, ou seja, do maior para o</p><p>menor potencial. Esta corrente elétrica sofre uma resistência tanto</p><p>maior quanto maior for o número de colisões dos elétrons como os</p><p>íons. O fenômeno é ilustrado na figura a seguir:</p><p>JE</p><p>� �</p><p>Trecho de um condutor metálico, mostrando o comportamento de um</p><p>elétron livre quando há ddp aplicada. O movimento não deixa de ser caótico,</p><p>mas há uma corrente elétrica média não nula no sentido do campo elétrico.</p><p>É evidente que as colisões sofridas pelo elétron têm, sobre ele,</p><p>o efeito de uma força de retardamento. A suposição mais simples que</p><p>se pode fazer acerca do comportamento médio desta força é do tipo:</p><p>f b v</p><p>� �</p><p>= –</p><p>Isto é bastante razoável, na medida em que se trata de uma força</p><p>de oposição ao movimento eletrônico e que o número de choques, e,</p><p>portanto, a força média, deve ser proporcional à velocidade com que o</p><p>elétron se desloca no meio.</p><p>O comportamento dessa força média é equivalente ao de</p><p>uma “força viscosa” exercida por um fluido sobre um corpo que nele</p><p>se desloca. Assim como a resistência do ar, o atrito, e outras, esta</p><p>força é claramente dissipativa. (Basta verificar que a integral de linha</p><p>desta força, ou seja, o trabalho por ela realizado, é sempre negativo).</p><p>Como o efeito mais imediato da ação de uma força dissipativa é a</p><p>transformação de energia mecânica em energia interna (térmica),</p><p>a condução de corrente elétrica num condutor deve-se dar às custas</p><p>do aquecimento do meio, da mesma forma que duas superfícies se</p><p>aquecem ao serem atritadas ou que um corpo se aquece ao</p><p>se mover</p><p>na atmosfera terrestre. A dissipação de energia por um meio condutor</p><p>ao conduzir uma corrente elétrica denomina-se efeito Joule e será</p><p>estudado em maiores detalhes na seção VIII.</p><p>Podemos mostrar que, ao estabelecermos uma ddp no condutor</p><p>da Figura, os elétrons são acelerados até atingirem uma velocidade média</p><p>limite, que corresponde à corrente estacionária. Neste caso, a força</p><p>de resistência equilibra a força elétrica, conforme o esquema a seguir:</p><p>Ff = bv = eE</p><p>Elétron submetido à ação da força elétrica e de força de resistência.</p><p>bv eE v</p><p>eV</p><p>bL</p><p>= → =</p><p>Considerando que há η elétrons por unidade de volume no</p><p>condutor, a densidade de corrente é dada por:</p><p>J e v= η</p><p>Logo:</p><p>Ι =</p><p>N e A</p><p>bL</p><p>V</p><p>2</p><p>A corrente elétrica que surge no condutor é, portanto,</p><p>proporcional à ddp que lhe é aplicada. O fator de proporcionalidade</p><p>é dito condutância (G)1, tal que:</p><p>Ι = ⇒ =GV G</p><p>N e A</p><p>bL</p><p>2</p><p>A equação que relaciona corrente e ddp pode ser invertida,</p><p>resultando:</p><p>V</p><p>b L</p><p>N e A</p><p>=</p><p>2</p><p>Ι</p><p>O fator de proporcionalidade é identificado como a resistência</p><p>do condutor (R), tal que:</p><p>R</p><p>bL</p><p>N e A</p><p>=</p><p>2</p><p>Dessa forma, escrevemos que:</p><p>V RI=</p><p>A equação destacada é dita 1ª Lei de Ohm, proposta</p><p>inicialmente de um ponto de vista empírico.</p><p>Percebemos que tanto a condutância como a resistência,</p><p>contêm, nas suas expressões, parâmetros que dependem do tipo de</p><p>material condutor em questão (b e N) e medidas das dimensões do</p><p>condutor (L e A). É conveniente agruparmos a dependência do material</p><p>em duas novas grandezas: a condutividade (s) e a resistividade (ρ),</p><p>tais que:</p><p>σ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>1</p><p>Em que ρ =</p><p>b</p><p>Ne2</p><p>Assim, podemos obter a seguinte relação:</p><p>R</p><p>L</p><p>A</p><p>= ρ</p><p>A equação destacada é a 2ª Lei de Ohm que estabelece a</p><p>dependência da resistência de um condutor filiforme em função do</p><p>material de que é constituído e de suas dimensões.</p><p>Agora que você está entrosado com essas grandezas, é fácil mostrar</p><p>que:</p><p>J E</p><p>� �</p><p>= σ</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.507 – 131453/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Unidade de resistência</p><p>A unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional é o</p><p>Ohm (Ω), dado por:</p><p>V R</p><p>Ohm</p><p>volt</p><p>amp re</p><p>=</p><p>=</p><p>Ι</p><p>1</p><p>1</p><p>1 è</p><p>Ou seja, o Ohm é a resistência de um elemento passivo de</p><p>circuito tal que uma diferença de potencial constante é igual a um volt,</p><p>aplicada em seus terminais, faça circular nele uma corrente elétrica</p><p>invariável, igual a um ampère.</p><p>É fácil deduzir que, no SI, a unidade de resistividade é tal que:</p><p>ρ ρ= ⇒ ( ) = ( ) ⇒R</p><p>A</p><p>unid unid R</p><p>�</p><p>. .</p><p>⇒</p><p>( )</p><p>( )</p><p>⇒ ( ) =unid A</p><p>unid</p><p>unid m</p><p>�</p><p>. .ρ Ω</p><p>A unidade de condutância no SI, evidentemente ao inverso do</p><p>Ohm, é o sistema (S), tal que:</p><p>1S = 1Ω –1</p><p>A condutividade é medida em siemens por metro, como</p><p>verificamos facilmente:</p><p>σ σ= ⇒ ( ) = ( ) ( )</p><p>( ) ⇒G</p><p>A</p><p>unid unid G</p><p>unid</p><p>unid A</p><p>� �</p><p>. .</p><p>.</p><p>.</p><p>⇒ ( ) =unid. σ S/m</p><p>A seguir, apresentamos alguns valores de condutividade para</p><p>materiais condutores e dielétricos:</p><p>Material Condutividade (S/m)</p><p>Cobre 5,8 x 107</p><p>Ferro 1,0 x 107</p><p>Água do Mar 5,0 x 100</p><p>Areia 2,0 x 10–3</p><p>Quartzo 8,3 x 10–13</p><p>Comparação entre valores de condutividade elétrica.</p><p>O efeito da temperatura na resistência</p><p>As variações de temperatura provocam, em geral, modificações</p><p>nas características de condução dos materiais.</p><p>Consideremos inicialmente o caso dos metais. Ao se elevar</p><p>a temperatura de um metal, aumenta a amplitude de oscilação dos</p><p>íons da rede cristalina. Isto faz com que os choques dos elétrons de</p><p>condução com os íons se tornem mais frequentes. A consequência</p><p>imediata é que a condução de corrente elétrica se torna mais penosa.</p><p>A condutividade do metal se reduz e a resistividade aumenta com o</p><p>aumento da temperatura.</p><p>Nos semicondutores, o efeito é completamente oposto.</p><p>Como sabemos, a elevação da temperatura faz crescer o número</p><p>de portadores, com a promoção de elétrons à banda de condução.</p><p>A condutividade cresce e a resistividade diminui ao aumentarmos a</p><p>temperatura.</p><p>As soluções eletrolíticas também conduzem mais facilmente</p><p>quando a temperatura cresce. Como sabemos, temos uma corrente</p><p>de convecção, e não de condução. Não existe o confronto com</p><p>átomos praticamente fixos, como nas correntes de condução. O efeito</p><p>preponderante é o aumento da velocidade com que se deslocam os</p><p>portadores.</p><p>Outros exemplos importantes são o de grafite, cuja resistividade</p><p>cai com o aumento da temperatura e ligas metálicas como a manganina</p><p>e a constantan, cujas resistividades são praticamente constantes com</p><p>a temperatura.</p><p>A dependência da resistência de um condutor em função da</p><p>temperatura pode ser representada pela expansão em série abaixo:</p><p>R R t= + +[ ]0 1 α∆ ...</p><p>Como a variação da resistência com a temperatura é pequena,</p><p>o que se faz comumente é considerar a aproximação linear:</p><p>R R T= +( )0 1 α∆</p><p>A seguir apresentamos a resistividade de vários materiais a</p><p>20 °C e o coeficiente α. Como se espera, α é positivo para metais e</p><p>negativo para semicondutores, soluções e a grafite.</p><p>MATERIAL RESISTIVIDADE</p><p>A 70 ºc</p><p>COEFICIENTE DE</p><p>TEMPERATURA</p><p>(ºC)</p><p>Metais Prata 1,59 x 10–8 0,0041</p><p>Cobre 1,67 x 10–8 0,0068</p><p>Ouro 2,35 x 10–8 0,0040</p><p>Alumínio 2,65 x 10–8 0,0043</p><p>Tungstênio 5,51 x 10–8 0,0045</p><p>Níquel 6,84 x 10–8 0,0069</p><p>Ferro 9,71 x 10–8 0,0065</p><p>Platina 1,10 x 10–7 0,0039</p><p>Chumbo 2,10 x 10–7 0,0042</p><p>Mercúrio 9,58 x 10–7 0,0009</p><p>Ligas Metálicas Latão 8,00 x 10–8 0,0015</p><p>Niquelina 4,20 x 10–7 0,0002</p><p>Manganina 4,20 x 10–7 0,0000</p><p>Constantan 4,90 x 10–7 0,0000</p><p>Nicromo 1,00 x 10–6 0,0004</p><p>Semicondutores</p><p>Germânio (puro) 0,46 – 0,0480</p><p>Germânio (+ As a</p><p>5 x 10–6 %)</p><p>0,011 ---</p><p>Outros</p><p>Condutores</p><p>Grafite 1,40 x 10–5 – 0,0007</p><p>Solução</p><p>(saturada) de</p><p>Nall</p><p>0,044 – 0,0050</p><p>Dielétricos</p><p>Iodo 1,30 x 107 ----</p><p>Madeira 108 – 1011 ----</p><p>Vidro 1010 – 1014 ----</p><p>Quartzo 1,30 x 1013 ----</p><p>Óxido de</p><p>alumínio</p><p>1,0 x 1014 ----</p><p>Enxofre 2,0 x 1015 ----</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.507 – 131453/18</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma esfera de raio R condutora tem carga q e gira em</p><p>torno de um fio isolante com velocidade angular ω.</p><p>Determine a corrente média representada por esta carga em rotação.</p><p>A)</p><p>ω</p><p>π</p><p>q</p><p>2</p><p>B)</p><p>2ω</p><p>π</p><p>q</p><p>R</p><p>ω</p><p>C)</p><p>3ω</p><p>π</p><p>q</p><p>D)</p><p>ω</p><p>π</p><p>q</p><p>E) n.r.a.</p><p>02. Um condutor é atravessado por uma corrente cuja intensidade</p><p>varia com o tempo, segundo a lei:</p><p>i = 12 + 2t (SL)</p><p>Determine:</p><p>A) a carga elétrica que passa por uma seção reta do condutor nos</p><p>10 primeiros segundos.</p><p>B) a corrente elétrica média nesse intervalo de tempo.</p><p>03. Uma haste muito longa é carregada com uma densidade linear</p><p>de carga λ e se move com velocidade v na direção do seu eixo.</p><p>Prove que a corrente elétrica estabelecida é dada por i = λv.</p><p>04. Ao acionar um interruptor de uma lâmpada elétrica, esta se</p><p>acende quase instantaneamente, embora possa estar a centenas</p><p>de metros de distância. Isto vem provar que:</p><p>A) a velocidade dos elétrons na corrente elétrica é igual à</p><p>velocidade da luz.</p><p>B) os elétrons se põem em movimento quase imediatamente em</p><p>todo circuito embora sua velocidade seja relativamente baixa.</p><p>C) a velocidade dos elétrons na corrente elétrica é muito elevada.</p><p>D) não é necessário que os elétrons se movimentem, para que a</p><p>lâmpada acenda.</p><p>05. Duas lâmpadas incandescentes têm filamento de mesmo</p><p>comprimento, feitos do mesmo material. Uma delas obedece às</p><p>especificações 220 V, 100 W e a outra 220 V, 50 W. A razão m</p><p>50</p><p>/</p><p>m</p><p>100</p><p>da massa do filamento da segunda para a massa do filamento</p><p>da primeira é:</p><p>A) 1,5</p><p>B) 2</p><p>C) 2</p><p>D)</p><p>2</p><p>2</p><p>E) 0,5</p><p>06. Um resistor ôhmico tem uma resistência constante e igual a 100 Ω.</p><p>Aplica-se em seus terminais uma ddp variável com o tempo,</p><p>segundo a lei V = 2t (SI). Determine:</p><p>A) a carga que atravessa o condutor entre os instantes zero e t.</p><p>B) a potência dissipada no resistor em função do tempo.</p><p>C) a energia dissipada no primeiro minuto de funcionamento do</p><p>circuito.</p><p>07. Um cilindro isolante de seção transversal de raio a = 1,0 cm</p><p>carregado uniformemente em sua superfície, move-se ao longo do</p><p>seu eixo com uma velocidade constante v = 10 m/s. A intensidade</p><p>do campo elétrico diretamente sobre a superfície do cilindro, E</p><p>= 0,9 kV/cm. Quanto vale a corrente de convecção surgida por</p><p>translação mecânica de carga?</p><p>08. Prove que um condutor percorrido por uma corrente elétrica</p><p>produz na sua vizinhança, um campo elétrico, cuja componente</p><p>é igual ao campo no seu interior.</p><p>09. A densidade de corrente elétrica, num condutor de seção circular</p><p>de raio R varia de acordo com J = J</p><p>0</p><p>r, em que J</p><p>0</p><p>é uma constante.</p><p>Calcule a corrente total que passa pelo condutor.</p><p>10. Uma corrente de 10A passa através de um fio cuja seção é</p><p>1mm2. Sendo a densidade eletrônica do fio 1027m–3, determine a</p><p>velocidade média dos elétrons.</p><p>11. Um cilindro oco de comprimento L tem seus raios iguais a R</p><p>1</p><p>e</p><p>R</p><p>2</p><p>. Aplicando-se uma d.d.p. entre as suas extremidades, flui uma</p><p>corrente I paralelamente ao eixo do cilindro. Mostre que, se s é</p><p>a condutividade do material, a resistência é</p><p>L</p><p>R Rπσ 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2−( ) .</p><p>12. Duas pequenas esferas metálicas de raio a estão bastante</p><p>afastadas a uma distância d e imersas profundamente no</p><p>mar de condutividade s. Aplica-se a elas uma tensão V.</p><p>Determine a densidade de corrente a meia distância entre elas.</p><p>A) J</p><p>V a</p><p>d</p><p>= 4</p><p>2</p><p>σ</p><p>B) J</p><p>V a</p><p>d</p><p>= 2</p><p>2</p><p>σ</p><p>C) J</p><p>V a</p><p>d</p><p>= 4</p><p>3 2</p><p>σ</p><p>D) J</p><p>V a</p><p>d</p><p>= 2</p><p>3 2</p><p>σ</p><p>E) n.r.a.</p><p>13. Um feixe de elétrons move-se ao longo de uma órbita circular de</p><p>raio R com velocidade de módulo V em um acelerador. A corrente</p><p>média correspondente para esse movimento é I. Determine o</p><p>número de elétrons N do feixe.</p><p>Seja e a carga elementar.</p><p>A)</p><p>2</p><p>3</p><p>πRI</p><p>Ve</p><p>B)</p><p>πRI</p><p>Ve</p><p>C)</p><p>3πRI</p><p>Ve</p><p>D)</p><p>2πRI</p><p>Ve</p><p>E)</p><p>4πRI</p><p>Ve</p><p>14. Se a velocidade de migração dos elétrons livres em um fio de cobre</p><p>é 8 · 10–4 m/s, determine o módulo do campo elétrico no condutor.</p><p>Dados:</p><p>Carga elementar: 1,6·10–19 C</p><p>Número de elétrons por metros cúbicos no cobre:</p><p>8,5·1028</p><p>Resistividade do cobre: 1,7 · 10–8 Ω cm.</p><p>A) 4 · 10–3 N/C</p><p>B) 4,8 · 10–3 N/C</p><p>C) 1,8 · 10–3 N/C</p><p>D) 4,2 · 10–3 N/C</p><p>E) 2,4 · 10–3 N/C</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.507 – 131453/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>15. A experiência de Tollamam-Stewart (1916) demonstrou que as</p><p>cargas livres de um metal são negativas e fornecem um método</p><p>quantitativo para a determinação da razão</p><p>| |q</p><p>m</p><p>entre módulo da</p><p>carga e a massa do portador de carga. A experiência consiste em</p><p>interromper repentinamente a rotação de um carretel com um fio</p><p>enrolado e medir a diferença de potencial entre suas extremidades.</p><p>Em um modelo simplificado dessa experiência, considere uma</p><p>barra metálica de comprimento L que se desloca com aceleração</p><p>a</p><p>�</p><p>da esquerda para a direita. Inicialmente, as cargas se deslocam</p><p>para a parte esquerda da barra produzindo um campo elétrico</p><p>E</p><p>�</p><p>ao longo da barra. No estado estacionário, esse campo exerce</p><p>uma força sobre as cargas livres acelerando-as através da barra.</p><p>cb</p><p>a</p><p>L</p><p>A) Determine</p><p>| |q</p><p>m</p><p>em termos de E</p><p>�</p><p>e da aceleração a</p><p>�</p><p>.</p><p>Supondo que todas as cargas livres da barra metálica possuam</p><p>a mesma aceleração, o campo elétrico é o mesmo em todos</p><p>os pontos da barra. Calcule a diferença de potencial V</p><p>bc</p><p>entre</p><p>as extremidades da barra.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>A * – B E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * – * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>– A D C *</p><p>*02. A) 220 C</p><p>B) 22 A</p><p>03. Demonstração</p><p>*06. A)</p><p>t2</p><p>100</p><p>B)</p><p>t2</p><p>25</p><p>C) 2.880 J</p><p>*07. 0,5µA</p><p>08. Demonstração</p><p>09.</p><p>2</p><p>3</p><p>3π J Ro</p><p>10. 6,25 × 10–2 m/s</p><p>11. Demonstração</p><p>*15. A) a</p><p>E</p><p>B) EL</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: Marcos Haroldo</p><p>DIG.: Cl@udi@ – REV.: Amélia</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Física iii</p><p>assunto: ResistoRes – associação</p><p>frente: MaRcos HaRoldo</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>AULAS 24 a 26</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>Para fazer uma corrente fluir, você tem que empurrar as cargas.</p><p>A velocidade com que elas se movem em resposta a um determinado</p><p>empurrão depende da natureza do material. Para a maioria das</p><p>substâncias, a densidade de corrente</p><p>�</p><p>J é proporcional à força por</p><p>unidade de carga,</p><p>�</p><p>f :</p><p>� �</p><p>J f= σ</p><p>O fator de proporcionalidade s (que não deve ser confundido</p><p>com a densidade superficial de carga) é uma constante empírica</p><p>que varia de um material para outro. Já vimos anteriormente que é</p><p>chamado de condutividade. É interessante salientar que até mesmo</p><p>os isolantes são ligeiramente condutores, embora a condutividade</p><p>do metal seja astronomicamente maior (por um fator de 1022).</p><p>De fator, para a maioria dos fins, os metais podem ser considerados</p><p>como condutores perfeitos, com s = ∞.</p><p>Em princípio, a força que move as cargas para produzir a</p><p>corrente pode ser de qualquer natureza: química, gravitacional ou</p><p>até mesmo pulgas (treinadas em um circo russo) puxando com cordas</p><p>minúsculas. Para nosso objetivo, no entanto, é geralmente uma força</p><p>eletromagnética que realiza tal ação. Logo:</p><p>� � � �</p><p>J E v B= + ×( )σ</p><p>Normalmente, a velocidade das cargas é tão pequena que o</p><p>segundo termo pode ser ignorado1:</p><p>� �</p><p>J E= σ</p><p>A equação acima é conhecida como Lei de Ohm. Acalme-se,</p><p>eu já ia falar da outra forma que ela pode aparecer. Como vimos</p><p>anteriormente, podemos reescrever tal expressão da seguinte maneira:</p><p>V RI=</p><p>Demonstramos isso na apostila anterior! Se não lembra, volte</p><p>e leia novamente.</p><p>A Lei de Ohm pode ser enunciada da seguinte maneira:</p><p>Para alguns materiais, mantidos a uma temperatura constante,</p><p>a sua resistência elétrica é constante e determinada pela razão</p><p>entre a d.d.p. aplicada sobre a corrente percebida.</p><p>Agora eu acho que você deve estar confuso porque foi</p><p>dito que</p><p>�</p><p>E = 0 dentro de um condutor. Mas isso para cargas</p><p>estacionárias</p><p>�</p><p>J =( )0 . Além disso, para condutores perfeitos</p><p>�</p><p>E = 0</p><p>mesmo que a corrente esteja fluindo. Na prática, os metais são</p><p>condutores tão bons que neles o campo elétrico necessário para</p><p>movimentar a corrente é desprezível. Assim, rotineiramente tratamos</p><p>os fios conectores dos circuitos elétricos como equipotenciais.</p><p>Os resistores, em contrapartida, são feitos de materiais mal</p><p>condutores.</p><p>1Nos plasmas, por exemplo, a contribuição magnética para</p><p>�</p><p>f deve ser significativa.</p><p>Resistores</p><p>Denominamos resistor a todo condutor que, ao ser atravessado</p><p>por corrente elétrica, transforme energia elétrica exclusivamente</p><p>em energia térmica. Percebemos, portanto, que a característica</p><p>fundamental de um componente e resistivo é a resistência oferecida</p><p>à passagem da corrente elétrica.</p><p>Como vimos, a resistência de um condutor é dada pela razão</p><p>entre a d.d.p. aplicada em seus terminais e a corrente elétrica que</p><p>nele se estabelece:</p><p>R = V/l</p><p>Num circuito, um resistor aparece comumente representado</p><p>na forma:</p><p>Representação convencional de um resistor.</p><p>Quando a resistência de um condutor não varia, diz-se que o</p><p>resistor é ôhmico. Da 1ª Lei de Ohm, que é a equação que descreve</p><p>o resistor, podemos mostrar que a curva característica (gráfico de</p><p>corrente contra tensão) de um resistor é uma reta:</p><p>V</p><p>i</p><p>Curva característica de um resistor ôhmico.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>No caso de R não ser constante, o resistor (ou o material) é dito</p><p>não ôhmico, tendo um comportamento não linear. Alguns exemplos</p><p>de curvas de resistores não ôhmicos são apresentadas a seguir:</p><p>(a) (b)</p><p>i i</p><p>v v</p><p>Curva característica de um resistor</p><p>não ôhmico (a) e de um eletrólito (b).</p><p>Entre os resistores não ôhmicos encontramos os termistores,</p><p>cuja resistência varia com a temperatura, os varistores, cuja</p><p>resistência varia com a corrente elétrica, resistores que dependem</p><p>da incidência de luz etc. Entretanto, dos resistores não lineares, os</p><p>mais importantes e que formam a base da eletrônica são aqueles</p><p>baseados em junções de semicondutores, com diodo de função</p><p>pn (positivo-negativo) que apresenta baixa resistência em “polarização</p><p>direta” e alta resistência em “polarização inversa” e o transistor</p><p>(“transfer resistor”). O diodo tem a sua representação e sua curva</p><p>característica apresentadas abaixo:</p><p>P</p><p>(a)</p><p>N</p><p>(b)</p><p>Esquema de um diodo de junção pn (a)</p><p>e sua representação em circuitos (B)</p><p>V</p><p>i</p><p>Curva característica de um diodo semicondutor,</p><p>mostrando a baixa resistência em tensão direta</p><p>e a alta resistência em tensão reversa.</p><p>Um reostato é um resistor de resistência ajustável. Um exemplo</p><p>típico de reostato é o reostato de cursor, ilustrado a seguir:</p><p>B A</p><p>No reostato de cursor a resistência R varia continuamente de</p><p>R = 0 a um valor máximo R = R</p><p>máx</p><p>, de acordo com a porção do fio que</p><p>participa do circuito. No caso da figura a seguir, quando o cursor está</p><p>na posição A, a resistência é nula, e quando o cursor está na posição</p><p>B, a resistência é máxima.</p><p>Um reostato é simbolizado, em circuitos, pela notação:</p><p>Representação de um reostato.</p><p>Já comentamos anteriormente que a resistividade pode variar</p><p>com a temperatura. Lembre-se que:</p><p>R = R</p><p>0</p><p>(1 + aDT)</p><p>Para uma aproximação de primeira ordem.</p><p>Existem materiais, como a grafite, em que a resistividade</p><p>diminui quando a temperatura aumenta, tendo, pois, coeficiente de</p><p>temperatura a negativo.</p><p>Existe ainda um fenômeno chamado supercondutividade,</p><p>onde para uma dada temperatura, a resistência se torna nula.</p><p>Em 1911, o físico holandês Heike Kamerlingh Onnes,</p><p>trabalhando com mercúrio em baixas temperaturas, descobriu que</p><p>a sua resistividade desaparecia totalmente para temperatura abaixo</p><p>de 4,2 K, denominada temperatura crítica (T</p><p>C</p><p>).</p><p>Na realidade, ela caía repentinamente a zero quando a</p><p>temperatura se aproximava de 4,2 K. Tal fenômeno é conhecido</p><p>como supercondutividade.</p><p>Uma característica importante do supercondutor é a</p><p>seguinte: se fizermos um anel de material supercondutor, criamos</p><p>nele uma corrente elétrica e, a seguir, retiramos a fonte, a corrente</p><p>elétrica continuará a circular. Não haverá perda de energia elétrica</p><p>na forma de calor; ou seja, a corrente continuará a circular por</p><p>tempo indefinido.</p><p>As aplicações tecnológicas da supercondutividade logo</p><p>após a sua descoberta eram poucas, pois o custo operacional para</p><p>trazer o metal até a temperatura crítica era muito alto. Atualmente,</p><p>novas e recentes descobertas foram feitas e já são conhecidas</p><p>muitas substâncias, supercondutores. Por exemplo: alumínio,</p><p>titânio, vanádio, zinco, estanho etc são supercondutores para a</p><p>temperatura abaixo de T</p><p>C</p><p>. Alguns metais como prata, cobre e o</p><p>ouro não apresentam supercondutividade.</p><p>Unidade de resistência</p><p>A unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional é o</p><p>Ohm (Ω), dado por:</p><p>V RI</p><p>ohm</p><p>volt</p><p>amp re</p><p>=</p><p>=1</p><p>1</p><p>è</p><p>Associação de resistores</p><p>Dois ou mais resistores podem ser conectados entre si,</p><p>formando uma associação. Definimos o resistor equivalente como</p><p>um único resistor que, submetido à mesma d.d.p. da associação,</p><p>é atravessado por uma corrente elétrica igual à corrente total da</p><p>associação. Podemos formar associações de resistores em série, em</p><p>paralelo ou misto.</p><p>Associação em série</p><p>Um conjunto de resistores ligados sem terminais sucessivos</p><p>formam uma associação em série, como indica a figura.</p><p>Ao aplicarmos uma d.d.p. entre os terminais A e B da associação,</p><p>verificamos facilmente, pela continuidade da corrente elétrica, que</p><p>todos os resistores são percorridos pela mesma corrente i.</p><p>. . .A C D BR</p><p>nR</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>i</p><p>V</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Chamaremos V</p><p>A</p><p>— V</p><p>C</p><p>= V</p><p>1</p><p>(que é a d.d.p. sentida pelo</p><p>resistor R</p><p>1</p><p>), V</p><p>C</p><p>– V</p><p>D</p><p>= V</p><p>2</p><p>, que é a d.d.p. sentida pelo resistor R</p><p>2</p><p>e assim</p><p>sucessivamente. Dessa forma, obtemos:</p><p>V R I</p><p>V R I</p><p>V R I</p><p>V RI</p><p>V V V R I</p><p>n n</p><p>i</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>n</p><p>total A B eq</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= − =</p><p>= =</p><p>∑ ∑</p><p>�</p><p>Concluímos que:</p><p>R Req i</p><p>i</p><p>n</p><p>=</p><p>=</p><p>∑</p><p>1</p><p>A B</p><p>i</p><p>R</p><p>eq</p><p>Associação em paralelo</p><p>Um conjunto de resistores ligados de tal forma que os seus</p><p>terminais estejam submetidos à mesma diferença de potencial.</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>n</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>BA</p><p>v</p><p>Pela lei de Ohm, temos:</p><p>V = R</p><p>1</p><p>I</p><p>1</p><p>= R</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>= R</p><p>3</p><p>I</p><p>3</p><p>= R</p><p>n</p><p>I</p><p>n</p><p>Pela lei da conservação da continuidade da corrente, devemos</p><p>ter:</p><p>i I</p><p>V</p><p>R</p><p>V</p><p>Ri</p><p>i</p><p>n</p><p>i eqi</p><p>n</p><p>= = =</p><p>= =</p><p>∑ ∑</p><p>1 1</p><p>Como devemos ter a seguinte relação para a resistência</p><p>equivalente</p><p>1 1 1 1 1 1</p><p>1 2 31R R R R R Req i ni</p><p>n</p><p>= = + + +</p><p>=</p><p>∑ ...</p><p>É importante analisar bem o circuito antes e perceber quais</p><p>resistências estão em série e quais estão em paralelo. Além disso,</p><p>devemos atentar para duas situações em um primeiro instante:</p><p>Fio liso e curto-circuito.</p><p>Fio liso: os fios, que não contêm resistência (R = 0), têm o</p><p>mesmo potencial em todos os pontos, pois, da Lei de Ohm, qualquer</p><p>corrente finita i, produz uma d.d.p. nula:</p><p>V = RI → V = 0</p><p>Daí, todos os pontos ligados por fios de resistência nula</p><p>são equivalentes entre si, podemos “transportar” os pontos A e B</p><p>ao longo dos mesmos. No exemplo dado é visível que todos os</p><p>resistores se ligam aos mesmos terminais, estando, portanto,</p><p>ligados em paralelo.</p><p>A A</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>Exemplo de resistores em paralelo.</p><p>Curto-circuito: quando um resistor (bem como qualquer</p><p>componente) está ligado entre pontos de mesmo potencial, dizemos</p><p>que ele está em curto-circuito. No caso de um resistor, se a d.d.p. em</p><p>seus terminais é nula, temos:</p><p>V = RI = 0 → I = 0</p><p>Pelo fato de não haver corrente elétrica percorrendo o resistor, o</p><p>mesmo não “funciona”, podendo, portanto, ser eliminado do circuito,</p><p>como se vê no exemplo:</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>Resistor em</p><p>curto-circuito</p><p>Resistor em curto.</p><p>Transformação D → Y</p><p>A transformação de um delta de resistores para uma</p><p>estrela de resistores é bastante útil na solução de problemas.</p><p>O procedimento é bem simples, porém as vezes pode cair num mar</p><p>de contas.</p><p>Podemos encontrar um par de configurações, uma em D e outra</p><p>em Y, que possuem a mesma resistência equivalente entre quaisquer</p><p>dois pontos dentre três pontos dados A, B e C.</p><p>A</p><p>B</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>3</p><p>C</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>R</p><p>3</p><p>’</p><p>R’</p><p>2</p><p>R’</p><p>1</p><p>Associações em ∆ (a) e y (b) equivalentes</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>Da figura (a) e (B) encontramos a resistência equivalente entre</p><p>os pontos A e B, B e C, A e C:</p><p>R</p><p>R R R</p><p>R R R</p><p>R R R</p><p>R</p><p>R R R</p><p>R R R</p><p>R R</p><p>AB AB</p><p>BC BC</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+ +</p><p>= +</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+ +</p><p>=</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>2 3</p><p>3 1 3</p><p>1 2 3</p><p>’ ’</p><p>11 2</p><p>2 1 3</p><p>1 2 3</p><p>1 3</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>+</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+ +</p><p>= +</p><p>R</p><p>R</p><p>R R R</p><p>R R R</p><p>R R RAC AC</p><p>Como desejamos que estes valores de resistência sejam os</p><p>mesmos em ambas as associações, temos:</p><p>R R</p><p>R R R R</p><p>R R R</p><p>I</p><p>R</p><p>R R R R</p><p>R R R</p><p>II</p><p>R</p><p>1 2</p><p>1 3 2 3</p><p>1 2 3</p><p>1 2</p><p>1 2 2 3</p><p>1 2 3</p><p>2</p><p>+ =</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+ =</p><p>+</p><p>+ +</p><p>( )</p><p>R ( )’ ’</p><p>’ ++ =</p><p>+</p><p>+ +</p><p>R</p><p>R R R R</p><p>R R R</p><p>III3</p><p>1 2 1 3</p><p>1 2 3</p><p>’ ( )</p><p>Resolvendo o sistema para as variáveis R</p><p>i</p><p>’, obtemos:</p><p>R</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>R</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>R</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>1</p><p>2 3</p><p>1 2 3</p><p>2</p><p>1 3</p><p>1 2 3</p><p>3</p><p>1 2</p><p>1 2 3</p><p>’</p><p>’</p><p>’</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+ +</p><p>Estes são os valores dos resistores partindo do formato delta</p><p>e indo para o formato estrela. Se a transformação for contrária</p><p>(Y → D), obtemos:</p><p>R</p><p>R R R R R R</p><p>R</p><p>R</p><p>R R R R R R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>1</p><p>1 2 1 2 2 3</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 1 3 2 3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>’ ’ ’ ’ ’ ’</p><p>’</p><p>’ ’ ’ ’ ’ ’</p><p>’</p><p>’RR R R R R</p><p>R</p><p>2 1 3 2 3</p><p>3</p><p>’ ’ ’ ’ ’</p><p>’</p><p>+ +</p><p>Esse truque tirará você de sérios apuros.</p><p>Simetrias</p><p>A presença de simetrias numa associação nos permite</p><p>encontrar, em geral, pontos submetidos ao mesmo potencial.</p><p>1º exemplo: Consideremos o tradicional exemplo da associação de</p><p>resistores idênticos, localizados nas arestas de um cubo, em que se</p><p>deseja encontrar a resistência equivalente entre pontos de diagonal</p><p>do mesmo:</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>A</p><p>E</p><p>A C</p><p>G</p><p>F</p><p>B</p><p>B</p><p>D</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>Associação “em cubo” de resistores idênticos</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>RR</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>D</p><p>G</p><p>F</p><p>H</p><p>CA</p><p>E</p><p>Se permutarmos os pontos C, D e E entre si e os pontos F, G e H</p><p>entre si, não modificamos a associação, e, portanto, os pontos C, D</p><p>e E são equivalentes, bem como os pontos F, G e H.</p><p>Daí, podemos rearranjar a associação na forma:</p><p>A BC = D = E F = C = H</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>Circuito reescrito com ajuda da simetria.</p><p>Assim, fica fácil encontrar que a resistência equivalente da</p><p>associação</p><p>é:</p><p>R</p><p>R R R R</p><p>eq = + + =</p><p>3 6 3</p><p>5</p><p>6</p><p>2° exemplo: Tomemos o circuito abaixo, também um clássico. Todas</p><p>as resistências do circuito valem R. O que fazemos para determinar a</p><p>resistência equivalente entre A e B?</p><p>A B</p><p>Primeiramente, olhamos para o circuito e facilmente</p><p>imaginamos um plano de simetria que passa pelo circuito perpendicular</p><p>à reta AB e corta exatamente na metade.</p><p>Perceba que para haver simetria, devemos separar a resistência</p><p>de cima e a de baixo em duas resistências em série:</p><p>A B</p><p>R/2 R/2</p><p>R/2 R/2</p><p>O plano de simetria é um equipotencial. A questão se resume a</p><p>calcular a resistência equivalente entre A e o plano e depois multiplicar</p><p>por 2 (devido à simetria). Calculemos então a resistência equivalente</p><p>entre R e R/2 em paralelo.</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R·</p><p>2</p><p>2</p><p>3+</p><p>=</p><p>Veja como fica o circuito:</p><p>A</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R/3</p><p>R/3</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Calculamos agora R e R/3 em série:</p><p>R</p><p>R R+ =</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>Calculamos o restante em paralelo:</p><p>1 3</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>R R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>eq</p><p>eq</p><p>= + +</p><p>=</p><p>E agora, para finalizar, multiplicamos por 2. Concluindo que a</p><p>resistência equivalente entre A e B é:</p><p>R</p><p>R</p><p>AB = 4</p><p>5</p><p>3º exemplo: Vamos analisar o mesmo circuito e determinar a</p><p>resistência equivalente por outro método de simetria. Imaginemos</p><p>agora um plano de simetria que passa pela reta AB. Vamos então</p><p>analisar as correntes que saem de A (caso A e B sejam expostos a</p><p>uma d.d.p.).</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>Perceba que C e D possuem o mesmo potencial. Isso é devido</p><p>à simetria, pois a corrente enxerga os dois caminhos igualmente, ou</p><p>seja, não existe caminho preferencial. Logo, a queda de potencial – Ri</p><p>é igual entre AC e AD. Esse raciocínio é aplicado aos outros pontos</p><p>de simetria e isso permite dizer que todos os resistores que formam</p><p>par objeto imagem em relação à AB estão em paralelo. Por exemplo,</p><p>o resistor AC está em paralelo com o resistor AD.</p><p>Fechamos então o circuito e reduzimos à metade cada resistor</p><p>que forma um par objeto imagem. Veja:</p><p>A B</p><p>R/2</p><p>R/2</p><p>R R</p><p>R/2 R/2</p><p>R/2</p><p>Transformando o delta em estrela, temos:</p><p>A B</p><p>R/6 R/6</p><p>R R</p><p>R/2 R/2</p><p>R/6</p><p>Aqui encontramos uma ponte equilibrada e fica fácil terminar.</p><p>1 1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>R R R</p><p>R</p><p>R</p><p>eq</p><p>AB</p><p>= +</p><p>=</p><p>Cuidado para não confundir quando dividimos por dois e</p><p>quando multiplicamos por dois. Estude bem as técnicas antes de sair</p><p>aplicando!</p><p>4º exemplo: Deseja-se calcular a resistência equivalente entre os</p><p>pontos A e B da rede bidimensional infinita (ver figura abaixo) formada</p><p>por células quadradas cujos lados são resistores de resistência R. Far-</p><p>se-á uso dos princípios da simetria e superposição.</p><p>A B</p><p>Devido à simetria da rede, os nós no infinito estão a um mesmo</p><p>potencial, façamos, então, igual a zero.</p><p>A B</p><p>E i</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2i</p><p>3</p><p>iε</p><p>i</p><p>5</p><p>i</p><p>4</p><p>Ligaremos aos pontos A e B um gerador de força eletromotriz</p><p>ε ideal, o qual será responsável pela produção da corrente elétrica i.</p><p>Podemos então imaginar o circuito como sendo:</p><p>A B</p><p>R</p><p>eq</p><p>i</p><p>i</p><p>–</p><p>+ε</p><p>Em que:</p><p>Req = ε/i</p><p>Pela suposta s imetr ia, só podemos garantir que:</p><p>i</p><p>1</p><p>= i</p><p>3</p><p>= i</p><p>4</p><p>= i</p><p>6</p><p>e i</p><p>5</p><p>= i</p><p>2</p><p>e mais nada. Não podemos garantir que as</p><p>quatro direções possíveis para a corrente no nó B são equiprováveis,</p><p>se o sorvedouro estiver em A. E se tivermos sorvedouros no infinito?</p><p>+ +– –</p><p>2</p><p>ε</p><p>2</p><p>ε</p><p>+ – – –A B</p><p>i</p><p>5 i</p><p>6</p><p>i</p><p>3</p><p>i</p><p>4</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>1i i</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>Veja que agora podemos afirmar que todas as correntes são</p><p>igualmente prováveis se pegarmos cada lado separadamente.</p><p>A</p><p>2</p><p>+ –</p><p>– –</p><p>v</p><p>4</p><p>v</p><p>4i</p><p>4</p><p>i</p><p>ε</p><p>B</p><p>i</p><p>4</p><p>2</p><p>ε</p><p>A</p><p>i/4</p><p>i –+</p><p>– +</p><p>i/4</p><p>i/4</p><p>Bi</p><p>4</p><p>Procedendo à superposição dos dois circuitos imediatamente</p><p>anteriores, a única corrente conhecida será a corrente do ramo AB,</p><p>felizmente a que precisamos:</p><p>ε</p><p>– +</p><p>A B</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>A</p><p>R</p><p>ε</p><p>i/2</p><p>B</p><p>+–</p><p>Substituindo, teremos:</p><p>UAB = R i/2; UAB = Req · i Req = R/2</p><p>Este método é bem útil quando se trabalha nessa linha de</p><p>problemas.</p><p>Veja outra aplicação desse método. Determine a resistência</p><p>equivalente entre dois pontos consecutivos sabendo que a cada dois</p><p>pontos existe uma resistência R.</p><p>A B</p><p>Rapidamente utilizamos o resultado anterior para concluir</p><p>que a resistência equivalente entre AB vale R/3. Podemos generalizar</p><p>o resultado da seguinte maneira: caso a malha seja infinita e exista</p><p>simetria nas resistências, a resistência equivalente entre dois pontos</p><p>consecutivos é dada por:</p><p>R</p><p>R</p><p>nAB = 2</p><p>Em que n é o número de resistores ligados ao ponto A ou ao</p><p>ponto B.</p><p>Esses são alguns dos métodos de simetria. Existem vários e não</p><p>temos como abordar todos aqui. Trabalharemos mais em sala de aula</p><p>e através dos exercícios.</p><p>Compreendendo o curto-circuito</p><p>Geralmente um curto-circuito é visto como algo perigoso.</p><p>De fato, um acidente ou um incêndio podem até ser efeitos</p><p>de um curto-circuito, mas não é o que ocorre na maioria dos casos.</p><p>Vejamos um exemplo:</p><p>Considere, na figura a seguir, que as lâmpadas L</p><p>1</p><p>e L</p><p>2</p><p>tenham sido fabricadas para funcionar sob tensão de 110 V. Da</p><p>maneira como estão ligadas, a corrente no circuito é de 1,0 A. Como</p><p>U = Ri, a lâmpada L</p><p>1</p><p>está operando sob tensão de 55 V (portanto,</p><p>subalimentada), enquanto a lâmpada L</p><p>2</p><p>está operando com 165 V</p><p>(sobrecarregada e com sério risco de queimar).</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>110 V –110 V</p><p>55 Ω 165 Ω</p><p>T</p><p>0V</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>2</p><p>Entretanto, se fizermos um curto-circuito ligando os pontos</p><p>b e t, ambas as lâmpadas passam a funcionar em condições normais,</p><p>pois agora a tensão sobre as lâmpadas é de 110 V:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>110 V –110 V</p><p>55 Ω 165 Ω</p><p>TOV</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>2</p><p>Após um curto entre os pontos B e T as lâmpadas funcionam</p><p>normalmente.</p><p>Para não sermos parciais, vejamos também um exemplo</p><p>desastroso. Considere uma lâmpada L</p><p>3</p><p>com resistência de 108 Ω</p><p>ligada por dois fios de resistência 1 Ω cada a uma tomada de 110 V.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>L</p><p>3</p><p>D</p><p>A</p><p>D</p><p>A 1 Ω</p><p>1 Ω</p><p>108 Ω</p><p>110 V</p><p>0</p><p>Ligação de uma lâmpada.</p><p>Representação simplificada.</p><p>D</p><p>B</p><p>1 A</p><p>C</p><p>B</p><p>C</p><p>L</p><p>3</p><p>L</p><p>3</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>L</p><p>3</p><p>1 A</p><p>110 V</p><p>BA</p><p>CD</p><p>108 Ω</p><p>1 Ω</p><p>1 Ω0</p><p>A</p><p>D</p><p>A 1 Ω</p><p>1 Ω</p><p>108 Ω</p><p>110 V</p><p>0</p><p>Ligação de uma lâmpada.</p><p>Representação simplificada.</p><p>D</p><p>B</p><p>1 A</p><p>C</p><p>B</p><p>C</p><p>L</p><p>3</p><p>L</p><p>3</p><p>No esquema, a lâmpada está funcionando normalmente.</p><p>No entanto, imagine que, por excesso de manipulação, os trechos dos</p><p>fios bem próximos à lâmpada descascassem e o ponto B entrasse em</p><p>contato com o ponto C. Esses pontos ficariam em curto. A tensão na</p><p>lâmpada ficaria nula, faíscas pulariam no ponto de contato, e o circuito</p><p>obedeceria ao esquema abaixo.</p><p>110 V</p><p>Um curto-circuito desastroso</p><p>55A</p><p>L</p><p>1</p><p>A B</p><p>D</p><p>O</p><p>C</p><p>1 Ω</p><p>1 Ω</p><p>108 Ω</p><p>A intensidade da corrente iria subir para 55 A. Valor superior à</p><p>intensidade de corrente suportada por muitas soldas elétricas. Se não</p><p>houver um fusível ou um disjuntor para abrir a alimentação do circuito,</p><p>provavelmente o plástico do fio vai entrar em combustão, exalando</p><p>vapores e odores que alguns chamam de cheiro de curto-circuito.</p><p>Como as situações desastrosas são mais marcantes, esta última</p><p>ideia é que acaba prevalecendo na visão cotidiana de curto-circuito.</p><p>Ponte Wheatstone</p><p>É um circuito constituído de quatro resistores, que permite a</p><p>determinação do valor de uma resistência elétrica com precisão.</p><p>Constitui-se de quatro resistores alimentados por um gerador</p><p>e de um galvanômetro, conforme a figura.</p><p>A</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>4R</p><p>3</p><p>Q</p><p>G</p><p>i</p><p>4</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>G</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>3</p><p>B</p><p>Ponte de Wheatstone</p><p>ε</p><p>P</p><p>Ponte de Wheatstone</p><p>Quando a ponte está equilibrada, a corrente no galvanômetro</p><p>é nula:</p><p>i</p><p>G</p><p>= 0 → VG = R</p><p>G</p><p>i</p><p>G</p><p>= 0</p><p>Ou seja, o potencial dos pontos A e B é o mesmo. Quanto às</p><p>correntes, podemos deduzir as seguintes relações:</p><p>i</p><p>1</p><p>= i</p><p>G</p><p>+ i</p><p>2</p><p>i</p><p>3</p><p>+ i</p><p>G</p><p>= i</p><p>4</p><p>Como A e B têm o mesmo potencial, as tensões abaixo entre</p><p>elas e os pontos P e Q são tais que:</p><p>V</p><p>AP</p><p>= V</p><p>BP</p><p>→ R</p><p>1</p><p>i</p><p>1</p><p>= R</p><p>3</p><p>i</p><p>3</p><p>V</p><p>AQ</p><p>= V</p><p>BQ</p><p>→ R</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>= R</p><p>4</p><p>i</p><p>4</p><p>Dividindo as duas equações, obtemos:</p><p>R i</p><p>R i</p><p>R i</p><p>R i</p><p>R R R R1 1</p><p>2 2</p><p>3 3</p><p>4 4</p><p>1 4 2 3= → =</p><p>Na ponte de Wheatstone</p><p>equilibrada, os produtos das</p><p>resistências opostas são iguais, e qualquer componente que esteja</p><p>entre os pontos A e B estará em curto-circuito. É evidente que, se</p><p>conhecemos duas resistências com precisão e tomarmos um reostato,</p><p>podemos determinar uma resistência desconhecida Rx qualquer,</p><p>bastando regular o reostato até equilibrarmos a ponte.</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>R</p><p>A</p><p>G</p><p>B</p><p>Ponte de Wheatstone usada para a determinação</p><p>de uma resistência desconhecida.</p><p>Da expressão deduzida anteriormente para a ponte equilibrada,</p><p>temos:</p><p>R R R R R</p><p>R R</p><p>Rx x1 2</p><p>2</p><p>1</p><p>= → =</p><p>Exercícios</p><p>01. Um arame de comprimento L e resistência R é dobrado unindo os</p><p>seus extremos, de tal maneira que se forma uma circunferência.</p><p>Determine a resistência entre dois pontos separados por uma</p><p>distância a medida ao longo do perímetro.</p><p>02. Determine a resistência equivalente R</p><p>ab</p><p>no trecho de circuito</p><p>abaixo.</p><p>a</p><p>b</p><p>30 Ω</p><p>30 Ω</p><p>30 Ω 30 Ω</p><p>30 Ω</p><p>30 Ω</p><p>30 Ω</p><p>30 Ω30 Ω</p><p>A) 10 Ω B) 22,2 Ω</p><p>C) 33,3 Ω D) 41,4 Ω</p><p>E) n.r.a.</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>03. Encontre a resistência de um cubo em que cada aresta tem</p><p>resistência R, entre os pontos:</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>G</p><p>F</p><p>E</p><p>H</p><p>A) A e H</p><p>B) A e E</p><p>C) A e B</p><p>04. Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B. Cada</p><p>resistor vale R.</p><p>AA B</p><p>05. Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B. Cada</p><p>resistor vale R.</p><p>A</p><p>B</p><p>06. Qual deve ser o valor da resistência Rx no circuito abaixo para que</p><p>a resistência entre os pontos A e B não dependa do número de</p><p>células?</p><p>3R</p><p>R R R R R</p><p>x</p><p>3R 3R 3R</p><p>R</p><p>...</p><p>...</p><p>07. Encontre a resistência equivalente do trecho do circuito entre os</p><p>pontos A e B.</p><p>R R</p><p>RR</p><p>R R</p><p>R</p><p>A B</p><p>R</p><p>R</p><p>08. (ITA) Considere um arranjo em forma de tetraedro construído</p><p>com 6 resistências de 100 Ω, como mostrado na figura. Pode-se</p><p>afirmar que as resistências equivalentes RAB e RCD entre os</p><p>vértices A, B e C, D, respectivamente, são:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>A) R</p><p>AB</p><p>= R</p><p>CD</p><p>= 33,3 Ω</p><p>B) R</p><p>AB</p><p>= R</p><p>CD</p><p>= 50 Ω</p><p>C) R</p><p>AB</p><p>= R</p><p>CD</p><p>= 66,7 Ω</p><p>D) R</p><p>AB</p><p>= R</p><p>CD</p><p>= 83,3 Ω</p><p>E) R</p><p>AB</p><p>= 66,7 Ω e R</p><p>CD</p><p>= 83,3 Ω</p><p>09. Na figura, todas as resistências são iguais a R. A diferença de</p><p>potencial entre os pontos A e B é V. Determine a intensidade de</p><p>corrente elétrica entre os pontos A e B.</p><p>A)</p><p>30</p><p>7</p><p>V</p><p>R</p><p>B) nula</p><p>C)</p><p>15</p><p>7</p><p>V</p><p>R</p><p>D)</p><p>40</p><p>7</p><p>V</p><p>R</p><p>E)</p><p>60</p><p>7</p><p>V</p><p>R</p><p>10. O circuito da figura estende-se infinita e periodicamente nos dois</p><p>sentidos indicados. A resistência elétrica equivalente entre A e B</p><p>vale:</p><p>3R</p><p>2R 2R 2R 2R 2R 2R</p><p>3R</p><p>3R 3R B</p><p>R R RA</p><p>A)</p><p>R</p><p>2</p><p>B)</p><p>9 21</p><p>5</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>R</p><p>C)</p><p>9 21</p><p>5</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>R</p><p>D)</p><p>21</p><p>20</p><p>R</p><p>E) n.r.a.</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>A</p><p>B</p><p>i</p><p>i</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R R</p><p>9 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.509 - 131454/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. Considere a rede de resistores a seguir. Cada resistor tem</p><p>resistência r. Determine a resistência equivalente entre os pontos</p><p>A e C.</p><p>rrr</p><p>rrr</p><p>rrr</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>12. Sabendo que todos os resistores da malha infinita da figura têm</p><p>resistência R, a resistência equivalente entre A e B é:</p><p>R R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>BA</p><p>A)</p><p>R 1 2</p><p>2</p><p>+( )</p><p>B)</p><p>R 1 3</p><p>2</p><p>+( )</p><p>C)</p><p>3</p><p>2</p><p>R</p><p>D)</p><p>R 1 5</p><p>2</p><p>+( )</p><p>E)</p><p>R 1 6</p><p>2</p><p>+( )</p><p>13. A resistência equivalente entre os pontos A e B do esquema abaixo</p><p>vale:</p><p>2r</p><p>2r</p><p>2r</p><p>2r</p><p>2r</p><p>2r r r r</p><p>n</p><p>BA r</p><p>A)</p><p>nr</p><p>n + 1</p><p>B)</p><p>r</p><p>n</p><p>C)</p><p>r</p><p>n2 D)</p><p>r</p><p>2</p><p>E) r</p><p>14. Considere a associação infinita de resistores em paralelo,</p><p>representada na figura abaixo. As resistências são R, lR, l2R, l3R,</p><p>l4R, ... em que l = 1,8 e R = 3 Ω. A associação é ligada a uma</p><p>bateria de 12 V. Assinale a alternativa que corresponde à corrente</p><p>drenada da bateria.</p><p>R 2R 3R 4R 5R...R</p><p>A) 3 A B) 12 A</p><p>C) 9 A D) ∞</p><p>E) 0 A</p><p>15. A estrela regular abaixo é formada por um fio uniforme. Sabendo</p><p>que a resistência entre os pontos EL é R, determine a resistência</p><p>equivalente entre os pontos F e C.</p><p>Dado: Use sen 18º = 1/3</p><p>C</p><p>F</p><p>Estrela regular</p><p>L</p><p>E</p><p>A) R B) 2 R</p><p>C)</p><p>R</p><p>2</p><p>D)</p><p>3</p><p>2</p><p>R</p><p>E)</p><p>R</p><p>4</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* C * * *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * B C B</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* D E C A</p><p>* 01.</p><p>a L a R</p><p>L</p><p>( )−</p><p>2</p><p>03. A</p><p>R</p><p>B</p><p>R</p><p>C</p><p>R</p><p>) ) )</p><p>5</p><p>6</p><p>3</p><p>4</p><p>7</p><p>12</p><p>04.</p><p>R</p><p>3</p><p>05.</p><p>R</p><p>2</p><p>06.</p><p>21 3</p><p>2</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>R</p><p>07.</p><p>17</p><p>12</p><p>R</p><p>11. 5 1+( )R</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>naldo/REV.: Amélia</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: circuitos Elétricos – PartE i</p><p>frente: Física iii</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>AULAS 27 A 30</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Sentido do movimento de elétrons livres</p><p>Normalmente, o movimento de elétrons livres no interior de um</p><p>condutor metálico é caótico e sem nenhuma orientação. Podemos ordenar</p><p>esse movimento usando um gerador elétrico nos terminais do condutor.</p><p>Vamos supor que o nosso condutor seja um fio de cobre e</p><p>que o gerador seja uma pilha de lanterna. Ela possui dois polos de</p><p>cargas elétricas: um positivo e um negativo. No polo negativo há uma</p><p>concentração de cargas elétricas negativas, e no polo positivo, uma</p><p>concentração de cargas elétricas positivas.</p><p>Os elétrons saem do polo negativo e caminham pelo circuito,</p><p>passando pela lâmpada, até retornar pelo polo positivo. Este é o sentido real</p><p>da corrente elétrica. No entanto, se os portadores fossem cargas positivas,</p><p>sairiam do polo positivo da pilha e voltariam a ela pelo polo negativo.</p><p>Por razões históricas, usa-se a seguinte convenção para o</p><p>sentido da corrente elétrica:</p><p>+</p><p>–</p><p>Corrente elétrica</p><p>i</p><p>i</p><p>A seta da corrente é desenhada sempre no sentido em que se</p><p>movimentariam as partículas positivamente carregadas, mesmo</p><p>que estes portadores sejam negativos, como os elétrons.</p><p>Força eletromotriz (fem)</p><p>Se você pensar em um circuito elétrico como o da figura</p><p>anterior (uma pilha ligada a uma lâmpada) surge uma questão</p><p>desconcertante: na prática, a corrente é a mesma à volta toda,</p><p>a qualquer momento; por que isso acontece se a única força motriz</p><p>óbvia está dentro da bateria? Na hora você poderia esperar que isso</p><p>gerasse uma grande corrente na bateria e nenhuma na lâmpada.</p><p>Quem está empurrando no restante do circuito e como é que esse</p><p>alguém empurra de uma forma exata que resulta na mesma corrente</p><p>em cada segundo? E mais: dado que as cargas em um fio típico</p><p>movem-se a passo de lesma, por que não leva meia hora para a</p><p>notícia chegar até a lâmpada? Como as cargas sabem movimentar-se</p><p>no mesmo instante?</p><p>Resposta: se a corrente não é a mesma Pa volta toda (por</p><p>exemplo, durante a primeira fração de segundo depois que a chave é</p><p>fechada), então a carga está se acumulando em algum lugar e (aqui</p><p>está a questão crucial) o campo elétrico dessa carga que se acumula</p><p>está em uma direção tal que regulariza o fluxo. Suponha, por exemplo,</p><p>que a corrente que entre na curva da figura ao lado</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>é maior que a que sai. A carga, então, acumula-se</p><p>no cotovelo, e isso cria um campo que aponta na</p><p>direção contrária à dobra. Esse campo se opõe à</p><p>corrente que está entrando (desacelerando-a) e</p><p>estimula a corrente que está saindo (acelerando-a) até que essas</p><p>correntes se igualem, ponto no qual não ocorre mais acúmulo de carga</p><p>e o equilíbrio se estabelece. É lindo um sistema que se autocorrige de</p><p>forma automática para manter a corrente uniforme. E ele faz isso com</p><p>tanta rapidez que, na prática, você afirma com segurança que a</p><p>corrente é a mesma à volta toda do circuito, mesmo nos sistemas que</p><p>oscilam em frequência de rádio.</p><p>A conclusão de tudo isso é que existem, na realidade, duas</p><p>forças envolvidas na movimentação de uma corrente por um circuito:</p><p>a fonte</p><p>�</p><p>ffonte</p><p>, que normalmente está contida a uma parte do circuito (à</p><p>bateria, digamos), e a força eletrostática, que serve para normalizar o</p><p>fluxo e comunicar a influência da fonte a partes distantes do circuito:</p><p>� � �</p><p>f f Efonte� �</p><p>O agente responsável por</p><p>�</p><p>ffonte pode ser qualquer uma de</p><p>várias coisas: em uma bateria é a força química; em um cristal</p><p>piezoelétrico a pressão mecânica é convertida</p><p>em impulso elétrico,</p><p>e assim vai. Seja qual for o mecanismo, seu efeito final é determinado</p><p>pela integral de linha de</p><p>�</p><p>f em volta do circuito:</p><p>� � � ��</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�f d l f d lfonte� �</p><p>Pois</p><p>� �</p><p>E d l· = 0 para campos eletrostáticos. e é a chamada</p><p>força eletromotriz, ou fem do circuito.</p><p>De onde vem a energia para fazer esse transporte? No caso</p><p>de uma pilha, há uma conversão de energia química em elétrica, o</p><p>que justifica o aparecimento dessa força e principalmente da energia</p><p>interna.</p><p>A fem corresponde ao trabalho, por unidade de carga, para</p><p>transportar as partículas de carga elétrica, desde o polo negativo</p><p>até o polo positivo.</p><p>Em uma fonte ideal de fem (bateria sem resistência interna),</p><p>a força líquida sobre as cargas é nula.</p><p>Alguns exemplos de geradores de corrente contínua são:</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>(i) pilhas:</p><p>Uma pilha é um dispositivo que transforma energia química</p><p>em energia elétrica. Como exemplos, temos a pilha voltaica e a pilha</p><p>seca, esquematizadas abaixo.</p><p>zinco</p><p>H2SO4</p><p>(a)</p><p>+</p><p>(b)</p><p>carbono</p><p>eletrodo</p><p>negativo</p><p>eletrodo</p><p>positivo</p><p>eletrodo</p><p>pastoso</p><p>e</p><p>+</p><p>As pilhas podem ser divididas em primárias – quando as reações</p><p>químicas destroem um dos eletrodos (normalmente o negativo) e</p><p>secundários – quando os eletrodos e a solução eletrolítica são alterados</p><p>pela reação química. Normalmente, nas pilhas primárias ou substitui-se</p><p>o eletrodo e renova-se o eletrólito, ou então, simplesmente joga-se</p><p>a pilha fora. Já uma pilha secundária pode ser recarregada (ter seus</p><p>componentes originais recuperados) fazendo-se passar através dela</p><p>uma corrente em sentido contrário à de descarga.</p><p>(ii) baterias:</p><p>Uma bateria é constituída de um conjunto de pilhas ou de</p><p>elementos equivalentes num mesmo recipiente. Uma bateria de ácido</p><p>+ chumbo, por exemplo, é esquematizada a seguir.</p><p>terminais</p><p>para conexão</p><p>+ –</p><p>conjuntos de</p><p>placas positivas</p><p>conjuntos de</p><p>placas negativas</p><p>solução de ácido</p><p>separador</p><p>Equação característica do gerador</p><p>Quando um gerador não é percorrido por corrente elétrica,</p><p>ele possui uma ddp característica entre seus terminais. Esta ddp é</p><p>denominada, certamente, com alguma dose de impropriedade, de</p><p>força eletromotriz (fem) ou tensão em aberto do gerador.</p><p>Porém, uma corrente elétrica ao percorrer o interior do gerador</p><p>sofre resistência, como em qualquer material condutor, devido aos</p><p>choques entre os elétrons de condução e os átomos do material que</p><p>constitui o gerador. Somos, então, levados a estabelecer o conceito de</p><p>resistência interna do gerador que, em primeira aproximação, pode-se</p><p>supor de comportamento ôhmico (de valor constante).</p><p>Em alguns casos, pode-se desprezar a resistência interna</p><p>do gerador, tratando-o, neste caso, como um gerador ideal,</p><p>representado na figura a seguir. O gerador ideal é claramente</p><p>caracterizado, de forma exclusiva, por sua força eletromotriz,</p><p>e qualquer que sejam os componentes aos quais se liga o gerador</p><p>ideal, a tensão por ele fornecida é exatamente igual à sua fem (e).</p><p>i</p><p>A B</p><p>– + ε</p><p>Um gerador real, por sua vez, pode ser representado por um</p><p>gerador ideal mais um resistor que representa a sua resistência interna.</p><p>Sua representação é mostrada a seguir.</p><p>A Bε</p><p>i</p><p>r</p><p>É óbvio que, agora, a ddp nos terminais do gerador vai</p><p>depender da corrente que o percorre, pois, além da elevação do</p><p>potencial pela fonte e, devemos considerar a queda de tensão ôhmica</p><p>ri. Deduzimos, portanto, que a tensão fornecida pelo gerador ao ser</p><p>percorrido pela corrente i é dada por:</p><p>V = e – ri</p><p>Onde subtraímos, da fem, a tensão que se perde na resistência</p><p>interna. A expressão acima é conhecida como a equação característica</p><p>do gerador. A partir dela, pode-se construir a curva característica do</p><p>gerador (ddp contra corrente), que é a de uma função do 1º grau.</p><p>Tomaremos dois casos particulares: aquele em que o gerador</p><p>está em aberto (i = 0, V = e) e aquele em que o gerador está em curto</p><p>(V = 0, ic = e/r), em que ic é conhecida como a corrente de curto-</p><p>circuito do gerador.</p><p>ε</p><p>V = 0</p><p>i</p><p>c</p><p> ε / r</p><p>r</p><p>Circuito simples</p><p>São ditos circuitos simples aqueles que contam com apenas</p><p>uma fonte de tensão, sendo de resolução bastante trivial, na maioria</p><p>dos casos.</p><p>Consideremos um circuito simples, constituído por um gerador</p><p>e um resistor.</p><p>i</p><p>+</p><p>–</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>RVV</p><p>D</p><p>i</p><p>ii</p><p>ii</p><p>r</p><p>ε</p><p>A tensão elétrica nos terminais do gerador é de acordo com</p><p>a equação do gerador:</p><p>V = e – r · i</p><p>A tensão elétrica nos terminais do resistor externo (R) é dada,</p><p>segundo a Lei de Ohm, por:</p><p>V R i</p><p>i r R</p><p>i</p><p>r R</p><p>Lei de Pouillet</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>·</p><p>( )</p><p>( )</p><p>�</p><p>�</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Podemos generalizar essa lei substituindo R por R</p><p>eq</p><p>, que é a</p><p>resistência equivalente entre as extremidades do gerador.</p><p>A curva característica do gerador é apresentada abaixo:</p><p>ε</p><p>ε</p><p>i</p><p>v</p><p>(a)</p><p>ic  r</p><p>i</p><p>v</p><p>(b)</p><p>ε</p><p>Curvas características de um gerador real (a) e ideal (b).</p><p>Potência nos circuitos</p><p>Considerando um condutor de resistência R submetido a uma</p><p>ddp V, a carga transportada através dele em um intervalo de tempo</p><p>dt é tal que:</p><p>dq =idt</p><p>O trabalho realizado pela força elétrica para transportar esta</p><p>carga dq de um ponto para outro cujo potencial é V volts menor é</p><p>dado por:</p><p>dW = –dU = –(–V)dq = Vdq</p><p>Logo:</p><p>P Vi Ri</p><p>V</p><p>Rdissipada = = =2</p><p>2</p><p>Podemos dizer que esta é a potência instantânea fornecida</p><p>pela fonte de ddp (quando a corrente é dada em ampères e a ddp</p><p>em volts, a potência calculada é medida em watts).</p><p>Percebe-se que, quando se estabelece o regime de corrente</p><p>estacionária, a velocidade média dos portadores; e, portanto, sua</p><p>energia cinética média (k) deixa de variar. Do Teorema do Trabalho</p><p>Energia Cinética, temos:</p><p>dW</p><p>resultante</p><p>= dK = 0</p><p>Ou seja, o trabalho realizado pela força resultante, e,</p><p>logicamente, a potência a ela relacionada se anulam.</p><p>A potência da força resultante é a soma das potências</p><p>desenvolvida por cada uma das forças (elétrica e de resistência):</p><p>P</p><p>resultante</p><p>= P</p><p>fornecida</p><p>+ P</p><p>dissipada</p><p>= 0</p><p>O resultado indica que, no regime estacionário, toda a potência</p><p>fornecida pela fonte é dissipada pelo circuito resistivo.</p><p>|P|</p><p>fornecida</p><p>= |P|</p><p>dissipada</p><p>Podemos encontrar, também, a potência dissipada por unidade</p><p>de volume no condutor. No caso particularmente simples do condutor</p><p>filiforme de dimensões l e A, temos:</p><p>R</p><p>A</p><p>e i J A</p><p>P</p><p>volume</p><p>Ri</p><p>A</p><p>Jdissipada</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>·</p><p>2</p><p>2</p><p>Esse resultado é geral!</p><p>A potência elétrica fornecida por uma fonte é dada por:</p><p>P</p><p>u</p><p>= V i</p><p>Este valor será conhecido como potência útil de um gerador,</p><p>correspondendo à potência elétrica transferida do gerador aos demais</p><p>componentes do circuito.</p><p>A potência total produzida no gerador é, portanto, a soma da</p><p>potência que dele é transferida ao restante do circuito (potência útil)</p><p>com a potência que nele mesmo se desperdiça (potência dissipada).</p><p>Daí, temos:</p><p>P</p><p>total</p><p>= Vi – ri2 = ei</p><p>Rendimento</p><p>Define-se o rendimento do gerador como a razão entre as</p><p>potências útil e total:</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>P</p><p>P</p><p>Vtil</p><p>total</p><p>ú</p><p>Um esquema ilustrativo seria o seguinte:</p><p>Potência</p><p>não elétrica</p><p>(total)</p><p>Potência elétrica</p><p>(útil)</p><p>Perdas (potência</p><p>dissipada)</p><p>GERADOR</p><p>Muitas vezes interessa-nos saber em que condições conseguimos</p><p>obter um valor máximo para a potência útil, ou seja, em que condições</p><p>temos uma máxima transferência de potência.</p><p>Consideremos o circuito abaixo.</p><p>A potência útil (transferida) será dissipada no resistor R; como</p><p>estudamos. Daí:</p><p>P Ri P</p><p>r R</p><p>R</p><p>u u� � �</p><p>�� �</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>�</p><p>Considerando que e e r são constantes, a potência transferida</p><p>será função apenas de R. A função P</p><p>útil</p><p>(R) será máxima quando sua</p><p>derivada se anular:</p><p>dP</p><p>dR</p><p>r R R r R</p><p>r R</p><p>r R r R R</p><p>r R</p><p>r</p><p>u �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )( )</p><p>( )</p><p>( RR</p><p>r R</p><p>R r</p><p>)</p><p>( )�</p><p>� � �</p><p>2</p><p>0</p><p>Ou seja, obteremos o máximo valor de potência transferida,</p><p>quando a “carga” que está sendo alimentada pelo gerador tiver</p><p>resistência</p><p>igual à resistência interna do mesmo. Este valor de potência</p><p>P xu</p><p>m xá será:</p><p>P</p><p>R</p><p>r R ru</p><p>m xá �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� �2</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>O rendimento do gerador no regime de máxima transferência</p><p>de potência será:</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�2 50%</p><p>É interessante observar que o regime de transferência máxima</p><p>de potência não corresponde a um rendimento eficiente.</p><p>Pelo contrário, apesar de a potência transferida ser máxima;</p><p>a quantidade igual à energia transferida (e consumida de maneira útil)</p><p>será desperdiçada por dissipação no próprio gerador. Usualmente, não</p><p>utilizamos este regime, mas sim, um outro em que a potência transferida</p><p>seja menor, mas em que o rendimento seja maior.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>Associação de geradores</p><p>Aprenderemos aqui a trabalhar com geradores em série e</p><p>paralelo para facilitar a resolução de alguns problemas.</p><p>Série</p><p>Seja um conjunto de geradores ligados a terminais sucessivos,</p><p>conforme o esquema abaixo.</p><p>Associação de geradores em série.</p><p>A</p><p>r1 r2ε1 r3ε2 r4 rnε3 ε4 εn</p><p>B C D E Y Z</p><p>É fácil verificar o conjunto de relações:</p><p>VBA = VB – VA = e</p><p>1</p><p>– r</p><p>1</p><p>i</p><p>VCB = VC – VB = e</p><p>2</p><p>– r</p><p>2</p><p>i</p><p>VDC = VD – VC = e</p><p>3</p><p>– r</p><p>3</p><p>i</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>VZY = VZ – VY = e</p><p>n</p><p>– r</p><p>n</p><p>i</p><p>Que, somados, resultam em:</p><p>V</p><p>ZA</p><p>= V = (e</p><p>1</p><p>+ e</p><p>2</p><p>+...+ e</p><p>n</p><p>) – (r</p><p>1</p><p>+ r</p><p>2</p><p>+...+ r</p><p>n</p><p>)i</p><p>Percebemos, então, que a associação pode ser substituída por</p><p>um único gerador equivalente:</p><p>A</p><p>i</p><p>Gerador equivalente</p><p>Zr</p><p>eq</p><p>r</p><p>eq</p><p>A única maneira de igualarmos os dois resultados para VZA</p><p>para qualquer valor de corrente é considerando:</p><p>� � � � � �eq n eq j</p><p>j</p><p>n</p><p>eq n eq j</p><p>j</p><p>n</p><p>r r r r r r r</p><p>� � � � � �</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>...</p><p>...</p><p>Quando dispomos de n geradores idênticos associados em</p><p>série, cada um com fem igual a e e resistência interna igual a r, as</p><p>expressões anteriores nos dá o:</p><p>e</p><p>eq</p><p>= n e r</p><p>eq</p><p>= nr</p><p>Paralelo</p><p>Usualmente só faz sentido falar de uma associação em paralelo</p><p>de geradores idênticos, pois, do contrário, dependendo dos valores</p><p>da fem, alguns geradores passariam a funcionar como receptores.</p><p>Considerando então que dispomos de n geradores idênticos</p><p>ligados aos mesmos terminais (associados em paralelo), cada um com</p><p>fem igual a e e resistência igual a r.</p><p>i</p><p>A B</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>Associação de geradores em paralelo</p><p>... ...</p><p>ε</p><p>ε</p><p>εi</p><p>n</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>Como a tensão nos terminais de todos os geradores é a</p><p>mesma, temos:</p><p>VBA = e – ri</p><p>1</p><p>= e – ri</p><p>2</p><p>= ... = e – ri</p><p>n</p><p>→ i</p><p>1</p><p>= i</p><p>2</p><p>= ... i</p><p>n</p><p>Da continuidade da corrente elétrica:</p><p>i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>+ ... + i</p><p>n</p><p>= i e i</p><p>1</p><p>= i</p><p>2</p><p>=... = in = i/n</p><p>A ddp entre os terminais A e B será, portanto:</p><p>V r</p><p>i</p><p>nAB � � ��</p><p>Substituindo a associação por um único gerador equivalente,</p><p>temos:</p><p>A</p><p>Gerador equivalente</p><p>B</p><p>i</p><p>r</p><p>eq</p><p>ε</p><p>eq</p><p>A única maneira de tornarmos os dois resultados para V</p><p>BA</p><p>correntes é fazendo:</p><p>e</p><p>eq</p><p>= e e r</p><p>eq</p><p>= r/n</p><p>Depois veremos alguns teoremas para trabalhar com fem</p><p>diferentes nas associações em paralelo.</p><p>O receptor elétrico</p><p>Um receptor é um dispositivo que consome energia elétrica e</p><p>a converte em outra forma de energia que não seja exclusivamente</p><p>térmica (como no resistor).</p><p>Exemplos de receptor são o motor elétrico, uma bateria</p><p>sendo carregada etc. Nestes dispositivos, que funcionam ao serem</p><p>percorridos por uma corrente elétrica, além da perda de energia elétrica</p><p>transformada de modo útil (mecânica, por exemplo) há uma outra</p><p>parcela dissipada pela característica resistiva do receptor, que como</p><p>qualquer condutor, é dotado de resistência interna.</p><p>Ao desprezarmos a resistência interna, definimos o receptor</p><p>ideal, caracterizado pela queda de tensão não ôhmica, associada à</p><p>transformação da energia elétrica em outra forma de energia. Esta</p><p>queda de tensão é denominada força contraeletromotriz (fcem).</p><p>A seguir, representamos um receptor de fcem igual a e:</p><p>+ –</p><p>i</p><p>ε’</p><p>Representação de um receptor ideal</p><p>Um receptor pode ser apresentado por ser representado por um</p><p>gerador ideal mais um resistor que representa a sua resistência interna.</p><p>i</p><p>r’ ε’</p><p>Representação de um receptor ideal</p><p>A queda total de tensão nos terminais do receptor vai ser dada</p><p>pela soma entre a queda ôhmica (r’i) e a queda não ôhmica (e’).</p><p>V = e’+ r’ i</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Esta é a equação característica do receptor, a partir da qual</p><p>construímos a sua curva característica, que, supondo r’ constante, é</p><p>uma função do 1º grau.</p><p>V</p><p>ii</p><p>(a)ε’</p><p>V</p><p>(b)ε’</p><p>Curvas características de um gerador real (a) e ideal (b).</p><p>Potência elétrica no receptor</p><p>Consideremos um circuito constituído de um gerador</p><p>alimentando um receptor.</p><p>Gerador</p><p>Circuito com um gerador e um receptor</p><p>i</p><p>Receptor</p><p>V</p><p>r</p><p>ε</p><p>r’</p><p>ε'</p><p>Como sabemos, a potência transferida do gerador para o</p><p>receptor, ou seja, a potência total que chega ao receptor é dada por:</p><p>P</p><p>total</p><p>= Vi</p><p>como V = e’ + r’i, temos:</p><p>P</p><p>total</p><p>= (e’ + r’i)i = e’i + r’i2</p><p>Ou seja, a potência que chega ao receptor se divide em dois</p><p>termos: o primeiro representa a potência transformada de forma útil</p><p>no receptor; o segundo representa a potência desperdiçada dentro</p><p>dele por efeito Joule. Em suma:</p><p>P’</p><p>útil</p><p>= E’i</p><p>P’</p><p>total</p><p>= r’i2</p><p>Definimos o rendimento do receptor como:</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>�P</p><p>P V</p><p>til</p><p>total</p><p>ú</p><p>’</p><p>O rendimento total do circuito também pode ser encontrado,</p><p>sendo definido como a razão entre a potência transformada de forma</p><p>útil pelo receptor e a potência total fornecida ao gerador:</p><p>H</p><p>P</p><p>P</p><p>til</p><p>total</p><p>� � �ú �</p><p>�</p><p>��</p><p>’</p><p>’</p><p>Podemos, então, resumir os processos de transformação de</p><p>energia (e potência) no circuito anterior na forma:</p><p>G</p><p>E</p><p>R</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>R</p><p>E</p><p>C</p><p>E</p><p>P</p><p>T</p><p>O</p><p>R</p><p>Perdas</p><p>(potência</p><p>dissipada no</p><p>gerador)</p><p>Potência</p><p>não elétrica</p><p>(total)</p><p>Potência elétrica</p><p>(transferida do</p><p>gerador ao</p><p>receptor)</p><p>Potência</p><p>não elétrica</p><p>(útil)</p><p>Perdas</p><p>(potência</p><p>dissipada</p><p>no receptor)</p><p>Observações:</p><p>1. Ao bloquearmos a rotação de um motor elétrico, anulamos</p><p>a sua força contraeletromotriz. Como a tensão aplicada nos</p><p>terminais do receptor U = e’ + r’i não muda, temos que o</p><p>mesmo passa a funcionar apenas como resistor, e, além disso,</p><p>é percorrido por uma corrente muito grande. A consequência</p><p>mais natural é a ocorrência de danos no motor devido à elevada</p><p>dissipação de energia na forma de calor.</p><p>2. Como já dissemos, é possível fazer um gerador funcionar como</p><p>receptor, ou vice-versa. Um exemplo é o do acumulador dos</p><p>automóveis, que funciona como gerador, e no processo de</p><p>recarga pelo dínamo, atua como receptor.</p><p>Leis de Kirchhoff</p><p>Previamente, é importante definirmos alguns termos que</p><p>aparecem comumente no estudo dos circuitos elétricos.</p><p>1. Ramo: trecho de circuito constituído de um ou mais bipolos</p><p>(componentes de dois polos: resistor, gerador receptor) ligados em</p><p>série. Une dois nós consecutivos.</p><p>2. Nó ou nodo: ponto de interseção entre dois ou mais ramos. Para</p><p>o estabelecimento das equações dos circuitos elétricos só nos</p><p>interessarão os nós resultantes da interseção de três ou mais ramos.</p><p>3. Malha: qualquer caminho fechado, que possa ser tomado em um circuito</p><p>elétrico. É constituído de ramos. Por exemplo, consideremos o circuito a seguir:</p><p>A</p><p>F</p><p>E D</p><p>B</p><p>C</p><p>Circuito elétrico</p><p>Circuito elétrico</p><p>A, B, C, E e F são nós, dentre os quais somente C e F podem</p><p>resultar em equações. AB, FC e ED são ramos.</p><p>A</p><p>F</p><p>E D (c)</p><p>C (b)</p><p>B (a)</p><p>Ramos do circuito elétrico da figura (A), (B) e (C) ABCFA,</p><p>FCDEF e ABCDEFA são malhas.</p><p>A</p><p>F</p><p>(a)</p><p>C</p><p>B F</p><p>E</p><p>(b)</p><p>D</p><p>C</p><p>A</p><p>F</p><p>E</p><p>(c)</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>Malhas do circuito elétrico da anterior (A), (B) e (c).</p><p>’</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>Podemos, agora, enunciar as Leis de Kirchhoff (a primeira já</p><p>foi discutida em notas de aulas anteriores).</p><p>1ª Lei de Kirchhoff (Lei dos Nós)</p><p>“A soma algébrica das correntes que fluem de um nó é nula.”</p><p>“A soma das correntes que ‘entram’ em um nó é igual à das correntes</p><p>que ‘saem’ do mesmo nó.”</p><p>2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Malhas)</p><p>“A soma algébrica das diferenças de potencial em uma malha</p><p>é nula.”</p><p>Na realidade, a 2ª Lei de Kirchhoff pode ser facilmente</p><p>entendida, se considerarmos que um nó do circuito tem o seu potencial</p><p>definido e que, portanto, em qualquer caminho fechado (malha)</p><p>devemos obter uma ddp total nula.</p><p>Para encontrarmos uma expressão algébrica para a lei das</p><p>malhas em um circuito linear (com resistores, geradores e receptores)</p><p>devemos considerar que:</p><p>• a ddp em um gerador (ou receptor) cresce do valor de sua fem</p><p>ao ser percorrido do polo negativo para o positivo, e decresce do</p><p>mesmo valor ao ser percorrido no sentido contrário.</p><p>+</p><p>+</p><p>–</p><p>–</p><p>ε</p><p>ε</p><p>A B</p><p>A B</p><p>V</p><p>BA</p><p>= ε</p><p>V</p><p>BA</p><p>= – ε</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>Gerador percorrido do polo negativo para</p><p>o polo positivo (a) e vice-versa (b).</p><p>A ddp num resistor decresce do valor V = Ri, segundo a</p><p>1ª Lei de Ohm, ao ser percorrido de acordo com o sentido da corrente,</p><p>e cresce do mesmo valor ao ser percorrido no sentido contrário.</p><p>A B</p><p>A B</p><p>i</p><p>i</p><p>R</p><p>R</p><p>V</p><p>BA</p><p>= –Ri</p><p>V</p><p>BA</p><p>= Ri</p><p>(a)</p><p>(a)</p><p>Resistor percorrido no sentido da corrente (a)</p><p>e no sentido inverso (b).</p><p>Podemos, então, calcular a ddp entre dois nós quaisquer de</p><p>um circuito na forma:</p><p>V RiBA � �� ��</p><p>Onde convencionamos e > 0 ao percorrermos o gerador do</p><p>polo negativo para o positivo e e < 0 no sentido contrário e i > 0 ao</p><p>percorrermos o resistor no sentido arbitrado para a corrente i < 0</p><p>no sentido contrário.</p><p>Ao percorrermos uma malha completa, a ddp total é zero, e</p><p>daí temos a expressão matemática para a Lei de Kirchoff:</p><p>� ��� Ri</p><p>Vejamos um exemplo ilustrativo da aplicação das Leis de Kirchoff</p><p>para a resolução de um circuito elétrico. Consideremos o circuito a seguir,</p><p>no qual desejamos saber as correntes elétricas em cada componente.</p><p>A</p><p>10 V 2 V 6 V</p><p>40 Ω</p><p>20 Ω</p><p>30 Ω</p><p>10 Ω</p><p>F</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>E</p><p>Inicialmente, devemos atribuir a cada ramo uma corrente</p><p>arbitrária:</p><p>A</p><p>F E D</p><p>B C</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>3</p><p>Analisando o nó B, podemos escrever, de acordo com a</p><p>Lei dos Nós:</p><p>i</p><p>1</p><p>= i</p><p>2</p><p>+ i</p><p>3</p><p>Como temos três variáveis, precisamos de outras duas</p><p>equações. Estas equações podem ser obtidas a partir da análise de duas</p><p>malhas no circuito. Consideremos as malhas internas ABEFA e BCDEB:</p><p>A</p><p>40 Ω</p><p>10 V 2 V</p><p>20 Ω</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>F</p><p>B</p><p>E</p><p>B</p><p>30 Ω</p><p>2 V 6 V</p><p>10 Ω</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>3</p><p>E</p><p>C</p><p>D</p><p>ABEFA:</p><p>BCDEB:</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � � �</p><p>� � � � �</p><p>�� Ri i i i A</p><p>Ri i i</p><p>10 2 40 20 0 2</p><p>6 2 30 10</p><p>1 1 1</p><p>3</p><p>,</p><p>33 3 0 1� ��� i A,</p><p>Temos ainda que:</p><p>i</p><p>2</p><p>= i</p><p>1</p><p>– i</p><p>3</p><p>= 0,1A</p><p>Vejamos agora outros métodos que nos auxiliarão na resolução</p><p>de circuitos: Teoremas da superposição e da reciprocidade.</p><p>Teorema da superposição</p><p>Podemos apresentar o seguinte enunciado para o Teorema</p><p>da Superposição.</p><p>“A corrente produzida em um ramo qualquer de um circuito</p><p>linear (como uma rede resistiva de corrente contínua), que contém</p><p>duas ou mais fontes, é igual à soma das correntes que cada fonte</p><p>produz no ramo considerado (como se agisse sozinha) com as demais</p><p>substituídas por suas respectivas resistências internas.”</p><p>Evidentemente, no caso de uma fonte de tensão ideal, ela será</p><p>substituída por uma chave fechada e uma fonte de corrente por uma</p><p>chave aberta (resistências internas, respectivamente, nula e infinita).</p><p>Como exemplo, consideremos o circuito do nosso exercício 1.</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exercícios</p><p>01. Determine as correntes em cada ramo.</p><p>10 Ω</p><p>60 Ω40 Ω 30 Ω20 A</p><p>200 y</p><p>02. Um resistor R está conectado a uma bateria de resistência interna r.</p><p>Se um resistor não conhecido R’ é conectado em paralelo a R,</p><p>a potência dissipada no circuito externo não se altera se R’ for:</p><p>A)</p><p>R r</p><p>R r</p><p>2</p><p>2 22-</p><p>B)</p><p>R r</p><p>R r</p><p>2</p><p>2 2-</p><p>C)</p><p>Rr</p><p>R r</p><p>2</p><p>2 22 3-</p><p>D)</p><p>Rr</p><p>R r</p><p>2</p><p>2 24-</p><p>E)</p><p>r R</p><p>R r</p><p>2</p><p>2 2-</p><p>03. Na associação de resistores abaixo, determine a resistência</p><p>equivalente entre os pontos AB e marque a opção que corresponde</p><p>à potência dissipada pela associação quando se aplica entre os</p><p>terminais A e B uma ddp U.</p><p>A) Zero</p><p>B)</p><p>11</p><p>10</p><p>2U</p><p>R</p><p>C)</p><p>U</p><p>R</p><p>2</p><p>D)</p><p>10</p><p>11</p><p>2U</p><p>R</p><p>E)</p><p>U</p><p>R</p><p>2</p><p>2</p><p>04. Seja o circuito abaixo. Considere que um fusível se rompa, depois</p><p>de um certo tempo decorrido das conexões feitas, se por ele passar</p><p>uma corrente acima de sua capacidade.</p><p>5,1 V</p><p>1 Ω</p><p>1 Ω2 Ω 3 Ω</p><p>F</p><p>2</p><p>= 1A</p><p>F</p><p>1</p><p>= 4A</p><p>F</p><p>4</p><p>= 1 AF</p><p>3</p><p>= 2 A</p><p>A) Calcule as correntes em cada um dos fusíveis antes do</p><p>rompimento de algum deles.</p><p>B) Verifique quais fusíveis irão se romper.</p><p>C) Calcule a potência dissipada pela fonte quando o circuito atingir</p><p>a sua operação estável.</p><p>A) zero</p><p>A B</p><p>R</p><p>R</p><p>R RR</p><p>R</p><p>RR R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>RR</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>RR</p><p>R</p><p>R</p><p>RR</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>U2</p><p>1 0R</p><p>R11</p><p>R</p><p>U211</p><p>U201</p><p>U2</p><p>2R</p><p>05. No circuito abaixo, determine o valor da corrente I</p><p>0</p><p>.</p><p>A) 0,1 A</p><p>B) 0,2 A</p><p>C) Zero</p><p>D) 0,25 A</p><p>E) n.r.a.</p><p>06. O experimento mostrado na figura foi montado para elevar</p><p>a temperatura de certo líquido no menor tempo possível,</p><p>dispendendo uma quantidade de calor Q. Na figura, G é um gerador</p><p>de força eletromotriz e, com resistência elétrica interna r, e R é a</p><p>resistência externa submersa no líquido. Desconsiderando trocas</p><p>de calor entre o líquido e o meio externo:</p><p>r</p><p>G</p><p>ε</p><p>R</p><p>A) determine o valor de R e da corrente i em função de e e da</p><p>potência elétrica P fornecida pelo gerador nas condições</p><p>impostas.</p><p>B) represente graficamente a equação característica do gerador,</p><p>ou seja, a diferença de potencial U em função da intensidade</p><p>da corrente elétrica i.</p><p>C) determine o intervalo de tempo transcorrido durante o</p><p>aquecimento em função de Q, i e e.</p><p>07. Alguns tipos de sensores piezorresistivos podem ser usados</p><p>na confecção de sensores de pressão baseados em pontes de</p><p>Wheatstone. Suponha que o resistor R</p><p>x</p><p>do circuito da figura</p><p>seja um piezorresistor com variação de resistência dada por</p><p>R</p><p>x</p><p>= kp + 10 Ω, em que k = 2,0 × 10-1 Ω/Pa e p, a pressão. Usando</p><p>este piezorresistor na construção de um sensor para medir pressões</p><p>na faixa de 0,10 atm a 1,0 atm, assinale a faixa de valores do</p><p>resistor R</p><p>1</p><p>para que a ponte de Wheatstone seja balanceada. São</p><p>dados: R</p><p>2</p><p>= 20 Ω e R3 = 15 Ω.</p><p>R</p><p>3</p><p>R</p><p>x</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>G</p><p>A) De R</p><p>1min</p><p>= 25 Ω a R</p><p>1máx</p><p>= 30 Ω</p><p>B) De R</p><p>1min</p><p>= 20 Ω a R</p><p>1máx</p><p>= 30 Ω</p><p>C) De R</p><p>1min</p><p>= 10 Ω a R</p><p>1máx</p><p>= 25 Ω</p><p>D) De R</p><p>1min</p><p>= 9,0 Ω a R</p><p>1máx</p><p>= 23 Ω</p><p>E) De R</p><p>1min</p><p>= 7,7 Ω a R</p><p>1máx</p><p>= 9,0 Ω</p><p>70 Ω</p><p>50 V</p><p>+</p><p>–</p><p>20 Ω</p><p>30 Ω</p><p>l</p><p>0</p><p>5 Ω</p><p>4</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.308 – 132231/18</p><p>08. (ITA) A figura mostra três camadas de dois</p><p>d</p><p>2</p><p>d</p><p>4</p><p>d</p><p>b</p><p>V</p><p>a</p><p>4</p><p>σ</p><p>1</p><p>σ</p><p>2</p><p>σ</p><p>1</p><p>materiais com condutividade σ</p><p>1</p><p>e σ</p><p>2</p><p>,</p><p>respectivamente. Da esquerda para a</p><p>direita, temos uma camada do material</p><p>com condutividade σ</p><p>1</p><p>, de largura d/2,</p><p>seguida de uma camada do material com</p><p>condutividade σ</p><p>2</p><p>, de largura d/4, seguida</p><p>de outra camada do primeiro material de</p><p>condutividade σ</p><p>1</p><p>, de largura d/4. A área transversal é a mesma para</p><p>todas as camadas e igual a A. Sendo a diferença de potencial</p><p>entre os pontos a e b igual a V, a corrente do circuito é dada por</p><p>A) 4V A/d(3σ</p><p>1</p><p>+ σ</p><p>2</p><p>)</p><p>B) 4V A/d(3σ</p><p>2</p><p>+ σ</p><p>1</p><p>)</p><p>C) 4V Aσ</p><p>1</p><p>σ</p><p>2</p><p>/d(3σ</p><p>1</p><p>+ σ</p><p>2</p><p>)</p><p>D) 4V Aσ</p><p>1</p><p>σ</p><p>2</p><p>/d(3σ</p><p>2</p><p>+ σ</p><p>1</p><p>)</p><p>E) AV(6σ</p><p>1</p><p>+ Aσ</p><p>2</p><p>)/d</p><p>09. No gráfico abaixo estãorepresentadas as características de um</p><p>gerador, de força eletromotriz igual a e e resistência interna r, e um</p><p>receptor ativo de força contraeletromotriz e’ e resistência interna r’.</p><p>Sabendo que os dois estão interligados, determine a resistência</p><p>interna e o rendimento para o gerador e para o receptor.</p><p>0</p><p>V</p><p>(V</p><p>)</p><p>I (A)</p><p>100</p><p>80</p><p>60</p><p>40</p><p>20</p><p>1 2 3 4</p><p>10. Considere um circuito constituído por um gerador de tensão</p><p>E = 122,4 V, pelo qual passa uma corrente I = 12 A, ligado</p><p>a uma linha de transmissão com condutores de resistência</p><p>r = 0,1 Ω. Nessa linha encontram-se um motor e uma carga de 5</p><p>lâmpadas idênticas, cada qual com resistência R = 99 Ω, ligadas em</p><p>paralelo, de acordo com a figura. Determine a potência absorvida</p><p>pelo motor, P</p><p>M</p><p>, pelas lâmpadas, P</p><p>L</p><p>, e a dissipada na rede, P</p><p>r</p><p>.</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>Lâmpadas</p><p>MotorE</p><p>11. Sabe-se que a máxima transferência de energia de uma bateria</p><p>ocorre quando a resistência do circuito se iguala</p><p>à resistência</p><p>interna da bateria, isto é, quando há o casamento de resistências.</p><p>No circuito da figura, a resistência de carga R</p><p>C</p><p>varia na faixa 100 Ω</p><p>≤ R</p><p>c</p><p>≤ 400 Ω. O circuito possui um resistor variável, R</p><p>x</p><p>, que é usado</p><p>para o ajuste da máxima transferência de energia. Determine a</p><p>faixa de valores de R</p><p>x</p><p>para que seja atingido o casamento de</p><p>resistências do circuito.</p><p>20 Ω</p><p>100 Ω</p><p>V</p><p>r = 50 Ω</p><p>R</p><p>X</p><p>R</p><p>c</p><p>12. Um gerador de força eletromotriz igual a 6,0 volts é ligado</p><p>conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o rendimento</p><p>(ou eficiência) do gerador neste circuito é de 90%, pode-se</p><p>concluir que:</p><p>10 Ω</p><p>10 Ω20 Ω</p><p>6,0 V</p><p>20 Ω</p><p>A) a corrente no gerador deverá ser de 0,36 A.</p><p>B) a potência útil deverá ser maior que 1,96 W.</p><p>C) a potência total do gerador deverá ser de 2,4 W.</p><p>D) a corrente do gerador deverá ser maior que 0,40 A.</p><p>E) nenhuma das afirmações acima é correta.</p><p>13. Em um circuito em que há um gerador (e,r) e um receptor (e’,r’)</p><p>com força contraeletromotriz variável, prove que ocorre máxima</p><p>transferência de potência quando e = 2e’.</p><p>14. Associam n geradores idênticos (E, r) primeiro em série e depois</p><p>em paralelo. As características do gerador equivalente em cada</p><p>caso são, respectivamente:</p><p>A) (nE, nr); (E/n, r/n)</p><p>B) (nE, nr); (E, r/n)</p><p>C) (nE, nr); (E, r)</p><p>D) (E, nr); (E, r/n)</p><p>15. O gerador equivalente à associação da figura abaixo tem as</p><p>seguintes características:</p><p>(m)</p><p>(n)</p><p>E, r E, r E, r</p><p>E, r E, r E, r</p><p>E, r</p><p>E, r</p><p>E, r E, r E, r</p><p>R</p><p>E, r</p><p>n</p><p>A) (E, mr)</p><p>B) mE</p><p>mr</p><p>n</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>C) (mE, nr)</p><p>D) mE</p><p>r</p><p>n</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: ANDRÉ – REV.: Amélia</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* * * A *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * B A *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * D A</p><p>Resoluções</p><p>01. i. Desenhando o circuito, temos:</p><p>ii. Nos ramos ABGH e BDEG, temos:</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2 2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>i i i</p><p>200 60i 40i 0</p><p>200 60i 10i 30(i 20) 0</p><p>i i i</p><p>200 60i 40i</p><p>200 60i 40i 600 0</p><p>i i i (1)</p><p>200 60i 40i (2)</p><p>400 60i 40i (3)</p><p> = +</p><p></p><p>− − = →</p><p> − − − + =</p><p> = +</p><p></p><p>→ − = →</p><p> − − − =</p><p> = +</p><p></p><p>→ − =</p><p>− − =</p><p>iii. Somando (2) e (3), temos:</p><p>1 2 1 2200 120i 40(i i ) i i i</p><p>200 120i 40i i 1,25A</p><p>− − = + → + = →</p><p>→ − − = → = −</p><p>iv. Quanto a corrente elétrica tem um sinal negativo no</p><p>valor, implica que o sentido dela é posto ao sentido que</p><p>supomos (figura do passo i) contêm as correntes</p><p>elétricas com os sentidos supostos que elas seguem).</p><p>v. Calculando as correntes elétricas no circuito, temos:</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>i 6,875A</p><p>i 8,125A</p><p>i 20A 11,875A</p><p> =</p><p></p><p>= −</p><p> + =</p><p>vi. Baseado nos resultados das correntes elétricas, temos o</p><p>seguinte circuito:</p><p>02.</p><p>i. Antes da adição do resistor R’, temos o seguinte circuito:</p><p>2</p><p>12 2</p><p>1 1</p><p>ri Ri i /(r R)</p><p>Potdiss R</p><p>r RPotdiss Ri Potdiss Ri</p><p>  − = =  +  </p><p>→ → =   + = = </p><p>ii. Após a adição do resistor R’, temos o seguinte circuito:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>r Req</p><p>Potdiss Req (</p><p>Potdiss Req</p><p>r ReqPotdiss R</p><p>i’ i’</p><p>i’)</p><p>i’</p><p>ieq ( ’)</p><p> − =</p><p>→</p><p>=</p><p> =   </p><p>→ =  +=  </p><p>iii. De acordo com o enunciado, potdiss1 = potdiss2, logo:</p><p>22</p><p>1 2</p><p>22</p><p>Potdiss Potdiss R Req</p><p>r R r Req</p><p>RR‘ RR‘</p><p>R</p><p>R R‘ r R R R‘ r Req</p><p>   </p><p>= → = →   + +   </p><p>   </p><p>→ → →   + + + +   </p><p>→ = →</p><p>→</p><p>+ + +</p><p>+ + + = ++ +</p><p>2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>( (</p><p>(R 2(</p><p>R R’)(r Req) R’ r R)</p><p>R’)r R’)rReq+ R’)Req R’r rRR’(R 2 RRR</p><p>2 2Rr + R’r→ 2r(R + R’+</p><p>RR’</p><p>)</p><p>R +R’</p><p>+(R + R’</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>(RR’)</p><p>) R’r</p><p>(R +R’)</p><p>= 2+2rRR’+R’R</p><p>→ 2Rr + 2rRR’ + =</p><p>2(RR’)</p><p>2rRR’</p><p>(R + R’)</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>+ →</p><p>→ − = −= −</p><p>→</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 3 2 2 2</p><p>2</p><p>22 +</p><p>R’R</p><p>RR’ R+ R’ R’R Rr R’R R r R’ (</p><p>(</p><p>) R RR’r</p><p>RR’) −= +3 2 2 2R’R R r RR’)( − →</p><p>→</p><p>2RR’r</p><p>R’R ( )− →</p><p>−</p><p>2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>Rr</p><p>R r R r R’=</p><p>R r</p><p>Resposta: E</p><p>03.</p><p>i. Observe que há uma linha de simetria passando por A e</p><p>B, logo:</p><p>ii. Observe que dentro do losango temos um fio liso, logo:</p><p>* Associação em paralelo.</p><p>iii. Observe que há uma linha de simetria passando pelos</p><p>resistores</p><p>R</p><p>,</p><p>4</p><p>logo:</p><p>AB</p><p>10</p><p>R R</p><p>11</p><p>→ =</p><p>iv.</p><p>Resposta: B</p><p>04.</p><p>i. Calculando a corrente elétrica emitida pela fonte, temos</p><p>que:</p><p>→ →</p><p>2 2 2</p><p>AB</p><p>V V 11 V</p><p>Pot = Pot = Pot =</p><p>10R 10 R</p><p>R</p><p>11</p><p>6 11 6 17</p><p>5,1 1 i i 5,1 i i 5,1 i i 3,3A</p><p>11 11 11 11</p><p>−  = → + → = → =</p><p>ii. No circuito, temos que:</p><p>No ramo ABGH: 1 15,1 1 i 2i 0 5,1 1 3,3 2i 0−  − = → −  − = →</p><p>1i 0,9A→ =</p><p>No ramo ACFH: 2 25,1 1 i 3i 0 5,1 1 3,3 3i 0−  − = → −  − = →</p><p>2i 0,6A→ =</p><p>No ramo ADEH: 3 35,1 1 i 1i 0 5,1 1 3,3 1i 0−  − = → −  − = →</p><p>3i 1,8A→ =</p><p>Observe que, de acordo com os cálculos acima, o fusível</p><p>F4 irá se romper.</p><p>iii. Após o rompimento do fusível F4, temos o seguinte</p><p>circuito:</p><p>6 11 51</p><p>5,1 1 i’ i’ 0 5,1 i’ i’ A 2,3182A</p><p>5 5 22</p><p>−  − = → = → = </p><p>No ramo ABEF: 1 15,1 1i’ 2i’ 0 5,1 1 2,3182 2i ’ 0− − = → −  − = →</p><p>1i ’ 1,3909A→ </p><p>No ramo ACDF:</p><p>2 25,1 1i’ 3i ’=0 5,1 1 2,3182 3i ’=0− − → −  − →</p><p>2i ’ 0,92727A → </p><p>Observe que, de acordo com os cálculos acima, o fusível</p><p>F2 irá se romper.</p><p>iv. Após o rompimento do fusível F2, temos o seguinte</p><p>circuito:</p><p>5,1 1 i’’ 3i’’ 0 5,1 4i’’ i’’ 1,275A −  − = → = → =</p><p>Observe que, de acordo com os cálculos acima, nenhum</p><p>fusível irá se romper. Portanto, o circuito atingiu a sua</p><p>operação estável.</p><p>v. Na operação estável, a seguinte potência é dissipada:</p><p>2</p><p>2</p><p>Req = 4</p><p>Potdiss Req (</p><p>Potdis</p><p>= i’’)</p><p>i’’ = 1,275A</p><p>= 1,275)s 4 ( Potdi = 6,s 5Ws</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>→</p><p>→ →</p><p>Respostas:</p><p>A) Antes do rompimento dos fusíveis, temos as seguintes</p><p>correntes:</p><p>F1 = 3,3 A; F2 = 0,9 A; F3 = 0,6 A; F4 = 1,8 A</p><p>B) Os fusíveis que irão se romper é o F2 e o F4.</p><p>C) A potência dissipada pelo circuito é 6,6 W.</p><p>05.</p><p>i. Calculando a corrente emitida pela fonte, temos:</p><p>50 – 21i – 4i =0 → 50 = 25i → i = 2 A (1)</p><p>ii. Representando as correntes elétricas nas malhas, temos</p><p>que:</p><p>1 2</p><p>1 0 3</p><p>4 0 2</p><p>3 4</p><p>i i i (2)</p><p>i i i (3)</p><p>i i i (4)</p><p>i i i (5)</p><p> = +</p><p></p><p>= +</p><p></p><p>= +</p><p></p><p>= +</p><p>iii. Na malha AACC, temos que:</p><p>1 270i 30i 0 − + = →</p><p>=1 27i 3i (6)</p><p>Na malha CCBB, temos que: − + +  = →3 4 020i 5i 0 i 0</p><p>4 3i 4i (7)=</p><p>iv. Substituindo (1) e (6) em (2), temos:</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2 i i</p><p>7</p><p> </p><p>= + →  </p><p>2i 1, 4A (8)→ =</p><p>v. Substituindo (1) e (7) em (5), temos: 3 3 32 i 4i 2 5i= + → = →</p><p>3i 0,4A (9)→ =</p><p>vi. Substituindo (1) e (8) em (2), temos: 12 i 1,4= + →</p><p>1 i 0,6A ( 10)→ =</p><p>vii. Substituindo (9) e (10) em (3), temos: 00,6 i 0,4= + →</p><p>0 i 0,2A→ =</p><p>Resposta: B</p><p>06. A)</p><p>i. Para que o tempo de aquecimento do líquido seja</p><p>mínimo, é necessário que a potência fornecida pelo</p><p>gerador (p) seja máxima. É demonstrado nas aulas e no</p><p>módulo de estudo que, na condição de P máximo, R = r.</p><p>ii. De acordo com a figura do enunciado, temos que:</p><p>ri Ri (R r)i i R r i (1)</p><p>R r 2R</p><p> </p><p> − = →  = + → = → = → =</p><p>+</p><p>iii. A potência fornecida pelo gerador é:</p><p> </p><p>= ⎯⎯⎯→ =  → =</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>(1)</p><p>p Ri p R R (2)</p><p>4p4R</p><p>iv. Substituindo (2) em (1):</p><p>2</p><p>4p 2p</p><p>i i (3)</p><p>2</p><p></p><p>=  → =</p><p></p><p>B) A diferença de potencial de um gerador é V =  – ri, logo</p><p>temos o seguinte gráfico:</p><p>C)</p><p>i. Como a água recebe todo o calor dissipado pelo resistor</p><p>R, temos que P  t = Q (4)</p><p>ii. Substituindo (3) em (4):</p><p>i 2Q</p><p>t Q t</p><p>2 i</p><p></p><p>  = →  =</p><p></p><p>07. i. Há um erro no enunciado da questão, ele diz que</p><p>k = 2  10–1 /pa, porém o verdadeiro valor de k é</p><p>k = 2 10–4 /pa.</p><p>ii. Para uma ponte de Wheastone balanceada, temos que</p><p>R1  Rx = R2  R3, logo:</p><p>R1  Rx = R2  R3 → R1(kp + 10) = 20  15 →</p><p>p</p><p>1</p><p>300</p><p>R</p><p>k 10</p><p>=</p><p>+</p><p>iii. As pressões</p><p>contato entre ambos. As folhas</p><p>do eletroscópio deverão:</p><p>A) manter-se com a mesma deflexão, independente da polaridade</p><p>da carga do bastão.</p><p>B) abrir-se mais, somente se a carga do bastão for negativa.</p><p>C) abrir-se mais, independentemente da polaridade da carga do</p><p>bastão.</p><p>D) abrir-se mais, somente se a carga do bastão for positiva.</p><p>E) fechar-se mais ou abrir-se mais, dependendo da polaridade da</p><p>carga do bastão.</p><p>07. A bola 1 pode carregar-se até certa carga Q mediante um</p><p>gerador. Em seguida, mediante o contato com a bola 2, a</p><p>primeira pode transmitir para a segunda bola parte da carga.</p><p>No primeiro contato, a bola 2 passou a ter uma carga q.</p><p>(A bola 2, antes dos processos, está neutra). Determine que carga</p><p>pode adquirir a bola 2 repetindo-se reiteradamente o processo.</p><p>1</p><p>Gerador222</p><p>111</p><p>08. (UFLA/2003) Uma vela acesa é colocada entre duas placas próximas</p><p>e eletrizadas com cargas elétricas de sinais contrários, conforme</p><p>a figura.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>Supondo o sistema isolado de forças externas, pode-se afirmar</p><p>que a chama da vela:</p><p>A) será atraída pela placa eletrizada positivamente.</p><p>B) não será atraída por nenhuma das duas placas.</p><p>C) sofrerá um alongamento vertical.</p><p>D) sofrerá uma diminuição do seu tamanho.</p><p>E) será atraída pela placa eletrizada negativamente.</p><p>09. Um cubo metálico é carregado ao entrar em contato com</p><p>uma placa metálica carregada. Após cada contato, a placa é</p><p>recarregada ficando sempre com uma carga Q. Sabe-se que, após</p><p>o primeiro contato, a carga adquirida pelo cubo é Q/6. Encontre</p><p>a máxima carga do cubo.</p><p>10. Considere uma caixa de paredes finas no vácuo, exposta a raios</p><p>gama, conforme mostra a figura.</p><p>Fóton</p><p>A) O fóton pode criar cargas, variando, portanto, a carga total,</p><p>dentro e fora da caixa.</p><p>B) O fóton jamais pode criar carga, assim, a variação da carga</p><p>total, dentro e fora da caixa, é nula.</p><p>C) A caixa pode tornar-se o palco de uma “criação de par”, mas</p><p>de tal forma que a variação de carga total, dentro e fora da</p><p>caixa, é nula.</p><p>D) O fóton pode criar uma estrutura chamada positrônio, formada</p><p>de elétron e pósitron, razão pela qual proporcionará a violação</p><p>da Lei da Conservação da carga total, dentro e fora da caixa.</p><p>E) A Lei da Conservação da carga não está de acordo com a</p><p>exigência da invariância relativística, isto é, a Lei acima não</p><p>prevalece em qualquer sistema de referência inercial, ou</p><p>no sentido mais forte de que observadores localizados em</p><p>referenciais diferentes, ao medirem a carga, obtêm resultados</p><p>diferentes.</p><p>11. Considere n esferas condutoras idênticas neutras. Toma-se 1/3 das</p><p>esferas e eletriza-se uma delas com carga Q. Depois, realizam-</p><p>se contatos sucessivos da esfera inicialmente eletrizada com as</p><p>demais esferas do terço inicialmente separado. Finalmente realiza-</p><p>se um contato simultâneo desta esfera com os 2/3 restantes de</p><p>esferas. Determine a carga final da esfera inicialmente eletrizada.</p><p>A)</p><p>3</p><p>2 3</p><p>23</p><p>n</p><p>Q</p><p>n+</p><p>⋅ B)</p><p>3</p><p>2 3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>n</p><p>Q</p><p>n+</p><p>⋅ −</p><p>C)</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>n</p><p>Q</p><p>n⋅ −</p><p>D)</p><p>3</p><p>2</p><p>23</p><p>n</p><p>Q</p><p>n⋅</p><p>12. Temos inicialmente um conjunto de N esferas metálicas idênticas,</p><p>todas inicialmente neutras. Dividimos este conjunto em quatro</p><p>subconjuntos com igual número de esferas. Do primeiro</p><p>subconjunto, retiramos uma esfera e a eletrizamos com carga q.</p><p>Esta esfera é colocada em contato sucessivo com cada uma das</p><p>demais esferas do primeiro subconjunto e em seguida novamente</p><p>separada. Esta esfera é então colocada em contato simultâneo</p><p>com as esferas do segundo subconjunto e em seguida novamente</p><p>separada. Pegamos então a esfera e realizamos contatos sucessivos</p><p>com as esferas do terceiro grupo e a separamos novamente.</p><p>Por último, realizamos um contato simultâneo desta esfera com</p><p>as esferas do quarto subconjunto. Determine a carga final desta</p><p>esfera.</p><p>A)</p><p>q</p><p>N N</p><p>4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D)</p><p>q</p><p>N</p><p>N</p><p>4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>B)</p><p>q</p><p>N</p><p>N</p><p>4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E)</p><p>16</p><p>22 2</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>q</p><p>N</p><p>N</p><p>C)</p><p>q</p><p>N</p><p>N</p><p>Z</p><p>4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.061-127582/18</p><p>13. Considere um eletroscópio de folhas inicialmente neutro. Então,</p><p>seda é atritada com ebonite, que eletriza o eletroscópio por indução.</p><p>Na série triboelétrica a seguir, quanto mais na parte superior da</p><p>tabela, maior a tendência de perder elétrons na eletrização por</p><p>atrito.</p><p>Pele de coelho</p><p>Vidro</p><p>Mica</p><p>Lã</p><p>Pele de gato</p><p>Seda</p><p>Algodão</p><p>Madeira</p><p>Âmbar</p><p>Ebonite</p><p>Cobre</p><p>Enxofre</p><p>Celuloide</p><p>Em seguida, aproxima-se do eletroscópio um condutor</p><p>negativamente carregado, cuja carga é, em módulo, igual à carga</p><p>do eletroscópio. Nesse caso, considere as seguintes afirmações:</p><p>I. Através do processo de eletrização por indução, o eletroscópio</p><p>ficou positivamente carregado;</p><p>II. Ao aproximarmos o condutor carregado do eletroscópio,</p><p>observa-se que as folhas tendem a se fechar;</p><p>III. Se tocarmos o condutor carregado no eletroscópio, as folhas</p><p>tendem a se abrir;</p><p>IV. Se tivéssemos utilizado a seda para eletrizar o eletroscópio por</p><p>indução, ao aproximarmos o corpo condutor do eletroscópio</p><p>as folhas tenderiam a se fechar;</p><p>V. Durante a aproximação do corpo condutor, há um fluxo de</p><p>elétrons no eletroscópio da parte superior para a inferior.</p><p>Podemos concluir que</p><p>A) todas são corretas.</p><p>B) não há afirmação correta.</p><p>C) II e III, apenas, são corretas.</p><p>D) I, II e V, apenas, são corretas.</p><p>E) somente II está errada.</p><p>14. Na eletrização por indução, ao conectarmos um eletroscópio de</p><p>folhas à Terra, podemos afirmar que</p><p>A) as folhas se fecham.</p><p>B) as folhas se abrem se o indutor é positivo, pois os elétrons</p><p>sobem da terra.</p><p>C) as folhas ficam nas mesmas posições, pois os elétrons só irão</p><p>neutralizar as cargas induzidas.</p><p>D) somente se a carga do eletroscópio for negativa as folhas se</p><p>fecham, pois os elétrons irão se escoar para a Terra.</p><p>E) somente se a carga do eletroscópio for positiva as folhas se</p><p>fecham, pois os elétrons irão subir da Terra, neutralizando-a.</p><p>15. Deseja-se carregar negativamente um condutor metálico pelo</p><p>processo de indução eletrostática. Nos esquemas I e II, o condutor</p><p>foi fixado na haste isolante, F é um fio condutor que nos permite</p><p>fazer o contato com a Terra nos pontos A, B e C do condutor.</p><p>Devemos utilizar</p><p>A) o esquema I e ligar necessariamente F em C, pois as cargas</p><p>positivas aí induzidas atrairão elétrons da Terra, enquanto</p><p>que se ligarmos em A, os elétrons aí induzidos pela repulsão</p><p>eletrostática, irão impedir a passagem de elétrons para a região</p><p>C.</p><p>B) o esquema II e ligar necessariamente F em A, pois as cargas</p><p>positivas aí induzidas atrairão elétrons da Terra, enquanto</p><p>que se ligarmos em C, os elétrons aí induzidos pela repulsão</p><p>eletrostática, irão impedir a passagem de elétrons para a região</p><p>A.</p><p>C) qualquer dos esquemas I ou II, desde que liguemos F</p><p>respectivamente em C, e em A.</p><p>D) o esquema I, no qual a ligação de F com o condutor poderá</p><p>ser efetuada em qualquer ponto do condutor, pois os elétrons</p><p>fluirão da Terra ao condutor até que o mesmo atinja o potencial</p><p>da Terra.</p><p>E) o esquema II, no qual a ligação de F com o condutor poderá ser</p><p>efetuada em qualquer ponto do condutor, pois os elétrons fluirão</p><p>da Terra ao condutor, até que o mesmo atinja o potencial da Terra.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* E D 06 C</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C * E * C</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B D D A D</p><p>– Demonstração.</p><p>01.</p><p>Q</p><p>A</p><p>R</p><p>m m</p><p>B</p><p>R</p><p>C</p><p>2m</p><p>2RV</p><p>Todas as cargas são iguais a q/3</p><p>1° Colisão:</p><p>Como as massas são iguais e a colisão é elástica, após a colisão</p><p>a esfera A possui velocidade nula e a esfera B adquire velocidade νν .</p><p>Além disso, as duas ficam com cargas iguais a Q/2.</p><p>2° Colisão:</p><p>Podemos utilizar a conservação do momento e que o coeficiente</p><p>de restituição é igual a 1. Logo:</p><p>I) p</p><p>B</p><p>(antes) + p</p><p>C</p><p>(antes) = p</p><p>B</p><p>(depois) + p</p><p>C</p><p>(depois)</p><p>mν = mV’</p><p>B</p><p>+ 2mV’</p><p>C</p><p>II) e =</p><p>V’</p><p>C</p><p>– V’</p><p>B</p><p>ν = 1</p><p>7F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.061-127582/18</p><p>É óbvio que a partícula C irá</p><p>fornecidas estão em atm, porém k está em</p><p>pascal, logo é necessário converter atm para pascal.</p><p>Consultando em 1 atm = 105 Pa, temos que 0,10 atm = 104 Pa.</p><p>iv. • Quando p = 1 atm = 105 Pa:</p><p>−</p><p>= → = →</p><p>+   +</p><p>→ = → = </p><p>1 1 4 5</p><p>p</p><p>1 1</p><p>300 300</p><p>R R</p><p>k 10 2 10 10 10</p><p>R 300 R 10</p><p>• Quando p = 0,10 atm = 104 pa:</p><p>1 1 1 14 4</p><p>p</p><p>300 300 300</p><p>R R R R 25</p><p>k 10 122 10 10 10−</p><p>= → = → = → = </p><p>+   +</p><p>Portanto, R1min = 10  e R1máx = 25 </p><p>Resposta: C</p><p>08. i.</p><p>L</p><p>R</p><p>A</p><p>1 L</p><p>R</p><p>A</p><p>1</p><p>  </p><p>=      </p><p>=    </p><p> =</p><p></p><p>ii.</p><p>iii. Calculando o valor das resistências, temos:</p><p>• 1 1</p><p>1 1</p><p>1 d/2 d</p><p>R R</p><p>A 2A</p><p> </p><p>= → =   </p><p>• 2 2</p><p>2 2</p><p>1 d/4 d</p><p>R R</p><p>A 4A</p><p> </p><p>= → =   </p><p>• 3 3</p><p>1 1</p><p>1 d/4 d</p><p>R R</p><p>A 4A</p><p> </p><p>= → =   </p><p>iv. Observando o circuito, percebemos que:</p><p>V – R1  i – R2  i – R3  i = 0 → V = (R1 + R2 + R3)i →</p><p>1 2 1</p><p>d d d</p><p>i V</p><p>2A 4A 4A</p><p> </p><p>→ = + + =    </p><p>2 1 2</p><p>2 1 1 2 2 1</p><p>2 d d d</p><p>i V</p><p>2 2A 4A 4A</p><p>   </p><p>→ =  +  +  =       </p><p>( )2 1 1 2</p><p>1 2 2 1</p><p>id 3 4VA</p><p>V i</p><p>A d(3 )</p><p> +   </p><p>→ = → =</p><p>   </p><p>Resposta: D</p><p>09. I.</p><p>Gerador : VG ri</p><p>Receptor:VR ‘ r‘i</p><p> =  −</p><p></p><p>=  −</p><p>ii. Para o gerador, nos pontos (0, 100) e (3, 40) do gráfico,</p><p>temos:</p><p>100 r 0 100</p><p>40 100 r 3</p><p>40 r 3 40 r 3</p><p>r 20 VG 100 20 i</p><p> =  −  = </p><p>= −  → </p><p>=  −  =  −  </p><p>→ =  → = −</p><p>iii. Para o receptor, nos pontos (0, 40) e (4, 80) do gráfico,</p><p>temos:</p><p> =  − = </p><p>= + → </p><p>=  − =  +  </p><p>→ =  → = + R</p><p>40 ’ r’(0) 04 ’</p><p>80 40 r’(4)</p><p>80 ’ r’(4) 80 ’ r’ (4)</p><p>r’ 10 V 40 10i</p><p>iv. O enunciado da questão diz que o gerador e o receptor</p><p>estão interligados, logo:</p><p>VG = VR → 100 – 20i = 40 + 10i → 60 = 30i → i = 2A</p><p>→ VG = VR = 60 V</p><p>v. No gerador, o rendimento é GV 60</p><p>100</p><p>=</p><p></p><p>. O rendimento</p><p>do gerador é 60%.</p><p>No receptor, o rendimento é</p><p>R</p><p>’ 40 2</p><p>V 60 3</p><p></p><p>= = . O rendimento</p><p>do receptor é 0,67%,</p><p>10. i.</p><p>ii. Na malha ACDF, temos que:</p><p>122,4 – 12r – i2  r – 19,8i2 – i2r – 12r = 0 →</p><p>→ 122,4 = 24r + (19,8 + 2r)i2 → r = 0,1  →</p><p>→ 122,4 = 24  0,1 + (19,8 + 2  0,1)  i2 → i2 = 6A</p><p>iii. Observe que 12 = i1 + i2, i2 = 6A, logo i1 = 6A</p><p>iv. Na malha BCDE, temos que:</p><p>Rmotor  i1 – ri2 – 19,8i2 – ri2 = 0 → Rmotor  i1 = (2r + 19,8)i2 →</p><p>Rmotor  6 = ( 2  0,1 + 19,8)  6 → Rmotor = 20 </p><p>v. Potência absorvida pelo motor: Pm = Rmotor i12</p><p>→</p><p>Pm = 20  62 → Pm = 720 W</p><p>vi. Potência absorvida pela lâmpada: PL = 19,8  i22</p><p>→</p><p>PL = 19,8  62 → PL = 712,8 W</p><p>vii. Potência dissipada pela rede: Pr = Pfonte – Pm – PL →</p><p>Pr = 122,4  12 – 720 – 712,8 → Pr = 36 W</p><p>11.</p><p>ii. Na condição de máxima transferência de energia de</p><p>acordo com o enunciado, R3 = r</p><p>iii.</p><p>1 C x C x</p><p>2 1</p><p>3 2 2</p><p>3</p><p>R R R /(R R )</p><p>R R 20</p><p>R 100 R / (100 R )</p><p>R 50 r</p><p> =  </p><p></p><p>= +</p><p>→</p><p>=  +</p><p></p><p>=  =</p><p>=  =</p><p>+</p><p>+ =</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>100R</p><p>R 50</p><p>100 R</p><p>5000 50R 100R</p><p>R 100R</p><p>→</p><p>2 1</p><p>1</p><p>R 100 R 20</p><p>R 80</p><p>=  = +</p><p>= </p><p>iv. =  = → = + →</p><p>+</p><p>c x</p><p>1 c x c x</p><p>c x</p><p>R R</p><p>R 80 R R 80R 80R</p><p>R R</p><p>→ − = → =</p><p>−</p><p>x</p><p>c x x c</p><p>x</p><p>80R</p><p>R (R 80) 80R R</p><p>R 80</p><p>v. • Quando Rc = 100:</p><p>= → = → − = →</p><p>− −</p><p>→ = → = </p><p>x x</p><p>c x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>80R 80R</p><p>R 100 100R 8000 80R</p><p>R 80 R 80</p><p>20R 8000 R 400</p><p>• Quando Rc = 400:</p><p>= → = → − = →</p><p>− −</p><p>→ = → = </p><p>x x</p><p>c x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>80R 80R</p><p>R 400 400R 32000 80R</p><p>R 80 R 80</p><p>320R 32000 R 100</p><p>Resposta: Na condição de máxima transferência de energia,</p><p>   x100 R 400</p><p>12. i. Se o gerador funcionasse com 100% de rendimento,</p><p>teríamos o seguinte circuito:</p><p>6 – 10i – 5i = 0 → 6 = 15i → i = 0,4 A</p><p>ii. Como o rendimento do gerador é 90%, implica dizer que</p><p>apenas 90% da corrente total circula pelo circuito, ou</p><p>seja, a corrente do circuito é 0,36 A.</p><p>Resposta: A</p><p>13. i. De acordo com o enunciado, temos:</p><p>  − </p><p> − =  + →  −  + → =</p><p> +</p><p>  </p><p>’</p><p>ri ’ r’i ’=(r r’)i i</p><p>r r’</p><p>’ é a única variável entre , ’, r e r’</p><p>ii. A potência transferida é aquela que o receptor recebe</p><p>sem que haja dissipação, pois é a potência que será</p><p>utilizada pelo receptor para alguma finalidade. Portanto,</p><p>a potência transferida é Pot = ’i.</p><p>iii.</p><p>  − </p><p>=  → =  → + </p><p>’</p><p>Pot ’i Pot ’</p><p>r r’</p><p>   −   −  +</p><p>=  +   →   +  </p><p>dPot d ’ ’ d( ’/r r’)</p><p>’</p><p>d ’ d ’ r r’ d ’</p><p>    −  −</p><p>→ =  +   →    + +   </p><p>→ =</p><p></p><p>dPot ’ 0 1</p><p>1 ’</p><p>d ’ r r’ r r’</p><p>dPot</p><p>0 é a condição de máximo</p><p>d ’</p><p> − </p><p>→ =</p><p>+</p><p>’</p><p>0</p><p>r r’</p><p> −</p><p>+</p><p>+</p><p>’( 1)</p><p>r r’</p><p>→ =  −  −  → =  −  →</p><p>→  = </p><p>0 ’ ’ 0 2 ’</p><p>2 ’</p><p>14. É demonstrado no módulo de estudos e nas aulas, os</p><p>resultados das seguintes associações de geradores</p><p>idênticos.</p><p>Resposta: B</p><p>15.</p><p>Resposta: B</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Marcos Haroldo</p><p>DIG.: Rejane – 22/03/2021 – REV.: KARLLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: circuitos ii</p><p>frente: Física iii</p><p>006.427-132390/18</p><p>AULAS 31 A 34</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Teorema da reciprocidade</p><p>O Teorema da Reciprocidade admite o seguinte enunciado:</p><p>“Se uma fonte intercalada num ramo de um circuito linear</p><p>passivo (por exemplo, um conjunto de resistências) produz como</p><p>resposta, em qualquer outro ramo do circuito, uma certa corrente, a</p><p>mesma fonte, intercalada neste ramo, produzirá como resposta, no</p><p>primeiro ramo do circuito, a mesma corrente.”</p><p>Ao aplicarmos o Teorema da Reciprocidade, a fonte do primeiro</p><p>ramo, ao ser intercambiada, deixa no seu lugar, a sua resistência</p><p>interna.</p><p>A figura abaixo ilustra a aplicação do teorema da reciprocidade.</p><p>Circuito</p><p>linear</p><p>passivo</p><p>R</p><p>1</p><p>r</p><p>R</p><p>2</p><p>ε</p><p>i</p><p>(a)</p><p>Circuito</p><p>linear</p><p>passivo</p><p>R</p><p>1</p><p>r</p><p>R</p><p>2</p><p>ε</p><p>i</p><p>(b)</p><p>Exemplo de aplicação do Teorema da Reciprocidade.</p><p>A fonte de tensão do primeiro ramo (a) é levada para o segundo ramo (b), deixando</p><p>em seu lugar a resistência interna r.</p><p>Observação:</p><p>Os teoremas da superposição e da reciprocidade podem ser</p><p>utilizados na resolução de um mesmo circuito.</p><p>Teorema de Thévenin</p><p>Enunciaremos desta forma o Teorema de Thévenin:</p><p>“Uma rede ativa e linear contendo uma ou várias fontes de</p><p>tensão e/ou corrente pode ser substituída por uma única fonte de</p><p>tensão em série com uma única resistência.”</p><p>A tensão desta fonte é dita tensão equivalente de Thévenin ou</p><p>simplesmente tensão-Thévenin (eTh) e a resistência é dita resistência-</p><p>-Thévenin (RTh).</p><p>ii</p><p>Rede</p><p>linear</p><p>ativa</p><p>A</p><p>B</p><p>R</p><p>A</p><p>B</p><p>R</p><p>ε</p><p>Th</p><p>R</p><p>Th</p><p>Rede</p><p>linear</p><p>ativa</p><p>B B</p><p>A</p><p>R</p><p>Th</p><p>ε</p><p>Th</p><p>R</p><p>A</p><p>Ri i</p><p>Exemplo de aplicação do Teorema de Thévenin. O circuito genérico</p><p>original (a) é substituído pelo seu “equivalente-Thévenin” com apenas</p><p>uma malha (b).</p><p>De um ponto de vista experimental, a implementação do</p><p>Teorema de Thévenin é extremamente simples.</p><p>1. Desligamos R do circuito.</p><p>2. Medimos com um voltímetro a ddp entre os pontos A e (e</p><p>Th</p><p>).</p><p>3. Substituímos todas as fontes por suas respectivas resistências</p><p>internas (as fontes de tensão por chaves fechadas e as de corrente</p><p>por chaves abertas).</p><p>4. Medimos com um ohmímetro a resistência equivalente entre os</p><p>pontos A e B (R</p><p>Th</p><p>).</p><p>5. Calculamos a corrente de carga no resistor R:</p><p>i</p><p>R R</p><p>Th</p><p>Th</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>Teorema de Norton</p><p>Apresentamos um possível enunciado para o Teorema de</p><p>Norton:</p><p>“Uma rede ativa e linear contendo uma ou várias fontes de</p><p>tensão e/ou corrente pode ser substituída por uma única resistência.”</p><p>A corrente desta fonte é dita corrente equivalente de Norton</p><p>ou simplesmente corrente-Norton (iN) e a resistência é dita resistência-</p><p>Norton</p><p>(RN).</p><p>Rede</p><p>linear</p><p>ativa</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>R i</p><p>N</p><p>R</p><p>N</p><p>R i</p><p>Exemplo de aplicação de teorema de Norton.</p><p>O circuito génerico original (a) é substituído pelo seu “equivalente-Norton” (b).</p><p>Experimentalmente, podemos aplicar o Teorema de Norton</p><p>com o seguinte procedimento simples:</p><p>1. Desligamos R do circuito.</p><p>2. Colocamos os pontos A e B em curto-circuito e medimos a corrente</p><p>entre estes pontos com um amperímetro (iN).</p><p>3. Substituímos todas as fontes por suas resistências internas.</p><p>4. Medimos a resistência equivalente entre A e B com um</p><p>ohmímetro (RN).</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.427-132390/18</p><p>5. Calculamos a corrente de carga do resistor R:</p><p>R</p><p>R</p><p>R R</p><p>iN N</p><p>N</p><p>N</p><p>N(i i) Ri i− = → =</p><p>+</p><p>É claro que se o circuito genérico apresentado anteriormente</p><p>possui um equivalente-Thévenin e um equivalente-Norton, estes dois</p><p>circuitos são equivalentes entre si. Isto significa que:</p><p>R R</p><p>i</p><p>R</p><p>N Th</p><p>N</p><p>Th</p><p>Th</p><p>=</p><p>= ε</p><p>R</p><p>1</p><p>= 3 Ω R</p><p>2</p><p>= 6 Ω</p><p>10 V</p><p>Exemplo de circuito ao qual serão aplicados os teoremas</p><p>de Thevenin e Norton.</p><p>B</p><p>A</p><p>20 V</p><p>R</p><p>3</p><p>= 3 Ω</p><p>Com os terminais A e B em aberto, a corrente na malha será:</p><p>i A= + =20 10</p><p>9</p><p>10</p><p>3</p><p>A tensão-Thévenin pode ser calculada, considerando que não</p><p>circula corrente no resistor R</p><p>3</p><p>:</p><p>V VTh = − ⋅20 3</p><p>10</p><p>3</p><p>A resistência é obtida curto-circuitando as fontes conforme o</p><p>esquema abaixo.</p><p>3 Ω</p><p>3 Ω</p><p>6 Ω</p><p>A</p><p>B</p><p>De modo trivial, encontramos:</p><p>R</p><p>Th</p><p>= 5 Ω</p><p>Como vimos, R</p><p>N</p><p>= R</p><p>Th</p><p>, e i</p><p>N</p><p>= e</p><p>Th</p><p>/R</p><p>Th</p><p>→ R</p><p>N</p><p>= 5 Ω e i</p><p>N</p><p>= 2 A</p><p>Daí, os equivalentes Thévenin e Norton do circuito da figura</p><p>são apresentados a seguir:</p><p>(a) (b)A</p><p>Equivalentes Thévenin (a) e Norton (B) do circuito anterior.</p><p>B</p><p>2 A 5 Ω</p><p>5 Ω</p><p>10 V</p><p>A</p><p>B</p><p>Equivalentes Thévenin (a) e Norton (b) do circuito anterior.</p><p>Teorema de Millman</p><p>O teorema de Millman estabelece as regras de associação em</p><p>paralelo e em série de fontes de tensão e de corrente, respectivamente.</p><p>Considere-se agora as fontes de tensão associadas em paralelo.</p><p>O teorema de Millman estabelece que o conjunto destas fontes pode</p><p>ser substituído por uma fonte de tensão com resistência interna, cujos</p><p>parâmetros são dados pelas expressões:</p><p>i</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>ε</p><p>1</p><p>ε</p><p>2</p><p>ε</p><p>n</p><p>r</p><p>2</p><p>r</p><p>n</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>A B</p><p>1. Recortamos os pontos extremos A e B de um conjunto de geradores</p><p>em paralelos.</p><p>2. Medimos com um ohmímetro a resistência equivalente entre os</p><p>pontos A e B (r</p><p>eq</p><p>).</p><p>3. Encontramos e</p><p>eq</p><p>da seguinte maneira:</p><p>� �eq</p><p>eq</p><p>j</p><p>jj</p><p>n</p><p>r r</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>4. Em seguida, substituímos a associação por um gerador equivalente:</p><p>A B</p><p>i</p><p>r</p><p>eq</p><p>Gerador equivalente</p><p>ε</p><p>eq</p><p>Método de Maxwell</p><p>O Método de Maxwell consiste numa simplificação do Método</p><p>de Kirchoff, com o objetivo de tornar o trabalho algébrico mais leve.</p><p>A ideia de Maxwell foi supor a existência de uma corrente circular em</p><p>cada malha simples, com o objetivo de reduzir o número de correntes a</p><p>ser encontradas. Para achar todas as correntes que existem no circuito,</p><p>uma operação de soma nos ramos adjacentes é o suficiente.</p><p>Observe o seguinte exemplo:</p><p>No circuito abaixo, determine o valor de R para que a bateria de</p><p>f.e.m. E</p><p>1</p><p>e resistência interna r</p><p>1</p><p>funcionem como receptor.</p><p>R</p><p>ε1</p><p>ε2</p><p>= 27 V r1=</p><p>28 V</p><p>1Ω</p><p>r2== 1Ω</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.427-132390/18</p><p>Pelo método de Maxwell, devemos ter:</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>1</p><p>R</p><p>r</p><p>2</p><p>=1Ω</p><p>ε</p><p>2</p><p>=28 V</p><p>ε</p><p>1</p><p>=27 Vε</p><p>1</p><p>=27 V r</p><p>1</p><p>=1Ω</p><p>28 – (i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>) – Ri</p><p>2</p><p>= 0</p><p>27 + (i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>) + i</p><p>1</p><p>– 28 = 0</p><p>Calcula-se que:</p><p>i</p><p>R</p><p>R1</p><p>27</p><p>2 1</p><p>= −</p><p>+</p><p>Para que i</p><p>1</p><p>> 0 (e</p><p>1</p><p>funcione como receptor) devemos ter</p><p>R > 27 Ω ou R < – 0,5 Ω</p><p>Não preciso nem comentar qual dos resultados devemos</p><p>escolher!</p><p>Medidas elétricas</p><p>Galvanômetro</p><p>Para a realização de medidas elétricas, o instrumento básico</p><p>é o galvanômetro, cujo funcionamento está relacionado aos efeitos</p><p>magnéticos da corrente elétrica.</p><p>O galvanômetro consta de um ímã permanente, e de uma</p><p>bobina entre os polos do mesmo. Normalmente, a bobina é enrolada</p><p>em torno de um núcleo de ferro, cujo objetivo (relacionado ao</p><p>ferromagnetismo) é amplificar o efeito do campo magnético. Um</p><p>ponteiro é conectado ao eixo da bobina para indicar a deflexão da</p><p>mesma. Além disso, molas de restituição garantem que a bobina</p><p>mantenha uma posição estacionária para um dado valor de corrente.</p><p>O esquema de galvanômetro é apresentado a seguir:</p><p>N S</p><p>0Ponteiro</p><p>Ímã</p><p>núcleo</p><p>de ferro</p><p>bobina</p><p>escala</p><p>Esquema de um galvanômetro</p><p>Quando nenhuma corrente atravessa o galvanômetro, ele</p><p>permanece na posição representada pelo zero da escala. Para um</p><p>dado valor de corrente, denominado corrente de fundo de escala (i</p><p>G</p><p>),o</p><p>ponteiro indica o máximo valor da escala, correspondendo à máxima</p><p>deflexão da bobina. Em geral, esta corrente é muito pequena, que</p><p>significa que o galvanômetro é muito sensível.</p><p>Atribuindo ao galvanômetro uma resistência R</p><p>G</p><p>, decorre, da</p><p>Lei de Ohm, que a tensão nos seus terminais ao ser percorrido pela</p><p>corrente de fundo da escala, é a tensão de fundo de escala (V</p><p>G</p><p>), tal</p><p>que: V</p><p>G</p><p>= R</p><p>G</p><p>i</p><p>G</p><p>O galvanômetro pode ser adaptado e calibrado, de tal forma</p><p>que ele possa medir correntes elétricas, diferenças de potencial e</p><p>resistências.</p><p>Amperímetro</p><p>Como dissemos, a corrente de fundo de escala é pequena (de</p><p>ordem de microampères). Então, como utilizamos o galvanômetro</p><p>para medir correntes maiores que i</p><p>G</p><p>?</p><p>O procedimento é simples: associamos, em paralelo com o</p><p>galvanômetro, um resistor denominado shunt ou derivador.</p><p>Adaptado desta maneira, o galvanômetro mais o shunt denomina-se</p><p>amperímetro (instrumento para medição de correntes elétricas).</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>G</p><p>i</p><p>S</p><p>R</p><p>S</p><p>A</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>G</p><p>Representação de um galvanômetro em paralelo com um</p><p>shunt (a) e representação de um amperímetro (b).</p><p>Como shunt e o galvanômetro estão ligados em paralelo:</p><p>V R i R i</p><p>R i R i i</p><p>i i</p><p>R R</p><p>R</p><p>G G G S S</p><p>G G S G</p><p>G</p><p>G S</p><p>S</p><p>= =</p><p>= −( )</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Ou seja, o amperímetro pode medir uma corrente elétrica</p><p>(R</p><p>G</p><p>+ R</p><p>S</p><p>)/R</p><p>S</p><p>vezes maior que o galvanômetro original. Por exemplo,</p><p>se a corrente de fundo da escala do galvanômetro for i</p><p>G</p><p>= 10 μA</p><p>e quisermos medir uma corrente i = 10 mA, devemos associar ao</p><p>galvanômetro um shunt, tal que:</p><p>10 10 10 10</p><p>1000</p><p>3 6· ·− −=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= + → =</p><p>R R</p><p>R</p><p>R R R R</p><p>G S</p><p>S</p><p>S G S S R /999G</p><p>Em geral, a resistência do shunt deve ser bem menor que a</p><p>resistência do galvanômetro.</p><p>Para que o amperímetro possa medir a corrente elétrica que</p><p>passa sobre um determinado componente de um circuito, devemos</p><p>associar o amperímetro em série com ele, de modo que ambos sejam</p><p>percorridos pela mesma corrente elétrica. Consideremos o exemplo</p><p>abaixo, em que desejamos medir sobre o resistor R.</p><p>R</p><p>A</p><p>Circuito simples, exemplificando o uso do amperímetro</p><p>R</p><p>A</p><p>ε</p><p>Circuito simples, exemplificando o uso do amperímetro</p><p>Se quisermos que a presença do amperímetro não modifique</p><p>a corrente elétrica no circuito, devemos ter:</p><p>i</p><p>R0 = ε = corrente elétrica original.</p><p>i =</p><p>ε</p><p>R RA+</p><p>= corrente elétrica após a introdução do amperímetro.</p><p>i  i</p><p>0</p><p>→ R</p><p>A</p><p>= O</p><p>O amperímetro ideal teria resistência nula. Observe que a</p><p>presença do shunt faz com que a resistência do amperímetro R</p><p>A</p><p>=</p><p>R</p><p>G</p><p>R</p><p>S</p><p>/(R</p><p>G</p><p>+ R</p><p>S</p><p>) seja menor que a resistência original do galvanômetro,</p><p>o que é um resultado desejado.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.427-132390/18</p><p>Voltímetro</p><p>A tensão de fundo de escala do galvanômetro é muito pequena.</p><p>Portanto, se quisermos medir uma ddp maior, devemos adaptá-lo,</p><p>associando, em série com ele, um resistor, denominado multiplicador.</p><p>O conjunto, galvanômetro mais multiplicador, é denominado voltímetro</p><p>(instrumento para medição de diferenças de potencial).</p><p>G</p><p>V</p><p>R</p><p>G</p><p>R</p><p>M</p><p>V</p><p>M</p><p>V</p><p>G</p><p>V</p><p>V (b)</p><p>(a)</p><p>i</p><p>G</p><p>i</p><p>G</p><p>Na figura anterior, temos:</p><p>V V V i</p><p>V</p><p>R R</p><p>V V</p><p>R R</p><p>RM G G</p><p>M G</p><p>G</p><p>M G</p><p>G</p><p>= + → =</p><p>+</p><p>→ =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Concluímos que o voltímetro pode medir uma ddp</p><p>(R</p><p>M</p><p>+ R</p><p>G</p><p>)/R</p><p>G</p><p>vezes maior que o galvanômetro. Por exemplo, se a tensão</p><p>de fundo de escala for V</p><p>G</p><p>= 10 mV e quisermos medir uma tensão V</p><p>= 1 V, devemos</p><p>associar ao galvanômetro um multiplicador, tal que:</p><p>1 10 10</p><p>100 99</p><p>3=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= + → =</p><p>−·</p><p>R R</p><p>R</p><p>R R R R R</p><p>M G</p><p>G</p><p>G M G M G</p><p>A resistência do voltímetro é sempre maior que a resistência</p><p>do galvanômetro.</p><p>Para medirmos a ddp nos terminais de um componente de</p><p>um circuito, devemos associar o voltímetro em paralelo com ele, de</p><p>modo que os dois estejam submetidos à mesma ddp. Como exemplo,</p><p>façamos uma medida da ddp sobre o resistor R</p><p>1</p><p>.</p><p>R2</p><p>ε</p><p>R1</p><p>Circuito simples, exemplificando o uso do voltímetro.</p><p>Queremos que a presença do voltímetro não altere a ddp sobre</p><p>R</p><p>1</p><p>no circuito. Sejam:</p><p>V R</p><p>R R0 1</p><p>1 2</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>= ddp original</p><p>V R</p><p>R Req</p><p>eq</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>2</p><p>= ddp após a introdução do voltímetro.</p><p>Para que V ≈ V</p><p>0</p><p>temos: R</p><p>eq</p><p>≈ R</p><p>1</p><p>Como:</p><p>R</p><p>R R</p><p>R Req</p><p>v</p><p>v</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>, é preciso que Rv → ∞</p><p>De fato, o voltímetro ideal deveria ter resistência infinita, o que</p><p>é aproximado graças à presença do multiplicador, que faz com que</p><p>a resistência do voltímetro R</p><p>V</p><p>= R</p><p>G</p><p>+ R</p><p>M</p><p>seja maior que a resistência</p><p>do galvanômetro.</p><p>Ohmímetro</p><p>É o instrumento utilizado para medir resistências. Uma</p><p>adaptação possível para um galvanômetro, tal que ele passa a ser</p><p>usado como ohmímetro, consta de uma bateria e um reostato.</p><p>Multímetro</p><p>O multímetro combina, num só instrumento, o amperímetro,</p><p>o voltímetro e o ohmímetro. Por meio de uma chave, selecionamos o</p><p>componente a ser associado com o galvanômetro.</p><p>Ponte de fio</p><p>Na prática, a determinação experimental do valor de Rx é feita,</p><p>em laboratórios, por intermédio da ponte de fio, em que substituímos</p><p>dois resistores por um único fio, homogêneo e de seção reta constante,</p><p>sobre o qual desliza um cursor.</p><p>R</p><p>G</p><p>R</p><p></p><p>1</p><p></p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>Ponte de fio</p><p>R</p><p>2</p><p>Ponte de fio</p><p>Da expressão para a ponte equilibrada:</p><p>R R R R</p><p>R</p><p>A</p><p>R</p><p>A</p><p>R R</p><p>X</p><p>X X</p><p>·</p><p>·</p><p>2 1</p><p>2 1 2</p><p>1</p><p>=</p><p>= → =ρ ρ  </p><p></p><p>Exercício Resolvido</p><p>01. O circuito abaixo consiste em quatro resistências ligadas por fios</p><p>ideais. O sistema utiliza dissipa uma potência P se uma bateria</p><p>ideal é conectado tanto entre os pontos A e D quanto nos pontos</p><p>B e C. Se a bateria estiver ligada entre os pontos A e B ou C e D,</p><p>o circuito dissipa 2P. Qual seria a potência dissipada se a bateria</p><p>fosse conectada nos pontos A e C?</p><p>A B</p><p>D C</p><p>A) 2 2 3 3−( )P</p><p>B) 2 2 3 3+( )P</p><p>C) 2 3 3−( )P</p><p>D) 2 3 3−( )P</p><p>E) 2 3 3+( )P</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.427-132390/18</p><p>Solução:</p><p>Pela simetria das potências dissipadas, devemos ter as resistências</p><p>entre AB e DC iguais a R</p><p>1</p><p>. Da mesma forma, temos R</p><p>2</p><p>sendo as</p><p>resistências entre AD e BC. Assim, ao ligar a bateria entre A e D,</p><p>temos:</p><p>R</p><p>R R R</p><p>R R</p><p>P</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>AD =</p><p>+( )</p><p>+</p><p>→ =</p><p>+</p><p>+( )</p><p>2 1 2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>2 1 2</p><p>22</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>ε</p><p>Quando a bateria é ligada em A e B, devemos ter:</p><p>R</p><p>R R R</p><p>R R</p><p>P</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>AB =</p><p>+( )</p><p>+</p><p>→ =</p><p>+</p><p>+( )</p><p>1 2 1</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1 2 1</p><p>22</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>ε</p><p>Substituindo, temos:</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2 21 2</p><p>2 1 2</p><p>1 2</p><p>1 2 1</p><p>1 2 1 2 1 2</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>R R R R R R</p><p>+</p><p>+( ) =</p><p>+</p><p>+( ) → +( ) = +( ))</p><p>4 2 2 2</p><p>3</p><p>3 1</p><p>1 2 1</p><p>2</p><p>1 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>R R R R R R R R R R</p><p>R R R</p><p>R R</p><p>+ = + → − +</p><p>= −( ) =</p><p>= +( )</p><p>Dessa forma, quando a bateria é ligada em A e C, devemos ter:</p><p>R</p><p>R</p><p>P</p><p>R R R</p><p>R R R</p><p>P</p><p>P</p><p>AC =</p><p>+( )</p><p>→ =</p><p>+( )</p><p>+( ) +( )</p><p>=</p><p>+( ) + +</p><p>3 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>3 2 2 2</p><p>2 3 1 2 3 1</p><p>1 2 1 2</p><p>1 1 2</p><p>’</p><p>’</p><p>(( )( )</p><p>+( ) + +( )( ) =</p><p>+( ) +( )</p><p>+( ) +( )</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+</p><p>3 2 2 2 3 1</p><p>2 3 1 3 3</p><p>3 2 2 3 4</p><p>3</p><p>3 1</p><p>3 2</p><p>2</p><p>P P</p><p>P’</p><p>(( )</p><p>= +( ) − +( )</p><p>= + +( ) − +( )</p><p>= +( ) −( ) =</p><p>2</p><p>2 2</p><p>3 3 1 3 2</p><p>3 3 2 3 1 4 4 3 3</p><p>3 4 2 3 7 4 3</p><p>P P</p><p>P</p><p>P P’ 33 4 2 3 2 2 3 3−( ) = −( )P P</p><p>Resposta: A</p><p>Exercícios de Fixação</p><p>01. Determine o valor de R para que seja máxima a potência dissipada</p><p>nesse resistor.</p><p>A) 3 Ω</p><p>6 Ω</p><p>4 Ω</p><p>36 V</p><p>36 V</p><p>10 V</p><p>R</p><p>8 Ω</p><p>3 Ω</p><p>B) 4 Ω</p><p>C) 7 Ω</p><p>D) 9 Ω</p><p>E) n.r.a.</p><p>02. Determine o valor da resistência R para que a potência nela seja</p><p>máxima.</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1ε</p><p>0</p><p>R</p><p>3</p><p>R</p><p>A) R</p><p>1</p><p>+ R</p><p>2</p><p>+ R</p><p>3</p><p>B)</p><p>R R</p><p>R R R</p><p>1 2</p><p>1 2 3</p><p>�</p><p>� �</p><p>C)</p><p>R R</p><p>R R</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>�</p><p>�</p><p>D)</p><p>R R R R R R</p><p>R R R</p><p>1 2 1 3 2 3</p><p>1 2 3</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>E)</p><p>R R R</p><p>R R R</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1 2 3</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>03. No circuito abaixo, determine a corrente no trecho AB.</p><p>B</p><p>4 R</p><p>4 R</p><p>4 ε</p><p>4 ε</p><p>A</p><p>ε ε</p><p>6 R6 R</p><p>5 R5 R</p><p>2 R2 R</p><p>04. Um circuito elétrico é formado por baterias cujas f.e.m. são e</p><p>1</p><p>, e</p><p>2</p><p>e e</p><p>x</p><p>. A uma das partes do circuito liga-se o voltímetro V de grande</p><p>resistência interna. Ache a f.e.m. e</p><p>x</p><p>com a qual a indicação do</p><p>voltímetro não varia após fechar o interruptor K (e</p><p>2</p><p>> e</p><p>1</p><p>).</p><p>R1</p><p>R2</p><p>K</p><p>R3</p><p>ε2</p><p>ε1</p><p>ε</p><p>x</p><p>V</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.427-132390/18</p><p>05. N fontes com diferentes f.e.m. se conectam como mostra a figura.</p><p>As fem das fontes são proporcionais às suas resistências internas,</p><p>ou seja, e = αR, em que α é uma constante. Determine:</p><p>A</p><p>B</p><p>A) a corrente no circuito.</p><p>B) a ddp entre os pontos A e B, que dividem o circuito em n e</p><p>N - n ramos.</p><p>06. (ITA) No circuito esquematizado, a corrente i através da resistência</p><p>R é dada por:</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>1</p><p>+</p><p>–</p><p>+–</p><p>i</p><p>R</p><p>A) i</p><p>R V R V</p><p>R R R R RR</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>2 2 1 1</p><p>1 2 1 2</p><p>B) i</p><p>R V R V</p><p>R R R R RR</p><p>=</p><p>−</p><p>+ +</p><p>2 1 1 2</p><p>1 2 1 2</p><p>C) i</p><p>R V R V</p><p>RR R R R R</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 2 2 1</p><p>2 1 1 2</p><p>D) i</p><p>R V R V</p><p>RR R R R R</p><p>=</p><p>+</p><p>+ +</p><p>1 2 2 1</p><p>2 1 1 2</p><p>E) i</p><p>R V R V</p><p>R R R R RR</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 1 2 2</p><p>1 2 1 2</p><p>07. No circuito abaixo, as fem das fontes valem e</p><p>1</p><p>= 1,5 V, e</p><p>2</p><p>= 2,0 V</p><p>e e</p><p>3</p><p>= 2,5 V e as resistências R</p><p>1</p><p>= 10 Ω, R</p><p>2</p><p>= 20 Ω e R</p><p>3</p><p>= 30 Ω.</p><p>As resistências internas das fontes são desprezíveis. Encontre:</p><p>A</p><p>B</p><p>R</p><p>2</p><p>R R</p><p>2</p><p>ε</p><p>1</p><p>ε</p><p>3</p><p>ε</p><p>2</p><p>A) a corrente elétrica através da resistência R1.</p><p>B) a ddp V</p><p>A</p><p>– V</p><p>B</p><p>.</p><p>08. A figura representa um circuito de corrente contínua, com os valores</p><p>das forças eletromotrizes das baterias, a força contraeletromotriz</p><p>do motor, assim como os valores das resistências presentes,</p><p>incluídas as resistências internas dos aparatos.</p><p>1 Ω</p><p>M</p><p>10 V</p><p>15 V 5 V</p><p>10 V</p><p>1 Ω+</p><p>–</p><p>9 Ω</p><p>1 Ω</p><p>10 Ω</p><p>5 Ω</p><p>1 Ω</p><p>A</p><p>B</p><p>Calcule:</p><p>A) a diferença de potencial entre os pontos A e B.</p><p>B) a energia dissipada na resistência de 5 Ω em 5 minutos.</p><p>09. Uma bateria descarregada é carregada através da conexão com</p><p>uma bateria carregada de outro carro com cabos de ligação direta.</p><p>Determine a corrente no arranque e na bateria descarregada.</p><p>+</p><p>–</p><p>+</p><p>– 10 V12 V</p><p>0,01 Ω 1 Ω 0,06 Ω</p><p>Bateria</p><p>carregada</p><p>Bateria</p><p>descarregada</p><p>Arranque</p><p>10. O circuito abaixo tem três baterias com voltagens 5 e, e e e, três</p><p>resistores de resistência R e uma lâmpada com resistência RB.</p><p>B</p><p>R</p><p>ε ε</p><p>5ε</p><p>R</p><p>l</p><p>2</p><p>R</p><p>R</p><p>B</p><p>A</p><p>Determine a corrente I</p><p>2</p><p>em termos de e, R e R</p><p>B</p><p>.</p><p>A) I</p><p>R RB</p><p>2</p><p>4</p><p>3 2</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>B) I</p><p>R RB</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>C) I</p><p>R RB</p><p>2</p><p>2</p><p>3 2</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>D) I</p><p>R RB</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>E) I</p><p>R RB</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.427-132390/18</p><p>11. No circuito abaixo, determine o valor da corrente elétrica através</p><p>da resistência de 20 Ω.</p><p>24 V</p><p>2 V</p><p>4 V4 Ω</p><p>2 Ω</p><p>2 Ω</p><p>20 Ω</p><p>A) 1 A</p><p>B) 2 A</p><p>C) 3 A</p><p>D) 4 A</p><p>E) 5 A</p><p>12. O circuito abaixo será usado para aquecer 360 g de água</p><p>(c = 1 cal/g °C) e, para isso, seu resistor R</p><p>x</p><p>estará mergulhado</p><p>no líquido durante seu funcionamento. O valor de R</p><p>x</p><p>deve ser</p><p>escolhido de tal forma que a água, inicialmente a 20 °C, atinja</p><p>100 °C no menor tempo possível. Adotando que 1cal = 4 J e que</p><p>não há desperdício de calor apreciável, o tempo necessário é de:</p><p>A</p><p>B</p><p>240 V</p><p>Rx</p><p>60 Ω</p><p>40 Ω</p><p>30 Ω</p><p>40 Ω</p><p>+ –</p><p>A) 5 min. B) 12 min.</p><p>C) 16 min. D) 24 min.</p><p>E) n.r.a.</p><p>13. Cada bateria é composta por uma f.e.m que vale e e uma</p><p>resistência interna r (não representada na figura). Se cada</p><p>resistência (mostrada na figura) vale 2r, determine a corrente de</p><p>curto da bateria equivalente.</p><p>A) i</p><p>rcc =</p><p>3</p><p>2</p><p>ε</p><p>B) i</p><p>rcc =</p><p>ε</p><p>C) i</p><p>rcc =</p><p>2</p><p>3</p><p>ε</p><p>D) i</p><p>rcc =</p><p>2ε</p><p>E) i</p><p>rcc =</p><p>ε</p><p>2</p><p>14. No circuito abaixo, determine o valor da corrente elétrica, no</p><p>resistor de 4Ω.</p><p>14 V</p><p>2 Ω2 Ω</p><p>8 Ω</p><p>6 Ω</p><p>5 Ω4 Ω ± 16 V+</p><p>–</p><p>A) 1A</p><p>B) 2A</p><p>C) 3A</p><p>D) 4A</p><p>E) 5A</p><p>15. Suponha que um resistor R deja dependente da corrente que o</p><p>atravessa, tal que a sua resistência é dada por R = 2+ i. Esse resistor</p><p>é ligado ao circuito elétrico a seguir.</p><p>R</p><p>4Ω</p><p>8Ω</p><p>4Ω</p><p>44 V</p><p>–</p><p>+</p><p>12 V –</p><p>+</p><p>Assinale a alternativa que corresponde à corrente i que circula no</p><p>resistor R.</p><p>A) i = 2A</p><p>B) i = 1A</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E) n.r.a.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: Aníbal – REV.: AMÉLIA</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: GUSTAVO LIMA DA SILVA</p><p>DIG.: Zilmar – REV.: ALLANA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Física I – Aulas 31 a 34</p><p>Gabarito</p><p>1 2 3 4 5</p><p>C C - - -</p><p>6 7 8 9 10</p><p>B - - - A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>A E B B C</p><p>1.</p><p>i) Pelo método de Thévenin, temos que:</p><p>ii) Calculando o Rth, temos que:</p><p>iii) Na condição de máxima potência dissipada, a resistência</p><p>externa a bateria (R) é igual a resistência interna a</p><p>bateria (Rth), logo R = Rth =</p><p>iv) Observe que, como a questão pede apenas o valor de R</p><p>e ele é obtido com Rth, não é necessário calcular o valor</p><p>de Eth.</p><p>Resposta correta: C</p><p>2.</p><p>i) Pelo método de Thévenin, temos que:</p><p>ii) Calculando o Rth, temos que:</p><p>iii) Na condição de máxima potência, a resistência externa a</p><p>bateria (R) é igual a resistência interna a bateria (Rth),</p><p>logo:</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>R R</p><p>R = Rth =</p><p>R +R</p><p>iv) Observe que, como apenas o valor de R é importante</p><p>para resolver a questão e ele é obtido com Rth, não é</p><p>necessário calcular o valor de Eth.</p><p>Resposta correta: C</p><p>3.</p><p>i) Observe que há uma linha de simetria passando por A e</p><p>por B, logo temos o seguinte circuito:</p><p>ii) Pela lei de Kirchoff, nas malhas, temos que:</p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>1 2i1 i1</p><p>1 2i2 i2</p><p>1 2i1</p><p>1 2i2</p><p>4 4R 3R R i + i =</p><p>4 4R 2, 5R R i + i =</p><p>4 7R R i + i = 1</p><p>4 6, 5R R i + i = 2</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>iii) Subtraindo (1) de (2), temos:</p><p>4    1 2i26,5R R i + i   4   1 2i17R + R i + i  </p><p>  R</p><p>0</p><p>6,5 i2 R7</p><p>   </p><p>   </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>i1 i2i1</p><p>2 1 2 1</p><p>0 7R = 6,5R</p><p>7 70</p><p>i = i i = i</p><p>6,5 65</p><p>iv) Substituindo o valor de i2 em (1), temos que:</p><p>   </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>      </p><p>     </p><p>     </p><p>           </p><p>  </p><p>     </p><p>1 2 1 1i1 i1</p><p>i1 i1</p><p>i1 1 1</p><p>70</p><p>65</p><p>135</p><p>65</p><p>590 195 39</p><p>R R65 590 118</p><p>4 7R R i + i = 0 4 7R R i + i 0</p><p>3 7R + R</p><p>3 R i i</p><p>4.</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>i) Antes de fechar o interruptor K:</p><p>   </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>     </p><p>   </p><p> </p><p>       </p><p></p><p>2 2i x 3i 1 1i</p><p>2 1 1 2 3x</p><p>2 1 x</p><p>1 2 3</p><p>R R R</p><p>+</p><p>R R R</p><p>R R R = 0</p><p>= i</p><p>i = 1</p><p>ii) Após o fechamento do interruptor K:</p><p>   </p><p>' '</p><p>   </p><p>  </p><p></p><p>    2 2i 1 1i</p><p>2 1 1 2</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>R R</p><p>R R</p><p>R R = 0</p><p>= i '</p><p>i' = (2)</p><p>Devido a d.d.p zero, a resistência no fio liso é zero.</p><p>Por isso a corrente i’ vai toda para o fio liso.</p><p>iii) Devido a alta resistência de V, a corrente que passa</p><p>por ele tende a zero. Para que V permaneça</p><p>inalterado, necessitamos que</p><p>    '1 1i 1 1iv = R = R .</p><p>Logo:</p><p>     '1 1i 1 1iv = R = R  1 1iR ' 1 1i RR 1i R</p><p> </p><p>  </p><p>' </p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>1i</p><p>2 1 x 2 1</p><p>i = i'</p><p>R R R R R1 2 3 1 2</p><p>2 1 1 2R R  </p><p>  </p><p></p><p> </p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p>x 1 2</p><p>2 1 1 2</p><p>R R</p><p>R R  </p><p>     </p><p> </p><p></p><p>   </p><p></p><p> </p><p> </p><p>   </p><p></p><p></p><p>2 1 3</p><p>2 1 3</p><p>x 1 2 2 1 3 x</p><p>1 2</p><p>R</p><p>R</p><p>R R R</p><p>R R</p><p>5.</p><p>a) Pela lei de Kirchoff, temos que:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>... ...</p><p>... ...</p><p>... ...</p><p>...</p><p>    </p><p>    </p><p>  </p><p></p><p> </p><p>       </p><p>     </p><p>     </p><p>      </p><p> </p><p>+ + + ... +1 1i 2 2i 3 3i n ni</p><p>+ +1 2 3 n 1 2 3 n i</p><p>+ +1 2 3 n 1 2 3 n i</p><p>+ +1 2 n 1 2 3 n i</p><p>+ +1 2 3 n</p><p>R R R R = 0</p><p>R R R R = 0</p><p>R R R R</p><p>R R R R R R R R</p><p>R R R R  ...  + +1 2 3 n i</p><p>R R R R</p><p>i =</p><p>b)</p><p>i) Na parte que contém n ramos, temos que:</p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>... ...</p><p>... ...</p><p>... ...</p><p> </p><p>           </p><p>              </p><p>            </p><p> </p><p></p><p>      </p><p>   </p><p>   </p><p></p><p> </p><p></p><p>+ + + ... + + BA 1 1i 2 2i n 1 n 1i n ni</p><p>1 2 n 1 n 1 2 n 1 nB A i</p><p>R R R R R R R R1 2 n 1 n 1 2 n 1 nB A</p><p>R R R R R R R Rn1 2 n 1 n 1 2 n 1B A</p><p>A B A B</p><p>V R R R R = V</p><p>V V R R R R</p><p>R; i =</p><p>V V</p><p>V V</p><p>V V 0 V V</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>ii) Na parte que contém N – n ramos, temos que:</p><p>   </p><p> </p><p>...</p><p>... ...</p><p>...</p><p>         </p><p>                    </p><p>                </p><p>       </p><p>     </p><p>   </p><p>+ + + + AB n+1 n+1i n+2 n+2i n 3i N 2 N 2i N 1 N 1i N Ni</p><p>n+1 n+2 n+3 N 2 N 1 NA B n 1 n 2 n 3 N 2 N 1 N</p><p>n+1 n+2 n+3 N 2 N 1 N n+1 n+2 nA B</p><p>V R R R R R = V</p><p>V V R R R R R R i</p><p>R; i =</p><p>V V = R R R R R R R R R </p><p>   </p><p>...</p><p>... ...</p><p>     </p><p>                </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p>3 N 2 N 1 N</p><p>n+1 n+2 n+3 N 2 N 1 N n+1 n+2 n+3 N 2 N 1 NA B</p><p>=A B A B</p><p>R R R</p><p>V V = R R R R R R R R R R R R</p><p>V V 0 V V</p><p>Portanto, para qualquer lado que você escolha, a d.d.p entre A e B é zero.</p><p>6.</p><p>i) Por lei de Kirchoff nas malhas, temos:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 21 1i1</p><p>2 12 2i2</p><p>1 2</p><p>i i</p><p>i i</p><p>V R R = 0 (1)</p><p>V R R = 0 (2)</p><p>i = i i (3)</p><p>ii) Somando (1) e (2), temos:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>  </p><p>   </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>1 2 1 21 1i1 1 1i1</p><p>1 2 1i1</p><p>2i2 21 2 1i1</p><p>2</p><p>2 1 1 22 2i2 2 2i2</p><p>i i i i</p><p>V V R</p><p>R</p><p>i i i i</p><p>V R R = 0 V R R = 0</p><p>V V R R = 0 i =</p><p>V R R = 0 V R R = 0</p><p>iii) Substituindo o valor de i2 em (3):</p><p> </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p></p><p>      1 2 2i1 2 1 1</p><p>1 2 1 2i 2i1 1i1 11 2</p><p>2 +1 2</p><p>V + V R i</p><p>R</p><p>V + V R</p><p>i = i i i = i R R V + V R i</p><p>R R</p><p>iv) Substituindo o valor de i1 em (3) e em (1), temos:</p><p> </p><p>     </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>1 2 2i</p><p>1 21i1 1i1 i1 1 1 1 i</p><p>+1 2</p><p>1 2 1 2 2i 1 21 1 i 1</p><p>i i = 0 = 0 = 0</p><p>+ + + = 0</p><p>V + V R</p><p>V R R V R R V R R</p><p>R R</p><p>R R V R V V R R R R R V + 2 1 1 11</p><p>R V R V</p><p>   </p><p>   </p><p>     </p><p></p><p>1 2 1 2i 1 i 2 i</p><p>2 22 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1</p><p>2 1 1 2</p><p>+ + 21 2 1</p><p>= 0</p><p>= 0 =</p><p>=</p><p>R V R R R R R R</p><p>R V R V R R R R +RR i R V R V R R R R +RR i</p><p>R V R V</p><p>i</p><p>R R R R RR</p><p>Resposta: B</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>7. A figura do enunciado está errada. A figura correta é:</p><p>a)</p><p>i) Supondo as correntes que rodam as malhas, por lei de Kirchoff, temos:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 1 1i</p><p>22 3 3i '</p><p>i i'</p><p>i i' +</p><p>R R = 0 (1)</p><p>R R = 0 (2)</p><p>ii) Subtraindo (1) de (2), temos:</p><p>2   2 i i'R    3 3i ' 2R  + 2R i + i' '    </p><p>  </p><p>+ + +1 1i 3 3i 1 1i</p><p>4 +10i</p><p>30</p><p>R = 0 R R = 0</p><p>2,5 30i'+1,5+10i = 0 i' = (3)</p><p>iii) Substituindo (3) em (1):</p><p> </p><p>   </p><p>      </p><p>     </p><p> </p><p>       </p><p>      </p><p>         </p><p>   </p><p>    </p><p>   </p><p>+</p><p>2 2 1 1i 2 2 1 1i 2 2 1 1i</p><p>2 2 1 1i</p><p>i 0,06 A</p><p>i 4 +10i 40i+ 4</p><p>R i + i' R = 0 R R = 0 R R = 0</p><p>30 30</p><p>30 R 40i +4 30 30R = 0 30 2 20 40i +4 30 1,5 30 10i = 0</p><p>60 800i 80 45 300i = 0 65 =1100i i' 0,113 A</p><p>iv) Observe que o valor de i é menor que zero. Isso significa que o sentido da corrente i é contrário ao sentido suposto no</p><p>começo da questão.</p><p>Resposta correta: O valor da corrente que passa por R1 é 0,06A.</p><p>b)</p><p>i) De acordo com o item A, temos o seguinte circuito:</p><p>ii) No ramo AB, temos:</p><p>              A B A A B A BB 2 2 i' i 0,113 0,06V R = V V 2 20 = V V V = 2 20 0, 053 V V = 0, 94V</p><p>iii) O valor de VA – VB é 0,94V por causa das aproximações dos valores de i e i’.</p><p>Se utilizar uma calculadora com os valores reais de i e i’, obteremos VA – VB  0,9V</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>iv) Como nesse item B o sentido de i foi invertido para obter os verdadeiros sentidos das correntes no circuito, temos que o</p><p>valor de i é i = 0,06A.</p><p>Resposta correta:  A BV V 0, 94V</p><p>8. A figura do enunciado apresenta falhas. A figura correta é a seguinte:</p><p>a)</p><p>i) Supondo o sentido das correntes nas malhas, temos o seguinte circuito:</p><p>ii) Por lei de Kirchoff, temos:</p><p>      </p><p>      </p><p>   </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>ii i1 i1 i i i1</p><p>i i i2i i2 i2 i</p><p>1 21 2</p><p>15 1 1 10 9 1 10 5 = 0 5 7 10 0 (1)</p><p>15 1 1 5 10 1 10 5 =</p><p>0 0 7 11 0 (2)</p><p>i i i (3)i = i + i</p><p>iii) Substituindo (3) em (2):</p><p>   </p><p>  </p><p> </p><p>         i i2 1 2 i2 i1 i2 2 1</p><p>7</p><p>18</p><p>7 11 = 0 7 i i 11 = 0 7 18 = 0 i = i (4)</p><p>iv) Substituindo (3) e (4) em (1):</p><p>     </p><p>      </p><p>     </p><p>            </p><p>              </p><p>1 2 1 1 2 1 i1 1 i1</p><p>i1 i1 i1 i1 1 2</p><p>7 11 11</p><p>18 18 18</p><p>i = i i i = i i i = i 5 7i 10 = 0 5 7 i 10 = 0</p><p>90 35</p><p>5 18 7 11 10 18 = 0 90 77 180 i = A i = A</p><p>257 257</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>v) No ramo AB, temos: VB –1i –10 – 5i + 15 –1i = VA  VB + 5 – 7i = VA</p><p>      </p><p>     </p><p>   </p><p>     </p><p>       </p><p>   </p><p>B 1 2 A B A B A</p><p>B A A B A B</p><p>90 35 55</p><p>257 257 257</p><p>V 5 7 i i = V V 5 7 =V V 5 7 = V</p><p>385 1670</p><p>V 5 V V V V V V 6,5V</p><p>257 257</p><p>b)</p><p>i) No resistor de 5 , de acordo com a figura do item A, passa a corrente i = i1 + i2, logo </p><p>90 35</p><p>i =</p><p>257 257</p><p>,</p><p>ou seja,</p><p>55</p><p>i = A</p><p>257</p><p>ii) A potência dissipada no resistor de 5  é: Potdiss = Ri</p><p>2</p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>255</p><p>Potdiss = 5 Potdiss 0, 229 W</p><p>257</p><p>iii) A energia dissipada é:</p><p>segundos</p><p>Joules</p><p>Ediss = 0, 229 </p><p>segundos60</p><p>minuto1</p><p> minuto5   Ediss 68, 7 J</p><p>Obs.: O valor negativo das correntes i e ii é para indicar que elas percorrem o sentido contrário ao que foi suposto no item a.</p><p>9.</p><p>i) Supondo o sentido das correntes no circuito, temos que:</p><p>ii) Por lei de Kirchoff, nas malhas, temos:</p><p>  </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i i1</p><p>i i2</p><p>1 2</p><p>12 0, 01 1 10 = 0 (1)</p><p>12 0, 01 0, 06 = 0 (2)</p><p>i = i + i (3)</p><p>iii) Subtraindo (1) de (2):</p><p>12  i0,01  i2 120,06 i+ 0,01</p><p></p><p>   </p><p> </p><p>i1 i2 i1 i2 i1</p><p>i1</p><p>i1 2i2</p><p>1000+100</p><p>6</p><p>+ 1 +10 = 0 0,06 +1 +10 = 0 6 +100 +1000 = 0</p><p>6 100 =1000 i = (4)</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>iv) Substituindo (3) e (4) em (2):</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>      </p><p>     </p><p>   </p><p>i 1 2 i2 i1 i2i2</p><p>i1</p><p>i1i1 i1</p><p>i1 i1 i1 1</p><p>1000 + 100</p><p>0, 07 1000 + 100</p><p>6</p><p>70 7</p><p>12 0, 01 0, 06 = 0 12 0, 01(i + i ) 0, 06 = 0 12 0,1 0, 07 = 0</p><p>12 0, 01 = 0 12 6 6 0, 01 0, 07 = 0</p><p>72 0, 06 = 0 2 = 7, 06 i 0, 283 A Corrente na bateria descarregada</p><p>v) Substituindo (5) em (4):</p><p> </p><p> 2 2</p><p>1000 + 100 0,283</p><p>6</p><p>i i 171, 4 A Corrente no arranque</p><p>10.</p><p>i) Supondo o sentido das correntes nas malhas do circuito, temos:</p><p>ii) Por lei de Kirchoff nas malhas, temos:</p><p>   </p><p>   </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 B</p><p>1 B</p><p>1 2</p><p>5 R | R | R = 0 (1)</p><p>5 R | R | R = 0 (2)</p><p>| = | + | (3)</p><p>|</p><p>|</p><p>iii) Subtraindo (1) de (2):</p><p>5  R|    2 BR | R |  5 + R|   1 B+ +R | R |   2 1 R= 0 R | R | = 0 1= R| 2 1 2| | | (4)</p><p>iv) Substituindo (3) e (4) em (1):</p><p>    </p><p>   </p><p>       </p><p>   </p><p>     </p><p>      </p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 1 2B B B 2</p><p>1 2 2 2 2 B 2 2B B</p><p>2</p><p>B</p><p>5 R | R | R | = 0 4 R +R R | = 0 4 R +R | + | R |</p><p>| = | 4 R +R 2 | R | = 0 4 3R | 2R | = 0 4 = 3R +2R |</p><p>4</p><p>| =</p><p>3R+2R</p><p>Resposta correta: A</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>11.</p><p>i) Supondo o sentido das correntes nas correntes nas malhas do circuito, temos:</p><p>ii) Por lei de Kirchoff nas malhas, temos:</p><p>  </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i i1 i1</p><p>i i2</p><p>1 2</p><p>+</p><p>+</p><p>24 2 2 2 4 = 0 (1)</p><p>24 2 20 4 = 0 (2)</p><p>i = i + i (3)</p><p>iii) Subtraindo (2) de (1):</p><p>24  2  i i1 + 2420 4 + 2  </p><p></p><p>  i2</p><p>1 i1 i1 i1 i2 1</p><p>20 2</p><p>+</p><p>6</p><p>2 2+ 4 = 0 6 20 +2 = 0 i = (4)</p><p>iv) Substituindo (3) e (4) em (2):</p><p>   </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>     </p><p>          </p><p>     </p><p>i i2 i i2 1 2 i2</p><p>i2</p><p>i1 i2 i2 i2 i2</p><p>2 i2 i2 2</p><p>24 2 +</p><p>20 2</p><p>6</p><p>20 4 = 0 28 2 20 = 0 28 2 i i 20 = 0</p><p>28 2 22 = 0 28 2 22 = 0 6 28 40 + 4 6 22 = 0</p><p>168 4 40i 132 = 0 172 = 172 i = 1 A</p><p>Resposta correta: A</p><p>12.</p><p>i) Pelo método de Thévenin, temos que:</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>ii) Calculando o Rth, temos que:</p><p>iii) Foi demonstrado nas aulas e no módulo de estudos (Aulas 27 a 30) que na condição de máxima potência dissipada</p><p>(circunstâncias necessária para que a água seja aquecida no menor tempo possível), a resistência externa a bateria (Rx) é</p><p>igual a resistência interna a bateria, logo Rx =Rth =40</p><p>iv) Calculando o th, temos que:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p>1i1</p><p>i2 2</p><p>==</p><p>= =</p><p>i 8/3 A240 90</p><p>240 80 i 3A</p><p>v) Nos ramos AC e BC, temos que:</p><p> </p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p>C i1 A C A</p><p>A B</p><p>C i2 B C B</p><p>= =</p><p>th = 40 V</p><p>= =</p><p>V 30 V V 80 V</p><p>V V = 40 V</p><p>V 40 V V 120 V</p><p>vi) De acordo com o circuito resultante pelo método de Thévenin no passo i), temos:</p><p>       th Rx i Rth i = 0 40 40i 40i i = 0,5 A</p><p>vii) A potência dissipada por Rx: Pot = Rx ⋅ i</p><p>2</p><p> Pot = 40 ⋅ (0,5)</p><p>2</p><p> Pot =10W</p><p>viii) Energia necessária para aquecer a água: Q = 360 ⋅ 4 ⋅ (100 – 20)  Q = 115200 J</p><p>ix) Tempo para aquecer a água:</p><p></p><p>1segundo</p><p>t =</p><p>10 Joule</p><p> Joule115200  t =11520 segundos =192 minutos</p><p>Resposta correta: E</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>13.</p><p>i) Como temos infinitas malhas, implica que, após um determinado número de células, a associação de f.e.m () e resistores</p><p>irão convergir para uma f.e.m equivalente (eq) e um resistor equivalente (Req). Portanto, baseado nisso, temos o seguinte</p><p>circuito:</p><p>ii) Pelo teorema de Millman, na malha CCBB, temos:</p><p>     </p><p>     </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>eq' eq 2r Req eq' eq eq0</p><p>Req' = eq' = Req'</p><p>Req' Req 2r 2r Req Req' Req Req</p><p>eq</p><p>eq' =</p><p>Req  </p><p></p><p>2r Req    </p><p> </p><p>2r</p><p>eq' = eq</p><p>2r Req 2r Req</p><p>iii) Substituindo o ramo CB resultante no circuito, temos:</p><p>iv) Na associação em série de resistores, temos que:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p>  </p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p>2R</p><p>eq = eq+ (1)</p><p>eq = eq'+ 2r Req</p><p>Req =Req'+R 2r Req</p><p>Req = r (2)</p><p>2r Req</p><p>v) Resolvendo a equação (2):</p><p>     </p><p> </p><p>     </p><p> </p><p></p><p>Req r Req</p><p>R</p><p>2r Req 2r Req</p><p>Req =Req'+ r Req = r Req r = 2r 2r Req</p><p>2r Req 2r Req</p><p>2r eq  </p><p>2 2</p><p>2r Req+Req 2r RReq =</p><p>2</p><p>(</p><p>) ) )</p><p></p><p>       </p><p></p><p>  </p><p></p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>Req RReq 2r = 0 ( r 4(1 ( 2r</p><p>Req = 2rr 3r</p><p>= r + 8r = 9r Req = Req = 2r (3)</p><p>Req = r Absurdo)2</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>vi) Substituindo (3) em (1):</p><p>                </p><p> </p><p>     </p><p>    </p><p>    </p><p>2r 2r 2r</p><p>eq = eq eq = eq eq = eq eq = 2 (4)</p><p>2r Req 2r 2r 4r</p><p>vii) Baseados em (3) e (4), temos que  A B ABV – V = U = eq – Req i</p><p>viii) Na condição de corrente de curto, UAB = 0, logo:</p><p>  </p><p>          AB</p><p>eq 2</p><p>U = eq Reqi 0 = eq Reqi icc icc icc</p><p>Req 2r r</p><p>Resposta correta: B</p><p>14.</p><p>i) Pelo método de Thévenin, temos que:</p><p>ii) Calculando o Rth, temos que:</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>iii) Calculando o th, temos que:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>    </p><p></p><p>   </p><p>i1 i1 1 2 i1 1 2</p><p>i2 1 2 i2 1 2</p><p>14 6 2 5 i + i 14 8 5 i + i = 0 (1)</p><p>16 2 5 i + i 16 2 5 i + i = 0 (2)</p><p> Subtraindo (1) de (2):    i2 i1 1 216 2 5 5 i +i   i1 1 2+ 514 +8 i +i   i1 i2 2 i1= 0 2+8 2 = 0 i =1+ 4 (3) ¨</p><p> Substituindo (3) em (1):</p><p>                 i2 i1 i2 i1 i2 i1 i1 i1 114 8 5 5 0 14 13 5 0 14 13 5 1+ 4 0 9 33 0 i = 3 / 11 A</p><p> Calculando a d.d.p entre A e B:     B i1 A A B+</p><p>136</p><p>V 14 6 = V V V th V</p><p>11</p><p>iv) De acordo com o circuito de Thévenin do passo i), temos:</p><p>     </p><p>136 24 136</p><p>th 4i -Rth i = 0 4i i = 0</p><p>11 11 11</p><p> 44 + 24</p><p>=</p><p>11</p><p>i i = 2A</p><p>Resposta correta: B</p><p>15.</p><p>i) Associando os resistores, temos o seguinte circuito:</p><p>ii) Na malha ACDB podemos utilizar o teorema de Millman, pois, A = C e B = D, devido às propriedades do fio liso.</p><p> </p><p> </p><p>     Req = 3 eq = 20 V</p><p>eq eq44 12 12 4 44 12</p><p>= Req = =</p><p>Req 12 4 12 + 4 3 12 4</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>iii) De acordo com os resultados do passo ii), temos o seguinte circuito:</p><p> </p><p></p><p>         </p><p> </p><p>          </p><p>2</p><p>i i i i i</p><p>2 2</p><p>i</p><p>2 + i</p><p>105</p><p>20 R 3 = 0 R = 2+i 20 i 3 = 0 20 2 i 3 = 0</p><p>5</p><p>i +5 20 = 0 = (5) 4 (1) ( 20) = 105 i =</p><p>2</p><p>i< 0 é absurdo, pois há apenas um f.e.m no circuito,</p><p>logo a corrente segue o sentido negativo-positivo dessa f.e.m</p><p></p><p></p><p></p><p>105 5</p><p>i =</p><p>2</p><p>Resposta correta: C</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR:</p><p>MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: Zilmar – REV.: KARLLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: capacitores (parte i)</p><p>frente: Física iii</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>AULAS 35 a 37</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>Capacitor e Capacitância (Conceitos)</p><p>Discutimos anteriormente sobre a distribuição de cargas nos</p><p>condutores e que, consequentemente, o potencial e o campo elétrico</p><p>nas proximidades de um condutor dependem fortemente da geometria</p><p>do problema. É de particular interesse o caso em que dispomos de dois</p><p>condutores carregados com cargas de mesmo módulo e sinais opostos</p><p>(+ q e - q). O procedimento com vistas à transferência de carga de</p><p>um condutor a outro é bastante simples: basta ligá-los aos terminais</p><p>de uma bateria, estabelecendo uma diferença de potencial entre</p><p>eles. Essa configuração de condutores recebe o nome de capacitor</p><p>ou condensador, esquematizado abaixo:</p><p>– –</p><p>–+</p><p>– q + q</p><p>Representação esquemática de um capacitador, com placas</p><p>planas e paralelas.</p><p>Os capacitores encontram larga aplicação devido à propriedade</p><p>de armazenamento de carga e de energia eletrostática (como</p><p>veremos em uma seção seguinte). Os capacitores são representados</p><p>simbolicamente como na figura a seguir:</p><p>ou</p><p>2a</p><p>2b</p><p>Representação simbólica de um capacitor</p><p>A carga armazenada no capacitor é proporcional à diferença de</p><p>potencial estabelecida entre as suas armaduras. Isto é, perfeitamente</p><p>coerente com o resultado até agora encontrado em todos os cálculos</p><p>de potencial, para os quais este resulta sempre proporcional à carga</p><p>contida no condutor. Para transformar essa proporcionalidade numa</p><p>igualdade, introduzimos uma constante definida como a capacitância</p><p>do capacitor:</p><p>Q ∝ V → Q = CV</p><p>C = Q / V</p><p>A capacitância depende tão somente da geometria do</p><p>capacitor e do material dielétrico existente entre as armaduras.</p><p>O significado físico da capacitância é evidente: quanto maior for o seu</p><p>valor, mais carga o capacitor pode armazenar para uma dada d.d.p.</p><p>(Observe que denominamos carga em um capacitor tão somente a</p><p>carga, em valor absoluto, em uma de suas armaduras).</p><p>Medidas de capacitância</p><p>Da definição de capacitância podemos deduzir a unidade de</p><p>medida de capacitância em qualquer sistema de unidades.</p><p>No SI, temos:</p><p>unidade C</p><p>unidade</p><p>unidade</p><p>coulomb</p><p>volt</p><p>farad( )</p><p>(q)</p><p>(V)</p><p>= = =</p><p>1 farady é a capacitância de um capacitor que, submetido a uma d.d.p</p><p>de 1 volt em suas armaduras, pode armazenar, em cada uma delas,</p><p>uma carga de valor absoluto igual a 1 coulomb.</p><p>1F = 1C / 1V</p><p>Como o coulomb é uma unidade muito grande, o farad também o é.</p><p>Daí utilizamos seus submúltiplos:</p><p>1 milifarad = 1 mF = 10-3 F</p><p>1 microfarad = 1 µF = 10-6 F</p><p>1 nanofarad = 1 nF = 10-9 F</p><p>1 picofarad = 1 pF = 10-12 F</p><p>No CGS, temos:</p><p>unidade</p><p>unidade</p><p>unidade</p><p>stat coulomb</p><p>stat volt</p><p>(C)</p><p>(q)</p><p>(V)</p><p>= =</p><p>Energia num capacitor</p><p>Como vimos, para se carregar um capacitor devemos ligar suas</p><p>armaduras aos terminais de uma bateria. Durante um breve intervalo</p><p>de tempo (regime transiente) estabelece-se uma corrente elétrica</p><p>de uma placa a outra, através do gerador, até que o capacitor esteja</p><p>completamente carregado (regime estacionário). Evidentemente, não</p><p>há corrente entre as placas, pois o meio entre elas é um dielétrico.</p><p>Consideremos um capacitor sendo carregado. Em dado instante,</p><p>a carga em suas armaduras tem módulo q e a d.d.p. entre elas é V.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Essas grandezas relacionam-se através da capacitância C. Para</p><p>conduzirmos, no instante seguinte, uma carga adicional dq para o</p><p>capacitor, precisamos realizar um trabalho dado por:</p><p>dW Vdq</p><p>C</p><p>qdq= =</p><p>1</p><p>O trabalho total realizado ao carregarmos o capacitor com</p><p>uma carga total Q será:</p><p>W dW</p><p>C</p><p>qdq</p><p>W</p><p>Q</p><p>C</p><p>= =</p><p>=</p><p>∫ ∫</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>Do Princípio de Conservação da Energia, deduzimos ser essa a</p><p>energia acumulada em um capacitor carregado com uma carga total Q:</p><p>U</p><p>Q</p><p>C</p><p>CV= =</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Este resultado comprova o que dissemos anteriormente: um capacitor</p><p>armazena energia eletrostática, que pode ser fornecida a um circuito.</p><p>Observação:</p><p>A integral que surgiu corresponde exatamente à “área“</p><p>sob o gráfico de V contra q:</p><p>V</p><p>Q</p><p>Gráfico da d.d.p. contra carga em um capacitor. A função é linear,</p><p>tendo como constante de proporcionalidade a capacitância.</p><p>q</p><p>Se houver um dielétrico no interior do capacitor, a energia excede de</p><p>um fator ∈</p><p>r</p><p>. Veja:</p><p>U CV C Vv cuo= = ∈1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2, ( )á</p><p>Força entre as placas de um capacitor plano</p><p>Como sabemos, a força elétrica é conservativa. Podemos</p><p>explorar a seguinte relação:</p><p>F = - dU / dx</p><p>F</p><p>Q d</p><p>dx</p><p>x</p><p>A</p><p>Q</p><p>A</p><p>= −</p><p>∈</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = −</p><p>∈</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>02 2</p><p>Perceba que é uma força constante e negativa (no sentido</p><p>de atração). Podemos extrair tal resultado através da força que uma</p><p>placa faz em outra. Tente você mesmo fazer. Lembre-se que o campo</p><p>produzido por apenas uma placa é a metade do campo total no interior</p><p>de um capacitor.</p><p>Força em dielétricos</p><p>Assim como um condutor é atraído para um campo elétrico,</p><p>o mesmo ocorre com um dielétrico (basicamente pela mesma razão):</p><p>A carga de polarização tende a se acumular próxima à carga livre</p><p>de sinal oposto. Mas o cálculo da força nos dielétricos pode ser</p><p>surpreendentemente complicado. Considere, por exemplo, o caso de</p><p>um chapa de material dielétrico linear, parcialmente inserida entre as</p><p>placas de um capacitor de placas paralelas (figura abaixo).</p><p>y</p><p>w</p><p>d xx</p><p>l</p><p>Dielétrico</p><p>Sempre fizemos de conta que o campo é uniforme dentro de</p><p>um capacitor de placas paralelas, e que é nulo fora dele. Se isso fosse</p><p>literalmente verdade, não haveria qualquer força líquida no dielétrico,</p><p>já o campo em toda parte seria perpendicular às placas. No entanto,</p><p>existe na realidade um campo marginal em torno das beiradas que,</p><p>para a maioria dos propósitos, pode ser ignorado, mas que neste caso</p><p>é responsável pelo efeito todo.</p><p>Força sobre o dielétrico com carga total constante</p><p>Para calcular tal força, façamos o seguinte truque:</p><p>Considere que W é a energia do sistema. Se eu puxar o dielétrico para</p><p>fora numa distância infinitesimal dx, a energia se altera em quantidade</p><p>igual à do trabalho feito:</p><p>dW = F</p><p>(minha)</p><p>dx</p><p>Onde F</p><p>(minha)</p><p>é a força que devo exercer para neutralizar a força</p><p>elétrica F do dielétrico: F</p><p>(minha)</p><p>= - F. Logo, a força elétrica na chapa é:</p><p>F</p><p>dW</p><p>dx</p><p>= −</p><p>Já na energia armazenada do capacitor é:</p><p>W CV=</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>E a capacitância, neste caso, é:</p><p>C</p><p>w</p><p>d</p><p>l xr e=</p><p>∈</p><p>∈ −( )0 χ</p><p>Vamos admitir que a carga total nas placas (Q = CV) é mantida</p><p>constante, enquanto o dielétrico se movimenta (ideia fundamental).</p><p>W</p><p>Q</p><p>C</p><p>F</p><p>dW</p><p>dx</p><p>Q</p><p>C</p><p>dC</p><p>dx</p><p>dC</p><p>dx</p><p>WXe</p><p>d</p><p>=</p><p>= − =</p><p>= −</p><p>∈</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>F</p><p>d</p><p>w Q</p><p>w</p><p>d</p><p>l x</p><p>e</p><p>r</p><p>= −</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈ + −∈( ){ }</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>χ</p><p>O sinal negativo indica que a força está no sentido contrário de x;</p><p>o dielétrico é puxado para dentro do capacitor.</p><p>Observe que quando fazemos x = 0, não temos uma força nula,</p><p>certo? Bom, a força é zero sim, mais existe uma descontinuidade no</p><p>gráfico. Observe:</p><p>F</p><p>x</p><p>O que permite um movimento oscilatório para pequenas oscilações.</p><p>Força sobre um dielétrico com uma d.d.p. constante</p><p>(ligado a uma bateria)</p><p>Um erro comum é usar V constante no lugar de Q constante</p><p>para calcular a força. Obtêm-se, nesse caso:</p><p>F</p><p>dW</p><p>dx</p><p>V</p><p>dC</p><p>dx</p><p>= − = −</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>Que está com um sinal negativo. Calma! É possível mantar o capacitor</p><p>com o potencial fixo. Mas, nesse caso, a bateria também trabalha</p><p>quando o dielétrico se moveu. Nesse caso, teremos:</p><p>dW = F</p><p>(minha)</p><p>dx + V dq</p><p>Segue que:</p><p>F</p><p>dW</p><p>dx</p><p>V</p><p>dq</p><p>dx</p><p>V</p><p>dC</p><p>dx</p><p>V</p><p>dC</p><p>dx</p><p>V</p><p>dC</p><p>dx</p><p>= − + = − + =</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>Essa força será constante e do tipo:</p><p>F</p><p>w</p><p>d</p><p>Ve= −</p><p>∈0 2</p><p>2</p><p>χ</p><p>Cálculos de Capacitância</p><p>Calculemos a capacitância de alguns capacitores simples</p><p>Capacitor plano de placas paralelas</p><p>Consiste de duas armaduras de mesmas dimensões planas</p><p>e paralelas. Ambas têm</p><p>área A, distam de d uma da outra e têm o</p><p>espaço entre elas preenchido por um dielétrico de permissividade</p><p>∈ (∈ = k∈</p><p>0</p><p>), onde k é a constante dielétrica).</p><p>- +</p><p>Q Q</p><p>A</p><p>ε</p><p>X</p><p>d</p><p>-+</p><p>Capacitor plano de placas paralelas.</p><p>Se a distância d entre as placas for bem menor que as outras</p><p>dimensões, o campo no interior do dielétrico é praticamente uniforme,</p><p>exceto nas bordas do capacitor, e é praticamente nulo na região</p><p>exterior:</p><p>V E dl</p><p>Qd</p><p>k A</p><p>Q</p><p>C</p><p>= − ⋅ =</p><p>∈</p><p>=∫</p><p> </p><p>0</p><p>Logo:</p><p>C</p><p>k A</p><p>d</p><p>=</p><p>∈0</p><p>De acordo com o que esperávamos, a capacitância depende</p><p>unicamente da geometria e das dimensões dos condutores e do meio</p><p>entre eles.</p><p>Capacitor cilíndrico</p><p>Consiste de um par de cilindros coaxiais de comprimento l de</p><p>raios r</p><p>A</p><p>e r</p><p>B</p><p>, com o espaço entre eles preenchido por um meio dielétrico</p><p>de permissividade ∈ = k∈0.</p><p>Bateria</p><p>Capacitor cilíndrico</p><p>r</p><p>A</p><p>r</p><p>B</p><p>+Q</p><p>– +</p><p>�</p><p>Se o cilindros forem longo em comparação com os seus raios,</p><p>o campo elétrico é praticamente radial, exceto nas bordas:</p><p>V E dl</p><p>r</p><p>dr</p><p>Q</p><p>l</p><p>r</p><p>r</p><p>B</p><p>A</p><p>= − ⋅ =</p><p>∈</p><p>⋅ =</p><p>∈</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∫ ∫</p><p>  λ</p><p>π π2</p><p>1</p><p>2</p><p>ln</p><p>Logo:</p><p>C</p><p>l</p><p>r</p><p>r</p><p>B</p><p>A</p><p>=</p><p>∈</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2π</p><p>In</p><p>Capacitor esférico</p><p>Consiste em duas esferas condutoras concêntricas de raios</p><p>r</p><p>A</p><p>e r</p><p>B</p><p>, com o espaço entre eles preenchido por um dielétrico de</p><p>permissividade ∈ = k∈</p><p>0</p><p>.</p><p>Q</p><p>Q</p><p>+</p><p>-</p><p>a</p><p>b</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Pela Lei de Gauss, sabemos escrever o campo na esfera. Dessa forma,</p><p>temos:</p><p>V E dl</p><p>Q</p><p>r</p><p>dr</p><p>Q</p><p>r rA B</p><p>= − ⋅ = −</p><p>∈</p><p>⋅ =</p><p>∈</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∫ ∫</p><p> </p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1 1</p><p>2π π</p><p>C</p><p>r r</p><p>r r</p><p>B A</p><p>B A</p><p>= ∈</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4π</p><p>Para uma esfera só, temos:</p><p>C</p><p>r r</p><p>r r</p><p>r</p><p>Kr</p><p>B A</p><p>B A</p><p>A</p><p>B</p><p>= ∈</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>→∞</p><p>lim 4π</p><p>Associação de capacitores e capacitância equivalente</p><p>Dois ou mais capacitores podem ser ligados entre si, formando</p><p>uma associação. Definimos o capacitor equivalente como um único</p><p>capacitor que tenha capacitância igual à da associação em questão.</p><p>Existem basicamente duas maneiras de construirmos associações de</p><p>capacitores:</p><p>Associação de capacitores em série</p><p>Seja o conjunto de capacitores indicado na figura. Ao</p><p>estabelecermos uma d.d.p. entre os terminais A e B da associação,</p><p>podemos verificar que todos adquirem a mesma carga Q nas suas</p><p>armaduras. Isso caracteriza uma associação em série:</p><p>Associação de capacitores em série</p><p>V</p><p>A</p><p>Q</p><p>+</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>2 D Z</p><p>C</p><p>A B</p><p>(...)</p><p>C– + +– –</p><p>Q Q</p><p>–+</p><p>Da própria definição de capacitância, temos:</p><p>V</p><p>AC</p><p>= Q / C</p><p>1</p><p>V</p><p>CD</p><p>= Q / C</p><p>2</p><p>()</p><p>V</p><p>ZB</p><p>= Q / C</p><p>n</p><p>V V V V</p><p>Q</p><p>C</p><p>Q CAB AC CD ZB</p><p>i</p><p>eq</p><p>i</p><p>n</p><p>= + + + = =</p><p>=</p><p>∑... /</p><p>1</p><p>Concluímos que:</p><p>1 1</p><p>1C Ceq ii</p><p>n</p><p>=</p><p>=</p><p>∑</p><p>Capacitor equivalente</p><p>A Q</p><p>+</p><p>+</p><p>–</p><p>–</p><p>BC</p><p>eq</p><p>Observação:</p><p>É válido lembrar que quando temos n capacitores iguais</p><p>em série, a capacitância equivalente é dada simplesmente por:</p><p>C</p><p>eq</p><p>= C / n</p><p>Associação de capacitores em paralelo</p><p>Seja o conjunto de capacitores indicados na figura.</p><p>Ao estabelecermos uma d.d.p. entre os terminais A e B da associação,</p><p>podemos verificar que os terminais de todos os capacitores estão</p><p>submetidos à mesma diferença de potencial. Isso é o que caracteriza</p><p>uma associação em paralelo.</p><p>CI</p><p>C2</p><p>Cn</p><p>Q2</p><p>Qn</p><p>Q</p><p>A + + .</p><p>.</p><p>.</p><p>+</p><p>+</p><p>--</p><p>-</p><p>-</p><p>+ -</p><p>B</p><p>V</p><p>Associação de capacitores em</p><p>paralelo</p><p>Nesse caso, temos:</p><p>Q Q V C VCi</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>n</p><p>eq= = =</p><p>= =</p><p>∑ ∑</p><p>1 1</p><p>Capacitor equivalente</p><p>A</p><p>V</p><p>Q</p><p>–+</p><p>–+</p><p>BC</p><p>eq</p><p>Daí:</p><p>C Ceq i</p><p>i</p><p>n</p><p>=</p><p>=</p><p>∑</p><p>1</p><p>Associação (Delta-Estrela)</p><p>Sejam as duas associações a seguir, a primeira denominada em delta</p><p>(∆), e a segunda, estrela (Y). Desejamos que as duas possuam a mesma</p><p>capacitância equivalente:</p><p>A)</p><p>B</p><p>B</p><p>C’</p><p>2</p><p>C’</p><p>1</p><p>C’</p><p>3</p><p>C</p><p>A</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C</p><p>A</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>3</p><p>C</p><p>2</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>B)</p><p>B</p><p>B</p><p>C’</p><p>2</p><p>C’</p><p>1</p><p>C’</p><p>3</p><p>C</p><p>A</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C</p><p>A</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>3</p><p>C</p><p>2</p><p>Da figura (A) temos que a capacitância equivalente entre os</p><p>pontos A e B é:</p><p>C C</p><p>C C</p><p>C C</p><p>CC CC C C</p><p>C CAB = +</p><p>+</p><p>=</p><p>+ +</p><p>+1</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>1 2 1 3 2 3</p><p>2 3</p><p>Analogamente, podemos encontrar as seguintes expressões</p><p>para as capacitâncias equivalentes entre A e C e entre B e C:</p><p>C</p><p>CC CC C C</p><p>C CAC =</p><p>+ +</p><p>+</p><p>1 2 1 3 2 3</p><p>1 3</p><p>C</p><p>CC CC C C</p><p>C CBC =</p><p>+ +</p><p>+</p><p>1 2 1 3 2 3</p><p>1 2</p><p>Da figura (B) temos que a capacitância equivalente entre os</p><p>pontos A e B é simplesmente dada pela associação em série de C’</p><p>1</p><p>e C’</p><p>2</p><p>:</p><p>C</p><p>C C</p><p>C CAB = +</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>Por analogia, temos:</p><p>C</p><p>C C</p><p>C CAC = +</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>1 3</p><p>1 3</p><p>C</p><p>C C</p><p>C CBC = +</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>Chamemos de K a expressão C</p><p>1</p><p>C</p><p>2</p><p>+ C</p><p>1</p><p>C</p><p>3</p><p>+ C</p><p>2</p><p>C</p><p>3</p><p>. Façamos as</p><p>capacitâncias C</p><p>AB</p><p>= C’</p><p>AB</p><p>, C</p><p>AC</p><p>= C’</p><p>AC</p><p>e C</p><p>BC</p><p>= C’</p><p>BC</p><p>.</p><p>K</p><p>C C</p><p>C C</p><p>C C</p><p>k</p><p>C C</p><p>C C</p><p>C C</p><p>k</p><p>C C</p><p>C C</p><p>C C</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>1 3</p><p>1 3</p><p>1 3</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>’ ’’2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Efetuando as operações corretas, obtemos:</p><p>C K C</p><p>C K C</p><p>C K C</p><p>’ /</p><p>’ /</p><p>’ /</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>3 3</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Se isolar o contrário, tem-se:</p><p>C</p><p>C C</p><p>S</p><p>C</p><p>CC</p><p>S</p><p>C</p><p>CC</p><p>S</p><p>1</p><p>2 3</p><p>2</p><p>1 3</p><p>3</p><p>1 2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Onde S = C</p><p>1</p><p>+ C</p><p>2</p><p>+ C</p><p>3</p><p>.</p><p>Resultando na transformação inversa. Repare que todas as operações</p><p>feitas com capacitor são sempre as inversas dos resistores. Treine</p><p>bastante e utilize essa informação com cautela, pois será a chave de</p><p>muitos problemas.</p><p>Propriedades dos dielétricos</p><p>Na nota de aula anterior, descrevemos as propriedades</p><p>dos condutores, que são os materiais dotados de portadores de</p><p>cargas livres. A partir de agora, discutiremos as propriedades de</p><p>materiais que não gozam desta propriedade, como é o caso dos</p><p>dielétricos, que, macroscopicamente são isolantes elétricos, ou seja,</p><p>incapazes de conduzir, em condições normais, uma corrente elétrica.</p><p>Microscopicamente se caracterizam pela inexistência de elétrons na</p><p>banda energética de condução. Ou seja, todos os elétricos encontram-se</p><p>fortemente ligados a átomos individuais, ocupando, portanto, a banda</p><p>de valência.</p><p>Um dielétrico pode ser constituído de moléculas polares</p><p>ou apolares, e este fato será muito importante para determinar as</p><p>características do material.</p><p>Se o material é apolar, não existem dipolos elétricos naturais,</p><p>e a distribuição de cargas nas moléculas é tal que elas não produzem</p><p>nenhum campo elétrico resultante livres de influências externas.</p><p>No entanto, quando submetemos o dielétrico à aplicação de um</p><p>campo elétrico, observamos um efeito de polarização destas cargas.</p><p>As nuvens eletrônicas dos átomos se redistribuem de acordo com o</p><p>campo, induzindo a formação de dipolos elétricos. A indução destes</p><p>dipolos será tão mais intensa quanto mais intenso for o campo elétrico</p><p>externo aplicado.</p><p>A)</p><p>_ _</p><p>_</p><p>+ +</p><p>+</p><p>A)</p><p>B)</p><p>Eext</p><p>B)</p><p>_ _</p><p>_</p><p>+ +</p><p>+</p><p>A)</p><p>B)</p><p>Eext</p><p>Moléculas apolares livres de influências externas (A) e sob a ação</p><p>de um campo elétrico (B).</p><p>Observe que a molécula apolar adquire um dipolo elétrico</p><p>induzido e este gera um campo elétrico que se contrapõe ao campo</p><p>elétrico externo. A resultante destes pequenos campos elétricos</p><p>(campo de polarização) produz um efeito macroscópico de redução</p><p>do campo total:</p><p>E E E</p><p>E E E</p><p>tot ext pol</p><p>tot ext pol</p><p>  </p><p>  </p><p>= +</p><p>= −</p><p>onde: E campo externoext</p><p></p><p>=</p><p>Epol</p><p></p><p>= campode polarização</p><p>E campo totaltot</p><p></p><p>=</p><p>6 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>– + – + – + – + – +</p><p>– + – + – + – + – +</p><p>– + – + – + – + – +</p><p>– + – + – + – + – +</p><p>Eext</p><p>Epol</p><p>Etot</p><p>Etot</p><p></p><p>Eext</p><p>Epot</p><p></p><p>A indução de dipolos num material apolar resulta numa redução no</p><p>campo elétrico total.</p><p>Já, se o material for polar, existem dipolos elétricos naturais, mas</p><p>a orientação deles, se não houver influências externas, é completamente</p><p>aleatória. Portanto, não existe nenhum efeito macroscópico observável</p><p>proveniente da resultante dos campos elétricos produzidos por estes</p><p>dipolos. No entanto, se o material for colocado sob a influência de um</p><p>campo elétrico externo, estes dipolos tendem a se orientar de acordo</p><p>com ele. Quanto maior for a intensidade do campo externo, maior será</p><p>o alinhamento dos dipolos.</p><p>A)</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>- -</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>A)</p><p>B) B)</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>- -</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>A)</p><p>B)</p><p>Moléculas polares livres de influência externa (A) e sob</p><p>a ação de um campo externo (B).</p><p>Observe que o alinhamento dos dipolos elétricos preexistentes</p><p>no material polar gera um campo que se contrapõe ao campo elétrico</p><p>aplicado. O resultado final é o de redução do campo total, em geral</p><p>de maneira bem mais intensa que no caso de materiais apolares. De</p><p>qualquer forma, vale a relação:</p><p>E E E E E Etot ext pol tot ext pol</p><p>     </p><p>= + → = −</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA) Na prospecção de jazidas minerais e localização de depósitos</p><p>subterrâneos, é importante o conhecimento da condutividade</p><p>elétrica do solo. Um modo de medir a condutividade elétrica</p><p>do solo é ilustrado na figura. Duas esferas metálicas A e B,</p><p>idênticas, de raio r, são profundamente enterradas no solo, a</p><p>uma grande distância entre as mesmas, comparativamente a</p><p>seus raios. Fios retilíneos, isolados do solo, ligam as esferas a um</p><p>circuito provido de bateria e um galvanômetro G. Conhecendo-se</p><p>a intensidade de corrente elétrica e a força eletromotriz da bateria,</p><p>determina-se a resistência R oferecida pelo solo entre as esferas.</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/IT</p><p>A</p><p>A BA B</p><p>G</p><p>rr</p><p>Sabendo-se que RC = ε/σ, em que σ é a condutividade do solo,</p><p>C é a capacitância do sistema e ε a constante elétrica do solo,</p><p>pedem-se:</p><p>A) Desenhe o circuito elétrico correspondente do sistema</p><p>esquematizado e calcule a capacitância do sistema.</p><p>B) Expresse σ em função da resistência R e do raio r das esferas.</p><p>02. (IME) Um capacitor de capacitância inicial C</p><p>0</p><p>tem suas placas</p><p>metálicas mantidas paralelas e afastadas de uma distância d</p><p>pelos suportes e conectadas a uma fonte de V</p><p>0</p><p>volts, conforme</p><p>a figura (SITUAÇÃO 1). No interior de tal capacitor, encostada</p><p>às placas, se encontra uma mola totalmente relaxada, feita de</p><p>material isolante e massa desprezível. Em determinado instante</p><p>a fonte é desconectada e, em seguida, a placa superior é liberada</p><p>dos suportes, deslocando-se no eixo vertical. Considerando que</p><p>a placa superior não entre em oscilação para ser liberada e que</p><p>pare a uma distância L da placa inferior (SITUAÇÃO 2), determine:</p><p>A) a energia total em cada uma das duas situações, em função</p><p>de C</p><p>0</p><p>, V</p><p>0</p><p>, d e L;</p><p>B) a constante elástica da mola em função de C</p><p>0</p><p>, V</p><p>0</p><p>e d que resulte</p><p>em um afastamento de L = d/2 entre as placas do capacitor.</p><p>Observações:</p><p>• Despreze o peso da placa superior, o efeito de borda no</p><p>capacitor e o efeito da mola sobre a capacitância.</p><p>• Os suportes são de material isolante.</p><p>V</p><p>0d</p><p>Suportes isolantes</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/IM</p><p>E</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>03. (IME)</p><p>Ch R</p><p>C</p><p>E</p><p>C D</p><p>BA</p><p>Figura 2</p><p>100 V</p><p>15 Ω</p><p>20 Ω</p><p>12 Ω</p><p>3 Ω</p><p>1 Ω</p><p>2 Ω</p><p>2 Ω</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/IM</p><p>E</p><p>Figura 1 Figura 2</p><p>No circuito da figura 1, após o fechamento da chave Ch, o resistor</p><p>R dissipa uma energia de 8 × 10-6 Wh (watts-hora). Para que essa</p><p>energia seja dissipada, o capacitor C de 100 µF deve ser carregado</p><p>completamente pelo circuito da Figura 2, ao ser ligado entre os</p><p>pontos:</p><p>A) A e B</p><p>B) B e C</p><p>C) C e E</p><p>D) C e D</p><p>E) B e E</p><p>04. Mostre que as placas de um capacitor plano se atraem mutuamente</p><p>com uma força igual a:</p><p>F</p><p>q</p><p>A</p><p>=</p><p>2</p><p>02ε</p><p>05. Como devemos associar cinco capacitores de 1 µF, cada um, de</p><p>modo a produzir capacitância de 3</p><p>7</p><p>µF?</p><p>06. Uma pilha de N placas tem as placas alternadamente ligadas, de</p><p>modo que formam um capacitor como indicado na figura a seguir.</p><p>As placas adjacentes estão separadas por um dielétrico com espessura</p><p>d. A constante dielétrica é k, e a área ativa de cada placa A. Mostre</p><p>que a capacitância dessa montagem é: C = (K · ε</p><p>0</p><p>· A/d) · (N – 1)</p><p>07. Uma nuvem eletrizada, cuja base tem área 36 · p · 103 m2, encontra-</p><p>se a 100 m de altura acima de uma planície. O campo elétrico entre</p><p>a nuvem e a Terra atinge a intensidade de 8 ·106 V/m e a nuvem</p><p>descarrega-se mediante um raio. Que massa de gelo a 0 ºC seria</p><p>possível derreter, se toda a energia liberada pelo raio fosse usada</p><p>para esse fim? O calor latente de fusão do gelo é 3,2 · 105 J/kg e</p><p>k</p><p>0</p><p>= 9 · 109 N · m2C–2.</p><p>08. Um condensador plano de placas paralelas, separadas entre</p><p>si por uma distância d = 8 mm, tem capacidade igual a 45 µF.</p><p>Uma chapa de cobre, de mesma área e espessura b = 3 mm, é</p><p>introduzida no meio das placas, como mostra a figura abaixo.</p><p>Calcule a capacidade desse novo arranjo.</p><p>bd</p><p>09. Na figura, temos uma balança de braços iguais, em equilíbrio,</p><p>sustentando uma placa metálica retangular P num dos pratos.</p><p>Uma outra placa Q, idêntica à primeira, é mantida fixa na</p><p>posição indicada. Inicialmente, as duas placas estão neutras.</p><p>Sendo ε a permissividade do ar entre as placas e A a área de</p><p>cada face das placas, determine o peso que se deve acrescentar</p><p>ao prato direito da balança, para que o equilíbrio inicial</p><p>mantenha-se inalterado, quando se estabelece uma d.d.p. U entre</p><p>as placas P e Q.</p><p>P</p><p>Q</p><p>d</p><p>10. (Unicamp/2004) Um raio entre uma nuvem e o solo ocorre devido</p><p>ao acúmulo de carga elétrica na base da nuvem, induzindo uma</p><p>carga de sinal contrário na região do solo abaixo da nuvem.</p><p>A base da nuvem está a uma altura de 2 km e sua área é de</p><p>200 km2. Considere uma área idêntica no solo abaixo da nuvem.</p><p>A descarga elétrica de um único raio ocorre em 10–3 s e apresenta</p><p>uma corrente de 50 kA. Considerando ε</p><p>0</p><p>= 9·10–12 F/m, responda.</p><p>A) Qual é a carga armazenada na base da nuvem no instante</p><p>anterior ao raio?</p><p>B) Qual é a capacitância do sistema nuvem-solo nesse instante?</p><p>11. (Ciaba/2000) No circuito abaixo, os valores de carga e da d.d.p.</p><p>no capacitador valem, respectivamente:</p><p>2 Ω 4 Ω</p><p>1 Ω2 Ω</p><p>+ –</p><p>24 v</p><p>A) 12 µC, 3 V</p><p>B) 32 µC, 8 V</p><p>C) 24 µC, 6 V</p><p>D) 20 µC, 3 V</p><p>E) 9 µC, 6 V</p><p>8 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.449 – 133492/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>12. A figura abaixo representa duas placas metálicas formando um</p><p>capacitor. A capacitância do capacitor vale, sabendo-se que o</p><p>corpo lançado obliquamente no vácuo atinge a parte superior</p><p>da placa, cujo ponto pertence à parábola de segurança para</p><p>o conjunto de velocidades cujos módulos são iguais a 5 m/s.</p><p>Sabendo-se que no local o valor da gravidade vale 10 m/s2 e que</p><p>permissividade elétrica vale ε</p><p>0</p><p>= 8,85 × 10–12 (SI) e que as placas</p><p>são quadradas.</p><p>d = 0,5 m</p><p>V</p><p>0</p><p>= 5 m/s</p><p>A) 12,5 pF</p><p>B) 25,5 pF</p><p>C) 35,6 pF</p><p>D) 45,5 pF</p><p>E) n.d.a.</p><p>13. No esquema da figura, a d.d.p. entre os pontos A e B é de 500 V.</p><p>Todos os capacitores têm 0,4 µF. Calcule:</p><p>A B</p><p>A) a capacitância equivalente.</p><p>B) a energia armazenada no sistema.</p><p>14. Um capacitor de ar de capacitância C</p><p>0</p><p>é enchido de um dielétrico</p><p>de permissividade ε. Que capacitância deve ter o condensador que</p><p>devemos conectar em série com o citado capacitor, a fim de que</p><p>o sistema formado volte a ter capacitância C</p><p>0</p><p>?</p><p>15. A uma fonte de f.e.m. V foram conectados em série dois</p><p>capacitores planos de ar, cada um dos quais com capacitância C.</p><p>Logo, um destes foi preenchido com um dielétrico homogêneo</p><p>de permissividade ε. (k = ε/ ε</p><p>0</p><p>)</p><p>A) De quantas vezes diminuiu a intensidade do campo elétrico</p><p>neste condensador?</p><p>B) Que carga circular passa através da fonte nesta operação?</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– * E – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– * * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>C B * * *</p><p>*02.</p><p>Situação I:</p><p>ε =</p><p>C V0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>Situação II:</p><p>ε =</p><p>+( )C V L d</p><p>d</p><p>0 0</p><p>2</p><p>4</p><p>K</p><p>C V</p><p>d</p><p>= 0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>07. 11 toneladas</p><p>08. 72 µF</p><p>09. εAU</p><p>d</p><p>2</p><p>22</p><p>10.</p><p>A) 50 C;</p><p>B) 9 · 10–7 F</p><p>13.</p><p>A) 0,3 µF</p><p>B) 3,75 · 10–2 J</p><p>14. C</p><p>C</p><p>=</p><p>∈−</p><p>ε0</p><p>1</p><p>15.</p><p>A)</p><p>1</p><p>2</p><p>+ K</p><p>B)</p><p>CV(K )</p><p>(K )</p><p>−</p><p>+</p><p>1</p><p>2 1</p><p>– Demonstração.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: GEORGENES – REV.: KARLLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: capacitores – parte ii</p><p>frente: Física iii</p><p>007.448 – 133491/18</p><p>AULAS 38 a 40</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Capacitor carregando com o tempo</p><p>C</p><p>I</p><p>R</p><p>ε</p><p>–</p><p>+</p><p>Considere um capacitor, inicialmente</p><p>descarregado e ligado a</p><p>uma bateria de fem ε, e seja R a resistência do circuito (que inclui a</p><p>resistência interna da bateria). O que acontece quando se liga a chave?</p><p>Temos a seguinte equação para o circuito:</p><p>R i</p><p>C</p><p>⋅ − + =(t)</p><p>q(t)</p><p>ε 0</p><p>Sabendo que i(t) = dq / dt, obtemos:</p><p>R</p><p>dq</p><p>dt</p><p>q</p><p>C</p><p>(t) (t)</p><p>− + =ε 0</p><p>dq</p><p>C q RC</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>(t)ε −</p><p>=</p><p>1</p><p>Integrando em ambos os lados e impondo os limites corretos,</p><p>temos:</p><p>dq</p><p>C q RC</p><p>dt</p><p>q t(t)</p><p>(t)ε −</p><p>=∫ ∫0 0</p><p>1</p><p>A carga em função do tempo durante o carregamento do</p><p>capacitor (estado transiente) é dada por:</p><p>q e</p><p>t</p><p>RC(t) C= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>ε 1</p><p>Exercícios</p><p>01. Com base na teoria vista, determine i(t) e v(t).</p><p>02. Esboce os gráficos i(t) × t e v(t) × t.</p><p>03. Determine a capacitância de um circuito ilimitado formado por</p><p>uma sucessão de capacitores idênticos de capacidade C.</p><p>CC</p><p>C C</p><p>C</p><p>C</p><p>04. Considere a associação a seguir, composta de infinitos capacitores.</p><p>Cada um deles tem capacitância C. Determine a capacitância</p><p>equivalente entre os terminais A e B.</p><p>B</p><p>A</p><p>A)</p><p>5 1</p><p>2</p><p>−( )C B)</p><p>5</p><p>3</p><p>C</p><p>C) ≠C D) 3C</p><p>E) Outro valor.</p><p>05. Quatro placas metálicas idênticas se encontram no ar a iguais</p><p>distâncias d uma da outra. A área de cada uma das placas é S.</p><p>As placas extremas estão unidas entre si e as do meio, conectadas</p><p>com a bateria da f.e.m. ε. Ache as cargas das placas do meio.</p><p>ε</p><p>–+</p><p>1 2 3 4</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>007.448 – 133491/18</p><p>06. Na figura, a seção central é rígida, mas pode mover-se</p><p>vert ica lmente. Calcu le a capac i tânc ia equiva lente.</p><p>Ela depende da posição da seção central? Sabendo que</p><p>ε → permissividade do meio.</p><p>A → área das placas.</p><p>aabb</p><p>07. Um capacitor de placas paralelas contém dois dielétricos diferentes</p><p>no vácuo. Mostre que o valor de sua capacitância é dado por:</p><p>C</p><p>A</p><p>d</p><p>=</p><p>+ε0 1 2</p><p>2</p><p>(K K )</p><p>, onde d é a distância entre as placas e A a área.</p><p>K</p><p>1 K</p><p>2</p><p>08. Um capacitor de placas paralelas contém dois capacitores</p><p>dielétricos diferentes no vácuo. Mostre que o valor de sua</p><p>capacitância é C</p><p>A</p><p>d</p><p>K K</p><p>K K</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 0 1 2</p><p>1 2</p><p>ε</p><p>, onde d é a distância entre as</p><p>placas e A a área.</p><p>K</p><p>2</p><p>K</p><p>1</p><p>09. Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as placas</p><p>de um capacitor plano, as quais estão separadas pela distância d.</p><p>Mostre que a capacitância é dada por:</p><p>C</p><p>k A</p><p>kd b k</p><p>=</p><p>− −( )</p><p>ε0</p><p>1</p><p>10. Obtenha o equivalente em Y da associação de capacitores abaixo.</p><p>10 µF</p><p>2 µF 5 µF</p><p>11. Obtenha o equivalente em ∆ da associação abaixo.</p><p>5 µF</p><p>7 µF8 µF</p><p>12. (IME) Deslocando-se em uma pista retilínea horizontal, os dois</p><p>carrinhos de madeira A e B, representados na figura a seguir</p><p>colidem frontalmente, sendo 0,8 o coeficiente de restituição do</p><p>choque. Sobre a face posterior do carrinho A está fixada uma</p><p>placa metálica P</p><p>1</p><p>, que, no instante do choque, dista 3 m de uma</p><p>placa metálica idêntica P</p><p>2</p><p>, fixada no ponto F. Sabendo-se que entre</p><p>as duas placas existe uma capacitância de 8 µF e uma tensão de</p><p>12 V, a carga elétrica, a capacitância e a tensão elétrica entre as</p><p>placas 0,5 s após o choque valem:</p><p>A</p><p>A</p><p>Depois do choque</p><p>Antes do choque</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>1</p><p>P</p><p>1</p><p>V</p><p>B</p><p>V</p><p>B</p><p>V</p><p>A</p><p>= 2 m/s = 2 m/s</p><p>= 1,2 m/s</p><p>F</p><p>B</p><p>B</p><p>A) 96 µC; 8 V; 12 µF</p><p>B) 96 µC; 12 V; 12 µF</p><p>C) 48 µC; 8 V; 12 µF</p><p>D) 48 µC; 12 V; 16 µF</p><p>E) n.d.a.</p><p>13. No circuito carrega-se o condensador C com uma diferença de</p><p>potencial E, estando a chave K aberta. Em seguida, afasta-se a</p><p>bateria e liga-se K. Após estabelecido o equilíbrio no circuito,</p><p>verifica-se que 50% de energia armazenada em C foi dissipada</p><p>em R. Conclui-se que a d.d.p. nos terminais dos condensadores</p><p>é:</p><p>C C</p><p>R</p><p>K</p><p>+</p><p>–</p><p>+</p><p>E</p><p>A)</p><p>3</p><p>3</p><p>E B) E/4</p><p>C) CE D)</p><p>3</p><p>3</p><p>E</p><p>E) E/2</p><p>14. Na figura abaixo, a capacitância equivalente não varia quando se</p><p>fecha a chave K. Determine Cx.</p><p>C</p><p>C</p><p>2C</p><p>C</p><p>x</p><p>k</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.448 – 133491/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>15. Dois capacitores planos de igual capacitância C</p><p>0</p><p>se carregam até</p><p>uma d.d.p. V</p><p>0</p><p>e se unem. Em um dos dois capacitores se aumenta</p><p>3 vezes a distância entre as placas. Ache as cargas dos capacitores</p><p>e a d.d.p. entre eles.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– * * A *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* – – – *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* A E C/2 *</p><p>– Demonstração.</p><p>03.</p><p>5 1</p><p>2</p><p>−( )</p><p>C</p><p>02.</p><p>v(t)</p><p>t</p><p>ε</p><p>i(t)</p><p>k</p><p>ε</p><p>R</p><p>05. εε0S</p><p>d</p><p>06. Não depende.</p><p>10. 8 µF, 40 µF e 16 µF.</p><p>11. 2,8 µF, 1,75 µF, 2 µF</p><p>15. 3</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>0 0 0 0 0C V C V V</p><p>; ;</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: DAWISON – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: RENAN – REV.: ??</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: circuitos coM capacitores</p><p>frente: Física iii</p><p>007.450 – 133493/18</p><p>AULAS 41 E 43</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Exercícios</p><p>01. Dado o circuito abaixo, determine a diferença de potencial V</p><p>A</p><p>– V</p><p>B</p><p>entre as placas do capacitor C. Considere que as fontes são ideais.</p><p>Obs.: Considere que o capacitor está no regime estacionário</p><p>(carga máxima)</p><p>1 V</p><p>BC30 Ω</p><p>20 Ω 10 Ω</p><p>A</p><p>2</p><p>4 V</p><p>1</p><p>02. No circuito abaixo, as duas chaves A e B estão abertas e o capacitor</p><p>está inicialmente carregado com Q</p><p>0</p><p>= 36 µC. Fecha-se a chave A</p><p>e B simultaneamente. Imediatamente após as chaves A e B terem</p><p>sido fechadas, podemos afirmar que:</p><p>A B</p><p>+Q0</p><p>–Q0</p><p>R2</p><p>R1</p><p>R</p><p>1</p><p>= 3 Ω</p><p>R</p><p>2</p><p>= 4 ΩI1</p><p>Ib</p><p>ε = 6 V</p><p>C = 2 µF</p><p>Q</p><p>0</p><p>= 36 µC</p><p>A) I</p><p>b</p><p> = 5a e corrente I</p><p>1</p><p>através de R</p><p>1</p><p>é constante em relação ao</p><p>tempo.</p><p>B) I</p><p>b</p><p> = 3A e a corrente I</p><p>1</p><p>através de R</p><p>1</p><p>varia com o tempo.</p><p>C) I</p><p>b</p><p> = 2A e a corrente I</p><p>1</p><p>através de R</p><p>1</p><p>é constante em relação</p><p>ao tempo.</p><p>D) I</p><p>b</p><p> = 1,5A e a corrente I</p><p>1</p><p>através de R</p><p>1</p><p>varia com o tempo.</p><p>E) I</p><p>b</p><p> = 1A e a corrente I</p><p>1</p><p>através de R</p><p>1</p><p>é constante em relação</p><p>ao tempo.</p><p>03. O capacitor está inicialmente descarregado. No tempo t</p><p>1</p><p>a chave</p><p>S é fechada; no tempo t</p><p>2</p><p>a chave é aberta.</p><p>S</p><p>+</p><p>–</p><p>I</p><p>Bateria</p><p>R</p><p>C Vc</p><p>t</p><p>1</p><p>I.</p><p>t</p><p>2</p><p>t t</p><p>1</p><p>II.</p><p>t</p><p>2</p><p>t</p><p>t</p><p>1</p><p>III.</p><p>t</p><p>2</p><p>t</p><p>t</p><p>1</p><p>V.</p><p>t</p><p>2</p><p>t</p><p>t</p><p>1</p><p>IV.</p><p>t</p><p>2</p><p>t</p><p>A) O gráfico que representa a corrente no circuito é o III, enquanto</p><p>o que representa a voltagem no capacitor é o I.</p><p>B) O gráfico que representa a corrente no circuito é o V, enquanto</p><p>o que representa a voltagem Vc é o II (voltagem no capacitor).</p><p>C) O gráfico que representa a corrente no circuito é o III, enquanto</p><p>o que representa a voltagem Vc no capacitor é o II.</p><p>D) O gráfico que representa a corrente no circuito é o I, enquanto</p><p>o que representa a voltagem Vc no capacitor é o IV.</p><p>E) O gráfico que representa a corrente no circuito é o V, enquanto</p><p>o que representa a voltagem Vc no capacitor é o II.</p><p>04. Quando se quer um flash com potência total, deve-se fechar a</p><p>chave K e assim os dois capacitores são carregados. Se o desejo é</p><p>de meia potência do flash, abre-se a chave K, e assim, apenas um</p><p>capacitor é carregado. Se por acaso acionar a chave K, quando</p><p>um capacitor está totalmente carregado e o outro descarregado,</p><p>o flash é acionado sem haver a tomada da fotografia, além de</p><p>provocar danos, como fusão dos metais que constituem a chave</p><p>K, fragmentos são expelidos, luz e som também são emitidos.</p><p>Um bulbo de flash eletrônico usado em fotografia é acionado</p><p>a partir de um ou mais capacitores que armazenam energia</p><p>potencial elétrica, a fim de produzir uma rápida descarga dentro</p><p>do gás que enche o bulbo. A alta voltagem da descarga torna</p><p>o gás um plasma e, como resultado, ocorre a emissão da luz.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>007.450 – 133493/18</p><p>Geralmente, os capacitores suportam uma fonte de 330 V. Com o</p><p>objetivo de variar a emissão do flash, capacitores são trocados a partir de</p><p>um seletor (chave K no circuito abaixo). Assuma que há dois capacitores</p><p>de 800 µF e uma chave que permite conectar um ou dois capacitores</p><p>no circuito, com vistas a proporcionar a descarga para o bulbo.</p><p>O caso descrito está mostrado no circuito a seguir. Determine a</p><p>energia perdida após o fechamento da chave K, quando um capacitor</p><p>está carregado e o outro descarregado.</p><p>++++++++++++++++</p><p>K</p><p>800</p><p>µF a</p><p>zero volt.</p><p>800 µF</p><p>a 300 V</p><p>Bulbo</p><p>com gás</p><p>A) 6 J B) 12 J</p><p>C) 18 J D) 24 J</p><p>E) 36 J</p><p>05. No circuito, C representa um condensador L é uma lâmpada</p><p>incandescente, K uma chave e B uma bateria. Inicialmente, K está</p><p>fechada e, no instante t</p><p>0</p><p>, ela é aberta. Qual dos gráficos representa</p><p>a tensão na lâmpada em função do tempo?</p><p>L</p><p>B</p><p>K</p><p>C</p><p>A) V V</p><p>V V</p><p>tt0 tt0</p><p>tt0tt0</p><p>B)</p><p>C) D)</p><p>06. Um circuito consiste em uma força eletromotriz ε, resistência</p><p>interna r, Resistências R</p><p>1</p><p>e R</p><p>2</p><p>e capacitâncias C</p><p>1</p><p>e C</p><p>2</p><p>.</p><p>Assinale o item que contém as tensões aplicadas em cada</p><p>capacitor.</p><p>ε</p><p>C</p><p>1 R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>r</p><p>C</p><p>2</p><p>A) U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>e U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 1 2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2 1 2</p><p>=</p><p>+( ) +( ) =</p><p>+( ) +( )</p><p>ε ε</p><p>B) U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>e U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>1</p><p>1 2</p><p>2 1 2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2 1 2</p><p>=</p><p>+( ) +( ) =</p><p>+( ) +( )</p><p>ε ε</p><p>C) U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>e U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 1 2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2 1 2</p><p>=</p><p>+( ) +( ) =</p><p>+( ) +( )</p><p>ε ε</p><p>D) U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>e U</p><p>R C</p><p>r R C C</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 1 2</p><p>=</p><p>+( ) +( ) =</p><p>+( ) +( )</p><p>ε ε</p><p>E) n.d.a.</p><p>07. No circuito, calcule a capacitância equivalente entre os pontos</p><p>a e b.</p><p>a</p><p>b</p><p>R R</p><p>C</p><p>C C C</p><p>C C</p><p>08. Ache a d.d.p. entre os pontos A e B do circuito.</p><p>Dados: ε = 110 V; C</p><p>2</p><p>= 2C</p><p>1</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>2</p><p>C</p><p>2</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>1</p><p></p><p>09. O circuito a seguir é utilizado para disparar o flash de uma máquina</p><p>fotográfica. Movendo a chave S para o ponto 1, fecha-se o circuito</p><p>de forma a carregar os capacitores C</p><p>1</p><p>e C</p><p>2</p><p>. Quando os capacitores</p><p>estão completamente carregados, a chave S é movida para o</p><p>ponto 2 e toda energia armazenada nos capacitores é liberada</p><p>e utilizada no disparo do flash. Sendo R</p><p>1</p><p>= 6,0 Ω; R</p><p>2</p><p>= 3,0 Ω;</p><p>R</p><p>3</p><p>= 2,0 Ω; C</p><p>1</p><p>= 4,0 µF; C</p><p>2</p><p>= 8,0 µF e V = 1,5 V, qual a energia,</p><p>em microjoules, utilizada no disparo do flash?</p><p>V</p><p>V</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>3</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>2</p><p>1 2</p><p>S</p><p>flashflash</p><p>A)</p><p>27</p><p>8</p><p>B)</p><p>21</p><p>8</p><p>C)</p><p>11</p><p>8</p><p>D)</p><p>9</p><p>8</p><p>E)</p><p>5</p><p>8</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>007.450 – 133493/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>10. Em certo circuito se tem a seção AB. A f.e.m. da fonte</p><p>ε = 10 V e as capacitâncias dos condensadores são C</p><p>1</p><p>= 1,0 µF</p><p>e C</p><p>2</p><p>= 2,0 µF. A d.d.p. entre A e B é V</p><p>A</p><p>– V</p><p>B</p><p>= 5,0 V. Encontre a</p><p>tensão em cada capacitor.</p><p>A BC</p><p>1</p><p>C</p><p>2+–ε</p><p>11. No circuito abaixo, determine a d.d.p. entre cada condensador,</p><p>bem como a carga de cada um. Dados: ε</p><p>1</p><p>= 20 V; ε</p><p>2</p><p>= 10 V;</p><p>C</p><p>1</p><p>= 1 µF; C</p><p>2</p><p>= 2 µF.</p><p>–</p><p>+</p><p>–</p><p>+</p><p>C1</p><p>C2</p><p>ε</p><p>1</p><p>ε</p><p>2</p><p>12. A um capacitor de capacitância C</p><p>1</p><p>= 1,0 µF, carregando até uma</p><p>tensão U = 110 V é ligado em paralelo um sistema formado</p><p>por dois condensadores não carregados e unidos em série cujas</p><p>capacitâncias são C</p><p>2</p><p>= 2 µF e C</p><p>3</p><p>= 3 µF. Que carga circula pelos</p><p>condutores de ligação?</p><p>13. Que cargas circulares, depois de a chave K haver sido fechada</p><p>através das seções 1 e 2 nos sentidos marcados pelas flechas?</p><p>Dados: ε = 10 V; C</p><p>1</p><p>= 1 µF; C</p><p>2</p><p>= 4 µF.</p><p>Q</p><p>2</p><p>Q</p><p>1</p><p>C</p><p>2</p><p>C</p><p>1</p><p>1</p><p>ε ε</p><p>–</p><p>+</p><p>–</p><p>+</p><p>2</p><p>K</p><p>14. O circuito da figura é composto por uma bateria, uma chave S,</p><p>três resistores e um capacitor de capacitância muito alta.</p><p>A chave é aberta no instante t = 0, depois de permanecer fechada</p><p>por um tempo muito longo. Após o capacitor ser totalmente</p><p>descarregado, a chave S é novamente fechada. Calcule as</p><p>correntes i</p><p>1</p><p>, i</p><p>2</p><p>e i</p><p>3</p><p>imediatamente:</p><p>+</p><p>-</p><p>V</p><p>S</p><p>C</p><p>R2</p><p>R3</p><p>l3</p><p>l2</p><p>l1 R1</p><p>A) antes de a chave ser aberta.</p><p>B) depois de a chave ser aberta.</p><p>C) depois de a chave ser novamente fechada.</p><p>15. Determine a capacitância equivalente entre os pontos A e B.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>C</p><p>C</p><p>C</p><p>R</p><p>C 7R</p><p>5R</p><p>C</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>3R</p><p>4R</p><p>A) C</p><p>4</p><p>B)</p><p>C</p><p>2</p><p>C) 3</p><p>4</p><p>C D)</p><p>3</p><p>8</p><p>C</p><p>E) n.r.a.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* E A C B</p><p>06 07 08 09 10</p><p>A * * A *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * * D</p><p>*01: –1 V</p><p>07: C/2</p><p>08: 10 V</p><p>10: 5 V</p><p>11: 20/3 µC</p><p>12: 60 µC</p><p>13: 40 µC; –8 µC</p><p>14:</p><p>A) i</p><p>V</p><p>R</p><p>i i</p><p>V</p><p>R R1</p><p>1</p><p>2 3</p><p>2 3</p><p>= = =</p><p>+</p><p>;</p><p>B) i</p><p>V</p><p>R R</p><p>i i</p><p>VR</p><p>R R R R3</p><p>2 3</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2 3 1 2</p><p>=</p><p>+</p><p>= =</p><p>+ +</p><p>;</p><p>( )( )</p><p>C) i</p><p>V</p><p>R</p><p>i</p><p>V</p><p>R1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3 0= = =; ;i</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDA</p><p>DIG.: GEORGENES – REV.: KARLLA</p><p>sentidos marcados pelas flechas, após o fechamento da chave K ?</p><p>passam através das seções 1 e 2 nos</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: capacitores</p><p>frente: Física iii</p><p>008.323 – 134215/18</p><p>AULAS 44 e 45</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Exercícios</p><p>I. Força entre as placas de um capacitor F</p><p>QE</p><p>=</p><p>2</p><p>.</p><p>Demonstração:</p><p>II. Energia armazenada no capacitor.</p><p>C</p><p>R</p><p>01. Mostre que a energia armazenada no exemplo II da teoria é 50%</p><p>e independe do valor de R.</p><p>02. (IME-1988) Nos pontos A e B do segmento AB, são fixadas cargas</p><p>elétricas iguais de +Q Coulombs cada uma. Se deixarmos livre no</p><p>ponto P, situado a x metros de A e a y metros de B, uma carga</p><p>pontual de massa M kg e +Q</p><p>1</p><p>Coulombs, essa carga sofrerá uma</p><p>aceleração de a m/s2. Determine a energia armazenada no circuito</p><p>capacitivo m – n se ele for carregado com Q</p><p>1</p><p>Coulombs.</p><p>Dados: a) Q = 16 p e</p><p>0</p><p>Coulombs; b) M = 2 · 10–3 kg; c) x = 3 m;</p><p>d) y = 4 m; e) a = 31,5 m/s2; f) C</p><p>1</p><p>= C</p><p>2</p><p>= C</p><p>3</p><p>= C</p><p>5</p><p>= 2 m F.</p><p>A</p><p>+Q Q</p><p>C C</p><p>2</p><p>C</p><p>5</p><p>C</p><p>4</p><p>C</p><p>3</p><p>O</p><p>O</p><p>n</p><p>m</p><p>+Q</p><p>1</p><p>BPx y</p><p>03. (ITA-1974) No circuito a seguir carrega-se o condensador C</p><p>com uma diferença de potencial E, estando a chave k aberta.</p><p>Em seguida, afasta-se a bateria e liga-se k. Após estabelecido o</p><p>equilíbrio no circuito, verifica-se que 50% da energia armazenada</p><p>inicialmente em C foi dissipada em R. Conclui-se que a diferença</p><p>de potencial nos terminais dos condensadores é:</p><p>C C</p><p>R</p><p>E</p><p>+</p><p>–</p><p>k</p><p>A) 3/3( ) E</p><p>B) E/4</p><p>C) 2 E</p><p>D) 2/2( ) E</p><p>E) E/2</p><p>04. Considere o circuito a seguir, em regime estacionário. Indicando</p><p>por Q a carga elétrica nas placas do capacitor C; por U a energia</p><p>eletrostática armazenado no capacitor C; por P a potência</p><p>dissipada por efeito Joule, então:</p><p>ε = 16 V</p><p>C = 2 µF</p><p>1 Ω</p><p>5 Ω4 Ω</p><p>4 Ω</p><p>Q(C) U(J) P(J/s)</p><p>A) –2 · 10–5 64 18</p><p>B) +2 · 10–5 64 64</p><p>C) 0 0 32</p><p>D) 2 · 10–5 1,0 · 10–4 32</p><p>E) 1,1 · 10–6 6,3 · 10–6 18</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>008.323 – 134215/18</p><p>05. (IME-74/75)No circuito da figura V</p><p>1</p><p>e V</p><p>2</p><p>, são fontes ideais de</p><p>tensão contínua, tais que V</p><p>1</p><p>> V</p><p>2</p><p>. C é um capacitor, R</p><p>1</p><p>e R</p><p>2</p><p>resistores e S uma chave. Determine as expressões:</p><p>S</p><p>C</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>V</p><p>1 V</p><p>2</p><p>A) Da energia armazenada no capacitor C se a chave está aberta</p><p>há muito tempo.</p><p>B) Da tensão no capacitor C, se a chave S está fechada há muito</p><p>tempo.</p><p>C) Da tensão e da corrente em cada um dos resistores se a chave</p><p>S está fechada há muito tempo.</p><p>06. (ITA/1989) Com um certo material de resistividade elétrica ρ foi</p><p>construída uma resistência na forma de um bastão de 5,0 cm de</p><p>comprimento e secção transversal quadrada, de lado 5,0 mm.</p><p>A resistência assim construída, ligada a uma tensão de 120 V, foi</p><p>usada para aquecer água.</p><p>Em operação, verificou-se que o calor fornecido pela resistência</p><p>ao líquido em 10 s foi de 1,7 · 103 cal.</p><p>Observação: Considere a resistividade do material e o calor</p><p>específico da água constantes naquele intervalo de temperatura.</p><p>A) Calcule o valor da resistividade ρ.</p><p>B) Quantos segundos seriam necessários para aquecer 1 litro de</p><p>água da temperatura de 20 ºC até 37 ºC?</p><p>07. Na figura, temos uma balança de braços iguais, em equilíbrio,</p><p>sustentando uma placa metálica retangular P em um dos pratos.</p><p>Uma outra placa Q, idêntica à primeira, é mantida fixa na posição</p><p>indicada. Inicialmente, as duas placas estão neutras.</p><p>P</p><p>Qd</p><p>Sendo ∈ a permissividade do ar entre as placas e A a área de cada</p><p>face das placas, determine o peso que se deve acrescentar ao</p><p>prato direito da balança, para que o equilíbrio inicial mantenha-se</p><p>inalterado, quando se estabelece uma diferença de potencial U</p><p>entre as placas P e Q.</p><p>08. (Olimpíada Brasileira de Física) Um circuito RC é um caso particular</p><p>de um circuito elétrico contendo apenas uma resistência e</p><p>um capacitor. Considere um desses circuitos em que os dois</p><p>componentes são ligados a uma fonte e a duas chaves que podem</p><p>permitir ou não a passagem de corrente nos ramos do circuito.</p><p>Ch-B</p><p>Ch-A</p><p>R</p><p>ganhar velocidade para a esquerda.</p><p>Resta saber a velocidade final da partícula B para saber se haverá</p><p>outra colisão com A. Assim, calculemos apenas V’</p><p>B</p><p>.</p><p>v = V’</p><p>B</p><p>+ 2(V’</p><p>B</p><p>+ ν)</p><p>V’</p><p>B</p><p>= −</p><p>v</p><p>3</p><p>Ou seja, retorna e colide com A. Além disso, as cargas após a</p><p>segunda colisão são:</p><p>q</p><p>2</p><p>= Q’</p><p>B</p><p>+ Q’</p><p>C</p><p>= q’ + 2q’ → q’ =</p><p>q</p><p>6</p><p>Logo: Q’</p><p>B</p><p>= q/6 e Q’</p><p>C</p><p>= q/3.</p><p>3º Colisão:</p><p>As partículas A e B se chocam novamente passando a ter mesma</p><p>carga no final, pois possuem o mesmo raio.</p><p>Q”</p><p>A</p><p>+ Q”</p><p>B</p><p>=</p><p>q q</p><p>2 6</p><p>2</p><p>3</p><p>+ = q = 2Q”</p><p>Q”</p><p>A</p><p>= Q”</p><p>B</p><p>=</p><p>q</p><p>3</p><p>No final, todas as cargas serão iguais a q/3.</p><p>02. Como não sabemos a situação inicial do condutor, então nada se</p><p>pode afirmar.</p><p>Reposta: E</p><p>03. Consultando a série triboelétricas, veremos que a carga deve</p><p>ser negativa. Além do mais, ele deve ser um múltiplo da carga</p><p>elementar.</p><p>Reposta: D</p><p>04.</p><p>q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>N N N N</p><p>f N</p><p>N</p><p>N N</p><p>= =</p><p>= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =</p><p>−</p><p>− −</p><p>0 18 4</p><p>0</p><p>18 4</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 18 4 3 18 6</p><p>( )</p><p>( ) .</p><p>Reposta: 06</p><p>05.</p><p>I) A → Q</p><p>II) Q</p><p>A</p><p>= Q, após contado com uma neutra → Q</p><p>Q</p><p>A</p><p>,</p><p>.=</p><p>2</p><p>III) Q</p><p>Q</p><p>A</p><p>, =</p><p>2</p><p>com duas neutras.</p><p>Daí, Q</p><p>Q Q Q</p><p>A</p><p>,</p><p>!</p><p>= =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>6 2 3 3</p><p>.</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>A</p><p>A</p><p>,,</p><p>,,</p><p>!</p><p>!</p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>com 3 neutros</p><p>e assim por diante.</p><p>Esferas neutras → 55.</p><p>1 + 2 + 3 + ... + N = 55</p><p>N = 10.</p><p>Daí, Q final</p><p>Q</p><p>A ( )</p><p>!</p><p>=</p><p>11</p><p>.</p><p>Reposta: C</p><p>06. Neste caso, o bastão tem a mesma carga do eletroscópio. Assim</p><p>sendo, provocará mais repulsão de cargas para as folhas, e</p><p>portanto eles irão se abrir mais.</p><p>Reposta: C</p><p>07. Seja r o raio da bola 1 e R da bola 2.</p><p>I) Após o primeiro contato da bola 1 com a bola 2, esta adquire</p><p>carga q.</p><p>Daí:</p><p>q q Q</p><p>q</p><p>r</p><p>q</p><p>R</p><p>q Q q</p><p>q</p><p>r</p><p>q</p><p>R</p><p>q r</p><p>q</p><p>R</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>+ =</p><p>= →</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p>= → =</p><p>ou</p><p>Q q</p><p>q</p><p>r</p><p>R</p><p>−</p><p>=</p><p>II. Quando a 2 adquire sua carga máxima q</p><p>2</p><p>(máx), então a 1 não</p><p>passará mais carga para 2.</p><p>q m x</p><p>R</p><p>q Q</p><p>r</p><p>q m x</p><p>RQ</p><p>r</p><p>q m x</p><p>Qq</p><p>Q q</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>á</p><p>á</p><p>á</p><p>=</p><p>=</p><p>⇒ =</p><p>=</p><p>−</p><p>08. A chama da vela provoca o efeito “termiônico”, e assim o ar perde</p><p>elétrons (próximo à chama). Portanto, naquela região, uma massa</p><p>de ar positiva e assim a chama da vela será inclinada para a placa</p><p>positiva.</p><p>Reposta: E</p><p>09. Sejam:</p><p>C</p><p>1</p><p>= capacitância do cubo.</p><p>C</p><p>2</p><p>= capacitância da placa.</p><p>I) Após o contato, a relação carga/capacitância adquire o mesmo</p><p>valor.</p><p>Então: após o primeiro contato, teremos:</p><p>Q</p><p>C</p><p>q</p><p>C</p><p>e q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>q Q</p><p>Q Q</p><p>6</p><p>6</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= + =</p><p>= − =</p><p>Daí:</p><p>C</p><p>C</p><p>Q</p><p>Q</p><p>C</p><p>C</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>= ⇒ = .</p><p>II) Seja Q</p><p>máx</p><p>a carga máxima adquirida pelo cubo. Neste caso,</p><p>após o contato, a placa continuará com sua carga Q.</p><p>Daí:</p><p>Q</p><p>Q</p><p>C</p><p>C</p><p>Q</p><p>Qm x</p><p>m x</p><p>á</p><p>á= ⇒ =1</p><p>2 5</p><p>.</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.061-127582/18</p><p>10. Os raios gama podem criar um par “matéria-antimatéria”. Assim,</p><p>teremos sempre o “sagrado” princípio da conservação da carga.</p><p>I.</p><p>N</p><p>4</p><p>1− neutras e uma carga q = 1º conjunto.</p><p>Carga final da esfera de carga q após contato</p><p>N</p><p>4</p><p>1− .</p><p>q</p><p>q</p><p>N1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>II. contato simultaneo com as esferas do segundo grupo.</p><p>q</p><p>q</p><p>N</p><p>N</p><p>’</p><p>’ =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>III. Contato sucessivos com as esferas do terceiro grupo</p><p>N</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>q</p><p>q</p><p>N</p><p>N N</p><p>’</p><p>" =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>− ⋅</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1</p><p>2 24</p><p>1</p><p>4</p><p>IV. Finalmente q</p><p>q</p><p>N</p><p>N</p><p>,(f) =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>12</p><p>Reposta: C</p><p>11.</p><p>N</p><p>3</p><p>esferas.</p><p>1 delas com carga Q.</p><p>I. Fazendo contatos sucessivos com</p><p>n</p><p>3</p><p>1− esferas neutras.</p><p>Carga final → q</p><p>Q Q</p><p>nn= =</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>−2 2</p><p>3</p><p>3</p><p>3 1</p><p>II. Contatos simultâneos com</p><p>2</p><p>3</p><p>n</p><p>restantes.</p><p>Q q</p><p>Q</p><p>n</p><p>Q</p><p>final</p><p>n</p><p>= = =</p><p>− −</p><p>−</p><p>+</p><p>2 3</p><p>2 3 2 3 3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>(n )</p><p>(n )</p><p>.</p><p>12. 1º conjunto</p><p>1 esfera → carga q.</p><p>Após contatos sucessivos com</p><p>N</p><p>q</p><p>q</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1 4</p><p>4</p><p>− → = −(N )</p><p>2º conjunto →</p><p>N</p><p>4</p><p>esferas neutras. A esfera com carga q, colocada</p><p>em contato simultâneo com</p><p>N</p><p>4</p><p>neutras.</p><p>Daí: q</p><p>q</p><p>N N</p><p>q</p><p>N2</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+ −( )</p><p>3º conjunto →</p><p>N</p><p>4</p><p>esferas neutras.</p><p>A esfera com carga q</p><p>2</p><p>em contatos sucessivos com</p><p>N</p><p>4</p><p>neutras.</p><p>Daí:</p><p>q</p><p>q</p><p>N</p><p>q N</p><p>q</p><p>N</p><p>q</p><p>N N</p><p>N</p><p>3</p><p>2</p><p>4 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2 2</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>= =</p><p>+( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>+ −</p><p></p><p></p><p></p><p>·</p><p>4º conjunto →</p><p>N</p><p>4</p><p>esferas neutras.</p><p>A esfera com carga q</p><p>3</p><p>em contato simultâneo com</p><p>N</p><p>4</p><p>neutra.</p><p>q q</p><p>q</p><p>Nfinal4</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>= =</p><p>+</p><p>q</p><p>q</p><p>N</p><p>final N</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>13. Seda e ebante atritados.</p><p>Seda → Positivo.</p><p>Ebante → Negativo.</p><p>Análise os itens a seguir:</p><p>I. Como o corpo apenas foi aproximado, então o eletroscópio</p><p>continua com sua carga positiva (Verdadeiro).</p><p>II. desceu (fluxo da partes superior para inferior)</p><p>O corpo carregado negativamente tende a repelir elétrons</p><p>para as folhas e, assim, haverá diminuição das cargas que se</p><p>representem e as folhas tendem a se fechar. (Verdadeiro);</p><p>III. Ao trocar o corpo negativo no eletroscópio haverá fluxo de</p><p>elétrons para ele. Assim, a carga positiva diminuirá devida</p><p>neutralização e por conseguinte as folhas tendem a se fechar</p><p>(Falso);</p><p>IV. Neste caso seria, o contrário do item II. Daí é sendo falso;</p><p>V. Verdadeiro, conforme esquema mostrado no item II.</p><p>14. Quando se liga o eletroscópio à Terra, sempre haverá a “neutralização”</p><p>das folhas, assim eles se fecham, na posição normal.</p><p>Reposta: A</p><p>15. Conceitos básicos de eletrização por indução. Se o objetivo é</p><p>carregar o induzido negativamente, então o indutor deve ser</p><p>positivo. Quanto à ligação de F, poderá ser feita em qualquer</p><p>posição, pois o importante é a d.d.p. entre Terra e o sistema</p><p>indutor + induzido.</p><p>Reposta: D</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: Aníbal/ REV.: Kelly</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: Força Elétrica</p><p>frente: Física iii</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>AULAS 04 A 08</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Lei de Coulomb</p><p>Experiências de alta precisão mostram que a forma eletrostática</p><p>entre duas cargas é proporcional ao produto das cargas e</p><p>inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.</p><p>As primeiras experiências que evidenciaram essa relação foram</p><p>realizadas por H. Cavendish, entre 1771 e 1773, mas somente em</p><p>1785, Charles Augustin de Coulomb enunciou a lei que leva o seu</p><p>nome, após realizar a clássica experiência com a balança de torção.</p><p>Trata-se, portanto de uma lei empírica, que não admite demonstração.</p><p>Um possível enunciado para esta lei segue:</p><p>“A força de Interação entre duas cargas elétricas pontuais</p><p>em repouso é diretamente proporcional ao produto entre elas e</p><p>inversamente proporcional ao quadrado da distância, atua ao longo</p><p>da linha reta que as une e é repulsiva, se as cargas forem de mesmo</p><p>sinal e atrativa, se forem de sinais contrários.</p><p>Uma carga pontual é uma distribuição de cargas que se dá em</p><p>uma região de dimensões desprezíveis no problema.</p><p>Uma forma de representar o enunciado anterior em uma</p><p>expressão única é:</p><p>| | |F K</p><p>q q</p><p>d</p><p>e2 1 2</p><p>1 2</p><p>2 1 2→ → →= = |F1</p><p> </p><p>onde</p><p></p><p>F1 2→ é a força que a carga 1 exerce sobre a carga 2 e</p><p></p><p>F2 1→ é a força</p><p>que a carga 2 exerce sobre a carga 1, q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>são os valores das cargas.</p><p>d é a distância entre elas.</p><p>k é uma constante de proporcionalidade.</p><p>+ +</p><p>q</p><p>1</p><p>d q</p><p>2</p><p>F</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>1 F</p><p>1</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p> Representação esquemática das forças entre duas cargas pontuais.</p><p>A constante de proporcionalidade (constante eletrostática)</p><p>depende do meio em que se encontram as cargas. No vácuo, esta</p><p>constante é dada por:</p><p>k</p><p>0</p><p>= 9,0 × 109 Nm2/C2 no SI</p><p>A constante eletrostática está relacionada de forma simples</p><p>com outra grandeza física, a permissividade elétrica absoluta ou</p><p>simplesmente permissividade elétrica do meio em questão.</p><p>k = 1</p><p>4πε</p><p>Para o vácuo, a permissividade elétrica é:</p><p>e</p><p>0</p><p>= 8,85 × 10–12N–1m–2C2 no SI</p><p>Os outros meios são caracterizados por uma grandeza</p><p>adimensional, denominada permissividade relativa ou constante</p><p>dielétrica, definida como:</p><p>K = ε</p><p>ε0</p><p>A seguir, apresentamos alguns valores para a constante</p><p>dielétrica:</p><p>Meio Constante dielétrica</p><p>Vácuo</p><p>V C</p><p>No caso do capacitor totalmente descarregado, ao fecharmos</p><p>somente a chave A, este começará a se carregar. A função</p><p>que rege o carregamento do capacitor, nessa circunstância,</p><p>é Q(t) = CV(1 – e–t/RC).</p><p>Quando o capacitor estiver completamente carregado com uma</p><p>determinada carga Q</p><p>0</p><p>, abre-se a chave A e fecha-se a chave B,</p><p>iniciando-se a descarga do capacitor. Nesse caso, a relação entre</p><p>a carga Q no capacitor e o tempo é dada pela função Q(t) = Q</p><p>0</p><p>e–t/RC.</p><p>Sendo assim:</p><p>A) Qual a relação entre os tempos para se carregar o capacitor até</p><p>a metade de sua carga máxima e o tempo para descarregar o</p><p>mesmo capacitado a partir de sua carga máxima até a metade</p><p>da mesma?</p><p>B) Em que instante ocorre o maior valor de corrente no circuito</p><p>quando o capacitador está sendo carregado? Considerando</p><p>V = 20 V, R = 50 Ω e C = 5 mF, qual a carga armazenada no</p><p>capacitador quando a corrente no circuito for i = 0,1 A?</p><p>C) Para os valores do item B, qual a energia máxima liberada na</p><p>descarga desse capacitador?</p><p>09. (Mack-SP) O capacitor do circuito indicado na figura está eletrizado</p><p>sob tensão do 100 V. Fecha-se a chave k e aguarda-se o capacitor</p><p>descarregar totalmente. Qual a energia dissipada no resistor de</p><p>resistência igual a 1 ohm?</p><p>k</p><p>5</p><p>ohms</p><p>1</p><p>ohm 13 µF</p><p>+</p><p>–</p><p>10</p><p>ohms</p><p>10. Um capacitor plano a ar, cuja capacitância é de 10 nF, é carregado</p><p>por uma bateria de 12 V. A seguir, ele é desligado da bateria e a</p><p>distância entre suas armaduras é reduzida à metade. Determine</p><p>A) a carga elétrica do capacitor e sua energia potencial elétrica,</p><p>quando ele foi desligado da bateria, estando encerrado o</p><p>processo de carga.</p><p>B) a diferença de potencial entre as armaduras, depois que elas</p><p>foram aproximadas.</p><p>C) a energia potencial elétrica do capacitor, depois que suas</p><p>armaduras foram aproximadas.</p><p>11. O circuito a seguir está fechado há muito tempo, o que significa</p><p>que o capacitor já está plenamente carregado.</p><p>C = 1,5 µF</p><p>10 Ω</p><p>20 Ω</p><p>ε</p><p>1</p><p>= 12V</p><p>ε</p><p>2</p><p>= 6V</p><p>+</p><p>–</p><p>+</p><p>–</p><p>Sendo desprezíveis as resistências internas das baterias, calcule</p><p>A) a carga do capacitor.</p><p>B) a potência dissipada no resistor de 10 Ω.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.323 – 134215/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>12. Um capacitor plano é ligado a uma bateria e, após ser carregado,</p><p>é desligado dela. Em seguida, aumenta-se um pouco a distância</p><p>entre as suas armaduras. Em virtude dessa última operação</p><p>A) a capacitância do capacitador aumenta.</p><p>B) a diferença de potencial entre as armaduras do capacitor não</p><p>se altera.</p><p>C) a carga elétrica do capacitor diminui.</p><p>D) a intensidade do campo elétrico entre as armaduras do</p><p>capacitor aumenta.</p><p>E) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor aumenta.</p><p>13. Calcule a força necessária para retirar o dielétrico do capacitor de</p><p>placas paralelas de lados d e distância entre as placas d.</p><p>Mesmas dimensões</p><p>do capacitor</p><p>F</p><p>UU k</p><p>ε</p><p>0</p><p>14. (Mackenzie-SP) A capacitância de um capacitor aumenta quando</p><p>um dielétrico é inserido preenchendo todo o espaço entre suas</p><p>armaduras. Tal fato ocorre porque</p><p>A) cargas extras são armazenadas no dielétrico.</p><p>B) átomos do dielétrico absorvem elétrons da placa negativa para</p><p>completar suas camadas eletrônicas externas.</p><p>C) as cargas agora podem passar da placa positiva à negativa do</p><p>capacitor.</p><p>D) a polarização do dielétrico reduz a intensidade do campo</p><p>elétrico no interior do capacitor.</p><p>E) o dielétrico a intensidade do campo elétrico.</p><p>15. Determine a capacitância de um capacitor esférico de raio R.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– 13.122 J E D *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * * 5 × 10–2 J. *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* E – D –</p><p>– Demonstração.</p><p>05.</p><p>A)</p><p>CV2</p><p>2</p><p>2</p><p>B) V</p><p>C</p><p>= V</p><p>2</p><p>C) V V V</p><p>V I</p><p>V V</p><p>R</p><p>I</p><p>R</p><p>R R</p><p>R</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 20</p><p>0</p><p>= −</p><p>= =</p><p>−</p><p>=</p><p>,</p><p>( )</p><p>06.</p><p>A) 10–2 Ω · m</p><p>B) 102 s</p><p>07.</p><p>εAU</p><p>d</p><p>2</p><p>22 ⋅</p><p>08.</p><p>A) Os tempos são iguais.</p><p>B) Imediatamente após o fechamento da chave A; 75 mC.</p><p>C) 1 mJ</p><p>10.</p><p>A) 120 nC e 720 nC.</p><p>B) 6 V.</p><p>C) 360 nJ.</p><p>11.</p><p>A) 12 mC</p><p>B) 0,4 W</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: DAWISON SAMPAIO – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: RENAN – REV.: JARINA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>PROFESSOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>ASSUNTO: CAMPO MAGNÉTICO</p><p>FRENTE: FÍSICA III</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>AULAS 46 A 48</p><p>EAD – ITA</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>Desde a antiguidade, por volta de 2500 anos atrás, muitos</p><p>fenômenos magnéticos já eram conhecidos. Algumas pedras de</p><p>magnetita (Fe</p><p>3</p><p>O</p><p>4</p><p>) podiam atrair outras amostras ferromagnéticas,</p><p>como pequenos pedaços de ferro.</p><p>(O nome deriva de uma região da Ásia Menor, mais precisamente</p><p>no oeste da Turquia, em que tais pedras foram encontradas, Magnésia).</p><p>Percebeu-se que, através destas pedras, que passaram a ser chamadas</p><p>de ímãs, era possível magnetizar (imantar) certos materiais, como o</p><p>próprio ferro, que também passavam a funcionar como ímãs.1</p><p>N</p><p>N</p><p>S</p><p>S</p><p>F</p><p>F F</p><p>F</p><p>Figura 1: um prego de ferro sendo</p><p>imantado por um ímã permanente.</p><p>Atualmente, conhecemos e explicamos várias propriedades</p><p>através de teorias microscópicas bem solidifi cadas.</p><p>Os polos de um ímã</p><p>O ímã pode ser dividido rigorosamente em duas partes, ou seja,</p><p>duas regiões onde o magnetismo é mais pronunciado. Estas regiões</p><p>denominam-se polos do ímã. O nome dado aos polos do ímã decorre</p><p>das propriedades magnéticas da Terra, pois, ao suspendermos um ímã,</p><p>um de seus polos sempre tende a se alinhar com o norte geográfi co</p><p>da Terra. Este polo é o norte magnético do ímã. O outro polo é o sul</p><p>magnético do ímã.</p><p>1 A palavra ímã deriva do francês (aimant, aquele que ama) devido ao fato de atração</p><p>destes materiais.</p><p>SS</p><p>NN</p><p>Polo norte geográfico</p><p>Sul magnético</p><p>Bússola</p><p>Linhas do campo</p><p>magnético</p><p>O campo magnético</p><p>da Terra tem forma similar</p><p>ao campo produzido por uma</p><p>barra magnética</p><p>Norte magnéticoPolo sul geográfico</p><p>Figura 2: representação do alinhamento de uma agulha magnética sob</p><p>infl uência do campo terrestre.</p><p>Princípios básicos</p><p>Atração e repulsão de polos</p><p>Análogo ao princípio de atração e repulsão da eletrostática,</p><p>no magnetismo podemos, afi rmar que: “Polos diferentes se atraem e</p><p>polos iguais se repelem.”</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>N N</p><p>S</p><p>S S</p><p>N S</p><p>N S</p><p>S</p><p>S</p><p>NSF</p><p>F</p><p>F</p><p>F</p><p>F</p><p>F</p><p>F</p><p>F</p><p>(a) Atração de polos opostos.</p><p>(b) Repulsão de polos iguais.</p><p>Figura 3: representação do Princípio de Atração</p><p>para polos diferentes.</p><p>Inseparabilidade dos polos magnéticos</p><p>Diferente da eletricidade em que os “polos” (cargas positivas</p><p>e negativas) podem ser encontradas isoladamente, no magnetismo</p><p>não é possível separar os polos norte e sul, ou seja, não há monopólio</p><p>magnético na natureza.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>Matematicamente, escreve-se que:</p><p>Tente dividir um ímã ao meio. O resultado é que não se</p><p>consegue separar seus polos e nessa divisão obteremos novos ímãs</p><p>completos.</p><p>S N</p><p>(A) (B)</p><p>S SN N</p><p>Figura 4: um ímã, ao ser dividido (A), gera dois novos ímãs (B).</p><p>Campo magnético de um ímã</p><p>Podemos defi nir campo magnético como a região do espaço</p><p>em torno de um ímã (ou de um condutor percorrido por corrente</p><p>elétrica, como veremos posteriormente)2 onde são exercidas forças</p><p>de origem magnética.</p><p>A cada ponto do campo magnético, associaremos um Vetor</p><p>B</p><p>�</p><p>chamado vetor indução magnética.</p><p>Para verifi car a atuação deste campo e identifi car sua direção,</p><p>usamos uma agulha magnética, colocada em um ponto do campo</p><p>magnético, ela irá se orientar na direção do vetor B</p><p>�</p><p>com o polo norte</p><p>da agulha apontando no sentido de B</p><p>�</p><p>.3</p><p>N</p><p>S</p><p>B</p><p>Figura 5 : agu lha magnét ica</p><p>(ímã de prova) indicando a direção e</p><p>o sentido de B</p><p>�</p><p>(o norte da bússola é</p><p>normalmente pintado).</p><p>Observação:</p><p>Linha de indução é a linha que, em cada ponto, é tangente</p><p>à direção do campo e orientada no seu sentido.</p><p>Perceba que se a linha de indução (linha de força do campo</p><p>magnético) dá a direção da indução magnética naquele ponto B</p><p>�</p><p>,</p><p>obviamente uma agulha magnética orienta-se sempre segundo as</p><p>linhas de indução do campo.</p><p>Colocando-se um ímã de barra, por exemplo, coberto com uma</p><p>folha</p><p>de papel e, em seguida, espalhando-se limalha de ferro sobre o</p><p>papel, veremos que a limalha se coloca segundo as linhas de força do</p><p>ímã, como mostra a fi gura 6.</p><p>Sa</p><p>st</p><p>yp</p><p>ho</p><p>to</p><p>s/</p><p>12</p><p>3R</p><p>F/</p><p>Ea</p><p>sy</p><p>pi</p><p>x</p><p>Figura 6: imagem anterior é a representação</p><p>esquemática do formato das linhas de indução</p><p>de um ímã em barra, obtida com limalha de ferro.</p><p>2 Veremos que carga elétrica em movimento também gera campo magnético.</p><p>3 Como na eletrostática, o elemento de prova (lá uma carga, aqui um imã) deve ter pro-</p><p>priedades (elétricas ou magnéticas) débeis o sufi ciente para não modifi car o campo</p><p>antes existente.</p><p>Mantendo nossa convenção, observe que, como polos</p><p>diferentes se atraem, podemos deduzir facilmente que as linhas de</p><p>indução magnética saem do ímã pelo polo norte e entram no ímã</p><p>pelo polo sul.</p><p>S N</p><p>Figura 7: orientação das linhas de indução de um ímã em barra.</p><p>Toda linha de campo magnético é fechada. Representamos</p><p>isso matematicamente segundo a expressão:</p><p>∇ =B</p><p>�</p><p>0</p><p>O divergente do campo magnético é zero. Ou seja, o número</p><p>de linhas de campo que saem de um ponto no espaço é igual ao</p><p>número que chega no mesmo ponto. Na eletrostática isso não existia,</p><p>pois existem monopólios elétricos (criadouros ou sumidouros de linhas</p><p>de campo elétrico).</p><p>Observação:</p><p>Até hoje não foi encontrado nenhum monopólio</p><p>magnético.</p><p>Algumas confi gurações produzem campos diferentes, como</p><p>este caso:</p><p>B</p><p>B</p><p>�</p><p>B</p><p>�</p><p>Figura 8: Material gerando um campo constante.</p><p>Verifi camos que as linhas de indução do campo produzido</p><p>entre as faces deste ímã são linhas praticamente paralelas.</p><p>Temos então um campo de muita importância no nosso estudo,</p><p>chamado campo magnético uniforme, ou seja, em todos os pontos o</p><p>vetor B</p><p>�</p><p>é o mesmo, isto é, tem mesma direção, mesma intensidade</p><p>e mesmo sentido. Atente para os efeitos de borda, mas não nos</p><p>preocuparemos com isto.</p><p>Unidades de campo magnético</p><p>No SI, a unidade de indução magnética (B) é o Tesla (T)</p><p>e, no CGS, é o Gauss. A relação entre eles é: 1T = 104 gauss.</p><p>A dimensão de B é dada por [B] = MQ−1 T−1, como poderemos mostrar</p><p>posteriormente.</p><p>Lei de Biot-Savart</p><p>Conta a história que a descoberta da relação entre cargas em</p><p>movimento e campos magnéticos foi acidental. Um professor de física</p><p>dinamarquês, de nome Hans Christian Oersted, tentava demonstrar,</p><p>justamente, a ausência de relação entre eletricidade e magnetismo.</p><p>Ao ligar uma corrente nas vizinhanças de uma agulha magnetizada,</p><p>Oersted fi cou absolutamente perplexo, ao ver que uma força bastante</p><p>intensa havia surgido, fazendo a agulha oscilar fortemente. Mais uma</p><p>vez a sorte triunfa na física.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>Um elemento de corrente é definido da seguinte</p><p>forma: seja um longo condutor percorrido por uma corrente i.</p><p>Neste condutor, tomamos um elemento de comprimento ds</p><p>�</p><p>, orientado</p><p>no sentido da corrente. O elemento de corrente correspondente</p><p>será o produto ids</p><p>�</p><p>.</p><p>i</p><p>sd</p><p>�</p><p>Figura 9: elemento de corrente.</p><p>Observação:</p><p>Um elemento de corrente é um vetor que têm módulo igual</p><p>a ids e direção e sentido determinados pela corrente que percorre</p><p>o condutor.</p><p>A primeira lei que nos dá o campo magnético gerado por</p><p>uma corrente elétrica é a Lei de Biot-Savart, que é uma lei empírica.</p><p>Esta lei nos diz que um elemento de corrente produz, em um</p><p>ponto P do espaço, um campo magnético elementar, denominado</p><p>indução magnética (d B</p><p>�</p><p>), tal que:</p><p>dB i</p><p>ds e</p><p>r</p><p>r</p><p>�</p><p>� �</p><p>= ⋅µ</p><p>π</p><p>0</p><p>24</p><p>Lei de Biot-Savart</p><p>Em que er</p><p>�</p><p>é o versor na direção da reta que une o elemento</p><p>de corrente ao ponto P e µ</p><p>0</p><p>é chamada de permeabilidade do vácuo</p><p>(µ</p><p>0</p><p>= 4π · 10−7 T m/A). A fi gura a seguir mostra a relação entre os</p><p>vetores dB</p><p>�</p><p>, ds</p><p>�</p><p>e er</p><p>�</p><p>:</p><p>X</p><p>θθ ds</p><p>r</p><p>r</p><p>indB</p><p>outdB</p><p>P’</p><p>P</p><p>r</p><p>I</p><p>^</p><p>^</p><p>Figura 10: relação entre os vetores dB, ds e er</p><p>� � �</p><p>.</p><p>Como a indução magnética é defi nida como um produto</p><p>vetorial, o campo elementar dB</p><p>�</p><p>no ponto P tem as seguintes</p><p>características:</p><p>Módulo</p><p>dB i</p><p>ds sen</p><p>r</p><p>=</p><p>⋅µ</p><p>π</p><p>α0</p><p>24</p><p>Direção</p><p>Perpendicular ao plano contendo o ponto P e o elemento de</p><p>corrente ids.</p><p>Sentido</p><p>Dado pela “regra (I) da mão direita”, isto é, “se tentarmos</p><p>segurar com a mão direita um condutor através do qual passa uma</p><p>corrente elétrica, dispondo o polegar no sentido positivo da corrente,</p><p>os outros dedos nos darão o sentido das linhas de indução.”</p><p>(B)(A) Sentido das linhas</p><p>da indução magnética</p><p>Regra (l)</p><p>da mão</p><p>direita</p><p>Sentido da</p><p>corrente dB</p><p>�</p><p>ids</p><p>�</p><p>Figura 11: A) regra da mão direita.</p><p>B) sentido das linhas de campo produzidas por um</p><p>elemento de corrente em um fi o infi nito.</p><p>Se quisermos conhecer a indução magnética total, basta</p><p>integrarmos a expressão de dB</p><p>�</p><p>, ao longo de todo o circuito:</p><p>B dB i</p><p>ds e</p><p>r</p><p>r</p><p>� �</p><p>� �</p><p>= =</p><p>⋅</p><p>∫ ∫</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>24</p><p>Utilizaremos as seguintes notações para indicar o sentido</p><p>perpendicular à folha:</p><p>� Saindo da folha (apontando para você);</p><p>⊗ Entrando na folha (contrário a você).</p><p>Aplicações</p><p>(I) Campo produzido por um condutor muito longo percorrido</p><p>por uma corrente i.</p><p>Sabemos que a indução magnética elementar em P, devido ao</p><p>elemento de correntes ids</p><p>�</p><p>é simplesmente:</p><p>dB i</p><p>ds e</p><p>r</p><p>r</p><p>�</p><p>� �</p><p>=</p><p>⋅µ</p><p>π</p><p>0</p><p>24</p><p>dB i</p><p>ds sen</p><p>r</p><p>=</p><p>⋅µ</p><p>π</p><p>α0</p><p>24</p><p>P</p><p>d</p><p>S</p><p>α</p><p>e</p><p>r</p><p>ids</p><p>i</p><p>dB</p><p>β</p><p>r</p><p>Figura 12: campo magnético gerado por um</p><p>condutor retilíneo.</p><p>Como todos os elementos de corrente produzirão campos</p><p>elementares em P de mesma direção e sentido, a soma destes campos</p><p>elementares, que é uma integral, pode ser feita como se somássemos</p><p>escalares.</p><p>B dB</p><p>i ds sen</p><p>r</p><p>= =∫ ∫</p><p>µ</p><p>π</p><p>α0</p><p>24</p><p>Mas, tgβ =</p><p>s</p><p>d</p><p>. Daí: sec</p><p>cos</p><p>2</p><p>2</p><p>1β</p><p>β</p><p>β</p><p>β</p><p>= → = ⋅ds</p><p>d d</p><p>ds</p><p>d d</p><p>Além disso, sen α = cos β e r =</p><p>d</p><p>cos</p><p>,</p><p>β</p><p>portanto:</p><p>B</p><p>i</p><p>d</p><p>d d i</p><p>d</p><p>d= ⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>−∫ ∫</p><p>µ β</p><p>β</p><p>β</p><p>β</p><p>µ</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>β β0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>4 4</p><p>2</p><p>2</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>Finalmente, resolvendo a integral, temos:</p><p>B</p><p>i</p><p>d</p><p>=</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>2</p><p>é a indução magnética devido a um condutor retilíneo muito longo.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>Espira circular</p><p>(II) Calculemos o campo magnético em um ponto P no eixo de</p><p>uma espira circular.</p><p>d</p><p>α</p><p>α</p><p>P</p><p>dB</p><p>dBx</p><p>ids</p><p>i</p><p>0</p><p>R</p><p>r</p><p>e</p><p>r</p><p>Figura 13: campo magnético gerado por um condutor circular.</p><p>dB i</p><p>ds e</p><p>r</p><p>dB</p><p>i</p><p>r</p><p>dsr=</p><p>⋅</p><p>→ =</p><p>µ</p><p>π</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>24 4</p><p>� �</p><p>Por uma razão de simetria, os componentes dBy</p><p>�</p><p>se cancelam e</p><p>a indução magnética total resultará exclusivamente da soma (integral)</p><p>dos componentes dBx</p><p>�</p><p>:</p><p>B dB dB senx= =∫ ∫ α</p><p>Como r e sen α são constantes, podemos pô-los para fora da</p><p>integral, e o problema se reduz a:</p><p>B</p><p>i</p><p>r</p><p>sen ds= ∫</p><p>µ</p><p>π</p><p>α0</p><p>24</p><p>Mas sen</p><p>R</p><p>r</p><p>e r R d e dsα π= = + =∫, 2 2 2 2 R:</p><p>B</p><p>i R</p><p>R d</p><p>=</p><p>+( )</p><p>µ0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>é a indução magnética em um ponto qualquer do eixo de uma</p><p>espira circular. No centro da espira, d = 0 e o campo magnético</p><p>é:</p><p>B</p><p>i</p><p>R</p><p>=</p><p>µ0</p><p>2</p><p>Para pontos muito afastados, d>>R e, neste caso,</p><p>temos:</p><p>B</p><p>i R</p><p>d</p><p>= µ0</p><p>2</p><p>32</p><p>Como é o aspecto das linhas de indução?</p><p>B</p><p>�</p><p>Figura 14: linhas de indução geradas</p><p>por uma corrente em uma espira circular.</p><p>Podemos encontrar o sentido do campo gerado por uma espira</p><p>usando a regra (I) ou a regra (II) da mão direita, representada a seguir:</p><p>Sentido da</p><p>corrente</p><p>Sentido B</p><p>Regra (II)</p><p>da mão</p><p>direita</p><p>Figura 15: regra da mão direita (II).</p><p>Pela Figura 15, percebemos que o campo gerado por uma espira</p><p>tem o aspecto de um campo de dipolo, como o do ímã em barra.</p><p>Assim sendo, podemos atribuir a uma espira circular um polo</p><p>norte e um polo sul, como em um ímã.</p><p>Bobina chata</p><p>(III) Uma bobina é obtida pela justaposição de N espiras circulares</p><p>iguais. Para uma bobina chata, ou seja, de comprimento L << R,</p><p>o campo sobre o centro da bobina será N vezes o campo de</p><p>uma única espira.</p><p>Daí:</p><p>B N</p><p>i</p><p>R</p><p>=</p><p>µ0</p><p>2</p><p>N espiras</p><p>i i</p><p>BR</p><p>L</p><p>�����������</p><p>Figura 16: bobina chata (L<<R).</p><p>Lei de Ampère</p><p>A outra lei que pode descrever o campo magnético gerado por</p><p>uma corrente elétrica é a lei circuital de Ampère. Esta lei é dedutível,</p><p>mas o formalismo matemático é muito complicado. Na seção seguinte,</p><p>encontraremos o vetor indução magnética gerado por um circuito</p><p>particular (condutor retilíneo infi nitamente longo) usando tanto a Lei</p><p>de Biot-Savart como a Lei de Ampère, verifi cando a equivalência de</p><p>resultados.</p><p>A Lei circuital de Ampère pode ser enunciada deste modo:</p><p>“a integral de circuitação da indução magnética ao longo de uma</p><p>curva C é proporcional à corrente enlaçada por esta curva, tendo a</p><p>permeabilidade magnética como constante de proporcionalidade”.</p><p>Este resultado é absolutamente geral e, do ponto de vista</p><p>matemático, representa-se como segue:</p><p>B d i</p><p>� �</p><p>�� ⋅ =∫ µ0</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>A seguir, exemplifi camos o uso da Lei de Ampère:</p><p>a)</p><p>C</p><p>1</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>3</p><p>i</p><p>4</p><p>i</p><p>5</p><p>B d i i i</p><p>� �</p><p>�� ⋅ = + +( )∫ µ0 1 2 4</p><p>C</p><p>2</p><p>b)</p><p>B d</p><p>� �</p><p>�� ⋅ =∫ 0</p><p>Figura 17: exemplo de aplicação de lei circuital de Ampère.</p><p>Observe que, na Figura 17 (a), as correntes i</p><p>1</p><p>, i</p><p>2</p><p>e i</p><p>4</p><p>são</p><p>envolvidas pela curva C</p><p>1</p><p>, o que não acontece com as correntes i</p><p>3</p><p>e</p><p>i</p><p>5</p><p>. Já na Figura 17 (b), como nenhuma corrente é enlaçada pela curva</p><p>C</p><p>2</p><p>, a integral de circuitação de B</p><p>�</p><p>torna-se nula.</p><p>No caso particular em que, ao longo da curva C, o vetor indução</p><p>magnética é constante e na mesma direção do C B</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>/ / d( ) , temos:</p><p>B i B</p><p>i</p><p>�</p><p>�</p><p>= → =µ</p><p>µ</p><p>0</p><p>0</p><p>Aplicações</p><p>Condutor retilíneo muito longo</p><p>É fácil verifi car que, no caso de um condutor retilíneo infi nito,</p><p>existe uma simetria cilíndrica perfeita. Escolheremos como “caminho”,</p><p>para efetuar a integral de linha, uma circunferência de raio d contida</p><p>em um plano perpendicular ao condutor e atravessada por este no</p><p>seu centro:</p><p>B i</p><p>BB</p><p>d�</p><p>B</p><p>C</p><p>d</p><p>θ</p><p>Figura 18</p><p>Aplicação da lei de Ampère no cálculo do campo</p><p>magnético gerado por uma corrente em um fi o infi nito</p><p>Segundo a Lei de Ampére, temos B d i</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ⋅ =∫ µ0 ao longo da</p><p>curva C, dita curva amperiana.</p><p>Podemos resolver facilmente esta integral, pois B</p><p>�</p><p>e d�</p><p>�</p><p>estão</p><p>sempre na mesma direção e sentido, e B</p><p>�</p><p>tem o módulo constante ao</p><p>longo da curva C.</p><p>Daí:</p><p>B d Bd B d B i</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �� ��∫ ∫∫⋅ = = = = µ0</p><p>Mas � = 2πd é o comprimento da circunferência.</p><p>Daí, concluímos que:</p><p>B d i B</p><p>i</p><p>d</p><p>⋅ = → =2</p><p>2</p><p>0</p><p>0π µ</p><p>µ</p><p>π</p><p>O que concorda perfeitamente com o resultado obtido pela</p><p>Lei de Biot-Savart, através de um caminho mais simples.</p><p>Campo gerado por um solenoide</p><p>Um solenoide ou bobina longa é um condutor enrolado em</p><p>espiras iguais, uma ao lado da outra e igualmente espaçadas.</p><p>Quando uma corrente i circula no solenoide, cria-se no interior</p><p>do mesmo um campo praticamente uniforme e, no exterior, um campo</p><p>praticamente nulo:</p><p>DD</p><p>��</p><p>didi</p><p>CC ii</p><p>ii</p><p>ii</p><p>ii</p><p>BBBBAA</p><p>ii</p><p>Figura 19: corte longitudinal de um solenoide.</p><p>O solenoide, que aparece cortado, gera um campo no seu</p><p>interior que pode ser calculado facilmente pela Lei circuital de Ampère.</p><p>Escolheremos o caminho mostrado na fi gura anterior.</p><p>• Entre A e B, B</p><p>�</p><p>e d�</p><p>�</p><p>têm a mesma direção e sentido, logo,</p><p>B d Bd</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�⋅ = .</p><p>• Entre B e C, B e d</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>são perpendiculares, e ,Bd</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>= 0.</p><p>• Entre C e D, o campo B</p><p>�</p><p>se anula e B d</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>⋅ = 0.</p><p>• Entre D e A, B e d</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>são novamente perpendiculares, e B d</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>⋅ = 0.</p><p>Daí:</p><p>B B d B d B d B d Bd B d B ni</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �� ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ µ0</p><p>Onde � é o comprimento do segmento AB e n é o número de</p><p>espiras contido neste comprimento, fi nalmente, temos:</p><p>B</p><p>n</p><p>i= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>µ0 �</p><p>é o campo uniforme no interior do solenoide.</p><p>Veja que se, de fato, as espiras forem igualmente espaçadas,</p><p>a grandeza</p><p>n</p><p>�</p><p>é uma constante, e, neste caso,</p><p>n N</p><p>L�</p><p>= ,onde N é o</p><p>número total de espiras e L é o comprimento do solenoide.</p><p>Portanto:</p><p>B</p><p>N</p><p>L</p><p>i= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>µ0</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>Teoria microscópica do magnetismo</p><p>Sabemos que, no interior do átomo, existem partículas</p><p>carregadas que realizam vários tipos de movimentos. Identifi caremos</p><p>três importantes fontes de magnetismo no interior do átomo.</p><p>Movimento dos elétrons ao redor do núcleo</p><p>Corresponde a uma “espira” de corrente (admitindo-se as órbitas</p><p>eletrônicas como quase circulares, modelo semiclássico). Normalmente,</p><p>fenômenos magnéticos associados a esse movimento só aparecem</p><p>quando é aplicado um campo magnético externo à matéria.</p><p>Spin do elétron</p><p>Pode ser comparado a uma rotação do elétron em torno de</p><p>si mesmo, o que faz com que cada elétron atue como um pequeno</p><p>ímã. Em geral, é a principal causa dos fenômenos magnéticos</p><p>verifi cados macroscopicamente, o que acontece quando há elétrons</p><p>desemparelhados na estrutura atômica.</p><p>(A)</p><p>(B) (D)</p><p>(C)</p><p>B</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>B</p><p>B</p><p>Figura: 20: elétrons emparelhados (A) giram em sentidos</p><p>contrários e produzem campos magnéticos que se</p><p>anulam (B). Elétrons desemparelhados (C) produzem</p><p>campos magnéticos que podem gerar efeitos verifi cados</p><p>macroscopicamente.</p><p>Ampère foi o primeiro que sugeriu que estes materiais tinham</p><p>propriedades magnéticas por serem dotados de um número muito</p><p>grande de minúsculas correntes elétricas (correntes amperianas)</p><p>logo que constatou-se a relação entre campo magnético e cargas</p><p>em movimentos. Em grande parte, a teoria de Ampère é verdadeira</p><p>e o fenômeno conhecido por imantação nada mais é do que o</p><p>alinhamento dessas correntes, fazendo com que os campos magnéticos</p><p>por elas produzidos se somem. Nos materiais não imantados, as</p><p>correntes estão ao acaso e o campo total é nulo.</p><p>As correntes amperianas correspondem aos movimentos dos elétrons,</p><p>que vimos anteriormente.</p><p>V</p><p>V</p><p>e− e−</p><p>N</p><p>N</p><p>S</p><p>S</p><p>Figura 21</p><p>Mas uma pergunta ainda permanece: por que certos materiais</p><p>possuem um magnetismo tão pronunciado?</p><p>Tomemos, por exemplo, o ferro. O ferro tem um subnível 3d</p><p>com vários elétrons desemparelhados:</p><p>• Disposição dos elétrons do subnível 3d6 do ferro, segundo a “regra de Hund”.</p><p>Isto corresponde ao fato de que cada átomo de ferro é um</p><p>dipolo magnético permanente, ou seja, um pequeno ímã.</p><p>Quando um material apresenta dipolos magnéticos</p><p>permanentes, como é o caso do ferro, a ação de um campo externo</p><p>faz com que os dipolos, antes distribuídos ao acaso, se alinhem,</p><p>produzindo a imantação. Os dipolos, uma vez alinhados, podem</p><p>permanecer nessa situação mesmo quando o campo externo é retirado.</p><p>Este fenômeno é dito ferromagnetismo e, além do ferro, também</p><p>caracteriza materiais como o cobalto e o níquel.</p><p>B campo externoext</p><p>�</p><p>=</p><p>B campo de imanta o</p><p>�</p><p>int = çã</p><p>B = 0</p><p>B ≠ 0</p><p>Figura 22</p><p>A agitação térmica pode desmagnetizar um corpo anteriormente</p><p>imantado, tornando a distribuição dos dipolos magnéticos aleatória</p><p>novamente.</p><p>Vale salientar que não basta existirem dipolos magnéticos</p><p>permanentes para que exista ferromagnetismo.</p><p>São duas as condições necessárias:</p><p>• Os átomos têm elétrons desemparelhados, ou seja, em órbitas de</p><p>rotação em torno de si mesmos cujos efeitos magnéticos não se</p><p>anulam.</p><p>• As forças entre átomos vizinhos são tais que os átomos tendem</p><p>a se alinharem todos em um mesmo sentido, o que só pode ser</p><p>explicado de maneira completa no terreno da física quântica.</p><p>Quando apenas a primeira condição é cumprida, há dipolos</p><p>magnéticos permanentes que se alinham com o campo externo, mas</p><p>quando este é retirado, a posição destes dipolos volta a ser aleatória.</p><p>Materiais com essas características constituem o fenômeno do</p><p>paramagnetismo. Alguns materiais paramagnéticos são o alumínio,</p><p>o tungstênio, o oxigênio etc.</p><p>Tanto os materiais ferromagnéticos quanto os paramagnéticos</p><p>produzem campos de magnetização favoráveis ao campo externo.</p><p>Diamagnetismo</p><p>Alguns materiais, porém, produzem campos contrários ao</p><p>campo externo, fenômeno conhecido como diamagnetismo. O cobre,</p><p>o mercúrio, a prata, o nitrogênio e outros são materiais diamagnéticos.</p><p>Considere dois elétrons com spins antiparalelos girando em</p><p>sentidos opostos em um átomo, à mesma distância do núcleo.</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>MÓDULO</p><p>DE ESTUDO</p><p>B</p><p>Elétron 1</p><p>Elétron 22F</p><p>2</p><p>s</p><p>L1µ</p><p>L2µ</p><p>1V</p><p>2V</p><p>1F</p><p>1S</p><p>Figura 23</p><p>Se um campo externo B é aplicado perpendicularmente ao</p><p>plano da órbita dos dois elétrons, a força centrípeta a que o elétron 1</p><p>está sujeito diminui da força eletrostática para (F</p><p>eletrostática</p><p>– F</p><p>magnética</p><p>)</p><p>e, para manter a mesma distância do núcleo, o elétron passa a</p><p>se mover mais devagar, o que diminui seu momento magnético</p><p>orbital, que tem o mesmo sentido que B. Ao mesmo tempo,</p><p>a força centrípeta a que o elétron 2 está submetido aumenta para</p><p>(F</p><p>eletrostática</p><p>+ F</p><p>magnética</p><p>) e, para manter a mesma distância do núcleo, o</p><p>elétron passa a se mover mais depressa, o que aumenta seu momento</p><p>magnético orbital, que tem o sentido oposto ao de B. O resultado</p><p>é que a soma dos momentos magnéticos orbitais dos dois elétrons,</p><p>que era nula na ausência de campo B, passa a ter um valor diferente</p><p>de zero no sentido oposto ao de B.</p><p>Permeabilidade magnética</p><p>Uma grandeza que serve para identifi car as características</p><p>magnéticas de um material é a sua permeabilidade magnética absoluta</p><p>(µ).</p><p>Como já vimos, para o vácuo a permeabilidade absoluta vale:</p><p>µ0 = 4π · 10−7 T · m/A.</p><p>Podemos, para cada material, comparar a sua permeabilidade</p><p>absoluta com a do vácuo, defi nindo a permeabilidade magnética</p><p>relativa (µ</p><p>r</p><p>), dada por:</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µr =</p><p>0</p><p>• Para materiais diamagnéticos, µ</p><p>r</p><p><1.</p><p>• Para materiais paramagnéticos, µ</p><p>r</p><p>>1.</p><p>• Para materiais ferromagnéticos, µ</p><p>r</p><p>>> 1.</p><p>A tabela a seguir representa a permeabilidade magnética de</p><p>alguns materiais.</p><p>Fe</p><p>rr</p><p>o</p><p>m</p><p>ag</p><p>n</p><p>ét</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>Materiais</p><p>Permeabilidade</p><p>Relativa</p><p>Ferro (recozido) 5,5 · 109</p><p>Ferro (–96%) – Silício (3%) 8,0 · 103</p><p>Permalloy – Fe (55%) – Ni (45%) 5,0 · 104</p><p>Mumetal – Ni (77%) – Fe (16%)</p><p>Cu (5%) – Cr (2%)</p><p>1,5 · 105</p><p>Permendur – Co (50%) – Fe (50%) 6,0 · 103</p><p>Pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ag</p><p>n</p><p>ét</p><p>ic</p><p>o</p><p>s Alumínio 1,000021</p><p>Magnésio 1,000012</p><p>Tungstênio 1,000076</p><p>Titânio 1,000180</p><p>Oxigênio (1 atm) 1,0000019</p><p>D</p><p>ia</p><p>m</p><p>ag</p><p>n</p><p>ét</p><p>ic</p><p>o Cobre 0,999990</p><p>Diamante 0,999978</p><p>Ouro 0,999965</p><p>Cloreto de Gadolínio (GdC�</p><p>3</p><p>) 0,99397</p><p>A garrafa magnética</p><p>O que aconteceria com a trajetória de uma partícula carregada, se</p><p>fosse lançada obliquamente em um campo não uniforme? Suponhamos</p><p>que uma partícula seja lançada em um campo cuja intensidade vai</p><p>aumentando signifi cativamente à medida que nos afastamos do centro,</p><p>conforme ilustra a fi gura seguinte.</p><p>V</p><p>��</p><p>B</p><p>�</p><p>V</p><p>��</p><p>V</p><p>��</p><p>B</p><p>�</p><p>B</p><p>�F</p><p>�</p><p>F</p><p>�</p><p>F</p><p>�</p><p>F</p><p>�</p><p>F</p><p>�</p><p>Figura 24</p><p>O raio da trajetória descrita é inversamente proporcional à</p><p>intensidade do campo magnético. Então, conforme a partícula se</p><p>afasta da região central, vai diminuindo o raio da hélice descrita por</p><p>ela. Além disso, devido à mudança de direção das linhas de campo</p><p>magnético, a força magnética vai se inclinando em relação à situação</p><p>inicial e, eventualmente, a partícula poderá retornar à região central,</p><p>deslocar-se para o outro extremo e novamente retornar, fi cando</p><p>aprisionada como se estivesse no interior de uma garrafa invisível, a</p><p>garrafa magnética.</p><p>A contenção magnética surgiu como uma solução natural</p><p>para o aprisionamento de matéria em temperaturas muito altas. Por</p><p>exemplo, um plasma a 6000 K; nenhuma garrafa material suportaria</p><p>essa temperatura.</p><p>A</p><p>rt</p><p>e</p><p>FB</p><p>Polo</p><p>Norte</p><p>Partículas carregadas</p><p>provindas do Sol</p><p>que entram no campo</p><p>magnético da Terra.</p><p>Prótons capturados</p><p>nos cinturões de</p><p>radiação mais</p><p>internos.</p><p>Elétrons capturados</p><p>nos cinturões de</p><p>radiação mais</p><p>externos.</p><p>Polo</p><p>Sul</p><p>Figura 25</p><p>O campo magnético da Terra se assemelha ao do exemplo</p><p>anterior. As linhas de campo vão fi cando mais próximas conforme nos</p><p>aproximamos dos polos. Partículas carregadas trazidas pelo “vento</p><p>solar” são recebidas em toda atmosfera superior de nosso planeta,</p><p>mas a ação do campo magnético torna a concentração dessas</p><p>partículas muito maior nas regiões polares. Tempestades magnéticas</p><p>ocasionalmente injetam partículas carregadas para dentro da parte mais</p><p>alta da atmosfera a altas latitudes, formando as conhecidas auroras</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>— a boreal e a austral. Devido à inclinação do eixo da Terra, essas auroras</p><p>são mais prováveis nos períodos de inverno de cada hemisfério.</p><p>Jo</p><p>ha</p><p>nn</p><p>R</p><p>ag</p><p>na</p><p>rs</p><p>so</p><p>n/</p><p>12</p><p>3R</p><p>F/</p><p>Ea</p><p>sy</p><p>pi</p><p>x</p><p>Ra</p><p>tt</p><p>ap</p><p>on</p><p>W</p><p>an</p><p>na</p><p>ph</p><p>at</p><p>/1</p><p>23</p><p>RF</p><p>/E</p><p>as</p><p>yp</p><p>ix</p><p>Aurora boreal sobre a península de</p><p>Reykjanes, Islândia.</p><p>Fuga de estrelas e aurora austral, em</p><p>Lake Tekapo, Nova Zelândia.</p><p>Figura 26</p><p>O campo magnético gerado pela Terra</p><p>O magnetismo da Terra é atribuído a movimentos da parte líquida</p><p>no núcleo, movimentos esses causados por diferença de temperatura</p><p>no centro da Terra. O movimento de rotação orientaria essas correntes,</p><p>produzindo movimentos de elétrons, e seus efeitos magnéticos somados</p><p>criariam como resultante o magnetismo da Terra.</p><p>A Terra se comporta como um gigantesco ímã, com o polo</p><p>sul magnético junto ao norte geográfi co, e o norte magnético junto</p><p>ao sul geográfi co.</p><p>Observação:</p><p>Na realidade, o campo magnético se deforma em virtude</p><p>do “vento solar” (partículas ionizadas e radiação eletromagnética</p><p>provenientes do Sol). Magnetopausa é a região em torno da</p><p>magnetosfera, na qual o vento solar não consegue penetrar.</p><p>SolSol</p><p>Vento SolarVento Solar</p><p>MagnetopausaMagnetopausa</p><p>TerraTerra</p><p>Linhas de campo magnéticoLinhas de campo magnético</p><p>Figura 27: Campo magnético terrestre modifi cado pelo vento solar.</p><p>Elementos do campo magnético terrestre</p><p>Consideremos um ponto A qualquer da cidade de São Paulo.</p><p>Por este ponto passa um Meridiano Geográfi co, ou seja, um plano</p><p>que corta a Terra, seguindo um círculo que contém o ponto A,</p><p>a direção da vertical em A e os polos geográfi cos. Se colocarmos,</p><p>porém, uma agulha magnética suspensa pelo seu centro de gravidade</p><p>no ponto A, veremos que a vertical do lugar e o eixo da agulha</p><p>determinam um plano chamado meridiano magnético.</p><p>Meridiano geográfico</p><p>Meridiano magnético</p><p>δ</p><p>m</p><p>δ</p><p>m</p><p>Ra</p><p>di</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>ol</p><p>ar</p><p>Te</p><p>rm</p><p>in</p><p>ad</p><p>ou</p><p>ro</p><p>s</p><p>ol</p><p>ar</p><p>Figura 28</p><p>Esquema mostrando o alinhamento entre o terminadouro solar e o meridiano</p><p>magnético. A linha tracejada representa o meridiano geográfico, a linha contínua o</p><p>meridiano magnético, a fronteira entre a região clara e a região escura representa o</p><p>terminadouro solar e δ</p><p>m</p><p>é a declinação magnética. Adaptação da fi gura de Pimenta (2002).</p><p>O ângulo formado pelo meridiano magnético (orientação</p><p>da bússola) com o meridiano geográfi co tem o nome de declinação</p><p>magnética.</p><p>SM</p><p>NG</p><p>(Meridiano</p><p>geográfico)</p><p>θ</p><p>Figura 29</p><p>A declinação é chamada Oeste (WEST, W) quando o ângulo (θ)</p><p>está para esquerda do meridiano geográfi co, e Leste (EAST, E) quando</p><p>está à direita do meridiano geográfi co.</p><p>A declinação do ponto A em São Paulo é aproximadamente</p><p>14 ºW. Os pontos, cuja declinação magnética é igual a zero, constituem</p><p>uma linha agônica, e o conjunto de pontos de mesma declinação</p><p>magnética constitui uma linha isogônia.</p><p>Exercícios</p><p>01. (Fuvest-SP) Sobre uma mesa plana e horizontal, é colocado um ímã</p><p>em forma de barra, representado na fi gura, visto de cima, juntamente</p><p>com algumas linhas de seu campo magnético. Uma pequena bússola</p><p>é deslocada, lentamente, sobre a mesa, a partir do ponto P, realizando</p><p>uma volta circular completa em torno no ímã.</p><p>N</p><p>S</p><p>P</p><p>N e s s a s c o n d i ç õ e s ,</p><p>desconsidere o campo</p><p>magnético da Terra.</p><p>Ao fi nal desse movimento, a agulha da bússola terá completado,</p><p>em torno de seu próprio eixo, um número de voltas igual a</p><p>A)</p><p>1</p><p>4</p><p>de volta.</p><p>B)</p><p>1</p><p>2</p><p>de volta.</p><p>C) 1 volta completa.</p><p>D) 2 voltas completas.</p><p>E) 4 voltas completas.</p><p>9 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>02. (FCC-SP) A figura dada representa as linhas de indução de</p><p>um campo magnético, resultante das correntes elétricas que</p><p>circulam em dois condutores, A e B, retilíneos, paralelos entre si</p><p>e perpendiculares à página. Qual a alternativa correta?</p><p>A B</p><p>A) As correntes elétricas têm sentidos opostos.</p><p>B) Os condutores se atraem.</p><p>C) O</p><p>campo magnético na região entre os fi os é menos intenso</p><p>do que fora dessa região.</p><p>D) Na metade da distância entre os dois fi os, o campo magnético</p><p>é nulo.</p><p>E) O campo magnético entre os fi os é uniforme.</p><p>03. Um ímã em forma de barra reta, no qual os polos magnéticos</p><p>encontram-se nas extremidades, não atrai corpos ferromagnéticos</p><p>não imantados colocados em sua região central que, por isso, é</p><p>denominada zona neutra do ímã:</p><p>Este prego de</p><p>ferro cai ao ser</p><p>abandonado nesta posição.</p><p>S N</p><p>Suponha, então, que uma pessoa esteja numa sala onde não exista</p><p>nenhum utensílio. Ela recebe duas barras ferromagnéticas retas,</p><p>eletricamente neutras e de mesmas dimensões.</p><p>A) Como poderá descobrir se pelo menos uma delas está imantada?</p><p>B) Como poderá descobrir se as duas barras estão imantadas ou</p><p>apenas uma?</p><p>C) Como poderá determinar qual é a barra imantada, se a outra</p><p>não estiver?</p><p>04. (ITA) Um pedaço de ferro é posto nas proximidades de um ímã,</p><p>conforme mostra a fi gura a seguir.</p><p>S N er</p><p>Qual das afi rmativas a seguir é correta?</p><p>A) É o ímã que atrai o ferro.</p><p>B) É o ferro que atrai o ímã.</p><p>C) A atração do ferro pelo ímã é maior que a atração do ímã pelo</p><p>ferro.</p><p>D) A atração do ímã pelo ferro é maior que a atração do ferro</p><p>pelo ímã.</p><p>E) A atração do ferro pelo ímã é igual à atração do ímã pelo ferro.</p><p>05. (Fuvest) Considere um ímã em forma</p><p>ímã fixo</p><p>de barra e fi xo. Você segura entre os</p><p>dedos outro ímã em forma de barra,</p><p>pelo seu centro, e investiga as forças</p><p>magnéticas que agem sobre ele, nas</p><p>proximidades do ímã fi xo.</p><p>Você conclui que o ímã entre seus dedos</p><p>A) será sempre atraído pelo ímã fi xo.</p><p>B) será sempre repelido pelo ímã fi xo.</p><p>C) tenderá sempre a girar.</p><p>D) não será nem atraído nem repelido.</p><p>E) poderá ser atraído ou repelido.</p><p>06. Um condutor é disposto na forma de semicírculos concêntricos,</p><p>como mostrado na fi gura a seguir. A intensidade do campo</p><p>magnético resultante, no ponto central O, será dada pela seguinte</p><p>expressão:</p><p>O a 4a</p><p>2a 8a</p><p>∞</p><p>L</p><p>A)</p><p>µ0</p><p>6</p><p>i</p><p>a</p><p>B)</p><p>µ0 i</p><p>a</p><p>C)</p><p>µ0</p><p>4</p><p>i</p><p>a</p><p>D)</p><p>5</p><p>6</p><p>0⋅ µ i</p><p>a</p><p>E)</p><p>5</p><p>3</p><p>0⋅ µ i</p><p>a</p><p>07. Considere a fi gura a seguir, na qual se tem um quadrado inscrito</p><p>em uma circunferência de raio R. O quadrado é percorrido por</p><p>uma corrente i</p><p>1</p><p>no sentido anti-horário, e a circunferência é</p><p>percorrida por uma corrente i</p><p>2</p><p>no sentido horário. As duas espiras</p><p>são coplanares. Assinale a alternativa que corresponde à relação</p><p>i</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>, para que o vetor indução magnética seja nulo no ponto O</p><p>(centro da circunferência).</p><p>R</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>A)</p><p>i</p><p>i</p><p>1</p><p>2 4</p><p>=</p><p>π</p><p>B)</p><p>i</p><p>i</p><p>1</p><p>2 2</p><p>=</p><p>π</p><p>C)</p><p>i</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>π</p><p>D)</p><p>i</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>π</p><p>E)</p><p>i</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>1=</p><p>10F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>08. (UFS) Uma pequena agulha magnética orientada inicialmente</p><p>na direção norte-sul é colocada entre os polos de um ímã, como</p><p>mostra a fi gura. Se o campo magnético do ímã é da mesma ordem</p><p>de grandeza do campo magnético terrestre, o gráfi co que melhor</p><p>representa a orientação fi nal é:</p><p>A) B)</p><p>C) D)</p><p>E)</p><p>N</p><p>N S</p><p>S N</p><p>Sul geográfico</p><p>Norte geográfico</p><p>S</p><p>N SN S</p><p>N S</p><p>09. Qual é a indução magnética no ponto 0 dos circuitos a seguir?</p><p>R</p><p>R</p><p>RA)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>10. (Univ. Cat. Salvador) Um ímã em forma de barra foi quebrado em</p><p>três pedaços, como mostra a fi gura. Verifi cando as propriedades</p><p>magnéticas de cada uma dessas partes, acharemos que</p><p>N</p><p>A B C</p><p>S</p><p>A) as três partes são ímãs completos.</p><p>B) a parte A possui somente o polo norte.</p><p>C) a parte B não possui nenhum polo magnético.</p><p>D) a parte C apresenta somente o polo sul.</p><p>E) nenhuma das partes se comporta como um ímã completo.</p><p>11. (ITA) Uma corrente I fl ui em quatro das arestas do cubo da fi gura</p><p>(a) e produz no seu centro um campo magnético de magnitude</p><p>B na direção y, cuja representação no sistema de coordenadas é</p><p>(0, B, 0). Considerando um outro cubo (fi gura (b)) pelo qual uma</p><p>corrente de mesma magnitude I fl ui através do caminho indicado,</p><p>podemos afi rmar que o campo magnético no centro desse cubo</p><p>será dado por</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>(a) (b)</p><p>A) (–B, –B, –B) B) (–B, B, B)</p><p>C) (B, B, B) D) (0, 0, B)</p><p>E) (0, 0, 0)</p><p>12. (Cesgranrio) A bússola representada na fi gura repousa sobre a sua</p><p>mesa de trabalho. O retângulo tracejado representa a posição em</p><p>que você vai colocar um ímã com os polos respectivos nas posições</p><p>indicadas. Em presença do ímã, a agulha da bússola permanecerá</p><p>como em:</p><p>A) B)</p><p>D)C)</p><p>E)</p><p>S N</p><p>S N</p><p>N</p><p>S</p><p>O L</p><p>S N</p><p>S NS N</p><p>S N</p><p>13. Deseja-se enrolar um solenoide de comprimento z e diâmetro D,</p><p>utilizando-se uma única camada de fi o de cobre de diâmetro</p><p>d enrolado o mais junto possível. A uma temperatura de 75 °C,</p><p>a resistência por unidade do fi o é r. A fi m de evitar que a</p><p>temperatura ultrapasse os 75 °C, pretende-se restringir a um valor</p><p>P a potência dissipada por efeito Joule. O máximo valor do campo</p><p>de indução magnética que se pode obter por dentro do solenoide é</p><p>A) B</p><p>máx</p><p>= µ</p><p>0</p><p>P</p><p>rdzd</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p>B) B</p><p>máx</p><p>= µ</p><p>0</p><p>πP</p><p>rdzd</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ;</p><p>C) B</p><p>máx</p><p>= µ</p><p>0</p><p>2P</p><p>rdzdπ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ;</p><p>D) B</p><p>máx</p><p>= µ</p><p>0</p><p>P</p><p>rdzd</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ;</p><p>E) B</p><p>máx</p><p>= µ</p><p>0</p><p>P</p><p>rdzdπ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p>14. Consideremos uma espira circular de raio R no plano desta página,</p><p>e um fi o retilíneo e extenso disposto perpendicularmente a</p><p>esse plano, a uma distância r do centro da espira. Ambos são</p><p>percorridos por correntes de mesma intensidade i, cujos sentidos</p><p>estão indicados na fi gura. A permeabilidade absoluta do meio</p><p>ambiente é µ</p><p>0</p><p>. Determine, em função de r, R, i, µ</p><p>0</p><p>e π, o módulo</p><p>do vetor indução magnética do centro O da espira.</p><p>Fio retilíneo</p><p>Espira</p><p>i</p><p>rr</p><p>O</p><p>RR</p><p>11 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.144 – 133973/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>15. A fi gura a seguir representa uma bateria de força eletromotriz E</p><p>e resistência interna r = 5 Ω, ligada a um solenoide de 200 espiras.</p><p>Sabe-se que o amperímetro marca 200 mA e o voltímetro marca</p><p>8,0 V, ambos supostos ideais.</p><p>V</p><p>r</p><p>E</p><p>P</p><p>20 cm</p><p>A</p><p>Assinale a alternativa que corresponde, respectivamente,</p><p>à força eletromotriz da bateria e ao campo em um ponto P,</p><p>no interior do solenoide.</p><p>A) 8V, –8π · 10−5 T</p><p>B) 9V, –4π · 10−5 T</p><p>C) 9V, –1,6π · 10−4 T</p><p>D) 9V, –8π · 10−4 T</p><p>E) 8V, –1,6π · 10−4 T</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>D A – E E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>A A E * A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B B E * D</p><p>* 09.</p><p>A)</p><p>µ0</p><p>4</p><p>i</p><p>R</p><p>B)</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>4</p><p>i</p><p>R</p><p>C) µ0</p><p>4</p><p>i</p><p>R</p><p>14.</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>2 22</p><p>1 1i</p><p>R</p><p>+</p><p>( r)</p><p>– Demonstração.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: SAMUEL – 10/12/18 – REV.: LÍCIA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: caMpo Magnético ii</p><p>frente: Física iii</p><p>008.145 – 133972/18</p><p>AULAS 49 A 51</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Exercícios</p><p>01. Determine a indução magnética do ponto 0 dos circuitos a seguir.</p><p>A)</p><p>A)</p><p>i</p><p>R</p><p>0</p><p>B)</p><p>0</p><p>a</p><p>b</p><p>i</p><p>C)</p><p>0</p><p>a</p><p>i</p><p>b</p><p>b</p><p>02. A figura a seguir mostra um condutor cilíndrico oco de raios</p><p>a e b, por onde passa uma corrente elétrica i uniformemente</p><p>distribuída sobre uma seção transversal. Mostre que B,</p><p>para pontos internos ao corpo do condutor, isto é, a < r < b, é dado por</p><p>B =</p><p>µ</p><p>π π</p><p>0</p><p>2 2</p><p>2 22 2</p><p>i r a</p><p>b a r</p><p>−</p><p>−( ) .</p><p>r</p><p>a b</p><p>i</p><p>03. Marque a alternativa que não representa unidade de medida de</p><p>indução magnética.</p><p>A) Tesla.</p><p>B) Gauss.</p><p>C) (Newton · segundo) / Coulomb · metro).</p><p>D) Newton / Ampère.</p><p>E) Volt · segundo) / metro2.</p><p>04. Dois solenoides de comprimentos infinitos, um dentro do outro,</p><p>com seus eixos de simetria ao longo do eixo – Z. Os dois solenoides</p><p>têm espiras circulares, com raios internos (2 cm) e externos</p><p>(4 cm). O solenoide interior tem 25 000 espiras por m,</p><p>enquanto o externo tem somente 10 000 espiras por m.</p><p>Os dois solenoides carregam uma corrente de intensidade I = 5 A,</p><p>mas em direções opostas: a corrente no interior é no sentido</p><p>anti-horário, enquanto no solenoide exterior o sentido é horário.</p><p>Determine a intensidade do campo magnético na posição</p><p>(x = 3,5 cm, y = 0, z = 0).</p><p>25000 espiras/m y</p><p>x</p><p>10000 espiras/m</p><p>A) B = 31,4</p><p>mT</p><p>B) B = 47,1 mT</p><p>C) B = 62,8 mT</p><p>D) B = 94,3 mT</p><p>E) B = 157 mT</p><p>05. Um condutor muito longo, percorrido por uma corrente i = 5A</p><p>é dobrado de tal maneira que se forma um ângulo de 90°</p><p>(veja figura). Determine a intensidade do campo magnético em</p><p>um ponto situado a 35 cm do plano do condutor, numa direção</p><p>perpendicular ao ponto onde foi dobrado o condutor.</p><p>Dado: µ</p><p>0</p><p>= 4π . 10−7 (Sl).</p><p>I</p><p>P P a 35 cm do plano do fio dobrado.</p><p>I</p><p>A) 0,5 μT</p><p>B) 1 μT</p><p>C) 2 μT</p><p>D) 3 μT</p><p>E) 4 μT</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>008.145 – 133972/18</p><p>06. (ITA) Coloca-se uma bússola nas proximidades de um fio</p><p>retilíneo vertical, muito longo, percorrido por uma corrente</p><p>elétrica contínua i. A bússola é disposta horizontalmente e,</p><p>assim, a agulha imantada pode girar livremente em torno de</p><p>seu eixo. Nas figuras a seguir, o fio é perpendicular ao plano do</p><p>papel, com a corrente no sentido indicado (saindo). Assinale a</p><p>posição de equilíbrio estável da agulha imantada, desprezando</p><p>o campo magnético terrestre (explique).</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>iA)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E) Nenhuma das situações anteriores.</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>S</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>N(fio)</p><p>07. Calcule a indução magnética a 1 cm de um fio muito longo,</p><p>percorrido por uma corrente de 2 A.</p><p>Dados: Permeabilidade magnética (µ</p><p>0</p><p>= 4π ·10−7 Tm/A).</p><p>08. (ITA) A figura indica três condutores elétricos perpendiculares</p><p>ao papel, formando um triângulo equilátero. Todas as correntes</p><p>são contínuas e de mesmo valor. ⊗ i representa uma corrente</p><p>elétrica entrante e  i uma corrente saliente do papel. Indique a</p><p>figura que representa o campo magnético resultante no centro</p><p>do triângulo.</p><p>A)</p><p>+ –H</p><p>�</p><p>C)</p><p>+ +</p><p>H</p><p>�</p><p>D)</p><p>– +</p><p>H</p><p>�</p><p>B)</p><p>+ +</p><p>H</p><p>�</p><p>09. (Unicamp/87) Um condutor homogêneo de resistência 8 Ω tem</p><p>a forma de uma circunferência. Uma corrente i = 4 A chega</p><p>por um fio retilíneo ao ponto A e sai pelo ponto B por outro</p><p>fio retilíneo perpendicular, conforme a figura. As resistências</p><p>dos fios retilíneos podem ser consideradas desprezíveis.</p><p>4A</p><p>B0</p><p>A</p><p>4A</p><p>A) Calcule a intensidade das correntes nos dois arcos de</p><p>circunferência compreendidos entre A e B.</p><p>B) Calcule o valor da intensidade do campo magnético B no</p><p>centro 0 da circunferência.</p><p>10. Na figura a seguir, temos uma espira circular e um fio retilíneo</p><p>infinito, contidos no mesmo plano. O meio é o vácuo. Determine</p><p>o módulo, a direção e o sentido da indução magnética no ponto O,</p><p>centro da espira circular.</p><p>Dados: µ</p><p>0</p><p>= 4π ·10−7 Tm/A; i</p><p>1</p><p>= 10 A; i</p><p>2</p><p>= 5 A</p><p>R = 0,4 πm; d = 2,0 m</p><p>d</p><p>O R</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>1</p><p>11. (ITA) Considere o circuito abaixo situado num plano horizontal,</p><p>no qual R</p><p>i</p><p>(i = 1 a 4) são resistores, E</p><p>i</p><p>(i = 1 a 4) são fontes ideais</p><p>de diferença de potencial elétrico, constantes no tempo, C é</p><p>uma chave inicialmente aberta e B é uma bússola colocada no</p><p>mesmo plano do circuito, com a direção norte-sul da agulha</p><p>magnética paralela ao condutor PQ do circuito.</p><p>Dados: R</p><p>1</p><p>= 10,0 Ω E</p><p>1</p><p>= 1,5 V</p><p>R</p><p>2</p><p>= 20,0 Ω E</p><p>2</p><p>= 3,0 V</p><p>R</p><p>3</p><p>= 30,0 Ω E</p><p>3</p><p>= 9,0 V</p><p>R</p><p>4</p><p>= 40,0 Ω E</p><p>4</p><p>= 9,0 V</p><p>R1</p><p>R2</p><p>R3</p><p>R4</p><p>E4 E3</p><p>E2</p><p>E1</p><p>P Q</p><p>NS</p><p>B</p><p>G</p><p>Uma vez fechada a chave C, e supondo que a intensidade do</p><p>campo de indução magnética é suficiente para agir sobre a agulha</p><p>imantada da bússola, desprezando as demais alterações, pode-se</p><p>afirmar que o circuito equivalente ao circuito dado acima e a nova</p><p>posição da agulha da bússola serão:</p><p>0,135 A</p><p>13,5 V</p><p>100,0 Ω</p><p>(1)</p><p>4,69 A</p><p>22,5V</p><p>4,80 Ω</p><p>(3)</p><p>0,198 A 9,0 V</p><p>45,5 Ω</p><p>(2)</p><p>0,297 A 13,5V</p><p>45,5 Ω</p><p>(4)</p><p>(I)</p><p>(III)</p><p>Agulha no mesmo</p><p>plano vertical local</p><p>sobe</p><p>desce</p><p>(II)</p><p>(IV)</p><p>Agulha no mesmo</p><p>plano vertical local</p><p>sobe</p><p>desce</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>S</p><p>S</p><p>S N</p><p>S</p><p>S</p><p>O</p><p>L</p><p>N S</p><p>O</p><p>L</p><p>N</p><p>A) (4) e (VI) B) (2) e (III)</p><p>C) (3) e (II) D) (4) e (I)</p><p>E) (1) e (IV)</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>008.145 – 133972/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>12. Um fio transportando, uma corrente i possui a configuração</p><p>mostrada na figura. Dois trechos retos semi-infinitos, ambos</p><p>tangentes ao mesmo círculo, estão ligados por um arco circular,</p><p>de ângulo central θ, ao longo da circunferência, com todas as</p><p>seções localizadas no mesmo plano. Qual deve ser o valor de θ</p><p>para que B</p><p></p><p>(campo magnético) seja nulo no centro do círculo?</p><p>i</p><p>iθ</p><p>i</p><p>A) 2°</p><p>B) 2 rad</p><p>C) 3º</p><p>D) 3 rad</p><p>E) n.d.a.</p><p>13. Um condutor é constituído de um número muito grande de</p><p>fios adjacentes infinitamente longos, como na figura. Cada um</p><p>deles é percorrido por uma corrente elétrica i. Mostre que as</p><p>linhas de indução são as representadas na figura e que B é dado</p><p>por B</p><p>ni</p><p>=</p><p>µ0</p><p>2</p><p>para pontos em frente à faixa infinita de correntes,</p><p>em que n é o número de fios por unidade de comprimento.</p><p>14. (Unicamp/89) Uma corrente constante I</p><p>0</p><p>percorre um fio muito</p><p>longo LMN, dobrado em ângulo reto (figura I). Esta corrente</p><p>produz no ponto P um campo de indução magnética de módulo B</p><p>1</p><p>.</p><p>Solda-se em M um outro fio, também muito longo, de modo que</p><p>LMO seja retilíneo (figura II). Agora as correntes constantes que</p><p>percorrem LM e MN são, respectivamente, I</p><p>0</p><p>e</p><p>I0</p><p>2</p><p>e o campo de</p><p>indução magnética produzido em P tem módulo B</p><p>2</p><p>. Obtenha a</p><p>razão</p><p>B</p><p>B</p><p>1</p><p>2</p><p>entre os módulos do campo de indução magnética.</p><p>0I</p><p>0I</p><p>0I</p><p>2</p><p>0I</p><p>2</p><p>Fig.1 Fig.2</p><p>L LM M</p><p>N N</p><p>P P</p><p>O</p><p>15. Na figura abaixo, determine o módulo de indução magnética no</p><p>ponto 0 (centro da espira circular).</p><p>i1</p><p>d1 d2</p><p>i2</p><p>R</p><p>0</p><p>i3</p><p>Dados: µ</p><p>0</p><p>= 4π · 10−7 Tm/A</p><p>i</p><p>1</p><p>= 1,0 A</p><p>i</p><p>2</p><p>= 0,2 A</p><p>i</p><p>3</p><p>= 0,6 A</p><p>d</p><p>1</p><p>= 0,4 m</p><p>d</p><p>2</p><p>= 0,6 m</p><p>R =</p><p>π</p><p>10 m</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* – D C C</p><p>06 07 08 09 10</p><p>B * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>D B – * *</p><p>* 01: A)</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1i</p><p>R</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>B)</p><p>µ</p><p>π</p><p>θ π θ0</p><p>4</p><p>2i</p><p>b a</p><p>+</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>C)</p><p>µ</p><p>π</p><p>π0</p><p>4</p><p>3 2i</p><p>a b</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>07: 4 × 10–5 A</p><p>09: A) 1A e 2A</p><p>B) Zero</p><p>10: 4,5 × 10–6 T</p><p>14:</p><p>2</p><p>3</p><p>15: 7 × 10–y T</p><p>– Demonstração.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: NAILTON – REV.: KARLLA</p><p>B</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: Força Magnética</p><p>frente: Física iii</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>AULAS 52 a 55</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Força Magnética Sobre Cargas Móveis</p><p>O comportamento na presença de campo magnético é de</p><p>extrema importância para o entendimento dos efeitos que o campo</p><p>gera nos materiais. Ao colocarmos uma carga em movimento em uma</p><p>região em que atua um campo magnético, podemos verificar que sobre</p><p>ela atua uma força um tanto quanto esquisita. A força magnética que</p><p>atua sobre uma carga em movimento é:</p><p>F qv B</p><p>� �</p><p>= ⋅</p><p>O módulo de F é dado por:</p><p>F = qvB senθ</p><p>em que θ é o ângulo entre os vetores v e B</p><p>� �</p><p>.</p><p>F</p><p>B B</p><p>v</p><p>vθ θ</p><p>Figura 1: força magnética sobre uma carga (a) positiva e (b) negativa.</p><p>A direção é perpendicular ao plano que contém v e B</p><p>� �</p><p>. Podemos</p><p>distinguir alguns casos particulares de interesse:</p><p>a) (θ = 0º)/(θ = 180º) A velocidade da carga é paralela ou</p><p>antiparalela ao campo.</p><p>Como F = qvB sen 0° = qvB sen 180° = 0, a carga não sofrerá</p><p>ação de nenhuma força.</p><p>++</p><p>V</p><p>B F = 0 B</p><p>V</p><p>Figura 2: Força magnética sobre as partículas para (θ = 0º)/(θ = 180º).</p><p>Para o caso de (θ < 90º), tem-se a seguinte configuração:</p><p>F = qvBsen θ = qv⊥B</p><p>F</p><p>V1</p><p>B</p><p>V</p><p>θ</p><p>q</p><p>Figura 3: força magnética obtida pelo componente da</p><p>velocidade perpendicular ao campo magnético.</p><p>Observação:</p><p>Quando uma partícula está sob ação de um campo</p><p>eletromagnético (elétrico + magnético), a força sobre ela,</p><p>conhecida por força de Lorentz, é:</p><p>F qE qv B F q E v B</p><p>� � � � � � � �</p><p>= + × → = + ×( )</p><p>Movimento de uma Carga em um Campo</p><p>Magnético Uniforme</p><p>Consideremos um campo B</p><p>�</p><p>no qual módulo, direção e sentido</p><p>sejam sempre os mesmos em qualquer ponto de uma dada região</p><p>do espaço, esse campo é dito uniforme. Supõe-se que uma carga</p><p>positiva +q penetra nesta região com velocidade perpendicular aB</p><p>�</p><p>,</p><p>conforme a figura:</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x x</p><p>x x x x x x xO</p><p>B</p><p>v</p><p>v</p><p>F</p><p>RR</p><p>S</p><p>v</p><p>F</p><p>F</p><p>P</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>Figura 4: partícula lançada em uma região de campo</p><p>magnético com v B</p><p>� �</p><p>⊥ .</p><p>F qv</p><p>B</p><p>� � �</p><p>= ×</p><p>F = qvBsen α = qvB sen 90º → F = qvB</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>Sabe-se que surge uma força magnética F qv B</p><p>� � �</p><p>= ⋅ , perpendicular</p><p>à direção de v</p><p>�</p><p>e de B</p><p>�</p><p>quando a partícula está com velocidade v</p><p>�</p><p>. Perceba que essa força não tem componente na direção de v</p><p>�</p><p>, ela</p><p>só altera a direção da velocidade, mantendo seu módulo constante.</p><p>Ao alterar a direção da velocidade, altera-se também a direção da força,</p><p>mas esta sempre será perpendicular à velocidade.</p><p>O trabalho realizado pela força é nulo, pois o último produto</p><p>escalar é nulo. Veja:</p><p>W F dr qv B vdt= ⋅ = ×( ) ⋅ =∫∫</p><p>� � � � �</p><p>0</p><p>O movimento, nesse caso, é circular e uniforme. Podemos</p><p>calcular o seu raio, o período, a frequência e a velocidade angular.</p><p>A força magnética desempenha o papel de força centrípeta, daí, sendo</p><p>m a massa da partícula carregada:</p><p>qvB</p><p>mv</p><p>R</p><p>R</p><p>mv</p><p>qB</p><p>= → =</p><p>2</p><p>No movimento circular v = ωR, T e f= =</p><p>2</p><p>2</p><p>π</p><p>ω</p><p>ω</p><p>π</p><p>:</p><p>ω ω= = → =</p><p>v</p><p>R</p><p>v</p><p>mv</p><p>qB</p><p>qB</p><p>m</p><p>é a velocidade angular.</p><p>Observação:</p><p>A velocidade angular é um vetor. Tente mostrar você</p><p>mesmo que:</p><p>ω</p><p>��</p><p>�</p><p>=</p><p>qB</p><p>m</p><p>Temos ainda que o período do movimento é dado por:</p><p>T T</p><p>m</p><p>qB</p><p>= → =</p><p>2 2π</p><p>ω</p><p>π</p><p>No caso em que a velocidade v</p><p>�</p><p>forma um ângulo com a indução</p><p>magnética B</p><p>�</p><p>, diferente de 90º, podemos decompô-la em duas direções,</p><p>sendo uma paralela à B</p><p>�</p><p>, e a outra, perpendicular à B</p><p>�</p><p>. Neste caso, a</p><p>componente paralela (v</p><p>2</p><p>) permanece inalterada, e a componente</p><p>perpendicular (v</p><p>1</p><p>) sofre a deflexão já descrita, devido à ação da força</p><p>magnética. Deste modo, o movimento será o resultado da composição</p><p>de um MRU na direção paralela ao campo com um MCU no plano</p><p>perpendicular a ele. A trajetória do movimento resultante será uma</p><p>hélice cilíndrica. Esse movimento denomina-se Movimento Helicoidal</p><p>Uniforme (MHU).</p><p>-q</p><p>B</p><p>Figura 5: carga negativa realizando movimento helicoidal.</p><p>Aplicações da Força Magnética Sobre</p><p>Cargas Móveis</p><p>Cíclotron</p><p>Foi a primeira máquina utilizada para acelerar partículas</p><p>carregadas a altas velocidades (acelerador de partículas).</p><p>O nome cíclotron significa, literalmente, canhão circular. O</p><p>cíclotron é formado por dois eletrodos ocos em forma de D, separados</p><p>por um espaço intermediário. Poderosos eletroímãs, alimentados por</p><p>uma corrente alternada de alta frequência, carregam ora positiva ora</p><p>negativamente os eletrodos, de maneira que uma partícula-projétil,</p><p>por exemplo, um próton lançado no espaço entre os eletrodos,</p><p>e alternadamente atraído por um e repelido por outro eletrodo,</p><p>acelerando cada vez mais a sua trajetória circular, até atingir velocidades</p><p>da ordem de 100 000 km/s. Com a intensificação da velocidade, a sua</p><p>trajetória circular acaba transformando-se em espiral até que o projétil</p><p>é lançado por uma fenda em direção ao núcleo-alvo.</p><p>A</p><p>rt</p><p>e</p><p>FB</p><p>2D</p><p>1DSS</p><p>B</p><p>�</p><p>Frequência constante</p><p>alta-voltagem</p><p>Figura 6: esquema de um cíclotron.</p><p>Imaginemos uma partícula de carga +q e massa m abandonada</p><p>no ponto P. O campo elétrico a acelera até ela penetrar em um</p><p>dos “dês”, com velocidade v</p><p>�</p><p>0. Essa partícula é obrigada, então,</p><p>a descrever uma trajetória circular de raio R</p><p>mv</p><p>qB</p><p>= até abandonar</p><p>o D. Ao fazê-lo, depara-se novamente com o campo elétrico, desta</p><p>feita no outro sentido, e é acelerada ao outro D. Para tanto, basta</p><p>que a frequência do alternador de ddp seja exatamente f</p><p>qB</p><p>=</p><p>2π</p><p>.</p><p>A partícula penetra o outro D, agora com velocidade maior. Descreve</p><p>uma trajetória de maior raio, mas com a mesma velocidade angular e</p><p>a mesma frequência f. O processo se repete até a partícula ser retirada</p><p>por uma placa defletora (no caso, negativamente carregada), com</p><p>grande velocidade v. Admitindo como o raio máximo o raio externo</p><p>R do cíclotron, podemos encontrar a velocidade com a qual a partícula</p><p>deixa o acelerador: v</p><p>qBR</p><p>m</p><p>= . A energia cinética adquirida pela partícula</p><p>ao sair do cíclotron é dada por:</p><p>K</p><p>qBR</p><p>m</p><p>=</p><p>( )2</p><p>2</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Espectrógrafo de Massa</p><p>É um aparelho destinado a separar os isótopos de um mesmo</p><p>elemento e medir a razão entre suas massas. O instrumento consiste de</p><p>uma câmara escura com uma chapa fotográfica e uma pequena abertura,</p><p>por onde íons do mesmo elemento químico são projetados. Um corpo</p><p>magnético uniforme deflete os íons, forçando-os a descrever trajetórias</p><p>circulares de diferentes raios. O valor desses raios é determinado pelos</p><p>pontos onde os íons impressionam a chapa fotográfica. Sejam x</p><p>1</p><p>e x</p><p>2</p><p>os diâmetros das trajetórias descritas por dois isótopos de massas m</p><p>1</p><p>e</p><p>m</p><p>2</p><p>, com carga q, temos:</p><p>x</p><p>m v</p><p>qB</p><p>x</p><p>m v</p><p>qB</p><p>x</p><p>x</p><p>m v</p><p>m</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p> → =Dividindo as equa esçõ</p><p>vv2</p><p>Se v</p><p>1</p><p>= v</p><p>2</p><p>, de imediato, teremos que:</p><p>m</p><p>m</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= .</p><p>F1</p><p>x1</p><p>x2</p><p>Chapa</p><p>fotográfica</p><p>Figura 7: esquema de um espectrógrafo de massa.</p><p>Se os íons são acelerados por uma mesma diferença de</p><p>potencial V, a energia adquirida por cada um será:</p><p>E qV m v m v</p><p>v</p><p>v</p><p>m</p><p>m</p><p>= = = → =1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>Daí, encontramos a razão entre as massas em função de x</p><p>1</p><p>e x</p><p>2</p><p>:</p><p>x</p><p>x</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= = → =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exercícios</p><p>01. Calcule o módulo da força magnética atuante na partícula em</p><p>cada caso:</p><p>a) b)</p><p>v = 5 · 103 m/s</p><p>v = 3 · 105 m/s</p><p>|q| = 8 · 10– 19 C</p><p>|q| = 4 · 10– 5 C</p><p>B = 2 T</p><p>B = 1 T</p><p>θ = 30º</p><p>θ = 90º</p><p>02. Um corpo P, considerado pontual, de massa 1013 kg, carregado</p><p>com uma carga elétrica positiva de 10–10 Coulomb, está sob</p><p>a ação de um campo eletrostático e de um campo magnético</p><p>uniforme de 0,2 T. Este corpo descreve uma trajetória circular, em</p><p>meio de permissividade idêntica à do vácuo, com uma velocidade</p><p>constante de 10 m ⋅ s–1, como mostrado na figura a seguir. O raio</p><p>da circunferência descrita pela trajetória é de 1 cm. O vetor campo</p><p>magnético é perpendicular ao plano da trajetória, entrando no</p><p>plano do papel. O campo eletrostático é produzido por uma carga</p><p>pontual Q, localizada no centro da circunferência descrita pelo</p><p>corpo P. Determine o valor da carga Q, em Coulomb.</p><p>Carga Q</p><p>Carga PO</p><p>Dados:</p><p>I) O vetor v, na figura, é o vetor velocidade do corpo P.</p><p>II) A permissividade do vácuo é de 8,85 ⋅ 10–12 Faraday/m.</p><p>03. Em um dado instante de tempo, uma partícula X (massa m e</p><p>carga elétrica nula) e uma partícula Y (massa m e carga elétrica</p><p>positiva q) entram com velocidades iguais e de módulo v, em uma</p><p>região na qual está presente um campo magnético uniforme de</p><p>intensidade B. As partículas são lançadas em um mesmo plano</p><p>perpendicular ao campo magnético.</p><p>A) Determine o intervalo de tempo ∆t para o qual as partículas</p><p>terão suas velocidades em sentidos opostos.</p><p>B) Determine a variação de energia cinética total do sistema no</p><p>intervalo de tempo encontrado no item anterior.</p><p>Desconsidere quaisquer efeitos gravitacionais e de dissipação de</p><p>energia.</p><p>04. Uma pequena esfera de massa 10–3 kg, carregada eletricamente,</p><p>é lançada de um ponto A com velocidade inicial de 40 m/s,</p><p>formando um ângulo de 60º com o plano horizontal. No instante</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>em que atinge o ponto mais alto da trajetória, a esfera penetra em</p><p>um campo magnético de 0,5 tesla, que é perpendicular ao plano</p><p>da trajetória. Supondo a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e</p><p>desprezando a resistência do ar, calcule a carga, em Coulombs,</p><p>que deve existir na esfera para que, após penetrar no campo,</p><p>mantenha trajetória sempre horizontal.</p><p>05. O espectrômetro de massa é um instrumento usado na</p><p>determinação de massas atômicas e também na separação de</p><p>isótopos de um mesmo elemento químico. A figura mostra</p><p>esquematicamente um tipo de espectrômetro. A fonte produz</p><p>íons que emergem dela com carga +e e são acelerados por um</p><p>campo elétrico não indicado na figura. As fendas F</p><p>1</p><p>e F</p><p>2</p><p>servem</p><p>para colimar o feixe</p><p>de íons, isto é, para que prossigam apenas</p><p>íons que se movem em uma determinada direção.</p><p>Fonte de íons</p><p>Seletor de</p><p>velocidade</p><p>+–</p><p>× ××</p><p>× ×</p><p>×</p><p>××</p><p>× ×××</p><p>× ×××</p><p>× ××</p><p>×</p><p>××</p><p>×</p><p>×× ××× ××</p><p>×× ××× ××</p><p>×× ××× ×</p><p>× ××</p><p>× ××</p><p>× ×××</p><p>×</p><p>××</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>2R</p><p>F</p><p>3</p><p>Chapa fotográfica</p><p>B</p><p></p><p>B</p><p></p><p>E</p><p></p><p>Os íons que passam pela fenda F</p><p>2</p><p>invadem o seletor de velocidade,</p><p>que é uma região onde existem um campo elétrico e um campo</p><p>magnético, ambos uniformes e constantes, perpendiculares entre</p><p>si e perpendiculares ao feixe de íons. Só prosseguem na mesma</p><p>trajetória retilínea os íons que têm determinada velocidade</p><p>�</p><p>v .</p><p>Os íons que atravessam a fenda F</p><p>3</p><p>entram em movimento circular</p><p>e uniforme de raio R.</p><p>Considerando E = 4,0 ⋅ 103 N/C, B = 2,0 ⋅ 10–1 T e</p><p>R = 2,0 ⋅ 10–2 m e sendo e = 1,6 ⋅ 10–19 C, determine a massa do íon.</p><p>06. Em cada uma das regiões I, II e III da figura a seguir, existe um</p><p>campo elétrico constante ± E</p><p>x</p><p>na direção x, ou um campo elétrico</p><p>constante ± E</p><p>y</p><p>na direção y, ou um campo magnético constante</p><p>± B</p><p>z</p><p>na direção z (perpendicular ao plano do papel). Quando</p><p>uma carga positiva q é abandonada no ponto P da região I, ela</p><p>é acelerada uniformemente, mantendo uma trajetória retilínea,</p><p>até atingir a região II. Ao penetrar na região II, a carga passa a</p><p>descrever uma trajetória circular de raio R, e o módulo da sua</p><p>velocidade permanece constante. Finalmente, ao penetrar na</p><p>região III, percorre uma trajetória parabólica até sair dessa região.</p><p>A tabela a seguir indica algumas configurações possíveis dos</p><p>campos nas três regiões.</p><p>y</p><p>x</p><p>Parábola</p><p>P</p><p>q</p><p>II</p><p>III</p><p>R</p><p>I</p><p>Configuração de campo A B C D E</p><p>Região I E</p><p>x</p><p>E</p><p>x</p><p>B</p><p>z</p><p>E</p><p>x</p><p>E</p><p>x</p><p>Região II B</p><p>z</p><p>E</p><p>y</p><p>F</p><p>y</p><p>E</p><p>y</p><p>B</p><p>z</p><p>Região III E</p><p>y</p><p>B</p><p>z</p><p>E</p><p>x</p><p>–E</p><p>x</p><p>–E</p><p>x</p><p>A única configuração dos campos, compatível com a trajetória da</p><p>carga, é aquela descrita em:</p><p>a) A</p><p>b) B</p><p>c) C</p><p>d) D</p><p>e) E</p><p>07. Na figura, uma placa quadrada de lado L = 2,0 cm, de material</p><p>condutor, é percorrida por uma corrente elétrica no sentido y</p><p>crescente. Ao aplicarmos um campo magnético constante de</p><p>módulo B = 0,80 T, os portadores de carga em movimento, que</p><p>originam a corrente de intensidade i, são deslocados provocando</p><p>um acúmulo de cargas positivas na borda de trás e negativas na</p><p>da frente, até que a diferença de potencial entre essas bordas se</p><p>estabilize com valor ∆V = 4,0 ⋅ 10–7 V, o que resulta em um campo</p><p>elétrico uniforme na direção x, decorrente dessa separação de</p><p>cargas, que compensa o efeito defletor do campo magnético.</p><p>Esse fenômeno é conhecido como efeito Hall.</p><p>– – – – – –</p><p>+ + + + +</p><p>∆V</p><p>→</p><p>B</p><p>i i 2,0 cm</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>Determine o módulo do vetor campo elétrico</p><p>�</p><p>E , gerado na direção</p><p>x, e o módulo da média das velocidades dos portadores de carga</p><p>na direção y.</p><p>08. (Fuvest-SP) Um próton de massa M ≅ 1,6 ⋅ 10–27 kg, com carga</p><p>elétrica Q = 1,6 ⋅ 10–19 C, é lançado em A, com velocidade V</p><p>0</p><p>,</p><p>em uma região onde atua um campo magnético uniforme B,</p><p>na direção x. A velocidade V</p><p>0</p><p>, que forma um ângulo θ com o</p><p>eixo x, tem componentes V</p><p>0x</p><p>= 4,0 ⋅ 106 m/s e V</p><p>0y</p><p>= 3,0 ⋅ 106 m/s.</p><p>O próton descreve um movimento em forma de hélice, voltando</p><p>a cruzar o eixo x, em P, com a mesma velocidade inicial, a uma</p><p>distância L</p><p>0</p><p>= 12 m do ponto A. Desconsiderando a ação do campo</p><p>gravitacional e utilizando π ≅ 3, determine:</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>y</p><p>θA</p><p>V0 B</p><p>xP</p><p>L0</p><p>A) o intervalo de tempo ∆t, em s, que o próton leva para ir de</p><p>A a P.</p><p>B) o raio R, em metro, do cilindro que contém a trajetória em</p><p>hélice do próton.</p><p>C a intensidade do campo magnético B, em tesla, que provoca</p><p>esse movimento.</p><p>Uma partícula com carga Q, que se move em um campo B,</p><p>com velocidade V, fica sujeita a uma força de intensidade</p><p>F = Q ⋅ V</p><p>n</p><p>⋅ B, normal ao plano formado por B e V</p><p>n</p><p>, sendo V</p><p>n</p><p>a</p><p>componente da velocidade V normal a B.</p><p>09. (ITA-SP) Na região do espaço entre os planos a e b, perpendiculares</p><p>ao plano do papel, existe um campo de indução magnética,</p><p>simétrico ao eixo x, cuja magnitude diminui com o aumento</p><p>de x, como mostrado na figura a seguir. Uma partícula de</p><p>carga q é lançada a partir do ponto p no eixo x, com uma</p><p>velocidade formando um ângulo θ com o sentido positivo desse</p><p>eixo. Desprezando o efeito da gravidade, pode-se afirmar que,</p><p>inicialmente:</p><p>A) a partícula seguirá uma trajetória retilínea, pois o eixo x coincide</p><p>com uma linha de indução magnética.</p><p>B) a partícula seguirá uma trajetória helicoidal com raio constante.</p><p>C) se θ < 90o, a partícula seguirá uma trajetória helicoidal com raio</p><p>crescente.</p><p>D) a energia cinética da partícula aumentará ao longo da trajetória.</p><p>E) nenhuma das alternativas anteriores é correta.</p><p>a</p><p>00</p><p>→</p><p>V</p><p>→</p><p>B</p><p>→</p><p>B</p><p>PP</p><p>10. (Fuvest-SP) Uma partícula, de massa m e com carga elétrica</p><p>O, cai verticalmente com velocidade constante v</p><p>0</p><p>. Nessas</p><p>condições, a força de resistência do ar pode ser considerada como</p><p>R</p><p>ar</p><p>= k ⋅ v,</p><p>sendo k uma constante e v a velocidade. A partícula</p><p>penetra, em uma região onde atua um campo magnético uniforme</p><p>e constante</p><p>�</p><p>B , perpendicular ao plano do papel e, nele entrando,</p><p>conforme a figura a seguir. A velocidade da partícula é, então,</p><p>alterada, adquirindo, após certo intervalo de tempo, um novo</p><p>valor v</p><p>L</p><p>, constante.</p><p>(Lembre-se de que a intensidade da força magnética é</p><p>F = M q v b , em unidades SI, para �v perpendicular a</p><p>�</p><p>B .)</p><p>m</p><p>B</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>v0</p><p>g</p><p>A) Expresse o valor da constante k em função de m, g e v</p><p>0</p><p>.</p><p>B) Esquematize os vetores das forças (Peso, R</p><p>ar</p><p>e F</p><p>v</p><p>) que agem</p><p>sobre a partícula, em presença do campo B, na situação em</p><p>que a velocidade passa a ser a velocidade v</p><p>L</p><p>. Represente, por</p><p>uma linha tracejada, a direção e o sentido de v</p><p>L.</p><p>C) Expresse o valor da velocidade v</p><p>L</p><p>da partícula, na região onde</p><p>atua o campo B, em função de m, g, k, B e Q.</p><p>11. Na montagem a seguir, esquematizamos um cíclotron de raio</p><p>R = 1 m. Um próton (razão carga/massa 108 C/kg) é emitido do</p><p>repouso da fonte F e é acelerado pela d.d.p., cuja forma de onda é</p><p>apresentada a seguir. O campo magnético no interior do cíclotron</p><p>é B = 0,3 T.</p><p>Dado: V = 225 volts.</p><p>V (volts)</p><p>v</p><p>–v</p><p>t</p><p>Determine:</p><p>A) a velocidade máxima alcançada pelo próton.</p><p>B) o número de voltas que ele dá no interior do cíclotron, antes</p><p>de abandoná-lo com velocidade máxima.</p><p>C) o tempo decorrido nesse processo.</p><p>12. Considere uma região onde o campo gravitacional tem</p><p>módulo g = 10 m/s2. Um elétron, movendo-se nessa região a</p><p>2,0 ⋅ 103 m/s, penetra num campo magnético uniforme e</p><p>constante de 2,0 T, perpendicularmente às linhas de indução.</p><p>Calcule os módulos das forças magnética e gravitacional atuantes</p><p>no elétron nessa situação. Compare os dois valores.</p><p>Dados: massa do elétron = 9,1 ⋅ 10–31 kg;</p><p>módulo da carga do elétron = 1,6 ⋅ 10–19 C.</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>13. A figura mostra as trajetórias seguidas por três partículas</p><p>(elétron, próton e dêuteron) lançadas de um mesmo ponto O,</p><p>perpendicularmente às linhas de indução de um campo magnético</p><p>uniforme e constante</p><p>�</p><p>B , todas com a mesma velocidade</p><p>inicial �v 0</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>→v0O</p><p>C</p><p>A</p><p>B</p><p>Quais são, respectivamente, as trajetórias descritas pelo próton,</p><p>pelo dêuteron (partícula constituída por um nêutron e um próton)</p><p>e pelo elétron?</p><p>14. Um dêuteron – partícula constituída por um nêutron e um próton</p><p>– descreve trajetória circular de raio igual a 10 cm num campo</p><p>magnético de indução uniforme e constante, de intensidade</p><p>igual a 2,0 T. Sendo a massa e a carga elétrica do dêuteron,</p><p>respectivamente, igual a 3,4 ⋅ 10–27 kg e 1,6 ⋅ 10–19 C, e supondo</p><p>a força magnética como a única atuante, calcule:</p><p>A) o módulo de sua velocidade;</p><p>B) o intervalo de tempo para o dêuteron percorrer uma</p><p>semicircunferência.</p><p>15. Duas partículas</p><p>com cargas iguais e de sinais opostos se movem em</p><p>uma região livre de campos com velocidades paralelas entre si, no</p><p>mesmo sentido e de módulos diferentes. As partículas penetram</p><p>em outra região na qual existe um campo magnético uniforme</p><p>B, cuja direção é perpendicular ao plano de suas trajetórias. As</p><p>partículas se encontram após haver descritos ângulos ϕ</p><p>1</p><p>= 90o e</p><p>ϕ</p><p>2</p><p>= 150o. Desprezando a interação entre as partículas em todas</p><p>as suas trajetórias, determine:</p><p>→</p><p>V1</p><p>m1.(–q)</p><p>m2.(+q)</p><p>→</p><p>B</p><p>→</p><p>V2</p><p>A) a razão</p><p>m</p><p>m</p><p>2</p><p>1</p><p>(entre massas).</p><p>B) a razão entre os raios</p><p>R</p><p>R</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>C) a razão entre os módulos das velocidades</p><p>v</p><p>v</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>16. Uma partícula carregada entra em uma região de campo</p><p>magnético uniforme</p><p>�</p><p>B , com a trajetória perpendicular ao campo.</p><p>Quando a energia cinética da partícula é 4,0 ⋅ 10-12 J, o raio de</p><p>sua órbita circular vale 60 cm. Qual seria o valor, em centímetros,</p><p>do raio de sua órbita circular, se esta mesma partícula tivesse uma</p><p>energia cinética igual a 2,56 ⋅ 10-12 J?</p><p>→</p><p>V</p><p>→</p><p>B</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08</p><p>* * * * * E * *</p><p>09 10 11 12 13 14 15 16</p><p>C * * * * * * *</p><p>01.</p><p>A) 4 × 10–15 N B) 12 N</p><p>02. –1,33 × 10–13 C</p><p>03.</p><p>A)</p><p>πm</p><p>Bq</p><p>B) zero</p><p>04. 10–3 C</p><p>05. 3,2 × 10–26 kg</p><p>07. 2 × 10–5 V/m; 2,5 × 10–5 m/s</p><p>08.</p><p>A) 3 × 10–6 s B) 1,5 m C) 23 × 10–2 T</p><p>10.</p><p>A) K</p><p>mg</p><p>v</p><p>=</p><p>0</p><p>B)</p><p>→</p><p>Rar</p><p>P VL</p><p>→</p><p>FM</p><p>C) V</p><p>L</p><p>= mg (Q2B2 + K2)–1/2</p><p>11.</p><p>A) 3 × 107 m/s B) 10.000 C) 2,1 × 10–3 s</p><p>12. A força magnética é cerca de 7 × 1013 vezes mais intensa que a</p><p>força gravitacional.</p><p>13. A, B e C</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.313 - 136142/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>14.</p><p>A) 9,4 × 106 m/s B) 3,3 × 10–8 s</p><p>15.</p><p>A)</p><p>3</p><p>5</p><p>B) 2 C)</p><p>10</p><p>3</p><p>16. 48 cm</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: VICENTINA – REV.: CAMILLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: Força Magnética</p><p>frente: Física iii</p><p>010.315 - 136177/19</p><p>AULAS 56 e 57</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Força magnética sobre condutores em um</p><p>campo magnético uniforme</p><p>Para encontrarmos a força em um elemento de corrente,</p><p>primeiro verificamos a equivalência entre corrente e carga em</p><p>movimento. ids</p><p>dq</p><p>dt</p><p>ds dqv</p><p>  </p><p>= =</p><p>Como a força magnética elementar sobre uma carga dq com</p><p>velocidade v dF dq v B</p><p>   </p><p>é: = × .</p><p>Um elemento de corrente ids</p><p></p><p>mergulhado em um campo B</p><p></p><p>,</p><p>como é fácil concluir, sofre uma força dF</p><p></p><p>, cuja expressão é: dF ids B</p><p>  </p><p>= × .</p><p>Mas, de acordo com o resultado anterior, i = nev</p><p>d</p><p>A, logo:</p><p>dF nev Ads B nAds e v x Bd d</p><p>    </p><p>= × = ( ) −( ) = ( ) −( )ndV ev x Bd</p><p> </p><p>Ora, ndV é o número de elétrons contidos no elemento,</p><p>e −ev x Bd</p><p> </p><p>é a força sobre cada um deles. Logo, dF ids B</p><p>  </p><p>= × , como</p><p>esperávamos.</p><p>Em módulo, a força magnética sobre um elemento de corrente</p><p>será: dF = idsB senθ.</p><p>A força sobre um condutor qualquer, dividido em vários</p><p>elementos de corrente será a integral destas forças elementares.</p><p>F df ids B</p><p>   </p><p>= = ×∫ ∫</p><p>Para o caso simples em que um condutor retilíneo é colocado</p><p>em uma região de campo magnético uniforme, todas as forças</p><p>elementares terão a mesma direção e sentido, B e θ (o ângulo entre</p><p>o condutor e o campo) são constantes. Daí:</p><p>F dF ids sen iBsen ds i B sen= = =∫ ∫ ∫θ θ θl</p><p>Onde l é o comprimento do condutor que está sob a ação</p><p>do campo magnético. Associando a esse comprimento o vetor l</p><p></p><p>no</p><p>sentido da corrente, temos finalmente:</p><p>x x x x x x</p><p>x x x x x x</p><p>x x x x x x</p><p>x x x x x x B</p><p>F = i� x B</p><p>�</p><p>Figura 1: força sobre um condutor retilíneo</p><p>devido a um campo uniforme.</p><p>F i B</p><p></p><p>l</p><p> </p><p>= ⋅</p><p>A força entre dois condutores paralelos pode ser calculada,</p><p>considerando que um deles gera um campo magnético B</p><p></p><p>, cujo</p><p>módulo é:</p><p>B</p><p>i</p><p>d</p><p>=</p><p>µ</p><p>π</p><p>0</p><p>2</p><p>Sejam dois condutores, colocados próximos um do outro, com</p><p>correntes i</p><p>1</p><p>e i</p><p>2</p><p>. O condutor 1 gera à distância d um campo</p><p>B</p><p>i</p><p>d</p><p>1</p><p>0 1</p><p>2</p><p>= µ</p><p>π</p><p>Um elemento de corrente no condutor 2 sofrerá uma força</p><p>igual a: dF i ds B</p><p>  </p><p>12 2 2 1= ⋅ .</p><p>Em módulo, esta força será simplesmente:</p><p>dF</p><p>i i</p><p>d</p><p>ds12</p><p>0 12</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>µ</p><p>π</p><p>.</p><p>B1</p><p>i1</p><p>i2dθ2</p><p>i2</p><p>dF12</p><p>d</p><p>Figura 2: força entre dois fios paralelos.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.315 - 136177/19</p><p>Observação:</p><p>Observe que, se as correntes forem de sentidos contrários,</p><p>a força entre os fios será repulsiva.</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>(a)</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>• A força magnética entre fios paralelos é atrativa se as correntes</p><p>tiverem o mesmo sentido (a) e é repulsiva se as correntes</p><p>tiverem sentidos contrários.</p><p>Momento de força magnética</p><p>Aplicaremos o resultado obtido anteriormente de forças</p><p>magnéticas para calcular o torque. Lembrando o resultado da</p><p>mecânica, temos:</p><p>τ</p><p>  </p><p>= ×r F</p><p>Em que r</p><p></p><p>é o vetor posição do ponto de aplicação da força</p><p>em relação ao eixo de rotação.</p><p>Entenda que mesmo que a força resultante sobre uma espira</p><p>seja nula, esta pode sofrer torque. O torque sentido é equivalente</p><p>ao torque produzido por um binário. Consideremos, por exemplo, a</p><p>seguinte espira de corrente retangular, imersa em um campo magnético</p><p>uniforme:</p><p>F2</p><p>F1</p><p>bsenθbsenθ</p><p>b</p><p>i</p><p>P</p><p>aa</p><p>bb</p><p>B</p><p>(b)(a)</p><p>θ</p><p>θ</p><p>F2</p><p>F1</p><p>B</p><p>n</p><p>θ</p><p>θ</p><p>n</p><p>^</p><p>^</p><p>Figura 3: torque magnético em uma espira retangular.</p><p>Como calcular o torque sofrido por um ímã ou por um circuito</p><p>elétrico? Em relação ao eixo horizontal, podemos expressar as seguintes</p><p>equações:</p><p>τ θ</p><p>τ θ</p><p>1 1 1</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>  </p><p>  </p><p>= × = ( )</p><p>= × = ( )</p><p>r F</p><p>b</p><p>Bia sen</p><p>r F</p><p>b</p><p>Bia sen</p><p>Os momentos produzidos por estas forças apontam no mesmo</p><p>sentido. É importante perceber que os outros dois lados da espira</p><p>possuem momento nulo. As forças atuantes nestes lados atuam em</p><p>sentidos contrários, fazendo com que a resultante sobre a espira seja</p><p>nula.</p><p>O torque total é então dado por:</p><p>τ θ</p><p>  </p><p>= × = ⋅r F Biba sen</p><p>Entretanto, tal método pode ser um pouco trabalhoso e temos</p><p>outra forma de ver a coisa. Definiremos uma grandeza denominada</p><p>momento de dipolo magnético m</p><p></p><p>. O vetor momento de dipolo</p><p>magnético de um ímã é um vetor que aponta do polo sul para o</p><p>polo norte e cujo módulo é tanto maior quanto mais intenso for o</p><p>magnetismo do ímã.</p><p>A</p><p>r</p><p>v</p><p>µ</p><p>e–</p><p>I</p><p>L</p><p>I</p><p>I</p><p>Figura 4</p><p>Quanto maior for o momento de dipolo magnético de um</p><p>ímã, mais intenso será o torque sofrido por ele sob ação de um campo</p><p>magnético. Um momento de dipolo magnético m</p><p></p><p>em um campo de</p><p>indução magnética sofre um torque dado por:</p><p>τ τ θ</p><p>   </p><p>= × → =m B mB sen</p><p>Observação:</p><p>O papel deste torque é fazer o vetor m</p><p></p><p>se alinhar ao</p><p>vetor B</p><p></p><p>.</p><p>m</p><p>t</p><p>B</p><p>X</p><p>• Esquema representando o torque sobre um momento de</p><p>dipolo magnético em campo magnético.</p><p>Também podemos atribuir um momento de dipolo a um circuito</p><p>elétrico como a espira retangular da figura a seguir. Representemos</p><p>uma vista superior da referida espira.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.315 - 136177/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>F</p><p>1</p><p>+</p><p>F</p><p>2 d d</p><p>b</p><p>θ</p><p>θ</p><p>i</p><p>i</p><p>0</p><p>+</p><p>Figura 5: vista de perfil de uma espira imersa numa</p><p>região de campo magnético constante.</p><p>Os módulos de F e F</p><p> </p><p>1 2 são iguais e dados por:</p><p>F = Bia</p><p>Os momentos de F e F</p><p> </p><p>1 2 em relação ao ponto 0 são também</p><p>iguais e dados por: τ</p><p></p><p>= Biad.</p><p>Mas d</p><p>b</p><p>sen=</p><p>2</p><p>θ. Daí o momento total sobre a espira é:</p><p>τ θ θ</p><p></p><p>= ( ) =2</p><p>2</p><p>iaB</p><p>b</p><p>sen Bi ba sen( ) .</p><p>Este é o módulo do torque mecânico sobre a espira.</p><p>Comparando com a expressão em que definimos matematicamente</p><p>o momento de dipolo magnético, temos:</p><p>τ θ θ</p><p></p><p>= =</p><p>( ) → =</p><p>mBsen i ab Bsen</p><p>ab m iA o m dulo de m</p><p>( ) .</p><p>.Da : m = ií é ó</p><p>Onde A = ab é a área de espira.</p><p>Como a espira tende a ficar perpendicular ao campo, o vetor</p><p>m</p><p></p><p>deve ser perpendicular ao plano que a contém. De fato, é isto que</p><p>ocorre, e o sentido de m</p><p></p><p>é dado pela regra da mão direita.</p><p>m</p><p>Corrente elétrica</p><p>Vetor momento</p><p>de dipolo</p><p>magnético</p><p>N</p><p>i</p><p>A</p><p>Figura 6: aplicação da regra da mão direita na determinação</p><p>da direção e sentido do vetor momento de dipolo de uma espira.</p><p>Matematicamente podemos representar o vetor momento de</p><p>dipolo magnético como sendo:</p><p>m iAn</p><p> =</p><p>Onde n é o versor normal à espira no sentido dado pela regra</p><p>da mão direita.</p><p>Exercícios</p><p>01. Considere as seguintes afirmações.</p><p>I. Uma partícula carregada, libertada sobre uma linha de campo</p><p>elétrico, continuará todo seu movimento sobre esta mesma</p><p>linha;</p><p>II. O movimento circular e uniforme é assim chamado, pois sua</p><p>aceleração é nula;</p><p>III. A força magnética, aplicada a uma partícula carregada por um</p><p>campo magnético estático, é incapaz de realizar trabalho.</p><p>A) Apenas I é correta. B) Apenas II é correta.</p><p>C) Apenas III é correta. D) Todas estão corretas.</p><p>E) Todas estão erradas.</p><p>02. Uma partícula carregada eletricamente está em movimento num</p><p>campo magnético estacionário não uniforme. O efeito do campo</p><p>sobre a partícula é:</p><p>A) nulo.</p><p>B) mudar o módulo de sua velocidade.</p><p>C) mudar a direção de sua velocidade.</p><p>D) mudar o módulo e a direção de sua velocidade.</p><p>E) somente aumentar sua energia cinética.</p><p>03. No espectrômetro de massa da figura a seguir, os íons acelerados</p><p>pela diferença de potencial V entre S e A entram no campo</p><p>magnético, que cobre um setor de 60º, e são refletidos em direção</p><p>a uma emulsão fotográfica. Calcule o valor de q/m (q carga e m</p><p>massa) para os íons, sendo B a intensidade do campo magnético</p><p>e D a distância entre A e C.</p><p>C</p><p>60ºA</p><p>S</p><p>V</p><p>04. Uma carga puntiforme +q, de massa m, desliza por um plano</p><p>inclinado sobre o qual pende um condutor AC a uma distância</p><p>h da linha de máxima inclinação, conforme figura a seguir.</p><p>Considere o plano inclinado feito de material isolante, de tal forma</p><p>que o corpo não se descarregue, bem como o condutor como</p><p>sendo infinito. Desprezando o atrito, determine o módulo da</p><p>velocidade em que o corpo perde o contato com o plano inclinado.</p><p>(θ = ângulo de inclinação).</p><p>C</p><p>l</p><p>A</p><p>permeabilidade magnética do meioµ0</p><p>h</p><p>q</p><p>θ</p><p>g</p><p>�</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.315 - 136177/19</p><p>05. Uma carga puntiforme +q, de massa m, desliza por um plano</p><p>inclinado (ângulo θ) a partir do repouso. O plano é isolante</p><p>(a fim de o corpo não se descarregar) e tem atrito com o corpo,</p><p>cujo coeficiente de atrito entre os dois é m. Sobre a linha que</p><p>movimenta o corpo, há um condutor infinito, cuja distância da</p><p>citada linha é h. Determine o módulo da velocidade limite.</p><p>C</p><p>l</p><p>A</p><p>h</p><p>qq</p><p>θ</p><p>g</p><p>Considere µ0 → permeabilidade magnética do meio.</p><p>06. Uma carga puntiforme +q, de massa m, desliza por um plano</p><p>inclinado (ângulo θ) sem atrito. Sobre o plano pende um condutor</p><p>AC a uma distância h da linha de máxima inclinação, conforme a</p><p>figura a seguir. Considere que o plano inclinado é feito de material</p><p>isolante, de tal forma que o corpo não se descarregue, bem como</p><p>o condutor como sendo infinito. Determine a distância percorrida</p><p>pela carga até que esta perca o contato com o plano inclinado.</p><p>Considere que a carga parte do repouso.</p><p>C</p><p>l</p><p>A</p><p>h</p><p>q</p><p>θ</p><p>g</p><p>Considere µ0 → permeabilidade magnética do meio.</p><p>07. Uma espira circular de raio R, massa m e corrente I está em repouso</p><p>sobre uma superfície horizontal áspera. Um campo magnético</p><p>horizontal B é paralelo ao plano da espira.</p><p>B</p><p>R</p><p>l</p><p>Qual o valor da corrente I para que um lado da espira seja erguido</p><p>pelo campo magnético?</p><p>A) m g</p><p>B R</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅π</p><p>B</p><p>µ</p><p>I</p><p>B) 2 ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>m g</p><p>B Rπ</p><p>C) m g</p><p>B R</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅2π</p><p>D) m g</p><p>B R</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅4π</p><p>08. Um objeto de massa m e carga q desce em um plano inclinado,</p><p>conforme a figura a seguir. O coeficiente de atrito entre o corpo</p><p>e o plano inclinado é µ. O objeto atinge a velocidade máxima em</p><p>módulo igual a v. Determine, em função dos dados do problema,</p><p>o campo magnético uniforme B.</p><p>X</p><p>θ</p><p>B</p><p>�</p><p>A)</p><p>mg sen tg</p><p>qv</p><p>θ θ</p><p>µ</p><p>−( ) B)</p><p>mg sen</p><p>qv</p><p>θ µ θ</p><p>µ</p><p>−( )cos</p><p>C)</p><p>mg tg</p><p>qv</p><p>cosθ θ</p><p>µ</p><p>−( )</p><p>D) mg</p><p>qv</p><p>sec2 θ</p><p>µ</p><p>E)</p><p>mg</p><p>qv</p><p>cos secθ θ</p><p>µ</p><p>⋅ 2</p><p>09. Numa experiência inédita, um pesquisador dirigiu um feixe</p><p>de partículas desconhecidas para dentro de uma região em</p><p>que existe um campo de indução magnética uniforme B</p><p></p><p>.</p><p>Ele observou que todas as partículas descrevem trajetórias</p><p>circulares com diferentes raios R, mas todas com mesmo período.</p><p>Poderá ele afirmar com certeza que o feixe é constituído:</p><p>A) de partículas iguais e com mesma velocidade inicial, pois todas</p><p>as partículas descrevem órbitas circulares de mesmo período.</p><p>B) de partículas diferentes, mas todas com a mesma velocidade</p><p>inicial, pois todas as partículas descrevem órbitas circulares de</p><p>mesmo período.</p><p>C) de partículas que apresentam o mesmo quociente entre carga</p><p>elétrica q e massa m e mesma velocidade inicial, pois todas as</p><p>partículas descrevem órbitas circulares de mesmo período.</p><p>D) de partículas que apresentam diferentes quocientes entre carga</p><p>elétrica q e massa m e mesma velocidade inicial, pois todas as</p><p>partículas descrevem órbitas circulares de mesmo período.</p><p>E) nenhuma das afirmações anteriores está correta.</p><p>10. Uma partícula de carga q e massa m desloca-se com movimento</p><p>circular sob a ação exclusiva de um campo de indução magnética</p><p>uniforme de intensidade |B|. Nestas condições, pode-se afirmar</p><p>que:</p><p>A) este movimento é uniformemente acelerado.</p><p>B) o trabalho realizado pela força magnética num período é</p><p>positivo.</p><p>C) o trabalho realizado pela força magnética num período é</p><p>negativo.</p><p>D) o movimento é circular e uniforme com velocidade angular</p><p>diretamente proporcional a</p><p>q</p><p>m</p><p>.</p><p>E) o movimento é circular e uniforme com velocidade angular</p><p>independente de B</p><p></p><p>.</p><p>11. Uma carga positiva q, inicialmente em repouso, é submetida à ação</p><p>simultânea de um campo elétrico e um campo magnético cujos</p><p>vetores possuem mesma direção e sentidos contrários. Sabendo-</p><p>se que os campos são uniformes, não variam especialmente, e</p><p>estáticos, não variam no tempo, considere as seguintes afirmações.</p><p>I. Se a força magnética for muito superior à força elétrica,</p><p>o movimento da carga será aproximadamente circular;</p><p>II. Quanto maior o valor da carga q, maior será a força elétrica,</p><p>embora a força magnética não se altere;</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.315 - 136177/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>III. A carga se movimenta com aceleração constante no sentido</p><p>contrário do campo magnético;</p><p>IV. O potencial elétrico associado ao campo elétrico que atua na</p><p>carga não varia espacialmente;</p><p>V. Quanto maior a velocidade atingida pela carga, maior será a</p><p>força magnética.</p><p>Dessas afirmações, são corretas apenas:</p><p>A) II e III</p><p>B) II, III e IV</p><p>C) I, III e V</p><p>D) I, IV e V</p><p>E) I e II</p><p>12. Dois fios condutores, muito longos, possuem densidade linear</p><p>de massa λ e estão suspensos paralelamente por cordas ideais. A</p><p>distância entre eles vale d. Os fios são conectados a um capacitor</p><p>em uma das extremidades e na outra por um pequeno arame</p><p>condutor.</p><p>dd</p><p>+</p><p>–</p><p>C</p><p>A carga no capacitor (de capacitância C) é inicialmente Q</p><p>0</p><p>.</p><p>Logo após a ligação, os fios adquirem inicialmente uma velocidade</p><p>v</p><p>0</p><p>devido à repulsão. Assuma que a constante de tempo de</p><p>descarga do capacitor é negligenciável comparada ao tempo do</p><p>impulso sofrido.</p><p>A) Mostre que v0</p><p>0 0</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>µ</p><p>πλ</p><p>Q</p><p>RCd</p><p>, em que R é a resistência do circuito.</p><p>B) Qual a altura que cada fio pode subir?</p><p>13. Uma espira triangular de arame com corrente I pode girar em torno de</p><p>um eixo horizontal OO’, que passa pelo vértice do triângulo. A massa</p><p>por unidade de comprimento do arame é λ. A espira se encontra</p><p>nos campos de gravidade e magnético B</p><p></p><p>dirigidos verticalmente</p><p>para baixo. Determine o ângulo de desvio do plano do triângulo</p><p>em relação à vertical (α).</p><p>O g α</p><p>B�</p><p>��</p><p>O’</p><p>I</p><p>l → comprimento do lado do triângulo.</p><p>14. Uma partícula de massa m, eletrizada com carga q, é lançada</p><p>com velocidade v</p><p></p><p>, formando um ângulo θ agudo com as linhas</p><p>de indução de um campo magnético uniforme B</p><p></p><p>. Deduza, em</p><p>funções de v, θ, m, q e B a expressão do passo p da hélice cilíndrica</p><p>descrita pela partícula.</p><p>15. Num</p><p>1,00000</p><p>Ar 1,00054</p><p>Água 78</p><p>Papel 3,5</p><p>Mica 5,4</p><p>Âmbar 2,7</p><p>Porcelana 6,0</p><p>Vidro Pirex 4,5</p><p>Poliestileno 2,3</p><p>Teflon 2,1</p><p>Cera 7,8</p><p>Querosene 2,0</p><p>Parafina 2,0</p><p>Álcool 26</p><p>Ebonite 2,7</p><p> Constante dielétrica de alguns meios dielétricos.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>Observações:</p><p>• A constante dielétrica do ar é praticamente igual à do vácuo, o</p><p>que nos permite resolver problemas no ar, usando as constantes</p><p>do vácuo, com erros inferiores a 0,1%.</p><p>• Perceba que, em qualquer meio dielétrico, a força eletrostática</p><p>entre duas cargas pontuais diminui. Este efeito deve-se</p><p>precisamente ao fenômeno de polarização que se opõe</p><p>ao campo elétrico, reduzindo a intensidade das interações</p><p>eletrostáticas.</p><p>• As constantes dielétricas de compostos polares como a água e o</p><p>álcool são visivelmente maiores do que as de materiais apolares</p><p>como o querosene e a parafina. Como você explicaria este fato?</p><p>Princípio da Superposição</p><p>Sendo a força uma grandeza vetorial, devemos levar em conta</p><p>este fato na expressão da força entre várias cargas elétricas. Por</p><p>exemplo, se tivermos duas cargas, q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>, produzindo uma força na</p><p>carga Q, devemos calcular a força resultante através da soma vetorial</p><p>das forças.</p><p>q</p><p>1</p><p>Q</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>res</p><p>F</p><p>2</p><p>q</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>^</p><p>r</p><p>1</p><p>^</p><p>No caso de N cargas pontuais, devemos somar as N forças:</p><p>F F F F Fres N i</p><p>i</p><p>N    </p><p>= + + + =</p><p>=</p><p>∑1 2</p><p>1</p><p>...</p><p>Exercícios</p><p>01. Em dois pontos definidos pelos vetores</p><p></p><p>r e</p><p></p><p>R se encontrou cargas</p><p>positivas q e Q, respectivamente. Determine o vetor posição</p><p></p><p>r .</p><p>de uma carga q</p><p>0</p><p>para que a força resultante em cada carga seja</p><p>igual a zero</p><p>A)</p><p></p><p> </p><p>r</p><p>Qr qR</p><p>q Q</p><p>o =</p><p>+</p><p>+</p><p>B)</p><p></p><p> </p><p>r</p><p>qr QR</p><p>q Q</p><p>o =</p><p>+</p><p>+</p><p>C)</p><p></p><p> </p><p>r</p><p>qr QR</p><p>q Q</p><p>o =</p><p>+</p><p>+</p><p>D)</p><p></p><p> </p><p>r</p><p>Qr qR</p><p>q Q</p><p>o =</p><p>+</p><p>+</p><p>E)</p><p></p><p> </p><p>r</p><p>Q r q R</p><p>Q q</p><p>o =</p><p>+</p><p>+</p><p>3 3</p><p>3 3</p><p>02. Determine a razão entre as trações nos dois casos da figura</p><p>seguinte, sabendo que os sistemas estão em equilíbrio:</p><p>x</p><p>q</p><p>qyq</p><p>q</p><p>q</p><p>q q</p><p>O q</p><p>q qy</p><p>x</p><p>q</p><p>q</p><p>q</p><p>O</p><p>q</p><p>CASO 1 CASO 2</p><p>A)</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>3= ; B)</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>= ;</p><p>C)</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>1= ; D)</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>3= ;</p><p>E)</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>= .</p><p>03. Três cargas puntiformes, +Q</p><p>1</p><p>, +Q</p><p>2</p><p>e –Q</p><p>3</p><p>, encontram-se fixas e</p><p>alinhadas em um plano horizontal sem atrito, como no esquema</p><p>seguinte. Sabe-se que qualquer carga +q permanece em equilíbrio</p><p>quando abandonada nesse plano horizontal, num certo ponto P,</p><p>localizado a uma distância D de carga –Q</p><p>3</p><p>.</p><p>D+ +–</p><p>D</p><p>+Q</p><p>1</p><p>–Q</p><p>3</p><p>+Q</p><p>2</p><p>A partir dessas informações, com base na Lei de Coulomb, pode-</p><p>se concluir que:</p><p>A) Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>4 4</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= B) Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2 2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>C) Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>5 5</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>= D) Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3 3</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>04. Na montagem seguinte, a partícula P de massa m e carga positiva</p><p>q, está suspensa por um fio inextensível de comprimento ll, de</p><p>tal modo a descrever um movimento circular de raio constante R.</p><p>No centro da trajetória circular existe uma carga +Q. Determine</p><p>a velocidade do movimento circular em função de Q, q, m, ll, R,</p><p>da aceleração da gravidade local g e da permissividade elétrica</p><p>do ar e</p><p>0</p><p>.</p><p>+q,m</p><p>R</p><p>Q</p><p>�</p><p>+</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>05. Duas cargas iguais a +Q estão fixas e localizadas a uma distância a,</p><p>uma da outra. Ao longo do eixo de simetria do sistema destas</p><p>cargas, pode-se mover uma terceira carga – q que possui massa m.</p><p>Considerando pequena distância da carga – q até a reta, que une</p><p>as cargas +Q, o período de oscilações da carga – q é:</p><p>A) T</p><p>a m a</p><p>Q q</p><p>=</p><p>⋅</p><p>π πε</p><p>2</p><p>0 B) T a</p><p>m a</p><p>Q q</p><p>=</p><p>⋅</p><p>π</p><p>πε2 0</p><p>C) T a</p><p>m a</p><p>Q q</p><p>=</p><p>⋅</p><p>π</p><p>πε0</p><p>2</p><p>D) T a</p><p>m a</p><p>Q q</p><p>=</p><p>⋅</p><p>2 0π</p><p>πε</p><p>E) N.R.A.</p><p>06. Um pêndulo elétrico constituído por uma partícula de massa</p><p>m e carga +q encontra-se suspensa no teto por um fio ideal</p><p>isolante. A uma distância L abaixo dessa partícula encontra-</p><p>se o centro de um aro circular de raio R uniformemente</p><p>eletrizado com carga –Q. A gravidade local vale g e a constante</p><p>eletrostática do meio vale K. Sabendo que o aro encontra-se</p><p>levitando em equilíbrio conforme a figura, determine:</p><p>R</p><p>L</p><p>g</p><p>–Q</p><p>+q</p><p>A) A massa do aro circular.</p><p>B) A tração no fio do pêndulo.</p><p>07. Partículas de poeira carregadas no espaço interestelar, todas de</p><p>mesma massa e cada uma com excesso de n elétrons, formam</p><p>uma nuvem esférica, estável e uniforme. Determine a massa de</p><p>cada partícula.</p><p>Dados:</p><p>e0 → permissividade elétrica</p><p>G → Constante de Gravitação Universal</p><p>e → carga elementar</p><p>08. Duas cargas puntiformes q, iguais, estão separadas por uma</p><p>distância 2b. Uma terceira carga q é obrigada a permanecer</p><p>na mesma linha que une as anteriores. Mostrar que, se x é o</p><p>deslocamento da terceira carga, a partir do ponto médio das</p><p>outras duas, existe uma força de restituição para pequenos</p><p>deslocamentos x << b, que é aproximadamente linear, isto é:</p><p>F</p><p>q x</p><p>b</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>3πε</p><p>09. Uma pequena esfera A, de carga +Q e massa m, encontra-se em</p><p>repouso nas proximidades de um plano inclinado, quando dela é</p><p>aproximada lentamente uma segunda esfera B, de carga +Q, fixa</p><p>sobre um suporte isolante.</p><p>+</p><p>+</p><p>60º</p><p>A</p><p>B</p><p>3 m</p><p>α</p><p>Devido à repulsão eletrostática, a esfera A desloca-se ao</p><p>longo da rampa sem atrito, estacionando na posição ilustrada</p><p>anteriormente. Determine o ângulo aa.</p><p>Dados: Constante eletrostática = 9 · 109(SI)</p><p>g = 10 m/s2 Q = 2mC, m = 0,3 g</p><p>10. Os pontos fixos A e B estão eletrizados com carga +Q cada um.</p><p>Um terceiro ponto C, eletrizado com carga –Q</p><p>0</p><p>pode deslizar</p><p>livremente sob a guia retilínea e horizontal, perfeitamente lisa.</p><p>Verifica-se que o ponto C fica em equilíbrio quando o segmento</p><p>AC é normal a BC.</p><p>Demonstre que entre a , b e c ver if ica-se a relação</p><p>a3 + b3 = abc.</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>b</p><p>a</p><p>11. O átomo de hidrogênio no modelo de Bohr é constituído de um</p><p>elétron de carga e que se move em órbitas circulares de raio r, em</p><p>torno do próton, sob a influência da força de atração coulombiana.</p><p>O trabalho efetuado por esta força sobre o elétron ao percorrer</p><p>a órbita do estado fundamental é:</p><p>A) −e</p><p>r</p><p>2</p><p>02ε</p><p>B)</p><p>e</p><p>r</p><p>2</p><p>02ε</p><p>C)</p><p>−e</p><p>r</p><p>2</p><p>04πε</p><p>D) e</p><p>r</p><p>2</p><p>E) N.R.A.</p><p>12. Duas cavidades esféricas, de raios a e b, no interior de uma esfera</p><p>condutora neutra, têm cargas qa e qb, conforme mostra a figura.</p><p>Sabendo-se que a distância entre os centros das cavidades é</p><p>R</p><p>2</p><p>,</p><p>determine o módulo da força entre as cargas qa e qb.</p><p>Dado: e</p><p>0</p><p>= permissividade elétrica</p><p>a</p><p>b</p><p>Rq</p><p>a</p><p>q</p><p>b</p><p>A) F</p><p>q q</p><p>R</p><p>a b=</p><p>⋅1</p><p>4 0</p><p>2πε</p><p>B) F</p><p>q q</p><p>R</p><p>a b=</p><p>⋅1</p><p>4 160</p><p>2πε</p><p>C) F</p><p>q q</p><p>R</p><p>a b=</p><p>⋅1</p><p>4</p><p>4</p><p>0</p><p>2πε</p><p>D) F</p><p>q q</p><p>a b</p><p>a b=</p><p>⋅</p><p>+</p><p>1</p><p>4 0</p><p>2πε ( )</p><p>E) N.R.A.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>13. A figura indica um pêndulo elétrico carregado com carga (+Q)</p><p>mantido em equilíbrio através da fixação de certa carga (q)</p><p>distribuída sobre uma pequena esfera. Através de determinado</p><p>processo, aumenta-se continuamente o valor de q, até o instante</p><p>em que o fio se mantenha na horizontal. Sendo P o peso da esfera</p><p>do pêndulo, assinale a alternativa que corresponde à nova carga q’</p><p>da esfera, supondo que o meio que envolve as cargas é o vácuo.</p><p>L</p><p>+q</p><p>Q+</p><p>L</p><p>2</p><p>A) q’ =</p><p>L P</p><p>K Q</p><p>2</p><p>04</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>B) q’ =</p><p>7</p><p>4 3</p><p>2</p><p>0</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>L P</p><p>K Q</p><p>C) q’ =</p><p>7 7</p><p>4 3</p><p>2</p><p>0</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>L P</p><p>K Q</p><p>D) q’ = 7 7</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>L P</p><p>K Q</p><p>E) q’ =</p><p>7</p><p>4 3</p><p>2</p><p>0</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>L P</p><p>K Q</p><p>14. Nos vértices de um triângulo isósceles existem três cargas</p><p>puntiformes fixas e iguais entre si. Calcular a relação entre a base</p><p>b e a altura h do triângulo, para que qualquer carga colocada no</p><p>ponto médio da altura fique em equilíbrio sob a ação das forças</p><p>elétricas.</p><p>15. É dada uma balança de braços desiguais conforme a mostrada</p><p>na figura, articulada em O.</p><p>m</p><p>0</p><p>q</p><p>–q</p><p>h = 10 cm</p><p>1 cm4 cm</p><p>O prato da balança é considerado sem massa, bem como os seus</p><p>braços. Um</p><p>espectrômetro de massa, como o da figura, os íons de carga</p><p>q viajam através de uma região em que existem campos elétricos e</p><p>magnéticos cruzados para outra região em que existe um campo</p><p>magnético uniforme. Deduza uma expressão para a massa do íon</p><p>em função de V, B, R, q e d.</p><p>V Fonte</p><p>d</p><p>–</p><p>+</p><p>–</p><p>+ R</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>C C * * *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* A E D</p><p>11 12 13 14 15</p><p>A * * * *</p><p>03. 32</p><p>2 2</p><p>V</p><p>B D</p><p>04. V</p><p>hmg</p><p>qI</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>π θ</p><p>µ</p><p>cos</p><p>05. 2</p><p>0</p><p>π θ µ θ</p><p>µ µ</p><p>hmg</p><p>qI</p><p>(sen cos )−</p><p>06. 2 2 2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>D h m g g c</p><p>q i</p><p>π θ θ</p><p>µ</p><p>cot os</p><p>12. Demonstração</p><p>13.</p><p>BI</p><p>g4λ</p><p>14. p v</p><p>m</p><p>Bq</p><p>= cosθ</p><p>π2</p><p>15. qB R</p><p>V</p><p>2 2</p><p>2</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: VICENTINA – REV.: LÍCIA</p><p>B</p><p>2</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: Torque Produzido Por uMa Força MagnéTica</p><p>frente: Física iii</p><p>010.550 - 136364/19</p><p>AULAS 58 E 59</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Momento de força magnética</p><p>Aplicaremos o resultado obtido anteriormente de forças</p><p>magnéticas para calcular o torque. Lembrando o resultado da</p><p>mecânica, temos:</p><p>τ</p><p>  </p><p>= ×r F</p><p>Em que r</p><p></p><p>é o vetor posição do ponto de aplicação da força</p><p>em relação ao eixo de rotação.</p><p>Entenda que mesmo que a força resultante sobre uma espira</p><p>seja nula, esta pode sofrer torque. O torque sentido é equivalente</p><p>ao torque produzido por um binário. Consideremos, por exemplo, a</p><p>seguinte espira de corrente retangular, imersa em um campo magnético</p><p>uniforme:</p><p>F2</p><p>F1</p><p>bsenθbsenθ</p><p>b</p><p>i</p><p>P</p><p>aa</p><p>bb</p><p>B</p><p>(b)(a)</p><p>θ</p><p>θ</p><p>F2</p><p>F1</p><p>B</p><p>n</p><p>θ</p><p>θ</p><p>n</p><p>^</p><p>^</p><p>Figura 10: torque magnético em uma espira retangular.</p><p>Como calcular o torque sofrido por um ímã ou por um circuito</p><p>elétrico? Em relação ao eixo horizontal, podemos expressar as seguintes</p><p>equações:</p><p>τ θ</p><p>τ θ</p><p>1 1 1</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>  </p><p>  </p><p>= × = ( )</p><p>= × = ( )</p><p>r F</p><p>b</p><p>Bia sen</p><p>r F</p><p>b</p><p>Bia sen</p><p>Os momentos produzidos por estas forças apontam no mesmo</p><p>sentido. É importante perceber que os outros dois lados da espira</p><p>possuem momento nulo. As forças atuantes nestes lados atuam em</p><p>sentidos contrários, fazendo com que a resultante sobre a espira seja</p><p>nula.</p><p>O torque total é então dado por:</p><p>τ θ</p><p>  </p><p>= × = ⋅r F Biba sen</p><p>Entretanto, tal método pode ser um pouco trabalhoso e temos</p><p>outra forma de ver a coisa. Definiremos uma grandeza denominada</p><p>momento de dipolo magnético m</p><p></p><p>. O vetor momento de dipolo</p><p>magnético de um ímã é um vetor que aponta do polo sul para o</p><p>polo norte e cujo módulo é tanto maior quanto mais intenso for o</p><p>magnetismo do ímã.</p><p>A</p><p>r</p><p>v</p><p>µ</p><p>e–</p><p>I</p><p>L</p><p>I</p><p>I</p><p>Figura 11</p><p>Quanto maior for o momento de dipolo magnético de um</p><p>ímã, mais intenso será o torque sofrido por ele sob ação de um campo</p><p>magnético. Um momento de dipolo magnético m</p><p></p><p>em um campo de</p><p>indução magnética sofre um torque dado por:</p><p>τ τ θ</p><p>   </p><p>= × → =m B mB sen</p><p>Observação:</p><p>O papel deste torque é fazer o vetor m</p><p></p><p>se alinhar ao</p><p>vetor B</p><p></p><p>.</p><p>m</p><p>t</p><p>B</p><p>X</p><p>• Esquema representando o torque sobre um momento de</p><p>dipolo magnético em campo magnético.</p><p>Também podemos atribuir um momento de dipolo a um circuito</p><p>elétrico como a espira retangular da figura seguinte. Representemos</p><p>uma vista superior da referida espira.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.550 - 136364/19</p><p>F</p><p>1</p><p>+</p><p>F</p><p>2 d d</p><p>b</p><p>θ</p><p>θ</p><p>i</p><p>i</p><p>0</p><p>+</p><p>Figura 12: vista de perfil de uma espira imersa numa</p><p>região de campo magnético constante.</p><p>Os módulos de F e F</p><p> </p><p>1 2 são iguais e dados por:</p><p>F = Bia</p><p>Os momentos de F e F</p><p> </p><p>1 2 em relação ao ponto 0 são também</p><p>iguais e dados por: τ</p><p></p><p>= Biad.</p><p>Mas d</p><p>b</p><p>sen=</p><p>2</p><p>θ. Daí o momento total sobre a espira é:</p><p>τ θ θ</p><p></p><p>= ( ) =2</p><p>2</p><p>iaB</p><p>b</p><p>sen Bi ba sen( ) .</p><p>Esse é o módulo do torque mecânico sobre a espira.</p><p>Comparando com a expressão em que definimos matematicamente</p><p>o momento de dipolo magnético, temos:</p><p>τ θ θ</p><p></p><p>= =</p><p>( ) → =</p><p>mBsen i ab Bsen</p><p>ab m iA o m dulo de m</p><p>( ) .</p><p>.Da : m = ií é ó</p><p>Em que A = ab é a área de espira.</p><p>Como a espira tende a ficar perpendicular ao campo, o vetor</p><p>m</p><p></p><p>deve ser perpendicular ao plano que a contém. De fato, é isto que</p><p>ocorre, e o sentido de m</p><p></p><p>é dado pela regra da mão direita.</p><p>m</p><p>Corrente elétrica</p><p>Vetor momento</p><p>de dipolo</p><p>magnético</p><p>N</p><p>i</p><p>A</p><p>Figura 13: aplicação da regra da mão direita na determinação</p><p>da direção e sentido do vetor momento de dipolo de uma espira.</p><p>Matematicamente podemos representar o vetor momento de</p><p>dipolo magnético como sendo:</p><p>m iAn</p><p> =</p><p>Em que n é o versor normal à espira no sentido dado pela</p><p>regra da mão direita.</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma espira retangular de perímetro p, percorrida por uma corrente</p><p>elétrica de intensidade constante I, define uma região plana de</p><p>área S, paralela a um campo magnético uniforme B</p><p></p><p>no qual está</p><p>totalmente imersa como na figura.</p><p>C D</p><p>BA</p><p>S</p><p>i</p><p>�</p><p>B</p><p>A) Expresse a intensidade t do torque resultante na espira em</p><p>função de B, i e S.</p><p>B) Levando em conta que a expressão obtida no item A continua</p><p>válida, se a mesma espira for deformada de modo a ficar com</p><p>outro formato qualquer, determine, em função de B, i e p, o</p><p>torque resultante mais intenso possível de ser conseguido por</p><p>meio da variação exclusiva da área S.</p><p>02. Uma barra de material isolante, em forma de um “V”, pode girar</p><p>livremente em torno de um eixo que passa por 0. Na extremidade</p><p>direita da barra, está suspenso um prato, em que poderão ser</p><p>colocadas massas conhecidas.</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>A</p><p>E</p><p>F</p><p>O</p><p>d</p><p>�</p><p>B</p><p>d</p><p>Na parte esquerda da barra é fixado um fio condutor rígido</p><p>ABCDEF, cujos terminais são A e F. Os trechos BC e DE do fio são</p><p>arcos de circunferência com centros em 0. A região CD desse fio,</p><p>de comprimento 5,00 cm, está imersa em um campo magnético</p><p>uniforme B</p><p></p><p>, perpendicular ao plano da figura e apontando para</p><p>o leitor.</p><p>O sistema descrito, inicialmente em equilíbrio, permite medir a</p><p>intensidade de B</p><p></p><p>. Para isso, usando fios muito flexíveis, que não</p><p>perturbem o equilíbrio do sistema, ligamos os terminais A e F a</p><p>um gerador em série com um medidor de corrente.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.550 - 136364/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Suponha que o sentido da corrente em CD seja de C para D e</p><p>que sua intensidade seja 10,0 A.</p><p>Estabelecida essa corrente, o sistema desequilibra-se, sendo</p><p>necessário colocar uma massa de 15,0 g no prato para que</p><p>o equilíbrio se restabeleça. Sendo g = 9,80 m/s2, calcule a</p><p>intensidade de B</p><p></p><p>.</p><p>03. Uma espira triangular de arame com corrente I pode girar em torno de</p><p>um eixo horizontal OO’, que passa pelo vértice do triângulo. A massa</p><p>por unidade de comprimento do arame é λ. A espira se encontra</p><p>nos campos de gravidade e magnético B</p><p></p><p>, dirigidos verticalmente</p><p>para baixo. Determine o ângulo de desvio do plano do triângulo</p><p>em relação à vertical (α).</p><p>O g α</p><p>B�</p><p>��</p><p>O’</p><p>I</p><p>l → comprimento do lado do triângulo.</p><p>04. Uma espira circular de raio R, massa m e corrente I está em repouso</p><p>sobre uma superfície horizontal áspera. Um campo magnético</p><p>horizontal B é paralelo ao plano da espira.</p><p>B</p><p>R</p><p>l</p><p>Qual o valor da corrente I para que um lado da espira seja erguido</p><p>pelo campo magnético?</p><p>A) m g</p><p>B R</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅π</p><p>B</p><p>µ</p><p>I</p><p>B) 2 ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>m g</p><p>B Rπ</p><p>C) m g</p><p>B R</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅2π</p><p>D) m g</p><p>B R</p><p>⋅</p><p>⋅ ⋅4π</p><p>05. Dois fios condutores, muito longos, possuem densidade linear</p><p>de massa λ e estão suspensos paralelamente por cordas ideais. A</p><p>distância entre eles vale d. Os fios são conectados a um capacitor</p><p>em uma das extremidades e na outra por um pequeno arame</p><p>condutor.</p><p>dd</p><p>+</p><p>–</p><p>C</p><p>A carga no capacitor (de capacitância C) é inicialmente Q</p><p>0</p><p>.</p><p>Logo após a ligação, os fios adquirem inicialmente uma velocidade</p><p>v</p><p>0</p><p>devido à repulsão. Assuma que a constante de tempo de</p><p>descarga do capacitor é negligenciável comparada ao tempo do</p><p>impulso sofrido.</p><p>A) Mostre que v0</p><p>0 0</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>µ</p><p>πλ</p><p>Q</p><p>RCd</p><p>, em que R é a resistência do circuito.</p><p>B) Qual a altura que cada fio pode subir?</p><p>06. No interior de um solenoide longo, onde existe um campo de</p><p>indução magnética B uniforme e axial,</p><p>corpo de massa m = 90 g é colocado no prato ao lado</p><p>esquerdo da balança, e a distância h entre as cargas +q e –q é igual</p><p>a 10 cm. Assinale a alternativa que corresponde ao valor da carga</p><p>que mantém os braços da balança na horizontal:</p><p>A) 2 µC</p><p>B) 1 µC</p><p>C) 4 pC</p><p>D) 1 pC</p><p>E) 4 nC</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>D C A – E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– – – – –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>E E C – A</p><p>01.</p><p>qq</p><p>qq</p><p>r r</p><p>Qq</p><p>R r</p><p>0 0</p><p>0</p><p>3</p><p>0 0</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>(r r )</p><p>R r</p><p>Qq (R r )</p><p>R r</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>−</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>− 00</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>q</p><p>r r</p><p>Q</p><p>R r</p><p>   −</p><p>=</p><p>−</p><p>Assim:</p><p>(r r )</p><p>r r</p><p>( r )</p><p>r</p><p>(r r ) ( r )</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>   −</p><p>−</p><p>= −</p><p>−</p><p>−</p><p>→ − = − −0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>R</p><p>R</p><p>Q q R</p><p>  </p><p>r Q Q r q R0</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2(q )+ = +</p><p>Logo:</p><p></p><p>   </p><p>r</p><p>Q r q R</p><p>q Q</p><p>Qr qR</p><p>q Q</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>Resposta: D</p><p>02. A força elétrica resultante em cada partícula é dada por:</p><p>60º</p><p>30º</p><p>30º</p><p>60º</p><p>F</p><p>e</p><p>1</p><p>F</p><p>e</p><p>2</p><p>F</p><p>e</p><p>3</p><p>F</p><p>e</p><p>6</p><p>F</p><p>e</p><p>4</p><p>F</p><p>e</p><p>5</p><p>F</p><p>K q</p><p>R</p><p>K q</p><p>R</p><p>K q</p><p>R</p><p>K q</p><p>R</p><p>F</p><p>= + + ⋅</p><p>°</p><p>°</p><p>+ ⋅ °</p><p>=</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2 30</p><p>30</p><p>2 60</p><p>27</p><p>( cos )</p><p>cos</p><p>cos</p><p>++ 4 3</p><p>12</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>k q</p><p>R</p><p>No caso 1, temos:</p><p>2 60</p><p>27 4 3</p><p>12</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>T</p><p>k q</p><p>R</p><p>cos ° =</p><p>+</p><p>T</p><p>k q</p><p>R</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>27</p><p>4 3</p><p>12</p><p>= +</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>No caso 2, temos:</p><p>T</p><p>k q</p><p>R</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>27 4 3</p><p>12</p><p>=</p><p>+</p><p>A razão entre as trações vale</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>1= .</p><p>Resposta: C</p><p>03.</p><p>– Q</p><p>3</p><p>+Q</p><p>2+Q</p><p>1</p><p>+q</p><p>x</p><p>p</p><p>DD</p><p>θ</p><p>θ</p><p>yF</p><p>3</p><p>F</p><p>1</p><p>F 2</p><p>F</p><p>k qQ</p><p>D</p><p>3</p><p>0 3</p><p>2</p><p>= cos ;θ θ=</p><p>x</p><p>D</p><p>sen</p><p>y</p><p>D2 2</p><p>F</p><p>k qQ</p><p>D sen</p><p>2</p><p>0 2</p><p>2 24</p><p>=</p><p>θ</p><p>F</p><p>k qQ</p><p>D</p><p>1</p><p>0 1</p><p>2 24</p><p>=</p><p>cos θ</p><p>F F3 1cosθ = F sen F3 2θ =</p><p>Substituindo os valores das forças e manipulando algebricamente,</p><p>encontraremos o item A.</p><p>Resposta: A</p><p>04.</p><p>�</p><p>θ</p><p>R</p><p>2 2R−�T</p><p>F</p><p>e</p><p>P</p><p>F</p><p>k qQ</p><p>R</p><p>e = 0</p><p>2</p><p>T F</p><p>mV</p><p>R</p><p>Tsen mg</p><p>T</p><p>mg</p><p>sen</p><p>mg</p><p>qQ</p><p>R</p><p>mV</p><p>R</p><p>ecos</p><p>cotg</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>πε</p><p>− =</p><p>=</p><p>=</p><p>− =</p><p>2</p><p>0 2</p><p>2</p><p>4</p><p>cotgθ =</p><p>−</p><p>R</p><p>Rl2 2</p><p>Daí:</p><p>V</p><p>gR</p><p>R</p><p>qQ</p><p>m R</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>2</p><p>2 2</p><p>04l πε</p><p>05.</p><p>F</p><p>θ</p><p>F</p><p>+Q+Q</p><p>– q</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>x</p><p>2</p><p><<</p><p>F</p><p>Restauradora</p><p>= 2F senθ</p><p>F</p><p>R</p><p>= 2Ftgθ</p><p>F</p><p>K qQ</p><p>a</p><p>x</p><p>x</p><p>aR =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>2</p><p>4 2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>mw x</p><p>qQ</p><p>a</p><p>x2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>8</p><p>=</p><p>πε</p><p>w</p><p>qQ</p><p>ma</p><p>=</p><p>4</p><p>0</p><p>3πε</p><p>T</p><p>m a</p><p>qQ</p><p>a</p><p>m a</p><p>qQ</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>2</p><p>4</p><p>0</p><p>3</p><p>0π</p><p>πε</p><p>π</p><p>πε</p><p>Resposta: E</p><p>06. i: Força elétrica entre o aro e a carga + q.</p><p>R</p><p>θ</p><p>L +q</p><p>– ∆Q</p><p>∆F</p><p>2 2R L+</p><p>∆</p><p>∆</p><p>F</p><p>K Qq</p><p>R L</p><p>=</p><p>+2 2</p><p>. As componentes de ∆F ao longo do aro se anulou.</p><p>Daí,</p><p>F</p><p>KQq</p><p>L R</p><p>F</p><p>KQq</p><p>L R</p><p>L KQqL</p><p>R L</p><p>=</p><p>+</p><p>⋅</p><p>=</p><p>+</p><p>⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>2 2</p><p>2 2 2 2 1</p><p>2 2 2 3</p><p>2</p><p>cos</p><p>(R L ) ( )</p><p>θ</p><p>sen</p><p>2</p><p>θ</p><p>Como o aro está levitando, então</p><p>Mg</p><p>KQqL</p><p>M</p><p>KqQL</p><p>=</p><p>+</p><p>→ =</p><p>+(R L ) g(R L )2 2 3</p><p>2 2 2 3</p><p>2</p><p>B) T = F + mg</p><p>T mg</p><p>KqQL</p><p>= +</p><p>+(R L )2 2 3</p><p>2</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>07.</p><p>F</p><p>elétrica</p><p>d</p><p>P</p><p>F</p><p>gravitacional</p><p>A partícula anterior P tem massa m e carga Q = – ne. Considere</p><p>que dentro da esfera de raio d. Temos N partículas. Daí:</p><p>F</p><p>GMm</p><p>d</p><p>G =</p><p>2</p><p>2</p><p>e F</p><p>Mn e</p><p>d</p><p>e =</p><p>1</p><p>4 0</p><p>2 2</p><p>2πε</p><p>F F</p><p>GMm</p><p>d</p><p>Mne</p><p>d</p><p>m</p><p>n</p><p>G</p><p>G e</p><p>e</p><p> </p><p>= ⇒ =</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>1</p><p>πε</p><p>πε</p><p>08. Demonstração.</p><p>��������</p><p>b – x</p><p>b + x</p><p>q q</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>qx</p><p>F</p><p>kq</p><p>b</p><p>x</p><p>b</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>F</p><p>kq</p><p>b</p><p>x</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>F</p><p>kq</p><p>b</p><p>x</p><p>b</p><p>x</p><p>b</p><p>R = + − −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>F</p><p>kq x</p><p>b</p><p>q x</p><p>b</p><p>R = =</p><p>4 2</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>3πε</p><p>09.</p><p>α</p><p>β 60º</p><p>3 m</p><p>NF</p><p>e</p><p>3 m</p><p>mg</p><p>D</p><p>+</p><p>+</p><p>β = 60º – (90 – a)</p><p>β = a – 30º</p><p>sen</p><p>D</p><p>D m m60</p><p>3 3</p><p>3</p><p>2</p><p>2 3º = → = =</p><p>F x Ne =</p><p>× × ×</p><p>×</p><p>=</p><p>−3 9 12</p><p>39 10 4 10</p><p>4 3</p><p>3 10–</p><p>Fe = − ° =cos( ) mgsenα α30</p><p>3 10 30 3 103 3× − ° = ×− −cos( )α αsen</p><p>cos( ) sen</p><p>cos</p><p>cos</p><p>α α</p><p>α α α</p><p>α α</p><p>− =</p><p>⋅ + ⋅ =</p><p>⋅ =</p><p>30</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>sen sen</p><p>sen</p><p>tgα</p><p>α</p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>60º</p><p>10. Demonstração.</p><p>C</p><p>Cx</p><p>a</p><p>b</p><p>θ</p><p>A</p><p>B</p><p>y</p><p>F</p><p>A</p><p>F</p><p>B</p><p>AC</p><p>a</p><p>=</p><p>cosθ</p><p>BC</p><p>b</p><p>sen</p><p>=</p><p>θ</p><p>c = x + y tg</p><p>x</p><p>a</p><p>θ = tg</p><p>b</p><p>y</p><p>θ =</p><p>c atg</p><p>b</p><p>tg</p><p>= +θ</p><p>θ</p><p>F</p><p>K Q Q</p><p>a</p><p>A = 0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>cos θ</p><p>F</p><p>K Q Q</p><p>b</p><p>senB = 0 0</p><p>2 2 θ</p><p>F sen F</p><p>K Q Q sen</p><p>a</p><p>K Q Q sen</p><p>b</p><p>A B= = ⇒</p><p>⇒ =</p><p>θ θ</p><p>θ θ θ θ</p><p>cos</p><p>cos cos0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>tg</p><p>b</p><p>a</p><p>θ =</p><p>2</p><p>2</p><p>c a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>abc b a= ⋅ + ⋅ ⇒ = +</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 3</p><p>11. Neste caso, a força elétrica é a resultante centrípeta. Daí, �Fe = OJ.</p><p>Resposta:E</p><p>12. Teremos uma indução total em ambas as cavidades, o que</p><p>propocionará fluxo nulo de um cavidade para a outra. Assim</p><p>sendo, não teremos força entre q</p><p>a</p><p>e q</p><p>b</p><p>.</p><p>Resposta:E</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.746 - 128104/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>13.</p><p>Fe</p><p>P</p><p>θ</p><p>θ</p><p>TL</p><p>q’</p><p>L 7</p><p>2</p><p>L 3</p><p>2</p><p>Fe</p><p>K q Q</p><p>L</p><p>k q Q</p><p>L</p><p>Fe sen P</p><p>k q Q</p><p>L</p><p>L</p><p>L</p><p>P</p><p>q</p><p>L P</p><p>o o</p><p>o</p><p></p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅ → ⋅ =</p><p>=</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>’</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>7</p><p>4</p><p>7</p><p>4</p><p>7</p><p>3</p><p>7</p><p>2</p><p>7 7</p><p>θ</p><p>44 3K Qo</p><p>14.</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>F</p><p>2</p><p>d</p><p>Q</p><p>bQ Q</p><p>q</p><p>d</p><p>θ</p><p>θ</p><p>i) F</p><p>K qQ</p><p>L</p><p>K qQ</p><p>L</p><p>o o</p><p>2 2 2</p><p>4</p><p>4= =</p><p>ii) d</p><p>h h</p><p>d</p><p>b h2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>4 4 4</p><p>= + → = +</p><p>iv) F</p><p>K q Q</p><p>b h</p><p>o</p><p>1 2 2</p><p>4=</p><p>+( )</p><p>v) 2 2</p><p>2 2 2 4</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2 2 2 2</p><p>3 2 2</p><p>F F</p><p>h</p><p>d</p><p>K q Q h</p><p>b h</p><p>h</p><p>b h</p><p>K q Q</p><p>h</p><p>h b h</p><p>o o</p><p>cos cosθ θ= =</p><p>⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>= +( )) → = −</p><p>3</p><p>2 3 4 1</p><p>b</p><p>h</p><p>15.</p><p>A</p><p>4 cm 1 cm</p><p>P = 0,9N</p><p>∆</p><p>Fe</p><p>q</p><p>= ⋅ ⋅</p><p>−</p><p>9 10</p><p>10</p><p>9 2</p><p>2</p><p>Aplicando 2</p><p>  </p><p>Torques w(A) O N= ⋅</p><p>Teremos:</p><p>0,9 · 4 = 9 · 1011 q2 ·1</p><p>4 · 10–12 = q2</p><p>q = 2 mc</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: MARCOS HAROLDO</p><p>DIG.: SAMUE/ ANÍBAL – REV.: LÍCIA/ KELLY MOURA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Marcos Haroldo</p><p>assunto: caMpo ElEtrostático</p><p>frente: Física iii</p><p>002.030– 128292/18</p><p>AULAS 09 A 13</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>É intrigante perceber que uma carga enxerga outra no espaço</p><p>a uma distância r , concorda? Como ele faz para visualizar e ainda</p><p>mais, para ditar a direção e o sentido da força, se elas nem estão em</p><p>contato? A resposta de tal questionamento surge no século XIX, com</p><p>o conceito de campo elétrico, proposto por Michael Faraday.</p><p>O conceito de campo se apresenta útil na explicação da</p><p>interação de corpos à distância. Sem o auxílio do conceito de</p><p>campo, essa interação ocorreria como se “telepaticamente” um</p><p>corpo tomasse conhecimento da presença, da posição e das</p><p>propriedades do outro. Com o conceito de campo, este passa a ser</p><p>o agente transmissor das forças. A ideia de campo não é recente.</p><p>Começou com um artifício matemático para facilitar a exposição de</p><p>algumas teorias. A gravitação é um exemplo disso.</p><p>Definição</p><p>O vetor E</p><p>�</p><p>é chamado de campo elétrico das cargas fontes.</p><p>Tal grandeza é função de r</p><p>�</p><p>(local onde você o calcula), pois</p><p>depende intimamente de r</p><p>�</p><p>e da distribuição de cargas no espaço.</p><p>Repare que ele não faz qualquer referência à carga de prova Q.</p><p>Fisicamente, podemos arranjar uma definição pragmática para campo</p><p>elétrico: Força por unidade de carga que seria exercida sobre uma</p><p>carga de prova localizada em r.1</p><p>�</p><p>Assim, tomemos a força resultante sobre uma carga pontual</p><p>devido a N partículas no espaço:</p><p>F F F F F</p><p>qQ</p><p>r</p><p>r QEN</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>i</p><p>� � � � � � �</p><p>= + + + + =</p><p>∈</p><p>=</p><p>=</p><p>∑1 2 3</p><p>00</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>...</p><p>π</p><p>Logo, o campo que uma carga fonte (localizada na origem) gera</p><p>em um ponto qualquer localizado pelo vetor r</p><p>�</p><p>é dado por:</p><p>E</p><p>q</p><p>r</p><p>r</p><p>� �=</p><p>∈</p><p>1</p><p>4 0</p><p>2π</p><p>_________________________________</p><p>1 É importante ter em mente que a definição de campo é um pouco abstrata. É fácil</p><p>calculá-lo, mas temos um pouco de complicações quando o definimos.</p><p>Esse resultado pode ser visualizado com o auxílio de um gráfico:</p><p>hipérbole cúbica</p><p>Gráfico do campo elétrico de uma carga pontual em função</p><p>da distância.</p><p>Quando o campo enxerga uma carga “positiva” no ponto P, a</p><p>carga sente força elétrica:</p><p>+</p><p>–</p><p>Q</p><p>Q</p><p>E</p><p>P</p><p>P</p><p>E</p><p>d</p><p>Se a carga for negativa, o efeito é o inverso.</p><p>Superposição de campos</p><p>Observe que se seguirmos essa linha de raciocínio, podemos</p><p>perceber que o princípio da superposição é aplicado aos campos</p><p>elétricos da mesma forma que para força elétrica.</p><p>E</p><p>q</p><p>r</p><p>r</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>� �=</p><p>∈=</p><p>∑ 1</p><p>4 01</p><p>2π</p><p>Pode acontecer de a distribuição espacial de cargas fontes seja</p><p>contínua. Teremos, então:</p><p>E</p><p>q</p><p>r</p><p>r</p><p>q</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>i</p><p>� �=</p><p>∈∆ → =</p><p>∑lim</p><p>0</p><p>01</p><p>2</p><p>1</p><p>4π</p><p>∆</p><p>Onde ∆q é o “pedacinho” de carga espalhado, esse limite cai</p><p>sobre uma integral.</p><p>E</p><p>dq</p><p>r</p><p>r</p><p>� �=</p><p>∈∫</p><p>1</p><p>4 0</p><p>2π</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>002.030 – 128292/18</p><p>Analogamente, para uma distribuição de carga linear,</p><p>superficial e volumétrica, teremos, respectivamente:</p><p>E</p><p>dl</p><p>r</p><p>E</p><p>r da</p><p>r</p><p>E</p><p>r d</p><p>r</p><p>� � � � � �</p><p>=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈∫ ∫ ∫</p><p>λ</p><p>π</p><p>σ</p><p>π</p><p>ρ</p><p>π</p><p>τ’ r ’</p><p>,</p><p>’ ’</p><p>,</p><p>’ ’</p><p>4 4 40</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>Aplicações</p><p>Campo devido a uma distribuição linear de</p><p>cargas (a uma distância α sobre a linha)</p><p>Campo no eixo de uma haste de comprimento L, uniformemente</p><p>carregada, com densidade linear de carga λ e carga total Q.</p><p>L a</p><p>E</p><p>dl</p><p>r</p><p>r</p><p>dx</p><p>r</p><p>i</p><p>Q</p><p>a La L</p><p>a� � �=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈ +( )∫ ∫ +</p><p>λ</p><p>π</p><p>λ</p><p>π π</p><p>’ ’</p><p>4 4</p><p>1</p><p>40</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>Campo devido a uma distribuição linear de</p><p>cargas (a uma distância α da linha)</p><p>Obteremos o campo elétrico à distância a de um fio infinito e</p><p>carregado com uma densidade de carga λ:</p><p>a</p><p>E</p><p>x</p><p>Primeiramente, observemos a simetria na vertical.</p><p>As componentes verticais do campo se anulam, sobrando somente</p><p>componente na horizontal. Devemos ter:</p><p>E</p><p>dy</p><p>r</p><p>i</p><p>dy</p><p>a y</p><p>i</p><p>a</p><p>x</p><p>� � �=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈ +</p><p>=</p><p>∈</p><p>( )</p><p>∫ ∫−∞</p><p>+∞λ θ</p><p>π</p><p>λ</p><p>π</p><p>θ</p><p>λ</p><p>π</p><p>θ</p><p>cos cos</p><p>sec</p><p>4 4</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>2</p><p>ccos d</p><p>sec</p><p>sin</p><p>θ θ</p><p>θ</p><p>λ</p><p>π α</p><p>θ</p><p>λ</p><p>π α</p><p>π</p><p>a</p><p>i</p><p>i i</p><p>2 2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>02 2</p><p>( )</p><p>=</p><p>∈</p><p>[ ] =</p><p>∈</p><p>−∞</p><p>+∞</p><p>∫ �</p><p>� �</p><p>Campo gerado por um anel circular (em um ponto</p><p>sobre o eixo)</p><p>a</p><p>R</p><p>E</p><p>x</p><p>ur</p><p>Da mesma forma que no exemplo anterior, existe uma simetria</p><p>que anula a componente do campo na vertical, restando somente a</p><p>componente horizontal. Vejamos como fica o campo sobre o eixo a</p><p>uma distância a do centro.</p><p>E</p><p>r</p><p>i</p><p>a</p><p>r</p><p>i</p><p>a dl</p><p>R a</p><p>i</p><p>x</p><p>� � �</p><p>�</p><p>=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈</p><p>=</p><p>∈ +( )</p><p>∫ ∫</p><p>λ θ</p><p>π</p><p>λ</p><p>π</p><p>λ</p><p>π</p><p>cos dl’ dl’</p><p>’</p><p>/</p><p>4 4</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>2 2 3 200</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2 3 22</p><p>π</p><p>λ</p><p>rR</p><p>aR</p><p>R a</p><p>i</p><p>∫</p><p>=</p><p>∈ +( ) /</p><p>�</p><p>Observação:</p><p>• Quando a é muito grande, o campo se reduz ao campo de</p><p>uma carga pontual como vimos anteriormente.</p><p>• Quando a for zero (centro do anel), o campo é nulo. Isso indica</p><p>que não existe força sobre tal ponto.</p><p>Campo gerado por uma placa infinita</p><p>Tomemos agora uma chapa metálica infinita2.</p><p>σ</p><p>Vendo a figura anterior, percebemos que podemos varrer tal</p><p>região através de vários círculos (anéis que calculamos anteriormente)</p><p>transformando apenas a densidade linear em superficial. Veja:</p><p>E</p><p>r</p><p>e</p><p>adr</p><p>R a</p><p>i</p><p>e</p><p>ix</p><p>R� � �=</p><p>+( )</p><p>=∫</p><p>σ π σ2</p><p>2 20</p><p>0 2 2 3 2</p><p>0</p><p>/</p><p>Irei poupá-los de resolver essa integral desnecessária</p><p>neste momento. Nosso foco não é aprender técnicas de integrais.</p><p>Veremos mais adiante uma maneira satisfatória (eu diria brilhante)</p><p>de calcular esse campo novamente, porém sem necessidade de tanto</p><p>cálculo.</p><p>Linhas de Força</p><p>O conceito de linhas de força foi introduzido por M. Faraday,</p><p>e constitui-se numa ferramenta bastante adequada para visualizar a</p><p>estrutura do campo elétrico devido a uma distribuição de cargas.</p><p>Uma linha de força é uma curva imaginária traçada de tal</p><p>forma que sua direção e sentido em qualquer ponto sejam os do</p><p>campo elétrico naquele ponto. Isto significa que, em qualquer ponto</p><p>do espaço, o campo elétrico é sempre tangente às linhas de força.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>002.030 – 128292/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>As linhas de força possuem as seguintes características:</p><p>1. As cargas positivas são fontes de linhas de força e as cargas</p><p>negativas são sumidouros de linhas de força, ou seja, as linhas</p><p>de força surgem nas cargas positivas e terminam nas cargas</p><p>negativas.</p><p>2. As linhas de força são contínuas, exceto nas fontes e</p><p>sumidouros.</p><p>3. As linhas de força nunca se cruzam, pois, se o fizessem, o</p><p>campo elétrico seria indeterminado no ponto de encontro.</p><p>4. Uma maior densidade de linhas de força indica uma maior</p><p>intensidade de campo elétrico nessa região.</p><p>5. O número de linhas de força que surgem (carga positiva) ou</p><p>desaparecem (carga negativa) é proporcional ao valor absoluto</p><p>da carga.</p><p>As linhas de força são radiais, divergindo a partir do ponto onde</p><p>se encontra a carga.</p><p>+</p><p>As linhas de força são radiais, convergindo para o ponto onde se</p><p>encontra a carga.</p><p>_</p><p>Observação: É válido salientar que os sentidos das linhas de força</p><p>são uma convenção! Não existem tais “setinhas”, apenas o formato</p><p>das linhas pode ser percebido no laboratório.</p><p>Um dipolo elétrico constitui-se em um par de cargas pontuais de</p><p>sinais opostos, mas iguais em valor absoluto:</p><p>+ _</p><p>Par de cargas idênticas: observe atentamente a simetria das</p><p>linhas de força. O aspecto das linhas de força devido a um par</p><p>de cargas negativas idênticas é exatamente o mesmo, a não ser</p><p>pelo fato de a orientação das linhas ser invertida.</p><p>+ +</p><p>Veja esse exemplo:</p><p>Uma carga positiva duas vezes maior em valor absoluto que uma</p><p>carga negativa. Sabemos que o número de linhas de força que</p><p>saem da carga positiva é igual ao dobro do número de linhas de</p><p>força que chegam à carga negativa.</p><p>+ –</p><p>As outras linhas devem terminar em outras cargas negativas. Não</p><p>importa onde estas estejam.</p><p>Campo em condutores</p><p>Vamos agora a alguns exercícios que envolvem pouco cálculo e</p><p>muito raciocínio. Para isto precisaremos saber algumas características</p><p>físicas importantes dos condutores.</p><p>* Se um condutor eletrizado estiver em equilíbrio eletrostático,</p><p>as cargas estarão distribuídas na superfície.</p><p>*Se um condutor eletrizado estiver em equilíbrio eletrostático,</p><p>o campo elétrico será nulo em todos os pontos do seu interior e</p><p>em pontos da superfície desse condutor E será perpendicular à ela</p><p>(se houvesse componente horizontal, os elétrons se moveriam e o</p><p>condutor não estaria em equilíbrio).</p><p>E</p><p>Condutor</p><p>E = 0</p><p>Estes fenômenos físicos têm consequências físicas</p><p>importantes. Por exemplo, uma cavidade no interior de um</p><p>condutor é uma região que não será atingida por efeitos elétricos</p><p>produzidos externamente, pois o campo elétrico nessa cavidade</p><p>é sempre nulo e não há carga elétrica distribuída em sua parede</p><p>(a carga se localiza na superfície do condutor). Por este motivo, um</p><p>condutor oco pode ser usado para produzir blindagem eletrostática:</p><p>quando queremos proteger um aparelho qualquer contra influências</p><p>elétricas, nós envolvemos esse aparelho com uma capa metálica.</p><p>Nestas condições, dizemos que o aparelho está blindado, pois nenhum</p><p>fenômeno elétrico externo poderá afetá-lo.</p><p>Se você observar o interior de um aparelho de TV, por</p><p>exemplo, poderá notar que algumas válvulas (e outros dispositivos)</p><p>se apresentam envolvidos por capas metálicas, estando, portanto,</p><p>blindadas por esses condutores.</p><p>Um estudante verificou que a presença de uma carga Q</p><p>estava perturbando o funcionamento de um aparelho elétrico P</p><p>(próximo de Q). Desejando evitar essas perturbações, ele envolveu</p><p>a carga Q com uma cúpula metálica, como mostra a figura.</p><p>Mas agindo dessa maneira ele não conseguiu o seu objetivo!</p><p>Como deveria ele ter procedido? (sem afastar Q do aparelho)?</p><p>É óbvio que ele deveria ter envolvido P com metal, e não Q!</p><p>Metal</p><p>Q</p><p>P</p><p>____________________________</p><p>2 Quando nos referimos ao termo infinito, queremos dizer que é muito grande para a</p><p>região que está sendo trabalhada. É claro que estamos fazendo aproximações e devemos</p><p>saber que calcular o campo de uma placa de dimensões consideráveis é extremamente</p><p>complicado devido aos efeitos de borda.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>002.030 – 128292/18</p><p>Exemplo:</p><p>Plano infinito carregado positivamente.</p><p>Conforme demonstramos, o campo devido a um plano infinito</p><p>uniformemente carregado é uniforme, ou seja, em todos os pontos</p><p>do espaço, a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico</p><p>permanecem constantes. Como conclusão, temos linhas de força</p><p>retilíneas e igualmente espaçadas.</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p> Plano infinito carregado positivamente.</p><p>Observação:</p><p>No caso de um plano infinito carregado negativamente,</p><p>a única diferença é a orientação das linhas de força, que aparece</p><p>invertida.</p><p>Exemplo:</p><p>Par de placas infinitas e paralelas, carregadas uniformemente com</p><p>cargas de sinais contrários.</p><p>Como vimos anteriormente, o campo no interior das placas é</p><p>uniforme e fora delas é nulo.</p><p>+ –</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p> “Capacitor” de placas infinitas e paralelas.</p><p>Exercícios</p><p>01. Duas cargas q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>possuem inicialmente as mesmas velocidades</p><p>(módulo e direção). Em seguida, um campo elétrico atuou durante</p><p>certo intervalo de tempo. A direção da velocidade da primeira</p><p>partícula variou de 60° e a magnitude caiu pra metade. A direção</p><p>da segunda carga variou de 90°.</p><p>A) A razão entre o módulo da velocidade final e a velocidade</p><p>inicial da partícula 2 será de?</p><p>B) Se a razão carga/massa da primeira partícula vale C, a razão</p><p>carga/massa da segunda partícula vale?</p><p>02. A figura mostra as linhas de força para o sistema isolado por duas</p><p>cargas pontuais, q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>. Medidos em unidades de 10–19 Coulombs,</p><p>dois possíveis valores para q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>são, respectivamente:</p><p>q</p><p>1</p><p>q</p><p>2</p><p>A) 2 e –1 B) 4 e –2</p><p>C) –32 e 8 D) 64 e –8</p><p>E) 96 e –24</p><p>03. Quatro cargas puntiformes Q = +2 µC estão localizadas nos</p><p>vértices de um quadrado no plano xy. Encontre a componente</p><p>Ez do campo elétrico no ponto P = (0, 0, a).</p><p>Dados: a = 10–2 m;</p><p>K = 9,0 · 109 Nm2/C2;</p><p>Z</p><p>y</p><p>x</p><p>+Q</p><p>(a,a,0)</p><p>+Q (a,–a,0)</p><p>p (0,0, a)</p><p>(–a,a,0) + Q</p><p>(- a, - a, 0)</p><p>+Q</p><p>A) E</p><p>z</p><p>(0, 0, a) = 1,80 x 108 N/C</p><p>B) E</p><p>z</p><p>(0, 0, a) = 5,39 x 108 N/C</p><p>C) E</p><p>z</p><p>(0, 0, a) = 3,11 x 108 N/C</p><p>D) E</p><p>z</p><p>(0, 0, a) = 1,39 x 108 N/C</p><p>E) E</p><p>z</p><p>(0, 0, a) = 2,40 x 108 N/C</p><p>04. A figura seguinte mostra um corpo de massa m e carga q,</p><p>abandonado na posição A sob a ação de seu peso P. Abaixo do</p><p>plano horizontal π, atua um campo elétrico uniforme, vertical e</p><p>de intensidade E=2P/q. O tempo que o corpo leva para voltar à</p><p>posição A é:</p><p>E</p><p>A</p><p>h</p><p>π</p><p>A)</p><p>32hm</p><p>p</p><p>B)</p><p>2</p><p>4</p><p>hm</p><p>p</p><p>C) 2pm</p><p>q</p><p>D)</p><p>hm</p><p>p</p><p>2</p><p>E)</p><p>8hm</p><p>p</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>002.030 – 128292/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>05. Seja um fio retilíneo infinitamente longo uniformemente eletrizado</p><p>com uma densidade linear de cargas λ(coulomb/metro) imerso em</p><p>um meio cuja constante eletrostática vale K. A força elétrica que</p><p>atua sobre uma carga puntiforme +q localizada a uma distância</p><p>d desse fio vale:</p><p>d</p><p>+ q +</p><p>+++++++++++++</p><p>A)</p><p>2K q</p><p>d</p><p>⋅ ⋅λ</p><p>B)</p><p>2</p><p>2</p><p>K q</p><p>d</p><p>⋅ ⋅λ</p><p>C)</p><p>K q</p><p>d</p><p>⋅ ⋅λ</p><p>D)</p><p>K q</p><p>d</p><p>⋅ ⋅λ</p><p>2</p><p>06. As linhas de força numa certa seção de um campo têm o formato</p><p>de arcos de círculos com centro no ponto O. Com relação à</p><p>intensidade do campo elétrico, podemos afirmar que</p><p>O</p><p>A) é inversamente proporcional à distância ao quadrado ao ponto</p><p>O.</p><p>B) é inversamente proporcional à distância ao cubo em relação</p><p>ao ponto O.</p><p>C) é inversamente proporcional à distância ao ponto O.</p><p>D) não depende da distância ao ponto O.</p><p>E) N.D.A.</p><p>07. Um condutor neutro esférico é colocado no interior de um</p><p>capacitor de placas planas e paralelas. Em função da presença</p><p>do condutor esférico, as linhas de campo sofrerão um rearranjo,</p><p>conforme figura seguinte.</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>–––––</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++++++ +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>Podemos afirmar que</p><p>A) somente as linhas de campo elétrico sofreram modificações, isto</p><p>ocorreu devido à superposição do campo elétrico das cargas</p><p>induzidas em todos os pontos do capacitor.</p><p>B) as linhas de campo elétrico e as equipotenciais sofreram</p><p>modificações em função da superposição do campo elétrico</p><p>das cargas induzidas em todos os pontos do capacitor.</p><p>C) somente as linhas de campo elétrico sofreram modificações, isto</p><p>ocorreu devido à superposição do campo elétrico das cargas</p><p>induzidas na superfície do condutor esférico.</p><p>D) as linhas de campo elétrico e as equipotenciais sofreram</p><p>modificações em função do campo elétrico das cargas induzidas</p><p>na superfície do condutor esférico.</p><p>E) as linhas de campo elétrico e as equipotenciais sofreram</p><p>modificações devido ao campo elétrico das cargas induzidas</p><p>em todos os pontos (capacitor, superfície da esfera condutora</p><p>e interior da esfera condutora).</p><p>08. Duas placas condutoras idênticas aterradas estão separadas de uma</p><p>distância d como se indica na figura seguinte. A uma distância a</p><p>da placa esquerda está localizada uma carga pontual +Q.</p><p>Determine que carga se induz sobre a placa direita.</p><p>A) −</p><p>Qa</p><p>d</p><p>B) −</p><p>−( )Q d a</p><p>d</p><p>C) −Q</p><p>D) −</p><p>Qa</p><p>d2</p><p>E) −</p><p>+( )Q d a</p><p>d</p><p>09. Prove que é impossível produzir um campo elétrico no qual todas</p><p>as linhas de força devem ser linhas retas paralelas, com a densidade</p><p>aumentando constantemente na direção perpendicular às linhas</p><p>de força. (ver figura).</p><p>10. Sobre um lago tranquilo e extenso situa-se uma nuvem também</p><p>extensa e sensivelmente horizontal. Graças à eletrização da</p><p>nuvem, o nível da água se eleva de h em relação ao nível</p><p>que corresponderia ao equilíbrio na ausência da nuvem.</p><p>Determine a densidade elétrica superficial σ no lago.</p><p>Dados: ∈: permissividade elétrica.</p><p>d: densidade da água.</p><p>g: aceleração da gravidade.</p><p>11. Devido ao fato de as linhas de força serem, em geral, curvas tais</p><p>que, num ponto considerado, determina-se a equação de uma</p><p>linha de força, ou melhor, de uma família de curvas numa dada</p><p>região, que representará as linhas de força nessa região. Veja o</p><p>esquema seguinte: a tangente no ponto P representa o vetor</p><p>campo elétrico. Conhecendo-se as componentes Ex e Ey, tem-se</p><p>condição de determinar as coordenadas das linhas de força em</p><p>cartesianas retangulares.</p><p>y</p><p>x</p><p>Ey</p><p>Ex</p><p>®</p><p>E</p><p>P</p><p>Agora considere uma região do plano na qual o campo elétrico</p><p>é dado por E axi ay j= +� �. Podemos afirmar que as linhas de força</p><p>nessa região são</p><p>A) hipérboles cujas assíntotas são os eixos x e y.</p><p>B) parábolas que cortam apenas o eixo x.</p><p>C) parábolas que cortam apenas o eixo y.</p><p>D) parábolas que cortam os dois eixos.</p><p>E) retas passando pela origem.</p><p>d</p><p>a</p><p>+Q</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>002.030 – 128292/18</p><p>12. Determine a intensidade do campo elétrico de um segmento</p><p>esférico, carregado uniformemente no centro da esfera de raio R, da</p><p>qual ele foi cortado.</p><p>Dados:</p><p>σ → densidade superficial de carga.</p><p>ε</p><p>0</p><p>→ permissividade elétrica.</p><p>E</p><p>R</p><p>R</p><p>r</p><p>r</p><p>13. Um elétron está se movendo livremente ao longo de um tubo</p><p>com área de seção transversal variando, conforme mostrado na</p><p>figura.</p><p>A B</p><p>Explique a mudança na intensidade da velocidade do ponto A</p><p>para o ponto B.</p><p>14. Quando um campo elétrico passa de um meio para outro, este</p><p>em geral muda de direção e intensidade como uma espécie</p><p>de “Lei de Snell”, a qual diz: ε</p><p>1</p><p>E</p><p>1N</p><p>= ε</p><p>2</p><p>E</p><p>2N</p><p>, onde ε</p><p>1</p><p>e ε</p><p>2</p><p>são as</p><p>constantes de permissividade dos respectivos meios e E</p><p>1N</p><p>e E</p><p>2N</p><p>são as componentes dos campos perpendiculares à superfície de</p><p>separação dos meios. Tendo em vista a figura e se ε</p><p>2</p><p>= 5ε1</p><p>, então</p><p>a intensidade de E</p><p>2</p><p>vale:</p><p>E</p><p>1</p><p>ε</p><p>1</p><p>ε</p><p>2</p><p>θ</p><p>2 θ</p><p>E</p><p>2</p><p>A)</p><p>E sen</p><p>sen</p><p>1</p><p>5 2</p><p>θ</p><p>θ</p><p>B)</p><p>5</p><p>2</p><p>1E</p><p>sen</p><p>cosθ</p><p>θ</p><p>C)</p><p>E1</p><p>5 2</p><p>cos</p><p>cos</p><p>θ</p><p>θ</p><p>D) 5E</p><p>1</p><p>E) 5E</p><p>1</p><p>tg θ</p><p>15. Imagine um cubo com carga elétrica distribuída uniformemente</p><p>com uma densidade ρ volume. A intensidade do campo elétrico</p><p>no ponto A é E. Determine o valor do campo elétrico quando</p><p>cortado e removido um pequeno cubo de lado igual à metade</p><p>do cubo de origem.</p><p>A</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– E D A A</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C D A – –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>E – – C –</p><p>– Demonstração.</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Marcos Haroldo</p><p>DIG.: Samuel: 29/06/18 – REV.: LÍCIA</p><p>rejanep</p><p>Carimbo</p><p>rejanep</p><p>Carimbo</p><p>rejanep</p><p>Carimbo</p><p>rejanep</p><p>Carimbo</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– E D A A</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C D A – –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>E – – C –</p><p>– Demonstração.</p><p>Resoluções</p><p>01. A)</p><p>i. Enquanto o campo elétrico está agindo, as cargas</p><p>elétricas irão alinhar os vetores velocidade delas com o</p><p>vetor campo elétrico.</p><p>Bizu: Para entender essa soma vetorial, basta lembrar da</p><p>expressão da velocidade em função do tempo, ou seja,</p><p>f 0V =V a t .+  Aonde V0 = V, Vf = V1 e V2,</p><p>1</p><p>1</p><p>q</p><p>a E</p><p>m</p><p> </p><p>=   </p><p>e</p><p>2</p><p>2</p><p>q</p><p>,E</p><p>m</p><p> </p><p>  </p><p>s = t. Perceba que a soma vetorial coincide a</p><p>expressão mostrada acima.</p><p>ii. Utilizando a lei dos cossenos nos módulos do triângulo</p><p>vetorial da carga q1:</p><p>2</p><p>2 21</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>q</p><p>V V 2V Vcos60ºtE</p><p>m</p><p>V</p><p>V (Enunciado da questão)</p><p>2</p><p>  </p><p>= + − − →    </p><p>→ =</p><p>2 2</p><p>21</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>21</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>V V 1q</p><p>V 2 VE t</p><p>2 2 2m</p><p>V 2V 3Vq</p><p>VE t</p><p>4 4 4m</p><p>V 3q</p><p>(Em módulo)E t</p><p>2m</p><p>        </p><p>→ = + − →                </p><p>  </p><p>→ = + − =    </p><p> </p><p>→ =  </p><p>iii. Por causa do vetor campo elétrico,</p><p>1 2</p><p>21</p><p>q q</p><p>= E t E t</p><p>m m</p><p>   </p><p>       </p><p>possuem o mesmo sentido e direção, logo:</p><p>iv. Observe que, pela lei dos senos, temos:</p><p>2V V</p><p>=</p><p>sen60º sen30º</p><p>2 2 2V V V 1 3 V 3</p><p>=</p><p>1 V V 33 3 3</p><p>22</p><p>→ → =  → =</p><p>B)</p><p>i. De acordo com item A, temos que: 1</p><p>1</p><p>C</p><p>q V 3</p><p>E t</p><p>m 2</p><p> </p><p> = →  </p><p>V 3</p><p>EC t (I)</p><p>2</p><p>→  =</p><p>ii. Utilizando o teorema de Pitágoras nos módulos do</p><p>triângulo vetorial da carga q2, temos:</p><p>22 2</p><p>2 2 22 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>q q V 3</p><p>E t V V E t V</p><p>m m 3</p><p>q 2V 3</p><p>E t (II)</p><p>m 3</p><p>       </p><p> = +  = + →                </p><p> </p><p>→  =  </p><p>iii. De acordo com a expressão (I):</p><p>V 3</p><p>EC t</p><p>2</p><p> = →</p><p>V 3</p><p>E t (III)</p><p>2C</p><p>→  =</p><p>iv. Substituindo a expressão (III) na expressão (II):</p><p>2 2</p><p>2 2(III)</p><p>q 2V 3 q 2V 3</p><p>E t (E t)</p><p>m 3 m 3</p><p>V 3</p><p>   </p><p> = →  = →      </p><p>2</p><p>2</p><p>q 2 V 3</p><p>2C m</p><p>   </p><p>=       </p><p>2</p><p>2</p><p>q 4</p><p>C</p><p>3 m 3</p><p> </p><p>→ =  </p><p>02.</p><p>i. Para que haja linhas de campo elétrico, é necessário que</p><p>haja carga elétrica. Quanto maior for o valor da carga,</p><p>maior será a quantidade de linhas de campo elétrico.</p><p>Portanto, q  número de linhas de campo elétrico (n), ou seja,</p><p>q = k  n Esse  implica em proporcional</p><p>9 6</p><p>4</p><p>7 8</p><p>2</p><p>kQ</p><p>(a 3)</p><p>9 10 2 10</p><p>E’z E’z</p><p>3 10</p><p>E’z 6 10 N/C Ez(0,0,a) 1,39 10 N/C</p><p>c</p><p>o</p><p>a</p><p>s</p><p>−</p><p>−</p><p>  </p><p>= =</p><p></p><p>=</p><p>→</p><p> → </p><p> =</p><p>→</p><p>a</p><p>1 3cos /</p><p>3</p><p> =→</p><p>ii. Contando o número de linhas em cada carga, temos:</p><p>(Relação válida para os</p><p>módulos das cargas)</p><p>iii. Observe que o enunciado da questão mostra as linhas de</p><p>campo elétrico “saindo” de q1, logo q1 > 0.</p><p>iv. A questão não deixa claro qual é o sinal q2, logo q2 < 0</p><p>q2 > 0.</p><p>v. Na questão, vemos a seguinte sentença “dois possíveis</p><p>valores para q1 e q2,” logo é possível concluir que a</p><p>questão está dando o comando para testarmos os</p><p>possíveis valores dessas cargas.</p><p>vi. Analisando todos os itens da questão, concluímos que o</p><p>item que satisfaz as condições q1 > 0, q1 = 4q2 e q2 < 0</p><p>ou q2 > 0 é o item E.</p><p>Resposta: E</p><p>03. i.</p><p>ii. Observando o quadrado de lado “a”, por Pitágoras,</p><p>temos que OB a 2= . Pela simetria do quadrado ABCD,</p><p>temos que: OA OB OC OD a 2= = = = .</p><p>iii. No triângulo DPB (DPB), temos que:</p><p>Pela simetria, na horizontal, o vetor campo elétrico é</p><p>nulo. Na vertical, o vetor campo elétrico é 2E’zcos.</p><p>iv. De modo análogo, no APC, o vetor campo elétrico é</p><p>nulo na horizontal e possui 2E’zcos na vertical, pois</p><p>DPB é igual ao APC.</p><p>v. Somente os vetores campo elétrico do DPB e do APC,</p><p>temos que:</p><p>E’z (0, 0, a) = 4E’zcos</p><p>vi.</p><p>¨Resposta: D</p><p>04. i.</p><p>ii. Na região 1, força resultante é igual a p. Logo, na região 1,</p><p>1</p><p>p</p><p>a (Aceleração na região 1)</p><p>m</p><p>=</p><p>iii. Na região 2, força resultante é igual a Eq – p. Logo, na</p><p>região 2, 2</p><p>Eq p</p><p>a (Aceleração na região 2)</p><p>m</p><p>−</p><p>=</p><p>iv. Observe que Eq > p por causa que a massa m irá retornar</p><p>para o ponto A. Se Eq – p, a massa m continuaria caindo.</p><p>v. Na região 1:</p><p>*</p><p>2 2 2</p><p>0 1</p><p>1</p><p>0 1 1 1</p><p>V V 2a h V 0 2(p/m) h 2hm</p><p>t</p><p>V V a t V 0 (p/m) t p</p><p> = + = +</p><p>→   =</p><p>= +  = +  </p><p>1 1</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>q k 24 q k 6 4</p><p>q 4qq k 6 q k 6</p><p> =  =  </p><p>→   ==  =  </p><p>Como a massa m cai e sobe na região 1, o tempo total</p><p>(T1) na região 1 equivale a 2t1, logo T1 = 2t1 . Observe que</p><p>os cálculos da região 1 foram feitos na situação em que a</p><p>massa m está caindo. Se fizer o caso em que a massa m</p><p>está subindo, os resultados serão os mesmos (ficará como</p><p>exercício para o leitor fazer esse teste).</p><p>vi. Na região 2, durante a queda de massa m, temos:</p><p>V’ = V – a2  t2.</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2ph Eq p</p><p>0 t</p><p>m m</p><p>2p</p><p>E (Enunciado da questão)</p><p>q</p><p>q2ph 2p p p 2ph</p><p>0 t t</p><p>m</p><p>*V’ = V – a t</p><p>q m m m m</p><p>2hm</p><p>t</p><p>p</p><p> −</p><p>→ = − →  </p><p>→ =</p><p> </p><p>→ = −  − → = → </p><p> </p><p>→ =</p><p></p><p>vii. Baseado no passo v), T2 = 2t2 , logo o tempo que o corpo</p><p>leva para retornar ao ponto é T= T1 + T2 .</p><p>2hm 2hm 2hm 32hm</p><p>T 2 +2 =4 T</p><p>p p p p</p><p>= → =</p><p>Resposta: A</p><p>05. i. Por lei de Gauss, no fio retilíneo, temos:</p><p>interna interna</p><p>0 0</p><p>Q Q</p><p>E dA E dAcos = →   = →</p><p> </p><p> </p><p>cos 1→  = O ângulo entre o vetor área e o vetor campo</p><p>elétrico é zero.</p><p>0</p><p>hE dA 1 E 2 Rh→  = →  </p><p> h=</p><p>0 0</p><p>E</p><p>2 R</p><p>→ =</p><p> </p><p>ii. Quando R = d, temos:</p><p>0</p><p>E</p><p>2 R</p><p>=</p><p></p><p>0</p><p>1 2k</p><p>E= E</p><p>2 d d</p><p>  → =</p><p></p><p>iii.</p><p>0 0 0</p><p>1 1 1</p><p>k= k= 2k=</p><p>4 2 2 2</p><p>→ →</p><p>    </p><p>iv. Força em uma carga puntiforme:</p><p>q2kF E q F</p><p>d</p><p>=  → =</p><p>Resposta: A</p><p>06. i.</p><p>ii. Supondo que uma carga q se desloca pelo trajeto</p><p>ABCDA, temos que:</p><p>F elétrica</p><p>(Eq)d 0 = = (I)</p><p>iii.  = 0 porque a carga retorna para a sua origem.</p><p>iv. Desenvolvendo a expressão (i), temos:</p><p>AB BC CD DA</p><p>2 BC 1 DA</p><p>B C D A</p><p>A B</p><p>E q + E q + E q + E q 0Eq d d d dd = =    </p><p>C D</p><p>AB BC CD DADABC 2 1 2 1 3</p><p>0 0 B C D A</p><p>E cos + E cos +E c os +E cosd d d d    </p><p>1</p><p>4</p><p>A B C D</p><p>-1</p><p>0 =</p><p>AB BC CD DA</p><p>2 1 BC 2 1 3 DA 4</p><p>C D AB</p><p>A B</p><p>E q cos + E q cos + E q c os + E q cos 0d d d d     =   </p><p>C D</p><p>AB BC CD DA</p><p>2 1 BC 2 1 3 DA 4</p><p>C D AB</p><p>A B</p><p>E q cos + E q cos + E q c os + E q cos 0d d d d     =   </p><p>C D</p><p>Observe que, de acordo com a figura do passo i), temos</p><p>que cos 1 =1 (1 = 0º); cos 2 = 0 (2 = 90º); cos 3 = –1</p><p>(3 = 180º); cos 4 = 0 (4 = 0º).</p><p>AB CD1 2 1</p><p>2 1</p><p>2 2 1</p><p>2 1</p><p>B D</p><p>A C</p><p>E E = 0 E R E R 0 d d</p><p>constante</p><p>E R E R E R constante E</p><p>R</p><p>− →   −   = →</p><p>→ = →  = → =</p><p> </p><p>Resposta: C</p><p>Obs.: Essa solução por integral é apenas formalismo. Para</p><p>uma solução sem integral, recomendo a leitura da solução</p><p>do exercício 09.</p><p>07. i. Antes</p><p>Depois</p><p>ii. As linhas equipotenciais são as linhas verticais e as linhas</p><p>de campo elétrico são as linhas horizontais.</p><p>iii. Observe que, antes da introdução do condutor neutro</p><p>esférico, temos um campo elétrico uniforme horizontal.</p><p>Após a introdução do condutor neutro esférico, as linhas</p><p>de campo das placas planas e paralelas irão começar a</p><p>induzir cargas no condutor esférico. As cargas induzidas</p><p>começaram a “receber” (parte negativa) e a “emitir”</p><p>(parte positiva) linhas de campo, modificando desta</p><p>forma as linhas de campo elétrico do sistema original. As</p><p>equipotenciais dependem do campo elétrico. Após a</p><p>alteração desse campo, por causa da carga induzida, as</p><p>equipotenciais são alteradas para se adequarem ao novo</p><p>equilíbrio</p>