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<p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: Introdução à ÓptICa GEométrICa</p><p>frente: FísICa II</p><p>001.741_128099/18</p><p>AULAS 01 E 02</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução à Óptica Geométrica</p><p>Sabemos que as ondas de rádio, de micro-ondas, de raios X</p><p>e até de radiações (infravermelho e ultravioleta) são tipos de ondas</p><p>eletromagnéticas. Maxwell mostrou, por meio de quatro equações</p><p>do eletromagnetismo (denominadas Equações de Maxwell), que o</p><p>campo elétrico e o campo magnético oscilam mutuamente e produzem</p><p>ondas eletromagnéticas. A luz que enxergamos também é uma onda</p><p>desta natureza, porém, ao incidir nos nossos olhos, faz-nos perceber</p><p>sensações visuais. Conseguimos enxergar somente em uma região</p><p>limitada.</p><p>Espectro visível</p><p>450 nm 500 nm 580 nm 600 nm 650 nm</p><p>Iremos estudar, em Óptica Geométrica, a óptica “visível” e,</p><p>assim, explicar alguns fenômenos da natureza. Tais fenômenos são</p><p>as formações de imagens em sistemas ópticos.</p><p>Como o próprio nome sugere, vamos trabalhar a geométrica</p><p>da óptica sem nos importar, em primeira instância, com interferências</p><p>e difrações, que são fenômenos puramente ondulatórios.</p><p>Como faremos isso? Bem, em primeiro lugar, devemos entender</p><p>que, para um observador visualizar um objeto, um raio luminoso</p><p>deve partir do objeto e atingir o olho deste observador.</p><p>Assim, representa-se graficamente um raio luminoso como uma seta</p><p>indicando o caminho da luz.</p><p>Não se pode isolar um raio luminoso. Portanto, entenda que</p><p>isto é apenas uma representação gráfica.</p><p>Temos, na verdade, feixes luminosos. Três possíveis tipos de</p><p>feixes são:</p><p>• Divergente:• Divergente</p><p>• Convergente</p><p>• Paralelo</p><p>(Impróprio, dirige-se para o infinito.)</p><p>• Convergente:</p><p>• Divergente</p><p>• Convergente</p><p>• Paralelo</p><p>(Impróprio, dirige-se para o infinito.)</p><p>• Paralelo:</p><p>• Divergente</p><p>• Convergente</p><p>• Paralelo</p><p>(Impróprio, dirige-se para o infinito.)(impróprio, dirige-se para o infinito)</p><p>Fontes de luz</p><p>Quando um corpo envia luz para um observador, ele não</p><p>necessariamente “cria” essa luz. Os corpos luminosos são chamados de</p><p>fontes primárias. Os que podem emitir luz proveniente de outro local</p><p>(também conhecidos como corpos iluminados) para um observador</p><p>são conhecidos como fontes secundárias.</p><p>Alguns exemplos de fontes primárias são:</p><p>• incandescente: emite luz devido a uma temperatura elevada.</p><p>• luminescente: emite luz mesmo em temperaturas relativamente</p><p>baixas. Lâmpada de neon – objetos fluorescentes, que emitem luz</p><p>através de uma causa excitadora; e fosforescentes, que emitem luz</p><p>mesmo após a causa excitadora ser cessada.</p><p>Classificamos uma fonte luminosa, também, em relação</p><p>ao seu tamanho. Fontes de dimensões desprezíveis são ditas</p><p>fontes pontuais. Caso contrário, são chamadas de fontes extensas.</p><p>A natureza da luz depende da sua frequência e do seu</p><p>comprimento de onda, pois estas duas grandezas estão diretamente</p><p>ligadas. Dependendo da fonte, podemos ter diferentes tipos de luz.</p><p>Assim, por exemplo, vapores de sódio em incandescência emitem luz</p><p>amarela; moléculas ionizadas de hidrogênio emitem luz vermelha.</p><p>Cada um desses tipos contendo uma só frequência (uma só cor) é</p><p>denominado luz monocromática. Se for formado por um conjunto</p><p>de cores, policromático.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.741_128099/18</p><p>Classificação dos meios em relação ao seu</p><p>comportamento com a luz</p><p>1. Transparentes: são os meios que se deixam atravessar pela luz.</p><p>Através deles, podemos identificar objetos.</p><p>2. Translúcidos: são os meios que se deixam atravessar pela luz. Não</p><p>podemos, através deles, identificar objetos, porque a trajetória dos</p><p>raios é irregular.</p><p>3. Opacos: não se deixam atravessar pela luz.</p><p>Um meio em que todos os seus elementos de volume</p><p>apresentam as mesmas propriedades é denominado homogêneo.</p><p>A atmosfera, como um todo, não pode ser considerada homogênea,</p><p>mas se olharmos para o ar, em pequenas quantidades, poderá ser</p><p>considerado homogêneo.</p><p>Se as propriedades associadas a um elemento de volume não</p><p>depende das direções em que são medidas, o meio é classificado como</p><p>isotrópico. Existem cristais nos quais a velocidade da luz é diferente,</p><p>dependendo da direção que você queira medir; estes são denominados</p><p>anisotrópicos.</p><p>Observação:</p><p>Meios isotrópicos, transparentes e homogêneos</p><p>(simultaneamente) são denominados ordinários.</p><p>Damos o nome de sistema óptico a uma superfície refletora</p><p>ou refratora ou a um conjunto de superfícies refletoras e refratoras.</p><p>Um sistema no qual todas as superfícies são refletoras é</p><p>chamado catóptrico; se todas as superfícies constituintes do sistema</p><p>forem refratoras, o sistema é dióptrico; um sistema que possuem</p><p>superfícies refletoras e refratoras é chamado catadióptrico.</p><p>Ponto objeto e ponto imagem</p><p>Os pontos objeto de um sistema ótico se classificam em função</p><p>do tipo do pincel incidente.</p><p>Ponto objeto real é o vértice de um pincel incidente divergente.</p><p>POR</p><p>Ponto objeto real</p><p>Sistema ótico</p><p>Ponto objeto virtual é o vértice de um pincel incidente</p><p>convergente.</p><p>Ponto objeto virtual</p><p>POV</p><p>Sistema ótico</p><p>Ponto objeto impróprio é o vértice de um pincel incidente de</p><p>raios paralelos.</p><p>Infinito</p><p>POI</p><p>Ponto objeto impróprio</p><p>Sistema ótico</p><p>Os pontos imagem de um sistema ótico se classificam em</p><p>função do tipo do pincel emergente.</p><p>Ponto imagem real é o vértice de um pincel emergente</p><p>convergente.</p><p>Ponto imagem real</p><p>PIR</p><p>Sistema ótico</p><p>Ponto imagem virtual é o vértice de um pincel emergente</p><p>divergente.</p><p>Sistema ótico</p><p>Ponto imagem virtual</p><p>PIV</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.741_128099/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Ponto imagem impróprio é o vértice de um pincel emergente</p><p>de raios paralelos.</p><p>Infinito</p><p>PII</p><p>Ponto imagem impróprio</p><p>Sistema ótico</p><p>Observe o exemplo:</p><p>No esquema a seguir, estabelecer a natureza dos pontos em</p><p>relação aos respectivos sistemas ópticos.</p><p>Acompanhe na figura:</p><p>(G)</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>3</p><p>P</p><p>1</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>P</p><p>1</p><p>(S</p><p>1</p><p>) = POR (vértice do pincel divergente incidente)</p><p>P</p><p>2</p><p>(S</p><p>1</p><p>) = PIR (vértice do feixe convergente emergente)</p><p>P</p><p>2</p><p>(S</p><p>2</p><p>) = POV (vértice do pincel convergente incidente)</p><p>P</p><p>3</p><p>(S</p><p>2</p><p>) = PIR (vértice do pincel convergente emergente)</p><p>P</p><p>3</p><p>(G) = POR (vértice do pincel divergente incidente)</p><p>Os defeitos das imagens</p><p>Estigmático é o sistema ótico que forma um ponto imagem</p><p>para cada ponto objeto.</p><p>Ponto objeto</p><p>Sistema ótico</p><p>Ponto imagem</p><p>Astigmático é o sistema ótico que forma vários pontos imagem</p><p>para cada ponto objeto.</p><p>Ponto objeto</p><p>Sistema ótico</p><p>Pontos imagem</p><p>Existem alguns defeitos na formação das imagens. Um sistema</p><p>óptico é ortoscópico quando, a um objeto retilíneo, conjuga uma</p><p>imagem também retilínea. Se o sistema óptico não tiver essa qualidade,</p><p>apresentará o defeito chamado distorção.</p><p>Um sistema óptico é dito aplanético quando, a um objeto</p><p>plano, conjuga uma imagem também plana. Caso não aja desta forma,</p><p>tal espelho possui o defeito chamado curvatura de campo.</p><p>Observação:</p><p>Um sistema aplanético pode não ser ortoscópico.</p><p>Com efeito, pode ocorrer uma distorção lateral no sistema sem</p><p>que a imagem deixe de ser plana.</p><p>Tais defeitos são chamados comumente de aberrações</p><p>esféricas. Essas aberrações acontecem com luz monocromática.</p><p>Para a luz policromática, pode acontecer aberrações cromáticas</p><p>(estudaremos em refração).</p><p>Fenômenos de óptica geométrica</p><p>Ao incidir um raio de luz sobre uma superfície, podemos</p><p>perceber dois fenômenos: refração e reflexão.</p><p>i</p><p>r</p><p>N</p><p>Raio</p><p>refletido</p><p>Raio</p><p>refratado</p><p>Raio</p><p>incidente</p><p>Meio 1</p><p>Meio 2</p><p>Observe bem que quando o raio incidente “bate” na</p><p>superfície, parte dele retorna para o mesmo meio (reflexão) e o</p><p>restante passa para o outro meio (refração). Na realidade, os dois</p><p>fenômenos acontecem juntos de tal maneira que a energia ainda</p><p>seja conservada. Quando a luz atravessa um meio material, ela</p><p>é gradativamente absorvida. Veja o fundo do mar, por exemplo:</p><p>a partir de 300 metros, reina a escuridão.</p><p>Tipos de reflexão</p><p>1. Reflexão</p><p>velocidade afastam-se</p><p>da normal.</p><p>Luz</p><p>Branca</p><p>(água)</p><p>N</p><p>(ar)</p><p>Espectro da luz</p><p>Composta</p><p>Vermelho</p><p>Laranja</p><p>Amarelo</p><p>Verde</p><p>Azul</p><p>Anil</p><p>Violeta</p><p>Figura 6 – Espectro da luz</p><p>Já vimos que a velocidade de propagação de uma onda, que</p><p>passa de um meio para outro, é proporcional ao comprimento de onda.</p><p>Pela figura 6, vemos que o maior comprimento de onda pertence à</p><p>cor vermelha e o menor, à violeta (λ</p><p>ver</p><p>> λ</p><p>vio</p><p>) – maior afastamento da</p><p>normal → maior comprimento de onda.</p><p>Quando ocorre separação das cores da luz branca, dizemos</p><p>que houve dispersão.</p><p>Quando nos referimos a comprimento de onda da luz, usamos,</p><p>normalmente, a unidade angstron (Å), que corresponde a 10–10 metros.</p><p>n</p><p>λ(A)</p><p>Figura 7</p><p>As cores componentes da luz branca estão no intervalo</p><p>3000 Å (violeta) a 7000 Å (vermelho). Se colocarmos em um gráfico</p><p>o índice de refração em função do comprimento de onda, teremos</p><p>uma curva como a da figura 7, uma vez que o índice de refração é</p><p>inversamente proporcional à velocidade e ao comprimento de onda.</p><p>No arco-íris, ocorre a dispersão da luz branca do Sol nas gotas</p><p>de chuva, seguidas de reflexão total.</p><p>Desvio no prisma óptico</p><p>a) Análise do desvio em função da abertura</p><p>A1</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>3</p><p>n</p><p>n</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>n</p><p>n</p><p>V</p><p>1</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>3</p><p>n</p><p>i = 0°</p><p>i = 0°</p><p>i = 0°</p><p>desvio D</p><p>1</p><p>desvio D</p><p>2</p><p>desvio D</p><p>3</p><p>i’ 1 = A</p><p>1</p><p>i’</p><p>2</p><p>= A</p><p>2</p><p>i’</p><p>3</p><p>= A</p><p>3</p><p>A1</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>3</p><p>n</p><p>n</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>n</p><p>n</p><p>V</p><p>1</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>3</p><p>n</p><p>i = 0°</p><p>i = 0°</p><p>i = 0°</p><p>desvio D</p><p>1</p><p>desvio D</p><p>2</p><p>desvio D</p><p>3</p><p>i’ 1 = A</p><p>1</p><p>i’</p><p>2</p><p>= A</p><p>2</p><p>i’</p><p>3</p><p>= A</p><p>3</p><p>A1</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>3</p><p>n</p><p>n</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>n</p><p>n</p><p>V</p><p>1</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>3</p><p>n</p><p>i = 0°</p><p>i = 0°</p><p>i = 0°</p><p>desvio D</p><p>1</p><p>desvio D</p><p>2</p><p>desvio D</p><p>3</p><p>i’ 1 = A</p><p>1</p><p>i’</p><p>2</p><p>= A</p><p>2</p><p>i’</p><p>3</p><p>= A</p><p>3</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>A</p><p>1</p><p>< A</p><p>2</p><p>< A</p><p>3</p><p>D</p><p>1</p><p>< D</p><p>2</p><p>< D</p><p>3</p><p>O desvio é tanto maior quanto maior a abertura do prisma,</p><p>desde que sejam mantidos o índice de refração e o ângulo de</p><p>incidência.</p><p>b) Análise do desvio em função do índice de refração</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>i2</p><p>i2</p><p>i3</p><p>n1 arar</p><p>n2 arar</p><p>n3 arar</p><p>direção inicial</p><p>dire</p><p>ção in</p><p>icia</p><p>l</p><p>dire</p><p>ção in</p><p>icia</p><p>l</p><p>direção final</p><p>desvio D1</p><p>desvio D2</p><p>desvio D3</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>i2</p><p>i2</p><p>i3</p><p>n1 arar</p><p>n2 arar</p><p>n3 arar</p><p>direção inicial</p><p>dire</p><p>ção in</p><p>icia</p><p>l</p><p>dire</p><p>ção in</p><p>icia</p><p>l</p><p>direção final</p><p>desvio D1</p><p>desvio D2</p><p>desvio D3</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>i2</p><p>i2</p><p>i3</p><p>n1 arar</p><p>n2 arar</p><p>n3 arar</p><p>direção inicial</p><p>dire</p><p>ção in</p><p>icia</p><p>l</p><p>dire</p><p>ção in</p><p>icia</p><p>l</p><p>direção final</p><p>desvio D1</p><p>desvio D2</p><p>desvio D3</p><p>O desvio é tanto maior quanto maior o índice de refração, desde</p><p>que sejam mantidos o ângulo de incidência e a abertura.</p><p>n</p><p>1</p><p>< n</p><p>2</p><p>< n</p><p>3</p><p>D</p><p>1</p><p>< D</p><p>2</p><p>< D</p><p>3</p><p>c) Análise do desvio em função do ângulo de incidência</p><p>1. Quando a luz incide sob o ângulo i, emerge sob o ângulo i’ e</p><p>sofre o desvio D.</p><p>Para incidência i’, a emergência é i e o desvio é D (Princípio da</p><p>Reversibilidade);</p><p>2. Quando a luz incide sob o ângulo io, emerge sob o ângulo de</p><p>90º (emergência rasante) e sofre desvio máximo.</p><p>Para incidência rasante (90º), a emergência é io e o desvio é</p><p>máximo.</p><p>A</p><p>A</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>N</p><p>1</p><p>(n)</p><p>N</p><p>2</p><p>D</p><p>máx</p><p>90°</p><p>i</p><p>0</p><p>Desvio × Incidência: Desvio Mínimo.</p><p>D</p><p>Condição para desvio mínimo</p><p>ângulo de incidência = ângulo de emergência</p><p>D</p><p>máx</p><p>D</p><p>mínima</p><p>O i</p><p>0</p><p>incidência</p><p>���</p><p>Reflexão total</p><p>emergência</p><p>i</p><p>m</p><p>i’ 90º i</p><p>D</p><p>Desvio mínimo:</p><p>a) i = i’ = i</p><p>m</p><p>b) r = r’ =</p><p>A</p><p>A r</p><p>2</p><p>2⇔ =</p><p>c) D</p><p>m</p><p>= i + i’ – A = 2</p><p>im</p><p>– A</p><p>D</p><p>m</p><p>= 2</p><p>im</p><p>– A</p><p>Exercícios</p><p>01. Considere dois blocos, um de vidro e outro de diamante, de</p><p>mesmo formato e igualmente lapidados, imersos no ar. Sabe-se</p><p>que o índice de refração do diamante é maior que o do vidro.</p><p>Sendo igualmente iluminados:</p><p>A) o diamante brilha mais, porque o ângulo limite na fronteira</p><p>diamante-ar é menor que na fronteira vidro-ar, o que favorece</p><p>a reflexão da luz, internamente, no diamante.</p><p>B) o diamante brilha mais, porque o ângulo limite na fronteira</p><p>diamante-ar é maior que na fronteira vidro-ar.</p><p>C) o diamante brilha mais, porque a luz se propaga em seu interior</p><p>com velocidade maior que no interior do vidro.</p><p>D) o vidro brilha mais, porque ele é mais refringente que o diamante.</p><p>E) o vidro e o diamante brilham igualmente.</p><p>02. Uma pedra preciosa cônica (de 15,0 mm de altura e índice de refração</p><p>igual a 1,25) possui um pequeno ponto defeituoso sobre o eixo do</p><p>cone a 7,50 mm de sua base. Para esconder este ponto de quem</p><p>olha de cima, um ourives deposita um pequeno círculo de ouro na</p><p>superfície. A pedra preciosa está incrustada em uma joia de forma</p><p>que sua área lateral não está visível. Qual deve ser o menor raio r,</p><p>em mm, do círculo de ouro depositado pelo ourives?</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Ar</p><p>r</p><p>15,0 mm</p><p>7,50 mm</p><p>Círculo de ouro</p><p>Defeito</p><p>03. O gráfico a seguir fornece o índice de refração n</p><p>C</p><p>de um cristal</p><p>em função do comprimento de onda da luz λ</p><p>v</p><p>, medido no vácuo.</p><p>Considere c = 3,00 · 108 m/s a velocidade de propagação da luz</p><p>no vácuo.</p><p>nC</p><p>1,470</p><p>1,460</p><p>1,450</p><p>3000 5000 7000 (Å)λ</p><p>V</p><p>A) Com que velocidade v</p><p>c</p><p>a luz de comprimento de onda</p><p>λ</p><p>v</p><p>= 4000 Å se propaga no cristal?</p><p>B) Determine o comprimento de onda λ</p><p>C</p><p>da luz quando se</p><p>propaga no cristal.</p><p>C) Um estreito feixe cilíndrico de luz, propagando-se no vácuo,</p><p>incide na face plana de um bloco desse cristal, com ângulo</p><p>de incidência q</p><p>v</p><p>= 30°. Determine o ângulo de refração</p><p>correspondente q</p><p>C</p><p>.</p><p>04. Um raio luminoso incide sobre uma lâmina transparente de faces</p><p>paralelas, de espessura a e índice de refração n. Calcular o desvio</p><p>sofrido pelo raio luminoso ao atravessar a lâmina, supondo que</p><p>o ângulo de incidência α seja pequeno.</p><p>Utilizar as aproximações: sen α ≅ α e cos α ≅ 1.</p><p>A) x a</p><p>n</p><p>≅ +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α 1</p><p>1</p><p>(n)</p><p>+</p><p>a</p><p>α</p><p>B) x ≅ a α(1 – n)</p><p>C) x a</p><p>n</p><p>≅ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α 1</p><p>1</p><p>D) x ≅ a α(1 + n)</p><p>E) x ≅ a α(n – 1)</p><p>05. Uma fonte luminosa puntiforme está a uma profundidade h abaixo</p><p>da superfície de um lago suficientemente grande em extensão e</p><p>profundidade. Seja n o índice de refração da água. Da energia</p><p>total emitida, f é a fração que escapa diretamente da superfície</p><p>líquida, desprezando a absorção da luz na água e a reflexão que</p><p>não for total.</p><p>Nessas condições, podemos afirmar que</p><p>A) f aumenta se h aumentar.</p><p>B) f diminui se h aumentar.</p><p>C) f =1/n</p><p>D) f</p><p>n n</p><p>= −</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>12</p><p>E) nenhuma das afirmações anteriores.</p><p>06 . O Método do Desvio Mínimo para a medida do índice de refração</p><p>n de um material transparente, em relação ao ar, consiste em se</p><p>medir o desvio mínimo de um feixe estreito de luz que atravessa</p><p>um prisma feito desse material. Para que esse método possa ser</p><p>aplicado (isto é, para que se tenha um feixe emergente), o ângulo</p><p>A do prisma deve ser menor que</p><p>A) arcsen (n). A</p><p>δ</p><p>B) 2 arcsen (1/n).</p><p>C) 0,5 arcsen (1/n).</p><p>D) arcsen (1/n).</p><p>E) outra expressão.</p><p>07. Isaac Newton, no início de 1666, realizou a seguinte experiência:</p><p>seja S o Sol e F um orifício feito na janela de um quarto escuro.</p><p>Considere P e Q dois prismas de vidro colocados em posição</p><p>cruzada um em relação ao outro, ou seja, com suas arestas</p><p>perpendiculares entre si, conforme mostra a figura a seguir.</p><p>Represente por A a cor violeta, por B a amarela e C a cor vermelha.</p><p>Após a passagem dos raios luminosos pelo orifício e pelos dois</p><p>prismas, a forma da imagem e a disposição das cores formadas</p><p>no anteparo são melhor representadas por</p><p>Anteparo</p><p>Q</p><p>P</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>A)</p><p>Anteparo</p><p>Q</p><p>P</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>B)</p><p>Anteparo</p><p>Q</p><p>P</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>C)</p><p>Anteparo</p><p>Q</p><p>P</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D)</p><p>Anteparo</p><p>Q</p><p>P</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>E)</p><p>Anteparo</p><p>Q</p><p>P</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C A</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>08. (ITA) Foi René Descartes, em 1637, o primeiro a discutir claramente</p><p>a formação do arco-íris. Ele escreveu: “Considerando que esse</p><p>arco-íris aparece não apenas no céu, mas também no ar perto de</p><p>nós, sempre que haja gotas</p><p>de água iluminadas pelo sol, como</p><p>podemos ver em certas fontes, eu imediatamente entendi que isso</p><p>acontece devido apenas ao caminho que os raios de luz traçam</p><p>nessas gotas e atingem nossos olhos. Ainda mais, sabendo que as</p><p>gotas são redondas, como fora anteriormente provado e, mesmo</p><p>que sejam grandes ou pequenas, a aparência do arco-íris não</p><p>muda de forma nenhuma, tive a ideia de considerar uma bem</p><p>grande, para que pudesse examinar melhor...”</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Ele, então, apresentou a figura na qual estão representadas as</p><p>trajetórias para os arco-íris primário e secundário. Determinar o</p><p>ângulo entre o raio incidente na gota, AB, e o incidente no olho</p><p>do observador, DE, no caso do arco-íris primário, em termos do</p><p>ângulo de incidência, e do índice de refração da água n</p><p>a</p><p>. Considere</p><p>o índice de refração do ar n = 1.</p><p>A</p><p>F</p><p>E</p><p>M</p><p>Arco-íris primário</p><p>e secundário</p><p>Vista expandida de</p><p>uma gota de água</p><p>E</p><p>F</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>I</p><p>IC</p><p>C</p><p>H</p><p>H</p><p>D</p><p>D</p><p>G</p><p>G</p><p>J</p><p>J</p><p>09. (ITA) Através de um tubo fino, um observador enxerga o topo</p><p>de uma barra vertical de altura H apoiada no fundo de um</p><p>cilindro vazio de diâmetro 2H. O tubo encontra-se a uma altura</p><p>2H + L e, para efeito de cálculo, é de comprimento desprezível.</p><p>Quando o cilindro é preenchido com um líquido até uma altura</p><p>2H (veja a figura a seguir), mantido o tubo na mesma posição, o</p><p>observador passa a ver a extremidade inferior da barra. Determine,</p><p>literalmente, o índice de refração desse líquido.</p><p>2H</p><p>H</p><p>H</p><p>L</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/IT</p><p>A</p><p>2</p><p>00</p><p>5</p><p>10. Sobre a metade de uma esfera (raio 3 cm) feita de vidro</p><p>(índice de refração n = 5/4), incide um feixe de raios paralelos</p><p>como indicado na figura a seguir. Determine o raio do círculo</p><p>luminoso que será formado sobre o anteparo que se encontra</p><p>à distância d = 13 cm do centro da esfera.</p><p>d</p><p>n</p><p>HAZ</p><p>A) R = 10 cm B) R = 6 cm</p><p>C) R = 4 cm D) R = 8 cm</p><p>E) R = 20 cm</p><p>11. Dois prismas (com ângulo de abertura muito pequeno e</p><p>diferentes índices de refração) estão justapostos, como mostra</p><p>a figura a seguir. O ângulo q é muito pequeno. Quando um</p><p>raio laser incide perpendicularmente sobre a superfície, emerge</p><p>formando um pequeno ângulo φ. A alternativa que representa,</p><p>aproximadamente, a diferença entre os índices de refração é</p><p>A) φ/q</p><p>θ</p><p>θ</p><p>B) q/φ</p><p>C) φ + q</p><p>D) φ – q</p><p>E) n.d.a.</p><p>12. A figura a seguir mostra a trajetória parabólica de um raio luminoso</p><p>em um meio não homogêneo. Determine o índice de refração n</p><p>desse meio, que é uma função de y, sabendo que a trajetória do</p><p>raio é descrita pela equação y = ax2, em que a > 0.</p><p>y</p><p>r</p><p>x</p><p>θ</p><p>P (x, y)</p><p>(0, 0)</p><p>Dados: cotg q = 2nx; n(0) = n</p><p>0</p><p>.</p><p>Observação: P(x, y) é o ponto de tangência entre a reta t e a</p><p>parábola.</p><p>13. Um raio de luz monocromática atravessa um prisma de vidro de</p><p>abertura A, índice de refração n, mergulhado no ar. Variando-se</p><p>o ângulo de incidência, verifica-se que o desvio varia conforme o</p><p>diagrama a seguir.</p><p>D</p><p>i</p><p>60º</p><p>30º</p><p>30º 90ºi</p><p>m</p><p>Determine</p><p>A) a abertura do prisma;</p><p>B) o valor de i</p><p>m</p><p>;</p><p>C) o índice de refração do prisma.</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>14. (Índia) Dois prismas idênticos, de ângulo de refringência α muito</p><p>pequeno e índice de refração n em relação ao ar, são colocados</p><p>de forma que suas bases se toquem, como mostrado na figura</p><p>a seguir. Um raio de luz incide no prisma a uma pequena altura</p><p>h. Determine o comprimento focal desta rudimentar lente</p><p>convergente.</p><p>A) f</p><p>h</p><p>n</p><p>=</p><p>α</p><p>h</p><p>α</p><p>B) f</p><p>h</p><p>n</p><p>=</p><p>−</p><p>α</p><p>1</p><p>C) f</p><p>h</p><p>n</p><p>=</p><p>α</p><p>D) f</p><p>h</p><p>n</p><p>=</p><p>−( )α 1</p><p>E) n.d.a.</p><p>15. (ITA) A figura a seguir mostra uma lente semiesférica no ar de</p><p>raio R m=</p><p>3</p><p>2</p><p>com índice de refração n = 3. Um feixe de luz</p><p>paralelo incide na superfície plana, formando um ângulo de 60°</p><p>em relação a x.</p><p>A) Indique se há raio refratado saindo da lente paralelamente aos</p><p>incidentes.</p><p>B) Se houver, ele incide a que distância do centro da lente?</p><p>C) Para quais ângulos q será iluminado o anteparo esférico de raio</p><p>2R de mesmo centro da lente?</p><p>16. (ITA) Um tubo de fibra óptica é basicamente um cilindro longo</p><p>e transparente, de diâmetro d e índice de refração n. Se o tubo</p><p>é curvado, parte dos raios de luz pode escapar e não se refletir</p><p>na superfície interna do tubo. Para que haja reflexão total de um</p><p>feixe de luz, inicialmente paralelo ao eixo do tubo, o menor raio</p><p>de curvatura interno R (ver figura a seguir) deve ser igual a</p><p>A) nd</p><p>R</p><p>B)</p><p>d</p><p>n</p><p>C)</p><p>d</p><p>n −1</p><p>D)</p><p>nd</p><p>n −1</p><p>E)</p><p>nd</p><p>n −1</p><p>17. (OBF) Uma moeda se encontra exatamente na parte central do</p><p>fundo de um tanque de água montado sobre a carroceria de</p><p>um caminhão. Um rapaz que observa a moeda, segundo um</p><p>ângulo α em relação à normal à superfície do líquido, mede uma</p><p>profundidade aparente de 50 cm. Em certo instante, o caminhão se</p><p>move para frente com aceleração constante e o rapaz, observando</p><p>a moeda com o mesmo ângulo normal à superfície do líquido</p><p>(que agora está inclinada), atribui uma profundidade aparente de</p><p>25 3 cm. Determine a aceleração do caminhão.</p><p>LLL LLL</p><p>α</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/O</p><p>BF</p><p>2</p><p>00</p><p>7</p><p>18. Um raio de luz penetra rasante à superfície de um dos prismas,</p><p>isósceles, que se encontra justaposto a outros quatro semelhantes</p><p>em sequência, conforme mostra a figura abaixo. Sabendo que os</p><p>índices de refração são, respectivamente, iguais a µ</p><p>1</p><p>, µ</p><p>2</p><p>, µ</p><p>3</p><p>, µ</p><p>4</p><p>e</p><p>µ</p><p>5</p><p>, a condição para que o raio de luz possa emergir rasante na</p><p>face oposta do último será dada pela seguinte expressão</p><p>µ</p><p>1</p><p>µ</p><p>2</p><p>µ</p><p>3</p><p>µ</p><p>5</p><p>µ</p><p>4</p><p>A) µ</p><p>1</p><p>2 + µ</p><p>3</p><p>2 + µ</p><p>5</p><p>2 = 1 + µ</p><p>2</p><p>2 + µ</p><p>4</p><p>2</p><p>B) µ</p><p>1</p><p>2 + µ</p><p>3</p><p>2 + µ</p><p>5</p><p>2 = 2 + µ</p><p>2</p><p>2 + µ</p><p>4</p><p>2</p><p>C) µ</p><p>1</p><p>2 + µ</p><p>3</p><p>2 + µ</p><p>5</p><p>2 = µ</p><p>2</p><p>2 + µ</p><p>4</p><p>2</p><p>D) µ</p><p>1</p><p>2 + µ</p><p>3</p><p>2 – µ</p><p>5</p><p>2 = 1 + µ</p><p>2</p><p>2 + µ</p><p>4</p><p>2</p><p>E) µ</p><p>1</p><p>2 – µ</p><p>3</p><p>2 + µ</p><p>5</p><p>2 = 1 + µ</p><p>2</p><p>2 + µ</p><p>4</p><p>2</p><p>19. O índice de refração de um meio varia com a altura y (n</p><p>(y)</p><p>). Um</p><p>raio de luz, que incide perpendicularmente no meio, traça uma</p><p>trajetória circular de raio R. Quando o valor do índice de refração</p><p>é de 2,5, determine a altura y que o raio se encontra. Admita que</p><p>fora deste meio é vácuo n</p><p>0</p><p>=1.</p><p>y</p><p>A) y R=</p><p>2</p><p>3</p><p>B) y R=</p><p>2</p><p>7</p><p>C) y R=</p><p>5</p><p>3</p><p>D) y R=</p><p>2</p><p>5</p><p>E) y R=</p><p>3</p><p>5</p><p>20. Uma gaivota pousada na superfície da água, cujo índice de</p><p>refração em relação ao ar é n = 1,3, observa um peixinho que</p><p>está exatamente abaixo dela, a uma profundidade de 1,0 m. Que</p><p>distância, em linha reta, deverá nadar o peixinho para sair do</p><p>campo visual da gaivota?</p><p>A) 0,84 m</p><p>B) 1,2 m</p><p>C) 1,6 m</p><p>D) 1,4 m</p><p>E) O peixinho não conseguirá fugir do campo visual da gaivota.</p><p>9 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08 09 10</p><p>A – – C E B C – – B</p><p>11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>A – – D – C – B E E</p><p>Resolução</p><p>01. Associando brilho à reflexão, bem como à reflexão total:</p><p>AR</p><p>2</p><p>η</p><p>ηsenα = 1 → senα = 1/η</p><p>Ou seja, o material que tem maior η tem menor α. Portanto, o</p><p>material de maior n tem menor ângulo limite, ocorrendo reflexão</p><p>total para uma faixa maior de ângulos de incidência.</p><p>Resposta: A</p><p>02. Buscamos a reflexão total:</p><p>α</p><p>r</p><p>defeito</p><p>Na Lei de Snell:</p><p>1 25 1 90</p><p>4</p><p>5</p><p>, ⋅ = ⋅ °</p><p>=</p><p>sen sen</p><p>sen</p><p>α</p><p>α</p><p>Logo,</p><p>Tg</p><p>r</p><p>r mm</p><p>α = =</p><p>−</p><p>→</p><p>→ =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>4</p><p>3 15 7 5</p><p>7 5 4</p><p>3</p><p>10</p><p>,</p><p>,</p><p>Resposta: 10 mm</p><p>03. Do gráfico:</p><p>A) Quando λ</p><p>v</p><p>= 4000 Aº , η</p><p>c</p><p>= 1,470. Daí:</p><p>ηc</p><p>c</p><p>v</p><p>v v= = → = ⋅ → ≈ ⋅1 47</p><p>3 10</p><p>1 47</p><p>2 10</p><p>8</p><p>8,</p><p>,</p><p>m/s</p><p>B) Como λ</p><p>v</p><p>= 4000 Aº , η = 1,470. Logo:</p><p>λ λ</p><p>η</p><p>λ λc</p><p>v</p><p>v</p><p>c c</p><p>o</p><p>A= ⇒ = ⇒ ≈4000</p><p>1 470</p><p>2721</p><p>,</p><p>C) Por Snell:</p><p>η η α</p><p>α α</p><p>⋅ = ⋅</p><p>= ⋅ ⇒ ≈</p><p>sen sen</p><p>sen</p><p>v30</p><p>1</p><p>2</p><p>1 470 0 34</p><p>º</p><p>, ,arcsen</p><p>Resposta:</p><p>A) v</p><p>C</p><p>= 2 ⋅ 108 m/s</p><p>B) λ</p><p>C</p><p>= 2721 Aº</p><p>C) arcsen 0,34</p><p>04.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>β</p><p>α <</p><p><</p><p><</p><p>α</p><p>β</p><p>α – β</p><p>I) De Snell: sen nsen sen</p><p>n</p><p>α β β</p><p>α</p><p>= → ≈</p><p>II) Então, AB</p><p>a</p><p>=</p><p>cosβ</p><p>III) Por fim, BC = desvio = AB sen (α – β) = AB (α cos β – sen β)</p><p>desvio</p><p>a</p><p>sen a Tg= − = −</p><p>cos</p><p>( cos ) ( )</p><p>β</p><p>α β β α β</p><p>mas TgB sen</p><p>n</p><p>≈ ≈β</p><p>α</p><p>Logo, desvio a</p><p>n</p><p>a</p><p>n</p><p>≈ −</p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p>α</p><p>α</p><p>α 1</p><p>1</p><p>Resposta: C</p><p>10F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>05.</p><p>vista de perfil</p><p>reflexão</p><p>total</p><p>A</p><p>1</p><p>#</p><p>θ</p><p>θ</p><p>f</p><p>aquilo que escapa</p><p>total</p><p>f</p><p>A</p><p>AT</p><p>=</p><p>= ⋅</p><p>⋅</p><p>α</p><p>α</p><p>α1 , um termo de proporcionalidé aade</p><p>f</p><p>A</p><p>AT</p><p>= 1</p><p>Utilizando o ângulo sólido: f</p><p>R</p><p>R</p><p>=</p><p>− ⋅</p><p>= −</p><p>2 1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>π θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>( cos )</p><p>( cos ).</p><p>Mas, n sen θ = 1 ⇒ sen</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>θ θ= ⇒ =</p><p>−1 12</p><p>cos .</p><p>Logo, f</p><p>n</p><p>n</p><p>= =</p><p>−1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>Resposta: E</p><p>06. Sabe-se que para ocorrer desvio mínimo, o ângulo de incidência</p><p>deve ser igual ao de reflexão. Observe a figura:</p><p>α α</p><p>β β'</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>2</p><p>• β = β’</p><p>• Então, A = β + β’ = 2β’</p><p>• Mas ηsenβ = senα e senα < 1, então, senβ <</p><p>1</p><p>n</p><p>, já que não</p><p>pode ocorrer reflexão total. Logo: A < 2 arcsen 1</p><p>n( ).</p><p>Resposta: B</p><p>07. Segundo a relação de Cauchy, n B</p><p>B</p><p>( )λ</p><p>λ</p><p>= +0</p><p>1</p><p>2</p><p>. Ou seja, aquele</p><p>com maior λ tem menor n.</p><p>Se λ</p><p>(vio.)</p><p>< λ</p><p>(amar)</p><p>< λ</p><p>(verm.)</p><p>, η</p><p>(vio.)</p><p>> n</p><p>(amar)</p><p>> η</p><p>(verm.)</p><p>Além disso,</p><p>α</p><p>β</p><p>η</p><p>1</p><p>sen sen sen</p><p>senα η β β α</p><p>η</p><p>= ⇒↓ = ↓</p><p>↑</p><p>Ou seja, quanto maior o η, mais próximo da normal seguirá o raio</p><p>de luz em um meio.</p><p>A partir disso:</p><p>C</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>1° PRISMA</p><p>N</p><p>LUZ BRANCA</p><p>Como η</p><p>(vio.)</p><p>é o maior, ele estará mais próximo da normal.</p><p>Como η</p><p>(verm.)</p><p>é o menor, ele estará mais afastado da normal.</p><p>2o prisma Face 1</p><p>A</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>AA</p><p>B</p><p>C B</p><p>CC</p><p>Vista superior</p><p>A A.B.C</p><p>B</p><p>C</p><p>Resposta: C</p><p>11 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>08.</p><p>O</p><p>A</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>β</p><p>∆</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>η</p><p>β</p><p>β</p><p>I) No ∆ADC, observe que AOC� = 4β</p><p>II) No ∆ABC, observe que</p><p>∆ + + = = ⇒</p><p>⇒ ∆ = −</p><p>α α β</p><p>β α</p><p>AOC� 4</p><p>4 2</p><p>Mas sen n sen arc sen</p><p>sen</p><p>n</p><p>arc sen</p><p>sen</p><p>n</p><p>α β β α</p><p>α</p><p>= ⇒ = </p><p></p><p></p><p></p><p>∆ = </p><p></p><p>Portanto, 4 </p><p></p><p></p><p>− 2α</p><p>Resposta: ∆ = </p><p></p><p></p><p></p><p>−4 2arcsen</p><p>sen</p><p>n</p><p>α α</p><p>09. Antes:</p><p>x</p><p>L</p><p>2H – x</p><p>Na semelhança:</p><p>L</p><p>x</p><p>H</p><p>H x</p><p>LH Lx Hx</p><p>LH</p><p>H L</p><p>x H x</p><p>H</p><p>H L</p><p>=</p><p>−</p><p>⇒ − = ⇒</p><p>⇒</p><p>+</p><p>= − =</p><p>+</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>, ,logo</p><p>Depois:</p><p>α</p><p>η</p><p>α</p><p>β</p><p>2H</p><p>Lei de Snell:</p><p>sen nsen</p><p>x</p><p>L x</p><p>n</p><p>H x</p><p>H x H</p><p>L H</p><p>H L H</p><p>n</p><p>H</p><p>α β=</p><p>−</p><p>= ⋅ −</p><p>− +</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>+ +</p><p>= ⋅</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 4</p><p>2</p><p>( ) ( )</p><p>( ) 22</p><p>2</p><p>42 2</p><p>2 2</p><p>2 2H H L H</p><p>H L H</p><p>H L H( )</p><p>( )</p><p>( )+ +</p><p>⇒ = + +</p><p>+ +</p><p>η</p><p>Resposta: η =</p><p>+( ) +</p><p>+( ) +</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>H L H</p><p>H L H</p><p>10.</p><p>I) Busca-se os pontos de reflexão total:</p><p>n sen sen⋅ = → =α α1</p><p>4</p><p>5</p><p>II) Observe a figura:</p><p>< <</p><p>< <</p><p>90 – α</p><p>90 – α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>d –</p><p>r</p><p>r</p><p>Por aproximação, temos:</p><p>Tg</p><p>r</p><p>α = =</p><p>4</p><p>3</p><p>�</p><p>Mas d d</p><p>d</p><p>da r cm</p><p>( )cos ( )</p><p>,</p><p>− = ⇒ − ⋅ = ⇒</p><p>⇒ − = ⇒ =</p><p>= =</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>α 3</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>5 8</p><p>3</p><p>4</p><p>6í</p><p>Resposta: B</p><p>12F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>11.</p><p>n</p><p>2</p><p>n</p><p>1</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>α</p><p>β</p><p>φ</p><p>Pela Lei de Snell:</p><p>• n</p><p>1</p><p>senq = n</p><p>2</p><p>senα → sen</p><p>n</p><p>n</p><p>α θ≈ 1</p><p>2</p><p>• n</p><p>2</p><p>senβ = senφ → sen</p><p>n</p><p>β φ≈</p><p>2</p><p>→ Além disso, 90 90 180+ + − + =</p><p>+ =</p><p>θ α β</p><p>θ β α</p><p>º</p><p>Como α β são também ângulos pequenos, temos:</p><p>θ φ θ φ θ θ φ</p><p>θ</p><p>+ = ⇒ = − ⇒ − =</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n n n n</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 1 2</p><p>Resposta: A</p><p>12.</p><p>• Se y = ax2,</p><p>dy</p><p>dx</p><p>Tg ax= =α 2</p><p>• No gráfico:</p><p>α</p><p>θ</p><p>α + q = 90º → α = 90 – q. Logo,Tgα = cotgq</p><p>Então, cotgq = 2ax</p><p>• Pela Lei de Snell:</p><p>n</p><p>0</p><p>senq0 = n</p><p>1</p><p>sen q</p><p>1</p><p>n</p><p>1</p><p>senq1 = n</p><p>2</p><p>sen q</p><p>2</p><p>···</p><p>n</p><p>k</p><p>senqk = n · sen q</p><p>n</p><p>0</p><p>senq0 = n · sen q</p><p>Portanto,</p><p>n sen n sen</p><p>n sen n sen</p><p>sen</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1 1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒</p><p>⇒ + =</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>θcotg</p><p>θθ</p><p>θ θ θ</p><p>θ</p><p>⇒</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>⇒ =</p><p>+</p><p>+</p><p>⇒</p><p>⇒ =</p><p>cot cot cot</p><p>cot</p><p>g</p><p>n</p><p>g</p><p>n</p><p>n n</p><p>g</p><p>g</p><p>n n</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>11 4</p><p>1 0</p><p>1 4</p><p>1 4</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>+</p><p>+</p><p>→ = + ⋅ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒</p><p>= +</p><p>a x</p><p>n n a</p><p>y</p><p>a</p><p>n n ay</p><p>Resposta: n y n ayo( ) = +1 4</p><p>13.</p><p>i‘</p><p>i</p><p>A</p><p>A</p><p>s‘ s</p><p>∆</p><p>η</p><p>∆ = s – s’+ i – i’</p><p>∆ = s + i – A, já que s’+ i’ = A</p><p>A) Do gráfico, quando i = 90º, s = 30º e ∆ = 60º,</p><p>logo: 60 = 90 + 30 – A → A = 60º</p><p>B) ∆</p><p>mín</p><p>ocorre quando ângulo incidente = ângulo emergente.</p><p>Logo, ∆</p><p>mín</p><p>= i’ + s’ – A, i’ = s’ = i</p><p>m</p><p>, ∆</p><p>mín</p><p>= 2i</p><p>m</p><p>– A, no gráfico:</p><p>30º = 2i</p><p>m</p><p>– 60 → i</p><p>m</p><p>= 45º</p><p>C) No momento anterior, fazendo Snell:</p><p>1 · sen 45º = n · sen 30º, pois:</p><p>45o</p><p>30o30o</p><p>60o</p><p>45o</p><p>Logo,</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= ⋅</p><p>=</p><p>n</p><p>n</p><p>Resposta: A) 60º B) 45º C) 2</p><p>13 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>14.</p><p>• Trabalha-se com ângulos pequenos.</p><p>Portanto, vale: Tgq ≈ sen q ≈ q.</p><p>A</p><p>i</p><p>i’ s’</p><p>p’</p><p>s</p><p>h</p><p>Bα</p><p>∆</p><p>I. Interface A: i = ni’ mas α = i’ + s’</p><p>II. Interface B: ns’ = s</p><p>III. ∆ = i – i’ + s – s’ → ∆ = i + s – α</p><p>IV. Por fim, veja que:</p><p>h</p><p>p’ ∆</p><p>∆</p><p>∆ = ni’ + ns’ – α</p><p>∆ = α (n – 1)</p><p>Tg</p><p>h</p><p>p</p><p>n</p><p>h</p><p>p</p><p>n</p><p>h p f</p><p>h</p><p>n</p><p>f</p><p>Gauss</p><p>∆ = ⇒ −( ) = ⇒</p><p>−( ) = = ⇒</p><p>⇒</p><p>−( ) =</p><p>’ ’ ’</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>1</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>���</p><p>Resposta: D</p><p>15.</p><p>A)</p><p>O</p><p>3</p><p>O</p><p>2O</p><p>1</p><p>n</p><p>θ</p><p>6θ°</p><p>β</p><p>I) 1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>30⋅ = ⇒ = ⇒ =sen senβ β β º</p><p>II) Observe que se q = 60º (paralelos) ∆O</p><p>1</p><p>OO</p><p>2</p><p>é isósceles. Logo,</p><p>quando um raio incide na face esférica, exatamente onde tal</p><p>face cruza o eixo x, há um raio emergente paralelo ao incidente.</p><p>B)</p><p>60° 60°</p><p>60°</p><p>30°</p><p>30°</p><p>30°</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>n</p><p>B) ∆BOA:</p><p>Tg</p><p>OA</p><p>R</p><p>OA</p><p>OA D m</p><p>30</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>0 5</p><p>º</p><p>,</p><p>= ⇒ ⋅ = ⇒</p><p>⇒ = =</p><p>C)</p><p>O</p><p>2</p><p>O</p><p>1</p><p>O</p><p>S</p><p>2</p><p>S</p><p>1</p><p>30</p><p>60 θ</p><p>2</p><p>θ</p><p>1</p><p>60°</p><p>60°</p><p>30°</p><p>α</p><p>η</p><p>α</p><p>• Por aproximação, no ângulo de reflexão total:</p><p>n · senα = 1 → senα = 3</p><p>3</p><p>, logo, cosα = 6</p><p>3</p><p>∆OO</p><p>1</p><p>S</p><p>1</p><p>: 90 60 180 30</p><p>30 30 30</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>− + + = ⇒ − = ⇒</p><p>⇒ = − ⇒ = −</p><p>θ α α θ</p><p>θ α θ α α</p><p>º</p><p>cos cossen sen sen ⇒⇒</p><p>⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = −sen senθ θ1 1</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>6</p><p>6</p><p>• Analogamente, q</p><p>2</p><p>= α + 30º, senθ2</p><p>1</p><p>2</p><p>6</p><p>6</p><p>= +</p><p>Portanto,</p><p>arcsen arcsen</p><p>1</p><p>2</p><p>6</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>6</p><p>6</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>≤ ≤ +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>θ ,</p><p>onde a igualdade representa a situação teórica limite.</p><p>14F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>16.</p><p>d</p><p>η</p><p>x</p><p>α</p><p>α</p><p>R</p><p>R</p><p>I) Snell:</p><p>η · senα = 1 sen 90º = 1</p><p>sen</p><p>n</p><p>α = 1</p><p>II) ↑ ↑=↑</p><p>+( ) ↑</p><p>+</p><p>≤</p><p>+</p><p>→</p><p>⇒sen</p><p>x R</p><p>d R</p><p>sen</p><p>R</p><p>R d</p><p>x o</p><p>α α</p><p>Logo,</p><p>1</p><p>1n</p><p>R</p><p>R d</p><p>R d Rn</p><p>d</p><p>n</p><p>R≤</p><p>+</p><p>⇒ + ≤ ⇒</p><p>−</p><p>≤</p><p>Resposta: C</p><p>17.</p><p>centro (Fixo)</p><p>Antes</p><p>Depois</p><p>C C’</p><p>C</p><p>α</p><p>βη</p><p>α</p><p>β IMG</p><p>OBJ OBJ (O)</p><p>centro (Fixo)</p><p>• Dióptro</p><p>H h</p><p>H</p><p>η</p><p>η= ⇒ = ⋅</p><p>1</p><p>50</p><p>centro (Fixo)</p><p>Antes</p><p>Depois</p><p>C C’</p><p>C</p><p>α</p><p>βη</p><p>α</p><p>β IMG</p><p>OBJ OBJ (O)</p><p>centro (Fixo)</p><p>• Dióptro</p><p>H h</p><p>H</p><p>η</p><p>η= ⇒ = ⋅</p><p>1</p><p>50</p><p>* Observe o ponto C:</p><p>CENTRO</p><p>C</p><p>→a</p><p>→g</p><p>θ</p><p>θ</p><p>...</p><p>...</p><p>Tg</p><p>a</p><p>g</p><p>a gTgθ θ= ⇒ =</p><p>* Observe o ponto ∆COC’:</p><p>H</p><p>H’</p><p>C’</p><p>C</p><p>θ</p><p>O</p><p>cos</p><p>’</p><p>,</p><p>θ η</p><p>η</p><p>θ</p><p>= = =</p><p>=</p><p>=</p><p>H</p><p>H</p><p>Logo Tg</p><p>Por fim a g</p><p>25 3</p><p>50</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>Resposta: a g= ⋅3</p><p>3</p><p>18. Analisando o início:</p><p>α1</p><p>α2</p><p>α1’</p><p>α2’</p><p>α3</p><p>1 · sen90º = µ</p><p>1</p><p>senα</p><p>1</p><p>µ</p><p>1</p><p>senα</p><p>1</p><p>’ = µ</p><p>2</p><p>senα</p><p>2</p><p>µ</p><p>2</p><p>senα</p><p>¨2</p><p>’ = µ senα</p><p>3</p><p>…</p><p>µ</p><p>5</p><p>sen α</p><p>5</p><p>’ = 1 · sen90º</p><p>Mas, α</p><p>1</p><p>+ α</p><p>1</p><p>’ = 90º, logo, senα</p><p>1</p><p>’ = cosα</p><p>1</p><p>α</p><p>2</p><p>+ α</p><p>2</p><p>’ = 90º, logo, senα</p><p>2</p><p>’ = cosα</p><p>2</p><p>…</p><p>α</p><p>5</p><p>sen + α</p><p>5</p><p>’ = 90º, logo, senα</p><p>5</p><p>’ ≠ cosα</p><p>5</p><p>15 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Portanto,</p><p>1 = µ</p><p>1</p><p>2sen2α</p><p>1</p><p>µ</p><p>2</p><p>2sen2α</p><p>2</p><p>= µ</p><p>1</p><p>2cos2α</p><p>1</p><p>µ</p><p>2</p><p>2cos2α</p><p>2</p><p>= µ</p><p>3</p><p>2sen2α</p><p>3</p><p>µ</p><p>4</p><p>2sen2α</p><p>4</p><p>= µ</p><p>3</p><p>2cos2α</p><p>3</p><p>µ</p><p>4</p><p>2cos2α</p><p>4</p><p>= µ</p><p>5</p><p>2sen2α</p><p>5</p><p>1 = µ</p><p>5</p><p>2cos2α</p><p>5</p><p>-------- (+)--------</p><p>2 + µ</p><p>2</p><p>2 + µ</p><p>4</p><p>2 = µ</p><p>1</p><p>2 + µ</p><p>3</p><p>2 + µ</p><p>5</p><p>2</p><p>Resposta: B</p><p>19.</p><p>n – 1</p><p>...</p><p>... ...</p><p>n</p><p>y</p><p>R</p><p>2</p><p>1</p><p>n + 1</p><p>α</p><p>n – 1</p><p>α</p><p>n – 1</p><p>α</p><p>2α</p><p>2</p><p>α</p><p>1</p><p>α</p><p>α</p><p>n</p><p>• Snell:</p><p>1 1 1</p><p>1 1 2 2</p><p>1 1</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>− −</p><p>η α</p><p>η α η α</p><p>η α η α</p><p>sen</p><p>sen sen</p><p>sen senn n n n</p><p>…</p><p>__________ ___________</p><p>, ,1</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>5</p><p>= = =η α η αn n n nsen se sen</p><p>• Logo,</p><p>sen</p><p>R y</p><p>R</p><p>SR y R</p><p>y R</p><p>nα = − = ⇒ − = ⇒</p><p>⇒ =</p><p>2</p><p>5</p><p>5 2</p><p>3</p><p>5</p><p>Resposta: E</p><p>20.</p><p>Gaivota</p><p>x</p><p>h</p><p>η</p><p>α</p><p>I. η α α α⋅ = ⇒ = ≈sen sen Tg1</p><p>1</p><p>1 3</p><p>10</p><p>64</p><p>1 2</p><p>,</p><p>, ,</p><p>II. Mas Tg</p><p>x</p><p>h</p><p>x mh mα ≈ =  → ==1 2 1 21, ,</p><p>Mas observe que, como o feixe reflete luz em todas as direções,</p><p>há sempre um raio antes do ângulo de reflexão total que chega</p><p>no olho da gaivota. Logo, o peixe não consegue deixar de ser</p><p>visualizado pela gaivota.</p><p>Resposta: E</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA</p><p>– AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: ESTEFANIA – 25/06/18 – REV.: JARINA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: dioptros</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>AULAS 11 A 13</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Dioptro</p><p>Dioptro é todo sistema formado por dois meios homogêneos</p><p>e transparentes.</p><p>Quando a separação entre dois meios é plana, chamamos o</p><p>sistema de dioptro plano.</p><p>2Luz</p><p>Luz</p><p>a N</p><p>P</p><p>S</p><p>b</p><p>α</p><p>r</p><p>i</p><p>S</p><p>1</p><p>Em que:</p><p> e : meios refringentes diferentes;</p><p>S: fronteira, superfície refringente ou superfície dióptrica;</p><p> + S + : dioptro;</p><p>P: ponto de incidência;</p><p>α: plano tangente a S em P;</p><p>α: normal α em P;</p><p>a: raio incidente;</p><p>i: ângulo de incidência;</p><p>b: raio refrato ou raio refratado;</p><p>r: ângulo de refração;</p><p>plano (a, N): plano de incidência.</p><p>A figura anterior representa um dioptro na separação entre a</p><p>água e o ar, que são dois meios homogêneos e transparentes.</p><p>Formação de imagens através de um dioptro</p><p>Considere um pescador que vê um peixe em um lago. O peixe</p><p>encontra-se a uma profundidade H da superfície da água. O pescador</p><p>o vê a uma profundidade h. Conforme mostra a figura a seguir:</p><p>h</p><p>Ar - meio 1</p><p>ObservadorA</p><p>Água - meio 2</p><p>2θ</p><p>1θ</p><p>H</p><p>x</p><p>A fórmula que determina essas distâncias é:</p><p>H</p><p>n</p><p>h</p><p>n2 1</p><p>= −</p><p>P (S): POR</p><p>(S): PIV</p><p>(G): POR</p><p>P’</p><p>P’</p><p>ar</p><p>água</p><p>P</p><p>G</p><p>S</p><p>P’</p><p>Em esquema:</p><p>di</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>N</p><p>S</p><p>P</p><p>p’</p><p>i</p><p>r</p><p>d0</p><p>A luz se propaga da água para o ar:</p><p>P</p><p>S</p><p>olho</p><p>P (S): POR</p><p>P’ (S): PIV</p><p>P’ (G): POR</p><p>G</p><p>P`</p><p>água</p><p>ar</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>2</p><p>x</p><p>P</p><p>P</p><p>1 i</p><p>d</p><p>1</p><p>N</p><p>S</p><p>r</p><p>Dioptro esférico</p><p>Um dioptro esférico é aquele em que a superfície que separa</p><p>dois meios possui formato perfeitamente esférico, com raio de</p><p>curvatura R. Veja o esquema a seguir:</p><p>P</p><p>LUZ</p><p>V K C</p><p>h</p><p>i</p><p>1</p><p>β</p><p>Adotaremos o seguinte referencial:</p><p>1. As distâncias do objeto e imagem serão positivas quando forem</p><p>reais;</p><p>2. As distâncias do objeto e imagem serão negativas quando forem</p><p>virtuais;</p><p>3. O raio de curvatura será positivo quando tiver o mesmo sentido da</p><p>luz incidente e negativo quando tiver sentido contrário.</p><p>Tal convenção pode confundir o aluno no começo. Aqueles</p><p>que adotam outra convenção devem ter cuidado com as equações</p><p>finais, pois alguns sinais podem aparecer trocados!</p><p>Consideremos o dioptro esférico convexo da figura a seguir.</p><p>O raio incidente IP’ se refrata segundo IP’. O raio incidente PV,</p><p>normal ao dioptro, não sofre desvio.</p><p>O ângulo externo i, do triângulo PIC, permite escrever:</p><p>i = α + θ</p><p>O ângulo externo θ do triângulo P’IC, permite escrever:</p><p>θ = β + r ∴ r = θ – β</p><p>Dividindo, membro a membro, a primeira equação por esta</p><p>última, obtemos:</p><p>i</p><p>r</p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>α θ</p><p>θ β</p><p>Considerando apenas raios incidentes, muito pouco inclinados</p><p>em relação à normal, podemos aplicar a Lei de Snell e substituir</p><p>i</p><p>r</p><p>por n</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>n</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>α θ</p><p>θ β</p><p>n</p><p>2</p><p>θ – n</p><p>2</p><p>· β = n</p><p>1</p><p>α + n</p><p>1</p><p>θ</p><p>(n</p><p>2</p><p>– n</p><p>1</p><p>)θ = n</p><p>1</p><p>· n</p><p>1</p><p>α + n</p><p>1</p><p>θ</p><p>(n</p><p>2</p><p>– n</p><p>1</p><p>)θ = n</p><p>1</p><p>· α + n</p><p>2</p><p>· β</p><p>Como os ângulos θ, α e β são muito pequenos, podemos</p><p>substituí-los, sem erro sensível, pelas respectivas tangentes:</p><p>n n</p><p>h</p><p>KC</p><p>n</p><p>h</p><p>KP</p><p>n</p><p>h</p><p>KP</p><p>2 1 1 2−( ) = +</p><p>‘</p><p>Simplificando h e tendo em vista que</p><p>KC ≅ VC = – R</p><p>KP ≅ VP = p</p><p>KP’ ≅ VP’ = p’</p><p>temos: n n</p><p>R</p><p>n</p><p>P</p><p>n</p><p>P</p><p>1 2 1 2− = +</p><p>‘</p><p>* A equação anterior só é válida dentro da aproximação de Gauss.</p><p>Exercícios</p><p>01. (OBF) Um objeto é colocado a uma distância p = 25 m de um</p><p>espelho côncavo de distância focal f = 10 m. Sobre o espelho é</p><p>despejada uma pequena quantidade de líquido cujo índice de</p><p>refração é n = 1,4, como mostra a figura. Determine a distância</p><p>da imagem, formada por este sistema óptico, ao espelho.</p><p>p</p><p>objeto</p><p>02. (ITA) Um pescador deixa cair uma lanterna acesa em um lago a</p><p>10,0 m de profundidade. No fundo do lago, a lanterna emite um</p><p>feixe luminoso, formando um pequeno ângulo θ com a vertical</p><p>(veja figura).</p><p>θh</p><p>Considere: tg θ ≈ sen θ ≈ θ e o índice de refração da água n = 1,33.</p><p>Então, a profundidade aparente h vista pelo pescador, é igual a:</p><p>A) 2,5 m</p><p>B) 5,0 m</p><p>C) 7,5 m</p><p>D) 8,0 m</p><p>E) 9,0 m</p><p>03. (ITA) Através de um tubo fino, um observador enxerga o topo</p><p>de uma barra vertical de altura H apoiada no fundo de um</p><p>cilindro vazio de diâmetro 2H. O tubo encontra-se a uma altura</p><p>2H + L e, para efeito de cálculo, é de comprimento desprezível.</p><p>Quando o cilindro é preenchido com um líquido até uma altura 2H</p><p>(veja a figura a seguir), mantido o tubo na mesma posição, o</p><p>observador passa a ver a extremidade inferior da barra. Determine,</p><p>literalmente, o índice de refração desse líquido.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>2H</p><p>H</p><p>H</p><p>L</p><p>04. Dois materiais se encontram colados pela superfície</p><p>plana CD. O lado direito contém água e o lado esquerdo possui</p><p>índice de refração igual a 2. O raio de curvatura da superfície</p><p>AB é 10 cm. Se um objeto é colocado à distância de 15 cm de P,</p><p>encontre a distância final da imagem de O em relação a P.</p><p>A</p><p>P</p><p>B D</p><p>C</p><p>µ = 2.0</p><p>15 cm</p><p>30 cm</p><p>C</p><p>O</p><p>µ = 4/3</p><p>I</p><p>05. Um bastão de vidro, mostrado na figura abaixo, possui índice de</p><p>refração µ. O objeto O se encontra a uma distância 2R da superfície</p><p>com maior raio de curvatura. A distância entre os vértices das</p><p>superfícies vale 3R. Encontre a distância entre a imagem formada</p><p>e o vértice da direita.</p><p>vidrovidrovidroRRR</p><p>R/2R/2R/2</p><p>2R2R2R 3R3R3R</p><p>AAA</p><p>BBBI</p><p>1</p><p>I</p><p>1</p><p>I</p><p>1</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>OOO</p><p>06. Um reservatório cúbico, de paredes opacas e arestas a 40 cm,</p><p>acha-se disposto de tal maneira que o observador não vê o seu</p><p>fundo (ver figura). A que nível mínimo devemos preencher este</p><p>cubo com água para que o observador possa ver uma mancha</p><p>negra pontual M, que se encontra no fundo do recipiente, a uma</p><p>distância b = 10 cm do ponto D?</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>C</p><p>D</p><p>a = 40 cm</p><p>b = 10 cm</p><p>Dado: índice de refração para a água, na região do visível, n = 1,33.</p><p>A) 21 cm</p><p>B) 27 cm</p><p>C) 32 cm</p><p>D) 18 cm</p><p>E) Nenhum dos valores anteriores.</p><p>07. Um diamante muito caro é polido no formato de uma esfera de</p><p>raio r. A superfície mais distante da fonte luminosa foi recoberta</p><p>com prata. Determine a que distância da esfera se deve localizar</p><p>uma fonte pontual de luz S para que se forme uma imagem</p><p>coincidente com a fonte. O índice de refração do diamante vale</p><p>2,4 e o raio da esfera vale 1,0 cm.</p><p>rd – ?S</p><p>A) 1,0 cm</p><p>B) 2,0 cm</p><p>C) 4,0 cm</p><p>D) 5,0 cm</p><p>E) 7,0 cm</p><p>08. (IME) Uma esfera de gelo de raio R flutua parcialmente imersa</p><p>em um copo com água, como mostra a figura a seguir. Com a</p><p>finalidade de iluminar uma bolha de ar, também esférica, localizada</p><p>no centro da esfera de gelo, utilizou-se um feixe luminoso de seção</p><p>reta circular de área</p><p>πR2</p><p>100</p><p>m2 que incide verticalmente na esfera.</p><p>Considerando que os raios mais externos do feixe refratado</p><p>tangenciam a bolha conforme a figura, determine a massa</p><p>específica do gelo.</p><p>feixe</p><p>luminoso</p><p>bolha</p><p>de ar</p><p>R</p><p>Dados:</p><p>– Índice de refração do ar: 1,0;</p><p>– Índice de refração do gelo: 1,3;</p><p>– Massa específica do ar: 1,0 kg/m3;</p><p>– Massa específica da água: 103 kg/m3;</p><p>– Volume da calota esférica: v = 2 · 10–2 πR3.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>09. Um hemisfério de vidro maciço de raio de 10 cm e índice de</p><p>refração n =</p><p>3</p><p>2</p><p>tem sua face plana apoiada sobre uma parede,</p><p>como ilustra a figura a seguir. Um feixe colimado de luz, de 1 cm</p><p>de diâmetro, incide sobre a face esférica, centrado na direção do</p><p>eixo de simetria do hemisfério. Valendo-se das aproximações de</p><p>ângulos pequenos, senα ≈ α e tgα ≈ α, o diâmetro do círculo de</p><p>luz que se forma sobre a superfície da parede é de</p><p>10 cm</p><p>n</p><p>1 cm</p><p>A) 1 cm</p><p>B)</p><p>2</p><p>3</p><p>cm</p><p>C</p><p>1</p><p>2</p><p>cm</p><p>D)</p><p>1</p><p>3</p><p>cm</p><p>E)</p><p>1</p><p>10</p><p>cm</p><p>10. Um raio luminoso incide sobre uma lâmina transparente de faces</p><p>paralelas, de espessura a e índice de refração n. Calcular o desvio</p><p>sofrido pelo raio luminoso ao atravessar a lâmina, supondo que</p><p>o ângulo de incidência seja pequeno.</p><p>Utilizar as aproximações: sen α ≈ α e cos α ≈ 1</p><p>(n) a</p><p>+</p><p>α</p><p>A) x a</p><p>n</p><p>≅ +</p><p></p><p></p><p></p><p>α 1</p><p>1</p><p>B) x a n≅ −α( )1</p><p>C) x a</p><p>n</p><p>≅ −</p><p></p><p></p><p></p><p>α 1</p><p>1</p><p>D) x a n≅ +α( )1</p><p>E) x a n≅ −α( )1</p><p>GABARITO</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08 09 10</p><p>* C * * * B D * B C</p><p>* 01. 10 m.</p><p>03. n</p><p>H L H</p><p>H H L</p><p>=</p><p>+ +( )</p><p>+ +( )</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>04. 30 cm</p><p>05. p2</p><p>9 4</p><p>10 9 2</p><p>=</p><p>−</p><p>− −</p><p>( )R</p><p>( )( )</p><p>µ</p><p>µ µ</p><p>08. 985 kg/m3</p><p>Resoluções</p><p>01.</p><p>Objeto</p><p>p = 25 m</p><p>• Para um observador na água (meio onde está o espelho),</p><p>o objeto aparentará estar a uma distância p’.</p><p>p</p><p>p</p><p>n</p><p>n</p><p>p</p><p>p mÆgua</p><p>ar</p><p>‘ ‘ ,</p><p>‘= ⇒ = ⇒ =</p><p>25</p><p>1 4</p><p>1</p><p>35</p><p>• Pela equação de Gauss para o espelho côncavo:</p><p>1 1 1 1</p><p>10</p><p>1</p><p>35</p><p>1</p><p>14</p><p>F p p p</p><p>p m= + → = + ⇒ =</p><p>‘ ” ”</p><p>”</p><p>• Para um observador no ar, a imagem aparenterá estar</p><p>deslocada:</p><p>p</p><p>p</p><p>p p m</p><p>F</p><p>F F</p><p>” ,</p><p>,</p><p>= ⇒ = ⇒ =</p><p>1 4</p><p>1</p><p>14</p><p>1 4</p><p>10</p><p>Resposta: 10 m</p><p>02. Basta usarmos a equação do dioptro plano:</p><p>10 1 33</p><p>1</p><p>10</p><p>1 33</p><p>7 5</p><p>m</p><p>h</p><p>h h m= ⇒ = ⇒ ≅</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>Resposta: C</p><p>03. Pelo triângulo DMNP:</p><p>sen</p><p>H</p><p>H L H</p><p>θ =</p><p>+( ) +</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>Por semelhança:</p><p>DQMT ∼ DMPN</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>MN</p><p>MT</p><p>L H</p><p>H</p><p>H L H MT</p><p>H</p><p>L H</p><p>MT RS</p><p>=</p><p>+</p><p>⇒ = +( )</p><p>+</p><p>= =</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>90 – θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>a</p><p>T N</p><p>L</p><p>P</p><p>Q</p><p>H</p><p>M</p><p>H</p><p>R S</p><p>Então, pelo triângulo DQRS:</p><p>RQ</p><p>H</p><p>L H</p><p>H</p><p>H</p><p>L H</p><p>H L H=</p><p>+( )</p><p>+ =</p><p>+( )</p><p>+ +( )4</p><p>4</p><p>24</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>Portanto:</p><p>sen</p><p>RS</p><p>RQ</p><p>H</p><p>L H</p><p>H</p><p>L H</p><p>H L H</p><p>H</p><p>H L H</p><p>senα α= = +</p><p>+</p><p>+ +( )</p><p>⇒</p><p>+ +( )</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2 2</p><p>Pela Lei de Snel-Descartes, temos:</p><p>Para sen n sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>nl q l qθ α</p><p>θ</p><p>α</p><p>= ⋅ ⇒</p><p>⋅</p><p>=í í</p><p>1</p><p>Pelos valores encontrados para senθ e senα, podemos encontrar:</p><p>n</p><p>H</p><p>H L H</p><p>H L H</p><p>H</p><p>n</p><p>H L H</p><p>H H L</p><p>l líq íq=</p><p>+( ) +</p><p>⋅</p><p>+ +( )</p><p>⇒ =</p><p>+ +( )</p><p>+ +( )</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>Resposta: n</p><p>H L H</p><p>H H L</p><p>=</p><p>+ +( )</p><p>+ +( )</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>04. Pela equação do dioptro esférico:</p><p>n n</p><p>R</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p cm p p</p><p>p cm</p><p>1 2 1 2 2 1</p><p>10</p><p>2</p><p>15</p><p>1 3</p><p>30</p><p>4</p><p>15</p><p>1</p><p>30</p><p>−</p><p>= + ⇒</p><p>−</p><p>= + ⇒ = + ⇒</p><p>⇒ = −</p><p>‘ ‘ ‘</p><p>‘</p><p>• O sinal negativo indica que a imagem é virtual.</p><p>• A imagem se formará pelo encontro do prolongamento dos</p><p>raios na água. Entretanto, por não se tratar dos raios, e sim de</p><p>seus prolongamentos, não se deve levar em conta o dioptro</p><p>plano vidro/água.</p><p>Resposta: 30 cm</p><p>05.</p><p>• Para o primeiro dioptro esférico:</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>= + ⇒</p><p>−( )</p><p>− = ⇒</p><p>−( )</p><p>= ⇒</p><p>⇒ =</p><p>µ µ µ µ µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>R p R R R p R p</p><p>p</p><p>R</p><p>‘ ‘ ‘</p><p>‘</p><p>−− 3</p><p>• A distância entre a imagem e o segundo dioptro esférico será:</p><p>d R p R</p><p>R R R R R</p><p>d= − = −</p><p>−</p><p>=</p><p>− =</p><p>−</p><p>⇒</p><p>−( )</p><p>−</p><p>=3 3</p><p>2</p><p>2 3</p><p>6 9 2</p><p>2 3</p><p>4 9</p><p>2 3</p><p>‘</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>• Pela equação do segundo dioptro, teremos:</p><p>µ µ µ µ µ</p><p>µ</p><p>µ µ</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= + →</p><p>−( )</p><p>=</p><p>−( )</p><p>−( )</p><p>+</p><p>−( ) −( )</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 1 2 3</p><p>4 9</p><p>1</p><p>2 1 4 9</p><p>2 2R d p R R p</p><p>−− −( )</p><p>−( )</p><p>= ⇒</p><p>⇒</p><p>− − + − +( )</p><p>−( )</p><p>= ∴</p><p>µ µ</p><p>µ</p><p>µ µ µ µ µ</p><p>µ</p><p>2 3</p><p>4 9</p><p>1</p><p>8 18 8 18 2 3</p><p>4 9</p><p>1</p><p>10</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>R p</p><p>R p</p><p>µµ µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ µ</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>29 18</p><p>9 4</p><p>1 9 4</p><p>10 9 2</p><p>− +( )</p><p>−( )</p><p>=  → =</p><p>−( )</p><p>−( ) −R p</p><p>p</p><p>Rfatorando</p><p>(( )</p><p>Resposta:</p><p>R 9 4</p><p>10 9 2</p><p>−( )</p><p>−( ) −( )</p><p>µ</p><p>µ µ</p><p>06.</p><p>x</p><p>40 – x</p><p>30 – x 10 cmx</p><p>45º</p><p>θ</p><p>n = 1,33 =</p><p>4</p><p>3</p><p>Pela Lei de Snell-Descartes:</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>1 45 1 33</p><p>0 5316</p><p>1 0 5316 0 8472 2</p><p>⋅ ° = ⋅</p><p>≅</p><p>↓</p><p>= − ( ) ⇒ ≅</p><p>sen sen</p><p>sen</p><p>,</p><p>,</p><p>cos , cos ,</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ θ</p><p>Então, tgθ = 0,627</p><p>Pela figura:</p><p>∴ = =</p><p>−</p><p>−</p><p>⇒ − = − ⇒</p><p>⇒ = ∴ = ⇒</p><p>tg</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>θ 0 627</p><p>30</p><p>40</p><p>25 1 0 627 30</p><p>0 373 4 9</p><p>49</p><p>3 73</p><p>, , ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>xx cm≅ 13 136,</p><p>Portanto:</p><p>h = 40 – x ≅ 27 cm</p><p>Resposta: B</p><p>07.</p><p>• Convencionando como p a distância do objeto ao dioptro e p’</p><p>a distância da primeira imagem ao dioptro, então:</p><p>1 2 4</p><p>1</p><p>1 4</p><p>2 4 1 1 4 1</p><p>2 4</p><p>1 2 4</p><p>1 4 1</p><p>−</p><p>−( ) = = + ⇒</p><p>−</p><p>= ⇒ =</p><p>−</p><p>,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>, ’</p><p>’</p><p>,</p><p>,p p</p><p>p</p><p>p p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>• A primeira imagem formada pelo dioptro, em relação ao</p><p>espelho côncavo, será um ponto objeto real, e então teremos:</p><p>x p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>= − = −</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>2 2</p><p>2 4</p><p>1 4 1</p><p>0 4 2</p><p>1 4 1</p><p>‘</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>2 cm</p><p>x’</p><p>P’ x</p><p>Sendo x’ a distância do espelho à imagem conjugada do</p><p>objeto em x:</p><p>1</p><p>0 5</p><p>1 1</p><p>2</p><p>1 4 1</p><p>0 4 2</p><p>1 0 8 4 1 4 1</p><p>0 4 2</p><p>1</p><p>0</p><p>, ’</p><p>,</p><p>, ’</p><p>, ,</p><p>, ’</p><p>’</p><p>= + ⇒ =</p><p>−</p><p>−</p><p>+ ⇒</p><p>− − +</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>x x</p><p>p</p><p>p x</p><p>p p</p><p>p x</p><p>x</p><p>,,</p><p>,</p><p>4 2</p><p>0 6 3</p><p>p</p><p>p</p><p>−</p><p>− +( )</p><p>Para que se cumpra a situação proposta no enunciado,</p><p>deve-se ter:</p><p>x x</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>= ⇒</p><p>−</p><p>− +( )</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>‘</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>0 4 2</p><p>0 6 3</p><p>0 4 2</p><p>1 4 1</p><p>• Se 0,4p – 2 ≠ θ, então: 1,4p – 1 = –0,6p – 3 ⇒ p = –1 cm .</p><p>No entanto, como o objeto é exterior ao diamante, então</p><p>p > θ.</p><p>Portanto, 0 4 2</p><p>2</p><p>0 4</p><p>5</p><p>5</p><p>,</p><p>,</p><p>p p cm</p><p>p cm</p><p>− = → = =</p><p>=</p><p>θ</p><p>Resposta: D</p><p>08.</p><p>a</p><p>α</p><p>α</p><p>β</p><p>Calculando a: π</p><p>π</p><p>a</p><p>R</p><p>a</p><p>R2</p><p>2</p><p>100 10</p><p>= → =</p><p>• Pela Lei de Snell:</p><p>1 90</p><p>1 3</p><p>⋅ −( ) = ⋅</p><p>= ⋅</p><p>sen n sen</p><p>R</p><p>geloα β</p><p>α</p><p>γ</p><p>cos ,</p><p>Mas cos ,α = =</p><p>a</p><p>R</p><p>1</p><p>10</p><p>Então:</p><p>1</p><p>10</p><p>1 3</p><p>13</p><p>= ⋅ ⇒ =,</p><p>γ</p><p>γ</p><p>R</p><p>R</p><p>• Portanto, pelo equilíbrio da esfera:</p><p>E = mg</p><p>d</p><p>água</p><p>· g(V</p><p>esfera</p><p>– V</p><p>calota</p><p>) = d</p><p>gelo</p><p>· (V</p><p>esfera</p><p>– V’</p><p>esfera</p><p>) · g + d</p><p>ar</p><p>· V’</p><p>esfera</p><p>·</p><p>g</p><p>*V</p><p>esfera</p><p>⇒ volume da esfera de raio R.</p><p>*V’</p><p>esfera</p><p>⇒ volume da esfera de raio γ.</p><p>10 10</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>100</p><p>10</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3 13</p><p>3 3 3 3</p><p>3</p><p>3</p><p>⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = ⋅ −</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π π π πR R d R</p><p>R</p><p>gelo ++</p><p>+ ⋅</p><p>( )</p><p>⋅ ⇒ =</p><p>4</p><p>3 13</p><p>10 985</p><p>3</p><p>3 3</p><p>π R</p><p>d</p><p>kg</p><p>m</p><p>gelo</p><p>Resposta: 985 kg/m3</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>023.604 – 148399/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>09. Visto que os ângulos tratados são pequenos, então é possível</p><p>utilizar a equação de dioptro esférico:</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p>−( )</p><p>= + ⇒ → ∞ ⇒</p><p>⇒</p><p>−</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p‘</p><p>como os raios são paralelos, então p</p><p>nn n</p><p>p</p><p>p cm</p><p>−( )</p><p>= ⇒ =</p><p>10</p><p>30</p><p>‘</p><p>‘</p><p>10 cm</p><p>30 cm</p><p>1 cm d</p><p>Por semelhança de triângulos:</p><p>1</p><p>30 20</p><p>2</p><p>3</p><p>= ⇒ =</p><p>d</p><p>d cm</p><p>Resposta: B</p><p>10. Pela Lei de Snell-Descartes:</p><p>senα = n · senθ, α e θ pequenos</p><p>α = n · θ</p><p>A</p><p>a</p><p>+</p><p>B</p><p>– θ θ</p><p>α</p><p>α</p><p>Pela geometria do problema:</p><p>sen</p><p>x</p><p>AB</p><p>x</p><p>AB</p><p>la iα θ α θ−( ) = ⇒ − = ( )Re ção</p><p>Mas: ABcosθ = a ⇒ θ ≅ θ → cosθ ≈ 1</p><p>AB ≅ a</p><p>Então, pela relação i:</p><p>α θ α θ α</p><p>α</p><p>α−( ) = ⇒ −( ) = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = ⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>x</p><p>a</p><p>a a</p><p>n</p><p>a</p><p>n</p><p>x1</p><p>1</p><p>Resposta: C</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Carlos Eduardo</p><p>DIG.: Vicentina - REV.: Jarina</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: lEntEs</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>AULAS 14 a 16</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Lentes</p><p>Uma lente é, basicamente, um sistema que transmite e</p><p>refrata, convergindo ou divergindo, raios luminosos. As aplicações</p><p>são infinitas no ramo da óptica. Se você tiver oportunidade de olhar,</p><p>detalhadamente, a estrutura de uma máquina fotográfica moderna ou</p><p>uma lente zoom ou, ainda, um telescópio, você entenderá rapidamente</p><p>a relevância das lentes esféricas.</p><p>Pirâmide</p><p>do visor</p><p>Espelho</p><p>pentaprismático</p><p>Ocular</p><p>do visor</p><p>Cortina do</p><p>obturador</p><p>Espelho móvel</p><p>Subespelho</p><p>Porção de Luz</p><p>para a medição</p><p>Tela despolida de</p><p>formação do foco</p><p>Esses instrumentos úteis são construídos utilizando lentes</p><p>esféricas. Os óculos são constituídos de duas lentes esféricas.</p><p>A lente é formada por dois dioptros, sendo um esférico e o outro,</p><p>plano ou esférico.</p><p>Classificação de uma lente</p><p>As lentes se encaixam em duas grandes classes, dependendo</p><p>da espessura da periferia em relação à espessura central: lentes de</p><p>bordas grossas e lentes de bordas finas.</p><p>Bordas finas:</p><p>biconvexa plano</p><p>convexa</p><p>plano</p><p>convexa</p><p>Bordas grossas:</p><p>bicôncava plano</p><p>côncava</p><p>convexo</p><p>côncava</p><p>Perceba que a nomenclatura é dada da seguinte forma: o nome</p><p>da lente que possui o maior raio de curvatura vem em primeiro lugar.</p><p>Quando as duas faces possuem mesma concavidade, acrescentamos</p><p>o prefixo bi.</p><p>Elementos de uma lente</p><p>E.p.</p><p>V1</p><p>V2</p><p>n2</p><p>n1</p><p>R1</p><p>C1 C2</p><p>R2</p><p>• C</p><p>1</p><p>e C</p><p>2</p><p>são os centros de curvatura das faces da lente;</p><p>• R</p><p>1</p><p>e R</p><p>2</p><p>são os raios de curvatura das faces da lente;</p><p>• CC1 2 é o eixo principal ou eixo óptico. É o eixo normal às faces da lente;</p><p>• V V1 2 é a espessura da lente.</p><p>Centro óptico:</p><p>Quando um raio incide sobre a</p><p>lente e esse não sofre desvio angular,</p><p>mas sim desvio lateral. A interseção desse raio com o eixo óptico é</p><p>chamada de centro óptico. Nas lentes delgadas, o desvio lateral tende a</p><p>zero. Portanto, o centro óptico de uma lente delgada é o ponto no qual</p><p>os raios que incidem sobre esse não sofrem nenhum tipo de desvio.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>Focos e pontos antiprincipais</p><p>Para simplificar nossos estudos, usaremos a notação de Gauss</p><p>para representar uma lente.</p><p>Façamos incidir, sobre uma lente esférica, um pincel cilíndrico</p><p>de luz monocromática paralelo ao eixo principal da lente. Ao ser</p><p>refratada, a luz emerge ou converge para um ponto, se a lente for</p><p>convergente; ou diverge de um ponto, se a lente for divergente. Este</p><p>ponto do eixo principal, em relação ao qual a luz converge ou diverge,</p><p>é chamado foco principal imagem (Fi).</p><p>F Eixo</p><p>principal</p><p>i</p><p>Eixo</p><p>principalFi</p><p>Façamos, agora, incidir um pincel de luz monocromática em</p><p>uma lente esférica, de tal modo que o pincel de luz emergente seja</p><p>cilíndrico e paralelo ao eixo principal. Para tanto, na lente convergente,</p><p>ele deverá ser um pincel cônico divergente.</p><p>F Eixo</p><p>principal</p><p>o</p><p>O ponto do eixo principal que coincide com o vértice do pincel</p><p>cônico divergente é o foco principal objeto (F</p><p>o</p><p>) da lente convergente.</p><p>A fim de obter um pincel de luz emergente cilíndrico na lente</p><p>divergente, o pincel de luz incidente deverá ser cônico convergente.</p><p>Eixo</p><p>principal</p><p>Fo</p><p>Atente ao fato de que os focos de uma lente convergente são</p><p>reais, enquanto os de uma lente divergente são virtuais.</p><p>A uma distância igual ao dobro da distância focal do eixo óptico</p><p>da lente, sobre o eixo principal, encontram-se dois pontos notáveis de</p><p>uma lente esférica: são os pontos antiprincipais.</p><p>Um raio de luz incidente em uma lente esférica que passe</p><p>(ou seu prolongamento) sobre o ponto antiprincipal objeto é refratado</p><p>passando (ou seu prolongamento) pelo ponto antiprincipal imagem.</p><p>A</p><p>o</p><p>F</p><p>o</p><p>F</p><p>i</p><p>O</p><p>A</p><p>i</p><p>A</p><p>i</p><p>F</p><p>i</p><p>F</p><p>o</p><p>O</p><p>A</p><p>o</p><p>Planos focais</p><p>Se os raios incidentes são paralelos entre si, os raios refratados</p><p>cruzam-se no plano focal imagem.</p><p>Lente Divergente</p><p>Eixo óptico Eixo óptico</p><p>Lente Convergente</p><p>Plano focal imagem Plano focal imagem Plano focal objeto Plano focal objeto</p><p>Se os raios incidentes se cruzam no plano focal imagem, os</p><p>raios refratados são paralelos entre si.</p><p>Lente Divergente</p><p>Eixo</p><p>óptico</p><p>Eixo</p><p>óptico</p><p>Lente Convergente</p><p>Plano focal</p><p>imagem</p><p>Plano focal</p><p>imagem</p><p>Plano focal</p><p>objeto</p><p>Plano focal</p><p>objeto</p><p>Raios notáveis</p><p>Faz-se necessário, para a construção geométrica das imagens</p><p>em uma lente esférica, o estudo da refração de alguns raios de luz</p><p>notáveis:</p><p>1º Todo raio de luz incidente (ou seu prolongamento) que passe pelo</p><p>foco objeto (F</p><p>o</p><p>) de uma lente esférica é refratado paralelo ao eixo</p><p>principal.</p><p>O</p><p>F</p><p>o</p><p>O</p><p>F</p><p>o</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>2º Todo raio de luz incidente paralelo ao eixo principal é refratado</p><p>passando (ou seu prolongamento) pelo foco imagem (Fi).</p><p>O</p><p>F</p><p>i</p><p>O</p><p>F</p><p>i</p><p>3º Todo raio de luz incidente, em uma lente esférica delgada, passando</p><p>sobre o eixo óptico da lente não sofre desvio ao ser refratado.</p><p>o</p><p>o</p><p>4º Todo raio de luz incidente em uma lente esférica que passe</p><p>(ou seu prolongamento) pelo ponto antiprincipal objeto (A</p><p>o</p><p>) é</p><p>refratado passando (ou seu prolongamento) pelo ponto antiprincipal</p><p>imagem (A</p><p>i</p><p>).</p><p>A</p><p>0 F</p><p>0</p><p>A</p><p>iF</p><p>i</p><p>o</p><p>A</p><p>i F</p><p>i</p><p>A</p><p>oF</p><p>o</p><p>o</p><p>Equação de Newton</p><p>Outra notação para se trabalhar com lentes é a notação de</p><p>Newton. Essa se baseia nas distâncias ao foco.</p><p>Sendo x e x’ as distâncias entre o objeto e o foco-imagem, tem-se:</p><p>xx f‘ = 2</p><p>Conhecida como Equação de Newton, é válida não só para</p><p>lentes, como também para espelhos esféricos.</p><p>Demonstrar a Equação de Newton.</p><p>Sabemos que</p><p>1 1 1</p><p>p p f</p><p>+ =</p><p>‘</p><p>Na figura a seguir, obtém-se:</p><p>p f x</p><p>p f x</p><p>= +</p><p>= +{ ‘ ‘</p><p>p p</p><p>x F F’ x’f</p><p>Levando na Equação de Gauss, tem-se:</p><p>1 1 1 1</p><p>f f x f x f</p><p>f x f x</p><p>f x f x</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ =</p><p>+( ) + +( )</p><p>+( ) ⋅ +( )‘</p><p>‘</p><p>‘</p><p>xx f‘ = 2</p><p>Determinação do foco equivalente</p><p>Tomemos duas lentes finas de focos f1 e f2 a uma distância</p><p>d finita uma da outra. Se considerarmos que os eixos principais</p><p>coincidam, podemos associar uma lente equivalente tal que esta</p><p>proporcione uma imagem equivalente à imagem do sistema.</p><p>Assim, chamamos o foco dessa lente como foco equivalente.</p><p>Veja o esquema na figura a seguir:</p><p>M</p><p>Y</p><p>Xo</p><p>d</p><p>h1</p><p>h2</p><p>L1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>L2H2 F2</p><p>N2</p><p>δ</p><p>δ</p><p>δ</p><p>δ</p><p>δ</p><p>Analisando os desvios, temos:</p><p>δ</p><p>1</p><p>+ δ</p><p>2</p><p>= δ</p><p>h</p><p>f</p><p>h</p><p>f</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>+ = δ</p><p>O foco equivalente é a distancia do plano, que passa por H</p><p>2</p><p>,</p><p>ao cruzamento do raio luminoso com o eixo principal. Dessa forma,</p><p>devemos ter que:</p><p>δ = h</p><p>f</p><p>1</p><p>Por outro lado:</p><p>δ1</p><p>1 2 1</p><p>1</p><p>= = − =MY</p><p>XM</p><p>h h</p><p>d</p><p>h</p><p>f</p><p>Substituindo h2, obtemos:</p><p>h</p><p>f f</p><p>h</p><p>h</p><p>f</p><p>d</p><p>h</p><p>f</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>11+ − ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>Portanto:</p><p>1 1 1</p><p>1 2 1 2f f f</p><p>d</p><p>f f</p><p>= + −</p><p>Se as lentes estiverem justapostas:</p><p>lim</p><p>d f f f→</p><p>= +</p><p>0</p><p>1 2</p><p>1 1 1</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>Equação dos fabricantes de lentes</p><p>Equação da vergência é aquela que permite estabelecer a</p><p>distância focal e o comportamento óptico de uma lente em função de</p><p>seus elementos geométricos e dos meios refringentes que participam</p><p>da operação.</p><p>Usaremos os resultados de dioptros esféricos para calcular o</p><p>foco de uma lente delgada em função do índice de refração do meio</p><p>e da lente.</p><p>p p’</p><p>1</p><p>p’</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>O</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>n</p><p>1</p><p>n</p><p>1</p><p>n</p><p>2</p><p>Adotaremos o mesmo referencial dos dioptros esféricos.</p><p>Teremos então:</p><p>n</p><p>p</p><p>n n n</p><p>R</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>+ =</p><p>−</p><p>p‘</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p</p><p>n n</p><p>R</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2‘ ‘</p><p>− =</p><p>−</p><p>Observe que não colocamos, explicitamente, os sinais</p><p>de R</p><p>1</p><p>e R</p><p>2</p><p>, pois a demonstração serve para todos os casos.</p><p>Quando você determinar os sinais, basta aplicar na equação.</p><p>Somando as duas equações, obtemos:</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p</p><p>n n</p><p>R</p><p>n n</p><p>R</p><p>1 1 1 2</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2</p><p>+ = − + −</p><p>‘</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1 12</p><p>1 2 1p p</p><p>n</p><p>n R R</p><p>+ = −</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p>‘</p><p>Lembrando que os sinais de R</p><p>1</p><p>e R</p><p>2</p><p>são determinados pelo</p><p>sentido do raio luminoso.</p><p>Atente ao fato de que consideramos os dois meios em que a</p><p>lente se encontra, homogêneos. Se forem meios diferentes, temos</p><p>de fazer o mesmo procedimento, porém, mantendo os índices de</p><p>refração diferentes.</p><p>Em diversos empregos de lentes esféricas, como em</p><p>óculos, é usual trabalharmos com o inverso da abscissa focal. Essa</p><p>relação, conhecida como vergência ou convergência de uma lente,</p><p>é representada por C. Assim:</p><p>C = 1/f</p><p>A unidade de vergência de uma lente é o inverso da unidade</p><p>de comprimento utilizada na abscissa focal. No S.I., a abscissa focal é</p><p>medida em metros. Portanto, no S.I., temos:</p><p>[C] = 1/m = m–1 = di (dioptria)</p><p>No cotidiano, a unidade dioptria é chamada “grau” da lente.</p><p>Associando o módulo da grandeza vergência (C) de uma lente ao seu</p><p>poder de desviar mais, ou menos, a luz. Por exemplo: uma lente de</p><p>módulo de vergência de 5 di é “mais forte” que uma lente de módulo</p><p>de vergência de 2 di. Isso significa que a lente de 5 di é capaz de desviar</p><p>a luz, mais acentuadamente, que a lente de 2 di.</p><p>Comportamento óptico</p><p>Quando um feixe cilíndrico de raios paralelos incide sobre uma</p><p>lente esférica, essa pode ter dois comportamentos ópticos distintos.</p><p>F</p><p>Convergente Divergente</p><p>F</p><p>Resumidamente, temos:</p><p>I. Se o material de que é feita a lente for mais refringente do que o</p><p>meio no qual ela está imersa, são convergentes as lentes de bordos</p><p>finos e divergentes as lentes de bordos grossos.</p><p>II. Se o material de que é feita a lente for menos refringente que o</p><p>meio no qual ela está imersa, são convergentes as lentes de bordos</p><p>grossos e divergentes as lentes de bordos finos.</p><p>Convergentes Divergentes</p><p>Geral</p><p>n</p><p>L</p><p>> n</p><p>ext.</p><p>Bordos finos Bordos grossos</p><p>Raro</p><p>n</p><p>L</p><p>< n</p><p>ext.</p><p>Bordos grossos Bordos finos</p><p>Exercícios</p><p>01. Usando uma lente delgada convergente de distância focal f,</p><p>é possível projetar nitidamente a</p><p>imagem de um objeto frontal</p><p>(de tamanho igual a h) sobre uma tela situada a uma distância d</p><p>do objeto. Verifica-se também que, dependendo da relação entre</p><p>f e d, às vezes, há duas posições da lente que dão imagem nítida,</p><p>às vezes, uma só posição e, às vezes, nenhuma. Determine uma</p><p>relação entre f e d para que haja formação de tal imagem nítida.</p><p>02. A imagem nítida de um objeto é obtida em uma tela devido a</p><p>uma lente convergente de distância focal f. A altura da imagem</p><p>é A</p><p>1</p><p>. Mantendo constante a distância D entre o objeto e a tela,</p><p>quando deslocamos a lente encontramos uma outra imagem</p><p>nítida de altura A</p><p>2</p><p>. Determine:</p><p>A) as distâncias entre o objeto e a lente nas duas posições</p><p>mencionadas;</p><p>B) a altura do objeto.</p><p>03. (ITA) Consideremos o seguinte arranjo, em que a lente convergente</p><p>tem distância focal de 30 cm.</p><p>lente</p><p>0 50 cm 50 cm</p><p>espelho plano</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>A imagem do objeto O</p><p>A) será real e formar-se-á a 50 cm da lente.</p><p>B) será virtual 25 cm atrás do espelho e real 25 cm na frente do</p><p>mesmo.</p><p>C) será real e formar-se-á a 25 cm na frente do espelho.</p><p>D) será real e formar-se-á no foco da lente.</p><p>E) n.d.a.</p><p>04. (ITA) No sistema óptico esquematizado, O representa um objeto</p><p>real e as lentes delgadas convergentes, L</p><p>1</p><p>e L</p><p>2</p><p>, têm distâncias</p><p>focais iguais a 2 cm e 4 cm, respectivamente. A imagem I</p><p>deve estar a:</p><p>L</p><p>1</p><p>O</p><p>6 cm</p><p>11 cm</p><p>L</p><p>2</p><p>A) 8 cm à direita de L</p><p>2</p><p>e I</p><p>O</p><p>= 1</p><p>2</p><p>.</p><p>B) 8 cm à esquerda de L</p><p>2</p><p>e I</p><p>O</p><p>= 1</p><p>2</p><p>.</p><p>C) 8 cm à direita de L</p><p>2</p><p>e</p><p>I</p><p>O</p><p>= 2.</p><p>D) 8 cm à esquerda de L</p><p>2</p><p>e I</p><p>O</p><p>= 1</p><p>2</p><p>.</p><p>E) 12 cm à direita de L</p><p>2</p><p>e</p><p>I</p><p>O</p><p>= 2.</p><p>05. (ITA) Considere um sistema composto por duas lentes circulares,</p><p>esféricas e delgadas, de 6,0 cm de diâmetro, dispostas</p><p>coaxialmente como indica a figura a seguir. L</p><p>1</p><p>é uma lente</p><p>convergente de distância focal f</p><p>1</p><p>= 5,0 cm e L</p><p>2</p><p>é uma lente</p><p>divergente de distância focal f</p><p>2</p><p>= 4,0 cm. No ponto P</p><p>1</p><p>à esquerda</p><p>do sistema, é colocado um objeto luminoso puntiforme a 5,0 cm</p><p>de L</p><p>1</p><p>. À direita de L</p><p>2</p><p>, a uma distância d = 24 cm, é colocado um</p><p>anteparo A perpendicular ao eixo do sistema. Assim, temos que</p><p>5,0 cm 24 cm</p><p>AL</p><p>2</p><p>L</p><p>1</p><p>P</p><p>1</p><p>A) sobre o anteparo A forma-se uma imagem real puntiforme de</p><p>P</p><p>1</p><p>.</p><p>B) sobre o anteparo A aparece uma região iluminada circular de</p><p>diâmetro igual a 12 cm.</p><p>C) sobre o anteparo aparece uma região iluminada circular de</p><p>diâmetro igual a 6,0 cm.</p><p>D) o anteparo fica iluminado uniformemente em uma região muito</p><p>grande.</p><p>E) sobre o anteparo aparece uma região iluminada circular de</p><p>diâmetro 42 cm.</p><p>06. ( ITA) Um sistema ót ico é composto por duas lentes</p><p>esféricas, convergentes, L</p><p>1</p><p>e L</p><p>2</p><p>, dispostas coaxialmente.</p><p>As distâncias focais são, respectivamente, f1 e f2 e a</p><p>distância entre elas é d. Um feixe de luz cilíndrico de 40 mm</p><p>de diâmetro incide sobre L</p><p>1</p><p>, segundo o seu eixo, e emerge</p><p>de L</p><p>2</p><p>como um feixe também cilíndrico, de 30 mm de diâmetro.</p><p>Se f</p><p>1</p><p>= 60 mm, pode-se afirmar que a distância d será</p><p>A) 45 mm</p><p>B) 8 mm</p><p>C) 15 mm</p><p>D) 105 mm</p><p>E) qualquer valor, pois o fenômeno citado independe da distância</p><p>em consideração.</p><p>07. (ITA) Por uma questão de conveniência experimental, o ponto</p><p>focal de uma lente delgada convergente teve de ser posicionado</p><p>fora do eixo da lente por meio de um espelho plano, indicado em</p><p>corte (e) na abscissa do gráfico a seguir. Complete o desenho e</p><p>determine, aproximadamente, as coordenadas (x, y) do foco e a</p><p>distância focal da lente.</p><p>0</p><p>10</p><p>e</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>20 40 50 60 80</p><p>X (mm) Y (mm) f (mm)</p><p>A) 60 10 65</p><p>B) 84 36 100</p><p>C) 80 30 95</p><p>D) 74 24 83</p><p>E) 103 54 125</p><p>08. (ITA) Um objeto tem altura h</p><p>0</p><p>= 20 cm e está situado a uma</p><p>distância d</p><p>0</p><p>= 30 cm de uma lente. Esse objeto produz uma</p><p>imagem virtual de altura h</p><p>i</p><p>= 4,0 cm. A distância da imagem à</p><p>lente, a distância focal e o tipo da lente são, respectivamente</p><p>A) 6,0 cm; 7,5 cm; convergente.</p><p>B) 1,7 cm; 30 cm; divergente.</p><p>C) 6,0 cm; – 7,5 cm; divergente.</p><p>D) 6,0 cm; 5,0 cm; divergente.</p><p>E) 1,7 cm; – 5,0 cm; convergente.</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>09. (ITA) Uma lente convergente tem distância focal de 20 cm quando</p><p>está mergulhada em ar. A lente é feita de vidro, cujo índice de</p><p>refração é n</p><p>V</p><p>= 1,6. Se a lente é mergulhada em um meio menos</p><p>refringente do que o material da lente, cujo índice de refração é</p><p>n, considere as seguintes afirmações:</p><p>I. A distância focal não varia se o índice de refração do meio for</p><p>igual ao do material da lente;</p><p>II. A distância focal torna-se maior se o índice de refração n for</p><p>maior que o do ar;</p><p>III. Nesse exemplo, uma maior diferença entre os índices de</p><p>refração do material da lente e do meio implica em uma menor</p><p>distância focal.</p><p>Então, pode-se afirmar que</p><p>A) apenas a II é correta.</p><p>B) apenas a III é correta.</p><p>C) apenas II e III são corretas.</p><p>D) todas são corretas.</p><p>E) todas são incorretas.</p><p>10. Um objeto de 10 cm de altura é colocado a 50 cm de uma</p><p>lente biconvexa, que é construída com um material plástico,</p><p>transparente, de índice de refração 1,5. O material é bastante</p><p>elástico de modo que, pressionando as extremidades em direção</p><p>ao centro, o raio de curvatura pode ser alterado. Suponha que,</p><p>no instante t = 0, a força aplicada na lente é retirada e o raio de</p><p>curvatura vai aumentando segundo a equação tv + 40 = R (em que</p><p>R é expresso em centímetro e t em segundos). Observa-se que, a</p><p>partir de t > 20 s, o sentido da imagem é justamente o oposto do</p><p>sentido quando t < 20 s. Determine v.</p><p>0 20</p><p>Evolução temporal do formato da lente</p><p>t (segundos)</p><p>Evolução temporal do formato da lente</p><p>11. É dado um copo de altura I = 13,0 cm, completamente cheio de</p><p>água, apoiado verticalmente no tampo de uma mesa. Na boca do</p><p>copo repousa uma lente delgada, biconvexa, de vidro, tendo raios</p><p>R</p><p>1</p><p>= 5,0 cm, na face superior e R</p><p>2</p><p>= 4,0 cm, na face inferior (essa</p><p>é banhada pela água). Os índices de refração são n</p><p>1</p><p>= 1,5 para o</p><p>vidro e n</p><p>2</p><p>= 1,3 para a água. Determine a posição de um ponto</p><p>objeto P para que sua imagem P’ se projete no centro do fundo do</p><p>copo.</p><p>12. Duas lentes L</p><p>1</p><p>e L</p><p>2</p><p>estão dispostas, axialmente, de tal forma que a</p><p>luz que atravessa L</p><p>2</p><p>é a mesma que atravessou L</p><p>1</p><p>. Uma lâmpada</p><p>está posicionada 12 cm à frente de L</p><p>1</p><p>(lente convergente com</p><p>distância focal f</p><p>1</p><p>= 8 cm). A lente L</p><p>2</p><p>está a 18 cm de L</p><p>1</p><p>e é uma</p><p>lente divergente com distância focal f</p><p>2</p><p>= 4 cm.</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>2</p><p>Nessas condições:</p><p>A) determine a que distância da lâmpada se encontra o que servirá</p><p>de objeto para a lente L</p><p>2</p><p>. Descreva a sua natureza, o tamanho</p><p>e a orientação referente à lâmpada.</p><p>B) determine a que distância da lâmpada se encontra a imagem</p><p>formada por L</p><p>2</p><p>. Descreva a sua natureza, o tamanho e a</p><p>orientação referente à lâmpada.</p><p>13. Uma lente convergente de diâmetro 2L é construída com</p><p>diamante, cujo índice de refração varia com o comprimento de</p><p>onda incidente. Para a luz violeta, o índice de refração é 2,50,</p><p>para o amarelo é 2,43 e para o vermelho é de 2,40. Suponha que</p><p>um feixe de luz paralelo, constituído por essas três cores, incida</p><p>sobre essa lente, cobrindo-a completamente, e que um anteparo</p><p>seja colocado perpendicularmente ao eixo ótico da lente, no ponto</p><p>focal determinado, usando a luz amarela. Calcule a razão entre</p><p>os raios das manchas vermelha e violeta formadas no anteparo.</p><p>14. Uma fonte de luz está situada sobre o eixo principal de uma</p><p>lente (de distância focal f) a uma distância igual à distância focal.</p><p>Outra lente, de mesmo foco, encontra-se a uma distância a,</p><p>de modo que o centro dessa fique sobre o eixo principal da primeira.</p><p>A segunda lente está inclinada de um ângulo α (ver figura abaixo).</p><p>A distância entre a fonte de luz e sua imagem é</p><p>a</p><p>α</p><p>A) f a1</p><p>1+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>cosα</p><p>B) f a1</p><p>1+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>senα</p><p>C) f(1 + cos α) + a</p><p>D) f a1</p><p>2+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>cosα</p><p>E) f a2</p><p>1+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>cosα</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>023.603 –</p><p>148400/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>15. (ITA) A figura abaixo representa uma lente delgada L, a qual forma,</p><p>sobre um anteparo, uma imagem real I de um objeto real O. A</p><p>lente é circular esférica e o eixo óptico tem a posição indicada.</p><p>Suponhamos, agora, que, com um material opaco disposto entre</p><p>o objeto e a lente, bloqueamos toda a parte que corresponde ao</p><p>semicírculo superior da lente.</p><p>0 material</p><p>opaco</p><p>L</p><p>anteparo</p><p>eixo óptico</p><p>I</p><p>Nessas condições</p><p>A) a imagem desaparece do anteparo.</p><p>B) a imagem fica fora de foco.</p><p>C) a imagem não desaparece, mas fica mais tênue.</p><p>D) a imagem se torna virtual.</p><p>E) nada se pode afirmar se não conhecermos a posição exata do</p><p>material opaco.</p><p>16. Determine a ordenada d de um ponto P, localizado sobre</p><p>a lente convergente de distância focal 6 cm, no qual deve</p><p>ser mirado um feixe laser disparado do ponto A, com o</p><p>intuito de sensibilizar um sensor ótico localizado no ponto B.</p><p>Considere válidas as aproximações de Gauss.</p><p>4,0 cm</p><p>10 cm B</p><p>2,4 cm</p><p>A</p><p>1,0 cm</p><p>P</p><p>d</p><p>17. (ITA) A figura a seguir mostra uma barra LM de 10 2 cm de</p><p>comprimento, formando um ângulo de 45° com a horizontal,</p><p>tendo o seu centro situado a x = 30,0 cm de uma lente divergente</p><p>(com distância focal igual a 20,0 cm) e a y = 10,0 cm acima do</p><p>eixo ótico da mesma. Determine o comprimento x da imagem da</p><p>barra e faça um desenho esquemático para mostrar a orientação</p><p>da imagem.</p><p>y</p><p>x</p><p>L</p><p>M</p><p>45º</p><p>18. (ITA) Uma vela está a uma distância D de um anteparo sobre o</p><p>qual se projeta uma imagem com lente convergente. Observa-se</p><p>que as duas distâncias L e L’ entre a lente e a vela, para as quais</p><p>se obtém uma imagem nítida da vela no anteparo, distam,</p><p>uma da outra, uma distância a.</p><p>L’</p><p>L</p><p>a</p><p>D</p><p>O comprimento focal da lente é, então:</p><p>A) D a−</p><p>2</p><p>B) D a</p><p>D</p><p>2 2</p><p>4</p><p>−</p><p>C) D a+</p><p>2</p><p>D) D a</p><p>D</p><p>2 2</p><p>4</p><p>+</p><p>E) 2a</p><p>19. Uma lente fina plano-convexa é cortada em duas partes iguais.</p><p>Uma de suas partes é transladada ao longo do eixo óptico de</p><p>modo que a imagem seja gerada no mesmo ponto da abscissa</p><p>(ver figura a seguir). A separação entre a imagem e o objeto é de</p><p>1,8 m. O aumento linear transversal de uma das metades vale 2.</p><p>Encontre a distância focal da lente.</p><p>A) 0,2 m B) 0,3 m</p><p>C) 0,4 m D) 0,5 m</p><p>E) 0,6 m</p><p>20. Dispomos de duas lentes delgadas e gaussianas, biconvexa (L</p><p>1</p><p>) e</p><p>bicôncava (L</p><p>2</p><p>), sendo esta última inclinada de α em relação ao eixo</p><p>principal, conforme a figura a seguir, separadas de uma distância</p><p>2f. Um ponto objeto no infinito é colocado à esquerda da lente</p><p>biconvexa, tendo sua imagem projetada na posição I</p><p>1</p><p>a uma</p><p>distância f, tornando-se objeto para a segunda lente (bicôncava).</p><p>y</p><p>fff</p><p>2f2f2f</p><p>O I</p><p>1</p><p>I</p><p>2</p><p>α</p><p>α</p><p>A) Encontre as coordenadas da imagem final formada pelo</p><p>sistema, composto pelas duas lentes, tomando o ponto (O)</p><p>como a origem dos eixos (xy).</p><p>B) Represente a situação descrita, indicando a posição das imagens</p><p>(I</p><p>1</p><p>– I</p><p>2</p><p>) formadas a partir das lentes: biconvexa (L</p><p>1</p><p>) e bicôncava</p><p>(L</p><p>2</p><p>).</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08 09 10</p><p>– – E A E D D C C –</p><p>11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>– – – A C – – B C –</p><p>– Demonstração</p><p>Resoluções</p><p>01.</p><p>x d–x</p><p>Objeto</p><p>Anteparo</p><p>I)</p><p>1 1 1 1 2</p><p>x d x f</p><p>d</p><p>x d x f</p><p>x dx fd O�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>� � � � �</p><p>Para que tenhamos imagem nítida no anteparo:</p><p>D > 0 · d² – 4df > O ⇒ d > 4f</p><p>Resposta: d > 4f</p><p>02.</p><p>x D–x</p><p>Objeto</p><p>Anteparo</p><p>A) Da lente, temos:</p><p>1 1 1 2</p><p>x D x f</p><p>x Dx Df O�</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>Utilizando a fórmula de Bhaskara.</p><p>x</p><p>D D Df</p><p>D x</p><p>x</p><p>D D Df</p><p>D x</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>*</p><p>**</p><p>B) Utilizando a equação do aumento linear transversal:</p><p>A</p><p>A</p><p>x</p><p>D x</p><p>A</p><p>A</p><p>x</p><p>x</p><p>A</p><p>A</p><p>x</p><p>D x</p><p>A</p><p>A</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>**</p><p>*</p><p>...</p><p>...</p><p>Fazendo o produto de 1 e 2, temos:</p><p>A</p><p>A A</p><p>A A A</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 21� � �</p><p>Resposta:</p><p>A)</p><p>x</p><p>D D Df</p><p>x</p><p>D D Df</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>’</p><p>B) A A A= 1 2</p><p>03.</p><p>50 cm 50 cm</p><p>Im</p><p>2 Im</p><p>1</p><p>Espelho plano</p><p>Lente</p><p>Objeto</p><p>f = 30 cm</p><p>j</p><p>I) Calculando a posição da imagem formada pela lente (Im</p><p>1</p><p>)</p><p>1</p><p>50</p><p>1 1</p><p>30</p><p>1 20</p><p>50 30</p><p>75� � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>p p</p><p>p cm</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>II) Quando colocamos o espelho plano geramos uma imagem (Im</p><p>2</p><p>)</p><p>e (Im</p><p>1</p><p>) serve como objeto para Im</p><p>2</p><p>. Então podemos afirmar que</p><p>a imagem gerada por j será real a 25 cm atrás do espelho e</p><p>virtual a 25 cm na frente do mesmo.</p><p>Como nenhuma das alternativas apresenta tal afirmação, temos</p><p>que a resposta é N.D.A.</p><p>Resposta: E</p><p>04.</p><p>6 cm 11 cm</p><p>f</p><p>1</p><p>= 2 cm</p><p>q</p><p>f</p><p>2</p><p>= 4 cm</p><p>L</p><p>2</p><p>L</p><p>1</p><p>9F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>I) A imagem formada pela lente 1 serve como objeto para a lente 2.</p><p>Então:</p><p>1</p><p>6</p><p>1 1</p><p>2</p><p>3</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>� � � �</p><p>� � � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>P</p><p>P cm</p><p>P i</p><p>ii</p><p>’</p><p>’</p><p>’</p><p>*</p><p>�</p><p>�</p><p>II) Da lente 2 e da imagem 1, temos:</p><p>1</p><p>11</p><p>1 1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>8</p><p>11</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>�</p><p>� � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>P P</p><p>P P cm</p><p>P</p><p>P</p><p>i</p><p>’ ’</p><p>’ ’ **</p><p>’</p><p>’ ii</p><p>i</p><p>i</p><p>i i i</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 1 2</p><p>28</p><p>8</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>� � � � � � � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �** *</p><p>�</p><p>�</p><p>Como i</p><p>2</p><p>é a imagem final formada, temos que a resposta correta</p><p>é alternativa A.</p><p>Resposta: A</p><p>05.</p><p>f</p><p>1</p><p>= 5 cm f</p><p>2</p><p>= –4 cm</p><p>Anteparo</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>1</p><p>4 cm</p><p>3 cm</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>r</p><p>5 cmObjeto</p><p>α</p><p>3</p><p>I</p><p>m</p><p>I) Dos triângulos D(I</p><p>m</p><p>V</p><p>1</p><p>P</p><p>1</p><p>) e D(I</p><p>m</p><p>V</p><p>2</p><p>P</p><p>2</p><p>) que são formados por um</p><p>dos raios que passa pela borda e seus prolongamentos, temos:</p><p>tg</p><p>f</p><p>r</p><p>f</p><p>r</p><p>r cm� � �</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>3</p><p>24 28</p><p>3</p><p>4</p><p>21</p><p>2 2</p><p>Com isso, podemos afirmar que a região iluminada no anteparo</p><p>é circular com diâmetro igual a 42 cm.</p><p>Resposta: E</p><p>06. A situação descrita no problema é:</p><p>40 mm 30 mm</p><p>d</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>2</p><p>60 mm f</p><p>2</p><p>Com os raios incidentes em L</p><p>1</p><p>e os emergentes de L</p><p>2</p><p>são paralelos</p><p>ao eixo principal, podemos afirmar que estes passam pelo foco de</p><p>L</p><p>1</p><p>e de L</p><p>2</p><p>. Então, pela semelhança dos triângulos na figura, temos:</p><p>40</p><p>60</p><p>30</p><p>45</p><p>60 45 105</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>� � �</p><p>� � � � � �</p><p>f</p><p>f mm</p><p>Com isso</p><p>d f f d mm</p><p>,</p><p>07.</p><p>60</p><p>50</p><p>40</p><p>30</p><p>20</p><p>10</p><p>0 20 40 50 60 80</p><p>Do gráfico, temos:</p><p>x = 74 mm</p><p>y = 24 mm</p><p>Como os raios que incidem na lente são paralelos, p’ = f ⇒</p><p>f f mm� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>40</p><p>3</p><p>35</p><p>122</p><p>3</p><p>24 83</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>08.</p><p>I) Pela equação do aumento linear transversal, temos:</p><p>h</p><p>h</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p cm p cmi</p><p>o</p><p>� � � � � � � � � � � � �</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>4</p><p>20</p><p>30</p><p>5</p><p>6 6</p><p>II) Podemos ainda dizer que:</p><p>1 1 1 1</p><p>30</p><p>1</p><p>6</p><p>30</p><p>4</p><p>7 5</p><p>f p p</p><p>f f f cm� � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � � �</p><p>’</p><p>,</p><p>Como o foco é negativo, a lente é divergente.</p><p>Resposta: C</p><p>09. Equação dos fabricantes de lentes:</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2 1f p p</p><p>n</p><p>n R R</p><p>Lente</p><p>Meio</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�’</p><p>Perceba que f é proporcional à</p><p>nMeio</p><p>n�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�. Então:</p><p>I. Se Dn = 0, f → ∞, tornando o item falsos.</p><p>II. Se n</p><p>ar</p><p>< n</p><p>Meio</p><p>< n</p><p>Lente</p><p>⇔ f</p><p>Meio</p><p>> f</p><p>ar</p><p>, tornando o item verdadeiro.</p><p>III. Se tivermos um aumento na diferença entre os índices de</p><p>refração do material da lente e do material do meio, como</p><p>o n</p><p>Lente</p><p>é constante, então n</p><p>Meio</p><p>teve que diminuir. Isso faz com</p><p>que a distância focal diminua, tornando o item verdadeiro.</p><p>Resposta: C</p><p>10F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>10.</p><p>I. Pela equação dos fabricantes de lentes, temos:</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2 1f p p</p><p>n</p><p>n R R</p><p>Lente</p><p>Meio</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�’</p><p>Como R</p><p>2</p><p>= –R</p><p>1</p><p>= – (tv + 40) e</p><p>n</p><p>n</p><p>Lente</p><p>Meio</p><p>= 1 5, , temos:</p><p>1 1 1</p><p>2</p><p>2 1 1 1</p><p>401p p R p p tv</p><p>� � � � � �</p><p>�’ ’</p><p>É dito que a imagem quando t > 20s tem sentido oposto a quando</p><p>t < 20 s. Percebemos que o sentido da imagem para t = 20 s não</p><p>é definido, o que nos permite afirmar que a imagem formada é</p><p>imprópria. Então, p</p><p>p</p><p>O’</p><p>’</p><p>.��� �</p><p>1</p><p>Com isso:</p><p>1 1</p><p>20 40</p><p>50 20 40 0 5</p><p>p v</p><p>v v�</p><p>�</p><p>� � � � � , cm/s</p><p>Resposta: v = 0,5 cm/s</p><p>11.</p><p>h</p><p>O</p><p>h</p><p>Dados:</p><p>R</p><p>1</p><p>= –5 cm</p><p>R</p><p>2</p><p>= 4 cm</p><p>n</p><p>L</p><p>= n</p><p>1</p><p>= 1,5</p><p>n</p><p>Ar</p><p>= 1</p><p>n</p><p>Meio</p><p>= n</p><p>2</p><p>= 1,3</p><p>h</p><p>O</p><p>= 13 cm</p><p>Utilizando a equação de dioptro</p><p>esférico duas vezes (do ar para</p><p>a lente e da lente para a água), temos:</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p</p><p>n n</p><p>R</p><p>n n</p><p>R</p><p>Ar Meio Ar L L Meio� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>’ 1 2</p><p>Substituindo os respectivos valores, temos:</p><p>1 1 3</p><p>13</p><p>1 1 5</p><p>5</p><p>1 5 1 3</p><p>4</p><p>1 1</p><p>10</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>20</p><p>20</p><p>h h</p><p>h cm� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � � �</p><p>, , , ,</p><p>Resposta: h = 20 cm</p><p>12. 18 cm</p><p>12 cm</p><p>f</p><p>1</p><p>= 8 cm f</p><p>2</p><p>= – 4 cm</p><p>A)</p><p>1 1 1 1</p><p>12</p><p>1 1</p><p>8</p><p>24</p><p>24</p><p>12</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>p p f p</p><p>p cm</p><p>i p</p><p>p</p><p>i</p><p>i</p><p>� � � � � � �</p><p>� � � � � �</p><p>� �</p><p>’ ’</p><p>’ *</p><p>’ *</p><p>� � 11 2� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Temos, assim, que a imagem formada por L</p><p>1</p><p>está a 36 cm de distância</p><p>da lâmpada, tem o dobro de seu tamanho e está invertida.</p><p>B)</p><p>1</p><p>18</p><p>1 1 1 1</p><p>4</p><p>1</p><p>6</p><p>12</p><p>18</p><p>1 2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>p p f p</p><p>p cm</p><p>i</p><p>i</p><p>p</p><p>p</p><p>i</p><p>i</p><p>’ ’ ’</p><p>’</p><p>’</p><p>’</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>12</p><p>6</p><p>2 42 1 2i i i �</p><p>Temos assim, que a imagem formada por L</p><p>2</p><p>está a 18 cm da</p><p>lâmpada, tem o quádruplo de sua imagem e está direita.</p><p>13.</p><p>D</p><p>V</p><p>L</p><p>f</p><p>1</p><p>F</p><p>3</p><p>FF</p><p>22</p><p>rr</p><p>11</p><p>rr</p><p>33</p><p>rr</p><p>22</p><p>(Distância do vértice</p><p>ao foco F</p><p>i</p><p>) = f</p><p>i</p><p>I. Pela equação dos fabricantes de lente (n</p><p>Meio</p><p>= 1):</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>f</p><p>n</p><p>R R</p><p>f</p><p>n</p><p>R R</p><p>f</p><p>n</p><p>v</p><p>LVm</p><p>A</p><p>LAm</p><p>V</p><p>m</p><p>m</p><p>i</p><p>� �� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� LLVi</p><p>A V</p><p>L L</p><p>R R</p><p>f f</p><p>n n</p><p>R R</p><p>m m</p><p>Am Vm</p><p>�� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �� � �</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>2 1</p><p>2 11</p><p>2 1</p><p>1 1 1 1</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� f f</p><p>n n</p><p>R Rv A</p><p>L L</p><p>i m</p><p>Vi Am</p><p>II. Pela semelhança do triângulo temos:</p><p>D f</p><p>f</p><p>R</p><p>L</p><p>D f</p><p>f</p><p>R</p><p>L</p><p>D f</p><p>f</p><p>R</p><p>L</p><p>R L</p><p>D</p><p>f</p><p>V</p><p>V</p><p>A</p><p>A</p><p>V</p><p>V</p><p>m</p><p>m</p><p>n</p><p>m</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>VV</p><p>A</p><p>A</p><p>m</p><p>m</p><p>i</p><p>R L</p><p>D</p><p>f</p><p>R L</p><p>D</p><p>f</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�r r LD</p><p>f f</p><p>r r LD</p><p>f f</p><p>A V</p><p>V A</p><p>m m</p><p>i m</p><p>2 1</p><p>3 2</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>III. Definimos r</p><p>vm</p><p>= (r</p><p>2</p><p>– r</p><p>1</p><p>) e r</p><p>vi</p><p>= (r</p><p>3</p><p>– r</p><p>2</p><p>). Então</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>r</p><p>r</p><p>n n</p><p>n n</p><p>r</p><p>r</p><p>v</p><p>V</p><p>L L</p><p>L L</p><p>L</p><p>V</p><p>m</p><p>i</p><p>m</p><p>i</p><p>3 1</p><p>2 3</p><p>2 43 2 40</p><p>2 50 2 43</p><p>3</p><p>7</p><p>3</p><p>7</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>Resposta: � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>r</p><p>r</p><p>n n</p><p>n n</p><p>r</p><p>r</p><p>v</p><p>V</p><p>L L</p><p>L L</p><p>L</p><p>V</p><p>m</p><p>i</p><p>m</p><p>i</p><p>3 1</p><p>2 3</p><p>2 43 2 40</p><p>2 50 2 43</p><p>3</p><p>7</p><p>3</p><p>7</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>11F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>14.</p><p>F</p><p>F’</p><p>f</p><p>I</p><p>a</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>2</p><p>f V</p><p>f</p><p>δ</p><p>α</p><p>Como o objeto (δ) está no foco da primeira lente, os raios que saem dela saem em paralelo ao eixo principal. Disso, podemos escolher</p><p>dois raios particulares para desenhar a figura formada por ela. Temos um que passa pelos dois vértices e outro que passa pelo foco da</p><p>segunda lente (F), gerando I ao passar por L</p><p>2</p><p>. Como os raios que chegam em L</p><p>2</p><p>incidem paralelamente neste, podemos afirmar que</p><p>(p → ∞) para ele. Então:</p><p>1 1 1 1 1 1</p><p>p p f p f</p><p>p f� � �</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>Com isso, do DVIF’ temos:</p><p>I</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>�</p><p>cos�</p><p>Então, a distância (d) entre o objeto e a imagem é:</p><p>d f a</p><p>f</p><p>a f d f</p><p>cios</p><p>a� � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �’</p><p>cos cos� � �</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Resposta: A</p><p>15.</p><p>Objeto</p><p>Imagem</p><p>Material opaco</p><p>L Anteparo</p><p>Ao colocarmos o material opaco na frente da lente, impedimos a passagem de alguns raios de luz (que são absorvidos pelo material opaco).</p><p>Isso faz com que a imagem fique mais tênue, mas não quer dizer que esta irá desaparecer. A intensidade da luz que chega no anteparo</p><p>é menor, porém, não é nula.</p><p>Resposta: C</p><p>12F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>16.</p><p>F</p><p>Q 10 cm</p><p>4 cm</p><p>1 cm P</p><p>A</p><p>A’</p><p>i</p><p>B</p><p>2,4 cm</p><p>I. Encontrando a imagem formada por A (chamaremos de A’)</p><p>1 1 1 1 1</p><p>6</p><p>1</p><p>4</p><p>12</p><p>12</p><p>4 1</p><p>3</p><p>p p f p</p><p>p cm</p><p>p</p><p>p</p><p>i</p><p>o</p><p>i</p><p>i cm</p><p>� � � � � � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>’</p><p>II. Podemos, então, calcular d fazendo uma semelhança entre os triângulos D A’FB e D PQB:</p><p>i</p><p>p</p><p>d d</p><p>d cm</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>2 4</p><p>10</p><p>2 4</p><p>10</p><p>5 4</p><p>22</p><p>2 4</p><p>10</p><p>0 055</p><p>,</p><p>’</p><p>, , ,</p><p>,</p><p>Resposta: d = 0,055 cm</p><p>17.</p><p>M’L</p><p>45º(x, y)</p><p>M</p><p>p</p><p>L’</p><p>x = 30 cm</p><p>y = 10 cm</p><p>LM cm= 10 2</p><p>I.</p><p>x y</p><p>x y</p><p>M M</p><p>L L</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>25 15</p><p>35 5</p><p>II. Dos pontos L e M, temos:</p><p>1 1 1 1</p><p>35</p><p>1 1</p><p>20</p><p>140</p><p>4 7</p><p>140</p><p>11x x f x</p><p>x x cm</p><p>x</p><p>x</p><p>i</p><p>L L L</p><p>L L</p><p>L</p><p>L</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>’ LL</p><p>L</p><p>L</p><p>L</p><p>M M M</p><p>i</p><p>i cm</p><p>x x f x</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>140</p><p>11 35 5</p><p>20</p><p>11</p><p>1 1 1 1</p><p>25</p><p>1 1</p><p>’ ’ 220</p><p>100</p><p>5 4</p><p>100</p><p>9</p><p>100</p><p>9 25 15</p><p>6</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>x x cm</p><p>x</p><p>x</p><p>i i</p><p>i</p><p>M M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>�</p><p>00</p><p>9</p><p>140</p><p>11</p><p>100</p><p>9</p><p>20</p><p>11</p><p>60</p><p>9</p><p>2 2</p><p>2</p><p>cm</p><p>L M x y</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�’ ’ � �</p><p>22</p><p>2 210</p><p>99</p><p>14 9 110 18 66</p><p>20</p><p>99</p><p>63 55</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �� � � �� �</p><p>� �� �</p><p>cm L M</p><p>L M</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>22 2</p><p>33 9</p><p>80</p><p>99</p><p>4 36</p><p>160</p><p>99</p><p>10</p><p>160</p><p>99</p><p>10 5 1� �� � � � � � � �cm L M cm cm’ ’ ,</p><p>Resposta: L M cm cm’ ’ � � �</p><p>160</p><p>99</p><p>10 5 1</p><p>13F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>023.603 – 148400/20</p><p>18.</p><p>a</p><p>D</p><p>Objeto</p><p>L</p><p>L’</p><p>I) I</p><p>L D L f</p><p>II</p><p>L D L f</p><p>)</p><p>’ ’</p><p>)</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>... 1</p><p>II) ... 2</p><p>I</p><p>L D L f</p><p>II</p><p>L D L f</p><p>)</p><p>’ ’</p><p>)</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>III) De 1 e 2</p><p>D</p><p>L D L</p><p>D</p><p>L D L</p><p>L L D L L L L D</p><p>’ ’</p><p>’ ’ ’</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� � � �� � � � �2 2</p><p>IV) Perceba, do desenho, que L – L’ = a. Então:</p><p>L L a</p><p>L L D</p><p>L</p><p>D a</p><p>L</p><p>D</p><p>a</p><p>� �</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>’</p><p>’</p><p>2</p><p>6</p><p>V) Substituindo L em 2 , temos:</p><p>f</p><p>D L L</p><p>D</p><p>D</p><p>D D a</p><p>D</p><p>D a</p><p>D</p><p>f</p><p>D a</p><p>D</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>9</p><p>2 2</p><p>4 4</p><p>2 2 2 2</p><p>Resposta: B</p><p>19. Uma das partes da lente gera uma imagem invertida com o dobro</p><p>do tamanho do objeto. Como a imagem é formada a 1,8 metro</p><p>do objeto, temos que</p><p>p p</p><p>i p</p><p>p</p><p>s</p><p>� �</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>’ ,</p><p>’</p><p>’ p</p><p>1 8</p><p>2 2</p><p>�</p><p>1</p><p>2</p><p>De 1 e 2 temos que P’ = 1,2 m e p = 0,6 m. Então:</p><p>1 1 1 1</p><p>0 6</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1 1 2</p><p>3</p><p>0 4</p><p>p p f f</p><p>f f m� � � � � � � � �</p><p>’ , ,</p><p>,</p><p>,</p><p>Resposta: C</p><p>20.</p><p>L</p><p>2</p><p>L</p><p>1</p><p>I</p><p>1</p><p>I</p><p>2</p><p>x’</p><p>x</p><p>y’</p><p>f</p><p>2f</p><p>v</p><p>α P</p><p>I) A imagem 1 (I</p><p>1</p><p>) serve como objeto real para a lente 2. Mudando</p><p>para os eixos x’ e y’, temos:</p><p>I f f sen</p><p>f p f</p><p>p</p><p>f</p><p>i</p><p>f sen</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>cos ,</p><p>cos ’</p><p>’</p><p>cos</p><p>cos</p><p>f cos</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�p</p><p>i</p><p>f sen</p><p>’ cos</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� 2</p><p>1</p><p>Ao mudarmos o eixo</p><p>α</p><p>α</p><p>I</p><p>1 I</p><p>2 P</p><p>i� � � � �� � � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>X f p c sen f</p><p>f sen</p><p>x f</p><p>I</p><p>I</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>’ cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>c</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>oos</p><p>cos</p><p>’ cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>12 2ii y p sen i</p><p>f sen</p><p>i</p><p>ff sen</p><p>y Oi</p><p>cos</p><p>cos</p><p>� �</p><p>�1</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>Resposta:</p><p>A) I f2</p><p>2 1</p><p>1</p><p>0� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>cos</p><p>cos</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>B) Figuras.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Carlos Eduardo</p><p>DIG.: Rodrigo EPL – REV.: Jarina</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: InstrumEntos ÓptICos</p><p>frente: FísICa II</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>AULAS 17 A 19</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Dioptro</p><p>Dioptro é todo sistema formado por dois meios homogêneos</p><p>e transparentes.</p><p>O globo ocular</p><p>O olho humano é uma máquina de alta complexidade que nos</p><p>faz perceber melhor o mundo à nossa volta. É constituído de vários</p><p>elementos específicos que juntos conseguem nos fazer enxergar.</p><p>Resumidamente, temos o seguinte esquema no olho humano:</p><p>corpo ciliar</p><p>córnea</p><p>pupila</p><p>íris</p><p>ligamentos</p><p>humor vítreo</p><p>ponto cego</p><p>nervo óptico</p><p>fóvea</p><p>mácula lútea</p><p>retina</p><p>coroide</p><p>esclerótica</p><p>cr</p><p>is</p><p>ta</p><p>lin</p><p>o</p><p>Os principais elementos são:</p><p>• Pálpebras: possuem o poder de impedir a passagem de luz quando</p><p>fechadas;</p><p>• Meios transparentes do globo ocular (córnea, humor aquoso,</p><p>cristalino e humor vítreo): têm, no seu conjunto, função</p><p>correspondente a uma objetiva da câmara, formando a imagem</p><p>do objeto;</p><p>• Pupila: região central da íris, tem função equivalente ao diafragma</p><p>de uma máquina</p><p>fotográfica;</p><p>• Retina: região sensível à luz, que é equivalente ao filme de uma</p><p>máquina fotográfica;</p><p>• Esclerótica: é a membrana opaca de consistência firme que envolve</p><p>o globo ocular completamente, exceto na parte anterior, em</p><p>que se torna transparente, dando origem à córnea. Ela garante</p><p>a sustentação mecânica do olho, à semelhança do sistema de</p><p>sustentação existente em uma máquina fotográfica;</p><p>• Coroide: membrana negra que encapa o interior do globo ocular.</p><p>Sobre ela distribuem-se as células da retina;</p><p>• Músculos ciliares: responsáveis pela acomodação visual.</p><p>Formação da imagem</p><p>De maneira bem simples, o olho funciona como uma</p><p>máquina fotográfica. O cristalino é equivalente à lente e a imagem</p><p>é formada sobre a retina para que o cérebro receba a mensagem.</p><p>A distância média é em torno de 1,5 cm. A imagem deve ser sempre</p><p>real, invertida e menor. O nervo óptico transmite a imagem, mesmo</p><p>invertida, através de impulsos nervosos e é no cérebro que acontece</p><p>a interpretação coerente do estímulo recebido (inversão da imagem).</p><p>Acomodação visual</p><p>O cristalino possui o formato de uma lente biconvexa e assim</p><p>podemos esquematizar seu foco com o auxílio da equação dos</p><p>fabricantes de lentes.</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2 1f</p><p>n</p><p>R Rrel� �� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Os músculos ciliares possuem o poder de pressionar o cristalino</p><p>e assim diminuir seu raio de curvatura, fazendo com que o foco diminua</p><p>também. A maior distância focal deve ser quando o foco se encontra</p><p>sobre a retina (objeto no infinito). Dizemos que o objeto se encontra</p><p>no ponto remoto.</p><p>F’</p><p>0</p><p>∞</p><p>i</p><p>Graças à diminuição da distância focal, quando o objeto se</p><p>aproxima, a imagem continua sobre a retina. Dessa forma, devemos ter</p><p>um limite inferior, ou seja, o menor foco é quando o objeto se encontra</p><p>sobre a distância mínima, que podemos enxergar nitidamente.</p><p>Chamamos tal ponto de ponto próximo.</p><p>F’</p><p>L</p><p>0</p><p>d = 25 cm</p><p>i</p><p>Para um olho normal (emetrope), temos que o ponto próximo</p><p>equivale a 25 cm.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>Chamamos de amplitude de acomodação à grandeza que</p><p>relaciona a variação da vergência nas situações extremas (ponto</p><p>próximo e ponto remoto).</p><p>a V V</p><p>a</p><p>d p D p d D</p><p>� �</p><p>� � � � � �</p><p>2 1</p><p>1 1 1 1 1 1</p><p>’ ’</p><p>Em que d é a distância do ponto próximo, D é a distância do</p><p>ponto remoto e p’ é a distância da retina ao cristalino.</p><p>Para um olho emetrope, devemos ter a = 4di. É claro que</p><p>a amplitude varia de pessoa para pessoa e com a idade. Para uma</p><p>criança de 10 anos, é aproximadamente 12 di. Com o passar dos</p><p>anos, o material vai perdendo sua elasticidade e, após os 40 anos,</p><p>torna-se menor que 4 di. Dizemos, então, que a pessoa apresenta</p><p>presbiopia ou vista cansada.</p><p>Anomalias visuais</p><p>Miopia</p><p>A miopia é a dificuldade em conseguir ver, nitidamente, os</p><p>objetos que se encontram longe de nós. Usualmente as pessoas</p><p>costumam chamar a esse problema “falta de vista ao longe”.</p><p>Quem sofre de miopia vê os objetos, que se encontram</p><p>afastados, muito desfocados, pois a imagem forma-se antes da retina</p><p>(a distância do ponto remoto é finita). A miopia resulta da incapacidade</p><p>do cristalino de se tornar menos convergente (menos curvo).</p><p>Na miopia, há uma aproximação do ponto próximo, isto é,</p><p>diminui a distância mínima de visão distinta (d < 25 cm). Geralmente</p><p>é causada por um alongamento do olho na direção do eixo</p><p>anteroposterior ou uma vergência exagerada do cristalino.</p><p>O problema é corrigido com lentes divergentes (ou côncavas),</p><p>como se pode observar na figura seguinte.</p><p>Olho míope Correção da miopia</p><p>Lente divergente</p><p>O foco da lente deve ser igual à distância do ponto próximo:</p><p>f DL =</p><p>Hipermetropia</p><p>A hipermetropia é a dificuldade em conseguir ver,</p><p>com clareza, objetos que se encontram próximos de nós.</p><p>Costuma-se dizer que essa pessoa tem “falta de vista ao perto”.</p><p>Quem sofre de hipermetropia vê os objetos próximos,</p><p>desfocados, pois a imagem forma-se depois da ret ina.</p><p>A hipermetropia pode dever-se a dois fatores:</p><p>• À incapacidade do cristalino de se tornar mais convergente</p><p>(mais curvo);</p><p>• Ao fato de o olho ser mais achatado do que o necessário para que</p><p>a imagem se forme corretamente.</p><p>Em qualquer dos casos, o problema é corrigido com lentes</p><p>convergentes (ou convexas), como se pode observar na figura</p><p>apresentada abaixo:</p><p>Olho hipermetrope Correção da hipermetropia</p><p>Lente</p><p>convergente</p><p>O foco da lente pode ser calculado da seguinte maneira:</p><p>1 1</p><p>0 25</p><p>1</p><p>f dL</p><p>� �</p><p>,</p><p>Sendo d o ponto próximo.</p><p>De modo geral:</p><p>Olho míope</p><p>Olho normal</p><p>Zona de acomodação do olho normal</p><p>Zona de acomodação</p><p>do olho míope</p><p>PP</p><p>PPPR</p><p>PR∞</p><p>Astigmatismo</p><p>O astigmatismo deve-se a uma forma irregular da córnea.</p><p>Os raios de luz são focados em diferentes pontos e a imagem formada</p><p>não é nítida. Esse problema é corrigido com lentes cilíndricas. Quem</p><p>apresenta esse defeito de visão também pode apresentar miopia</p><p>e/ou hipermetropia.</p><p>Na imagem seguinte, podemos observar o efeito desse problema</p><p>sobre a nossa visão:</p><p>astigmatismo astigmatismo astigmatismo</p><p>Observação:</p><p>É importante lembrar que o presbita não precisa usar lentes</p><p>para ver de longe, a não ser que apresente algum outro defeito</p><p>associado. Se isso acontecer, ele necessitará de uma lente para</p><p>ver de longe e outra para ver de perto, devendo usar, então,</p><p>lentes bifocais.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>PERSISTÊNCIA RETINIANA</p><p>Quando um objeto sai da frente de nossa vista, sua imagem na</p><p>retina não desaparece imediatamente, mas se conserva ainda por certo</p><p>intervalo de tempo. A esse fenômeno dá-se o nome de persistência</p><p>retiniana. A projeção cinematográfica dá-nos a ideia de movimento</p><p>na tela graças à persistência retiniana. Na verdade, ao se “passar” o</p><p>filme, projetam-se fotografias sucessivas na tela, geralmente à razão</p><p>de 24 por segundo. Nossa vista não percebe a sucessão, em virtude</p><p>do prolongamento da sensação visual de cada foto, o que nos dá a</p><p>impressão de movimento.</p><p>VISÃO ESTEREOSCÓPICA</p><p>A nossa visão binocular, isto é, o fato de enxergarmos com</p><p>os dois olhos ao mesmo tempo, faz com que consigamos perceber</p><p>o relevo e a profundidade dos objetos. Essa visão estereoscópica</p><p>ocorre porque as imagens formadas nas duas retinas são ligeiramente</p><p>diferentes, em virtude da posição diferente dos olhos. As duas imagens</p><p>são superpostas pelo nosso cérebro, permitindo essa percepção. Isso</p><p>explica o processo de formação de imagens em 3D.</p><p>Ângulo visual</p><p>Denomina-se ângulo visual de um objeto AB o ângulo plano</p><p>α formado pelos raios visuais provenientes dos pontos extremos do</p><p>objeto.</p><p>Podemos encontrar, na literatura, o termo diâmetro aparente,</p><p>que seria um sinônimo de ângulo visual. Objetos de tamanhos diferentes</p><p>(a distâncias diferentes) podem ser vistos com o mesmo ângulo visual</p><p>e, dessa forma, aparentarem ser do mesmo tamanho.</p><p>Define-se que o aumento angular é dado por</p><p>G � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�0 0</p><p>tan</p><p>tan</p><p>Em que α</p><p>0</p><p>é o maior ângulo visual (ou seja, visto quando</p><p>o objeto está sobre o seu ponto próximo).</p><p>Outra grandeza definida para os instrumentos de visão</p><p>subjetiva é a potência, isto é, a relação entre o ângulo visual</p><p>(ou sua tangente), segundo o qual a imagem é vista com o auxílio do</p><p>instrumento, e a altura do objeto.</p><p>P</p><p>o</p><p>�</p><p>tan�</p><p>Instrumentos ópticos</p><p>Como o próprio nome diz, instrumentos ópticos são</p><p>equipamentos para melhorar a visão, podendo ampliar o tamanho</p><p>da imagem ou, até mesmo, produzir a imagem mais próxima do olho</p><p>para melhor enxergarmos.</p><p>Classificação:</p><p>• Instrumentos de visão objetiva (de imagem real);</p><p>• Instrumentos de visão subjetiva (de imagem virtual).</p><p>Observação:</p><p>É importante frisar que não necessariamente os</p><p>instrumentos devem fornecer imagens aumentadas do objeto.</p><p>Na verdade, é fundamental haver um aumento no ângulo visual</p><p>para que a imagem na retina seja maior e o observador possa</p><p>perceber mais detalhes.</p><p>Lupa</p><p>A lupa é um instrumento composto por somente uma lente</p><p>convergente. Tem como objetivo aumentar o ângulo visual</p><p>normal ou especular</p><p>É apresentada por superfícies refletoras polidas, a luz é refletida</p><p>com direção definida de propagação, podendo ocorrer formação</p><p>de imagem.</p><p>2. Reflexão difusa, irregular ou, simplesmente, difusão</p><p>É apresentada por superfícies refletoras irregulares, em que a luz é</p><p>refletida sem direção definida de propagação. Sua importância é</p><p>grande, pois é a responsável pelas imagens obtidas na visão.</p><p>Tipos de refração</p><p>Da mesma maneira. Se existir um paralelismo entre os raios</p><p>refratados, teremos uma refração regular ou normal. Quando os raios</p><p>refratados perdem o paralelismo, a refração é dita difusa.</p><p>Princípios da propagação retilínea da luz</p><p>Em meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga</p><p>em linha reta.</p><p>Sombra e penumbra</p><p>Quando uma fonte luminosa é pontual e seus raios</p><p>incidem sobre um objeto opaco, existe uma região a qual os</p><p>raios não conseguem alcançar. Nomeamos esta região de sombra</p><p>(ou cone de sombra). Chamamos de sombra projetada a região da</p><p>sombra projetada sobre um anteparo.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.741_128099/18</p><p>F</p><p>Sombra</p><p>Sombra</p><p>projetada</p><p>C</p><p>A</p><p>Quando a fonte é extensa, existe outra região além da sombra.</p><p>A região que é parcialmente iluminada é chamada de penumbra (ou</p><p>cone de penumbra).</p><p>G</p><p>E</p><p>F</p><p>A</p><p>P</p><p>Sombra Sombra</p><p>projetada</p><p>Penumbra</p><p>projetada</p><p>C</p><p>Penumbra</p><p>ECLIPSE SOLAR, LUNAR E FASES DA LUA</p><p>A face iluminada da Lua é aquela que está voltada</p><p>para o Sol. A fase da lua representa o quanto dessa face</p><p>iluminada pelo Sol está voltada também para a Terra.</p><p>Durante metade do ciclo essa porção está aumentando</p><p>(lua crescente) e durante a outra metade ela está diminuindo</p><p>(lua minguante). Tradicionalmente apenas as quatro fases mais</p><p>características do ciclo – Lua Nova, Quarto-Crescente, Lua Cheia</p><p>e Quarto-Minguante – recebem nomes, mas a porção que</p><p>vemos iluminada da Lua, que é a sua fase, varia de dia para dia.</p><p>Por essa razão os astrônomos definem a fase da Lua em termos</p><p>de número de dias decorridos desde a Lua Nova (de 0 a 29,5)</p><p>e em termos de fração iluminada da face visível (0% a 100%).</p><p>Recapitulando, fase da lua representa o quanto da face iluminada</p><p>pelo Sol está na direção da Terra.</p><p>SOL</p><p>Crescente</p><p>Minguante</p><p>CheiaNova</p><p>Quarto</p><p>Crescente</p><p>Quarto</p><p>Minguante</p><p>visto da Terra</p><p>Ps</p><p>Princípio da reversibilidade da luz</p><p>A trajetória seguida pela luz não depende do seu sentido</p><p>de percurso.</p><p>Melhor dizendo, se a luz faz um determinado percurso, é</p><p>plenamente capaz de fazer o mesmo percurso em sentido inverso.</p><p>Se você olha para um espelho e enxerga os olhos de uma</p><p>pessoa, é porque a luz partiu dos olhos deste indivíduo e chegou aos</p><p>seus. Como a luz não possui sentido preferencial, ela também sai dos</p><p>seus olhos e encontra os olhos da pessoa.</p><p>Princípio da independência dos raios luminosos</p><p>Cada ra io de luz se propaga em um meio ,</p><p>independentemente de qualquer outro.</p><p>Significa que, mesmo havendo cruzamento entre raios de luz,</p><p>cada um segue seu caminho como se nada tivesse ocorrido.</p><p>Aplicações:</p><p>• Câmara escura de orifício</p><p>O dispositivo é basicamente uma caixa escura com um furo</p><p>muito pequeno no centro. Os raios partem do objeto e passam</p><p>pelo orifício, chegando ao anteparo (parede da caixa). O processo é</p><p>simples. A figura já ilustra o necessário. Utilizando apenas semelhança</p><p>de triângulo, podemos calcular o tamanho da imagem projetada no</p><p>anteparo. É importante observar que a imagem sempre é invertida.</p><p>Esse processo acontece também nos nossos olhos e nas câmeras</p><p>fotográficas.</p><p>Objeto</p><p>Objeto</p><p>Cristalino</p><p>Lente</p><p>Máquina</p><p>fotográfica</p><p>Imagem formada</p><p>sobre a retina</p><p>Imagem</p><p>formada</p><p>sobre o</p><p>filme</p><p>Diagrama mostrando a formação imagens no olho e na máquina fotográfica.</p><p>Diagrama mostrando a formação de imagens no olho e na máquina fotográfica.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.741_128099/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>• Ângulo visual</p><p>Em poucas palavras, podemos dizer que é o ângulo formado</p><p>pela projeção espacial de linhas, que vão desde o olho até as bordas</p><p>do objeto focalizado.</p><p>Quando um objeto está longe, o ângulo visual que observamos</p><p>é pequeno (por isso temos a sensação de que o objeto é pequeno).</p><p>1 2</p><p>α</p><p>1</p><p>α</p><p>2</p><p>1 2</p><p>α</p><p>1</p><p>α</p><p>2</p><p>Exercícios</p><p>01. (Fuvest) Admita que o Sol subitamente “morresse”, ou seja, sua</p><p>luz deixasse de ser emitida. Vinte e quatro horas após esse evento,</p><p>um eventual sobrevivente, olhando para o céu sem nuvens, veria</p><p>A) a Lua e estrelas. B) somente a Lua.</p><p>C) somente estrelas. D) uma completa escuridão.</p><p>E) somente os planetas do Sistema Solar.</p><p>02. (ITA) Dos objetos citados a seguir, assinale aquele que seria visível</p><p>em uma sala perfeitamente escura.</p><p>A) Um espelho.</p><p>B) Qualquer superfície de cor clara.</p><p>C) Um fio aquecido ao rubro.</p><p>D) Uma lâmpada desligada.</p><p>E) Um gato preto.</p><p>03. Na Lua não existe atmosfera. Quando a luz do Sol incide no</p><p>nosso satélite, qual das sete cores possui maior velocidade nas</p><p>proximidades da Lua?</p><p>04. O mundo não seria tão alegre se a luz solar não fosse constituída de</p><p>diversas cores. Com relação à luz e às cores, considere as afirmações:</p><p>I. A luz solar pode ser decomposta nas cores: vermelho,</p><p>alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta, como fez Isaac</p><p>Newton cerca de 350 anos atrás;</p><p>II. Sob a luz do Sol, uma blusa é vista como verde, porque ela</p><p>absorve o verde, refletindo todas as outras cores que compõem</p><p>a luz solar;</p><p>III. Uma blusa que, à luz solar, é vista como amarela, quando</p><p>iluminada com luz azul será vista como uma blusa escura.</p><p>A) As afirmações I e II são corretas.</p><p>B) Apenas a afirmação I é correta.</p><p>C) As afirmações I e III são corretas.</p><p>D) Todas as afirmações são corretas.</p><p>E) Nenhuma das afirmações é correta.</p><p>05. Um poste de 2 m de altura forma uma sombra de 50 cm sobre</p><p>o solo. Ao mesmo tempo, um edifício forma uma sombra de</p><p>15 m. Determinar a altura do edifício.</p><p>06. Na situação esquematizada a seguir, um homem de altura h, em</p><p>movimento para a direita, passa pelo ponto A, da vertical baixada</p><p>de uma lâmpada fixa em um poste a uma altura H em relação ao</p><p>solo, e dirige-se para o ponto B.</p><p>AAA BBB CCC</p><p>H</p><p>h</p><p>Sabendo que, enquanto o homem se desloca de A até B com</p><p>velocidade média de intensidade V, a sombra de sua cabeça,</p><p>projetada sobre o solo horizontal, desloca-se de A para C com</p><p>velocidade média de intensidade V’. Calcule V’ em função de h,</p><p>H e V.</p><p>07. Uma pessoa deitada, tendo os olhos junto ao solo, observa</p><p>um poste de baixo até em cima sob um ângulo visual de 60º.</p><p>Afastando-se 2,0 m do poste, aquela passa a vê-lo sob ângulo</p><p>de 45º. Podemos afirmar que a altura do poste vale:</p><p>A) H = ( 3 + 3)m B) H = ( 3 + 1)m</p><p>C) H = ( 3 – 1)m D) H = ( 3 – 3)m</p><p>E) H = ( 3)m</p><p>08. Iluminando uma bandeira do Brasil dentro de um quarto escuro,</p><p>com luz de cor verde, podemos afirmar que</p><p>A) veremos verde e amarelo.</p><p>B) observaremos branco e verde.</p><p>C) só conseguimos enxergar verde e preto.</p><p>D) vemos a bandeira com as quatro cores.</p><p>E) enxergaremos azul e amarelo, que são as cores que formam o</p><p>verde (pigmentado).</p><p>09. Uma vela acesa, de comprimento inicial 40 3 cm, está a 45 cm de</p><p>um anteparo opaco A</p><p>1</p><p>dotado de um pequeno orifício O, situado</p><p>no mesmo nível da posição inicial da chama pontual da vela.</p><p>O experimento é realizado no interior de um laboratório</p><p>escurecido, de modo que um estreito feixe luminoso, proveniente</p><p>da vela, atravessa O, indo incidir em outro anteparo A</p><p>2</p><p>, inclinado</p><p>de 60º em relação à horizontal e apoiado a 50 cm de A</p><p>1</p><p>, conforme</p><p>ilustra a figura a seguir.</p><p>A</p><p>1</p><p>A</p><p>2</p><p>o</p><p>45 cm 50 cm</p><p>60º</p><p>40 cm3</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.741_128099/18</p><p>Tendo-se verificado que, decorridas 2,0 h da situação inicial, o</p><p>comprimento da vela reduziu-se de 15 3 cm, pode-se afirmar que</p><p>a velocidade escalar média com que o feixe luminoso projetado</p><p>em A</p><p>2</p><p>percorreu esse anteparo foi, em cm/min, igual a:</p><p>A) 0,25 B) 0,50</p><p>C) 0,75 D) 1,00</p><p>E) 1,50</p><p>10. O esquema representa um conjunto de três sistemas ópticos SO</p><p>1</p><p>,</p><p>SO</p><p>2</p><p>e SO</p><p>3</p><p>. Raios</p><p>para o</p><p>observador.</p><p>F FObjeto</p><p>Lupa</p><p>Imagem</p><p>virtual</p><p>Figura 1: A lupa conjuga uma imagem virtual e direita do objeto.</p><p>F F</p><p>f x</p><p>d</p><p>i</p><p>Com isso, temos:</p><p>tan� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>o</p><p>f</p><p>x</p><p>di</p><p>1</p><p>Em que:</p><p>di: é a distância que a imagem é formada em relação ao olho;</p><p>x: é a distância do foco da objetiva ao olho;</p><p>f: é a distância focal da lente.</p><p>Sabendo que: tan α</p><p>0</p><p>= o/d.</p><p>Obtemos:</p><p>G</p><p>d</p><p>f</p><p>x</p><p>di</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>A potência pode ser escrita como:</p><p>P</p><p>f</p><p>x</p><p>di</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>O aumento visual será máximo quando a imagem for formada</p><p>sobre o ponto próximo:</p><p>G</p><p>d</p><p>f</p><p>x</p><p>d</p><p>d</p><p>fm x� � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>1</p><p>x</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>É um pouco inconveniente para o globo ocular quando a lupa</p><p>funciona com o aumento máximo, pois devemos fazer o esforço máximo</p><p>de acomodação. Assim, é bem mais cômodo fazer a imagem ir para</p><p>o infinito. Esse aumento angular é chamado de nominal.</p><p>G</p><p>d</p><p>fN =</p><p>E assim, temos também que:</p><p>P</p><p>fN =</p><p>1</p><p>Exercícios</p><p>01. Um homem idoso que “sofre da vista” (presbiopia) tem os</p><p>pontos próximo e remoto distantes de seus olhos 1,0 m e</p><p>2,0 m, respectivamente. Sabe-se que a distância mínima de visão</p><p>distinta normal é de 25 cm e que o homem possui dois óculos:</p><p>A (para ver de longe) e B (para ver de perto).</p><p>A) Qual a vergência das lentes dos óculos A?</p><p>B) Qual a vergência das lentes dos óculos B?</p><p>02. (ITA) Um dos telescópios utilizados por Galileu era composto de</p><p>duas lentes: a objetiva, de 16 mm de diâmetro e distância focal</p><p>de 960 mm, e a ocular, formada por uma lente divergente. O</p><p>aumento era de 20 vezes. Podemos afirmar que a distância focal</p><p>da ocular e a imagem eram, respectivamente:</p><p>A) 192 mm, direita.</p><p>B) 8 mm, direita.</p><p>C) 58 mm, invertida.</p><p>D) 960 mm, direita.</p><p>E) 48 mm, direita.</p><p>03. (Ufla-MG) O funcionamento de uma máquina fotográfica</p><p>é semelhante ao olho humano. Quando o olho humano</p><p>está fixado em um objeto distante, o músculo ciliar relaxa e</p><p>o sistema córnea-cristalino atinge sua máxima distância focal,</p><p>que corresponde à distância da córnea à retina. Quando</p><p>o objeto está próximo ao olho humano, o músculo ciliar se</p><p>contrai e aumenta a curvatura do cristalino, diminuindo, assim,</p><p>a distância focal até que o objeto seja focalizado corretamente</p><p>na retina, sendo esse processo chamado de acomodação.</p><p>Considerando a máxima distância focal igual a 2,5 cm, pode-se</p><p>afirmar que a variação da distância focal ∆f do sistema</p><p>córnea-cristalino do olho para manter em foco um objeto</p><p>que é deslocado do infinito até um ponto próximo padrão de</p><p>25 cm é:</p><p>A) +</p><p>2 5</p><p>11</p><p>,</p><p>cm</p><p>B) 2,27 cm</p><p>C) −</p><p>2 5</p><p>11</p><p>,</p><p>cm</p><p>D) –2,27 cm</p><p>E) 0</p><p>04. (Vunesp-SP) Dispondo-se de duas lentes convergentes de</p><p>distâncias focais iguais a 1,00 cm, colocadas a uma distância d</p><p>uma da outra e com seus eixos principais coincidentes,</p><p>pretende-se obter uma imagem virtual 100 vezes ampliada</p><p>de um pequeno objeto colocado a 2,00 cm da primeira lente.</p><p>Qual deve ser a distância entre as lentes?</p><p>05. Um estudante usa um par de óculos cuja vergência das lentes é 1,5</p><p>di para ter ponto próximo igual a 25 cm. Para fazer uma prática</p><p>de laboratório, esse estudante utiliza um microscópio simples</p><p>(20 di) para ver um objeto. Podemos dizer que o aumento angular</p><p>máximo do instrumento utilizado com a lente e sem a lente é,</p><p>respectivamente:</p><p>A) 6 e 9 B) 9 e 6</p><p>C) 5 e 4 D) 4 e 5</p><p>E) n.d.a.</p><p>06. (Unicamp-SP) Um dos telescópios usados por Galileu, por volta</p><p>do ano de 1610, era composto por duas lentes convergentes,</p><p>uma objetiva (lente 1) e uma ocular (lente 2), de distâncias focais</p><p>a 133 cm e 9,5 cm, respectivamente. Na observação de objetos</p><p>celestes, a imagem I</p><p>1</p><p>, formada pela objetiva, situa-se praticamente</p><p>no seu plano focal. Na figura a seguir (fora de escala), o raio R é</p><p>proveniente da borda do disco lunar e o eixo óptico passa pelo</p><p>centro da Lua.</p><p>20 cm</p><p>133 cm Raio R</p><p>Lente 1</p><p>(objetiva)</p><p>Lente 2</p><p>(ocular)</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>1</p><p>/O</p><p>2</p><p>9,5 cm9,5 cm9,5 cm</p><p>Eixo</p><p>óptico</p><p>A) A Lua tem 1750 km de raio e fica a aproximadamente</p><p>384.000 km da Terra. Qual é o raio da imagem da Lua I</p><p>1</p><p>formada pela objetiva do telescópio de Galileu?</p><p>B) Uma segunda imagem l</p><p>2</p><p>é produzida pela ocular a partir daquela</p><p>formada pela objetiva (a imagem da objetiva I</p><p>1</p><p>torna-se objeto 0</p><p>2</p><p>para a ocular). Essa segunda imagem é virtual e situa-se a 20 cm</p><p>da lente ocular. A que distância a ocular deve ficar da objetiva do</p><p>telescópio para que isso ocorra?</p><p>07. A figura a seguir representa, esquematicamente, um microscópio</p><p>óptico constituído por dois sistemas convergentes de lentes,</p><p>dispostos coaxialmente: um é a objetiva, com distância focal de</p><p>15 mm, e o outro é a ocular, com distância focal de 9,0 cm.</p><p>L = 30 cm</p><p>Objetiva</p><p>16 mm</p><p>F’</p><p>1</p><p>F</p><p>1</p><p>O</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>1</p><p>O</p><p>2</p><p>O</p><p>F’</p><p>2</p><p>F’</p><p>2</p><p>Ocular</p><p>Sabendo que, para o objeto O, o microscópio fornece a imagem</p><p>final i</p><p>2</p><p>, calcule o módulo do aumento linear transversal produzido</p><p>pelo instrumento.</p><p>08. Em uma luneta astronômica, cujo aumento visual nominal é</p><p>30, é usada uma ocular de distância focal igual a 5 cm.</p><p>O comprimento da luneta deve ser</p><p>A) 25 cm B) 30 cm</p><p>C) 35 cm D) 150 cm</p><p>E) 155 cm</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>09. Para uma distância mínima de visão distinta de 15 cm, com qual</p><p>das lupas abaixo pode-se obter o maior aumento visual?</p><p>A) f = 15 cm B) f = 5,0 cm</p><p>C) f = 1,0 cm D) f = 30 cm</p><p>E) f = 0,10 cm</p><p>• O texto abaixo se refere às questões 10 e 11.</p><p>O telescópio astronômico forma uma imagem invertida</p><p>e esse resultado não interessa, pois o que interessa é uma</p><p>imagem terrestre. Imagine só se você enxergasse os objetos</p><p>invertidos! O telescópio terrestre foi desenvolvido com o auxílio</p><p>de uma nova lente de correção. Para não alterar nenhum efeito,</p><p>a lente é colocada de tal forma que seu aumento é de +1.</p><p>Com base nestas informações, responda as questões 10 e 11.</p><p>10. Quando a imagem é formada sobre o ponto próximo e o olho está</p><p>bem próximo da ocular, pode-se dizer que o aumento angular é</p><p>dado por</p><p>A) M</p><p>f</p><p>f</p><p>fob</p><p>oc</p><p>oc� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>0 25,</p><p>B) M</p><p>f</p><p>f</p><p>fob</p><p>oc</p><p>oc� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>0 25,</p><p>C) M</p><p>f</p><p>f</p><p>fob</p><p>oc</p><p>ob� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>0 25,</p><p>D) M</p><p>f</p><p>f</p><p>fob</p><p>oc</p><p>ob� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>0 25,</p><p>E) n.d.a.</p><p>11. Se o comprimento do tubo do telescópio for de 1 m, o foco da</p><p>objetiva for de 0,5 m e o foco da ocular for de 50/3 cm, determine</p><p>o foco da lente de correção.</p><p>A) 10 cm</p><p>B) 20 cm</p><p>C) 15 cm</p><p>D) Não se pode calcular com esses dados.</p><p>E) n.d.a.</p><p>12. Dentre os seguintes instrumentos de óptica, aquele que dá</p><p>a imagem final real é a(o)</p><p>A) Lupa. B) Microscópio composto.</p><p>C) Telescópio. D) Luneta terrestre.</p><p>E) Máquina fotográfica.</p><p>13. Sabe-se que, para o olho emetrope, o ponto remoto situa-</p><p>se no “infinito”. Um garoto de vista normal coloca as lentes</p><p>de contato de sua irmã, cuja convergência é de +2,0 di.</p><p>Nessas condições, qual passa a ser sua distância máxima de visão</p><p>distinta?</p><p>14. (Unifesp-SP) As figuras mostram o Nicodemus, símbolo da</p><p>Associação Atlética dos estudantes da Unifesp, ligeiramente</p><p>modificado: foram acrescentados olhos na primeira figura e óculos</p><p>transparentes na segunda.</p><p>Figura 1 Figura 2</p><p>A) Supondo que ele esteja usando os óculos devido a um defeito</p><p>de visão, compare as duas figuras e responda: qual pode ser</p><p>esse provável defeito? As lentes dos óculos são convergentes</p><p>ou divergentes?</p><p>B) Considerando que a imagem do olho do Nicodemus, com os</p><p>óculos, seja 25% maior que o tamanho real do olho e que</p><p>a distância do olho à lente dos óculos seja de 2 cm, determine</p><p>a vergência das lentes usadas por ele, em dioptrias.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07</p><p>* E C * A * *</p><p>08 09 10 11 12 13 14</p><p>E E B A E * *</p><p>Comentários</p><p>01. A) Para os óculos para ver de longe:</p><p>f D f m</p><p>V</p><p>f</p><p>V di</p><p>V di</p><p>A remoto A</p><p>A A</p><p>A</p><p>= ⇒ =</p><p>⇒ = ⇒ =</p><p>⇒ = −</p><p>2</p><p>1</p><p>0 5</p><p>0 50</p><p>,</p><p>,</p><p>B) Para os óculos para ver de longe:</p><p>1 1 1 1 1</p><p>0 25</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>4f d d f</p><p>V</p><p>f</p><p>di</p><p>B N B</p><p>B</p><p>= − ⇒ = +</p><p>⇒ = = +</p><p>,</p><p>02. Sabemos que o aumento angular é tal que:</p><p>A</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>A</p><p>f mm</p><p>objetiva</p><p>ocular</p><p>ocular</p><p>objetiva</p><p>ocular</p><p>= ⇒ =</p><p>⇒ = 48</p><p>Resposta: E</p><p>03. 1) A distância focal máxima vai ser utilizada para ver um objeto</p><p>no infinito:</p><p>f∞ = 2,5 cm</p><p>2) Cálculo da distância focal mínima para observar um objeto no</p><p>ponto próximo:</p><p>1 1 1 1 1</p><p>25</p><p>1</p><p>2 5</p><p>25</p><p>11f P P f</p><p>f cm</p><p>p p p p</p><p>p= + ⇒ = + ⇒ =</p><p>’ ,</p><p>3) Portanto:</p><p>∆ ∆f f cm= − ⇒ = −</p><p>25</p><p>11</p><p>2 5</p><p>2 5</p><p>11</p><p>,</p><p>,</p><p>Resposta: C</p><p>04. Para a lente objetiva (primeira lente):</p><p>1 1 1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>f P P P</p><p>P cm</p><p>ob ob ob ob</p><p>ob= + ⇒ = + ⇒ =</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>Relacionando a distância entre as lentes com a posição da primeira</p><p>imagem:</p><p>d P P Pob oc oc= + ⇒ −’ ,2 00</p><p>Além disso, sabemos que:</p><p>A A A A</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>d</p><p>ob oc</p><p>ob</p><p>ob</p><p>oc</p><p>oc</p><p>oc</p><p>= ⋅ ⇒ = ⋅</p><p>⇒ = ⋅</p><p>−</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>100</p><p>2</p><p>2 2</p><p>Como a imagem da lente ocular é sempre virtual:</p><p>P’</p><p>oc</p><p>= –100 (d – 2)</p><p>Por fim:</p><p>1 1 1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>100 2</p><p>2 99</p><p>f P P d d</p><p>d cm</p><p>oc oc oc</p><p>= + ⇒ =</p><p>−</p><p>−</p><p>−( )</p><p>⇒ =</p><p>’</p><p>,</p><p>05. Podemos escrever que:</p><p>PP = 25 cm</p><p>Se o estudante tirar os óculos:</p><p>1 1 1</p><p>40</p><p>f PP PP</p><p>PP cm</p><p>lente</p><p>o= − ⇒ = =</p><p>’</p><p>’ d</p><p>Portanto, o aumento angular máximo será:</p><p>• com óculos</p><p>G</p><p>d</p><p>f</p><p>N</p><p>o= + = + ⋅ =1 1 0 25 20 6,</p><p>• sem óculos</p><p>G</p><p>d</p><p>f</p><p>N</p><p>o= + = ⋅ + =1 0 4 20 1 9,</p><p>Resposta: A</p><p>06. A)</p><p>lente objetiva</p><p>R</p><p>L</p><p>d</p><p>L</p><p>R</p><p>I</p><p>α</p><p>α</p><p>f</p><p>ob</p><p>R</p><p>f</p><p>R</p><p>d</p><p>R cmI</p><p>ob</p><p>L</p><p>L</p><p>I= ⇒ ≅ 0 61,</p><p>B)</p><p>lente objetiva</p><p>lente ocular</p><p>P f</p><p>ob</p><p>R’</p><p>I</p><p>P’</p><p>R</p><p>I</p><p>Equação de Gauss para a lente ocular:</p><p>1 1 1 1</p><p>9 5</p><p>1 1</p><p>20</p><p>6 4</p><p>f P P P</p><p>P cm</p><p>oc</p><p>= + ⇒ = −</p><p>⇒ ≅</p><p>’ ,</p><p>,</p><p>Por fim, a distância entre as lentes será:</p><p>d P f d cmob= + ⇒ ≅ 139 4,</p><p>07. Sabemos que:</p><p>A A Aob oc= ⋅</p><p>I. Equação de Gauss na lente objetiva:</p><p>1 1 1 1</p><p>15</p><p>1</p><p>16</p><p>1</p><p>240</p><p>15</p><p>f P P P</p><p>P nam</p><p>A</p><p>P</p><p>P</p><p>ob ob ob ob</p><p>ob</p><p>ob</p><p>ob</p><p>ob</p><p>= + ⇒ = +</p><p>⇒ =</p><p>• = − = −</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>’</p><p>II. Equação de Gauss na lente ocular:</p><p>1 1 1 1</p><p>9</p><p>1</p><p>30 24</p><p>1</p><p>18</p><p>3</p><p>f P P P</p><p>P cm</p><p>A</p><p>P</p><p>P</p><p>oc oc oc oc</p><p>oc</p><p>cc</p><p>oc</p><p>oc</p><p>= + ⇒ =</p><p>−</p><p>+</p><p>⇒ = −</p><p>• = − =</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>’</p><p>III. Portanto:</p><p>A A= ⋅ ⇒ =15 3 45</p><p>08. Sabemos que o aumento angular na luneta se dá por:</p><p>A</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f cmob</p><p>oc</p><p>ob</p><p>ob= ⇒ = ⇒ =30</p><p>5</p><p>150</p><p>Mas o comprimento da luneta é igual a soma dos focos:</p><p> = f</p><p>ob</p><p>+ f</p><p>oc</p><p>= 155 cm</p><p>Resposta: E</p><p>09. Temos que o aumento angular da lupa é dado por:</p><p>G</p><p>d</p><p>f</p><p>d dist ncia da imagem para o olho</p><p>f foco da lupaN = {, :</p><p>:</p><p>â</p><p>Como estamos tratando do mesmo olho, a imagem irá se formar</p><p>para o mesmo d, então precisamos escolher a lupa com menor</p><p>foco para maior aumento angular.</p><p>Resposta: E</p><p>10. Sabemos que o aumento angular de uma luneta astronômica é</p><p>dada por:</p><p>G</p><p>f</p><p>f</p><p>x</p><p>d</p><p>ob</p><p>oc i</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>Para a configuração da questão x = – f</p><p>oc</p><p>e d</p><p>i</p><p>= f</p><p>olho</p><p>= 0,25 m:</p><p>G</p><p>f</p><p>f</p><p>fob</p><p>oc</p><p>oc= +</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>0 25,</p><p>Resposta: B</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.421 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. Como a lente de correção só inverte a imagem (não gera aumento),</p><p>o objeto e a imagem dele precisam estar nos anti-principais:</p><p>• Na lente ocular</p><p>1 1 1 1</p><p>50</p><p>3</p><p>1 1</p><p>25</p><p>10</p><p>f P P P</p><p>P cm</p><p>oc oc oc oc</p><p>oc</p><p>= + ∴ = +</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>’</p><p>• Portanto:</p><p>4 f</p><p>Obj Cor Oc</p><p>f</p><p>ob</p><p>P</p><p>oc</p><p> f ob ocf f P</p><p>f</p><p>f cm</p><p>= + +</p><p>= + +</p><p>=</p><p>4</p><p>100 50 4 10</p><p>10</p><p>12.</p><p>Resposta: E</p><p>13. Se uma pessoa observa algo muito longe, a imagem se formará</p><p>na retina:</p><p>1 1 1 1 1 1</p><p>f P P f d f</p><p>d dis cia do cristalino retina</p><p>olho olho</p><p>= + ⇒ = +</p><p>∞’</p><p>; : t nâ à</p><p>⇒⇒ =</p><p>1 1</p><p>f dolho</p><p>O sistema cristalino-lente constitui um sistema de lentes</p><p>justapostas:</p><p>1 1 1</p><p>f f fsistema olho lente</p><p>= +</p><p>Por fim, a distância máxima de visão distinta:</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>f D d imagem formada na retina</p><p>f f D f</p><p>sistema</p><p>olho lente o</p><p>= +</p><p>→</p><p>+ = +</p><p>llho</p><p>D cm⇒ = 50</p><p>14. A) Como na segunda imagem vemos os olhos do Nicodemus</p><p>maiores, podemos concluir que as lentes dos óculos são</p><p>convergentes, logo o provável problema de visão dele é</p><p>hipermetropia.</p><p>B) A</p><p>P</p><p>P</p><p>A</p><p>P</p><p>Pf</p><p>P f</p><p>A</p><p>f</p><p>f P</p><p>f</p><p>f</p><p>f cm V di</p><p>= − ⇒ = − ⋅</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>−</p><p>⇒ = ⇒ =</p><p>’</p><p>,</p><p>1</p><p>1 25</p><p>2</p><p>10 10</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: SAMUEL/SOFIA – REV.: SARAH/LÍCIA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: Equação CaraCtErístiCa dE MHs</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>003.189 – 129403/18</p><p>AULAS 20 e 21</p><p>EAD – ITA</p><p>Equação Característica de MHS</p><p>Introdução</p><p>Movimentos periódicos estão presentes na sua vida todos os</p><p>dias. Você, ao ler este texto, pode não perceber, mas está presenciando</p><p>vários movimentos periódicos. A luz que reflete neste papel, para ir</p><p>até seus olhos, possui uma oscilação eletromagnética; seus olhos, ao</p><p>percorrerem, de uma ponta a outra, estas linhas, estão realizando um</p><p>movimento periódico; seu coração está bombeando sangue em um</p><p>movimento periódico.</p><p>Existem vários modelos de osciladores harmônicos</p><p>(simples, amortecido, forçado). Trataremos aqui do movimento</p><p>harmônico simples.</p><p>Um movimento é dito periódico quando a posição deste se</p><p>repete em intervalos de tempo iguais. Esse intervalo de tempo deve ser</p><p>bem definido para cada tipo de movimento. Chamamos tal intervalo</p><p>de período (T). O inverso dessa grandeza é denominado frequência (f).</p><p>A frequência representa o número de vezes que o movimento se repete</p><p>no tempo.</p><p>Para um MHS (movimento harmônico simples), o período</p><p>(ou a frequência) informa algumas características sobre o tipo de força</p><p>que está causando o movimento. Vários exemplos clássicos de MHS</p><p>são encontrados na natureza: pêndulos de relógio, pêndulos físicos,</p><p>um objeto preso a uma mola, um objeto flutuando sobre a superfície</p><p>calma de um lago também exerce um pequeno MHS, entre outros.</p><p>Movimento massa-mola</p><p>Esse é o primeiro movimento a ser estudado. Quando</p><p>entendermos esse movimento por completo, sairemos fazendo</p><p>analogias diretas a outras situações físicas e assim resolveremos uma</p><p>quantidade enorme de problemas.</p><p>Modelo: movimento de um objeto preso a uma mola.</p><p>I.</p><p>• In ic ia lmente, o objeto</p><p>é deslocado em um ∆x,</p><p>fazendo a mo la f i ca r</p><p>distendida.x</p><p>x</p><p>x = 0</p><p>m</p><p>F</p><p>s</p><p>II.</p><p>x</p><p>x = 0</p><p>F</p><p>s</p><p>= 0m • Surge uma força F x</p><p></p><p>∆( )</p><p>no sent ido oposto ao</p><p>deslocamento.</p><p>III.</p><p>x</p><p>x</p><p>x = 0</p><p>x = 0</p><p>m</p><p>F</p><p>x</p><p>m</p><p>• Ocorre o mesmo da situação I.</p><p>A força é dita restauradora quando sempre aponta para a</p><p>posição de equilíbrio.</p><p>Observações:</p><p>A posição de equilíbrio é a posição onde a resultante é nula.</p><p>Temos, assim, a seguinte equação para a Segunda Lei</p><p>de Newton:</p><p>F kx ma mxel = − = = </p><p>Usaremos a notação de ponto indicando uma derivada</p><p>temporal:</p><p>dx</p><p>dt</p><p>x e</p><p>d x</p><p>dt</p><p>x= = </p><p>2</p><p>2 .</p><p>Dessa forma, obtemos a seguinte equação:</p><p>x x+ =ω2 0</p><p>Em que ω2 = k m/ .</p><p>Equação do tipo: x + w2x = 0</p><p>Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e</p><p>homogênea. Diferencial porque se refere a uma derivada, de segunda</p><p>ordem pelo fato de ser uma derivada segunda de x, linear porque</p><p>todos os termos de x possuem expoente 1 e homogênea por não ter</p><p>um termo independente de x.</p><p>Essa equação aparece várias vezes em física e descreve</p><p>perfeitamente o oscilador harmônico simples. Outras situações da</p><p>natureza, ao serem traduzidas em equações matemáticas, caem nesse</p><p>formato. A solução dessa equação é simples. Veja a seguir:</p><p>Toda solução do tipo x = A‘ sen wt + B‘ cos wt é solução da</p><p>equação (em que A‘ e B‘ são constantes atribuídas à situação física).</p><p>Perceba que existem duas constantes a serem determinadas, pois a</p><p>equação é de segunda ordem. Se for uma equação de primeira ordem,</p><p>teria uma constante a ser determinada? A resposta é sim!</p><p>Podemos, então, escrever de outra forma essa equação:</p><p>x = A cos(wt + j</p><p>0</p><p>)</p><p>Em que j</p><p>0</p><p>é outra constante e assim, temos A e j</p><p>0</p><p>como as</p><p>duas constantes a serem determinadas. Encontramos essas constantes</p><p>com as condições de contorno do problema (faça o teste para verificar</p><p>se esse x realmente é solução).</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.189 – 129403/18</p><p>Observações:</p><p>Nem sempre as equações da forma x x+ =ω2 0</p><p>descrevem MHS, porém as soluções dessa equação</p><p>sempre são dessa forma.</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA-SP) Uma nave espacial está circundando a Lua em uma órbita</p><p>circular de raio R e período T. O plano da órbita dessa nave é o</p><p>mesmo que o plano da órbita da Lua ao redor da Terra. Nesse</p><p>caso, para um observador terrestre, se ele pudesse enxergar a</p><p>nave (durante todo o tempo), o movimento dela, em relação à</p><p>Lua, pareceria</p><p>A) um movimento circular uniforme de raio R e período T;</p><p>B) um movimento elíptico;</p><p>C) um movimento periódico de período 2T;</p><p>D) um movimento harmônico simples de amplitude R;</p><p>E) diferente dos citados acima.</p><p>02. Uma mola helicoidal, cuja constante elástica é k, é presa por</p><p>uma das suas extremidades ao teto de uma sala. Na extremidade</p><p>inferior, prende-se um corpo de massa m. Afastando o corpo da</p><p>posição de equilíbrio e abandonando-o, qual é o período das</p><p>oscilações que ele realiza?</p><p>03. (Professor Carlos Eduardo) Assinale a alternativa falsa.</p><p>A) Todo movimento oscilatório é um MHS.</p><p>B) Todo MHS é um movimento oscilatório.</p><p>C) O movimento harmônico simples ocorre nas proximidades de</p><p>um ponto de equilíbrio estável.</p><p>D) Em um MHS, o módulo da aceleração é proporcional ao módulo</p><p>da posição relativa (em relação ao ponto de equilíbrio).</p><p>E) Em um MHS, a velocidade é máxima no ponto de equilíbrio.</p><p>04. Uma tábua de largura h repousa sobre um cilindro de raio R.</p><p>Considerando que não existe deslizamento, em que condições a</p><p>barra oscilará sobre a posição de equilíbrio?</p><p>y</p><p>x0</p><p>R</p><p>C</p><p>05. Uma partícula de massa m está localizada sobre um eixo e</p><p>experimenta uma energia potencial do tipo</p><p>U</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>x</p><p>(x) ,= −2</p><p>onde a e b são constantes.</p><p>Encontre o período de pequenas oscilações nas proximidades da</p><p>posição de equilíbrio.</p><p>A derivada desta função é dada por</p><p>dU</p><p>dx</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>x</p><p>= − +2</p><p>3 2</p><p>A) T</p><p>a</p><p>b</p><p>mb= 4</p><p>22</p><p>π</p><p>B) T</p><p>a</p><p>b</p><p>ma= 4</p><p>2</p><p>π</p><p>C) T</p><p>a</p><p>b</p><p>ma= π</p><p>2 2 D) T</p><p>a</p><p>b</p><p>ma= π</p><p>2</p><p>E) T</p><p>a</p><p>b</p><p>ma= 4</p><p>22</p><p>π</p><p>06. Um cilindro, perfeitamente vedado,possui um pistão, de massa</p><p>m e área S, que separa a mesma quantidade de gás do lado</p><p>esquerdo e direito.</p><p>mmm</p><p>��� ���</p><p>P0P0P0 P0P0P0</p><p>O sistema é perturbado e o êmbolo começa a oscilar em um MHS.</p><p>No momento que começa a oscilação, um sensor verifica o</p><p>deslocamento do cilindro e aplica uma velocidade angular em</p><p>torno do eixo de simetria.</p><p>r</p><p>Determine o intervalo de w para que o movimento ainda</p><p>seja um harmônico simples para pequenos deslizamentos.</p><p>P</p><p>0</p><p>e  são a pressão inicial e os comprimentos iniciais de cada</p><p>lado, respectivamente. As expansões e contrações podem ser</p><p>consideradas isotérmicas.</p><p>A) ω2 04</p><p>></p><p>P S</p><p>m</p><p>B) ω2 02</p><p>></p><p>P S</p><p>m</p><p>C) ω2 02</p><p><</p><p>P S</p><p>m</p><p>D) ω2 0</p><p>2</p><p><</p><p>P S</p><p>m</p><p>E) ω2 0<</p><p>P S</p><p>m</p><p>07. Três pontos fixos estão igualmente espaçados sobre uma</p><p>circunferência de raio a. A força que cada um desses pontos</p><p>faz sobre uma partícula de massa m é do tipo F kR</p><p> </p><p>= − , onde</p><p>R</p><p></p><p>é um vetor apontando de cada fonte para a massa e k, uma</p><p>constante igual para as três forças. O ponto de massa m é colocado</p><p>no instante inicial (t = 0) a uma distância r</p><p></p><p>0 com velocidade v</p><p></p><p>0.</p><p>a</p><p>a</p><p>a r</p><p>m</p><p>v</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>003.189 – 129403/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>A) Calcule a força resultante das três partículas durante o tempo.</p><p>B) Calcule o período do movimento.</p><p>08. Pequenas oscilações de uma massa m nas proximidades de um</p><p>planeta de massa M (densidade homogênea) são bastante comuns</p><p>em problemas de física. No primeiro caso, existe um túnel que</p><p>passa tangente à superfície do planeta; as paredes do túnel não</p><p>possuem atrito e o corpo efetua pequenas oscilações. No segundo</p><p>caso, o corpo pode oscilar dentro de um túnel (também sem</p><p>atrito) que passa a uma distância a do centro do planeta. Analise</p><p>os dois casos e determine a razão entre os períodos em função</p><p>dos parâmetros apresentados nas imagens.</p><p>x</p><p>x</p><p>m</p><p>mF</p><p>FR</p><p>R</p><p>ra</p><p>O</p><p>θ</p><p>Obs.: A constante gravitacional vale G e o raio do planeta vale R.</p><p>09. Uma barra de massa (m) repousa sobre dois cilindros que</p><p>giram em velocidades contrárias. A distância entre os centros</p><p>dos cilindros é (L) e o coeficiente de atrito entre este e a barra</p><p>é m. Ache a frequência das oscilações.</p><p>L</p><p>g</p><p>10. No método de Rüchhardt para medir γ = C</p><p>p</p><p>/C</p><p>v</p><p>do ar, usa-se um</p><p>grande frasco com um gargalo cilíndrico e estreito de raio a,</p><p>aberto para a atmosfera (p</p><p>0</p><p>= pressão atmosférica), no qual se</p><p>ajusta uma bolinha metálica de raio a e massa m. Na posição</p><p>de equilíbrio O da balinha, o volume de ar abaixo dela no frasco</p><p>é V (figura). Calcule a força restauradora sobre a bolinha quando</p><p>ela é empurrada de uma distância x, para baixo, a partir do</p><p>equilíbrio, o movimento sendo suficientemente rápido para que o</p><p>processo seja adiabático. Mostre que a bolinha executa um MHS</p><p>e calcule o período em função de a, m, V, p</p><p>0</p><p>e γ .</p><p>11. (ITA) Considere um oscilador harmônico simples composto por</p><p>uma mola de constante elástica k, tendo uma extremidade</p><p>fixada e a outra, acoplada a uma partícula de massa m.</p><p>O oscilador gira em um plano horizontal com velocidade</p><p>angular constante w em torno da extremidade fixa, mantendo-</p><p>se apenas na direção radial, conforme mostra a figura a</p><p>seguir. Considerando R</p><p>0</p><p>a posição de equilíbrio do oscilador</p><p>para w = 0, pode-se afirmar que</p><p>k</p><p>R</p><p>m</p><p>A) o movimento é harmônico simples para qualquer que seja</p><p>a velocidade angular w.</p><p>B) o ponto de equilíbrio é deslocado para R < R</p><p>0</p><p>.</p><p>C) a frequência do MHS cresce em relação ao caso de w = 0.</p><p>D) o quadrado da frequência do MHS depende linearmente</p><p>do quadrado da velocidade angular.</p><p>E) se a partícula tiver carga, um campo magnético na direção do</p><p>eixo de rotação só poderá aumentar a frequência do MHS.</p><p>12. Um tubo em forma de U, com uma área de secção interna circular S,</p><p>possui um lado vertical e o outro inclinado para com a horizontal de</p><p>um ângulo α. Existe, no tubo, um líquido com densidade ρ e massa</p><p>M, de modo que o lado vertical é fechado por um pistão que está</p><p>ligado a uma mola de constante elástica k (ver figura a seguir). Encontre</p><p>o período das pequenas oscilações do presente sistema. Adote a</p><p>aceleração da queda como g.</p><p>ρ</p><p>α</p><p>S</p><p>k</p><p>g</p><p>A) T</p><p>M</p><p>gS e k</p><p>=</p><p>+( ) +</p><p>2</p><p>1</p><p>π</p><p>ρ αs n</p><p>B) T</p><p>M</p><p>gS k</p><p>=</p><p>−( ) +</p><p>2</p><p>1</p><p>π</p><p>ρ αcos</p><p>C) T</p><p>M</p><p>gS e k</p><p>=</p><p>+( ) +</p><p>2</p><p>2</p><p>π</p><p>ρ αs n</p><p>D) T</p><p>M</p><p>gS e k</p><p>=</p><p>+( ) +</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>π</p><p>ρ αs n</p><p>E) T</p><p>M</p><p>gS k</p><p>=</p><p>+( ) +</p><p>2</p><p>1</p><p>π</p><p>ρ αcos</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.189 – 129403/18</p><p>13. Por um plano horizontal e liso, desliza uma haste fina de</p><p>comprimento L. Sua velocidade é v</p><p>0</p><p>. Esta chega a uma região</p><p>rugosa (coeficiente de atrito m). Considere que ela para antes de</p><p>entrar completamente na região rugosa. O tempo que a haste</p><p>leva para parar totalmente é</p><p>A)</p><p>π</p><p>µ2</p><p>L</p><p>g</p><p>B)</p><p>π</p><p>µ4</p><p>L</p><p>g</p><p>C) v</p><p>0</p><p>/mg D) v</p><p>0</p><p>/2mg</p><p>E) n.d.a.</p><p>14. As forças que atuam nas partículas são perpendiculares ao</p><p>eixo OO‘ e são funções da distância ao mesmo eixo OO‘.</p><p>As velocidades são v</p><p>0</p><p>e paralelas a OO‘ e às massas m.</p><p>m</p><p>r</p><p>O O’</p><p>v</p><p>0</p><p>Podemos afirmar que</p><p>A) se as forças são do tipo (F = -kr), podemos garantir que as</p><p>partículas se encontrarão em O‘.</p><p>B) se as forças são do tipo (F = -kr), não podemos garantir que</p><p>as partículas se encontrarão em O‘.</p><p>C) se as forças são do tipo (F = -kr), podemos garantir que as</p><p>partículas passam por O‘, mas não no mesmo instante.</p><p>D) todas as partículas se encontram em OO‘, independente do</p><p>tipo de força.</p><p>E) n.d.a.</p><p>15. Determine o período de oscilação de um líquido de massa m e</p><p>densidade ρ colocado dentro de um tudo, de área transversal S</p><p>(figura abaixo), no interior de um elevador acelerado para cima,</p><p>com aceleração a. O ângulo de inclinação do lado direito é θ</p><p>e o do lado esquerdo vale β.</p><p>A) T</p><p>m</p><p>S g a</p><p>=</p><p>+ +</p><p>2π</p><p>ρ β θ( )(cos cos )</p><p>B) T</p><p>m</p><p>S g a</p><p>=</p><p>+ +</p><p>2π</p><p>ρ β θ( )(tg cotg )</p><p>C) T</p><p>m</p><p>S g a</p><p>=</p><p>− +</p><p>2π</p><p>ρ β θ( )(sin sin )</p><p>D) T</p><p>m</p><p>S g a tg</p><p>=</p><p>+ −</p><p>2π</p><p>ρ β θ( )( cos )</p><p>E) T</p><p>m</p><p>S g a</p><p>=</p><p>− −</p><p>2π</p><p>ρ β θ( )(cos cos ) SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: VICENTINA – REV.: SARAH</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>D – A – E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C – – – –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>D A A A –</p><p>–</p><p>Demonstração.</p><p>moura</p><p>Destacar</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>moura</p><p>Máquina de Escrever</p><p>*</p><p>felipe</p><p>Retângulo</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Gabarito</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>D * A * E C * *</p><p>9 10 11 12 13 14 15</p><p>* * D A A A A</p><p>01. Movimento da nave:</p><p> Um MHS em relação à órbita da Lua de amplitude R.</p><p>Resposta: Item D</p><p>02.</p><p> Segunda Lei de Newton para o sistema:</p><p>  0mx k x  x mg</p><p>     </p><p>k m</p><p>x x 0 T 2</p><p>m k</p><p>03. Movimento Harmônico Simples (MHS) é o tipo de movimento</p><p>oscilatório mais simples. Existem outros tipos de oscilatórios.</p><p>Exemplo: vibrações atômicas.</p><p>Resposta: Item A</p><p>04. Temos que analisar a amplitude máxima do movimento</p><p>para que a tábua não escorregue e caia. Suponha que ao</p><p>deslocarmos a tábua de um ângulo , temos nossa</p><p>condição máxima de equilíbrio:</p><p> Considerando  o coeficiente de atrito entre a tábua e o</p><p>cilindro, e P o peso da tábua:</p><p>  </p><p>      </p><p>P cos N</p><p>tg</p><p>P sen N</p><p> Então a tábua oscilará se o deslocamento angular não</p><p>exceder    arctg .</p><p>05. Sabemos que:</p><p>  </p><p>3 2</p><p>dU 2a b</p><p>F</p><p>dx x x</p><p> Na posição de equilíbrio x0, a força é nula:</p><p>      0 03 2</p><p>0 0</p><p>2a b 2a</p><p>F x 0 x</p><p>bx x</p><p> Se deslocarmos um pequeno x próximo ao ponto de equilíbrio:</p><p> </p><p>   </p><p>0 3 2 3 2</p><p>0 00 00 0</p><p>2a b 2a 3x b 2x</p><p>F x x 1 1</p><p>x xx xx x x x</p><p>   </p><p>         </p><p>    </p><p> </p><p>   </p><p>        </p><p>   </p><p>0 3 2 3 4</p><p>0 0 0 0</p><p>2a b 2b 6a</p><p>F x x x</p><p>x x x x</p><p>0</p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>4 4 4</p><p>3 3 3</p><p>b 3b b</p><p>x x</p><p>4a 8a 8a</p><p>      </p><p>4</p><p>0 3</p><p>b</p><p>F x x x mx</p><p>8a</p><p>    </p><p>4 3</p><p>3 4</p><p>b 8ma</p><p>x x 0 T 2</p><p>8ma b</p><p></p><p> </p><p>2</p><p>4 a</p><p>T 2ma</p><p>b</p><p>Resposta: Item E</p><p>06. Se deslocarmos o pistão em uma distância r, mudaremos a</p><p>pressão em casa lado do cilindro. Considerando transformações</p><p>isotérmicas:</p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>                 </p><p>       </p><p>           </p><p>   </p><p> </p><p> </p><p>e 0e 0</p><p>e 0 0 0 0 0</p><p>d 0 0 0</p><p>d</p><p>d 0 0</p><p>0 0</p><p>rr</p><p>P P 1P P 1</p><p>P r S P S</p><p>P r S P S r rpP P 1 P 1</p><p> Daí, o resultante sobre o pistão será:</p><p>    </p><p></p><p>0</p><p>R d e R</p><p>0</p><p>2P rS</p><p>F P P S F</p><p> Para o sistema entrar em MHS, a força resultante tem</p><p>que ser maior que a força centrífuga:</p><p>    </p><p></p><p>2 2 0</p><p>r</p><p>0</p><p>2P S</p><p>F m r</p><p>m</p><p>Resposta: Item C</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>07.</p><p>a)</p><p>  </p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>r 1 2 3</p><p>r 1 2 3</p><p>F F F F</p><p>F kR kR kR</p><p>b)</p><p>     </p><p></p><p>    </p><p> </p><p></p><p>r</p><p>3k</p><p>F mr 3kr r r 0</p><p>m</p><p>r r</p><p></p><p> 3k</p><p>r r</p><p>m</p><p>      </p><p>3k m</p><p>0 r r 0 T 2</p><p>m 3k</p><p>08.</p><p>1) Túnel tangente à superfície do planeta:</p><p> Tipo de força:</p><p> r</p><p>Gm</p><p>F</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>seco</p><p>M</p><p>sen m</p><p>R</p><p>     </p><p>     </p><p>          </p><p></p><p> </p><p>3</p><p>12 3</p><p>sen tg</p><p>x ,</p><p>cos 1 sec 1</p><p>GM R GM R</p><p>x 0 x x 0 T 2</p><p>R GmR R</p><p>2) Túnel dentro do planeta:</p><p> Tipo de força:</p><p>   </p><p>     </p><p></p><p></p><p></p><p>r</p><p>3</p><p>3</p><p>23</p><p>GmM</p><p>F r sen mx</p><p>R</p><p>GM R</p><p>x x 0 T 2</p><p>GmR</p><p> Portanto: 1</p><p>2</p><p>T</p><p>1</p><p>T</p><p>Obs.: lembre-se de que a força dentro de um planeta</p><p>maciço é  </p><p> </p><p>3</p><p>GmM</p><p>F r</p><p>R</p><p>09. Análise do sistema ao deslocar a barra em</p><p></p><p>x :</p><p> Torque em relação ao ponto A e B:</p><p>    </p><p>       </p><p>     </p><p>              </p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>L 1 x</p><p>A : mg x N L N mg</p><p>2 2 L</p><p>L 1 x</p><p>B : mg x N L N mg –</p><p>2 2 L</p><p> Segunda Lei de Newton para a barra:</p><p>   </p><p>r a 1 a 1F F t 1 F t 2 mx ¨</p><p>2g</p><p>x</p><p>L</p><p> </p><p>2m</p><p></p><p>gx</p><p>m</p><p>L</p><p>    </p><p></p><p> </p><p>2gx 1 2g</p><p>x x 0 f</p><p>L 2 L</p><p>10. Quando a bolinha está em equilíbrio:</p><p>   2</p><p>0mg P a</p><p> Ao deslocarmos a bolinha para baixo:</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>    </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2 0</p><p>0</p><p>2</p><p>P</p><p>P V P V a x P</p><p>a x</p><p>1</p><p>V</p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>2</p><p>0</p><p>a</p><p>P P 1 x</p><p>V</p><p> Segunda Lei de Newton para a bolinha:</p><p> </p><p>     </p><p> </p><p></p><p>2 4</p><p>2 0</p><p>r r</p><p>P a</p><p>F mg P a mx F – x</p><p>V</p><p> mx mg   2</p><p>0P a</p><p></p><p></p><p>2 4</p><p>0P a</p><p>x</p><p>V</p><p></p><p>  </p><p>2 4</p><p>oP a</p><p>x x 0</p><p>V</p><p>(Equação característica de um MHS)</p><p>    </p><p>2 4 2</p><p>oo</p><p>mV 2 mV</p><p>T 2 T</p><p>PP a a</p><p>11. Para o ponto de equilíbrio:</p><p> 2</p><p>okx m R</p><p> Se deslocarmos a partícula em x:</p><p> 2</p><p>rF m R   ox k x   x mx</p><p> </p><p>     </p><p> </p><p> 2k</p><p>x x 0</p><p>m</p><p> Teremos um MHS se</p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>2k</p><p>0 :</p><p>m</p><p>           </p><p>2</p><p>2 2 2 2k k</p><p>4 f</p><p>m m</p><p>   </p><p></p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>k 1</p><p>f</p><p>4 m 4m</p><p>Resposta: Item D</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p>1a</p><p></p><p>3a</p><p></p><p>2a</p><p>     </p><p> </p><p>         </p><p>    </p><p> </p><p>      </p><p>    </p><p> </p><p>r 1 2 3</p><p>r 1 2 3</p><p>r</p><p>F k r a r a r a</p><p>0</p><p>F 3kr k a a a</p><p>F 3kr</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>12. No equilíbrio:</p><p> Ao deslocarmos x, podemos escrever que:</p><p>           r o 1 2F k x x m PSx g m PSx gsen</p><p>          r o 1 2F k 1 sen PSg x kx m g m gsen</p><p>        </p><p>rF k 1 sen PSg x Mx</p><p>       </p><p>k 1 sen PSg</p><p>x x 0</p><p>M</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>M</p><p>T 2</p><p>k 1 sen PSg</p><p>Resposta: Item A</p><p>13. No equilíbrio:</p><p> Supondo que a normal se distribui uniformemente:</p><p> </p><p>   </p><p> </p><p></p><p>R</p><p>x</p><p>F Mg Mx</p><p>L</p><p>     </p><p>g g</p><p>x x 0</p><p>L L</p><p> Perceba que a solução dessa equação é a mesma</p><p>resolução de um MHS, porém como a energia é</p><p>dissipada pela força de atrito, só podemos validar essa</p><p>solução até o nosso objeto parar, o que equivale a uma</p><p>variação de fase de</p><p></p><p>2</p><p>:</p><p> </p><p>     </p><p>L</p><p>t t</p><p>2 2 g</p><p>Resposta: Item A</p><p>14. Se as forças são do tipo F = – kr:</p><p>     </p><p>k</p><p>F kr mr r r 0</p><p>m</p><p>Solução do tipo:</p><p>  </p><p>   0</p><p>k m</p><p>r t h cos t demora t para que r 0</p><p>m 2 k</p><p> Como t não depende de h0, podemos concluir que todos</p><p>as partículas se encontrarão O’, pois eles percorrerão</p><p>a mesma distância no eixo paralelo à OO’ e estarão</p><p>sobre o eixo OO’ no mesmo instante.</p><p>Resposta: Item A</p><p>15.</p><p> </p><p> </p><p>g a</p><p> No equilíbrio:</p><p>       1 2m g a cos m g a cos</p><p> Ao deslocarmos em x:</p><p>                r 2 1F m S g a cos m Sx g a cos</p><p>             r 2F – cos cos g a S x m g a cos</p><p> </p><p></p><p>  1m g a cos</p><p>           </p><p>rF S g a cos cos x mx</p><p>       </p><p>  </p><p>S g a cos cos</p><p>x x 0</p><p>m</p><p>   </p><p>  </p><p>    </p><p>m</p><p>T 2</p><p>S g a cos cos</p><p>Resposta: Item A</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: EDNA – REV.: KATIARY</p><p>031.389 – 1001/21</p><p>x</p><p>  </p><p>   </p><p>el 1 2</p><p>o 1 2</p><p>F m g m gsen</p><p>kx m g m g sen</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: EquaçõEs Horárias no MHs</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>003.190 – 129401/18</p><p>AULAS 22 e 23</p><p>EAD – ITA</p><p>Equações horárias no MHS</p><p>Introdução</p><p>Dada a solução da equação característica, precisamos conhecer</p><p>todos os parâmetros e constantes da mesma. A partir da expressão</p><p>apresentada anteriormente, vamos analisar e entender cada um dos</p><p>componentes da equação:</p><p>x(t) = A cos (ωt + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>x(t): posição da partícula em função do tempo;</p><p>A: amplitude do movimento;</p><p>ω: frequência angular do movimento (pulsação);</p><p>ϕ</p><p>0</p><p>: fase inicial do movimento.</p><p>A amplitude nos diz a posição mais afastada da posição de</p><p>equilíbrio que o bloco pode alcançar. A frequência angular é uma</p><p>grandeza proporcional à frequência, logo, está relacionada com a</p><p>rapidez do movimento. A posição inicial (t=0) é relacionada com a</p><p>fase inicial do movimento. Portanto, o movimento está completamente</p><p>descrito em função dessas grandezas.</p><p>A partir de x(t), encontramos v(t) e a(t), simplesmente derivando:</p><p>v(t) = x = – ωA sin(ωt + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>.</p><p>a(t) = x = – ω2A cos(ωt + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>..</p><p>Veja alguns exemplos de gráficos e perceba a defasagem entre</p><p>a posição, velocidade e aceleração:</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>3T</p><p>2</p><p>3T</p><p>2</p><p>3T</p><p>2</p><p>3T</p><p>2</p><p>3T</p><p>2</p><p>3T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>x</p><p>0 t</p><p>x</p><p>0 t</p><p>vv</p><p>0 t</p><p>α</p><p>0 t</p><p>0 t</p><p>α</p><p>0 t</p><p>+</p><p>Analogia a MCU</p><p>Muitos autores tratam um MHS como uma projeção de um</p><p>movimento circular uniforme para melhorar o aprendizado do aluno.</p><p>Faremos isso aqui também:</p><p>M0 A</p><p>1</p><p>R</p><p>P</p><p>x</p><p>A</p><p>2</p><p>Tome uma circunferência de raio A e uma partícula passeando</p><p>por esta, com velocidade angular constante ω, partindo de um ϕ</p><p>0</p><p>como</p><p>ângulo inicial. Agora pense em projetar a componente da posição P(t)</p><p>na direção x do plano cartesiano.</p><p>Teremos então:</p><p>ϕ = ϕ</p><p>0</p><p>+ ωt</p><p>x = A cos(ϕ)</p><p>x = A cos(ωt + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>Vejam só! Realmente caímos em uma equação idêntica à de um</p><p>MHS. Às vezes, visualizar esse tipo de projeção ajuda a encontrarϕ</p><p>0</p><p>.</p><p>Podemos determinar, através desse método, velocidade e</p><p>aceleração. Façamos as projeções da velocidade linear e da aceleração</p><p>centrípeta sobre o eixo x e teremos:</p><p>y</p><p>v</p><p>Qv</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>v = ωA</p><p>x</p><p>0</p><p>P</p><p>y</p><p>Qα</p><p>x</p><p>α</p><p>x</p><p>a</p><p>α = ω2A</p><p>x</p><p>0</p><p>P</p><p>v(t) = – ωA sin(ωt + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>a(t) = ω2 A cos(ωt + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>Observe atentamente os sinais da velocidade e da aceleração.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.190 – 129401/18</p><p>Exercícios</p><p>01. Um corpo realiza MHS, cuja equação da elongação é</p><p>x t S.I( ) = +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ( )20</p><p>2 2</p><p>cos</p><p>π π</p><p>t</p><p>Determine</p><p>A) a amplitude, fase inicial, pulsação, período e frequência;</p><p>B) a equação da velocidade e da aceleração;</p><p>C) a elongação, velocidade e aceleração para t = 3s.</p><p>02. Um corpo realiza MHS de acordo com os diagramas apresentados</p><p>abaixo; onde as grandezas estão no Sistema Internacional.</p><p>x</p><p>S</p><p>T T</p><p>4 2</p><p>3T</p><p>4</p><p>t</p><p>T</p><p>4</p><p>T</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>T t</p><p>– 4π</p><p>v</p><p>Determine</p><p>A) a amplitude do movimento, a pulsação e o período;</p><p>B) as equações da elongação, velocidade e aceleração;</p><p>C) o valor da aceleração quando t</p><p>T</p><p>=</p><p>4</p><p>.</p><p>03. Um móvel realiza MHS, com amplitude de 12 cm, frequência de</p><p>1/8 Hz e fase inicial nula.</p><p>Pergunta-se:</p><p>A) depois de quanto tempo, após ter passado pelo ponto de</p><p>velocidade nula e elongação positiva, a elongação se torna,</p><p>pela primeira vez, igual a 6 2 cm ?</p><p>B) qual o primeiro instante em que a posição x = 5 cm?</p><p>C) qual a velocidade média entre os pontos de elongação 6 e 2 cm?</p><p>D) qual a equação da velocidade?</p><p>E) qual o primeiro instante em que a velocidade é máxima?</p><p>04. Dois movimentos harmônicos simples estão representados no</p><p>gráfico abaixo. Podemos afirmar que</p><p>1</p><p>2</p><p>A</p><p>x</p><p>tω</p><p>π 2π</p><p>–B</p><p>A)</p><p>x Asen t</p><p>x Bsen t</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ω</p><p>π</p><p>ω</p><p>π</p><p>B) x A t</p><p>x B t</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= +( )</p><p>cos</p><p>cos</p><p>ω</p><p>π</p><p>ω π</p><p>C)</p><p>x A t</p><p>x B t</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= − +( )</p><p>cos</p><p>cos</p><p>ω</p><p>π</p><p>ω π</p><p>D)</p><p>x Asen t</p><p>x Bsen t</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= − −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ω</p><p>π</p><p>ω</p><p>π</p><p>05. A figura a seguir mostra um sistema oscilante massa-mola sobre</p><p>uma superfície horizontal, sem atrito, e um outro corpo que se</p><p>dirige contra o corpo oscilante, com velocidade v. O movimento</p><p>do corpo oscilante é dado por</p><p>x(t) = (0,1 m) cos (40 s–1t)</p><p>Em que x é o deslocamento do corpo em relação à posição de</p><p>equilíbrio. Os dois corpos colidem no instante em que o corpo</p><p>vibrante passa pela posição de equilíbrio avançando para a direita.</p><p>v</p><p>mm</p><p>A colisão é elástica:</p><p>A) qual a velocidade v do segundo corpo para que o sistema</p><p>massa-mola fique em repouso depois da colisão elástica?</p><p>B) qual a velocidade do segundo corpo depois da colisão?</p><p>06. Um bloco de massa M é colocado no interior de uma caixa oca</p><p>de massa m<M, sem a tampa inferior, como mostra a figura</p><p>a seguir. O sistema encontra-se inicialmente mantido em repouso.</p><p>As molas são idênticas, com constantes elásticas k e distensões</p><p>iniciais x0. Não há atrito entre a caixa e a superfície. O atrito entre</p><p>o bloco e a superfície é suficientemente intenso para mantê-lo</p><p>sempre em repouso.</p><p>k k</p><p>m</p><p>M</p><p>A) Nessas circunstâncias, calcule o menor valor do coeficiente de</p><p>atrito estático entre o bloco e a superfície.</p><p>B) Após a caixa ser liberada do repouso, considere que jamais haja</p><p>contato entre ela e o bloco, que permanece estático. Sabendo</p><p>que a caixa oscilará em um movimento harmônico simples,</p><p>determine a frequência angular desse movimento.</p><p>C) Se tamparmos a parte inferior, de modo que o coeficiente de</p><p>atrito entre os materiais (bloco de massa M + material da caixa)</p><p>tenham coeficiente de atrito obtido no item (a), e retirarmos a</p><p>mola do interior, qual será a máxima amplitude que podemos</p><p>colocar o sistema para oscilar, de modo que o bloco não</p><p>derrape?</p><p>D) Se não houvesse a mola da esquerda prendendo o sistema na</p><p>parede e não houvesse atrito, qual seria o período do sistema?</p><p>07. No gráfico (momento linear)x(posição) de um MHS, podemos</p><p>afirmar que sua área é igual</p><p>A) à Energia total por frequência.</p><p>B) à Energia total por frequência angular.</p><p>C) à Energia total por amplitude.</p><p>D) à Frequência vezes velocidade.</p><p>E) a nenhum dos itens anteriores.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>003.190 – 129401/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>08. Um corpo executa um movimento harmônico simples. Com</p><p>relação à sua aceleração, afirma-se que</p><p>A) é máxima nos extremos do percurso.</p><p>B) é máxima no ponto médio do percurso.</p><p>C) é indeterminada.</p><p>D) é nula nos extremos do percurso.</p><p>E) tem o mesmo sentido em qualquer instante.</p><p>09. (Unifei-MG) Uma partícula se move em um plano, de modo que</p><p>suas coordenadas de posição x e y variam em função do tempo t,</p><p>conforme as expressões x = R sen (ωt) e y = R cos (ωt) + R, onde ω</p><p>e R são iguais a π rad/s e 5,0 m, respectivamente.</p><p>A) Esboce, em seu caderno, a trajetória da partícula, posicionando-a</p><p>em relação aos eixos Ox e Oy.</p><p>B) Calcule os módulos da velocidade e da aceleração da partícula</p><p>em uma posição genérica da trajetória.</p><p>C) Que tipo de movimento a partícula realiza e qual o período do</p><p>movimento?</p><p>10. A figura a seguir ilustra um pêndulo formado por um fio e por uma</p><p>esfera oca, cheia de areia, com um orifício em sua extremidade</p><p>inferior. O pêndulo oscila com amplitude constante e a areia</p><p>escoa regularmente pelo orifício. Qual das figuras a seguir melhor</p><p>representa o perfil da areia depositada?</p><p>A B</p><p>A)</p><p>A B</p><p>B)</p><p>A B</p><p>C)</p><p>A B</p><p>D)</p><p>A B</p><p>E)</p><p>A B</p><p>11 (UFC-CE) Um corpo de massa m executa o movimento periódico</p><p>mostrado na figura a seguir. A força que atua no sistema é da</p><p>forma F = –k x. Com base nos dados fornecidos e na figura,</p><p>é possível calcular algumas grandezas inerentes a esse tipo de</p><p>movimento, tais como: δ,v, ω, k e a</p><p>máx</p><p>.</p><p>Dados: δ é a constante de fase;</p><p>ω é a frequência angular natural da oscilação;</p><p>v é a velocidade do corpo;</p><p>k é a constante elástica;</p><p>amáx é a aceleração máxima.</p><p>Das grandezas calculadas e apresentadas abaixo, indique a</p><p>alternativa correta.</p><p>A) δ = 0</p><p>B) V t</p><p>A</p><p>t t</p><p>( )5</p><p>7 32</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>C) ω</p><p>π</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>7 3t t</p><p>D) k m</p><p>t t</p><p>A=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>7 3</p><p>2</p><p>E) a A</p><p>t t</p><p>máx = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>7 3</p><p>2</p><p>12. (ITA) Um observador em um referencial inercial estuda o</p><p>movimento de uma partícula. A partir dos valores da velocidade v e</p><p>da coordenada x, posição da partícula, obteve o gráfico a seguir.</p><p>0</p><p>0</p><p>v2</p><p>x2</p><p>x(m) v(m ⋅ s-1)</p><p>0 ± ⋅</p><p>k</p><p>m</p><p>A</p><p>±A 0</p><p>Dentre os valores obtidos, acham-se os acima tabelados, onde</p><p>k, m e A são constantes positivas.</p><p>A) Trata-se do lançamento vertical de um foguete na superfície</p><p>da Terra, com velocidade inicial k/m, uma vez que à medida</p><p>que a altura x aumenta, tem-se uma variação constante da</p><p>velocidade.</p><p>B) Para um observador fixo à partícula, o movimento é circular</p><p>com raio A</p><p>k</p><p>m</p><p>2 1+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> .</p><p>C) Trata-se de um movimento harmônico simples, com amplitude</p><p>A, constante k, massa da partícula m e aceleração −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>kx</p><p>m</p><p>, para</p><p>um observador na origem dos x;</p><p>D) Para um outro observador inercial, o movimento é retilíneo</p><p>com aceleração constante −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>kA</p><p>m</p><p>.</p><p>E) A partícula se move sob ação de uma força constante.</p><p>13. Uma bolinha de massa m, ligada a uma mola cuja constante é k,</p><p>realiza oscilações harmônicas de amplitude A. A uma distância</p><p>A/2 da posição de equilíbrio, coloca-se uma prancha de aço de</p><p>grande massa, na qual bate a bolinha. O choque da bolinha</p><p>com a prancha é perfeitamente elástico. Encontre o período das</p><p>oscilações. Despreze a gravidade.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.190 – 129401/18</p><p>k m</p><p>A</p><p>2</p><p>14. (ITA) Uma partícula de massa m se move sobre uma linha reta</p><p>horizontal em um Movimento Harmônico Simples (MHS), com</p><p>centro O. Inicialmente, a partícula encontra-se na máxima distância</p><p>x</p><p>0</p><p>de O e, a seguir, percorre uma distância a, no primeiro segundo</p><p>e uma distância b, no segundo seguinte, na mesma direção e</p><p>sentido. Quanto vale a amplitude x</p><p>0</p><p>desse movimento?</p><p>A)</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2 2</p><p>a</p><p>a b−( )</p><p>B)</p><p>2</p><p>4</p><p>2b</p><p>a b−( )</p><p>C)</p><p>2</p><p>3</p><p>2a</p><p>a b−( )</p><p>D)</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2 2</p><p>a b</p><p>a b−( )</p><p>E)</p><p>4</p><p>3 2</p><p>2a</p><p>a b−( )</p><p>15. (ITA) Uma partícula P</p><p>1</p><p>de dimensões desprezíveis oscila em</p><p>movimento harmônico simples ao longo de uma reta com período</p><p>de 8/3 s e amplitude a. Uma segunda partícula, P</p><p>2</p><p>, semelhante a</p><p>P</p><p>1</p><p>, oscila de modo idêntico em uma reta muito próxima e paralela</p><p>à primeira, porém com atraso de π/12 rad em relação a P</p><p>1</p><p>. Qual</p><p>a distância que separa P</p><p>1</p><p>de P</p><p>2</p><p>, 8/9 s depois de P</p><p>2</p><p>passar por um</p><p>ponto de máximo deslocamento?</p><p>A) 1,00 a</p><p>B) 0,29 a</p><p>C) 1,21 a</p><p>D) 0,21 a</p><p>E) 1,71 a</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* * * B *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* A A * B</p><p>11 12 13 14 15</p><p>E C * C D</p><p>SU</p><p>PE</p><p>RV</p><p>IS</p><p>O</p><p>R/</p><p>D</p><p>IR</p><p>ET</p><p>O</p><p>R:</p><p>M</p><p>A</p><p>RC</p><p>EL</p><p>O</p><p>P</p><p>EN</p><p>A</p><p>–</p><p>A</p><p>U</p><p>TO</p><p>R:</p><p>C</p><p>A</p><p>RL</p><p>O</p><p>S</p><p>ED</p><p>U</p><p>A</p><p>RD</p><p>O</p><p>D</p><p>IG</p><p>.:</p><p>V</p><p>IC</p><p>EN</p><p>TI</p><p>N</p><p>A</p><p>–</p><p>R</p><p>EV</p><p>.:</p><p>SA</p><p>RA</p><p>H</p><p>Anotações</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>01. a) Sabemos que para um MHS:</p><p>x(t) = A cos(wt + 0)</p><p>Por comparação:</p><p></p><p> =</p><p> π</p><p>ϕ =</p><p></p><p>π =</p><p> π = ⇒ =</p><p></p><p></p><p>= ⇒ =</p><p>0</p><p>A 20m</p><p>rad</p><p>2</p><p>w rad/s</p><p>2</p><p>2</p><p>T T 4 s</p><p>w</p><p>1</p><p>f f 0,25Hz</p><p>T</p><p>b) Derivando a equação da elongação em relação ao tempo:</p><p> v(t) =</p><p>dx</p><p>dt</p><p> v(t) = – w A sen (wt + 0)</p><p></p><p> π π</p><p>= − π +  </p><p>v(t) 10 sen t</p><p>2 2</p><p> a(t) =</p><p>2</p><p>2</p><p>d x dv</p><p>dtdt</p><p>=  a(t) = – w2 A cos (wt + 0)</p><p> 2a(t) 5 cos t</p><p>2 2</p><p> π π</p><p>= − π +  </p><p>c) Para t = 3:</p><p> = π = = − π π =</p><p> = − π π = −</p><p>2 2 2</p><p>x(3) 20 cos(2 ) 20 m</p><p>v(3) 10 sen (2 ) 0 m/s</p><p>a(3) 5 cos (2 ) 5 m/s</p><p>02. a) A partir dos gráficos:</p><p></p><p> =</p><p> π π = ⇒ =</p><p> π = ⇒ =</p><p>A S</p><p>4</p><p>4 w A w</p><p>S</p><p>2 S</p><p>T T</p><p>w 2</p><p>b)  x(t)=Scos(wt)</p><p> x(t) = S cos</p><p> π</p><p>  </p><p>4</p><p>t</p><p>S</p><p> v(t) =</p><p>dx</p><p>dt</p><p> v(t) = – 4 sen</p><p> π</p><p>  </p><p>4</p><p>t</p><p>S</p><p> a(t) =</p><p>dv</p><p>dt</p><p> a(t) =</p><p> − π π</p><p>  </p><p>216 4</p><p>cos t</p><p>S S</p><p>c)</p><p>2T 16 4 T</p><p>a cos</p><p>4 S S 4</p><p>   − π π</p><p>= ⋅      </p><p></p><p>2T 16 4</p><p>a cos</p><p>4 S</p><p>  − π</p><p>=   S</p><p>π S</p><p>⋅</p><p>8</p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>2T 16</p><p>a cos 0</p><p>4 S 2</p><p>   − π π</p><p>= =      </p><p>03. Montando a equação horária do MHS:</p><p>x(t) = 12 cos</p><p>1</p><p>2 t</p><p>8</p><p> </p><p>π ⋅  </p><p> x(t) = 12 cos t</p><p>4</p><p> π</p><p>  </p><p>a) 6 2 6cos t</p><p>4</p><p> π</p><p>=   </p><p> cos t</p><p>4</p><p> π</p><p>  </p><p>=</p><p>2</p><p>t t 1s</p><p>2 4 4</p><p>π π</p><p>∴ = ⇒ =</p><p>b) 5 12cos t</p><p>4</p><p> π</p><p>=   </p><p> cos t</p><p>4</p><p> π</p><p>  </p><p>= ⇒ =</p><p>5</p><p>t 1, 45 s</p><p>12</p><p>c)</p><p>  π</p><p>= ⇒ =    </p><p>  π = ⇒ =   </p><p>4</p><p>6 12 cos t t s</p><p>4 3</p><p>2 12 cos t t 1,79 s</p><p>4</p><p>Daí:</p><p>−</p><p>= ⇒ = −</p><p>−</p><p>m m</p><p>2 6</p><p>v v 8,76 m/s</p><p>4</p><p>1,79</p><p>3</p><p>d) v(t) =</p><p> π</p><p>⇒ = − π   </p><p>dx</p><p>v(t) 3 sen t</p><p>dt 4</p><p>e) sen</p><p> π</p><p>= ⇒ =  </p><p>t 1 t 2 s</p><p>4</p><p>04. X1 = A sen (wt)  X1 = A cos (wt –</p><p>2</p><p>π )</p><p>X2 = B sen (wt + 3</p><p>2</p><p>π )  X2 = B cos (wt + )</p><p>Resposta correta: B</p><p>05. a) Conservação do momento linear:</p><p>m1v1 – m2v2 = m1v1’ + m2v2’ (I)</p><p>Como a colisão é elástica:</p><p> = 1 = 2 1</p><p>1 2</p><p>v ' v '</p><p>v v</p><p>−</p><p>+</p><p> v2’ = v1’ + v1 + v2 (II)</p><p>Substituindo (II) em (I):</p><p>m1v1 – m2v2 = m1v1’ + m2(v1‘ + v1 + v2)</p><p></p><p>( )</p><p>1 22 m m m</p><p>1 1 2</p><p>1 2 1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>v v</p><p>m – m v – 2 m</p><p>'</p><p>m m</p><p>v</p><p>' v</p><p>= == → = −</p><p>+</p><p></p><p>2 1v ' v=</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Então, se tivermos uma colisão elástica de duas partículas</p><p>de mesma massa os corpos irão “trocar” as suas</p><p>velocidades. Daí, para o sistema massa-mola fica parado</p><p>após a colisão v = 0.</p><p>b) v2‘ = v1</p><p>Pela equação do MHS:</p><p>v1(t) = 4 cos (40 t)  = =1 2| v ,máx | 4 m/s v '</p><p>06. a) No bloco:</p><p>Fat = KX0  Mg  µ = 0</p><p>mí n</p><p>KX</p><p>Mg</p><p>b) Na caixa:</p><p>= − ⇒ + = → = </p><p>2K 2K</p><p>mx 2Kx x x 0 w</p><p>m m</p><p>c)</p><p>at , máx</p><p>at , máx at, máx</p><p>at, máx</p><p>KA F mx m</p><p>KA F F</p><p>F Mx M</p><p> − =  </p><p>⇒ − =  =  </p><p></p><p></p><p>   + +</p><p>⇒ = ⇒ =      </p><p>0</p><p>at , máx 2</p><p>m M m M Kx</p><p>A F A</p><p>M gM</p><p>d)</p><p>K m</p><p>mx Kx x x 0 T 2</p><p>m K</p><p>= − ⇒ + = ⇒ = π </p><p>07.</p><p>2 2 2 2mv Kx P Kx</p><p>E E</p><p>2 2 2m 2</p><p>= + ⇒ = +</p><p></p><p>2 2P X</p><p>1</p><p>2mE 2E</p><p>K</p><p>+ =</p><p> </p><p>  </p><p>(elipse de semieixos</p><p>2E</p><p>2mE e</p><p>K</p><p>)</p><p>Calculo da área da elipse:</p><p>1</p><p>f</p><p>2E m E</p><p>S 2mE E 2</p><p>K K f</p><p>= π ⋅ = ⋅ π = (Energia total pela</p><p>frequência).</p><p>Resposta correta: A</p><p>08. x(t) = A sen (wt + 0)</p><p>a(t) = w2 A sen (wt + 0) = – w2 x(t)</p><p> Se x é máximo, então a é máximo.</p><p>Resposta correta: A</p><p>09.</p><p> = ⇒ + − = = +</p><p>2 2 2x R sen wt</p><p>x (y R) R</p><p>y R cos(wt) R</p><p>a)</p><p>b)</p><p> = = ⇒ = − ⇒ = +  =</p><p></p><p>d dt d dtX</p><p>Y</p><p>v wR cos wt</p><p>x R sen wt</p><p>v wR sen wt</p><p>y R cos wt R</p><p>| v | wR</p><p> = −</p><p> = −</p><p> =</p><p></p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>y</p><p>2</p><p>a w R sen wt</p><p>a w R cos wt</p><p>| a | w R</p><p>c) Movimento circular uniforme de período</p><p>2</p><p>w</p><p>π</p><p>10. Como a areia cai a uma taxa constante, ela irá se acumular</p><p>mais nos pontos que a esfera do pêndulo tenha menor</p><p>velocidade, ou seja, ela se acumula mais perto das</p><p>extremidades.</p><p>Resposta correta: B</p><p>11. Sabemos que:</p><p> = δ = = + δ ⇒ ⇒ = + δ = δ = − 0</p><p>Ax(0) A senx(t) A sen (wt )</p><p>2</p><p>v(t) wA cos (wr ) v(0) wA cos ( ) v</p><p>5</p><p>6</p><p>π</p><p>δ = Item A falso.</p><p>Além disso:</p><p>π π</p><p>= − = ⇒ =</p><p>−7 3</p><p>7 3</p><p>T</p><p>T T w</p><p>2 w T T</p><p>Item C falso.</p><p>Para a velocidade:</p><p>5 5</p><p>7 3</p><p>A</p><p>V(t ) wA V(t )</p><p>t t</p><p>π</p><p>= ⇒ =</p><p>−</p><p>Item B falso.</p><p>Além disso:</p><p>2</p><p>2</p><p>7 3</p><p>K</p><p>w K m</p><p>m t t</p><p> π</p><p>= ⇒ =  − </p><p>Item D correto.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Por fim:</p><p>a(t) = –w2A sen (wt + )  amáx = w2A</p><p>2</p><p>máx</p><p>7 3</p><p>a A</p><p>t t</p><p> π</p><p>=  − </p><p>Resposta correta: E</p><p>12. Podemos escrever a reta como:</p><p>v2 =</p><p>2K</p><p>A</p><p>m−</p><p>2A</p><p>2 2K</p><p>x A</p><p>m</p><p>+</p><p>v2 = 2 2 2 2 2K K K K</p><p>x A x x A</p><p>m m m m</p><p>− + ⇒ = − +</p><p>⇒ = − ⇒ + =  </p><p>d</p><p>dt K K</p><p>2xx 2x x x x 0</p><p>m m</p><p>(Equação característica de</p><p>um m.H.S.)</p><p>Resposta correta: C</p><p>13. Fazendo o paralelo entre um MCU e um MHS para</p><p>observarmos a fase do movimento.</p><p>Em vez de percorrer 2, o nosso MHS só percorrerá</p><p>4</p><p>3</p><p>π</p><p>e</p><p>como temos uma frequência angular constante podemos</p><p>escrever que:</p><p>4 m</p><p>T</p><p>3 K</p><p>π</p><p>=</p><p>14. Podermos escrever que:</p><p>X(t) = X0 cos (wt + 0)  X(0) = X0 cos (0) = X0  0 = 00</p><p> X(t) = X0 cos(wt)</p><p>Além disso:</p><p> = = −</p><p></p><p> = = − + = − = − +</p><p>1 0 0</p><p>2</p><p>2 0 0 0 0</p><p>X( ) X cos w X a (I)</p><p>X( ) X cos 2w X (a b) X [2cos w 1] X (a b) (II)</p><p>Substituindo (I) em (II):</p><p>2</p><p>0</p><p>0 02</p><p>0</p><p>2 2 2</p><p>0 0 0 0</p><p>2(X a)</p><p>X 1 X (a b)</p><p>X</p><p>2(X a) X X X (a b)</p><p> −</p><p>− = − + ⇒ </p><p> </p><p>− − = − +</p><p> 2</p><p>02X 2 2</p><p>0 04X a 2a X− + − 2</p><p>0X=</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2a</p><p>X (a b) X</p><p>3a b</p><p>− + ⇒ =</p><p>−</p><p>Resposta correta: C</p><p>15. Sabemos que:</p><p>2 3</p><p>w w rad/s</p><p>T 4</p><p>π</p><p>= ⇒ = π</p><p>A partir daí podemos montar as equações horárias:</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>x (t) acos t</p><p>4 12</p><p>3</p><p>x (t) acos t</p><p>4</p><p>  π</p><p>= π +     ⇒   = π   </p><p>( ) ( )1 2</p><p>9 88 8X X acos acos</p><p>9 9 12 12</p><p>   π π</p><p>⇒ − = −      </p><p>( ) ( )  −</p><p>⇒ − = − − = −  1 2</p><p>a 2 a8 8X X 0,21 a</p><p>9 9 2 2</p><p>Resposta correta: D</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>031.388 - 1001 – 24/3/21 – REV.: CARLA ARAÚJO</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: EnErgia no MHs</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>003.191 – 129400/18</p><p>AULAS 24 E 25</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Energia no MHS</p><p>Energia no MHS</p><p>Já estudamos as funções horárias, já sabemos o tipo de força</p><p>que gera MHS, então estudaremos o balanço energético.</p><p>Primeiramente, esta força é conservativa (não dissipa energia), o</p><p>peso e normal não realizam trabalho. Podemos concluir que a energia</p><p>é conservada. Temos, portanto, um sistema conservativo. Então, qual</p><p>seria a energia total? Depende da massa do bloco? Depende da</p><p>constante elástica?</p><p>A energia total é dividida em cinética e potencial elástica. Logo:</p><p>E</p><p>c</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>mv2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>mω2 A2 sen2 (ωt + φ);</p><p>E</p><p>p</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>kx2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2 cos2 (ωt + φ);</p><p>E</p><p>t</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2 [sen2 (ωt + φ) + cos2 (ωt + φ)] (E</p><p>t</p><p>= E</p><p>c</p><p>+ E</p><p>p</p><p>);</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2</p><p>.</p><p>Concluímos então que a energia total de um MHS só depende</p><p>da constante da mola e da amplitude:</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2</p><p>0– A x</p><p>x</p><p>A</p><p>Energia</p><p>E = E</p><p>p</p><p>+ E</p><p>c</p><p>E</p><p>p E</p><p>c</p><p>Pontos em que</p><p>1</p><p>2</p><p>· E</p><p>T</p><p>= E</p><p>C</p><p>= E</p><p>p</p><p>.</p><p>A energia total depende de quanto você puxa o bloco para</p><p>depois soltar. Note que as equações de energia cinética e potencial são</p><p>função de seno e cosseno, respectivamente. Quando uma é máxima</p><p>a outra é mínima. Isso significa que as energias estão se alternando,</p><p>porém, mantendo a soma constante.</p><p>Atento, agora para dois pontos importantes:</p><p>• A velocidade</p><p>é máxima quando o seno é máximo, ou seja, na</p><p>posição de equilíbrio (x = 0);</p><p>• A aceleração é máxima quando o cosseno é máximo, ou seja, nas</p><p>posições de retorno (x = ± A).</p><p>π/2</p><p>π</p><p>3π/2</p><p>a</p><p>máx</p><p>C</p><p>a</p><p>máx</p><p>a</p><p>máx</p><p>v</p><p>máx</p><p>v</p><p>máx</p><p>– A θ A</p><p>x</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.191 – 129400/18</p><p>t x v a E</p><p>c</p><p>E</p><p>p</p><p>0 A 0 – ω2 A 0</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2</p><p>T/4 0 – ωA 0</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2 0</p><p>T/2 – A 0 ω2 A 0</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2</p><p>3T/4 0 ωA 0</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2 0</p><p>T A 0 – ω2 A 0</p><p>1</p><p>2</p><p>kA2</p><p>Uma arma muito efetiva para resolver alguns problemas é o</p><p>estudo da equação de energia. Usaremos o fato de a energia total ser</p><p>constante e partiremos da equação de energia para conseguir achar</p><p>a equação característica do MHS. Veja a seguir.</p><p>A energia total de um sistema massa-mola, em uma posição x,</p><p>é dada por</p><p>E mx Kxt = +</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2�</p><p>Derivando em relação ao tempo:</p><p>0</p><p>02</p><p>= +</p><p>+ =</p><p>mxx Kxx</p><p>x x</p><p>��� �</p><p>�� ω</p><p>Ora, quer dizer que se não soubermos como escrever a</p><p>força, mas conhecermos a energia, conseguimos chegar à equação</p><p>característica? Sim, de fato. Você encontrará problemas que a solução</p><p>ficará bem mais simples se atacar por este método.</p><p>Observe que isso se deve à forma do potencial dependente de x2.</p><p>Esse é um potencial parabólico, assim, para qualquer potencial na</p><p>forma de parábola, teremos MHS.</p><p>Muitas curvas de potencial podem ser aproximadas para uma</p><p>parábola nas proximidades de um equilíbrio estável. É por isso que,</p><p>constantemente, deparamo-nos com a seguinte frase (pequenas</p><p>oscilações).</p><p>Exercícios</p><p>01. (UFRGS-RS) Dois corpos de massas diferentes, cada um preso a</p><p>uma mola distinta, executam movimentos harmônicos simples de</p><p>mesma frequência e têm a mesma energia mecânica.</p><p>Nesse caso,</p><p>A) o corpo de menor massa oscila com menor período.</p><p>B) o corpo de menor massa oscila com maior período.</p><p>C) os corpos oscilam com amplitudes iguais.</p><p>D) o corpo de menor massa oscila com menor amplitude.</p><p>E) o corpo de menor massa oscila com maior amplitude.</p><p>02 Um corpo de massa m</p><p>1</p><p>, sobre uma superfície horizontal sem</p><p>atrito, oscila com a amplitude A, preso a certa mola de constante</p><p>força k. Quando a mola está com a elongação máxima e o corpo</p><p>momentaneamente em repouso, um segundo corpo de massa</p><p>m</p><p>2</p><p>é superposto a ele.</p><p>A) Qual o menor valor do coeficiente de atrito estático µ</p><p>e</p><p>entre</p><p>os dois corpos para que o segundo não escorregue sobre o</p><p>primeiro?</p><p>B) Explique como a energia total E, a amplitude A, a frequência</p><p>angular e o período T do sistema se modificam pela colocação</p><p>de m</p><p>2</p><p>sobre m</p><p>1</p><p>, admitindo que o coeficiente de atrito seja</p><p>suficiente para não haver escorregamento.</p><p>03. Um corpo de massa M está preso a uma mola de massa m e</p><p>constante k. Calcule o período de oscilações do movimento.</p><p>M</p><p>m</p><p>04. (ITA – Adaptada) Duas molas ideais, sem massa e de constantes</p><p>de elasticidade k</p><p>1</p><p>e k</p><p>2</p><p>, sendo k</p><p>1</p><p>< k</p><p>2</p><p>, acham-se dependuradas no</p><p>teto de uma sala, como mostra a figura abaixo (suponha que a</p><p>figura representa a posição de equilíbrio). Em suas extremidades</p><p>livres, penduram-se massas idênticas. Observa-se que, quando</p><p>os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma</p><p>velocidade máxima. Indicando por A</p><p>1</p><p>e A</p><p>2</p><p>as amplitudes dos</p><p>movimentos e por E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>as energias mecânicas dos sistemas (I)</p><p>e (II), respectivamente, podemos dizer que:</p><p>k1</p><p>m</p><p>( I ) ( II )</p><p>m</p><p>k2</p><p>Figura: Esferas presas às molas, representando a posição</p><p>de equilíbrio.</p><p>I. A</p><p>1</p><p>> A</p><p>2</p><p>;</p><p>II. E</p><p>1</p><p>> E</p><p>2</p><p>;</p><p>III. Os períodos dos dois sistemas são iguais, pois as massas são</p><p>idênticas;</p><p>IV. A aceleração máxima dos dois casos são iguais.</p><p>Assinale a alternativa certa.</p><p>A) Somente os itens I e III são verdadeiros.</p><p>B) Somente os itens I e IV são verdadeiros.</p><p>C) Somente os itens II e IV são verdadeiros.</p><p>D) Somente os itens I e II são verdadeiros.</p><p>E) Somente os itens III e IV são verdadeiros.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>003. 191 – 129400/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>05. (IME) Um corpo com massa m, inicialmente em repouso sobre</p><p>uma superfície horizontal e preso a uma mola de constante</p><p>elástica k, representado na figura a seguir, recebe um impulso I,</p><p>para a direita, dando início a um Movimento Harmônico Simples</p><p>(MHS). Inicialmente não existe atrito entre o corpo e a superfície</p><p>horizontal devido à presença de um lubrificante. Contudo, após</p><p>1000 ciclos do MHS, o lubrificante perde eficiência e passa a existir</p><p>atrito constante entre o corpo e a superfície horizontal. Diante do</p><p>exposto, determine:</p><p>k corpo</p><p>Dados:</p><p>• massa do corpo: m = 2 kg;</p><p>• impulso aplicado ao corpo: I = 4 kg.m/s;</p><p>• constante elástica da mola: k = 8 N/m;</p><p>• coeficiente de atrito: µ = 0,1;</p><p>• aceleração da gravidade: g = 10 m/s2</p><p>A) a máxima amplitude de oscilação;</p><p>B) o módulo da aceleração máxima;</p><p>C) a máxima energia potencial elástica;</p><p>D) a distância total percorrida pelo corpo até que esse pare</p><p>definitivamente.</p><p>06. Sobre uma cinta horizontal de transporte, que se move com</p><p>velocidade u, encontra-se um bloco de massa m unido a uma</p><p>parede imóvel por uma corda de constante elástica k. Suponhamos</p><p>que, no instante inicial, a mola não está deformada e a massa se</p><p>desloca junto com a cinta. Sabendo que o coeficiente de atrito</p><p>da cinta vale µ (cinético e estático), determine a amplitude das</p><p>oscilações que irão surgir.</p><p>k m</p><p>u</p><p>g</p><p>A) u m k</p><p>B) µu m k</p><p>C) u m kµ</p><p>D) ( )u1+ µ m k</p><p>E) ( )u1− µ m k</p><p>07. Uma dobradiça em forma de quadrado encontra-se em uma</p><p>mesa horizontal e lisa. O ponto A é fixado na parede enquanto</p><p>os vértices B e C são ligados por uma mola de rigidez k. Encontre o</p><p>período de pequenas oscilações do sistema quando se coloca uma</p><p>massa m no vértice H. Considere a massa da mola e das hastes</p><p>desprezíveis. Não existe fricção entre as hastes.</p><p>B H</p><p>CA</p><p>A) T</p><p>m</p><p>k</p><p>=</p><p>π</p><p>5</p><p>B) T</p><p>m</p><p>k</p><p>= π</p><p>5</p><p>C) T</p><p>m</p><p>k</p><p>= 2π D) T</p><p>m</p><p>k</p><p>= π</p><p>3</p><p>E) T</p><p>m</p><p>k</p><p>= π</p><p>5</p><p>08. Uma mola de massa desprezível tem constante elástica k e</p><p>comprimento L</p><p>0</p><p>quando não esticada. A mola é suspensa</p><p>verticalmente por uma das extremidades e na outra é preso um</p><p>corpo de massa m. Inicialmente, o corpo é mantido em repouso,</p><p>em uma posição tal que a força exercida pela mola seja nula.</p><p>Em seguida, o corpo é abandonado com velocidade inicial nula.</p><p>Desprezando as forças dissipativas, o comprimento máximo L da</p><p>mola será dado por</p><p>m</p><p>0</p><p>L</p><p>0</p><p>L</p><p>0</p><p>A) L = L</p><p>0</p><p>+</p><p>mg</p><p>k</p><p>B) L =</p><p>mg</p><p>k</p><p>C) L = L</p><p>0</p><p>+</p><p>2mg</p><p>k</p><p>D) L =</p><p>2mg</p><p>k</p><p>E) L =</p><p>1</p><p>2</p><p>0L</p><p>mg</p><p>k</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>09. Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K,</p><p>executa um movimento harmônico simples ao longo de um eixo</p><p>horizontal Ox. As elongações do corpo variam de x = – A até</p><p>x = A. Determine a elongação quando a energia cinética do bloco</p><p>se iguala à energia potencial elástica, indicando o resultado em</p><p>um gráfico dessas energias em função da posição.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>003.191 – 129400/18</p><p>10. Um bloco com 4 kg de massa está em repouso, apoiado em um</p><p>plano horizontal sem atrito, preso a uma mola ideal de constante</p><p>elástica 400 N/m (figura a). Quando o bloco é afastado 0,5 m</p><p>de sua posição inicial e abandonado, ele oscila em movimento</p><p>harmônico simples (figura b). Determine:</p><p>A)</p><p>O</p><p>O</p><p>x (m)</p><p>B)</p><p>– 0,5 m x (m)</p><p>A) o período do movimento do bloco;</p><p>B) a energia mecânica do sistema massa-mola;</p><p>C) a representação gráfica do valor algébrico da força resultante,</p><p>em função da elongação;</p><p>D) a representação gráfica da energia potencial e da energia</p><p>cinética, em função da elongação.</p><p>11. A suspensão de massa com uma mola suspenso do teto é</p><p>puxado para baixo e liberado. A massa , em seguida, oscila com</p><p>movimento harmônico simples do período de T. O gráfico mostra</p><p>como a sua distância, a partir do teto varia com o tempo. O que</p><p>pode ser deduzido a partir do gráfico?</p><p>Distância do teto (cm)</p><p>tempo</p><p>100</p><p>30</p><p>(0,0) T</p><p>4</p><p>T</p><p>2</p><p>Onde T é o período do movimento.</p><p>A) A amplitude das oscilações é de 70 cm.</p><p>B) A energia cinética é máxima em t = T/2.</p><p>C) A velocidade é máxima em t = T/4</p><p>D) O módulo da força restauradora sobre a</p><p>massa aumenta entre</p><p>t = 0 e t = T/4.</p><p>E) A energia potencial elástica será máxima em t = T/4.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06</p><p>E – – D – A</p><p>07 08 09 10 11</p><p>C C – – C</p><p>– Demonstração.</p><p>Anotações</p><p>D</p><p>ire</p><p>to</p><p>r/</p><p>Su</p><p>pe</p><p>rv</p><p>is</p><p>or</p><p>: M</p><p>ar</p><p>ce</p><p>lo</p><p>P</p><p>en</p><p>a</p><p>–</p><p>A</p><p>ut</p><p>or</p><p>: C</p><p>ar</p><p>lo</p><p>s</p><p>Ed</p><p>ua</p><p>rd</p><p>o</p><p>–</p><p>D</p><p>ig</p><p>ita</p><p>do</p><p>ra</p><p>: C</p><p>in</p><p>th</p><p>ia</p><p>–</p><p>R</p><p>ev</p><p>is</p><p>or</p><p>a:</p><p>S</p><p>ar</p><p>ah</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: Pêndulos</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>031.137 - 1001/21</p><p>AULAS 26 e 27</p><p>EAD – ITA-IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Pêndulos</p><p>Pêndulos Simples</p><p>O pêndulo simples é uma das mais cobradas aplicações de</p><p>oscilações harmônicas simples em vestibulares. Trata-se de uma</p><p>situação descrita da seguinte maneira: considere uma partícula,</p><p>de massa m, presa por um fio ideal, de comprimento l, de tal forma</p><p>que a outra extremidade se encontre fixa ao teto.</p><p>Ponto de</p><p>suspensão</p><p>L</p><p>m</p><p>Desprezaremos todas as forças externas, como resistência do ar,</p><p>viscosidades etc. As únicas forças que serão levadas em conta, nesse</p><p>caso, são peso e tração. Veja a configuração a seguir.</p><p>θ</p><p>θ</p><p>s = 1.θ</p><p>L</p><p>→</p><p>T</p><p>→</p><p>F</p><p>g</p><p>m</p><p>F</p><p>g</p><p>senθ</p><p>F</p><p>g</p><p>cosθ</p><p>Perceba que a componente do peso radial não produz</p><p>aceleração tangencial. Analisaremos somente a componente</p><p>perpendicular à tração. Veja:</p><p>–mg senθ = mα</p><p>Daí, para ângulos pequenos, podemos fazer a seguinte</p><p>aproximação:</p><p>–mgθ = mlα</p><p>Onde α é a aceleração angular. Podemos reescrever a equação</p><p>acima da seguinte forma:</p><p>α θ+ =</p><p>g</p><p>l</p><p>0</p><p>Essa equação também representa um MHS. Ao invés da</p><p>aceleração linear, temos a aceleração angular. A mesma substituição</p><p>é feita para a posição: trocamos a posição linear (x) pela posição</p><p>angular (θ). Podemos ainda concluir que a frequência angular será</p><p>calculada por:</p><p>ω =</p><p>g</p><p>l</p><p>A partir dessa relação, afirmamos que o período de um pêndulo</p><p>simples é determinado pela seguinte equação:</p><p>T</p><p>l</p><p>g</p><p>= 2π</p><p>Importante observar que, mais uma vez, não depende da</p><p>massa. Nesse caso, só depende do comprimento e da gravidade.</p><p>Lembre-se que estamos considerando pequenas oscilações!</p><p>Essa mesma fórmula pode ser aplicada para a determinação</p><p>do período de uma partícula que (continuo batendo na mesma tecla)</p><p>oscila em pequenas amplitudes no interior de um hemisfério. Veja:</p><p>R</p><p>Nesse caso, o comprimento do fio seria substituído por R e</p><p>quem faria o papel da tração seria a normal.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.137 - 1001/21</p><p>Pêndulo físico</p><p>A partir desse ponto, podemos começar a considerar mais</p><p>detalhes para o nosso problema. Imagine que a massa da corda não</p><p>é mais desprezível, ou melhor, imagine uma distribuição de massa</p><p>contínua ao longo de um corpo. Veja a situação a seguir.</p><p>O</p><p>G</p><p>h</p><p>F</p><p>g</p><p>senθ</p><p>F</p><p>g</p><p>cosθ</p><p>→</p><p>F</p><p>g</p><p>θ</p><p>θ</p><p>A figura representa um pêndulo físico. O ponto O está fixo e</p><p>um corpo extenso oscila em torno de O. A equação, para esse caso,</p><p>deve ser da seguinte maneira:</p><p>τ</p><p>res</p><p>= Iα</p><p>A Segunda Lei de Newton para as rotações diz que o torque</p><p>resultante das forças externas (τ</p><p>res</p><p>), em relação a um dado ponto,</p><p>é igual ao produto do seu momento de inércia (I) pela sua aceleração</p><p>angular (α), também em relação a esse ponto. Nesse material não</p><p>entraremos a fundo na dinâmica rotacional, mas o aluno deve saber</p><p>utilizar corretamente tal equação e adaptar esse modelo de solução</p><p>para desenvolver algumas questões.</p><p>Dando continuidade ao caso anterior, podemos escrever que:</p><p>–mgh senθ = Iα</p><p>Através da aproximação de sen θ ≈ θ, obtemos:</p><p>α θ+ =</p><p>mgh</p><p>I</p><p>0</p><p>Onde o período passa a ser agora igual a:</p><p>T</p><p>I</p><p>mgh</p><p>= 2π</p><p>Exercícios</p><p>01. Um pêndulo simples realiza oscilações de pequena amplitude na</p><p>superfície da Terra, com período igual a 2,0 s.</p><p>A) Se esse pêndulo realizasse oscilações de pequena amplitude</p><p>na superfície da Lua, qual seria o seu período? Considere</p><p>g</p><p>Lua</p><p>= 16 g</p><p>Terra</p><p>.</p><p>B) Esse pêndulo oscilaria se estivesse preso ao teto de um elevador</p><p>em queda livre?</p><p>02. Certo pêndulo simples, que bate o segundo em Paris, onde</p><p>g = 9,81 m/s2, foi transportado para o equador terrestre e, então,</p><p>verificou-se que o número de oscilações (de pequena amplitude)</p><p>realizadas pelo referido pêndulo, por dia, ficou diminuído de</p><p>125 em relação ao número de oscilações (também de pequena</p><p>amplitude) que ele realizava em Paris, por dia. Pode-se, então,</p><p>afirmar que o módulo da aceleração da gravidade, em um ponto</p><p>qualquer do equador terrestre, tem valor</p><p>a) igual a 9,75 m/s2.</p><p>b) igual a 9,80 m/s2.</p><p>c) igual a 9,85 m/s2.</p><p>d) igual a 9,90 m/s2.</p><p>e) diferente de qualquer dos acima especificados.</p><p>03. Um pêndulo simples, de comprimento L, está preso em um</p><p>carrinho que desce sem atrito por um plano inclinado de θ (figura</p><p>abaixo). Calcule o período de oscilação do pêndulo no carrinho.</p><p>θ</p><p>LL</p><p>04. A uma polia, de raio r e massa desprezível, está fixa uma barra</p><p>de comprimento l e massa também desprezível com uma bola</p><p>de massa m na extremidade. Existe um fio enrolado na polia que</p><p>possui uma massa M na extremidade livre (ver figura a seguir).</p><p>Determine o período das oscilações.</p><p>m</p><p>α</p><p>M</p><p>r</p><p>l</p><p>05. Encontre o período de oscilações do pêndulo abaixo.</p><p>l 1</p><p>l 2</p><p>m</p><p>1</p><p>β</p><p>m</p><p>2</p><p>As massas são m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>e a barra possui peso desprezível.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.137 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. Ao ponto O de uma parede que forma um pequeno ângulo α com a</p><p>vertical, prende-se através de um fio, de comprimento L, uma esfera.</p><p>Em seguida, inclina-se o fio, com a bola, de um ângulo β (β < α)</p><p>e abandona-se o conjunto. Considerando absolutamente elástico</p><p>o choque da bola com a parede, encontre o período das oscilações</p><p>desse pêndulo.</p><p>α β</p><p>07. Um pêndulo é formado por uma haste rígida (de massa desprezível</p><p>e comprimento l) e uma massa m presa em sua extremidade</p><p>inferior. Ele pode oscilar livremente em torno do seu ponto de</p><p>suspensão e a gravidade local é g. Prende-se uma mola, de</p><p>constante elástica k, a uma distância h abaixo do ponto de</p><p>suspensão.</p><p>k</p><p>h</p><p>L</p><p>m</p><p>Suponha que a mola mantenha-se sempre horizontal (isto é,</p><p>podemos imaginar que a mola seja muito longa) e que ela se</p><p>encontre relaxada quando o pêndulo estiver vertical.</p><p>A) Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo em torno</p><p>de sua posição de equilíbrio. Assuma que o movimento esteja</p><p>restrito ao plano da mola-haste.</p><p>B) Se a haste também tivesse uma massa m’ homogeneamente</p><p>distribuída, como isso entraria na expressão para o período?</p><p>08. O sistema representado na figura a seguir oscila entrando e</p><p>saindo no plano do papel. As cordas não possuem massa,</p><p>são perpendiculares entre si e seus comprimentos são l</p><p>1</p><p>e l</p><p>2</p><p>,</p><p>respectivamente. Determine o período de oscilação do sistema</p><p>em função de g, l</p><p>1</p><p>, l</p><p>2</p><p>e a.</p><p>a</p><p>b</p><p>l</p><p>1</p><p>l</p><p>2</p><p>09. Sobre uma superfície esférica de raio R, estão duas partículas</p><p>de mesma massa ligadas por uma haste rígida (sem massa) de</p><p>comprimento 2l. Calcule a frequência angular das pequenas</p><p>oscilações. Considere a gravidade igual a g.</p><p>g 2 l</p><p>A) ω2</p><p>2</p><p>2</p><p>1= −</p><p>g</p><p>R</p><p>l</p><p>R</p><p>B) ω2 =</p><p>g</p><p>R</p><p>C) ω2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>g</p><p>R</p><p>l</p><p>R</p><p>D) ω2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>= −</p><p>g</p><p>R</p><p>l</p><p>R</p><p>E) n.d.a.</p><p>10. Uma plataforma de massa M possui uma haste vertical e na</p><p>extremidade superior existe um cordão com uma massa m presa</p><p>à outra extremidade. Considere que não há atrito entre a</p><p>plataforma e o solo. Determine o período para pequenas</p><p>oscilações do sistema.</p><p>g</p><p>M</p><p>m</p><p>l</p><p>11. Determine o período das pequenas oscilações de um pêndulo</p><p>simples, de comprimento l = 21 cm, suspenso em um ponto O,</p><p>que se move aceleradamente com aceleração de módulo w = g/2.</p><p>A aceleração</p><p>�</p><p>w faz um ângulo de 120° com</p><p>�</p><p>g.</p><p>g</p><p>β</p><p>0</p><p>w</p><p>l</p><p>A) 0,8 s</p><p>B) 0,4 s</p><p>C) 1,0 s</p><p>D) 1,4 s</p><p>E) 1,8 s</p><p>></p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.137 - 1001/21</p><p>12. (IME) A figura abaixo apresenta um pêndulo simples, constituído</p><p>por um corpo de massa 4 g e carga + 50 μC e um fio inextensível</p><p>de 1 m. Esse sistema se encontra sob a ação de um campo elétrico �</p><p>E de 128 kN/C, indicado na figura. Considerando que o pêndulo</p><p>oscile com amplitude pequena</p><p>e que o campo gravitacional seja</p><p>desprezível, o período de oscilação, em segundos, é:</p><p>m</p><p>q</p><p>E</p><p>A)</p><p>π</p><p>20</p><p>B)</p><p>π</p><p>10</p><p>C)</p><p>π</p><p>5</p><p>D)</p><p>2</p><p>5</p><p>π</p><p>E)</p><p>4</p><p>5</p><p>π</p><p>13. (ITA-SP) Um relógio de pêndulo, construído de um material de</p><p>coeficiente de dilatação linear α, foi calibrado a uma temperatura</p><p>de 0 °C para marcar 1 s exato ao pé de uma torre de altura h.</p><p>Elevando-se o relógio até o alto da torre, observa-se um</p><p>certo atraso, mesmo mantendo-se a temperatura constante.</p><p>Considerando R o raio da Terra, L o comprimento do pêndulo a 0 °C</p><p>e que o relógio permaneça ao pé da torre, então a temperatura</p><p>para a qual se obtém o mesmo atraso é dada pela relação</p><p>A)</p><p>2h</p><p>αR</p><p>B)</p><p>h R h</p><p>R</p><p>( )2</p><p>2</p><p>+</p><p>α</p><p>C)</p><p>( ) LRR L</p><p>LR</p><p>+ −</p><p>α</p><p>D)</p><p>R R</p><p>R h</p><p>( h )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>+α</p><p>E)</p><p>2R h</p><p>R</p><p>+</p><p>α</p><p>14. (Unicamp-SP) Um relógio de pêndulo marca o tempo corretamente</p><p>quando funciona à temperatura de 20 °C. Quando este relógio</p><p>se encontra a uma temperatura de 30 °C, seu período aumenta</p><p>devido à dilatação da haste do pêndulo.</p><p>a) Ao final de 24 horas operando a 30 °C, o relógio atrasa 8,64 s.</p><p>Determine a relação entre os períodos τ</p><p>30</p><p>a 30 °C e τ</p><p>20</p><p>a 20 °C,</p><p>isto é, τ</p><p>30</p><p>/τ</p><p>20</p><p>.</p><p>b) Determine o coeficiente de expansão térmica linear do material</p><p>do qual é feita a haste do pêndulo. Use a aproximação.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07</p><p>* * * * * *</p><p>08 09 10 11 12 13 14</p><p>* A * A A B *</p><p>Comentário</p><p>* 01. A) T</p><p>L</p><p>g</p><p>T</p><p>L T</p><p>s</p><p>lua</p><p>lua</p><p>lua</p><p>g</p><p>terra</p><p>terra</p><p>=</p><p>= = =</p><p>2</p><p>2</p><p>16 4</p><p>0 5</p><p>π</p><p>π ,</p><p>T</p><p>L</p><p>g</p><p>T</p><p>L T</p><p>s</p><p>lua</p><p>lua</p><p>lua</p><p>g</p><p>terra</p><p>terra</p><p>=</p><p>= = =</p><p>2</p><p>2</p><p>16 4</p><p>0 5</p><p>π</p><p>π ,</p><p>B) Não. Pois, aparentemente a gravidade aparente seria nula.</p><p>02. Sendo N o número de oscilacões do pêndulo em um dia em</p><p>Paris:</p><p>NT</p><p>N</p><p>T</p><p>T T</p><p>P</p><p>E</p><p>E P</p><p>= −</p><p>=</p><p>−</p><p>(N )TE125</p><p>125</p><p>Daí, tendo em mente que T</p><p>P</p><p>= 1 s:</p><p>N</p><p>t</p><p>T</p><p>T</p><p>T T</p><p>T</p><p>tT</p><p>t T</p><p>s</p><p>P</p><p>E</p><p>E P</p><p>E</p><p>P</p><p>P</p><p>= =</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>≈</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>125</p><p>125</p><p>1 00145,</p><p>Por fim, como o comprimento do pêndulo não muda, escreve-se:</p><p>gE E gP P gET T m s2 2 29 77= → ≈ , /</p><p>03. Nessa situação, é mais interessante trabalhar no referencial</p><p>do carrinho que desce o plano inclinado. Como o referencial</p><p>é acelerado, o pêndulo sente uma força igual a mgsen θ no</p><p>sentido de subida do plano. Essa força, mais a gravidade padrão,</p><p>resultarão em uma gravidade “aparente” sentida pelo pêndulo,</p><p>de módulo igual a gcos θ e perpendicular ao plano, com sentido</p><p>para baixo. Portanto, o período de oscilacão é dado por:</p><p>T</p><p>L</p><p>g</p><p>= 2π</p><p>θcos</p><p>04. Deslocando a massa M uma pequena distância y para baixo,</p><p>temos:</p><p>M</p><p>d y</p><p>dt</p><p>T Mg</p><p>2</p><p>2</p><p>= − +</p><p>Ja para a massa m, tendo em mente que a polia não tem massa:</p><p>ml</p><p>d</p><p>dt</p><p>Tr mglsen2</p><p>2</p><p>2</p><p>= = −</p><p>α</p><p>α</p><p>Mas sabendo que o vínculo da questão nos da:</p><p>d</p><p>dt</p><p>r</p><p>d y</p><p>dt</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>α</p><p>=</p><p>B</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.137 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>Substituindo a segunda e a terceira equação na primeira:</p><p>Mgr</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>mgl</p><p>ml Mr</p><p>Mgr</p><p>ml</p><p>− + =</p><p>+</p><p>+</p><p>≈</p><p>(ml mglsen ) Mr2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2 2</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>++ Mr2</p><p>Portanto:</p><p>T</p><p>ml Mr</p><p>mgl</p><p>=</p><p>+</p><p>2</p><p>2 2</p><p>π</p><p>05. A energia do sistema é descrita por:</p><p>E m m m gl= + − −</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>21 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 1 2 2(l ) (l ) cos m gl cosβ β β β</p><p>Considerando que β é pequeno e aproximando o cosseno em</p><p>segunda ordem, alem de ignorar os termos constantes:</p><p>E</p><p>T</p><p>= + + +</p><p>=</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1 1 2 2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>(m l m l ) (m gl m gl )</p><p>m l m l</p><p>m gl</p><p>β β</p><p>π</p><p>++ m gl2 2</p><p>2</p><p>06. O tempo total transcorrido em uma oscilacão é:</p><p>T = 2(t + t’)</p><p>Onde t e o tempo em que o pêndulo leva pra percorrer o ângulo</p><p>β e t’ o ângulo α. Daí, sabemos que:</p><p>t</p><p>L</p><p>g</p><p>=</p><p>π</p><p>2</p><p>Por outro lado, é interessante analisar o movimento em graco</p><p>cujo raio da circunferência é A = Lβ.</p><p>AA</p><p>x</p><p>φ O</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>Figure 1: analise do movimento.</p><p>Daí, considerando que a distância x e aquela que o pêndulo</p><p>percorre do ponto mais baixo até se chocar com a parede, temos:</p><p>x</p><p>A</p><p>=</p><p>α</p><p>β</p><p>Por outro lado:</p><p>sen</p><p>x</p><p>A</p><p>arcsenφ</p><p>α</p><p>β</p><p>φ</p><p>α</p><p>β</p><p>= = → =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Por fim:</p><p>t</p><p>arcsen</p><p>g</p><p>L</p><p>’ = =</p><p></p><p></p><p></p><p>φ</p><p>ω</p><p>α</p><p>β</p><p>Logo</p><p>T</p><p>L</p><p>g</p><p>= +( arcsen( )) )π</p><p>α</p><p>β</p><p>2</p><p>07. A) Para pequenas oscilações, podemos escrever a energia do</p><p>sistema sendo como:</p><p>E mL kh mgL= + −</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2 2θ θ θcos</p><p>Aproximando o cosseno até segunda ordem e ignorando os</p><p>termos constantes:</p><p>E mL kh mgL= + +</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2 2θ θ( )</p><p>Logo:</p><p>ω =</p><p>+kh mgL</p><p>mL</p><p>2</p><p>2</p><p>B) A diferença é que agora seria necessário considerar um</p><p>termo adicional na enérgia cinética, correspondente ao</p><p>movimento de rotação da haste em torno do ponto de</p><p>apoio, e a enérgia potencial gravitacional associada ao centro</p><p>de massa da haste. Logo:</p><p>E I m g</p><p>L</p><p>mL</p><p>E I kh</p><p>= − + + +</p><p>≈ + +</p><p>1</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>θ θ θ θ</p><p>θ</p><p>’ cos (kh mgL)</p><p>(mL ) ( 22 2</p><p>2</p><p>+ +mgL m’g )</p><p>L</p><p>θ</p><p>De forma que ω agora é, tendo em mente que I m L=</p><p>1</p><p>3</p><p>2’</p><p>ω =</p><p>+ +</p><p>+</p><p>kh mgL m g</p><p>L</p><p>mL</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>’</p><p>m’L</p><p>08. Note que, como o movimento se dá no plano perpendicular a</p><p>figura, então o triângulo formado pelos dois pontos de apoio</p><p>do fio e o ponto onde se encontra a massa não é deformado,</p><p>sendo apenas rotacionado em relação ao segmento que liga os</p><p>dois pontos de apoio. Dessa forma, a situação e análoga a um</p><p>pêndulo simples em que o comprimento “equivalente” do fio</p><p>é igual ao segmento vertical que liga o ponto onde se encontra</p><p>a massa e o ponto de intersecção com a reta que liga os dois</p><p>pontos de apoio. Essa distância pode ser achada com uma lei</p><p>dos senos no triângulo citado anteriormente, de forma que:</p><p>L</p><p>l l</p><p>aeq = 12</p><p>Daí:</p><p>T</p><p>l l</p><p>ag</p><p>= 2 12π</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.137 - 1001/21</p><p>09. Considerando que, no equilbrio, o ângulo entre o segmento</p><p>que liga o centro da casca esférica e uma partícula, e a vertical</p><p>é θ , deslocando então uma das esferas de um pequeno ângulo</p><p>δ da posição de equilíbrio, temos:</p><p>E mR mgR</p><p>mR mgR</p><p>= − + + −</p><p>= −</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>δ θ δ θ δ</p><p>δ θ δ</p><p>(cos( ) cos( ))</p><p>E ( ) cos cos</p><p>Aproximando o cosseno em segunda ordem, já que é</p><p>sucientemente pequeno, alem de ignorar os termos constantes,</p><p>temos:</p><p>E R≈ +</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>22 2 2( m ) ( mgRcos )δ θ δ</p><p>Logo, chega-se em, lembrando que sen</p><p>l</p><p>R</p><p>θ = :</p><p>ω θ2</p><p>2</p><p>21= = −</p><p>g</p><p>R</p><p>g</p><p>R</p><p>l</p><p>R</p><p>cos</p><p>10. Inicialmente, trabalhando no referencial do solo, temos:</p><p>MX mx MX mx= → =� �</p><p>Por outro lado, os vínculos no referencial da massa M nos dão:</p><p>tg</p><p>X x</p><p>y</p><p>y l</p><p>θ</p><p>θ</p><p>=</p><p>+</p><p>+ + =</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �(X x)2 2 2 2</p><p>Essas três relações nos dão que:</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>y l</p><p>x</p><p>l sen</p><p>m</p><p>M</p><p>X</p><p>m</p><p>M</p><p>l sen</p><p>m</p><p>M</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>cos</p><p>1</p><p>1</p><p>Portanto, como a energia do sistema e descrita por:</p><p>E m MX mgl= + + −</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2(x y ) cos� � � θ</p><p>Temos, após realizar as devidas substituições e sabendo que θ é</p><p>suficientemente pequeno:</p><p>E</p><p>ml</p><p>m</p><p>M</p><p>Ml</p><p>T</p><p>Ml</p><p>M m g</p><p>≈</p><p>+</p><p>⋅ +</p><p>=</p><p>+</p><p>→ =</p><p>+</p><p>1</p><p>2 1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>( ) (mgl)</p><p>(M m)g</p><p>( )</p><p>θ θ</p><p>ω π</p><p>11. A gravidade aparente sentida pelo massa no pêndulo e dada</p><p>por</p><p>� � �</p><p>g gap = − ω.</p><p>g g</p><p>g</p><p>g</p><p>g</p><p>g gap ap</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>7</p><p>2</p><p>= + + → =( )</p><p>Daí, o período para pequenas oscilações e:</p><p>T</p><p>L</p><p>g</p><p>s</p><p>ap</p><p>= ≈2 0 8π ,</p><p>12. A equação do MHS para essa situação fica, ja que a força elétrica</p><p>tera a mesma direção e sentido do peso no caso mais tradicional</p><p>de pêndulo simples:</p><p>d</p><p>dt</p><p>qE</p><p>ml</p><p>T</p><p>ml</p><p>qE</p><p>s</p><p>2</p><p>2 0</p><p>2</p><p>20</p><p>θ</p><p>θ</p><p>π</p><p>π</p><p>+ ≈</p><p>= =</p><p>13. Como a gravidade no topo da torre e dada por:</p><p>g</p><p>GM</p><p>R h</p><p>g</p><p>h</p><p>R</p><p>’</p><p>( ) ( )</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>2</p><p>21</p><p>Daí, o novo período de oscilação será:</p><p>T</p><p>h</p><p>R</p><p>L</p><p>g</p><p>’ ( )= +2 1π</p><p>Igualando esse período ao novo período obtido a partir da</p><p>dilatação da haste do pêndulo na base da torre, temos:</p><p>2 1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>π π</p><p>α</p><p>α</p><p>( )</p><p>( T)</p><p>( R h)</p><p>+ =</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>h</p><p>R</p><p>L</p><p>g</p><p>L</p><p>g</p><p>T</p><p>h</p><p>R</p><p>14. A) Considerando que o pêndulo realize N oscilações por dia,</p><p>então:</p><p>N</p><p>T20</p><p>= ∆t</p><p>dia</p><p>Por outro lado, como o relogio atrasa ∆t</p><p>atraso</p><p>= 8,64 s, temos:</p><p>N N t</p><p>T</p><p>T</p><p>t</p><p>t</p><p>T T Atraso</p><p>Atraso</p><p>dia</p><p>30 20</p><p>30</p><p>20</p><p>1 1 0001</p><p>− =</p><p>= + =</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>,</p><p>B) Temos:</p><p>1 30</p><p>20</p><p>+ =α θ∆</p><p>T</p><p>T</p><p>Como α é suficientemente pequeno, temos:</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>10 1 0001</p><p>0 00002 1</p><p>+ ≈</p><p>= −</p><p>α</p><p>α</p><p>,</p><p>, ºC</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Dawison Sampaio – AUTOR: Carlos Eduardo</p><p>Samuel – REV.: Kelly Moura</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: assoCiação dE Molas</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>031.138 - 1001/21</p><p>AULAS 28 e 29</p><p>EAD – ITA</p><p>Resumo Teórico</p><p>Associação de Molas</p><p>Transformar molas em sistemas equivalentes pode ajudar muito</p><p>o estudo analítico das oscilações. Sistemas extremamente complexos</p><p>podem ser simplificados através das associações em série e em paralelo.</p><p>Vejam as duas transformações a seguir.</p><p>Associação em série</p><p>Um conjunto de molas em série é assim classificado por elas</p><p>estarem sequenciadas. Assim, todas as molas presenciam a mesma</p><p>força.</p><p>k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>k x = k x = k x = = k x1 1 2 2 3 3 n n…</p><p>Logo, a deformação total é igual à soma de todas as deformações.</p><p>Dessa forma, podemos escrever que</p><p>x = x + x +x + + xeq 1 2 3 n…</p><p>Substituindo x</p><p>eq</p><p>por</p><p>F</p><p>K</p><p>eq</p><p>eq</p><p>. Logo:</p><p>F</p><p>k</p><p>=</p><p>F</p><p>k</p><p>+</p><p>F</p><p>k</p><p>+</p><p>F</p><p>k</p><p>+</p><p>F</p><p>k</p><p>eq</p><p>eq 1 2 3 n</p><p>… +</p><p>Ao substituir esse sistema por um sistema equivalente, o bloco</p><p>deverá sentir a mesma força, ou seja, F</p><p>eq</p><p>= F. Assim,</p><p>1</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>k</p><p>+</p><p>1</p><p>k</p><p>+</p><p>1</p><p>k</p><p>+ +</p><p>1</p><p>keq 1 2 3 n</p><p>…</p><p>Associação em paralelo</p><p>k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>Nessa situação, as molas estão paralelas umas às outras.</p><p>Isso significa que todas as molas possuem a mesma deformação.</p><p>O resultado desse fato é que a força resultante de todas as molas é a</p><p>mesma força que atua sobre o corpo. Com isso, podemos escrever que</p><p>F</p><p>res</p><p>= F</p><p>1</p><p>+ F</p><p>2</p><p>+ F</p><p>3</p><p>+ ··· + F</p><p>n</p><p>k</p><p>res</p><p>· x = k</p><p>1</p><p>· x + k</p><p>2</p><p>· x + k</p><p>3</p><p>· x+ ··· + k</p><p>n</p><p>· x</p><p>k</p><p>res</p><p>= k</p><p>1</p><p>+ k</p><p>2</p><p>+ k</p><p>3</p><p>+ ··· + k</p><p>n</p><p>Associação em polias</p><p>Quando temos polias ligadas por molas, podemos utilizar alguns</p><p>vínculos conhecidos. O exemplo a seguir deve ajudar no entendimento</p><p>nas aplicações dos vínculos.</p><p>A</p><p>Chamaremos a mola da esquerda de (1) e a mola do meio de (2).</p><p>A força na polia deve ser nula, pois ela não possui massa. Logo,</p><p>k</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>= 2k</p><p>1</p><p>x</p><p>1</p><p>,</p><p>onde x</p><p>1</p><p>e x</p><p>2</p><p>são as deformações das molas 1 e 2, respectivamente.</p><p>Note que, por ação e reação, a corda que envolve a polia possui a</p><p>mesma força (igual à força da mola 1). Utilizamos então o vínculo</p><p>geométrico para relacionar as deformações e a variação de posição</p><p>do bloco A. Veja:</p><p>x =</p><p>x x</p><p>2</p><p>2</p><p>A 1−</p><p>F</p><p>K</p><p>eq</p><p>eq</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.138 - 1001/21</p><p>Lembrando que essa relação está em módulo. Substituindo, teremos:</p><p>2</p><p>2k</p><p>k</p><p>x = x x</p><p>x 4</p><p>k</p><p>k</p><p>+ 1 x</p><p>1</p><p>2</p><p>1 A 1</p><p>A</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>A força resultante no bloco A é do tipo:</p><p>F = k x =</p><p>k</p><p>4</p><p>k</p><p>k</p><p>+ 1</p><p>xres 1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>A− −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Portanto:</p><p>k =</p><p>k k</p><p>(4k + k )</p><p>eq</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>Exercícios</p><p>01. Duas molas iguais e um mesmo bloco participam das duas</p><p>montagens ilustradas nas figuras I e II:</p><p>Figura I</p><p>Figura II</p><p>Se o bloco é afastado da posição de equilíbrio (molas relaxadas)</p><p>e abandonado, ele oscila, na figura I, com período T</p><p>I</p><p>e na figura</p><p>II, com período T</p><p>II</p><p>. Determine T</p><p>I</p><p>/ T</p><p>II</p><p>.</p><p>02. Dois blocos de massas m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>são ligados por uma mola de rigidez</p><p>k. A mola está comprimida com a ajuda de dois fios, como mostra</p><p>a figura abaixo. Os fios são queimados. Determinar o período de</p><p>oscilações dos blocos.</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>03. (ITA-Adaptada) Um sistema é composto por duas massas idênticas</p><p>ligadas por uma mola, de constante k, e repousa sobre uma</p><p>superfície plana, lisa e horizontal. Uma das massas é então</p><p>aproximada da outra (de forma que a segunda massa permaneça</p><p>apoiada sobre uma parede), comprimindo x</p><p>0</p><p>= 2,0 cm da mola.</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>X</p><p>0</p><p>Uma vez liberado, o sistema inicia um movimento com o seu</p><p>centro de massa, deslocando com velocidade de 18,0 cm/s em uma</p><p>determinada direção. O período de oscilação de cada massa é</p><p>A) 0,70 s</p><p>B) 0,35 s</p><p>C) 1,05 s</p><p>D) 0,25 s</p><p>E) indeterminado, pois a constante da mola não é conhecida.</p><p>04. Uma plataforma de massa M possui uma haste vertical e na</p><p>extremidade superior existe um cordão com uma massa m presa à</p><p>outra extremidade. Considere que não há atrito entre a plataforma</p><p>e o solo. Determine o período para pequenas oscilações do</p><p>sistema.</p><p>�</p><p>m</p><p>M</p><p>g</p><p>05. Duas molas, cujas constantes são K</p><p>1</p><p>= 100 N/m e K</p><p>2</p><p>= 50 N/m,</p><p>estão unidas a uma parede vertical e a um corpo de massa m.</p><p>Em um determinado instante, a mola K</p><p>1</p><p>é alongada 0,3 m e a</p><p>mola K</p><p>2</p><p>é comprimida 0,3 m. Determine, em cm, a amplitude das</p><p>oscilações do corpo. Despreze os atritos.</p><p>1K</p><p>2K m</p><p>06. Na figura a seguir, o bloco tem massa 10 kg, o plano de apoio é</p><p>horizontal e as quatro molas ideais são idênticas, apresentando,</p><p>cada uma, constante elástica 2,5 · 102 N/m. Com o bloco na</p><p>posição de equilíbrio (ponto 0), as quatro molas apresentam-se</p><p>livres de qualquer deformação.</p><p>20 cm 20 cm</p><p>P’ 0 P</p><p>O bloco é então deslocado até o ponto P, de onde é abandonado,</p><p>passando a oscilar em condições ideais entre P e P’. Determine,</p><p>para o sistema oscilante:</p><p>A) a energia mecânica;</p><p>B) o período de oscilação.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.138 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>07. Dois pêndulos simples, de comprimento (l) cada um, estão ligados</p><p>por uma mola de peso desprezível, como mostra a figura abaixo.</p><p>O coeficiente de elasticidade da mola é igual a k. Em equilíbrio,</p><p>os pêndulos estão na posição vertical e a mola não se deforma.</p><p>Determine a frequência das pequenas oscilações dos pêndulos</p><p>nos casos: quando forem inclinados, em um mesmo plano, em</p><p>ângulos iguais, para um mesmo lado (oscilações em fase) e para</p><p>lados diferentes (oscilações em fase oposta).</p><p>m m</p><p>08. O sistema mostrado na figura está em equilíbrio. A polia e as</p><p>molas (as duas constantes são iguais a k) são ideais. O período</p><p>de oscilações verticais da massa m é dado por</p><p>A</p><p>A) 2</p><p>2m</p><p>k</p><p>π B) 2</p><p>4m</p><p>k</p><p>π</p><p>C) 2</p><p>5m</p><p>k</p><p>π D) 2</p><p>m</p><p>2k</p><p>π</p><p>E) 2</p><p>m</p><p>5k</p><p>π</p><p>09. Um aluno de turma ITA criou um sistema de molas bem diferente</p><p>do convencional. A sequência representada na figura abaixo é</p><p>repetida infinitamente. Se o aluno colocar um bloco de massa m,</p><p>qual será o período das oscilações? A constante elástica de cada</p><p>mola vale k.</p><p>A) 2</p><p>m</p><p>k</p><p>π B) π</p><p>m</p><p>k</p><p>C) 2</p><p>m</p><p>5m</p><p>π D) 2</p><p>3</p><p>k</p><p>m</p><p>π</p><p>E) 2</p><p>m</p><p>3k</p><p>π</p><p>10. Um longo cabo metálico de comprimento L está preso ao teto.</p><p>Na sua outra extremidade, existe uma mola ideal de constante k.</p><p>Quando uma massa m é posta a oscilar presa a esse sistema,</p><p>o período de vibração pode ser dado por:</p><p>L</p><p>l</p><p>Dados:</p><p>Secção transversal do cabo: A</p><p>Módulo de Young do cabo: γ</p><p>A) 2</p><p>m</p><p>k</p><p>π</p><p>B) 2</p><p>m( A + kL)</p><p>Ak</p><p>π</p><p>γ</p><p>γ</p><p>C) 2</p><p>m( A kL)</p><p>Ak</p><p>π</p><p>γ</p><p>γ</p><p>−</p><p>D) 2</p><p>m A</p><p>kL</p><p>�</p><p>�</p><p>E) 2</p><p>mL</p><p>A</p><p>�</p><p>�</p><p>11. Dois corpos, de massas m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>, ligados por uma mola de rigidez k,</p><p>repousam sobre um plano horizontal liso.</p><p>1 æ 2</p><p>O corpo 2 é deslocado de uma pequena distância x para a</p><p>esquerda e, em seguida, liberado. Encontre a velocidade do centro</p><p>de massa do sistema imediatamente após o corpo 1 perder o</p><p>contato com a parede.</p><p>12. Determine o período da configuração abaixo.</p><p>m</p><p>k</p><p>k</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.138 - 1001/21</p><p>13. (ITA) Um elevador sobe verticalmente com aceleração constante</p><p>e igual a a. No seu teto está preso um conjunto de dois sistemas</p><p>massa-mola acoplados em série, conforme a figura. O primeiro , tem</p><p>massa m</p><p>1</p><p>e constante de mola k</p><p>1</p><p>e o segundo, massa m</p><p>2</p><p>e</p><p>constante de mola k</p><p>2</p><p>. Ambas as molas têm o mesmo comprimento</p><p>natural (sem deformação) l. Na condição de equilíbrio estático</p><p>relativo ao elevador, a deformação da mola de constante k</p><p>1</p><p>é y,</p><p>e a da outra, x. Pode-se, então, afirmar que (y – x) é</p><p>k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>A) [(k</p><p>2</p><p>– k</p><p>1</p><p>)m</p><p>2</p><p>+ k</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>](g – a) / k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>B) [k</p><p>2</p><p>+ k</p><p>1</p><p>)m</p><p>2</p><p>+ k</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>] (g – a) / k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>C) [k</p><p>2</p><p>– k</p><p>1</p><p>)m</p><p>2</p><p>+ k</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>] (g + a) / k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>D) [(k</p><p>2</p><p>+ k</p><p>1</p><p>)m</p><p>2</p><p>+ k</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>](g + a) / k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>– 2l</p><p>E) [(k</p><p>2</p><p>– k</p><p>1</p><p>)m</p><p>2</p><p>+ k</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>](g + a) / k</p><p>1</p><p>k</p><p>2</p><p>+ 2l</p><p>14. (ITA) No interior de um carrinho de massa M, mantido em repouso,</p><p>uma mola de constante elástica k encontra-se comprimida</p><p>luminosos, originários de um ponto impróprio à</p><p>esquerda de SO</p><p>1</p><p>, incidem no conjunto a partir de SO</p><p>1</p><p>. Analisando a</p><p>propagação desses raios luminosos no conjunto e os pontos P</p><p>1</p><p>, P</p><p>2</p><p>e</p><p>P</p><p>3</p><p>, que correspondem às intersecções, ou dos raios luminosos ou de</p><p>prolongamentos destes raios, podemos afirmar corretamente que:</p><p>SO</p><p>1</p><p>SO</p><p>2</p><p>P</p><p>1</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>3</p><p>SO</p><p>3</p><p>A) P</p><p>2</p><p>é imagem virtual para SO</p><p>1</p><p>.</p><p>B) P</p><p>1</p><p>é objeto real para SO</p><p>3</p><p>.</p><p>C) P</p><p>3</p><p>é imagem virtual para SO</p><p>3</p><p>.</p><p>D) P</p><p>1</p><p>é imagem virtual para SO</p><p>1</p><p>.</p><p>E) P</p><p>2</p><p>é objeto real para SO</p><p>3</p><p>.</p><p>11. Quando se dá eclipse parcial do Sol, o observador se encontra</p><p>A) na sombra.</p><p>B) na penumbra.</p><p>C) na sombra própria da Lua.</p><p>D) na região plenamente iluminada.</p><p>E) n.d.a.</p><p>12. Um cidadão, através do vidro do ônibus, vê o movimento da rua</p><p>e a passageira do banco da frente. Na superfície do vidro está</p><p>ocorrendo</p><p>A) dupla refração.</p><p>B) interferência.</p><p>C) somente reflexão.</p><p>D) somente refração.</p><p>E) reflexão e refração, simultaneamente.</p><p>13. Sistema estigmático é aquele que</p><p>A) não reflete a luz.</p><p>B) não refrata a luz.</p><p>C) difunde a luz.</p><p>D) de um ponto objeto dá um ponto imagem.</p><p>E) de um ponto objeto dá uma imagem plana.</p><p>14. Quando a luz passa por um pequeno orifício, a imagem é formada</p><p>de forma invertida no anteparo. Veja o esquema a seguir.</p><p>Anteparo</p><p>Neste caso, a altura da imagem é 5 cm e o anteparo é localizado</p><p>a 15 cm do orifício. Se a altura da árvore vale 20 m, determine</p><p>A) a distância da árvore ao orifício;</p><p>B) como a imagem é afetada quando o anteparo se move,</p><p>distanciando-se do orifício;</p><p>C) o que ocorreria se o orifício fosse grande, ou seja, não pontual.</p><p>15. Um homem, de altura 1,8 m, está parado em frente a uma parede.</p><p>O Sol se encontra atrás dele e sua sombra tem comprimento de</p><p>1,5 m sobre o chão e 0,75 m sobre a parede. Encontre o</p><p>comprimento da sombra se retirássemos a parede.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>C C – C –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– A C C B</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B E D – –</p><p>– Demonstração.</p><p>Resolução</p><p>01.</p><p>A) Incorreto. A Lua não produz luz própria, sendo sua visibilidade</p><p>consequência do reflexo dos raios solares sobre a superfície</p><p>do satélite natural. Portanto, em um cenário no qual o Sol</p><p>desaparece seria impossível observar a Lua.</p><p>B) Incorreto. Vide item A.</p><p>C) Correto. Como apenas as estrelas possuem luz própria, elas</p><p>continuariam visíveis com o desaparecimento do Sol.</p><p>D) Incorreto. Vide item C.</p><p>E) Incorreto. Os planetas não possuem luz própria.</p><p>Resposta: C</p><p>02. Para que um objeto seja visível é necessário ou que ele produza</p><p>luz ou que ele reflita luz. Em uma sala escura, não pode haver</p><p>reflexão de luz. Portanto, um objeto visível em uma sala escura</p><p>deve, necessariamente, emitir luz.</p><p>A) Incorreto. Não emite luz.</p><p>B) Incorreto. Não emite luz.</p><p>C) Correto. Emite luz. Muitos materiais, se aquecidos o suficiente,</p><p>passam a emitir ondas eletromagnéticas na frequência do</p><p>visível. (Obs.: alguns materiais, sob as condições padrão, entram</p><p>em combustão antes do fenômeno citado ocorrer.)</p><p>D) Incorreto. Não emite luz.</p><p>E) Incorreto. Não emite luz.</p><p>Resposta: C</p><p>03. Em um meio diferente do vácuo, temos que quanto maior a</p><p>frequência da luz menor será sua velocidade de propagação.</p><p>No entanto, no vácuo, todas as frequências possuem a mesma</p><p>velocidade. No vácuo todas as cores possuem mesma velocidade.</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.741_128099/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>04.</p><p>I. Correta. Utilizando um prisma, no ano de 1672, Newton</p><p>observou a dispersão da luz branca, provinda do Sol, em</p><p>vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta;</p><p>II. Incorreta. Uma superfície verde apresenta-se desse modo</p><p>devido à reflexão da luz verde e absorção da luz com outros</p><p>comprimentos de onda;</p><p>III. Correta. A blusa é amarela, pois reflete amarelo enquanto</p><p>absorve outras frequências do espectro. Quando iluminada</p><p>por luz azul, a blusa amarela absorverá toda luz que a atingir</p><p>e, então, ficará escura.</p><p>Logo, as afirmações I e III estão corretas.</p><p>Resposta: C</p><p>05. Considere-se os raios provinientes do Sol como paredes.</p><p>15 m</p><p>2 m</p><p>0,5 m</p><p>x</p><p>Por semelhança de triângulos:</p><p>2</p><p>0 5 15</p><p>60</p><p>,</p><p>= ⇒ =</p><p>x</p><p>m x</p><p>Resposta: 60 m</p><p>06.</p><p>AAA BBB CCC</p><p>H – h</p><p>h</p><p>x y</p><p>• V</p><p>x</p><p>T</p><p>T</p><p>x</p><p>V</p><p>= ⇒ =</p><p>• V’ =</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x y</p><p>T</p><p>x y</p><p>x</p><p>V</p><p>• Por semelhança de triângulos:</p><p>H</p><p>x y</p><p>H h</p><p>x</p><p>H</p><p>H h</p><p>x y</p><p>x+</p><p>=</p><p>−</p><p>⇒</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>Logo, V V’ ’=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒ =</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x y</p><p>x</p><p>V</p><p>H</p><p>H h</p><p>v</p><p>H</p><p>H h</p><p>V</p><p>Resposta: V</p><p>H</p><p>H h</p><p>V’ =</p><p>−</p><p>07.</p><p>x</p><p>60° 45°</p><p>2 m</p><p>y</p><p>• tg</p><p>y</p><p>x</p><p>y x45 1 1</p><p>2</p><p>2° = ⇒ =</p><p>+</p><p>⇒ = +</p><p>• tg</p><p>y</p><p>x</p><p>x y60 3 3</p><p>3</p><p>3</p><p>° = ⇒ = ⇒ =</p><p>Então,</p><p>y y y y</p><p>y m</p><p>= + ⇒ −( ) = ⇒ =</p><p>−</p><p>+( )</p><p>+( ) =</p><p>+( )</p><p>−( )</p><p>⇒ = +( )</p><p>3</p><p>3</p><p>2 3 3 6</p><p>6</p><p>3 3</p><p>3 3</p><p>3 3</p><p>6 3 3</p><p>9 3</p><p>3 3</p><p>Resposta: A</p><p>08. As partes verdes e as partes brancas ficarão verdes quando</p><p>iluminadas pela luz verde. Todas as outras cores da bandeira não</p><p>refletirão luz, aparecendo, portanto, enegrecidas.</p><p>Resposta: C</p><p>09.</p><p>45 cm 50 cm</p><p>60°</p><p>θ</p><p>θ 120°</p><p>O</p><p>x</p><p>M</p><p>N</p><p>H</p><p>A</p><p>25 3 cm</p><p>15 3 cm</p><p>tg como ent oθ</p><p>π</p><p>θ θ= = > > = °</p><p>15 3</p><p>45</p><p>3</p><p>3 2</p><p>0 303 , , ã</p><p>Portanto, ∆OMN é isóceles e OM = MN = x, mas OM / /AH, logo:</p><p>OM AH= +50 (relação i)</p><p>Analisando ∆AHM:</p><p>tg</p><p>MH</p><p>AH AH</p><p>AH cm60 3</p><p>40 3</p><p>40° = = = ⇒ =</p><p>Pela relação (i), temos:</p><p>OM = 50 + 40 = 90 cm = MN</p><p>Portanto,</p><p>V</p><p>MN</p><p>t</p><p>cm</p><p>h</p><p>cm</p><p>m diaé = = = =</p><p>90</p><p>2</p><p>9 0</p><p>120</p><p>0 75</p><p>min</p><p>, cm/min</p><p>Resposta: C</p><p>8 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.741_128099/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>10.</p><p>• Para SO</p><p>1</p><p>:</p><p>P</p><p>1</p><p>: sem representação;</p><p>P</p><p>2</p><p>: imagem real (formada pelos raios);</p><p>P</p><p>3</p><p>: sem representação.</p><p>• Para SO</p><p>2</p><p>:</p><p>P</p><p>1</p><p>: imagem virtual (formada pelos prolongamentos dos raios);</p><p>P</p><p>2</p><p>: objeto real;</p><p>P</p><p>3</p><p>: sem representação.</p><p>• Para SO</p><p>3</p><p>:</p><p>P</p><p>1</p><p>: objeto real;</p><p>P</p><p>2</p><p>: sem representação;</p><p>P</p><p>3</p><p>: imagem real (formada pelos raios).</p><p>Resposta: B</p><p>11. Observe a imagem:</p><p>LUA</p><p>TERRA</p><p>Sombra ⇒ Eclipse total</p><p>Penumbra ⇒ Eclipse parcial</p><p>SOL</p><p>Resposta: B</p><p>12. Como a passageira da frente está visível, então existe reflexão de</p><p>parte dos raios. A visibilidade da rua se deve à refração dos raios</p><p>luminosos que atravessam o vidro.</p><p>Na superfície de um dioptro, parte dos raios pode refratar</p><p>enquanto parte dos raios reflete.</p><p>Resposta: E</p><p>13. Um sistema óptico é estigmático quando cada ponto objeto</p><p>conjuga apenas um ponto imagem.</p><p>Um sistema óptico é aplanético quando um objeto plano e</p><p>frontal também conjuga uma imagem plana e frontal.</p><p>Um sistema óptico é ortoscópio quando um objeto retílineo</p><p>conjuga uma imagem retilínea.</p><p>Logo, D é o gabarito.</p><p>Resposta: D</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: GEORGENES – REV.: SARAH/KELLY MOURA</p><p>14.</p><p>θ θ20 m</p><p>d 0,15 m</p><p>0,05 m</p><p>A) Por semelhança de triângulos:</p><p>20 0 05</p><p>0 15</p><p>1</p><p>3</p><p>60</p><p>d</p><p>d m= = ⇒ =</p><p>,</p><p>,</p><p>B) Devido à semelhança dos triângulos, ao se afastar o anteparo,</p><p>haverá o aumento da imagem.</p><p>C) Quando maior o orifício, maior a passagem de luz. Logo, para</p><p>gerar uma imagem nítida é necessário que o raio que sai de</p><p>um ponto do objeto passe apenas uma vez pelo orifício, o que</p><p>acontece quando ele é pequeno.</p><p>15.</p><p>0,75 m</p><p>1,8 m</p><p>1,5 m x</p><p>Por semelhança de triângulos:</p><p>1 8</p><p>0 75</p><p>15</p><p>1 8 0 75 15 0 75</p><p>1 05 15 0 75 1 071</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>, , , ,</p><p>, , , ,</p><p>=</p><p>+</p><p>⇒ = + + ⇒</p><p>⇒ = ⋅ ⇒ ≅</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x mm</p><p>O tamanho da sombra, sem a parede, seria x + 1,5 m.</p><p>L = 2,57 m.</p><p>Resposta: 2,57 m</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: rEflExão da luz</p><p>frente: físiCa ii</p><p>001.742_128100/18</p><p>AULAS 03 E 04</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>Já que fixamos os conceitos básicos da óptica geométrica,</p><p>vamos conhecer as leis da reflexão e estudar os espelhos</p><p>(planos e esféricos). Para simplificar nossa vida, estudaremos somente</p><p>reflexão especular (reflexão que ocorre nos espelhos).</p><p>Inicialmente, vamos definir alguns elementos.</p><p>É possível esquematizar a reflexão de um raio de luz, ao atingir</p><p>uma superfície polida, da seguinte forma:</p><p>NA</p><p>T</p><p>i r</p><p>B</p><p>C</p><p>Em que:</p><p>AB = raio de luz incidente;</p><p>BC = raio de luz refletido;</p><p>N = reta normal à superfície no</p><p>de uma</p><p>distância x, tendo uma extremidade presa e a outra conectada a</p><p>um bloco de massa m, conforme a figura. Sendo o sistema então</p><p>abandonado e considerando que não há atrito, pode-se afirmar</p><p>que o valor inicial da aceleração do bloco, relativa ao carrinho, é</p><p>x</p><p>m M</p><p>A) kx/m</p><p>B) kx/M</p><p>C) kx/(m +M)</p><p>D) kx(M – m)/mM</p><p>E) kx(M + m)/mM</p><p>15. Na figura abaixo, dois blocos, de massas iguais a m, são</p><p>conectados, respectivamente, por molas de constantes k</p><p>1</p><p>e k</p><p>2</p><p>(k</p><p>1</p><p>> k</p><p>2</p><p>). Inicialmente, as molas estão relaxadas. O bloco</p><p>da esquerda é puxado a uma distância x para baixo. Encontre a</p><p>aceleração de cada bloco imediatamente após o bloco da esquerda</p><p>ser solto. Analise todos os casos.</p><p>m</p><p>K</p><p>1</p><p>K</p><p>2</p><p>m</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – D – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– – C C B</p><p>11 12 13 14 15</p><p>– – C E –</p><p>– Demonstração.</p><p>Comentários</p><p>01. Na situação I, como as molas estão em série:</p><p>2</p><p>eq I</p><p>k k 2m</p><p>k T 2</p><p>2k 2 k</p><p>= = → = π</p><p>Já para a situação II, ela é equivalente a duas molas em paralelo,</p><p>visto que a força resultante é dada por F</p><p>res</p><p>= – 2kx. Ou seja:</p><p>eq II</p><p>m</p><p>k 2k T 2</p><p>2k</p><p>= → = π</p><p>Daí:</p><p>( )2</p><p>I</p><p>II</p><p>T</p><p>2 2</p><p>T</p><p>= =</p><p>02. Para essa questão, é interessante ter mente que a energia cinética</p><p>de 2 corpos podem ser escrita como:</p><p>2 2</p><p>c CM rel</p><p>1 1</p><p>E Mv v</p><p>2 2</p><p>= + µ</p><p>De forma que M é a massa total do sistema, v</p><p>CM</p><p>é a velocidade</p><p>do centro de massa, µ é a massa reduzida do sistema, dada por</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>m m</p><p>m m</p><p>µ =</p><p>+</p><p>, e v</p><p>rel</p><p>é a velocidade relativa entre as duas massas.</p><p>Portanto, no sistema descrito na questão, sabendo que forças</p><p>internas não alteram o estado de movimento do centro de massa</p><p>(v</p><p>CM</p><p>= 0), temos:</p><p>2 21 1</p><p>E v kx</p><p>2 2</p><p>= µ +</p><p>Ou seja:</p><p>( )</p><p>1 22</p><p>1 2</p><p>k m m</p><p>T 2</p><p>k m m</p><p>ω = → = π</p><p>µ +</p><p>03. Quando o sistema é abandonado, a massa que está encostada</p><p>na parede permanece em repouso, e a outra adquire uma</p><p>velocidade igual a 2v</p><p>CM</p><p>(as massas são iguais e 1 1 2 2</p><p>CM</p><p>1 2</p><p>m v m v</p><p>V</p><p>m m</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>).</p><p>Daí, conservando a energia do sistema:</p><p>( )</p><p>2</p><p>2 CM2 2</p><p>CM 2</p><p>CM</p><p>1 1 2k 8v</p><p>kx m 2v</p><p>2 2 m x</p><p>x</p><p>T 2 0,25s</p><p>8v</p><p>= → ω = =</p><p>= π ≈</p><p>Resposta: D</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.138 - 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>04. Incialmente, trabalhando no referencial do solo, temos:</p><p>MX mx MX mx= → =� �</p><p>Por outro lado, os vínculos no referencial da massa M nos dão:</p><p>( )2 2 2 2</p><p>X x</p><p>tg</p><p>y</p><p>X x y l</p><p>+</p><p>θ =</p><p>+ + = θ</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>Essas três relações nos dão que:</p><p>y l cos</p><p>l cos</p><p>x</p><p>m</p><p>1</p><p>M</p><p>m</p><p>l sen</p><p>MX</p><p>m</p><p>1</p><p>M</p><p>= θ θ</p><p>θ θ</p><p>=</p><p>+</p><p>θ θ</p><p>=</p><p>+</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Portanto, como a energia do sistema é descrita por:</p><p>( )2 2 21 1</p><p>E m x y MX mglcos</p><p>2 2</p><p>= + + − θ�� �</p><p>Temos, após realizar as devidas substituições e sabendo que θ é</p><p>suficientemente pequeno:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 ml 1</p><p>E mglcos</p><p>m2 21</p><p>M</p><p>M m g Ml</p><p>T 2</p><p>Ml M m g</p><p> </p><p> ≈ θ + θ </p><p>+  </p><p>+</p><p>ω = → = π</p><p>+</p><p>05. Escrevendo a equação de movimento, temos:</p><p>F = –K</p><p>1</p><p>x + k</p><p>2</p><p>x = –(k</p><p>1</p><p>– K</p><p>2</p><p>)x</p><p>Logo, a constante elástica equivalente do sistema é K</p><p>eq</p><p>= k</p><p>1</p><p>– k</p><p>2</p><p>,</p><p>de forma que a amplitude é dada por:</p><p>2 2 2</p><p>1 2 eq</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1 1 1</p><p>k x k x k A</p><p>2 2 2</p><p>k k</p><p>A x 52 cm</p><p>k K</p><p>+ =</p><p>+</p><p>= ≈</p><p>−</p><p>06. A) A energia mecânica será dada por:</p><p>2</p><p>mec eq</p><p>1</p><p>E k A</p><p>2</p><p>=</p><p>Uma vez que todas as molas são idênticas:</p><p>k</p><p>eq</p><p>= 4k → E</p><p>mec</p><p>= 2kA2 = 20 J</p><p>B) Da mesma forma:</p><p>m</p><p>T 2 s</p><p>4k 5</p><p>π</p><p>= π =</p><p>07. Observe que quando os pêndulos são deslocados por um mesmo</p><p>ângulo, suficientemente pequeno, e em fase, a mola não é</p><p>deformada em nenhum instante, de forma que o período do</p><p>movimento resultante é simplesmente o de um pêndulo simples,</p><p>ou seja:</p><p>mf</p><p>l</p><p>T 2</p><p>g</p><p>= π</p><p>Por outro lado, quando os deslocamentos são os mesmos, porém</p><p>em oposição de fase, temos:</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>22 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2</p><p>of 2</p><p>1 1</p><p>E 2 ml l 2l 2mlcos</p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>E 2ml 4kl 2mgl</p><p>2 2</p><p>2ml 1</p><p>T 2 2</p><p>g 2k4kl 2ml</p><p>l m</p><p>= θ + θ − θ</p><p>≈ θ + + θ</p><p>= π = π</p><p>+ +</p><p>�</p><p>�</p><p>08. Para achar o k</p><p>eq</p><p>do sistema, é preciso ter em mente que a força F</p><p>el</p><p>exercida pela mola sobre a polia é distribuída para os dois lados</p><p>como elF</p><p>2</p><p>. Dessa forma, como o sistema está em série, temos:</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>eq</p><p>eq</p><p>x x x x</p><p>F 2F</p><p>x ,x x</p><p>k k</p><p>F F F k</p><p>4 k</p><p>k k k 5</p><p>= + +</p><p>= = =</p><p>= + → =</p><p>Portanto:</p><p>5m</p><p>T 2</p><p>k</p><p>= π</p><p>Resposta: C</p><p>09. Utilizando a ideia de recorrência, vamos substituir todas as molas a</p><p>partir do segundo degrau de ambos os lados por uma de constante</p><p>k</p><p>eq</p><p>, de forma que, para qualquer um dos dois lados, temos:</p><p>eq eq</p><p>2 2</p><p>eq eq</p><p>eq</p><p>1 1 1</p><p>k k k k</p><p>k k kk</p><p>1 5</p><p>k k</p><p>2</p><p>= +</p><p>+</p><p>= +</p><p>− +</p><p>=</p><p>Portanto, a constante equivalente do sistema como um todo é:</p><p>f eqk k 2k 5k= + =</p><p>Daí:</p><p>m</p><p>T 2</p><p>5k</p><p>= π</p><p>Resposta: C</p><p>10. Denotando por y a posição da massa em relação ao teto e por x</p><p>a deformação da mola, temos:</p><p>my kx= −��</p><p>Por outro lado, o vínculo geométrico da questão nos dá:</p><p>y L l x y x= + ∈+ + → = ∈+�� ����</p><p>Por fim, como a força elástica é responsável por deformar a barra:</p><p>A kL</p><p>kx x</p><p>L A</p><p>γ</p><p>= ∈→∈=</p><p>γ</p><p>����</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.138 - 1001/21</p><p>Daí:</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>A KL</p><p>y x m A kL x Akx</p><p>A</p><p>m A kL</p><p>T 2</p><p>Ak</p><p>γ +</p><p>= → γ + = −γ</p><p>γ</p><p>γ +</p><p>= π</p><p>γ</p><p>�� �� ��</p><p>Resposta: B</p><p>11. No instante em que o corpo 1 perde o contato com a parede,</p><p>a mola está passando de estar comprimida para estar distendida.</p><p>Logo, conservando a energia do sistema:</p><p>2 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>1 1 k</p><p>kx m v v x</p><p>2 2 m</p><p>= → =</p><p>Daí, substituindo na fórmula da velocidade do centro de massa:</p><p>1 1 2 2 2</p><p>CM</p><p>1 2 1 2</p><p>m v m v x km</p><p>v</p><p>m m m m</p><p>+</p><p>= =</p><p>+ +</p><p>12. Seja y o deslocamento da massa m e x a respectiva deformação</p><p>da mola. Daí:</p><p>my mg F= −��</p><p>Por outro lado, os vínculos de força na polia e comprimento do</p><p>fio nos dão, respectivamente:</p><p>F</p><p>kx</p><p>2</p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>Portanto, substituindo isso na primeira equação:</p><p>4k m</p><p>y y g T 2</p><p>m 4k</p><p>+ = → = π��</p><p>13. Escrevendo a Segunda Lei de Newton para ambas os corpos no</p><p>referencial do solo, temos:</p><p>( )</p><p>1 1 2 1</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>k y m g k x m a</p><p>m</p><p>k x m g m a x a g</p><p>k</p><p>− − =</p><p>− = → = +</p><p>Substituindo x na primeira equação:</p><p>( ) ( )1 2</p><p>1</p><p>m m</p><p>y a g</p><p>k</p><p>+</p><p>= +</p><p>Por fim:</p><p>( ) ( )2 1 2 2 1</p><p>1 2</p><p>k k m k m a g</p><p>y x</p><p>k k</p><p> − + + − =</p><p>Resposta: C</p><p>14. Temos que a aceleração de m em relação ao solo será, com sentido</p><p>para direita:</p><p>kx</p><p>a</p><p>m</p><p>=</p><p>Enquanto a de M sera, com sentido para a esquerda:</p><p>kx</p><p>A</p><p>M</p><p>=</p><p>Portanto, a aceleração relativa será:</p><p>( )kx M m</p><p>a A</p><p>Mm</p><p>+</p><p>+ =</p><p>Resposta: E</p><p>15. A Segunda Lei de Newton para ambos os corpos nos dá:</p><p>–k</p><p>1</p><p>x – T = ma</p><p>–k</p><p>2</p><p>x + T = ma</p><p>Ou seja:</p><p>( )1 2k k</p><p>a x 0</p><p>2m</p><p>+</p><p>+ =</p><p>De forma que a aceleração imediatamente após o sistema ser</p><p>abandonado é:</p><p>( )1 2</p><p>i</p><p>k k</p><p>a x</p><p>2m</p><p>+</p><p>=</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: JULIANA/SOFIA – REV.: SARAH/KELLY</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: ondulatória</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>031.135 – 1001/21</p><p>AULAS 30-32</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Noções básicas de ondas</p><p>Quando conversamos com um amigo, passamos horas e</p><p>horas nos divertindo e nem percebemos quanta física existe neste</p><p>processo. Um exemplo disso é a propagação de ondas sonoras.</p><p>Quando falamos, vibramos nossas cordas vocais e esta vibração provoca</p><p>uma perturbação no ar, que se propaga até o ouvido do colega e</p><p>este capta, por ressonância, a frequência que emitimos e o cérebro</p><p>codifica a mensagem. Isso se ao deve ao fato de que ondas sonoras se</p><p>propagam em meios materiais, pois são ondas mecânicas. No espaço,</p><p>por exemplo, a onda sonora não consegue se propagar (por isso não</p><p>escutamos as explosões solares e outros fenômenos). Entretanto,</p><p>ondas eletromagnéticas têm o poder de se propagar até mesmo no</p><p>vácuo (estas ondas não precisam de um meio material para existir).</p><p>Embora o mecanismo físico possa ser diferente para cada um</p><p>dos fenômenos citados acima, todos eles têm um aspecto em comum.</p><p>São situações físicas produzidas em um ponto do espaço, propagadas</p><p>através dele, e percebidas um instante depois em outro local.</p><p>Todos nós temos noção do que é uma onda! Lembramos</p><p>logo das ondas do mar, correto? Pois bem, aquelas ondas são ondas</p><p>bem complicadas e discutiremos sobre</p><p>o assunto posteriormente.</p><p>Primeiramente, vamos entender os princípios básicos e conhecer os</p><p>elementos que caracterizam uma onda.</p><p>Definição:</p><p>Qualquer tipo de sinal (com velocidade finita) que transporta</p><p>energia e quantidade de movimento é classificado como onda.</p><p>Como citado na introdução, eis alguns exemplos:</p><p>Campo elétrico</p><p>Direção de</p><p>propagação</p><p>B</p><p>E</p><p>c</p><p>Velocidade da luz</p><p>Campo</p><p>magnético</p><p>Onda eletromagnética se propagando no vácuo.</p><p>direção de propagação</p><p>v</p><p>v</p><p>direção de</p><p>vibração</p><p>Pulso transversal se propagando em uma corda presa.</p><p>Pulso e trem de ondas</p><p>Um pulso de onda é a propagação de uma (apenas uma)</p><p>perturbação no meio.</p><p>v</p><p>corda parada</p><p>corda com pulso</p><p>O trem de ondas é um conjunto de pulsos. Se as perturbações</p><p>são periódicas, pode-se dizer que todas as partículas do meio vibram</p><p>com o mesmo período. Por exemplo, uma onda harmônica.</p><p>Classificação das ondas</p><p>A classificação das ondas pode ser referente à sua dimensão</p><p>de propagação, direção de vibração e natureza. Listamos aqui algumas</p><p>delas.</p><p>Dimensão de propagação</p><p>• Unidimensional;</p><p>• Bidimensional;</p><p>• Tridimensional.</p><p>Direção de vibração</p><p>• Transversal: vibra na direção perpendicular à propagação.</p><p>Ex: Ondas eletromagnéticas, ondas em cordas.</p><p>• Longitudinal: vibra no mesmo sentido de propagação.</p><p>Ex: Ondas sonoras, onda se propagando sobre uma mola.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.135 – 1001/21</p><p>Ondas longitudinais</p><p>Ondas transversais</p><p>De fato, essa classificação será extremamente importante</p><p>quando formos estudar polarização.</p><p>Ondas Mecânicas</p><p>Podemos definir ondas mecânicas em poucas palavras.</p><p>Definição:</p><p>É uma perturbação no meio material (elástico), a qual se</p><p>propaga, através desse, transportando energia e momento linear.</p><p>As ondas na superfície da água não são transversais nem</p><p>longitudinais. Para águas profundas, em comparação com a amplitude</p><p>de perturbação, as trajetórias são circunferências. Se a profundidade</p><p>for pequena em relação à amplitude, serão elípticas.</p><p>Outro tipo de onda, que não é transversal nem longitudinal,</p><p>é a onda de torção:</p><p>T</p><p>T</p><p>Obs.: Normalmente, ondas transversais só se propagam em sólidos.</p><p>Isso se deve a forças de interação. No caso das ondas sobre superfícies</p><p>de líquidos, é a gravidade que é responsável pela interação.</p><p>Ondas periódicas</p><p>Elementos de uma onda periódica</p><p>• Amplitude: por amplitude de uma onda entendemos a altura de</p><p>sua crista em relação ao nível médio, isto é, a maior distância através</p><p>da qual se mova a onda.</p><p>• Frequência: supondo que você esteja em uma canoa amarrada a</p><p>um cais e que as ondas elevem e abaixem a canoa rapidamente,</p><p>a frequência é o número de ondas que passam pela canoa a cada</p><p>segundo.</p><p>• Comprimento de onda: representa a distância entre duas cristas</p><p>ou dois vales (ou dois pontos consecutivos PP</p><p>1</p><p>e P</p><p>2</p><p>P</p><p>3</p><p>) de uma onda</p><p>que vibra em fase.</p><p>• Período: intervalo de tempo necessário para que um perfil de onda</p><p>completo passe diante do observador (ou do referencial escolhido).</p><p>É o tempo de uma oscilação completa.</p><p>Daí, temos a seguinte relação:</p><p>ν λ= =∆</p><p>∆</p><p>x</p><p>t T</p><p>ν = λf</p><p>A velocidade de propagação depende do meio.</p><p>λ</p><p>f</p><p>Para as ondas bi e tridimensional, temos:</p><p>raios</p><p>frentes de onda</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.135 – 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>Para representar a direção e o sentido de propagação de uma</p><p>onda, costumam-se usar linhas orientadas, denominadas raios de onda.</p><p>Chamamos de frente de onda a superfície (ou linha, em alguns casos)</p><p>de onda que separa a região já perturbada da região não perturbada.</p><p>Observações:</p><p>• Em meios homogêneo e isotrópico, os raios são perpendiculares</p><p>às superfícies de onda e são retos.</p><p>• Em meios isotrópicos, mas não homogêneos, os raios podem</p><p>ser curvados, mas ainda são perpendiculares às superfícies de</p><p>onda.</p><p>• Em meios anisotrópicos, os raios podem não ser perpendiculares</p><p>à superfícies de onda.</p><p>Exercícios</p><p>01. Em qual dos fenômenos abaixo as ondas são longitudinais?</p><p>a) Luz de laser.</p><p>b) Raios X.</p><p>c) Raios gama.</p><p>d) Vibração de corda de piano.</p><p>e) Propagação sonora em um gás.</p><p>02. Em qual das alternativas abaixo as radiações eletromagnéticas</p><p>mencionadas encontram-se em ordem crescente de suas</p><p>frequências?</p><p>a) Luz visível, raios X e infravermelho.</p><p>b) Raios X, infravermelho e ondas de rádio.</p><p>c) Raios γ, luz visível e micro-ondas.</p><p>d) Raios γ, micro-ondas e raios X.</p><p>e) Ondas de rádio, luz visível e raios X.</p><p>03. Um professor de Física, que ministrava a primeira aula sobre</p><p>ondas, dava exemplos de ondas eletromagnéticas. Ele dizia: “são</p><p>exemplos de ondas eletromagnéticas: as ondas de rádio, a luz, as</p><p>ondas de radar, os raios X, os raios γ”. Um aluno entusiasmado</p><p>completou a lista de exemplos, dizendo: “raios α, raios β e raios</p><p>catódicos”. Pode-se afirmar que:</p><p>a) pelo menos um exemplo citado pelo professor está errado.</p><p>b) todos os exemplos citados pelo professor e pelo aluno estão</p><p>corretos.</p><p>c) apenas um exemplo citado pelo aluno está errado.</p><p>d) os três exemplos citados pelo aluno estão errados.</p><p>e) há erros tanto nos exemplos do professor quanto nos do aluno.</p><p>04. (ITA) Considere os seguintes fenômenos ondulatórios:</p><p>I. Luz;</p><p>II. Som;</p><p>III. Perturbação propagando-se numa mola helicoidal esticada.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) I, II e III necessitam de um suporte material para propagar-se.</p><p>b) I é transversal, II é longitudinal e III tanto pode ser transversal</p><p>como longitudinal.</p><p>c) I é transversal, II é longitudinal e III é longitudinal.</p><p>d) I e III podem ser longitudinais.</p><p>e) somente III é longitudinal.</p><p>05. (ITA) Uma luz monocromática, propagando-se no vácuo com um</p><p>comprimento de onda de 6000 Aº (1 A = 10–10 m), incide sobre</p><p>um vidro de índice de refração n = 1,5 para este comprimento</p><p>de onda. (Considere a velocidade da luz no vácuo como sendo</p><p>de 300.000 km/s). No interior deste vidro, esta luz:</p><p>a) irá se propagar com seu comprimento de onda inalterado,</p><p>porém com uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz.</p><p>b) irá se propagar com um novo comprimento de onda = 4000 Aº ,</p><p>bem como uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz.</p><p>c) irá se propagar com uma nova velocidade v = 2 ·108 m/s, bem</p><p>como com uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz.</p><p>d) irá se propagar com uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz, e</p><p>um novo comprimento de onda = 4000 Aº , bem como com</p><p>uma nova velocidade v = 2 ·108 m/s.</p><p>e) irá se propagar com a mesma frequência f = 5 · 1014 Hz, com</p><p>um novo comprimento de onda = 4000 Aº , e com uma nova</p><p>velocidade v = 2 ·108 m/s.</p><p>06. (Aman) Em um forno de micro-ondas, o processo de aquecimento</p><p>é feito por ondas eletromagnéticas que atingem o alimento ali</p><p>colocado, incidindo assim nas moléculas de água nele presentes.</p><p>Tais ondas, de frequência 2,45 GHz, atingem aquelas moléculas,</p><p>que, por possuírem esta mesma frequência natural, passam a</p><p>vibrar cada vez mais intensamente. Desse modo, podemos afirmar</p><p>que o aquecimento descrito é decorrente do seguinte fenômeno</p><p>ondulatório:</p><p>a) batimento.</p><p>b) ressonância.</p><p>c) refração.</p><p>d) difração.</p><p>e) interferência.</p><p>07. Um banhista, parado em relação à Terra, conta, em uma praia,</p><p>a passagem de 21 cristas de onda equiespaçadas pelo seu corpo.</p><p>O intervalo de tempo decorrido no evento é de 80 s. Conhecendo</p><p>a velocidade de propagação das ondas (1,0 m/s), determine o</p><p>comprimento de onda das ondas do mar nesse local.</p><p>a) 4 m</p><p>b) 5 m</p><p>c) 6 m</p><p>d) 7 m</p><p>e) 8 m</p><p>08. E um lago, o vento produz ondas periódicas que se propagam a</p><p>uma velocidade de 2 m/s. O comprimento de onda é de 10 m.</p><p>Determine a frequência de oscilações de um barco:</p><p>a) quando ancorado nesse lado;</p><p>b) quando se movimenta em sentido contrário ao da propagação</p><p>das ondas, a uma velocidade de 8 m/s.</p><p>09. (ITA) Considere as seguintes afirmações relativas às formas de</p><p>ondas mostradas na figura:</p><p>Onda A</p><p>Onda B</p><p>direção de</p><p>movimento</p><p>direção de</p><p>movimento</p><p>direção de</p><p>vibração</p><p>di</p><p>re</p><p>çã</p><p>o</p><p>de</p><p>vi</p><p>br</p><p>aç</p><p>ão</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>031.135 – 1001/21</p><p>I. A onda A é conhecida como onda longitudinal</p><p>e seu</p><p>comprimento de onda é igual à metade do comprimento de</p><p>onda da onda B;</p><p>II. Uma onda sonora propagando-se no ar é melhor descrita pela</p><p>onda A, onde as regiões escuras são chamadas de regiões de</p><p>compressão e as regiões claras, de regiões de rarefação;</p><p>III. Se as velocidades das ondas A e B são iguais e permanecem</p><p>constantes e, ainda, se o comprimento de onda da onda B é</p><p>duplicado, então o período da onda A é igual ao período da</p><p>onda B.</p><p>Então, pode-se concluir que:</p><p>a) somente II é correta.</p><p>b) I e II são corretas.</p><p>c) todas são corretas.</p><p>d) II e III são corretas.</p><p>e) I e III são corretas.</p><p>10. (ITA) Uma onda eletromagnética com um campo elétrico de</p><p>amplitude E</p><p>0</p><p>, frequência f, comprimento de onda igual a 550</p><p>nm é vista por um observador, como mostra a figura. Considere</p><p>as seguintes proposições:</p><p>I. Se a amplitude do campo elétrico E</p><p>0</p><p>for dobrada, o observador</p><p>perceberá um aumento do brilho da onda eletromagnética;</p><p>II. Se a frequência da onda for quadruplicada, o observador</p><p>não distinguirá qualquer variação do brilho da onda</p><p>eletromagnética;</p><p>III. Se a amplitude do campo elétrico for dobrada, e a frequência</p><p>da onda for quadruplicada, então o observador deixará de</p><p>visualizar a onda eletromagnética.</p><p>Lembrando que a faixa de comprimento de ondas em que a</p><p>onda eletromagnética é perceptível ao olho humano compreende</p><p>valores de 400 nm a 700 nm, pode-se afirmar que:</p><p>λCampo</p><p>Elétrico</p><p>Observador</p><p>E</p><p>0</p><p>a) apenas II é correta.</p><p>b) somente I e II são corretas.</p><p>c) todas são corretas.</p><p>d) somente II e III são corretas.</p><p>e) somente I e III são corretas.</p><p>11. Analise as afirmativas:</p><p>I. Toda onda mecânica é sonora;</p><p>II. As ondas de rádio, na faixa de FM (Frequência Modulada), são</p><p>transversais;</p><p>III. Abalos sísmicos são ondas mecânicas;</p><p>IV. O som é sempre uma onda mecânica, em qualquer meio;</p><p>V. As ondas de rádio AM (Amplitude Modulada) são ondas</p><p>mecânicas.</p><p>São verdadeiras:</p><p>a) I, II e III</p><p>b) I, III e V</p><p>c) II, III e IV</p><p>d) III, IV e V</p><p>e) I, IV e V</p><p>12. Os modernos fornos de micro-ondas, usados em residências,</p><p>utilizam radiação eletromagnética de pequeno comprimento</p><p>de onda para cozinhar os alimentos. A frequência da radiação</p><p>utilizada é de aproximadamente 2 500 MHz. Sendo 300 000 km/s</p><p>a velocidade da luz no vácuo, qual é, em centímetros, o valor</p><p>aproximado do comprimento de onda das radiações utilizadas</p><p>no forno de micro-ondas?</p><p>a) 12 cm</p><p>b) 22 cm</p><p>c) 32 cm</p><p>d) 42 cm</p><p>e) 52 cm</p><p>13. Antenas para emissoras de rádio AM (Amplitude Modulada) são</p><p>frequentemente construídas de modo que a torre emissora tenha</p><p>uma altura igual a ¼ do comprimento de onda das ondas a serem</p><p>emitidas. Com base nisso, determine a altura, em metros, da torre</p><p>de uma emissora que emite na frequência de 1 000 kHz. Considere</p><p>a velocidade da luz igual a 3,0 · 108 m/s.</p><p>a) 12 m</p><p>b) 21 m</p><p>c) 30 m</p><p>d) 56 m</p><p>e) 75 m</p><p>14. (ITA) A faixa de emissão de rádio em frequência modulada, no</p><p>Brasil, vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. A razão</p><p>entre o maior e o menor comprimento de onda desta faixa é:</p><p>a) 1,2</p><p>b) 15</p><p>c) 0,63</p><p>d) 0,81</p><p>e) impossível calcular não sendo dada a velocidade de propagação</p><p>da onda</p><p>15. No dia 12 de agosto de 2000, um sábado, uma tragédia abateu-se</p><p>acima do Círculo Polar Ártico, no mar gelado de Barents, ao norte</p><p>da Rússia. O submarino nuclear russo Kursk, em treinamento</p><p>militar, afundou com 118 tripulantes a bordo, que tiveram suas</p><p>vidas ceifadas sem oportunidade de socorro. O gigantesco Kursk,</p><p>de 154 metros de comprimento, 18,2 metros de largura e 9 metros</p><p>de altura, foi localizado com exatidão por embarcações de resgate</p><p>equipadas com sonares. Esses aparelhos emitiram ultrassons com</p><p>frequência próxima de 25 000 Hz que se propagaram na água</p><p>com velocidade de cerca de 1 500 m/s, sendo refletidos pelo</p><p>submarino e captados de volta. Com base nos dados do enunciado</p><p>e sabendo que o intervalo de tempo transcorrido entre a emissão</p><p>dos ultrassons e a recepção do “eco” determinado pelo Kursk foi</p><p>de 0,16 s, calcule:</p><p>a) a profundidade em que foi localizada a embarcação</p><p>considerando-se que o barco e o submarino estão na mesma</p><p>vertical.</p><p>b) o comprimento de onda dos ultrassons utilizados.</p><p>GABARITOS</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08</p><p>E E D B E B A *</p><p>09 10 11 12 13 14 15</p><p>A E C A E A *</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>031.135 – 1001/21</p><p>Módulo de estudo</p><p>01. As três primeiras são exemplos de ondas eletromagnéticas, que</p><p>são sempre transversais; enquanto na quarta há um exemplo</p><p>de ondas em cordas, que também são sempre transversais.</p><p>Resposta: E</p><p>02. É interessante consultar uma tabela de frequências (ou</p><p>comprimentos de onda) do espectro eletromagnético, mas em</p><p>geral pode ser útil ter em mente que ondas de rádio constituem</p><p>uma radiação de baixa frequência (energia), seguida por</p><p>infravermelho, visível, ultravioleta e aí por radiações de alta</p><p>frequência, como raios X e γ.</p><p>Resposta: E</p><p>03. Os três exemplos citados pelo aluno não são exemplos de</p><p>radiação, mas sim de partículas, sendo os raios α compostos</p><p>por núcleos de He, e os β e catódicos compostos por elétrons.</p><p>Resposta: D</p><p>04. Entrando em detalhe somente quanto ao III, a onda gerada</p><p>pela perturbação da mola pode ser tanto transversal quanto</p><p>longitudinal, dependendo da maneira de como é feita essa</p><p>perturbação.</p><p>Resposta: B</p><p>05. A frequência da onda não muda quando ela “troca” de meio</p><p>de propagação:</p><p>f</p><p>c</p><p>Hz= = ⋅</p><p>λ</p><p>5 1014</p><p>Por outro lado, os novos valores de λ e da velocidade da luz</p><p>no meio serão λ = 4000 A, c’ = 2 ⋅ 108 m/s</p><p>o</p><p>.</p><p>Resposta: E</p><p>06. A questão cita um exemplo clássico e bastante didático do</p><p>fenômerno de ressonância.</p><p>Resposta: B</p><p>07. O período transcorrido entre duas cristas consecutivas é:</p><p>T s= =</p><p>80</p><p>20</p><p>4</p><p>Portanto, o comprimento de onda será:</p><p>λ = =vT m4</p><p>Resposta: A</p><p>08.</p><p>A) f</p><p>v</p><p>Hz= =</p><p>λ</p><p>0 2,</p><p>B) f f</p><p>v v</p><p>v</p><p>Hzb’ =</p><p>+</p><p>= 1</p><p>09.</p><p>I. Falsa. Pois o comprimento de onda nas duas situações é o</p><p>mesmo.</p><p>II. Correta. Ondas sonoras se propagando no ar são descritas</p><p>como ondas longitudinais, com regiões de alta pressão</p><p>(compressão) e baixa pressão (rarefação).</p><p>III. Falsa. Como a velocidade e o comprimento de onda de</p><p>ambas as situações são iguais, consequentemente os períodos</p><p>também serão. Logo, se um comprimento de onda for alterado,</p><p>mantendo a velocidade constante, os períodos não serão mais</p><p>iguais.</p><p>Resposta: A</p><p>10.</p><p>I. Correta. Pois como a intensidade da onda eletromagnética</p><p>depende do quadrado da amplitude do campo elétrico, se</p><p>ela for dobrada, será notado um aumento correspondente no</p><p>brilho.</p><p>II. Falsa. Embora a amplitude não seja alterada, essa variação</p><p>na frequência faz que a radiação em questão saia do espectro</p><p>visível. Logo será notada uma alteração no brilho da mesma</p><p>forma, apesar de que a intensidade da onda não será alterada.</p><p>III. Correta. Pelo mesmo motivo do item anterior, a radiação sairá</p><p>do espectro visível.</p><p>Resposta: E</p><p>11.</p><p>I. Falsa. A recíproca que é verdadeira.</p><p>II. Correta. Ondas de rádio, assim como todas as ondas</p><p>eletromagnéticas, são transversais.</p><p>III. Correta. Não possuem qualquer relação de natureza</p><p>eletromafnética.</p><p>IV. Correta.</p><p>V. Falsa. Ondas de rádio são eletromagnéticas.</p><p>Resposta: C</p><p>12.</p><p>λ = =</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>= =</p><p>c</p><p>f</p><p>m cm</p><p>3 10</p><p>25 10</p><p>0 12 12</p><p>8</p><p>8</p><p>,</p><p>Resposta: A</p><p>13.</p><p>λ</p><p>λ</p><p>=</p><p>⋅</p><p>= → = =</p><p>3 10</p><p>10</p><p>300</p><p>4</p><p>75</p><p>8</p><p>6</p><p>m h m</p><p>Resposta: E</p><p>14.</p><p>λ</p><p>λ</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>108</p><p>88</p><p>1 2= = ≈</p><p>f</p><p>f</p><p>,</p><p>Resposta: A</p><p>15.</p><p>A)</p><p>v</p><p>h</p><p>t</p><p>h</p><p>v t</p><p>h m</p><p>s</p><p>s= → =</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>120</p><p>B) γ = =</p><p>v</p><p>f</p><p>cms 6 0,</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Carlos Eduardo</p><p>DIG.: Vicentina. – REV.: Allana</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: ondulatória</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>004.436 – 130513/18</p><p>AULAS 33 A 35</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução à Óptica Geométrica</p><p>Velocidade de uma onda em um fio</p><p>Estudaremos um modelo para calcular a velocidade de</p><p>propagação das ondas em cordas.</p><p>r</p><p>v</p><p>∆l</p><p>τ</p><p>θ</p><p>τ</p><p>Assim, teremos:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>τ</p><p>θ</p><p>τ</p><p>θ τ υ</p><p>υ</p><p>τ</p><p>µ</p><p>sen</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= = =</p><p>=</p><p>∆</p><p>∆</p><p>l</p><p>r</p><p>m</p><p>r</p><p>onde τ é a tração na corda e µ a densidade</p><p>linear.</p><p>Reflexão e transmissão de ondas</p><p>Quando uma onda de um meio (1) incide sobre outro meio</p><p>(2), ocorrem dois fenômenos físicos bastante conhecidos: reflexão e</p><p>transmissão. A reflexão só ocorre quando as velocidades dos meios</p><p>são diferentes. Esses fenômenos ocorrem com todos os tipos de ondas</p><p>e a característica principal é a invariância da frequência. A frequência</p><p>de uma onda é ditada pela fonte e não depende do meio.</p><p>As amplitudes de reflexão de transmissão em função da onda</p><p>incidente são, respectivamente,</p><p>A A</p><p>A A</p><p>r i</p><p>t i</p><p>=</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>µ µ</p><p>µ µ</p><p>µ</p><p>µ µ</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>Como uma aplicação direta para a reflexão, temos o clássico</p><p>exemplo com cordas:</p><p>Extremidade fixa</p><p>Quando a onda atingir a extremidade da corda que está presa</p><p>à parede, haverá o fenômeno da reflexão. Como a extremidade é</p><p>rígida (fixa), a onda é refletida “de cabeça para baixo”, ou seja, com</p><p>inversão de fase.</p><p>Incidente</p><p>Refletida</p><p>v</p><p>v</p><p>Extremidade livre</p><p>Quando a extremidade da corda for livre (móvel), não ocorrerá</p><p>inversão de fase durante a reflexão.</p><p>→</p><p>v</p><p>Incidente</p><p>Refletida</p><p>Nas reflexões bidimensionais, temos:</p><p>A</p><p>M</p><p>D</p><p>N</p><p>r</p><p>ri</p><p>i</p><p>CEB</p><p><BAC = <BDC = 90º</p><p><ABC = BDC</p><p>Logo, os ângulos de incidência e reflexão são iguais.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.436 – 130513/18</p><p>Refração</p><p>A refração é o fenômeno que ocorre quando a onda, ao incidir</p><p>em uma superfície, passa para o outro meio. Neste processo, mantém-se</p><p>a frequência constante e somente a velocidade e comprimento</p><p>de onda são alterados.</p><p>Na refração, observamos o seguinte esquema.</p><p>E</p><p>D</p><p>N</p><p>CA</p><p>B</p><p>M υ</p><p>1</p><p>t</p><p>υ</p><p>2</p><p>t</p><p>n</p><p>1</p><p>n</p><p>2</p><p>r</p><p>r</p><p>i</p><p>i</p><p>Observando o quanto a onda andou, temos que</p><p>BC</p><p>AD</p><p>t</p><p>t</p><p>n</p><p>n</p><p>= = =</p><p>υ</p><p>υ</p><p>υ</p><p>υ</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>Por outro lado, podemos extrair da geometria que:</p><p>sen</p><p>sen</p><p>(i)</p><p>(r)</p><p>= =</p><p>BC</p><p>AC</p><p>AD</p><p>AC</p><p>BC</p><p>AD</p><p>t</p><p>Juntando as equações, obtemos</p><p>sen(i)</p><p>υ υ1 2</p><p>=</p><p>sen(r)</p><p>O exemplo de refração em cordas é análogo. A refração ocorre</p><p>quando uma onda é transferida de uma corda para outra. Se a corda</p><p>que recebe tiver uma densidade linear maior, a velocidade da onda</p><p>se reduz. Caso a densidade linear da corda for menor, a velocidade</p><p>aumenta.</p><p>A</p><p>B</p><p>onda incidente</p><p>onda retratada</p><p>onda refletida</p><p>onda incidente</p><p>onda refletida onda retratada</p><p>A</p><p>B</p><p>Atenção aos casos de inversão de fase na reflexão!</p><p>• Ondas sonoras invertem a fase quando se refletem em</p><p>uma superfície fixa.</p><p>• As ondas eletromagnéticas invertem a fase na reflexão</p><p>se υ</p><p>2</p><p>< υ</p><p>1</p><p>(do meio menos para o mais refringente).</p><p>Difração de ondas</p><p>O fenômeno chamado difração é o encurvamento sofrido</p><p>pelos raios de onda quando esta encontra obstáculos à propagação.</p><p>Imagine a situação em que uma onda se propaga em um meio, até</p><p>onde encontra uma fenda posta em uma barreira.</p><p>Raios incidentes</p><p>Frentes incidentes</p><p>Christian Huygens (1629-1695) foi um matemático, físico</p><p>e astrônomo holandês que patenteou o primeiro relógio de</p><p>pêndulo(1656), produziu potentes lentes capazes de detectar uma</p><p>das luas de Saturno e desenvolveu trabalhos relacionados à teoria</p><p>ondulatória da luz.</p><p>O chamado Princípio de Huygens diz que cada ponto em uma</p><p>frente de onda funciona como uma nova fonte, produzindo ondas</p><p>que se propagam com a mesma frequência e velocidade e na mesma</p><p>direção das ondas originais.</p><p>Frente de</p><p>onda nova</p><p>Frente de</p><p>onda</p><p>A imagem anterior representa ondas propagando-se na</p><p>superfície da água, por exemplo. Cada linha corresponde a uma frente</p><p>de onda que se desloca para a direita. De acordo com o Princípio de</p><p>Huygens, cada ponto destacado na frente de onda comporta-se como</p><p>uma nova fonte, o que faz com que a frente de onda mantenha seu</p><p>formato, desde que não existam obstáculos a serem superados.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.436 – 130513/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Polarização de ondas</p><p>Polarização é o fenômeno no qual uma onda transversal,</p><p>vibrando em várias direções, tem uma de suas direções de vibração</p><p>selecionada, enquanto as vibrações nas demais direções são impedidas</p><p>de passar por um dispositivo, denominado polarizador.</p><p>polarizador</p><p>onda</p><p>polarizada</p><p>onda não</p><p>polarizada</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma das características que diferem ondas transversais de ondas</p><p>longitudinais é que apenas as ondas transversais podem ser</p><p>A) polarizadas.</p><p>B) espalhadas.</p><p>C) refletidas.</p><p>D) refratadas.</p><p>E) difratadas.</p><p>02. Sir David Brewster (1781-1868), físico inglês, realizou estudos</p><p>experimentais sobre reflexão, refração e polarização da luz. Sobre</p><p>estudos da polarização da luz, mostrou que esse fenômeno é</p><p>característico de ondas:</p><p>I. longitudinais, e pode ocorrer por difração ou por meio de</p><p>polarizadores;</p><p>II. transversais, e pode ocorrer por reflexão ou transmissão;</p><p>III. transversais ou longitudinais, e pode ocorrer por interferência</p><p>ou transmissão.</p><p>Está correto o contido em</p><p>A) I, apenas.</p><p>B) II, apenas.</p><p>C) III, apenas.</p><p>D) I e II, apenas.</p><p>E) I, II e III.</p><p>03. (IFCE)</p><p>Refletida</p><p>Incidente</p><p>v</p><p>v</p><p>Um pulso, em uma corda de extremidade fixa, ao refletir, sofre</p><p>inversão de fase. Observe a figura anterior. O fato de ocorrer</p><p>inversão na fase do pulso está ligado à(ao)</p><p>A) Primeira Lei de Newton.</p><p>B) Princípio da Conservação da Energia.</p><p>C) Terceira Lei de Newton.</p><p>D) Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.</p><p>E) Lei de Coulomb.</p><p>04. O esquema a seguir representa, visto de cima, a evolução de</p><p>ondas na superfície da água. Elas se propagam da esquerda para</p><p>a direita, incidindo na mureta indicada, na qual há uma abertura</p><p>de largura d.</p><p>λ</p><p>d</p><p>Mureta</p><p>As ondas, cujo comprimento de onda vale λ, conseguem</p><p>“contornar” a mureta, propagando-se à sua direita. É correto que</p><p>A) ocorreu refração, e d > λ.</p><p>B) ocorreu refração, e d = λ.</p><p>C) ocorreu difração, e d < λ.</p><p>D) ocorreu reflexão, e d > λ.</p><p>E) tudo o que se afirmou não tem relação alguma com o fenômeno</p><p>ocorrido.</p><p>05. (ITA) “Cada ponto de uma frente de onda pode ser considerado a</p><p>origem de ondas secundárias, tais que a envoltória dessas ondas</p><p>forma a nova frente de onda.”</p><p>I. Trata-se de um princípio aplicável somente a ondas transversais;</p><p>II. Tal princípio é aplicável somente a ondas sonoras;</p><p>III. É um princípio válido para todos os tipos de ondas, tanto</p><p>mecânicas quanto eletromagnéticas.</p><p>Das afirmativas, pode-se dizer que</p><p>A) somente I é verdadeira.</p><p>B) todas são falsas.</p><p>C) somente III é verdadeira.</p><p>D) somente II é verdadeira.</p><p>E) I e II são verdadeiras.</p><p>06. Informações são guardadas em discos CD por meio de sequências</p><p>de traços ao longo da superfície do disco, as quais são varridas</p><p>por um feixe de laser durante a leitura.</p><p>Analise as proposições a seguir.</p><p>( ) No vácuo, a velocidade das ondas eletromagnéticas que</p><p>formam o feixe de laser é de 300 000 km/s.</p><p>( ) As ondas eletromagnéticas que formam o feixe de laser</p><p>podem deslocar-se através de fibras ópticas, sofrendo</p><p>sucessivas reflexões totais.</p><p>( ) Qualquer feixe de laser, tal como o feixe empregado na</p><p>leitura de um CD, é formado por ondas eletromagnéticas</p><p>de vários comprimentos de onda.</p><p>( ) Todo feixe de laser é formado por fótons de frequência bem</p><p>definida.</p><p>( ) A leitura de um disco CD é realizada com base no fenômeno</p><p>da interferência de ondas.</p><p>( ) A leitura de um disco CD é feita de maneira digital (binária),</p><p>isto é, laser refletido fortalecido: dígito 1; laser refletido</p><p>enfraquecido: dígito 0.</p><p>( ) A leitura de um disco CD também pode ser realizada com o</p><p>emprego de ondas mecânicas.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.436 – 130513/18</p><p>07. Ondas são fenômenos nos quais há transporte de energia sem que</p><p>seja necessário o transporte de massa. Um exemplo particularmente</p><p>extremo são os tsunamis, ondas que se formam no oceano, como</p><p>consequência, por exemplo, de terremotos submarinos.</p><p>A) Se, na região de formação, o comprimento de onda de um</p><p>tsunami é de 150 km e sua velocidade é de 200 m/s, qual é o</p><p>período da onda?</p><p>B) A velocidade de propagação da onda é dada por υ = g h ,</p><p>em que h é a profundidade local do oceano e g é a aceleração</p><p>da gravidade.</p><p>Qual é a velocidade da onda</p><p>em uma região próxima à costa,</p><p>onde a profundidade é de 6,4 m? (Dado: g = 10 m/s2)</p><p>C) Sendo A a amplitude (altura) da onda e supondo-se que a</p><p>energia do tsunami se conserva, o produto υA2 mantém-se</p><p>constante durante a propagação. Se a amplitude da onda na</p><p>região de formação for 1,0 m, qual será a amplitude perto da</p><p>costa, onde a profundidade é de 6,4 m?</p><p>08. Uma fonte isotrópica pontual cuja potência sonora é P = 0,10 W, está</p><p>localizada no centro de um cilindro oco com raio r = 1,0 m e altura</p><p>h = 2,0 m. Assumindo que o som é completamente absorvido</p><p>pelas paredes do cilindro, encontre o fluxo de energia média que</p><p>atinge a superfície lateral do cilindro.</p><p>A) 0,007 W B) 0,005 W</p><p>C) 0,07 W D) 0,05 W</p><p>E) N.D.A.</p><p>09. Na figura a seguir, está representada a secção transversal de um</p><p>recipiente infinitamente grande com um líquido. Da esquerda,</p><p>do meio que tem uma profundidade h</p><p>1</p><p>, e sob um ângulo de ϕ</p><p>1</p><p>, em</p><p>relação ao limite de divisão, movimenta-se uma onda plana, cujo</p><p>comprimento é λ>> h</p><p>1</p><p>. Que ângulo com o limite de divisão formará</p><p>esta onda no meio, cuja profundidade do líquido é h</p><p>2</p><p>. Sabe-se</p><p>que a velocidade de propagação das ondas gravitacionais longas,</p><p>em um recipiente infinitamente grande, é igual a υ = k gh, onde</p><p>K é um coeficiente de proporcionalidade e h é a profundidade</p><p>do recipiente.</p><p>h</p><p>2</p><p>h</p><p>1</p><p>10. Um cabo de comprimento L e massa M está pendurado no teto.</p><p>A) Mostre que a velocidade de uma onda transversal, como</p><p>função da posição ao longo do cabo livre, é υ = gx, onde x</p><p>é a distância à extremidade livre.</p><p>B) Mostre que o pulso transversal atravessa o cabo em um tempo</p><p>igual a 2 L/g.Observe que os resultados são independentes da</p><p>massa.</p><p>11. Um fio de 10,0 m de comprimento e de massa 100 g é tracionado</p><p>por uma tensão de 250 N. Se dois pulsos, separados no tempo</p><p>de 30,0 m/s, são gerados, um em cada extremidade do fio, onde</p><p>eles se encontrarão pela primeira vez?</p><p>A) 7,73 m</p><p>B) 7,37 m</p><p>C) 3,45 m</p><p>D) 3,54 m</p><p>E) N.D.A.</p><p>12.</p><p>Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais em</p><p>um fio com uma extremidade presa a uma parede, que é mantido</p><p>esticado pelo peso de um bloco suspenso na outra extremidade</p><p>por meio de uma polia. Depois, mergulha-se o bloco na água até</p><p>os 2/3 da altura e verifica-se que a velocidade cai para 95,5% da</p><p>anterior (ver figura). Qual é a densidade do bloco em relação à água?</p><p>13. Duas cordas de mesmo comprimento, de densidades lineares</p><p>µ</p><p>1</p><p>e μ</p><p>2</p><p>, tendo a primeira o dobro da massa da outra, são</p><p>interconectadas, formando uma corda única afixada em anteparos</p><p>interdistantes de . Dois pulsos propagam-se ao mesmo tempo em</p><p>sentidos opostos nessa corda. Determine o instante e a posição em</p><p>que os pulsos se encontram, sabendo que a corda está submetida</p><p>a uma tensão T.</p><p>14. (IME) Uma corda de comprimento L e densidade linear constante</p><p>gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A,</p><p>a uma velocidade angular constante ω. Um pulso ondulatório</p><p>é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade υ do</p><p>pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade</p><p>fixa, é dada por</p><p>A ωL</p><p>A) ω L r−</p><p>2 B) ω</p><p>L L r−( )</p><p>2</p><p>C)</p><p>ω</p><p>2</p><p>2 2</p><p>L</p><p>(L r )−</p><p>D) ω L r2 2</p><p>2</p><p>−</p><p>E)</p><p>ωL L r</p><p>L r2</p><p>−</p><p>+</p><p>15. No estudo de ondas que se propagam em meios elásticos,</p><p>a impedância característica de um material é dada pelo produto</p><p>da sua densidade pela velocidade da onda nesse material, ou seja,</p><p>z = µυ. Sabe-se, também, que uma onda de amplitude a</p><p>1</p><p>, que</p><p>se propaga em um meio 1, ao penetrar em uma outra região, de</p><p>meio 2, origina ondas, refletida e transmitida, cujas amplitudes</p><p>são, respectivamente,</p><p>a</p><p>z</p><p>z</p><p>z</p><p>z</p><p>a</p><p>a</p><p>z</p><p>z</p><p>a</p><p>r i</p><p>t i</p><p>=</p><p>−</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>ms,</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.436 – 130513/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Em um fio, sob tensão τ, a velocidade da onda nesse meio é</p><p>dada por υ</p><p>τ</p><p>µ</p><p>= .Considere agora o caso de uma onda que se</p><p>propaga em um fio de densidade linear μ (meio 1) e penetra em</p><p>um trecho desse fio em que a densidade linear muda para 4μ</p><p>(meio 2). Indique a figura que representa corretamente as ondas</p><p>refletida (r) e transmitida (t).</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>meio 1</p><p>meio 1</p><p>meio 1</p><p>meio 2</p><p>meio 1</p><p>meio 1</p><p>meio 2</p><p>meio 2</p><p>meio 2</p><p>meio 2</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>A B C C C</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* – C – –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B – – D A</p><p>*06. V – V – F – V – V – V – F</p><p>– Demonstração.*07. A) 12 min 30 s; B) 8,0 m/s; C) 5,0 m</p><p>*09. sen senϕ ϕ2</p><p>2</p><p>1</p><p>1=</p><p>h</p><p>h</p><p>*12. 7,6</p><p>*13. t</p><p>T</p><p>tot = +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1µ</p><p>*– Demonstração.</p><p>Anotações</p><p>SU</p><p>PE</p><p>RV</p><p>IS</p><p>O</p><p>R(</p><p>A</p><p>)/D</p><p>IR</p><p>ET</p><p>O</p><p>R(</p><p>A</p><p>):</p><p>M</p><p>A</p><p>RC</p><p>EL</p><p>O</p><p>P</p><p>EN</p><p>A</p><p>–</p><p>A</p><p>U</p><p>TO</p><p>R(</p><p>A</p><p>):</p><p>C</p><p>A</p><p>RL</p><p>O</p><p>S</p><p>ED</p><p>U</p><p>A</p><p>RD</p><p>O</p><p>–</p><p>D</p><p>IG</p><p>.:</p><p>A</p><p>ní</p><p>ba</p><p>l –</p><p>R</p><p>EV</p><p>.:</p><p>A</p><p>lla</p><p>na</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: Introdução à ÓptICa GEométrICa</p><p>frente: Equação dE onda</p><p>004.645 – 130664/18</p><p>AULAS 36 E 37</p><p>EAD – ITA-IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução à Óptica Geométrica</p><p>Equação de onda unidimensional (harmônica)</p><p>A equação de uma onda harmônica tem como geratriz um</p><p>oscilador harmônico.</p><p>y(t’) = A ⋅ cos(wt’ + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>Através de um intervalo de atraso (que é a mesma ideia de</p><p>acompanhar o referencial), teremos:</p><p>t’ = t – t</p><p>0</p><p>y(x, t) = A ⋅ cos(wt – wt</p><p>0</p><p>+ ϕ</p><p>0</p><p>) = A ⋅ cos(wt – kx + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>Chamaremos ϕ</p><p>= (wt – kx + ϕ</p><p>0</p><p>) de fase da onda.</p><p>Existem outras formas de escrever a mesma equação:</p><p>• Se propagado no sentido positivo,</p><p>y(x, t) = A ⋅ cos(wt – kx + ϕ</p><p>0</p><p>) = A ⋅ sen(wt – kx + θ</p><p>0</p><p>)</p><p>• Se propagando no sentido negativo,</p><p>y(x, t) = A ⋅ cos(wt + kx + ϕ</p><p>0</p><p>) = A ⋅ sen(wt + kx + θ</p><p>0</p><p>)</p><p>Perceba a diferença entre os sinais! Essa diferença é causada</p><p>por um atraso ou adiantamento no intervalo de tempo medido.</p><p>Defasagem:</p><p>Tomemos x</p><p>1</p><p>e x</p><p>2</p><p>, da mesma onda tal que x</p><p>1</p><p>≠ x</p><p>2</p><p>:</p><p>ϕ</p><p>1</p><p>= (wt – kx</p><p>1</p><p>+ ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>ϕ</p><p>2</p><p>= (wt – kx</p><p>2</p><p>+ ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>∆ ∆ϕ ϕ ϕ π</p><p>λ</p><p>= − = − =2 1 2 1</p><p>2</p><p>K x x x( )</p><p>Concluímos que:</p><p>• Se Dx = nl, (n = 0, 1, 2, ...)</p><p>Dϕ = n2π (concordância de fase)</p><p>• Se Dx = nl/2, (n = 0, 1, 2, ...)</p><p>Quando dois pontos estão em oposição de fase, eles possuem</p><p>elongações simétricas. Veja a seguir exemplos de ondas que não são</p><p>senoidais.</p><p>Intensidade de uma onda harmônica</p><p>A componente que realiza trabalho é a componente vertical.</p><p>Calcularemos então a taxa de transmissão de energia por tempo desta</p><p>componente.</p><p>P x t F</p><p>y</p><p>t</p><p>y y</p><p>x t</p><p>y,( ) = = ∂</p><p>∂</p><p>= − ∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>P(x, t) = wKTA2(sen wt + kx + θ0)</p><p>2</p><p>Calcularemos então uma potência média sobre a oscilação</p><p>completa:</p><p>P x t KTA sen t kx d,( ) = + +( )∫ω</p><p>π</p><p>ω θ θ2</p><p>0</p><p>21</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2= =P v Aµ ω</p><p>A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude e ao</p><p>quadrado da frequência (este resultado se aplica a qualquer onda</p><p>harmônica bi ou tridimensional).</p><p>Exercícios</p><p>01. A função de uma onda é dada pela expressão:</p><p>y x t t</p><p>x</p><p>, cos( ) = ⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p>20 2 4</p><p>3</p><p>π</p><p>em que x e y estão em centímetros, e t, em segundos. Determine</p><p>a amplitude, o período e a frequência dessa onda.</p><p>02. Um trem de ondas propaga-se em uma corda tensa não absorvedora</p><p>de energia com velocidade igual a 10 m/s. Sabendo que a amplitude</p><p>das ondas vale 0/5 m, a frequência é igual a 50 Hz e a fase inicial</p><p>da onda é nula, determine a equação dessas ondas.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.645 – 130664/18</p><p>03. Uma corda de comprimento l está distendida, com uma</p><p>extremidade presa a um suporte e a outra extremidade livre.</p><p>A) Ache as frequências f(n) dos modos normais de vibração</p><p>da corda.</p><p>B) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de</p><p>vibração mais baixos (em ordem de frequência crescente).</p><p>A velocidade de ondas na corda é v.</p><p>04. A equação de uma onda transversal se propagando em uma corda</p><p>é dada por: y = 2,0 mm sen[20 m–1x – 600 s–1 t]</p><p>Encontre a amplitude, frequência velocidade e o comprimento</p><p>de onda.</p><p>Encontre a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda.</p><p>A) 1,2 m/s</p><p>B) 1,4 m/s</p><p>C) 2,8 m/s</p><p>D) 1,2cm/s</p><p>E) NDA</p><p>05.</p><p>A figura</p><p>acima mostra uma onda transversal na forma de um</p><p>p u l s o o n d u l a t ó r i o e m u m a c o r d a e s t i c a d a .</p><p>A o n d a e s t á s e p ro p a g a n d o n o s e n t i d o p o s i t i v o</p><p>d o e i x o x c o m v e l o c i d a d e i g u a l a 0 ,5 m/s . Se o</p><p>deslocamento y, em met ros , para uma c o o rd e n a d a x ,</p><p>em metros, no instante t = 0 é dado por y x</p><p>x</p><p>( ) =</p><p>+</p><p>1</p><p>42</p><p>,</p><p>o deslocamento y, em centímetros, para x = 3 metros e t = 2</p><p>segundos é</p><p>A) 5,50.</p><p>B) 6,25.</p><p>C) 8,50.</p><p>D) 12,50.</p><p>E) 15,25.</p><p>06. Considere uma onda senoidal propagando-se com velocidade</p><p>igual a 4 m/s ao longo de uma corda elástica com um eixo de</p><p>referencia 0x. O gráfico mostra, em determinado instante, os</p><p>valores algébricos das velocidades transversais de alguns pontos</p><p>da corda, compreendidos entre as posições x</p><p>0</p><p>= 0 e x</p><p>1</p><p>= 3,0 m.</p><p>a) Determine a frequência e a amplitude da onda.</p><p>b) No instante considerado, qual será o perfil da corda</p><p>compreendido entre as posições x</p><p>0</p><p>= 0 e x</p><p>1</p><p>= 3,0 m?</p><p>c) Calcule, no instante considerado, o valor algébrico da</p><p>aceleração do ponto da corda situado na posição 2,0m</p><p>07. Duas cordas muito longas, bem esticadas, de densidades lineares</p><p>diferentes µ</p><p>1</p><p>e µ</p><p>2</p><p>, estão ligadas uma à outra. Toma-se a posição</p><p>de equilíbrio como eixo dos x e a origem O no ponto de junção,</p><p>sendo y o deslocamento transversal da corda. Uma onda</p><p>harmônica progressiva, y</p><p>i</p><p>= A</p><p>1</p><p>cos(k</p><p>1</p><p>x – wt), viajando na corda</p><p>1 (x < 0), incide sobre o ponto, de junção, fazendo-o oscilar com</p><p>frequência angular w. Isto produz na corda 2 (x > 0) uma onda</p><p>progressiva de mesma frequência, y</p><p>i</p><p>= A</p><p>2</p><p>cos(k</p><p>2</p><p>x – wt), (onda</p><p>transmitida), e dá origem na corda 1, a uma onda que viaja em</p><p>sentido contrário, y</p><p>r</p><p>= B</p><p>1</p><p>cos(k</p><p>1</p><p>x + wt) (onda refletida). Dada a</p><p>onda incidente y</p><p>i</p><p>, de amplitude A</p><p>1</p><p>, desejam-se obter a amplitude</p><p>de reflexão ρ =</p><p>B</p><p>A</p><p>1</p><p>1</p><p>e a amplitude de transmissão τ =</p><p>A</p><p>A</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>A) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação</p><p>v</p><p>1</p><p>e v</p><p>2</p><p>nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos números</p><p>de onda k</p><p>1</p><p>e k</p><p>2</p><p>. O deslocamento total na corda 1 é (y</p><p>i</p><p>+ y</p><p>r</p><p>),</p><p>e na corda 2 é y</p><p>t</p><p>.</p><p>B) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter (y</p><p>i</p><p>+ y</p><p>r</p><p>) = y</p><p>r</p><p>.</p><p>C) Aplicando a 3ª Lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre</p><p>que, nesse ponto, deve-se ter também</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+( ) = ∂</p><p>∂x</p><p>y y</p><p>x</p><p>yi r t.</p><p>D) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexão e</p><p>transmissão em função das velocidades v</p><p>1</p><p>e v</p><p>2</p><p>. Discuta o sinal</p><p>de ρ.</p><p>08. O deslocamento de uma partícula de uma corda, tensionada na</p><p>direção x, é representado por y. Assinale qual das alternativas</p><p>contém expressões que caracteriza uma onda. As constantes</p><p>A, k e w são reais.</p><p>I. y(x, t) = Acos(kx) sen(wt);</p><p>II. y(x, t) = A(k2x2 – w2t2);</p><p>III. y(x, t) = Acos2(kx + wt);</p><p>IV. y(x, t) = Acos(k2x2 – w2t2);</p><p>V. y(x, t) = Ae(kx – wt).</p><p>A) As equações I, II e IV. B) As equações II e III.</p><p>C) As equações I, IV e V. D) As equações I e III.</p><p>E) Nenhuma.</p><p>09. Um gafanhoto de massa m está tranquilamente em repouso</p><p>sobre uma corda esticada horizontalmente. A corda possui uma</p><p>densidade linear µ e está sob tensão F. Sem avisar, Tobias produz</p><p>uma onda transversal senoidal com um comprimento de onda</p><p>igual a l que se propaga na corda. Qual a amplitude mínima da</p><p>onda que faz o gafanhoto ficar repentinamente com um peso</p><p>aparente igual a zero? Suponha que a massa m seja tão pequena</p><p>que a presença desta não altere a propagação da onda.</p><p>A) 2 2g</p><p>F</p><p>λ µ B) g</p><p>F</p><p>λ µ2</p><p>C)</p><p>2 2</p><p>2</p><p>g</p><p>F</p><p>λ µ</p><p>π</p><p>D)</p><p>g</p><p>F</p><p>λ µ</p><p>π</p><p>2</p><p>22</p><p>E)</p><p>g</p><p>F</p><p>λ µ</p><p>π</p><p>2</p><p>24</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.645 – 130664/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>10. Na figura, as linhas cheia, tracejada e pontilhada representam</p><p>a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula de</p><p>uma corda na qual passa uma onda transversal e senoidal com</p><p>frequência angular maior que a unidade (w > 1).</p><p>Com base nessas curvas, discorra sobre as afirmativas abaixo.</p><p>I. As linhas cheia e tracejada representam, respectivamente,</p><p>a posição e a aceleração da partícula.</p><p>II. As linhas cheia e pontilhada representam, respectivamente,</p><p>a posição e a velocidade da partícula.</p><p>III. A linha cheia, necessariamente, representa a aceleração da</p><p>partícula.</p><p>11. O esquema a seguir representa no instante t</p><p>0</p><p>= 0 um trecho de</p><p>uma corda elástica e não absorvedora percorrida por um trem de</p><p>ondas harmônicas que se propagam para a direita, com velocidade</p><p>de intensidade igual a 2 m/s.</p><p>Considerando o referencial cartesiano 0xy, responda.</p><p>A) Qual a equação das ondas, y = f(x, t), dada em unidades</p><p>do SI?</p><p>B) Qual a defasagem, em radianos, entre os pontos A e D?</p><p>12. Uma fonte sonora isotrópica gera oscilações com frequência</p><p>f = 1,45 KHz. A uma distância de r</p><p>0</p><p>= 5,0 m a partir da fonte o</p><p>deslocamento de amplitude das partículas do meio é igual para</p><p>ano a</p><p>0</p><p>= 50 µm e para um ponto localizado a uma distância</p><p>r = 10 m a partir da fonte a amplitude de deslocamento é</p><p>η = 3,0 vezes menor que a</p><p>0</p><p>. Calcule o coeficiente de amortecimento</p><p>da onda. Assuma que a equação de uma onda esférica em um</p><p>meio homogêneo e absorvedor é:</p><p>ξ = −( )</p><p>−A e</p><p>r</p><p>wt kr</p><p>yr</p><p>0 cos</p><p>Onde A</p><p>0</p><p>é uma constante e γ é o coeficiente de amortecimento.</p><p>Dados: In 2 = 0,69 e In 3 = 1,1</p><p>A) 0,04 m–1</p><p>B) 0,08 m–1</p><p>C) 0,12 m–1</p><p>D) 0,16 m–1</p><p>E) NDA</p><p>13. Uma onda de frequência 500 Hz tem uma velocidade de 350 m/s.</p><p>A) Quão afastados estão dois pontos que tem uma diferença de</p><p>fase de</p><p>π</p><p>3</p><p>rad?</p><p>B) Qual é a diferença de fase entre dois deslocamentos, num</p><p>determinado ponto, em tempos separados de 1,00 ms?</p><p>14. Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo</p><p>de uma corda, então a inclinação de qualquer ponto da corda</p><p>é numericamente igual à razão entre a velocidade escalar da</p><p>partícula e a velocidade da onda naquele ponto.</p><p>15. Uma onda senoidal transversal está se propagando ao longo</p><p>de uma corda no sentido de x decrescente. A figura mostra um</p><p>gráfico do deslocamento como função da posição, no instante</p><p>t = 0. A tensão na corda é 3,6 N e sua densidade linear é 25 g/cm.</p><p>Calcule:</p><p>A) a amplitude;</p><p>B) o comprimento de onda;</p><p>C) a velocidade da onda;</p><p>D) o período da onda;</p><p>E) Encontre a velocidade máxima de uma partícula da corda;</p><p>F) Escreva uma equação descrevendo a onda progressiva.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* * * A D</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * D E *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* B * – *</p><p>* 01: 20 cm, 0,25 e 4 Hz</p><p>02: y(x, t) = 0,5 sen(10πx – 100 πt)</p><p>03: f</p><p>n v</p><p>l</p><p>m =</p><p>+( )2 1</p><p>4</p><p>06: A) 0,5 m 2 Hz C) − 8 2</p><p>2</p><p>π m</p><p>s</p><p>07: A) v</p><p>T=</p><p>µ</p><p>B) τ ρ=</p><p>+</p><p>= −</p><p>+</p><p>2 2</p><p>1 2</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>v</p><p>v v</p><p>v v</p><p>v v</p><p>,</p><p>10: O gráfico tracejado representa a velocidade, o gráfico pontilhado</p><p>representa a posição e o gráfico contínuo a aceleração.</p><p>11: A) y</p><p>t x</p><p>SI= −</p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ( )2 2</p><p>2 4 2</p><p>cos π π</p><p>B)</p><p>5</p><p>2</p><p>π</p><p>rad</p><p>13: x = 0,117 m e Dϕ = 3,14 rad</p><p>15: y</p><p>(x, t)</p><p>= 0,050 m sen[16 rad/m x + 190 rad/s t + 0,93 rad]</p><p>– Demonstração.</p><p>Supervisor(a)/Diretor(a): Marcelo Pena – Autor(a): Carlos Eduardo</p><p>Digitador(a): Cirlene-20/09/2018 – Revisor(a): CAMILLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: Introdução à ÒptICa GEométrICa</p><p>frente: FísICa II</p><p>004.647 – 130662/18</p><p>AULAS 38 A 40</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Interferência e Ondas estacionárias</p><p>Interferência</p><p>É o fenômeno que representa duas ou mais ondas se</p><p>superpondo na mesma região de um meio. Na interferência</p><p>construtiva, ocorre um reforço da onda, e a amplitude da onda</p><p>resultante é maior do que a amplitude de cada uma das ondas</p><p>que se superpõem. No caso da interferência destrutiva, ocorre</p><p>um cancelamento da onda, sendo esse cancelamento total ou</p><p>parcial, e a amplitude da onda resultante é menor do que pelo</p><p>menos uma das amplitudes das ondas que se superpõem. Quando</p><p>ocorre a interferência totalmente destrutiva, o meio não apresenta</p><p>efeito das perturbações, permanecendo o ponto em equilíbrio,</p><p>enquanto</p><p>perdurar a superposição.</p><p>Interferência construtiva</p><p>Onda resultanteOnda resultante</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>Interferência destrutiva</p><p>Onda resultanteOnda resultante</p><p>Veja o padrão produzido com duas fontes pontuais na superfície</p><p>de um líquido:</p><p>As linhas destacadas são hipérboles com os focos sobre as fontes.</p><p>Ondas se propagando no mesmo sentido e com</p><p>mesma frequência</p><p>y</p><p>1</p><p>(x, t) = A</p><p>1</p><p>· cos(ωt – kx + ϕ</p><p>0,1</p><p>)</p><p>y</p><p>2</p><p>(x, t) = A</p><p>2</p><p>· cos(ωt – kx + ϕ</p><p>0,2</p><p>)</p><p>Utilizaremos o método de soma de fasores.</p><p>A A A A A</p><p>I I I I I</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2 0 2 0 1</p><p>1 2 12 0 2 0 1</p><p>2</p><p>2</p><p>= + + −( )</p><p>= + + −( )</p><p>cos</p><p>cos</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>ϕ ϕ</p><p>ϕ ϕ</p><p>Temos assim, que:</p><p>• Se ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>= 2πn</p><p>I I I= +( )1 2</p><p>2</p><p>, condição de máximos (obs.: para I</p><p>1</p><p>= I</p><p>2</p><p>= I</p><p>0</p><p>→ I = 4I</p><p>0</p><p>)</p><p>• Se ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>= (2n + 1)π</p><p>I I I= −( )1 2</p><p>2</p><p>, condição de mínimos (obs.: para I</p><p>1</p><p>= I</p><p>2</p><p>= I</p><p>0</p><p>→ I = 0)</p><p>Ondas estacionárias</p><p>Estas ondas, que serão de extrema importância nos assuntos</p><p>posteriores, recebem esse nome pelo fato de que o fluxo de energia</p><p>é nulo entre os nodos.</p><p>É um estado estacionário. Tais ondas são geradas pela</p><p>superposição de uma onda progressiva e uma regressiva de mesmas</p><p>amplitude e frequência.</p><p>y</p><p>1</p><p>(x,t) = A · cos(ωt – kx + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>y</p><p>2</p><p>(x,t) = A · cos(ωt + kx + ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>Somando as elongações, obtemos:</p><p>y(x,t) = 2A · cos(kx + ϕ</p><p>0</p><p>) sen(ωt)</p><p>Simplificando com ϕ</p><p>0</p><p>= 0:</p><p>y(x, t) = 2A · cos(kx) sen(ωt)</p><p>Essa é a equação de uma onda estacionária.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>004.647 – 13066218</p><p>A formação de ondas estacionárias não é uma exclusividade</p><p>para cordas ou ondas sonoras. O fenômeno ocorre com qualquer tipo</p><p>de onda confinada, inclusive ondas eletromagnéticas. Num forno de</p><p>micro-ondas, a câmara de cozimento é dimensionada de maneira</p><p>que as suas paredes sempre coincidam com nós das micro-ondas,</p><p>como vemos na figura abaixo.</p><p>(a) n = 1</p><p>Fundamental ou primeiro harmônico</p><p>Segundo harmônico</p><p>VV VV</p><p>NN</p><p>Terceiro harmônico</p><p>Quarto harmônico</p><p>n = 2</p><p>n = 3</p><p>n = 4</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>(d)</p><p>A região representada por N são os nodos (pontos que</p><p>possuem amplitude nula). As regiões representadas por V,</p><p>chamamos de ventres.</p><p>Ondas estacionárias no interior de um forno de micro-ondas.</p><p>Assim, praticamente não haverá absorção de energia das ondas</p><p>pelas paredes do forno, proporcionando reflexões próximas à condição</p><p>ideal de formação de onda estacionária. O alimento é colocado sobre</p><p>um prato giratório para garantir uma distribuição uniforme de energia,</p><p>pois se o alimento permanecesse estático, teríamos pontos frios em</p><p>locais que coincidissem com os nodos das ondas estacionárias.</p><p>A distância entre as paredes da câmara de cozimento deve,</p><p>então, ser um múltiplo inteiro de meio comprimento de onda das</p><p>micro-ondas utilizadas no processo. Como as micro-ondas utilizadas</p><p>têm uma frequência de 2,45 GHz, as dimensões internas da câmara</p><p>de cozimento deverão ser múltiplos inteiros de 6,12 cm.</p><p>Batimentos e velocidade de grupo</p><p>Tomemos agora ondas com frequências e comprimentos de</p><p>ondas diferentes. Para simplificação, tomemos também a fase inicial</p><p>das duas sendo zero.</p><p>y</p><p>1</p><p>(x, t) = A · cos(ω</p><p>1</p><p>t – k</p><p>1</p><p>x)</p><p>y</p><p>2</p><p>(x, t) = A · cos(ω</p><p>2</p><p>t – k</p><p>2</p><p>x)</p><p>Definimos, então:</p><p>∆ = − ∆ = −</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>ω ω ω</p><p>ω</p><p>ω ω</p><p>2 1 2 1</p><p>2 1 2 1</p><p>2 2</p><p>;</p><p>;</p><p>k k k</p><p>k</p><p>k k</p><p>Assim, obtemos:</p><p>y(x, t) = y</p><p>1</p><p>(x, t) + y</p><p>2</p><p>(x, t)</p><p>= ⋅</p><p>∆</p><p>−</p><p>∆</p><p></p><p></p><p></p><p>⋅ −( )2</p><p>2 2</p><p>A</p><p>k</p><p>x t kx tcos cos</p><p>ω</p><p>ω</p><p>Onde 2</p><p>2 2</p><p>A</p><p>k</p><p>x t⋅</p><p>∆</p><p>−</p><p>∆</p><p></p><p></p><p></p><p>cos</p><p>ω</p><p>é a amplitude modulada A(x, t).</p><p>Esta expressão descreve um movimento ondulatório com</p><p>amplitude modulada. A velocidade de fase é dada por:</p><p>v</p><p>kf =</p><p>ω</p><p>Esse movimento está representado, na figura abaixo, pela linha</p><p>contínua.</p><p>Y</p><p>X</p><p>Por outro lado, a amplitude modulada está representada pela</p><p>linha pontilhada.</p><p>Pela expressão matemática de y(x, t), podemos ver que essa</p><p>amplitude modulada corresponde a um movimento ondulatório que</p><p>se propaga com uma velocidade chamada de velocidade de grupo,</p><p>com módulo:</p><p>v</p><p>k k</p><p>d</p><p>dkg =</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>ω ω ω2 1</p><p>2 1</p><p>A frequência de batimento é dada pela diferença das</p><p>frequências:</p><p>f</p><p>bat</p><p>= f</p><p>2</p><p>– f</p><p>1</p><p>Voltaremos a estudar esse fenômeno em Acústica.</p><p>Exercícios</p><p>01. Um bom projeto de uma sala de cinema deve contemplar materiais</p><p>em formas, no teto e nas paredes, de modo que o som seja</p><p>A) absorvido. B) refletido.</p><p>C) amplificado. D) difratado.</p><p>E) dispersado.</p><p>02. A figura mostra dois alto-falantes, A e B, separados por uma</p><p>distância de 2,0 m. Os alto-falantes estão emitindo ondas sonoras</p><p>em fase e de frequência 0,68 kHz. O ponto P mostrado na figura</p><p>está a uma distância de 1,5 m do alto-falante A.</p><p>A</p><p>B</p><p>x</p><p>P</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.647 – 130662/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>Supondo que a velocidade de propagação do som no ar seja</p><p>340 m/s, a distância x mínima do alto-falante B ao ponto P,</p><p>para que esse ponto seja um ponto nodal, é:</p><p>A) 1,50 m</p><p>B) 1,75 m</p><p>C) 2,00 m</p><p>D) 2,50 m</p><p>E) 3,00 m</p><p>03. (MNPEF) Duas fontes sonoras pontuais e coerentes emitem em</p><p>fase ondas com frequência de 3400 Hz no ar. A velocidade de</p><p>propagação do som no ar vale 340 m/s. Uma das fontes está</p><p>na origem do sistema de coordenadas e a outra se encontra</p><p>sobre o eixo dos y, em y = 40,0 cm. Considere os seguintes</p><p>pontos do plano xy:</p><p>P1 (x = 35,6 cm ; y = 20,0 cm), P2 (x = 0,0 cm ; y = 27,5 cm).</p><p>y</p><p>x0</p><p>Fonte 1</p><p>Fonte 2</p><p>A alternativa que descreve corretamente o tipo de interferência</p><p>que ocorre em cada um dos pontos é:</p><p>A) Em P1 destrutiva, em P2 destrutiva.</p><p>B) Em P1 destrutiva, em P2 construtiva.</p><p>C) Em P1 construtiva, em P2 construtiva.</p><p>D) Em P1 construtiva, em P2 destrutiva.</p><p>04. Dois pulsos na mesma corda são descritas pelas seguintes</p><p>equações de onda:</p><p>y</p><p>t</p><p>y</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>5</p><p>4 2</p><p>5</p><p>4 6 2</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>( )</p><p>( t )</p><p>3x</p><p>3x</p><p>Assinale a alternativa incorreta.</p><p>A) Os pulsos y1 e y2 viajam com velocidades + v e –v sobre o eixo</p><p>eixo x, respectivamente.</p><p>B) Em t = 0,75 s, o deslocamento em todos os pontos da corda</p><p>é zero.</p><p>C) Em x = 1 m, o deslocamento é igual a zero para qualquer</p><p>instante de tempo.</p><p>D) A energia de corda é nula em t = 0,75 s.</p><p>E) A onda descrita acima não é senoidal.</p><p>05. Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda, de modo</p><p>a formar três ventres e quatro nós, como está esquematizado na</p><p>figura.</p><p>Sabendo que a distância entre os nós extremos é de 1,5 m e a</p><p>velocidade da onda é de 10 m/s, determine a frequência dessa onda.</p><p>06. Uma corda de comprimento λ = 2,4 m vibra com frequência</p><p>de 300 Hz no estado estacionário representado na figura.</p><p>Qual a velocidade de propagação da onda na corda?</p><p>� = 2,4 m</p><p>07. Na situação ao lado, existem duas fontes</p><p>2 λ</p><p>O</p><p>O</p><p>coerentes sobre o diâmetro de uma</p><p>circunferência. A distância de cada uma</p><p>ao centro vale λ. Calcule o número de</p><p>interferências construtivas e destrutivas</p><p>sobre as paredes da circunferência.</p><p>08. (IME) Duas fontes puntiformes idênticas estão localizadas nos</p><p>pontos A e B. As fontes emitem ondas coerentes e em fase entre si.</p><p>Se a distância d entre as fontes é igual a um múltiplo inteiro</p><p>positivo N do comprimento de onda, o número de máximos de</p><p>interferência que podem ser observados no eixo x à direita do</p><p>ponto B é:</p><p>A</p><p>B</p><p>d</p><p>y</p><p>x</p><p>A) N –1 B) N</p><p>C) 2N–1 D) 2N</p><p>E) infinitos</p><p>09. Uma haste uniforme de 200 N e comprimento L está suspensa</p><p>horizontalmente por dois fios idênticos, como mostra a figura.</p><p>Uma haste uniforme de 200 N e comprimento L esta suspensa</p><p>horizontalmente por dois fios idênticos coma mostra a figura.</p><p>Um pequeno bloco de 4 N é colocado sobre a haste com o seu</p><p>centro de massa posicionado conforme a figura. Cada fio mede</p><p>100 cm de comprimento e possui massa de 5 g. Determine a</p><p>frequencia de batimento produzida após os fios serem percutidos</p><p>simultaneamente em seus centros, vibrando em suas frequências</p><p>fundamentais.</p><p>fio fio</p><p>haste</p><p>bloco</p><p>L</p><p>L /4</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>004.647 – 13066218</p><p>10. Um pequeno bloco de 4 N é colocado sobre a haste com o seu</p><p>centro de massa posicionado conforme a figura. Cada fio mede</p><p>100 cm de comprimento e possui massa de 5 g. Determine a</p><p>frequência de batimento produzida após os fios serem percorridos</p><p>simultaneamente em seus centros, vibrando em suas frequências</p><p>fundamentais.</p><p>11. Uma corda mista tensionada é formada por duas cordas</p><p>de densidades lineares µ1 e µ2 = 4 µ1 e comprimentos d1 e</p><p>d2 = 5d1/3, respectivamente. As cordas estão ligadas por</p><p>uma de suas extremidades no ponto P, enquanto as outras</p><p>estão fixas, conforme mostra a figura abaixo. Para uma onda</p><p>estacionária de frequência mínima, determine o número de nós</p><p>que serão observados ao longo de toda a corda, incluindo os</p><p>das extremidades, com a condição de que um dos nós esteja</p><p>no ponto P.</p><p>P</p><p>d</p><p>1</p><p>d</p><p>2</p><p>12. Um varal de roupas é constituído por um fio de comprimento</p><p>10,0 m e massa 2,5 kg, suspenso nas extremidades por duas</p><p>hastes uniformes de 200 N de peso, com articulação nas bases,</p><p>inclinadas de 45º em relação às bases e de iguais comprimentos.</p><p>Um vento forte faz com que o fio vibre com pequena amplitude</p><p>em seu quinto harmônico, sem alterar a posição das hastes.</p><p>A frequência, em Hz, nesse fio é:</p><p>fio</p><p>10,0 m</p><p>200 N 200 N</p><p>haste haste</p><p>45º 45º</p><p>Observação:</p><p>• a vibração no fio não provoca vibração nas hastes.</p><p>A) 3 B) 5</p><p>C) 10 D) 20</p><p>E) 80</p><p>13. (ITA) Em uma superfície líquida, na origem de um sistema de</p><p>coordenadas, encontra-se um emissor de ondas circulares</p><p>transversais. Bem distante dessa origem, elas têm a forma</p><p>aproximada dada por h1 (x, y, t) = h0 sen 2�</p><p>�</p><p>r</p><p>f t��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� , em que</p><p>λ é o comprimento de onda, f é a frequência e r, a distância de um</p><p>ponto da onda até a origem. Uma onda plana transversal com a</p><p>forma h2 (x, y, t) = h0 sen 2�</p><p>�</p><p>x</p><p>f t��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� superpõe-se à primeira,</p><p>conforme a figura. Na situação descrita, podemos afirmar,</p><p>sendo  o conjunto dos números inteiros, que:</p><p>y</p><p>(xp, yp)</p><p>x</p><p>A) Nas posições</p><p>y</p><p>2n</p><p>–</p><p>n</p><p>8</p><p>,�yp</p><p>2</p><p>p�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� , as duas ondas estão em fase se</p><p>n ∈  .</p><p>B) Nas posições</p><p>y</p><p>2n</p><p>–</p><p>n</p><p>,�y</p><p>2</p><p>p</p><p>2</p><p>p�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>, as duas ondas estão em</p><p>oposição de fase se n ∈  e n ≠ 0.</p><p>C) Nas posições</p><p>y</p><p>n</p><p>n</p><p>p</p><p>2</p><p>p</p><p>+</p><p>,y�</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>, as duas ondas estão em</p><p>oposição de fase se n ∈ Z e n ≠ 0.</p><p>D) Nas posições</p><p>y</p><p>n</p><p>n</p><p>yp</p><p>2</p><p>p2 +1</p><p>+</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>, , as duas ondas estão</p><p>em oposição de fase se n ∈  .</p><p>E) Na posição</p><p>2</p><p>,�</p><p>p</p><p>2</p><p>p</p><p>y</p><p>y</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��8</p><p>, a diferença de fase entre as ondas</p><p>é de 45°.</p><p>14. Uma emissora de rádio AM opera com frequência de 600 kHz</p><p>e sua antena transmissora está distante 180 km de um</p><p>determinado aparelho receptor. Entre a antena e o receptor,</p><p>o solo é praticamente plano e horizontal e não existem barreiras</p><p>prejudicando a propagação das ondas de telecomunicações,</p><p>que, no local, têm velocidade de intensidade 3,0 ⋅ 108 m/s.</p><p>O sinal que atinge o receptor chega por dois caminhos: o direto e</p><p>o via reflexão na ionosfera, admitida paralela à superfície terrestre</p><p>e situada, em um instante t0 = 0, a 120 km de altitude. Nesse</p><p>instante, o receptor recebe um sinal resultante reforçado como</p><p>consequência da interferência construtiva ocorrida entre os dois</p><p>sinais que o atingem. Em seguida, o sinal captado torna-se mais</p><p>fraco, voltando, pela primeira vez, a apresentar-se intensificado</p><p>como antes no instante t = 2,6 min. Isso pode ser explicado pelo</p><p>fato de a ionosfera ter-se aproximado do solo com uma velocidade</p><p>escalar média do módulo v.</p><p>y</p><p>Antena</p><p>transmissora</p><p>β</p><p>∆y</p><p>lonosfera</p><p>(t = 2,6 min)</p><p>x</p><p>0</p><p>= 90 km</p><p>�0</p><p>C</p><p>O</p><p>D = 180 km</p><p>B</p><p>A</p><p>lonosfera</p><p>(t</p><p>0</p><p>= 0)</p><p>β</p><p>B</p><p>αα</p><p>y 0</p><p>=</p><p>1</p><p>20</p><p>k</p><p>m</p><p>Rádio</p><p>receptor</p><p>�0</p><p>A) Calcule o comprimento de onda λ das ondas irradiadas pela</p><p>emissora.</p><p>B) Determine o valor de v.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>004.647 – 130662/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>15. Dois pulsos triangulares, de mesma largura e amplitude,</p><p>propagam-se em oposição de fase ao longo de uma corda elástica,</p><p>não dispersiva e de densidade igual a 10 g/cm.</p><p>4,0 cm</p><p>5,0 cm</p><p>5,0 cm</p><p>8,0 cm/s</p><p>8,0 cm/s</p><p>4,0 cm</p><p>4,0 cm 4,0 cm</p><p>Suas velocidades são opostas, apresentando módulo de 8,0 cm/s.</p><p>Sabendo que cada pulso transporta uma energia potencial</p><p>elástica de 4,0 · 10–4 J, calcule:</p><p>A) a energia cinética transportada por pulso antes de eles estarem</p><p>superpostos.</p><p>B) a energia cinética total associada ao sistema no instante em</p><p>que os pulsos estiverem superpostos.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>A B D D *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * A – *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* B D * *</p><p>* 05: 10 Hz</p><p>06: 480 m/s</p><p>07: 8 destrutivas e 8 construtivas.</p><p>10: 0,7 Hz</p><p>11: 14</p><p>14: A) 500 m B) 2,0 m/s</p><p>15: A) 4 · 10–4 J B) 16 · 10–4 J</p><p>– Demonstração.</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: NAILTON – REV.: CAMILLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: NoçõEs BásiCas dE aCústiCa</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>006.421 – 132386/18</p><p>AULAS 41 E 42</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Velocidade de propagação de</p><p>uma onda sonora</p><p>A figura A mostra um fluido (um gás em equilíbrio) com</p><p>densidade ρ em um tubo com uma seção reta com área A. No estado</p><p>de equilíbrio, o fluido está submetido a uma pressão uniforme p.</p><p>No instante t = 0, começamos a deslocar o pistão da extremidade</p><p>esquerda com velocidade constante ν</p><p>y</p><p>no sentido da esquerda para</p><p>a direita. Isso provoca um movimento ondulatório da esquerda para</p><p>a direita ao longo do tubo, no qual as seções sucessivas do tubo</p><p>começam a se mover e se comprimem em instantes sucessivos.</p><p>A figura B mostra um fluido em um instante t. Todas as partes</p><p>do fluido à esquerda do ponto P se movem com velocidade ν</p><p>y</p><p>da</p><p>esquerda para a direita; todas as partes do fluido à direita do ponto</p><p>P ainda estão em repouso. A fronteira entre a parte em repouso e a</p><p>parte móvel do fluido se desloca da esquerda para a direita com uma</p><p>velocidade igual à velocidade de propagação da onda ν.</p><p>Pistão móvel</p><p>pΑ</p><p>A)</p><p>B)</p><p>νtνt</p><p>ν</p><p>y</p><p>tν</p><p>y</p><p>t</p><p>ν</p><p>y</p><p>ν</p><p>y</p><p>pA</p><p>pA</p><p>P</p><p>Fluido inicialmente</p><p>em equilíbrio</p><p>Em movimento</p><p>������</p><p>Em repouso</p><p>ν</p><p>y</p><p>ν</p><p>y</p><p>ν</p><p>y</p><p>ν</p><p>y ν</p><p>y</p><p>ν</p><p>y</p><p>A quantidade do fluido que entra em movimento no instante</p><p>t é a quantidade que inicialmente ocupava uma seção do cilindro</p><p>de comprimento νt, com área de seção reta A e volume νtA.</p><p>A massa dessa quantidade de fluido é ρνtA e o seu momento linear</p><p>longitudinal é em módulo:</p><p>p tAmomentolinear y</p><p></p><p>( ) = ( )ρν ν</p><p>Podemos determinar o aumento da pressão, ∆P, no fluido</p><p>que se move. O volume original do fluido que se move diminui de</p><p>um valor Aν</p><p>y</p><p>t. Pela definição de módulo de compressão B, temos:</p><p>B</p><p>P</p><p>V</p><p>V</p><p>P</p><p>A t</p><p>A t P B</p><p>y</p><p>y= −</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅ =</p><p>∆</p><p>⋅ → ∆ =</p><p>ν</p><p>ν</p><p>ν</p><p>ν</p><p>Dessa forma, o impulso longitudinal pode ser expresso por:</p><p>I PAt B t tAy</p><p>y= ∆ = = ( )ν</p><p>ν</p><p>ρν ν</p><p>Portanto:</p><p>ν</p><p>ρ</p><p>=</p><p>B</p><p>Obs.: Para um sólido, a analogia é feita e resulta em:</p><p>ν γ ρ= ( )/</p><p>Onde γ é o módulo de Young.</p><p>Um exemplo bastante comum é quando a sonora se propaga</p><p>nos gases. Como a condutividade térmica dos gases é muito</p><p>pequena, verificamos que para as frequências das ondas sonoras</p><p>ordinárias, digamos entre 20 Hz e 20000 Hz, a propagação do som é</p><p>aproximadamente adiabática. Portanto, na equação anterior, devemos</p><p>usar o módulo de compressão adiabática da seguinte maneira:</p><p>PVγ = constante</p><p>dP</p><p>dV</p><p>V PVγ γγ+ =−1 0</p><p>Logo:</p><p>B</p><p>ad</p><p>= γP</p><p>Concluímos então que a velocidade de propagação do som</p><p>no ar é dada por:</p><p>ν</p><p>γ</p><p>ρ</p><p>γ</p><p>= =</p><p>P RT</p><p>M</p><p>É claro que desprezamos a natureza molecular do gás que foi</p><p>considerado como um meio contínuo. Na realidade, sabemos que</p><p>um gás é constituído por moléculas que se movem aleatoriamente</p><p>e são separadas por distâncias grandes em comparação com seus</p><p>diâmetros. As vibrações que constituem as ondas que se propagam</p><p>em um gás são superpostas com o movimento térmico aleatório.</p><p>Para a pressão atmosférica, cada molécula desloca uma distância</p><p>média (seu livre caminho médio) da ordem de 10–7 m entre as colisões,</p><p>enquanto a amplitude do deslocamento de uma onda sonora fraca é de</p><p>10–9 m. Podemos</p><p>imaginar que uma onda sonora se propagando em</p><p>um gás seja semelhante ao movimento de um enxame de abelhas;</p><p>o conjunto inteiro do enxame oscila ligeiramente enquanto cada</p><p>abelha se move individualmente, aparentemente de modo aleatório,</p><p>dentro do conjunto do enxame de abelhas.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.421 – 132386/18</p><p>Equação da onda sonora unidimensional</p><p>(senoidal)</p><p>Podemos estudar o modelo teórico de uma onda senoidal para</p><p>as ondas sonoras.</p><p>y(x, t) = A sen(ωt – kx)</p><p>xO xx + ∆x</p><p>Uma onda sonora</p><p>desloca a extremidade</p><p>esquerda do cilindro</p><p>em y</p><p>1</p><p>= y(x,t)...</p><p>Cilindro de fluido não perturbado de área transversal S,</p><p>longitude ∆x, y e volume S∆x.</p><p>A variação de volume do cilindro</p><p>perturbado é S(y</p><p>2</p><p>– y</p><p>1</p><p>).</p><p>...e a extremidade</p><p>direita</p><p>y</p><p>2</p><p>= y(x + ∆x,t).</p><p>S</p><p>Onde S é a área transversal.</p><p>Quantitativamente, a variação de volume ∆V no cilindro é:</p><p>∆V = A(y</p><p>2</p><p>– y</p><p>1</p><p>) = A[y(x + ∆x,t) – y(x,t)]</p><p>Fazendo ∆x → 0, podemos escrever:</p><p>∆V</p><p>V</p><p>y x x t y x</p><p>x</p><p>y x t</p><p>xx</p><p>=</p><p>+ ∆( ) − ( ) </p><p>∆</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂∆ →</p><p>lim</p><p>, ,t ,</p><p>0</p><p>A variação relativa do volume é relacionada com a flutuação</p><p>de pressão por meio do módulo de compressão B:</p><p>P x t B</p><p>y x t</p><p>x</p><p>,</p><p>,( ) = −</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>O sinal negativo surge porque, quando</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>y x t</p><p>x</p><p>,</p><p>for positivo,</p><p>o deslocamento no ponto x + ∆x é maior do que no ponto x,</p><p>correspondendo a um aumento de volume e a uma diminuição de</p><p>pressão.</p><p>Dessa forma, obtemos:</p><p>P(x, t) = BkA cos(ωt – kx)</p><p>Agora é importante perceber que P(x, t) e y(x, t) possuem uma</p><p>diferença de fase de π/2. Em outras palavras, quando um for máximo,</p><p>o outro será mínimo! Assim, o deslocamento é máximo quando a</p><p>flutuação de pressão é igual a zero, e vice-versa.</p><p>Temos a máxima flutuação de pressão (amplitude de pressão),</p><p>sendo designada por</p><p>P</p><p>máx</p><p>= BkA,</p><p>ou seja, a amplitude de pressão é proporcional à amplitude</p><p>de deslocamento A.</p><p>Um bom esquema para entender o que acontece está na</p><p>figura a seguir.</p><p>A</p><p>– A ������</p><p>������</p><p>P</p><p>máx</p><p>P</p><p>x</p><p>– P</p><p>máx</p><p>Longitude de</p><p>onda λy</p><p>x</p><p>y > 0y > 0 y > 0y > 0</p><p>y < 0y < 0</p><p>As partículas se</p><p>deslocam à direita,</p><p>onde y > 0.</p><p>As partículas se</p><p>deslocam à direita,</p><p>onde y > 0.</p><p>A) Gráfico de deslocamento</p><p>y em função de x</p><p>em t = 0</p><p>A) Gráfico de deslocamento</p><p>y em função de x</p><p>em t = 0</p><p>B) Representação do</p><p>deslocamento de partículas</p><p>individuais no fluido</p><p>em t = 0</p><p>B) Representação do</p><p>deslocamento de partículas</p><p>individuais no fluido</p><p>em t = 0</p><p>C) Gráfico de flutuação</p><p>de pressão p em função de</p><p>x em t = 0</p><p>C) Gráfico de flutuação</p><p>de pressão p em função de</p><p>x em t = 0</p><p>Partículas não deslocadasPartículas não deslocadas</p><p>Partículas deslocadasPartículas deslocadas Expansão:</p><p>as partículas se separam;</p><p>a pressão é mais negativa.</p><p>Expansão:</p><p>as partículas se separam;</p><p>a pressão é mais negativa.</p><p>Compressão:</p><p>as partículas se amontoam;</p><p>a pressão é mais positiva.</p><p>Compressão:</p><p>as partículas se amontoam;</p><p>a pressão é mais positiva.</p><p>As partículas se</p><p>deslocam à esquerda,</p><p>onde y < 0</p><p>As partículas se</p><p>deslocam à esquerda,</p><p>onde y < 0</p><p>y < 0y < 0</p><p>Intensidade do som</p><p>Como toda “boa” onda, a onda sonora transporta energia</p><p>entre dois pontos do espaço. A intensidade de uma onda é definida</p><p>(como visto anteriormente) como a energia transportada, por unidade</p><p>de tempo, por unidade de área.</p><p>Como a potência é dada pelo produto da força pela velocidade,</p><p>faremos isso aqui da mesma forma:</p><p>P</p><p>rea</p><p>BkA t kx A t kxot</p><p>Á</p><p>= −( ) −( )cos cosω ω ω</p><p>A intensidade é o valor médio dessa expressão e pode ser</p><p>representada de várias formas:</p><p>I Bk A B A</p><p>I</p><p>P</p><p>B</p><p>m x</p><p>= =</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>ω ρ ω</p><p>ρ</p><p>á</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma unidade de intensidade sonora é</p><p>A) erg/s B) watt/cm2</p><p>C) erg/cm D) dina/c2</p><p>E) joule/cm2</p><p>02. O aparelho auditivo, considerado no seu conjunto uma</p><p>”caixa-preta”, que detecta um sinal sonoro no ar e o transmite</p><p>ao cérebro, tem como grandezas de entrada e saída</p><p>A) variação de pressão – impulsos elétricos.</p><p>B) variação de pressão – compressão e distensão de moléculas.</p><p>C) variação de velocidade de moléculas – concentração iônica nas</p><p>células.</p><p>D) variação de velocidade – impulsos elétricos.</p><p>E) variação de pressão – concentração iônica nas células.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.421 – 132386/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>03. Diante de uma grande parede vertical, um garoto bate palmas e</p><p>recebe o eco um segundo depois. Se a velocidade do som no ar</p><p>é 340 m/s, o garoto pode concluir que a parede está situada a</p><p>uma distância aproximada de</p><p>A) 17 m B) 34 m</p><p>C) 68 m D) 170 m</p><p>E) 340 m</p><p>04. O ouvido humano é capaz de ouvir sons entre 20 Hz e</p><p>20000 Hz, aproximadamente. A velocidade do som no ar é,</p><p>aproximadamente, 340 m/s. O som mais grave que o ouvido</p><p>humano é capaz de ouvir tem comprimento de ondas</p><p>A) 1,7 cm B) 59,8 mm</p><p>C) 17 m D) 6800 Km</p><p>E) 6800 km</p><p>05. O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a</p><p>velocidade do som em gases, é um tubo de vidro que contém</p><p>um gás fechado em uma extremidade por uma tampa M, que</p><p>se faz vibrar com uma frequência f conhecida (por exemplo,</p><p>acoplando-a a um alto-falante), e na outra por um pistão P,</p><p>que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo</p><p>contém um pó fino (serragem, por exemplo). Ajusta-se o</p><p>comprimento do tubo com o auxílio do pistão, até que ele</p><p>entre em ressonância com a frequência f, o que se nota pelo</p><p>reforço da intensidade sonora emitida.</p><p>M P</p><p>gás</p><p>Observa-se então que o pó fica acumulado em montículos</p><p>igualmente espaçados, de espaçamento ∆, que se pode medir.</p><p>A) A que correspondem as posições dos topos dos montículos?</p><p>B) Qual é a relação entre ∆, f e a velocidade do som no gás?</p><p>C) Com o tubo cheio de CO</p><p>2</p><p>, a 20 °C e f = 880 Hz, o espaçamento</p><p>médio medido é de 15,2 cm. Qual é a velocidade do som no</p><p>CO</p><p>2</p><p>, a 20 ºC?</p><p>06. Dois tubos cilíndricos possuem comprimentos L = 30 cm. Um deles</p><p>contém hidrogênio e o outro oxigênio à mesma temperatura.</p><p>As extremidades dos tubos são tampadas com diafragmas</p><p>flexíveis e podem vibrar. Os diafragmas A e C estão oscilando</p><p>simultaneamente com uma frequência f = 600 Hz. Calcule a</p><p>diferença de fase das vibrações dos diafragmas D e B.</p><p>Dados: A velocidade da onda sonora no tubo com hidrogênio a</p><p>essa temperatura é dada por: v</p><p>som</p><p>(hidrogênio) = 1200 m/s.</p><p>As massas molares são: M</p><p>g</p><p>mol</p><p>e M</p><p>g</p><p>molO H2 2</p><p>32 2= = .</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>LH2 O2H</p><p>2</p><p>O</p><p>2</p><p>A) 0,9π rad B) 0,5π rad</p><p>C) 1,3π rad D) 1,7π rad</p><p>E) 0π rad</p><p>07. Assinale o item que contém as afirmativas verdadeiras.</p><p>I. A energia média em uma onda estacionária em uma corda presa</p><p>nas extremidades é proporcional ao quadrado do número de</p><p>antinós;</p><p>II. A equação de Taylor não pode ser utilizada em ondas</p><p>longitudinais;</p><p>III. Os tsunamis produzidos em alto mar possuem pequenas</p><p>amplitudes e alta velocidade. Entretanto, ao chegar próximo à</p><p>praia, a velocidade diminui com a profundidade e a amplitude</p><p>aumenta, tornando-se ondas gigantes, para conservar a</p><p>energia;</p><p>IV. A intensidade de uma onda eletromagnética depende do</p><p>quadrado da amplitude e do quadrado da frequência.</p><p>A) I e II.</p><p>B) I, II e III.</p><p>C) I e III.</p><p>D) I e IV.</p><p>E) Somente o item III está correto.</p><p>08. (IME) Considerando as figuras 1 e 2 e, com relação às ondas</p><p>sonoras em tubos, avalie as afirmações a seguir.</p><p>Figura 1</p><p>compressão expansão</p><p>Figura 2</p><p>λ / 4 λ / 4 λ / 4 λ / 4 λ / 4</p><p>Afirmação I. As ondas sonoras são ondas mecânicas, longitudinais,</p><p>que necessitam de um meio material para se propagarem,</p><p>como representado na Figura 1.</p><p>Afirmação II. Uma onda sonora propagando-se em um tubo</p><p>sonoro movimenta as partículas do ar no seu interior na direção</p><p>transversal, como representado na Figura 2.</p><p>Afirmação III. Os tubos sonoros com uma extremidade fechada,</p><p>como representado na figura 2, podem estabelecer todos os</p><p>harmônicos da frequência fundamental.</p><p>É correto o que se afirmar em</p><p>A) I, apenas.</p><p>B) II, apenas.</p><p>C) I e II, apenas.</p><p>D) II e III apenas.</p><p>E) I e III, apenas.</p><p>09. Quais as características das ondas sonoras que determinam a</p><p>altura e a intensidade do som, respectivamente?</p><p>A) Comprimento</p><p>de onda e frequência.</p><p>B) Amplitude e comprimento de onda.</p><p>C) Amplitude e frequência.</p><p>D) Frequência e comprimento de onda.</p><p>E) Frequência e amplitude.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.421 – 132386/18</p><p>10. Intensidades sonoras acima de 1,0 W/m2 podem produzir sensações</p><p>auditivas dolorosas e danos no aparelho auditivo humano.</p><p>Suponha que intensidades mais baixas que essa são seguras</p><p>para nós. Considere uma fonte sonora com potência média</p><p>de 200 W, emitindo uniformemente em todas as direções.</p><p>Desprezando ecos, reverberações e perdas de energia</p><p>sonora para o ar, a menor distância que alguém pode chegar</p><p>dessa fonte sem sofrer sensações auditivas dolorosas é de,</p><p>aproximadamente,</p><p>A) 1 cm B) 20 cm</p><p>C) 4 m D) 200 m</p><p>11. Ao assistir uma apresentação musical, um músico que estava na</p><p>plateia percebeu que conseguia ouvir quase perfeitamente o som</p><p>da banda, perdendo um pouco de nitidez nas notas mais agudas.</p><p>Ele verificou que havia muitas pessoas bem mais altas à sua frente,</p><p>bloqueando a visão direta do palco e o acesso aos alto-falantes.</p><p>Sabe-se que a velocidade do som no ar é 340 m/s e que a região</p><p>de frequências das notas emitidas é de, aproximadamente, 20 Hz</p><p>e 4000 Hz. Qual fenômeno ondulatório foi o principal responsável</p><p>para que o músico percebesse essa diferenciação do som?</p><p>A) Difração.</p><p>B) Reflexão.</p><p>C) Refração.</p><p>D) Atenuação.</p><p>E) Interferência.</p><p>12. (ITA) Supondo que você estivesse ouvindo a “ária da corda de sol”</p><p>durante um banho de imersão. Sabendo-se ser a velocidade do</p><p>som na água cerca de quatro vezes maior do que no ar, imagine</p><p>que lhe ocorresse fazer a seguinte experiência: durante a execução</p><p>de uma daquelas notas muito longas do violino, mergulhar por</p><p>um instante a cabeça toda na água. Certamente constataria que o(a)</p><p>A) som da mesma nota se tornaria agudo.</p><p>B) som da mesma nota se tornaria grave.</p><p>C) altura do som não mudaria.</p><p>D) comprimento de onda na água seria cerca de 1/4 do valor</p><p>percebido no ar.</p><p>13. (UFRGS) Dois sons no ar, com a mesma altura, diferem em intensidade.</p><p>O mais intenso tem, em relação ao outro,</p><p>A) apenas maior frequência.</p><p>B) apenas maior amplitude.</p><p>C) apenas maior velocidade de propagação.</p><p>D) maior amplitude e maior velocidade de propagação.</p><p>E) maior amplitude, maior frequência e maior velocidade.</p><p>14. (UFPR) A figura ao lado mostra uma lâmina</p><p>presa a um suporte rígido, a qual oscila</p><p>passando 100 vezes por segundo pela</p><p>posição vertical, onde estaria se estivesse</p><p>em repouso.</p><p>É correto afirmar que</p><p>( ) a frequência da onda sonora emitida no ar pela vibração da</p><p>lâmina é de 50 Hz.</p><p>( ) se a lâmina vibrasse no vácuo, não seriam produzidas ondas</p><p>sonoras.</p><p>( ) aumentando-se a amplitude da oscilação da lâmina e</p><p>mantendo-se a mesma frequência, haverá uma diminuição</p><p>do comprimento de onda da onda sonora emitida no ar.</p><p>( ) a velocidade de propagação da onda sonora emitida pela</p><p>vibração da lâmina no ar depende da amplitude dessa</p><p>vibração.</p><p>15. Uma experiência de demonstração divertida em mudar a</p><p>tonalidade da voz enchendo a boca de gás hélio: uma voz grave</p><p>transforma-se em aguda (cuidado: não procure fazer isso por</p><p>sua conta! – inalar hélio é perigoso, podendo levar à sufocação).</p><p>Para explicar o efeito, admita que os comprimentos de onda</p><p>associados à voz são determinados pelas dimensões das cordas</p><p>vocais, laringe e boca, estas funcionando como cavidades</p><p>ressonantes, de modo que a variação de tonalidade seria devida</p><p>unicamente à variação da velocidade do som (embora isto não</p><p>seja bem correto).</p><p>A) Calcule a velocidade do som no hélio a 20 ºC. É um gás</p><p>monoatômico, de massa atômica = 4 g/mol, com γ = 1,66.</p><p>A constante universal dos gases R vale 8,314 J/mol · K.</p><p>B) Explique o efeito calculando a razão entre as frequências do</p><p>som no hélio e no ar para o mesmo comprimento de onda.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>B A D C –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>A C A E C</p><p>11 12 13 14 15</p><p>A C B * –</p><p>* 14: V – V – F – F</p><p>– Demonstração.</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: NAILTON – REV.: ALLANA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>PROFESSOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>ASSUNTO: TUBOS SONOROS</p><p>FRENTE: FÍSICA II</p><p>006.422 – 132387/18</p><p>AULAS 43 E 44</p><p>EAD – ITA</p><p>Resumo Teórico</p><p>Tubos Sonoros</p><p>Os tubos sonoros são elementos que possuem uma abertura</p><p>em uma das extremidades, na qual um jato de gás enviado contra a</p><p>aresta de um bisel, bifurca-se de modo a produzir uma perturbação</p><p>que acarreta a vibração da coluna de gás no seu interior.</p><p>Embocadura de flauta</p><p>s</p><p>s L</p><p>T</p><p>C</p><p>L</p><p>Podemos classifi car os tubos de duas formas:</p><p>• Tubo aberto: quando a extremidade oposta é aberta.</p><p>Os harmônicos possíveis no tubo aberto possuem frequências</p><p>múltiplas da fundamental.</p><p>TUBO ABERTO</p><p>1o HARMÔNICO 2o HARMÔNICO 3o HARMÔNICO</p><p>f n</p><p>v</p><p>l</p><p>n =</p><p>2</p><p>Onde n é um inteiro qualquer.</p><p>A N A</p><p>L</p><p>A N AA N</p><p>A N A N</p><p>(a) Aberto em ambos os lados</p><p>1° Harmônico</p><p>A N A</p><p>λ =1 2L</p><p>λ =2 L</p><p>= =</p><p>λ1</p><p>1</p><p>v v</p><p>f</p><p>2L</p><p>2° Harmônico</p><p>3° Harmônico</p><p>= =</p><p>λ2</p><p>1</p><p>v v</p><p>f</p><p>2L</p><p>= =3 1</p><p>3v</p><p>f 3f</p><p>2L</p><p>λ =3</p><p>2</p><p>L</p><p>3</p><p>• Tubo fechado: quando a extremidade oposta é tampada.</p><p>Os harmônicos possíveis no tubo fechado são dados por</p><p>um múltiplo ímpar da frequência fundamental. Assim, tais tubos só</p><p>possuem harmônicos de ordem ímpar.</p><p>1o HARMÔNICO 2o HARMÔNICO 3o HARMÔNICO</p><p>TUBO FECHADO</p><p>f n</p><p>v</p><p>l</p><p>n =</p><p>4</p><p>Onde n, para esse caso, deve ser ímpar.</p><p>Tubo Fechado</p><p>(a) Aberto em ambos os lados</p><p>1º Harmônico</p><p>A</p><p>A A</p><p>N</p><p>L</p><p>N N</p><p>A AN NN A</p><p>3º Harmônico</p><p>5º Harmônico</p><p>λ =</p><p>= =</p><p>λ</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>4L</p><p>v vf</p><p>4L</p><p>= =3 1</p><p>3v 3ff</p><p>4L</p><p>= =5 1</p><p>5v 5ff</p><p>4L</p><p>λ =3</p><p>4</p><p>3</p><p>L</p><p>λ =5</p><p>4</p><p>5</p><p>L</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>006.422 – 132387/18</p><p>Obs.: A extremidade da embocadura contém sempre um ventre</p><p>de pressão da onda estacionária na coluna gasosa. Em relação</p><p>à outra extremidade, será sede de um ventre se for tubo aberto</p><p>e um só se for tubo fechado. Você seria capaz de explicar isso?</p><p>Lembre-se que a onda de pressão está sempre em oposição de</p><p>fase com a onda de deslocamento!</p><p>Tubo de Quincke</p><p>Orelha</p><p>x</p><p>x</p><p>D</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>O som é produzido pelo diapasão e percorre os caminhos ABC</p><p>e ADC. Assim, no ponto C, teremos uma interferência. A condição</p><p>para que esta seja máxima é dada por:</p><p>∆x ABC ADC n= − = λ</p><p>Obs.: Cada x que é acrescido ou reduzido causa uma diferença de</p><p>caminho de 2x.</p><p>Exercícios</p><p>01. (IME) Há dez batimentos por segundo entre o 2° harmônico</p><p>de um tubo aberto de órgão, de 8,5 m de comprimento, e o</p><p>3° harmônico de outro tubo fechado; entre os dois, o som mais</p><p>grave é o primeiro. Qual o comprimento do tubo fechado?</p><p>Velocidade do som: v</p><p>s</p><p>= 340 m/s.</p><p>02. Um diapasão de 440 Hz soa acima de um tubo de ressonância</p><p>contendo um êmbolo móvel, como mostrado na fi gura. A uma</p><p>temperatura ambiente de 0° C, a primeira ressonância ocorre</p><p>quando o êmbolo está a uma distância h abaixo do topo do tubo.</p><p>Dado que a velocidade do som no ar (em m/s), a uma temperatura</p><p>T (em °C), é v = 331,5 + 0,607T, conclui-se que a 20 °C a posição</p><p>do êmbolo para a primeira ressonância, relativa à sua posição</p><p>a 0 °C, é:</p><p>A) 2,8 cm acima.</p><p>h</p><p>êmbolo</p><p>B) 1,2 cm acima.</p><p>C) 0,7 cm abaixo.</p><p>D) 1,4 cm abaixo.</p><p>E) 4,8 cm abaixo.</p><p>03. Dois harmônicos consecutivos de um tubo sonoro têm frequências</p><p>iguais a 425 Hz e 595 Hz. Determine a ordem desses harmônicos</p><p>e a frequência fundamental do tubo.</p><p>04. Um tubo de PVC, com 5 cm de diâmetro e 180 cm de comprimento,</p><p>tendo as duas extremidades abertas, encontra-se quase totalmente</p><p>imerso na água de uma lagoa, como representa a fi gura a seguir.</p><p>Um diapasão de frequência igual a 256 Hz é posto a vibrar</p><p>bem perto da extremidade superior do tubo. Erguendo-se o</p><p>tubo, lenta e verticalmente, com o diapasão sempre vibrando</p><p>nas proximidades de sua extremidade superior, ouve-se, pela</p><p>primeira vez, um reforço do som (ressonância) quando o</p><p>comprimento da parte emersa do tubo é igual a 33 cm.</p><p>a) Calcule a velocidade de propagação do som no ar no local do</p><p>experimento.</p><p>b) Erguendo-se</p><p>ponto B;</p><p>T = reta tangente à superfície no ponto B;</p><p>i = ângulo de incidência, formado entre o raio incidente e a</p><p>reta normal;</p><p>r = ângulo refletido, formado entre o raio refletido e a reta normal.</p><p>Leis da Reflexão</p><p>Os fenômenos que acontecem na reflexão, tanto regular</p><p>quanto difusa, obedecem a duas leis fundamentais, que são:</p><p>Primeira Lei da Reflexão</p><p>O raio de luz refletido e o raio de luz incidente, assim como</p><p>a reta normal à superfície, pertencem ao mesmo plano, ou seja,</p><p>são coplanares.</p><p>Segunda Lei da Reflexão</p><p>O ângulo de reflexão (r) é sempre igual ao ângulo de</p><p>incidência (i).</p><p>ˆ ˆi r=</p><p>Para um caso particular (espelho esférico), os focos se</p><p>encontram e qualquer raio que incida no vértice do espelho sairá</p><p>formando o mesmo ângulo. Veremos isso daqui algumas páginas.</p><p>Conhecendo estes resultados, dedicaremos nossa atenção aos</p><p>espelhos planos.</p><p>Espelho plano</p><p>Como o próprio nome sugere, é uma superfície completamente</p><p>lisa que produz reflexão regular. A formação da imagem no espelho</p><p>plano é simples, se você entender que espelho plano gera simetria.</p><p>B1</p><p>B</p><p>D</p><p>A</p><p>Objeto</p><p>Espelho</p><p>Plano</p><p>Imagem</p><p>C</p><p>do di</p><p>Ao gerar simetria, é fácil perceber que a distância da imagem</p><p>é sempre igual à distância do objeto (d</p><p>o</p><p>= d</p><p>i</p><p>). Observe também que</p><p>o tamanho da imagem é sempre constante e igual ao tamanho do</p><p>objeto. Um objeto real sempre formará uma imagem virtual. A imagem</p><p>virtual pode ser vista e até fotografada, porém, não projetada sobre</p><p>um anteparo.</p><p>Campo visual de um sistema formado por</p><p>um observador e um espelho plano</p><p>O campo visual é a região no espaço na qual devem estar os</p><p>objetos para que a pessoa possa enxergá-los.</p><p>Campo visualCampo visualCampo visual</p><p>O</p><p>O’</p><p>O método prático para encontrar o campo visual é refletir o</p><p>observador e traçar os raios que passam pelos extremos do espelho.</p><p>Assim, todos os objetos que se encontrarem na região destacada</p><p>poderão ser vistos pelo observador O através de reflexão no espelho.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.742_128100/18</p><p>Translação e rotação de espelho plano</p><p>Ao rotacionar um espelho plano (rotação coplanar), o raio</p><p>incidente de um ponto-objeto fixo passa a incidir em uma posição</p><p>diferente no mesmo espelho em razão da rotação. Dois ângulos serão</p><p>analisados e relacionados conforme a figura a seguir. Seja o referencial</p><p>fixo no ponto objeto P, diante de um espelho plano E, e P’ sua imagem.</p><p>Se o espelho transladar retilineamente na direção da reta que passa por</p><p>P e P’, o espelho conjugará a P uma segunda imagem, P’’, associada</p><p>à segunda posição do espelho.</p><p>1</p><p>E</p><p>E</p><p>P</p><p>P P”</p><p>P’</p><p>d d</p><p>D</p><p>x</p><p>d + x d + x</p><p>2</p><p>Na figura acima, o espelho E afasta-se uma distância x da</p><p>posição 1 para a posição 2 e a imagem do ponto P passa a ser P”.</p><p>Estudemos, do ponto de vista do objeto, o deslocamento sofrido pela</p><p>imagem.</p><p>Da figura, resulta:</p><p>PP’ = 2d</p><p>PP” = 2(d + x) = 2d + 2x</p><p>O deslocamento sofrido pela imagem do ponto P é:</p><p>D = PP” – PP’</p><p>D = 2d + 2x – 2d</p><p>D = 2x</p><p>Então, podemos concluir que se um objeto estiver fixo diante</p><p>de um espelho que translada retilineamente de uma distância d, a</p><p>correspondente imagem translada, no mesmo sentido que o espelho,</p><p>uma distância 2d.</p><p>Já para a rotação, iremos girar o espelho em torno de um</p><p>ponto fixo de um ângulo a. Observe o esquema abaixo:</p><p>Raio</p><p>incidente</p><p>Raio</p><p>Refletido</p><p>antes da rotação</p><p>α</p><p>α</p><p>Rotação do</p><p>espelho plano</p><p>N</p><p>1</p><p>N</p><p>2</p><p>∆</p><p>^</p><p>i</p><p>1</p><p>^</p><p>i</p><p>2</p><p>^</p><p>r</p><p>1</p><p>^</p><p>r</p><p>2</p><p>Raio refletido</p><p>após o espelho</p><p>ser rotacionado</p><p>Neste caso, a relação entre</p><p>o ângulo ∆ e o ângulo α é</p><p>dada pela expressão:</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>Note que o ponto C é equidistante de P</p><p>1</p><p>’ e de P e</p><p>também de P</p><p>2</p><p>’, já que se trata de imagem e objeto, sendo este</p><p>(o objeto) mantido fixo. Portanto, P</p><p>1</p><p>’, P e P</p><p>2</p><p>’ pertencem a uma</p><p>circunferência com centro em C. Assim, b = 2a.</p><p>C</p><p>Rotação do</p><p>espelho</p><p>Rotação da</p><p>imagemP’</p><p>1</p><p>P’</p><p>2</p><p>P</p><p>β</p><p>α</p><p>α</p><p>Associação de espelhos planos</p><p>Quando dispomos de dois espelhos planos fazendo um</p><p>ângulo θ, as imagens de um ponto P, formadas pelos espelhos, estarão</p><p>sobre uma circunferência cujo centro está no ponto de encontro dos</p><p>dois espelhos. O número n de imagens formadas é:</p><p>n = −360</p><p>1</p><p>º</p><p>θ</p><p>Observações:</p><p>– Em uma associação de espelhos planos, as imagens e o objeto</p><p>são equidistantes do vértice do ângulo formado pelos dois</p><p>espelhos.</p><p>– Em uma associação de espelhos planos, um ponto objeto</p><p>real formará sempre imagens virtuais para qualquer valor do</p><p>ângulo formado pelos espelhos.</p><p>A’</p><p>1</p><p>D</p><p>1</p><p>A’</p><p>2</p><p>A’</p><p>3</p><p>0</p><p>A</p><p>O ângulo entre B</p><p>1</p><p>e B</p><p>2</p><p>é de 90º, logo, o número de imagens é 3.</p><p>A A e A1 2 3</p><p>’ ; ’ ’( )</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.742_128100/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exercícios</p><p>01. Considere as seguintes afirmativas:</p><p>I. Se um espelho plano transladar de uma distância d ao longo</p><p>da direção perpendicular a seu plano, a imagem real de um</p><p>objeto fixo transladará 2d;</p><p>II. Se um espelho plano girar de um ângulo a em torno de um</p><p>eixo perpendicular à direção de incidência da luz, o raio refletido</p><p>girará de um ângulo 2a;</p><p>III. Para que uma pessoa de altura h possa observar seu corpo</p><p>inteiro em um espelho plano, a altura deste deve ser de,</p><p>no mínimo, 2h/3.</p><p>Então, podemos dizer que</p><p>A) apenas I e II são verdadeiras.</p><p>B) apenas I e III são verdadeiras.</p><p>C) apenas II e III são verdadeiras.</p><p>D) todas são verdadeiras.</p><p>E) todas são erradas.</p><p>02. Um homem parado vê sua imagem em um espelho plano vertical</p><p>colocado em um vagão que se move em direção ao homem, com</p><p>velocidade de 1,0 m/s. A velocidade da imagem é</p><p>A) 2,0 m/s. B) 0,5 m/s.</p><p>C) 4,0 m/s. D) igual a zero.</p><p>E) n.d.a.</p><p>03. Dois espelhos planos são associados de modo que suas</p><p>superfícies refletoras formem um ângulo diedro de 45º.</p><p>Um objeto luminoso, é colocado diante da associação. Determine:</p><p>A) o número de imagens que os espelhos conjugam ao objeto;</p><p>B) o número de imagens enantiomorfas e o número de imagens</p><p>iguais ao objeto.</p><p>04. Um pequeno espelho plano gira em torno do seu eixo com</p><p>velocidade angular w. Podemos afirmar que as velocidades do</p><p>ponto luminoso, sobre a superfície interna da esfera, nos casos</p><p>em que</p><p>I. o eixo de rotação do espelho se encontra sobre o diâmetro da</p><p>esfera; e</p><p>II. o eixo de rotação do espelho se encontra tangente à esfera,</p><p>são:</p><p>LUZ</p><p>Dados: o raio luminoso incidente é perpendicular aos eixos de</p><p>rotação e o raio da esfera vale R.</p><p>A) ν</p><p>I</p><p>= 2wR; ν</p><p>II</p><p>= 2wR B) ν</p><p>I</p><p>= wR; ν</p><p>II</p><p>= 4wR</p><p>C) ν</p><p>I</p><p>= 4wR; ν</p><p>II</p><p>= 2wR D) ν</p><p>I</p><p>= wR; ν</p><p>II</p><p>= wR</p><p>E) ν</p><p>I</p><p>= 2wR; ν</p><p>II</p><p>= 4wR</p><p>05. Considere a figura, a seguir, em que E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>são dois espelhos que</p><p>formam um ângulo de 135° entre si. Um raio luminoso R incide</p><p>com um ângulo em E</p><p>1</p><p>e outro R’ (não mostrado) emerge de E</p><p>2</p><p>.</p><p>Para 0 < θ < p/4, conclui-se que:</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>135º</p><p>α</p><p>R</p><p>A) R’ pode ser paralelo a R, dependendo de a.</p><p>B) R’ é paralelo a R, qualquer que seja a.</p><p>C) R’ nunca é paralelo a R.</p><p>D) R’ só será paralelo a R se o sistema estiver no vácuo.</p><p>E) R’ será paralelo a R, qualquer que seja o ângulo entre os</p><p>espelhos.</p><p>06. (Fuvest) Um rapaz com chapéu observa sua imagem em um</p><p>espelho plano e vertical. O espelho tem o tamanho mínimo</p><p>necessário (y = 1,0 m) para que o rapaz, a uma distância</p><p>d = 0,5 m, veja a sua imagem do topo do chapéu à ponta dos</p><p>pés. A distância de seus olhos ao piso horizontal é h = 1,60 m.</p><p>A figura a seguir ilustra essa situação e, em linha tracejada, mostra</p><p>o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem do ponto</p><p>mais alto do chapéu.</p><p>y</p><p>Y</p><p>H</p><p>h</p><p>ddd</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/F</p><p>uv</p><p>es</p><p>t</p><p>A) Desenhe o percurso do raio de luz relativo à formação da</p><p>imagem da ponta dos pés do rapaz.</p><p>B) Determine a altura H do topo do chapéu ao chão.</p><p>C) Determine a distância Y da base do espelho ao chão.</p><p>D) Quais os novos valores do tamanho mínimo do espelho (y’) e</p><p>da distância da base do espelho ao chão (Y’) para que o rapaz</p><p>veja sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés, quando</p><p>se afasta para uma distância d’ igual a 1 m do espelho?</p><p>07. Uma sala retangular tem duas paredes adjacentes e o piso</p><p>mais o tubo, até sua extremidade inferior atingir a</p><p>superfície livre da água, outros reforços do som são percebidos.</p><p>Determine os comprimentos da parte emersa, em centímetros,</p><p>nessas ocasiões.</p><p>05. (IME) Ao encher-se um recipiente com água, o som produzido</p><p>fi ca mais agudo com o passar do tempo.</p><p>a) Explique por que isso ocorre.</p><p>b) Determine uma expressão para a frequência fundamental</p><p>do som em função do tempo, para o caso de um recipiente</p><p>cilíndrico com 6 cm de diâmetro e 30 cm de altura, sabendo</p><p>que a vazão do líquido é de 30 cm3/s. Suponha que a velocidade</p><p>do som no ar no interior do recipiente seja de 340 m/s.</p><p>06. (Enade) Na fl auta, o tubo sonoro ressoa notas diferentes, com</p><p>frequências diferentes, de acordo com o número de furos fechados</p><p>pelos dedos do fl autista. Com os furos todos tampados, é gerada</p><p>a nota lá, de 440 Hz. Abrindo alguns furos, de modo a ressoar</p><p>2/3 do tubo, a frequência, em hertz, será</p><p>a) 145</p><p>b) 293</p><p>c) 660</p><p>d) 880</p><p>e) 1000</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.422 – 132387/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>07. (IME) Um tubo sonoro de comprimento total L = 1 m, aberto nas</p><p>duas extremidades, possui uma parede móvel em seu interior,</p><p>conforme a fi gura.</p><p>L1 L2</p><p>f2f1</p><p>Essa parede é composta de material refl etor de ondas sonoras</p><p>e pode ser transladada para diferentes posições, dividindo o</p><p>tubo em duas câmaras de comprimento L</p><p>1</p><p>e L</p><p>2</p><p>. Duas ondas</p><p>sonoras distintas adentram nesse tubo, uma pela abertura</p><p>da esquerda, com f</p><p>1</p><p>= 2,89 kHz, e outra pela abertura da</p><p>direita, com f</p><p>2</p><p>= 850 Hz. Em relação às ondas sonoras, os</p><p>valores de L</p><p>1</p><p>e L</p><p>2</p><p>, em cm, que possibilitarão a formação de ondas</p><p>ressonantes em ambas as cavidades, são, respectivamente:</p><p>Dado: O meio no interior do tubo é o ar, onde o som se propaga</p><p>com velocidade 340 m/s.</p><p>a) 14,7 e 85,3</p><p>b) 44,1 e 55,9</p><p>c) 50,0 e 50,0</p><p>d) 70,0 e 30,0</p><p>e) 90,0 e 10,0</p><p>08. Uma corda de um instrumento musical, de 50 cm de comprimento</p><p>e densidade linear igual a 2,50 g/m, vibra no modo fundamental,</p><p>com frequência igual a 260 Hz. Perto dela, um tubo aberto ressoa</p><p>também no modo fundamental e são percebidos batimentos com</p><p>frequência igual a 4 Hz. Observou-se que uma ligeira diminuição</p><p>da intensidade da força tensora na corda acarretou um aumento</p><p>da frequência dos batimentos. Considerando a velocidade do som</p><p>no ar igual a 330 m/s, determine:</p><p>a) a frequência fundamental f do tubo aberto.</p><p>b) o comprimento L do tubo.</p><p>c) a intensidade F da força tensora na corda quando foram</p><p>observados os batimentos de 4 Hz.</p><p>09. Suponha que você tenha um tubo de comprimento L contendo</p><p>um gás cuja temperatura pretende encontrar. Uma extremidade</p><p>é fechada e a outra extremidade está aberta. Um pequeno</p><p>alto-falante de som, produzindo de frequência variável, é colocado</p><p>nesta extremidade. Você aumenta, gradualmente, a frequência do</p><p>alto-falante até que o som se torna muito intenso. Se continuar</p><p>aumentando a frequência, a intensidade diminui, mas em seguida,</p><p>percebe um som muito intenso novamente em frequências</p><p>ainda mais altas. Olhando para a frequência mais baixa, em que</p><p>o som é muito intenso, faça o que se pede.</p><p>a) Mostre que a temperatura absoluta desse gás é dada por:</p><p>T</p><p>M L f</p><p>R</p><p>=</p><p>16 2</p><p>0</p><p>2</p><p>γ</p><p>,</p><p>onde M é a massa molar do gás, γ é a razão entre as suas</p><p>capacidades térmicas e R é a constante dos gases perfeitos.</p><p>b) Qual a próxima frequência, acima de f</p><p>0</p><p>, que terá um máximo</p><p>de intensidade sonora?</p><p>10. Em um experimento de coluna de água, ocorre ressonância quando</p><p>um diapasão vibra com frequência de 400 Hz nas proximidades</p><p>da coluna (ver fi gura). Um reservatório móvel pode ser elevado ou</p><p>abaixado para modifi car o nível da água e, dessa forma, ajustar o</p><p>comprimento da coluna de ar da esquerda. A área transversal do</p><p>reservatório é 6 vezes a área transversal do tubo. Inicialmente, o</p><p>reservatório se encontra de forma a manter o tubo completamente</p><p>cheio. Em seguida, o reservatório é lentamente abaixado. Quando</p><p>o mesmo desce de 21 cm, a primeira ressonância é percebida.</p><p>Quando a altura chega a 49 cm (da posição anterior), percebe-se</p><p>a segunda ressonância. Determine a velocidade do ar.</p><p>11. Um alto-falante, emitindo som com única frequência, é colocado</p><p>próximo à extremidade de um tubo cilíndrico vertical, preenchido</p><p>com um líquido. Na base do tubo, há uma torneira que permite</p><p>escoar lentamente o líquido, de modo que a altura da coluna</p><p>de líquido varie uniformemente no tempo. Partindo-se do tubo</p><p>completamente cheio com o líquido e considerando apenas a</p><p>coluna de ar criada no tubo, observa-se que o primeiro máximo de</p><p>intensidade do som ocorre quando a altura da coluna de líquido</p><p>diminui 5 cm e que o segundo máximo ocorre um minuto após</p><p>a torneira ter sido aberta. Determine o menor comprimento L da</p><p>coluna de líquido para que haja uma ressonância deste som no</p><p>líquido.</p><p>a) 0,25 m</p><p>b) 0,4 m</p><p>c) 0,5 m</p><p>d) 0,8 m</p><p>e) 1,0 m</p><p>12. O esquema abaixo representa um trombone de Quincke. A fonte</p><p>é um diapasão próximo a F. O ouvido percebe uma intensidade</p><p>mínima para d igual a 5 cm e novamente para d igual a 15 cm.</p><p>Qual o comprimento de onda dentro do tubo?</p><p>d</p><p>B</p><p>Fonte</p><p>F</p><p>A</p><p>O</p><p>Ouvido</p><p>a) 10 cm</p><p>b) 20 cm</p><p>c) 40 cm</p><p>d) 25 cm</p><p>e) 35 cm</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>006.422 – 132387/18</p><p>13. (Ibero americana-Adaptada)</p><p>Alto-falante</p><p>LA</p><p>l</p><p>VR</p><p>fonte</p><p>O estudo dos modos normais de vibração numa coluna de ar</p><p>pode ser realizado através de uma experiência de ressonância.</p><p>Um alto-falante, de frequência conhecida f(variável), emite ondas</p><p>sonoras numa coluna de ar contida num tubo de vidro, com líquido</p><p>no fundo (ver fi gura). Consideremos que o líquido seja mercúrio.</p><p>a) Suponha que, à temperatura T</p><p>1</p><p>, a altura da coluna de mercúrio</p><p>é l</p><p>1</p><p>. A velocidade do som, a essa temperatura, vale v</p><p>1</p><p>. Se a</p><p>altura total do tubo for de L, obtenha a expressão da frequência</p><p>fundamental de ressonância f</p><p>1</p><p>em função de L, l</p><p>1</p><p>e v</p><p>1</p><p>.</p><p>b) A mesma experiência é feita à temperatura T</p><p>2</p><p>> T</p><p>1</p><p>. Sabendo que</p><p>a seção reta do tubo tem área A e o coefi ciente de dilatação</p><p>volumétrica do mercúrio vale β, obtenha a expressão da nova</p><p>altura da coluna de mercúrio, l</p><p>2</p><p>. Despreze a dilatação do vidro,</p><p>assim como efeitos de capilaridade. Considere que o volume</p><p>do reservatório de mercúrio, V</p><p>R</p><p>, é muito maior que o volume</p><p>ocupado pela coluna de mercúrio.</p><p>c) Obtenha a relação entre as velocidades do som v</p><p>2</p><p>/v</p><p>1</p><p>em função</p><p>das temperaturas T</p><p>1</p><p>e T</p><p>2</p><p>.</p><p>d) Obtenha a expressão para a nova frequência fundamental de</p><p>ressonância f</p><p>2</p><p>.</p><p>e) Suponha que às temperaturas T</p><p>1</p><p>= 17 °C e T</p><p>2</p><p>= 27 °C as</p><p>frequências fundamentais de ressonância são f</p><p>1</p><p>= 200 Hz e</p><p>f</p><p>2</p><p>= 210 Hz, respectivamente. Sabendo que a razão entre</p><p>V</p><p>R</p><p>e A é 9 m e que, à temperatura de 17 °C, (L – l</p><p>1</p><p>) = 42,8 cm,</p><p>calcule numericamente o coefi ciente de dilatação do mercúrio.</p><p>Considere que: 30</p><p>29</p><p>1 0171≈ ,</p><p>14. Uma onda sonora se propaga em direção a um tubo aberto em</p><p>uma das extremidades, sendo então refl etida na extremidade</p><p>fechada. Se a amplitude da onda é 0.002 cm, frequência 1000 HZ</p><p>e comprimento de onda 0,4m, a amplitude da onda, a uma</p><p>distância de 10 cm da extremidade aberta, na parte interna do</p><p>tubo é dada por</p><p>a) 4 cm</p><p>b) 0,02 cm</p><p>c) 0,2 cm</p><p>d) 2,5 cm</p><p>e) 0,0 cm</p><p>15. Quando um tubo de Kundt contém ar, a distância entre os vários</p><p>nós é 25 cm. Quando o ar é retirado e substituído por um um</p><p>gás, a distância entre o mesmo número de nós passa a ser 35 cm.</p><p>A velocidade do som no ar é 340 m/s. Qual é a velocidade do</p><p>som no gás?</p><p>a) 381 m/s</p><p>b) 410 m/s</p><p>c) 533 m/s</p><p>d) 344 m/s</p><p>e) 476 m/s</p><p>G A B A R I T O</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08</p><p>* C * * C C –</p><p>09 10 11 12 13 14 15</p><p>* * C B * E B</p><p>– Demonstração.</p><p>*01: 8,5 m</p><p>*04:</p><p>a) 338 m/s</p><p>b) 99 cm; 165 cm</p><p>*05:</p><p>a) As frequências de ressonância da coluna de ar são inversamente</p><p>proporcionais ao seu comprimento.</p><p>b)</p><p>f</p><p>t</p><p>Hz t s=</p><p>−</p><p>≤ <( )850</p><p>3</p><p>3</p><p>0 9</p><p>π</p><p>π</p><p>*09: Solução com o professor.</p><p>*10: V = 336 m/s</p><p>*13:</p><p>a) f</p><p>v</p><p>L l</p><p>1</p><p>1</p><p>14</p><p>=</p><p>−( )</p><p>b) l l</p><p>V</p><p>A</p><p>T T2 1 2 1= + −( )β</p><p>c)</p><p>v</p><p>v</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>d) f</p><p>T</p><p>T</p><p>L l</p><p>V</p><p>A</p><p>T T</p><p>v</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1 2 1</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>− = −( )</p><p></p><p></p><p></p><p>β</p><p>e) β ≈ ⋅ °− −15 10 4 1, C</p><p>Anotações</p><p>Supervisor/Diretor: Marcelo Pena – Autor: Carlos Eduardo</p><p>Dig.: Cirlene-25/10/2018 – Rev.: SARAH</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: QualidadEs fisiológiCas do som</p><p>frente: físiCa ii</p><p>006.424_132388/18</p><p>AULAS 45 E 46</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Sensação auditiva</p><p>O ouvido humano é um dispositivo que tem a capacidade</p><p>de receber ondas sonoras e transformá-las nas sensações que</p><p>denominamos sons. Ao ser atingido por uma onda sonora,</p><p>o tímpano passa a vibrar com a mesma frequência determinando um</p><p>movimento vibratório que, por meio dos ossículos do ouvido (martelo,</p><p>bigorna e estribo), é transmitido para a denominada janela oval e</p><p>daí para o ouvido interno, onde se converte em um impulso nervoso</p><p>enviado ao cérebro por meio do nervo auditivo, dando-nos a sensação</p><p>de som. Veja o esquema a seguir.</p><p>Pavilhão</p><p>auditivo</p><p>Pavilhão</p><p>auditivo</p><p>Canal</p><p>auditivo</p><p>Canal</p><p>auditivo</p><p>Onda</p><p>sonora</p><p>Tímpano</p><p>Cóclea</p><p>Estribo</p><p>Bigorna</p><p>Martelo</p><p>Orelha</p><p>Nervo</p><p>acústico</p><p>Ouvido externo Ouvido médio Ouvido interno</p><p>O ouvido humano pode perceber sons desde a frequência de</p><p>16 Hz até 20000 Hz. No entanto, essa sensibilidade está relacionada</p><p>com a intensidade energética do som.</p><p>Nível sonoro</p><p>Alexander Graham Bell (1847-1882), escocês, ficou muito</p><p>famoso por ter sido o inventor do telefone. Tornou-se professor na</p><p>universidade de Boston (EUA) devido às suas pesquisas na área de</p><p>fisiologia vocal. Tais estudos e experimentos o levaram a concluir que,</p><p>se temos a sensação de que a intensidade de um som dobrou, na</p><p>realidade ela foi multiplicada por 10. Assim, para medir a sensação</p><p>sonora, decidiu-se definir uma nova grandeza denominada nível de</p><p>intensidade sonora ou, simplesmente, nível sonoro.</p><p>Em primeiro lugar, foram realizados diversos experimentos</p><p>com várias pessoas para determinar a menor intensidade I</p><p>0</p><p>(para uma</p><p>frequência de 1000 Hz) que o aparelho auditivo humano consegue</p><p>perceber. Tudo bem! Nem todos possuem o mesmo limite. É claro</p><p>que é uma média!</p><p>I</p><p>0</p><p>= 10–12 W/m2</p><p>Como essa escala é muito vasta, trabalharemos com a escala</p><p>logaritmo. O nível de intensidade sonora para uma intensidade I é</p><p>dado por:</p><p>N</p><p>I</p><p>l</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>log</p><p>0</p><p>Mesmo assim, em virtude da escala continuar grande, é mais</p><p>comum utilizar uma escala submúltipla do bel, o decibel. (plural:</p><p>decibels).</p><p>N</p><p>I</p><p>l</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>0</p><p>log</p><p>O limite superior é aproximadamente 120 decibels. A partir</p><p>dessa intensidade, a sensação já passa a ser de dor, além dos problemas</p><p>físicos causados.</p><p>Assim, a diferença de nível sonoro de intensidade entre duas</p><p>intensidades energéticas I</p><p>1</p><p>e I</p><p>2</p><p>é dada por:</p><p>∆ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>N</p><p>I</p><p>l</p><p>10 2</p><p>1</p><p>log</p><p>NÍVEIS SONOROS DE ALGUMAS FONTES</p><p>Tipo de fonte W dBA</p><p>Foguete espacial 100 000 000 200</p><p>Jato militar 100 000 170</p><p>Ventilador centrífugo grande</p><p>(850000 m3/h) 100 140</p><p>Orquestra 75 músicos.</p><p>Ventilador axial 170000 m3/h 10 130</p><p>Moinho de martelo grande 1 120</p><p>Ventilador centrífugo 22000 m3/h 0,1 110</p><p>Automóvel em estrada 0,01 100</p><p>Processador de alimentos 0,001 90</p><p>Lavadora de pratos 0,0001 80</p><p>Voz em nível de conversação 0,00001 70</p><p>Duto de ar com abafador 0,00000001 40</p><p>Voz muito baixa (cochicho) 0,000000001 30</p><p>Menor fonte audível 0,000000000001 0</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.424_132388/18</p><p>Audibilidade / A escala dos fons</p><p>É importante observar que o nível de intensidade N não é</p><p>uma grandeza subjetiva, mas sim uma grandeza física. Por exemplo,</p><p>um som de frequência 1000 Hz, com nível de intensidade 40 dB,</p><p>não produz a mesma sensação auditiva que um som de frequência</p><p>200 Hz com o mesmo nível de intensidade (40 dB). Graças aos</p><p>trabalhos de Fletcher foi possível traçar uma série de curvas de mesma</p><p>audibilidade, denominadas curvas isofônicas, que correspondem aos</p><p>sons de diferentes frequências, as quais produzem a mesma sensação</p><p>subjetiva (figura a seguir). Para medir essa sensação subjetiva ou</p><p>audibilidade, foi criada outra escala logarítmica em que os valores são</p><p>expressos em fons, cujo valor corresponde, por convenção, ao valor do</p><p>nível de intensidade em decibels para o som de frequência 1000 Hz.</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>70</p><p>80</p><p>90</p><p>100</p><p>110</p><p>120120</p><p>100</p><p>80</p><p>60</p><p>40</p><p>20</p><p>0</p><p>20 Hz</p><p>dB</p><p>50 Hz 300 Hz100 Hz 1 kHz 3 kHz 10 kHz</p><p>Limite da audição</p><p>Limite da audição</p><p>Altura de um som</p><p>Comumente as pessoas confundem altura de um som com</p><p>potência, ou até mesmo intensidade. A altura é a característica que</p><p>permite o cérebro diferenciar um som alto (agudo) ou um som baixo</p><p>(grave). Tal qualidade está intrinsecamente relacionada à frequência</p><p>do som.</p><p>Quanto maior for a frequência, mais alto (agudo) será o som</p><p>e, quanto menor for a frequência, mais baixo (grave) será o som.</p><p>Relacionamos dois sons de frequências f</p><p>1</p><p>e f</p><p>2</p><p>(f</p><p>1</p><p>< f</p><p>2</p><p>) definindo</p><p>uma grandeza adimensional chamada intervalo:</p><p>i</p><p>f</p><p>f</p><p>= 2</p><p>1</p><p>Se i = 1, d izemos que o interva lo é uníssono.</p><p>Se i = 2, chamamos tal intervalo de oitava. A explicação para essa</p><p>nomenclatura é que em uma escala musical a frequência dupla</p><p>corresponde à oitava nota da sequência. Veja: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol,</p><p>Lá, Si, Dó</p><p>2</p><p>.</p><p>(TECLADO DO PIANO)</p><p>DÓ</p><p>1</p><p>DÓ</p><p>2</p><p>Quando o intervalo entre dois sons, que não uníssonos, é</p><p>um número inteiro, os sons de frequência maior são denominados</p><p>harmônicos do de frequência mais baixa, chamado fundamental.</p><p>Timbre</p><p>O timbre é a característica sonora que permite distinguir sons</p><p>de mesma frequência e mesma intensidade, desde que as ondas</p><p>sonoras correspondentes a esses sons sejam diferentes. Por exemplo:</p><p>dois aparelhos musicais, violão e violino, por exemplo, podem emitir</p><p>sons com a mesma frequência, mas com timbres diferentes, pois as</p><p>ondas sonoras possuem formas diferentes.</p><p>Na verdade, quando tocamos um instrumento, o som</p><p>produzido é dado pela frequência fundamental mais uma série de</p><p>harmônicos dessa frequência. Verifica-se que a frequência da onda é</p><p>igual à frequência mais grave emitida (menor frequência).</p><p>diapasão</p><p>flauta</p><p>voz (a)</p><p>violino</p><p>Observações:</p><p>Sabemos que, quando um impulso sonoro nos atinge o</p><p>ouvido, a sensação que provoca dura aproximadamente um</p><p>décimo de segundo (0,1 s), logo:</p><p>• o reforço ocorre quando o intervalo de tempo entre a chegada</p><p>do som direto e o refletido é praticamente nula;</p><p>• a reverberação ocorre quando o intervalo de tempo entre</p><p>a chegada do som direto e a do refletido é pouco inferior a</p><p>0,1 s. Nesse caso, a sensação de audição se prolonga;</p><p>• o eco ocorre quando o intervalo de tempo entre a chegada</p><p>do som direto e do som refletido é superior a 0,1 s.</p><p>Exercícios</p><p>01. Se um orador elevar o nível sonoro de sua voz de 40 dB para</p><p>80 dB, ele passa a consumir energia</p><p>A) 40 vezes maior. B) 104 vezes maior.</p><p>C) 4 vezes maior. D) 2 vezes maior.</p><p>E) log</p><p>2</p><p>vezes maior.</p><p>02. Em uma banda de rock irradia uma certa potência em um nível</p><p>de intensidade sonora igual a 70 decibels. Para elevar esse nível a</p><p>120 decibels, a potência irradiada deverá ser elevada de</p><p>A) 71% B) 171%</p><p>C) 7100% D) 9999900%</p><p>E) 10000000%</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.424_132388/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>03. Em uma indústria há uma bancada com 10 lixadeiras de metal</p><p>próximas uma das outras. No manual, o fabricante afirma</p><p>que cada uma emite um ruído com intensidade sonora de</p><p>80,0 dB. Funcionando todas elas ao mesmo tempo, o ruído por</p><p>elas emitido terá uma intensidade sonora, em dB, igual a</p><p>A) 81,0 B) 88,0</p><p>C) 90,0 D) 160</p><p>E) 800</p><p>04. Que nível de intensidade, em decibels, terá o som recebido por</p><p>uma pessoa a 10 m de um instrumento musical que emite uma</p><p>onda sonora de potência constante igual a 125,6 µW?</p><p>Dados: π = 3,14 e I</p><p>0</p><p>= 10–12 W/m2.</p><p>05. (UFPA) Uma fonte puntiforme produz a 50 m de distância um</p><p>som cujo nível de intensidade vale 50 dB. Em watts, a potência</p><p>da fonte</p><p>vale</p><p>A) π · 10–1 B) π · 10–3</p><p>C) 2π · 10–2 D) 4π · 10–3</p><p>E) 5π · 10–2</p><p>06. A orelha de um ouvinte normal recebe um som de intensidade</p><p>I</p><p>1</p><p>= 1000 I</p><p>0</p><p>, em que I</p><p>0</p><p>é uma intensidade sonora tomada como</p><p>referência.</p><p>Em seguida, recebe um som de mesma frequência, mas de</p><p>intensidade I</p><p>2</p><p>igual ao dobro da anterior, ou seja, I</p><p>2</p><p>= 2I</p><p>1</p><p>.</p><p>A sensação sonora também dobrou? Justifique com cálculos.</p><p>Dado: log</p><p>2</p><p>= 0,3</p><p>07. (Unicamp-SP) É usual medirmos o nível de uma fonte sonora em</p><p>decibel. O nível em dB é relacionado à intensidade da fonte pela</p><p>fórmula</p><p>N = 10</p><p>0</p><p>log</p><p>I</p><p>I</p><p>em que I</p><p>0</p><p>= 10–12 W/m2 é um valor-padrão de intensidade muito</p><p>próximo do limite de audibilidade humana.</p><p>Os níveis sonoros necessários para uma pessoa ouvir variam</p><p>de indivíduo para indivíduo. No gráfico a seguir, esses níveis</p><p>estão representados em função da frequência do som para dois</p><p>indivíduos, A e B. O nível sonoro mencionado, quando um ser</p><p>humano começa a sentir dor, é, aproximadamente, 120 dB,</p><p>independentemente da frequência.</p><p>120</p><p>100</p><p>80</p><p>60</p><p>40</p><p>20</p><p>0</p><p>10 100</p><p>A</p><p>N</p><p>ív</p><p>el</p><p>s</p><p>on</p><p>or</p><p>o</p><p>(d</p><p>B)</p><p>Frequência (Hz)</p><p>B</p><p>1000 10000</p><p>A) Que frequências2 o indivíduo A consegue ouvir melhor que o</p><p>indivíduo B?</p><p>B) Qual a intensidade I mínima de um som (em W/m2) que causa</p><p>dor em um ser humano?</p><p>C) Um beija-flor bate as asas 100 vezes por segundo, emitindo um</p><p>ruído que atinge o ouvinte com um nível de 10 dB. Enquanto</p><p>a intensidade I desse ruído precisa ser amplificada para ser</p><p>audível pelo indivíduo B?</p><p>08. A uma distância de 20,0 m de uma fonte pontual isotrópica,</p><p>o nível de intensidade sonora é de 30,0 dB. Desprezando o</p><p>amortecimento da onda sonora, pode-se afirmar que a distância</p><p>mínima na qual não é possível uma pessoa com audição normal</p><p>escutar mais é</p><p>A) 0,63 km B) 0,40 km</p><p>C) 0,23 km D) 1,2 km</p><p>E) 2,1 km</p><p>09. Intensidades sonoras acima de 1,0 W/m2 podem produzir</p><p>sensações auditivas dolorosas e danos no aparelho auditivo</p><p>humano. Suponha que intensidades mais baixas que essa são</p><p>seguras para nós. Considere uma fonte sonora com potência</p><p>média de 200 W, emitindo uniformemente em todas as direções.</p><p>Desprezando ecos, reverberações e perdas de energia sonora para</p><p>o ar, a menor distância que alguém pode chegar dessa fonte sem</p><p>sofrer sensações auditivas dolorosas é de, aproximadamente,</p><p>A) 1 cm B) 20 cm</p><p>C) 4 m D) 200 m</p><p>10. Para afinar um violão, um músico necessita de uma nota para</p><p>referência, por exemplo, a nota Lá em um piano. Dessa forma,</p><p>ele ajusta as cordas do violão até que ambos os instrumentos</p><p>toquem a mesma nota. Mesmo ouvindo a mesma nota, é possível</p><p>diferenciar o som emitido pelo piano e pelo violão.</p><p>Essa diferenciação é possível, porque o(a)</p><p>A) ressonância do som emitido pelo piano é maior.</p><p>B) potência do som emitido pelo piano é maior.</p><p>C) intensidade do som emitido por cada instrumento é diferente.</p><p>D) timbre do som produzido por cada instrumento é diferente.</p><p>E) amplitude do som emitido por cada instrumento é diferente.</p><p>11. “Walkman pode causar surdez. Por mais resistente que seja o</p><p>ouvido, o volume exagerado do aparelho é um convite explícito</p><p>a futuras complicações auditivas.”</p><p>Caderno Vida – Zero Hora, 9 abr. 1994.</p><p>Em relação à intensidade sonora, afirma-se que</p><p>I. aumenta de acordo com a frequência do som;</p><p>II. está relacionada com a energia transportada pela onda sonora;</p><p>III. diminui com o timbre do som.</p><p>Das afirmativas,</p><p>A) somente I é correta. B) somente II é correta.</p><p>C) apenas I e II são corretas. D) apenas I e III são corretas.</p><p>E) I, II e III são corretas.</p><p>12. (UFPA) As qualidades fisiológicas do som são</p><p>A) altura, intensidade e timbre.</p><p>B) altura, sonoridade e timbre.</p><p>C) intensidade, sonoridade e timbre.</p><p>D) timbre, volume e sonoridade.</p><p>E) limpidez, sonoridade e volume.</p><p>13. (ITA) Supondo que você estivesse ouvindo a “ária da corda de sol”</p><p>durante um banho de imersão. Sabendo ser a velocidade do som</p><p>na água cerca de quatro vezes maior do que no ar, imagine que lhe</p><p>ocorresse fazer a seguinte experiência: durante a execução de uma</p><p>daquelas notas muito longas do violino, mergulhar por um instante</p><p>a cabeça toda na água. Certamente constataria que o(a)</p><p>A) som da mesma nota se tornaria agudo.</p><p>B) som da mesma nota se tornaria grave.</p><p>C) altura do som não mudaria.</p><p>D) comprimento de onda na água seria cerca de ¼ do valor</p><p>percebido no ar.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>006.424_132388/18</p><p>14. O princípio de funcionamento do radar consiste em observar a</p><p>flexão de pulsos que são transmitidos pela antena e dessa forma</p><p>determinar, ou não, a presença de alvos dentro do alcance do</p><p>radar, que é função basicamente da sua potência de emissão e</p><p>de sua sensibilidade. Considere um radar, cuja antena transmite</p><p>igualmente em todas as direções uma potência de 130 dB</p><p>(considere como referência 1 W), e que um alvo (no caso um avião)</p><p>tenha uma RCS (Radar Cross Section), que pode ser definida como</p><p>sendo a área efetiva de reflexão da onda de radar igual a 1 m2.</p><p>Admita que o alvo, ao refletir, também possa ser considerado como</p><p>uma fonte pontual e que a área efetiva da antena de recepção</p><p>do radar seja igual a 10 π2m2. Se a sensibilidade do receptor do</p><p>radar é igual a – 60 dB, assinale a alternativa que corresponde à</p><p>distância máxima que o alvo poderá estar do radar, a fim de que</p><p>ele possa ser detectado.</p><p>Dado: P dB</p><p>P</p><p>W</p><p>( ) = </p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>1</p><p>10log</p><p>A) 50 km</p><p>B) 100 km</p><p>C) 25 km</p><p>D) 75 km</p><p>E) 200 km</p><p>15. Em um piano, o Dó central e a próxima nota Dó (Dó maior)</p><p>apresentam sons parecidos, mas não idênticos. É possível utilizar</p><p>programas computacionais para expressar o formato dessas ondas</p><p>sonoras em cada uma das situações, como apresentado nas</p><p>figuras, em que estão indicados intervalos de tempo idênticos (T).</p><p>T</p><p>Dó central Dó maior</p><p>T</p><p>A razão entre as frequências do Dó central e do Dó maior é de</p><p>A) 1/2</p><p>B) 2</p><p>C) 1</p><p>D) 1/4</p><p>E) 4</p><p>Anotações</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>B D C – B</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– – A C D</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B B C A A</p><p>– Demonstração.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: GEORGENES – REV.: ALLANA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>PROFESSOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>ASSUNTO: EFEITO DOPPLER</p><p>FRENTE: FÍSICA II</p><p>006.426 – 132389/18</p><p>AULAS 47 E 48</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Efeito Doppler</p><p>Efeito Doppler é o nome que damos ao fato da frequência variar</p><p>de acordo com o movimento relativo entre a fonte e o observador.</p><p>Lembre-se quando um carro passa buzinando do seu lado! O som</p><p>é percebido mais agudo quando o carro se aproxima e mais grave</p><p>quando o carro se afasta do observador.</p><p>O Austríaco Christian Doppler foi o primeiro a explicar como</p><p>a frequência variava com o movimento da fonte, ou do observador,</p><p>e também a aplicá-lo erroneamente. Ele previu que o som tem sua</p><p>tonalidade aumentada se a fonte sonora se aproxima do ouvinte.</p><p>Esse efeito fora publicado pelo holandês Buys-Ballot dois anos depois</p><p>da publicação do artigo de Doppler.</p><p>De maneira geral, podemos calcular a frequência aparente</p><p>percebida pelo observador da seguinte maneira:</p><p>f f</p><p>v v</p><p>v v</p><p>ap</p><p>s</p><p>s f</p><p>=</p><p>±</p><p>±</p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>Onde:</p><p>v</p><p>s</p><p>: velocidade do som;</p><p>v</p><p>f</p><p>: velocidade da fonte;</p><p>v</p><p>o</p><p>: velocidade do observador;</p><p>f</p><p>0</p><p>: frequência da fonte (própria);</p><p>f</p><p>ap</p><p>: frequência aparente (percebida pelo observador);</p><p>Veja:</p><p>Suponhamos que uma fonte A emite 100 ondas por segundo. Um</p><p>observador O perceberá a passagem de 100 ondas a cada segundo.</p><p>Entretanto, se o observador se move na direção da fonte A, o número</p><p>de ondas que ele encontra a cada segundo aumenta proporcionalmente</p><p>à sua velocidade e a frequência aparente será dada por:</p><p>f f</p><p>v v</p><p>v</p><p>ap</p><p>s</p><p>s</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>A O</p><p>Onde ƒ</p><p>0</p><p>é a frequência da fonte, v</p><p>o</p><p>a velocidade do observador, e v</p><p>s</p><p>a velocidade do som. Assim a frequência aparentemente aumenta</p><p>enquanto o observador se move em direção à fonte. Quando o</p><p>observador passa pela fonte A, a frequência cai abruptamente, já que</p><p>ele passa a se afastar da fonte (nesse caso, v</p><p>o</p><p>deve ser subtraída de v).</p><p>f</p><p>f</p><p>v v</p><p>v</p><p>ap o</p><p>s o</p><p>s</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>O mesmo efeito ocorre se a fonte estiver em movimento, como no caso</p><p>de uma ambulância que passa, com a sirene ligada, por um observador.</p><p>A fi gura a seguir mostra que as ondas produzidas se assemelham a</p><p>esferas cujos centros se deslocam na direção do movimento da fonte.</p><p>A O</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>006.426 – 132389/18</p><p>Neste caso a frequência aparente será:</p><p>f f</p><p>v</p><p>v v</p><p>ap o</p><p>s</p><p>s f</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Caso a fonte se distanciasse do observador, teríamos:</p><p>f f</p><p>v</p><p>v v</p><p>ap o</p><p>s</p><p>s f</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Saiba mais!</p><p>Mas afi nal de contas, qual o erro de Doppler? O erro estava</p><p>contido no seu artigo, que recebia o seguinte título: Sobre a luz colorida</p><p>das estrelas Duplas. O título nos revela o que Doppler pensava: ora, se</p><p>uma estrela estivesse se afastando de nós, sua luz fi caria avermelhada,</p><p>pois a luz emitida teria frequências menores.</p><p>Na verdade, isto não se dá por dois motivos. Primeiro, o</p><p>espectro de luz de uma estrela se estende muito além da faixa visível.</p><p>Logo, mesmo que esse espectro fosse deslocado, a luz ultravioleta</p><p>emitida pela estrela seria deslocada para a faixa visível, ocupando o</p><p>lugar da faixa azul que se deslocou na direção de menores frequências.</p><p>No fi nal, a luz emitida continuaria branca.</p><p>Outro ponto é que, para haver deslocamento apreciável no</p><p>espectro, a velocidade relativa da estrela deveria ser muito grande. As</p><p>estrelas às quais o artigo se referia não possuíam, nem de perto, tais</p><p>velocidades. Hoje, sabe-se que galáxias distantes estão se afastando</p><p>com tremendas velocidades e, por causa do efeito Doppler, o espectro</p><p>que elas enviam, e chega até nós, é deslocado para frequências mais</p><p>baixas. Este fonômetro é conhecido como deslocamento para o</p><p>vermelho. Quem primeiro observou isso foi o astrofísico americano</p><p>Edwin Hubble em 1929. Daí o surgimento da ideia de que o universo</p><p>está em expansão.</p><p>Essa expansão, de certo modo, sustenta a teoria do Big Bang.</p><p>Inúmeras explicações cosmológicas surgem anos após anos. Hoje,</p><p>porém, já são conhecidas várias comprovações experimentais que</p><p>concordam com tal. Uma das mais festejadas foi a descoberta, em</p><p>1965, por Arno Penzias e Robert Wilson, da radiação de fundo, que</p><p>ocupa todo o espaço e é exatamente o que os modelos e os cálculos</p><p>dos cosmologistas previam como decorrente do Big Bang.</p><p>Hubble foi homenageado quando teve seu nome usado para</p><p>o telescópio espacial que hoje está em órbita. As observações desse</p><p>telescópio confi rmam a hipótese de expansão do universo. Quem diria!</p><p>Afi nal de contas, Doppler estava correto.</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma fonte sonora fi xa emite som de frequência f</p><p>0</p><p>. O som é refl etido</p><p>por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade u.</p><p>O eco refl etido volta para a fonte, onde interfere com as ondas</p><p>que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos, com</p><p>frequências ∆f. Mostre que é possível determinar a magnitude</p><p>|u| da velocidade do objeto móvel em função de ∆f, f</p><p>0</p><p>e da</p><p>velocidade do som v.</p><p>02. (PUC-PR) Uma ambulância dotada de uma sirene percorre, numa</p><p>estrada plana, a trajetória ABCDE, com velocidade de módulo</p><p>constante de 50 km/h. Os trechos AB e DE são retilíneos e BCD</p><p>um arco de circunferência de raio 20 m, com centro no ponto O,</p><p>onde se posiciona um observador que pode ouvir o som emitido</p><p>pela sirene:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>R R</p><p>R 0</p><p>E</p><p>Ao passar pelo ponto A, o motorista aciona a sirene cujo som é</p><p>emitido na frequência de 350Hz. Analise as proposições a seguir:</p><p>I. Quando a ambulância percorre o trecho AB, o observador ouve</p><p>um som mais grave que o som de 350Hz;</p><p>II. Enquanto a ambulância percorre o trecho BCD, o observador</p><p>ouve um som de frequência igual a 350Hz;</p><p>III. À medida que a ambulância percorre o trecho DE, o som</p><p>percebido pelo observador é mais agudo que o emitido pela</p><p>ambulância, de 350Hz;</p><p>IV. Durante todo o percurso, a frequência ouvida pelo observador</p><p>será de frequência igual a 350Hz.</p><p>Está correta ou estão corretas:</p><p>A) IV B) II e III</p><p>C) apenas II D) I e III</p><p>E) I e II</p><p>03. Uma onda sonora considerada plana, proveniente de uma sirene</p><p>em repouso, propaga-se no ar parado, na direção horizontal,</p><p>com velocidade V igual a 330 m/s e comprimento de onda igual a</p><p>16,5 cm.</p><p>U</p><p>V</p><p>60º</p><p>frentes de onda</p><p>Na região em que a onda está se propagando, um atleta corre,</p><p>em uma pista horizontal, com velocidade U igual a 6,60 m/s,</p><p>formando um ângulo de 60° com a direção de propagação da</p><p>onda. O som que o atleta ouve tem frequência aproximada de</p><p>A) 1960 Hz B) 1980 Hz</p><p>C) 2000 Hz D) 2020 Hz</p><p>E) 2040 Hz</p><p>04. (ITA-SP) Um diapasão de frequência 400Hz é afastado de um</p><p>observador, em direção a uma parede plana, com velocidade de</p><p>1,7 m/s. São nominadas f</p><p>1</p><p>, a frequência aparente das ondas não</p><p>refl etidas, vindas diretamente até o observador; f</p><p>2</p><p>, a frequência</p><p>aparente das ondas sonoras que alcançam o observador depois de</p><p>refl etidas pela parede; e f</p><p>3</p><p>, a frequência dos batimentos. Sabendo</p><p>que a velocidade do som é 340 m/s, os valores que melhor</p><p>representam as frequências em hertz de f</p><p>1</p><p>, f</p><p>2</p><p>e f</p><p>3</p><p>, respectivamente,</p><p>são:</p><p>A) 392, 408 e 16 B) 396, 404 e 8</p><p>C) 398, 402 e 4 D) 402, 398 e 4</p><p>E) 404, 396 e 4</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>006.426 – 132389/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>05. (ITA-SP) Um violinista deixa cair um diapasão de frequência 440 Hz.</p><p>A frequência que o violinista ouve na iminência do diapasão tocar</p><p>no chão é 436 Hz. Determine a altura da queda, desprezando a</p><p>resistência do ar.</p><p>06. (ITA-SP) Considere a velocidade máxima permitida nas estradas</p><p>como sendo exatamente 80 km/h. A sirene de um posto rodoviário</p><p>soa com uma frequência de 700 Hz, enquanto um veículo de</p><p>passeio e um policial rodoviário se aproximam emparelhados.</p><p>O policial dispõe de um medidor de frequências sonoras. Dada a</p><p>velocidade do som, de 350 m/s, ele deverá multar o motorista</p><p>do carro quando seu aparelho medir uma frequência sonora de,</p><p>no mínimo:</p><p>A) 656 Hz B) 745 Hz</p><p>C) 655 Hz D) 740 Hz</p><p>E) 860 Hz</p><p>07. Uma jovem encontra-se no assento de um carrossel circular que</p><p>gira a uma velocidade angular constante com período T. Uma</p><p>sirene posicionada fora do carrossel emite um som de frequência</p><p>f</p><p>o</p><p>em direção ao centro de rotação. No instante t = 0, a jovem está</p><p>à menor distância em relação à sirene. Nesta situação, assinale a</p><p>melhor representação da frequência f ouvida pela jovem.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>08. (ITA) Uma pessoa de 80,0 kg deixa-se cair verticalmente de uma</p><p>ponte, amarrada a uma corda elástica de bungee jumping, com</p><p>16,0 m de comprimento. Considere que a corda se esticará até</p><p>20,0 m de comprimento sob a ação do peso. Suponha que, em</p><p>todo o trajeto, a pessoa toque continuamente uma buzina, cuja</p><p>frequência natural é de 235 Hz. Qual(is) é(são) a(s) distância(s)</p><p>abaixo da ponte em que a pessoa se encontra para que um som</p><p>de 225 Hz seja percebido por alguém parado sobre a ponte?</p><p>A) 11,4 m</p><p>B) 11,4 m e 14,4 m</p><p>C) 11,4 m e 18,4 m</p><p>D) 14,4 m e 18,4 m</p><p>E) 11,4 m, 14,4 m e 18,4 m</p><p>09. Das afi rmações abaixo, a mais correta é:</p><p>A) A altura é a qualidade que permite diferenciar um som forte</p><p>de um som fraco.</p><p>B) A velocidade do som independe da natureza do gás em que</p><p>se propaga.</p><p>C) A velocidade do som na atmosfera em relação a um observador</p><p>fi xo na terra independe da velocidade do ar em relação à terra.</p><p>D) Quando uma fonte sonora se afasta do observador, ele ouve</p><p>uma frequência mais baixa do que a emitida.</p><p>E) A velocidade do som independe da temperatura do meio em</p><p>que se propaga</p><p>10. Com que velocidade escalar deve um observador deslocar-se entre</p><p>duas fontes sonoras estacionárias, que emitem sons de mesma</p><p>frequência, para que perceba frequências na razão de 9 : 8?</p><p>A) 20 m/s</p><p>B) 25 m/s</p><p>C) 40 m/s</p><p>D) 10 m/s</p><p>E) Nenhuma das respostas acima.</p><p>11. Um automóvel, movendo-se a 20 m/s, passa próximo a uma pessoa</p><p>parada junto ao meio-fi o. A buzina do carro está emitindo</p><p>uma</p><p>nota de frequência f = 2,000 kHz. O ar está parado e a velocidade</p><p>do som em relação a ele é 340 m/s. Que frequência o observador</p><p>ouvirá:</p><p>I. Quando o carro está se aproximando;</p><p>II. Quando o carro está se afastando.</p><p>A) 2,00 kHz e 2,00 kHz;</p><p>B) 1,88 kHz e 2,12 kHz;</p><p>C) 2,13 kHz e 1,89 kHz;</p><p>D) 2,10 kHz e 1,87 kHz;</p><p>E) 1,88 kHz e 2,11 kHz.</p><p>12. Em uma planície, um balão meteorológico com um emissor e</p><p>receptor de som é arrastado por um vento forte de 40 m/s contra</p><p>a base de uma montanha. A frequência do som emitido pelo</p><p>balão é de 570 Hz e a velocidade de propagação do som no ar</p><p>é de 340 m/s. Assinale a opção que indica a frequência refl etida</p><p>pela montanha e registrada no receptor do balão.</p><p>A) 450 Hz B) 510 Hz</p><p>C) 646 Hz D) 722 Hz</p><p>E) 1292 Hz</p><p>13. Quando em repouso, uma corneta emite um som de frequência</p><p>512 Hz. Em uma experiência acústica, um estudante deixa cair a</p><p>corneta do alto de um edifício. Qual a distância percorrida pela</p><p>corneta, durante a queda, até o instante em que o estudante</p><p>detecta o som na frequência de 485 Hz? (Despreze a resistência</p><p>do ar).</p><p>A) 13,2 m B) 15,2 m</p><p>C) 16,1 m D) 18,3 m</p><p>E) 19,3 m</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>006.426 – 132389/18</p><p>14. A fi gura representa frentes de onda esféricas emitidas por um</p><p>avião que se movimenta horizontalmente para a direita, ao longo</p><p>da reta r, com velocidade constante.</p><p>Considere a velocidade de propagação do som no ar igual a</p><p>340 m/s e 3 1 7= , .</p><p>A) Calcule a velocidade do avião.</p><p>B) Em um determinado instante, o avião está na mesma vertical</p><p>que passa por um observador parado no solo. Sabendo-se que</p><p>3,0 s após esse instante o observador ouve o estrondo sonoro</p><p>causado pela onda de choque gerada pelo avião, calcule a</p><p>altura do avião em relação a esse observador.</p><p>15. Uma fonte sonora F, emitindo um som de frequência igual a</p><p>500 Hz, desloca-se para Oeste, com velocidade v m sF = 20 2 / .</p><p>Um observador O desloca-se para Nordeste com velocidade</p><p>v m so = 20 2 / (ver fi gura).</p><p>O vento sopra de Oeste para Leste, com velocidade v</p><p>V</p><p>= 40 m/s.</p><p>Sabendo-se que, na ausência de vento, a velocidade do som no</p><p>ar é v</p><p>s</p><p>= 340 m/s e que todas as velocidades citadas são relativas</p><p>ao solo, calcule a frequência do som ouvido pelo observador.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* C B C H = 0,45 m</p><p>06 07 08 09 10</p><p>B A C D A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>C D E * 450 Hz</p><p>* 01. u∆f/(2f</p><p>0</p><p>+ ∆f)</p><p>14. A) 680 m/s</p><p>B) 1200 m</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: SAMUEL – 25/10/18 – REV.: SARAH</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: InfErênCIa E fEnda dupla</p><p>frente: físICa II</p><p>OSG.: 009.212 - 135036/19</p><p>AULAS 49 a 51</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Interferência e Fenda dupla</p><p>Introdução</p><p>Ao olharmos para um pouco de gasolina derramada,</p><p>percebemos várias manchas coloridas. Essa coloração é causada por</p><p>interferência. Tanto o ângulo que olhamos, quanto a espessura da</p><p>camada, quanto o índice de refração do material (no caso, a gasolina)</p><p>influenciam fortemente tal fenômeno. Iremos encontrar a cor exata</p><p>se tivermos em mãos estes parâmetros.</p><p>Esse exemplo é de uma onda eletromagnética com comprimento</p><p>de onda no intervalo visível. Entretanto, podemos trabalhar, de um</p><p>modo geral, com qualquer comprimento de onda. Ao trabalhar com</p><p>uma onda eletromagnética, sabemos que tanto o campo elétrico</p><p>quanto o magnético se propagam na mesma direção, sendo a variação</p><p>de campo elétrico responsável pela variação de campo magnético e</p><p>vice-versa.</p><p>As quatro equações de Maxwell regem todo esse fenômeno,</p><p>porém, seremos mais objetivos nos nossos estudos e não vamos nos</p><p>perder em um mar de contas. Iremos trabalhar com um formalismo</p><p>mais pragmático.</p><p>∇ ⋅ =B</p><p>�</p><p>0</p><p>∇× = −</p><p>∂</p><p>∂</p><p>E</p><p>B</p><p>t</p><p>�</p><p>�</p><p>∇× =B</p><p>�</p><p>ρ</p><p>∇× = −</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+B</p><p>E</p><p>t</p><p>J</p><p>�</p><p>�</p><p>As quatro equações de Maxwell, na forma diferencial, chegam</p><p>a ser ícone de apreciação, mas necessitam de uma matemática mais</p><p>elaborada, como rotacionais, divergentes e muita álgebra vetorial.</p><p>O primeiro resultado que devemos extrair destas equações é</p><p>que o módulo do campo magnético é dado por:</p><p>B = E/c</p><p>Ou seja, a amplitude do campo elétrico será da ordem da</p><p>amplitude do campo magnético dividida pela ordem de grandeza da</p><p>velocidade da luz, que é extremamente grande. Por este motivo não</p><p>nos preocuparemos com os campos magnéticos e resumiremos nossas</p><p>análises estritamente aos campos elétricos.</p><p>A equação de campo elétrico produzida por uma carga</p><p>oscilando em movimento harmônico simples (um ótimo modelo da</p><p>vida real) pode ser dada como:</p><p>E(x,t) = E</p><p>0</p><p>sin(kx – ωt+ ϕ</p><p>0</p><p>)</p><p>Utilizaremos a mesma convenção vista anteriormente em</p><p>ondulatória.</p><p>Diferença de fase</p><p>Quando temos duas ondas se propagando no mesmo sentido</p><p>e com mesma frequência e comprimento de onda, mas com fases</p><p>diferentes, podemos obter:</p><p>E</p><p>1</p><p>(x, t) = E</p><p>1</p><p>· cos(ϕ</p><p>1</p><p>)</p><p>E</p><p>2</p><p>(x, t) = E</p><p>2</p><p>· cos(ϕ</p><p>2</p><p>)</p><p>E</p><p>1</p><p>(x, t) = E</p><p>1</p><p>· cos(ωt – kx + ϕ</p><p>0,1</p><p>)</p><p>E</p><p>2</p><p>(x, t) = E</p><p>2</p><p>· cos(ωt – kx + ϕ</p><p>0,2</p><p>)</p><p>Utilizaremos o método de soma de fasores.</p><p>E E E EE</p><p>I I I I I</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2 2 1</p><p>1 2 12 2 1</p><p>2</p><p>2</p><p>= + + −( )</p><p>= + + −( )</p><p>cos</p><p>cos</p><p>ϕ ϕ</p><p>ϕ ϕ</p><p>• Interferências construtivas:</p><p>Se ϕ</p><p>2</p><p>– ϕ</p><p>1</p><p>= 2πn (para n = 0, 1, 2, 3,…)</p><p>I I I= +( )1 2</p><p>2</p><p>Obs.: para o caso particular em que as amplitudes sejam iguais:</p><p>I</p><p>1</p><p>= I</p><p>2</p><p>= I</p><p>0</p><p>→ I = 4I</p><p>0</p><p>.</p><p>Esta é a condição para interferências construtivas.</p><p>Podemos escrever mais diretamente a seguinte expressão:</p><p>(kx</p><p>2</p><p>+ ϕ</p><p>0,2</p><p>) – (kx</p><p>1</p><p>+ ϕ</p><p>0,1</p><p>) = 2πn</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) + (ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>) = 2πn</p><p>I. Se as fontes estiverem em fase, dizemos que as fases iniciais são</p><p>iguais (ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>) = 0. Assim, conclui-se que:</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) = 2πn</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>OSG.: 009.212 - 135036/19</p><p>II. Se as fontes estiverem em oposição de fase, dizemos que as fases</p><p>iniciais são iguais (ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>) = ± π. Assim, conclui-se que:</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) = (2n ± 1)π</p><p>Analise o sinal adequado para cada caso!</p><p>• Interferências destrutivas:</p><p>Se ϕ</p><p>2</p><p>– ϕ</p><p>1</p><p>= (2n + 1)π (para n = 0, 1, 2, 3,…)</p><p>I I I= −( )1 2</p><p>2</p><p>Condição de mínimos.</p><p>Obs.: para o caso particular em que as amplitudes sejam iguais:</p><p>I</p><p>1</p><p>= I</p><p>2</p><p>= I</p><p>0</p><p>→ I = 0.</p><p>Esta é a condição para interferências construtivas.</p><p>Podemos escrever mais diretamente a seguinte expressão:</p><p>(kx</p><p>2</p><p>+ ϕ</p><p>0,2</p><p>) – (kx</p><p>1</p><p>+ ϕ</p><p>0,1</p><p>) = (2n + 1)π</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) + (ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>) = (2n + 1)π</p><p>III. Se as fontes estiverem em fase, dizemos que as fases iniciais são</p><p>iguais (ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>) = 0. Assim, conclui-se que:</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) = (2n + 1)n</p><p>IV. Se as fontes estiverem em oposição de fase, dizemos que as fases</p><p>iniciais são iguais (ϕ</p><p>0,2</p><p>– ϕ</p><p>0,1</p><p>) = ±π. Assim, conclui-se que:</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) = (2n + 1 ± 1)π</p><p>Por simplificação, costuma-se escrever:</p><p>k(x</p><p>2</p><p>– x</p><p>1</p><p>) = 2nπ</p><p>Como nosso intuito é ajudar, escreveremos essas equações</p><p>num caso mais direto. Imagine a seguinte cena:</p><p>Duas fontes pontuais e coerentes, de mesmo comprimento de</p><p>onda, situadas a uma distância de 4λ uma da outra.</p><p>yy</p><p>bb</p><p>xx</p><p>cc</p><p>S2S2</p><p>S1S1</p><p>aa</p><p>A condição para uma interferência construtiva é dada por (veja</p><p>as equações anteriores e mostre estes resultados):</p><p>r</p><p>2</p><p>– r</p><p>1</p><p>= mλ (para m = 0, ±1, ±2,…)</p><p>Veja o seguinte exemplo no ponto b da figura anterior:</p><p>S</p><p>2</p><p>b</p><p>S</p><p>1</p><p>r</p><p>2</p><p>– r</p><p>1</p><p>= 2λ</p><p>r1</p><p>= 7λ</p><p>r 2</p><p>= 9λ</p><p>λ</p><p>Em outras palavras, se as fontes estiverem em fase, a diferença</p><p>de caminho entre elas deve ser um número inteiro do comprimento</p><p>de onda para gerar uma interferência construtiva.</p><p>Da mesma forma, para gerar uma interferência destrutiva,</p><p>devemos ter:</p><p>r r m2 1</p><p>2</p><p>− =</p><p>λ</p><p>(para m = ±1, ±3, ±5…)</p><p>Veja o exemplo do ponto c da mesma figura:</p><p>c</p><p>λ</p><p>S</p><p>2</p><p>S</p><p>1</p><p>r</p><p>2</p><p>– r</p><p>1</p><p>= – 2.50λ</p><p>r</p><p>1 = – 9.75λ</p><p>r</p><p>2 = 7.25λ</p><p>Em outras palavras, podemos dizer que sempre que as fontes</p><p>estiverem em fase, a diferença de caminho necessária para se ter</p><p>uma interferência destrutiva deve ser um número inteiro de meios</p><p>comprimentos de onda. Isso explica os números ímpares</p><p>nesse caso.</p><p>m = –3</p><p>m = –2</p><p>m = –1</p><p>m = 0 x</p><p>y</p><p>As curvas em vermelho</p><p>representam o lugar</p><p>geométrico dos pontos</p><p>que ocorrem</p><p>interferências</p><p>construtivas.</p><p>Em a e b as ondas</p><p>chegam em fase e geram</p><p>interferêcias</p><p>construtivas.</p><p>O ponto c é um exemplo</p><p>de interferência</p><p>destrutiva.</p><p>cc</p><p>bb</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>S</p><p>2</p><p>m = 1</p><p>m = 2</p><p>m = 3</p><p>aa</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>OSG.: 009.212 - 135036/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Experiência de Young</p><p>Por volta do século XVII, apesar de vários físicos já defenderem</p><p>a teoria ondulatória da luz, que afirmava que a luz era incidida por</p><p>ondas, a teoria corpuscular de Newton, que descrevia a luz como uma</p><p>partícula, era muito bem aceita na comunidade científica.</p><p>Em 1801, o físico e médico inglês, Thomas Young foi o primeiro</p><p>a demonstrar, com sólidos resultados experimentais, o fenômeno de</p><p>interferência luminosa, que tem por consequência a aceitação da teoria</p><p>ondulatória. Embora, hoje em dia, a teoria aceita é a dualidade onda-</p><p>-partícula, enunciada pelo físico francês Louis-Victor de Broglie, baseado</p><p>nas conclusões sobre as características dos fótons, de Albert Einstein.</p><p>Na experiência realizada por Young, são utilizados três</p><p>anteparos, sendo o primeiro composto por um orifício, onde ocorre</p><p>difração da luz incidida; o segundo, com dois orifícios, postos lado a</p><p>lado, causando novas difrações. No último, são projetadas as manchas</p><p>causadas pela interferência das ondas resultantes da segunda difração.</p><p>Luz Monocromática</p><p>S</p><p>0</p><p>Franjas claras</p><p>produzidas por</p><p>interferências</p><p>construtivas</p><p>Franjas escuras</p><p>produzidas por</p><p>interferências</p><p>destrutivas</p><p>Anteparo</p><p>y</p><p>S</p><p>2</p><p>S</p><p>1</p><p>O problema pode ser simplificado pelo princípio de Huygens,</p><p>ou seja, considerando S</p><p>1</p><p>e S</p><p>2</p><p>como fontes cilíndricas. Olhando de</p><p>perfil, trabalharemos com duas fontes pontuais.</p><p>S</p><p>2</p><p>Ld</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>1</p><p>d sin θ</p><p>S</p><p>2</p><p>d</p><p>θθ</p><p>dd</p><p>yy</p><p>P</p><p>Anteparo</p><p>θ</p><p>θ</p><p>Entenda que os raios irão sair aproximadamente paralelos. Sim,</p><p>é estranho, mas é uma ótima aproximação.</p><p>A condição para que seja formada uma interferência construtiva é:</p><p>d sinθ</p><p>m</p><p>= mλ (m =1, 2, 3,…)</p><p>Como θ</p><p>m</p><p>é muito pequeno, façamos sinθ</p><p>m</p><p>≈ tanθ</p><p>m</p><p>.</p><p>A tanθm</p><p>y</p><p>L</p><p>= relaciona a distância do anteparo com a</p><p>posição y que ocorrerá a interferência.</p><p>Logo,</p><p>d</p><p>y</p><p>L</p><p>mm = λ</p><p>y m L dm = λ /</p><p>É interessante que se se tomar a próxima interferência</p><p>construtiva (m + 1), obtém-se:</p><p>y</p><p>m + 1</p><p>= (m + 1)λL/d</p><p>Para calcular o espaçamento entre duas fendas claras, basta</p><p>fazer:</p><p>y</p><p>m + 1</p><p>– y</p><p>m</p><p>= λL/d</p><p>A conclusão disso tudo é que as franjas se localizam igualmente</p><p>espaçadas e no ponto médio de duas franjas claras se localizam as</p><p>escuras.</p><p>A intensidade das franjas pode ser analisada da seguinte</p><p>maneira:</p><p>E</p><p>1</p><p>= A</p><p>0</p><p>sinωt</p><p>e</p><p>E</p><p>2</p><p>= A</p><p>0</p><p>sin (ωt + δ)</p><p>O resultado é:</p><p>E E E A t= + = +</p><p></p><p></p><p>1 2 02</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos sin</p><p>δ</p><p>ω δ</p><p>Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude,</p><p>temos:</p><p>I = 4I</p><p>0</p><p>cos2(δ/2)</p><p>Intensidade</p><p>4I</p><p>0</p><p>I</p><p>av</p><p>= 2I</p><p>0</p><p>sin θλ—</p><p>d</p><p>2λ—</p><p>d</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>OSG.: 009.212 - 135036/19</p><p>Observações:</p><p>Em óptica, ondas senoidais são algo característico de luz</p><p>monocromática (luz de uma única cor). Embora seja bastante</p><p>fácil de fazer ondas ou ondas de som de uma única frequência,</p><p>fontes comuns de luz não emitem luz monocromática (de</p><p>frequência única). Por exemplo, lâmpadas incandescentes e</p><p>chamas emitem uma distribuição contínua de comprimentos de</p><p>onda. De longe, a fonte mais quase monocromática que está</p><p>disponível no momento é a laser. Um exemplo é o laser de hélio-</p><p>néon, que emite uma luz vermelha em 632,8 nm, com uma faixa</p><p>de erro da ordem de ±0,000001 nm. Ao analisar os efeitos da</p><p>interferência e difração neste capítulo e no próximo, vamos supor</p><p>que estamos trabalhando com ondas monocromáticas (a menos</p><p>que explicitamente de outra forma).</p><p>É necessário que estas fontes sejam coerentes. Ou seja, que</p><p>a diferença de fase entre elas não varia no tempo, pois se existir essa</p><p>variação, devido às altas frequências, necessitamos calcular a média.</p><p>E E E2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2= +</p><p>Isso implica dizer que o campo assume todos os valores</p><p>possíveis igualmente no tempo e, dessa forma, a intensidade fica</p><p>constante e o fenômeno de interferência “vai pelo ralo”.</p><p>Exercícios</p><p>01. Na experiência de dupla fenda de Young, utilizando fontes de luz</p><p>monocromáticas, a figura de interferência no espaço gerada é:</p><p>A) círculo.</p><p>B) hipérbole.</p><p>C) parábola.</p><p>D) linhas estreitas.</p><p>02. Duas ondas luminosas, monocromáticas e coerentes, de</p><p>intensidades I e 4I, incidem sobre um ponto P. A máxima e</p><p>a mínima intensidade possível da onda resultante deve ser,</p><p>respectivamente:</p><p>A) 5I e I</p><p>B) 5I e 3I</p><p>C) 9I e I</p><p>D) 9I e 3I</p><p>E) NDA</p><p>03. Duas fendas estreitas, separadas por 1,5 mm, são iluminadas por</p><p>uma luz amarela, com comprimento de onda de 589 nm, a partir</p><p>de uma lâmpada de sódio. Encontre o espaçamento das franjas</p><p>claras observadas sobre uma tela afastada de 3 m.</p><p>04. (ITA) Realizou-se uma experiência de interferência, conforme</p><p>a feita por Young, com uma luz de aproximadamente 5000</p><p>Angstrons de comprimento de onda. Sabendo-se que a separação</p><p>entre as fendas era de 1,0 mm, pode-se calcular a distância d entre</p><p>duas franjas claras consecutivas, observadas a 5,0 m das fendas.</p><p>A distância d vale, aproximadamente:</p><p>A) 0,10 cm</p><p>B) 0,25 cm</p><p>C) 0,50 cm</p><p>D) 1,0 cm</p><p>E) 0,75 cm</p><p>05. Realiza-se a experiência de Young com um dispositivo em que os</p><p>anteparos estão separados por 4,0 m e as fendas por 2,0 mm.</p><p>A distância entre cada duas faixas claras consecutivas é 1,6 mm.</p><p>a</p><p>P</p><p>m</p><p>O</p><p>�</p><p>Determine:</p><p>A) o comprimento de onda da luz monocromática utilizada.</p><p>B) a frequência da luz, cuja velocidade no meio em questão</p><p>é 3,0 · 108 m/s.</p><p>06. Na figura ao lado, AC e BP são raios luminosos que estão em fase.</p><p>Q</p><p>C d</p><p>P</p><p>B</p><p>A</p><p>O</p><p>θ θ</p><p>R</p><p>Encontre a condição de interferência construtiva no ponto P após</p><p>a reflexão no espelho superior.</p><p>A) cos θ= 3λ/2d</p><p>B) cos θ = λ/4d</p><p>C) sec θ – cos θ = λ/d</p><p>D) sec θ – cos θ = 4λ/d</p><p>E) NDA</p><p>07. Uma luz com comprimento de onda de 633 nm, a partir de um</p><p>laser de hélio-neônio atinge, normalmente, um plano contendo</p><p>duas fendas. O primeiro máximo de interferência está a 82 cm</p><p>do máximo central sobre uma tela 12 m afastada.</p><p>A) Encontre a separação das fendas.</p><p>B) Quantos máximos de interferência podem ser observados?</p><p>08. O experimento chamado espelho de Lloyd consiste em obter</p><p>um padrão de interferência apenas com uma fonte S e sua</p><p>imagem S’, formada por um espelho perpendicular ao anteparo.</p><p>A</p><p>S</p><p>S’</p><p>0</p><p>Determine a posição das franjas claras em relação ao ponto O.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>OSG.: 009.212 - 135036/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>09. Dois espelhos planos formam um ângulo muito próximo de 180°.</p><p>À distância b dos espelhos, encontra-se uma fonte luminosa S.</p><p>Determine o intervalo entre as franjas luminosas vistas sobre MN,</p><p>que está situado a uma distância a da interseção dos espelhos.</p><p>Utilize o comprimento de onda como λ e α o menor ângulo entre</p><p>os espelhos, mostrado na figura.</p><p>S</p><p>a</p><p>C</p><p>A</p><p>M</p><p>N</p><p>0</p><p>α</p><p>bb</p><p>bb</p><p>∆h = λ (a – b)/2ba</p><p>10. Um feixe de luz é composto de luzes de comprimentos de onda</p><p>λ</p><p>1</p><p>e λ</p><p>2</p><p>, sendo λ</p><p>1</p><p>15% maior que λ</p><p>2</p><p>.</p><p>λ</p><p>1 ,</p><p>λ</p><p>2</p><p>d</p><p>θ</p><p>Esse feixe de luz incide perpendicularmente em um anteparo com</p><p>dois pequenos orifícios, separados entre si por uma distância d.</p><p>A luz que sai dos orifícios é projetada em um segundo anteparo,</p><p>onde se observa uma figura de interferência. Pode-se afirmar</p><p>então, que</p><p>A) o ângulo de arcsen (5 λ</p><p>1</p><p>/d) corresponde à posição onde</p><p>somente a luz de comprimento de onda λ</p><p>1</p><p>é observada.</p><p>B) o ângulo de arcsen (10 λ</p><p>1</p><p>/d) corresponde à posição onde</p><p>somente a luz de comprimento de onda λ</p><p>1</p><p>é observada.</p><p>C) o ângulo de arcsen (15 λ</p><p>1</p><p>/d) corresponde à posição onde</p><p>somente a luz de comprimento de onda λ</p><p>1</p><p>é observada.</p><p>D) o ângulo de arcsen (10 λ</p><p>2</p><p>/d) corresponde à posição onde</p><p>somente a luz de comprimento de onda λ</p><p>2</p><p>é observada.</p><p>E) o ângulo de arcsen (15 λ</p><p>2</p><p>/d) corresponde à posição</p><p>onde</p><p>somente a luz de comprimento de onda λ</p><p>2</p><p>é observada.</p><p>11. (IME) Uma luz com comprimento de onda λ incide obliquamente</p><p>sobre duas fendas paralelas, separadas pela distância a. Após</p><p>serem difratados, os feixes de luz que emergem das fendas</p><p>sofrem interferência e seus máximos podem ser observados num</p><p>anteparo, situado a uma distância d (d >> a) das fendas. Os valores</p><p>de θ associados aos máximos de intensidades no anteparo são</p><p>dados por:</p><p>S</p><p>2</p><p>S</p><p>1</p><p>θα</p><p>d</p><p>a</p><p>A) cos</p><p>n</p><p>a</p><p>cos nθ</p><p>λ</p><p>α= =… − − − …– ; , , , , , , , ,3 2 1 0 1 2 3</p><p>B) sen n a sen nθ λ α= +( ) = − − −2 1 3 2 1 0 1 2 3/ ; ..., , , , , , , , ....</p><p>C) sen n a sen nθ λ α= = − − −/ – ; ..., , , , , , , , ...3 2 1 0 1 2 3</p><p>D) cos n a sen nθ λ α= = − − −/ – ; ..., , , , , , , , ...3 2 1 0 1 2 3</p><p>E) sen n a cos nθ λ α= = − − −/ – ; ..., , , , , , , , ...2 3 2 1 0 1 2 3</p><p>12. Duas fontes luminosas pontuais e coerentes, S</p><p>1</p><p>e S</p><p>2</p><p>, estão sobre</p><p>uma reta perpendicular a um anteparo. A distância entre as</p><p>duas fontes é L = 2λ , onde λ é o comprimento de onda da luz.</p><p>A distância entre S</p><p>2</p><p>e o anteparo é D >> L. No ponto O do</p><p>anteparo, que está alinhado com as fontes, observa-se um máximo</p><p>de interferência rodeado de um anel brilhante. Determinar o raio</p><p>do anel.</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>L D</p><p>Anteparo</p><p>0</p><p>13. Quando um interferômetro de Fabry-Perot é iluminado por uma</p><p>luz monocromática de comprimento de onda λ, um padrão de</p><p>interferência, em forma de anéis concêntricos, é gerado sobre o</p><p>plano focal de uma lente (ver figura).</p><p>d</p><p>θ</p><p>θ</p><p>A espessura do interferômetro é igual a d. Determine:</p><p>A) a condição dos anéis (franjas claras);</p><p>B) Derive a expressão encontrada para obter a largura angular</p><p>de franjas, dependendo do ângulo (ordem da interferência).</p><p>Dica: ao derivar a expressão, faça: dm = –1 (tente explicar esse</p><p>artifício).</p><p>14. Uma fonte emissora (S) de luz, de comprimento de onda de</p><p>600 nm, é colocada a uma altura muito pequena (h) acima de</p><p>uma superfície refletora plana AB (veja a figura). A intensidade da</p><p>luz refletida é de 36% da intensidade do incidente. As franjas de</p><p>interferência são observadas em uma tela colocada paralelamente</p><p>à superfície refletora, a uma distância muito grande (D) dela.</p><p>A</p><p>h</p><p>P Anteparo</p><p>B</p><p>S</p><p>D</p><p>6 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>OSG.: 009.212 - 135036/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>A) Calcule a razão entre as intensidades mínima e máxima nas</p><p>franjas de interferência formadas perto do ponto P (mostradas</p><p>na figura anterior).</p><p>B) Se a intensidade no ponto P corresponde a um máximo, calcule</p><p>a distância mínima através da qual a superfície refletora AB</p><p>deve ser deslocada, de modo que a intensidade em P volte a</p><p>ser máxima.</p><p>15. A figura mostra um interferômetro conhecido como prisma de</p><p>Fresnel. O ângulo de abertura do prisma vale (A), e essa abertura</p><p>é extremamente pequena.</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>0</p><p>d</p><p>A</p><p>A</p><p>O</p><p>P</p><p>a b</p><p>S</p><p>2</p><p>A) Se S</p><p>0</p><p>é uma fonte localizada à distância a do prisma, mostre</p><p>que a separação das duas fontes virtuais formadas pelo prisma</p><p>S</p><p>1</p><p>e S</p><p>2</p><p>é dada por:</p><p>d = 2aA (n – 1)</p><p>Onde n é o índice de refração do prisma.</p><p>B) Calcule o espaçamento entre duas franjas claras para um</p><p>comprimento de onda de luz verde igual a 500 nm sobre um</p><p>anteparo a 2,00 m do prisma.</p><p>Considere: a = 0,200 m; A = 3,50mrad e n = 1,5.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>B C – B –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>B – – – B</p><p>11 12 13 14 15</p><p>C – – – –</p><p>– Demonstração.</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: PAULO/GEORGENES – REV.: SARAH</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: Caminho ÓptiCo</p><p>frente: FísiCa ii</p><p>009.217 - 135027/19</p><p>AULAS 52 e 53</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Caminho óptico</p><p>Se o material no espaço entre as fontes e é algo diferente vácuo,</p><p>devemos usar o comprimento de onda no material na equação. Se o</p><p>material tem índice de refração n, segue que:</p><p>λ λ= 0 / n</p><p>Onde λ0 é o comprimento de onda no vácuo.</p><p>Perceba que ao mudar o comprimento de onda, também</p><p>mudamos o número de onda (k).</p><p>k nk= 0</p><p>Ao substituir nas equações de interferência, temos:</p><p>k x x nk x x k nx nx2 1 0 2 1 0 2 1−( ) = −( ) = −( )</p><p>Chamamos nx o caminho óptico da luz no meio de índica de</p><p>refração n. Entendemos essa grandeza como a distância que a luz</p><p>percorreria se estivesse no vácuo. Entenda que a luz, quando em outro</p><p>meio, deveria dar um número maior de oscilações para percorrer uma</p><p>mesma distância real, pois o comprimento de onda em qualquer meio</p><p>é sempre menor que o comprimento de onda no vácuo.</p><p>Vejamos o exemplo de dois meios com índices de refração n</p><p>1</p><p>e n n n2 2 1( )> .</p><p>Ao passar por placas com índices de refração diferentes, apesar</p><p>de possuírem o mesmo comprimento, as ondas percorrem caminhos</p><p>ópticos diferentes.</p><p>A diferença de caminho óptico das duas ondas durante o</p><p>percurso nas placas é dada por n n L2 1−( ) .</p><p>Alterações de fase</p><p>Imagine que uma onda está se propagando em um meio que</p><p>contém índice de refração (n</p><p>a</p><p>) e incide num meio de índice de refração</p><p>(n</p><p>b</p><p>). Pode-se mostrar que a relação entre a amplitude da onde refletida</p><p>e amplitude da onda incidente é dada por:</p><p>R</p><p>n n</p><p>n n</p><p>Er</p><p>a b</p><p>a b</p><p>i=</p><p>−</p><p>+</p><p>Você já deve ter feito este exercício anteriormente com cordas,</p><p>basta fazer uma analogia com as densidades lineares das cordas. Veja:</p><p>Se n na b></p><p>Se n na b< :</p><p>Obs: Lembre-se que a onda transmitida nunca inverte a fase!</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>009.217 - 135027/19</p><p>Aplicações</p><p>Interferências em filmes finos</p><p>Suponha que um raio luminoso incida sobre uma fina película</p><p>de água ( nH O2</p><p>1 33= , ) que se encontra sobre uma fase de vidro</p><p>(nvidro = 1 50, ). Tratando o raio luminoso como onda, sabemos que parte</p><p>da energia reflete voltando para o ar e o restante prossegue através</p><p>de uma refração.</p><p>A parte que penetra na água irá refletir e refratar na parte</p><p>inferior da película. Um observador que se encontra no ar, perceberá</p><p>dois raios (1 e 2 ver figura). Estes raios produzirão uma interferência,</p><p>pois a película é muito fina e isso gera um espaçamento entre os raios</p><p>muito pequenos. Trataremos a maioria dos casos com incidências</p><p>normais.</p><p>Atente ao fato de que se a incidência for normal, podemos</p><p>calcular a diferença de caminho óptico facilmente. Veja:</p><p>∆x nt= 2</p><p>Ou seja, o raio 2 percorre t quando desce e t quando sobe.</p><p>Entenda que – x é o quanto o raio 2 anda a mais que o raio 1. Para essa</p><p>diferença de caminho óptico produzir uma interferência construtiva,</p><p>devemos ter:</p><p>∆x m m= = …( )λ 1 2 3, , ,</p><p>Portanto: t</p><p>m</p><p>n</p><p>=</p><p>λ</p><p>2</p><p>É muito importante parar neste momento e analisar o que</p><p>você está fazendo! Isso não é uma fórmula geral. Entenda que ao</p><p>analisarmos os índices de refração do ar, água e vidro, constatou-se</p><p>que a onda inverte a fase ao refletir na água (raio 1) e inverte também</p><p>a fase quando reflete no vidro (raio 2). Ora, se os dois raios inverteram</p><p>as fases, eles chegam ao observador em fase novamente. Por isso a</p><p>condição é mλ .</p><p>Anéis de Newton</p><p>Suponha a seguinte configuração:</p><p>Se uma feixe luminoso incide na superfície superior deste</p><p>aparato, os rios refletidos vão possuir uma diferença de caminho</p><p>variando com a posição horizontal na qual eles incidem. Observe que</p><p>a abertura (camada de ar) aumenta à medida que nos afastamos do</p><p>centro.</p><p>O resultado da interferência é uma figura com vários anéis,</p><p>que são conhecidos como os anéis de Newton.</p><p>Para determinar o raio do m-ésimo anel, devemos proceder da</p><p>mesma forma do exemplo anterior:</p><p>Temos que:</p><p>R d r R−( ) + =2 2 2</p><p>Onde d é a espessura da camada de ar. Utilizando a expansão</p><p>binomial, tendo em vista que d<<R, obtemos:</p><p>R</p><p>d</p><p>R</p><p>r R2</p><p>2</p><p>2 21−</p><p></p><p></p><p></p><p>+ =</p><p>R</p><p>d</p><p>R</p><p>r R2 2 21</p><p>2</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>+ =</p><p>r dR2 2=</p><p>O raio 2 não inverte a fase quando reflete no ar, mas o raio 1</p><p>inverte quando reflete no vidro. Logo:</p><p>∆x d m m= = = …( )2 1 2 3λ , , ,</p><p>É a condição para a m-ésima franja escura.</p><p>Substituindo na d, encontramos o raio do m-ésimo anel escuro.</p><p>r m R= λ</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B</p><p>R</p><p>//////////////////</p><p>009.217 - 135027/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA) Uma fina película de fluoreto de magnésio recobre o espelho</p><p>retrovisor de um carro a fim de reduzir a reflexão luminosa.</p><p>Determine a menor espessura da película para que produza</p><p>a reflexão mínima no centro do espectro visível. Considere o</p><p>comprimento de onda λ = 5500, o índice de refração do vidro</p><p>nv = 1 50, e, o da película, np = 1 30, . Admita a incidência luminosa</p><p>como quase perpendicular ao espelho.</p><p>02. A Figura mostra dois raios de luz, que estão inicialmente em</p><p>fase, e viajam para cima através de um bloco de plástico, com</p><p>comprimento de onda de 400 nm medido no ar. O raio de luz</p><p>r</p><p>1</p><p>sai diretamente para o ar. Contudo, antes que o raio de luz r</p><p>2</p><p>saia para o ar, ele viaja através de um líquido em uma cavidade</p><p>cilindro dentro do plástico. Inicialmente a altura Lliq do líquido é</p><p>40,0 mm, mas o líquido começa a evaporar. Seja φ a diferença</p><p>de fase entre os raios r</p><p>1</p><p>e</p><p>r</p><p>2</p><p>, uma vez que ambos saem para o ar.</p><p>A Figura (b) mostra φ versus a altura do líquido Lliq até o líquido</p><p>desaparece, com φ dado em termos de comprimento de onda e</p><p>horizontal escala definida por L ms = 40 00, µ . Quanto vale (a) o</p><p>índice de refração do plástico e (b) o índice de refração do líquido?</p><p>03. Em uma experiência de anéis de Newton, a Lente tem um raio de</p><p>curvatura R de 8,0 m e diâmetro 2 cm.</p><p>A) Quantos anéis serão produzidos?</p><p>B) Quantos anéis seriam vistos se o dispositivo fosse imerso na</p><p>água (n</p><p>água</p><p>= 1,33)</p><p>Dados: Comprimento de onda no vácuo: λ = 5000 .</p><p>04. A figura 1 mostra o Experimento típico de Young, de duas fendas,</p><p>com luz monocromática, em que m indica a posição do máximo</p><p>central. A seguir, esse experimento é modificado, inserindo uma</p><p>pequena peça de vidro de faces paralelas em frente à fenda do</p><p>lado direito, e inserindo um filtro sobre a fenda do lado esquerdo,</p><p>como mostra a figura 2. Suponha que o único efeito da peça de</p><p>vidro é alterar a fase da onda emitida pela fenda, e o único efeito</p><p>do filtro é reduzir a intensidade da luz emitida pela respectiva</p><p>fenda.</p><p>05. Um feixe luminoso vertical, de 500 nm de comprimento de onda,</p><p>incide sobre uma lente plano-convexa apoiada em uma lâmina</p><p>horizontal de vidro, como mostra a figura. Devido à variação da</p><p>espessura da camada de ar existente entre a lente e a lâmina,</p><p>torna-se visível sobre a lente uma sucessão de anéis claros e</p><p>escuros, chamados de anéis de Newton. Sabendo-se que o</p><p>diâmetro do menor anel escuro mede 2 mm, a superfície convexa</p><p>da lente deve ter um raio de:</p><p>A) 1,0 m B) 1,6 m</p><p>C) 2,0 m D) 4,0 m</p><p>E) 8,0 m</p><p>06. A figura mostra um interferômetro de Michelson adaptado para</p><p>determinar o índice de refração do ar. As características do padrão</p><p>de interferência dos dois feixes incidentes no anteparo dependem</p><p>da diferença de fase entre eles, neste caso, influenciada pela</p><p>cápsula contendo ar. Reduzindo a pressão na cápsula de 1 atm</p><p>até zero (vácuo), nota-se que a ordem das franjas de interferência</p><p>sofrem um deslocamento de N, ou seja, a franja de ordem 0 passa</p><p>a ocupar o lugar da de ordem N, a franja de ordem 1 ocupa o lugar</p><p>da de ordem N+1, e assim sucessivamente. Sendo d a espessura</p><p>da cápsula e λ o comprimento de onda da luz no vácuo, o índice</p><p>de refração do ar é igual a:</p><p>A)</p><p>N</p><p>d</p><p>λ</p><p>;</p><p>B)</p><p>N</p><p>d</p><p>λ</p><p>2</p><p>;</p><p>C) 1+</p><p>N</p><p>d</p><p>λ</p><p>;</p><p>D) 1</p><p>2</p><p>+</p><p>N</p><p>d</p><p>λ</p><p>;</p><p>E) 1−</p><p>N</p><p>d</p><p>λ</p><p>.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>009.217 - 135027/19</p><p>07. Sobre uma placa de vidro é colocada uma lente plano-côncava,</p><p>com 1,50 de índice de refração e concavidade de 8,00 m de raio</p><p>voltada para baixo. Com a lente iluminada perpendicularmente</p><p>de cima por uma luz de comprimento de onda 589 µm (no ar),</p><p>aparece um padrão de interferência com um ponto escuro</p><p>central circundado por anéis, dos quais 50 são escuros, inclusive</p><p>o ais externo na borda da lente. Este padrão de interferência</p><p>aparece devido ao filme de ar entre a lente e a placa de vidro</p><p>(como esquematizado na figura). A espessura da camada de ar</p><p>no centro do padrão de interferência e a distância focal da lente</p><p>são, respectivamente:</p><p>A) 14,7 µm e -10,0 m;</p><p>B) 14,7 µm e -16,0 m;</p><p>C) 238 µm e -8,00 m;</p><p>D) 35,2 µm e 16,0 m;</p><p>E) 29,4 µm e -16,0 m.</p><p>08. Uma bolha de sabão tem espessura de 5.000 A (1A = 10 -10 m).</p><p>O índice de refração deste filme fino é 1,35. Ilumina-se esta bolha</p><p>com luz branca. Conhecem-se os intervalos aproximados em</p><p>comprimento de onda para a região do visível, conforme abaixo:</p><p>3.800 – 4.400 – violeta 5.600 – 5.900 – amarelo</p><p>4.400 – 4.900 – azul 5.900 – 6.300 – laranja</p><p>4.900 – 5.600 – verde 6.300 – 7.600 – vermelho</p><p>As cores que não serão refletidas pela bolha de sabão são:</p><p>A) violeta, verde, laranja B) azul, amarelo, vermelho</p><p>C) verde, laranja D) azul, amarelo</p><p>E) azul e vermelho.</p><p>09. A Figura mostra dois raios luminosos r</p><p>1</p><p>e r</p><p>2</p><p>, de mesma frequência</p><p>e inicialmente com diferença de fase δ1 , ambos incidindo</p><p>perpendicularmente em uma das paredes de um reservatório que</p><p>contém líquido. O reservatório possui uma fenda de comprimento</p><p>h preenchida pelo líquido, na direção de r</p><p>2</p><p>. Determine o</p><p>comprimento da fenda para que a diferença de fase medida no</p><p>Detector D entre os raios seja δ2 .</p><p>Dados:</p><p>• Índice de refração do líquido: n</p><p>L</p><p>;</p><p>• Índice de refração da parede do reservatório: n</p><p>R</p><p>;</p><p>• Comprimento de onda dos raios luminosos no ar: λ .</p><p>Observação:</p><p>• Considere o índice de refração da parede do reservatório maior</p><p>que o índice de refração do líquido.</p><p>10. Em um experimento de duas fendas de Young, com luz</p><p>monocromática de comprimento de onda, coloca-se uma lâmina</p><p>delgada de vidro (nv = 1,6) sobre uma das fendas. Isto produz um</p><p>deslocamento das franjas na figura de interferência. Considere que</p><p>o efeito da lâmina é alterar a fase da onda. Nestas circunstâncias,</p><p>pode-se afirmar que a espessura d da lâmina, que provoca o</p><p>deslocamento da franja central brilhante (ordem zero) para a</p><p>posição que era ocupada pela franja brilhante de primeira ordem,</p><p>é igual a:</p><p>A) 0,38 λ B) 0,60 λ</p><p>C) λ D) 1,2 λ</p><p>E) 1,7 λ</p><p>11. Um método muito usado para inibir a reflexão da luz em vidros é</p><p>recobri-los com um filme fino e transparente. A espessura mínima,</p><p>em nm, que um filme fino com índice de refração 1,25 deve ter</p><p>para que uma luz de comprimento de onda igual a 620 nm, no</p><p>vácuo, não seja refletida, quando incide praticamente normal a</p><p>um vidro de índice de refração 1,50 é:</p><p>A) 155</p><p>B) 124</p><p>C) 112</p><p>D) 103</p><p>E) NDA</p><p>12. Uma câmara selada, com 5,0 cm de comprimento e janelas de</p><p>vidro, é colocada em um dos braços de um interferômetro de</p><p>Michelson, como na Figura. Uma luz de comprimento de onda</p><p>λ = 500 nm é usada. Quando a câmara é evacuada, as franjas</p><p>se deslocam de 60 posições. A partir destes dados, determine o</p><p>índice de refração do ar a pressão atmosférica.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>009.217 - 135027/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>13. Em um experimento de Young é incidido, com ângulo θ1 30= °,</p><p>dois comprimentos de onda iguais a λ1 4000= e λ2 5600= .</p><p>A separação entre as aberturas é de 2 mm. A tela é localizada a</p><p>uma distância de D = 40 cm. Uma placa de mica de comprimento</p><p>t = 5 mm é localizada em frente a uma das fendas e o aparato é</p><p>colocado dentro da água. Se o máximo central é observado a meia</p><p>distância entre as fendas, determine o índice de refração da mica</p><p>e a altura do primeiro ponto escuro. Todo o experimento é feito</p><p>dentro da água e o índice de refração da água é 4/3.</p><p>14. Em uma experiência de fenda dupla de Young modificada, um feixe</p><p>de luz monocromático uniforme e paralelo de comprimento de</p><p>onda 6000 e intensidade 10 2/ /π W m incide normalmente em</p><p>duas aberturas A e B de raios 0,001 m e 0,002 m, respectivamente.</p><p>Um filme perfeitamente transparente de espessura 2000 e índice</p><p>de refração 1,5 para o comprimento de onda de 6000 é colocado</p><p>na frente da abertura A (ver figura). Calcule a potência (em W)</p><p>recebida no ponto focal F da lente. A lente é simetricamente</p><p>colocada</p><p>em relação às aberturas. Suponha que 10% da energia</p><p>recebida por cada abertura vá na direção original e seja trazida</p><p>para o ponto focal.</p><p>15. Um feixe de luz paralelo viajando na direção x é incidente em uma</p><p>placa de vidro de espessura t. O índice de refração da laje muda</p><p>com y como µ µ= −</p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>y</p><p>y</p><p>onde µ0 é o índice de refração ao</p><p>longo do eixo x e y0 é uma constante. O feixe de luz fica focado</p><p>em um ponto F no eixo x. Usando o conceito de comprimento</p><p>do caminho óptico, calcule a distância focal f. Suponha f >> t e</p><p>considere que y seja pequeno.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>e ≈ 1058 A – – A 2,0 m</p><p>06 07 08 09 10</p><p>D B E – E</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B 1,0003 – 7·10–6 W –</p><p>– Demonstração</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>naldo/REV.: Karlla</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: IntErfErênCIa E fEnda dupla</p><p>frente: físICa II</p><p>010.536 – 136301/19</p><p>AULAS 54 E 55</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Difração</p><p>Difração da Luz</p><p>De acordo com a óptica geométrica, quando um objeto opaco</p><p>é colocado entre um ponto fonte de luz e um anteparo , como a figura</p><p>a seguir, a sombra do objeto forma uma perfeita linha nítida . Sem</p><p>luz em tudo que atinge a tela em pontos dentro da sombra, e a área</p><p>fora da sombra é iluminada quase uniformemente. Concorda com</p><p>tudo isso? É uma ideia plausível. Entretanto, a natureza ondulatória</p><p>da luz provoca efeitos que não podem ser entendidas com óptica</p><p>geométrica. Uma classe importante de tais efeitos aparece quando</p><p>a luz atinge uma barreira que tem uma abertura ou uma borda.</p><p>Tal efeito é nomeado de difração.</p><p>Width</p><p>Screen</p><p>Paralle-ray monochromatic</p><p>light</p><p>PREDICTED OUTCOME:</p><p>Geometrie opties predicts that this</p><p>setup will produce a single bright</p><p>band the same size as the slit.</p><p>(a) WHAT REALLY HAPPENS:</p><p>In reality, we see a diffraction</p><p>pattern - a set of interference</p><p>fringes.</p><p>(b)</p><p>a a</p><p>Nós muitas vezes não observam padrões de difração , como</p><p>na figura anterior, na vida cotidiana porque as fontes de luz mais</p><p>comuns não são nem monocromática nem pontuais. Se usarmos uma</p><p>luz monocromática para iluminar a lâmina de barbear, obteremos um</p><p>padrão de difração mais visível.</p><p>Photograph of a razor blade illuminated by</p><p>monochromatic light from a point source</p><p>(a pinhole). Notice the fringe arounde the</p><p>blade outlin.</p><p>Enlarged view of the area outside the</p><p>geometric shadow of the blade’s edge</p><p>Position of geometic shadow</p><p>a) b)</p><p>Na figura anterior, tanto a fonte quanto o anteparo estão</p><p>próximos do obstáculo, formando assim, um padrão de difração.</p><p>Esta situação é descrita como difração de Fresnel, pronuncia-se“</p><p>Freh-Nell “(estudada pelo cientista francês Augustin Jean Fresnel,</p><p>1788-1827). A matemática para estudar tal fenômeno é complexa e</p><p>não nos interessa neste momento1. Por outro lado, usamos o termo</p><p>1 Nesse caso, a onda que se desloca não é plana. Para se calcular a distribuição da</p><p>intensidade da luz difratada em função do ângulo de espalhamento é comum se usar</p><p>da “espiral de Cornu”.</p><p>difração de Fraunhofer (em homenagem ao físico alemão Joseph von</p><p>Fraunhofer, 1787-1826) para as situações em que a fonte , obstáculo e</p><p>a tela estão muito distantes (o suficiente para que possamos considerar</p><p>todas as linhas a partir da fonte até o obstáculo paralelas, e podemos</p><p>também considerar todas as linhas do obstáculo a um determinado</p><p>ponto na tela (anteparo) sendo paralelas.</p><p>Trabalharemos neste material apenas com a difração de</p><p>Fraunhofer, que é geralmente mais fácil de analisar.</p><p>Vale ressaltarmos que não há distinção fundamental entre</p><p>interferência e difração. Difração geralmente envolve uma distribuição</p><p>contínua de ondas secundárias de Huygens em toda a área de uma</p><p>abertura, ou um grande número de fontes ou aberturas. Perceba que</p><p>interferência e difração são consequências de superposição e princípio</p><p>de Huygens.</p><p>Observação:</p><p>Instrumentos ópticos normalmente utilizam apenas uma</p><p>parte limitada de uma onda ; por exemplo , um telescópio usa</p><p>apenas a parte de uma onda que é admitido por sua lente</p><p>objetiva ou espelho. Assim, difracção desempenha um papel</p><p>em quase todos os fenômenos ópticos. Em outras palavras,</p><p>os instrumentos ópticos possuem um limite no qual eles não</p><p>podem ser melhorados, pois uma hora a difração irá atrapalhar</p><p>no seu desempenho.</p><p>Difração de Fenda simples</p><p>Na discussão dos padrões de interferência produzidos por duas</p><p>ou mais fendas, nós assumimos que as fendas eram muito estreitas,</p><p>de modo que podemos considerar as fendas para ser a linha fontes de</p><p>ondas cilíndricas, que em nossos diagramas bidimensionais são ponto</p><p>fontes de ondas circulares. Nós, portanto, poderíamos assumir que o</p><p>valor da intensidade devido a uma fenda atuando isoladamente foi</p><p>o mesmo em qualquer ponto no anteparo, independente do ângulo.</p><p>Quando a fenda é estreita, a intensidade em uma tela longe</p><p>não é independente do ângulo, mas diminui à medida que o ângulo</p><p>aumenta. Veja o que acontece com a intensidade neste caso.</p><p>Podemos ver que a intensidade é máxima na frente e diminui</p><p>de zero a um ângulo que depende sobre a largura da fenda e o</p><p>comprimento de onda.</p><p>A maior parte da intensidade da luz é concentrada no amplo</p><p>centro de difração máxima (ou máximo central), embora existam</p><p>pequenas bandas de máximos secundários de cada lado do máximo</p><p>central.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.536 – 136301/19</p><p>a</p><p>χ</p><p>a</p><p>2χ sin θ</p><p>Para analisar um ponto de mínimo, devemos encontrar uma</p><p>condição de interferência destrutiva. Imagine então que a região de</p><p>abertura (fenda) é composta, pelo princípio d Huygens, por várias</p><p>fontes de mesma frequência.</p><p>θ</p><p>θ</p><p>1</p><p>a</p><p>2</p><p>Deste modo, vamos tomar a primeira fonte com a fonte do</p><p>meio, note que estão a uma distância de a/2. Esta situação pode</p><p>ser repetida se fizermos uma translação de n fontes abaixo, até que</p><p>tomemos uma fonte no meio e a última (na base inferior da fenda).</p><p>Atente que, como as fontes estão em fase, a condição para</p><p>gerar um mínimo de difração (que se repetirá para qualquer par de</p><p>fontes que você tome a uma distância a/2) é dada por:</p><p>∆x</p><p>a m</p><p>= =</p><p>2 2</p><p>sinθ</p><p>λ</p><p>Logo, para a primeira posição de interferência construtiva,</p><p>temos:</p><p>a sinq = λ</p><p>Atente que (m = ± 1, ± 2,…) e m não pode ser zero. Reveja</p><p>e figura!</p><p>Se voltarmos ao experimento de dupla fenda, agora com</p><p>o efeito de difração, a intensidade se comporta diferente, pois vai</p><p>diminuindo junto com o ângulo.</p><p>Veja uma situação onde a distância entre as fendas é 10 vezes</p><p>a abertura de cada fenda. O efeito da difração se sobressai em relação</p><p>ao de interferência entre as fendas. Dessa forma, no lugar onde se</p><p>localiza o mínimo de difração das duas fendas (consideramos iguais</p><p>para as duas fendas) não poderá existir interferência destrutiva.</p><p>I</p><p>0 sen θ</p><p>4I</p><p>0</p><p>2</p><p>d</p><p>λ 4</p><p>d</p><p>λ 6</p><p>d</p><p>λ 8</p><p>d</p><p>λ 10</p><p>d</p><p>λ</p><p>Equação da intensidade para uma fenda simples</p><p>Aqui é extremamente importante que você domine a técnica</p><p>de soma de fasores. Analisaremos a superposição de todos os</p><p>fasores produzidos pelas “N” fontes, cada uma com amplitude A</p><p>0</p><p>.</p><p>O processo é o seguinte:</p><p>Tela</p><p>A</p><p>max</p><p>= NA</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>N</p><p>fontes</p><p>O máximo central é atingido quando todos os fasores se</p><p>somam na mesma direção e sentido. Totalizando a amplitude máxima</p><p>como sendo:</p><p>A</p><p>máx</p><p>= N A</p><p>0</p><p>Para um caso de mínimo, os fasores devem se anular gerando</p><p>um polígono fechado. Veja:</p><p>N</p><p>360°</p><p>δ =</p><p>Onde δ =</p><p>°360</p><p>N</p><p>é a diferença de fase entre dois fasores</p><p>consecutivos.</p><p>De uma maneira geral, devemos obter o seguinte esquema:</p><p>A</p><p>φ</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>A</p><p>0</p><p>r</p><p>r</p><p>2</p><p>θ</p><p>2</p><p>θ</p><p>Assim fica o diagrama de fasores para o cálculo da amplitude</p><p>resultante em termos de diferença de fase entre a onda de primeira</p><p>fonte logo abaixo da parte superior da fenda e a onda da última fonte</p><p>apenas acima do fundo. Quando N é muito grande, a amplitude</p><p>resultante é o arco de um arco circular de comprimento A</p><p>máx</p><p>= NA</p><p>0</p><p>.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.536 – 136301/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Pela geometria da figura, obtemos que:</p><p>sin</p><p>1</p><p>2 2</p><p>φ</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>A</p><p>r</p><p>Pelo formato de circunferência, devemos ter:</p><p>NA</p><p>0</p><p>= φr</p><p>Substituindo, as duas equações anteriores, teremos:</p><p>A A I Im x=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>→ = ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>á .</p><p>sin sin</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>Onde:</p><p>φ θ</p><p>π</p><p>λ</p><p>= ( )a sin</p><p>2</p><p>Além disso, podemos combinar o resultado com o de dupla</p><p>fenda e encontrar a equação, que descreve melhor a intensidade do</p><p>experimento, da seguinte forma:</p><p>I I= ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2sin</p><p>cos</p><p>φ</p><p>φ</p><p>δ</p><p>Onde:</p><p>δ θ</p><p>π</p><p>λ</p><p>= ( )d sin</p><p>2</p><p>Sendo d a separação entre as fendas e a a espessura da fenda.</p><p>Observação:</p><p>Em óptica, ondas senoidais são características de luz</p><p>monocromática (luz de uma única cor). Embora seja bastante</p><p>fácil de fazer ondas ou ondas de som de uma única frequência,</p><p>fontes comuns de luz não emitem monocromática (de frequência</p><p>única) luz. Por exemplo, lâmpadas incandescentes e chamas</p><p>emitem uma distribuição contínua de comprimentos de onda.</p><p>De longe, a fonte mais quase monocromática que é disponível</p><p>no momento é a laser. Um exemplo é o laser de hélio-néon,</p><p>que emite uma luz vermelha em 632,8 nm, com uma faixa</p><p>de erro da ordem de ±0,000001 nm. Ao analisar os efeitos de</p><p>interferência e difração neste capítulo e no próximo, vamos supor</p><p>que estamos trabalhando com monocromática ondas (a menos</p><p>que explicitamente de outra forma).</p><p>É necessário que estas fontes sejam coerentes. Ou seja, que</p><p>diferença de fase entre elas não varia no tempo, pois se existir essa</p><p>variação, devido às altas frequências, necessitamos calcular a média.</p><p>< > = > + < >E E E2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Isso implica dizer que o campo assume todos os valores</p><p>possíveis igualmente no tempo e, dessa forma, a intensidade fica</p><p>constante e o fenômeno de interferência “vai pelo ralo”.</p><p>Exercícios</p><p>01. A luz monocromática de uma fonte distante é incidente em uma</p><p>fenda de 0,750 mm de largura. Temos tela a 2,00 m de distância,</p><p>a distância de o máximo central do padrão de difração para o</p><p>primeiro mínimo mede-se 1,35 mm. Calcule o comprimento de</p><p>onda da luz.</p><p>A) 506 nm</p><p>B) 480 nm</p><p>C) 622 nm</p><p>D) 688 nm</p><p>E) 568 nm</p><p>02. (ITA) Luz monocromática, com 500 nm de comprimento de onda,</p><p>incide numa fenda retangular em uma placa, ocasionando a dada</p><p>figura de difração sobre um anteparo a 10 cm de distância. Então,</p><p>a largura da fenda é:</p><p>unidades em cm</p><p>0 1–1–2–3–4 2 3 4</p><p>A) 1, 25 mm.</p><p>B) 2, 50 mm.</p><p>C) 5, 00 mm.</p><p>D) 12, 50 mm.</p><p>E) 25, 00 mm.</p><p>3. Luz de comprimento de onda de 633 nm incide sobre uma fenda</p><p>estreita. O afastamento angular entre o primeiro mínimo de</p><p>difração, num lado do máximo central, e o primeiro mínimo no</p><p>outro lado é 1,20°. Qual é a largura da fenda?</p><p>A) 12,6 mm;</p><p>B) 22,4 mm;</p><p>C) 42,0 mm;</p><p>D) 60,4 mm;</p><p>E) 80,1 mm.</p><p>04. (IME) A figura ilustra uma empacotadora de papel que utiliza</p><p>um capacitor de placas quadradas e paralelas para empilhar</p><p>a quantidade exata de folhas contidas em cada embalagem.</p><p>Ao atingir a altura limite do bloco de papel, o laser L acoplado à</p><p>fenda simples (F</p><p>s</p><p>) projeta os mínimos de intensidade de difração de</p><p>primeira ordem nos pontos A e B, equidistantes da linha tracejada ED.</p><p>Sabendo que cada folha de papel possui uma espessura e</p><p>f</p><p>,</p><p>determine o número de folhas contidas em cada embalagem.</p><p>Dados:</p><p>comprimento de onda do laser = λ;</p><p>largura da fenda simples = a;</p><p>distância entre a fenda e a reta AB = 2d;</p><p>área da superfície das placas do capacitor = d2;</p><p>permissividade do vácuo = ε</p><p>0</p><p>;</p><p>permissividade do papel = ε;</p><p>capacitância do capacitor com o limite máximo de folhas de</p><p>papel = C.</p><p>4 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.536 – 136301/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Obs.: despreze o efeito da borda do capacitor.</p><p>A</p><p>2d</p><p>E</p><p>Fs</p><p>folhas de</p><p>papel</p><p>L D</p><p>B</p><p>d</p><p>05. Uma fenda é iluminada por luz constituída pelos comprimentos</p><p>de onda λ</p><p>A</p><p>e λ</p><p>B</p><p>, escolhidos de forma que o primeiro mínimo de</p><p>difração de λ</p><p>A</p><p>coincida com o segundo mínimo de λ</p><p>B</p><p>. Qual a</p><p>relação existente entre esses dois comprimentos de onda? Haverá</p><p>coincidência de outros mínimos desse aspecto?</p><p>06. (IME)</p><p>onda difratada</p><p>grande anteparo</p><p>onda incidente</p><p>θ</p><p>+</p><p>Uma fenda é iluminada com luz monocromática cujo comprimento</p><p>de onda é igual a 510 nm. Em um grande anteparo, capaz</p><p>de refletir toda a luz que atravessa a fenda, são observados</p><p>apenas cinco mínimos de intensidade de cada lado do máximo</p><p>central. Sabendo que um dos mínimos encontra-se em q, tal que</p><p>sen eθ θ( ) = ( ) =</p><p>3</p><p>4</p><p>7</p><p>4</p><p>cos , determine a largura da fenda.</p><p>07. A largura angular do máximo central no padrão de difração de</p><p>Fraunhoffer da fenda é medida. A fenda é iluminada por luz de</p><p>comprimento de onda de 6000 ˚A. Quando a fenda é iluminada</p><p>pela luz de outro comprimento de onda, a largura angular diminui</p><p>em 30%.</p><p>A) Calcule o comprimento de onda desta luz.</p><p>B) A mesma diminuição na largura angular do máximo central</p><p>é obtida quando o aparelho original é imerso em um líquido.</p><p>Encontre o índice de refração do líquido.</p><p>08. A fenda de largura a é iluminada por um feixe colimado de</p><p>luz monocromática (λ = 6000A) que incide ortogonalmente ao</p><p>plano da fenda. O anteparo está situado a uma distância de 40</p><p>cm do plano da fenda. A distância entre o primeiro mínimo e o</p><p>quarto mínimo da figura de difração na fenda é igual a 0,40 mm.</p><p>Calcule a.</p><p>09. (IME-Modificada) Uma fonte de luz de comprimento de onda λ é</p><p>apontada para uma fenda formada por duas placas conectadas</p><p>entre si por duas molas de constante K, estando a placa superior</p><p>fixada ao teto, conforme mostra a figura a seguir. A distância</p><p>entre as placas é pequena o suficiente para causar a difração da</p><p>luz. As placas possuem largura L, comprimento C e espessura E.</p><p>Uma figura de difração é projetada em uma parede a uma distância</p><p>D da fenda. Sendo g a aceleração da gravidade, a massa específica</p><p>ρ das placas para que o segundo máximo de difração esteja a uma</p><p>distância B do primeiro é:</p><p>fonte</p><p>de luz</p><p>E DL</p><p>C</p><p>vista das</p><p>placas</p><p>vista lateral</p><p>placas parede</p><p>Considerações:</p><p>Assuma que B << D.</p><p>A) ρ</p><p>λ</p><p>=</p><p>2k D</p><p>CLEgB</p><p>B) ρ</p><p>λ</p><p>=</p><p>2kB</p><p>CLEg</p><p>C) ρ</p><p>λ</p><p>=</p><p>+k D B</p><p>CLEgB</p><p>2 2</p><p>D) ρ</p><p>λ</p><p>=</p><p>+2 2 2k D B</p><p>CLEgB</p><p>E) ρ =</p><p>+2 2 2k D B</p><p>CLEg</p><p>10. Os fabricantes de fios metálicos (e de outros objetos de</p><p>pequenas dimensões) usam, às vezes, raios laser para controlar</p><p>continuamente a espessura do produto. O fio intercepta um feixe</p><p>de laser, produzindo uma figura de difração semelhante àquela de</p><p>uma fenda única com largura igual ao diâmetro do fio (veja figura</p><p>ao lado). Suponhamos que um laser de He-Ne, de comprimento</p><p>de onda de 632,8 nm, ilumine um fio e que a figura de difração</p><p>seja observada sobre um anteparo a 2,60 m de distância. Se o</p><p>diâmetro desejado para o fio é de 1,37 mm, qual é a distância,</p><p>no anteparo, entre os dois mínimos de décima ordem (de um lado</p><p>e do outro lado do máximo central)?</p><p>Máquina de</p><p>fabricar fios2,60 m</p><p>Fio</p><p>metálico</p><p>Laser</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.536 – 136301/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08 09 10</p><p>A C D – * – * * – *</p><p>* 05: λ</p><p>A</p><p>= 2λ</p><p>B</p><p>. Sim, sempre que m</p><p>B</p><p>= 2m</p><p>A</p><p>07: A) 4200 A; B) n = 1,43</p><p>08: 1,8 mm</p><p>10: 24,0 mm</p><p>– Demonstração</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: ANDRÉ – REV.: LÍCIA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: IntErfErênCIa E fEnda dupla</p><p>frente: físICa II</p><p>010.538 – 136299/19</p><p>AULA 56</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Complemento de Difração</p><p>Difração circular</p><p>Padrões de difração, como o de uma fenda mostrada</p><p>anteriormente, que são observados em pontos para os quais os raios de</p><p>uma abertura ou um obstáculo são quase paralelos e são chamados de</p><p>padrões de difração de Fraunhofer, como mencionamos anteriormente.</p><p>O padrão de difração observado perto de uma abertura ou de</p><p>um obstáculo é chamado um padrão de difração de Fresnel. Porque os</p><p>raios de uma abertura ou de um</p><p>recoberto de espelhos planos. Um objeto nesta sala fornecerá:</p><p>A) 9 imagens.</p><p>B) 7 imagens.</p><p>C) 5 imagens.</p><p>D) 8 imagens.</p><p>E) 12 imagens.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.742_128100/18</p><p>08. Dois caçadores estão em um labirinto formado por três espelhos</p><p>e cada um vê o outro através da geometria de espelhos planos</p><p>representados a seguir. Calcule o ângulo θ na figura.</p><p>55º</p><p>θ</p><p>15º15º15º</p><p>09. A i lustração a seguir mostra as motos M</p><p>1</p><p>e M</p><p>2</p><p>em</p><p>movimento uniforme, em um trecho retilíneo de uma estrada.</p><p>Suas velocidades escalares, dadas de acordo com a orientação</p><p>da trajetória, estão indicadas na figura. Sabendo que a moto M</p><p>1</p><p>é equipada com um retrovisor plano, calcule, para a imagem de</p><p>M</p><p>2</p><p>conjugada pelo referido espelho:</p><p>30 m/s 40 m/s</p><p>M</p><p>2 M</p><p>1</p><p>(+)</p><p>A) a velocidade escalar em relação ao espelho;</p><p>B) a velocidade escalar em relação a M</p><p>2</p><p>;</p><p>C) a velocidade escalar em relação à estrada.</p><p>10. Dois blocos, cada um com massa m, encontram-se sobre</p><p>uma mesa lisa. Eles estão ligados a outros dois blocos, como</p><p>mostrado na figura a seguir. As polias e as cordas não têm massa.</p><p>Um objeto O é mantido em repouso sobre a mesa. Os dois lados</p><p>dos blocos, que estão voltados para o objeto O, são espelhados</p><p>(espelhos planos). A aceleração relativa das primeiras imagens</p><p>formadas é</p><p>3 m</p><p>m</p><p>2 m</p><p>m</p><p>o</p><p>A) 5g/6</p><p>B) 5g/3</p><p>C) 17g/12</p><p>D) 17g/6</p><p>E) 17g/18</p><p>11. Uma superfície refletora é representada pela equação:</p><p>y</p><p>L x</p><p>L</p><p>= </p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>π</p><p>π</p><p>sin , 0 ≤ x ≤ L.</p><p>x</p><p>y</p><p>Observa-se que um raio incidiu horizontalmente e refletiu</p><p>verticalmente. Quais as coordenadas (x, y) de incidência do raio?</p><p>Obs.: a derivada</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= tanϕ (coeficiente angular da reta tangente).</p><p>A)</p><p>L L</p><p>4</p><p>2</p><p>,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>B)</p><p>L L</p><p>3</p><p>3</p><p>,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>C)</p><p>3</p><p>4</p><p>2L L</p><p>,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D)</p><p>2</p><p>5</p><p>3L L</p><p>,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E) n.d.a.</p><p>12. Um foguete de brinquedo voa na direção e sentido indicados</p><p>pela figura a seguir, com velocidade constante v. Durante todo</p><p>o voo, um par de espelhos, composto por um espelho fixo e um</p><p>espelho giratório que gira em torno do ponto A, faz com que um</p><p>raio laser sempre atinja o foguete, como mostra a figura.</p><p>d</p><p>v</p><p>A</p><p>θ</p><p>d</p><p>foguete</p><p>espelho fixo</p><p>fonte laser</p><p>d</p><p>d</p><p>Re</p><p>pr</p><p>od</p><p>uç</p><p>ão</p><p>/IM</p><p>E</p><p>O módulo da velocidade de rotação do espelho é</p><p>A) [v sen (θ)]/d</p><p>B) [v sen2 (θ/2]/d</p><p>C) [v sen2 (θ)]/d</p><p>D) [v sen(θ)]/2d</p><p>E) [v sen2(θ)/2d</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.742_128100/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>13. (OBF) A figura a seguir ilustra uma pessoa, de altura H, posicionada</p><p>diante de um espelho plano fixado em uma parede inclinada de</p><p>um ângulo θ em relação ao solo.</p><p>L</p><p>d</p><p>H</p><p>θ</p><p>Supondo-se conhecida a distância d entre o topo da cabeça da</p><p>pessoa e o espelho e desprezando-se a distância entre seus olhos</p><p>e o topo de sua cabeça, pede-se</p><p>A) o comprimento L do espelho para que a pessoa possa se ver</p><p>de corpo inteiro;</p><p>B) o valor de L para o caso particular em que θ = 90º.</p><p>14. Um homem se aproxima de um espelho plano e depois se afasta.</p><p>Qual dos gráficos é o que representa o tamanho real h de sua</p><p>altura em função do tempo?</p><p>h</p><p>t</p><p>A)</p><p>h</p><p>t</p><p>C)</p><p>h</p><p>t</p><p>E)</p><p>h</p><p>t</p><p>D)</p><p>h</p><p>t</p><p>B)</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07</p><p>A A – E C – B</p><p>08 09 10 11 12 13 14</p><p>– – D B E – D</p><p>– Demonstração.</p><p>Resolução</p><p>01.</p><p>I. Observe:</p><p>OBJ IMG</p><p>IMG</p><p>DEPOIS, X</p><p>IMG</p><p>= 2d + x</p><p>ANTES, X</p><p>IMG</p><p>= x</p><p>OBJ</p><p>x</p><p>x x</p><p>d + x</p><p>∆x = 2d</p><p>Afirmativa</p><p>verdadeira</p><p>d</p><p>II. Analisando os raios refletidos:</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>α Antes</p><p>Depois</p><p>• ∆ + − + = ° → ∆ = +180 2 2 180 2 22 1 2 1i i i i ;</p><p>• Além disso, α α+ + + − = ° → = −90 90 1801 2 2 1i i i i ;</p><p>• Logo, ∆ = 2a e a afirmativa é verdadeira.</p><p>III.</p><p>x x</p><p>d</p><p>hh</p><p>OBJ IMG</p><p>Para que a pessoa enxergue a imagem, no limite, para</p><p>semelhança, devemos ter:</p><p>d</p><p>x</p><p>h</p><p>x</p><p>d</p><p>h</p><p>= → =</p><p>2 2</p><p>.</p><p>Afirmativa falsa.</p><p>Resposta: A</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.742_128100/18</p><p>02. Observe:</p><p>OBJ</p><p>OBJ</p><p>IMG</p><p>IMG</p><p>DEP</p><p>OIS</p><p>ANTE</p><p>S</p><p>x</p><p>x</p><p>dx</p><p>esp</p><p>dx</p><p>IMG</p><p>dx</p><p>IMG</p><p>= x</p><p>FIM</p><p>– x</p><p>0</p><p>= (2dx</p><p>ESP</p><p>+ x) – x = 2dx</p><p>ESP</p><p>dx</p><p>IMG</p><p>= 2dx</p><p>ESP</p><p>V</p><p>IMG</p><p>= 2V</p><p>ESP</p><p>, logo, se V</p><p>ESP</p><p>= 1 m/s,</p><p>V</p><p>IMG</p><p>= 2 m/s</p><p>Resposta: A</p><p>03.</p><p>x</p><p>x</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>E</p><p>E</p><p>E</p><p>E</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>A) n =</p><p>°</p><p>°</p><p>− = − =</p><p>360</p><p>45</p><p>1 8 1 7.</p><p>B) Seja</p><p>E enantiomarfas</p><p>O iguais ao objeto</p><p>→</p><p>→{</p><p>4E e 3O</p><p>Resposta:</p><p>A) n = 7 imagens.</p><p>B) 4 imagens enantiomorfas e 3 imagens iguais ao objeto.</p><p>04. Sabe-se que θ</p><p>IMG</p><p>= 2θ</p><p>ESP</p><p>, diferenciando: dθ</p><p>IMG</p><p>= 2dθ</p><p>ESP</p><p>. Logo,</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>IMG IMG</p><p>IMG ESP</p><p>θ θ</p><p>ω ω ω= ⇒ = =∫ 2 2</p><p>No primeiro caso, V</p><p>IMG</p><p>= 2w · R.</p><p>No segundo caso, verifica-se um caso análogo a uma esfera de</p><p>raio 2R, girando em torno de seu diâmetro.</p><p>Logo, V</p><p>IMG</p><p>= 2w · 2R = 4wR.</p><p>Resposta: E</p><p>05.</p><p>R</p><p>R’</p><p>45 – α</p><p>αα</p><p>∆</p><p>α</p><p>45 – α</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>Na figura,</p><p>∆ = 2a + 2(45 – a) = 180</p><p>∆ = 90°</p><p>O resultado independe de a.</p><p>Resposta: C</p><p>06.</p><p>A)</p><p>y</p><p>H</p><p>h</p><p>OBJOBJOBJ IMGIMGIMG</p><p>B) Mais uma vez:</p><p>O’</p><p>O</p><p>c’c</p><p>E</p><p>2</p><p>E</p><p>3</p><p>E</p><p>1</p><p>PPP P’P’P’</p><p>Semelhança ∆OE</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>e ∆OC’P’</p><p>y H</p><p>H y</p><p>0 5 1</p><p>2</p><p>,</p><p>,= ⇒ = mas y = 1 m,</p><p>logo H = 2 m.</p><p>C) Aproveitando a figura acima, ∆P’E</p><p>2</p><p>E</p><p>3</p><p>é semelhante a</p><p>∆P’OP.</p><p>E E h</p><p>E E y y m2 3</p><p>2 3</p><p>0 5 1</p><p>1 6 0 5 0 8</p><p>,</p><p>, , , .= ⇒ = = ⋅ ⇒ =</p><p>D) Perceba que esses va lores não dependem</p><p>numericamente da distância objeto-espelho. Não</p><p>obstante, façamos a conta.</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.742_128100/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>I. Analogia ao item (B):</p><p>y H</p><p>y</p><p>H</p><p>m</p><p>’</p><p>’ ;</p><p>1 2 2</p><p>1= ⇒ = =</p><p>II. Analogia ao item (C):</p><p>Y</p><p>, .</p><p>’</p><p>‘</p><p>1 2 2</p><p>0 8= ⇒ = =</p><p>h</p><p>Y</p><p>h</p><p>m</p><p>Resposta: A) figura;</p><p>B) 2 m;</p><p>C) 0,8 m;</p><p>D) y’ = y = 1 m e Y’ = Y = 0,8 m.</p><p>07. Observe o triedro:</p><p>I</p><p>1</p><p>I</p><p>3</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>3</p><p>E</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>O</p><p>I’</p><p>3</p><p>O’</p><p>Formato</p><p>final</p><p>I’</p><p>1</p><p>I. Espelhos E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>geram 3 imagens;</p><p>II. Espelhos E</p><p>1</p><p>e E</p><p>3</p><p>geram 3 imagens;</p><p>III. Espelhos E</p><p>2</p><p>e E</p><p>3</p><p>geram 3 imagens.</p><p>Entretanto, dessas 9 imagens, 2 são contadas duas vezes.</p><p>Sobram 7.</p><p>Resposta: B</p><p>08. As leis da reflexão nos permitem montar a seguinte imagem:</p><p>55°</p><p>55° 55°</p><p>75°</p><p>15°</p><p>15°</p><p>α</p><p>α</p><p>35°</p><p>35° α + 55° = 75° ⇒</p><p>α = 20°</p><p>Resposta: 20°</p><p>09.</p><p>A) No referencial do espelho: V</p><p>ESP, ESP</p><p>= 0.</p><p>I. V</p><p>OBJ, ESP</p><p>= 30 – 40 = – 10 m/s (afastando-se);</p><p>II. Como o espelho não se move:</p><p>| V</p><p>OBJ, ESP</p><p>| = | V</p><p>IMG, ESP</p><p>| = 10 m/s (afasta-se do espelho).</p><p>B) No referencial de M</p><p>2</p><p>: V</p><p>OBJ, OBJ</p><p>= 0.</p><p>I. V</p><p>ESP, OBJ</p><p>= 40 – 10 = 10 m/s (afastando-se);</p><p>II. Como V</p><p>IMG</p><p>= 2V</p><p>ESP</p><p>, V</p><p>IMG, OBJ</p><p>= 2V</p><p>ESP, OBJ</p><p>= 20 m/s.</p><p>C) Observe:</p><p>OBJ</p><p>x</p><p>OBJ</p><p>x</p><p>ESP</p><p>x</p><p>IMG</p><p>IMG</p><p>d d</p><p>x</p><p>IMG</p><p>= x</p><p>IMG(FIM)</p><p>– x</p><p>IMG(O)</p><p>⇒ x</p><p>IMG</p><p>(x</p><p>ESP</p><p>+ x</p><p>ESP</p><p>+ d – x</p><p>OBJ</p><p>) – (d) ⇒</p><p>x</p><p>IMG</p><p>= 2x</p><p>ESP</p><p>– x</p><p>OBJ</p><p>d</p><p>dt</p><p>V</p><p>IMG</p><p>= 2V</p><p>ESP</p><p>– V</p><p>OBJ</p><p>Assim, V</p><p>IMG</p><p>= 2 · 40 – 30 = 50 m/s</p><p>Resposta:</p><p>A) 10 m/s;</p><p>B) 20 m/s</p><p>C) 50 m/s</p><p>10.</p><p>• No bloco da direita:</p><p>2 2 2</p><p>3</p><p>mg T m a</p><p>T ma</p><p>g aD</p><p>D</p><p>D</p><p>− = ⋅</p><p>={ =</p><p>• No bloco da esquerda:</p><p>3 3 3</p><p>4</p><p>mg T m a</p><p>T ma</p><p>g aE</p><p>E</p><p>E</p><p>− = ⋅</p><p>= =</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.742_128100/18</p><p>• Logo, temos a seguinte situação:</p><p>Se V</p><p>IMG</p><p>= 2V</p><p>ESP</p><p>, a</p><p>IMG</p><p>= 2a</p><p>ESP</p><p>.</p><p>O</p><p>E</p><p>D</p><p>3</p><p>g</p><p>4</p><p>2</p><p>g</p><p>3</p><p>I.</p><p>a g gIMGD</p><p>= ⋅ =2</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>II.</p><p>a g gIMGE</p><p>= ⋅ =2</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>III.</p><p>a g</p><p>g</p><p>IMGREL</p><p>= ⋅ + =</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>17</p><p>6</p><p>Resposta: D</p><p>11.</p><p>• Y</p><p>L</p><p>sen</p><p>x</p><p>L</p><p>dy</p><p>dx</p><p>Tg</p><p>L</p><p>L</p><p>x</p><p>L</p><p>Tg</p><p>d</p><p>d x= </p><p></p><p></p><p>  → = = ⋅ ⋅ </p><p></p><p></p><p> ⇒</p><p>⇒</p><p>( )2 2</p><p>π</p><p>π</p><p>ϕ</p><p>π</p><p>π π</p><p>cos</p><p>ϕϕ</p><p>π</p><p>= </p><p></p><p></p><p>2cos .</p><p>x</p><p>L</p><p>• Analisando a curva:</p><p>ϕ</p><p>ϕ</p><p>ϕ</p><p>2ϕ = 90° → ϕ = 45° → Tgϕ = 1.</p><p>• Daí, 1</p><p>2 3 3</p><p>= </p><p></p><p></p><p> ⇒ = ⇒ =cos .</p><p>π π πx</p><p>L</p><p>x</p><p>L</p><p>x</p><p>L</p><p>0 ≤ x ≤ L</p><p>• Se x</p><p>L</p><p>Y</p><p>L</p><p>sen Y</p><p>L</p><p>= = </p><p></p><p></p><p> ⇒ =</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>,</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>Portanto, o ponto é:</p><p>L L</p><p>3</p><p>3</p><p>,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Resposta: B</p><p>12.</p><p>Solução 1:</p><p>Rθ</p><p>d</p><p>V</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>Y</p><p>• Do movimento circular:</p><p>ω θ</p><p>θIMG</p><p>Y</p><p>Y</p><p>V</p><p>R</p><p>mas V Vsen e R</p><p>d</p><p>sen</p><p>= = =, .</p><p>Daí, ω</p><p>θ</p><p>IMG</p><p>Vsen</p><p>R</p><p>=</p><p>2</p><p>.</p><p>• Mas, se α α ω ω ω</p><p>ωθ</p><p>IMG ESP</p><p>d d</p><p>IMG ESP ESP</p><p>IMG=  → = ⇒ =( )2 2</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, ω</p><p>θ</p><p>ESP</p><p>Vsen</p><p>R</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>Solução 2:</p><p>θ</p><p>x</p><p>(d – x)</p><p>v</p><p>• Tg</p><p>d</p><p>d x</p><p>d d xθ =</p><p>−</p><p>= −( )−1</p><p>d</p><p>d</p><p>obstáculo próximos de um anteparo</p><p>não podem ser considerados paralelos, difração de Fresnel é muito</p><p>mais difícil analisar.</p><p>A figura a seguir mostra o padrão de difração de Fresnel de um</p><p>disco opaco. Observe o ponto brilhante no centro do padrão causado</p><p>pela interferência construtiva das ondas de luz difratado a partir da</p><p>borda do disco. Esse padrão é de algum interesse histórico.</p><p>D</p><p>iv</p><p>ul</p><p>ga</p><p>çã</p><p>o</p><p>Em uma tentativa de desacreditar a teoria de onda, de Augustin</p><p>Fresnel, de luz, Siméon Poisson salientou que previu um ponto brilhante</p><p>no centro da sombra, que ele assumiu ser uma contradição absurda de</p><p>fato. No entanto, Fresnel imediatamente demonstrou, experimentalmente,</p><p>que tal ponto, de fato, existe. Essa demonstração convenceu muitos</p><p>que duvidavam da validade da teoria ondulatória da luz. O gráfico da</p><p>intensidade em função da distância (medida ao longo de uma linha</p><p>perpendicular à orla) é mostrado a seguir:</p><p>Sombra</p><p>geométrica</p><p>Intensidade</p><p>Borda Distância</p><p>A intensidade de luz não cai abruptamente a zero na sombra</p><p>geométrica, mas diminui rapidamente e é insignificante a alguns</p><p>comprimentos de onda da borda.</p><p>Se a fenda for circular, a matemática começa a complicar.</p><p>Trataremos de analisar somente esses resultados. A equação que</p><p>descreve o primeiro mínimo de difração é dada por:</p><p>θ</p><p>1</p><p>é o ângulo entre o centro</p><p>e a extremidade do primeiro</p><p>mínimo.</p><p>θ</p><p>1</p><p>D</p><p>Disco</p><p>de Airy</p><p>sin ,θ λ</p><p>1 1 22=</p><p>D</p><p>Onde θ</p><p>1</p><p>é o ângulo mostrado na figura, medido do centro até</p><p>o primeiro mínimo.</p><p>As equações para determinar os outros mínimos são</p><p>complexas. Eis aqui alguns resultados obtidos:</p><p>Para o segundo mínimo:</p><p>sin ,θ λ</p><p>2 2 23=</p><p>D</p><p>Para o terceiro mínimo:</p><p>sin ,θ λ</p><p>3 3 24=</p><p>D</p><p>Não precisamos ter esses resultados em mente, a não ser</p><p>o primeiro. Muitas vezes o ângulo é pequeno e podemos fazer</p><p>aproximações adequadas.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>010.538 – 136299/19</p><p>A figura a seguir mostra duas fontes pontuais que subtende um</p><p>ângulo com uma abertura circular longe das fontes. As intensidades</p><p>do padrão de difração de Fraunhofer também são indicadas nessa</p><p>figura. No entanto, quando D aumenta, a sobreposição dos</p><p>padrões de difração aumenta e torna-se difícil distinguir as duas fontes</p><p>de uma fonte.</p><p>D</p><p>iv</p><p>ul</p><p>ga</p><p>çã</p><p>o</p><p>D</p><p>iv</p><p>ul</p><p>ga</p><p>çã</p><p>o</p><p>Na separação angular crítica, o primeiro mínimo do padrão</p><p>de difração de uma fonte cai, no máximo, no centro de outra fonte.</p><p>Dizemos que esses objetos são resolvidos pelo critério de Rayleigh.</p><p>α</p><p>Duas fontes</p><p>pontuais incoerentes</p><p>Abertura circular</p><p>do diâmetro D</p><p>λ</p><p>1.22 D</p><p>Anteparo</p><p>distante</p><p>α</p><p>Exercícios</p><p>01. (OBF) Um esgrimista, sem muito o que fazer, olha através da sua</p><p>máscara para uma lâmpada de sódio (comprimento de onda = 589 nm)</p><p>que está a 10 m de distância, e vê uma rede, aproximadamente,</p><p>quadrada de pontos brilhantes, com espaçamentos de 5 cm</p><p>em ambas as direções. Quantos fios por cm tem na máscara do</p><p>esgrimista? (Dado: 1nm = 10–9 m)</p><p>A) 85 B) 90</p><p>C) 95 D) 100</p><p>E) 105</p><p>02. Um estudante montou um experimento com uma rede de difração</p><p>de 1.000 linhas por milímetro, um laser que emite um feixe</p><p>cilíndrico de luz monocromática de comprimento de onda igual</p><p>a 4 · 10–7 m e um anteparo, conforme figura seguir.</p><p>Rede de</p><p>Difração</p><p>Anteparo</p><p>laser</p><p>O espectro de difração, observado no anteparo pelo estudante,</p><p>foi registrado por uma câmera digital e os picos de intensidade</p><p>apareceram como pequenos pontos brilhantes na imagem. Nessas</p><p>condições, a opção que melhor representa a imagem do espectro</p><p>de difração obtida pelo estudante é:</p><p>A) • • • B) • • • •</p><p>C) • • • • • D) • • • • • • •</p><p>03. Uma micro-onda plana incide ao longo de uma abertura de 5,0 cm.</p><p>Calcule o comprimento desta onda sabendo que o primeiro</p><p>mínimo de difração observado é obtido para um ângulo de 30°.</p><p>A) 2,5 cm B) 4,5 cm</p><p>C) 6,5 cm D) 5,0 cm</p><p>E) 8,0 cm</p><p>04. Qual o ângulo entre o primeiro mínimo de difração e o máximo</p><p>central para a linha de hidrogênio de 1420 MHz de um rádio</p><p>telescópio de 25 m de abertura?</p><p>A) 0,8° B) 0,64°</p><p>C) 1,2° D) 2,2°</p><p>05. Fontes distantes de luz separadas por um ângulo α em uma abertura</p><p>de diâmetro D podem ser distinguidas quando α >1,22 λ/D,</p><p>em que λ é o comprimento de onda da luz. Usando o valor de</p><p>5 mm para o diâmetro das suas pupilas, a que distância máxima</p><p>aproximada de um carro deveria estar para ainda poder distinguir</p><p>faróis acesos? Considere uma separação entre os faróis de 2 m.</p><p>A) 100 m B) 500 m</p><p>C) 1 km D) 10 km</p><p>E) 100 km</p><p>06. (ITA) O raio X é uma onda eletromagnética de comprimento de</p><p>onda (λ) muito pequeno. A fim de observar os efeitos da difração</p><p>de tais ondas, é necessário que um feixe de raio X incida sobre um</p><p>dispositivo, com fendas da ordem de λ. Em um sólido cristalino, os</p><p>átomos são dispostos em um arranjo regular com espaçamento</p><p>entre os átomos da mesma ordem de λ. Combinando esses fatos,</p><p>um cristal serve como uma espécie de rede de difração dos raios X.</p><p>Um feixe de raios X pode ser refletido pelos átomos individuais de</p><p>um cristal e tais ondas refletidas podem produzir a interferência</p><p>de modo semelhante ao das ondas provenientes de uma rede de</p><p>difração. Considere um cristal de cloreto de sódio, cujo espaçamento</p><p>entre os átomos adjacentes é α = 0,30 ⋅ 10–9 m, onde raios X com</p><p>λ = 1,5 ⋅ 10–10 m são refletidos pelos planos cristalinos. A figura</p><p>(1) mostra a estrutura cristalina cúbica do cloreto de sódio.</p><p>A figura (2) mostra o diagrama bidimensional da reflexão</p><p>de um feixe de raios X em dois planos cristalinos paralelos.</p><p>Se os feixes interferem construtivamente, calcule qual deve ser a</p><p>ordem máxima da difração observável.</p><p>θ θ</p><p>0</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>Figura (1)</p><p>Figura (2)</p><p>a</p><p>Feixe</p><p>incidente</p><p>Feixe</p><p>refletido</p><p>λ λ</p><p>θ θ</p><p>0</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>Figura (1)</p><p>Figura (2)</p><p>a</p><p>Feixe</p><p>incidente</p><p>Feixe</p><p>refletido</p><p>λ λ</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>010.538 – 136299/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>07. (ITA) Para se determinar o espaçamento entre duas trilhas</p><p>adjacentes de um CD, foram montados dois arranjos:</p><p>500 mm</p><p>10</p><p>0</p><p>m</p><p>m</p><p>33</p><p>m</p><p>m</p><p>74 mm</p><p>LASERLASER</p><p>Anteparo</p><p>Anteparo</p><p>θ1 θ2</p><p>Rede de difração</p><p>300 linhas/mm</p><p>CD</p><p>Figura 1 Figura 2</p><p>I. O arranjo da figura (1), usando uma rede de difração de</p><p>300 linhas por mm, um laser e um anteparo. Nesse arranjo,</p><p>mediu-se a distância do máximo de ordem 0 ao máximo de</p><p>ordem 1 da figura de interferência formada no anteparo;</p><p>II. O arranjo da figura (2), usando o mesmo laser, o CD e um</p><p>anteparo com um orifício para a passagem do feixe de luz.</p><p>Nesse arranjo, mediu-se também a distância do máximo de</p><p>ordem 0 ao máximo de ordem 1 da figura de interferência.</p><p>Considerando nas duas situações θ</p><p>1</p><p>e θ</p><p>2</p><p>ângulos pequenos, a</p><p>distância entre duas trilhas adjacentes do CD é de</p><p>A) 2,7 ⋅ 10–7 m B) 3,0 ⋅ 10–7 m</p><p>C) 7,4 ⋅ 10–6 m D) 1,5 ⋅ 10–6 m</p><p>E) 3,7 ⋅ 10–5 m</p><p>08. O pintor impressionista Georges Seurat usou uma técnica chamada</p><p>de pontilhismo, na qual suas pinturas são compostas por pequenos</p><p>pontos muito próximos entre si de uma única cor, cada um com</p><p>aproximadamente 2,0 mm de diâmetro. A ilusão da mistura das</p><p>cores de maneira suave é produzida nos olhos do observador</p><p>devido aos efeitos da difração. Suponha a mínima distância</p><p>de observação para que este efeito funcione adequadamente.</p><p>Considere que a pupila do olho tenha um diâmetro de 3,0 mm.</p><p>09. Suponhamos que a envoltória central de difração, da figura de</p><p>difração em uma fenda dupla, contenha 11 franjas brilhantes.</p><p>Quantas franjas brilhantes estão entre o primeiro e o segundo</p><p>mínimos da envoltória?</p><p>10. O telescópio no Monte Palomar tem um diâmetro de</p><p>200 polegadas. Suponha que uma estrela dupla estivesse a</p><p>4,00 anos-luz de distância. Debaixo condições ideais, qual deve ser</p><p>a separação mínima entre as duas estrelas para que suas imagens</p><p>sejam resolvidas usando a luz que tem um comprimento de onda</p><p>igual a 500 nm.</p><p>Dado: 1 polegada = 2,54 cm.</p><p>Anotações</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08 09 10</p><p>A C A C D * D * 5 *</p><p>* 06: 4º ordem.</p><p>08: D ≈ 12 m.</p><p>10: 5 · 109 m.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena</p><p>t</p><p>d</p><p>dt</p><p>d dx</p><p>dt</p><p>d x( ) =</p><p>( )</p><p>−( )</p><p>→sec2</p><p>2θ</p><p>θ</p><p>mas</p><p>dx</p><p>dt</p><p>V e</p><p>d</p><p>dt</p><p>d V</p><p>d x</p><p>mas Tg</p><p>d</p><p>d x</p><p>= = → =</p><p>⋅</p><p>−( )</p><p>=</p><p>−( )</p><p>θ</p><p>ω ω</p><p>θ</p><p>θ</p><p>cos</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>logo, ω</p><p>θ</p><p>θ ω</p><p>θ</p><p>= ⋅ → =</p><p>Tg</p><p>d</p><p>V</p><p>Vsen</p><p>d</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>cos .</p><p>Como, ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>θ</p><p>ESP ESP</p><p>Vsen</p><p>d</p><p>= =</p><p>2 2</p><p>2</p><p>, .</p><p>Resposta: E</p><p>9 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.742_128100/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>13.</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>B</p><p>H</p><p>A</p><p>C</p><p>E</p><p>IMG</p><p>OBJ</p><p>D</p><p>A) Observe que ∆EAB é semelhante a ∆ECD. Assim,</p><p>AB</p><p>AC CE</p><p>DC</p><p>CE</p><p>Hsen</p><p>d d H</p><p>DC</p><p>d H</p><p>DC</p><p>Hsen</p><p>d H</p><p>d H</p><p>+</p><p>= ⇒</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+</p><p>⇒</p><p>⇒ =</p><p>+</p><p>+</p><p>θ</p><p>θ θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>cos cos</p><p>cos2</p><p>ccos .θ( )</p><p>Mas, DC = Hsenθ – L.</p><p>Assim,</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2dHsen H sen L d H dHsen H sen</p><p>L</p><p>dH sen</p><p>θ θ θ θ θ θ θ</p><p>θ</p><p>+ − +( ) = +</p><p>=</p><p>⋅</p><p>cos cos cos</p><p>dd H+ cosθ</p><p>B) Se θ = 90°, L</p><p>dH</p><p>d</p><p>H</p><p>= =</p><p>2 2</p><p>. Caso clássico.</p><p>Resposta:</p><p>A) L</p><p>d H sen</p><p>d H</p><p>=</p><p>⋅ ⋅</p><p>+ ⋅</p><p>θ</p><p>θ2 cos</p><p>B) L</p><p>H</p><p>=</p><p>2</p><p>14. O espelho plano não altera o tamanho da imagem em relação ao</p><p>objeto. Portanto, h não varia com o tempo.</p><p>Resposta: D</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO –</p><p>DIG.: GEORGENES – REV.: SARAH/KELLY MOURA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>PROFESSOR(A): CARLOS EDUARDO</p><p>ASSUNTO: ESPELHOS ESFÉRICOS</p><p>FRENTE: FÍSICA II</p><p>001.743- 128101/18</p><p>AULAS 05 E 06</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Espelho esférico</p><p>Espelhos esféricos são calotas polidas. Dependendo da</p><p>superfície polida (interna ou externa) o espelho pode ser classifi cado</p><p>como côncavo ou convexo, respectivamente. O ângulo α, na fi gura</p><p>abaixo, representa o que chamamos de abertura do espelho esférico.</p><p>Nosso estudo está limitado para ângulos de abertura pequenos, caso</p><p>contrário, acontecem aberrações esféricas. Mais adiante falaremos</p><p>mais sobre este assunto.</p><p>O</p><p>r v</p><p>Sup. convexa</p><p>Sup. côncava</p><p>α</p><p>Estão representados na fi gura acima : α (a abertura do espelho),</p><p>r (raio de curvatura do espelho) e V (vértice).</p><p>As leis de refl exão são as mesmas para os espelhos esféricos,</p><p>como vimos anteriormente. Entretanto, estudaremos maneiras mais</p><p>diretas para entender a formação de imagens. Inicialmente, deveremos</p><p>conhecer três pontos principais: centro de curvatura, foco e vértice</p><p>do espelho esférico. A reta que contem estes três pontos é conhecida</p><p>como eixo principal.</p><p>Centro de curvatura</p><p>O centro de curvatura coincide com o centro da esfera da</p><p>qual foi formada o espelho (pois o centro de curvatura de uma esfera</p><p>coincide com o centro da mesma, fato que não seria verdade se o</p><p>espelho fosse elíptico, por exemplo). Bom, um fato interessante sobre</p><p>esse ponto é que todo raio que passa por este é refl etido na superfície</p><p>do espelho e retorna pelo mesmo caminho. Isso acontece porque a</p><p>normal também passa pelo centro. Portanto, o ângulo de incidência</p><p>é igual a zero.</p><p>M</p><p>N</p><p>V0</p><p>Nos espelhos côncavos, o centro de curvatura é ponto objeto</p><p>real e ponto imagem real. Já nos espelhos convexos, o centro de</p><p>curvatura é ponto objeto virtual e ponto imagem virtual.</p><p>Foco de um espelho esférico</p><p>Vamos considerar um feixe de raios incidentes paralelos ao eixo</p><p>principal de um espelho esférico côncavo; o vértice do feixe dos raios</p><p>refl etidos (feixe emergente) é o foco principal do espelho côncavo.</p><p>POO</p><p>0 P V</p><p>Para uma fonte puntiforme colocada em F, o espelho conjuga</p><p>um ponto imagem imprópria p’ = ∞.</p><p>P’OO</p><p>0 F V</p><p>A explicação deste fato se dá pela aproximação da superfície</p><p>esférica a uma superfície parabólica. Na verdade, queremos uma</p><p>maneira prática para construir imagens, então, não nos preocuparemos</p><p>em demonstrar isso. É interessante saber que se os raios incidentes</p><p>forem paralelos entre si, mas não paralelos ao eixo principal, ao</p><p>refl etirem no espelho esférico, cruzam-se sobre um ponto que se</p><p>encontra sobre um plano perpendicular ao eixo principal e que passa</p><p>pelo foco. Chamamos estes pontos de focos secundários. Tal plano é</p><p>conhecido como plano focal.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>Se o espelho é convexo, o foco não é atingido pelos raios, mas</p><p>sim pelos prolongamentos destes e assim continua valendo tudo da</p><p>mesma forma para os espelhos côncavos.</p><p>0rv</p><p>Vértice</p><p>O vértice é o ponto que divide simetricamente o espelho</p><p>esférico. Não existe nada de novo para o vértice. Ele funciona como</p><p>qualquer ponto da superfície do espelho e todos os raios que incidem</p><p>sobre ele, emergem formando o mesmo ângulo com a normal. Neste</p><p>caso, a normal coincide com o eixo principal.</p><p>i = r</p><p>i</p><p>r</p><p>V</p><p>I</p><p>Condições de Gauss</p><p>Para evitar qualquer tipo de aberração, Gauss verifi cou que</p><p>tais espelhos devem estar nestes padrões:</p><p>• Os raios devem ser paraxiais (pouco afastados do eixo principal);</p><p>• O ângulo de abertura deve ser menor que 10°;</p><p>• A inclinação dos raios deve ser pequena.</p><p>Se estas condições forem satisfeitas, as imagens formadas serão</p><p>nítidas e sem nenhuma aberração. Isso se deve pelo fato de que quando</p><p>a abertura é pequena, os raios se comportam como se a superfície</p><p>fosse parabólica. Os espelhos parabólicos têm a propriedade de que</p><p>todos os raios que passam pelo foco refl etem e saem paralelamente</p><p>ao eixo principal.</p><p>Veja os dois casos em que os espelhos satisfazem as condições</p><p>de Gauss em que não satisfazem, respectivamente:</p><p>P (objeto)</p><p>P’ (imagem)</p><p>A V</p><p>P (objeto)</p><p>P’ (imagem)</p><p>A V</p><p>Formação de imagens nos espelhos esféricos</p><p>Conhecendo esses pontos principais e como os raios se</p><p>comportam quando passam por eles, estamos aptos a estudar a</p><p>formação das imagens.</p><p>Construção da imagem</p><p>Nos espelhos esféricos, a construção gráfi ca de imagens é uma</p><p>aplicação das propriedades acima, sendo sufi ciente o traçado de dois</p><p>dos três raios estudados.</p><p>Na fi gura a seguir, observamos a imagem P’ de um ponto</p><p>objeto real, simbolicamente:</p><p>p(E) = P.O.R</p><p>p‘(E) = P.I.R�</p><p>�</p><p>�</p><p>P</p><p>0 F V</p><p>P’</p><p>Seja um objeto retilíneo, colocado num plano frontal (plano</p><p>perpendicular ao eixo principal do espelho) além do centro de</p><p>curvatura. Na próxima fi gura, o espelho conjuga uma imagem real,</p><p>invertida e menor.</p><p>O</p><p>O</p><p>O‘</p><p>P</p><p>P‘</p><p>F v</p><p>Um espelho côncavo conjuga uma imagem virtual de um</p><p>objeto real situado em um plano entre o foco principal e o vértice</p><p>(ver fi gura a seguir).</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>O</p><p>O’</p><p>0 F P P’v</p><p>Para objeto real, os espelhos convexos formam imagem direita</p><p>e menor que o objeto (como representado abaixo):</p><p>O</p><p>O</p><p>Q`</p><p>P P`V F</p><p>A relação entre a distância do foco ao vértice e a distância do</p><p>centro ao vértice é de 1: 2. Fato verifi cado nas parábolas.</p><p>O</p><p>P</p><p>f</p><p>V</p><p>Determinação analítica das imagens</p><p>Nas fi guras a seguir, observamos que: VP é a distância do vértice</p><p>do objeto, representada por p; VP’ é a distância do vértice à imagem,</p><p>representada por p’; PQ é o tamanho (comprimento) do objeto; P’Q’ é</p><p>o tamanho da imagem e f é a distância do vértice ao foco do espelho.</p><p>Q</p><p>P` O F</p><p>P v</p><p>Q`</p><p>P’Q’ é imagem real invertida, e a distância do vértice à imagem</p><p>é VP’= p’.</p><p>O F P v P’</p><p>Q</p><p>Q’</p><p>P’Q’ é imagem virtual, direita e maior. A distância do vértice à imagem</p><p>é VP’ = p’.</p><p>Resumindo: uma imagem fi ca completamente caracterizada</p><p>quando conhecemos a distância do vértice à imagem, a sua natureza</p><p>(real ou virtual), o seu tamanho (comprimento) e sua orientação (direita</p><p>ou invertida).</p><p>O problema consiste em determinar os quatro elementos</p><p>característicos de uma imagem, a partir da posição do objeto, do seu</p><p>tamanho e da distância focal do espelho (elemento característico do</p><p>espelho).</p><p>O emprego das equações que solucionam o problema exige</p><p>uma convenção de sinais para as medidas de p, p’ e dos comprimentos</p><p>y do objeto e y’ da imagem.</p><p>Emprega-se o referencial de Gauss, que é constituído por um</p><p>eixo de abscissas coincidente com o eixo principal do espelho, tendo</p><p>a origem no vértice do espelho e orientação em sentido oposto ao da</p><p>luz incidente. Para caracterizar a orientação da imagem, emprega-se</p><p>um eixo de coordenadas perpendiculares ao eixo das abscissas de</p><p>tal modo que o objeto e a imagem, acima do eixo principal, tenham</p><p>ordenada</p><p>positiva e, abaixo do eixo principal, ordenada negativa.</p><p>luz</p><p>Q</p><p>O</p><p>Q’</p><p>p</p><p>p e p’</p><p>y e y’</p><p>p r</p><p>p’</p><p>f</p><p>p</p><p>y’</p><p>y</p><p>v</p><p>f > 0 – espelho côncavo, p > 0 – objeto real, p’ > 0 – imagem real,</p><p>y > 0 – objeto, y’< 0 – imagem invertida.</p><p>Desta forma, se o espelho for convexo, a distância focal será negativa.</p><p>Equação do aumento linear transversal</p><p>Na fi gura a seguir, está representado o esquema no qual o</p><p>raio incidente QV corresponde ao raio refl etido VQ’ e os ângulos i e r</p><p>são congruentes, pois a normal é o eixo principal; a semelhança dos</p><p>triângulos Q’P’V e QPV permite escrever:</p><p>P Q</p><p>PQ</p><p>VP</p><p>VP</p><p>‘ ‘ ‘= −</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>Q</p><p>P O</p><p>P’</p><p>O’</p><p>F r</p><p>i V</p><p>y</p><p>y’</p><p>A razão do sinal menos: P’Q’ é um número negativo e PQ é</p><p>um número positivo; o quociente é negativo.</p><p>Logo: A</p><p>y</p><p>y</p><p>p</p><p>p</p><p>= = −‘ ‘</p><p>Equação dos pontos conjugados (Equação de</p><p>Gauss)</p><p>Seguindo o esquema mostrado anteriormente, observe a</p><p>semelhança entre os triângulos OPQ e OP’Q’:</p><p>Temos ainda que:</p><p>P</p><p>OP</p><p>P</p><p>PQ</p><p>‘Q ‘Q‘=</p><p>P O R p</p><p>PO p R</p><p>‘ ‘= −</p><p>= −{</p><p>Substituindo, temos:</p><p>R p</p><p>p R</p><p>p</p><p>p</p><p>p R R p</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>− = −</p><p>‘ ‘</p><p>‘</p><p>1 1 1 1</p><p>Como R = 2f</p><p>1 1 1</p><p>p p f</p><p>+ =</p><p>‘</p><p>Exercícios</p><p>01. Diante de uma bola de Natal que tem a superfície externa</p><p>espelhada, um observador dispõe um lápis, que é aproximado e</p><p>afastado da superfície refl etora. A respeito da imagem que a bola</p><p>conjuga ao lápis, podemos afi rmar que</p><p>A) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do</p><p>lápis.</p><p>B) pode ser real ou virtual, dependendo da posição do lápis.</p><p>C) é real, invertida e aumentada, qualquer que seja a posição do</p><p>lápis.</p><p>D) é simétrica do lápis em relação à superfície refl etora.</p><p>02. Na situação abaixo, um feixe cônico de luz incide sobre um espelho</p><p>esférico de raio de curvatura igual a 80 cm. Se a projeção dos raios</p><p>se encontra a uma distância de 40 cm do vértice, determine qual</p><p>a distância do ponto de interseção dos raios com o eixo principal.</p><p>A) O ponto se localiza no infi nito.</p><p>B) 10 cm C) 20 cm</p><p>D) 40 cm E) 80 cm</p><p>03. Na fi gura a seguir, vê-se a luz emitida por um dos faróis dianteiro</p><p>de um automóvel. Considerando a lâmpada um ponto no foco,</p><p>que tipo de espelho é o mais conveniente para refl etir as luzes da</p><p>lâmpada e produzir o feixe de luz da ilustração?</p><p>A) Parabólico. B) Convexo.</p><p>C) Côncavo. D) Os três anteriores.</p><p>E) Plano.</p><p>04. Em certo experimento, mediram-se a distância p entre um objeto e</p><p>a superfície refl etora de um espelho esférico côncavo, que obedece</p><p>às condições de Gauss, e a distância p’ entre esse espelho e a</p><p>correspondente imagem real produzida, em vários pontos. O resultado</p><p>dessas medições está apresentado no gráfi co a seguir:</p><p>10,0</p><p>8,0</p><p>6,0</p><p>4,0</p><p>2,0</p><p>0,0</p><p>2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0</p><p>1</p><p>p’ (10–2 cm–1)</p><p>1</p><p>p (10–2 cm–1)</p><p>Examinando cuidadosamente o gráfi co, determine a distância</p><p>focal do espelho.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>05. A fi gura a seguir mostra um triângulo retângulo ABC situado em</p><p>frente a um espelho côncavo, de centro C e distância focal 6,0 cm.</p><p>Sabendo que AB = 8,0 cm e AC = 6,0 cm, determine a área da</p><p>imagem do triangulo ABC, fornecida pelo espelho.</p><p>B</p><p>A C F</p><p>06. Um espelho convexo, cuja distância focal tem módulo igual a 10 cm,</p><p>está situado a 20 cm de um espelho côncavo, de distância focal</p><p>20 cm. Os espelhos estão montados coaxialmente e as superfícies</p><p>refl etoras se defrontam. Coloca-se um objeto luminoso no ponto</p><p>médio do segmento que une os vértices dos dois espelhos. Localize</p><p>a imagem fornecida pelo espelho convexo ao receber os raios</p><p>luminosos que partem do objeto e são refl etidos pelo espelho</p><p>côncavo.</p><p>07. Qual a distância focal de um espelho côncavo se, quando um</p><p>objeto é colocado em uma determinada posição, a ampliação</p><p>transversal é β</p><p>1</p><p>= –0,50 e quando afastado de uma distância</p><p>l = 5cm, em direção oposta ao espelho (a partir desta distância),</p><p>a ampliação transversal é β</p><p>2</p><p>= –0,25?</p><p>08. Um espelho plano está colocado em frente a um espelho côncavo</p><p>perpendicularmente ao eixo principal. Uma fonte luminosa</p><p>pontual A, colocada sobre o eixo principal entre os dois espelhos,</p><p>emite raios que se refl etem sucessivamente nos dois espelhos e</p><p>formam, sobre a própria fonte A, uma imagem real desta. O raio</p><p>de curvatura do espelho é 40 cm e a distância do centro da fonte</p><p>A até o vértice do espelho esférico é de 30 cm. A distância d do</p><p>espelho plano até o vértice do espelho côncavo é, então:</p><p>A) 20 cm</p><p>30 cm</p><p>d</p><p>A</p><p>B) 30 cm</p><p>C) 40 cm</p><p>D) 45 cm</p><p>E) 50 cm</p><p>09 Diante de um espelho esférico, perpendicularmente ao seu eixo</p><p>principal, é colocado um objeto luminoso a 15 cm do vértice.</p><p>Deseja-se que a imagem correspondente seja projetada em</p><p>um anteparo e tenha quatro vezes o comprimento do objeto.</p><p>Determine</p><p>A) se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida;</p><p>B) a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a</p><p>imagem seja nítida;</p><p>C) a distância focal do espelho.</p><p>10. No século III a.C., Arquimedes teria liderado guerreiros da</p><p>Sicília – na época pertencente à Magna Grécia – na defesa da</p><p>cidade de Siracusa, vítima constante de ataques marítimos de</p><p>frotas romanas. Conta-se que ele instalava, na região costeira</p><p>da ilha, espelhos ustórios (ou incendiários), que consistiam em</p><p>enormes calotas esféricas, polidas na parte interna (côncava), que</p><p>“concentravam” os raios solares, produzindo fogo nas galeras</p><p>inimigas. O esquema a seguir representa um desses espelhos, em</p><p>operação de acordo com as condições de Gauss, e a trajetória</p><p>seguida pela luz até um ponto fatal P, de alta concentração</p><p>energética.</p><p>Sol</p><p>Eixo</p><p>principal</p><p>d</p><p>P</p><p>h</p><p>Supondo-se conhecidos os comprimentos d e h, o raio de</p><p>curvatura do espelho fi ca determinado por</p><p>A) ( )d h2 2</p><p>1</p><p>2− B) 2 2 2</p><p>1</p><p>2( )d h−</p><p>C) ( )d h2 2</p><p>1</p><p>2+ D) 2 2 2</p><p>1</p><p>2( )d h+</p><p>E) ( )h d2 2</p><p>1</p><p>2−</p><p>11. (OBF) É possível encontrar em caminhões dois espelhos retrovisores</p><p>compostos, do lado do motorista. Na foto a seguir, o espelho</p><p>inferior é plano. Em relação ao de cima, podemos dizer que:</p><p>I. Como o do inferior, observamos a imagem atrás do espelho,</p><p>e é, portanto, uma imagem real;</p><p>II. A área refl etida para o olho do motorista é maior que a refl etida</p><p>pelo espelho de baixo, portanto, é uma parte de um espelho</p><p>côncavo;</p><p>III. Os raios de luz que incidem paralelamente ao eixo principal são</p><p>desviados, afastando-se do eixo principal e seu foco é obtido</p><p>a partir do prolongamento desses raios.</p><p>A) Apenas a afi rmação III está correta.</p><p>B) As afi rmações I e II estão corretas.</p><p>C) As afi rmações II e III estão corretas.</p><p>D) Todas as afi rmativas estão corretas.</p><p>E) Apenas a afi rmação II está sempre correta.</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>12. Uma haste retilínea AB, de comprimento L, é colocada diante</p><p>da superfície refl etora de um espelho esférico côncavo E, que</p><p>obedece às condições de Gauss, sobre o eixo principal do espelho,</p><p>conforme representa a fi gura a seguir.</p><p>L D</p><p>VA B</p><p>A distância focal do espelho é igual a f e a extremidade B da haste</p><p>encontra-se a uma distância D (D > f) do vértice V.</p><p>A) Calcule, em função de f, L e D, o comprimento C da imagem</p><p>da haste produzida por E.</p><p>B) Determine a relação entre L e f para o caso particular de a</p><p>imagem de B se formar sobre esse mesmo ponto, com C = L/2.</p><p>13. (UFRJ) Um espelho côncavo de raio de curvatura 50 cm e um</p><p>pequeno espelho plano estão frente a frente. O espelho plano</p><p>está disposto perpendicularmente ao eixo principal do côncavo.</p><p>Raios luminosos paralelos ao eixo principal são refl etidos pelo</p><p>espelho côncavo; em seguida, refl etem-se também no espelho</p><p>plano e tornam-se convergentes em um ponto do eixo principal,</p><p>distante 8 cm do espelho plano, como mostra a fi gura a seguir.</p><p>8 cm</p><p>V</p><p>Calcule a distância do espelho plano ao vértice V do espelho</p><p>côncavo.</p><p>14. (ITA) Dois espelhos esféricos interdistantes de 50 cm, um côncavo,</p><p>E</p><p>1</p><p>, e outro convexo, E</p><p>2</p><p>, são dispostos coaxialmente tendo a</p><p>mesma distância focal de 16 cm. Uma vela é colocada diante</p><p>dos espelhos perpendicularmente ao eixo principal, de modo que</p><p>suas primeiras imagens conjugadas por E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>tenham o mesmo</p><p>tamanho. Assinale a opção com as respectivas distâncias, em cm,</p><p>da vela aos espelhos E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>.</p><p>A) 25 e 25</p><p>B) 41 e 9</p><p>C) 34 e 16</p><p>D) 35 e 15</p><p>E) 40 e 10</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07</p><p>A C A – – – –</p><p>08 09 10 11 12 13 14</p><p>D – B A – – B</p><p>Resoluções</p><p>01. Observando a formação da imagem de um espelho convexo,</p><p>podemos perceber que a imagem é direita, virtual e menor.</p><p>FV CB</p><p>o</p><p>A</p><p>A’</p><p>B’</p><p>Resposta: A</p><p>02. Aplicando diretamente na equação de Gauss, teremos:</p><p>1 1 1 1</p><p>40</p><p>1 1</p><p>40</p><p>20</p><p>f p p p</p><p>p cm= + → − = + → = −</p><p>’ ’</p><p>Perceba que o sinal que surge (negativo) nos diz que o objeto,</p><p>ponto de encontro dos raios incidentes, é virtual.</p><p>Resposta: C</p><p>03. Na verdade, o espelho que possui a propriedade de convergir</p><p>no foco todos os raios paralelos ao eixo principal é o espelho</p><p>parabólico. O que estudamos de espelhos esféricos são apenas</p><p>aproximações. Assim, o correto é afi rmar que a superfície do</p><p>espelho com esta propriedade é parabólica.</p><p>Resposta: A</p><p>04. Equação de Gauss:</p><p>1 1 1</p><p>f p p</p><p>= +</p><p>’</p><p>Do gráfi co, para</p><p>1</p><p>5 5 10 2 1</p><p>p</p><p>cm� , ,⋅ − − temos</p><p>1</p><p>4 5 10 2 1</p><p>p</p><p>cm</p><p>’</p><p>, .= ⋅ − −</p><p>Substituindo os valores de</p><p>1 1</p><p>p</p><p>e</p><p>p’</p><p>na Equação de Gauss, vem:</p><p>1</p><p>5 5 10 4 5 10</p><p>1</p><p>10 10</p><p>2 2</p><p>2f</p><p>f= ⋅ + ⋅ ⇒ =</p><p>⋅</p><p>− −</p><p>−, , (cm)</p><p>Donde: f cm= 10 0,</p><p>Resposta: 10,0 cm</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>05. A imagem do ponto B será formada em:</p><p>I.</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>18</p><p>1</p><p>9= + → =</p><p>p</p><p>p cm</p><p>’</p><p>’</p><p>II.</p><p>i</p><p>o</p><p>p</p><p>p</p><p>i cm= − → = −</p><p>’</p><p>4</p><p>Como o ponto C se localiza no centro do espelho, este gera</p><p>imagem na mesma posição. Assim, os lados serão 4 cm e 3 cm.</p><p>A área da imagem será:</p><p>A</p><p>b h</p><p>cm=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>2</p><p>3 4</p><p>2</p><p>6 2</p><p>Resposta: 6 cm2</p><p>06. A imagem fornecida pelo espelho convexo pode ser obtida</p><p>grafi camente como a seguir:</p><p>20 cm</p><p>o</p><p>F</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>E</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>i</p><p>2i</p><p>1</p><p>Ponto</p><p>médio</p><p>Equação de Gauss:</p><p>1 1 1 1</p><p>10</p><p>1 1</p><p>20</p><p>20</p><p>1 1</p><p>1</p><p>p p f p</p><p>p cm+ = ⇒ + = ⇒ = −</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>A imagem virtual i</p><p>1</p><p>produzida por E</p><p>1</p><p>comporta-se como objeto</p><p>real em relação ao espelho convexo E</p><p>2</p><p>.</p><p>Equação de Gauss:</p><p>1 1 1 1</p><p>20 20</p><p>1 1</p><p>102p p f p</p><p>+ = ⇒</p><p>+</p><p>+ =</p><p>−’ ( ) ’</p><p>Da qual: p cm’ ,2 8 0= −</p><p>Resposta: 8,0 cm.</p><p>07. Na situação 1, temos:</p><p>1 1 1</p><p>1f x x</p><p>= +</p><p>− β</p><p>Na segunda situação, temos:</p><p>1 1 1</p><p>2f x x</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>− +� �β ( )</p><p>Substituindo x de uma equação na outra, temos que: f = 2,5 cm</p><p>Resposta: f = 2,5 cm</p><p>08. Determinemos, inicialmente, a posição da imagem conjugada</p><p>pelo espelho côncavo em relação a este espelho.</p><p>Equação de Gauss:</p><p>1 1 1</p><p>p p f</p><p>+ =</p><p>’</p><p>Sendo f</p><p>R</p><p>cm cm e p cm= = = =</p><p>2</p><p>40</p><p>2</p><p>20 30 , calculemos p’:</p><p>1</p><p>30</p><p>1 1</p><p>20</p><p>1 1</p><p>20</p><p>1</p><p>30</p><p>1 3 2</p><p>60</p><p>+ = ⇒ = − ⇒ =</p><p>−</p><p>p p p’ ’ ’</p><p>Da qual: p cm’ = 60</p><p>Para que a imagem fi nal, formada sobre o objeto A, seja de</p><p>natureza real, a imagem fornecida pelo espelho côncavo deve</p><p>comportar-se como objeto virtual em relação ao espelho plano.</p><p>A trajetória dos raios de luz pode ser observada no esquema a</p><p>seguir.</p><p>d</p><p>A</p><p>x x</p><p>F</p><p>p = 30 cm</p><p>p’ = 60 cm</p><p>V</p><p>A’</p><p>Lembrando que no espelho plano a imagem é simétrica do objeto</p><p>em relação à superfície refl etora, temos:</p><p>2 2 60 30 15x p p x x cm= − ⇒ = − ⇒ =’</p><p>A distância d pedida fi ca, então</p><p>d p x d x cm= + ⇒ = + ⇒ =30 15 45(cm)</p><p>Resposta: D</p><p>09. A) Se a imagem deve ser projetada em um anteparo, sua natureza</p><p>é real e p’ > 0.</p><p>Como p > 0 e p’ > 0 ⇒ A < 0</p><p>e a imagem é invertida.</p><p>B) A</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p cm= − ⇒ − = − ⇒ =</p><p>’ ’</p><p>’4</p><p>15</p><p>60</p><p>C)</p><p>1 1 1 1 1</p><p>15</p><p>1</p><p>60f p p f</p><p>= + ⇒ = +</p><p>’</p><p>f cm= 12</p><p>10. Os raios estão convergindo para o ponto P, que fi ca na mesma</p><p>vertical do foco.</p><p>Logo;</p><p>f h d f h2 2 2 2 2</p><p>1</p><p>2+ = → = −(d )</p><p>Porém, a distância R do centro de curvatura é 2f,assim:</p><p>R = −2 2 2</p><p>1</p><p>2(d h )</p><p>Resposta: B</p><p>11. I. Como o do inferior, observamos a imagem atrás do espelho,</p><p>e é, portanto, uma imagem real. Falsa, pois toda imagem que</p><p>se forma atrás do espelho é virtual.</p><p>II. A área refl etida para o olho do motorista é maior que a refl etida</p><p>pelo espelho debaixo, portanto, é uma parte de um espelho</p><p>côncavo. Falsa, como a imagem é virtual e menor que o objeto,</p><p>este espelho é convexo.</p><p>III. Os raios de luz que incidem paralelamente ao eixo principal</p><p>são desviados, afastando-se do eixo principal e seu</p><p>foco é obtido a partir do prolongamento desses raios.</p><p>Verdadeira, veja a fi gura a seguir.</p><p>8F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>001.743 - 128101/18</p><p>FV C</p><p>Resposta: A</p><p>12. A) Equação de Gauss:</p><p>1 1 1</p><p>f p p</p><p>= +</p><p>’</p><p>Posição da imagem B:</p><p>1 1 1 1 1 1 1</p><p>f D p p f D p</p><p>D f</p><p>Df</p><p>p</p><p>Df</p><p>D fB B B</p><p>B= + ⇒ = + ⇒ =</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>−’ ’ ’</p><p>’</p><p>Posição da imagem A:</p><p>1 1 1 1 1 1 1</p><p>f D L p p f D L p</p><p>D L f</p><p>f D LA A A</p><p>=</p><p>+</p><p>+ ⇒ = −</p><p>+</p><p>⇒ =</p><p>+ −</p><p>+’ ’ ’ ( )</p><p>Da qual: p</p><p>f</p><p>D L f</p><p>A ’</p><p>(D L)</p><p>=</p><p>+</p><p>+ −</p><p>Cálculo de C:</p><p>C p p</p><p>D f D L f</p><p>D</p><p>B A= − ⇒ =</p><p>−</p><p>−</p><p>+</p><p>+ −</p><p>⇒</p><p>⇒ =</p><p>+ − − + −</p><p>−</p><p>’ ’ C</p><p>Df f(D L)</p><p>C</p><p>Df(D L f) (Df Lf)(D f)</p><p>( ff D L f</p><p>Dfl D Lf</p><p>D f D L f</p><p>)( )</p><p>C</p><p>D f Df (D f f Dfl )</p><p>( )( )</p><p>+ −</p><p>⇒</p><p>⇒ =</p><p>+ − − − + −</p><p>− + −</p><p>2 2 2 2 2</p><p>Donde: C</p><p>Lf</p><p>=</p><p>− + −</p><p>2</p><p>(D f)(D L f)</p><p>B) Se pB ’ D= (a imagem do ponto B forma-se sobre esse mesmo</p><p>ponto), vem</p><p>D</p><p>Df</p><p>D f</p><p>D f f D f=</p><p>−</p><p>⇒ − = ⇒ = 2</p><p>Levando em conta a condição de C</p><p>L</p><p>=</p><p>2</p><p>, temos:</p><p>L Lf</p><p>f f f</p><p>f f L f L f</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2=</p><p>− + −</p><p>⇒ + = ⇒ + = ⇒ =</p><p>( )( L f)</p><p>(f L) f</p><p>Portanto:</p><p>L</p><p>f</p><p>= 1</p><p>13. Uma forma direta de resolver tal exercício é rebater a posição de</p><p>convergência dos raios de 8 cm para a direita. Assim, como os</p><p>raios incidentes no espelho esférico são paralelos, eles devem</p><p>convergir no foco (25 cm).</p><p>F</p><p>8 cm8 cm</p><p>25 cm</p><p>25 – 8 = 17 cm</p><p>Portanto, a distância em questão é dada por 25 cm – 8 cm = 17 cm.</p><p>Resposta: 17 cm</p><p>14. Da Equação de Conjugação de Gauss, as posições, p1 2’ e p ’, das</p><p>imagens conjugadas por E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>são dadas por:</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>f p p</p><p>p</p><p>pf</p><p>f p</p><p>p</p><p>p f</p><p>f p</p><p>p</p><p>p f</p><p>f p</p><p>= + ⇒ =</p><p>−</p><p>⇒</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>’</p><p>’</p><p>(I)</p><p>(II)</p><p>’</p><p>’</p><p></p><p>A única possibilidade das duas primeiras imagens terem o mesmo</p><p>tamanho é o tamanho da imagem real (invertida) conjugada por E</p><p>1</p><p>coincidir (em módulo) com o tamanho da imagem virtual (direita)</p><p>conjugada por E</p><p>2</p><p>. Assim, do aumento linear (A), temos:</p><p>A</p><p>y</p><p>y</p><p>p</p><p>p</p><p>y</p><p>p</p><p>p</p><p>y</p><p>y y</p><p>p</p><p>p</p><p>y</p><p>p</p><p>p</p><p>y</p><p>= =</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>−</p><p>⋅</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>−</p><p>= −</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>’ ’</p><p>’</p><p>’</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>⇒ =</p><p>−p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>’ ’</p><p>(III)</p><p>Substituindo I e II em III, temos:</p><p>p f</p><p>p</p><p>p f</p><p>p p p</p><p>1 1</p><p>1 1 1</p><p>2 2</p><p>2 2 2 1 2</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>⋅</p><p>−</p><p>= −</p><p>⋅</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒</p><p>−</p><p>= −</p><p>−</p><p>− −</p><p></p><p>(f p ) (f p )</p><p></p><p></p><p>⇒ = +p p1 232</p><p>p f</p><p>p</p><p>p f</p><p>p p p</p><p>1 1</p><p>1 1 1</p><p>2 2</p><p>2 2 2 1 2</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>⋅</p><p>−</p><p>= −</p><p>⋅</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒</p><p>−</p><p>= −</p><p>−</p><p>− −</p><p></p><p>(f p ) (f p )</p><p></p><p></p><p>⇒ = +p p1 232</p><p>No entanto, como a distância entre os espelhos é 50 cm, vem:</p><p>p p</p><p>p p</p><p>p p</p><p>p cm</p><p>p cm</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>32</p><p>50</p><p>32 50</p><p>41</p><p>9</p><p>= +</p><p>+ ={ ⇒ + + = ⇒ =</p><p>={</p><p>Assim, as respectivas distâncias da vela aos espelhos E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>são</p><p>de 41 cm e 9 cm.</p><p>Resposta: B</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: CARLOS EDUARDO</p><p>DIG.: SAMUEL – 21/01/20 – REV.: KELLY MOURA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Carlos Eduardo</p><p>assunto: rEfração</p><p>frente: físiCa ii</p><p>001.744- 128102/18</p><p>AULAS 07 A 10</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Refração</p><p>Já observou uma colher dentro de um copo com água?</p><p>Certamente você achou estranha a imagem observada, pois a colher</p><p>pareceu estar quebrada. Existe um desvio dos raios luminosos. Iremos</p><p>estudar como ocorre tal desvio. A refração acontece quando a luz</p><p>passa de um meio para outro. Na figura a seguir, quando a luz passa</p><p>do ar para a água, é observado um desvio na direção do raio de luz.</p><p>Este fenômeno é conhecido como refração da luz.</p><p>a N</p><p>P</p><p>i</p><p>r</p><p>b</p><p>S</p><p>S</p><p>luz 1</p><p>2luz</p><p>α</p><p>Em que:</p><p> e : meios refringentes diferentes;</p><p>S: fronteira, superfície refringente ou superfície dióptrica;</p><p> + S + : dioptro;</p><p>P: ponto de incidência;</p><p>α: plano tangente a S em P;</p><p>α: normal α em P;</p><p>a: raio incidente;</p><p>i: ângulo de incidência;</p><p>b: raio refrato ou raio refratado;</p><p>r: ângulo de refração;</p><p>plano (a, N): plano de incidência.</p><p>O raio de luz encontra uma maior dificuldade de se propagar</p><p>na água, esta dificuldade faz com que a velocidade da luz diminua</p><p>e mude a direção do raio de luz. A refração da luz acontece sempre</p><p>que a luz muda de um meio para outro, por exemplo, quando os</p><p>raios de luz provenientes do Sol entram na atmosfera terrestre. É</p><p>importante lembrar que quando uma onda muda de meio, a frequência</p><p>permanece a mesma, porém sua velocidade e seu comprimento de</p><p>onda são alterados.</p><p>Índice de refração</p><p>A dificuldade que a luz sofre ao percorrer um meio é indicada</p><p>pelo índice de refração do meio. Este índice de refração é um número</p><p>adimensional que é definido pela razão entre a velocidade da luz no</p><p>vácuo e a velocidade da luz no meio.</p><p>n</p><p>c</p><p>v</p><p>=</p><p>Podemos também ter índices de refração relativos</p><p>(de um meio em relação a outro):</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>v</p><p>v</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>, = =</p><p>Isto é, n</p><p>2,1</p><p>é o índice de refração do meio 2 em relação ao</p><p>meio 1.</p><p>Dizemos que um meio é mais refringente que outro quando</p><p>o seu índice de refração é maior que o do outro. Por exemplo, a água</p><p>possui índice de refração igual a 1,33, aproximadamente. O ar, por</p><p>sua vez, possui um índice de refração igual a 1 (ótima aproximação).</p><p>Dizemos, então, que a água é mais refringente que o ar. É importante</p><p>observar que o índice de refração absoluto nunca pode ser menor do</p><p>que 1, já que a maior velocidade possível em um meio é c, se o meio</p><p>considerado for o próprio vácuo.</p><p>Material n</p><p>Ar seco (0 ºC, 1 atm) ≈ 1 (1,000292)</p><p>Gás carbônico (0 ºC, 1 atm) ≈ 1 (1,00045)</p><p>Gelo (– 8 ºC) 1,310</p><p>Água (20 ºC) 1,333</p><p>Etanol (20 ºC) 1,362</p><p>Tetracloreto de carbono 1,466</p><p>Glicerina 1,470</p><p>Monoclorobenzeno 1,527</p><p>Vidros de 1,4 a 1,7</p><p>Diamante 2,417</p><p>Sulfeto de antimônio 2,7</p><p>Leis da Refração</p><p>Primeira Lei da Refração</p><p>A Primeira Lei da Refração diz que o raio incidente (raio</p><p>1), o raio refratado (raio 2) e a reta normal ao ponto de incidência</p><p>(reta tracejada) estão contidos no mesmo plano que, no caso do</p><p>desenho anterior, é o plano da tela.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Segunda Lei da Refração – Lei de Snell</p><p>A equação que relaciona o ângulo de refração (q</p><p>2</p><p>) com o ângulo</p><p>de incidência (q</p><p>1</p><p>) em função dos índices de refração é encontrada da</p><p>seguinte maneira:</p><p>Meio 2</p><p>Meio 1</p><p>V</p><p>1</p><p>V</p><p>2</p><p>θ</p><p>1</p><p>θ</p><p>1</p><p>θ</p><p>2</p><p>θ</p><p>2</p><p>V</p><p>2</p><p>< V</p><p>1</p><p>Figura 2</p><p>O intervalo entre dois pulsos quaisquer deve ser igual nos</p><p>dois meios:</p><p>m</p><p>v</p><p>m</p><p>v</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅λ λ1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>d</p><p>v</p><p>d</p><p>v</p><p>sin sinθ θ1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>Portanto:</p><p>n</p><p>1</p><p>· sin q</p><p>1</p><p>= n</p><p>2</p><p>· sin q</p><p>2</p><p>Esta equação é conhecida como Lei de Snell.</p><p>Lâminas de faces paralelas</p><p>É um sistema formado por um meio refringente x, delimitado</p><p>por duas superfícies planas e paralelas, banhadas por dois meios</p><p>refringentes A e B.</p><p>• Esquema geral:Esquema geral</p><p>S1</p><p>S2</p><p>luz incidente</p><p>luz emergente</p><p>luz no interor</p><p>da lâmina</p><p>meio X</p><p>meio A</p><p>meio B</p><p>• Caso particular mais usual:• Caso particular mais usual</p><p>ar S</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>vidro</p><p>ar</p><p>Caminho de um raio de luz</p><p>ar</p><p>ar</p><p>vidro</p><p>I</p><p>I</p><p>N</p><p>N</p><p>A</p><p>r</p><p>r</p><p>d</p><p>S</p><p>1</p><p>S</p><p>1</p><p>e</p><p>Quando a lâmina é banhada por um único meio refringente, os</p><p>ângulos de incidência e de emergência são iguais e os raios incidente</p><p>e emergente são paralelos.</p><p>O espaçamento entre os raios incidente e emergente é</p><p>chamado deslocamento lateral d.</p><p>d</p><p>e sen i r</p><p>r</p><p>=</p><p>⋅ −( )</p><p>cos</p><p>Para uma lâmina mergulhada em um único meio (por exemplo:</p><p>ar), o deslocamento lateral depende do ângulo de incidência, do índice</p><p>de refração da lâmina, em relação ao meio envolvente, e é diretamente</p><p>proporcional à espessura e da lâmina.</p><p>Reflexão total</p><p>A luz se propaga em linha reta em um meio transparente e</p><p>homogêneo; contudo, se o meio não for homogêneo, ela não se</p><p>propaga em linha reta. A propagação da luz na atmosfera é, muitas</p><p>vezes, um caso de propagação da luz em um meio não homogêneo.</p><p>O índice de refração do ar depende da densidade do ar. Como</p><p>a densidade do ar varia com a altitude, temos, em grandes altitudes,</p><p>um índice de refração do ar menor que seu índice de refração em</p><p>baixas altitudes.</p><p>Refringência</p><p>crescente</p><p>Solo</p><p>Assim, um raio de luz incidente na atmosfera não se propaga</p><p>em linha reta. Isso faz com que seja distinta a posição em que um astro</p><p>é visto no céu: a posição aparente e a posição real do astro.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Atmosfera</p><p>Vácuo</p><p>Posição aparente</p><p>de uma estrela</p><p>Posição real de</p><p>uma estrela</p><p>Miragens</p><p>O fenômeno das miragens também é explicado pela reflexão</p><p>total. Junto à superfície quente do asfalto ou das areias do deserto, o</p><p>ar torna-se muito quente e, portanto, pouco refringente.</p><p>Ar quente</p><p>Se a luz se propaga de uma região de ar frio para uma região</p><p>de ar mais quente, então a luz se propaga de um meio mais refringente</p><p>para um meio menos refringente, podendo ocorrer a reflexão total</p><p>da luz.</p><p>Ar quente</p><p>Ar frio</p><p>Prismas</p><p>Quando a luz branca incide sobre a superfície do prisma, sua</p><p>velocidade é alterada, como cada cor da luz branca tem um índice</p><p>de refração diferente e, logo, ângulos de refração diferentes, chega à</p><p>outra extremidade do prisma separada.</p><p>Tipos de prismas</p><p>• Prismas dispersivos: são usados para separar a luz em suas cores</p><p>de espectro;</p><p>• Prismas refletivos: são usados para refletir a luz;</p><p>• Prismas polarizados: podem dividir o feixe de luz em componentes</p><p>de variadas polaridades.</p><p>Refração da luz no prisma óptico – equações do</p><p>prisma</p><p>1ª Face</p><p>Figura 1</p><p>Base</p><p>ar ar</p><p>meio M</p><p>A</p><p>Seção</p><p>principal</p><p>2ª Face</p><p>Aresta</p><p>ar ar</p><p>meio M</p><p>A</p><p>Consideremos um prisma de vidro colocado no ar e um raio de</p><p>luz monocromática que o atravessa. No triângulo II’D, temos:</p><p>1</p><p>1</p><p>A</p><p>D</p><p>I’</p><p>n1</p><p>i1</p><p>i2 r2</p><p>r1</p><p>∆1 ∆2</p><p>∆</p><p>n1</p><p>n2</p><p>1</p><p>2</p><p>C</p><p>A</p><p>A (1) = r1 + r2</p><p>Figura 3</p><p>A = r</p><p>1</p><p>+ r</p><p>2</p><p>(1)</p><p>No triângulo II’C, temos:</p><p>∆ = ∆</p><p>1</p><p>+ ∆</p><p>2</p><p>ou ∆ = (i</p><p>2</p><p>– r</p><p>2</p><p>) + (i</p><p>2</p><p>– r</p><p>2</p><p>) = ∆ = i</p><p>1</p><p>– r</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>– r</p><p>2</p><p>ou</p><p>∆ = i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>– (r</p><p>1</p><p>+ r</p><p>2</p><p>)</p><p>∆ = i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>(2)</p><p>Assim, podemos dizer que temos as equações do prisma óptico.</p><p>(1) A = r</p><p>1</p><p>+ r</p><p>2</p><p>(2) ∆ = i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>– A (Desvio)</p><p>(3) n</p><p>1</p><p>sen i</p><p>1</p><p>= n</p><p>2</p><p>sen r</p><p>1</p><p>(4) n</p><p>1</p><p>sen i</p><p>2</p><p>= n</p><p>2</p><p>sen r</p><p>2</p><p>Exemplo: Um prisma fornece o menor desvio quando um ângulo de</p><p>incidência i</p><p>0</p><p>é igual ao ângulo de incidência i</p><p>2</p><p>. Mostrar que, quando</p><p>isso acontece, o índice de refração do prisma é dado por:</p><p>n</p><p>sen</p><p>A</p><p>sen</p><p>A</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆min</p><p>2</p><p>2</p><p>A</p><p>A</p><p>i</p><p>1</p><p>i</p><p>2</p><p>x y</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>2</p><p>∆ min∆ min∆ min</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>001.744 - 128102/18</p><p>Aplicando as equações do prisma:</p><p>sen i</p><p>sen r</p><p>n</p><p>sen i</p><p>sen r</p><p>n1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= =</p><p>Como i</p><p>1</p><p>= i</p><p>2</p><p>, temos: r r1 2=</p><p>Como A = r</p><p>1</p><p>+ r</p><p>2</p><p>, vem A = 2r</p><p>2</p><p>:</p><p>r</p><p>A</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>A min = x + y = i</p><p>1</p><p>+ i</p><p>2</p><p>= A = 2i – A</p><p>i</p><p>A</p><p>=</p><p>+( )∆min</p><p>2</p><p>n</p><p>sen i</p><p>sen r</p><p>sen</p><p>A</p><p>sen</p><p>A</p><p>= =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆min</p><p>2</p><p>2</p><p>Dispersão da luz</p><p>Quando um feixe de luz branca atravessa um prisma, ele</p><p>emerge decomposto em sete cores diferentes. É a dispersão da luz.</p><p>Luz branca</p><p>VermelhoLaranjaAmareloVerdeAzulAnilVioleta</p><p>Figura 4</p><p>A figura 5 é verdadeira apenas para o caso do raio incidente</p><p>monocromático, isto é, de uma única das cores do espectro da figura 4.</p><p>O ângulo ∆ não é o mesmo para cores diferentes; logo, o índice de</p><p>refração do prisma não é o mesmo para cores diferentes.</p><p>1</p><p>Figura 5</p><p>C</p><p>∆</p><p>Figura 5</p><p>Vejamos por que a separação das cores ocorre.</p><p>Todas as radiações eletromagnéticas no vácuo e no ar possuem</p><p>mesma velocidade de propagação (300.000 km por segundo).</p><p>As cores componentes da luz branca se propagam segundo a</p><p>mesma direção e com a mesma velocidade, incapazes, portanto, de</p><p>se separar.</p><p>Quando a luz branca passa do ar para outro meio qualquer</p><p>(água, por exemplo), as suas cores componentes de menor velocidade</p><p>ficam mais próximas da normal e as de maior</p>