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<p>Análise de Investimentos</p><p>PROFa. Flávia Barbosa de Brito Araújo</p><p>AULA 1</p><p>Agenda</p><p>Coeficiente de Financiamento para</p><p>Fluxos de Caixa:</p><p>1. Uniformes</p><p>2. Não Uniformes</p><p>3. com Carência</p><p>4. com Entrada</p><p>2Assaf Neto (2019)</p><p>COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO</p><p>3</p><p>O coeficiente de financiamento pode ser entendido como um fator</p><p>financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente de</p><p>um financiamento, apura o valor das prestações</p><p>➢ As operações de financiamento pelo crédito direto ao consumidor –</p><p>CDC, e as;</p><p>➢ Operações de arrendamento mercantil, constituem-se em aplicações</p><p>práticas importantes desses fatores</p><p>Exemplos de aplicações:</p><p>COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO</p><p>4</p><p>Coeficiente de financiamento para fluxos de caixa uniformes:</p><p>O coeficiente é desenvolvido a partir de um modelo padrão dos</p><p>fluxos de caixa adotado pela matemática financeira.</p><p>Por exemplo, admita que uma instituição financeira divulgue que seu</p><p>coeficiente para financiamento a ser liquidado em 6 prestações</p><p>mensais, iguais e sucessivas atinge atualmente 0,189346 (utiliza-se</p><p>geralmente 06 casas decimais).</p><p>Em consequência, um financiamento de $ 16.000,00 envolve o</p><p>pagamento de 6 prestações mensais e iguais de $ 3.029,54, ou seja:</p><p>PMT = PV x Coeficiente de Financiamento</p><p>PMT = $ 16.000,00 x 0,189346</p><p>PMT = $ 3.029,54</p><p>?</p><p>?</p><p>COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO</p><p>Imagine hipoteticamente que você deseja financiar (100%) um carro com</p><p>valor de R$ 20.000,00. Para isso você procura uma concessionária onde</p><p>o vendedor te passa alguns valores, de acordo com os prazos.</p><p>Para esse tipo de operação o vendedor</p><p>irá utilizar uma tabela simples de</p><p>financiamento disponível pela</p><p>instituição Financeira, conforme</p><p>segue:</p><p>Se o cliente deseja financiar o carro de</p><p>R$ 20 mil em 3 anos (36 meses), será</p><p>oferecido a ele a prestação de:</p><p>PMT = PV x Coeficiente de</p><p>Financiamento</p><p>PMT = $ 20.000,00 x 0,0368</p><p>PMT = $ 736,00</p><p>PMT = PV x Coeficiente de</p><p>Financiamento</p><p>PMT = $ 20.000,00 x 0,0332</p><p>PMT = $ 664,00</p><p>COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO</p><p>6</p><p>Em relação as parcelas, tem-se diferentes valores de prestação para</p><p>diferentes prazos, considerando um financiamento de R$20 mil.</p><p>Cliente deseja pagar PMT do carro de R$ 600,00:</p><p>7</p><p>FLUXO DE CAIXA</p><p>8</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>1. Período de Ocorrência</p><p>• Postecipados</p><p>• Antecipados</p><p>• Diferidos</p><p>2. Periodicidade</p><p>• Periódicos</p><p>• Não Periódicos</p><p>3. Duração</p><p>• Limitados (Finitos)</p><p>• Indeterminados (Infinitos)</p><p>4. Valores</p><p>• Constantes</p><p>• Variáveis</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>Período de Ocorrência</p><p>10</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>Periodicidade</p><p>11</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>Duração</p><p>12</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>Valores</p><p>Pagamentos = PMT inicial ocorre em n=1: Postecipados</p><p>A diferença entre a data de um termo e outro é constante: Periódicos</p><p>O prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n períodos:</p><p>Limitados ou Finitos</p><p>Os Valores do PMT são uniformes (iguais): Constante</p><p>13</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO</p><p>14</p><p>O valor presente de um fluxo (série) uniforme, para uma taxa</p><p>periódica de juros, é determinada pelo somatório dos valores</p><p>presentes de cada um de seus valores</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 3</p><p>+⋯+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>FLUXO DE CAIXA PADRÃO</p><p>Atualizar</p><p>(Desconto) para</p><p>valor presente</p><p>(VP) = PMT</p><p>(1+i)n PV =</p><p>FV</p><p>1+𝑖 1 +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 2 +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 3 + ... +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 𝑛</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>POSTECIPADOS</p><p>Matemática dos fluxos</p><p>FV= PV (1+i)n</p><p>PV =</p><p>FV</p><p>1+𝑖 1 +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 2 +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 3 + ... +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 𝑛</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>POSTECIPADOS</p><p>Matemática dos fluxos</p><p>PV =</p><p>FV</p><p>1+𝑖 1 +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 2 +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 3 + ... +</p><p>FV</p><p>1+𝑖 𝑛</p><p>𝑃𝑉 = 𝐹𝑉</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 [ 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −2 + 1 + 𝑖 −3+ ... + 1 + 𝑖 −𝑛+1 + 1 + 𝑖 −𝑛]</p><p>Fator de Valor Presente (FPV)</p><p>Colocando-se FV em evidência</p><p>Inverter as frações ➔ Inverte o expoente</p><p>Propriedades</p><p>da</p><p>potenciação</p><p>Atualizar</p><p>(Desconto)</p><p>para valor</p><p>presente</p><p>Modelo 1</p><p>Valor Presente – Fluxo de Caixa Uniforme</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 3</p><p>+ ⋯ +</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>𝑃𝑉 = 𝑷𝑴𝑻</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>Colocando-se PMT em evidência</p><p>Fator de Valor Presente (FPV)</p><p>Matemática dos fluxos</p><p>Modelo 2</p><p>Valor Presente – Fluxo de Caixa Uniforme</p><p>𝑃𝑉 = 𝑷𝑴𝑻</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>Inverter as frações➔ Inverte o expoente</p><p>Propriedade da potenciação</p><p>Fator de Valor Presente (FPV)</p><p>Fator de Valor Presente é representado na matemática financeira por:</p><p>𝑭𝑷𝑽 𝒊, 𝒏</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 [ 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −2 + 1 + 𝑖 −3+ ... + 1 + 𝑖 −𝑛+1 + 1 + 𝑖 −𝑛]</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>Série de n pagamentos para valor presente</p><p>Continuação</p><p>Modelo 2</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>POSTECIPADOS</p><p>Matemática dos fluxos</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 [ 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −2 + 1 + 𝑖 −3+ ... + 1 + 𝑖 −𝑛+1 + 1 + 𝑖 −𝑛]</p><p>Fator de Valor Presente (FPV)</p><p>Outras expressões</p><p>𝑎1 = 1 + 𝑖 −1 𝑞 = 1 + 𝑖 −1 𝑎𝑛 = 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>A soma dos termos de uma PG finita é dada por:</p><p>𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛</p><p>𝑆𝑛 = 𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛)</p><p>𝑎1 − 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>1 − 𝑞</p><p>O FPV equipara-se à soma de uma Progressão Geométrica Finita</p><p>Modelo 1</p><p>Valor Presente e Fator de Valor Presente</p><p>Fator de Valor Presente (FPV)</p><p>𝑃𝑉 = 𝑷𝑴𝑻</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>Outras expressões</p><p>𝑎1 =</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>𝑞 =</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>𝑎𝑛 =</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>Valor Presente e Fator de Valor Presente (FPV) são derivados/ equipara-se</p><p>a uma Progressão Geométrica Finita (PG) de n termos</p><p>Continuação</p><p>Modelo 2</p><p>Substituindo os termos do fluxo de caixa uniforme na soma da PG finita,</p><p>tem-se:</p><p>21</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−𝑎1 + 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>1 − 𝑞</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 +</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛 ×</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 − 1</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>− 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −𝑛 × 1 + 𝑖 −1</p><p>1 + 𝑖 −1 − 1</p><p>Valor Presente e Fator de Valor Presente</p><p>Multiplicando o numerador e o denominador por 1 + 𝑖 , tem-se:</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>− 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −𝑛 × 1 + 𝑖 −1</p><p>1 + 𝑖 −1 − 1</p><p>×</p><p>1 + 𝑖</p><p>1 + 𝑖</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>− 1 + 𝑖 0 + 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>1 + 𝑖 0 − 1 + 𝑖</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>1 − 1 + 𝑖</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>−𝑖</p><p>×</p><p>−1</p><p>−1</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏</p><p>𝒊</p><p>22</p><p>Valor Presente e Fator de Valor Presente</p><p>FLUXO DE CAIXA UNIFORMES OU PADRÃO</p><p>POSTECIPADOS</p><p>Matemática dos fluxos</p><p>𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 [ 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −2 + 1 + 𝑖 −3+ ... + 1 + 𝑖 −𝑛+1 + 1 + 𝑖 −𝑛]</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛 =</p><p>1 − 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>𝑖</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛 =</p><p>1 + 𝑖 𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖 𝑛𝑥 𝑖</p><p>Substituindo os termos na fórmula da PG e manipulando, chega-se a</p><p>Soma da PG:</p><p>Outras expressões</p><p>𝑥</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥</p><p>1 − 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>𝑖</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑋</p><p>1 + 𝑖 𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖 𝑛𝑥 𝑖</p><p>𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝒙 𝑭𝑷𝑽 Só vale para série postecipados</p><p>𝑥</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>1 + 𝑖 𝑛</p><p>Continuação</p><p>Modelo 1</p><p>Fator de Valor Presente</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>𝑃𝑉</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>= 𝑃𝑀𝑇</p><p>𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 ×</p><p>1</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>Coeficientes de financiamento para fluxos de</p><p>caixa uniformes</p><p>O fator financeiro indica o valor da prestação para</p><p>cada unidade monetária tomada emprestada.</p><p>24</p><p>𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =</p><p>1</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>FVP → Fator</p><p>de Valor</p><p>Presente</p><p>Coeficientes de financiamento para fluxos de</p><p>caixa uniformes</p><p>𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =</p><p>1</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>𝐶𝐹 =</p><p>1</p><p>𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>=</p><p>𝐶𝐹 =</p><p>1</p><p>1 − 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>𝑖</p><p>25</p><p>𝑪𝑭 =</p><p>𝒊</p><p>𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏 𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽 ×</p><p>𝒊</p><p>𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏</p><p>Valor Presente e Fator de Valor Presente–</p><p>Fluxo de Caixa Uniforme - Postecipada</p><p>Considerando o FPV, a fórmula de cálculo do valor presente de</p><p>um fluxo de caixa uniforme é apresentada da seguinte maneira:</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×</p><p>1 − 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>𝑖</p><p>Ou</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>26</p><p>FLUXO DE CAIXA- ANTECIPADA</p><p>Período de Ocorrência</p><p>- PMT</p><p>𝑃𝑉 − 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥</p><p>1 + 𝑖 𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖 𝑛𝑥 𝑖</p><p>FLUXO DE CAIXA - DIFERIDO</p><p>Período de Ocorrência</p><p>PV1</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥</p><p>1+𝑖 𝑛−1</p><p>1+𝑖 𝑛𝑥 𝑖</p><p>x</p><p>1</p><p>1+𝑖 𝑐</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑉 1</p><p>1+𝑖 𝑐</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑉 1</p><p>1+𝑖 𝑐</p><p>𝑃𝑉1 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥</p><p>1+𝑖 𝑛−1</p><p>1+𝑖 𝑛𝑥 𝑖</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑋 𝐹𝑃𝑉 𝑋 𝐹𝐴𝐶</p><p>𝐹𝑃𝑉 ⇒ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>𝐹𝐴𝐶 ⇒ Fator de acumulação de</p><p>capital</p><p>29</p><p>FLUXO DE CAIXA- NÃO PERIÓDICO</p><p>Periodicidade</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 3</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 8</p><p>Fique atento aos n’s</p><p>30</p><p>FLUXO DE CAIXA - ILIMITADO</p><p>Duração</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑗=1</p><p>∞</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 𝑗</p><p>𝑃𝑉 = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1+𝑖 𝑗</p><p>j= ∞ 𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>𝑖</p><p>31</p><p>FLUXO DE CAIXA – VARIÁVEIS</p><p>Valores</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑗=1</p><p>∞</p><p>𝐹𝐶𝑗</p><p>1 + 𝑖 𝑗</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝐹𝐶1</p><p>1+𝑖 1 +</p><p>𝐹𝐶2</p><p>1+𝑖 2 +</p><p>𝐹𝐶3</p><p>1+𝑖 3 + ... +</p><p>𝐹𝐶𝑗</p><p>1+𝑖 𝑛</p><p>Exemplo A</p><p>Qual o coeficiente de financiamento de uma dívida a ser paga em 10</p><p>prestações mensais, iguais e sucessivas, admitindo-se uma taxa de juros de</p><p>3% ao mês?</p><p>Prazo: 10 meses</p><p>Taxa: 3% ao mês</p><p>𝐶𝐹 =</p><p>𝑖</p><p>1 − 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>𝐶𝐹 =</p><p>0,03</p><p>1 − 1 + 0,03 −10</p><p>𝐶𝐹 =</p><p>0,03</p><p>0,255906</p><p>𝐶𝐹 = 0,117231</p><p>32</p><p>Logo, cada unidade de capital emprestado envolve o desembolso mensal de</p><p>10 prestações de $0,117231.</p><p>Exemplo A</p><p>Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e</p><p>consecutivos de $4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% ao</p><p>mês, até que preço compensa adquirir o aparelho a vista?</p><p>𝑃𝑀𝑇 = $4.000,00</p><p>𝑖 = 2,6% ao mês</p><p>𝑛 = 7 meses</p><p>𝑃𝑉 = ?</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×</p><p>1 − 1 + 𝑖 −𝑛</p><p>𝑖</p><p>𝑃𝑉 = 4.000 ×</p><p>1 − 1 + 0,026 −7</p><p>0,026</p><p>𝑃𝑉 = $25.301,18</p><p>O valor máximo a se pagar pelo bem na</p><p>modalidade à vista deverá ser de</p><p>$25.301,18.</p><p>33</p><p>COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO</p><p>34</p><p>O valor futuro de um fluxo (série) uniforme, ocorre junto o último</p><p>termo do fluxo de caixa.</p><p>FLUXO DE CAIXA PADRÃO</p><p>Capitalizar para valor</p><p>Futuro (FV) = PMT x</p><p>(1+i)n</p><p>Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte</p><p>expressão:</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇+𝑃𝑀𝑇 x 1 + 𝑖 1+ 𝑃𝑀𝑇 x 1 + 𝑖 2+ 𝑃𝑀𝑇 x 1 + 𝑖 3+... +𝑃𝑀𝑇 x 1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 [1 + 1 + 𝑖 1+ 1 + 𝑖 2+ 1 + 𝑖 3+... + 1 + 𝑖 𝑛−1 ]</p><p>Colocando-se PMT em evidência:</p><p>Fator de Valor Futuro ➔𝑭𝑭𝑽 𝒊, 𝒏</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐹𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>35</p><p>Valor Futuro e Fator de Valor Futuro</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 [1 + 1 + 𝑖 1+ 1 + 𝑖 2+ 1 + 𝑖 3+... + 1 + 𝑖 𝑛−1 ]</p><p>Fórmula genérica do FV:</p><p>Analogamente ao valor presente, observe que a expressão do FFV</p><p>representa a soma dos termos de uma progressão geométrica:</p><p>𝑆𝑛 = 𝐹𝐹𝑉(𝑖, 𝑛)</p><p>𝑎1 − 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>1 − 𝑞 𝐹𝑃𝑉 𝑖, 𝑛 =</p><p>1 + 𝑖 −𝑛 − 1</p><p>𝑖</p><p>Valor Futuro e Fator de Valor Futuro – Fluxo de</p><p>Caixa Uniforme</p><p>36</p><p>O FFV equipara-se à soma de uma Progressão Geométrica Finita</p><p>𝑎1 = 1 𝑞 = 1 + 𝑖 𝑎𝑛 = 1 + 𝑖 𝑛−1</p><p>Substituindo os termos do fluxo de caixa uniforme na soma da PG finita,</p><p>tem-se:</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−𝑎1 + 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>𝑞 − 1</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−1 + 1 + 𝑖 𝑛−1 × 1 + 𝑖</p><p>1 + 𝑖 − 1</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>−1 + 1 + 𝑖 𝑛−1+1</p><p>𝑖</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏</p><p>𝒊</p><p>Valor Futuro e Fator de Valor Futuro</p><p>– Fluxo de Caixa Uniforme</p><p>Considerando o FFV, a fórmula de cálculo do valor futuro de um fluxo</p><p>de caixa uniforme é apresentada da seguinte maneira:</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×</p><p>1+𝑖 𝑛−1</p><p>𝑖</p><p>ou</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐹𝑉 𝑖, 𝑛</p><p>37</p><p>Exemplo B</p><p>Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência</p><p>de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $800,00 cada,</p><p>numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1%</p><p>ao mês.</p><p>𝑃𝑀𝑇 = $800,00</p><p>𝑖 = 2,1% ao mês</p><p>𝑛 = 7 meses</p><p>𝐹𝑉 = ?</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×</p><p>1 + 𝑖 𝑛 − 1</p><p>𝑖</p><p>𝐹𝑉 = 800 ×</p><p>1 + 0,021 7 − 1</p><p>0,021</p><p>𝐹𝑉 = $5.965,41</p><p>38</p><p>O montante acumulado ao final do 7º mês será de $5.965,41.</p><p>Periodicidade dos Fluxos de Caixa - Não periódicos</p><p>◼ Os fluxos de caixa não periódicos são aqueles que apresentam</p><p>prestações em intervalos irregulares (diferentes entre si).</p><p>◼ Tanto o cálculo do valor presente, como o do valor futuro,</p><p>devem ser processados, respectivamente, pelo somatório da</p><p>atualização e capitalização de cada um dos termos.</p><p>Genericamente, tem-se:</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑗=0</p><p>𝑛</p><p>𝑃𝑀𝑇𝑗</p><p>1 + 𝑖 𝑗</p><p>𝐹𝑉 =</p><p>𝑗=0</p><p>𝑛</p><p>𝑃𝑀𝑇𝑗 × 1 + 𝑖 𝑛−𝑗</p><p>39</p><p>ANEXOS</p><p>Fluxos de Caixa Uniformes e Infinitos</p><p>O valor presente de um fluxo de caixa uniforme e infinito, é</p><p>determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um de</p><p>seus valores.</p><p>𝑃𝑉 =</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 3</p><p>+⋯+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 ∞−1</p><p>+</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>1 + 𝑖 ∞</p><p>Colocando-se PMT em evidência:</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇</p><p>1</p><p>1 + 𝑖</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 2</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 3</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞−1</p><p>+</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞</p><p>40</p><p>ANEXOS</p><p>Aplicando-se o teorema de limite</p><p>Fluxos de Caixa Uniformes e Infinitos</p><p>Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de uma</p><p>progressão geométrica indefinida, cuja razão é menor que 1.</p><p>Aplicando-se o teorema de limite na fórmula da soma dos termos, tem-</p><p>se:</p><p>𝐹𝑃𝑉 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>−𝑎1 + 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>𝑞 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑛→∞</p><p>−</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 +</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛 ×</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 − 1</p><p>=</p><p>−</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 +</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞ ×</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 − 1</p><p>=</p><p>− 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −∞ × 1 + 𝑖 −1</p><p>1 + 𝑖 −1 − 1</p><p>×</p><p>1 + 𝑖</p><p>1 + 𝑖</p><p>=</p><p>=</p><p>− 1 + 𝑖 −1 × 1 + 𝑖 + 1 + 𝑖 −∞ × 1 + 𝑖 −1 × 1 + 𝑖</p><p>1 + 𝑖 −1 × 1 + 𝑖 − 1 × 1 + 𝑖 −</p><p>=</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −∞ × 1 + 𝑖 0</p><p>1 + 𝑖 0 − 1 + 𝑖</p><p>=</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −∞ × 1</p><p>1 − 1 + 𝑖</p><p>=</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −∞</p><p>−𝑖</p><p>=</p><p>1 + 𝑖 −∞ − 1</p><p>−𝑖</p><p>×</p><p>−1</p><p>−1</p><p>=</p><p>1 − 1 + 𝑖 −∞</p><p>𝑖</p><p>=</p><p>1 −</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞</p><p>𝑖</p><p>41</p><p>ANEXOS</p><p>Fluxos de Caixa Uniformes e Infinitos</p><p>Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de uma</p><p>progressão geométrica indefinida, cuja razão é menor que 1. Aplicando-</p><p>se o teorema de limite na fórmula da soma dos termos, tem-se:</p><p>𝐹𝑃𝑉 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>−𝑎1 + 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>𝑞 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑛→∞</p><p>−</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 +</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 𝑛 ×</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 − 1</p><p>=</p><p>−</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 +</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞ ×</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 1 − 1</p><p>=</p><p>− 1 + 𝑖 −1 + 1 + 𝑖 −∞ × 1 + 𝑖 −1</p><p>1 + 𝑖 −1 − 1</p><p>×</p><p>1 + 𝑖</p><p>1 + 𝑖</p><p>=</p><p>=</p><p>− 1 + 𝑖 −1 × 1 + 𝑖 + 1 + 𝑖 −∞ × 1 + 𝑖 −1 × 1 + 𝑖</p><p>1 + 𝑖 −1 × 1 + 𝑖 − 1 × 1 + 𝑖 −</p><p>=</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −∞ × 1 + 𝑖 0</p><p>1 + 𝑖 0 − 1 + 𝑖</p><p>=</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −∞ × 1</p><p>1 − 1 + 𝑖</p><p>=</p><p>−1 + 1 + 𝑖 −∞</p><p>−𝑖</p><p>=</p><p>1 + 𝑖 −∞ − 1</p><p>−𝑖</p><p>×</p><p>−1</p><p>−1</p><p>=</p><p>1 − 1 + 𝑖 −∞</p><p>𝑖</p><p>=</p><p>1 −</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞</p><p>𝑖</p><p>42</p><p>ANEXOS</p><p>Aplicando-se o teorema de limite</p><p>Fluxos de Caixa Uniformes e Infinitos</p><p>A expressão 1 + 𝑖 ∞ se aproxima de um número infinitamente grande</p><p>∞ , logo, a divisão de 1 por um número tão grande resulta em um</p><p>número próximo a zero. Assim:</p><p>𝐹𝑃𝑉 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>−𝑎1 + 𝑎𝑛 × 𝑞</p><p>𝑞 − 1</p><p>=</p><p>1 −</p><p>1</p><p>1 + 𝑖 ∞</p><p>𝑖</p><p>=</p><p>1 −</p><p>1</p><p>∞</p><p>𝑖</p><p>=</p><p>1 − 0</p><p>𝑖</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑖</p><p>Mediante o FPV, a fórmula do valor presente de um fluxo de caixa</p><p>uniforme e infinito é apresentada da seguinte maneira:</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×</p><p>1</p><p>𝑖</p><p>=</p><p>𝑃𝑀𝑇</p><p>𝑖</p><p>43</p><p>∞</p><p>0</p><p>Aplicando-se o teorema de limiteANEXOS</p><p>AGORA VAMOS TRABALHAR</p>