Exercício calculo estudar prova

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<p>Exercício 1   Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft de profundidade no lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina está sendo enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft</p><p>Figure 1: Piscina</p><p>Solução do Problema 1</p><p>O volume de água na piscina em função de h, a altura quando h está próximo de 5 é</p><p>Como l=20 ft simplificando obtemos</p><p>Derivando implicitamente obtemos:</p><p>Como  temos</p><p>Exercício 2   Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo</p><p>bombeada para dentro.</p><p>Solução do Problema 2</p><p>A variação do volume de água é dada pela fórmula</p><p>Por outro lado como o volume de um cone é  e da figura sabemos que  temos que e portanto</p><p>que derivando implicitamente obtemos</p><p>logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200cm era</p><p>Exercício 3   Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?</p><p>Solução do Problema 3</p><p>Usamos a figura e a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois e obter:</p><p>Derivando implicitamente obtemos</p><p>e então</p><p>Mas como  temos  e como  m/s temos que . Finalmente sabendo que a distância entre eles era 200 m podemos determinar o ângulo  a saber:</p><p>implicando que . Portanto</p><p>Exercício 4   Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado pelo eixo-x e as tangentes em P e Q seja equilátero.</p><p>Solução do Problema 4</p><p>Como f(x)=1-x2 e f'(x)=-2x temos que uma das tangentes, a que passa no ponto Q=(x,1-x2) tem equação</p><p>w-1+x2=-2x(v-x).</p><p>Portanto os pontos A e C são obtidos fazendo v=0 e então w=1-x2+2x2=1+x2, isto é A=(0,1+x2) e fazendo w=0 e neste caso</p><p>isto é . A distância entre os dois é portanto:</p><p>e como o triângulo deve ser equilátero devemos ter:</p><p>que resolvendo obtemos  isto é 1+4x2=4 e portanto</p><p>Segue que os pontos são:</p><p>Exercício 5   Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhadada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto localizado 500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos após a mulher ter iniciado a caminhada?</p><p>Solução do Problema 5</p><p>Sejam yh(t) a posição do homem sobre o eixo-y no instante t e (500,ym(t)) a da mulher que se desloca sobre a vertical x=500. Como as velocidades são respectivamente vh=4 e vm=5 tem-se que</p><p>Da figura ve-se que</p><p>d2=[yh(t)-ym(t)]2+5002</p><p>que derivando implicitamente temos</p><p>dd'=[yh-ym](yh'-ym')</p><p>Logo:</p><p>No instante t=15 como  e  tem-se que:</p><p>Exercício 6   Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior volume possível de um tal cilindro. (Mesmo problema quando é um cone de altura h e raio r que circunscreve o cilindro.</p><p>Solução do Problema 6</p><p>Da figura temos: R2=r2+h2 e portanto . Como o volume de um cilindro é dado por  temos:</p><p>Derivando obtemos</p><p>isto é</p><p>2R2-3r2=0</p><p>e portanto</p><p>Portanto o volume máximo é</p><p>Exercício 7   Um barco deixa as docas às 14:00 h e navega para o sul a uma velocidade de 20km/h. Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15km/h e atinge a mesma doca as 15:00 h. A que horas estiveram os dois barcos mais próximos.</p><p>Solução do Problema 7</p><p>Da figura, se denotamos y(t) e x(t) as posições dos barcos cujas velocidades são respectivamente 20km/h e 15 km/h temos que</p><p>como x(3)=0 temos x(3)=45-x0=0 e portanto x0=-45 o que acarreta x(t)=15t-45. Logo a distância entre eles será dada por:</p><p>que derivando obtemos:</p><p>e igualando a zero temos:</p><p>isto é 400(t-2)+225(t-3)=0 ou equivalentemente</p><p>625t=800+675</p><p>cuja solução é:</p><p>Exercício 8   Em uma colmeia, cada célula é um prisma regular hexagonal, aberto em uma extremidade com uma ângulo triedral na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas constroem seus favos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume fixo, usando desde modo a menor quantidade possível de cera. O exame dos favos tem mostrado que a medida do ângulo do ápice  é impressionantemente consistente. Usando geometria pode-se provar que a área da superfície é dada por</p><p>onde s, é o comprimento dos lados do hexágono e h a altura.</p><p>a) Calcule .</p><p>b) Determine o ângulo que as abelhas preferem.</p><p>c) Determine a área superfície mínima escolhida.</p><p>Solução do Problema 8</p><p>Para responder a) derivamos S para obter:</p><p>Para responder b) igualamos o resultado obtido a zero</p><p>donde temos</p><p>isto é  a saber as abelhas preferem o ângulo</p><p>Da trigonometria sabemos que</p><p>e portanto</p><p>Exercício 9   Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola y=x2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 norte da origem na direção leste. Há uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.</p><p>Solução do Problema 9</p><p>Como y=x2 e y'=2x a reta tangente à parábola no ponto (x,x2)será:</p><p>w-x2=2x(v-x).</p><p>Como esta reta deverá conter o ponto onde está a estátua que é (100,50) devemos ter:</p><p>50-x2=2x(100-x)</p><p>isto é</p><p>x2-200x+50=0</p><p>cuja solução que nos interessa é</p><p>e portanto o ponto sobre a estrada no qual os faróis iluminarão diretamente a estátua é</p><p>(0.25, 0.252).</p><p>Figure 2: Carro na estrada</p><p>Exercício 10   Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das figuras?</p><p>Solução do Problema 10</p><p>Vamos assumir que o quadrado tem lado x e que o círculo tem raio r. Então sabemos que  e portanto . A área total é</p><p>Calculando a derivada obtemos:</p><p>e portanto o único ponto crítico ocorre em . Como estamos tratando com uma função quadrática com coeficiente do termo quadrático positivo sabemos que este é um ponto de mínimo. Portanto o corte deverá ser feito a 4x unidades da extremidade esquerda isto é a distância de</p><p>desta extremidade.</p><p>Exercício 11   Um observatório será construido na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo?</p><p>Solução do Problema 11</p><p>Se o cilindro (e portanto a abóboda) tem raio r e altura h, então o volume do observatório será</p><p>Logo</p><p>A área da superfície cilíndrica é  e a da abóboda . Portanto para minimizarmos o custo da obra devemos minimizar a função:</p><p>Derivando e derivando mais uma vez obtemos:</p><p>Segue que o ponto crítico de C ocorre quando  e que neste ponto a derivada segunda é positiva sendo portanto um mínimo. Logo a configuração mais econômica se dá quando</p><p>Problema:</p><p>Para cada uma das funções seguintes, encontre o máximo e o mínimo absoluto no intervalo dado.</p><p>A)</p><p>Para encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função</p><p>nós calculamos a derivada</p><p>e procuramos os zeros da derivada que são:</p><p>x = 2.5.</p><p>Este é o único ponto crítico de f. Considere a seguinte tabela dos valores da f nos pontos críticos e nos pontos extremos do intervalo:</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>-1</p><p>13</p><p>3</p><p>1</p><p>2.5</p><p>0.75</p><p>daí podemos ver que o máximo</p><p>absoluto ocorre em x = -1 e é 13 e o mínimo absoluto ocorre em x = 2.5 e é 0.75 .</p><p>Para encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função</p><p>nós calculamos a derivada</p><p>e procuramos os zeros da derivada que são:</p><p>x = -2.82842..., x=0 e x=2.82842...</p><p>Estes são os únicos pontos críticos de f. Considere a seguinte tabela dos valores da f nos pontos críticos e nos pontos extremos do intervalo [-1,3]:</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>-1</p><p>-13</p><p>3</p><p>-61</p><p>0</p><p>2</p><p>2.82842...</p><p>-62</p><p>daí podemos ver que o máximo absoluto ocorre em x = 0 e é 2 e o mínimo absoluto ocorre em x = 2.82842... e é -62.</p><p>image7.gif</p><p>image8.gif</p><p>image9.gif</p><p>image10.gif</p><p>image11.gif</p><p>image12.gif</p><p>image13.gif</p><p>image14.gif</p><p>image15.gif</p><p>image16.gif</p><p>image17.gif</p><p>image18.gif</p><p>image19.gif</p><p>image20.gif</p><p>image21.gif</p><p>image22.gif</p><p>image23.gif</p><p>image24.gif</p><p>image25.gif</p><p>image26.gif</p><p>image27.gif</p><p>image28.gif</p><p>image29.gif</p><p>image30.gif</p><p>image31.gif</p><p>image32.gif</p><p>image33.gif</p><p>image34.gif</p><p>image35.gif</p><p>image36.gif</p><p>image1.gif</p><p>image37.gif</p><p>image38.gif</p><p>image39.gif</p><p>image40.gif</p><p>image41.gif</p><p>image42.gif</p><p>image43.gif</p><p>image44.gif</p><p>image45.gif</p><p>image46.gif</p><p>image2.gif</p><p>image47.gif</p><p>image48.gif</p><p>image49.gif</p><p>image50.gif</p><p>image51.gif</p><p>image52.gif</p><p>image53.gif</p><p>image54.gif</p><p>image55.gif</p><p>image56.gif</p><p>image3.gif</p><p>image57.gif</p><p>image58.gif</p><p>image59.gif</p><p>image60.gif</p><p>image61.gif</p><p>image62.gif</p><p>image63.gif</p><p>image64.gif</p><p>image65.gif</p><p>image66.gif</p><p>image4.gif</p><p>image67.gif</p><p>image68.gif</p><p>image69.gif</p><p>image70.gif</p><p>image71.gif</p><p>image72.gif</p><p>image73.gif</p><p>image74.gif</p><p>image75.gif</p><p>image76.gif</p><p>image5.gif</p><p>image77.gif</p><p>image78.gif</p><p>image79.gif</p><p>image80.gif</p><p>image81.gif</p><p>image82.gif</p><p>image83.gif</p><p>image84.gif</p><p>image85.gif</p><p>image86.gif</p><p>image6.gif</p><p>image87.gif</p><p>image88.gif</p><p>image89.gif</p><p>image90.gif</p><p>image91.gif</p><p>image92.gif</p><p>image93.gif</p>