Método de Newton - Aula 05

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<p>Raízes de equações</p><p>(Método de Newton)</p><p>Aula 05</p><p>Matemática computacional</p><p>Prof. Felipe Barreto</p><p>Sumário</p><p>1 Aula Anterior</p><p>2 Método de Newton</p><p>3 Revisão</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Aula Anterior</p><p>Aula Anterior</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Aula Anterior</p><p>Aula Anterior</p><p>I Método da Falsa Posição</p><p>I Similar ao Método da Bisseção</p><p>I xk = af(b)�bf(a)</p><p>f(b)�f(a)</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Aula Anterior</p><p>Aula Anterior</p><p>I Método da Falsa Posição</p><p>I Similar ao Método da Bisseção</p><p>I xk = af(b)�bf(a)</p><p>f(b)�f(a)</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton</p><p>I O Método de Newton pode ser derivado utilizando Polinômios de</p><p>Taylor</p><p>I Uma aproximação polinomial para f(x) em torno do ponto xk�1 pode</p><p>ser definida como</p><p>f(x) = f(xk�1) + (x� xk�1)f</p><p>0(xk�1) +R1(x)</p><p>I Desprezando o termo do erro</p><p>f(x) ⇡ f(xk�1) + (x� xk�1)f</p><p>0(xk�1)</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton</p><p>f(x) ⇡ f(xk�1) + (x� xk�1)f</p><p>0(xk�1)</p><p>I Avaliando na raiz r, onde sabe-se que f(r) = 0, então</p><p>f(r) = 0 ⇡ f(xk�1) + (r � xk�1)f</p><p>0(xk�1)</p><p>(r � xk�1)f</p><p>0(xk�1) ⇡ �f(xk�1)</p><p>r � xk�1 ⇡ �</p><p>f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>com f 0(xk�1) 6= 0</p><p>r ⇡ xk�1 �</p><p>f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>I Assim, o Método de Newton pode ser definido como</p><p>xk = xk�1 �</p><p>f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton</p><p>Entrada: f(x), f 0(x), valor inicial x0, precisão ✏ e máximo número de</p><p>iterações</p><p>1 inicio</p><p>2 k � 1;</p><p>3 enquanto critério de parada não é satisfeito faça</p><p>4 xk � xk�1 � f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>;</p><p>5 k � k + 1;</p><p>6 retorna xk</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton – Geometricamente</p><p>I Seja xk�1 uma aproximação para a raiz r de f(x) = 0</p><p>I Traça-se a reta tangente à curva f(x) no ponto (xk�1, f(xk�1))</p><p>I A aproximação xk é o ponto de interseção da reta tangente com o</p><p>eixo x</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton – Geometricamente</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Método de Newton – Geometricamente</p><p>I Ou seja,</p><p>tan(✓) = f 0(xk�1) =</p><p>f(xk�1)</p><p>xk�1 � xk</p><p>f 0(xk�1)(xk�1 � xk) = f(xk�1)</p><p>xk�1 � xk =</p><p>f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>xk � xk�1 = �</p><p>f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>xk = xk�1 �</p><p>f(xk�1)</p><p>f 0(xk�1)</p><p>Cálculo Numérico</p><p>Método de Newton</p><p>Exemplo</p><p>I Exemplo 1</p><p>Determine uma aproximação para a raiz da equação</p><p>f(x) = x� 3</p><p>p</p><p>x� 2 = 0 utilizando o Método de Newton. Adote</p><p>x0 = 3 e |xk � xk�1|</p>