Operações com Números Complexos

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<p>Circuitos III</p><p>Aula 2</p><p>Luiz Carlos do Nascimento</p><p>e-mail: nascimentolc@ufsj.edu.br</p><p>Departamento de Engenharia Elétrica – DEPEL</p><p>Universidade Federal de São João del-Rei - UFSJ</p><p>mailto:nascimentolc@ufsj.edu.br</p><p>Números complexos</p><p> Forma exponencial:</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑧𝑧𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃</p><p> Operador j:</p><p>𝑗𝑗 = −1</p><p>𝑗𝑗2 = −1</p><p>𝑗𝑗3 = 𝑗𝑗2𝑗𝑗 = −𝑗𝑗</p><p>Eixo real</p><p>Eixo imaginário</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>θ</p><p>Números complexos</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑧𝑧𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃</p><p> z = amplitude ou magnitude</p><p> θ = ângulo (graus ou radianos)</p><p> Forma Polar – coordenadas polares</p><p>𝐴𝐴 = 𝑧𝑧∠𝜃𝜃</p><p> Forma retangular– coordenadas retangulares</p><p>𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗</p><p>𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝐴𝐴</p><p>𝑗𝑗 = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝐴𝐴)</p><p>Eixo real</p><p>Eixo imaginário</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>θ</p><p>Números complexos</p><p> Identidade de Euler</p><p> 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 = cos𝜃𝜃 + j sin𝜃𝜃</p><p> Para o número complexo A</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑧𝑧𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 = 𝑧𝑧 cos𝜃𝜃 + jz sin𝜃𝜃</p><p> Da figura:</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗</p><p> ∴</p><p> 𝑥𝑥 = 𝑧𝑧 cos 𝜃𝜃</p><p> 𝑗𝑗 = 𝑧𝑧 sin𝜃𝜃</p><p>Eixo real</p><p>Eixo imaginário</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>θ</p><p> Das equações:</p><p> 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗2 = 𝑧𝑧2 cos2 𝜃𝜃 + 𝑧𝑧2 sin2 𝜃𝜃 = 𝑧𝑧2</p><p> 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗2 ≥ 0</p><p></p><p>𝑧𝑧 sin 𝜃𝜃</p><p>𝑧𝑧 cos 𝜃𝜃</p><p>= tan𝜃𝜃 = 𝑦𝑦</p><p>𝑥𝑥</p><p> 𝜃𝜃 = tan−1 𝑦𝑦</p><p>𝑥𝑥</p><p>Números complexos</p><p>Exponencial Polar Retangular</p><p>𝑧𝑧𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 𝑧𝑧∠𝜃𝜃 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗</p><p>𝜃𝜃 = tan−1</p><p>𝑗𝑗</p><p>𝑥𝑥</p><p>𝜃𝜃 = tan−1</p><p>𝑗𝑗</p><p>𝑥𝑥</p><p>𝑥𝑥 = 𝑧𝑧 cos𝜃𝜃</p><p>𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗2 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗2 𝑗𝑗 = 𝑧𝑧 sin𝜃𝜃</p><p>Eixo real</p><p>Eixo imaginário</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>θ</p><p>Operações com números complexos</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃1 = 𝑧𝑧1∠𝜃𝜃1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1</p><p> 𝐵𝐵 = 𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃2 = 𝑧𝑧2∠𝜃𝜃2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2</p><p> Condição de igualdade:</p><p> 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 e 𝑗𝑗1 = 𝑗𝑗2 ou</p><p> 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 e 𝜃𝜃1 = 𝜃𝜃2 ± 𝑛𝑛 360𝜊𝜊 com n = 1,2,3,4,....</p><p> Conjugado de um número complexo:</p><p> 𝐴𝐴∗</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑧𝑧𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 = 𝑧𝑧∠𝜃𝜃</p><p> 𝐴𝐴∗ = 𝑥𝑥 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑧𝑧𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜃𝜃 = 𝑧𝑧∠ − 𝜃𝜃</p><p>Operações com números complexos</p><p> Adição</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1</p><p> 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2</p><p> 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1 + 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2</p><p> 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥1+𝑥𝑥2) + (𝑗𝑗𝑗𝑗1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2)</p><p>j</p><p>x 1</p><p>y 1</p><p>x 2</p><p>y 2</p><p>x 1 + x 2</p><p>y 1 + y 2</p><p>A</p><p>B</p><p>Operações com números complexos</p><p> Subtração</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1</p><p> 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2</p><p> 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥1+𝑗𝑗𝑗𝑗1) − (𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2)</p><p> 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥1−𝑥𝑥2) + 𝑗𝑗(𝑗𝑗1 − 𝑗𝑗2)</p><p>j</p><p>A</p><p>B</p><p>- B</p><p>Operações com números complexos</p><p> Multiplicação:</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃1 = 𝑧𝑧1∠𝜃𝜃1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1</p><p> 𝐵𝐵 = 𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃2 = 𝑧𝑧2∠𝜃𝜃2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2</p><p> 𝐴𝐴𝐵𝐵 = (𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃1)(𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃2) = 𝑧𝑧1𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑗𝑗(𝜃𝜃1+𝜃𝜃2)</p><p> 𝐴𝐴𝐵𝐵 = (𝑧𝑧1∠𝜃𝜃1) 𝑧𝑧2∠𝜃𝜃2 = 𝑧𝑧1𝑧𝑧2∠(𝜃𝜃1+𝜃𝜃2)</p><p> 𝐴𝐴𝐵𝐵 = (𝑥𝑥1+𝑗𝑗𝑗𝑗1)(𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2)</p><p> = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑥𝑥1𝑗𝑗2 + 𝑗𝑗𝑥𝑥2𝑗𝑗1 + 𝑗𝑗2𝑗𝑗1𝑗𝑗2</p><p> = (𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 𝑗𝑗1𝑗𝑗2) + 𝑗𝑗(𝑥𝑥1𝑗𝑗2+𝑥𝑥2𝑗𝑗1)</p><p>Operações com números complexos</p><p> Multiplicação:</p><p> 𝐴𝐴𝐴𝐴∗</p><p> 𝐴𝐴𝐴𝐴∗ = (𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃1) 𝑧𝑧1𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜃𝜃1 = 𝑧𝑧12𝑒𝑒𝑗𝑗0 = 𝑧𝑧12∠0 = 𝑧𝑧12</p><p> O produto de um número complexo e seu conjugado é um</p><p>número real;</p><p>Operações com números complexos</p><p> Divisão:</p><p> 𝐴𝐴 = 𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃1 = 𝑧𝑧1∠𝜃𝜃1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1</p><p> 𝐵𝐵 = 𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃2 = 𝑧𝑧2∠𝜃𝜃2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2</p><p></p><p>𝐴𝐴</p><p>𝐵𝐵</p><p>= 𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃1</p><p>𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃2</p><p>= 𝑧𝑧1</p><p>𝑧𝑧2</p><p>𝑒𝑒𝑗𝑗(𝜃𝜃1−𝜃𝜃2)</p><p></p><p>𝐴𝐴</p><p>𝐵𝐵</p><p>= 𝑧𝑧1∠𝜃𝜃1</p><p>𝑧𝑧2∠𝜃𝜃2</p><p>= 𝑧𝑧1</p><p>𝑧𝑧2</p><p>∠(𝜃𝜃1−𝜃𝜃2)</p><p>Operações com números complexos</p><p> Divisão:</p><p></p><p>𝐴𝐴</p><p>𝐵𝐵</p><p>= 𝑥𝑥1+𝑗𝑗𝑦𝑦1</p><p>𝑥𝑥2+𝑗𝑗𝑦𝑦2</p><p> Racionalizar o denominador, multiplicando-se por B*</p><p></p><p>𝐴𝐴𝐵𝐵∗</p><p>𝐵𝐵𝐵𝐵∗</p><p>= (𝑥𝑥1+𝑗𝑗𝑦𝑦1)(𝑥𝑥2−𝑗𝑗𝑦𝑦2)</p><p>(𝑥𝑥2+𝑗𝑗𝑦𝑦2)(𝑥𝑥2−𝑗𝑗𝑦𝑦2)</p><p> = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2+𝑦𝑦1𝑦𝑦2</p><p>𝑥𝑥22+𝑦𝑦22</p><p>+ 𝑗𝑗 𝑥𝑥2𝑦𝑦1−𝑥𝑥1𝑦𝑦2</p><p>𝑥𝑥22+𝑦𝑦22</p><p> Exercícios seção 14.9 e 14.10 Boylestad</p><p>- 10 edição</p><p>Circuitos III�Aula 2</p><p>Números complexos</p><p>Números complexos</p><p>Números complexos</p><p>Números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Operações com números complexos</p><p>Número do slide 13</p>