Operadores Adjuntos e Autoadjuntos

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<p>Faculdade de Ciências</p><p>Departamento de Matemática e Informática</p><p>Análise Funcional</p><p>4. Operadores adjuntos e autoadjuntos</p><p>(resolução de alguns exercícios e demonstração de algumas proposições)</p><p>Primeiro, apresentemos o Teorema 4.1 sem lapso na expressão (1) e com o conteúdo mais</p><p>exacto e mais preciso do que no manual.</p><p>Sejam X, Y espaços normados sobre o corpo P, e seja A ∈ L(X, Y ).</p><p>Teorema 4.1. 1) O operador adjunto A∗ do operador A existe e é único. Mais ainda A∗</p><p>é linear e contínuo, isto é, A∗ ∈ L(Y ∗, X∗), e satisfaz as condições ‖A∗‖ = ‖A‖ e</p><p>〈Ax, g〉 = 〈x,A∗g〉 (∀x ∈ X, ∀g ∈ Y ∗). (1)</p><p>2) Existe e é único operador B : Y ∗ → X∗ satisfazendo a condição</p><p>〈Ax, g〉 = 〈x,Bg〉 (∀x ∈ X, ∀g ∈ Y ∗),</p><p>e este operador B coincide com A∗.</p><p>Em seguida, apresentemos a De�nição 4.2 na forma mais conveniente do que no manual.</p><p>De�nição 4.2. Se os quatro espaços X, X∗, Y e Y ∗ são linearmente isométricas entre si</p><p>(como foi combinado no Capítulo 3, escrevemos neste caso X = X∗ = Y = Y ∗), e A∗ = A,</p><p>isto é,</p><p>〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, (∀x, y ∈ X),</p><p>então A chama-se operador autoadjunto.</p><p>Nota 1. A forma da de�nição no manual também é correcta, no entanto se X = X∗ 6= Y ,</p><p>então exactamente A 6= A∗, porque os operadores actuam nos espaços que não são linearmente</p><p>isométricos: A ∈ L(X, Y ) e A∗ ∈ L(Y ∗, X), sendo L(X, Y ) 6= L(Y ∗, X). Então é conveniente,</p><p>aplicar a noção do operador autoandjunto, segundo de�nição. só para o caso X = X∗ = Y =</p><p>Y ∗.</p><p>Exercício 2. Ache B-espaços U , V (com precisão à isometria linear) para os quais A∗ ∈</p><p>L(U, V ), quando:</p><p>1) A ∈ L(`1.5, `1,25), 4) A ∈ L(L2[1, 2], C[0, 3]).</p><p>Resolução: 1) A ∈ L(`1.5, `1.25), então pelo Teorema 1.4 A∗ ∈ L(`∗1.25, `</p><p>∗</p><p>1,5). Pelo Teorema</p><p>3.13 U = `∗1.25 = `q onde q é um número conjugado ao p = 1.25. Temos</p><p>1</p><p>1.25</p><p>+</p><p>1</p><p>q</p><p>= 1 ⇒ 1</p><p>q</p><p>= 1− 4</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>5</p><p>⇒ q = 5 ⇒ Y = `5.</p><p>Analogamente, V = `∗1.5 = `q1 onde q1 é um número conjugado ao p1 = 1.5. Temos</p><p>1</p><p>1.5</p><p>+</p><p>1</p><p>q1</p><p>= 1 ⇒ 1</p><p>q1</p><p>= 1− 2</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>⇒ q1 = 3 ⇒ V = `3.</p><p>Resposta. U = `5 e V = `3.</p><p>4) A ∈ L(L2[1, 2], C[0, 3]), então pelo Teorema 1.4 A∗ ∈ L((C[0, 3])∗, (L2[1, 2])∗). Pelo</p><p>Teorema 3.15 U = (C[0, 3])∗ = V0[0, 3] (V0[0, 2] é um espaço de funções de variação limitada</p><p>satisfazendo algumas condições, de�nido na Secção 3.2). Pelo Teorema 3.14, U = (L2[1, 2])∗ =</p><p>Lq[1, 2] onde q é um número conjugado ao p = 2. É evidente que q = 2. Então, V = L2[1, 2].</p><p>1</p><p>Resposta. U = V0[0, 3] e V = L2[1, 2].</p><p>Nota 2. O exercício 1d) não pode ser usadonas provas porque usa a matéria opcional.</p><p>Exercício 8. Ache o adjunto (indique os espaços, em quais ele actua e matriz) do operador</p><p>de�nido por matriz. Quais dos operadores são autoadjuntos em Rn?</p><p>1)</p><p>(</p><p>0 1</p><p>−1 0</p><p>)</p><p>, 3)</p><p>(</p><p>−1 −1</p><p>)></p><p>.</p><p>Resolução: 1) O operador A é representável na forma Ax = Ax onde a matriz A é de�nida</p><p>por</p><p>A =</p><p>(</p><p>0 1</p><p>−1 0</p><p>)</p><p>Como A é matriz da dimensão 2 × 2, temos A ∈ L(R2). Pelo Teorema 4.2, A∗ ∈ L(R2)</p><p>(atendendo que R2 = R2</p><p>2 tal que p = q = 2) e de�na-se por A∗x = Bx onde</p><p>B = A> =</p><p>(</p><p>0 1</p><p>−1 0</p><p>)></p><p>=</p><p>(</p><p>0 −1</p><p>1 0</p><p>)</p><p>.</p><p>Como A∗ 6= A (o que é equivalente, a matriz A não é simétrica) o operador A não é autoad-</p><p>junto.</p><p>3) O operador A é representável na forma Ax = Ax onde a matriz A é de�nida por</p><p>A =</p><p>(</p><p>−1 −1</p><p>)></p><p>=</p><p>(</p><p>−1</p><p>−1</p><p>)</p><p>.</p><p>Como A é matriz da dimensão 2× 1, temos A ∈ L(R,R2). Pelo Teorema 4.2, A∗ ∈ L(R2,R)</p><p>e de�na-se por A∗x = Bx onde</p><p>B = A> =</p><p>((</p><p>−1 −1</p><p>)>)></p><p>=</p><p>(</p><p>−1 −1</p><p>)</p><p>.</p><p>Como A ∈ L(R,R2) onde R 6= R2 o conceito do operador autoadjunto para A não é aplicável,</p><p>então concluímos que o operador A não é autoadjunto.</p><p>Exercício 9. Ache o adjunto do operador A ∈ L(`2) dado. Será A autoadjunto?</p><p>3) Ax = (x1, x3, x5, x7, . . .).</p><p>Resolução: 10 método (com o uso do Teorema 4.3). Neste método que usa o cálculo</p><p>matricial preferimos usar a notação mais precisa Ax = (x1, x3, x5, x7, . . .)</p><p>> (elementos de `2</p><p>como vector-colunas in�nitas). O operador A é representável na forma Ax = Ax onde a</p><p>matriz A com número in�nito das linhas e colunas é de�nida por</p><p>A =</p><p></p><p>1 0 0 0 0 . . .</p><p>0 0 1 0 0 . . .</p><p>0 0 0 0 1 . . .</p><p>. . . . . . . . .</p><p> .</p><p>Notemos que a matriz A pode ser encontrada usando a fórmula do produto de uma matriz</p><p>por um vector, que no caso da matriz in�nita é análoga ao caso das matrizes �nitas:</p><p>Ax =</p><p></p><p>1 0 0 0 0 . . .</p><p>0 0 1 0 0 . . .</p><p>0 0 0 0 1 . . .</p><p>. . . . . . . . .</p><p></p><p></p><p>x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>...</p><p> =</p><p></p><p>x1</p><p>x3</p><p>x5</p><p>...</p><p> .</p><p>2</p><p>Pelo Teorema 4.3, o operador A∗L(`2) de�ne-se por A∗x = A>x, tal que</p><p>A∗x=</p><p></p><p>1 0 0 0 0 . . .</p><p>0 0 1 0 0 . . .</p><p>0 0 0 0 1 . . .</p><p>. . . . . . . . .</p><p></p><p>></p><p></p><p>x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>...</p><p>=</p><p></p><p>1 0 0 0 . . .</p><p>0 0 0 0 . . .</p><p>0 1 0 0 . . .</p><p>0 0 0 0 . . .</p><p>0 0 1 0 . . .</p><p>0 0 0 0 . . .</p><p>. . . . . . . . .</p><p></p><p></p><p>x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>x4</p><p>x5</p><p>x6</p><p>...</p><p></p><p>=</p><p></p><p>x1</p><p>0</p><p>x2</p><p>0</p><p>x3</p><p>0</p><p>...</p><p></p><p>,</p><p>ou seja A∗x = (x1, 0, x2, 0, x3, 0, x4, 0, . . .). Como A∗ 6= A (o que é equivalente, a matriz A</p><p>não é simétrica) o operador A não é autoadjunto.</p><p>20 método (com o uso do Teorema 4.1). Pelo Teorema 4.1, mais exactamente, da fórmula</p><p>〈Ax, g〉 = 〈x,A∗g〉. Quaisquer que sejam x = (x1, x2, . . .) ∈ `2 e g = (g1, g2, . . .) ∈ `2 temos,</p><p>atendendo que 〈x, g〉 =</p><p>∑∞</p><p>n=1 xngn (pelo Teorema 3.13):</p><p>〈Ax, g〉 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(Ax)ngn = x1g1 + x3g2 + x5g3 + . . . =</p><p>x1g1 + x2 · 0 + x3g2 + x4 · 0 + x3g3 + x6 · 0 + . . . =</p><p>x1(A</p><p>∗g)1 + x2(A</p><p>∗g)2 + . . . =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>xn(A∗g)n = 〈x,A∗g〉,</p><p>tal que</p><p>A∗g = ((A∗g)1, (A</p><p>∗g)2, . . .) = (g1, 0, g2, 0, g3, 0, . . .).</p><p>Sendo assim, o operador A∗ ∈ L(`2) de�ne-se por A∗x = (x1, 0, x2, 0, x3, 0, x4, 0, . . .). Como</p><p>A∗ 6= A o operador A não é autoadjunto.</p><p>Agora apresentemos a Subsecção 4.2.3 do manual básico fazendo o melhoramento do texto,</p><p>das notações e notações e corrigindo algumas gralhas.</p><p>3. Sejam (T,Σ, µ) e (S,Λ, ν) espaços de medida completos e σ-�nitos. Fixemos p1, p2 ∈</p><p>(1,∞) e designemos por q1, q2 os números conjugados a p1, p2, tais que</p><p>1</p><p>p1</p><p>+</p><p>1</p><p>q1</p><p>= 1,</p><p>1</p><p>p2</p><p>+</p><p>1</p><p>q2</p><p>= 1.</p><p>Suponhamos que a função k : T × S → P satisfaz a condição</p><p>‖k‖q1,p2 =</p><p>(∫</p><p>T</p><p>(∫</p><p>S</p><p>|k(t, s)|q1 dν</p><p>) p2</p><p>q1</p><p>dµ</p><p>) 1</p><p>p2</p><p>ν) e p1 = p2 = q1 = q2 = 2.</p><p>Sejam (T 2, T , λ) o produto de Lebesgue de duas copias de (T,Σ, µ) e k ∈ L2(T</p><p>2), isto é,∫</p><p>T 2</p><p>|k(t, s)|2dλ</p>