Análise Funcional: Operadores Adjuntos

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<p>Faculdade de Ciências</p><p>Departamento de Matemática e Informática</p><p>Análise Funcional. Capítulo 4. Operadores adjuntos e autoadjuntos</p><p>Adjunto de operador integral coso do conjunto de integração variável.</p><p>Este texto de apoio é dedicado a um problema prática especí�ca: o encontro do adjunto</p><p>de um operador linear integral caso do conjunto de integração variável. Usa-se a técnica de</p><p>uso das secções horizontais e verticais de um conjunto que pertence a um produto cartesiano,</p><p>que parcialmente semelhante à parte do cálculo do integral de Lebesgue através do Teorema</p><p>de Fubini e à parte do cálculo do integral duplo de Riemann através de integrais reiteradas.</p><p>1. Disposições gerais sobre secções de um conjunto no produto cartesiano</p><p>Seja T um conjunto não vazio, e A um subconjunto</p><p>de T × T (pode ser considerado como relação de</p><p>T para T ). Ao conjunto A são associadas duas</p><p>funções multívocas A,A−1 : T → 2T (2T = P(T ) é</p><p>a família de todos os subconjuntos de T ) de�nidas</p><p>por</p><p>A(s) = {t ∈ T : (s, t) ∈ A}, s ∈ T,</p><p>A−1(t) = {s ∈ T : (s, t) ∈ A}, s ∈ T.</p><p>tal que para s �xo A(s) é subconjunto de T que</p><p>é a secção "vertical" passada pelo ponto s e para</p><p>s �xo A−1(t) é subconjunto de T que é a secção</p><p>"horizontal" passada pelo ponto t. (veja a �gura</p><p>esquerda).</p><p>Por outro lado, cada uma das funções multívocas A(s) e A−1(t) de�ne unicamente o</p><p>conjunto A ⊂ T × T :</p><p>A = {(s, t) ∈ T × T : t ∈ A(s)}, A = {(s, t) ∈ T × T : s ∈ A−1(t)}.</p><p>Considere agora a função p : T × T → {0, 1} de�nida por p(s, t) = χA(s, t). A função p</p><p>pode ser representada de 3 maneiras diferentes:</p><p>p(s, t) = χA(s, t) = χA(t)(s) = χA−1(s)(t), (1)</p><p>ou seja usando a de�nição da função característica, ∀(s, t) ∈ T 2</p><p>p(s, t) =</p><p>{</p><p>1 se (s, t) ∈ A</p><p>0 caso contrário</p><p>=</p><p>{</p><p>1 se t ∈ A(s)</p><p>0 caso contrário</p><p>=</p><p>{</p><p>1 se s ∈ A−1(t)</p><p>0 caso contrário</p><p>.</p><p>Exemplo 1. Se T = [0, 1],</p><p>A =</p><p>{</p><p>(s, t) ∈ [0, 1]2 : 0 ≤ t ≤</p><p>√</p><p>s</p><p>}</p><p>,</p><p>então A(s) = [0,</p><p>√</p><p>s], A−1(t) = [t2, 1] e</p><p>χA(s, t) = χ[0,</p><p>√</p><p>s](t) = χ[t2,1](s)</p><p>Notemos na construção usa-se o facto que a fun-</p><p>ção f : [0, 1] → [0, 1] de�nida por f(s) =</p><p>√</p><p>s</p><p>tem a inversa f−1(t) = t2 para encontro de que</p><p>se usa o método padrão de Análise Matemática</p><p>f(s) =</p><p>√</p><p>s⇒ t =</p><p>√</p><p>s⇒ s = t2 ⇒ f−1(t) = t2.</p><p>1</p><p>2. Disposições gerais sobre adjunto de um operador integral com conjunto variável</p><p>Seja (T,Σ, µ) o espaço com medida completa e σ-�nita e (T,Λ, λ) é o produto de Lebesgue</p><p>de (T,Σ, µ) por (T,Σ, µ) (veja TMIL, Secção 3.9). Seja A(·) : T → 2T é tal que o conjunto</p><p>A = {(t, s) ∈ T 2 : s ∈ A(t)} é mensurável, quer dizer, A ∈ Λ, e seja a ∈ L2(T</p><p>2). Considere o</p><p>operador integral</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫</p><p>A(t)</p><p>a(t, s)x(s) ds em q.t.p. t ∈ T.</p><p>De�nindo a função k : T × T → R por</p><p>k(t, s) = χA(t)a(t, s),</p><p>representemos o operador K na forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫</p><p>T</p><p>k(t, s)x(s) ds em q.t.p. t ∈ T.</p><p>Das condições a ∈ L2(T</p><p>2) e |k(t, s)| = |χA(t, s)a(t, s)| ≤ |a(t, s)| seque que k ∈ L2(T</p><p>2) Pelo</p><p>Corolário 3.4, K ∈ L(L2(T )) e o operador adjunto de K de�ne-se por</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫</p><p>T</p><p>k∗(t, s)x(s) ds em q.t.p. t ∈ T.</p><p>onde k∗(t, s) = k(s, t). Segundo (1)</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χA(s)(t)a(s, t) = χA(s, t)a(s, t) = χA−1(t)(s)a(s, t). (2)</p><p>Deste modo, o operador adjunto K∗ tem a forma</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫</p><p>A−1(t)</p><p>a(s, t)x(s) ds em q.t.p. t ∈ T.</p><p>É visto que a parte principal do encontro do operador adjunto K∗ consiste em: a partir de</p><p>uma função múltivoca A(t) das secções "verticais" encontrar ao conjunto A ⊂ T × T do</p><p>"plano" Ost e depois função multívoca A−1(t) das secções "horizontais" de A. Isto é, de</p><p>modo simbólico, realizar o cálculo pelo esquema:</p><p>A(s), s ∈ T 7−→ A = {(s, t) ∈ T 2 : t ∈ A(s)} 7−→ A−1(t) = {s ∈ T : (s, t) ∈ A}, t ∈ T (3)</p><p>Caso T ⊂ R a esse esquema ser realizada por meio de construções no plano Ost, e caso</p><p>A(s) = [f(s), g(s)] pode conter como a sua parte o encontro das funções inversas de f e g em</p><p>T ou partes de T .</p><p>3. Exemplos de cálculo do ajunto de operador integral com limites variáveis</p><p>Exemplo 2. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[0, 1]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ √t</p><p>0</p><p>cos(ts2)x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador integral de Fredholm da forma (Kx)(t) =∫ 1</p><p>0</p><p>k(t, s)x(s) ds com o núcleo k(t, s) = χ[0,</p><p>√</p><p>t](s) cos(ts2). Pelo Corolário 4.3, o adjunto K∗</p><p>é também é o operador integral de Fredholm com o núcleo k∗(t, s) = k(s.t). Realizando o</p><p>esquema (2)-(3) por meio da �gura (veja também o Exemplo 1 e a �gura correspondente)</p><p>temos que</p><p>k∗(t, s) = χ[0,</p><p>√</p><p>s](t) cos(t2s) = χ[t2,1](s) cos(t2s). (4)</p><p>2</p><p>Pode ser usada a explicação mais precisa da última igualdade (que é feita na maioria das</p><p>correcções de testes):</p><p>χ[0,</p><p>√</p><p>s](t) =</p><p>{</p><p>1 se 0 ≤ t ≤</p><p>√</p><p>s</p><p>0 caso contrário</p><p>=</p><p>{</p><p>1 se t2 ≤ s ≤ 1</p><p>0 caso contrário</p><p>= χ[t2,1](s).</p><p>As desigualdades 0 ≤ t ≤</p><p>√</p><p>s para secções "verticais" A(s) de A e t2 ≤ s ≤ 1 para sec-</p><p>ções "horizontais" são encontrados por meio da �gura. Em princípio, tendo a �gura, a essa</p><p>explicação precisa analítica da igualdade (4) é opcional.</p><p>Notemos que a fórmula (4) permite encontrar a forma �nal do operador K∗ que é seme-</p><p>lhante à forma de K:</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>k∗(t, s)x(s) ds =</p><p>∫ 1</p><p>t2</p><p>cos(t2s)x(s) ds.</p><p>No exemplos seguintes sempre vamos considerar a(t, s) = 1, para não desconcentrar ao</p><p>leitor do encontro de A−1(t), pois a presença de a(t, s) não di�culta o encontro do operador</p><p>adjunto.</p><p>Exemplo 3. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[0, 4]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 4</p><p>( t2−2)</p><p>2</p><p>x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador inte-</p><p>gral de Fredholm da forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 4</p><p>0</p><p>k(t, s)x(s) ds</p><p>com o núcleo k(t, s) = χ[</p><p>( t2−2)</p><p>2</p><p>,4</p><p>](s).</p><p>Realizando o cálculo (2)-(3) por meio da �-</p><p>gura onde A(s) =</p><p>[(</p><p>s</p><p>2</p><p>− 2</p><p>)2</p><p>, 4</p><p>]</p><p>e A−1(t) =[</p><p>4− 2</p><p>√</p><p>t, 4</p><p>]</p><p>, temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[</p><p>( s2−2)</p><p>2</p><p>,4</p><p>](t) = χ[4−2</p><p>√</p><p>t,4](s)</p><p>Notemos que o cálculo contém como sua parte o encontro da função inversa de t =</p><p>(</p><p>s</p><p>2</p><p>− 2</p><p>)2</p><p>em [0, 4]:</p><p>t =</p><p>(s</p><p>2</p><p>− 2</p><p>)2</p><p>⇒</p><p>√</p><p>t =</p><p>∣∣∣s</p><p>2</p><p>− 2</p><p>∣∣∣ = 2− s</p><p>2</p><p>⇒ s = 4− 2</p><p>√</p><p>t</p><p>Finalmente, temos</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫ 4</p><p>0</p><p>k∗(t, s)x(s) ds ⇒ (K∗x)(t) =</p><p>∫ 4</p><p>4−2</p><p>√</p><p>t</p><p>x(s) ds.</p><p>Exemplo 4. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[−3, 1]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>t</p><p>x(s) ds.</p><p>3</p><p>Resolução: O operador K é um operador</p><p>integral de Fredholm da forma (Kx)(t) =∫ 1</p><p>−3 k(t, s)x(s) ds com o núcleo k(t, s) = χ[t,1](s).</p><p>Realizando o cálculo (2)-(3) por meio da �gura</p><p>onde A(s) = [s, 1] e A−1(t) = [−3, t], temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[s,1](t) = χ[−3,t](s)</p><p>Finalmente, temos</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫ t</p><p>−3</p><p>x(s) ds.</p><p>Exemplo 5. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[−1, 0]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ −t2</p><p>et−1</p><p>1−e−1</p><p>x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador inte-</p><p>gral de Fredholm da forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 0</p><p>−1</p><p>k(t, s)x(s) ds</p><p>com o núcleo k(t, s) = χ[</p><p>et−1</p><p>1−e−1 ,−t2</p><p>](s).</p><p>Realizando o cálculo (2)-(3) por meio da �gura</p><p>onde onde</p><p>A(s) =</p><p>[</p><p>es − 1</p><p>1− e−1</p><p>,−s2</p><p>]</p><p>,</p><p>A−1(t) =</p><p>[</p><p>−</p><p>√</p><p>−t, ln</p><p>(</p><p>1 + (1− e−1)t</p><p>)]</p><p>,</p><p>temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[</p><p>es−1</p><p>1−e−1 ,−s2</p><p>](t) = χ[−</p><p>√</p><p>−t,ln(1+(1−e−1)t)](s)</p><p>Notemos que o cálculo contém como sua parte o encontro da função inversa de t = es−1</p><p>1−e−1</p><p>e t = −s2 em [−1, 0]:</p><p>t =</p><p>es − 1</p><p>1− e−1</p><p>⇒ es = 1 + (1− e−1)t ⇒ s = ln</p><p>(</p><p>1 + (1− e−1)t</p><p>)</p><p>,</p><p>t = −s2 ⇒</p><p>√</p><p>−t = |s| = −s ⇒ s = −</p><p>√</p><p>−t.</p><p>Finalmente, temos</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫ 0</p><p>−1</p><p>k∗(t, s)x(s) ds ⇒ (K∗x)(t) =</p><p>∫ ln(1+(1−e−1)t)</p><p>−</p><p>√</p><p>−t</p><p>x(s) ds.</p><p>No exemplos anteriores foi considerada a situação, quando caso T = [a, b] o conjunto de</p><p>integração tem a forma de um dos s [a, f(t)], [f(t), b], [f(t), g(t)] onde f, g : [a, b] → [a, b]</p><p>são bijectivas e monótonas, sendo para último intervalo f(t) ≤ g(t) (t ∈ [a, b]). No entanto,</p><p>as funções f e g podem ser não bijectivas ou não monótonas. A universalidade do método</p><p>4</p><p>descrito consiste em possibilidade de encontrar o operador adjunto também nestas situações.</p><p>Consideremos quatro exemplos correspondentes.</p><p>Exemplo 6. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[0, 1]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ t/2</p><p>0</p><p>x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador inte-</p><p>gral de Fredholm da forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>k(t, s)x(s) ds</p><p>com o núcleo k(t, s) = χ[0,t/2](s). Temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[0,s/2](t).</p><p>Realizamos o cálculo (2)-(3) por meio da �gura</p><p>onde A(s) = [0, s/2]. Notemos que neste caso</p><p>A−1(t) =</p><p>{</p><p>[2t, 1] se t ∈</p><p>[</p><p>0, 1</p><p>2</p><p>]</p><p>∅ se t ∈</p><p>]</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1</p><p>]</p><p>tal que</p><p>k∗(t, s) = χA−1(t)(s) =</p><p>{</p><p>χ[2t,1](s) se t ∈</p><p>[</p><p>0, 1</p><p>2</p><p>]</p><p>0 se t ∈</p><p>]</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1</p><p>]</p><p>Finalmente, temos</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>{ ∫ 1</p><p>2t</p><p>x(s)ds se t ∈</p><p>[</p><p>0, 1</p><p>2</p><p>]</p><p>0 se t ∈</p><p>]</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1</p><p>] ⇒ (K∗x)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>max{2t,1}</p><p>x(s) ds.</p><p>Exemplo 7. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[0, 2]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 1+cos πt</p><p>4</p><p>0</p><p>x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador inte-</p><p>gral de Fredholm da forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 2</p><p>0</p><p>k(t, s)x(s) ds</p><p>com o núcleo k(t, s) = χ[0,1+cos πt</p><p>4 ](s). Temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[0,cos πs4 ](t).</p><p>Realizamos o cálculo (2)-(3) por meio da �gura</p><p>onde A(s) =</p><p>[</p><p>0, 1 + cos πs</p><p>4</p><p>]</p><p>.</p><p>Notemos que neste caso</p><p>A−1(t) =</p><p>{</p><p>[0, 2] se t ∈ [0, 1][</p><p>0, 4</p><p>π</p><p>arccos(t− 1)</p><p>]</p><p>se t ∈ ]1, 2]</p><p>=</p><p>[</p><p>0,</p><p>4</p><p>π</p><p>arccos(max{t, 1} − 1)</p><p>]</p><p>5</p><p>tal que</p><p>k∗(t, s) = χ[0, 4π arccos(max{t,1}−1)](s)</p><p>Notemos que o cálculo contém como sua parte o encontro da função inversa de t = 1 + cos πs</p><p>4</p><p>em [1, 2]:</p><p>t = 1 + cos</p><p>πs</p><p>4</p><p>⇒ arccos(t− 1) =</p><p>πs</p><p>4</p><p>⇒ s =</p><p>4</p><p>π</p><p>arccos(t− 1).</p><p>Finalmente, temos</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫ 4</p><p>π</p><p>arccos(max{t,1}−1)</p><p>0</p><p>x(s) ds.</p><p>Exemplo 8. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[0, 2]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>2(t−1)2</p><p>x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador inte-</p><p>gral de Fredholm da forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 2</p><p>0</p><p>k(t, s)x(s) ds</p><p>com o núcleo k(t, s) = χ[2(t−1)2,1](s). Temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[2(s−1)2,1](t).</p><p>Realizando o cálculo (2)-(3) por meio da �gura</p><p>onde onde A(s) = [2(t− 1)2, 1] ,</p><p>A−1(t) =</p><p>[</p><p>1−</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>, 1 +</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>]</p><p>,</p><p>temos</p><p>k∗(t, s) = χ[</p><p>1−</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>,1+</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>](t).</p><p>Notemos que a função t = 2(t − 1)2 não é inversível no intervalo [0, 2] mas tem inversas</p><p>em cada um dos intervalos [0, 1] e [1, 2]:</p><p>s ∈ [0, 1] : t = 2(s− 1)2 ⇒</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>= |s− 1| = 1− s ⇒ s = 1−</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>,</p><p>s ∈ [1, 2] : t = 2(s− 1)2 ⇒</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>= |s− 1| = s− 1 ⇒ s = 1 +</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>Finalmente, temos</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫ 1+</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>1−</p><p>√</p><p>t</p><p>2</p><p>x(s) ds.</p><p>6</p><p>Exemplo 9. Encontre o adjunto do operador integral K ∈ L(L2[0, 5]) de�nido por</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ |t−2|+1</p><p>0</p><p>x(s) ds.</p><p>Resolução: O operador K é um operador inte-</p><p>gral de Fredholm da forma</p><p>(Kx)(t) =</p><p>∫ 5</p><p>0</p><p>k(t, s)x(s) ds</p><p>com o núcleo k(t, s) = χ[0,|t−2|+1](s). Temos</p><p>k∗(t, s) = k(s, t) = χ[0,|s−2|+1](t).</p><p>Realizamos o cálculo (2)-(3) por meio da �gura</p><p>onde A(s) = [0, |s− 2|+ 1].</p><p>Notemos que a função t = |s − 2| + 1 não é</p><p>inversível no intervalo [0, 5] mas tem inversas</p><p>em cada um dos intervalos [0, 2] e [2, 5]:</p><p>s ∈ [0, 2] : t = |s− 2|+ 1 ⇒ t− 1 = |s− 2| = 2− s ⇒ s = 3− t,</p><p>s ∈ [2, 5] : t = |s− 2|+ 1 ⇒ t− 1 = |s− 2| = s− 2 ⇒ s = 1 + t</p><p>Então,</p><p>A−1(t) =</p><p></p><p>[0, 5] se t ∈ [0, 1]</p><p>[0, 3− t] ∪ [1 + t, 5] se t ∈]1, 3]</p><p>[1 + t, 5] se t ∈ ]3, 4]</p><p>∅ se t ∈ ]4, 5]</p><p>tal que k∗(t, s) = χA−1(t)(s). Sendo assim,</p><p>(K∗x)(t) =</p><p></p><p>∫ 5</p><p>0</p><p>x(s)ds se t ∈ [0, 1]∫ 3−t</p><p>0</p><p>x(s)ds+</p><p>∫ 5</p><p>1+t</p><p>x(s)ds se t ∈ ]1, 3]∫ 5</p><p>1+t</p><p>x(s)ds se t ∈ ]3, 4]</p><p>0 se t ∈ ]4, 5]</p><p>É difícil simpli�car a forma do operador K∗. Pode-se propor duas formas �nais:</p><p>(K∗x)(t) =</p><p>∫</p><p>B(t)</p><p>x(s) ds onde B(t) =</p><p></p><p>[0, 5] se t ∈ [0, 1]</p><p>[0, 3− t] ∪ [1 + t, 5] se t ∈]1, 3]</p><p>[1 + t, 5] se t ∈]3, 4]</p><p>∅ se t ∈]4, 5]</p><p>, t ∈ [0, 5]</p><p>ou</p><p>(K∗x)(t) =</p><p></p><p>∫ 5</p><p>0</p><p>x(s) ds se t ∈ [0, 1]∫ min{3−t,0}</p><p>0</p><p>x(s) ds+</p><p>∫ 5</p><p>max{1+t,5}</p><p>x(s) ds se t ∈ ]1, 5]</p><p>Prof. Doutor Yury Nepomnyashchikh</p><p>7</p>