MATERIAL 1 PROBABILIDADE

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<p>Combinatória</p><p>■ A utilização de senhas em</p><p>smartphones é uma forma de</p><p>proteger nossos dados pessoais.</p><p>Ao criarmos uma senha, podemos combinar letras, números</p><p>e símbolos ou apenas um desses tipos de caracteres em quantidades</p><p>e ordens diversas. Dependendo da quantidade de dígitos utilizada, o</p><p>número de possibilidades de senhas diferentes com os mesmos dígitos</p><p>pode ser da ordem dos milhares. E é exatamente sobre contagens muito</p><p>grandes e sobre combinatória que vamos tratar neste Capítulo.</p><p>Quando usamos a internet, principalmente para compras on-line,</p><p>é importante navegarmos por sites seguros e confiáveis, com sistemas</p><p>de segurança e proteção das informações, nos quais os dados inseridos</p><p>são criptografados, ou seja, escritos em códigos para dificultar o acesso</p><p>de terceiros.</p><p>Isso porque, diariamente, inserimos em nossos computadores,</p><p>smartphones ou tablets uma série de dados pessoais, normalmente</p><p>codificados com senhas. As senhas criptografadas são a garantia de</p><p>que nossos dados chegarão ao receptor sem serem interceptadas ou</p><p>reveladas.</p><p>A criptografia é um conjunto de técnicas voltadas para codificar a</p><p>escrita e evitar seu acesso a terceiros. Ela nasceu na época dos antigos</p><p>hebreus, que tinham necessidade de esconder mensagens que só pode-</p><p>riam ser decifradas por quem conhecesse o código secreto, também</p><p>chamado de chave.</p><p>Talvez você já tenha brincado de mensagem secreta ou usado a</p><p>língua do “p”; esses são exemplos clássicos de criptografia.</p><p>Fonte dos dados: SILVA, F. T. da; PAPANI, F. G. Um pouco da história da criptografia. In:</p><p>XXII SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA. Projetos [...].</p><p>Cascavel: Universidade Estadual do Oeste do Paraná, 2008. Disponível em:</p><p>http://projetos.unioeste.br/cursos/cascavel/matematica/xxiisam/artigos/16.</p><p>Acesso em: 27 maio 2020.</p><p>O</p><p>AT</p><p>AW</p><p>A/</p><p>SH</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>78</p><p>3</p><p>C A P Í T U L O</p><p>• Competências gerais da</p><p>BNCC: 1, 3 e 5</p><p>• Competências específi cas</p><p>e habilidades da área</p><p>de Matemática e suas</p><p>Tecnologias:</p><p>• Competência específi ca 3:</p><p>EM13MAT310</p><p>• Competência específi ca 4:</p><p>EM13MAT405</p><p>• Competência específi ca</p><p>da área de Ciências</p><p>da Natureza e suas</p><p>Tecnologias:</p><p>• Competência específi ca 3</p><p>O texto na íntegra das</p><p>competências gerais,</p><p>competências específi cas e</p><p>habilidades da BNCC citadas</p><p>encontra-se ao fi nal do livro.</p><p>> A BNCC NESTE CAPÍTULO:</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 78D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 78 19/09/20 18:1019/09/20 18:10</p><p>NÃO ESCREVA</p><p>NO LIVRO Agora reúna-se a um colega, e façam o que se pede em cada item.</p><p>1. Vocês já tinham ouvido falar de criptografia? Descrevam o que vocês</p><p>entendem por criptografia.</p><p>2. Vocês utilizam senhas no seu dia a dia? Expliquem por que, na sua</p><p>opinião, precisamos criar senhas para acessar alguns sites ou nosso</p><p>telefone celular.</p><p>3. Alan Mathison Turing (1912-1954) foi um matemático britânico que de-</p><p>senvolveu muitos projetos importantes, entre eles a máquina que per-</p><p>mitiu decodificar códigos nazistas durante a Segunda Guerra Mundial.</p><p>Pesquisem a respeito desse matemático e de sua máquina.</p><p>Resposta pessoal. Ver as Orientações para o professor.</p><p>Resposta pessoal. Ver as Orientações para o professor.</p><p>Pesquisa dos estudantes. Ver as Orientações para o professor.</p><p>79</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 79D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 79 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>■ O arroz é um alimento</p><p>muito consumido</p><p>pelos brasileiros e</p><p>é encontrado em</p><p>diferentes tipos.</p><p>N</p><p>EW</p><p>A</p><p>FR</p><p>IC</p><p>A/</p><p>SH</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>Introdução</p><p>Neste Capítulo, vamos estudar situações relacionadas ao cálculo da</p><p>quantidade de combinações possíveis entre elementos dados.</p><p>Por exemplo, os pratos apresentados a seguir foram compostos</p><p>pelos mesmos elementos, modificando apenas o tipo de carne.</p><p>Quantos pratos diferentes será que podemos montar usando as</p><p>opções que foram apresentadas? Com os conceitos de análise combi-</p><p>natória, veremos que, considerando uma opção de salada, uma opção</p><p>de feijão, duas opções de carne e 12 opções de arroz, é possível montar</p><p>24 pratos diferentes.</p><p>KE</p><p>RD</p><p>KA</p><p>N</p><p>N</p><p>O</p><p>/S</p><p>H</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>■ Prato com carne de frango</p><p>na sua composição.</p><p>salada carne de frango feijãoarroz</p><p>D</p><p>IO</p><p>G</p><p>O</p><p>PP</p><p>R/</p><p>SH</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>KE</p><p>RD</p><p>KA</p><p>N</p><p>N</p><p>O</p><p>/S</p><p>H</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>■ Prato com carne bovina</p><p>na sua composição.</p><p>salada carne bovina feijão arroz</p><p>D</p><p>IO</p><p>G</p><p>O</p><p>PP</p><p>R/</p><p>SH</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>Imagine que, além de modificar o tipo de carne, seja possível</p><p>modificar o tipo de arroz, escolhendo um tipo entre as 12 variedades</p><p>apresentadas a seguir.</p><p>80</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 80D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 80 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Podemos entender a análise combinatória como uma estratégia de contagem. Então, você</p><p>poderia pensar: por que não fazer uma lista e simplesmente contar, como eu já sei? A resposta</p><p>é simples: muitas vezes, a quantidade de possibilidades de determinada situação é tão grande</p><p>que realizar essa contagem “manual” é inviável. Veja este exemplo:</p><p>Em 2010, a Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) publicou uma resolução na qual</p><p>estabelecia que, até o fim do ano de 2016, todos os números de telefone celular do Brasil seriam</p><p>acrescidos do dígito 9 à frente dos oito algarismos já existentes. Com isso, só no Rio Grande do</p><p>Sul, o total de números de celular disponíveis subiu de 30 milhões para 100 milhões. Segundo a</p><p>Anatel, a inclusão do nono dígito teve como objetivo aumentar a disponibilidade de números</p><p>na telefonia celular para um crescimento da demanda de novos usuários.</p><p>Fonte dos dados: NÚMEROS de celulares ganham nono dígito no Rio Grande do Sul. G1, 6 nov. 2016. Disponível em</p><p>http://g1.globo.com/rs/rio-grande-do-sul/noticia/2016/11/numeros-de-celulares-ganham-nono-digito-no-rio-grande-do-sul.html.</p><p>Acesso em: 15 jul. 2020.</p><p>Imagine, agora, construirmos uma listagem com todas as combinações possíveis do algarismo 9,</p><p>seguido de outros oito algarismos quaisquer. Parece uma tarefa demorada e bastante exaustiva,</p><p>não é mesmo?</p><p>Princípio multiplicativo</p><p>Margarete trabalha em uma loja de roupas masculinas e ficou responsável por vestir um</p><p>dos manequins da vitrine durante uma semana. A cada dia, ela precisa apresentar o manequim</p><p>vestido com uma combinação diferente de roupas. Sem saber quantas peças seriam necessárias</p><p>para montar as sete combinações, uma para cada dia da semana, ela separou uma calça, uma</p><p>bermuda e quatro camisetas.</p><p>Para verificar se havia separado</p><p>a quantidade de peças suficiente,</p><p>Margarete vestiu o manequim</p><p>quatro vezes com a bermuda e cada</p><p>uma das quatro camisetas, obtendo</p><p>o resultado visto na foto.</p><p>Depois desse experimento,</p><p>Margarete percebeu que ela teria</p><p>mais quatro combinações, pois</p><p>bastava substituir a bermuda pela</p><p>calça em cada uma das combina-</p><p>ções. Assim, ela teria, ao todo, oito</p><p>combinações, suficientes para vestir</p><p>o manequim durante uma semana.</p><p>Para determinar a quantidade de combinações possíveis com as quatro camisetas –</p><p>verde (V), azul (A), preta (P), rosa (R) –, a bermuda (B) e a calça (C), Margarete não precisava</p><p>vestir o manequim; existem recursos para sistematizar o raciocínio, simplificando a contagem</p><p>das possibilidades.</p><p>■ Possibilidades para vestir o manequim utilizando uma bermuda</p><p>e quatro camisetas.</p><p>G</p><p>LA</p><p>M</p><p>O</p><p>U</p><p>R/</p><p>SH</p><p>U</p><p>TT</p><p>ER</p><p>ST</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>81</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 81D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 81 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Podemos representar todas as possibilidades por meio de um dia-</p><p>grama chamado de árvore de possibilidades ou diagrama de árvore</p><p>e, também, por uma tabela de dupla entrada. Observe.</p><p>Calça ou</p><p>bermuda Camisetas Resultados</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>4</p><p>possibilidades</p><p>8</p><p>possibilidades</p><p>B</p><p>V B V</p><p>A B A</p><p>P B P</p><p>R B R</p><p>V C V</p><p>A C A</p><p>P C P</p><p>R C R</p><p>C</p><p>■ Diagrama de árvore.</p><p>Camisetas</p><p>Bermuda</p><p>ou calça</p><p>V A P R</p><p>B BV BA BP BR</p><p>C CV CA CP CR</p><p>Fonte: Dados fictícios.</p><p>■ Tabela</p><p>de dupla entrada.</p><p>Analisando a árvore de possibilidades e a tabela de dupla entrada,</p><p>podemos perceber que há:</p><p>• duas possibilidades para vestir a parte de baixo do manequim;</p><p>• quatro possibilidades para vestir a parte de cima do manequim.</p><p>Desse modo, como para cada uma das duas possibilidades de vestir</p><p>a parte de baixo do manequim temos quatro possibilidades de compor a</p><p>parte de cima, então o número total de maneiras diferentes de vesti-lo</p><p>é 2 ? 4 = 8.</p><p>Acompanhe esta outra situação. Ela se refere a um contexto mate-</p><p>mático, no qual é necessário refletir sobre as possibilidades para a</p><p>escolha de algarismos que vão compor um número.</p><p>Usando apenas os algarismos 2, 3, 7 e 9, sem repeti-los, deseja-se</p><p>saber quantos números naturais existem entre 400 e 999.</p><p>O problema apresenta três importantes restrições:</p><p>• Só é possível utilizar os algarismos 2, 3, 7 e 9.</p><p>• Cada um desses algarismos só pode ser usado uma única vez.</p><p>• Os números formados devem estar entre 400 e 999.</p><p>Partindo da terceira restrição, fica definido que devemos formar</p><p>números de três algarismos, e os algarismos 2 e 3 não podem ocupar a</p><p>ordem das centenas.</p><p>Assim, temos apenas duas possibilidades de algarismos para as</p><p>centenas. Definidas as centenas, passemos à análise das dezenas: para</p><p>essa ordem, qualquer um dos algarismos disponíveis pode ser utilizado,</p><p>exceto aquele que já ocupa a ordem das centenas. Portanto, para essa</p><p>posição, temos três possibilidades.</p><p>• Se Margarete</p><p>dispusesse de três</p><p>bermudas e seis</p><p>camisetas, quantas</p><p>possibilidades para</p><p>vestir o manequim</p><p>ela teria?</p><p>• Se tivéssemos</p><p>começado o</p><p>diagrama de árvore</p><p>pelas camisetas,</p><p>teríamos chegado</p><p>na mesma</p><p>resposta?</p><p>Ver as Orientações</p><p>para o professor.</p><p>PENSE E</p><p>RESPONDA</p><p>Por que os algarismos</p><p>2 e 3 não podem</p><p>figurar como algarismo</p><p>das centenas?</p><p>Porque formariam números menores do que 400.</p><p>PENSE E</p><p>RESPONDA</p><p>Opções de montagem do manequim</p><p>82</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 82D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 82 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Finalmente, para a ordem das unidades, devemos utilizar apenas os algarismos que ainda não</p><p>foram usados. Isso corresponde a dois algarismos.</p><p>Vamos construir um diagrama de possibilidades para nos auxiliar nessa contagem.</p><p>DezenasCentenas Unidades Números formados</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>3</p><p>possibilidades</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>12</p><p>possibilidades</p><p>7</p><p>9</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3 723</p><p>9 729</p><p>3 923</p><p>7 927</p><p>9</p><p>7</p><p>2 732</p><p>9 739</p><p>2 932</p><p>7 937</p><p>2 792</p><p>3 793</p><p>2 972</p><p>3 973</p><p>Analisando a árvore de possibilidades, podemos perceber que como para cada uma das</p><p>duas possibilidades para o algarismo das centenas temos três possibilidades para o algarismo</p><p>das dezenas e, para cada algarismo das dezenas temos duas possibilidades de algarismo para as</p><p>unidades, então a quantidade de números formados pelos algarismos 2, 3, 7 e 9, sem repetição,</p><p>entre 400 e 999 é 2 ? 3 ? 2 = 12.</p><p>A CÉSAR o que é de César. 2012. Vídeo (12min1s). Publicado pelo canal M3 Matemática Multimídia.</p><p>Disponível em: ht tps: //w w w.youtube.com /watch? v=5mPAmnqlPEs& feature=emb_title</p><p>Acesso em: 20 jul. 2020.</p><p>No início deste Capítulo, falamos sobre as senhas e a necessidade de protegê-las no ambiente</p><p>virtual, usando o recurso da criptografia. Esse vídeo apresenta o conceito de criptografia e o código</p><p>de César.</p><p>PARA</p><p>ASSISTIR</p><p>Nos dois exemplos, como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação,</p><p>dizemos que foi aplicado o princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem</p><p>cujo enunciado é o seguinte.</p><p>Se um acontecimento ocorrer em k etapas sucessivas e independentes, de modo que:</p><p>p1 seja o número de possibilidades da 1a etapa ocorrer, e para cada possibilidade da</p><p>1a etapa ocorrer tenha-se</p><p>p2 possibilidades da 2a etapa ocorrer, e para cada possibilidade da 2a etapa ocorrer</p><p>tenha-se</p><p>; ;</p><p>pk possibilidades da k-ésima etapa ocorrer, então o número de possibilidades de o</p><p>acontecimento ocorrer é o produto p1 ? p2 ? ... ∙ pk.</p><p>Neste exemplo dos</p><p>algarismos, podemos</p><p>começar o diagrama</p><p>de árvore pela ordem</p><p>das unidades?</p><p>Argumente.</p><p>Ver as Orientações</p><p>para o professor.</p><p>PENSE E</p><p>RESPONDA</p><p>83</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 83D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 83 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Princípio aditivo</p><p>Muitas vezes, para solucionar problemas envolvendo contagem, precisamos separar esses</p><p>problemas em casos e analisá-los individualmente.</p><p>Para exemplificar essa situação, vamos calcular o total de números pares com três algarismos</p><p>distintos que podemos formar.</p><p>Analisando esse enunciado, podemos extrair algumas restrições:</p><p>• Um número de três algarismos não pode ter o zero como algarismo das centenas.</p><p>• Para termos números pares, precisamos considerar apenas os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8 para</p><p>ocupar a ordem das unidades.</p><p>Vamos, então, dividir esse problema em dois casos:</p><p>1) Quando o algarismo das unidades é 0.</p><p>2) Quando o algarismo das unidades é 2, 4, 6 ou 8.</p><p>Esses dois casos nos ajudam a pensar na primeira restrição. Se o algarismo das unidades</p><p>for 0, não precisamos nos preocupar com a restrição para a centena, já que os algarismos</p><p>precisam ser distintos.</p><p>Por outro lado, se fixarmos 2, 4, 6 ou 8 nas unidades, precisamos garantir que o 0 não ficará</p><p>na centena.</p><p>Estudando o caso 1, temos nove possibilidades para a ordem das centenas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9);</p><p>escolhendo um algarismo, restam oito possibilidades para a ordem das dezenas; para as unidades,</p><p>temos apenas uma possibilidade, pois fixamos o algarismo 0.</p><p>Assim, aplicando o princípio multiplicativo, para o caso 1 temos 9 ? 8 ? 1 = 72 possibilidades.</p><p>No caso 2, não podemos ter, na ordem das centenas, o algarismo 0 nem o algarismo que</p><p>estiver na ordem das unidades, assim, são oito possibilidades para essa posição. Para as dezenas,</p><p>o 0 volta a figurar como opção, mas devemos descartar o algarismo usado na centena e o usado</p><p>na ordem das unidades, assim, oito possibilidades de escolha. Para as unidades, temos apenas</p><p>quatro possibilidades (2, 4, 6 ou 8).</p><p>Aplicando novamente o princípio multiplicativo, para o caso 2 são 8 ? 8 ? 4 = 256 possibilidades.</p><p>Nesse exemplo, foi necessário dividir o problema e estudar dois casos independentes. A solução</p><p>do problema é a soma das possibilidades de cada um dos casos estudados.</p><p>Temos, então, 72 + 256 = 328; 328 números pares de três algarismos distintos.</p><p>Dizemos que foi aplicado o princípio aditivo cujo enunciado é:</p><p>Se um evento X pode ocorrer de x maneiras, e um evento distinto Y</p><p>pode ocorrer de y maneiras, então o evento X ou Y pode ocorrer de x + y</p><p>maneiras diferentes.</p><p>C</p><p>9 possibilidades</p><p>D</p><p>8 possibilidades</p><p>U</p><p>1 possibilidade</p><p>C</p><p>8 possibilidades</p><p>D</p><p>8 possibilidades</p><p>U</p><p>4 possibilidades</p><p>84</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 84D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 84 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Fatorial</p><p>Nos problemas de contagem, é comum calcularmos um produto cujos fatores são números</p><p>naturais consecutivos. Para evitar que o registro dos cálculos seja muito extenso, é possível</p><p>escrever essa multiplicação utilizando o conceito de fatorial.</p><p>Sendo n um número natural, com n > 2, definimos o fatorial de n como o produto dos</p><p>n números naturais consecutivos de 1 a n e indicamos por n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n).</p><p>n! = n ? (n _ 1) ? (n _ 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1</p><p>Define-se, também: 1! = 1 0! = 1</p><p>Por exemplo:</p><p>• 2! = 2 ? 1 = 2</p><p>• 3! = 3 ? 2 ? 1 = 6</p><p>• 4! = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24</p><p>• 5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120</p><p>A partir da definição de fatorial, podemos escrever, para qualquer n, com n [ n e n > 2:</p><p>n! = n ? _ ? _ ? _ ? ? ? ?</p><p>_</p><p>� �������������� ��������������( 1) ( 2) ( 3) ... 3 2 1</p><p>( 1)!</p><p>n n n</p><p>n</p><p>Portanto, n! = n ? (n _ 1)!</p><p>Podemos escrever, por exemplo, 8! = 8 ? 7!, pois:</p><p>8! = 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 8 ? ? ? ? ? ? ?� ������� �������7 6 5 4 3 2 1</p><p>7!</p><p>= 8 ? 7!</p><p>Raymond Queneau</p><p>Raymond Queneau (1903-1976) foi um poeta e escritor francês que fundou, em 1960, com</p><p>mais alguns parceiros escritores e matemáticos,</p><p>uma escola literária chamada Oulipo.</p><p>Nessa época, ele publicou o livro Cem mil bilhões de poemas (em francês, Cent mille</p><p>milliards de poèmes). Esse livro é composto de dez sonetos (poema composto de 14 versos),</p><p>apresentados de uma forma diferente: cada soneto está impresso em uma página, e os versos</p><p>estão recortados horizontalmente. Assim, é possível ler o primeiro verso da página 1, em</p><p>seguida o segundo verso da página 4, o terceiro verso da página 10, e assim por diante. O</p><p>mais admirável é que todas as combinações formam sonetos com rimas e com relação entre</p><p>os versos. Dessa maneira, para cada um dos 14 versos, há dez possibilidades. Assim, existem</p><p>1014 sonetos possíveis. Se alguém quisesse ler todos os poemas formados 24 horas por dia,</p><p>ininterruptamente, levaria 200 milhões de anos! Que tal?</p><p>Fonte dos dados: MENDES, I. Poesia em jogo: a ludificação do poema. Dissertação (Mestrado em Escrita Criativa) -</p><p>Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2016. Disponível em: http://tede2.pucrs.br/tede2/</p><p>bitstream/tede/6611/2/DIS_ISRAEL_MENDES_COMPLETO.pdf. Acesso em: 14 set. 2020.</p><p>Após ler o texto, faça o que se pede a seguir.</p><p>• Reúna-se a dois colegas e debatam sobre a importância da cooperação entre as diversas áreas do</p><p>conhecimento, assim como foi feito no grupo Oulipo.</p><p>NÃO ESCREVA</p><p>NO LIVRO</p><p>Ver as Orientações para o professor.</p><p>> FÓRUM</p><p>As calculadoras</p><p>científicas possuem</p><p>uma tecla específica</p><p>para o cálculo do</p><p>fatorial, normalmente</p><p>indicado por "x!".</p><p>SAIBA QUE...</p><p>85</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 85D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 85 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>1. Uma moeda tem duas faces: cara (K) e coroa (C). Lança-se uma moeda três vezes seguidas e observa-se</p><p>qual face ficou voltada para cima. Quantos e quais são os resultados possíveis?</p><p>Resolução</p><p>> ATIVIDADES RESOLVIDAS</p><p>2o lançamento1o lançamento 3o lançamento Resultados possíveis</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>8</p><p>possibilidades</p><p>K</p><p>C</p><p>K</p><p>K</p><p>C</p><p>K K K</p><p>K K C</p><p>C</p><p>K</p><p>C</p><p>K</p><p>C</p><p>K C K</p><p>K C C</p><p>K</p><p>C</p><p>C K K</p><p>C K C</p><p>K</p><p>C</p><p>C C K</p><p>C C C</p><p>Pelo diagrama de árvore, temos oito resultados possíveis: KKK, KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC.</p><p>Podemos pensar, também, da seguinte maneira:</p><p>Duas possibilidades para o 1o lançamento; duas possibilidades para o 2o lançamento e duas possi-</p><p>bilidades para o 3o lançamento. Assim, pelo princípio multiplicativo, podemos fazer 2 ? 2 ? 2 = 8, ou</p><p>seja, 8 possibilidades.</p><p>2. Quatro amigos, Pedro (P), Francisco (F), Natália (N) e Érica (E) saem sempre juntos para dar um passeio</p><p>de carro aos domingos. Porém, semanalmente discutem sobre quem se sentará no banco da frente</p><p>com o motorista e quem se sentará do lado direito e do lado esquerdo no banco de trás.</p><p>a) Quantas são as possibilidades de os amigos se posicionarem no carro, considerando que o motorista</p><p>da semana é o Pedro?</p><p>b) Quantas são as possibilidades dos quatro amigos se posicionarem no carro, sabendo que todos</p><p>dirigem e que em cada semana um deles será o motorista?</p><p>Resolução</p><p>a) Vamos descrever cada uma das possibilidades de ocupação dos assentos do carro, considerando</p><p>que Pedro sempre ocupará o banco do motorista. Aplicando o princípio aditivo, temos:</p><p>PFNE, PFEN, PNEF, PNFE, PEFN, PENF</p><p>1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6</p><p>b) Considerando a mesma estratégia do item a, se o motorista da semana for Pedro, são seis pos-</p><p>sibilidades; se o motorista for Francisco, serão outras seis; se Natália for a motorista, são mais</p><p>seis possibilidades; e, por fim, se Érica estiver dirigindo, são outras seis. Portanto, pelo princípio</p><p>aditivo, temos: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 possibilidades.</p><p>3. Resolva a equação (n _ 4)! = 120</p><p>Resolução</p><p>(n _ 4)! = 120 h (n _ 4)! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 h (n _ 4)! = 5! h n _ 4 = 5 h n = 9</p><p>O conjunto solução da equação é: S = {9}.</p><p>86</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 86D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 86 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>> ATIVIDADES NÃO ESCREVA</p><p>NO LIVRO</p><p>1. Uma fábrica de móveis tem dez modelos</p><p>para mesas e quatro modelos para cadeiras.</p><p>Quantos pares de modelos de mesa e cadeira</p><p>a fábrica tem disponíveis?</p><p>2. Catarina e Virgínia combinaram de ir juntas</p><p>a um show. Catarina mora na rua A e vai bus-</p><p>car a amiga Virgínia, que mora na rua B, e</p><p>seguirão para o endereço onde ocorrerá o</p><p>show, na rua C. Para Catarina chegar à casa</p><p>de Virgínia, ela tem três caminhos diferen-</p><p>tes (x, y ou z). Já para ir da casa de Virgínia</p><p>ao show, elas terão duas opções diferentes</p><p>(caminho 1 ou caminho 2).</p><p>a) Quais são os caminhos que Catarina pode</p><p>percorrer para ir ao show, saindo de sua</p><p>casa, passando pela casa de Virgínia?</p><p>b) Como você calcularia o total de opções de</p><p>caminho listadas no item a, aplicando o</p><p>princípio multiplicativo?</p><p>c) Desenhe o diagrama de árvore dos possíveis</p><p>caminhos que Catarina pode percorrer para</p><p>ir ao show, passando pela casa de Virgínia.</p><p>3. Considere os algarismos 1, 3 e 5.</p><p>a) Quantos números de três algarismos distin-</p><p>tos é possível formar com esses algarismos?</p><p>b) Quantos números de três algarismos é pos-</p><p>sível formar com esses algarismos?</p><p>4. (UFAL) Quantos números inteiros positivos di-</p><p>visíveis por 5, de 4 algarismos distintos, podem</p><p>ser escritos com os algarismos 1, 3, 5, 7, 9?</p><p>5. (UFG-GO) Utilizando as notas dó, ré, mi, fá, sol,</p><p>lá e si, um músico deseja compor uma melo-</p><p>dia com 4 notas, de modo que tenha notas</p><p>consecutivas distintas. Por exemplo: {dó, ré,</p><p>dó, mi} e {si, ré, mi, fá} são melodias permi-</p><p>tidas, enquanto que {ré, ré, dó, mi} não, pois</p><p>possui duas notas ré consecutivas.</p><p>a) Escreva cinco melodias diferentes, de acor-</p><p>do com o critério dado.</p><p>b) Qual o número de melodias que podem ser</p><p>compostas nessas condições?</p><p>40 pares de modelos</p><p>As possibilidades de caminho são: (x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1) e (z, 2).</p><p>3 ? 2 = 6</p><p>Ver as Orientações para o professor.</p><p>6 números</p><p>27 números</p><p>24 números</p><p>Ver as Orientações</p><p>para o professor.</p><p>1 512 melodias</p><p>6. Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas</p><p>são as possibilidades de chegada para os 3</p><p>primeiros lugares?</p><p>7. Um trem de passageiros é constituído de</p><p>uma locomotiva e seis vagões, sendo um dos</p><p>vagões utilizado como restaurante. Sabendo</p><p>que a locomotiva deve ir à frente da compo-</p><p>sição e que o vagão do restaurante não pode</p><p>ser colocado imediatamente após a locomo-</p><p>tiva, de quantos modos diferentes é possível</p><p>montar essa composição?</p><p>8. Observe o diagrama de árvore a seguir e crie</p><p>uma situação-problema de contagem que</p><p>envolva a ideia de agrupamento de pessoas.</p><p>Imagine você e alguns de seus colegas de</p><p>classe envolvidos nessa situação. Utilize o</p><p>princípio multiplicativo para resolvê-la.</p><p>9. Calcule:</p><p>a)</p><p>6! 3! 2!</p><p>5!</p><p>+ _</p><p>b)</p><p>4 ! 2! 0!</p><p>1!</p><p>_ _</p><p>10. Simplifique as expressões:</p><p>a)</p><p>!</p><p>1 !_</p><p>n</p><p>n( ) b)</p><p>+ _</p><p>+</p><p>(3 )! 3 1 !</p><p>3 1 !</p><p>n n</p><p>n</p><p>( )</p><p>( )</p><p>11. Resolva as equações:</p><p>a) (n _ 2)! = 720</p><p>b) (n _ 2)! = 2(n _ 4)!</p><p>12. (Ufop-MG) Resolva a equação</p><p>!</p><p>2 !</p><p>1 !</p><p>1! !_</p><p>+</p><p>+</p><p>_</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n( )</p><p>( )</p><p>( ) = 6n _ 4</p><p>336 possibilidades</p><p>600 modos</p><p>Elaboração do estudante.</p><p>ED</p><p>IT</p><p>O</p><p>RI</p><p>A</p><p>D</p><p>E</p><p>AR</p><p>TE</p><p>181</p><p>30</p><p>21</p><p>n 1</p><p>3n</p><p>S = {8}</p><p>S = {4}</p><p>S = {2}</p><p>87</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 87D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 87 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Problemas de contagem</p><p>Observe estas situações. Todas elas apresentam algum problema envolvendo contagem:</p><p>Situação 1: Quatro atletas, Guilherme (G), Paulo (P), Marcos (M) e Everaldo (E), disputam uma</p><p>corrida. Supondo que todos terminem a prova, quantas são as possibilidades de chegada para</p><p>os três primeiros lugares?</p><p>Vamos construir a árvore de possibilidades considerando as opções para o 1o lugar, para o</p><p>2o lugar e para o 3o lugar.</p><p>2o lugar1o lugar 3o lugar Resultados</p><p>possíveis</p><p>4</p><p>possibilidades</p><p>3</p><p>possibilidades</p><p>2</p><p>possibilidades</p><p>24</p><p>possibilidades</p><p>G</p><p>P</p><p>M</p><p>E</p><p>GPM</p><p>GPE</p><p>GMP</p><p>GME</p><p>GEP</p><p>GEM</p><p>PGM</p><p>PGE</p><p>PMG</p><p>PME</p><p>PEG</p><p>PEM</p><p>MGP</p><p>MGE</p><p>MPG</p><p>MPE</p><p>MEG</p><p>MEP</p><p>EGP</p><p>EGM</p><p>EPG</p><p>EPM</p><p>EMG</p><p>EMP</p><p>M</p><p>E</p><p>P</p><p>E</p><p>P</p><p>M</p><p>M</p><p>E</p><p>G</p><p>E</p><p>G</p><p>M</p><p>P</p><p>E</p><p>G</p><p>E</p><p>G</p><p>P</p><p>P</p><p>M</p><p>G</p><p>M</p><p>G</p><p>P</p><p>P</p><p>M</p><p>E</p><p>G</p><p>M</p><p>E</p><p>G</p><p>P</p><p>E</p><p>G</p><p>P</p><p>M</p><p>No total, existem 4 ? 3 ? 2 = 24 possibilidades de chegada para os três primeiros lugares.</p><p>Veja, por exemplo, as possibilidades em que Guilherme aparece em 1o lugar: GPM, GPE, GMP,</p><p>GME, GEP, GEM.</p><p>Observe que essas possibilidades de chegada diferem entre si:</p><p>• pela ordem dos elementos: GPM e GMP, por exemplo, representam pódios diferentes com</p><p>os mesmos elementos (atletas);</p><p>• pela natureza dos elementos: GPM e GPE, por exemplo, representam pódios diferentes com</p><p>elementos diferentes.</p><p>Acompanhe mais um exemplo.</p><p>Situação 2: Em uma escola de Ensino Médio, cada turma deve eleger um representante da</p><p>turma, um vice-representante e um suplente. Uma das classes possui 32 estudantes. De quantas</p><p>maneiras esse trio pode ser formado nessa classe de 32 estudantes?</p><p>SHAHJEHAN/SHUTTERSTOCK.COM</p><p>■ O atletismo é uma das</p><p>modalidades olímpicas que</p><p>também são disputadas</p><p>nos Jogos Paralímpicos,</p><p>com as devidas adaptações.</p><p>88</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 88D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 88 18/09/20 19:4518/09/20 19:45</p><p>Vamos considerar que todos os 32 estudantes podem assumir o cargo de representante; assim,</p><p>restam 31 estudantes para ocupar a vaga de vice-representante e 30 para a vaga de suplente. No</p><p>total, existem 32 ? 31 ? 30 = 29 760 possibilidades de formação de trios no grupo de 32 estudantes.</p><p>Novamente, observe que essas possibilidades de escolha diferem entre si pela ordem dos</p><p>elementos e pela natureza dos elementos.</p><p>Cada resultado (agrupamento ou sequência) como os apresentados nas situações anteriores</p><p>é denominado arranjo simples dos n elementos tomados p a p. No caso dos atletas, trata-se</p><p>de um arranjo simples dos quatro elementos tomados 3 a 3. Indicamos o número total desses</p><p>agrupamentos por: A4, 3 ou A4</p><p>3. Na segunda situação, temos um arranjo simples dos 32 elementos</p><p>tomados 3 a 3, A32,3 ou A32</p><p>3 .</p><p>Veja como definir esses agrupamentos no caso geral:</p><p>Seja E um conjunto com n elementos e p</p><p>plos contextualizados.</p><p>PARA</p><p>OUVIR</p><p>91</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 91D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 91 19/09/20 18:4119/09/20 18:41</p><p>Finalmente, fixadas as letras O, O, O, R e R, sobram 3 posições. As letras I, G e S</p><p>podem ser distribuídas de 3 ? 2 ? 1 maneiras diferentes, ou seja, A3, 3 = P3.</p><p>Usando o princípio multiplicativo, o número de maneiras diferentes de distribuir</p><p>as oito letras nas oito posições é:</p><p>? ? =</p><p>? ?</p><p>?</p><p>?</p><p>? ? ? =</p><p>?3! 2!</p><p>8 7 6</p><p>3!</p><p>5 4</p><p>2!</p><p>3 2 1</p><p>8!</p><p>3! 2!</p><p>8, 3 5, 2</p><p>3</p><p>A A</p><p>P</p><p>Embora RIGOROSO seja uma palavra com significado, no exemplo visto aqui</p><p>deve ser entendido como um agrupamento com três letras (elementos) O repetidas,</p><p>duas letras R repetidas e mais três letras distintas (I, G e S).</p><p>De maneira geral, vamos considerar permutações com repetições de um agru-</p><p>pamento de n elementos, no qual:</p><p>• um dos elementos se repete a vezes;</p><p>• outro elemento se repete b vezes;</p><p>;</p><p>• outro elemento se repete y vezes.</p><p>O número de permutações distintas, considerando que haja repetições, que</p><p>podemos obter com esses elementos é indicado por a b y, , ...,Pn e é dado pela expressão:</p><p>=</p><p>a ?b ? ?y</p><p>a b y !</p><p>! ! ... !</p><p>, , ...,P</p><p>n</p><p>n</p><p>No exemplo anterior, temos:</p><p>P</p><p>8!</p><p>3! 2!</p><p>8 7 6 5 4 3!</p><p>3! 2!8</p><p>3,2 =</p><p>?</p><p>=</p><p>? ? ? ? ?</p><p>?</p><p>= 3 360</p><p>Portanto, a quantidade de anagramas da palavra RIGOROSO é 3 360.</p><p>Até agora estudamos problemas de contagem envolvendo agrupamentos que</p><p>diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos elementos que os compõem.</p><p>Agora, vamos estudar os agrupamentos que diferem entre si apenas pela natu-</p><p>reza de seus elementos. Acompanhe a situação.</p><p>Situação 6: Observe os pontos R, S, T e Q na circunferência a seguir. Quantos</p><p>segmentos de reta podemos traçar com extremidades em 2 desses 4 pontos?</p><p>R</p><p>T</p><p>SQ</p><p>ED</p><p>IT</p><p>O</p><p>RI</p><p>A</p><p>D</p><p>E</p><p>AR</p><p>TE</p><p>9292</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 92D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 92 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Escolhendo o ponto Q como uma das extremidades, a outra extremidade será</p><p>R ou S ou T. Escolhendo o ponto R como uma das extremidades, a outra será S ou</p><p>T ou Q.</p><p>Então, para cada um dos quatro pontos escolhidos, temos três possibilidades</p><p>para formar um dos segmentos de reta pedidos.</p><p>Logo, temos 12 pares de pontos (4 ? 3 = 12), que são extremidades de segmentos</p><p>de reta:</p><p>QR, QS, QT, RS, RT, RQ, ST, SQ, SR, TQ, TR, TS</p><p>No entanto, observe que QR e RQ , por exemplo, representam o mesmo seg-</p><p>mento de reta, pois a ordem das extremidades não os diferencia. Isso significa que</p><p>cada segmento de reta foi contado duas vezes.</p><p>Logo, o número de segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos é</p><p>n =</p><p>4 3</p><p>2</p><p>( )?</p><p>= 6. Assim, podemos formar seis segmentos de reta.</p><p>Esse tipo de agrupamento, que difere apenas pela natureza de seus elementos,</p><p>é chamado de combinação simples.</p><p>Seja E um conjunto com n elementos e p ATIVIDADES RESOLVIDAS</p><p>4. Quantos números de três algarismos distintos</p><p>formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?</p><p>Resolução</p><p>Temos um total de seis algarismos (1, 2, 3,</p><p>4, 5 e 7) e os números (agrupamentos ou</p><p>sequências) que queremos formar devem</p><p>ter três algarismos distintos. Veja:</p><p>n1 n2 n3</p><p>Observe que, invertendo a ordem desses al-</p><p>garismos, obtemos novos números, isto é, a</p><p>ordem em que os números são distribuídos</p><p>no agrupamento faz diferença. Logo, o pro-</p><p>blema é de arranjo simples.</p><p>A6, 3 = 6 ? 5 ? 4 = 120 ou</p><p>A6, 3 =</p><p>_</p><p>=</p><p>? ? ?</p><p>( )</p><p>6!</p><p>6 3 !</p><p>6 5 4 3!</p><p>3!</p><p>= 120</p><p>Portanto, podemos formar 120 números.</p><p>5. Quantos números de cinco algarismos distin-</p><p>tos podem ser formados, usando-se os alga-</p><p>rismos 1, 3, 5, 7 e 8?</p><p>Resolução</p><p>Queremos formar números (agrupamentos)</p><p>de cinco algarismos com os cinco algarismos</p><p>dados (1, 3, 5, 7 e 8). Dessa maneira, qualquer</p><p>um dos cinco algarismos dados pode ocupar</p><p>a ordem das dezenas de milhar, restando,</p><p>então, quatro algarismos para a unidade de</p><p>milhar, três para a centena, dois para a dezena</p><p>e, finalmente, um para a unidade.</p><p>5 algarismos</p><p>A5, 5 = P5</p><p>P5 = 5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120</p><p>Portanto, podem ser formados 120 números.</p><p>6. Considere a palavra LIVRO.</p><p>a) Quantos anagramas são formados com as</p><p>letras dessa palavra?</p><p>b) Quantos deles começam com L e terminam</p><p>com O?</p><p>c) Quantos contêm as letras RO juntas e nessa</p><p>ordem?</p><p>d) Quantos anagramas começam com I ou</p><p>terminam com V?</p><p>Resolução</p><p>a) Queremos formar anagramas (agrupamen-</p><p>tos) com um total de cinco letras distintas.</p><p>Nesse caso, os agrupamentos diferem</p><p>entre si pela ordem das letras.</p><p>5 letras</p><p>— — — — —</p><p>P5 = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120</p><p>Portanto, são formados 120 anagramas.</p><p>b) Os anagramas que iniciam com a letra L e</p><p>têm a letra O no final são do tipo:</p><p>3 letras</p><p>L — — — O</p><p>Fixadas essas duas letras, serão então:</p><p>P3 = 3 ? 2 ? 1 = 6</p><p>Portanto, são formados 6 anagramas.</p><p>c) Se as letras RO ficarem juntas, nessa ordem,</p><p>temos:</p><p>1 só letra 3 letras</p><p>— —R O — — —</p><p>As letras RO serão contadas como uma só</p><p>letra e, com as três letras restantes, teremos</p><p>um total de quatro letras para serem agru-</p><p>padas 4 a 4. Assim,</p><p>obtemos:</p><p>P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24</p><p>Portanto, são formados 24 anagramas.</p><p>d) Anagramas que começam com I:</p><p>4 letras</p><p>I — — — —</p><p>P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24</p><p>Anagramas que terminam com V:</p><p>4 letras</p><p>— — — — V</p><p>P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24</p><p>Pelo princípio aditivo, temos, então, no má-</p><p>ximo 48 possibilidades, pois:</p><p>P4 + P4 = 24 + 24 = 48</p><p>95</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 95D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 95 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>Agora, precisamos analisar se existem re-</p><p>petições nessas possibilidades calculadas.</p><p>• Apresente dois casos para exemplificar</p><p>que essas repetições existem.</p><p>• Como são essas repetições?</p><p>Ver as Orientações para o professor.</p><p>PENSE E</p><p>RESPONDA</p><p>Essas repetições são os anagramas que co-</p><p>meçam com I e terminam com V:</p><p>3 letras</p><p>I — — — V</p><p>P3 = 3 ? 2 ? 1 = 6</p><p>Portanto, temos de excluir essa intersecção.</p><p>Assim, temos:</p><p>48 _ 6 = 42</p><p>Portanto, são 42 anagramas com essa</p><p>configuração.</p><p>7. Quantas comissões de três participantes</p><p>podem ser formadas com cinco pessoas?</p><p>Resolução</p><p>Para classificar um agrupamento como arran-</p><p>jo ou combinação, procedemos da seguinte</p><p>maneira:</p><p>1o) Formamos o agrupamento sugerido pelo</p><p>problema;</p><p>2o) Mudamos a ordem de seus elementos;</p><p>3o) Se com essa mudança de ordem</p><p>obtivermos agrupamentos que são consi-</p><p>derados iguais, esses agrupamentos serão</p><p>combinações.</p><p>As comissões devem ter três participantes,</p><p>isto é, nem todos os participantes farão parte</p><p>da comissão.</p><p>Vamos chamar de A, B, C, D e E as cinco pes-</p><p>soas que podem ser indicadas para a comis-</p><p>são. Se tivermos, por exemplo, uma comissão</p><p>formada por A, B, C, mesmo se invertermos a</p><p>ordem para B, A, C ou C, B, A, continuaremos</p><p>com a mesma comissão. Assim, devemos re-</p><p>tirar as repetições, pois cada comissão gera 3!</p><p>sequências de três participantes. O problema,</p><p>portanto, é de combinação.</p><p>Temos, pelo princípio multiplicativo:</p><p>5 4 3</p><p>3 2 1</p><p>5 2 10</p><p>? ?</p><p>? ?</p><p>= ? = .</p><p>Resolvendo a questão com a fórmula da com-</p><p>binação, temos:</p><p>Cn, p =</p><p>!</p><p>,A</p><p>p</p><p>n p h C5, 3 =</p><p>3!</p><p>5, 3A</p><p>C5, 3 =</p><p>60</p><p>6</p><p>= 10 ou</p><p>Cn, p = !</p><p>! !</p><p>n</p><p>p n p_( ) h C5, 3 =</p><p>5!</p><p>3! 2!</p><p>= 10</p><p>Portanto, podemos formar 10 comissões.</p><p>8. Uma classe tem dez estudantes do sexo femi-</p><p>nino e cinco estudantes do sexo masculino.</p><p>Formam-se comissões de quatro estudantes</p><p>do sexo feminino e dois estudantes do sexo</p><p>masculino. Determine o número de comissões</p><p>em que participa a estudante X e não partici-</p><p>pa o estudante Y.</p><p>Resolução</p><p>A comissão deve ter seis pessoas.</p><p>4 estudantes</p><p>do sexo feminino</p><p>X</p><p>2 estudantes do</p><p>sexo masculino</p><p>• Como a estudante X faz parte da comissão,</p><p>restam nove estudantes do sexo feminino,</p><p>dentre as quais devemos escolher três,</p><p>isto é, C9, 3.</p><p>• Como o estudante Y não faz parte da co-</p><p>missão, restam quatro estudantes do sexo</p><p>masculino, dentre os quais devemos esco-</p><p>lher dois, isto é, C4, 2.</p><p>Então, pelo princípio fundamental da conta-</p><p>gem, o número de comissões é dado por:</p><p>C9, 3 ? C4, 2 =</p><p>9!</p><p>3! 6!</p><p>4 !</p><p>2! 2!</p><p>?</p><p>?</p><p>h C9, 3 ? C4, 2 = 504</p><p>Portanto, serão 504 comissões.</p><p>96</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 96D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 96 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p><p>13. Quantos números de cinco algarismos distin-</p><p>tos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6,</p><p>7, 8 e 9? 15 120 números</p><p>14. De quantas maneiras nove pessoas podem se</p><p>sentar em três cadeiras? 504 maneiras</p><p>15. Quantos números de três algarismos, sem repe-</p><p>tição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3,</p><p>4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?</p><p>16. Sabendo que uma bandeira tem quatro faixas</p><p>horizontais:</p><p>a) quantas são as possibilidades de pintá-la</p><p>com quatro cores distintas, escolhendo</p><p>entre: vermelho, laranja, amarelo, verde,</p><p>azul, roxo e marrom? 840 possibilidades</p><p>b) quantas bandeiras podemos pintar se,</p><p>além da condição do item a, a cor amarela</p><p>estiver sempre presente? 480 bandeiras</p><p>17. Considerando todos os números de seis alga-</p><p>rismos distintos formados com os algarismos</p><p>1, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine quantos são:</p><p>a) pares; b) ímpares.</p><p>18. Considere o conjunto A = {0, 1, 4, 5, 7, 8}.</p><p>Utilizando os elementos desse conjunto,</p><p>responda:</p><p>a) Quantos números distintos podemos es-</p><p>crever com cinco algarismos? 600</p><p>b) Dentre os números do item a, quantos são</p><p>ímpares? 288 ímpares.</p><p>c) Quantos números de quatro algarismos</p><p>distintos contêm os dígitos 1 e 5? 126</p><p>19. Com os algarismos 0, 1, 2, 4 e 5, sem os repetir,</p><p>quantos números compreendidos entre 200 e</p><p>1 000 podemos formar? 36 números</p><p>20. Considere a palavra FELINO.</p><p>a) Quantos são os anagramas dessa palavra?</p><p>b) Quantos começam com a letra N? 120</p><p>c) Quantos terminam por vogal? 360</p><p>d) Quantos apresentam as letras E, L e I juntas</p><p>e nessa ordem? 24</p><p>e) Quantos apresentam as letras E, L e I juntas</p><p>e em qualquer ordem? 144</p><p>168 números</p><p>2 160 números pares 2 880 números ímpares</p><p>720</p><p>> ATIVIDADES NÃO ESCREVA</p><p>NO LIVRO</p><p>21. (UFSM-RS) Para cuidar da saúde, muitas pes-</p><p>soas buscam atendimento em cidades maio-</p><p>res, onde há centros médicos especializados</p><p>e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o</p><p>transporte até essas cidades é feito por vans</p><p>disponibilizadas pelas prefeituras.</p><p>Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 pas-</p><p>sageiros e o motorista. De quantos modos</p><p>distintos os 9 passageiros podem ocupar suas</p><p>poltronas na van?</p><p>a) 4.032.</p><p>b) 36.288.</p><p>c) 40.320.</p><p>d) 362.880.</p><p>e) 403.200.</p><p>22. (UFMG) Permutando-se os algarismos do</p><p>número 123 456, formam-se números de seis</p><p>algarismos.</p><p>Supondo-se que todos os números formados</p><p>com esses seis algarismos tenham sido colo-</p><p>cados numa lista em ordem crescente,</p><p>a) DETERMINE quantos números possui essa</p><p>lista. 720</p><p>b) DETERMINE a posição do primeiro número</p><p>que começa com o algarismo 4. 361</p><p>c) DETERMINE a posição do primeiro número</p><p>que termina com o algarismo 2. 34</p><p>23. Quantos anagramas da palavra EDITORA:</p><p>a) começam com A? 720 anagramas</p><p>b) começam com A e terminam com E?</p><p>24. Um estudante ganhou quatro livros diferentes</p><p>de Matemática, três diferentes de Física e dois</p><p>diferentes de Química. De quantos modos dis-</p><p>tintos esses livros podem ser enfileirados em</p><p>uma prateleira de uma estante, mantendo</p><p>juntos os da mesma disciplina? 1 728 modos</p><p>25. Quantos anagramas tem cada palavra a seguir?</p><p>a) PATA</p><p>b) PARALELOGRAMO</p><p>c) GUANABARA</p><p>26. Determine a quantidade de números distintos</p><p>obtidos da permutação dos algarismos dos</p><p>números:</p><p>a) 73 431 60 b) 343 434 20</p><p>alternativa d</p><p>120 anagramas</p><p>12</p><p>129 729 600</p><p>15 120</p><p>97</p><p>D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 97D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 97 16/09/20 18:1216/09/20 18:12</p>