Cálculo Numérico - Apostila

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Coronel Fabriciano 
Fevereiro de 2012 
Elaborada pelo Professor: Aloísio de Castro Gomes Júnior Versão 1.1 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 1 
 
Unileste Prof. Aloísio Gomes Jr. 
Introdução 
 
A SOLUÇÃO NUMÉRICA 
 
Objetivo: tornar simples a resolução de problemas científicos, como por exemplo, a equação 
abaixo: 
 
dxe
x
∫
−
1
0
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 
Real 
Levantamento 
dos Dados 
Construção do 
Modelo 
Escolha do 
Método 
Numérico 
Implementação 
Computacional 
Análise dos 
Resultados 
Obtidos 
Se necessário, 
reformular o 
modelo ou escolher 
um novo método 
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O PROCESSO ITERATIVO 
 
� Método de cálculo infinito 
 
� Produz uma sequência de aproximações para a solução: 
*
13210 ...,,,...,,,,, xxxxxxx kk + 
 
� O valor obtido a cada passo depende do valor obtido no passo anterior. 
 
� Existe convergência? 
 
O Método Iterativo 
 
� Quando parar? 
 
� Tome kxx =
*
 
 
� Condições de Parada: 
 
� suplim_)(inflim_ * ≤≤ xg 
� Erro absoluto = tolxx kk ≤− −1 
� Erro relativo = tol
x
xx
k
kk ≤
− −1 
� ernum_max_it≥k 
 
ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 
 
� Erros de Modelagem 
� Erro de Representação de Ponto Flutuante 
� Erro de arredondamento 
� Erro de truncamento 
� Erro por estouro de memória 
 
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Capítulo 1: 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
� Propõe-se, neste capítulo, apresentar métodos numéricos para resolver sistemas lineares 
postos na forma: 
 
������ + ����� + ⋯ + ����� = 
������ + ����� + ⋯ + ����� = 
�⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮����� + ����� + ⋯ + ����� = 
� 
 
Ou equivalente: 
 
��
������� = 

 		∀	� = 1,2, … , �	
 
isto é, resolveremos sistemas lineares onde o número de equações é igual ao de incógnitas. 
 
� Na forma matricial, um sistema linear é representado por; 
 �� = 
 
onde: 
 
� = ���� ��� ⋯ ������ ��� ⋯ ���⋮ ⋮ ⋮ ⋮��� ��� ⋯ ���� → Matriz dos Coeficientes 
� = �����⋮��� → Vetor das variáveis (ou incógnitas) 
 = �
�
�⋮
�� → Vetor dos termos independentes 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 4 
 
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� É comum também representar o sistema �� = 
 pela sua matriz aumentada, isto é, por: 
 
��|
� = ���� ��� ⋯ ��� | 
���� ��� ⋯ ��� | 
�⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮��� ��� ⋯ ��� | 
�� 
 
� Aplicações: Cálculos de tensão de estruturas metálicas, cálculo de razão de escoamento 
num sistema hidráulico, sistemas de produção com matéria-prima ou recursos escassos, etc... 
 
� Definição: Denomina-se vetor solução (ou simplesmente solução) de um sistema �� = 
 e 
denota-se por �̅ = ��̅� �̅� ⋯ �̅��� ao vetor das variáveis que contém os elementos ��, =1, 2, … , �,	que satisfazem a todas as equações do sistema. 
 
2. SISTEMAS TRINAGULARES 
 
2.1. Sistema Triangular Superior 
 
� Denomina-se sistema triangular superior a todo sistema �� = 
 em que: 
 �
� = 0	∀	 < �, 
 
ou seja, o sistema da seguinte forma: 
 
#$%
$&����� + ����� + ��'�' + ⋯ + ����� = 
�+ ����� + ��'�' + ⋯ + ����� = 
��''�' + ⋯ + �'��� = 
'⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮����� = 
�
 
 
� Tais sistemas são resolvidos por substituições retroativas, através de equações da forma: 
 
�
 = 

 −� �
���
�
��
)��

 				∀� = �,… , 1 
 
 
 
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2.1. Sistema Triangular Inferior 
 
� Denomina-se sistema triangular inferior a todo sistema �� = 
 em que: 
 �
� = 0	∀	 > �, 
 
ou seja, o sistema da seguinte forma: 
 
#%
&����� = 
������ + ����� = 
�⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮����� + ����� + ⋯ + ����� = 
� 
 
� Tais sistemas são resolvidos por substituições progressivas, através de equações da forma: 
 
�
 = 

 −� �
���

+�
����

 				∀� = 1,… , � 
 
3. MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
� Métodos Diretos 
 
� Métodos Iterativos 
 
4. MÉTODOS DIRETOS 
 
� São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos de erros de 
arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. 
 
� Regra de Cramer – computador que efetua uma operação aritmética em 10-8 segundos 
gastaria cerca de 36 dias para resolver um sistema de ordem n=15. 
 
���� Transformações Elementares: 
 
1. Trocar duas equações: 
Ex.: ,
 ← ,�; ,� ← ,
; 
 
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2. Multiplicar uma equação por uma constante não-nula: 
Ex.: ,� ← / × ,�; 					/ ∈ 	ℝ,						/ ≠ 0 
 
3. Adicionar a uma equação um múltiplo de uma outra equação: ,� ← ,� 	+	/ × ,
; 					/ ∈ 	ℝ 
 
� Sistemas Equivalentes: Dois sistemas �� = 
 e �̅� = 
4 se dizem equivalentes se a solução 
de um for também a solução de outro. 
 
TEOREMA: Seja �� = 
 um sistema linear. Aplicando-se somente transformações elementares 
sobre as equações de �� = 
, obtemos um novo sistema �̅� = 
4, sendo que �� = 
 e �̅� = 
4 são 
equivalentes. 
 
4.1. Método de Gauss 
 
� Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um sistema �� = 
 
até que, depois de � − 1 passos, se obtenha um sistema triangular superior 5� = /, 
equivalente ao sistema dado, sistema esse que é resolvido por substituições retroativas. 
 
 
���� ��� ⋯ ��� | 
���� ��� ⋯ ��� | 
�⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮��� ��� ⋯ ��� | 
��6777777778777777779:;�<
 ��′�� �′�� ⋯ �′�� | 
′�0 �′�� ⋯ �′�� | 
′�⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮0 0 ⋯ �′�� | 
′��67777777777877777777779=;�>
 
 
 
���� Descrição do Método: 
 
Para descrevermos o método, consideraremos os seguintes exemplos: 
 
 
Transf. 
 
Elementares 
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Exemplo 1.1: ?2�� + 3�� − �' = 54�� + 4�� − 3�' = 32�� − 3�� + �' = −1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 8 
 
Unileste Prof. Aloísio Gomes Jr. 
Exercício F01: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Resolva o sistema linear abaixo pelo método de decomposição de Gauss: 
 
C2�� + 3�� + �' = −24�� + 2�� + 5�' = 105�� + �� + 3�' = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 9 
 
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Exemplo 1.2: ?6�� + 2�� − �' = 72�� + 4�� + �' = 73�� + 2�� + 8�' = 13 
 
Fase 1: Decomposição 
 
Linha Multiplicadores 
Coeficientes das 
Variáveis 
Termos 
Indep. 
Transf. Elementares 
L1(0) 
L2(0) 
L3(0) 
 
L2(1) 
L3(1) 
 
L3(2) 
 
Fase 2: Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 10 
 
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���� Avaliação do resíduo/erro: 
 
� O erro ε produzido por uma solução �̅ do sistema �� = 
 pode ser avaliado pela 
expressão: H = max�L
L�|M
| 
 
Onde M
 é a i-ésima componente do vetor resíduo M
, o qual é dado por: N = 
 − ��̅ 
Exemplo 1.3: Avalie o erro cometido ao resolver o exemplo 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício F02: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Resolva o sistema linear abaixo pelo método de decomposição de Gauss (usar 3 casas 
decimais durantes os cálculos) e avaliar o erro ao final: 
 
C �� + 4�� − 2�' = 12−2�� + 5�� + �' = −54�� + 2�� − 5�' = 28 
Fase 1: Decomposição 
Linha Multiplicadores Coeficientes das 
Variáveis 
Termos 
Indep. 
Transf. Elementares 
L1(0) 
L2(0) 
L3(0) 
 
L2(1) 
L3(1) 
 
L3(2) 
 
Fase 2: Resolução e Avaliação do Erro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 12 
 
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���� Complexidade: 
 
O Método de Gauss tem complexidade polinomial O(�'). Em um computador que efetua uma 
operação aritmética em 10-8 segundos o método gastaria cerca de 0,0000257 segundos pararesolver um sistema de ordem n=15. 
 
���� Desvantagens do método de Gauss: 
 
(a) Não pode ser aplicado quando o pivô for nulo. 
 
(b) Os erros de arredondamento cometidos durante um passo da obtenção do sistema linear 
se propagam para os passos seguintes, podendo comprometer a validade da solução obtida. 
 
Para contornar o problema (a) e minimizar o problema (b), a idéia é usar uma estratégia de 
pivoteamento. 
 
4.2. Método de Gauss com Pivotação Parcial 
 
���� A estratégia do pivoteamento consiste em: 
 
(i) No início da etapa R de eliminação, escolher para pivô o maior elemento, em módulo, 
dentre os coeficientes. 
 
(ii) Trocar as linhas R e � se necessário. 
 
Exemplo 1.4: 
Resolver o sistema linear a seguir, avaliando o erro cometido em cada caso: S0,0002�� + 2�� = 52�� + 2�� = 6 
a) método de Gauss 
b) método de Gauss com pivoteamento parcial. 
a) Método de Gauss: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 13 
 
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b) Método de Gauss com Pivotação Parcial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.5: Resolver o sistema abaixo, usando o método de Gauss com pivotação parcial e 
avalie o erro cometido. 
C 2�� + 5�� − �' = 53�� − 4�� + 2�' = −2−5�� + 2�� + 3�' = 4 
Fase 1: Decomposição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 14 
 
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Fase 2: Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliação do Erro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício F03: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Resolva o sistema linear abaixo pelo método de decomposição de Gauss com Pivotação Parcial 
(usar 3 casas decimais para os cálculos) e em seguida avaliar o erro: 
 
C4�� + �� − 2�' = 215�� − 2�� + �' = 162�� + 4�� − 5�' = 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 16 
 
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5. MÉTODOS ITERATIVOS 
 
Tratam-se de métodos nos quais a solução �̅ de um sistema linear �� = 
 é obtida como limite 
de uma seqüência de aproximações sucessivas �̅(T), 	�̅(�), �̅(�), … , �̅(U), …	, sendo dada uma 
aproximação inicial �̅(T), isto é: �̅ = limU→Y �̅(U) 
 
5.1. MÉTODO DE JACOBI 
 
Seja o sistema linear �� = 
 em sua forma expandida: 
 
������ + ����� + ⋯ + ����� = 
������ + ����� + ⋯ + ����� = 
�⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮����� + ����� + ⋯ + ����� = 
� 
 
Explicitemos ��na primeira equação, �� na segunda equação e assim sucessivamente. 
 
�� = 
� − (����� + ��'�' +⋯+ �����)��� 
 
�� = 
� − (����� + ��'�' +⋯+ �����)��� 
 ⋮ 
 
�� = 
� − (����� + ����� +⋯+ ��,�+���+�)��� 
 
O Método de Jacobi consiste na seguinte seqüência de passos: 
 
(i) Escolher uma aproximação inicial �(T) = Z��(T) ��(T) … ��(T)[� arbitrária. 
 
(ii) Gerar aproximações sucessivas �(U) a partir de �(U+�) com base nas seguintes equações de 
iteração: 
��(U) = 
� − (�����(U+�) + ��'�'(U+�) +⋯+ �����(U+�))��� 
 
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��(U) = 
� − (�����(U+�) + ��'�'(U+�) +⋯+ �����(U+�))��� 
 ⋮ 
 
��(U) = 
� − (�����(U+�) + �����(U+�) +⋯+ ��,�+���+�(U+�))��� 
 
(iii) Interromper o processo quando um dos critérios abaixo for satisfeito: 
 
(1) max�L
L'\�
(U) − �
(U+�)\ < H 
(2) R > ]^_N`�a, onde ITERMAX é o número máximo de iterações. 
 
Exemplo 1.6: Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi usando como 
aproximação inicial �(T) = �0 0 0�� e como critério de parada max�L
L'\�
(U) − �
(U+�)\ < 0,002 ou R > 10 iterações: 
 
?10�� + 2�� + �' = 7�� − 15�� + �' = 322�� + 3�� + 10�' = 6 
 
Equações de Iteração k )(
1
kx 
)(
2
kx 
)(
3
kx 
)1()(
31
max −
≤≤
− ki
k
i
i
xx 
 
=)(1
kx 
 
 
=)(2
kx 
 
 
=)(3
kx 
 
0 --------- 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão: 
 
 
 
 
 
 
 
5.2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
Este método difere do anterior apenas com relação às equações de iteração, as quais são: 
��(U) = 
� − (�����(U+�) + ��'�'(U+�) +⋯+ �����(U+�))��� 
 
��(U) = 
� − (�����(U) + ��'�'(U+�) +⋯+ �����(U+�))��� 
 
�'(U) = 
' − (�'���(U) + �'���(U) +⋯+ �'���(U+�))�'' 
 ⋮ 
 
��(U) = 
� − (�����(U) + �����(U) +⋯+ ��,�+���+�(U) )��� 
 
 
Exemplo 1.7: Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Seidel usando como 
aproximação inicial �(T) = �0 0 0�� e como critério de parada max�L
L'\�
(U) − �
(U+�)\ < 0,002 ou R > 10 iterações: 
 
?10�� + 2�� + �' = 7�� − 15�� + �' = 322�� + 3�� + 10�' = 6 
 
 
 
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Equações de Iteração k )(
1
kx 
)(
2
kx 
)(
3
kx 
)1()(
31
max −
≤≤
− ki
k
i
i
xx 
 
=)(1
kx 
 
 
=)(2
kx 
 
 
=)(3
kx 
 
0 --------- 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
 
 
 
 
 
5.3. CONVERGÊNCIA DOS MÉTODOS ITERATIVOS 
 
(i) CRITÉRIO DAS COLUNAS: É condição suficiente para que um sistema linear convirja 
usando um método iterativo que: 
 
\���\ >�\�
�\�
��
b� 			∀ = 1, 2, … , � 
 
Ou seja, o elemento da diagonal principal tem que ser dominante na coluna. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 20 
 
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Além do mais, quanto mais próximo de zero estiver a relação 
∑ \def\gehiejf\dff\ mais rápida será a 
convergência. 
 
Exemplo 1.8: Verifique, usando o critério das colunas, se o sistema linear a seguir converge 
quando um método iterativo for aplicado. 
 
C45�� − 2�� + �' = 220�� + 32�� − 3�' = 725�� − �� − 50�' = 73 
 
 
 
 
 
 
 
(ii) CRITÉRIO DAS LINHAS: É condição suficiente para que um sistema linear convirja 
usando um método iterativo que: 
 
|�

| >�\�
�\�����b
 			∀� = 1, 2, … , � 
 
Ou seja, o elemento da diagonal principal tem que ser dominante na linha. 
 
Além do mais, quanto mais próximo de zero estiver a relação 
∑ \def\gfhifje|dee| mais rápida será a 
convergência. 
 
Exemplo 1.9: Verifique, usando o critério das linhas, se o sistema linear a seguir converge 
quando um método iterativo for aplicado. 
C45�� − 2�� + �' = 220�� + 32�� − 3�' = 725�� − �� − 50�' = 73 
 
 
 
 
 
 
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(iii) CRITÉRIO DE SASSENFELD: Seja 
 
k
 = ∑ l\�
�\ ∗ k�n + ∑ \�
�\���
)�
+���� |�

| 
 
É condição suficiente para que um sistema linear convirja usando um método iterativo que: 
 k = max�L
L�k
 < 1 
 
Além disso, quanto menor for k mais rápida será a convergência. 
 
Exemplo 1.10: Verificar se há garantia de convergência do sistema a seguir usando um 
método iterativo: 
 
C3�� + �' = 3�� − �� = 12�� + �� + 3�' = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício F04: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Prove que o sistema abaixo converge quando um método iterativo for aplicado e em seguida 
resolva-o pelo método: (1) Jacobi e (2) Gauss Seidel usando como aproximação inicial �(T) = �1 0 2�� e como critério de parada max�L
L'\�
(U) − �
(U+�)\ < 0,002 ou R > 10 iterações: (usar 
3 casas decimais para os cálculos): 
 
C−8�� + 3�� + 5�' = −132�� − 100�� + 2�' = 2183�� − 2�� + 75�' = 391 
a) Verificação da Convergência: 
 
 
 
 
 
 
b) Resolução pelo Método de Jacobi 
Equações de Iteração k )(
1
kx 
)(
2
kx 
)(
3
kx 
)1()(
31
max −
≤≤
− ki
k
i
i
xx 
 
=)(1
kx 
 
 
=)(2
kx 
 
 
=)(3
kx 
 
0 --------- 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão: 
 
 
 
 
 
 
 
c) Resolução pelo Método de Gauss-Seidel: 
Equaçõesde Iteração k )(
1
kx 
)(
2
kx 
)(
3
kx 
)1()(
31
max −
≤≤
− ki
k
i
i
xx 
 
=)(1
kx 
 
 
=)(2
kx 
 
 
=)(3
kx 
 
0 --------- 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 24 
 
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6. COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS 
 
Item Método Direto Método Iterativo 
Convergência A solução é sempre obtida. Há garantia de obter solução 
somente sob certas 
condições. 
Número de 
Operações 
É possível determinar a priori o 
número de operações 
necessárias. 
Não é possível determinar a 
principio a complexidade. 
Esparsidade Destrói a esparsidade da matriz 
durante a fase de eliminação. 
Preserva a esparsidade da 
matriz. 
Erros de 
Arredondamento 
Amplia os erros durante os 
cálculos. Essa ampliação pode 
ser minimizada usando técnicas 
de pivoteamento. 
Os erros de arredondamento 
não afetam as soluções 
obtidas em cada iteração. 
Apenas a solução final pode 
conter erro. 
 
 
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Exercícios de Fixação: 
 
1.1) Resolva os Sistemas Lineares abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss, quando 
necessário reter 3 casas decimais. Avalie o resíduo de cada sistema. 
 
(a) C 2�� + 3�� − 2�' = −5−5�� + �� + 2�' = −54�� + 2�� + 3�' = 15 (b) C
�� + 4�� + 5�' = −13−2�� + 3�� − 2�' = 85�� + �� − 2�' = 32 
 
(c) C 5�� + �� − 8�' = 21−3�� − 2�� + 7�' = −12�� + �� − 3�' = 3 (d) �
�� + �� − �' + 2�o = −102�� − 3�� + �' + 5�o = −34−2�� + �� − 4�' − 6�o = 27−	�� + �� − 3�' − 2�o = 8 
 
1.2) Resolva os Sistemas Lineares do exercício anterior usando o Método de Eliminação de 
Gauss com pivotação parcial, quando necessário reter 3 casas decimais. Avalie o resíduo de 
cada sistema e compare-os com os erros obtidos no exercício anterior. 
 
1.3) Verifique, usando o critério de Sassenfeld, se os sistemas abaixos podem ser resolvidos 
através de métodos iterativos e em seguida resolva-os utilizando o método de Jacobi com 
10>k iterações, explicitando as equações de iteração. Considere a solução [ ]tx 00000 = 
como aproximação inicial e precisão 01,0<ε . 
 
(a) #%
&−75�� + 14�� + 3�' + 4�o = 1158�� + 65�� − 4�' − 2�o = 965�� − 7�� + 42�' + 5�o = 1492�� + 4�� − 5�' − 30�o = 13 
 
(b) C−75�� + 12�� + 5�' = −32610�� + 60�� + 5�' = −130−3�� − 2�� + 45�' = 84 
 
1.4) Resolva os sistemas lineares do exercício anterior utilizando o método de Gauss-Seidel 
com 10>k iterações, explicitando as equações de iteração. Considere a solução 
[ ]tx 0000)0( = como aproximação inicial e precisão 01,0<ε . 
 
 
1.5) Uma forma mais simples de verificar se haverá convergência, quando da aplicação de 
métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, na resolução de um sistema de equações é a utilização do 
Critério das Linhas. Ele estabelece que é condição suficiente para a convergência dos métodos 
de Jacobi e Gauss-Seidel que a matriz dos coeficientes, A, de um sistema de equações bAx =
, seja a diagonal principal estritamente dominante, ou seja, 
 
∑
≠=
=∀>
n
ijj
ijii niaa
;1
...,,2,1,|||| 
 
Isto significa que, em cada linha, o elemento diagonal, em módulo, deve ser maior que a soma 
dos módulos dos demais elementos da mesma linha. Seja um sistema de equações cuja matriz 
dos coeficientes e termos independentes são: 
 










=
61
120
13
C
C
C
A e 










=
1
1
1
b 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 26 
 
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Aplicando o critério das linhas determine em qual intervalo deve estar o valor de C de tal 
forma que se possa garantir que haverá convergência quando da aplicação de um método 
iterativo para a sua resolução. Tomando um valor para C, no intervalo determinado, resolva o 
sistema de equações utilizando o método de Jacobi com precisão de 0,01 e um máximo de 5 
iterações. Considere a solução [ ]tx 000)0( = . 
 
1.6) Dado o sistema de equações a seguir, determine, utilizando o critério de Sassenfeld, o 
menor valor inteiro positivo de k para o qual fica assegurada a convergência dos métodos 
iterativos. Usando o valor determinado, resolva o sistema de equações aplicando o método de 
Gauss-Seidel, com precisão 0,02 e um máximo de 10 iterações. Considere a solução 
[ ]tx 000)0( = . 
 
3
2
1
76
6
3
3
3
3
21
21
21
=
=
=
+
+
+





+
+
+
x
x
x
xx
xkx
xkx
 
 
1.7) A análise de 3 alimentos revelou que os mesmos possuem as seguintes quantidades de 
vitamina por grama. 
 
Alimento 
Vitaminas 
A (%) B (%) C (%) 
I 20,5 38,0 27,0 
II 30,4 18,2 19,0 
III 25,0 12,8 17,6 
 
 
Uma pessoa deseja ingerir 2684; 2793,22 e 2402,74 gramas de vitaminas A, B e C, 
respectivamente. Quais as quantidades necessárias dos alimentos I, II e III? Resolva por 
qualquer método este problema. 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 27 
 
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Capítulo 2: 
 
Equações Algébricas e Transcendentes 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
� O Objetivo deste capítulo é o de apresentar métodos numéricos para resolver um equação p(�) = 0. 
 
� Resolver uma equação p(�) = 0 significa encontrar números q
, denominados raízes, tais que p(q
) = 0. 
 
� Geometricamente, conforme mostra a figura abaixo, as raízes representam os pontos de 
interseção do gráfico de p com o eixo O�. 
 
 
 
 
2. FASES NA DETERMINAÇÃO DE RAÍZES 
 
� Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: 
 
(�) Isolar a raiz; 
 
(��) Refinar o valor a raiz até o grau de exatidão requerido. 
 
p 
� 
r 
q� q� q' 
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2.1. Fase 1: Isolamento 
 
Objetivo: Determinar um intervalo ��, 
�, o menor possível, que contenha uma única raiz. 
 
Teorema de Cauchy-Bozano: 
 
Seja p uma função contínua em um intervalo ��, 
�. Se p(�) × p(
) < 0 então existe pelo menos 
um ponto q ∈ ��, 
�	|	p(q) = 0. 
 
 
Resultado Importante: 
 
Se p′ preservar o sinal em ��, 
� então a raiz q é única. 
 
Procedimentos para isolar a raiz de uma equação 
 
Procedimento I: 
 
� Esboçar o gráfico de p, determinando os intervalos ��
 , �
)�� que contenham uma única raiz. 
 
Exemplo 2.1: Isolar as raízes de p(�) = 2� − cos(�) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Procedimento II: 
 
� Decompor a função p, se possível, na forma p = w − ℎ, onde os gráficos de w e ℎ sejam 
conhecidos e mais simples. 
 
� Neste caso, os pontos de interseção dos gráficos de w e ℎ representam as raízes de p(�) = 0. 
 
Exemplo 2.2: Isolar as raízes de p(�) = 2� − cos(�) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.3: Isolar as raízes de p(�) = y; + �� − 2 = 0. 
 
 
 
 
 
 
y=f(x) 
x 
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Exemplo 2.4: Isolar as raízes de p(�) = ln(�) + � = 0.x 
y=f(x) 
x 
y=f(x) 
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Exercício F05: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
 
Isolar as raízes da função p(�) = {y�(�) − 2�	 + 2 = 0, utilizando o método de decomposição da 
função p(�) em duas outras funções. Prove que o intervalo é válido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y=f(x) 
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2.2. Fase 2: Refinamento 
 
� Uma vez isolada a raiz em um intervalo ��, 
�, procura-se, nesta fase, considerar uma 
aproximação inicial para a raiz e melhorá-la sucessivamente até se obter uma aproximação 
com a precisão desejada. 
 
3. CRITÉRIOS DE PARADA 
 
�	�| é uma “boa” aproximação para a raiz q de uma equação p(�) = 0, se os dois critérios 
abaixo forem satisfeitos: 
(�) |p(�U)| < H 
(��) |�U − q| < H 
onde H é a precisão requerida. 
 
Como não se conhece o valor de q, o segundo critério de parada é substituído por: 
 − � < H 
Ou seja, a amplitude do intervalo tem que ser menor do que a precisão requerida. 
 
4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (MNR) 
 
Seja p uma função contínua em ��, 
� tal que: 
 
(�) p(�) × p(
) < 0; 
 
(��) Existe uma única raiz q ∈ ��, 
�; 
 
(���) p′ e p" preservam o sinal e não se anulam em ��, 
�. 
 
Se estas três condições forem satisfeitas o MNR pode ser utilizado. 
 
Idéia: Aproximar um arco da curva por uma reta tangente traçada a partir de um ponto da 
curva. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 33 
 
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Seja �T uma aproximação inicial para a raiz. A tangente de ~ na figura anterior é: 
tan(~) = /�€y€	‚{€/�€y€	�ƒ �/y�€y = p(�T)(�T − ��) = p′(�T) 
 
De onde resulta que: 
 
�� = �T − p(�T)p„(�T) 
 
Genericamente: 
 
�U = �U+� − p(�U+�)p„(�U+�) 
 
 
Escolha de uma aproximação inicial 
 
Se p(�) × p(
) < 0 e p′ e p" preservarem o sinal e não se anularem em ��, 
�, então partindo-se 
de uma aproximação inicial �T ∈ ��, 
� tal que: p(�T) × p"(�T) > 0 
q � 
r 
p(�T) 
�T �� ~ 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 34 
 
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Desta forma, é possível gerar, pelo MNR, uma seqüência de aproximações �U que convirja para 
a raiz q de p(�) = 0. 
 
Exemplo 2.6: Determinar pelo MNR, com precisão H < 0,01 em um máximo de 10 iterações, a 
raiz da equação p(�) = 2� − cos(�) = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha de �T: 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Refinamento 
 R �U p(�U) p′(�U) |�U − �U+�| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.7: Determinar pelo MNR, com precisão H < 0,01 em um máximo de 10 iterações, a 
raiz da equação p(�) = � + ln(�) = 0. 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 35 
 
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(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha de �T: 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Refinamento 
 R �U p(�U) p′(�U) |�U − �U+�| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 36 
 
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Vantagens e Desvantagens do Método 
 
Vantagem: 
 
• Tem convergência muito rápida. 
 
Desvantagens: 
 
(�) Exige o cálculo e a análise do sinal de p′ e p". 
 
(��) Se o valor de p„(�U) for muito elevado, a convergência será lenta. 
 
(���) Se o valor de p„(�U) for próximo de zero, ocorrerá overflow. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 37 
 
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Exercício F06: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Determinar pelo MNR, com precisão H < 0,002 em um máximo de 10 iterações, a raiz da 
equação p(�) = {y�(�) − 2�	 + 2 = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha de �T: 
 
 
 
 
 
 
(c) Refinamento 
 R �U p(�U) p′(�U) |�U − �U+�| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 38 
 
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5. MÉTODO DAS SECANTES (MS) 
 
Idéia: Usar retas secantes (traçadas a partir de dois pontos do gráfico) como aproximações 
lineares locais da função p(�), ao invés de retas tangentes. 
 
Geometricamente: Toma-se uma reta que passa pelos pontos (�T, p(�T)) e (��, p(��)) como 
aproximação linear da curva p(�), como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
Usando a semelhança dos triângulos �…† e �_‡, tem-se que: 
 p(�T)�T − �� = p(��)�� − �� 
 
Explicitando �� na equação anterior, tem-se: 
 
�� = �� − (�� − �T)p(��) − p(�T) p(��) 
 
 
q � 
r 
p(�T)
�T �� 
p(��) �� … 
† 
� ‡ _ 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 39 
 
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Generalizando-se, tem: 
 
�U)� = �U − (�U − �U+�)p(�U) − p(�U+�) p(�U) 
 
 
Vantagens e Desvantagens do Método: 
Vantagem: É uma alternativa para o MNR, pois evita o cálculo da primeira derivada, 
substituindo-a pela expressão: 
 
p′(�U) = p(�U) − p(�U+�)(�U − �U+�) 
 
Desvantagens: 
 
(�) Necessita de duas aproximações iniciais. 
 
(��) A convergência não é tão rápida quanto o MNR. 
 
Exemplo 2.8: Determinar pelo MS, com precisão H < 0,01 em um máximo de 10 iterações, a 
raiz da equação p(�) = 2� − cos(�) = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha das aproximações iniciais �T e ��: 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 40 
 
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(c) Refinamento 
 R �U p(�U) |�U − �U+�| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.9: Determinar pelo MS, com precisão H < 0,01 em um máximo de 10 iterações, a 
raiz da equação p(�) = � + ln(�) = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
(b) Escolha das aproximações iniciais �T e ��: 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 41 
 
Unileste Prof. Aloísio Gomes Jr. 
(c) Refinamento 
 R �U p(�U) |�U − �U+�| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 42 
 
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Exercício F07: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Determinar pelo MNR, com precisão H < 0,002 em um máximo de 10 iterações, a raiz da 
equação p(�) = {y�(�) − 2�	 + 2 = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha de �T e ��: 
 
 
 
 
 
 
(c) Refinamento 
 R �U p(�U) |�U − �U+�| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios de Fixação: 
 
2.1) Sejam as seguintes equações: 
 
(a) p(�) = sen(�) − ln(�) = 0 
 
(b) p(�) = 2; − 3� = 0 
 
(c) p(�) = 3; + 3� − 3 = 0 
 
Calcule com no máximo 10 iterações e com precisão H < 0,01 a raiz das equações acima usando 
o MNR e o MS. Use o procedimento de decompor a função p(�) em duas outras funções. 
 
 
2.2) Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com H ≤ 10+', usando o (�) método 
de Newton-Raphson e (��) o método das secantes. Use o Scilab ou Matlab para traçar os 
gráficos das funções abaixo e em seguida isole a(s) raiz(es). 
 
(a) p(�) = 	�� − 10 ln � − 	5 = 0 
 
(b) p(�) = sen(�) − y; − 2�� + 10 = 0 
 
(c) p(�) = sen(�) + cos(�) + �� − 3 = 0 
 
(d) p(�) = 3Š − cos(�) + �� − 4 = 0 
 
(e) p(�) = cos(�) − �� + 3� + 6 = 0 
 
(f) p(�) = sen(�) + �� − 2� − 4 = 0 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 44 
 
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Capítulo 3: 
 
INTERPOLAÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
� Dado um conjunto de pontos (�
 , p(�
)), o problema da interpolação consiste em definir uma 
função w(�) que passa por todos estes pontos. Se essa função w(�) for um polinômio, teremos 
uma interpolaçãopolinomial. 
 
� A Figura a seguir representa esta situação. 
 
 
 
� Idéia: Dado �̅ ∈ ��T, ���, determinar p(�̅). 
 
� Por � + 1 pontos passa um polinômio de grau ≤ � e este polinômio é úncico. 
 
2. MÉTODO DE LAGRANGE 
 
Sejam dados � + 1 pontos (�T, rT), (��, r�), ..., (�� , r�), sendo �
 distintos, tais que r
 = p(�
) e � ∈ ��T, ���. O método de Lagrange se baseia em: 
 (�) Construir (� + 1) polinômios ,
(�), � = 0, 1, 2, … , �; de grau ≤ �, tais que: 
 ,
(�
) = 1, � = 0, 1,2, … , � 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 45 
 
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 ,
l��n = 0, � ≠ , = 0, 1,2, … , � 
 (��) O polinômio interpolador de Lagrange é obtido por meio da combinação linear dos ,
(�), � = 0, 1, 2, … , �. 
 
Desta forma, temos que: 
 
,�(�) =‹ (� − ��)(�
 − ��)
�
��T�b
= (� − �T)(� − ��)… (� − �
+�)(� − �
)�)… (� − ��)(�
 − �T)(�
 − ��)… (�
 − �
+�)(�
 − �
)�)… (�
 − ��) 
 
Então, podemos procurar o polinômio Œ�(�) de grau ≤ � que passa pelos � + 1 pontos (�
 , r
) na 
forma: 
 
Œ�(�) =�r
,
(�)�
�T = rT,T(�) + r�,�(�) + ⋯+ r�,�(�) 
 
Exemplo 3.1: Dada a tabela de pontos abaixo: 
 
 0 1 2 3 
Ž 0 1 2 4 
 4 11 20 44 
 
Deterrmine: 
 
a) O polinômio interpolador de Lagrange que passa por todos os pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 46 
 
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b) A imagem de � = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício F08: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Sendo r = p(�) uma função conhecida nos pontos a seguir, estime um valor para r quando � = 1,07, utilizando o método de Lagrange. 
 
 0 1 2 
Ž 0,9 1,0 1,1 
 0,6216 0,5403 0,4536 
 
Compare o resultado com a função p(�) = cos(�) neste mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. MÉTODO DAS DIFERENÇAS DIVIDIDAS (NEWTON) 
 
Este método é baseado em um operador, denominado operador de diferenças divididas, 
denotado por ⏃, definido como sendo: 
 
a) Ordem 0: ⏃Tr
 = r
 
 
b) Ordem 1: ⏃�r
 = ⏃0‘e’i+⏃0‘e;e’i+;e = ‘e’i+‘e;e’i+;e 
 
c) Ordem 2: ⏃�r
 = ⏃i‘e’i+⏃i‘e;e’“+;e 
 
d) Ordem �: ⏃�r
 = ⏃g”i‘e’i+⏃g”i‘e;e’g+;e 
 
O polinômio interpolador será: 
 Œ�(�) = rT + (� − �T)⏃�rT + (� − �T)(� − ��)⏃�rT + (� − �T)(� − ��)(� − ��)⏃'rT +⋯+ (� − �T). . (� − ��+�)⏃�rT 
 
 
Exemplo 3.3: Para a tabala de ponto a seguir, pede-se: 
 
 0 1 2 3 
Ž 3 5 6 8 
 1,10 1,27 1,36 1,53 
 
a) Construir a tabela de diferenças divididas. 
 
Tabela de Diferenças Divididas  Ž ⏃– =  ⏃— ⏃˜ ⏃™ 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 49 
 
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b) Determinar o polinômio interpolador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcular a imagem do ponto � = 4. 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 50 
 
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Exercício F09: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Na tabela a seguir ] é a corrente elétrica e š é a voltagem. Estime um valor para š quando ] = 3, usando o método das diferenças divididas. 
 
 0 1 2 3 
› 1 2 4 8 
œ 120 94 75 62 
 
a) Contrução da Tabela 
Tabela de Diferenças Divididas  Ž ⏃– =  ⏃— ⏃˜ ⏃™ 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 51 
 
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4. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ASCENDENTES 
 
Também conhecido como método de Gregory-Newton. 
 
Quando os valores das abscissas �
 forem igualmente espaçadas, a formúla de Newton pode 
ser simplificada, resultando na fórmula de Gregory-Newton. 
 
Este método é baseado em um operador, denominado operador de diferença finita ascendente, 
denotado por ∆ e definido como se segue: 
 
a) Ordem 0: ΔTr
 = r
 
 
b) Ordem 1: Δ�r
 = ΔTr
)� − ∆Tr
 = r
)� − r
 
 
c) Ordem 2: Δ�r
 = Δ�r
)� − Δ�r
 
 
d) Ordem �: Δ�r
 = Δ�+�r
)� − Δ�+�r
 
 
A relação entre os operadores de diferença finita e dividida é dada pela expressão: 
 
⏃�r
 = ∆�r
�! ℎ� 
 
Onde: ℎ = �
)� − �
 
 
Assim o polinômio interpolador para o método de Gregory-Newton é determinado por: 
 
 
Œ�(�) = rT +  ∆�rT +  (  − 1) ∆�rT2! +  (  − 1)(  − 2)∆'rT3! + ⋯+  (  − 1)… (  − (� − 1)∆�rT�! 
 
Sendo:   = ;+;¡¢ 
 
Exemplo 3.5: A figura a seguir mostra o esboço do leito de um rio. A partir de uma linha reta, 
próxima a uma das margens, foram medidas distâncias (em metros) entre essa linha reta e as 
duas margens do rio, de 15 em 15 metros, a partir de um ponto fixado como origem. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 52 
 
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Tais dados foram registrados na tabela a seguir. 
Determinar o valor aproximado da largura do rio no ponto que dista 20 metros da origem. 
 
� 0 15 30 45 60 
r( �`) 50,00 86,00 146,00 73,50 50,00 
r(`�) 112,50 154,50 195,00 171,00 95,50 
 
(i) Determinação do comprimento das margens 
 
� 0 15 30 45 60 
r 
 
(ii) Construção da tabela de diferenças finitas ascendentes 
 
Tabela das Diferenças Finitas Ascendentes  Ž £– =  £— £˜ £™ £¤ 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
4 ---- ---- ---- ---- 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 53 
 
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(iii) Determinação do comprimento da margem no ponto desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício F10: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Dada a tabela abaixo: 
 
� 0 1 2 3 4 
�
 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 
r
 9,82 10,91 12,05 13,14 16,19 
 
Pede-se: 
(a) Construir a Tabela de diferenças finitas ascendentes 
 
Tabela das Diferenças Finitas Ascendentes  Ž £– =  £— £˜ £™ £¤ 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
4 ---- ---- ---- ---- 
 
(b) Encontrar a imagem de x = 4,7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
 
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Exercícios de Fixação: 
 
3.1) A tabela a seguir relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcular 
o calor específico da água a uma temperatura de 25ºC, usando um polinômio de 3º grau: 
 
(a) Pelo Método de Lagrange; 
 
(b) Pelo Método das diferenças divididas; 
 
Temperatura (ºC) Calor Específico 
20 0,99907 
30 0,99826 
45 0,99849 
55 0,99919 
 
3.2) A velocidade ¥ (em m/s) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, € 
segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando 
um polinômio de 4º grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do 
lançamento. 
 
Tempo (s) 0 8 20 30 45 
Velocidade (m/s) 0,000 52,032 160,450 275,961 370,276 
 
 
3.3) Na tabela abaixo, ƒ é a distância, em metros, percorrida por uma bala ao longo do cano 
de um canhão em € segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter 
sido disparada, usando todos os dados abaixo. 
 ¦ (s) 0 2 4 6 8 § (m) 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103 
 
3.4) Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura (em ºC) numa região de uma 
cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12h. Determinar, usando todos os dados da 
tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas. 
 
Dia 
Hora 
1 2 3 
6 18 17 18 
8 20 20 21 
10 24 25 22 
12 28 27 23 
 
3.5) A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os valores da tabela 
anterior, determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100ºC. 
 
Temperatura (ºC) Velocidade (m/s) 
86,0 1552 
93,3 1548 
98,9 1544 
104,4 1538 
110,0 1532 
 
 
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3.6) A que temperaturaa água entra em ebulição no Pico da Bandeira (altitude = 2890m), 
sabendo que o ponto de ebulição da água varia com a altitude, conforme mostra a tabela 
abaixo. 
 
Altitude 
(m) 
Ponto de Ebulição 
da Água (ºC) 
850 
950 
1050 
1150 
1250 
. 
. 
. 
2600 
2700 
2800 
2900 
3000 
97,18 
96,84 
96,51 
96,18 
95,84 
. 
. 
. 
91,34 
91,01 
90,67 
90,34 
90,00 
 
Usando esta mesma tabela, determinar o ponto de ebulição da água em um local em Belo 
Horizonte que possui altitude igual a 1000m. 
 
 
3.7) Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste 
trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em 
alguns pontos entre as duas cidades. 
 
Tempo 
(min) 
Distância 
(m) 
0 
10 
30 
60 
90 
120 
140 
0 
8 
27 
58 
100 
145 
160 
 
Determinar: 
 
(a) Qual foi aproximadamente a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 
minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela? 
 
(b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho? (Usar todos 
os pontos) 
 
3.8) Dada a função f conhecida pelos seus pontos da tabela a seguir, pede-se: 
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ž 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8 9,6  2 5 3 8 4 9 5 7 3 6 4 8 5 
 
Determinar: 
 
(a) p(3) usando um polinômio interpolador de 5º grau. 
(b) p(6) usando um polinômio interpolador de 4º grau 
(c) p(9) usando um polinômio interpolador de 3º grau. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 57 
 
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Capítulo 4: 
 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
� Objetivo: Apresentar métodos numéricos para resolver numericamente uma integral. 
 
� Sabe-se pelo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que: 
 
¨p(�)ƒ�<d = ©(
) − ©(�) 
 
onde ©(�) é uma primitiva de p(�), isto é, ©„(�) = p(�). 
 
� Na determinação numérica de uma integral, várias situações podem ocorrer: 
 
• A determinação da primitiva ©(�) pode ser difícil; 
 
• A função p a integrarpode não possuir uma primitiva ©. Por exemplo, o cálculo da 
integral ª y+;“ƒ�<d não é possível de ser resolvida pela aplicação do TFC, uma vez que 
não existe função ©(�) cuja derivada seja p(�) = y+;“; 
 
• A função p pode ser conhecida pelos seus pontos (�
 , p(�
)) e não pela sua expressão 
analítica. 
 
� Em situações como as citadas anteriormente se justifica a aplicação de métodos numéricos. 
 
2. Fórmulas de Newton-Côtes 
 
� A idéia dessa família de procedimentos é dividir o intervalo ��, 
� em � subintervalos de 
mesmo espaçamento ℎ = (
 − �) �⁄ e substituir p pelo polinômio interpolador de Gregory-
Newton de grau �. Assim, 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d = ¨Œ�(�)ƒ�
<
d 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 58 
 
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sendo 
Œ�(�) = rT +  ∆�rT +  (  − 1) ∆�rT2! +  (  − 1)(  − 2) ∆'rT3! + ⋯+  (  − 1)… ( − (� − 1) ∆�rT�! 	
 
 e 
 
  = � − �Tℎ 
 
� Para calcular o erro cometido na integração (_
) basta integrar o erro da interpolação (_¬) 
 
2.1. Regra dos Trapézios 
 
() Fórmula Simples 
 
 
� A idéia desse procedimento é substituir a função p a integrar pelo polinômio interpolador de 
Gregory-Newton de grau � = 1, ou seja, por Œ�(�) = rT +  ∆rT. Tem-se, portanto 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈ ¨Œ�(�)ƒ�
<
d = ¨(rT +  ∆rT)ƒ�
<
d 
 
� Portanto, ao se substituir p por Œ�(�) obtemos a seguinte aproximação: 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈
ℎ2 �rT + r�� 
 
� Geometricamente, a fórmula anterior indica a área da figura compreendida entre as retas � = � e � = 
, o eixo O� e o polinômio interpolador Œ�(�), isto é, a área de um trapézio. Como 
sabemos, a área de um trapézio vale a metade do produto da altura ℎ pela soma da base 
menor (no nosso caso, rT) com a base maior (no nosso caso, r�). 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 59 
 
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() Fórmula Composta 
 
� A idéia deste procedimento é dividir o intervalo ��, 
� em � subintervalos de mesmo 
espaçamento ℎ = (
 − �) �⁄ e aplicar a cada sub-intervalo ��
 , �
)��∀� = 0,1, … , � − 1 a fórmula 
simples da regra dos Trapézios. 
 
� Desta forma, a fórmula composta da regra dos Trapézios é, portanto: 
 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈
ℎ2 �rT + 2r� + 2r� +⋯+ 2r�+� + r�� 
 
Exemplo 4.1: Calcule o valor da seguinte integral (retenha 4 casas decimais durante os 
cálculos): 
 
] = ¨ 11 + �� ƒ�
�
T 
 
Pela fórmula composta da Regra dos Trapézios com �=10. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 60 
 
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 Ž  = ®(Ž) ¯ ¯ ×  
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
�/
r
�T
�T = 
 
 
 
 
 
2.2. 1ª Regra de Simpson 
 
() Fórmula Simples 
 
� A idéia desse procedimento é substituir a função p a integrar pelo polinômio interpolador de 
Gregory-Newton de grau � = 2, ou seja, por Œ�(�) = rT +  ∆rT +  (  − 1) ∆“‘¡�! . 
 
� Tem-se, portanto 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈ ¨Œ�(�)ƒ�
<
d = ¨(rT +  ∆rT +  (  − 1)
∆2r02! )ƒ�
<
d 
 
� Portanto, ao se substituir p por Œ�(�) obtemos a seguinte aproximação: 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈
ℎ3 �rT + 4r� + r�� 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 61 
 
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() Fórmula Composta 
 
� A idéia deste procedimento é dividir o intervalo ��, 
� em � subintervalos de mesmo 
espaçamento ℎ = (
 − �) �⁄ e aplicar a cada par de sub-intervalos ��
+�, �
�, ��
 , �
)��∀� = 1,2, … , � −1 a fórmula simples da 1ª Regra de Simpson. 
 
� Desta forma, obtém-se: 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈
ℎ3 �rT + 4r� + 2r� + 4r' + 2ro +⋯+ 2r�+� + 4r�+� + r�� 
 
sendo � um número par. 
 
Exemplo 4.3: Determine o valor da seguinte integral (retenha 4 casas decimais durante os 
cálculos): 
] = ¨ 11 + �� ƒ�
�
T 
Pela fórmula composta da 1ª Regra de Simpson com �=10. 
 Ž  = ®(Ž) ¯ ¯ ×  
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
�/
r
�T
�T = 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 62 
 
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2.3. 2ª Regra de Simpson 
 
() Fórmula Simples 
 
� A idéia desse procedimento é substituir a função p a integrar pelo polinômio interpolador de 
Gregory-Newton de grau � = 3, ou seja, por Œ'(�) = rT +  ∆rT +  (  − 1) ∆“‘¡�! +  (  − 1)(  − 2) ∆°‘¡'! . 
 
� Tem-se, portanto 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈ ¨Œ'(�)ƒ�
<
d = ¨(rT +  ∆rT +  (  − 1)
∆2r02! +  (  − 1)(  − 2) ∆3r03! )ƒ�
<
d 
 
� Portanto, ao se substituir p por Œ'(�) obtemos a seguinte aproximação: 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈
3ℎ8 �rT + 3r� + 3r� + r'� 
 
() Fórmula Composta 
 
� A idéia deste procedimento é dividir o intervalo ��, 
� em � subintervalos de mesmo 
espaçamento ℎ = (
 − �) �⁄ e aplicar a cada 4 pontos, isto é, a cada três sub-intervalos ��
+�, �
�, ��
 , �
)��, ��
)�, �
)��	∀� = 1,2, … , � − 2 a fórmula simples da 2ª Regra de Simpson. 
 
� Desta forma, obtém-se: 
 
] = ¨p(�)ƒ�<d ≈	
3ℎ8 �rT + 3r� + 3r� + 2r' + 3ro + 3r± +⋯+ 2r�+' + 3r�+� + 3r�+� + r�� 
 
sendo � um múltiplo de 3. 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 63 
 
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Exemplo 4.4: Calcule o valor da seguinte integral: 
 
] = ¨ 11 + �� ƒ�
�
T 
 
Pela fórmula composta da 2ª Regra de Simpson com �=9. 
 Ž  = ®(Ž) ¯ ¯ ×  
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
�/
r
²
�T = 
 
 
 
 
 
2.4. Observações Finais: 
 
Analisando-se as expressões dos erros das fórmulas compostas das três regras, é possível 
estabelecer a seguinte prioridade de uso: 
 
(1) 1ª Regra de Simpson, a qual exige que � seja par; 
 
(2) 2ª Regra de Simpson, a qual exige que � seja múltiplo de 3; 
 
(3) Regra dos Trapézios, na qual � pode ser qualquer número. 
 
 
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Exercício F11: (Deve ser resolvido e entregue na aula) 
 
Aluno: 
 
Calcule o valor da seguinte integral, com n=12 (retenha 4 casas decimais durante os cálculos): 
 
] = ¨ y+;“ƒ�',±T,± 
 
 
(a) pela fórmula composta da regra dos trapézios: Ž  = ®(Ž) ¯ ¯ ×  
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
�/
r
��
�T = 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 65 
 
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(b) pela fórmula composta da 1ª Regra de Simpson: 
 Ž  = ®(Ž) ¯ ¯ ×  
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
�/
r
��
�T = 
 
 
c) pela fórmula composta da 2ª Regra de Simpson: 
 Ž  = ®(Ž) ¯ ¯ ×  
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
�/
r
��
�T = 
 
 
 
 
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Exercícios de Fixação: 
 
4.1) Calcular o valor das integrais abaixo, usando � = 6, pela Regra do Trapézio, pela 1ª Regra 
de Simpson e pela 2ª Regra de Simpson: 
 
(a) (b) (c) 
] = ¨ cos�1 + � ƒ��T ] = ¨ 1�� ƒ�o,±o ] = ¨ (3�� − 2� + 6)	2; ƒ�o,�' 
 
4.2) Dada a função r = p(�) através da tabela abaixo, calcular o valor da integral usando o 
método mais preciso: ] = ¨ p(�)'T 	ƒ� � �
 r
 
0 0,0 5,021 
1 0,5 6,146 
2 1,0 6,630 
3 1,5 6,945 
4 2,0 7,178 
5 2,5 7,364 
6 3,0 7,519 
 
4.3) Calcular o valor da integral para � = 4, usando a Regra dos Trapézios: 
 
¨ sen�(� + 1) cos(��) ƒ�³�T 
 
4.4) Calcular o valor da integral para		� = 6, usando a 2ª Regra de Simpson: 
 ] = ¨ ��(� − 2)� ƒ�+�+� 
 
4.5) Calcular o valor da integral para � = 9, usando o método mais preciso: 
 ] = ¨ y�;ƒ��,±� 
 
4.6) Dada a função r = p(�), definida através da tabela abaixo: 
 � �
 r
 
0 1,0 0,099 
1 1,1 0,131 
2 1,2 0,163 
3 1,3 0,194 
4 1,4 0,224 
5 1,5 0,253 
6 1,6 0,281 
Calcular ª p(�)ƒ��,´� , aplicando: 
 
a) A 1ª regra de Simpson 
 
b) A 2ª regra de Simpson 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 67 
 
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Bibliografia: 
 
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos 
teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. 406p. 
 
FRANCO, Neide Maria Bertoldi. Cálculo númerico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
505p. 
 
SOUZA, M. J. F. Notas de Aula de Cálculo Numérico. Disponível em: 
http://www.decom.ufop.br/prof/marcone/Disciplinas/CalculoNumerico/cn.htm. Acesso em: 
20/07/2009.