9 - Tensões no solo decorentes de carregamentos

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<p>MECÂNICA DOS SOLOS</p><p>Tensões no solo decorrentes de carregamentos</p><p>verticais aplicados na superfície</p><p>1</p><p>Prof. Dr. Eric Ribeiro da Silva</p><p>Profª Dra. Kamila Rodrigues Cassares Seko</p><p>Prof. MSc. Paulo Afonso C. Luz</p><p>Distribuição de tensões</p><p>2</p><p>Ao aplicar uma carga na superfície de um terreno em uma área bem</p><p>definida, experiências mostram que os acréscimos de tensão a uma</p><p>certa profundidade não se limitam à área de carregamento.</p><p>Aumento da área atingida com a profundidade.</p><p>Acréscimos de</p><p>tensão não se</p><p>limitam à área</p><p>de aplicação</p><p>da tensão na</p><p>superfície</p><p>Distribuição de tensões</p><p>3</p><p>Devido ao aumento da área atingida com a profundidade, os</p><p>acréscimos de tensão abaixo da área carregada diminuem com o</p><p>aumento da profundidade.</p><p>Aumento da área atingida com a profundidade.</p><p>Acréscimos de</p><p>tensão não se</p><p>limitam à área</p><p>de aplicação</p><p>da tensão na</p><p>superfície</p><p>Diminuição da</p><p>tensão com a</p><p>profundidade.</p><p>Distribuição de tensões</p><p>4</p><p>Bulbo de tensões.</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.152)</p><p>Bulbos de tensão –</p><p>união dos pontos no</p><p>interior do solo que</p><p>apresentam o mesmo</p><p>valor de acréscimo de</p><p>tensão</p><p>Metodologias disponíveis</p><p>5</p><p>Há inúmeras metodologias para a determinação do acréscimo de</p><p>tensão a uma certa profundidade devido a um carregamento apli-</p><p>cado na superfície.</p><p>➢ Espraiamento de tensões</p><p>➢ Teoria da Elasticidade – Solução de BOUSSINESQ</p><p>➢ Teoria da Elasticidade – Solução de NEWMARK</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>6</p><p>Espraiamento das tensões.</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.152)</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>2 × 𝐿</p><p>2 × 𝐿 + 2 × 𝑧 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 𝜎0</p><p>• Faixa de comprimento</p><p>infinito e largura 2L;</p><p>• 𝜎0 - Carregamento</p><p>uniformemente distribuído;</p><p>• Profundidade 𝑧.𝝈𝒁</p><p>Nesta metodologia, as tensões se distribuem em áreas crescentes com a</p><p>profundidade. Este crescimento é uniforme e apresenta um ângulo de</p><p>espraiamento de 30°.</p><p>𝝈𝟎 para z=0m</p><p>𝒛</p><p>Área a ser carregada na profundidade 𝒛</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>7</p><p>No caso de áreas de formato quadrado ou circular, a metodologia a ser</p><p>empregada é a mesma. Deve ser considerado um espraiamento em todas as</p><p>direções.</p><p>Esta metodologia é considerada simples, porém se trata de uma estimativa</p><p>considerada grosseira, já que as tensões a uma certa profundidade não</p><p>são distribuídas uniformemente.</p><p>Distribuição das tensões com a</p><p>profundidade.</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.151)</p><p>As tensões se</p><p>concentram na</p><p>proximidade do eixo</p><p>de simetria da área</p><p>carregada</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>8</p><p>Espraiamento de tensões com carga dividida em suas faixas.</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.153)</p><p>Problema: probabilidade</p><p>de obter de uma tensão</p><p>na região central a uma</p><p>pequena profundidade</p><p>maior que a tensão</p><p>aplicada na superfície</p><p>Coerência: um valor de tensão</p><p>maior que nas laterais</p><p>Se considerar duas faixas de carregamento e que cada uma apresenta uma</p><p>largura L, o espraiamento de tensões deve ser aplicado a cada faixa como</p><p>apresentado a seguir.</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>9</p><p>Exemplo 1: Determinar o valor da tensão para as seguintes</p><p>profundidades: 1 m; 2,5 m e 5,0 m.</p><p>𝟏, 𝟓𝟎𝒎</p><p>𝒒 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑷𝒂</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>10</p><p>Exemplo 1: Determinar o valor da tensão para as seguintes</p><p>profundidades: 1 m; 2,5 m e 5,0 m.</p><p>Para z = 1,0 m, tem-se:</p><p>𝟏, 𝟓𝟎𝒎</p><p>𝒒 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑷𝒂</p><p>𝜎𝑧 =</p><p>2 × 𝐿</p><p>2 × 𝐿 + 2 × 𝑧 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 𝜎0</p><p>𝜎𝑧 =</p><p>1,50</p><p>1,50 + 2 × 1 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 1.000 → 𝜎𝑧 = 565,04𝑘𝑃𝑎</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>11</p><p>(continuação)</p><p>Exemplo 1: Determinar o valor da tensão para as seguintes</p><p>profundidades: 1 m; 2,5 m e 5,0 m.</p><p>Para z = 2,50 m, tem-se:</p><p>𝟏, 𝟓𝟎𝒎</p><p>𝒒 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑷𝒂</p><p>𝜎𝑧 =</p><p>2 × 𝐿</p><p>2 × 𝐿 + 2 × 𝑧 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 𝜎0</p><p>𝜎𝑧 =</p><p>1,50</p><p>1,50 + 2 × 2,50 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 1.000 → 𝜎𝑧 = 341,94𝑘𝑃𝑎</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>12</p><p>(continuação)</p><p>Exemplo 1: Determinar o valor da tensão para as seguintes</p><p>profundidades: 1 m; 2,5 m e 5,0 m.</p><p>Para z = 5,0 m, tem-se:</p><p>𝟏, 𝟓𝟎𝒎</p><p>𝒒 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑷𝒂</p><p>𝜎𝑧 =</p><p>2 × 𝐿</p><p>2 × 𝐿 + 2 × 𝑧 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 𝜎0</p><p>𝜎𝑧 =</p><p>1,50</p><p>1,50 + 2 × 5,00 × 𝑡𝑔 30°</p><p>× 1.000 → 𝜎𝑧 = 206,23𝑘𝑃𝑎</p><p>Espraiamento de tensões</p><p>13</p><p>(continuação)</p><p>Exemplo 1: Determinar o valor da tensão para as seguintes</p><p>profundidades: 1 m; 2,5 m e 5,0 m.</p><p>𝟏, 𝟓𝟎𝒎</p><p>𝒒 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑷𝒂</p><p>Profundidade (m) Área carregada na</p><p>profundidade z</p><p>(m²/m)</p><p>Acréscimo de tensão</p><p>devido carregamento q</p><p>(kPa)</p><p>1,00 2,655 565,04</p><p>2,50 4,387 341,94</p><p>5,00 7,274 206,23</p><p>Aumento da</p><p>área carregada</p><p>com a</p><p>profundidade</p><p>Diminuição da</p><p>tensão com a</p><p>profundidade.</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>14</p><p>Espraiamento de tensões com carga dividida em suas faixas.</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.154)</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑟2 + 𝑧2</p><p>5</p><p>2</p><p>× 𝑄</p><p>BOUSSINESQ determinou as tensões, deformações e deslocamentos no</p><p>interior de uma massa considerada elástica, homogênea e isotrópica que</p><p>está em um semiespaço infinito de superfície horizontal decorrente de um</p><p>carregamento vertical e pontual aplicado na superfície deste semiespaço.</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>15</p><p>Exemplo 2: Determinar o valor do acréscimo de tensão sob</p><p>o ponto de aplicação de carga vertical e pontual de 1.000 kN.</p><p>Considerar valores de profundidades a partir de 2,0 m,</p><p>inclusive, com acréscimos de 1,0 m até atingir 20,0 m.</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>16</p><p>(continuação)</p><p>Exemplo 2: Determinar o valor do acréscimo de tensão sob</p><p>o ponto de aplicação de carga vertical e pontual de 1.000 kN.</p><p>Considerar valores de profundidades a partir de 2,0 m,</p><p>inclusive, com acréscimos de 1,0 m até atingir 20,0 m.</p><p>Interpretando o enunciado, sabemos que 𝑟 = 0,0 𝑚.</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑟2 + 𝑧2</p><p>5</p><p>2</p><p>× 𝑄 → 𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑧5</p><p>× 𝑄</p><p>𝑟 = 0𝑚</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑧2 × 𝑄</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>17</p><p>Exemplo 2: (continuação)</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑧2</p><p>× 𝑄</p><p>Profundidade</p><p>(m)</p><p>𝝈𝑽</p><p>(kPa)</p><p>2,00 119,37</p><p>3,00 53,05</p><p>4,00 29,84</p><p>5,00 19,10</p><p>6,00 13,26</p><p>7,00 9,74</p><p>8,00 7,46</p><p>9,00 5,90</p><p>10,00 4,78</p><p>11,00 3,95</p><p>Profundidade</p><p>(m)</p><p>𝝈𝑽</p><p>(kPa)</p><p>12,00 3,32</p><p>13,00 2,83</p><p>14,00 2,44</p><p>15,00 2,12</p><p>16,00 1,87</p><p>17,00 1,65</p><p>18,00 1,47</p><p>19,00 1,32</p><p>20,00 1,19</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>18</p><p>Espraiamento de tensões com carga dividida em suas faixas.</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.154)</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑟2 + 𝑧2</p><p>5</p><p>2</p><p>× 𝑄</p><p>𝑟 = 0𝑚</p><p>Q=1.000kN</p><p>Exemplo 2: (continuação)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>19</p><p>Exemplo 3: Determinar o valor do acréscimo de tensão a 2,0</p><p>m de distância do ponto de aplicação de carga vertical e</p><p>pontual de 1.000 kN. Considerar os seguintes valores de</p><p>profundidades: 2,0 m; 5,0 m; 8,0 m; 10,0 m e 20,0 m.</p><p>Interpretando o enunciado, sabemos que 𝑟 = 2,0 𝑚.</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑟2 + 𝑧2</p><p>5</p><p>2</p><p>× 𝑄</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>20</p><p>Exemplo 3: (continuação)</p><p>Profundidade</p><p>(m)</p><p>𝝈𝑽</p><p>(kPa)</p><p>2,00 21,10</p><p>5,00 13,18</p><p>8,00 6,41</p><p>10,00 4,33</p><p>20,00 1,16</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑟2 + 𝑧2</p><p>5</p><p>2</p><p>× 𝑄</p><p>Teoria da Elasticidad</p><p>Solução de BOUSSINESQ</p><p>21</p><p>Comparação entre os resultados dos Exemplos 2 e 3.</p><p>Profundidade</p><p>(m)</p><p>Para r = 0,0 m</p><p>𝝈𝑽 (kPa)</p><p>Para r = 2,0 m</p><p>𝝈𝑽 (kPa)</p><p>2,00 119,37 21,10</p><p>5,00 19,10 13,18</p><p>8,00 7,46 6,41</p><p>10,00 4,78 4,33</p><p>20,00 1,19 1,16</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>3 × 𝑧3</p><p>2 × 𝜋 × 𝑟2 + 𝑧2</p><p>5</p><p>2</p><p>× 𝑄</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>22</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.155)</p><p>NEWMARK tinha o objetivo de calcular as tensões geradas no interior do</p><p>semiespaço infinito de superfície horizontal por carregamentos</p><p>uniformemente distribuídos em uma área retangular. Com o intuito de</p><p>atingir o objetivo, NEWMARK integrou a solução de BOUSSINESQ e obteve a</p><p>equação para o cálculo da tensão em um ponto abaixo da vertical passando</p><p>pela aresta da área retangular.</p><p>𝑚 =</p><p>𝑏</p><p>𝑧</p><p>𝑛 =</p><p>𝑎</p><p>𝑧</p><p>a = nz</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>𝜎0</p><p>4 × 𝜋</p><p>×</p><p>2𝑚𝑛 𝑚2 + 𝑛2 + 1 0,5 𝑚2 + 𝑛2 + 2</p><p>𝑚2 + 𝑛2 + 1 + 𝑚2𝑛² 𝑚2 + 𝑛2 + 1</p><p>+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔</p><p>2𝑚𝑛 𝑚2 + 𝑛2 + 1 0,5</p><p>𝑚2 + 𝑛2 + 1 − 𝑚2𝑛²</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>23</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.155)</p><p>𝜎𝑉 =</p><p>𝜎0</p><p>4 × 𝜋</p><p>×</p><p>2𝑚𝑛 𝑚2 + 𝑛2 + 1 0,5 𝑚2 + 𝑛2 + 2</p><p>𝑚2 + 𝑛2 + 1 + 𝑚2𝑛² 𝑚2 + 𝑛2 + 1</p><p>+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔</p><p>2𝑚𝑛 𝑚2 + 𝑛2 + 1 0,5</p><p>𝑚2 + 𝑛2 + 1 − 𝑚2𝑛²</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>𝝈𝑽 = 𝝈𝟎 × 𝑰</p><p>𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑰</p><p>a = nz</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>24</p><p>FONTE: PINTO (2006, p.156)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>25FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>26FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>27</p><p>Exemplo 4: Uma construção industrial apresenta uma</p><p>planta retangular e aplicará no solo uma pressão</p><p>uniformemente distribuída de 50 kPa. Determinar o</p><p>acréscimo de tensão segundo a vertical passando pelos</p><p>pontos A, B, C e D para 6,0 m de profundidade pela Solução</p><p>de NEWMARK. B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>28</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO A:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>As quatro áreas são iguais – N° Áreas = 4</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 24,0x6,0 4 1 4</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>29FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>m=1</p><p>n=4</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>30FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>m=1</p><p>Interpolação</p><p>linearn=4</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>31</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO A:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>As quatro áreas são iguais – N° Áreas = 4</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 24,0x6,0 4 1 4 0,2035 0,814 40,7</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de Newmark</p><p>32</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO B:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1 2</p><p>As duas áreas são iguais – N° Áreas = 2</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 24x12 2 2 4</p><p>Teoria da Elasticidade:</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>33FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>m=2</p><p>Interpolação</p><p>linearn=4</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>34</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO B:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1 2</p><p>As duas áreas são iguais – N° Áreas = 2</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 24x12 2 2 4 0,2385 0,477 23,85</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>35</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO C:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1</p><p>2</p><p>As duas áreas são iguais – N° Áreas = 2</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 48,0x6,0 2 1 8</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>36FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>m=1</p><p>Interpolação</p><p>linear n=8</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>37</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO C:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1</p><p>2</p><p>As duas áreas são iguais – N° Áreas = 2</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 48,0x6,0 2 1 8 0,2046 0,4092 20,46</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>38</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO D:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1</p><p>Uma única área – N° Áreas = 1</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 48x12 1 2 8</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>39FONTE: PINTO (2006, p.157)</p><p>m=2</p><p>Interpolação</p><p>linear n=8</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>40</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>• PONTO D:</p><p>B</p><p>A C</p><p>D</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>1</p><p>Uma única área – N° Áreas = 1</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Área Nº Áreas</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6,0 48x12 1 2 8 0,2396 0,2396 11,98</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>41</p><p>𝜎𝐵 =23,85kPa</p><p>𝜎𝐴 = 40,70𝑘𝑃𝑎</p><p>𝜎𝐶 = 20,46𝑘𝑃𝑎</p><p>𝜎𝐷 = 11,98𝑘𝑃𝑎</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>Exemplo 4: (continuação)</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>42</p><p>Exemplo 5: Considerando a construção industrial do</p><p>exemplo 4, determinar o acréscimo de tensão para o ponto E</p><p>a 6,0 m de profundidade pela Solução de NEWMARK.</p><p>E</p><p>24m 24m</p><p>48m</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6m</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>43</p><p>Exemplo 5: (continuação)</p><p>E</p><p>24m 24m</p><p>54m</p><p>1</p><p>8</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6m</p><p>Esta área está excedente</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>44</p><p>Exemplo 5: (continuação)</p><p>E</p><p>24m 24m</p><p>54m</p><p>1</p><p>8</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6m</p><p>Esta área de 54 m x 6 m</p><p>deverá ser descontada</p><p>Esta área de 54 m x 6 m</p><p>deverá ser descontada</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>45</p><p>Exemplo 5: (continuação)</p><p>24m 24m</p><p>54m</p><p>1</p><p>8</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6m</p><p>Esta área de 6 m x 18 m</p><p>também deverá ser</p><p>descontada</p><p>E</p><p>Esta área de 54 m x 6 m</p><p>deverá ser descontada</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>46</p><p>Exemplo 5: (continuação)</p><p>24m 24m</p><p>54m</p><p>1</p><p>8</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6m</p><p>Esta área de 6 m x 18 m</p><p>também deverá ser</p><p>descontada</p><p>E</p><p>Esta área de 6 m x 6 m</p><p>também deverá ser</p><p>acrescida</p><p>1</p><p>2</p><p>m</p><p>Teoria da Elasticidade</p><p>Solução de NEWMARK</p><p>47</p><p>Exemplo 5: (continuação)</p><p>48m</p><p>54m</p><p>1</p><p>8</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>6m</p><p>EH</p><p>G</p><p>F</p><p>KL</p><p>I</p><p>J</p><p>D</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Retângulo Área</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6 EFGH 54x18</p><p>EKLH 54x6</p><p>EFIJ 6x18</p><p>EKDJ 6x6</p><p>Prof. - z</p><p>(m)</p><p>Retângulo Área</p><p>𝒎 =</p><p>𝒃</p><p>𝒛</p><p>𝒏 =</p><p>𝒂</p><p>𝒛</p><p>Iárea Itotal 𝝈𝒗 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝝈𝟎</p><p>(kPa)</p><p>6 EFGH 54x18 3 9 0,2468 0,014 0,70kPa</p><p>EKLH 54x6 1 9 -0,2048</p><p>EFIJ 6x18 1 3 -0,203</p><p>EKDJ 6x6 1 1 0,175</p><p>CAPUTO, H. P., CAPUTO, A. N. Mecânica dos solos e suas</p><p>aplicações. 7. ed., V1 – Fundamentos. Editora LTC, Rio de</p><p>Janeiro, 2016.</p><p>PINTO, Carlos de Souza. Curso básico de mecânica dos solos:</p><p>em 16 aulas. 3. ed. Oficina de Textos, São Paulo, 2006.</p><p>48</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>Slide 1: MECÂNICA DOS SOLOS</p><p>Slide 2: Distribuição de tensões</p><p>Slide 3: Distribuição de tensões</p><p>Slide 4: Distribuição de tensões</p><p>Slide 5: Metodologias disponíveis</p><p>Slide 6: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 7: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 8: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 9: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 10: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 11: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 12: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 13: Espraiamento de tensões</p><p>Slide 14: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 15: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 16: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 17: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 18: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 19: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 20: Teoria da Elasticidade Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 21: Teoria da Elasticidad Solução de BOUSSINESQ</p><p>Slide 22: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 23: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 24: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 25: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 26: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 27: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 28: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 29: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 30: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 31: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 32: Teoria da Elasticidade Solução</p><p>de Newmark</p><p>Slide 33: Teoria da Elasticidade: Solução de NEWMARK</p><p>Slide 34: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 35: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 36: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 37: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 38: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 39: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 40: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 41: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 42: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 43: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 44: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 45: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 46: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 47: Teoria da Elasticidade Solução de NEWMARK</p><p>Slide 48: Referências Bibliográficas</p>