calculo hard 2MRP

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<p>d) -4</p><p>**Resposta: d) -4**</p><p>**Explicação:** A derivada \(f'(x) = 5x^4 - 15x^2\). Avaliando em \(x = 1\), temos \(f'(1) =</p><p>5(1)^4 - 15(1)^2 = 5 - 15 = -10\).</p><p>19. **Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de \(n\) lados?**</p><p>a) \(180(n-2)\)</p><p>b) \(360(n-2)\)</p><p>c) \(90(n-2)\)</p><p>d) \(180n\)</p><p>**Resposta: a) \(180(n-2)\)**</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono de \(n\) lados é dada pela</p><p>fórmula \(180(n-2)\).</p><p>20. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 3**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\). Assim, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3\cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} =</p><p>3\cdot 1 = 3\).</p><p>21. **Qual é a solução da equação \(x^2 + 4x + 4 = 0\)?**</p><p>a) \(x = -2\)</p><p>b) \(x = 2\)</p><p>c) \(x = 0\)</p><p>d) \(x = -4\)</p><p>**Resposta: a) \(x = -2\)**</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + 2)^2 = 0\), resultando em uma</p><p>solução única \(x = -2\).</p><p>22. **Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\)?**</p><p>a) \(\frac{\pi}{4}\)</p><p>b) \(\frac{1}{2}\)</p><p>c) \(\frac{\pi}{2}\)</p><p>d) \(\frac{1}{4}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{\pi}{4}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Assim,</p><p>\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx +</p><p>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) =</p><p>\frac{\pi}{4}\).</p><p>23. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx}(e^{2x} \sin(x))\)?**</p><p>a) \(e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x))\)</p><p>b) \(e^{2x} (2\sin(x) - \cos(x))\)</p><p>c) \(2e^{2x} \sin(x)\)</p><p>d) \(e^{2x} \sin(x)\)</p><p>**Resposta: a) \(e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x))\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \((uv)' = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v =</p><p>\sin(x)\). Assim, \(u' = 2e^{2x}\) e \(v' = \cos(x)\). Portanto, a derivada é \(2e^{2x} \sin(x) +</p><p>e^{2x} \cos(x) = e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x))\).</p><p>24. **Qual é a soma dos primeiros \(n\) números inteiros?**</p><p>a) \(\frac{n(n-1)}{2}\)</p><p>b) \(\frac{n(n+1)}{2}\)</p><p>c) \(n^2\)</p><p>d) \(\frac{n^2 + n}{2}\)</p><p>**Resposta: b) \(\frac{n(n+1)}{2}\)**</p><p>**Explicação:** A soma dos primeiros \(n\) números inteiros é dada pela fórmula</p><p>\(\frac{n(n+1)}{2}\).</p><p>25. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 5}{x^2 + 4}\)?**</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>**Resposta: a) 2**</p><p>**Explicação:** Para calcular o limite, dividimos todos os termos pelo maior grau de</p><p>\(x\) no denominador: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}}{1 +</p><p>\frac{4}{x^2}} = \frac{2 + 0 - 0}{1 + 0} = 2\).</p><p>26. **Qual é a solução da equação \(4x^2 - 12x + 9 = 0\)?**</p><p>a) \(x = 1.5\)</p><p>b) \(x = 3\)</p><p>c) \(x = -1.5\)</p><p>d) \(x = 0\)</p><p>**Resposta: b) \(x = 3\)**</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((2x - 3)^2 = 0\), resultando em uma</p><p>solução única \(x = 1.5\).</p><p>27. **Qual é o valor de \(\int e^{3x} \, dx\)?**</p><p>a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)</p><p>b) \(3 e^{3x} + C\)</p><p>c) \(e^{3x} + C\)</p><p>d) \(\frac{1}{2} e^{3x} + C\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral de \(e^{ax}\) é \(\frac{1}{a} e^{ax} + C\). Portanto, \(\int e^{3x} \,</p><p>dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C\).</p><p>28. **Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono?**</p><p>a) \(720^\circ\)</p><p>b) \(540^\circ\)</p><p>c) \(360^\circ\)</p><p>d) \(180^\circ\)</p><p>**Resposta: a) \(720^\circ\)**</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por \(180(n-2)\).</p><p>Para um hexágono, \(n = 6\), então \(180(6-2) = 720^\circ\).</p><p>29. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx}(x^2 \ln(x))\)?**</p><p>a) \(2x \ln(x) + x\)</p><p>b) \(2x \ln(x) - x\)</p><p>c) \(x^2 \cdot \frac{1}{x}\)</p><p>d) \(x^2 \ln(x)\)</p><p>**Resposta: a) \(2x \ln(x) + x\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \((uv)' = u'v + uv'\), onde \(u = x^2\) e \(v =</p><p>\ln(x)\). Assim, \(u' = 2x\) e \(v' = \frac{1}{x}\). Portanto, a derivada é \(2x \ln(x) + x\).</p><p>30. **Qual é o valor de \(\int_0^1 x^2 (1 - x) \, dx\)?**</p><p>a) \(\frac{1}{4}\)</p><p>b) \(\frac{1}{6}\)</p><p>c) \(\frac{1}{3}\)</p><p>d) \(\frac{1}{5}\)</p><p>**Resposta: b) \(\frac{1}{6}\)**</p><p>**Explicação:** Para calcular a integral, expandimos \(x^2(1 - x) = x^2 - x^3\). Assim,</p><p>\(\int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} -</p><p>\frac{1}{4}\right) = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}\).</p><p>31. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k\). Assim, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2\cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} =</p><p>2\cdot 1 = 2\).</p><p>32. **Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\)?**</p><p>a) \(x = 1\)</p><p>b) \(x = -1\)</p>