disciplina UK

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<p>B) \( 4 \)</p><p>C) \( 5 \)</p><p>D) \( 6 \)</p><p>**Resposta: B)** A integral é \( \int (2x) \, dx = x^2 \) e \( \int 3 \, dx = 3x \). Avaliando de 0 a</p><p>1: \( [1^2 + 3(1)] - [0] = 1 + 3 = 4 \).</p><p>61. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 5</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: B)** Usando a propriedade fundamental de limites, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(5x)}{x} = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5 \).</p><p>62. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?</p><p>A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)</p><p>D) \( \frac{1}{x} \)</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>63. Calcule o valor de \( \int (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx \).</p><p>A) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \)</p><p>B) \( 4x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5 + C \)</p><p>C) \( 4x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \)</p><p>D) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \)</p><p>**Resposta: C)** A integral é \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 \),</p><p>e \( \int 5 \, dx = 5x \). Portanto, \( \int (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \).</p><p>64. Qual é a integral definida \( \int_1^2 (2x^3 - 3) \, dx \)?</p><p>A) \( -2 \)</p><p>B) \( 0 \)</p><p>C) \( 2 \)</p><p>D) \( 1 \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int (2x^3) \, dx = \frac{1}{2}x^4 \) e \( \int (-3) \, dx = -3x \).</p><p>Avaliando de 1 a 2: \( \left[\frac{1}{2}(2^4) - 3(2)\right] - \left[\frac{1}{2}(1^4) - 3(1)\right] =</p><p>\left[8 - 6\right] - \left[\frac{1}{2} - 3\right] = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} \).</p><p>65. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \frac{1}{3} \)</p><p>D) \( -\frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta: C)** Usando a série de Taylor para \( \tan(x) \), temos \( \tan(x) \approx x +</p><p>\frac{x^3}{3} \). Portanto, \( x - \tan(x) \approx -\frac{x^3}{3} \) e o limite se torna \( \lim_{x</p><p>\to 0} \frac{-\frac{x^3}{3}}{x^3} = -\frac{1}{3} \).</p><p>66. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(2x) \)?</p><p>A) \( -2\sin(2x) \)</p><p>B) \( -\sin(2x) \)</p><p>C) \( 2\sin(2x) \)</p><p>D) \( \sin(2x) \)</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x) \).</p><p>67. Calcule o valor de \( \int (2x^4 + 3x^2 - 1) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{2}{5}x^5 + x^3 - x + C \)</p><p>B) \( \frac{2}{5}x^5 + x^3 - 1 + C \)</p><p>C) \( \frac{2}{5}x^5 + \frac{3}{3}x^3 - x + C \)</p><p>D) \( \frac{2}{5}x^5 + \frac{3}{3}x^3 - 1 + C \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int 2x^4 \, dx = \frac{2}{5}x^5 \), \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), e</p><p>\( \int -1 \, dx = -x \). Portanto, \( \int (2x^4 + 3x^2 - 1) \, dx = \frac{2}{5}x^5 + x^3 - x + C \).</p><p>68. Qual é a integral definida \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \)?</p><p>A) \( 0 \)</p><p>B) \( 1 \)</p><p>C) \( 2 \)</p><p>D) \( -1 \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int (x^2) \, dx = \frac{x^3}{3} \), \( \int (-2x) \, dx = -x^2 \), e</p><p>\( \int 1 \, dx = x \). Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1^3}{3} - 1 + 1] - [0] = \frac{1}{3} - 1 + 1 =</p><p>\frac{1}{3} \).</p><p>69. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 4</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: B)** Usando a propriedade fundamental de limites, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(4x)}{x} = 4 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{4x} = 4 \cdot 1 = 4 \).</p><p>70. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{3x + 4} \)?</p><p>A) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2\sqrt{3x + 4}} \)</p><p>C) \( \frac{3}{\sqrt{3x + 4}} \)</p><p>D) \( \frac{1}{\sqrt{3x + 4}} \)</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 4}} \cdot 3</p><p>= \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} \).</p><p>71. Calcule o valor de \( \int (5x^2 - 3x + 2) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)</p><p>B) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \)</p><p>C) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + 2x + C \)</p><p>D) \( 5x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int 5x^2 \, dx = \frac{5}{3}x^3 \), \( \int -3x \, dx = -</p><p>\frac{3}{2}x^2 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). Portanto, \( \int (5x^2 - 3x + 2) \, dx = \frac{5}{3}x^3 -</p><p>\frac{3}{2}x^2 + 2x + C \).</p><p>72. Qual é a integral definida \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12} \)</p><p>B) \( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12} \)</p><p>C) \( \frac{1}{4} + \frac{3}{3} = 1 \)</p><p>D) \( \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int (x^3) \, dx = \frac{x^4}{4} \) e \( \int (2x^2) \, dx =</p><p>\frac{2}{3}x^3 \). Avaliando de 0 a 1: \( \left[\frac{1^4}{4} + \frac{2}{3}(1^3)\right] - [0] =</p><p>\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \).</p><p>73. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: B)** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 \).</p><p>74. Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \sin(x) \)?</p><p>A) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \)</p><p>B) \( 2x \sin(x) - x^2 \cos(x) \)</p><p>C) \( 2x \cos(x) + x^2 \sin(x) \)</p><p>D) \( 2x \sin(x) + 2x^2 \)</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).</p><p>75. Calcule o valor de \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \).</p><p>A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \)</p><p>B) \( 3x^3 - 2x^2 + 1 + C \)</p><p>C) \( 3x^3 - 2x^2 + x + C \)</p><p>D) \( 3x^3 - 4x^2 + x + C \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -4x \, dx = -2x^2 \), e \( \int 1 \,</p><p>dx = x \). Portanto, \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C \).</p><p>76. Qual é a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 + 2x) \, dx \)?</p><p>A) \( 1 \)</p>