Cálculos de Derivadas e Integrais

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**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (2x) = 
-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
65. Calcule a integral \( \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
A) \( x^4 - x^2 + x + C \) 
B) \( x^4 - x^2 + \frac{1}{2} + C \) 
C) \( x^4 - x + C \) 
D) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + x + C \) 
**Resposta: A) \( x^4 - x^2 + x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -2x \, dx = -x^2 \) e \( \int 
1 \, dx = x \). 
 
66. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{4x^2 - x + 1} \)? 
A) 0 
B) \( \frac{3}{4} \) 
C) \( \frac{4}{3} \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta: B) \( \frac{3}{4} \)** 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{4} \). 
 
67. Determine a integral \( \int (5x^3 + 3x^2 - 2) \, dx \). 
A) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2x + C \) 
B) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - x + C \) 
C) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 2 + C \) 
D) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{3}{4}x^3 - 2x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int 5x^3 \, dx = \frac{5}{4}x^4 \), \( \int 3x^2 \, dx = 
x^3 \) e \( \int -2 \, dx = -2x \). 
 
68. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
A) \( 2xe^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \) 
C) \( 2x^2 e^{x^2} \) 
D) \( x^2 e^{x^2} \) 
**Resposta: A) \( 2xe^{x^2} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \). 
 
69. Calcule \( \int (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{5}x^5 - x^3 + 2x + C \) 
B) \( \frac{1}{5}x^5 - x^3 + C \) 
C) \( \frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2 + C \) 
D) \( \frac{1}{5}x^5 - x^3 + 2 + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{5}x^5 - x^3 + 2x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int x^4 \, dx = \frac{1}{5}x^5 \), \( \int -3x^2 \, dx = -
x^3 \) e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
70. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 5 
D) \( \infty \) 
**Resposta: C) 5** 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k 
\), onde \( k = 5 \). 
 
71. Determine a integral \( \int (2x^2 + 4x + 1) \, dx \). 
A) \( \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + x + C \) 
B) \( \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + C \) 
C) \( \frac{2}{3}x^3 + 4x^2 + C \) 
D) \( \frac{2}{3}x^3 + 2x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \), \( \int 4x \, dx = 2x^2 
\) e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
72. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^3} \)? 
A) \( -\frac{3}{x^4} \) 
B) \( -\frac{1}{3x^4} \) 
C) \( \frac{3}{x^4} \) 
D) \( -\frac{1}{x^4} \) 
**Resposta: A) \( -\frac{3}{x^4} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \). 
 
73. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta: B) 1** 
**Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta em 1, pois \( e^x \) se aproxima 
de 1 quando \( x \to 0 \). 
 
74. Determine a integral \( \int (x^3 + 2x^2 - 4) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 4x + C \) 
B) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 4 + C \) 
C) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 2 + C \) 
D) \( \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - 4 + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 4x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 \), \( \int 2x^2 \, dx = 
\frac{2}{3}x^3 \) e \( \int -4 \, dx = -4x \). 
 
75. Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3