Apostila Calculo1 com Exercicios_pag13

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<p>9</p><p>Mostre que, qualquer que seja n ∈ N, a função exponencial g(x) = ex cresce mais</p><p>rápido que a função potência f(x) = xn; e que a função g(x) = x cresce mais rápido</p><p>que a função f(x) = (ln(x))n.</p><p>Observação: Isso quer dizer o seguinte: imagine que você desenvolveu um algo-</p><p>ritmo para resolver um certo tipo de problema e observou que o número de operações</p><p>do seu algoritmo depende exponencialmente do número x de dados. Se seu problema</p><p>envolve um número muito grande de dados, seu algoritmo é ine�ciente. Jogue-o fora!</p><p>Por outro lado, se o número de operações do seu algoritmo depende de ln(x), onde</p><p>x é o número de dados a serem tratados, seu algoritmo é excelente.</p><p>2. Para cada n,m ∈ N, calcule os limites abaixo:</p><p>(a) lim</p><p>x→0+</p><p>x(ln(x))n</p><p>(b) lim</p><p>x→+∞</p><p>xm</p><p>(ln(x))n</p><p>(c) lim</p><p>x→+∞</p><p>(ln(x))n</p><p>x1/m</p><p>(d) lim</p><p>x→+∞</p><p>ex</p><p>n</p><p>emx</p><p>3. Três engenheiros, Abelardo, Albuquerque e Azevedo, desenvolveram para uma em-</p><p>presa um algorítmo de busca de dados na internet e o entregraram para o chefe, Dr.</p><p>Jonas, que demonstrou que o número de operações do algoritmo de Abelardo é da</p><p>ordem de 10n, onde n é o numero de dados, que o algoritmo de Albuquerque exige</p><p>um número de operações da ordem de n! e que o algoritmo de Azevedo exige um</p><p>número de operações da ordem de nn. Qual dos três é o mais e�ciente e qual é o</p><p>menos e�ciente para um conjunto muito grande de dados?</p><p>Sugestão: Use a desigualdade: e</p><p>(n</p><p>e</p><p>)n</p>