AP1-PC-2010-1 gabarito

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AP 01 – 2010-1 _ Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [1,0 ponto] 
Faça as comparações necessárias entre os números reais 
5
11
,
7
3,
5
5
,
7
7
e calcule a 
interseção 















5
11
,
7
3
5
5
,
7
7
. Para fazer as comparações, use as propriedades dos 
números reais. Não use aproximações para os números irracionais. 
Solução: 
 
Temos que comparar os seguintes pares de números reais: 
7
7
 e 
7
3 ,
5
5
 e 
7
3 , 
5
5
 e 
5
11
. 
Lembramos que, sendo dcba ,,, números reais positivos, temos: 
bcda
d
c
b
a
 e 22 baba  . 
Assim, 
     973737 22  . Como a desigualdade da extrema direita é verdadeira 
então a desigualdade da extrema esquerda também é. 
Já que 37  e 
7
7
 e 
7
3 são frações com o mesmo denominador, concluímos que 
7
3
7
7
 . 
      22 75537553
5
5
7
3 
4945775337755533  . Como a desigualdade da extrema 
direita é verdadeira então a desigualdade da extrema esquerda também é. Assim, 
5
5
7
3
 . 
     115115115 22  . Como a desigualdade da extrema direita é 
verdadeira então a desigualdade da extrema esquerda também é. 
Já que 115  e 
5
5
 e 
5
11
são frações com o mesmo denominador, concluímos que 
5
11
5
5
 . 
Concluímos, portanto, que, 
5
11
5
5
7
3
7
7
 e assim, 
























5
5
,
7
3
5
11
,
7
3
5
5
,
7
7
. 
_____________________________________________________________________________________________ 
AP 01 – 2010-1 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
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2ª. Questão [3,0 pontos: a) 2,0; b) 1,0]: 
a) Simplifique a expressão 
x
x
x
x



1
1
1
2 2
, de modo que apareça apenas um numerador e um 
denominador e que o numerador seja um trinômio do segundo grau. 
Diga para quais valores reais de x a expressão dada pode ser calculada e responda na forma de 
intervalo. 
Estude o seu sinal e para isso use a expressão simplificada. 
 
b) Resolva a equação: 
 
1
1
1
1
2 2




x
x
x
x
x
, para 0x e 1x . 
Solução: 
 
a) 
  









xx
xxx
x
x
xxx
x
x
x
x
11
112
1
1
112
1
1
1
2
2
22
 
 
   xx
xx
xx
xx





11
12
11
12 22 . 
 
Para que a expressão dada possa ser calculada é preciso que: 
 01 x e 01 x , ou seja, 1x , para podermos calcular a raiz 1x e para que 
os denominadores onde 1x aparece, não se anulem. 
 01  x , ou seja, 1x , isto é 1x e 1x , para que os denominadores onde 
x1 aparece, não se anulem. 
 
Portanto, podemos calcular a expressão 
x
x
x
x



1
1
1
2 2
 para x ),1()1,1(  . 
 
Estudando o sinal de  xx
xx
x
x
x
x






11
12
1
1
1
2
2
2
. 
Note que: 
 ),1(,01  xx . 
 11101  xxx . 
 ),1()
2
1,(0)1()12(12 2  xxxxx 
 
 
AP 01 – 2010-1 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
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2
11  x 
2
1
x 1
2
1
 x 1x  x1 
)1()12(  xx  0  0  
x1    0  
1x      
 xx
xx


11
)1()12(  0  nd  
 
Portanto. 
0
1
1
1
2 2




x
x
x
x
, para )
2
1,1( x 
 
0
1
1
1
2 2




x
x
x
x
, para 
2
1
x 
 
0
1
1
1
2 2




x
x
x
x
, para ),1()1,
2
1( x 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) Resolvendo a equação 
1
1
1
1
2 2




x
x
x
x
x
, para 0x e 1x . 
 
Pelo item a): 
  111
121
1
1
1
2
2
2







x
xx
xxx
x
x
x
x
 
Como 0x , então xx  . 
Assim, temos: 
     xxxxxxxxx 1)1(1211112 22
   0)1(01121)1(12 2222 xxxxxxxxxxx
10  xoux . 
Como 1x , o conjunto solução da equação é  0 . 
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3ª. Questão [3,5 pontos: a) 1,5; b) 2,0]: 
Resolva: 
a) 1210  xx . 
b) 
xx
xx 21
2 

. Responda na forma de intervalo. 
Solução: 
 
a)      1221012101210 222 xxxxxxx 
3392  xouxx , Testando esses valores na equação, verificamos que: 
3x é solução, pois 13243210  , e que, 
3x não é solução, pois 134416)3(210  . 
Logo, o conjunto solução é  3 . 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
xx
xx 21
2 

. Responda na forma de intervalo. 
É preciso que 0x para que os denominadores não se anulem. 
I) Se 0x então xx  . 




02121212
1
2222 xxxxxx
xx
xx
xx
 
2
112021021 2 
 xxx
x
x . 
II) Se 0x então xx  . 








0212212212
1
2222 xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
 
010212 22 

xx
xx . Logo, esse caso não tem solução, pois 
0,01 2  xx
. 
Portanto, a solução da inequação é o intervalo 





,
2
1 . 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
 
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4ª. Questão [2,5 pontos: a) 1,7; b) 0,8]: 
a) A equação 091869 22  yxyx define uma elipse. Complete os quadrados nas variáveis x 
e y e encontre a equação canônica dessa elipse. A partir dessa equação identifique o seu centro C . 
Desenhe essa elipse e encontre os seus quatro vértices. 
b) Considere os dois vértices dessa elipse que estão no 1º. Quadrante e não estão sobre os eixos coordenados. 
Escreva a equação da reta r que contém o centro C da elipse e é perpendicular ao segmento que une os 
dois vértices mencionados neste item. 
 
Solução: 
 
a) Completando os quadrados nas variáveis x e y temos; 
 09)112(9996091869 2222 yyxxyxyx 
     09)1(93099)1(993 2222 yxyx 
    1
1
)1(
9
39)1(93
22
22 




yxyx . 
 
O centro C é o ponto )1,3(C , 3a , 1b 
 
Desenhando a elipse; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os vértices são: 
)1,0(,)1,6(),0,3(,)2,3( 2121 BBAA . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) Sejam os vértices )1,6(,)2,3( 11 BA . O coeficiente angular da reta que contém esses pontos é: 
3
1
3
1
36
21





m . 
O coeficiente angular rm , da reta r , perpendicular ao segmento 11BA , é 3
3
1
1


rm . 
Portanto, a equação da reta r , que contém o ponto )1,3(C , é: )3(31  xy , ou 
83:  xyr , ou ainda 083:  yxr .