a logica do universoMMCCLXIV

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<p>18. Calcule a integral indefinida: \(\int x e^{x^2} \, dx\).</p><p>a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)</p><p>b) \(-\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)</p><p>c) \(e^{x^2} + C\)</p><p>d) \(\frac{1}{2} x e^{x^2} + C\)</p><p>**Resposta:** a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)</p><p>**Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\), a integral se torna</p><p>\(\frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{u} + C\).</p><p>19. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \(\infty\)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** a) 0</p><p>**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. A</p><p>derivada de \(\ln(x)\) é \(\frac{1}{x}\) e a do denominador é 1. Portanto, o limite é 0.</p><p>20. Encontre a integral definida: \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\).</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) \(\ln(e)\)</p><p>d) 0</p><p>**Resposta:** a) 1</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de 1 a \(e\), temos</p><p>\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\).</p><p>21. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** a) 0</p><p>**Explicação:** A função \(\sin(x)\) se comporta como \(x\) quando \(x\) se aproxima de 0,</p><p>portanto, \(\frac{x^2}{\sin(x)} \approx \frac{x^2}{x} = x\), que tende a 0.</p><p>22. Determine a derivada da função \(f(x) = \tan(x)\).</p><p>a) \(\sec^2(x)\)</p><p>b) \(\tan^2(x)\)</p><p>c) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\)</p><p>d) \(\sin^2(x)\)</p><p>**Resposta:** a) \(\sec^2(x)\)</p><p>**Explicação:** A derivada de \(\tan(x)\) é \(\sec^2(x)\), que é uma identidade</p><p>trigonométrica.</p><p>23. Calcule a integral indefinida: \(\int (2x + 3) \cos(x^2 + 3x) \, dx\).</p><p>a) \(\sin(x^2 + 3x) + C\)</p><p>b) \(-\sin(x^2 + 3x) + C\)</p><p>c) \(\cos(x^2 + 3x) + C\)</p><p>d) \(-\cos(x^2 + 3x) + C\)</p><p>**Resposta:** a) \(\sin(x^2 + 3x) + C\)</p><p>**Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^2 + 3x\), \(du = (2x + 3)dx\). A integral se</p><p>torna \(\int \cos(u) \, du = \sin(u) + C\).</p><p>24. Determine o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) 2</p><p>**Resposta:** c) 3</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \(0/0\). Fatorando, temos</p><p>\(\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = x^2 + x + 1\). Portanto, o limite é \(1^2 + 1 + 1 = 3\).</p><p>25. Encontre a derivada da função \(f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x + 5\).</p><p>a) \(4x^3 + 6x^2 - 3\)</p><p>b) \(4x^3 + 6x^2 + 3\)</p><p>c) \(3x^2 + 2x\)</p><p>d) \(x^3 + 2x^2 - 3\)</p><p>**Resposta:** a) \(4x^3 + 6x^2 - 3\)</p><p>**Explicação:** A derivada é calculada utilizando a regra de potência para cada termo.</p><p>26. Calcule a integral definida: \(\int_{0}^{1} (6x^2 - 4) \, dx\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) \(\frac{2}{3}\)</p><p>**Resposta:** d) \(\frac{2}{3}\)</p><p>**Explicação:** A antiderivada é \(2x^3 - 4x\). Avaliando de 0 a 1, temos \(2(1)^3 - 4(1) - (0)</p><p>= 2 - 4 = -2\).</p><p>27. Determine o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** c) 2</p><p>**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. A</p><p>derivada de \(\ln(1 + 2x)\) é \(\frac{2}{1 + 2x}\), e o limite se torna \(2\).</p><p>28. Encontre a derivada da função \(f(x) = x^2 \ln(x)\).</p><p>a) \(2x \ln(x) + x\)</p><p>b) \(2x \ln(x) - x\)</p><p>c) \(x^2 \frac{1}{x}\)</p><p>d) \(2x \ln(x) + 2x\)</p><p>**Resposta:** a) \(2x \ln(x) + x\)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = (x^2)' \ln(x) + x^2 (\ln(x))'\). Assim, \(2x</p><p>\ln(x) + x\).</p><p>29. Calcule a integral indefinida: \(\int e^{3x} \, dx\).</p><p>a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)</p><p>b) \(3e^{3x} + C\)</p><p>c) \(e^{3x} + C\)</p><p>d) \(\frac{1}{2} e^{3x} + C\)</p><p>**Resposta:** a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, \(k = 3\).</p><p>30. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^4 + 3x^2}{5x^4 + 4}\).</p><p>a) \(\frac{2}{5}\)</p><p>b) 0</p><p>c) 1</p><p>d) \(\infty\)</p><p>**Resposta:** a) \(\frac{2}{5}\)</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^4\), obtemos \(\lim_{x \to \infty} \frac{2</p><p>+ \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{4}{x^4}} = \frac{2}{5}\).</p><p>31. Encontre a derivada da função \(f(x) = \frac{1}{x}\).</p><p>a) \(-\frac{1}{x^2}\)</p><p>b) \(\frac{1}{x^2}\)</p><p>c) \(-\frac{2}{x}\)</p><p>d) \(\frac{2}{x^2}\)</p><p>**Resposta:** a) \(-\frac{1}{x^2}\)</p><p>**Explicação:** A derivada de \(x^{-1}\) é \(-x^{-2}\).</p><p>32. Calcule a integral definida: \(\int_{1}^{2} (x^2 + 1) \, dx\).</p><p>a) \(\frac{7}{3}\)</p><p>b) \(\frac{5}{3}\)</p><p>c) 3</p>