P2-PEF2302-2sem2015

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 
 
PEF2302 – Mecânica das estruturas I 
Segunda Prova (03/11/2015) - Duração 100 minutos 
 
Nome: ____________________________________________ nUSP: ______________ 
Questão 1 (4,0 pontos) 
O campo de deslocamentos dos pontos de um sólido deformável é dado por �⃗� =
(𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥1𝑥2 + 2𝑎1𝑥2)𝑒1⃗⃗ ⃗ + (𝑏1𝑥1 + 𝑏2𝑥1𝑥2 + 2𝑏1𝑥2)𝑒2⃗⃗ ⃗. Foi conduzida uma série de 
experimentos para determinar as constantes 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1 e 𝑏2. 
 
a) Escrever o gradiente de deslocamentos e o tensor das deformações infinitesimais em função 
dos dados do enunciado. 
b) Na origem do sistema de coordenadas, foram medidos os alongamentos lineares nas 
direções 𝑒1⃗⃗ ⃗ e 𝑒2⃗⃗ ⃗ obtendo-se, respectivamente, 10−5 e −10−4. Determine 𝑎1 e 𝑏1. 
c) No ponto P, de coordenadas (1,1,0), o alongamento linear na direção de 𝑒1⃗⃗ ⃗ vale 5 × 10−5 
e a distorção entre as fibras orientadas por 𝑒1⃗⃗ ⃗ e 𝑒2⃗⃗ ⃗ vale 10−4. Calcule as outras duas 
constantes. 
d) No ponto P, considere duas fibras orientadas pelos versores �⃗⃗� e �⃗� (ambos os versores 
contidos no plano gerado por 𝑒1⃗⃗ ⃗ e 𝑒2⃗⃗ ⃗). Calcule a distorção entre essas fibras. 
e) Em um ponto Q, o tensor das deformações infinitesimais é dado abaixo. Para o ponto Q, 
calcule as deformações principais e a direção principal associada a 𝜖1. Deixe a direção 
principal obtida com norma unitária. 
 
[𝜖] = [
10−5 7,2 × 10−6 0
7,2 × 10−6 0 0
0 0 0
] 
 
f) Uma roseta é um sensor utilizado para caracterizar o estado de deformações em um ponto. 
Para tanto, ela mede alongamentos lineares em duas direções ortogonais e uma terceira 
direção. Deseja-se utilizar uma roseta para medir o estado de deformação no ponto Q 
apresentado no item anterior. Sabe-se que a roseta disponível é capaz de medir de maneira 
apropriada deformações no intervalo entre −10−5 e 10−5. Sabe-se também que o sensor 
pode ser colocado segundo qualquer orientação 𝜃, conforme mostrado na Figura 2. Existe 
pelo menos uma orientação 𝜃 que impeça o uso deste sensor para monitorar o estado de 
deformações em Q? Justifique sua resposta. 
 
 
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Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 
 
PEF2302 – Mecânica das estruturas I 
Segunda Prova (03/11/2015) - Duração 100 minutos 
 
Questão 2 (6,0 pontos) 
O estado de tensões (em 𝑀𝑃𝑎) em um ponto genérico de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de um sólido 
deformável está representado nas faces visíveis do elemento infinitesimal de tensão abaixo 
ilustrado. As constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 devem ser determinadas, sendo 𝑎 0. 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Representar o tensor das tensões na base { 𝑖 , 𝑗 , �⃗� }. Deixe seus resultados em função das 
coordenadas do ponto e das constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐. 
b) As forças de volume que equilibram o tensor das tensões. Deixe seus resultados em função 
das coordenadas do ponto e das constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐. 
c) Considere um plano 𝛼 que contém o ponto P de coordenadas (1,1,0) e cuja nornal é �⃗� =
√2
2
( 𝑖 − 𝑗 ). Sabe-se que o vetor tensão associado ao ponto P segundo a normal �⃗� é 𝜌 =
−
√2
2
𝑖 +𝜌𝑦𝑗 , onde 𝜌𝑦 ainda é desconhecido. Sabe-se também que as forças de volume são 
devidas somente ao campo gravitacional e que a aceleração gravitacional é ortogonal à 
direção 𝑖 . Baseado nestas informações, determine 𝑎, 𝑏 e 𝜌𝑦. 
d) Considerando o ponto P, calcule o vetor tensão normal e o vetor tensão de cisalhamento no 
plano 𝛼. 
e) Determinar 𝑐 sabendo que a máxima tensão de cisalhamento no ponto Q, de coordenadas 
(1,0,1), é igual a 5MPa. Para o mesmo ponto, trace os círculos de Mohr e indique o lugar 
geométrico das tensões normal e de cisalhamento em planos que contenham a direção 
principal associada a 𝜎3. 
f) Considerando o ponto Q, calcular o alongamento linear de uma fibra cuja direção seja 
paralela a 𝑖 . Deixe seu resultado em função do módulo de elasticidade e do coeficiente de 
Poisson do material. 
g) No contexto da Teoria Linear da Elasticidade e considerando um material homogêneo e 
isótropo, é feita a seguinte afirmação. “Uma direção principal de deformação coincide com 
uma direção principal de tensão”. Você concorda com essa afirmação? Não serão aceitas 
respostas sem a devida justificativa. 
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PEF2302 – Mecânica das estruturas I 
Segunda Prova (03/11/2015) - Duração 100 minutos 
 
 
Formulário: 
Relações deslocamentos-deformações 
𝜖𝑖𝑗 =
1
2
(
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
) 
 
Equações constitutivas para o problema da elasticidade linear tridimensional 
 
{𝜎} = [𝐶]{𝜖} 
 
{𝜖} = [𝐷]{𝜎} 
 
[𝐶] =
𝐸(1 − 𝜈)
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
𝜈
1 − 𝜈
 
𝜈
1 − 𝜈
 
𝜈
1 − 𝜈
 1
𝜈
1 − 𝜈
 
𝜈
1 − 𝜈
 
𝜈
1 − 𝜈
 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 − 2𝜈
2(1 − 𝜈)
0 0
0
1 − 2𝜈
2(1 − 𝜈)
0
0 0
1 − 2𝜈
2(1 − 𝜈)]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[𝐷] =
1
𝐸
[
 
 
 
 
 
1 −𝜈 −𝜈
−𝜈 1 −𝜈
−𝜈 −𝜈 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2(1 + 𝜈) 0 0
0 2(1 + 𝜈) 0
0 0 2(1 + 𝜈)]